2011年研究生考试数学三概率真题分析
2011考研数学真题和答案详解
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分 56％线性代数 22%概率论与数理统计 22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0s inlim1xxx→=1lim1xxex→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学 考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学 考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解xe ．sin x ．c o s x ．ln (1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式．六、常微分方程与差分方程 考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法． 3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念． 6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法． 7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线 性 代 数一、行列式 考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵 考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤-∞<<∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布()P λ及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布． 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布()E λ的概率密度为()0xef x x λλ-⎧=⎨≤⎩若x >0若5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布 考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布221212(,;,;)N u u σσρ，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩2分布t分布F 分布 分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2211()1n i i S X X n ==--∑2．了解产生2χ变量、t 变量和F 变量的典型模式；了解标准正态分布、2χ分布、t 分布和F 分布得上侧α分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x →-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0.(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- (D)23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( )(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . (12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，x Q y =下的标准形为 .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布(,μN三、解答题：15~23小题，共94分.证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限0x →(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1Tα=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A . (22)(本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. (23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 【答案】 (C)【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，sin x x 在本题中，03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limkx x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim 14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择(C).(2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 导数的定义 0000()()lim ()x f x x f x f x x→+-'=在本题中，()()()()()()232233320220limlimx x x f x f x x f x x f f x f xx→→---+=()()()()()()()33000lim 20200x f x f f x f f f f x x →⎡⎤--'''⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎣⎦故应选(B)(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( )(A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点： 级数的基本性质 若级数1nn u∞=∑收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变. 在本题中，由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1nn u∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰()a b <在本题中，如图所示： 因为04x π<<，所以0sin cos 1cot <<<<x x x又因ln x 在(0,)+∞是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x << (0,)4x π∈4440ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx πππ⇒<<⎰⎰⎰即I K J <<.选（B ）.(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即111,AP B A BP -==故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即2,P B E =故122,B P P -==因此，1112121,A P P P P ---==故选(D)(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1ξ，2ξ是Ax b =的两个解，则12ξξ-是0Ax =的解； （2）如n 元线性方程组Ax b =有解，设12,,,t ηηη是相应齐次方程组0Ax =的基础解系，0ξ是Ax b =的某个已知解，则11220t t k k k ηηηξ++++是Ax b =的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数.在本题中，因为123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，那么21ηη-，31ηη-是0Ax =的2个线性无关的解.从而()2n r A -≥，即3()2()1r A r A -≥⇒≤ 显然()1r A ≥，因此()1r A =由()312n r A -=-=，知（A ）（B ）均不正确. 又232311222A A A ηηηηβ+=+=，故231()2ηη+是方程组Ax β=的解.所以应选（C ）.(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： 连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：()1f x dx +∞-∞=⎰在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且()1f x dx +∞-∞=⎰.在四个选项中，只有（D ）选项满足[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( ) (A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）泊松分布()XP λ 数学期望EX λ=，方差DX λ=（2）()E cX cEX =，()E X Y EX EY +=+，2()D cX c DX =，()D X Y DX DY +=+（X 与Y 相互独立） 在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n 故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313xex +【详解】本题涉及到的主要知识点： 重要极限公式 10lim(1)xx x e →+=在本题中，()()()31300lim 13lim 13x t xtt tt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+xf x ex .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln 2dx dy +- 【详解】用对数求导法.两边取对数得ln ln(1)x x z y y=+， 故11[ln(1)]z x x z x y y x y ∂=++∂+，21[ln(1)]z x x x z y y y x y∂=-++∂+ 令1x =，1y =，得(1,1)2ln 21z x ∂=+∂，(1,1)(2ln 21)zy ∂=-+∂， 从而()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【详解】方程变形为arctan()4y x y e π++=，方程两边对x 求导得211yye y y e ''+=+，在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-.(12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π【详解】本题涉及到的主要知识点： 设有连续曲线()y f x =()a x b ≤≤，则曲线()y f x =与直线x a =，x b =及x绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2(bx aV f π=⎰在本题中，()222223111141().33V y dx x dx x x ππππ==-=⋅-=⎰⎰(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .【答案】213y【详解】本题涉及到的主要知识点： 任给二次型,1()nij ijijji i j f a x x aa ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n n f y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.在本题中，A 的各行元素之和为3，即1112131112132122232122233132333132333,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a ++=⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⇒=⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 所以3λ=是A 的一个特征值.再由二次型Tx Ax 的秩为10λ⇒=是A 的2重特征值. 因此，正交变换下标准形为：213y .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则()2E XY = .【答案】22()μμσ+【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY ρ=，则称X 与Y 不相关.（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y不相关.（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY = 在本题中，由于(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN，说明X ，Y 独立同分布，故X与2Y 也独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅，又EX μ=，2222()EY DY EY σμ=+=+，所以222()()E XY μμσ=+三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限x →【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，ln(1)x x +在本题中，0x →201lim x x x →-=000x x x →→→===01.2x x →→==-=-(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件 设(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=. 在本题中，(,(,))z f x y f x y =+121(,(,))(,(,))(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂ 2111221(,(,))(,(,))(,)(,)zf x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂''''''=++++∂∂ ()21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''''+++++⋅()1,12f =为(),f u v 的极值 ()()121,11,10f f ''∴==211212(1,1)2,2(2,2)(1,1)z f f f x y ∂'''''∴=+⋅∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）()x t ϕ=，1()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ϕϕϕ-'==+=+⎰⎰；（2）udv uv vdu =-⎰⎰； （3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.在本题中，令t =,2x t =,2dx tdt =∴2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰ 2222arcsin 22ln 2tt t t t t dt t=⋅-+⋅-⋅⎰222arcsin 2ln 4t t t t t=⋅+⋅+-22arcsin 2ln 4t t t t t C=⋅+⋅++x C =+，其中C 是任意常数.(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使()0f ξ= （2）函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.在本题中，令4()4arctan 3f x x x π=-+-，'24()11f x x=-+当x >'()0f x <，()f x 单调递减；当x <时，'()0f x >，()f x 单调递增.4(4arctan((03f π=-+=.当x <()f x 单调递减,∴(,x ∈-∞,()0f x >；当x <<()f x 单调递增,∴(x ∈,()0f x >x ∴=()f x在(-∞上唯一的零点.又因为48033f ππ==-> 且()4lim lim 4arctan .3x x f x x x π→+∞→+∞⎛=-+-=-∞ ⎝∴由零点定理可知，)0x ∃∈+∞，使()00f x =,∴方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.【详解】本题涉及到的主要知识点： 一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰. 在本题中，因为()()tt t xD f x y dxdy dx f x y dy -''+=+⎰⎰⎰⎰，令x y u +=，则()()()()t xtx f x y dy f u du f t f x -''+==-⎰⎰()(()())()()tttD f x y dxdy f t f x dx tf t f x dx '+=-=-⎰⎰⎰⎰201()()()()2ttD tf t f x dx f t dxdy t f t ∴-==⎰⎰⎰.两边对t 求导，得 2()()02'+=-f t f t t ,解齐次方程得212()(2)--⎰==-dt t C f t Ce t由(0)1f =，得4C =. 所以函数表达式为24()(01)(2)f x x x =≤≤-.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1T α=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. 【详解】本题涉及到的主要知识点： 向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是 121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b =(I)因为123101,,01310115ααα==≠，所以123,,ααα线性无关.那么123,,ααα不能由123,,βββ线性表示⇒123,,βββ线性相关，即123113113,,1240115013023a aa βββ===-=-，所以5a =(II)如果方程组112233(1,2,3)j x x x j αααβ++==都有解，即123,,βββ可由123,,ααα线性表示.对123123,,,,,αααβββ（）作初等行变换，有123123,,,,,αααβββ（）=101113013124115135⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-(21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）(0)A αλαα=≠λ为矩阵A 的特征值，α为对应的特征向量（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交. （I ）因()2r A =知0A =，所以0λ=是A 的特征值.又111000111A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，110011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以按定义1λ=是A 的特征值，1(1,0,1)Tα=是A 属于1λ=的特征向量；1λ=-是A 的特征值，2(1,0,1)T α=-是A 属于1λ=-的特征向量.设3123(,,)Tx x x α=是A 属于特征值0λ=的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此131323130,0,T Tx x x x αααα⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩ 解出3(0,1,0)Tα= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T Tk k k -，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.(II)由12312(,,)(,,0)A ααααα=-，有1112123*********(,,0)(,,)000001000110110100A ααααα---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(22)(本题满分11分)且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差 ()()()()cov ,X Y E XY E X E Y =-⋅ （2）相关系数cov ,XY X Y ρ=(I)设(,)X Y 的概率分布为根据已知条件{}221P XY ==，即{}{}{}0,01,11,11P X Y P X Y P X Y ==+==-+===，可知1221231p p p ++=，从而110p p p ===，1p p p ===，即(,)X Y 的概率分布为(II) Z XY =的所有可能取值为-1，0，1 .{}{}111,13P Z P X Y =-===-={}{}111,13P Z P X Y ====={}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=Z XY =的概率分布为(3) 23EX =，0EY =，0EXY =，故(,)0Cov X Y EXY EX EY =-⋅=，从而0XY ρ=.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰；（2）在Y y =的条件下X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y =； （3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度1,(,),(,)0,x y G f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.(I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G ∈⎧=⎨∉⎩当01x ≤<时，0()(,)1x X f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰； 当12x ≤≤时，20()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰；当0x <或2x >时，()0X f x =.所以 , 01,()2, 12,0, X x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.(II)|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =当01y ≤<时，2()122yY yf y dx y -==-⎰；当0y <或1y ≥时，()0Y f y =.所以|1, 2,01,22(|)0, X Y y x y y y f x y ⎧<<-≤<⎪-=⎨⎪⎩其他.。
数三11年真题答案解析
数三11年真题答案解析数学是一门让人们头痛不已的学科，尤其是高中的数学考试更是令许多学生感到困惑和无助。
然而，对于许多高考生来说，数学是不可避免的一门科目，他们必须通过它来取得高分。
因此，备考过程中的一项重要任务就是研究历年真题，寻找答案并深入解析。
在本文中，我将通过分析2011年的数学真题，为大家提供一些关于这道题目的解答。
2011年的数学真题中，有一道题目引起了广大考生的关注。
这道题目是一道综合题，涉及到了数列和三角函数的知识。
让我们来一起看看这道题目的具体内容和思路。
题目是这样的：已知数列{an}满足an = 2^(n-2) * sin π/n，其中n是正整数。
问（1）数列{an}的前4项之和；（2）当n趋近无穷大时，数列{an}的极限是多少。
首先，我们需要计算数列{an}的前4项。
根据题目给出的表达式an = 2^(n-2) * sin π/n，我们可以依次计算出a1、a2、a3、a4的值。
当n=1时，a1 = 2^(1-2) * sin π/1 = 2^(-1) * 0 = 0；当n=2时，a2 = 2^(2-2) * sin π/2 = 2^0 * 1 = 1；当n=3时，a3 = 2^(3-2) * sin π/3 = 2^1 * √3/2 = √3；当n=4时，a4 = 2^(4-2) * sin π/4 = 2^2 * 1/√2 = 2√2。
因此，数列{an}的前4项分别为0、1、√3和2√2。
接下来，我们需要计算这四项的和。
0 + 1 + √3 + 2√2 = √3 + 1 + 2√2 ≈ 4.24（保留两位小数）。
因此，数列{an}的前4项之和约为4.24。
接下来，我们再来考虑当n趋近无穷大时，数列{an}的极限是多少。
由于数列{an}中含有三角函数sin π/n，我们可以通过观察sin x在x趋近0时的性质来解答这个问题。
根据三角函数的性质，当x趋近0时，sin x趋近x。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
(5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第三行得
⎛1 0 0⎞
⎛1 0 0⎞
单位矩阵，记
P1
=
⎜ ⎜
1
1
0
⎟ ⎟
，
P2
=
⎜ ⎜
0
0
1
⎟ ⎟
，则
A
=
(
)
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0 1 0 ⎟⎠
(A) P1P2
(B) P1 −1P2
(C) P2P1
两个线性无关的解，即 Ax = 0 的基础解系中至少有 2 个线性无关的解，所以可排除 A，B
选项.
又因为 Aη2 −η3 = 0 ，所以 η2 −η3 是 Ax = 0 的解，不是 Ax = β 的解，故排除 D 选项，
2
2
因此选 C.
事实上，由于η1,η2 ,η3 是 Ax = β 的三个线性无关的解，所以η3 −η1,η2 −η1 是 Ax = 0 的
两个线性无关的解，即 Ax = 0 的基础解系中至少有 2 个线性无关的解，亦即 3 − r( A) ≥ 2 ，
故 r( A) ≤ 1.由于 A ≠ 0 ，所以 r( A) ≥ 1，故 r( A) = 1.这样， Ax = 0 的基础解系中正好有 2
个线性无关的解，由此知η3 −η1,η2 −η1 是 Ax = 0 的一个基础解系.
数学(三)试题 第 5页 (共 4 页)
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(11)
曲线
tan
⎛ ⎜
⎝x+来自y+π 4
⎞ ⎟ ⎠
=
e
y
在点
(
0,0
2011年考研数学概率论真题与答案--WORD版
2011年概率论考研真题与答案1. （2011年数学一、三）设1()F x 和2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度函数的是_________. 【D 】 A.12()()f x f x B.212()()f x F x C.12()()f x F x D.1221()()()()f x F x f x F x + 解：根据分布函数的性质，1221()()()()0f x F x f x F x +≥1221[()()+()()]f x F x f x F x dx +∞-∞∴⎰12()()F x F x +∞=-∞1=2. （2011年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则()E UV =_________. 【B 】A. ()()E U E VB. ()()E X E YC. ()()E U E YD. ()()E X E V 解：因为当X Y ≥时，,U X V Y ==；当X Y <时，,U Y V X ==.所以，UV XY =，于是()()E UV E XY =根据X 与Y 相互独立，所以()()()E UV E X E Y =.3. （2011年数学三）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 是来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1=11n i i T X n =∑和12=1111n in i T X X n n -=+-∑，有__________. 【D 】A. 1212()(),()()E T E T D T D T >>B. 1212()(),()()E T E T D T D T ><C. 1212()(),()()E T E T D T D T <>D. 1212()<(),()()E T E T D T D T < 解： ()X P λ(),()E X D X λλ∴==1=1=111()()()n ni i i i E T E X E X n n λ∴===∑∑12=11111()()(1)11n i n i E T E X X n n n n n nλλλλ-=+=⋅-⋅+⋅=+--∑ 12()()E T E T ∴<122=1=1111()()()n n i i i i D T E X D X n n n n nλλ===⋅⋅=∑∑11222=1=11111()()()()1(1)n n i n i n i i D T D X X D X D X n n n n --=+=+--∑∑ 222111(1)()(1)11n n n n n n n n nλλλλλ=⋅-⋅+⋅=+=+--- 21()()D T D T ∴<4. （2011年数学三）设(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ则2()E XY =____. 【22()μσμ+】解： 因为(,)X Y 服从二维正态分布，且相关系数为零，则X 与Y 相互独立.22222()()()()[()()]()E XY E X E Y E X D Y E Y μσμ∴=⋅=⋅+=+5. （2011年数学三）且{}221P X Y ==，求: (1) 二维随机变量(,)X Y 的概率分布；(2) Z XY =的概率分布；(3) X 与Y 的相关系数XY ρ.解：（1） 由{}221P X Y ==， 可得：{}220P X Y ≠={}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ∴==-=======因此，(,)X Y 的概率分布为（2） 显然，Z XY =的可能取值为-1,0,1，由(,)X Y 的概率分布可得：（3）(),(),()0,()393E X D X E Y D Y ====, ()0E XY = (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y ∴=-=0XY ρ==6. （2011年数学一）设12,,,n X X X 是来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，2>0σ，未知. （1）求参数2σ的最大似然估计 2σ；（2）计算 2()E σ和 2()D σ.解： 总体的概率密度为: 202()22(;)x f x μσσ--=似然函数为2012()2221()(;)ni i x ni i L f x μσσσ=--=∑==∏两边取对数，得 202212()ln ()ln 22nii xnL n μσσσ=-=--∑关于2σ求导，得2212222()ln ()+22()nii x d L nd μσσσσ=--=∑令22ln ()0,d L d σσ=解得λ的最大似然估计值 22011()ni i x n σμ==-∑ （2） 20(,)i X N μσ(0,1)i X N μσ-∴222002111()()()nni ii i X Xn μμχσσ==-∴=-∑∑20211[()]ni i E Xn μσ=∴-=∑, 20211[()]2ni i D Xn μσ=-=∑于是， 2222220021111()[()]=[()]==n ni i i i E E X E X n n n nσσσμμσσ===--⋅∑∑ 4442220022211112()[()]=[()]=2=n n i i i i D D X D X n n n n nσσσσμμσ===--⋅∑∑ 7. （2011年数学三）设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=以及0y =所围成的三角形区域. 求：（1）X 的概率密度()X f x ；（2） 条件概率密度()X Y f x y .解：（1）根据二维均匀分布的定义，(,)X Y 的概率密度为1,(,)(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其它X 的概率密度为02-010101()(,)112=2-1<200x x X dy x x x f x f x y dy dy x x x +∞-∞⎧≤≤⎪≤≤⎧⎪⎪==<≤≤⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰⎰其他其他（2） 2-2(1-y)01101()(,)=00y y Y y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧≤≤≤≤⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他在=(0y 1)Y y ≤≤时，X 的条件概率密度12-(,)2(1-y)()==()0X Y Y y x y f x y f x y f y ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案详解
【详解一】 lim
x →0
1 + 2sin x − x − 1 1 + 2sin x − x − 1 = lim x →0 x ln(1 + x) x2
cos x − 1 + 2sin x cos x − 1 + 2sin x = lim x →0 x →0 2x 2 x 1 + 2sin x 1 cos x 1 )=− = lim(− sin x − 2 x →0 2 1 + 2sin x = lim
(B)
+ k2 (η 2 − η1 ) ; 2 η − η3 (D) 2 + k1 (η3 − η1 ) + k2 (η 2 − η1 ) . 2
η 2 − η3
η3 − η1，η 2 − η1 为 AX = 0 的基础解系.非齐次线性方程组解的线性组合若系数和为 1 是非
齐次线性方程组解，从而
η 2 + η3
2 2 2
.
【答案】 μ ( μ + σ )
2 2
【详解】 由题知 X 与 Y 的相关系数 ρ XY = 0 ， 即 X 与 Y 不相关.在二维正态分布条件下，X 与 Y 不相关与 X 与 Y 独立等价，所以 X 与 Y 独立，则有
EX = EY = μ , DX = DY = σ 2 EY 2 = DY + ( EY ) = μ 2 + σ 2
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【详解二】 lim
x →0
1 + 2sin x − x − 1 1 + 2sin x − ( x + 1) 2 = lim x →0 2 x ln(1 + x) x 1 + 2sin x − x − 1
2011年全国考研数学三真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-与是k cx 等价无穷小，则(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-(2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则2330()2()lim x x f x f x x→-= (A) '2(0)f - (B) '(0)f - (C) '(0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是(A) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛(B) 若2121()n n n uu ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛(D) 若2121()n n n uu ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 设40ln(sin )I x dx π=⎰,4ln(cot )J x dx π=⎰,40ln(cos )K x dx π=⎰ 则I ,J ,K 的大小关系是(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵记为1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = (A)12P P (B)112P P - (C)21P P (D) 121P P -(6) 设A 为43⨯矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，1k ,2k 为任意常数，则Ax β=的通解为(A)23121()2k ηηηη++-(B) 23221()2k ηηηη-+-(C) 23131221()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23221331()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x , 1()f x 是连续函数，则必为概率密度的是(A) 12()()f x f x (B)212()()f x F x(C) 12()()f x F x (D) 1221()()()()f x F x f x F x +(8) 设总体X 服从参数λ(0)λ>的泊松分布，11,,(2)n X X X n ≥ 为来自总体的简单随即样本，则对应的统计量111ni i T X n ==∑，121111n in i T X X n n -==+-∑ (A)1212,ET ET DT DT >> (B)1212,ET ET DT DT >< (C)1212,ET ET DT DT <> (D) 1212,ET ET DT DT <<二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设0()lim (13)xtt f x x t →=+，则'()f x =______.(10) 设函数(1)xy xz y=+，则(1,1)|dz =______.(11) 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为______.(12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积______.(13) 设二次型123(,,)T f X X X x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换下x Qy =的标准型为______.(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY =______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限0x →.(16) (本题满分10分)已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，[](),(,)z f x y f x y =+。
2011年考研数学三真题及答案
2011年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)已知当x→0时，f(x)=3sinx−sin3x与cx k是等价无穷小，则(A)k=1,c=4 (B) k=1,c=−4(C)k=3,c=4 (D) k=3,c=−4【答案】C。
【解析】【方法一】lim x→03sinx−sin3xcx=limx→03cosx−3cos3xckx(洛必达法则)=3limx→0−sinx+3sin3xck(k−1)x k−2(洛必达法则)=1c(limx→0−sinx2x+limx→03sin3x2x) (k=3)=1c(−12+92)=1由此得c=4。
【方法二】由泰勒公式知sinx=x−x3+o(x3)sin3x=3x−(3x)33!+ o(x3)则f(x)=3sinx−sin3x=3x−x 32−3x+(3x)33!+ o(x3)=4x3+ o(x3)~4x3 (x→0)故k=3,c=4。
【方法三】lim x→03sinx−sin3xcx k=limx→03sinx−3x+3x−sin3xcx k=1c[limx→03(sinx−x)x k+limx→03x−sin3xx k]=1c[limx→03?(−16x3)x k+limx→016(3x)3x k]=1c(−12+92) (k=3)=82c=1故c=4综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则(2)已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则limx→0x2f(x)−2f(x3)x=(A)−2f′(0) (B)−f′(0) (C) f′(0) (D)0【答案】B。
【解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义lim x→0x2f(x)−2f(x3)3=limx→0x2f(x)−x2f(0)−2f(x3)+2f(0)3=limx→0f(x)−f(0)−2f(x3)−f(0)3=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)【方法二】拆项用导数定义lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0f(x)x−2limx→0f(x3)x3由于f(0)=0，由导数定义知lim x→0f(x)x=f′(0), limx→0f(x3)x3=f′(0)所以limx→0x2f(x)−2f(x3)x=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数f(x)=x,则lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0x3−2x3x3=−1而对于f(x)=x.f′(0)=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于f(x)在x=0处可导，则f(x)=f(0)+f′(0)x+o(x)=f′(0)x+o(x)f(x3)=f′(0)x3+o(x3)lim x→0x2f(x)−2f(x3)3=limx→0x2[f′(0)x+o(x)]−2[f′(0)x3+o(x3)]x3=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)综上所述，本题正确答案是B。
2011年考研数学(三)真题分值分布及特点
2011年考研数学（三）真题分值分布及特点各个部分题型分布主要知识点考试所占比例分值特点高等数学本部分共有选择题4道、填空题4道、解答题5道。
选择题：1.等价代换；2.导数的定义；3.级数的敛散性；4.积分的比较；填空题：9.重要极限公式；10.复合函数求微分；11.导数的应用；12.旋转体的体积；解答题：15.求极限；16.二阶偏导数；17.积分计算（换元法）；18.关于导数的证明题；19.二重积分。
56%本部分和大纲规定的分值基本一致，导数和积分内容仍然是考查的重点部分，与2010年不同的是，今年针对二阶偏导数出了大题。
线性代数本部分共有选择题2道、填空题1道、解答题2道。
选择题：5.矩阵的初等变换；6.非齐次方程组；填空题：13.二次型变换；解答题：20.向量的线性相关性；21.特征值与特征向量。
22%本部分所占分值与大纲规定基本持平，针对该部分出的选择题较容易，与09年一样，在向量线性相关性知识点部分出了大题。
概率论本部分共有选择题2道、填空题1道、解答题2道。
选择题：7.概率密度函数；8.统计量及其分布；填空题：14.二维随机变量；解答题：22.二维随机变量的独立性；23.二维随机变量的边缘密度函数。
22%本部分所占分值与大纲规定基本一致，主要考查前半部分中随机变量的概率密度函数、边缘密度函数等基础内容，只有一道选择题考查了后半部分的统计量知识。
2011年考研数学三真题及问题详解
【解析】
令 ，本题也就是要证明 恰有两个零点
令 得 ，则
当 时， , 单调减；
当 时， , 单调增；
当 时， , 单调减；
又
则 为 的一个零点，在 内 还有一个零点
故 恰有两个实根。
【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函数单调性的判别
(19)设函数 在 上有连续导数， 且
是 属于 的特征向量，作为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，因此
解出
故矩阵 的特征值为 ；特征向量依次为
,其中 均是不为0的任意常数。
(II)由 ，有
【考点】线性代数—矩阵的特征值与特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵
(22)设随机变量 的概率分布分别为
,其中 .求 的表达式。
【解析】
化已知等式左边的二重积分为二次积分计算
等式右边的二重积分化为二次积分
可知 为区域 的面积，区域易得为三角形，面积为
所以
所以
两边对 求导得
解得 ，由 得
所以 ，
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算，二重积分的几何意义
高等数学—常微分方程和差分方程—齐次微分方程，一阶线性微分方程
(C)
(D)
【答案】C。
【解析】
因为 是非齐次线性方程组 的3个线性无关的解，
那么 是 的2个线性无关的解。
从而 即
显然 ，因此
由于 知(A),(B)均不正确。
又 ，所以 是方程组 的解
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系，非齐次线性方程组的通解
2011年研究生考试数学三概率真题分析
今年数学三的选择题总体难度适中，以考查考生基本的概念、简单的计算或简单的逻辑推理能力为主。
其中，高数的4道题，一道考查无穷小的比较，一道考查导数的定义，另外两道分别考查级数的收敛性和定积分的比较。
无穷小量的比较这道题比较简单，利用等价无穷小的概念直接相除求极限或泰勒公式就能得到答案。
下面一题也是以极限形式给出的，但在计算时需要用到导数的定义，很多考生在做这道题时可能会用到洛必达法则，严格来说是不正确的，但由于本题是选择题，实际上也不妨碍正确答案的得出。
级数收敛性这种题是大多数考生比较害怕的，但今年这道题考得比较简单，只要记住级数最基本的几条性质和一些常见的反例就可以得到正确的答案了。
最后一个定积分比较大小，由定积分的性质可知实际上是比较被积函数的大小，只要记住一些常见的不等式本题就很容易得到正确的大小关系。
线代这两题分别考查初等矩阵和线性方程组的通解，只要记住相关的定理即可。
概率论的两题一题考查随机变量分布的基本性质，另一题考查数理统计中常见统计量的性质。
其中随机变量分布这一道题比较灵活，在计算积分的时候要用到分部积分法，可能会给考生在计算时造成一定的障碍。
后面一题只要记住简单随机样本的定义再掌握常见的数字的计算公式即可。
总的来说，选择题比较强调考生对基本概念、基本性质的理解，有比较综合的题目，也考查到了一些比较小的知识点。
考生在复习时要力求全面，注重知识点理解和联系，方能在解题时比较顺手。
考完数学走出考场，相信很多考生的感觉会是松了一口气。
今年的试题难度相比去年略有降低，出题的方向和题目的类型也都完全在预料之类。
没有偏题怪题，也没有计算量特别大的题目，只要考生有比较扎实的基本功，复习比较全面，是比较容易拿到高分的。
所以，我们预计考生今年的成绩会好于去年，分数线也会有所上升。
今年的概率比去年的难度降低了一些，对于概率的分数考生应该是容易拿到分数的，这就会将整体分数提高。
如果考生因为时间不充裕，而没有完成概率的2个解答题，那是非常遗憾的，所以考生在做题的时候一定要注意时间的分配，注意题目的难易。
2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解【圣才出品】
2011 年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．已知当 x→0 时，函数 f（x）＝3sinx－sin3x 与 cxk 是等价无穷小，则（ ）。
从而 k＝3，ck（k－1）（k－2）＝24；即 k＝3，c＝4。
2．设函数 f（x）在 x＝0 处可导，且 f（0）＝0，则 lim x2 f (x) 2 f (x3 ) （ ）。
x0
x3
A．－2f′（0）
B．－f′（0）
C．f′（0）
D．0
【答案】B
【考点】极限的计算
【
解
析
】
lim
x0
x2
f
(
x) 2 x3
f
(
x
) lim x x0
f (x) x
f (0)3 2 f (0) 2 f (x x3
)
2
f (x) f (0)
f (x3) f (0)
lim x0
x
2 lim x0
x3
f (0) 2 f (0) f (0)
故选 B 项。
3．设{un}是数列，则下列命题正确的是（ ）。
∞，＋∞）上积分为 1 的条件，故选 D。
8．设总体 X 服从参数为 λ（λ＞0）的泊松分布，X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自该总
体的简单随机样本，则对于统计量
T1
1 n
n i 1
Xi
T2
1 n 1
n1 i 1
C．f1（x）F2（x）
2011【考研数三】真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题 项符合题目要求, （1〜8小题，每小题 4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.） (1) 已知当 X T 0时，f （x ）=3si nx —si n3x 与cx k 是等价无穷小，则（） (A) k =1,^=4. (B)k = 1,c = —4. (C) k =3,c = 4 . (D) k = 3,c = —4 . 已知函数f （x ）在x=0处可导，且f （0）=0，则limx __屮2 3 xf e fxL () x 3(A)-2 r(o )•(B)-f '(0). (C) (D)0.设｛山｝是数列，则下列命题正确的是 （(A) 若无U n 收敛,n iZ (U 2n 」+U 2n )收敛.n 吕(B)若无(U 2njL +U 2n )收敛, n =1 则2 u n 收敛.n 占n i ndn=1(4)设 1 = f 4 In sin J = r Incotxdx , K = f 4In cosxdx % ・0 ・0 系疋（） (A) 1 v j c K . (B) 1 cK c J . (C) J c 1 c K . (D)K c J c l . （5）设A 为3阶矩阵，将 A 的第2列加到第 1列得矩阵B ，再交换 『1 0 0 3 (1 0 0* 单位矩阵，记P =]1 1 0 ,F2 = 1。
0 1 j ，则 A =()1 10 0 1丿10 1 0 丿则 (C) (D) (B) P 花- (A) PP . B 的第2行与第3行得 □C Z (U 2n 」—U 2n )收敛. 若无U n 收敛, (C) P 2R . oC 若无（U 2n 」—U 2n ）收敛， □C则£ U n 收敛.n=a(D)⑹ 设A 为4咒3矩阵，3：213是非齐次线性方程组 Ax = P 的3个线性无关的解，k1,k2为 任意常数，贝y Ax = P 的通解为（）(A) (C)k1 d —*1)•(B) 十 2 —nj •2 2+n3m _n3^2^伙"2」1)卄2(口3八)•(D) ^y^+k f2-5*2(5」1)•设F1（x），F2（X）为两个分布函数，其相应的概率密度f1（x），f2（x）是连续函数，则必为概率密度的是（）(A) f i(X)f2(X)•(B) 2f2(x)F i(x) •(C) f i(x)F2(x) •(D) f i(x)F2(x) + f2(x)F i(x) •（8）设总体X服从参数为几仏：>0）的泊松分布，X1,X2」l（,X n（ n>2）为来自总体X的简单随机样本，则对应的统计量T ,=1T.X i,n 7(A) E(T I)>E(T2), D(T I)>D(T2)•(C) E(T I)C E(T2), D(T I)<D(T2)•填空题（9〜14小题，每小题4分,1 n」 1T2 = —Z Xi + — Xn( )n -1 7 n(B) E(T1)>E仃2), D(T1)>D(T2)•(D) E(T1)€E(T2), D(T1)C D(T2)•24分，请将答案写在答题纸指定位置上. 共)(9) (10) X设f (X )=1叮x(1 +3t y，则f'( X )=X(x y设函数z = H +仝［，则dzI y丿(11) 曲线tan "x + y+-〕=e y在点（0,0 ）处的切线方程为I 4 J(12) 曲线y = J x2 -1，直线X = 2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为（13）设二次型f （x j,X2,X3 ）= X T Ax的秩为1, A的各行元素之和为3,贝U f在正交变换X = Qy下的标准形为（14）设二维随机变量（X,Y ）服从正态分布N（巴巴cr2,cr2;0 ），则E（X Y 2）=三、解答题（15〜23小题，共94分•请将解答写在答题纸.指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）J 1 + 2sin X -x -1 lim 期 x _0(15)( 本题满分10分) (16)( 本题满分10分)已知函数f(u V 具有连续的二阶偏导数，f (1,1) = 2 是 f (u,v )的极值，C 2zz= f ［x +y ,f (x,川，求歸(17)(本题满分10分)1,1v求严sin密fXdx .v x(18) (本题满分10分) 、 4J T ■ 证明 4arctan x - x + — - 丁3 = 0 恰有 2 实根. 3 (19) (本题满分10分)设函数f (x)在［0,1］有连续导数，f ( 0> 1 且 JJ f '(X + y )dxdy = JJ f ( dxdy , D t D t D t ={(x,y) 0 <y <t-x,0 <x <t }(0 C t <1)，求 f (x)的表达式. (20)(本题满分11分) 设向量组 a^(1,0,1)T /x^(0,1,1)T a^(1,3,5)T,不能由向量组 S,P 2 =(123)T ，p3=(3,4,a)T 线性表示. (I) 求a的值; (II)将叫，02,^3由务,％,%线性表示. (21)(本题满分11分) f 1A 为三阶实对称矩阵， A 的秩为2,即r (A ) = 2，且A 0 冷0 0 11丿(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A . (22)(本题满分11分)设随机变量X 与丫的概率分布分别为求极限 xin (1 +x )且P{x2 = Y2}=1 •(I )求二维随机变量(X, Y)的概率分布;(II)求Z =XY的概率分布;(III)求X与Y的相关系数P xY.(23)( 本题满分11分)设二维随机变量(X, Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由x-y=0,x + y=2与y=0所围成的区域.(I)求边缘概率密度f x(X);(II)求条件密度函数f x Y(x|y).2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分•下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.).丽出、m 、/ 3sin X —sin3x3sin x —sin xcos2x —cosxsin 2x【解析】因为lim ------- r - lim Tcx k7所以c =4,k =3，故答案选(C).(2)【答案】(B) •(B)错误;选项(C)错误;=1，这时S (U 2nJ —U2n ) =S 0收敛，但送U n =S 1发散，故选项(D)错误.故 n zi 心 nzi n#正确答案为(A).kcx k cx2sin x(3-cos2x-2cos x ) = lim x _0k cx 3 — cos2x —2cos 2X=lim x #cx k」 2 23-(2cos x -1)-2cos x kJ . cx= lim 4-4cos 2xcx k」 =lim^^04sin 2 x 【解析】limX2f(x)—2f (x 3) X Tx 3= lim xfx "f(0)-2f(^0x 3)+2f (0)3Xf (X )-f (0) c f (X 3)- f (0)一2 3Xf (0)-2厂(0)=-厂(0 )•故答案选(B).⑶【答案】(A).【解析】方法1:数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故方法2:排除法，举反例.(A)正确.选项(B)取 U n=(—1)n ，这时送(U 2n 4+U 2n )=2 0 收敛，但送 U n nAn 二□c=z (-1)n发散，故选项n 吕选项(C)取 U n(—1)2，这时送U nn#收敛，但 S (U 2n_ln#nnA-U 2n )=Z 1发散，故n 二 n选项(D)取 U n兀【解析】因为0<x 吒二时，0<sinx CCOSX c ! ccotx ,4又因In x 是单调递增的函数，所以 Insin x < In cos x < Incot 故正确答案为(B) • ⑸【答案】(D) •【解析】由于将 A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故(1即 AR =B , A =BR 」.由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵,B =E , ⑹【答案】(C) •【解析】由于厲仆^:儿是Ax = P 的3个线性无关的解，所以个线性无关的解，即 Ax=o 的基础解系中至少有 2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项. n _n n_n …又因为A ——— =0,所以———3是Ax=0的解，不是 Ax = P 的解，故排除(D)选项，2 2因此选(C) •事实上，由于^巴巴是Ax=P 的三个线性无关的解，所以*2-口1儿—n 是Ax = 0的两 个线性无关的解，即Ax =0的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即3-r(A) > 2，故r(A) <1 •由于A H0，所以r(A) >1，故r(A) =1 •这样，Ax =0的基础解系中正好有 2个线性无关的解，由此知 巧-"仆匕是Ax = 0的一个基础解系.因为是Ax = P 的解，所以A S = P ,A 3 = P ,因此A —— = P ，所以 一32 2是Ax = P 的一个特解.由非齐次线性方程组解的结构，可知 Ax = P 的通解为0)10 I 10 即F 2B =E,故B =卩2」=卩2 •因此,=P Z R'，故选(D) •*3 —叫巴―*1是Ax = 0的两T| +T|23*(“2—3)卅2(5—3) •⑺【答案】（D ）. 【解析】选项（D ）J ：［f 1（x ）F 2（x ） + f 2（x ）F 1（x ）中X = J ；［F 2（x ）dF 1（x ） + F 1（x ）dF 2（x ）］=O d [F 1(X )F 2(X )] = F 1(X )F 2(X )|签=1 •所以f i F 2（x ）+ f 2F i （x ）为概率密度.（8）【答案】（D ）.【解析】因为Xi,X2/-',Xn 」P （A ）所以 E(Xi) = A , D(Xi) = A ,= E {X } + 1E {X ^\1 n V1因为 1 <1 +—，所以 E(T 1 )V E (T2 )• n11 1又因为 D (T J=D ^ X i H — n ”D(X) = —D ( X }=- n y n1+—，所以 D CT J )<D (T2 )• n、填空题（9〜14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上.）(9)【答案】e3x(l +3x ).从而有1 nE(T 1 )=E(-Z ： n i 吕 1Xi H-E(ZnX i )n E X )= E ( XE(T 2 ) = En 4送X iy.n 一1 ynJ丿n -11E(S X i )+-E(X n ) y nn411 1 D(T 2 )=D(— S X i +-X n) =n(n-1)21心任 X i )+—D(X n ) nnJi=1n JX)丄1f 1+yD (x ) = | — I n T由于当n >2时,【解析】因为f (X ) = 1迪x (1 +3t 卩=xl t im [(1 +3t 严J所以，f '(X )=e 3x (1 +3x )•(10)【答案】(1+21 n2)(dx -dy ).【解析】= (1+2ln 2)dx —(1+21 n 2 )dy 或dz (“)=(1+2In 2)(dx-dy ).(11)【答案】y = —2x .f 兀\I 解析】方程怡屮+厂彳7的两端对X 求导，有sec2[x +y+4}(n ,故切线方程为：y=-2x .4(12)【答案】-H3【解析】如图2所示:V =兀 f y 2dx'1 Jx 乎=(1异/ dx yx,乎=(1+与 dy y2 -x 2ln(1+»「y xyy y[y .[y .「1x3t (t3x I = x e所以，dx(1,1)=21 n 2+1 , dZdx =-1 -2ln2 ,从而dz 将X =0, y =0代入上式，有12兀COS —(1 + /)=y '，解得 y [(o,o 厂-2,2=兀 t (x2T )dx 4=—兀3正交变换下的标准形为 3y 2 •(14) 【答案】4( 42 + CT 2).【解析】根据题意，二维随机变量(X,Y )服从N (巴巴cr 2,cr 2；0 ).因为Pxy=O ,所以由2二维正态分布的性质知随机变量 X,丫独立，所以X,Y •从而有E (XY 2 )=E (X )E (Y 2 )= k [D (Y )+E 2(Y )卜巩卩2 +十).三、解答题(15〜23小题，共94分•请将解答写在答题纸.指定位置上，解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)【解析】lim 近逐丘士1xTxl n (1+x )$ ------- ”2cosxT = lim -------- T 2x cosx - J 1 +2sin x =lim ----- 丿 —xT 2X 5+ 2si nxI【解析】因为 A 的各行元素之和为 3，所以A1 =311 1 ，故3为矩阵A 的特征值I1丿由r(A) =1知矩阵A 有两个特征值为零，从而>1 = 3,^2 =為=0 •(13)【答案】Syf .由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值,所以二次型在j 1+2sin X -x -1 =lim 2T x 2-2 c z&勺= f 「[(x +y ),f (x +y )]1+f12T(x +y ),f (x +y n f2(x,y)+{ f2^(x +y ), f (X + y )]+ f2^(x + y ),f (X +y )]f2(x,y)}f(x,y) +f H(x +y ) f (X +y )}f j(x,y )由于 f (1,1 )=2 为 f (u,v )的极值，故 仏'(1,1)= f2'(1,1 )=0 ,尸2z所以，=时'(2,2 ) +f2'(2,2 )讦12”(1,1 )•<x c y(17)(本题满分10分)【解析】令t = T x ，则X =t 2, dx =2tdt ，所以arcsin迄+ lnX dx=「arcs in^l ntv x2-*2tdt =2j(arcsint +ln t 2dt =2tt 2arcsint-2 f( dt +2t Tn t -2ft7-12.=2tarcsint + fd(1 t+2t Tn t 2-4t山-12=2tarcsint +2J 1 -t 2 +2t ”lnt 2-4t + C =W x arcsin 仮 + 2奴ln x +2J 1 -x -4仮 + 0cosX - +2sin x2x cosx-Sin X 1 +2sin X2cosx(16)(本题满分10分)F z【解析】一=f 1[(x +y), f (x, y)] + f^Kx + y), f(x,y)]十1(x,y)e x=_ lim —fx -02J 1 +2sin x 1 =——(18) (本题满分10分)【解析】设f(x) =4arctanx —x +竺-亦，3f '(X)=0，解得驻点 X — J 3, x 2 =.所以，当x < -73 时， f'(X)v0，故 f (x)单调递减；当一 J 3<X €J 3 时，f'(X)A0，f(x)单调递增；当x >J 3时，f'(x)v0，故f (x)单调递减.又当 X N ，,—J 3)U (-73,J 3)时 f(x)>0,且 f(-J 3)=0，故 迟(亠,J 3)时只有一个零点;点定理可知，存在 x 0 畑)，使 f (X0 ) = 0 ；所以，方程4arctanx —x +空—J 3 = 0恰有两实根. 3 (19) (本题满分10分)f(x 」」-x)(Q x)1+x1+x I 2又 f (胎)=寸—2>/3 A0，j mf (x )=>im (“ 4兀 厂4arctan x-x + — -v 3 3 =虫< 0，由零 J；；f (x + y)dxdy1tip(x + y)dyt= .0(f(t)-f(x))dxt1 2由题设有 tf (t) 一 f (x)dxf(t)， 上式两端求导，整理得(2-t)f ⑴=2f(t),为变量可分离微分方程，解得f(t)(t -2)24带入f(0)=1，得C=4•所以，f(x)=E,0兰XH(20)(本题满分11分)对(P l, P2, 4,8,02,03)进行初等行变换:Ct i,Ct2,Ct3不能由P i,P2,P3线性表示.(II)对(8,5,5, P i, P2, P3)进行初等行变换:©02,03, P i, P2, P3)= "1J1 i13M5"3、45><01 !13i1■I4i、0 1!1 1 3、T0 1 3i1 2 4/0 011-1 0 -2>122342I100 ' 2I0\ 41丨-1510-2>故=2% +4^2 —a+ 10^2(21)(本题满分11分) f l【解析】(I)由于A I 0IIT、匚1 i]= 0 07J i>11，设a 1 =(1,0, —1)T02=(1,0,1 )'，则【解析】(I)由于Ct i,Ct2,Ct3不能由P i, P2, P3线性表示，3 (P i, P2, 6,01,02,5)= 1 3!4ebb 3 !I I1 i I Ia-5 11-121-1r,20>当a =5时，r( P i, p2, P3)=2 H r(P i, P2,亠,8) =3，此时, %不能由P l, P2, P3线性表示，故2,722 2 00 逅 丘 22丘 丘 2 2 0 0丘2眨2 0<72 2返2 02旦2 02返2 0= -1^2 =1，对应的特征向量分别为k i ot i (k i 工0 ), k ^2 (k ^0).令Q = (P i, d , p 3 )，贝y QTAQ =AA =QAQ TA g ,% ) = (-«1,(/2 )，即二七"A t 2=a 2，而 ％ 工0,(/2 工0 ,知A 的特征值为由于r (A )= 2，故l A =0，所以 由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设 h=0对应的特征向量为4 =(X 1,X 2, X 3丨，则 “ T 阴3 =0,即!X 1-X 3=0, =0, 01 + X 3 = 0. 解此方程组，得a 3 =(0,1,0$ ，故為=0对应的特征向量为 k 3a^ k 30 ).(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化: P i - 1(1,0,—1$，卩2 =1 T n 二逅(1,0,1)川3T= (0,1,0).5122/(22)(本题满分11分)【解析】(I)因为P {x2= Y2}=1，所以P {X2H Y2}=1-p{x2= Y2}=0 .即p{x =0,Y = —= p{x =0,Y =1} = p{x =1,Y=0} = 0 .利用边缘概率和联合概率的关系得到1 p{x =0,Y =0} =p{x =0}-P {x =0,Y =-1}-P{x =0,Y = 1}=—；31p{x =1, Y = —1} = P{Y = —1}-P{X =0, Y = -1}=—;31p{x =1,Y =1} = p{Y =1}-p{x =0,Y = 1}=-.3即(X,Y )的概率分布为-11/3其中1/3 0(II) Z的所有可能取值为-1,0,1.P fe = —1} = P {x =1,Y = —1}=—.1 p{z =1} = p{x =1, Y =1}=-3p{z = 0}=1-p{z 二讣-p{z i1Z = XY的概率分布为-11/31/3(III)因为P XY- CMXY) -E(X Y)-E(X)口Y)—J D(X)7D I Y J D(X)7D G1 1E(XY )=E(Z )=—1 丄+0 丄+13 31 1 1 1 严，E(Y lyoj1丁0.所以E(XY )—E(X ) E(Y ) = 0, 即x , Y的相关系数P xY = 0 .（23）（ 本题满分11分）【解析】二维连续型随机变量（X,Y ）的概率密度为f （x y ） =F ,0 w y"y <x <2-y, [0,其它.,,乂x(I )当 0 e x <1 时，f x (X)= J f (x, y)dy = 01dy = x •2 _x当 1<x v 2时，fx(x) = r f(x, y)dy = f "gy =2-x •-_oC-0X 的边缘概率密度为fx （X ）= <2 —x,L0,（II ）当Ocyd 时，丫的边缘概率密度为-be2」f Y (y)= j f(x,y)dx= J 1dx = 2-2y •"" y当Ocycl 时，f xY （x|y ）有意义，条件概率密度I 9f xYg yjfx^ 才右, 〔0,y<x<2-y,f Y (y) 其它.X,0< x<1, 1<x<2,其它.【解析】JJ f (t)dxdy = — t f (t)，2D t。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==. (B) 1,4k c ==-. (C) 3,4k c ==. (D) 3,4k c ==-.(2) 已知函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则()()2332limx x f x f x x→-=( )(A) -2()0f '. (B) -()0f '. (C) ()0f '. (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是( ) (A) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛. (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛. (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121P P -． (6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-．(B)23121()2k -+-ηηηη． (C) 23121231()()2k k ++-+-ηηηηηη．(D) 23121231()()2k k -+-+-ηηηηηη．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A) 12()()f x f x ． (B) 212()()f x F x ．(C) 12()()f x F x ． (D) 1221()()()()f x F x f x F x +． (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体X 的简单随机样本，则对应的统计量111,n i i T X n ==∑ 121111n i n i T X X n n-==+-∑( ) (A) 12()()E T E T >，12()()D T D T >． (B) 12()()E T E T >，12()()D T D T >． (C) 12()()E T E T <，12()()D T D T <． (D) 12()()E T E T <，12()()D T D T <． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . (12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E XY = ．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分)求极限0x →．(16) (本题满分10分) 已知函数(),fu v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，(),,=+⎡⎤⎣⎦z f x y f x y ，求()21,1zx y∂∂∂.(17) (本题满分10分)求. (18) (本题满分10分)证明44arctan 03x x π-+=恰有2实根. (19) (本题满分10分)设函数()f x 在[]0,1有连续导数，(0)1f =，且()()ttD D f x y dxdy ft dxdy '+=⎰⎰⎰⎰, {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t D x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T T ααα===，不能由向量组1(1,1,1)Tβ=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示． (21) (本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A ．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为且{}221P X Y ==．(Ｉ)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II)求Z XY =的概率分布； (III)求X 与Y 的相关系数XY ρ． (23) (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的区域．(I)求边缘概率密度()X f x ； (II)求条件密度函数|(|)X Y f x y ．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1)【答案】(C)． 【解析】因为03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limkx x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx--→→-== 304lim1k x cx -→==．所以4,3c k ==，故答案选(C). (2)【答案】(B)． 【解析】()()2332limx x f x f x x→-()()()()22330220limx x f x x f f x f x→--+=()()()()33000lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤--⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-．故答案选(B).(3)【答案】(A).【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确. 方法2：排除法，举反例． 选项(B)取(1)nn u =-，这时21211()0n n n n uu ∞∞-==+=∑∑收敛，但11(1)nnn n u ∞∞===-∑∑发散，故选项(B)错误；选项(C)取1(1)n n u n --=，这时111(1)n n n n u n -∞∞==-=∑∑收敛，但212111()n n n n u u n∞∞-==-=∑∑发散，故选项(C)错误；选项(D)取1n u =，这时21211()0n n n n uu ∞∞-==-=∑∑收敛，但111n n n u ∞∞===∑∑发散，故选项(D)错误．故正确答案为(A).(4)【答案】(B)．【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x <<．故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP-=． 由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(6)【答案】(C)．【解析】由于123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，所以3121,ηηηη--是0Ax =的两个线性无关的解，即0Ax =的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项．又因为2302A ηη-=，所以232ηη-是0Ax =的解，不是Ax β=的解，故排除(D)选项，因此选(C)．事实上，由于123,,ηηη是Ax β=的三个线性无关的解，所以2131,--ηηηη是0Ax =的两个线性无关的解，即0Ax =的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即3()2r A -≥，故()1r A ≤．由于A O ≠，所以()1r A ≥，故()1r A =．这样，0Ax =的基础解系中正好有2个线性无关的解，由此知2131,--ηηηη是0Ax =的一个基础解系．因为123,,ηηη是Ax β=的解，所以23,A A ηβηβ==，因此232A ηηβ+=，所以232ηη+是Ax β=的一个特解．由非齐次线性方程组解的结构，可知Ax β=的通解为23121231()()2k k ++-+-ηηηηηη．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞-∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度. (8)【答案】(D)． 【解析】因为12,,,()nX X X P λ，所以()i E X λ=，()i D X λ=，从而有()()()1111()11()n ni i i i X E X E T n n n nE E X E X λ===⋅⋅====∑∑()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n ．因为111n<+，所以()()12<E T E T ．又因为 ()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n．()11221121111()()1(1)()--==+⋅+--==∑∑n n i n i n i i X X D X D n n D n D X n T2211(111)()1D X D X n n n n λ=⋅+⋅-⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭ ．由于当2≥n 时，21111<+-n n n，所以()()12D T D T <． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9)【答案】()313xex +.【解析】因为()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅，所以，()()313'=+xf x e x .(10)【答案】()()12ln 2dx dy +-.【解析】ln(1)(1)xxxy y yx z e y+=+=,11(1)ln(1)1x y dz x x x y x dx y y y y y ⎡⎤⎢⎥=+++⋅⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦,22(1)ln(1)1xy x dz x x x x y x dy y y y y y ⎡⎤-⎢⎥=+-++⋅⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，所以，(1,1)2ln 21dz dx =+，(1,1)12ln 2dz dx =--， 从而 ()()()1,112ln 212ln 2dz dx dy =+-+或()()()1,112ln 2dz dx dy =+-.(11)【答案】2y x =-.【解析】方程tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的两端对x 求导，有 ()2sec 14y x y y e y π⎛⎫''++⋅+= ⎪⎝⎭，将0,0x y ==代入上式，有()211cos4y y π''+=，解得()0,02y '=-，故切线方程为：2y x =-.(12) 【答案】43π. 【解析】如图２所示：221V y dx π=⎰()2211xdx π=-⎰ 43π=．(13)【答案】213y ．【解析】因为A 的各行元素之和为3，所以1113111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3为矩阵A 的特征值．由()1r A =知矩阵A 有两个特征值为零，从而1233,0===λλλ．由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为213y ．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分)【解析】()20011limlim ln 1x x x x x x x→→--=+ 0x →= 0x →=000cos lim21.2x x x x x→→→===-=- (16) (本题满分10分) 【解析】121[(),(,)][(),(,)](,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂ ()()()()()()()(){}()()()211122212221212,1,(,),,(,)(,),,zf x y f x y x yf x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ∂''=++⋅⎡⎤⎣⎦∂∂'''+++⋅⎡⎤⎣⎦''''''++++++⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦'''+++⋅⎡⎤⎣⎦由于()1,12f =为(),f u v 的极值，故()()121,11,10f f ''==，所以，()()()2112122,22,21,1.zf f f x y∂'''''=+⋅∂∂ (17) (本题满分10分)【解析】令t =，则2x t =,2dx tdt =，所以2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰2222arcsin 22ln 2tt t t t t dt t=⋅-+⋅-⋅⎰⎰222arcsin 2ln 4t t t t t =⋅++⋅-22arcsin 2ln 4t t t t t C =⋅+⋅-+.x C =+(18) (本题满分10分)【解析】设4()4arctan 3f x x x π=-+则24()11f x x '=-=+， 令()0f x '=，解得驻点12x x ==.所以，当x <()0f x '<，故()f x单调递减；当x <<()0f x '>，故()f x单调递增；当x >()0f x '<，故()f x 单调递减.又当(,(3,3)x ∈-∞-时()0f x >，且(0f =，故(x ∈-∞时只有一个零点；又803f π=->，()4lim lim 4arctan 03x x f x x x π→+∞→+∞⎛=-+=-∞<⎝，由零点定理可知，存在)0x ∈+∞，使()00f x=；所以，方程44arctan 03x x π-+=恰有两实根. (19) (本题满分10分) 【解析】21()()2tD f t dxdy t f t =⎰⎰，000()()(()())()()ttt xD t tf x y dxdy dx f x y dyf t f x dx tf t f x dx-''+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰由题设有 201()()()2ttf t f x dx t f t -=⎰，上式两端求导，整理得(2)()2()t f t f t '-=，为变量可分离微分方程，解得2()(2)Cf t t =-，带入(0)1f =，得4C =. 所以，24(),01(2)f x x x =≤≤-. (20) (本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭， 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-．(21) (本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x -=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==-====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ022012200110220010022⎛-⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭0220001220000000221000100⎛-⎛⎫ - ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．【解析】(I)因为{}221P X Y ==，所以{}{}222210≠=-==P X Y P X Y ． 即 {}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==-=======． 利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}10,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y ====-==--===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ==-==--==-=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ====-===．即(II)Z 的所有可能取值为1,0,1-．{}{}111,13P Z P X Y =-===-=．{}{}111,13P Z P X Y =====．{}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=．Z XY =的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ-⋅==，其中()()1111010333E XY E Z ==-⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =-⋅+⋅+⋅=．所以()()()0-⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ．【解析】二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为1,01,2,(,)0,.y y x y f x y <<<<-⎧=⎨⎩其它(Ｉ)当01x <<时，0()(,)1xX f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰．当12x ≤<时，20()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰．X 的边缘概率密度为, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它.(II)当01y <<时，Y 的边缘概率密度为2()(,)122yY yf y f x y dx dx y +∞--∞===-⎰⎰．当01y <<时，|(|)X Y f x y 有意义，条件概率密度|1, 2,(,)22(|)()0, X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其它.。
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今年数学三的选择题总体难度适中，以考查考生基本的概念、简单的计算或简单的逻辑推理能力为主。
其中，高数的4道题，一道考查无穷小的比较，一道考查导数的定义，另外两道分别考查级数的收敛性和定积分的比较。
无穷小量的比较这道题比较简单，利用等价无穷小的概念直接相除求极限或泰勒公式就能得到答案。
下面一题也是以极限形式给出的，但在计算时需要用到导数的定义，很多考生在做这道题时可能会用到洛必达法则，严格来说是不正确的，但由于本题是选择题，实际上也不妨碍正确答案的得出。
级数收敛性这种题是大多数考生比较害怕的，但今年这道题考得比较简单，只要记住级数最基本的几条性质和一些常见的反例就可以得到正确的答案了。
最后一个定积分比较大小，由定积分的性质可知实际上是比较被积函数的大小，只要记住一些常见的不等式本题就很容易得到正确的大小关系。
线代这两题分别考查初等矩阵和线性方程组的通解，只要记住相关的定理即可。
概率论的两题一题考查随机变量分布的基本性质，另一题考查数理统计中常见统计量的性质。
其中随机变量分布这一道题比较灵活，在计算积分的时候要用到分部积分法，可能会给考生在计算时造成一定的障碍。
后面一题只要记住简单随机样本的定义再掌握常见的数字的计算公式即可。
总的来说，选择题比较强调考生对基本概念、基本性质的理解，有比较综合的题目，也考查到了一些比较小的知识点。
考生在复习时要力求全面，注重知识点理解和联系，方能在解题时比较顺手。
考完数学走出考场，相信很多考生的感觉会是松了一口气。
今年的试题难度相比去年略有降低，出题的方向和题目的类型也都完全在预料之类。
没有偏题怪题，也没有计算量特别大的题目，只要考生有比较扎实的基本功，复习比较全面，是比较容易拿到高分的。
所以，我们预计考生今年的成绩会好于去年，分数线也会有所上升。
今年的概率比去年的难度降低了一些，对于概率的分数考生应该是容易拿到分数的，这就会将整体分数提高。
如果考生因为时间不充裕，而没有完成概率的2个解答题，那是非常遗憾的，所以考生在做题的时候一定要注意时间的分配，注意题目的难易。
数学三的(7)延续了10年数学三的(8)的思路，都是考察了概率密度的性质。
如果对于随机变量最大值的分布函数和概率密度熟悉，那这个题目可以直接写出选项。
数学三的(8)考察的是数理统计的数字特征，这与我们的预测是完全吻合。
只要掌握住样本均值的数学期望，这个题目的计算还是比较简单的。
数学三的(14)题考查的是二维正态分布和数字特征。
只有在二维正态分布中，独立与不相关是等价的，掌握住这个性质，同时结合数字特征的性质，这个题目就迎刃而解了。
今年数学三概率论与数理统计的两道考题集中在多维随机变量这一块，其中离散型一道题，连续型一道题，出题的方式比较常规，总体难度不大。
数学三的(22)题第一问与99年的二题的(5)是类似的，都是考察的二维离散型随机变量的概率分布。
离散型随机变量的计算主要围绕概率分布进行，有了概率分布，无论是求随机变量函数的概率分布，还是求随机变量的数字特征，都是比较容易求解的。
本题一个关键的知识点是若事件发生的概率为1，则转化为它的逆事件发生的概率为0，结合它的子事件的概率为0，就可以得到二维离散型随机变量的概率分布。
条件概率密度是概率中的重点和难点，11年数三的概率延续了10年数三的概率的命题思路，又考查了边缘概率密度和条件概率密度，但与10年的试题又略有不同。
10年的边缘概率密度直接计算即可，但是11年的边缘概率密度是分段的，并且在不同的区间内边缘概率密度的表达式是不同的。
能准确地划分区间，并且确定积分的上下限，这是本题的关键。
很好地理解条件概率密度的定义，这个题目是很好求解的。
这个题目的得分可能比上个题目的得分要低一点。
总体来说，今年数学三概率论的考题比较偏重考查考生的对基本的计算公式的掌握程度，突出了概率论的核心研究对象：随机变量。
考生在复习时要注重对基本概念的理解，对常见的公式要多加练习，以求熟练掌握。
同时，高数的基础对概率论的影响还是比较大，需要引起关注。
2011年硕士研究生入学考试刚刚结束，数学真题体现了大纲中要求的三个“基本”--基本概念、基本理论、基本方法，总的说来知识点是不变的，变的只是出题的方式和角度，只有对基本概念、基本定理有充分的理解、把握和运用，以不变应万变才是取胜之道，下面我给备考2012年考研的同学们一些建议。
一、结合大纲进行复习.大纲不仅是命题人要遵循的法则也是我们复习的依据。
2009年、2010年和2011年连续三年的考试大纲一字未变，而且数学考试大纲即使有变化也不会多大，大家沿用前面三年的考试大纲就可以。
细心的同学可能注意到了，对不同知识点大纲有不同的要求，有要求理解的，有要求了解的，有要求掌握的，也有要求会求会计算的。
那么我们应该怎么来对待呢？在基础阶段的复习中，大家不要在意这几个字的区别，从历年试卷的内容分布上可以看出，凡是考试大纲中提及的内容，都有可能考到，甚至某些不太重要的内容，也可以以大题的形式在试题中出现。
由此可见，以押题、猜题的复习方法来对付考研靠不住的，很容易在考场上痛失分数而败北，应当参照考试大纲，全面复习，不留遗漏。
二、重视做题质量。
基础阶段的学习过程中,教材上的题目肯定是要做的，那是不是教材上的所有题目都需要做呢？具统计，《高等数学》的教材上题目共1900多道，《线性代数》教材上共400多道题目，《概率论与数理统计》教材上共230多道。
学习数学，要把基本功练熟练透，但我们不主张“题海”战术，其实上面我们已经清楚大约要做的题目数量，这个阶段我们提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多解，一题多变。
要训练抽象思维能力，对些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要做到不用书写，就象棋手下“盲棋”一样，只需用脑子默想即能得到正确答案，这样才叫训练有素、“熟能生巧”。
基本功扎实的人，遇到难题办法也多，不易被难倒，相反，作练习时眼高手低总找难题做的人，上了考场，遇到与自己曾经做过的类似的题目都有可能不会。
不少考生把会作的题算错了，将其归结为粗心大意，确实人会有粗心时，但基本功扎实的人，出了错能立即发现，很少会“粗心”地出错。
三、重视复习效果。
复习不是简单的生记硬背所有的知识，是要抓住问题的实质和各内容、各方法的本质联系，把要记的东西缩小到最小程度，要努力使自已理解所学知识，多抓住问题的联系，少记一些死知识。
而且记住了就要记牢靠，事实证明，有些记忆是终生不忘的，而其它的知识又可以在记住基本知识的基础上，运用它们的联系而得到。
看教材的过程中一方面要提高复习效率，不和别人比速度。
要做到能用自己的语言叙述概念和定理，切忌“一知半解”；不要一味做题而不注意及时归纳总结，及时总结可以实现“量变到质变”的飞跃；不要急于做以往的“考研试卷”，等到数学的三门课复习完毕并经过第二阶段的复习再做，这样的效果会更好些。
深刻理解考试大纲中要求的概念、定理，熟练掌握课后习题，以后遇到模棱两可的问题时，也经常重翻课本，能做到对教材的脉络熟透理解，对做题速度和质量都具有很大的帮助。
最后，祝愿所有备考考生都能取得令自己满意的数学成绩。
目前，考生正处于考研第一轮复习时期，这个时间段主要是扎实基础阶段。
数学的第一轮复习都安排在起步期（3-6月），因为数学复习具有基础性和长期性的特点，内容多而杂，量很大，因此第一轮复习宜早不宜迟。
复习之始，很有必要先把数学课本通看一遍，主要是对一些重要的概念，公式的理解和记忆，当然有可能的话顺便做一些比较简单的习题，效果显然要好一些。
这些课后习题对于总结一些相关的解题技巧很有帮助，同时也有助于知识点的回忆和巩固。
需要强调的一点就是，在掌握了相关概念和理论之后，首先应该自己试着去解题，即使做不出来，对基本概念和理论的理解也会深入一步。
因为数学毕竟是个理解加运用的科目，不练习就永远无法熟练掌握。
解不出来，再看书上的解题思路和指导，再想想，如果还是想不出来，最后再看书上的详细解答。
看一道题怎么做出来不是最重要的东西，重要的是通过你自己的理解，能够在做题的过程中用到它。
因此，在看完例题之后，切莫忘记要好好选两道习题来巩固一下。
不要因一些难题贬低自己的自信心，坚信等若干月复习之后回头看这些题就是小菜一碟。
这样艰苦复习的结果应该是：对基本概念、基本理论的理解更深入了一层，基本熟悉了考研数学考查的内容，并且掌握了一些基本题型的解题思路和技巧。
这个时候如果可能的话最好通读一遍考研的数学大纲，有助于进一步把握内容概貌，考试题型，试题难度等。
考研大纲严格划定了各类专业考生应考的范围和难度要求，是考生制定计划的依据。
仔细阅读，并结合近两年的考题，体会本专业类数学考题的题型类别和难度特点，与考研大纲无关的内容坚决不看。
随考纲同时出版的还有一本《考试分析》，很多考生忽略了这一本优秀的考研参考书，是很可惜的。
《考试分析》将考纲的要求具体化，并配以相应难度值的试题进行解析。
通读该书对把握重点难点，掌握标准解答模式很有裨益。
对第一轮要求如此之严，目的在于为下一轮的数学复习打下坚实的基础。
总之，第一阶段的复习要体现以下三点：第一，吃透考研大纲的要求，作到准确定位；第二，重视对基本概念、基本定理和基本方法的复习，打好基础；第三，在循序渐进，合理安排时间，切忌搞突击。
数学成绩是长期积累的结果，准备时间一定要充分。
要对各个知识点做深入细致的分析，注意抓考点和重点题型，在一些大的得分点上可以适当地采取题海战术。