沪科版八年级下册数学 17.4一元二次方程的根与系数的关系 课件(共16张PPT)
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《一元二次方程的根与系数的关系》课件(共16张PPT)
2
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是 ， k 的值是 7 。 5
还可以把 x
2 代入方程的两边，求出 k
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3 x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴(
k 1 2
, x1x2=
k 3 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4 ( k 1) 2 4 k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是 ， k 的值是 7 。 5
还可以把 x
2 代入方程的两边，求出 k
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3 x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴(
k 1 2
, x1x2=
k 3 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4 ( k 1) 2 4 k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0
沪科版八年级下册数学：17.4 一元二次方程的根与系数的关系 (共19张PPT)
2018年安徽省一师一优课实录
沪科版本数学学科八年级下册第17单元第四课
根与系数的关系
复习回顾
1、一元二次方程的概念？ 2、一元二次方程的解法有哪些？ 3、解一元二次方程的注意事项？
1.一元二次方程的一般形式是什么？
a2xb xc0(a0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
xbb24ac(b24a c0) 2a
说一说
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
1、 x2 - 2x - 1=0
x1+x2=2
x1x2=-1
2、 2x2 - 3x + 1
2
=0
x1+x2=3/2
3、 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
x1x2=1/4 x1x2=0
4、 3x2 = 4
x1+x2=0
x1x2= -4/3
例1 已知方程2x2 +kx-4=0的一个根是-4 ，求它
边上的中线长.
拓展练习：
已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0（m﹥0） （1）此方程有实数根吗？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为x1 ， x2 ，且 （x1-3）（x2-3）=5m，求m的值．
小 结：
1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法．
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
沪科版本数学学科八年级下册第17单元第四课
根与系数的关系
复习回顾
1、一元二次方程的概念？ 2、一元二次方程的解法有哪些？ 3、解一元二次方程的注意事项？
1.一元二次方程的一般形式是什么？
a2xb xc0(a0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
xbb24ac(b24a c0) 2a
说一说
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
1、 x2 - 2x - 1=0
x1+x2=2
x1x2=-1
2、 2x2 - 3x + 1
2
=0
x1+x2=3/2
3、 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
x1x2=1/4 x1x2=0
4、 3x2 = 4
x1+x2=0
x1x2= -4/3
例1 已知方程2x2 +kx-4=0的一个根是-4 ，求它
边上的中线长.
拓展练习：
已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0（m﹥0） （1）此方程有实数根吗？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为x1 ， x2 ，且 （x1-3）（x2-3）=5m，求m的值．
小 结：
1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法．
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
《一元二次方程根与系数的关系》PPT课件 (共16张PPT)
一、知识要点：
1、一元二次方程的一般形
式
ax2＋bx＋c=0 (a≠0)
。
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1 、x2 c b 则x1＋x2＝ ，x1x2＝ a 。 a
3、用根与系数关系解题的条件 是 （1）a≠0 （2）△≥0 。
二、典型例题
例题1：已知方程 x1,x2， （1）（x1－x2）2
（ 3）
1 2
x2＝2x＋1的两根为
不解方程，求下列各式的值。 （2）x13x2＋x1x23
x2 x1 x1 x2
提 高 练 习
3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD， AD⊥DC，AD=10cm， A B 以AD 为直径的⊙O切另 E 一腰于E，以AB、CD为 O 根的方程是X2-12X+m=0， 求m的值。
x,则
2
答：方程的另一个根是 k根的和与两根
的积各是多少?（不解方程）
（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用
根与系数的关系，求下列各式的值。 x2 x1 （1）（ x1+1）（x2+1）（2）— + — x1 x2
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
例题2：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的根与系数的关系》公开课课件.ppt
７/（－３／２）＝－１４／３
可否利用(X1+X2) 和X1X2的表达式表示下列各式?
(1) (X1-X2)2 (=X1+X2)2 4X1X2
(2) ︱X１－X２︱＝ x1x224x1x2
(3) X13+X23 (=X1+X2)[(X1+X2)23X1X2]
你想到了 吗??
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是 x1,x2 那么 x1+x2=－b/a, x1·x2=c/a
练一练:
已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条 求出p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6
(3) x1= －√7, x2=√ 7
(4) x1=－2+√5 ,x2=－2√5
P = －9 , q =P =6 9 , q = － 54 P = 0 , q =－21
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
解下列一元二次方程
(1)x2-12x+11=0 ;
(2)x2-9=0
(3)4x2+20x+25=0
解: (x-11)(x-
解:(x+3)(x-
解:(2x+5)2=0
1)=0 x1=11 , x2=1
3)=0 x1=3, x2=－ 3
x1=x2=-2.5
求出两根之和与两根之积?
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other
沪科版八年级下册数学：17.4 一元二次方程的根与系数的关系 (共12张PPT)
2
x1＝
k 5
，
2
x1＝
6 5
5x2 7x 6 0
解之得：x1＝2，x2＝-
3 5
∴x1＝-
3 5
，k＝-7
∴k 7，方程的另一个根为- 3 5
变式:已知方程5x2+6x-k=0的一个根是2,则它
的另一根为
,k的值 32 .
小结:
本节课我们学习了:
1.一元二次方程根与系数的关系: 注意:Δ≥0 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是 x1、x2,那么:
(1)x2+7x+6=0
(2)2x2-3x-2=0
自学检测:
应用1:求两根之和与两根之积 1.不解方程,求两根之和与两根之积(口答).
(1)x2 3x 1 0
x1+x2=3 x1x2=-1
(3)3x2 7x 0
x1+x2= x1x2=0
(5)x2 x 1 0
(2)3x2 2x 5 0
复习:(1分钟)
1.关于x的一元二次方程的一般形式为
.
ax2+bx+c=0 (a≠0)
2.一元二次方程的求根公式为
.
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
沪科版
17.4 一元二次方程的 根与系数的关系
学习目标:
1.掌握一元二次方程根与系数的关系,并能熟练 运用;
2.注意:特殊到一般(转化)的数学思想.
x1+x2=
, x1·x2=
,
2.根与系数关系的常见应用及解题方法;
3.注意:特殊到一般及转化的数学思想;
作业
1、课外作业 P39面练习第1、2、3题 2、课堂作业 P40面习题17.4第1、2、3题
沪科版数学八年级下册同步课件：1一元二次方程的根与系数的关系
2x2－5x＋1＝0 5 17 5 17 5
1
4
4
2
2
根据你的视察，猜想： 方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根如果是x1，x2，那么 x1＋x2＝____ab___, x1x2＝___ac____. 你能证明上面的猜想吗？
我们知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两根为：
x1 b
1 1 x1 x2 x1 x2 x1 • x2
4. 已知关于x的一元二次方程x2+x+m2-2m=0有一个 实数根为-1,求m的值及方程的另一个实数根.
解:设方程的另一根为x2, 则-1+x2=-1,解得x2=0. 把x=-1代入x2+x+m2-2m=0,得(-1)2+(-1)+m2-2m=0, 即m(m-2)=0,解得m1=0,m2=2. 综上所述,m的值是0或2,方程的另一个实数根是0.
第17章 一元二次方程
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识回顾 1.一元二次方程的一般情势是什么？
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？ x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
获取新知
探究 在前面17.2节中，我们学过，一元二次方程的每一个
则x1·x2的值是( D )
A．4
B．－4 C．3 D．－3
2. 已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( A )
A．x2－7x＋12＝0
B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0
D．x2－7x－12＝0
3.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则 x1+x2 = ___4___ , x1x2 = ____1___， x12+x22 = (x1+x2)2 - _2_x_1_x_2___ = __1_4__, (x1-x2)2 = (_x_1_+_x_2_)2 - 4x1x2 = __1_2__.
八年级下册沪科版数学教学课件第17章一元二次方程(14)17.4一元二次方程根与系数的关系
2
因此，x1+x2=？
x 1x 2= ？
∵ x1 b b 4ac , 2a
2
b b 4ac x2 2a
2
∴ x1+x2=______________________ x1x2=_____________________。
由此得出，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的根与系数之间存在下列关系：
I love you more than I've ever loved any woman. And I've waited longer for you than I've
waited for any woman. I love you more than I've ever . And I've waited longer for you than
第17章 一元二次方程
复习提问 1.一元二次方程的解法
2.求根公式
一元二次方程的一般形式：
2
方程的判别式：
ax bx c 0 a 0
b 4 ac
2
2
当∆≥０时，方程才有解，可以用求根 公式写出它的根。
b b 4ac 求根公式为： x 2a
我们已经知道，一元二次方程： ax2+bx+c=0（a≠0）的根的值由方程中的
例1 已知关于x的方程2x2+kx-4=0的一个跟为-4, 求它的另一个根及q的值。 解：设2x2+kx-4=0的另一个根为x2，则 -4x2=（-4）/2
解得x2=1/2 由根与系数之间的关系得 k=7 因此，方程的另一个根为1/2，k的值为7. 你还能用其它的方法解答此题吗？试试看。
因此，x1+x2=？
x 1x 2= ？
∵ x1 b b 4ac , 2a
2
b b 4ac x2 2a
2
∴ x1+x2=______________________ x1x2=_____________________。
由此得出，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的根与系数之间存在下列关系：
I love you more than I've ever loved any woman. And I've waited longer for you than I've
waited for any woman. I love you more than I've ever . And I've waited longer for you than
第17章 一元二次方程
复习提问 1.一元二次方程的解法
2.求根公式
一元二次方程的一般形式：
2
方程的判别式：
ax bx c 0 a 0
b 4 ac
2
2
当∆≥０时，方程才有解，可以用求根 公式写出它的根。
b b 4ac 求根公式为： x 2a
我们已经知道，一元二次方程： ax2+bx+c=0（a≠0）的根的值由方程中的
例1 已知关于x的方程2x2+kx-4=0的一个跟为-4, 求它的另一个根及q的值。 解：设2x2+kx-4=0的另一个根为x2，则 -4x2=（-4）/2
解得x2=1/2 由根与系数之间的关系得 k=7 因此，方程的另一个根为1/2，k的值为7. 你还能用其它的方法解答此题吗？试试看。
17-4 一元二次方程的根与系数关系 课件 22--23学年沪科版八年级下册数学
引例1
解答
一正一负
不解方程，判断方程2x2＋31x－7＝0的两个根的符号__________．
b
x1 x2 a ，
c
7
x
x
0 ，所以两个根为一正一负．
因为 1 2
由根系关系
a
2
x1 x2 c ，
a
引例2 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个正根，则a，b，c的符号分别
＝4k2＋4k＋1－2k2＋8
＝2k2＋4k＋9
＝2（k＋1）2＋7，
∵无论k为何实数，2（k＋1）2≥0， ∴2（k＋1）2＋7＞0，即△＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
例4 已知关于x的一元二次方程 x 2 (2k 1) x 1 k 2 2 0．
2
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
关系，找出m2＋2m＝1，m＋n＝－2是解题的关键．
例6 已知x1，x2是方程x2－2(k＋1)x＋k2＋2k－1＝0的两个实数根，而a是关于y的方程
2
1
a
4
a
1
2
)
y －(x1＋x2－2k)y＋(x1－k)(x2－k)＝0的实数根，则代数式 (
a a 1 a 1
a
的值是______．
（1）则m2＋2m＋n的值为 0 ；
1
1
（2）求以 和 为根的一元二次方程．
m
n
1 1
1 1
构造一元二次方程
分析
求出
和 值
m n m n
解答 （2） ∵若m，n是方程x2＋x﹣1＝0的两个实数根， ∴m＋n＝－1，m·n＝－1
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何关系呢？你能证明你的猜想吗？ 思路：先将方程的二次项转化成1，再利用上面发现的结论来研究。
解：对于方程 ax2bxc0(a0)
因为 a0
所以 x2bxc0 aa
所 以 x1x2b a,x1x2a c
数学·
一元二次方程根与系数的关系 证明：
已知：如果一元二次方程 a2xb xc0(a0) 的两个根分别是 x 1 、x 2 。
p、q之间有什么关系？
猜想： x1x2p x1x2 q
数学·
一元二次方程根与系数的关系
关于x的方程x 2 p q x 0 p 、 q 为p 常 2 -4 q 0 数 的两根x1， 、x2与
系数p、q之间的关系是：
猜想： x1x2p x1x2 q
（2）关于 x的方程 ax2bxc0(a0)的两根，与系数a，b，c之间又有
17.4一元二次方程的
根与系数的关系
数学·
一元二次方程根与系数的关系
数学老师的年龄？
金海伦：我有一个秘密，你想听吗？ 许小云：什么秘密？ 金海伦：你知道咱们可爱的数学老密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄是方
程 x211x270的两根的积，回去你把两根求出来就知道了。
数学·
一元二次方程根与系数的关系
作业 P40习题17.4 第1题、第3题
数学·
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是��
4. 3x27x0
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一元二次方程根与系数的关系
例1、下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
1、 2x2 5
2、 x210x22
3、 xx458x
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一元二次方程根与系数的关系
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一元二次方程根与系数的关系
例2、判断题
下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根。
1、 x25x401,4 不是
，k的值为7.
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一元二次方程根与系数的关系
例4、方程
2x23x10的两个根记作
x1
,
x
，不解方
2
程，求 x1 x 2 的值。
解 ：由韦达定理，得
x1
x2
32,x1x2
1 2
x1x22x1x224x1x2
3 2
2
4
1 2
1 4
x1
x2
1 2
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一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.运用韦达定理是要注意什么条件？
2、 x26x701,7 是
3、 3x25x2013,2
不是
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一元二次方程根与系数的关系
例3 、已知关于x的方程 2x2kx40的一个根是-4， 求它的另一个根及k的值。
解：设方程的另一个根是 x 2
4
x2
k 2
4 x2
4 2
解方程组，得
x2
1 2
k 7
答：方程的另一个根为
1 2
求证：
x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
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一元二次方程根与系数的关系
x1x2b2 b a 24a cb2 b a 24ac b b24acb b24ac
2a
2b 2a
b a
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一元二次方程根与系数的关系
x1x2b2 b a 24a cb2 b a 24ac
b2
b24ac 4a2
4 ac 4a2
许小云：呵，这还难不倒我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还可以
告诉你英语老师的年龄，还是方程 x227x1820的两根的和呢。
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一元二次方程根与系数的关系
x23x40 x22 3x10
x25x60
x1 1
32
2
x2
x1 x2
x1 x2
-4
-3
-4
32
23
-1
3
5
6
问题：
（1）关于x的方程 x 2 p q x 0 p 、 q 为p 常 2 -4 q 0 数 的两根x1、， x2与系数
c a
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一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程 a2xb xc0(a0)
的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么：
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
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一元二次方程根与系数的关系
• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
1. x22x150
2. x26x40
3. 2x23x50
解：对于方程 ax2bxc0(a0)
因为 a0
所以 x2bxc0 aa
所 以 x1x2b a,x1x2a c
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一元二次方程根与系数的关系 证明：
已知：如果一元二次方程 a2xb xc0(a0) 的两个根分别是 x 1 、x 2 。
p、q之间有什么关系？
猜想： x1x2p x1x2 q
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一元二次方程根与系数的关系
关于x的方程x 2 p q x 0 p 、 q 为p 常 2 -4 q 0 数 的两根x1， 、x2与
系数p、q之间的关系是：
猜想： x1x2p x1x2 q
（2）关于 x的方程 ax2bxc0(a0)的两根，与系数a，b，c之间又有
17.4一元二次方程的
根与系数的关系
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一元二次方程根与系数的关系
数学老师的年龄？
金海伦：我有一个秘密，你想听吗？ 许小云：什么秘密？ 金海伦：你知道咱们可爱的数学老密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄是方
程 x211x270的两根的积，回去你把两根求出来就知道了。
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一元二次方程根与系数的关系
作业 P40习题17.4 第1题、第3题
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懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是��
4. 3x27x0
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一元二次方程根与系数的关系
例1、下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
1、 2x2 5
2、 x210x22
3、 xx458x
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一元二次方程根与系数的关系
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一元二次方程根与系数的关系
例2、判断题
下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根。
1、 x25x401,4 不是
，k的值为7.
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一元二次方程根与系数的关系
例4、方程
2x23x10的两个根记作
x1
,
x
，不解方
2
程，求 x1 x 2 的值。
解 ：由韦达定理，得
x1
x2
32,x1x2
1 2
x1x22x1x224x1x2
3 2
2
4
1 2
1 4
x1
x2
1 2
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一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.运用韦达定理是要注意什么条件？
2、 x26x701,7 是
3、 3x25x2013,2
不是
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一元二次方程根与系数的关系
例3 、已知关于x的方程 2x2kx40的一个根是-4， 求它的另一个根及k的值。
解：设方程的另一个根是 x 2
4
x2
k 2
4 x2
4 2
解方程组，得
x2
1 2
k 7
答：方程的另一个根为
1 2
求证：
x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
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一元二次方程根与系数的关系
x1x2b2 b a 24a cb2 b a 24ac b b24acb b24ac
2a
2b 2a
b a
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一元二次方程根与系数的关系
x1x2b2 b a 24a cb2 b a 24ac
b2
b24ac 4a2
4 ac 4a2
许小云：呵，这还难不倒我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还可以
告诉你英语老师的年龄，还是方程 x227x1820的两根的和呢。
数学·
一元二次方程根与系数的关系
x23x40 x22 3x10
x25x60
x1 1
32
2
x2
x1 x2
x1 x2
-4
-3
-4
32
23
-1
3
5
6
问题：
（1）关于x的方程 x 2 p q x 0 p 、 q 为p 常 2 -4 q 0 数 的两根x1、， x2与系数
c a
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一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程 a2xb xc0(a0)
的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么：
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
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一元二次方程根与系数的关系
• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
1. x22x150
2. x26x40
3. 2x23x50