第48练 不等式综合练 Word版含答案
(完整版)解不等式组计算专项练习60题(有答案)
解不等式组专项练习60题（有答案）1．2．．3．．4．，5．．6．．7．8．．9．10．11．12．，13．．14．，15．16．17．．18.19．20．．21．．22．．23．24．25．，．26．27．，28．29．．30．已知：2a﹣3x+1=0，3b﹣2x﹣16=0，且a≤4＜b，求x的取值范围．31．．32．．33．已知：a=，b=，并且2b ≤＜a．请求出x的取值范围．34．35．，36．，并将其解集在数轴上表示出来．37．．38．，并把解集在数轴上表示出来．39．已知关于x、y 的方程组的解满足x＞y ＞0，化简|a|+|3﹣a|．40．，并把它的解集在数轴上表示出来．41．42．43．．44．．45．．46．．47．关于x、y 的二元一次方程组，当m为何值时，x＞0，y≤0．48．并将解集表示在数轴上．49．已知关于x、y 的方程组的解是一对正数，求m的取值范围．50．已知方程组的解满足，化简．51．．52．53．．54．．55．．56．57．58．59．60.解不等式组60题参考答案：1、解：，由①得2x≥2，即x≥1；由②得x＜3；故不等式组的解集为：1≤x＜3．2．解：，由①得：x≤5，由②得：x＞﹣2，不等式组的解集为﹣2＜x≤53．解：解不等式①，得x＞1．解不等式②，得x＜2．故不等式组的解集为：1＜x＜2．4．解：，解不等式①得，x＞1，解不等式②得，x＜3，故不等式的解集为：1＜x＜3，5．解不等式①，得x≤﹣2，解不等式②，得x＞﹣3，故原不等式组的解集为﹣3＜x≤﹣2，6.解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤2，不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，7．解：，由①得x＞﹣3；由②得x≤1故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，8．解：解不等式①，得x＜3，解不等式②，得x≥﹣1．所以原不等式的解集为﹣1≤x＜3．9．解：∵由①得，x＞﹣1；由②得，x≤4，∴此不等式组的解集为：﹣1＜x≤4，10．解：，解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥1，不等式组的解集是1≤x＜3 11．解：，由①得，x≥﹣；由②得，x＜1，故此不等式组的解集为：﹣＜x＜1，12．解：∵由①得，x≤3，由②得x＞0，∴此不等式组的解集为：0＜x≤3，13．解：解不等式①，得x≥1；解不等式②，得x＜4．∴1≤x＜4．14．解：原不等式组可化为，解不等式①得x＞﹣3；解不等式②得x≤3．所以-3<x≤3 15．解：由（1）得：x+4＜4，x＜0由（2）得：x﹣3x+3＞5，x＜﹣1∴不等式组解集是：x＜﹣116．解：，解不等式（1），得x＜5，解不等式（2），得x≥﹣2，因此，原不等式组的解集为﹣2≤x＜5．17．解：由①得：去括号得，x﹣3x+6≤4，移项、合并同类项得，﹣2x≤﹣2，化系数为1得，x≥1．由②得：去分母得，1+2x＞3x﹣3，移项、合并同类项得，﹣x＞﹣4，化系数为1得，x＜4 ∴原不等式组的解集为：1≤x＜4．18．解：解不等式①，得x≥﹣1，解不等式②，得x＜3，∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜3．19．解：解不等式（1）得x＜1解不等式（2）得x≥﹣2所以不等式组的解集为﹣2≤x＜1．20．解：解不等式①，得x＞﹣．解不等式②，得x≤4．所以，不等式组的解集是﹣＜x≤4．21．解：①的解集为x≥1②的解集为x＜4原不等式的解集为1≤x＜4．22．解：解不等式（1），得2x+4＜x+4，x＜0，不等式（2），得4x≥3x+3，x≥3．∴原不等式无解．23.解：解不等式2x+5≤3（x+2），得x≥﹣1解不等式x﹣1＜x，得x＜3．所以，原不等式组的解集是﹣1≤x＜3．24．解：解不等式①，得x≥﹣1，解不等式②，得x＜3，∴原不等式组的解是﹣1≤x＜3．25．解：由题意，解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2．26．：由不等式①得：x≥0由不等式②得：x＜4原不等式组的解集为0≤x＜427．解：由不等式①得：2x≤8，x≤4．由不等式②得：5x﹣2+2＞2x，3x＞0，x＞0．∴原不等式组的解集为：0＜x≤4．28．解：解不等式①，得x≤﹣1，解不等式②，得x＞﹣2，所以不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣1．29．解：解不等式①，得x≤2．解不等式②，得x＞﹣3．所以原不等式组的解集为x≤2．30. 解：由2a﹣3x+1=0，3b﹣2x﹣16=0，可得a=，b=，∵a≤4＜b，∴，由（1），得x≤3．由（2），得x＞﹣2．∴x的取值范围是﹣2＜x≤3．31．解：由①得：x≤2．由②得：x＞﹣1．∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2．32．解：解不等式①，得x＞；解不等式②，得x≤4．∴不等式的解集是＜x≤4．33．解：把a，b代入得：2×．化简得：6x﹣21≤15＜2x+8．解集为：3.5＜x≤6．34．解：解不等式①，得x≤2.5，解不等式②，得x＞﹣1，解不等式③，得x≤2，所以这个不等式组的解集是﹣1＜x≤2．35．解：解不等式①，得x≥﹣1．解不等式②，得x＜2．所以不等式组的解集是﹣1≤x＜2．36．解：由①，得x＜2．由②，得x≥﹣1．∴这个不等式组的解集为﹣1≤x＜2．37．解：由①得：x＞﹣1由②得：x所以解集为﹣1＜x．38．解：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，所以﹣7＜x≤1．在数轴上表示为：39．解：由方程组，解得．由x＞y＞0，得．解得a＞2当2＜a≤3时，|a|+|3﹣a|=a+3﹣a=3；当a＞3时，|a|+|3﹣a|=a+a﹣3=2a﹣3．40．解：由（1）得x＜8由（2）得，x≥4故原不等式组的解集为4≤x＜8．41．解：由①得2x＜6，即x＜3，由②得x+8＞﹣3x，即x＞﹣2，所以解集为﹣2＜x＜3．42．解：（1）去括号得，10﹣4x+12≥2x﹣2，移项、合并同类项得，﹣6x≥﹣24，解得，x≤4；（2）去分母得，3（x﹣1）＞1﹣2x，去括号得，3x﹣3＞1﹣2x，移项、合并同类项得，5x＞4，化系数为1得，x ＞．∴不等式组的解集为：＜x≤4．43．解：解第一个不等式得：x ＜；解第二个不等式得：x≥﹣12．故不等式组的解集是：﹣12≤x ＜．44．解：原方程组可化为：，由（1）得，x＜﹣3由（2）得，x≥﹣4根据“小大大小中间找”原则，不等式组的解集为﹣4≤x＜﹣3．45．由①得：x＜2，由②得：x≥﹣1∴﹣1≤x＜2．46.整理不等式组得解之得，x＞﹣2，x≤1∴﹣2＜x≤147．解：①+②×2得，7x=13m﹣3，即x=③，把③代入②得，2×+y=5m﹣3，解得，y=78-m9，因为x＞0，y≤0，所以，解得＜m≤9848. 解不等式①，得x ≤，解不等式②，得x≥﹣8．把不等式的解集在数轴上表示出来，如图：所以这个不等式组的解集为﹣8≤x≤．49．解：由题意可解得，解得，故＜m＜1350．解：由2x﹣2=5得x=，代入第一个方程得+2y=5a；则y=a﹣，由于y ＜0，则a＜（1）当a ＜﹣2时，原式=﹣（a+2）﹣[﹣（a ﹣）]=﹣2；（2）当﹣2＜a＜时，原式=a+2﹣[﹣（a﹣）]=2a+；（3）当＜a＜时，原式=a+2﹣（a﹣）=2；851．解不等式（1）得：2﹣x﹣1≤2x+4 ﹣3x≤3 x≥﹣1解不等式（2），得：x2+x＞x2+3x ﹣2x＞0 x＜0 ∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜0．52．解不等式（1）得：x≥-1 解不等式（2），得：x<2 ∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．53．解①得x＜解②得x≥3，∴不等式组的解集为无解．54．解第一个不等式得x＜8解第二个不等式得x≥2∴原不等式组的解集为：2≤x＜8．55．解：由①得：1﹣2x+2≤5∴2x≥﹣2即x≥﹣1由②得：3x﹣2＜2x+1∴x＜3．∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．56．解：原不等式可化为：即在数轴上可表示为：∴不等式的解集为：1≤x＜357．解：，解不等式①，得x＜3，解不等式②，得x≥﹣1，把不等式的解集在数轴上表示出来，如图所示．不等式组的解集是﹣1≤x＜358．解：由题意，解不等式①得x＞2，不等式②×2得x﹣2≤14﹣3x解得x≤4，∴原不等式组的解集为2＜x≤4．59．解：解不等式①，得x＜2．（2分）解不等式②，得x≥﹣1．（4分）所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜2．（5分）解集在数轴上表示为：60．解：由①，得x≥﹣，由②，得x＜3，所以不等式组的解集为﹣≤x＜3．。
加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：48专题 不等式 含答案
训练目标(1)了解不等式概念及应用方法；(2)掌握不等式的性质，提高综合应用能力. 训练题型 (1)利用比较法判断不等关系；(2)运用不等式的性质判断不等关系；(3)将不等式概念及性质与函数知识结合判断不等关系.解题策略(1)作差比较；(2)作商比较；(3)利用不等式的性质化简变形，合理放大或缩小；(4)借助基本函数单调性比较大小. 1．(2015·金华十校联考)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的________条件． 2．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是________．①1x 2＋1>1y 2＋1；②ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)；③sin x >sin y ；④x 3>y 3. 3．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是________． 4．设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d 与AB 的大小关系为________． 5．已知a >0，b >0，记M ＝a 2b ＋b 2a，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为________． 6.(2015·江西南昌八中上学期第三次月考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b＋1c，则T 与0的大小关系是________． 7．若存在x 使不等式x －m ex >x 成立，则实数m 的取值范围为________． 8．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________．9．已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ab ≠0，则a b ＋b a≥2； ③若a >b >0，n ∈N *，则a n >b n ；④若log a b <0(a >0，a ≠1)，则(a －1)(b －1)<0.其中真命题的个数为________．10．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是________．①log 2a >0；②2a －b <12；③log 2a ＋log 2b <－2；④2a b ＋b a <12. 11．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________．12．如下图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为__________________．13．设a>0且a≠1，则log a(a3＋1)与log a(a2＋1)的大小关系为____________________．14．已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，c n与a n＋b n的大小关系为________．答案解析1．充分不必要解析 方法一 因为a ＋1a －(b ＋1b )＝(a －b )(ab －1)ab， 所以若a >b >1，显然a ＋1a －(b ＋1b )＝(a －b )(ab －1)ab>0，则充分性成立； 当a ＝12，b ＝23时， 显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立， 所以必要性不成立．方法二 令函数f (x )＝x ＋1x， 则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x 2， 可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的充分不必要条件． 2．④解析 因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，①中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，①不成立；②中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，②不成立；③中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，③不成立；④中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，④成立．3．M >N解析 ∵0<a <1b，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0， ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab (1＋a )(1＋b )>0，∴M >N . 4．d ≤AB5．M ≥N解析 a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab≥0.故M ≥N . 6.T <0解析 由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc＝ab ＋c (b ＋a )abc ＝ab －c 2abc. ∵ab <0，－c 2<0，abc >0，∴T <0.7．(－∞，0)解析 由x －m e x >x 得：－m >e x ×x －x (x >0)， 令f (x )＝e x ×x －x (x >0)，则－m >f (x )min .f ′(x )＝e x ×x ＋e x ×12x－1≥2×e x －1>0(x >0)， 所以f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，－m >0，m <0.8．[－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5.∴－1≤a －b ≤6.9．2解析 当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，所以①为假命题；当a 与b 异号时，a b <0，b a<0，所以②为假命题； ③为真命题；若log a b <0(a >0，a ≠1)，则有可能a >1,0<b <1或0<a <1，b >1，即(a －1)(b －1)<0，所以④是真命题．综上，真命题有2个．10．③解析 若0<a <1，此时log 2a <0，①错误；a －b <0，此时2a －b <1，②错误；由a b ＋b a >2a b ·b a ＝2,2a b ＋b a>22＝4，④错误； 由a ＋b ＝1>2ab ，即ab <14， 因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2.故③正确． 11．a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.12.12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b ) 解析 图(1)所示广告牌的面积为12(a 2＋b 2)，图(2)所示广告牌的面积为ab ，显然不等式可表示为12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b )． 13．log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)解析 (a 3＋1)－(a 2＋1)＝a 2(a －1)，①当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；②当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．14．c n >a n ＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n >0.而a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c)n . ∵a 2＋b 2＝c 2，则(a c )2＋(b c)2＝1， ∴0<a c <1,0<b c<1.∵n ∈N ，n >2， ∴(a c )n <(a c )2，(b c )n <(b c)2. ∴a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c )n <a 2＋b 2c 2＝1. ∴a n ＋b n <c n .。
考点48 基本不等式(练习)(解析版)-2021年高考数学复习一轮复习笔记
考点48 基本不等式(练习)【题组一 直接型】1．若a ，b 都是正数，且2a b +=，则()()11a b ++的最大值为 。
【答案】4【解析】由题意，可知：2211(1)(1)421122a b a b +++⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++，当且仅当11a b +=+即1a b ==时取等号；2．已知数列{}n a 是等差数列，且0n a >，若12100500a a a ++⋯+=，则5051a a ⋅的最大值_____. 【答案】25 【解析】()505112100505110050010,2a a a a a a a +++⋯+==⇒+=n a >，∴2505110252a a ⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当50515a a ==时取等号.故答案为：25.3．若102a <<，则()12a a -的最大值是 。
【答案】1 8【解析】102a <<，故120a ->，则()()()()221211112212?2228a a a a a a ⎛⎫+--=-≤= ⎪⎝⎭，当14a =时取“=”【题组二 换1型】1．正实数,x y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为_____. 【答案】9【解析】()21212225559y x x y xy x y x y +=++=++⎛⎫≥+≥+ ⎝⎭=⎪，当且仅当13x y == 时取等号．故答案为：9． 2．已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为_______________；【答案】32+【解析】采用常数1的替换，()1121213332222b a a b a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当2b a a b =即1222a b ==时等号成立，所以答案为32+． 3.若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是________． 【答案】 3【解析】 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋c ＋1＝3，且a ＋1>0，b ＋c >0.∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立． 4．已知1,0,2a b a b >>+=，则1112a b+-的最小值为 。
精选七年级数学下册第九章《不等式与不等式组》单元综合练习题(含答案解析)
人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组检测题 （word 版，含答案）人教版七年级数学下册第九章 不等式与不等式组单元测试题题一、选择题1．下列说法不一定成立的是（ ）A. 若a>b ，则a ＋c>b ＋cB. 若a ＋c>b ＋c ，则a>bC. 若a>b ，则ac 2>bc 2D. 若ac 2>bc 2，则a>b2．如图是关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集，则a 的取值是（ ）A. a ≤－1B. a ≤－2C. a ＝－1D. a ＝－2 3．下列解不等式2＋x 3＞2x －15的过程中，出现错误的一步是（ ） ①去分母，得5(x ＋2)＞3(2x －1)； ②去括号，得5x ＋10＞6x －3； ③移项，得5x －6x ＞－10－3；④合并同类项、系数化为1，得x ＞13.A. ①B. ②C. ③D. ④ 4．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）5．在关于x ，y 的方程组中，未知数满足x ≥0，y ＞0，那么m 的取值范围在数轴上应表示为（ ）6．若不等式组2x －1>3（x －1），x<m 的解集是x ＜2，则m 的取值范围是（ ） A. m ＝2 B. m ＞2 C. m ＜2 D. m ≥2 7．如果关于x 的不等式组无解，那么m 的取值范围为（ ）A. m ≤－1B. m ＜－1C. －1＜m ≤0D. －1≤m ＜0 8．若关于x 的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a 的最小值是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 239．“一方有难，八方支援”，雅安芦山4•20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅.规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅(一桌一椅为一套)的套数为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 10．某市出租车的收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3千米都需付8元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收2.6元(不足1千米按1千米计).某人打车从甲地到乙地经过的路程是x 千米，出租车费为21元，那么x 的最大值是（ ） A. 11 B. 8 C. 7 D. 5 二、填空题。
15数论1981-2018年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细答案
★证明：记 ， ，则 的不超过 的正约数的集合是
若结论不成立，我们证明
对 ，因为 是奇数，故 ，又 ，而 没有在区间 中的约数，故 ，即 ，故
反过来，对 ，设 ，则 ， 是奇数，又 ，故 从而
所以 故 的不超过 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．
由于 不整除 ，等价于 ，即 ，进而由①知，本题等价于求所有正整数 ，使得 对任意正整数 成立．10分
我们证明，所有符合条件的 为 ．
一方面，由于 对任意正整数 成立，故 符合条件．20分
另一方面，若 不是2的方幂，设 是大于1的奇数．
下面构造一个正整数 ，使得 ．因为 ,因此问题等价于我们选取 的一个倍数 ，使得 ．
时， 是素数方幂，记 ，其中 ， 是素数.假设 不在 中出现.由于 各项互不相同，因此存在正整数 ，当 时，都有 .若对某个 ， ，那么 与 互素，又 中无一项是 ，故有数列定义知 ，但是 ，矛盾！
因此对每个 ，都有 .又 ，可得 ，从而 与 不互素，这与 的定义矛盾！
假设 ，且结论对 成立.设 的标准分解为 .假设 不在 中出现，于是存在正整数 ，当 时，都有 .取充分大的正整数 ，使得 .
2014A四、（本题满分50分）设整数 模 互不同余，若整数 模 也互不同余，证明：可将 重新排列为 ，使得： 模 互不同余。
★证明：记 ，不妨设 ， ，对每个整数 ， ，
⑴若 ，则令 ， ①；否则，令 ， ②。
可知情形①②，都能得到 ，若不然，
我们有 ， 两式相加得
，于是 ，但 模 互不同余，特别地， ，矛盾。
2013B一、（本题满分40分）对任意的正整数 ，证明不存在三个奇数 满足如下的方程：
不等式综合练习(含答案)
一、选择题（每小题6分，共42分） 1.不等式ax 2+5x+c>0的解集为（21,31），那么a,c 为（ ） A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-6 答案：B解析：由题意得21,31为方程ax 2+5x+c=0的两根是a<0. 故2131+=-ac a =⨯2131,5, ∴a=-6,c=-1.2.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是（ ）A.0B.-1C.1D.2 答案：A解析：将x=-1代入不等式知不成立，将x=0代入不等式成立，故选A. 3.不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为（ ）A.［21，+∞） B.（-∞,-1]∪［21,+∞) C.{-1}∪［21，+∞） D.［-1，21］答案：C解析：当|x+1|=0即x=-1时不等式成立， 当|x+1|≠0时不等式等价于2x-1≥0，即x ≥21. 4.设a>0,不等式|ax+b|<c 的解集是{x|-2<x<1},则a ∶b ∶c 等于（ ） A.1∶2∶3 B.2∶1∶3 C.3∶1∶2 D.3∶2∶1 答案：B解析：|ax+b|<c a c b --⇔<x<a b c -，故a c b --=-2,abc -=1即a ∶b ∶c=2∶1∶3.5.设U=R ，A={x|mx 2+8mx+21>0},A=∅,则m 的取值范围是（ ）A.0≤m<1621 B.m>1621或m=0 C.m ≤0 D.m ≤0或m>1621答案：A 解析：∵A=∅,∴A=R,即mx 2+8mx+21>0恒成立. 当m=0时，不等式恒成立. 当m ≠0时， 则⇒⎩⎨⎧<⨯-=∆>0214)8(,02m m m 0<m<1621.∴m 的取值范围为［0，1621）. 6.已知a>0,集合A={x||x+2|<a},B={x|a x>1},若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.（0，1）C.（0，1）∪（2，+∞）D.(0,1)∪（1，+∞） 答案：C解析：A={x|-a-2<x<a-2}当0<a<1时，B={x|x<0}又a-2<0故此时A ⊆B ，则A ∩B ≠∅. 当a>1时，B={x|x>0},∵A ∩B ≠∅,∴a-2>0,即a>2.∴a 的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）. 7.(2010辽宁沈阳模拟，1)若不等式xxa ++12-3≥0的解集是{x|-7≤x<-1},则实数a 等于（ ） A.0 B.-4 C.-6 D.-8 答案：B 解析：∵不等式xxa ++12≥0， 即为1)3(+--x a x ≤0的解集为{x|-7≤x<-1},∴a-3=-7. ∴a=-4.选B.二、填空题（每小题5分，共15分） 8.不等式2||||3+-x x ≥21的解集是__________________.答案：［-34,34］ 解析：∵|x|+2>0故原不等式为6-2|x|≥|x|+2即|x|≤34,-34≤x ≤34. 9.若关于x 的不等式a 2-4+4x-x 2>0成立时，不等式|x 2-4|<1成立，则正数a 的取值范围是_______. 答案：（0，5-2]解析：a 2-4+4x-x 2>0⇒2-a<x<2+a.|x 2-4|<1⇒-5<x<5,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-.52,52a a 即0<a ≤5-2.10.(2010江苏南通一模，14)若不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集是空集，则实数a 的取值范围是_____________________. 答案：（-∞,1］解析：由|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,故原不等式解集为空集，a 的取值范围是（-∞,1］. 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010福建厦门一中模拟，17)解不等式：|x 2-3x-4|<x+1.解析：不等式等价于⎩⎨⎧>--<--⇔⎪⎩⎪⎨⎧--<+-+<--)2(.032)1(,054,43)1(,1432222x x x x x x x x x x 解①得-1<x<5,解②得x<-1或x>3，故原不等式的解集为{x|3<x<5}. 12.已知|x-1|≤2且|x-a|≤2,求： （1）当a<0时，求x 的范围；（2）若x 的范围构成的集合是空集，求a 的取值范围. 解析：|x-1|≤2⇒-1≤x ≤3. |x-a|≤2⇒-2+a ≤x ≤a+2. (1)当a<0时，a+2<3,-2+a<-1.①当a+2≥-1,即a ≥-3时，x 的取值范围为［a+2,3］; ②当a+2<-1,即a<-3时，x . (2)由题意得 a+2<-1或-2+a>3. 故所求a 的取值范围为a<-3或a>5.13.已知全集U=R ，A={x|x 2-2x-8<0},B={x||x+3|>2},C={x|x 2-4ax+3a 2<0}. (1)C ⊆(A ∩B),求a 的取值范围； （2）C ⊆（A ）∩（B ），求a 的取值范围.解析：A={x|-2<x<4},B={x|x>-1或x<-5}. ∴A ∩B={x|-1<x<4}.当a>0时，C={x|a<x<3a}; 当a=0时，C=∅;当a<0时，C={x|3a<x<a}. (1)若C ⊆A ∩B,则a=0或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥>⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥<.43,1,04,13,0a a a a a a 或∴a ∈［-34,31］. （2）（A ）∩（B ）={x|-5≤x ≤-2}.若C ⊇(A)∩(B),则⎪⎩⎪⎨⎧->-<<.2,53,0a a a∴-2<a<-35,即a ∈(-2,-35). 14.已知a>1,设P ：a(x-2)+1>0,Q:(x-1)2>a(x-2)+1,试寻求使得P 、Q 都成立的x 集合.解析：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-.0)2)((,12,02)2(,12,1)2()1(,01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1<a<2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12a x x ax 或而a-(2-a 1)=a+a 1-2>0,所以a>2-a1, 故x ∈{x|x>2或2-a 1<x<a};若a=2,则有x ∈{x|x>23,且x ≠2};若a>2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或 若x ∈{x|x>a 或2-a1<x<2}. 高三数学单元练习题：不等式（Ⅳ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
(完整word版)一元二次不等式及解法知识梳理及典型练习试题(附含答案解析)
(完整word版)一元二次不等式及解法知识梳理及典型练习试题(附含答案解析)一元二次不等式及其解法1。
一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0）的形式。
当a＞0时，解集为 ;当a＜0时，解集为。
2.一元二次不等式及其解法(1）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式。
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解:函数与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a ＞0）的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－错误!无实根ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集①②Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集｛x|x1＜x＜x2｝∅③3。
分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型。
方法:移项,通分，右边化为0，左边化为错误!的形式。
(2）将分式不等式转化为整式不等式求解，如:错误!⇔f(x)g（x）＞0；错误!＜0 ⇔f(x)g（x)＜0；错误!≥0 ⇔错误!错误!≤0 ⇔错误!（错误!)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0｝，B＝{x｜－2≤x＜2｝，则A∩B＝( ）A。
［－2，－1] B。
[－1,2)C.[－1，1］D。
[1,2）解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1｝，B＝｛x｜－2≤x＜2｝，∴A∩B＝{x｜－2≤x≤－1}＝[－2,－1］.故选A.设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f（3），则f(x)〉0的解集为( )A。
{x|x∈R｝ B.｛x｜x≠1，x∈R}(完整word 版)一元二次不等式及解法知识梳理及典型练习试题(附含答案解析)C 。
｛x |x ≥1}D 。
｛x ｜x ≤1}解：f (－1）＝1－b ＋1＝2－b ，f （3）＝9＋3b ＋1＝10＋3b , 由f （－1)＝f (3），得2－b ＝10＋3b ,解出b ＝－2,代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1〉0，x 的取值范围是x ≠1.故选B. 已知－错误!<错误!〈2,则x 的取值范围是( ) A 。
高考第48课不等式的综合应用.docx
第48课不等式的综合应用【自主学习】第48课不等式的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P16练习3改编)若函数y=tan θ+cossinθθ，θ∈ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数y的最大值为.【答案】-22.(必修5P98练习2改编)若过定点P(1，2)的直线在x轴与y轴正半轴上的截距分别为a，b，则a·b的最小值为.【答案】83.(必修5P92习题6改编)如果把长为12 cm的细铁丝截成四段，围成一个矩形，那么这个矩形面积的最大值是.【答案】9 cm24.(必修5P93习题10改编)已知(m-2)(n-1)=4，且m>2，n>1，那么m+n的最小值是.【答案】7【解析】因为(m-2)(n-1)=4，所以m=4-1n+2，所以m+n=4-1n+2+n=4-1n+n-4+3=7(当且仅当n=3，m=4时取等号)，故m+n的最小值为7.1.与不等式有关的常见综合问题有：函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何中的最值问题. 2.求解不等式的综合应用问题的一般步骤： (1)分析题意； (2)建立数学模型； (3)解决数学问题； (4)检验作答.【要点导学】要点导学 各个击破不等式的含参问题例1 (2015·徐州、连云港、宿迁三检)已知实数x ，y 满足约束条件-0-50-30.x y x y y ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，若不等式m (x 2+y 2)≤(x +y )2恒成立，则实数m的最大值是 .【思维引导】从题干上看，题中的线性约束条件的作用是求目标函数z 的取值范围是不会改变的，所以将不等式m (x 2+y 2)≤(x +y )2转化并能确定目标函数z 是本题的核心问题.(例1)【答案】2513【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，显然地，A(2，3)，B(3，3)，令目标函数z =yx ，它表示经过点(0，0)及可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，从而1≤z ≤32.不等式m (x 2+y 2)≤(x +y )2恒成立，也就是m ≤222()x y x y ++恒成立，令u =222()x y x y ++，则u =1+222xy x y +=1+2x y y x +=1+23112z z z ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭+，当1≤z ≤32时，2≤1z +z ≤136，从而1213≤21z z +≤1，2513≤1+21z z +≤2，于是m ≤2513，即实数m 的最大值为2513.【精要点评】(1)本题是恒成立问题与基本不等式问题的综合题，较容易入手，需要考生完成的工作是灵活将这两个问题搭桥，以及如何将含两个变量x ，y 的式子消元成一个变量z .(2)含参问题一般分恒成立问题和存在性问题，通常先考虑分离参数(变量)再利用函数求最值问题求解参数取值范围.变式 (2015·重庆一中模拟)设对任意实数x ∈[-1，1]，不等式x 2+ax -3a <0恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，所以(-1)1--30(1)1-30f a af a a=<⎧⎨=+<⎩，，即1-401-20aa<⎧⎨<⎩，，所以1412 aa⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，故a>12.不等式与函数、三角、向量等知识的结合例2 (2015·泰州期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=C且7a2+b2+c2=43，则△ABC面积的最大值为.【思维引导】要求面积的最大值，首先要选择合适的参数来表示面积，然后运用基本不等式或函数法来求最值.【答案】5【解析】如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则AD⊥BC.(例2)方法一：由题知b=c，则7a2+2b23，所以b2372a2，所以△ABC 的面积S=12a22-4a b =12a21523-4a =14215·2154a ·21523-4a ≤15 ·22151523-442a a +=5，当且仅当154a 2=23-154a 2，即a 2=43时取等号，所以△ABC 面积的最大值为5.方法二：设BD=CD=m ，AD=n ， 则由已知得7(2m )2+2(m 2+n 2)=43， 所以15m 2+n 2=23≥215mn ，所以mn ≤5，当且仅当15m 2=n 2时取等号， 此时m 2=315，所以△ABC 面积的最大值为55.变式 设P(x ，y )为函数y =x 2-1(x >3)图象上一动点，记m =3-5-1x y x ++3-7-2x y y +，则当m 取最小值时，点 P 的坐标为 .【答案】(2，3)【解析】方法一：m =23-6-1x x x ++223-10-3x x x +=6+2-3-1x x +2-1-3x x ，因为x 3，所以x 2-3>0，x -1>0，所以m ≥6+2=8.当且仅当2-3-1x x =2-1-3x x ，即x =2时，m 取得最小值，此时点P 的坐标为(2，3).方法二：m =3-3-2-1x y x ++-13-6-2x y y +=6+-2-1y x +-1-2x y ，因为x 3y >2，所以y -2>0，x -1>0，所以m ≥8.当且仅当-2-1y x =-1-2x y 时，m 取得最小值.下同方法一.不等式的应用题例3 某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x =3-1km +(k为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量是1万件.已知2015年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).(1)将2017年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m (单位：万元)的函数；(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?【思维引导】(1)利润y =销售量×每件产品的价格-固定投入-再投入资金-促销费用；(2)根据基本不等式的性质求出y 取最大值时m 的值即可.【解答】(1)由题意可知，当m =0时，x =1， 所以1=3-k ，即k =2，所以x =3-21m +，每件产品的销售价格为1.5×816xx +元.所以2017年的利润y =x8161.5x x +⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭-(8+16x +m ) =4+8x -m =4+823-1m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭-m =-16(1)1m m ⎡⎤++⎢⎥+⎣⎦+29(m ≥0). (2)因为m ≥0时，161m ++(m +1)≥216，所以y≤-8+29=21，当且仅当161m+=m+1，即m=3时，y max=21.答：该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.【精要点评】(1)解基本不等式应用题时主要注意自变量的范围的实际限制，以及能否取到等号，是否在不等式取等号时取最值等.(2)基本不等式应用题的考查近两年不再以大题出现，常以简单的填空题出现.变式某啤酒厂为适应市场需要，从2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16 000 t，葡萄酒生产量为1 000 t.该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%.(1)哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低?(2)从2011年起(包括2011年)，经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的23?(生产总量是指各年年产量之和)【解答】设从2011年起，该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为a n t和b n t，经过n年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为A n t和B n t.(1)设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量和为D n t，依题意得，a n=16 000(1-50%)n-1=320002n，bn=1 000(1+100%)n-1=500×2n(n∈N*)，则D n=a n+b n=320002n+500×2n=5006422nn⎛⎫+⎪⎝⎭6422nn⨯=8 000，当且仅当642n=2n，即n=3时取等号，故2013年啤酒和葡萄酒的年生产量之和最低，为8 000 t.(2)依题意得nn nBA B+≥23，得Bn≥2A n，因为A n=1 160001-211-2n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=32 000·2-12nn，B n=1000(1-2)1-2n=1 000(2n-1)，所以1 000(2n-1)≥32 000·2-12nn×2，因为2n-1>0，所以2n≥64，所以n≥6，即从第2011年起，经过6年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的23.1.设x，y满足线性约束条件-2302-340x yx yy+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，若目标函数z=ax+by(其中a>0，b>0)的最大值为3，则1a+2b的最小值为.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知z=ax+by经过直线x-2y+3=0与2x-3y+4=0的交点A时z最大.由-2302-340x yx y+=⎧⎨+=⎩，，得A(1，2)，所以a+2b=3，(第1题)所以1a+2b=1123a b⎛⎫+⎪⎝⎭(a+2b)=12253b aa b⎛⎫++⎪⎝⎭≥3，当且仅当2ba=2ab，即a=b=1时等号成立.2.已知二次函数f(x)=ax2-4x+c+1的值域为[1，+∞)，那么1a+9c的最小值为.【答案】3【解析】由题意知4(1)-1614aa ca>⎧⎪+⎨=⎪⎩，，所以ac=4，所以1a+9c≥29ac=2×32=3，当且仅当1a=9c时取等号.3.(2014·苏中三市、宿迁调研)若不等式(mx-1)[3m2-(x+1)m-1]≥0对任意的m∈(0，+∞)恒成立，则实数x的值为.【答案】1(第3题)【解析】方法一：显然x>0，若x≤0，则mx-1<0，而当m充分大时，3m2-(x+1)m-1>0，与题设矛盾.而当x>0时，要使(mx-1)[3m2-(x+1)m-1]≥0对m∈(0，+∞)恒成立，则关于m的方程mx-1=0与3m2-(x+1)m-1=0在(0，+∞)内有相同的根，所以321x⎛⎫⎪⎝⎭-(x+1) 1x-1=0，解得x=1，x=-32(舍去).方法二：(图象法)设函数y1=xm-1，y2=3m2-(x+1)m-1，要使不等式(mx-1)·[3m2-(x+1)m-1]≥0对任意的m∈(0，+∞)恒成立，则必有x>0，作出两个函数图象如图所示，则有两个函数图象交于点1x⎛⎫⎪⎝⎭，，即m=1x是方程3m2-(x+1)m-1=0的根，则有321x⎛⎫⎪⎝⎭-(x+1)1x-1=0，解得x=1，x=-32(舍去).4.(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是元.【答案】160【解析】设长方体底面矩形的一边长为x m，所以另一边长为4x m.设容器的总造价为y元，则y=4×20+2(x+4x)×1×10=80+204xx⎛⎫+⎪⎝⎭≥80+20×2=160，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立.因此，当x=2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元.5.(2015·苏北四市期末)已知函数f(x)=22-020x xx x x⎧≥⎨+<⎩，，，，则不等式f(f(x))≤3的解集为.【答案】(-]【解析】令t=f(x)，则原不等式化为f(t)≤3，因为函数f(t)=22-020 t tt t t⎧≥⎨+<⎩，，，，所以当t≥0时，不等式f(t)≤3恒成立；当t<0时，由t2+2t≤3，得-3≤t<1，此时-3≤t<0，于是不等式f(t)≤3的解集为[-3，+∞)，原不等式也就转化为f(x)≥-3.因为函数f(x)=22-020x xx x x⎧≥⎨+<⎩，，，，所以当x≥0时，-x2≥-3，解得-3≤x≤3，所以0≤x≤3；当x<0时，x2+2x≥-3恒成立，综上所述，原不等式的解集为(-∞，3].【融会贯通】融会贯通能力提升某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入16(x2-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【思维引导】【规范解答】(1)设每件定价为x元，依题意，有-258-0.21x⎛⎫⨯⎪⎝⎭x≥25×8，…………3分整理得x2-65x+1 000≤0，解得25≤x≤40…………………………………………………5分所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元……………………7分(2)依题意，当x>25时，不等式ax≥25×8+50+16(x2-600)+15x有解，………………9分等价于x>25时，a≥150x+16x+15有解，……………………………………………11分因为150x+16x≥21501·6xx=10(当且仅当x=30时，等号成立)，所以a≥10.2………………………………………………………………………………13分所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元……………………………………14分【精要点评】(1)正确审题，准确建立数学模型，然后根据模型特征选取求最值的方法.(2)在解应用题时，时刻注意自变量的实际意义所确定的定义域.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第95~96页.【检测与评估】第48课 不等式的综合应用一、 填空题1.已知x 为实数，则y的最大值为 .2.已知命题p ：x 2-4x -5>0，命题q ：x 2-2x +1-m 2>0(m >0).若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为 .3.已知函数f (x )=x |x +1|，则f 1-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭的解集为 .4.(2015·安阳一中)若对任意x >0，231x x x ++≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是 .5.(2015·四川卷)如果函数f (x )=12(m -2)x 2+(n -8)x +1(m ≥0，n ≥0)在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为 .6.(2015·南京、盐城、徐州二模)已知α，β均为锐角，且cos(α+β)=sin sin αβ，则tan α的最大值是 .7.(2014·安徽卷)若函数f (x )=|x +1|+|2x +a |的最小值为3，则实数a 的值为 .8.(2015·浙江卷)已知实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x +y -4|+|6-x -3y |的最大值是 . 二、 解答题9.(2014·苏北四市期末)已知函数f (x )=x |x -2|，求不等式f-x )≤f (1)的解集.10.已知函数f (x )=13x 3-x 2+x ，y =f '(x )为f (x )的导函数，设h (x )=ln f '(x )，若对于一切x ∈[0，1]，不等式h (x +1-t )<h (2x +2)恒成立，求实数t 的取值范围.11.(2014·南京学情调研)如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m 2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2 m .问：怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大?并求出其最大面积.(第11题)三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·南京、盐城、徐州二模)已知函数f (x )=1||1x x ++，x ∈R ，则不等式f (x 2-2x )<f (3x -4)的解集是 .13.若0<y ≤x <π2，且tan x =3tan y ，则x -y 的最大值为 .【检测与评估答案】第48课 不等式的综合应用1.4 【解析】函数定义域为[18，26]，且y>0，所以26-x -18x ≤222(26-)(-18)x x +=426-x -18x x=22时等号成立.2.2 【解析】由题意知，p ：x>5或x<-1，设f (x )=x 2-2x+1-m 2，则(-1)0(5)0f f ≥⎧⎨≥⎩，，所以0<m ≤2，所以m 的最大值为2.3.3-4∞⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【解析】原不等式可化为13-44x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭<34， 所以304133-444x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，， ①或34133--444xx x⎧+<⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪+<⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，②由①解得-34≤x<34，由②解得x<-34，所以所求解集为3-4∞⎛⎫⎪⎝⎭，.4.15∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】因为x>0，所以231xx x++=113xx++15，当且仅当x=1x(x>0)，即x=1时等号成立，故实数a的取值范围是15∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，.5.18【解析】当m=2时，f(x)=(n-8)x+1，由f(x)在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，知n<8，所以mn<16；当m≠2时，抛物线的对称轴方程为x=--8-2nm.根据题意，当m>2时，--8-2nm≥2，即2m+n22m n+≤6，所以mn≤18.由2m=n且2m+n=12得m=3，n=6；当m<2时，抛物线开口方向向下，据题意得，--8-2nm≤12，即m+2n≤18.22n m+≤9，所以mn≤812.由2n=m且m+2n=18，得m=9>2，不合题意，故应舍去，所以要使得mn取得最大值，应有m+2n=18(m<2，n>8)，mn=(18-2n)n<(18-2×8)×8=16，综上，mn的最大值为18.6.4【解析】由cos(α+β)=sinsinαβ，得cos α·cos β-sin αsin β=sinsinαβ，即cos αcos β=sin α1sinsinββ⎛⎫+⎪⎝⎭.由α，β均为锐角，得cos α≠0，tanβ>0，所以tan α=sincosαα=cos1sinsinβββ+=2sincossin1βββ+=2tan2tan1ββ+=112tantanββ+≤22=24，当且仅当2tan β=1tanβ，即tan β=22时，等号成立.7.-4或8【解析】当a≥2时，f(x)=31-1-1--12-3--1-.2x a xax a xax a x⎧⎪++>⎪⎪+≤≤⎨⎪⎪<⎪⎩，，，，，由图(1)可知，f(x)min=f-2a⎛⎫⎪⎝⎭=2a-1=3，可得a=8.当a<2时，f(x)31-2--1-1-2-3--1-1.ax a xax a xx a x⎧++>⎪⎪⎪+≤≤⎨⎪<⎪⎪⎩，，，，，由图(2)可知，f(x)min=f-2a⎛⎫⎪⎝⎭=-2a+1=3，可得a=-4.综上，a的值为-4或8.图(1)图(2)(第7题)8.15【解析】因为x2+y2≤1，所以x≤1，y≤1，所以2x+y-4<0，6-x-3y>0，所以z=|2x+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-3x-4y. 当直线3x+4y-10+z=0与圆x2+y2=1相切时，z取得最大值，此时|-10| 5z=1，因此z max=15.9.f(x)=x|x-2|=22-22-22x x xx x x⎧≥⎨+<⎩，，，，其图象如图所示.当x≥2时，令f(x0)=f(1)，即2x-2x=1，解得x0=1+2(x0=1-2，舍去)，从而不等式f(2-x)≤f(1)等价于2-x≤1+2，解得x≥-1，即不等式f(2-x)≤f(1)的解集为[-1，+∞).(第9题)10.h(x)=2ln|x-1|，h(x+1-t)=2ln|x-t|，h(2x+2)=2ln|2x+1|，当x∈[0，1]时，|2x+1|=2x+1，所以不等式等价于0<|x-t|<2x+1恒成立，解得-x-1<t<3x+1，且x≠t.当x∈[0，1]，得-x-1∈[-2，-1]，3x+1∈[1，4]，所以-1<t<1.又x≠t，所以t∉[0，1]，所以所求t的取值范围是(-1，0).11.设休闲广场的长为x m，则宽为2400x m，绿化区域的总面积为S m2，则S=(x-6)2400-4x⎛⎫⎪⎝⎭=2 424-2400 46xx⎛⎫+⨯⎪⎝⎭=2 424-43600xx⎛⎫+⎪⎝⎭，x∈(6，600).因为x∈(6，600)，所以x+3600x≥2120，当且仅当x=3600x，即x=60时取等号，此时S取得最大值1 944.答：当休闲广场的长为60 m，宽为40 m时，绿化区域总面积最大，最大面积为1 944 m2.12.(1，2)【解析】因为f(x)=101-1xxxx≥⎧⎪+⎨<⎪+⎩，，，=102-10-1xxx≥⎧⎪⎨+<⎪+⎩，，，，所以函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，由题意知23-40-23-4xx x x<⎧⎨<⎩，或23-40-20xx x≥⎧⎨<⎩，，解得1<x<43或43≤x<2，所以原不等式的解集为(1，2).13.π6【解析】tan(x-y)=tan-tan1tan tanx yx y+=22tan13tanyy+=213tantanyy+=，当且仅当1tan y=3tan y，即y=π6时取等号.而0<y≤x<π2，所以0≤x-y<π2.又tan(x-y)≤，得x-y≤π6，即x-y的最大值为π6.。
人教版八年级数学不等式章节练习及参考答案
不等式的性质基础题知识点1 认识不等式的性质1．(梅州中考)若x ＞y ，则下列式子中错误的是(D )A ．x －3＞y －3B .x 3>y 3C ．x ＋3＞y ＋3D ．－3x ＞－3y 2．若a>b ，则a －b>0，其依据是(A )A ．不等式性质1B ．不等式性质2C ．不等式性质3D ．以上都不对 3．下列变形不正确的是(D )A ．由b>5得4a ＋b>4a ＋5B ．由a>b 得b<aC ．由－12x>2y 得x<－4yD ．－5x>－a 得x>a 54．若a ＞b ，am ＜bm ，则一定有(B )A ．m ＝0B ．m ＜0C ．m ＞0D ．m 为任何实数知识点2 利用不等式的性质解不等式5．(梧州中考)不等式x －2>1的解集是(C )A ．x>1B ．x>2C ．x>3D ．x>46．(临夏中考)在数轴上表示不等式x －1＜0的解集，正确的是(C )7．(崇左中考)不等式5x ≤－10的解集在数轴上表示为(C )8．利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．(1)x＋3<－2；解：利用不等式性质1，两边都减3，得x<－5.在数轴上表示为：(2)9x>8x＋1；解：利用不等式性质1，两边都减8x，得x>1.在数轴上表示为：(3)12x≥－4；解：利用不等式性质2，两边都乘以2，得x≥－8. 在数轴上表示为：(4)－10x≤5.解：利用不等式性质3，两边都除以－10，得x≥－12 .在数轴上表示为：知识点3 不等式的简单应用9．(绵阳中考)设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为(C)A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■10．某单位打算和一个体车主或一出租车公司签订月租合同．个体车主答应除去每月1 500元租金外，每千米收1元；出租车公司规定每千米收2元，不收其他费用．设该单位每月用车x千米时，乘坐出租车合算，请写出x的范围．解：根据题意，得1 500＋x>2x，解得x<1 500.∵单位每月用车x(千米)不能是负数，∴x的取值范围是0<x<1 500.中档题11．(滨州中考)a、b都是实数，且a<b，则下列不等式的变形正确的是(C) A．a＋x>b＋x B．－a＋1<－b＋1C．3a<3b D.a2> b 212．(云南中考)不等式2x－6＞0的解集是(C)A．x＞1 B．x＜－3C．x＞3 D．x＜313．(乐山中考)下列说法不一定成立的是(C)A．若a>b，则a＋c>b＋cB．若a＋c>b＋c，则a>bC．若a>b，则ac2>bc2D．若ac2>bc2，则a>b14．若式子3x＋4的值不大于0，则x的取值范围是(D)A．x＜－43B．x≥43C．x＜43D．x≤－4315．利用不等式的基本性质求下列不等式的解集，并写出变形的依据．(1)若x＋2 016>2 017，则x>1；(不等式两边同时减去2_016，不等号方向不变)(2)若2x>－13，则x>－16；(不等式两边同时除以2，不等号方向不变)(3)若－2x>－13，则x<16；(不等式两边同时除以－2，不等号方向改变)(4)若－x7>－1，则x<7.(不等式两边同时乘以－7，不等号方向改变) 16．利用不等式的性质填空(填“>”或“<”)．(1)若a>b，则2a＋1>2b＋1；(2)若－1.25y<－10，则y>8；(3)若a<b，且c<0，则ac＋c>bc＋c；(4)若a>0，b<0，c<0，则(a－b)c<0. 17．指出下列各式成立的条件：(1)由mx<n，得x<n m ；(2)由a<b，得ma>mb；(3)由a>－5，得a2≤－5a；(4)由3x>4y，得3x－m>4y－m.解：(1)m>0.(2)m<0.(3)－5<a≤0.(4)m为任意实数．18．利用不等式的性质解下列不等式．(1)8－3x＜4－x；解：不等式两边同加x，得8－2x＜4.不等式两边同减去8，得－2x＜－4.不等式两边同除以－2，得x>2.(2)2(x－1)<3(x＋1)－2.解：去括号，得2x－2<3x＋3－2.不等式两边加上2，得2x<3x＋3.不等式两边减去3x，得－x<3.不等式两边乘以－1，得x>－3.(3)x－13≥12x－1.解：不等式两边都乘以6，得2(x－1)≥3x－6.去括号，得2x－2≥3x－6.不等式两边都加2，得2x≥3x－4.不等式两边都减去3x，得－x≥－4.不等式两边除以－1，得x≤4.综合题19．(佛山中考)现有不等式的两个性质：①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变．请解决以下两个问题：(1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0)；(2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0)．解：(1)若a＞0，则a＋a＞0＋a，即2a＞a.若a＜0，则a＋a＜0＋a，即2a＜a.(2)若a＞0，由2＞1得2·a＞1·a，即2a＞a.若a＜0，由2＞1得2·a＜1·a，即2a＜a.不等式及其解集基础题知识点1 不等式1．(黑龙江校级月考)下列式子：①1x＜y＋5；②1＞－2；③3m－1≤4；④a＋2≠a－2中，不等式有(C)A．2个B．3个C．4个D．1个2．“数x不小于2”是指(B)A．x≤2 B．x≥2C．x＜2 D．x＞23．(陕西校级期末)若m是非负数，则用不等式表示正确的是(D) A．m＜0 B．m＞0C．m≤0 D．m≥04．2016年2月1日武汉市最高气温是8 ℃，最低气温是－2 ℃，则当天武汉市气温变化范围t(℃)是(D)A．t＞8 B．t＜2C．－2＜t＜8 D．－2≤t≤85．用适当的符号表示下列关系：(1)a－b是负数：a－b＜0；(2)a比5大：a＞5；(3)x是非负数：x≥0；(4)m不大于－3：m≤－3．6．“b的12与c的和是负数”用不等式表示为12b＋c<0.知识点2 不等式的解和解集7．下列说法中，错误的是(C)A．x＝1是不等式x＜2的解B．－2是不等式2x－1＜0的一个解C．不等式－3x＞9的解集是x＝－3D．不等式x＜10的整数解有无数个8．用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是(C)A．x>－2 B．x<－2C．x≥－2 D．x≤－29．以下所给的数值中，是不等式－2x＋3＜0的解的是(D)A．－2 B．－1 C.32D．210．(长春中考改编)不等式x＜－2的解集在数轴上表示为(D)11．在下列各数：－2，－2.5，0，1，6中，不等式23x>1的解有6；不等式－23x>1的解有－2，－2.5.12．把下列不等式的解集在数轴上表示出来．(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－32. 解：(1)(2)(3)(4)13．不等式的解集x<3与x≤3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．解：x<3的解集是小于3的所有数，在数轴上表示出来是空心圆圈；而x≤3的解集是小于且等于3的所有数，在数轴上表示出来是实心圆点，包括3这个数，把它们表示在数轴上为：中档题14．x与3的和的一半是负数，用不等式表示为(C)A.12x＋3>0 B.12x＋3<0C.12(x＋3)<0 D.12(x＋3)>015．(桂林中考)下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是(D) A．5 B．4 C．3 D．2 16．(潍坊中考)对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3.若[x＋410]＝5，则x的取值可以是(C)A．40B．45C．51D．5617．某饮料瓶上有这样的字样：Eatable Date 18 months.如果用x(单位：月)表示Eatable Date(保质期)，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为x≤18. 18．用不等式表示：(1)a与5的和是非负数；解：a＋5≥0.(2)a与2的差是负数；解：a－2<0.(3)b的10倍不大于27.解：10b≤27.19．下列数值中哪些是不等式3x－1≥5的解？哪些不是？100，98，51，12，2，0，－1，－3，－5.解：100，98，51，12，2是不等式3x－1≥5的解；0，－1，－3，－5不是不等式3x－1≥5的解．20．直接写出下列各不等式的解集：(1)x＋1＞0；解：x＞－1.(2)3x＜6.解：x＜2.21．由于小于6的每一个数都是不等式12x－1<6的解，所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法对不对？解：这种说法是错的．22．学校要购买2 000元的图书，包括名著和辞典，名著每套65元，辞典每本40元，现已购买名著20套，问最多还能买几本辞典？(列式即可) 解：设还能买x本辞典，得20×65＋40x≤2 000.综合题23．阅读下列材料，并完成填空．你能比较2 0152 016和2 0162 015的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，比较n n＋1和(n＋1)n(n≥1，且n为整数)的大小．然后从分析n＝1，n＝2，n＝3…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论．(1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小：(在横线上填上“>”“＝”或“<”)①12<21；②23<32；③34>43；④45>54；⑤56>65；⑥67>76；⑦78>87；(2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出n n＋1和(n＋1)n的大小关系；(3)根据以上结论，可以得出2 0162 017和2 0172 016的大小关系．解：(2)当n＝1或2时，n n＋1<(n＋1)n；当n≥3时，n n＋1>(n＋1)n.(3)2 0162 017>2 0172 016.。
不等式的变形练习(含参考答案)
不等式的变形练习(含参考答案)本文档提供了一些关于不等式的变形练，以帮助读者加深对不等式的理解和解题能力。
以下是一些练题和参考答案。
1. 将下列不等式变形并求解：a. 3x - 4 > 7b. 2(x + 5) ≤ 3x - 1参考答案：a. 变形后的不等式为 x > 11/3，解集为 x ∈ (11/3, +∞)；b. 变形后的不等式为x ≥ 11/5，解集为 x ∈ [11/5, +∞)。
2. 解下列不等式组：{ 3x - y ≥ 2{ x + y < 5参考答案：将第一个不等式变形为y ≤ 3x - 2，将第二个不等式变形为 y > -x + 5，则不等式组的解集为 x ∈ (-∞, +∞)，y ∈ (-∞, 3x - 2]。
3. 将下列不等式变形并求解：a. |x + 3| ≤ 5b. |2x - 1| > 7参考答案：a. 变形后的不等式为 -8 ≤ x ≤ 2，解集为 x ∈ [-8, 2]；b. 变形后的不等式为 x > 4 或 x < -3，解集为 x ∈ (-∞, -3) ∪ (4, +∞)。
4. 解下列不等式组：{ x + y > 3{ x - 2y < 4参考答案：将第一个不等式变形为 y > 3 - x，将第二个不等式变形为 y > (x - 4)/2，则不等式组的解集为 x ∈ (-∞, +∞)，y ∈ (3 - x, +∞)。
5. 将下列不等式变形并求解：a. 2x + 3 > x - 5b. 4(x + 1) ≤ 2x + 5参考答案：a. 变形后的不等式为 x > -8，解集为 x ∈ (-8, +∞)；b. 变形后的不等式为x ≥ -3/2，解集为 x ∈ [-3/2, +∞)。
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高考数学一轮复习专题7不等式第48练基本不等式练习含解析0521165.docx
第48练 基本不等式[基础保分练]1.某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度最大的一种是( ) A.先提价p %，后提价q % B.先提价q %，后提价p % C.分两次提价p ＋q2%D.分两次提价p 2＋q 22%(以上p ≠q )2.(2019·衢州二中期中)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( ) A.p ≥q B.p >q C.p <qD.p ≤q3.(2019·金华一中模拟)下列不等式：①x ＋1x≥2；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③若0<a <1<b ，则log a b＋log b a ≤－2；④若0<a <1<b ，则log a b ＋log b a ≥2. 其中正确的是( ) A.②④B.①②C.②③D.①②④ 4.若正数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y的最大值为( ) A.13B.38C.37D.1 5.已知向量OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，OC →＝mOA →－nOB →(m >0，n >0)，若m ＋n ＝1，则|OC →|的最小值为( ) A.52B.102C.5D.10 6.(2019·嘉兴模拟)已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x ，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A.53B.9C.4＋26D.107.已知A ，B 是函数y ＝2x的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，－2)C.(－1，＋∞)D.(－2，＋∞)8.(2019·诸暨质检)若实数a ，b ，d ，e 满足3≤a ≤b ≤d ≤e ≤12，则a b ＋d e的最小值是( ) A.2B.2C.1D.229.已知点P (1,1)在直线ax ＋4by －1＝0(ab >0)上，则1a ＋1b的最小值为________.10.已知x <0，且x －y ＝1，则x ＋12y ＋1的最大值是______.[能力提升练]1.若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪[4，＋∞)B.(－∞，－4]∪[2，＋∞)C.(－4,2)D.(－2,4)2.在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且AC →＝4AD →，P 为BD 上一点，向量AP →＝λAB →＋μAC →(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( )A.16B.8C.4D.23.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a b sin A＝3，a 2＋c 2＝4，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.43B.23C.13D.164.在实数集R 中定义一种运算“*”，任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0).关于函数f (x )＝e x *1ex 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3； ②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]. 其中正确说法的序号为( ) A.①B.①②C.①②③D.②③5.已知a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1的最小值为________.6.(2019·温州九校联考)已知a ，b ，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝10，则ab ＋ac ＋bc 的最大值是________，ab ＋ac ＋2bc 的最大值是________.答案精析基础保分练1.D2.A3.C4.A5.C6.B7.B8.C9.9 10.12－ 2能力提升练 1.C 2.A 3.B4.B [由于对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)， 则由对任意a ∈R ，a *0＝a ，可得a *b ＝ab ＋a ＋b . 则有f (x )＝e x *1e x ＝e x ·1e x ＋e x ＋1e x ＝1＋e x＋1e x ，对于①，由于定义域为R ， 则e x >0,1＋e x＋1ex ≥1＋2e x·1ex ＝3，当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时，f (x )取最小值3，故①对；对于②，由于定义域为R ，关于原点对称， 且f (－x )＝1＋e －x＋1e －x ＝1＋e x＋1ex ＝f (x )，则f (x )为偶函数，故②对； 对于③，f ′(x )＝e x －e －x，令f ′(x )≥0，则x ≥0，即f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)，故③错.] 5.8解析 因为a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＝a ＋b ＋c －a a ·a ＋b ＋c －b b ·a ＋b ＋c －c c ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1的最小值为8.6.10 53＋5解析 因为ab ＋ac ＋bc ≤2a 2＋2b 2＋2c 22＝10，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，又因为12a 2＋xb 2≥2x ab (0≤x ≤1)，12a 2＋yc 2≥2y ac (0≤y ≤1)，(1－x )b 2＋(1－y )c 2≥2－x－y bc ，令2x ＝2y ＝－x－y ，即x ＝y ＝2－3，故此时有a2＋b2＋c2≥(3－1)(ab＋ac＋2bc)，即ab＋ac＋2bc≤53＋5，当且仅当22a＝2－3b＝2－3c时取等号.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2018高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测第48课 不等式的综合应用 Word版含答案
第课不等式的综合应用应知应会.已知>>(>).若是的充分不必要条件,则的最大值为..已知为实数,那么的最大值为..已知函数(),那么<的解集为..(·安阳一中模拟)若对任意>,≤恒成立,则实数的取值范围是..已知函数(),求不等式()≤()的解集..如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间的道路(图中阴影部分)的宽度均为.问:怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求出其最大面积.(第题)巩固提升.(·四川卷)已知函数()()()(≥≥)在区间上单调递减,那么的最大值为..(·南京、盐城、徐州二模)已知α,β均为锐角,且(αβ),那么α的最大值是..若函数()的最小值为,则实数的值为..(·浙江卷)已知实数满足≤,那么的最大值是..已知函数()'()为()的导函数,设()'(),若对于任意的∈[],不等式()<()恒成立,求实数的取值范围. .(·镇江期末)如图,某工业园区是半径为的圆形区域,距离园区中心点处有一中转站,现准备在园区内修建一条笔直的公路,公路经过该中转站,并把园区分成两个区域.()设中心对公路的视角为α,求α的最小值,并求较小区域面积的最小值;()为方便交通,准备过中转站在园区内再修建一条与垂直的笔直公路,求两条公路长度和的最小值.(第题)第课不等式的综合应用应知应会.【解析】由题意知>或<,设(),则所以<≤,所以的最大值为..【解析】函数的定义域为[],且>,所以≤·,当且仅当,即时等号成立..【解析】原不等式可化为<,所以①或②由①解得≤<,由②解得<,所以所求解集为..【解析】因为>,所以≤,当且仅当(>),即时等号成立,故实数的取值范围是∞..【解答】()其图象如图所示.当≥时,令()(),即,解得(,舍去),从而不等式()≤()等价于≤,解得≥,即不等式()≤()的解集为[∞).(第题).【解答】设休闲广场的长为,则宽为,绿化区域的总面积为,则()。
高三数学 第48练 不等式综合练
第48练 不等式综合练1．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q 等于( ) A ．[2,3] B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．(2,3]D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞)2．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2D ．4 33．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－44．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么使不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0成立的x 的取值范围是( ) A ．(32，152)B ．[2,8]C ．[2,8)D ．[2,7)5．(2016·潍坊联考)已知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为{x |a <x <b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．4 2B ．8C ．9D ．12二、填空题6．(2016·山西大学附中检测)已知函数f (x )＝|lg x |，a >b >0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．7．(2017·宁德质检)设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)．若OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则μ的最大值为________．8．(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x的最小值为________． 三、解答题9．(2016·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完． (1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？10．(2016·海口一模)已知函数f (x )＝x ＋m x＋2(m 为实常数)．(1)若函数f (x )图象上动点P 到定点Q (0,2)的距离的最小值为2，求实数m 的值； (2)若函数y ＝f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；(3)设m <0，若不等式f (x )≤kx 在x ∈[12，1]时有解，求k 的取值范围．答案精析1．C [依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1<x ≤3}，则(∁R P )∩Q ＝(2,3]，故选C.] 2．D [由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)， OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3. 作出可行域，如图所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.]3．C [∵x <0，∴f (x )＝－[(－x )＋1?－x ?]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．]4．C [由4[x ]2－36[x ]＋45<0得32<[x ]<152，又因为[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x <8.故选C.]5．C [易知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9.] 6．2 2解析 由函数f (x )＝|lg x |，a >b >0，f (a )＝f (b )，可知a >1>b >0，所以lg a ＝－lg b ，b ＝1a ，a －b ＝a －1a >0，则a 2＋b2a －b＝a 2＋(1a)2a －1a＝a －1a ＋2a －1a ≥22(当且仅当a －1a ＝2a －1a，即a ＝2＋62时，等号成立)．7．3解析 设P 的坐标为(x ，y )，因为OP →＝λm ＋μn ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，解得μ＝x －y .题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分， 由图可知，当目标函数μ＝x －y 过点G (3,0)时，μ取得最大值3－0＝3. 8. 2解析 由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋(2y )2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号． 9．解 (1)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－(x ＋10 000x)，∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250?0<x <80，x ∈N *?，1 200－(x ＋10 000x)??x ≥80，x ∈N *?.(2)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950. 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，∴当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 10．解 (1)设P (x ，y )，则y ＝x ＋mx＋2，PQ 2＝x 2＋(y －2)2＝x 2＋(x ＋mx )2＝2x 2＋m 2x2＋2m ≥22|m |＋2m ＝2，当m >0时，解得m ＝2－1； 当m <0时，解得m ＝－2－1. 所以m ＝2－1或m ＝－2－1.(2)由题意知，任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋m x 2＋2－(x 1＋m x 1＋2)＝(x 2－x 1)·x 1x 2－mx 1x 2>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0， 所以x 1x 2－m >0，即m <x 1x 2. 由x 2>x 1≥2，得x 1x 2>4，所以m ≤4. 所以m 的取值范围是(－∞，4]． (3)由f (x )≤kx ，得x ＋m x＋2≤kx . 因为x ∈[12，1]，所以k ≥m x 2＋2x ＋1.令t ＝1x，则t ∈[1,2]，所以k ≥mt 2＋2t ＋1.令g (t )＝mt 2＋2t ＋1，t ∈[1,2]，于是，要使原不等式在x ∈[12，1]时有解，当且仅当k ≥[g (t )]min (t ∈[1,2])．因为m <0，所以g (t )＝m (t ＋1m )2＋1－1m的图象开口向下，对称轴为直线t ＝－1m>0.因为t ∈[1,2]，所以当0<－1m ≤32，即m ≤－23时，g (t )min ＝g (2)＝4m ＋5；当－1m >32，即－23<m <0时，g (t )min ＝g (1)＝m ＋3.综上，当m ≤－23时，k ∈[4m ＋5，＋∞)；当－23<m <0时，k ∈[m ＋3，＋∞)．。
高考数学一轮复习专题7不等式第48练不等式中的易错题练习含解析
第48练 不等式中的易错题1．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >1时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x有最小值2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 有最大值322．不等式(a －3)x 2＋2(a －3)x －4<0对于一切x ∈R 恒成立，那么实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)B ．(－1,3]C ．(－∞，－3]D ．(－3,3) 3．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，57 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57 4．(2019·银川一中月考)已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．65．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z的最小值为 ( )A ．336B ．2C ．12D ．12356．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.154B.72C.52D.1527．若正数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最大值为( ) A.13B.38C.37D ．1 8．设0<x <1，a >0，b >0，a ，b 为常数，则a 2x ＋b 21－x的最小值是( ) A ．4abB ．2(a 2＋b 2)C ．(a ＋b )2D ．(a －b )29．已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，则ab ＋c 的最小值为( )A ．－2B ．－32C ．－1D ．－1210．点M (x ，y )在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b 为正实数，则1a ＋1＋1b的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的最小值为________．12．不等式2－x x ＋1<1的解集是________________． 13．对于实数x 和y ，定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若对任意x >2，不等式(x －m )⊗x ≤m ＋2都成立，则实数m 的取值范围是____________． 14．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋2c (x ∈R )的值域为[0, ＋∞)，则a 4c 2＋4＋2c a 2＋4的最小值为________．15．若正数a ，b 满足3a ＋b ＝1，则9a 2＋b 2＋ab 的最大值为________．16．已知函数f (x )＝e x ，若关于x 的不等式[f (x )]2－2f (x )－a ≥0在[0,1]上有解，则实数a 的取值范围为____________．答案精析1．D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 9.C10．A [曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0可化为(x －2)2＋y 2＝25，表示圆心为A (2,0)，半径为5的圆． t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，(x ＋6)2＋(y －6)2可以看作点M 到点N (－6，6)的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为|AN |＋5，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点，所以直线AN 的方程为y ＝－34(x －2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34x －，x －2＋y 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝6，y 1＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝3(舍去)， ∴当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝－3时，t 取得最大值， 且t max ＝(6＋6)2＋(－3－6)2－222－a ＝b ，∴a ＋b ＝3，∴(a ＋1)＋b ＝4，∴1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [(a ＋1)＋b ] ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1＋a ＋1b ＋2≥1， 当且仅当ba ＋1＝a ＋1b ，且a ＋b ＝3， 即a ＝1，b ＝2时等号成立．故选A.]11．－2解析 不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]成立⇔a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ，x ∈(0,1]． 令f (x )＝－x －1x，x ∈(0,1]， f ′(x )＝－1＋1x 2＝1－x 2x 2≥0，∴函数f (x )在x ∈(0,1]上单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，f (1)＝－1－1＝－2，∴a 的最小值为－2. 12.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >1213．(－∞，7]14.12 15.252416．(－∞，e 2－2e]解析 由[f (x )]2－2f (x )－a ≥0在[0,1]上有解，可得a ≤[f (x )]2－2f (x )，即a ≤e 2x －2e x .令g (x )＝e 2x －2e x (0≤x ≤1)，则a ≤g (x )max ，因为0≤x ≤1，所以1≤e x ≤e，则当e x ＝e ，即x ＝1时，g (x )max ＝e 2－2e ，即a ≤e 2－2e ，故实数a 的取值范围是(－∞，e 2－2e]．。
2018高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测：第48课 不等式的综合应用含答案
第48课不等式的综合应用A 应知应会1。
已知p：x2—4x—5〉0,q：x2-2x+1—m2〉0（m〉0）。
若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为。
2.已知x为实数，那么y=+的最大值为。
3.已知函数f(x）=x|x+1|,那么f<f的解集为。
4.(2015·安阳一中模拟）若对任意x〉0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是.5。
已知函数f(x)=x｜x—2|,求不等式f(—x）≤f（1）的解集.6.如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m2的矩形休闲广场,按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间的道路(图中阴影部分)的宽度均为2 m。
问：怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.(第6题）B 巩固提升1.(2015·四川卷）已知函数f(x)=（m-2)x2+(n—8）x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.2。
（2015·南京、盐城、徐州二模)已知α，β均为锐角，且cos(α+β)=，那么tan α的最大值是.3。
若函数f(x）=｜x+1｜+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为.4。
(2015·浙江卷)已知实数x,y满足x2+y2≤1，那么|2x+y—4|+｜6-x-3y｜的最大值是.5.已知函数f（x）=x3-x2+x,y=f'（x）为f(x)的导函数，设h(x)=ln f’（x)，若对于任意的x∈[0，1]，不等式h(x+1—t)〈h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围.6.（2016·镇江期末)如图,某工业园区是半径为10 km的圆形区域，距离园区中心O点5 km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直的公路AB,公路AB经过该中转站,并把园区分成两个区域.（1) 设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值;(2）为方便交通,准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值.(第6题）学必求其心得，业必贵于专精第48课不等式的综合应用A 应知应会1. 2【解析】由题意知p:x>5或x〈-1,设f（x）=x2-2x+1-m2，则所以0〈m≤2，所以m的最大值为2。
青岛版八年级数学下册一元一次不等式单元测试卷48
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
20.在数轴上有 ， 两点，其中点 所对应的数是 ，点 所对应的数是 ．已知 ， 两点间的距离小于 ，请你利用数轴作答下面的题．
（1）写出点 所满足的不等式．
（2）数 ， ， 所对应的点到点 的距离小于 吗?
故不等式组的解集为：
18.去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化为 ，得
解集在数轴上表示为
19.（1）是．
（2）不是，因为含有两个未知数．
（3）是．
（4）不是，未知数的次数大于 ．
20.（1）画出数轴如下图所示：
．
（2）数 ， 所对应的点到点 的距离小于 ；数 所对应的点到点 的距离不小于 ．
21.（1） 两边同时乘 ，得 ，
21.（1）若 ，且 ，求 的取值范围．
（2）已知关于 的不等式 可化为 ，试确定 的取值范围．
22.我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质?完成下列填空：
一般地，如果 那么 ．（用 “或” 填空）
你能应用不等式的性质证明上述关系式吗?
23.共享经济来临，某企业决定在无锡投入共享单车（自行车）和共享电单车（电动车）共 辆，已知每辆共享单车成本 元，每台共享电单车成本 元． 辆共享单车和 辆共享电单车每周盈利 元， 辆共享单车和 辆共享电单车每周盈利 元．
而 ，代入第三个式子得到 ，
所以 ．
所以他们的大小关系为 ．
10. D
【解析】根据题意可得不等关系： 货物总量 辆货车装走的货物 ，
根据不等关系可列不等式组，由题意得：
苏科版七年级数学下册一元一次不等式单元测试卷48
苏科版七年级数学下册一元一次不等式单元测试卷48一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是A. B. C. D.2. 已知不等式①、②、③的解集在数轴上的表示如图所示，则它们的公共部分的解集是B. D. 无解3. 下列说法正确的是A. 是不等式的解集B. 是不等式的解集C. 是不等式的解集D. 是不等式的解集4. 关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是：B. C. D.5. 若是关于的一元一次不等式，则的值为A. B. D.6. 甲、乙两人从地出发同向而行，乙以每小时千米的速度步行，比甲先出发小时，如果甲骑车在半小时内赶上乙，那么甲的速度应该是A. B. C. D.7. 不等式组的解集在数轴上可表示为A. B.C. D.8. 下列说法不一定成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则9. 用不等式表示下图的解集，其中正确的是A. B. C. D.10. 今年，重庆市南岸区广阳镇一果农李灿收获枇杷吨，桃子吨，现计划租用甲、乙两种货车共辆将这批水果全部运往外地销售．已知一辆甲种货车可装枇杷吨和桃子吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各吨．李灿安排甲、乙两种货车一次性地将水果运到销售地的方案数有A. 种B. 种C. 种D. 种二、填空题（共6小题；共30分）11. 的倍与的差不小于，列不等式为．12. 如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这个不等式组的整数解是．13. 如图，数轴上表示的不等式的解集为．14. 比较大小：若，则．（用“”“”或“”填空）15. 某班有学生人，会下象棋的人数比会下围棋的人数的倍少人，两种棋都会下的至多人，但不少于人，则会下围棋的有人．16. 已知，则的最小值等于．三、解答题（共8小题；共104分）17. 解不等式：，并在数轴上表示解集．18. 赵军说不等式永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以，就会出现这样的错误结论．他的说法对吗?19. 当，，时，分别比较代数式与的值的大小．20. 在数轴上表示下列不等式的解集．（1）；（2）．21. 解不等式组并写出它的所有非负整数解．22. 某公司为了扩大经营，决定购进台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．已知本次购买机器所耗资金不能超过万元．（1）按该公司要求可以有几种购买方案?（2）如果该公司购进的台机器的日生产量不能低于个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案?23. 赣州某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共辆，若购买A型公交车辆，B型公交车辆，共需万元；若购买A型公交车辆，B型公交车辆，共需万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?（2）预计在该条线路上A型和B型公交车，每辆年均载客量分别为万人次和万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车，在该线路的年均载客量总和，不少于万人次，则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?24. 我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质?完成下列填空：一般地，如果那么．（用“或”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗?答案第一部分1. A 【解析】B选项错误，原题数轴表示的是；C选项错误，原题数轴表示的是；D选项错误，原题数轴表示的是．2. B3. D4. B 【解析】提示：先解含参不等式，即，令，即可解得．5. B6. D7. D 【解析】提示：解第一个不等式得，解第二个不等式得，综合的．8. C9. D10. C【解析】设租用甲种货车辆，则租用乙种货车辆，依题意，得：解得：．为整数，，共有种租车方案．第二部分11.，13.14.15. 或【解析】设会下围棋的有人，则会下象棋的有人．根据题意，得，.因为为正整数，所以或 .16.第三部分17. 移项，得合并同类项，得系数化成，在数轴上表示如图所示．18. 不对．因为当时，就有．这时在这个不等式两边同除以，得．19. ．当时，，．当时，，．当时，，，，．20. （1）（2）21.由得由得，非负整数解为，，，．22. （1）设购买甲种机器台，则购买乙种机器台．根据题意，得解得，．又为整数，的值可以为，，．可以有三种购买方案：方案一：购买乙种机器台；方案二：购买甲种机器台，乙种机器台；方案三：购买甲种机器台，乙种机器台．（2）列表如下：由于方案一的日生产量小于个，因此不选择方案一；方案二、方案三的日生产量都大于个，方案三比方案二多耗资万元，故选择方案二，即购买甲种机器台，乙种机器台．23. （1）设购买A型公交车每辆需万元，购买B型公交车每辆需万元，由题意得：解得答：购买A型公交车每辆需万元，购买B型公交车每辆需万元．（2）设购买A型公交车辆，则B型公交车辆，由题意得：解得：因为是整数，所以，则，所以有三种购车方案：①购买A型公交车辆，则B型公交车辆：万元②购买A型公交车辆，则B型公交车辆：万元，③购买A型公交车辆，则B型公交车辆：万元，购买A型公交车辆，则B型公交车辆费用最少，最少总费用为万元．24. ；；；证明：，．，，．。
2021年高考数学大一轮复习 第八章 第48课 基本不等式及其应用(二)检测评估
2021年高考数学大一轮复习第八章第48课基本不等式及其应用（二）检测评估一、填空题1. 已知函数y=x-3+(x>-1).若当x=a时,该函数取得最小值b,则a+b= .2. (xx·四川卷)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则PA·PB的最大值是.3. (xx·武汉模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为.(第3题)4. 若正数x,y满足2x+y-3=0,则的最小值为.5. 设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为.6. 若对任意的x>0, ≤a恒成立,则实数a的取值范围是.7. 设奇函数f(x)在[-1,1]上是单调增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,则当a∈[-1,1]时,实数t的取值范围是.8. (xx·宁德模拟)已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),那么x 1+x2+的最小值为.二、解答题9. (xx·安丰高级中学)已知在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b2+c2-a2)tanA=bc.(1) 求角A的大小;(2) 若a=2,求△ABC面积S的最大值.10. (xx·湖北模拟)已知抛物线y2=8x的焦点为F,点(x,y)为该抛物线上的动点,且点A(-2,0),求的取值范围.11. 如图,两个工厂A,B相距2 km,点O为AB的中点,现要在以O为圆心、2 km 为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼,其中MA⊥AB,NB⊥AB.据测算,此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比,比例系数是1;办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比,比例系数是4;办公楼受A,B两厂的“总噪音影响度”y是受A,B两厂“噪音影响度”的和,设AP为x km.(1) 求“总噪音影响度”y关于x的函数解析式,并求出该函数的定义域.(2) 当AP为多少时,“总噪音影响度”最小?(第11题)第48课基本不等式及其应用(二)1. 4 解析:y=x-3+=x+1+-4,因为x>-1,所以x+1>0,>0,由均值不等式得y=x+1+-4≥2-4=2,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以a=2,b=2,a+b=4.2. 5 解析:由题意可知,定点A(0,0),B(1,3),且两条直线互相垂直,则其交点P(x,y)落在以AB为直径的圆上,所以PA2+PB2=AB2=10,所以PA·PB≤=5,当且仅当PA=PB时,等号成立.3. 20m 解析:设矩形花园另一边长为y m,则=,所以x+y=40,所以面积S=xy≤=400,当且仅当x=y=20时等号成立,即当x=20时面积最大.4. 3 解析:由2x+y-3=0,得+=1,则=+==+≥×2+=3.5. 4 解析:由题意知3a×3b=,即3a+b=3,所以a+b=1.所以+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时取等号,所以最小值为4.6. 解析:因为x>0,所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),所以=≤=,即的最大值为,故a≥.7. {t|t≤-2或t=0或t≥2} 解析:因为奇函数f(x)在[-1,1]上是单调增函数,且f(-1)=-1,所以最大值为f(1)=1,要使f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,则1≤t2-2at+1,即t2-2at≥0,即t(t-2a)≥0,当t=0时,不等式成立,当0≤a≤1时,不等式的解为t≥2;当-1≤a≤0时,不等式的解为t≤-2.8. 解析:由题意知x1+x2=4a,x1x2=3a2,所以x1+x2+=4a+≥2 =,当且仅当a=时,等号成立.9. (1) 由已知得·=,所以sinA=.又因为△ABC为锐角三角形,所以A=60°.(2) 因为a=2,A=60°,所以b2+c2=bc+4, S=bcsinA=bc.又b2+c2≥2bc,所以bc+4≥2bc bc≤4,所以S=bc≤×4=,所以△ABC面积S的最大值为.10. 由抛物线的定义可得PF=x+2,又PA==,所以==,当x=0时,=1;当x≠0时,=,因为x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,所以x++4≥8,所以≤1,所以∈(1,].综上,的取值范围是[1,].11. (1) 连接OP,设∠AOP=α,则≤α≤.在△AOP中,由余弦定理得x2=12+22-2×1×2×cosα=5-4cosα,在△BOP中,由余弦定理得BP2=12+22-2×1×2×cos(π-α)=5+4cosα,所以BP2=10-x2,则y=+=+.因为≤α≤,所以-≤cosα≤,所以3≤5-4cosα≤7,即≤x≤.所以y=+,定义域为[,].(2) 方法一:由(1)得y=+=（+）·[x2+(10-x2)]=≥=,当且仅当=,即x2=时取等号,此时x=∈[,].故当AP为km时,“总噪音影响度”最小.方法二:令t=x2,则y=+(3≤t≤7),所以y'=+==.令y'=0,得t=或t=-10(舍去).当t∈时,y'<0,函数单调递减;当t∈时,y'>0,函数单调递增.所以当t=,即x=∈[,]时,y有最小值.故当AP为km时,“总噪音影响度”最小. 38069 94B5 钵36367 8E0F 踏T34412 866C 虬q33519 82EF 苯35921 8C51 豑zq25120 6220 戠 -E 32349 7E5D 繝。
高三数学简易教学小专题8 基本不等式【涉指数、对数、三角等】讲义【Word版含答案】
《不等式》专题8-1 基本不等式涉指数、对数、三角等（6套4页含答案）知识点：典型例题：1. 已知：226x y+=， 则 2x y+的最大值是＿①＿＿2. 若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为_____②___．3. 下列函数中最小值是4的是（ ③ ）A.x x y 4+=B.x x y sin 4sin +=C.x x y -++=1122D.0,31122≠+++=x x x y随堂练习：1. 设R b a ∈,，且3=+b a ，则ba22+的最小值是（ ④ ）A ．6B ．24C ．22D ．622. 已知x>0，y>0且x ＋y ＝5，则lgx ＋lgy 的最大值是 ⑤ ．3. 下列函数中，最小值为4的是（ ⑥ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+(0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+《不等式》专题8-2 基本不等式涉指数、对数、三角等1. （填空4）已知,063,,=+-∈b a R b a 且则的最小值为b a812+⑦ 2. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ⑧)A. 10B. 63C. 46D. 1833. 点),(n m 在直线1=+y x 位于第一象限内的图象上运动，则n m 22log log +的最大值是⑨_______.4. 已知33log log 2,m n m n +=+则的最小值是( ⑩)Ａ. B.2 Ｃ. 6 D.5. （多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（11 ）A.149a b +≥ B.a 2+b 2≥2139b + C. 22a b +≥ D.log 2a+log 2b ≤ -26. 求1sin sin 2+=x xy ，（0π<<x ）的最大值。
（12）7. （多选）已知0,2a b a b >>+=，则（13 ）A b 的最大值是94B ．122a b ++的最小值是C ．sin 2a b +<D ．ln 1b a +>《不等式》专题8-3 基本不等式涉指数、对数、三角等1. 已知函数g(x)＝2x ，g(a)g(b) ＝2，若a ＞0且b ＞0，则ab 的最大值为（14）A ．12 B ．14C. 2 D ．42. 若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是___15_____．3. 已知x>0，y>0，lg x ＋lg y ＝1，求2x ＋5y的最小值．164. 函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x>1)的最小值为( 17 )A ．－3B ．3C ．4D ．－45. （多选）已知 a>0，b>0，且 a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（ 18 ）A. ab ≤1B.112a b+≤ C. lga+lgb ≤0 D. a+b ≤ 26. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是____19____(写出所有正确命题的编号)．①若ab>c 2，则C<π3； ②若a ＋b>2c ，则C<π3；③若a 3＋b 3＝c 3，则C<π2； ④若(a ＋b)c<2ab ，则C>π2； ⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C>π3.7. 下列函数中最小值为4的是（20 ）A. 224y x x =++ B. 4sin sin y x x =+C. 222x x y -=+D. 4ln ln y x x=+《不等式》专题8-4 基本不等式涉指数、对数、三角等1. 已知x ， y 满足10x y ++=，则22x y A =+的最小值是21 .2. 若244x y +=，则2x y +的最大值是 22 .3. 己知函数x x f ln )(=，若b a <<0，且)()(b f a f =，则b a 4+的取值范围是23____________．4. 设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b ==+=11x y+的最大值为24___.5. 已知0a b <<，且1a b +=，则下列不等式中，正确的是（25）A ．2log 0a >B ． 122a b-< C ．122a b b a+<D ．22log log 2a b +<-6. 已26知: 在ABC ∆中， ∠A ，∠B ，∠C ， 的对边分别是a ， b ， c ，则求满足下列条件的∠B 的 范围分别是什么。
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1．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q 等于( ) A ．[2,3] B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．(2,3]D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞)2．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2D ．4 33．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－44．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么使不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0成立的x 的取值范围是( ) A ．(32，152)B ．[2,8]C ．[2,8)D ．[2,7)5．(2016·潍坊联考)已知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为{x |a <x <b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．4 2B ．8C ．9D ．12二、填空题6．(2016·山西大学附中检测)已知函数f (x )＝|lg x |，a >b >0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．7．(2017·宁德质检)设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)．若OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则μ的最大值为________．8．(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x的最小值为________． 三、解答题9．(2016·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完． (1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？10．(2016·海口一模)已知函数f (x )＝x ＋m x＋2(m 为实常数)．(1)若函数f (x )图象上动点P 到定点Q (0,2)的距离的最小值为2，求实数m 的值； (2)若函数y ＝f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；(3)设m <0，若不等式f (x )≤kx 在x ∈[12，1]时有解，求k 的取值范围．答案精析1．C [依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1<x ≤3}，则(∁R P )∩Q ＝(2,3]，故选C.] 2．D [由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)， OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3. 作出可行域，如图所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.]3．C [∵x <0，∴f (x )＝－[(－x )＋1?－x ?]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．]4．C [由4[x ]2－36[x ]＋45<0得32<[x ]<152，又因为[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x <8.故选C.]5．C [易知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9.] 6．2 2解析 由函数f (x )＝|lg x |，a >b >0，f (a )＝f (b )，可知a >1>b >0，所以lg a ＝－lg b ，b ＝1a ，a －b ＝a －1a >0，则a 2＋b2a －b＝a 2＋(1a)2a －1a＝a －1a ＋2a －1a ≥22(当且仅当a －1a ＝2a －1a，即a ＝2＋62时，等号成立)．7．3解析 设P 的坐标为(x ，y )，因为OP →＝λm ＋μn ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，解得μ＝x －y .题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分， 由图可知，当目标函数μ＝x －y 过点G (3,0)时，μ取得最大值3－0＝3. 8. 2解析 由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋(2y )2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号． 9．解 (1)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－(x ＋10 000x)，∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250?0<x <80，x ∈N *?，1 200－(x ＋10 000x)??x ≥80，x ∈N *?.(2)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950. 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，∴当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 10．解 (1)设P (x ，y )，则y ＝x ＋mx＋2，PQ 2＝x 2＋(y －2)2＝x 2＋(x ＋mx )2＝2x 2＋m 2x2＋2m ≥22|m |＋2m ＝2，当m >0时，解得m ＝2－1； 当m <0时，解得m ＝－2－1. 所以m ＝2－1或m ＝－2－1.(2)由题意知，任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋mx 2＋2－(x 1＋m x 1＋2)＝(x 2－x 1)·x 1x 2－mx 1x 2>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0， 所以x 1x 2－m >0，即m <x 1x 2. 由x 2>x 1≥2，得x 1x 2>4，所以m ≤4. 所以m 的取值范围是(－∞，4]． (3)由f (x )≤kx ，得x ＋m x＋2≤kx . 因为x ∈[12，1]，所以k ≥m x 2＋2x＋1.令t ＝1x，则t ∈[1,2]，所以k ≥mt 2＋2t ＋1.令g (t )＝mt 2＋2t ＋1，t ∈[1,2]，于是，要使原不等式在x ∈[12，1]时有解，当且仅当k ≥[g (t )]min (t ∈[1,2])．因为m <0，所以g (t )＝m (t ＋1m )2＋1－1m的图象开口向下，对称轴为直线t ＝－1m>0.因为t ∈[1,2]，所以当0<－1m ≤32，即m ≤－23时，g (t )min ＝g (2)＝4m ＋5；当－1m >32，即－23<m <0时，g (t )min ＝g (1)＝m ＋3.综上，当m ≤－23时，k ∈[4m ＋5，＋∞)；当－23<m <0时，k ∈[m ＋3，＋∞)．。