2013届高考数学快速提升成绩题型训练——数列求和

37．将等差数列{ }的所有项依次排列，并如下分组：（ ），（ ），（ ），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有 项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0，
（I）求数列{ }的通项公式；
（II）求数列{Tn}的通项公式；
（III）设数列{ Tn}的前n项和为Sn，求S8的值.
（取 ）
答案：
1.设 则
两式相减得
∴ .
2.解：由
由等比数列求和公式得 ＝ ＝ ＝1－
3.解：若a=0,则Sn=0若a=1,
则Sn=1+2+3+…+n=
若a≠0且a≠1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan
∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1
∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1=
综上所述， 。
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列 ，其中 （ ）为任意三项成等比数列，则 ，即 ，化简得 （*）
由 知， 与 同时为0或同时不为0
当 与 同时为0时，有 与题设矛盾。
故 与 同时不为0，所以由（*）得
因为 ，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而 为有理数。
（II）求证
33.已知数列{ }的各项分别为 的前n项和 .
34．已知数列{ }满足： 的前n项和
.
35．设数列{ }中， 中5的倍数的项依次记为
，
（I）求 的值.
（II）用k表示 ，并说明理由.
（III）求和：
36．数列{ }的前n项和为 ，且满足
（I）求 与 的关系式，并求{ }的通项公式；
（II）求和
若删去 ，则 ，即 化简得 ，得
综上，得 或 。
②当n=5时, 中同样不可能删去 ，否则出现连续三项。
若删去 ，则 ，即 化简得 ，因为 ，所以 不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 中，由于不能删去首项或末项，若删去 ，则必有 ，这与 矛盾；同样若删去 也有 ，这与 矛盾；若删去 中任意一个，则必有 ，这与 矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)
23.求证：
24.求 的值。
25.已知数列 的通项公式 ，求它的前n项和.
26.已知数列 的通项公式 求它的前n项和.
27.求和：
28.已知数列
29.求和
30.解答下列问题：
（I）设
（1）求 的反函数
（2）若
（3）若
31.设函数
求和：
32.已知数列 的各项为正数，其前n项和 ，
（I）求 之间的关系式，并求 的通项公式；
…………..……..②
①+②得 （反序相加）
∴
5.解：∵ = ）
Sn=
=
=
6.解：设S2002＝
由 可得
……
∵ （找特殊性质项）
∴S2002＝ （合并求和）
＝
＝
＝
＝5
7. 解：因为55…5=
所以Sn=5+55+555+…+55…5
=
=
=
解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。
另外：Sn=
可以拆成：Sn=（1+2+3+…+n）+( )
8.∵ 为等差数列，且1+17=5+13，
∴ .由题设易知 =117.
又 为 与 的等差中项，∴ .
9. (裂项)
于是有
方程组两边相加，即得
10.【证明】∵ ∴.
化简，得Sn-1－Sn= 2SnSn-1
两边同除以.SnSn-1，得
∴数列 是以 为首项，2为公差的等差数列.
由此猜想Sn＝ ，n＝1，2，3，…．
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝ ，
当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝ ，即Sk＋1＝ ，
故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知Sn＝ 对所有正整数n都成立．
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝ ，
∴Sn=
当a=0时，此式也成立。
∴Sn=
解析：数列 是由数列 与 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况。
4.证明：设 …………………………..①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由 可得
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由 可得
…………..……..②
①+②得 （反序相加）
∴
24.解：设 ………….①
将①式右边反序得
……②（反序）
又
①+②得（反序相加）
∴
25.
=
=
26.
27.注意：数列的第n项“n·1”不是数列的通项公式，记这个数列为 ，
∴其通项公式是
28. 为等比数列，∴应运用错位求和方法：
29.
而 运用反序求和方法是比较好的想法，
①，
②，
①+②得
30.（1）
（2） 是公差为9的等差数列，
（3）
31.
①当n为偶数时
=
②当n为奇数时
32.（I） ①，而 ②，
①—②得
的等差数列，
（II）
33.
（1）
（2）当
①
②当 时，1）当n为奇数时
2）当n为偶数时
34．当
而
②，
①－②得
35．（I）
（II）
综上可知，甲方案更好。
8.已知数列 是等差数列，且 ，求 的值.
9.已知数列 的通项公式为 求它的前n项的和.
10.在数列 中， 证明数列 是等差数列，并求出Sn的表达式.
11.数列 为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54.求其首项a1及公比q.
12.已知数列 求 .
13.设 为等差数列，Sn为数列 的前n项和，已知S7= 7,S15= 75.记Tn为数列 的前n项和，求Tn.
于是，对于任意的正整数 ，只要 为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如n项数列1， ， ，……， 满足要求。
40.解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
①甲方案获利： （万元），
银行贷款本息： （万元），
故甲方案纯利： （万元），
②乙方案获利：
（万元）；
银行本息和：
（万元）
故乙方案纯利： （万元）；
又n＝1时，a1＝ ＝ ，所以
｛an｝的通项公式an＝ ，n＝1，2，3，…．
19.解：∵ （找通项及特征）
（设制分组）
（裂项）
∴ （分组、裂项求和）：设
将其每一项拆开再重新组合得
当 时， ＝
当 时， ＝
22.解：设
∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得
23.证明：设 …………………………..①
，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
40.某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？
（III）
36．（I）
（II）
37．（I）设{ }的公差为d，则 ①， ②，解①、②得
（II）当 时，在前n－1组中共有项数为
∴第n组中的
（III）
38.解析：因为 ，
，
。
39.（1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。
若删去 ，则 ，即 化简得 ，得
14.解：Sn=
15.当 为正奇数时，
当 为正偶数时，
综上知 ，注意按 的奇偶性讨论！
16.
17.解：因为
所以
18.解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝ ．
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－ ，
2013届高考数学快速提升成绩题型训练——数列求和
1.求数列 , 的前 项和.
2 已知 ，求 的前n项和.
3.求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,…(a为常数)的前n项和。
4.求证：
5.求数列 ， ， ，…， ，…的前n项和S
6.数列{an}： ，求S2002.
7.求数5，55，555，…，55…5的前n项和Sn
∴ ∴
11.∵ ∴此数列为递增等比数列.故q≠1.
依题设，有
②÷①，得 ④
④代入①，得 ⑤
⑤代入③，得 ⑥
④代入⑥，得 ,再代入③，得a1=2,再代入⑤，得q= 3.
12.令 （裂项）
故有 = .
13.设等差数列 的公差为d，则 ( I )
∵ ∴
解得
代入（I）得 （II）
∵
∴数列 是首项为－2，公差为 的等差数列，∴
38.设数列 是公差为 ，且首项为 的等差数列，
求和：
39.（1）设 是各项均不为零的 （ ）项等差数列，且公差 ，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．