多元数量值函数积分学复习

数，则
例2 计算，其中是由两条抛物线之间、直线以下的闭区域. 解 积分区域如图9－44所示，关于轴对称，中是关于的奇函数，是 关于的偶函数，依对称性有
例3 计算二重积分，其中D是由直线和轴所围成的闭区域. 解 为计算积分，首先要将被积函数中绝对值符号去掉，如图所示， 抛物线将分成两个子区域、，其中
3．计算，双纽线的一周（）
7.4.2 第一型曲面积分的计算
一、物理解释：时得曲面面积
二、计算方法：投影，做二重积分 1．若曲面方程为，则
2．若曲面方程为，则
3．若曲面方程为，则
三、例题 例1 计算，表面 解 原式
例2 计算，其中是介于，之间的柱面。 解 （1）曲面向面投影，由对称性 原式，， 原式
二、多元数量值函数积分的性质 1 . 2. 3 4 ，则 5 设分别是f(M)在闭几何形体上的最大值和最小值，则
6 积分中值定理 设函数f(M)在闭几何形体上连续，则在上至少存在一
点，使得
三、多元数量值函数积分的分类
1． 二重积分= 。
2． 三重积分=,
(1)
3． 对弧长的曲线积分＝
或
4． 对面积的曲面积分
， 。
例7 一均匀物体是由曲面和所围成，试求该物体关于轴的转动惯量. 解 显然在xOy平面上的投影区域为，于是用柱面坐标，得
例8 由曲面和围成的立体，其密度为1，求绕直线：旋转的转动惯量. 解 如图所示，求立体绕直线l的转动惯量,必须先求得立体内任意一点 到直线l的距离的平方. 设为坐标原点到点的向径，则 其中 所以 故
； . 因此 被积函数在上是关于的偶函数，积分区域关于轴对称，也是关于轴 对称的，故
. 例4 设在区间上连续，证明. 证 在区间上连续，故在矩形区域，上连续，且. 显然
所以 ， 两端同乘以并开方得
例5 求由曲线与直线所围成的平面均匀薄片对于通过坐标原点的任 一直线的转动惯量,并讨论转动惯量在哪种情况下，取得最大值或最小 值.
1、 计算方法：设参数，化定积分
1．
2.
3. 1’ 2’ (此类空间曲线常以隐式方程形式出现) 特殊的：平行轴线段 ，平行轴线段 例1 计算，如图ABCDEA
解 其中
, , 故原式 例2 设为周长为a的椭圆。计算 解 由对称性 ， 例3 计算，交线 解 由轮换对称性 ，
原式 习题 1．计算，摆线 ，（一拱） （ 2．计算，，一周 （星形线：）
， 其中为引力元素在三个坐标轴上的分量， ，为引力常数，将在上分别积分，即得 F .
例1 设平面薄片占有平面上的半圆闭区域，，面密度为常数，求它对 位于处的单位质量的质点的引力。
解 由对称性有， ， （G为引力常数）
区域关于轴对称 关于是奇函数 关于轴对称，关于是奇函数。 规范语言：中被积函数关于是奇函数，区域关于对称，
中被积函数关于奇函数，区域关于对称，则积分为零。
反之，被积函数关于是偶函数，区域关于对称，则积分等于一半区 间上积分值的二倍。
例 计算，其中由，，围成，连续。 解 作，分区域为，，，如图 原式 注：如上奇偶性分析对三重积分，一型线积分，一型曲面积分其结 论都是对的。 例5 （极坐标）计算双纽线围成区域的面积。
＝,
7.2 二重积分
计算方法：“画线定限”累次积分积之。 说明： 1 方法：“画线”定限（切点D）
2 选择积分次序要合适，若先y后x不能积出结果。
3 不可积函数 等等 例1 计算 解
； 习题 1 计算
2 计算 3 于上连续，，求。 解 令，则，，， 原式
例2 交换积分次序 （1） （2）
例4 （函数的奇偶性与区域对称性） 引例 和围成
由对称性知
再用柱坐标可得 例9 设函数连续，且，若
其中 求
解
于是 ＝ ＝ ＝ ＝
第七章 多元数量值函数积分学
7．1 多元数量值函数积分的概念与性质
一、多元数量值函数积分的概念 ＝I＝
可积的必要条件 若函数f(M)在几何形体上可积，则f(M)在上闭有 界。
可积的充分条件 若函数f(M)在有界闭几何形体上连续，则f(M)在上 必可积。
例1 设是xOy平面上以（1，1）、（－1，1）和（－1，－1）为顶点 的三角形区域，是D在第一象限的部分,若
， 试问下列等式是否成立，并说明理由.
(1); (2); (3) 解 画出区域D的图形（如图9－43），将区域D分为四个子区域。
图9－43 显然与关于y轴对称，和关于x轴对称，将分为两个二重积分， 记 由于关于和关于轴都是奇函数，因此
解 由对称性 注：（1）对称性分析，（2）极坐标使用原则） 例6 计算
例7 计算 关于轮换对称性说明：互换，区域若保持不变，微元不变，即可使 用，此时被积函数常发生变化。 例8 计算，其中连续恒号。 解 则。
例9 将极坐标形式的累次积分交换积分次序。 解 将由构成的区域在直角坐标系中画出积分区域，然后交换积分次 序
解 设过原点的任一直线为，平面薄片上任一点到该直线的距离为， 则由转动惯量的计算公式，有 其中为均匀薄片的面密度. 如图所示，积分区域D关于x轴对称.记D在x轴上方的子区域为：. 被积函数中，，是关于轴的偶函数，是关于的奇Fra Baidu bibliotek数，于是
. 显然当时，平面薄片绕轴的转动惯量最小，即.当时，即平面薄片绕
轴的转动惯量最大，. 例6 计算三重积分，其中是由抛物面和球面所围成的空间闭区域. 解 被积函数. 由于积分区域关于xOy坐标面对称，是关于的奇函数，所以 ； 类似地，由于关于yOz坐标面对称，是关于x的奇函数，所以. 采用柱面坐标计算，由不等式 给出
7.3 三重积分
7.3.1 概念与形式
1．性质：与二重积分相同
2．计算方法：
1）直角坐标： 投影法
截面法
2） 柱面坐标 ＝
球面坐标
3） 一般方法
（2.6）
其中 。
7.3.2 例题
例1 计算，其中V：z＝0，y＝0，，围成的区域。 解。 例2 将，分别按直角坐标系，柱坐标系，球坐标系写出累次积分形 式，其中V为和围成部分。 解 （1）直角坐标系下：
所以 ，而是关于的奇函数，关于的偶函数，故有
因此
.
综上分析可知，等式（1）、(3)不成立，等式（2）式成立.
通过上面的讨论，可利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简
化重积分的计算.通常有如下几种情况：
（1） 设平面有界闭区域，且与关于轴对称，为上的可积函
数，则
（2） 设平面有界闭区域，且与关于轴对称，为上的可积函
（2）柱坐标系下：
（3）球坐标系下
例3 计算，其中V：与围成区域。 解 其中 。 亦可用柱坐标系 例4 设，其中连续。为，，求和。 解
。 例5 ，V：。 解 由奇偶性 由轮换对称性， 故原式
7.4 数量值函数的曲线与曲面积分的计算
7.4.1 第一型曲线积分的计算
物理解释：视为密度函数，则积分为曲线质量。 几何解释：1. 取，积分为曲线弧长。 2. 第一型曲线积分，当时，表示以xOy平面上的曲线段L为准线。母 线平行于z轴，高度为f (x, y)的柱面面积。
7.5.1 几何问题举例 7.5.2 质心与转动惯量 质心坐标为 形心为 ，
其中 薄片对x轴及y轴的转动惯量为
物体对于轴的转动惯量为 ，
例1 求均匀椭圆绕直线的转动惯量，并说明为何值时转动惯量最 大。
解 若，转动惯量与无关 若，，绕轴的转动惯量最大。 若。，绕轴的转动惯量最大，此时直线为。
7．5．3 引力 物体对位于处的单位质量的质点的引力近似地为
解（2）取微元，原式 例3 是椭球面的上半部分，点，是在点的切平面，为原点O到切平面 的距离。求。 解 设是切平面上任意点，则切平面的方程为 又由S： ，得，由对称性， 故 例4 计算， 解 依对称性 ，
再轮换对称性 ，则
7.5 数量值函数积分应用举例
对几何形体来说，上的可加量的微元的一般形式为，即，，其中为 的任一子量，为上的连续函数，而且是当时的无穷小。找到微元后以 后，对在上积分即得Q，也即