多元数量值函数积分学复习
第一轮复习之多元函数积分学
f ( x, y ) ≡ 0 ， ( x, y ) ∈ D 。
设 f ( x, y ) 在 D 上连续， 若在 D 内的任意子区域 D0 ， 有 ∫∫ f ( x, y )dxdy = 0 ，则 f ( x, y ) ≡ 0 ， ( x, y ) ∈ D 。
D0
三、
两类曲线积分之间的联系： 1) 设 L ∩ 是分段光滑的曲线，两类曲线积分的关系为：
切不可大意失荆州！ 具体计算方法： 取 x 轴上一点 x0 ， 做平行于 YOZ 的平面 x = x0 ， 这 个 截面是以区间
[ϕ1 ( x), ϕ2 ( x)] 为底，曲线 z = f ( x, y)
ϕ2 ( x )
为曲边的曲边梯形，这个截面的面积
f ( x0 , y ) dy
AB
L∩
Qdy ∫ ( P cos α + Q cos β ) ds ∫ Pdx +=
AB
L∩
AB
cos α cos β
为曲线弧 AB 从 A 到 B 方向的切线的方
AB
∩
向余弦，P Q 是在 L ∩ 上的连续函数。 可推广到空间的情形。 2) 两类曲面积分之间的关系： 设 ∑ 为光滑的曲面，则两类曲面积分之间的关系为：
S
∫∫ Rdxdy = 0 （若 S 在垂直于 OXY 平面）
S
四、
多元积分的运算：
6
细节决定成败！
切不可大意失荆州！ 1) 曲线积分化成定积分： 根据： 曲线由参数方程给出：
= ds
φ ′2 (t ) + ϕ ′2 (t )dt
r 2 (θ ) + r ′2 (θ )dθ
曲线由极坐标方程给出：
= ∫ f ( x, y, z )ds
多元函数积分学辅导讲义与典型例题答案解析
一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量). 4．了解曲线积分的概念和性质. 5．会计算简单的曲线积分.重点 二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.（二）内容提要 1．二重积分设二元函数),(y x f z =是定义在有界闭区域D 上的连续函数，用微元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即⎰⎰Dy x f σd ),(称为函数),(y x f z =在闭区域D 上的二重积分，其中),(y x f 称为被积函数，σd ),(y x f 称为被积表达式，D 称为积分区域，σd 称为面积元素，y x 与称为积分变量.2．二重积分的几何意义 在区域D 上当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积.当),(y x f 在区域D 上有正有负时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积的代数和.3． 二重积分的性质 (1)可加性[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDy x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d ),(),(.(2)齐次性⎰⎰⎰⎰=DDk y x f k y x kf )( d ),(d ),(为常数σσ.(3)对积分区域的可加性 设积分区域D 可分割成为1D 、2D 两部分，则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12d ),(d ),(d ),(D D Dy x f y x f y x f σσσ.(4)(积分的比较性质) 若),(),(y x g y x f ≥，其中D y x ∈),(，则σσd ),(d ),(⎰⎰⎰⎰≥DDy x g y x f .(5)（积分的估值性质） 设M y x f m ≤≤),(，其中D y x ∈),(，而M m ,为常数，则⎰⎰≤≤DM y x f m σσσd ),( ,其中σ表示区域D 的面积.(6)（积分中值定理）若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则在D 上至少存在一点D ∈),(ηξ，使得σηξσ),(d ),(f y x f D=⎰⎰.4. 二重积分的计算⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素y x •d d d =σ , ①若D :)()(21x y x ϕϕ≤≤,b x a ≤≤,则⎰⎰D y x y x f d d ),(=x y y x f x x b ad d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ϕϕ， ②若D : )()(21y x y ψψ≤≤,d y c ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=y x y x f y x d cd d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ψψ. ⑵二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素θσd d d r r =，极坐标与直角坐标的关系⎩⎨⎧θ=θ=.sin ,cos r y r x若D : )()(21θθr r r ≤≤,βθα≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=⎰⎰Dr r r r f θθθd d )sin ,cos (=θθθθθβαd d )sin ,cos ()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰r r r r r r f . 5. 对坐标的曲线积分设L 是有向光滑曲线,j ),(i ),(),F(y x Q y x P y x +=是定义在L 上的向量函数,且),( , ),(y x Q y x P 在L 上连续,利用微元法,先写出弧微元j i l y x d d d +=,作乘积=w d L F d ⋅=y )y ,x (Q x )x ,x (P d d +,再无限累加,由这两步所得的表达式,即⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 称为函数)y ,x (F 在有向曲线L 上对坐标的曲线积分,其中有向曲线L 称为积分路径.如果),( , ),(y x Q y x P 中有一个为零，则这时曲线积分的形式为⎰⎰y )y ,x (Q x )y ,x (P L Ld d 或,如果曲线L 是封闭曲线，L 上积分记为⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d .6.对坐标的曲线积分的性质① 设L 为有向曲线弧，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧，则y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L d d d d +-=+⎰⎰-.② 如果21L L L +=，则有.y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L Ld d d d d d 21+++=+⎰⎰⎰7.格林公式 设D 是平面上以分段光滑曲线L 为边界的有界闭区域,函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上有一阶连续偏导数,则有格林公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+σd d d D L y P x Q y Q x P ,其中L 是区域D 的正向边界.8.曲线积分与路径无关(1)定义 设D 是一个单连通区域,将),(y x P 简称为),(,y x Q P 简称为Q ,如果对D 内任意指定的两点A ,B 以及D 内从A 点到B 点的任意两条不相同的曲线21 , L L ,若有y Q x P y Q x P L L d d d d 21+=+⎰⎰,则称曲线积分⎰+y Q x P L d d 在D 内与路径无关.这时,可将曲线积分记为⎰+BAy Q x P d d .(2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域D 内，曲线积分⎰+y Q x P Ld d 与路径无关的充分必要条件是：对D 内任意一条闭曲线L ，均有⎰=+0d d y Q x P L.②设函数),(y x P 和),(y x Q 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+Lx Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是:yPx Q ∂∂=∂∂在区域D 内恒成立. 9. 曲线积分的计算方法 ⑴积分路径由参数方程给出设xOy 面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==,)t (y ,)t (x ψϕ且满足:① 当参数t 单调地由α变到β时,曲线上的点由起点A 运动到终点B ; ② )(t ϕ,)(t ψ在以α和β为端点的闭区间I 上具有一阶连续导数,且()()0)()(22≠'+'t t ψϕ;③),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续.则曲线积分⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 存在,且y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d +⎰={}t )t ()]t (),t ([Q )t ()]t (),t ([P d ψψϕϕψϕβα'+'⎰.⑵ 积分路径由)(x f y =给出设xOy 面上的有向曲线弧L 的方程为 )(x f y =，这时可先将有向曲线弧L 的方程看作是以x 为参数的参数方程⎩⎨⎧==,)x (f y ,xx 然后再按（1）中的方法计算.要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一定要对应积分路径的 起点， 积分上限一定要对应积分路径的终点.二 、主要解题方法1．在直角坐标系下二重积分的计算例1 计算 ⎰⎰Dy x y x d d 2其中D 由直线2=y ，x y =和曲线1=xy 所围成.解 画出区域D 的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标A （21，2）, B （1，1）, C （2，2），选择先对x 积分，这时D 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,y x y,y 121 于是⎰⎰Dy x y xd d 2=x y x y y y d d 1221⎰⎰=y x y yy d ]3[11321⎰ =⎰-2142d )1(31y yy =3312111()333y y -+=7249 .分析 本题也可先对y 积分后对x 积分，但是这时就必须用直线1=x 将D 分1D 和2D 两部分.其中1D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21,121y xx 2D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,2,21y x x由此得⎰⎰D y x y x d d 2=⎰⎰1d d 2D y x y x +⎰⎰2d d 2D y x y x=y y x x xd d 212121⎰⎰+y y x x x d d 2221⎰⎰=⎰121212d ][ln x y x x+⎰2122d ][ln x y x x =⎰+1212d ]ln 2[ln x x x +⎰-212d ]ln 2[ln x x x=7249. 显然，先对y 积分后对x 积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例2 计算σ++⎰⎰d )1(Dy x ，其中D ：1≤+y x .解 画出积分区域D 的图形， 观察被积函数，无论先对x 积分后对y 积分还是先对y 积分后对x 积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较繁，这里选择先对y 积分后对x 积分，其中110,11,x D x y x -≤≤⎧⎨--≤≤+⎩201,11,x D x y x ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩ 因此σ++⎰⎰d )1(Dy x =σ++⎰⎰d )1(1D y x +σ++⎰⎰d )1(2D y x =σ++⎰⎰+---d )1(d 1101x xy x x +σ++⎰⎰--d )1(d 1110x x y x x=4σ+⎰d )1(21-x +4x x d )1(1⎰-=423+103=. 例3 已知 I =x y x f y yd ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰- 改变积分次序.解 积分区域21D D D +=，其中1D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,0,10y x y 2D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,20,21y x y画出积分区域D 的图形， 改变为先对y 积分后对x 积分， 此时 D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,2,102x y x x 因此I =x y x f y yd ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰-=y y x f x x xd ),(d 221⎰⎰- .小结 把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时，正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积分域而忘了被积函数.2． 在极坐标系下二重积分的计算 例4 计算⎰⎰σDx y d arctan ，其中D 由422=+y x , 122=+y x ,0=y ,x y = 所围成的第一象限内的区域.解 画出积分区域D 的图形，由于积分区域的边界曲线有圆周， 所以选极坐标系积分. 此时 θ=xyarctan，于是 ⎰⎰σDx yd arctan=⎰θ4π0d ⎰θ21d r r =⎰πθθ40d 212]2[r=234π22θ=6432π. 例 5 求半球体2220y x a z --≤≤在圆柱ax y x =+22(0>a )D 内那部分的体积.解 把所求立体投影到y x o 面，即圆柱ax y x =+22(0>a ）内部,容易看出所求立体的体积以D 为底，以上半球面222y x a z --=为顶的曲顶柱体的体积.由于积分区域的边界曲线为圆周，所以采用极坐标系较好.2xθ此时D ⎪⎩⎪⎨⎧θ≤≤≤θ≤-,cos 0,2π2πa r故 V =y x y x a Dd d 222⎰⎰--=⎰-θ2π2πd ⎰θ-cos 022d a r r r a=32⎰θθ-2π033d )cos 1(a =（3π94-）3a . 小结 在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜.3．对坐标的曲线积分的计算方法例 6 设 I =⎰--Ly y x x xy x d d )3(222 ，其中L 是沿上半圆周22y x +=1上的点A （1，0）到)0,1(-B 一段弧，如图.解一 首先验证曲线积分是否与路径无关.223xy x P -=，y x Q 2-=，因为yP∂∂=xy 2-=x Q ∂∂ ，所以曲线积分与路径无关，可选一条简单路径，即选择线段AB 路径. 得I =⎰--ABy y x x xy x d d )3(222 ，在线段AB 上0=y ，0d =y ，x 从1到1-，所以I =⎰-112d 3x x =113-x =2-.解二 用参数方程代入法，设t 为参数t x cos = ，t y sin =，t 从0到π 得I =⎰---π222d ]cos sin cos )sin )(sin cos cos 3[(t t t t t t t t=⎰--π2d ]4sin 41sin cos 3[t t t t =（t 3cos +161cos4t ）π=2-.显然，法一比法二简单.例7 计算⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( ，其中L 为),0(a A ,)0,(a B 联成直线段.解 显然积分路径不是封闭曲线，不能直接用格林公式， 加直线段BO ，OA 构成封闭曲线，所以⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =⎰++---OABO L xxy y x y y d )1cos e (d )sin (e⎰-+--BOx x y y x y y d )1cos e (d )sin e (⎰-+--Axxy y x y y 0d )1cos e (d )sin e (，其中 y y P x -=sin e ，1cos e -=y Q x ，yp∂∂= 1cos e -y x ，x Q ∂∂= y x cos e .因为封闭曲线是反方向，所以由格林公式，得⎰++-+-OABO L x xy y x y y d )1cos e (d )sin e(=y x y Px Q D d d )(⎰⎰∂∂-∂∂-=y x Dd d ⎰⎰-=22a -. 又因为在BO 上0=y ，0=dy ，故⎰---BOxx y y x y y d )1cos e (d )sin e (=0. 在OA 上 0=x ，0d =x ，y 从0变到a ，于是⎰---Axx y y x y y 0d )1c o s e (d )s i n e ( =⎰-ay y 0d ]1[cos =a a -sin ，因此 ⎰---Lxxy y x y y d )1c o s e (d )s i ne (=--22a （a a -sin ）. 小结 计算对坐标的曲线积分⎰+Ly y x Q x y x P d ),(d ),(，（1） 若在单连通域内x Q ∂∂=yP∂∂时，曲线积分与路径无关。
高考数学冲刺复习多元函数微分学考点速查
高考数学冲刺复习多元函数微分学考点速查高考数学中的多元函数微分学是一个重要且具有一定难度的考点。
在冲刺复习阶段，对这部分内容进行系统的梳理和速查，有助于同学们查缺补漏，提高应考能力。
一、多元函数的概念多元函数是指有两个或两个以上自变量的函数。
比如，＄z ＝ f(x,y)＄就是一个二元函数。
理解多元函数的定义，要明确自变量的取值范围，即定义域。
定义域的确定通常需要考虑实际问题的背景或者函数表达式的限制条件。
二、偏导数偏导数是多元函数微分学中的重要概念。
对于二元函数$z ＝ f(x,y)＄，关于$x$的偏导数记为$＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＄，关于$y$的偏导数记为$＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＄。
计算偏导数时，将其他自变量视为常数，只对一个自变量求导。
例如，若$f(x,y) ＝ x^2 ＋ 3xy ＋ y^2$，则$＼frac{＼partial f}｛＼partial x} ＝ 2x ＋ 3y$，＄＼frac{＼partial f}｛＼partial y} ＝ 3x ＋ 2y$。
偏导数的几何意义也值得关注。
对于二元函数，偏导数表示函数在某一方向上的变化率。
三、全微分全微分是多元函数微分学中的另一个关键概念。
对于二元函数$z ＝f(x,y)＄，如果函数的全增量$＼Delta z$可以表示为$＼Delta z ＝A\Delta x ＋ B\Delta y ＋ o(＼sqrt{（＼Delta x)＾2 ＋（＼Delta y)＾2}）＄，其中$A$，＄B$与$＼Delta x$，＄＼Delta y$无关，那么称函数$z＝ f(x,y)＄在点$（x,y)＄可微，＄A\Delta x ＋ B\Delta y$称为函数在点$（x,y)＄的全微分，记为$dz ＝ A\Delta x ＋ B\Delta y$。
全微分的计算通常基于偏导数，若函数$z ＝ f(x,y)＄的偏导数$＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＄和$＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＄在点$（x,y)＄连续，则函数在该点可微，且$dz ＝＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＼Delta x ＋＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＼Delta y$。
第八讲 多元函数积分学知识点
第八讲 多元函数积分学知识点一、二重积分的概念、性质1、 ∑⎰⎰=→∆=n i i i i d D f dxdy y x f 10),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。
2、性质：（1）=⎰⎰D dxdy y x kf ),(⎰⎰Ddxdy y x f k ),(（2）[]⎰⎰+D dxdy y x g y x f ),(),(=⎰⎰D dxdy y x f ),(+⎰⎰D dxdy y x g ),( （3）、D dx d y D =⎰⎰（4）21D D D +=,⎰⎰D dxdy y x f ),(=⎰⎰1),(D dxdy y x f +⎰⎰2),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤⎰⎰D dxdy y x f ),(⎰⎰Ddxdy y x g ),(（6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤⎰⎰),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=⎰⎰D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ϑϑ≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x ba D dy y x f dx dxdy y x f ϑϑ （2） D ：)()(,21y x y d y c ϕϕ≤≤≤≤，⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ϑϕ 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围（3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos⎰⎰⎰⎰=)(0)sin ,cos (),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分1、第一型曲线积分的计算（1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则 ⎰L ds y x f ),(=dx x x x f ba ⎰'+2))((1))(,(φφ （2）若积分路径为L ：d y c y x ≤≤=),(ϕ，则⎰L ds y x f ),(=dy y y y f dc ⎰'+2))((1)),((ϕϕ （3）若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕφ，βα≤≤t ，则⎰L ds y x f ),(=dt t t t t f ⎰'+'βαϕφϕφ22))(())(())(),(( 2、第二型曲线积分的计算（1） 若积分路径为L ：)(x y φ=，起点a x =,终点b y =，则⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dx x x x Q x x P ba ⎰'+)())(,())(,(φφφ （2） 若积分路径为L ：)(y x ϕ=，起点c y=，终点d y =，则 ⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dy y y Q y y y P d c⎰+')),(()())),((ϕϕϕ （3） 若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕφ，起点α=t ，终点β=t ，则⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dt t t t Q t t t P ⎰'+'βαϕϕφφϕφ)())(),(()())(),((。
04高数——多元函数积分学知识点速记
多元函数积分学1、不定积分1）原函数定义定义在某区间I 上的函数()f x ，若对I 的一切x ，均有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数。
若函数()f x 存在原函数，则()f x 就有无穷多个原函数，可表示为()F x C +。
2）不定积分定义函数()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰。
若()F x 是()f x 的一个原函数，则()()d f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）3）不定积分计算：①第一类换元积分法：设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ϕ=可导，则有()()()()d d f x x x f u u F x C ϕϕϕ'==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰②第二类换元积分法：设()x t ϕ=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ϕ'≠，又设()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦具有原函数()F t ，则有()()()()()1d d f x x f t t t F t c F x Cϕϕϕ-'⎡⎤==+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰式中，()1x ϕ-为()x t ϕ=的反函数。
高 数多元函数积分学知识点速记③分部积分法：设()u x ，()v x 可微，且()() d v x u x ⎰存在，由公式()d d d uv u v v u =+得到分部积分公式d d u v uv v u=-⎰⎰2、定积分1）两点规定：①当a b =时，()d 0b a f x x =⎰；②当a b >时，()()d d b a a b f x x f x x =-⎰⎰2）积分上限函数及其导数①()d xa f x x ⎰为积分上限函数，记作()()d x ax f x x Φ=⎰，经常写成如下形式()()()d xa f t t a x xb Φ=≤≤⎰②积分上限函数的导数()()()d x a x f t t f x '⎡⎤'Φ==⎢⎥⎣⎦⎰()a xb ≤≤③()()()()()()()d g x h x f t t f g x g x f h x h x '⎡⎤''==⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰3、定积分的应用旋转体的体积：设由曲线()y f x =，直线x a =，x b =以及x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转一周而生成的旋转体的体积，则()2πd b x aV f x x =⎡⎤⎣⎦⎰平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由曲面S ，以及平面x a =、x b =所围成，且对于[],a b 上任一点x 作垂直截面，截得的面积()A A x =为x 的连续函数，则()d bc V A x x =⎰4、二重积分1）二元函数(),f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(),d D f x y σ⎰⎰2）(),d f x y σ⎰⎰表示以曲面(),z f x y =为顶，以区域D 为底，以D 的边D界为准线，母线平行于 Oz 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。
第七章多元函数积分学知识点总结及典型例题（吐血推荐）
第七章多元函数积分学知识点总结及典型例题（吐血推荐）第七章多元函数微分学本章学习基本要求：1.会求空间中两点之间的距离。
2.了解多元函数的概念及二元函数的表示法与几何意义。
3.掌握二元函数的极限的运算。
4.熟练掌握求偏导数与全微分的方法，掌握求多元复合函数偏导数以及隐函数偏导数的方法。
5.掌握二元函数极值的必要条件，充分条件，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值与最小值。
6.掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。
第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz .例 1、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),A - (1,1,1),B -(1,1,1),C -- (1,1,1).D --解：A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.例 2、求点),,(z y x M 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标.解：),,(z y x M 关于x 轴的对称点为),,(1z y x M --，关于xOy 平面的对称点为),,(2z y x M -，关于原点的对称点为),,(3z y x M ---..二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=例 5、 z 轴上，求与点(4,1,7)A -, 点(3,5,2)B -等距离的点. 解：设所求z 轴上的点为),0,0(z ，依题意：222)7()10()40(-+-++z 222)2()50()30(++-+-=z ，两边平方得914=z ，故所求点为)914,0,0(. 例 6、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA =()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.例2 设P 在x 轴上, 它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍, 求点P 的坐标. 解因为P 在x 轴上，设P 点坐标为),0,0,(x ,113)2(22221+=++=PP x x,21)1(22222+=+-+=PP x x,221PP =PP221122+=+∴x x ,1±=x所求点为.)0,0,1(,)0,0,1(- 练习题：例 3、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）. 解：分别为),0,0(),0,,0(),0,0,(),,0,(),,,0(),0,,(c b a c a c b b a .例 4、求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：222212(74)(13)(21)14M M =-+-+-=,222223(57)(21)(32)6M M =-+-+-= 222213(45)(32)(13)6M M =-+-+-=，即1323M M M M =，因此结论成立.例 7、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)Mxyz C M A z ∈?=亦即z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .第二节空间曲面及空间曲线定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a1．用定义求曲面∑方程的方法（1）设(,,)M xyz 是曲面∑上任意一点，根据题意，列出点M 所满足的条件，得到含有,,x y z的等式，化简得(,,)0F x y z =。
多元数量值函数积分学-
d
x2 ( y ) x1 ( y )
f ( x , y )dx .
注2 如果积分区域D既不是X-型又不是Y-型，则可
将D分成几部分，使得每个部分是X-型或Y-型。
f ( x , y )d D D
1
.
D2 D3
D3
D1
D2
例1 求
f ( x , y )dx .
确定积分顺序时，应注意积分区域D为Y-型的特点：
［Y－型］
注1 当积分区域D既是X-型又是Y-型区域 时，
上述两个不同顺序的二次积分的值相等. 即
f ( x , y )dxdy dx a y ( x) D
1
b
y2 ( x )
f ( x , y )dy dy
a
b
y y2 ( x )
［X－型］
a
D
y y1 ( x )
b
其中函数y1 x , y2 x 在 a , b 上连续.
y y2 ( x )
D
y y1 ( x )
a
b
［X－型］
a
y y2 ( x )
D
y y1 ( x )
b
X型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点.
b
a
dx
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x , y )dy .
注 上面的公式当f (x,y) 0不满足时，公式亦成立.
类似地，当积分区域D为Y-型时，可得公式：
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
d
c
dy
多元数量值函数积分的概念和性质
• 引言 • 多元数量值函数积分的概念 • 多元数量值函数积分的性质 • 多元数量值函数积分的几何意义 • 多元数量值函数积分的实际应用 • 总结与展望
01
引言
积分的起源和背景
积分起源于古代数学，主要用于解决 面积和体积问题。随着微积分学的发 展，积分的应用范围不断扩大，成为 现代数学的重要分支。
3
计算风险和回报
在投资学中，我们需要计算风险和回报，这些都 需要用到多元数量值函数积分的知识。
在工程中的应用
计算机械系统的振动和稳定性
在机械工程中，我们需要计算机械系统的振动和稳定性，这些都需要用到多元数量值函数 积分的知识。
计算流体动力学问题
在航空航天工程中，我们需要计算流体动力学问题，例如飞机和火箭的飞行轨迹、气体的 流动等，这些都需要用到多元数量值函数积分的知识。
详细描述
对于二元数量值函数f(x,y)，当y的范围为[a,b]时，f(x,y)与 x轴所夹的面积即为f(x,y)在[a,b]上的定积分。
总结词
二重积分可理解为曲面与平面所夹的体积。
详细描述
对于三元数量值函数f(x,y,z)，当z的范围为[c,d]，而(x,y) 在D上变化时，f(x,y,z)与平面z=c或z=d所夹的体积即为 f(x,y,z)在D上关于z的定积分。
03
计算多粒子系统的运动
在统计物理中，我们需要计算多粒子系统的运动，例如气体分子、液体
分子等，这些都需要用到多元数量值函数积分的知识。
在经济中的应用
1 2
计算股票价格和收益率
在金融学中，我们需要计算股票价格和收益率， 这些都需要用到多元数量值函数积分的知识。
计算商品的需求和供给
多元函数积分学复习
3. 第一类曲线与第一类曲面积分
例 1. 计算
(x x
L
2
y 2 ) d s ,其中 L 是半圆周 y 4 x 2 .
析 此题考察第一类曲线积分的计算方法,其计算步骤如下: 1.画出积分曲线; 2.写出积分曲线的参数方程及参数的变换范围; 3.求出弧微分 ds
dx 2 dy 2
L : y x, x : 0 1 ,
1 0
I (1 2x 2 x 2 ) (x x) 2 d x
64
d z d
0
r 3 d r 2560 .
练 1. 计算
z
2
2 2 2 2 2 2 2 其中 是由 x y z R 与 x y z 2 Rz 所围 d xd yd z ，
的公共部分 ( R 0) .
3
高等数学下册复习提要
张祥芝
练 2. 计算
L L L
例 2. 求面密度为 1 的锥面 z 解
x 2 y 2 （ 0 z 1) ）对 z 轴的转动惯量.
I z ( x 2 y 2 ) d S ( x 2 y 2 ) d S ，
2 2 x y , D xy : x y 2 1 ， d S 1 z x zy d x d y 2 d xdy 2 2 2
x 2
Q e x cos y x ，由格林公式
x
原式 (e sin y 3 y x )dx (e cos y x)dy
x 2 l
2
y
[
D
Q P ]dxdy x y
x
=
[(e
多元函数积分学篇复习__
多元函数积分学篇内容复习一、定义1、 实值函数的积分⎰∑=→∆=Hni iiw P f dw P f 1)(lim )(λ（引例背景：空间形体的质量，其中H P P f ∈=),(μ为密度函数） （1）H 为数轴上的区间],[b a ⎰badx x f )(b adx b a =-⎰（区间长度）（2）H 为平面区域D(,)Df x y d σ⎰⎰ Dd σσ=⎰⎰ （平面图形面积）（3）H 为空间立体区域Ω (,,)f x y z dV Ω⎰⎰⎰ dV V Ω=⎰⎰⎰（空间立体体积）（4）H 为平面曲线Γ (,)f x y dl Γ⎰ dl l Γ=⎰（曲线的弧长）空间曲线Γ (,,)f x y z dl Γ⎰（5）H 为曲面∑(,,)f x y z dS ∑⎰⎰ dS S ∑=⎰⎰（曲面面积）二、基本计算——各种积分的计算（记号，计算方法）1、 二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰的计算（a ）直角坐标系：dxdy d =σ⎰⎰⎰⎰=DDdxdy y x f d y x f ),(),(σ21()()(,)X b y x ay x dx f x y dy =⎰⎰型21()()(,)Y dx y c x y dy f x y dx =⎰⎰型（b ）极坐标系： d rd r d σθ=， cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩21()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r DDf x y d f r r rdrd d f r r rdr βθαθσθθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰D ⎧⎨⎩与圆域有关——极坐标系积分区域：其他——直角坐标系注意：被积函数为xx x x ee yx xy ln 1,sin ,sin ,,22等，要慎重选取积分次序，否则将导致积分无法计算，必要时还需要交换积分次序。
（C ）交换积分次序：2211()()()()D (,)(,)(,)b y x d x y ay x cx y Ddx f x y dy f x y d dy f x y dx σ=======⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据积分限重新选择作出的图形积分次序2、 三重积分(,,)f x y z dV Ω⎰⎰⎰的计算（a ）直角坐标系： dxdydz dV =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ΩΩ),(),()()(2121),,(),,(),,(y x z y x z x y x y badz z y x f dy dx dxdydz z y x f dV z y x f ——投影法（b ）柱面坐标系：dz rdrd dV θ= ， cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩2211()(,)()(,)(,,)(cos ,sin ,)r z r r z r f x y z dV d rdr f r r z dz βθθαθθθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰区域⎧Ω⎨⎩投影区域与圆域有关——柱面坐标系：投影区域为其他图形——直角坐标系若)(),,(z g z y x f =，且垂直于z 轴的平面与立体Ω的截面面积z σ易求，则 (,,)()d z cf x y z dxdydzg z dz σΩ=⎰⎰⎰⎰——截面法3、 第一类曲线积分(,)f x y dl Γ⎰和(,,)f x y z dl Γ⎰的计算dlΓ====为平面曲线Γ====（1）平面第一类曲线积分(,)f x y dl Γ⎰的计算（a ）[]():,,()x x t t y y t αβ=⎧Γ∈⎨=⎩ ，dl =⎰⎰Γ'+'=dt t y t x t y t x f dl y x f βα)()())(),((),(22注意：积分限βα<，0>dl 。
【多元函数积分学】1 多元数量值函数积分的概念与性质
当f ( x, y) 0 f ( x, y)d 曲顶柱体体积的负值
D
当 在D 上 ，f ( x, y)在 若 干 部 分 为 正,若 干 部 分 为 负,
f ( x, y)d 柱体体积的代数和.
D
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
17
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
n
并作和
f
( i
,i
)
，
i
i 1
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
13
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
相应把薄片也分为小区域 .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
10
2)“常代变”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块的质量
3)“近似和”
y
n
(k , k ) k
k 1
4)“取极限”
令
max(
1k n
k
)
n
M
lim
0 k 1
(k , k ) k
x
(k ,k ) k
多元数量值函数积分的 概念与性质
问题的提出 二重积分的概念
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
多元函数积分学期末复习(考点)
0
0
0
0
1
1
C． dx f ( x, yx
f ( x, y)dy
0
0
5. 其它
例、计算I x2 y2 4 dxdy ，其中 D ： x2 y2 9
D
分析 由于被积函数中含有绝对值, 所以应首先
y
在给定的积分区域内,求出 x2 y2 4 D2
2º定限
下顶： z x2 2 y2 ( 或由(0,0)点处函数值的大小确定) 上顶：z 2 x2
2º定限
下顶： z x2 2 y2
上顶：z 2 x2
I f ( x, y, z)dxdydz
y
2 x2
dxdy f ( x, y, z)dz
A. (x y)2d (x y)3d
D
D
B. (x y)2d (x y)3d
D
D
C. (x y)2d (x y)3d D. 无法确定这两个积分的大小
D
D
5、设区域 ( x, y, z) x 1, y 1, z 1 ，则下列不等式正
D 4x
o
x
4 sin
0 d 0 f (r cos , r sin ) r dr
2
4 cos
d f (r cos , r sin ) r dr
2
0
例、化成极坐标系下的二次积分： D
f
( x )d
y
其中：D由x2 y2 4x, x2 y2 8x, x y, y 2x围成
D1 : 0 x 1,0 y 2，则 I f ( x2 y2 )dxdy与 D
多元数量值函数积分学
1 0
y2
1 2
x
2
x x
y
y
dy
12 2 0
(2) 将D作为Y-型区域，D可表示为： 1 x=y
解 (1)首先画出积分区域D，作先对x 后对y 的二次积分.
例3.计算y2d,其中D是由yx与抛物线xy22围成.
D
y2 2 x y, D
1 y 2.
D
2y
dy
y2dx
1 y22
例5 求曲线
和 x2y2 a2
解 在极坐面标积系.下
x2y2a2 ra,
(x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 )
ra 2cos2,
根据对称性有 D4D1
所围成的图形的
ra 2cos2
D1
ra
得交点
所求面积
4 dxdy
D1
4
6d
a
2cos2
rdr
0a
a2(
3 ).
A
(a
的曲边梯形，此截面面积为
x且平行yoz面的平
面截曲顶柱体所得
Ax y2xf x,ydy. y1x
截面面积为 任取x [a,b]，过点
b b y2x
Axdx fx,ydydx, a a y1x
abyy12xxf x,ydydx.
f x, yd
D
f x, yd
D
应用定积分中计算“已知平行截面面积的立体 体积”的方法，得到 这个体积的值，就是二重积分 的值。 因此，二重积分
,
)
3
6
由r a 2cos2 dxdy
r a
D
D
就是柱体的体积, 但此时二重积分
f x, yd 的值
第七章 多元数量值函数积分学
第七章 多元数量值函数积分学第一节 多元数量值函数积分的概念和性质一、引例：怎样计算非均匀物体的质量1）平面薄片的质量设()y x z ,ρ=，()D y x ∈,为平面薄片的密度函数。
（1）化整为零：把平面区域D 任意分割成n 小块()n i i ,,2,1 =∆σ，（2）近似代替：在每个i σ∆中任取一点()i i ζξ,，则每个小块可近似密度均匀的薄片其密度为()i i ζξρ,，此时每小块薄片的质量为()i i i σζξρ∆,， （3）积零为整：平面薄片的质量()∑=∆≈ni i i im 1,σζξρ；（4）无限趋近：设λ为所有小块的直径的最大值，则有 ()∑=→∆=ni i i im 1,limσζξρλ定义：设Ω为一个有界的闭几何形体（可以是直线段、曲线弧段、平面区域、空间曲面或空间立体），它是可以度量的（即可以求长度、面积或体积）()P f 是定义在Ω上的有界多元数量值函数。
（1）将Ω任意分割成n 个小部分，n ∆Ω∆Ω∆Ω,,,21 ，并用()n i i ,,2,1 =∆Ω表示它的度量；（2）在每个i ∆Ω中任取一点i P 作乘积()n i P f i i ,,2,1 =∆Ω；（3）求和()∑=∆Ωni i i P f 1（黎曼和）；（4）设小部分的直径的最大值为λ，如果不论怎么分割，不论i P 怎么选取，极限()∑=→∆Ωni iiP f 1limλ存在，则函数()P f 在Ω上可积，称此极限为多元数量值函数()P f 在Ω上的积分，记为()⎰ΩΩd P f ，即()()∑⎰=→Ω∆Ω=Ωni iiP f d P f 1lim λΩ称为积分区域，()P f 称为被积函数，()Ωd P f 称为积分表达式。
注1：如果几何形体Ω是xoy 平面区域D ，此时积分称为二重积分。
此时积分记()⎰⎰Dd y x f σ,或者()⎰⎰Ddxdy y x f ,，即()()∑⎰⎰=→∆=ni i i iDf d y x f 1,lim,σζξσλ注2：如果几何形体Ω是空间闭区域Ω，此时积分称为三重积分。
6-1多元数量函数积分的概念与性质
Vi f ( i , i )i (i 1, 2,, n) 。
z
o x D
而且与定积分中的问题相比较，思想方法完全 是一致的，只是闭区间换成了闭区域（也可是 闭曲面），一元函数换成了二元函数（也可是 三元函数）。保留其数学结构的特征，抽象出 其共性，可得数量函数积分的概念。
二、 数量函数积分的概念
定义1.1设是一个有界的可以度量 的几何形体，函数 f 在
上有定义.将任意分割成 n个小部分 （k k 1,2,, n),
M2 的度量 f (M )d M1 的度量
5、中值定理 设f (M ) C，则存在 M * ，使
f (M )d f (M *) 的度量
f (M )d，即
n
f
(M )d
lim
d 0
k 1
f
(M k )k
n
二重积分:
D
f x, yd
lim d 0
k 1
f (k ,k ) k
n
三重积分：
f
(x,
y, z)dv
lim
d 0
k 1
f
(k ,k , k )vk
lim d 0 i1
f (i ,i ) i.
实例 2．平面薄片的质量
设有一平面薄片在xoy 平面上占有区域 D，其面密度 为 D 上的连续函数( x, y) ，求该平面薄片的质量 m。
y
均匀薄片的质量 面密度 薄片面积
多元函数的积分复习63页PPT
谢谢！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
63
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
多元函数的积分复习
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
▪
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＝,
7.2 二重积分
计算方法：“画线定限”累次积分积之。 说明： 1 方法：“画后x不能积出结果。
3 不可积函数 等等 例1 计算 解
； 习题 1 计算
2 计算 3 于上连续，，求。 解 令，则，，， 原式
例2 交换积分次序 （1） （2）
例4 （函数的奇偶性与区域对称性） 引例 和围成
解（2）取微元，原式 例3 是椭球面的上半部分，点，是在点的切平面，为原点O到切平面 的距离。求。 解 设是切平面上任意点，则切平面的方程为 又由S： ，得，由对称性， 故 例4 计算， 解 依对称性 ，
再轮换对称性 ，则
7.5 数量值函数积分应用举例
对几何形体来说，上的可加量的微元的一般形式为，即，，其中为 的任一子量，为上的连续函数，而且是当时的无穷小。找到微元后以 后，对在上积分即得Q，也即
（2）柱坐标系下：
（3）球坐标系下
例3 计算，其中V：与围成区域。 解 其中 。 亦可用柱坐标系 例4 设，其中连续。为，，求和。 解
。 例5 ，V：。 解 由奇偶性 由轮换对称性， 故原式
7.4 数量值函数的曲线与曲面积分的计算
7.4.1 第一型曲线积分的计算
物理解释：视为密度函数，则积分为曲线质量。 几何解释：1. 取，积分为曲线弧长。 2. 第一型曲线积分，当时，表示以xOy平面上的曲线段L为准线。母 线平行于z轴，高度为f (x, y)的柱面面积。
1、 计算方法：设参数，化定积分
1．
2.
3. 1’ 2’ (此类空间曲线常以隐式方程形式出现) 特殊的：平行轴线段 ，平行轴线段 例1 计算，如图ABCDEA
解 其中
, , 故原式 例2 设为周长为a的椭圆。计算 解 由对称性 ， 例3 计算，交线 解 由轮换对称性 ，
原式 习题 1．计算，摆线 ，（一拱） （ 2．计算，，一周 （星形线：）
解 设过原点的任一直线为，平面薄片上任一点到该直线的距离为， 则由转动惯量的计算公式，有 其中为均匀薄片的面密度. 如图所示，积分区域D关于x轴对称.记D在x轴上方的子区域为：. 被积函数中，，是关于轴的偶函数，是关于的奇函数，于是
. 显然当时，平面薄片绕轴的转动惯量最小，即.当时，即平面薄片绕
轴的转动惯量最大，. 例6 计算三重积分，其中是由抛物面和球面所围成的空间闭区域. 解 被积函数. 由于积分区域关于xOy坐标面对称，是关于的奇函数，所以 ； 类似地，由于关于yOz坐标面对称，是关于x的奇函数，所以. 采用柱面坐标计算，由不等式 给出
所以 ，而是关于的奇函数，关于的偶函数，故有
因此
.
综上分析可知，等式（1）、(3)不成立，等式（2）式成立.
通过上面的讨论，可利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简
化重积分的计算.通常有如下几种情况：
（1） 设平面有界闭区域，且与关于轴对称，为上的可积函
数，则
（2） 设平面有界闭区域，且与关于轴对称，为上的可积函
数，则
例2 计算，其中是由两条抛物线之间、直线以下的闭区域. 解 积分区域如图9－44所示，关于轴对称，中是关于的奇函数，是 关于的偶函数，依对称性有
例3 计算二重积分，其中D是由直线和轴所围成的闭区域. 解 为计算积分，首先要将被积函数中绝对值符号去掉，如图所示， 抛物线将分成两个子区域、，其中
例1 设是xOy平面上以（1，1）、（－1，1）和（－1，－1）为顶点 的三角形区域，是D在第一象限的部分,若
， 试问下列等式是否成立，并说明理由.
(1); (2); (3) 解 画出区域D的图形（如图9－43），将区域D分为四个子区域。
图9－43 显然与关于y轴对称，和关于x轴对称，将分为两个二重积分， 记 由于关于和关于轴都是奇函数，因此
； . 因此 被积函数在上是关于的偶函数，积分区域关于轴对称，也是关于轴 对称的，故
. 例4 设在区间上连续，证明. 证 在区间上连续，故在矩形区域，上连续，且. 显然
所以 ， 两端同乘以并开方得
例5 求由曲线与直线所围成的平面均匀薄片对于通过坐标原点的任 一直线的转动惯量,并讨论转动惯量在哪种情况下，取得最大值或最小 值.
3．计算，双纽线的一周（）
7.4.2 第一型曲面积分的计算
一、物理解释：时得曲面面积
二、计算方法：投影，做二重积分 1．若曲面方程为，则
2．若曲面方程为，则
3．若曲面方程为，则
三、例题 例1 计算，表面 解 原式
例2 计算，其中是介于，之间的柱面。 解 （1）曲面向面投影，由对称性 原式，， 原式
7.3 三重积分
7.3.1 概念与形式
1．性质：与二重积分相同
2．计算方法：
1）直角坐标： 投影法
截面法
2） 柱面坐标 ＝
球面坐标
3） 一般方法
（2.6）
其中 。
7.3.2 例题
例1 计算，其中V：z＝0，y＝0，，围成的区域。 解。 例2 将，分别按直角坐标系，柱坐标系，球坐标系写出累次积分形 式，其中V为和围成部分。 解 （1）直角坐标系下：
， 。
例7 一均匀物体是由曲面和所围成，试求该物体关于轴的转动惯量. 解 显然在xOy平面上的投影区域为，于是用柱面坐标，得
例8 由曲面和围成的立体，其密度为1，求绕直线：旋转的转动惯量. 解 如图所示，求立体绕直线l的转动惯量,必须先求得立体内任意一点 到直线l的距离的平方. 设为坐标原点到点的向径，则 其中 所以 故
由对称性知
再用柱坐标可得 例9 设函数连续，且，若
其中 求
解
于是 ＝ ＝ ＝ ＝
第七章 多元数量值函数积分学
7．1 多元数量值函数积分的概念与性质
一、多元数量值函数积分的概念 ＝I＝
可积的必要条件 若函数f(M)在几何形体上可积，则f(M)在上闭有 界。
可积的充分条件 若函数f(M)在有界闭几何形体上连续，则f(M)在上 必可积。
7.5.1 几何问题举例 7.5.2 质心与转动惯量 质心坐标为 形心为 ，
其中 薄片对x轴及y轴的转动惯量为
物体对于轴的转动惯量为 ，
例1 求均匀椭圆绕直线的转动惯量，并说明为何值时转动惯量最 大。
解 若，转动惯量与无关 若，，绕轴的转动惯量最大。 若。，绕轴的转动惯量最大，此时直线为。
7．5．3 引力 物体对位于处的单位质量的质点的引力近似地为
， 其中为引力元素在三个坐标轴上的分量， ，为引力常数，将在上分别积分，即得 F .
例1 设平面薄片占有平面上的半圆闭区域，，面密度为常数，求它对 位于处的单位质量的质点的引力。
解 由对称性有， ， （G为引力常数）
区域关于轴对称 关于是奇函数 关于轴对称，关于是奇函数。 规范语言：中被积函数关于是奇函数，区域关于对称，
中被积函数关于奇函数，区域关于对称，则积分为零。
反之，被积函数关于是偶函数，区域关于对称，则积分等于一半区 间上积分值的二倍。
例 计算，其中由，，围成，连续。 解 作，分区域为，，，如图 原式 注：如上奇偶性分析对三重积分，一型线积分，一型曲面积分其结 论都是对的。 例5 （极坐标）计算双纽线围成区域的面积。
二、多元数量值函数积分的性质 1 . 2. 3 4 ，则 5 设分别是f(M)在闭几何形体上的最大值和最小值，则
6 积分中值定理 设函数f(M)在闭几何形体上连续，则在上至少存在一
点，使得
三、多元数量值函数积分的分类
1． 二重积分= 。
2． 三重积分=,
(1)
3． 对弧长的曲线积分＝
或
4． 对面积的曲面积分
解 由对称性 注：（1）对称性分析，（2）极坐标使用原则） 例6 计算
例7 计算 关于轮换对称性说明：互换，区域若保持不变，微元不变，即可使 用，此时被积函数常发生变化。 例8 计算，其中连续恒号。 解 则。
例9 将极坐标形式的累次积分交换积分次序。 解 将由构成的区域在直角坐标系中画出积分区域，然后交换积分次 序