高一数学暑假作业 解三角形
高一数学解三角形
高一数学解三角形一、知识点和方法:1、在?ABC中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(数学式子可以表示为: )A2、在?ABC中，A+B+C= ，A= ，。
,23、在?ABC中，正弦定理是:2 ， 4、在?ABC中，余弦定理中a,cosA,5、如果c是三角形的最大边，则有:222 ?ABC为三角形 a，b,c222 ?ABC为三角形 a，b,c222 ?ABC为三角形 a，b,c6、三角形面积公式: = = = S,7、解三角形:已知两角一边，已知两边一对角可以用正弦定理;已知两边一对角、已知两边一夹角或已知三边可用余弦定理。
8、已知两边一对角，不解三角形判断三角形解的情况:A A ,90:,90:a>b 一解一解a=b 无解一解a<b 无解两解 a,bsinA一解 a,bsinA无解 a,bsinA二、典型例题2例1、(1)在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2，b=，A=，45:求角B和边长c 。
3BC,CA2(2)在?ABC中，AB=，BC=1，cosC,，求的值和的值。
sinA463变式:在?ABC中，如果a=2，b=，A=，求边c的大小。
30:1222例2、在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若?ABC的面积是，(a，b,c)4则角C的大小为。
变式:已知a、b、c是?ABC三边的长，若满足等式，则角C(a，b,c)(a，b，c),ab的大小为( )A B C D 60:90:120:150:5a,bA,2B,则cosB,例3、?ABC三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，( )25555A B C D 3456222sinA,sinB,sinC,sinA,2sinBcosC变式:1、?ABC中，若，试判断?ABC的形状(提高)2、已知?ABC三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，(1)求角A;(2)若m,(,1,3),n,(cosA,sinA),且m,n,1cosBbAB,(2,1),,，求?ABC的面积S。
辽宁省沈阳市2017-2018学年高中数学暑假作业 第一部分 解三角形(2)
解三角形（2）一、知识点1、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.2、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。
3、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）； 4、三角形中常用结论(1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）(2)sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）(3)在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+ 二、练习1、ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，,1,3A a b π===则c 等于（ ）A．1D.2、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么他的顶角的余弦值为（ ）A ．518 B.34C. D.783、在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，且2a ＜22b c +，则A 的取值范围是（ ）A ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4、在ABC 中，2cos ,22A b c c +=则ABC 的形状为 （ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形5、在ABC 中，下列结论；①若2a ＞22b c +，则ABC 为钝角三角形 ②若2a =22b c +bc +，则A=60°③若22a b +＞2c ，则ABC 为锐角三角形 ④若A:B:C=1:2:3,则a ：b ：c=1:2:3 其中正确的个数是 （ ）A ．1 B.2 C.3 D.46.在ABC 中，D 为BC 边上一点，3,135,BC BD AD ADB ==∠=︒若,AC =则__________.BD =7.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22,sin ,a b C B -==则A 等于（ ）A ．30° B.60° C.120° D.150°8.某班设计了一个八边形的班徽（如图1-14所示），它由腰长为1，顶角为a 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A.2sin 2cos 2a a -+B.sin 3a a +C.3sin 1a a -+D.2sin cos 1a a -+9.设ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，且22sin sin sin sin 33A B B B ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的值；（2）若12,AB AC a ⋅==b ，c （其中b ＜c ）.1A2D3C4A5A6.分析：如图1-13所示，设,AB k=则,AC=再设,BD x=则2,DC x=在ABD中，由余弦定理得2222222k x x x x⎛=+-⋅=++⎝⎭①。
辽宁省沈阳市高中数学暑假作业第一部分解三角形(2)(2021年整理)
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解三角形（2）一、知识点1、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2)已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况)；已知a ，b 和A ，不解三角形,求B 时的解的情况：如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解;如果sin A <sin B 〈1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解;如果sin B 〉1,则B 无解。
2、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；(2）已知三边。
3、常用的三角形面积公式（1)高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）; 4、三角形中常用结论（1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）(2)sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）(3）在△ABC 中,A+B+C=π，所以sin （A+B)=sinC ；cos （A+B ）=－cosC;tan(A+B ）=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+ 二、练习1、ABC 中，角A ，B,C 的对边分别是a,b ，c ，,1,3A a b π===则c 等于（ ）A ．1 D 。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高一数学解三角形试题答案及解析
高一数学解三角形试题答案及解析1.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底部测得一塔顶仰角为另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，求两座塔的高度。
【答案】40米，90米.【解析】绘出几何示意图，寻找角关系，并建关系式.其中，且，建立方程（1）；又因为，且由题可知，建立方程（2）试题解析：连结BO、OD、 AD、 BC，设两塔AB、CD的高分别为x，y米，则在中，则在中，由得， ( 1 ) 5分又在中，在中，.而，所以，即（2） 10分由（1）（2）式解得： x = 40(米)， y = 90(米)答：两座塔的高分别为40米、90米. 14分【考点】正切函数应用.2.已知的三个内角满足：，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】由,,从而有:,再注意到,又,故知是以角C为直角的直角三角形,所以选B.【考点】三角公式.3.在中，满足下列条件的三角形有两个的是（）.A．B．C．D．【解析】选项A:,;又，三角形有一解；同理选项B有一解；选项C:，,所以三角形有一解；选项D:，,所以三角形有两解.【考点】解三角形.4.在中，内角、、所对的边分别为、、，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则有两解；④必存在、、，使成立.其中，正确命题的编号为．（写出所有正确命题的编号）【答案】②③【解析】①根据大边对大角可知,如果是钝角,则此时,显然错误.②当三角形是锐角三角形时,根据正弦函数性质可知;当三角形是钝角三角形时,有,则,因为，所以,此时有,正弦函数性质可知,即.正确.③因为，即，所以必有两解.正确.④根据正切和角公式,可得.则有根据诱导公式有代入上式,则上式若是锐角,则;此时.若是钝角,则;此时.错误.【考点】三角形中边角关系;三角函数性质;三角函数和角,诱导公式的使用.5.△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】,,,是钝角三角形.【考点】三角形的形状判断.6.的三内角成等差数列，且，则= .【解析】因为的三内角成等差数列，所以又，所以=.【考点】三内角成等差数列7.在中三个内角 A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（）A.若则为钝角三角形B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形D.若A、B为锐角且则为钝角三角形【答案】C【解析】,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【考点】三角函数相关性质，余弦定理，向量的数量积.8. ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】．【考点】两角和差的公式．9.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B 点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】1小时【解析】解实际问题，关键在于正确理解题意.本题关键在于正确理解方位角的概念.解三角形问题，需正确选用正余弦定理，本题三角形ADB中可得两角一边，即，因此可利用正弦定理得，解出=，再在中，由余弦定理得=从而得到需要的时间（小时）.试题解析：由题意知海里，3分在中，由正弦定理得 4分=（海里）， 6分又海里 7分在中，由余弦定理得=9分30（海里），10分则需要的时间（小时）。
高一数学解三角形(含答案)
解三角形 1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===.高一数学测试题———正弦、余弦定理与解三角形一、选择题： 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100°C ．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．不定7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ）A ．a (km)B ．3a(km) C ．2a(km)D ．2a (km)二、填空题：9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.11、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.三、解答题：13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=BA BA cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).A BD Cαβ1、在ABC △中，已知内角A π=3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．2、在ABC △中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A =3sin 2B =，求::a b c3、在ABC△中,,a b c分别为,,A B C∠∠∠的对边，若2s i n (c o s c o s )3(s i n s A B C B C +=+，（1）求A 的大小；（2）若61,9a b c =+=，求b 和c 的值。
高中数学解三角形(有答案)
高中数学解三角形(有答案)高中数学解三角形在高中数学中，解三角形是一个重要的概念和技巧。
掌握解三角形的方法对于理解和解决几何问题至关重要。
本文将介绍几种常见的解三角形的方法，并附上相应的答案，帮助读者巩固和拓展数学知识。
一、解决直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
解决直角三角形的方法主要有三种：勾股定理、正弦定理和余弦定理。
勾股定理适用于已知两条边求第三边的情况，其公式为：c² = a² + b²，其中c为斜边的长度，a和b分别为两个直角边的长度。
正弦定理适用于已知一个角和两条角边的情况，其公式为：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C分别为三角形的三个内角，a、b、c 分别为对应的边长。
余弦定理适用于已知三条边求角度的情况，其公式为：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中A为夹在b和c之间的角，a为对应的边长。
二、解决等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
解决等腰三角形的方法主要有两种：勾股定理和正弦定理。
勾股定理适用于已知两条等腰边求底边的情况，其公式与直角三角形相同。
正弦定理适用于已知一个角和两条等腰边的情况，其公式与直角三角形相同，只是此时的两条边为等腰边。
三、解决一般三角形一般三角形是指三个角和三个边都不相等的三角形。
解决一般三角形的方法主要有两种：正弦定理和余弦定理。
正弦定理适用于已知一个角和两条边的情况，公式同上。
余弦定理适用于已知三条边求角度的情况，公式同上。
答案示例：1. 已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，请计算斜边的长度。
解法：根据勾股定理，斜边的长度c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度c = √25 = 5cm。
2. 已知一等腰三角形的底边长度为5cm，两条等腰边的长度分别为4cm，请计算顶角的度数。
高一下期暑假复习资料 解三角形练习题
解三角形练习题 分数_____________一、基础（10分）1正弦定理 __________________________ 2、.余弦定理__________________________3.面积定理______________________________________4..三角形内角和定理 在△ABC 中，有_________________________二、选择题（8*5=40分） 1.（2008·陕西理，3）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则 a 等于（ ） A.6 B.2 C.3 D.2答案 D2.（2008·福建理，10）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则角B 的值为( )A.6πB.3π C.6π或65πD.3π或32π答案 D3.下列判断中正确的是 （ ）A.△ABC 中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC 中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC 中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC 中，b=9,c=10,B=60°,无解 答案 B4. 在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 （ ）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形答案 B5. 在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为（ ）A.58B.85C.35D.53答案 D6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则∠C 的度数是 （ ）A.60°B.45°或135°C.120°D.30°答案 B7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 答案65π三、填空题（5*3=15分） 8. 在△ABC 中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为答案 3109. （2008·浙江理，13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .答案33 四、解答题（共计35分）10. 在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c. 解 ∵B=45°＜90°且asinB ＜b ＜a,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得sinA=b B a sin =245sin 3︒ =23, 则A 为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=BCb sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=BCb sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=226+或A=120°,C=15°,c=226-.11. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b +2.（1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.解 （1）由余弦定理知：cosB=ac b c a 2222-+，cosC=abc b a 2222-+.将上式代入C Bcos cos =-c a b +2得:ac b c a 2222-+·2222c b a ab -+=-ca b +2整理得:a 2+c 2-b 2=-ac ∴cosB=acb c a 2222-+=ac ac 2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B=32π. （2）将b=13,a+c=4,B=32π代入b 2=a 2+c 2-2accosB,得b 2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫⎝⎛-211,∴ac=3.∴S △ABC =21acsinB=433. 12. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A-B ）=（a 2-b 2）sin （A+B ），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a 2［sin （A-B ）-sin （A+B ）］=b 2［-sin （A+B ）-sin(A-B)］∴2a 2cosAsinB=2b 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为：sin 2AcosAsinB=sin 2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B ＜2π 得2A=2B 或2A=π-2B,即A=B 或A=2π-B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cosAsinB=2b 2sinAcosB由正、余弦定理,可得a 2b bc a c b 2222-+= b 2a acbc a 2222-+ ∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2)即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a=b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.13. 已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S ，且2S=(a+b)2-c 2，求tanC 的值. 解 依题意得absinC=a 2+b 2-c 2+2ab,由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sin2C cos 2C =4cos 22C化简得：tan 2C =2.从而tanC=2tan 12tan22C C-=-34. 14. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B 的大小并判断△ABC 的形状.解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos 2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos 2B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21.∵0＜B ＜π,∴B=3π. ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a+c=2b.∴cosB=acbc a 2222-+=ac c a c a 2)2(222+-+=21，化简得a 2+c 2-2ac=0,解得a=c.又∵B=3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0，∴2（2cos 2B-1）-8cosB+5=0. ∴4cos 2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21,∵0＜B ＜π,∴B=3π, ∵a,b,c 成等差数列，∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin 3π=3. ∴sinA+sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3，∴sinA+sin A cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sinA+23cosA=3,∴sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πA =1.∴A+6π=2π,∴A=3π,∴C=3π,∴△ABC 为等边三角形. 15. （2008·广东五校联考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a+b=5，c=7，且4sin 22B A +-cos2C=27. (1)求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积. 解 （1）∵A+B+C=180°,由4sin 22B A +-cos2C=27,得4cos 22C-cos2C=27,∴4·2cos 1C +-(2cos 2C-1)=27,整理,得4cos 2C-4cosC+1=0,解得cosC=21, ∵0°＜C ＜180°,∴C=60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC,即7=a 2+b 2-ab,∴7=(a+b)2-3ab ， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,∴S △ABC =21absinC=21×6×23=233.。
7.暑假高一升高二学案 解三角形基础答案
解三角形基础（答案）一、正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中，R 为ABC ∆外接圆半径） 二、余弦定理：222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩三、利用正弦定理，边、角可互相转化： ① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R= ③::sin :sin :sin a b c A B C = 四、三角形面积公式：B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===. 五、基础练习： 1.在ABC ∆中，030,1,3===B b a ，则A 的值为DA.060 B.030C.0120 D.0120或0602.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若,13A a b π===，则B =BA.3π B.6π C.56π D.6π或56π3.ABC ∆中，3π=A ，3BC =，AB =，则角=C BA ．6π B.4π C ．34π D ．4π或34π4.边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是DA.0150 B.090 C.0135 D.01205.在ABC ∆中，)13(:6:2sin :sin :sin +=C B A ，则三角形的最小内角是A A.045 B.060 C.030D.不能确定6.在ABC ∆中，1,33cos ,31sin ===a B A ，则b 等于C A.36 B.33 C.6 D.237.在ABC ∆中，C b a cos 2=，则此三角形一定是AA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 8.在ABC ∆中，若B A C sin cos 2sin =，则此三角形必是AA.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形9.ABC ∆中，B b A a cos cos =，则此三角形是DA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 10.在ABC ∆中，80=a ,100=b ,045=A ,则此三角形的解的情况是B A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 11.在ABC ∆中，3,6,60==︒=b a A ，则满足条件的ABC ∆的解的情况是AA.无解B.有1个解C.有2个解D.不能确定 12.根据下列条件,确定有两解的是DA.045,20,14===A b a B.030,6,3===A b a C.060,48,60===A b a D.060,20,18===A b a13.在ABC ∆中，1=a ，045=B ，面积2=S ，则ABC ∆的外接圆的直径为D A.4 B.34 C.5 D.25 14.在ABC ∆中，已知215,30,1===-S bc a c ，则=∠A B A.0150 B.030 C.060 D.030或0150二、填空题：1.已知ABC ∆中，030,3,1===B c b ，则此三角形的面积为 .23或43 2.在ABC ∆中，若7,5,1200===BC AB A ，则ABC ∆的面积是 . 4315 3.ABC ∆中，31cos ,2,2===∆A b S ，则=c . 23 4.半径为2的圆内接三角形的面积为1，则三角形三边长之积=abc . 85.在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ,,的对边，若c a b +=2，54sin =B 且ABC ∆的面积为23，则=b .26.ABC ∆的外接圆半径2=R ，且2:1:=b a ，060=C ，则=a ，=b .4,27.在ABC ∆中，B a b sin 2=，则=A __________.6π或65π8.在ABC ∆中，若B b A a cos sin =，则B 的值为_________.4π9.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若4cos 5A =，5cos 13C =，1=a ，则=b _______.211310.给出下列命题：①在ABC ∆中，若0>⋅→→BC AB ，则ABC ∆是钝角三角形；②在ABC ∆中，若0tan tan cos <CBA ，则ABC ∆是钝角三角形；③在ABC ∆中，若B A B A cos cos sin sin <，则ABC ∆是钝角三角形；④在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆是等腰三角形．其中，正确命题序号是 ．①②③三、解答题：1.在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、的对边分别是c b a 、、，且满足ac b c a +=+222. （1）求B ∠的大小； （2）若7=b ，4=+c a ，求ABC ∆的面积.2.在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、的对边分别是c b a 、、，已知3,2π==C c .（1）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,； （2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积.3.在锐角ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为,,a b c ，且A c a sin 23=.（1）确定角C 的大小； （2）若7=c ，且ABC ∆的面积为233，求b a +的值.4.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知B c a C b cos )2(cos ⋅-=. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若ac b =2，试确定ABC ∆的形状.5.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且C b B c a cos cos )2(=-. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若4π=A ，2=a ，求ABC ∆的面积．6.ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，)3,(b a m =→与)sin ,(cos B A n =→平行． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7=a ，2=b ，求ABC ∆的面积．。
高一数学解三角形试题答案及解析
高一数学解三角形试题答案及解析1.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底部测得一塔顶仰角为另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，求两座塔的高度。
【答案】40米，90米.【解析】绘出几何示意图，寻找角关系，并建关系式.其中，且，建立方程（1）；又因为，且由题可知，建立方程（2）试题解析：连结BO、OD、 AD、 BC，设两塔AB、CD的高分别为x，y米，则在中，则在中，由得， ( 1 ) 5分又在中，在中，.而，所以，即（2） 10分由（1）（2）式解得： x = 40(米)， y = 90(米)答：两座塔的高分别为40米、90米. 14分【考点】正切函数应用.2.设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:由图可知，在中，,则；在中，,则，；即甲、乙两楼的高分别是.【考点】解直角三角形.3.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.4.已知的三个内角满足：，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】由,,从而有:,再注意到,又,故知是以角C为直角的直角三角形,所以选B.【考点】三角公式.5.在中，内角、、所对的边分别为、、，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则有两解；④必存在、、，使成立.其中，正确命题的编号为．（写出所有正确命题的编号）【答案】②③【解析】①根据大边对大角可知,如果是钝角,则此时,显然错误.②当三角形是锐角三角形时,根据正弦函数性质可知;当三角形是钝角三角形时,有,则,因为，所以,此时有,正弦函数性质可知,即.正确.③因为，即，所以必有两解.正确.④根据正切和角公式,可得.则有根据诱导公式有代入上式,则上式若是锐角,则;此时.若是钝角,则;此时.错误.【考点】三角形中边角关系;三角函数性质;三角函数和角,诱导公式的使用.6.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，，，解得.【考点】解三角形.7.在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：①若，则；②若，则为等边三角形；③必存在，使成立；④若，则必有两解.其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）.【答案】①④【解析】对于①，在中，当时，有，又由正弦定理，则,，,由有>>,所以有成立，故①正确；对于②，由正弦定理，且因为，所以且，则，且角B,C为锐角，所以,故②不正确；对于③，=,故③不正确；对于④，如图：因为，且，所以必有两解，故④正确.【考点】正弦定理，三角形边角关系，化归与转化的数学思想.8.中，若，则的面积为（）．A．B．C．1D．【答案】A【解析】根据三角形面积公式可得面积为．【考点】三角形面积公式的选择和计算．9.如图，从高为的气球上测量铁桥的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则该桥的长可表示为A．B．C．D．【答案】A【解析】过A作垂线AD交CB于D，则在Rt△ADB中，∠ABD=α，AB＝．又在中，∠C=β，∠BAC=α-β，由正弦定理，得∴BC＝即桥梁BC的长度为，故选A．【考点】解三角形的实际应用．10.两地相距，且地在地的正东方。
2024年暑期高一培优课3解三角形(老师)
解三角形专题（一）选择与填空题1．（2018·全国（理））ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC V 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解：由题可知222124ABCa b c S absinC +-==V 所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC = ()C 0,π∈Q C 4π∴=2．（2018·江苏）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.3．（2020·江苏）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-u u u r u u u r u u u r （m 为常数），则CD 的长度是________．解：∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =， 设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =u u u ru u ur ，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =u u u r u u u r ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185. 4．（2021·浙江）在ABC V中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，AM =则AC =___________，cos MAC ∠=___________. 解由题意作出图形，如图，在ABM V 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅， 即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去）， 所以=2=2=8BC BM CM ， 在ABC V 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC =在AMC V中，由余弦定理得222cos2AC AM MCMACAM AC+-∠===⋅.故答案为：13.5．（2017·浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．解：取BC中点E，由题意：AE BC⊥，△ABE中，1cos4BEABCAB∠==，∴1cos,sin44DBC DBC∠=-∠==，∴1sin2△BCDS BD BC DBC=⨯⨯⨯∠=．∵2ABC BDC∠=∠，∴21cos cos22cos14ABC BDC BDC∠=∠=∠-=，解得cos BDC∠=cos4BDC∠=-（舍去）．综上可得，△BCD面积为2，cos BDC∠=．（二）解答题1.（11年全国2卷）的内角、、的对边分别为、、.已知,,求.解：由及正弦定理可得又由,,故ABC A B C a b c90A C︒-= 2a c b+=Ca c+=sin sinA C B+=90A C︒-=180()B A C=-+cos sin)C C A C+=+2)C︒+2C,因为 ,所以 ,2．（11年湖北16）．设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.解：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 3.（11年江西17）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin CC C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.解：（1）已知2sin 1cos sin CC C -=+ 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin22222C C C C C C C -+=-+∴cos 2C C C =cos(45)cos 2C C ︒-=090C ︒︒<<245C C ︒=-15C ︒=整理即有：012sin 22cos 22sin 02sin 2sin 22cos 2sin22=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⇒=+-C C C C C C C 又C 为ABC ∆中的角，02sin≠∴C412sin 2cos 2cos 2sin 2412cos 2sin 212cos 2sin 222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=-∴C C C C C CC C 43sin 432cos 2sin2=⇒=∴C C C （2）()8422-+=+b a b a Θ()()2,2022044442222==⇒=-+-⇒=++--+∴b a b a b a b a又47sin 1cos 2=-=C C Θ，17cos 222-=-+=∴C ab b a c 4．（2021·全国）记ABC V 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠. 解：（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即s i n s i n C cABC b=∠， ∴acBD b=，又2b ac =， ∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， ∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =， 由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=； 综上，7cos 12ABC ∠=. 5．（2020·北京）在ABC V 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC V 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．解：选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-Q ，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-Q8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==Q ，由正弦定理得：7sin sin sin sin a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈Q ，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B === （Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=6．（2020·浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2s i n 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．解:（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 222A A A =-++11sin cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.7．（2020·海南）在①ac =②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC V ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且s i n 3si n A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭, ()1??22sinA A C =+=+ ，∴sinA =,∴tanA =∴23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==,2=∴c=1;若选②，3csinA =,则32=,c =;若选③,与条件=c 矛盾.8．（2020·江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．解：（1）由余弦定理得2222cos 92235b a c ac B =+-=+-⨯=，所以b =由正弦定理得sin sin sin sin c b c B C C B b =⇒==.（2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠==.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5C ==. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅34555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos DAC ∠==. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.9．（2020·全国（文））ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ABC V 的面积；（2）若sin A C ，求C . 解：（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==； （2）30A C +=︒Q ，sin sin(30)A C C C ∴=︒-+1cos sin(30)2C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒Q ， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.10．（2020·全国（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若3b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 解：（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π<<， 所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①，又3b c a -=②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =， 故222b a c =+，即ABC V 是直角三角形．11．（2019·江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．解：（1）因为23,3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a bA B=，得cos sin 2B B b b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭12．（2019·北京（理））在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B –C ）的值． 解：(Ⅰ)由题意可得：2221cos 2223a c b B ac b c a ⎧+-==-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：sin 2B ==， 结合正弦定理sin sin b c B C =可得：sin sin 14c B C b ==， 很明显角C为锐角，故11cos 14C ==， 故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=13．（2019·全国（理））ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．解：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈Q 3A π∴=（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=. 14．（2019·全国（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 解：(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02A C π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC V 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=⋅V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，ABC S <<V . 故ABC S V的取值范围是 15．（2018·天津（理））在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值. 解析：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =，又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．因此22sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=11727214⨯-⨯=．16．（2017·全国（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,2A A a b ===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.解析：（1）sin 0,tan A A A =∴=Q 20,3A A ππ<<∴=Q ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+-Q ，1628422cos C ∴=+-⨯⨯，2cos2cosACC CDC∴=∴===12CD BC∴=，114222ABCS AB AC sin BAC∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯=12ABD ABCS S∆∆∴== 17．（2017·全国（理））△ABC的内角、、A B C的对边分别为a b c、、,已知△ABC的面积为23sinaA(1)求sin sinB C;(2)若6cos cos1,3,B C a==求△ABC的周长.解：（1）由题设得21sin23sinaac BA=，即1sin23sinac BA=.由正弦定理得1sinsin sin23sinAC BA=.故2sin sin3B C=.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin,2B C B C-=-，即()1cos2B C+=-.所以23B Cπ+=，故3Aπ=.由题设得21sin23sinabc AA=，即8bc=.由余弦定理得229b c bc+-=，即()239b c bc+-=，得b c+=故ABCV的周长为3+18．（2017·天津（文））在ABCV中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c.已知sin4sina Ab B=，222)ac a b c=--.（I）求cos A的值；（II）求sin(2)B A-的值.解：（Ⅰ）解：由sin4sina Ab B=，及sin sina bA B=，得2a b=.由)222ac a b c=--，及余弦定理，得2225cos 25bc aA bcac +-===-. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==. 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以cos B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故 ()43sin 2sin2cos cos2sin 55555B A B A B A ⎛-=-=⨯--⨯=- ⎝⎭. 19.（2021年全国2卷18）在ABC V 中，角,,A B C 所对边为a,b,c ，若1,2b a c a =+=+ （1）若2sin 3sin C A =，求ABC V 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC V 为钝角三角形？若能，求a ；若不存在，说明理由。
(完整版)高一解三角形(答案)
高一解三角形1.（2011东城区4月文）（15）（本小题共13分）在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且满足，c 2bcosA .所以 sin (A B) 2s in B cosA ,sin (A B) 0,在厶ABC 中，因为0 A n , 0 B n ,...................... 6分所以 n A 所以A B .B nn ）解：由（I ）知 a b .4因为cosC 一 ,又0A n ,所以 sinC 3.55因为△ ABC 的面积S15 所以S-absinC15，可得ab 5.222由余弦定理c 2a 2b 2 2abcosC10 ,所以c ............... 13分2.(2011西城区4月文)15.(本小题满分13分)4设 ABC 的内角A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且cosB - , b 2.5(I)当A 30o 时，求a 的值；(n)当 ABC 的面积为3时，求a c 的值.43解：(I)因为cosB ，所以sin B ...................55由正弦定理一a b，可得一 J10.......sin A sin B sin 303 5 所以a 5. ............313 (n)因为 ABC 的面积 S acsinB , sinB -,253所以 一 ac3 , ac 10..................10由余弦定理b 2 a 2 c 2 2accosB ,..................... 得 4 a 2 c 28ac a 2 c 216，即 a 2 c 220. (5)所以(a c)2 2ac 20 , (a c)2 40 ,..................... 所以，a c 2、10......................（I ）求证:B ; （□）若厶ABC 的面积S15 ,cosC2-，求c 的值.5（I ）证明：因为 c 2b cosA ，由正弦定理得sin C2sin B cosA ,2分 4分 6分8分 9分 10分12分 13分3在 ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c •已知c 2a , C(i)求 si nA 的值；(n)求 cos(2A )的值.3解：(i)因为 c 2a , C -,4(i )求函数f (x)的定义域；(n )若f (x) 解：(i )由题意，sin x 0 ,函数f (x)的定义域为{xx k ,k Z} ............... 4分(n )因为Af (x)2，所以、、2 sin( x ) - 2sin x ,•.............. 5分\2( —^sin x2 、、21cosx) 2sin x , • 2 3..............7分 cosx sin x1 ............... 9分所以，x k (k Z)33由正弦定理ac 一得：si nAsin A sin C4n)因为 sin A —,c 2a 可知a c , A44则 cos A . 1 sin 2A144sin 2 A 2sin A cos A7,cos2A c 22cos A1 344nn 3、21则 cos(2A —)=cos2Acossi n2As in =3338、、145,2 14 3、784 8 48 . 由正弦定理可得： 3.7a-，所以 a '一 14 .13分13分4.已知函数f(x).2si n(x —)sin x2 ,求sin2x 的值.sin B sin A1 将上式平方，得1 sin2x - , .............. 12分98 所以sin2x ......... 13分945在 ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,且a 2 , cosB -.5所以b 13 .36.在 ABC 中，角A, B,C 的对边分别为a,b,c , cosA - , C 2A .4（i ）求 cosC 的值；（n ）若 ac 24，求a,c 的值.3 15、解：(I)因为 cosA 一 ,4 所以 cosC cos2A 2cos 2 A 1 3 2 2(4)1(n)在 ABC 中，因为cosA -，所以sin A 4因为cosC 1 「1 2 3-7 ，所si nC t 1 ()2888根据正弦定理a csin A sin C '所以a -,又ac24，所以a4,c6.c 33分 -5分-7分9分10分.... 12分（i ）若b 3，求si nA 的值；（n ）若ABC 的面积S ABC3，求b , c 的值解：（i ） 因为cosB 4，又 0 B5所以sin B由正弦定理,3 5 •asi nB 2得 sin A -1 cos 2B2分 ...6分(n)因为 S ABC1所以丄2c21acsi nB 3,235 所以c由余弦定理,b 2 a 2c 22ac cos B22 52 2 213分。
高一数学暑假作业解三角形
解三角形【知识回忆】1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 对边，R 为C ∆AB 外接圆半径，那么有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②，，；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 〔正弦定理主要用来解决两类问题：1、两边与其中一边所对角，求其余量。
2、两角与一边，求其余量。
〕⑤对于两边与其中一边所对角题型要注意解情况。
〔一解、两解、无解三中情况〕3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理推论：，，．(余弦定理主要解决问题：1、两边与夹角，求其余量。
2、三边求角)如何判断三角形形状？1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝4，，那么B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对2．在ABC ∆中，030,AB 1A BC ∠===，那么AC 长为〔 〕A ．2B ．1C ．2或1D ．4 3．在ABC ∆中，,2,45a x b B ===，如果三角形有两解，那么x 取值范围是〔 〕A ． 2x <<B ． x <C ． 2x <<D ．02x <<4．a 、b 、c 是ABC ∆中内角A 、B 、C 对边，且1,5,a b c ===，那么ABC ∆面积S =〔 〕 A ．32B ．2C ．3D ． 45．在ABC ∆中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 对边，且()22sin sin sin sin sin A C A B B -=-，那么角C 等于〔 〕A ．6πB ．3πC ．56πD ．23π 6．在△ABC 中，假设sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)，那么△ABC 形状一定是〔 〕A ．直角三角形B ．不含60°等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形7．在ABC ∆中，75,45AB A B =∠=︒∠=︒，那么AC = ．8．三角形一边长为14，它对角为︒60，另两边之比为5:8，那么此三角形面积为_ ___．9．在ABC ∆中，角C B A 、、所对边分别为c b a 、、，假设bc b a 322=-，且B C sin 32sin =，那么角A 大小为_______．10．在△ABC 中，A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，且AB AC BA BC ⋅=⋅ (1)判断△ABC 形状；(2)假设2AB AC ⋅=，求边c 值．11．ABC ∆中，角C B A ,,对边分别为c b a ,,，且满足 〔I 〕求角B 大小；〔II 〕假设21=b ，ABC ∆面积为，求c a +值．12．ABC ∆内角C B A ,,对边分别为c b a ,,，A c C a cos 2cos 3=，且3,52==c b ． 〔1〕求a 值； 〔2〕求值． 【参考答案】解三角形想一想1．如何判断三角形形状：设 a 、b 、c 是 C 角 、 、C 对边，那么：①假设 a 2 b 2 c 2 ，那么 C 90 ；C②假设 a 2 b 2 c 2 ，那么 C 90 ；ab③假设 a 2 b 2 c 2 ，那么 C 90 ．bsin AA D 练一练【解析】试题分析：由得3sinBB45sin A sinBsin60sinB2考点：正弦定理解三角形3．A【解析】试题分析：方法〔1 〕：由余弦定理得，即，假设三角形有两解，那么，解得.a b2a x2方法〔2〕：由正弦定理得2,那么2 sinA，sin A sin BA C 18045135；A A 45,那么另一解A135,此时A B180,不成立，所以45A135；假设一解A90,那么另一解A90,此时三角形有一解,不符合题意；所以22 sin A 1 ，解得；方法〔3〕：过C 作CD 垂直于AB 交AB 于D，那么CD xsin450 ,要此三角形有两解，只需xsin450AC x即可，解此不等式即.应选A.考点：利用正弦定理与余弦定理判断三角形解个数.4．B【解析】试题分析： a 1, b 5, c 25 ， a 2 b 2 c 21252(2 5) 233 2 4cos C， sin C 1 ( )，2 ab5 52 155S ABC1ab sin C1 1 5 42 ．应选 B ．2 25考点：1、余弦定理；2、平方关系；3、三角形面积公式． 5．B【解析】试题分析：由正弦定理得sin 2 A sin 2 C sin A sin B sin B a 2 c 2ac b 2 ，又由余弦定理得 cos C a 2b 2c 21 C ，应选B ． 考点：正弦定理与余弦定理应用． 6．A 【解析】试题分析：由题意得， 12 cos(BC ) sin(AC )12 cosA sinB ，又 sin(A B ) sin A cos B cos A sin B ，所以 sinA cosB cos A sin B 1，即 sin( A B ) 1，所以 A B 2 ，故ABC 一定为直角三角形,应选 A.考点：两角与与差三角函数. 7． 2 【解析】sin试题分析：在中，由正弦定理得 AC AB sinB 6 45 2 .A BC sin C sin 60所以答案应填： 2 ．考点：1、正弦定理；2、三角形内角与定理． 8． 403 【解析】试题分析：设另两边长分别为 8 x , 5x ，那么(8 x ) 2 (5 x ) 2 2 8 x 5 x cos 60142 ，解得 x 2 ，即另两边长分别为16,10，三角形面积为 S 12 16 10 sin 60 403 ． 考点：余弦定理与三角形面积．9．6π【解析】试题分析： 由正弦定理且 sin C 23 sin B ，得 c 23b ，由 a 2 b 2 3bc ，得 a 2 3b 23b b 2 7b 2 ，由余弦定理得b 2c 2 a2b 2 12b 2 7b 23cos AA 0,，又 ,所以角 A 大2bc2b 2 3b2小为 6π.考点：正弦定理、余弦定理应用. 10．〔1〕等腰三角形〔2〕2 【解析】(1)∵ AB AC BA BC∴ | AB || AC| cos A | BA ||BC | cos B ………………………………………2 分b cos A a cos B∴2Rsin Bc os A =2R sin Ac os B …………………………………………………4 分∴t a n A =t a n B A B ∴△ABC 为等腰三角形 ………………………………………………6 分2(2)由ABAC 得 | AB || AC | cos A 2。
2021年高一数学暑假作业解三角形含解析沪教版
解三角形一、单选题1．在△ABC 中，“sin sin A B >”是“A B >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】试题分析：由正弦定理sin sin a b k A B ==，得sin ,sin a b A B k k ==，由sin sin A B >得a bk k>，即a b >，由大边对大角得A B >；当A B >得a b >，即a bk k>，由正弦定理得sin sin A B >，因此“sin sin A B >”是“A B >”的充要条件，故答案为C. 考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.2．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，30,45A B ==，则a b= ABCD ．23【答案】B【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理知，sin sin a bA B=,即sin sin30sin sin 452a Ab B ︒===︒， 故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于容易题. 3．在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边的长，若2222020a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅+的值为A ．1B ．2018C ．2019D ．2020【答案】C【分析】先利用商数关系将2tan tan tan (tan tan )A B C A B ⋅+，转化为sin sin 2cos cos sin sin sin cos cos cos A BA BC A B C A B ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再通分结合两角和的正弦公式得到22sin sin cos sin A B CC，再利用正弦定理将角转化为边，然后利用余弦定理结合2222020a b c +=求解. 【详解】sin sin 22tan tan cos cos sin sin sin tan (tan tan )cos cos cos A BA B A B C A B C A B C A B ⋅⋅=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2sin sin cos sin (sin cos cos sin )A B CC A B A B =+ ，22sin sin cos sin A B CC=， 222222cos 2019ab C a b c c c+-===. 故选：C.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题4．在ABC 中6a =，8b =，12ABC S ∆=，则C =______. 【答案】30或150【分析】先由三角形面积公式，得到1sin 122∆==ABC S ab C ，求出sin C ，即可得出结果. 【详解】因为在ABC 中6a =，8b =，12ABC S ∆=， 所以1sin 122∆==ABC S ab C ，因此241sin 682==⋅C ， 所以C =30或150. 故答案为30或150【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，熟记公式即可，属于基础题型. 5．在ABC 中，若222sin sin sin A B C =+，则这个三角形一定为______三角形. 【答案】直角【分析】由正弦定理得到222a b c =+，即可得出结果.【详解】因为在ABC 中，222sin sin sin A B C =+， 由正弦定理可得：222a b c =+，满足勾股定理， 因此，该三角形是直角三角形. 故答案为直角【点睛】本题主要考查判断三角形的形状，熟记正弦定理即可，属于基础题型. 6．在ABC中，若a =6b =，60A =︒，则B =______. 【答案】30【分析】先由正弦定理求出sin B ，再由大边对大角，即可得出结果. 【详解】因为在ABC中，a =6b =，60A =︒， 由正弦定理可得：sin sin a b A B =，所以1sin sin 2===b B A a ， 又a b >，所以A B >，因此30B =︒. 故答案为30【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理以及三角形的性质即可，属于基础题型. 7．在ABC 中，若30A =︒，120B =︒，12b =，则a =______.【答案】【分析】根据正弦定理，可直接得出结果.【详解】因为在ABC 中，30A =︒，120B =︒，12b =，由正弦定理可得：sin sin a bA B=，所以112sin sin 2⨯===b A a B故答案为【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于基础题型. 8．在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆，且A ,B ,C 成等差数列，则ac 最小值为______． 【答案】4【分析】先根据A ,B ,C 成等差数列得到60B =︒，再根据余弦定理得到,,a b c 满足的等式关系，而由面积可得ac b =，利用基本不等式可求ac 的最小值.【详解】因为A ,B ,C 成等差数列，180A B C ++=︒，故60B =︒. 由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-. 由基本不等式可以得到2b ac ≥，当且仅当a c =时等号成立.因为11sin sin2223S ac B ac π===，所以2ac b =， 所以224a c ac ≥即4ac ≥，当且仅当2a c ==时等号成立.故填4.【点睛】三角形中与边有关的最值问题，可根据题设条件找到各边的等式关系或角的等量关系，再根据边的关系式的结构特征选用合适的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把与边有关的目标代数式转化为与角有关的三角函数式后再求其最值.三、解答题9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a b c bc a b c-+=+-. （1）求角A ；（2）若ABC 的外接圆半径为1，求ABC 的面积S 的最大值．【答案】(1) 3A π=；【分析】（1）化简，再用余弦定理和三角形内角和，即可求出角A .（2）根据正弦定理求出a ，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）由a b c bc a b c-+=+-化简得222b c a bc +-=， 由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得1cos 22bc A bc == 又因为0A π<<， 所以3A π=.（2）由正弦定理得22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒===所以2232b c bc bc bc bc =+--=， 当且仅当b c =时取等号．故11sin 3222S bc A =⨯⨯=（b c =时取等号）．即ABC 面积S 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10．ABC 的外接圆半径是2，若c =，6A π=，求边长b .【答案】2b =或4b = 【分析】先正弦定理得到4sin =c C ，求出3C π=，或23C π=，进而可得出2B π=，或6B π=，从而可求出结果.【详解】因为ABC 的外接圆半径是2，c =，6A π=，所以24sin ==cr C（其中r 为外接圆半径），即sin C =，所以3C π=，或23C π=，因此2B π=，或6B π=，所以2sin 4==b r B 或2b =.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型. 11．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ； （2）求∠A ．【答案】（1）5b =；（2）∠A ＝120°. 【分析】（1）利用正弦定理边角互化直接求解 （2）利用余弦定理直接求解 【详解】（1）由正弦定理得sin b B ＝sin c C可得，c b ＝sin sin C B ＝35，所以b ＝533⨯＝5． （2）由余弦定理得cos A ＝2222c b a c b+-⋅⋅＝92549235+-⨯⨯＝12-，又因为0180A << ，所以∠A ＝120°．【点睛】本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，准确计算是关键，属于基础试题．12．在ABC 中，b =60A =︒，75C =°，求边长a 和ABC 的面积.【答案】a =3S =【分析】先由180B A C =︒--求出B ；再由正弦定理求出sin sin ==b Aa B可求出结果.【详解】因为在ABC 中，b =60A =︒，75C =°， 所以18045=︒--=︒B A C ；由正弦定理可得：sin sin a bA B=，所以sin sin ==b A a B所以11sin 322==⋅=S ab C 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可，属于常考题型. 13．在ABC ∆中，若3C B =，求cb的取值范围. 【答案】()1,3【分析】利用正弦定理，把边化角，结合二倍角公式，可得结果. 【详解】由正弦定理可得sin sin c C b B=sin 3sin BB = 所以c b sin 2cos cos 2sin sin B B B B B += 所以cb22cos cos 2B B =+24cos 1B =-因为3,180C B A B C ︒=++=，所以045B ︒︒<<，于是cos 12B <<， 因此214cos 13B <-<， 即13c b <<，故cb的取值范围是()1,3. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了二倍角公式，属中档题.14．在△ABC 中，若22tan tan a A b B=，试判断△ABC 的形状．【答案】△ABC 为等腰三角形或直角三角形．【分析】利用正弦定理和切化弦技巧化简，得到sin 2sin 2A B =，解得A B =或2A B π=-，从而判断△ABC的形状.【详解】由正弦定理，得22sin tan sin tan A AB B =， 即22sin sin cos ,sin 0,sin 0sin cos sin A A B A B B A B=⋅>>sin cos sin cos A A B B ∴=，sin 2sin 2A B =．∴222A k B π=+，或222()A k B k Z ππ=+-∈． ∵0,0,0A B k ππ<<<<∴=，则A B =或2A B π=-．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．【点睛】本题考查了正弦定理，切化弦技巧，解三角方程，属于中档题.。
2017-2018学年高一数学暑假作业：必修五第一部分解三角形 解三角形(1)
必修五第一部分解三角形解三角形（1）一、知识点1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222c o s 2c o s 2c o s 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=二、练习1.在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是（ ）A ．a ＞sin b A B. a =sin b A C. a ＜sin b A D. a ≥sin b A2.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，,13A a b π===，则c 等于（ ）13.在△ABC 中，15,10,60a b A ===︒，则sin B 等于（ ）A ． B.± C. D.4.在△ABC 中，若cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 是（ ）A ．直角三角形 B.等边直角三角形 C ．钝角三角形 D.等腰直角三角形5.在锐角△ABC 中，若C=2B ，则cb 的范围是（ ）A ．()0,2B.)C.D.(6.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,2,a b A C B ==+=则sin _______C =7在△ABC 中，15,10,60,a b A ===︒则cos B 等于（ ）.3A -.3B.C -D 8.在△ABC 中，cos .cos AC B AB C =（1）求证 B C =；（2）若1cos 3A =-，求sin 43B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。
辽宁省沈阳市高中数学暑假作业 第一部分 解三角形(1)
解三角形（1）一、知识点1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=二、练习1.在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是（ ）A ．a ＞sin b A B. a =sin b A C. a ＜sin b A D. a ≥sin b A2.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，,13A a b π===，则c 等于（ ）13.在△ABC 中，15,10,60a b A ===︒，则sin B 等于（ ）A ．3 B.3± C.3 D.3±4.在△ABC 中，若cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 是（ ）A ．直角三角形 B.等边直角三角形 C ．钝角三角形 D.等腰直角三角形5.在锐角△ABC 中，若C=2B ，则cb 的范围是（ ）A ．()0,2B.)C.D.(6.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,2,a b A C B ==+=则sin _______C =7在△ABC 中，15,10,60,a b A ===︒则cos B 等于（ ）.3A -.3B.3C -3D 8.在△ABC 中，cos .cos AC B AB C =（1）求证 B C =；（2）若1cos 3A =-，求sin 43B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。
【暑假提升】第16天 解斜三角形-沪教版(上海)高一数学暑假提升
高一年级暑假作业 第16天 解斜三角形【知识梳理】 1. 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===. 2. 余弦定理：222222222cos ,cos ,cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-===. 3. 三角形面积公式：111sin sin sin 222S ab C ac b bc A ===.【练习巩固】 一．填空题1. 在△ABC 中，若3,75,60AB ABC ACB =∠=︒∠=︒，则BC 等于__________.2. 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∠=____________.3. 在锐角△ABC 中，若3,4a b ==，三角形的面积为S =c =_________.4. 在△ABC 中，若)cos cos c A a C -=，则cos A =__________.5. 平行四边形ABCD 中，20,30,120AB BC B ===︒，则BD =____________.6. 三角形三边之比为3:5:7，则该三角形的最大的角的大小为____________.7. 已知△ABC 的周长为20，面积为，60A =︒，则a =__________.8. 已知△ABC 中，1,a b =c 边上的中线长为1，则△ABC 的外接圆的半径长为_________.二．选择题9. 在△ABC 中，“sin A >”是“3A π>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10. 在△ABC 中，cos cos a bB A=，则该三角形的形状为（ ） A ．等腰或直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰非直角三角形 D ．直角非等腰三角形11. 在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）A ．7,3,30b c C ===︒B ．5,45b c B ===︒C ．6,60a b B ===︒D ．20,30,30a b A ===︒12. 在不等边△ABC 中，a 是最大边，若()222sin sin sin B C B C +<+，则角A 的取值范围是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭三． 解答题13.在△ABC中，若22tantanA aB b=，判断△ABC的形状.14.在△ABC中，已知4,8,sin2sina b c A B-===（1）求△ABC的面积S；（2）求()sin A B-的值.15. 在△ABC 中，45,6S c A ︒=+==b 、a 及C 的值.16. 在△ABC 中， （1） 若2,,3c C S π===a 、b 的值；（2） 若()sin sin sin 2C B A A +-=，试判断△ABC 的形状.参考答案：1.2.6arccos113.4.5.6.120︒7.78. 19. A10.A11.C12.D13.等腰三角形或直角三角形14.（1）S=（2）()-=sin A B15. 24,3b a C π=+==16. （1）2a b ==；（2）等腰三角形。
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解三角形【知识回顾】1、正弦定理：在错误!未找到引用源。
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分别为角错误!未找到引用源。
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的外接圆的半径，则有错误!未找到引用源。
．2、正弦定理的变形公式：①错误!未找到引用源。
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；③错误!未找到引用源。
；④错误!未找到引用源。
．（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
）⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
（一解、两解、无解三中情况） 3、三角形面积公式：错误!未找到引用源。
．4、余弦定理：在错误!未找到引用源。
中，有错误!未找到引用源。
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．5、余弦定理的推论：错误!未找到引用源。
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． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。
2、已知三边求角)如何判断三角形的形状？1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝4，错误!未找到引用源。
，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对2．在ABC ∆中，已知030,AB 1A BC ∠===，则AC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．2或1D ．43．在错误!未找到引用源。
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C ．错误!未找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。
6．在△ABC 中，若sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．直角三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形7．在错误!未找到引用源。
中，错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
． 8．三角形一边长为错误!未找到引用源。
，它对的角为错误!未找到引用源。
，另两边之比为错误!未找到引用源。
，则此三角形面积为_ ___． 9．在错误!未找到引用源。
中，角错误!未找到引用源。
所对的边分别为错误!未找到引用源。
，若错误!未找到引用源。
，且错误!未找到引用源。
，则角错误!未找到引用源。
的大小为_______．10．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r(1)判断△ABC 的形状；(2)若2AB AC ⋅=u u u r u u u r，求边c 的值．11．ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足()()B a c A b -+=πcos 2cos ．（I ）求角B 的大小； （II ）若21=b ，ABC ∆的面积为，求c a +的值．12．错误!未找到引用源。
的内角错误!未找到引用源。
的对边分别为错误!未找到引用源。
，已知错误!未找到引用源。
，且错误!未找到引用源。
． （1）求错误!未找到引用源。
的值； （2）求错误!未找到引用源。
的值．【参考答案】解三角形想一想1．如何判断三角形的形状：设 a 、b 、c 是 C 的角 、 、C 的对边，则：①若 a 2b 2c 2，则 C 90 ；C②若 a 2b 2c 2，则 C 90 ；a b③若 a 2b 2c 2，则 C 90 ． bsinAAD练一练1．C【解析】试题分析：由 得3 sin B B 45sin A sin B sin 60 sin B 2考点：正弦定理解三角形 3．A【解析】试题分析：方法（ 1 ）：由余弦定理得 ，即，若三角形有两解，则 ，解得.a b2 a x 2 方法（2）：由正弦定理得 2 ,则 2 sin A ，sin A sin BA C 180 45 135 ；A 有两个值，则这两个值互补.若一解 A 45,则另一解 A 135 ,此时 AB 180 ,不成立，所以 45 A 135；若一 解 A90,则另一解 A 90 ,此时三角形有一解,不符合题意；所以22 sin A 1 ，解得；方法（3）：过 C 作 CD 垂直于 AB 交 AB 于 D ，则 CD xsin450,要此三角形有两解，只需 xsin450AC x 即可，解此不等式即.故选 A.考点：利用正弦定理和余弦定理判断三角形解的个数. 4．B【解析】试题分析： a 1, b 5, c 25 ， a 2 b 2 c2 12 52 (2 5) 233 24 cos C， sin C 1 () ， 2 ab 5 5 2 1 5 5S ABC1 ab sin C 1 1 5 42 ．故选 B ．2 2 5考点：1、余弦定理；2、平方关系；3、三角形的面积公式． 5．B【解析】试题分析：由正弦定理得sin 2 A sin 2 C sin A sin B sin B a 2 c 2 ac b 2，又由余弦定理得cos C a 2b 2c 21 C，故选 B ． 考点：正弦定理与余弦定理的应用． 6．A【解析】试题分析：由题意得， 1 2 cos(B C ) sin(A C ) 1 2 cos A sin B ，又 sin(AB ) sin A cos B cos A sin B ，所以 sin A cos B cos A sin B 1，即 sin( A B ) 1，所以 A B 2 ，故 ABC 一定为直角三角形,故选 A.考点：两角和与差的三角函数.7． 2【解析】 sin45试题分析：在 中，由正弦定理得 ACAB sin B 62 . ABC sin C sin 60所以答案应填： 2 ．考点：1、正弦定理；2、三角形内角和定理．8． 403【解析】试题分析：设另两边长分别为 8 x , 5x ，则(8 x ) 2 (5 x ) 2 2 8 x 5 x cos 60142，解得 x 2 ，即另两边长分别为16,10，三角形面积为 S 12 16 10 sin 60 403 ．考点：余弦定理与三角形的面积．9．6【解析】试题分析： 由正弦定理且 sin C 23 sin B ，得 c 23b ，由a 2b 2 3bc ，得 a 2 3b 23b b 2 7b 2，由余弦定理得b 2c 2 a b 2 12b 2 7b 223cos A A 0,，又 ,所以角 A 的大2bc2b 2 3b2小为 6.考点：正弦定理、余弦定理的应用. 10．（1）等腰三角形（2）2【解析】(1)∵ AB AC BA BC∴| AB || AC | cos A | BA || BC | cos B ………………………………………2 分b cos A a cos B∴ 2Rsin Bc os A =2Rsin Ac os B …………………………………………………4 分∴t a n A =t a n BA B∴△ABC 为等腰三角形 ………………………………………………6 分 2(2)由AB AC 得 | AB || AC | cos A 2。