2020届百校联盟(全国I卷)高三12月教育教学质量监测考试 数学(文)
2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷(全国Ⅰ卷)文科数学试卷(一)及答案
2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷（全国Ⅰ卷）文科数学试卷（一）★祝考试顺利★注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分,测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0},B ＝{x|y 则A ∩B ＝ (A)[0,34] (B)∅ (C)[0,12] (D) [12,34] (2)设复数4273i z i-=-,则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况,研究人员在A 学校进行抽样调查,则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为,则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.2y x =±C.23y x =±D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图,若判断框中的条件为n<2019,则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈,袤七丈,下广八尺,袤四丈,深六丈五尺,问积几何”。
译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑,上底宽2丈,长7丈；下底宽8尺,长4丈,深6丈5尺,问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。
)(A)45000立方尺 (B)52000立方尺 (C)63000立方尺 (D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。
【附加15套高考模拟试卷】百校联盟2020届高三TOP20十二月联考(全国Ⅰ卷)数学(文)试卷含答案
百校联盟2020届高三TOP20十二月联考（全国Ⅰ卷）数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{}1,2,3,4,5S =，{3,5,7}T =，则()U S C T ⋂= ( ) A ．{1,2,4} B ．{1,2,3,4,5,7} C ．{}1,2D ．{1,2,4,5,6,8}2．设椭圆2222:1(0)x y C a ba b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上不同于,A B 的一点，设直线,AP BP 的斜率分别为,m n ，则当22(3)3(ln ||ln ||)3a m n b mn mn-+++取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．15B ．2C ．45 D ．33．下列函数中，即是奇函数又是增函数的为（ ） A ．3ln y x = B ．2y x =-C ．y x x= D ．1y x -=4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．145．若直线l 不平行于平面a ，且l a ⊄，则 A ．a 内的所有直线与l 异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线C ．a 内存在唯一的直线与l 平行D ．a 内的直线与l 都相交6．函数()24412x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数2()ln(1)1f x x x =+++，则使得()(21)f x f x >-的x 的范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 8．函数()221f x x ex m =-++-，函数()()20e g x x x x=+>，（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，则实数m 取值范围为（ ）A ．221m e e <-++B ．221m e e >-+C ．221m e e >-++D ．221m e e <-+9．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
2020年12月高三质检数学试题及答案
2020年12月高三质检数学试题及答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合A 满足{}{}1,21,2,3,4A ⊆⊆，则集合A 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.8解析：选C 由题可得，集合A 的可能性有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,所以有4个.故选C.2.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（ ） A.3210x y +-= B.3270x y ++= C.2350x y -+= D.2380x y -+=解析：选A 设所求直线方程为:320l x y n ++=过点(1,2)A -，所以340n -++=，解得1n =-，所以:3210l x y +-=.故选A.3.下列各函数中，与函数y x =是同一个函数的是（ ）A.2y =B.y =C.yD.0y x x =⋅解析：选 C 通过化简后可知，选项A中2,(0)y x x ==≥，选项B中,(0)y x x ==≥，选项C中y x ==，选项D 中0,(0)y x x x x =⋅=≠.故选C.4.已知tan(3)2x π+=-，则sin cos 2sin 3cos x xx x-+的值为（ ）A.4B.3C.3-D.4-解析：选B 由tan(3)2x π+=-可得tan 2x =-，所以sin cos tan 12sin 3cos 2tan 3x x x x x x --=++2132(2)3--==⨯-+.故选B. 5.下列各式化简错误的是（ ） A.21153151a a a-= B.269463()a b a b ---=C.122111333442()()()x y x y x y y --= D.113324115324153525a b cac a b c---=-解析：选D 由题得，2112110531553151a a aaa --++===，所以成立；2226()9()69333()a b ab-⨯--⨯--=46a b -=，所以成立；12212211111101333333442442()()()x y x y x y xyx y y--++-+-===，所以成立；113111135324()2332244115324151533255525a b ca b c ac ac a b c---------=-=-≠-，所以不成立.故选D.6.若实数,x y 满足约束条件3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则y z x =的取值范围是（ ）A.14[,]23B.1[,2]2C.4[,2]3D.3[,2]4解析：选B 由题可得，该约束条件表示的平面区域是一个三角形区域，其三个顶点坐标分别为(1,2),(3,4),(2,1)，代入目标函数，求得函数值分别为412,,32，所以该目标函数的取值范围是1[,2]2.故选B.7.已知直线,m n 是异面直线，则过直线n 且与直线m 垂直的平面（ ）A.有且只有一个B.至多有一个C.有一个或无数多个D.不存在 解析：选B 若两条异面直线互相垂直，则过直线n 且与直线m 垂直的平面存在，且只有一个；若两条异面直线不垂直，则过直线n 且与直线m 垂直的平面不存在.所以满足的条件的平面至多有一个.故选B.8.设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：选A 由21x -<解得13x <<，由220x x +->解得2x <-或1x >.因为(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的子集，所以“21x -<”是“220x x +->”的充分不必要条件.故选A.9..若函数()f x 是偶函数，当10x -≤<时，2()41f x x x =-+，则当01x <≤时，函数()f x 的解析式为（ ）A.241x x ++B.241x x -++C.241x x --D.241x x ---解析：选 A 因为函数是偶函数，所以满足()()f x f x -=.因为01x <≤，所以10x -≤<，所以22()()4()141()f x x x x x f x -=---+=++=.所以当01x <≤，2()41f x x x =++.故选A.10.首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则( ) A.21n n S a =- B.32n n S a =- C.43n n S a =- D.32n n S a =-解析：选D 由题可得，21()2333()2313nn n S -==-⋅-，12()3n n a -=，所以32n n S a =-.故选D.11.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ） A.9π B.10π C.11π D.12π解析：选D 由题可得，该几何体是一个圆柱与球的组合体，所以该几何体的表面积为422312S ππππ=++⨯=.故选D.12.若两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a 的夹角为（ ） A.6πB.3πC.32π D.65π 解析：选B 因为2a b a b a +=-=，所以a b ⊥且3b a =，所以()cos a b a a b aθ+⋅=+22122aa==，所以夹角为3π.故选B.13.如图所示，已知正四棱锥S ABCD -侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（ ）A.90B.60C.45D.30解析：选B 连接,AC BD 交于点O ，连接EO ，则//EO SC .所以OEB ∠为所求角.OEB ∆是直角三角形，26,2OE OB ==，所以tan 3OBOEB OE∠==，所以60OEB ∠=.故选B.俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 32 214.若函数()y g x =的定义域为[3,5]-，则(21)y g x =+的定义域为（ ） A.[5,11]- B.[3,5]- C.[2,2]- D.[2,3]- 解析：选C 由题可得，3215x -≤+≤，解得22x -≤≤，所以函数的定义域为[2,2]-.故选C.15.已知双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若1253AF AF =，则双曲线的离心率等于（ ） A.2 B.3解析：选A 由双曲线的定义式可知：122AF AF a -=，因为1253AF AF =，所以可得：125,3AF a AF a ==，因为122F F c =，由2AF x ⊥轴可知12AF F ∆是以21AF F ∠为直角的直角三角形.故有2224925c c a +=，解得2224c e a==，即2e =.故选A.16.函数2log 1y x =-的零点个数为（ ）A.1B.2C.3D.4解析：选D 由题可得，令2log 10x -=，解得2log 1x =±，当2log 1x =时，解得2x =，即2x =±；当2log 1x =-，解得12x =，即12x =±.所以函数的零点有4个.故选D.17.若,x y≤恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A.2B.1解析：选 C≤恒成立，即a ≥恒成立，即max a ≥恒成立.因为21112==+≤+=，≤a ≥所以实数a，故选C.18.如图，在长方形ABCD 中，3,1AB BC ==，E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C 时，则K 所形成的轨迹的长度为（ ）A.2π B.3πC.32D.233解析：选B 由题可得，'D K AE ⊥，所以K 的轨迹是以'AD 为直径的一段圆弧'D K .设'AD 的中点为O ，因为长方形'ABCD 中，3AB =，1BC =，所以'3D AC π∠=，所以'23D OK π∠=，所以K 所形成的轨迹的长度为3π.故选B .非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.已知抛物线22(0)y px p =>过点(1,2)A ，则p = ，其准线方程为 . 解析：2;1x =- 由题可得，24p =，解得2p =.所以准线方程为12px =-=-. 20.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179d -<<-，则当nS 取最大值时，n 的值为 .解析：9 因为等差数列{}n a 的公差d 满足21179d -<<-，所以{}n a 是递减数列.又因为11a =，0d <，所以令1(1)0n a a n d =+->，即111d a n d d-<=-，因为21179d -<<-，所以19.5110n d <=-<，所以9n ≤.即9n ≤时，0n a >，当10n ≥时，0n a <.所以当9n =时，n S 取到最大值.21.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积4222c b a S -+=，则角C =____________．解析：4π 因为2221sin 42a b c S ab C+-==，所以2222sin 2cos a b c ab C ab C +-==，所以sin cos C C =，即tan 1C =，解得4C π=.22.设,0a b >，且满足21a b +=.若不等式(2)(1)3abt t a t b t +-+-≤-恒成立，则实数t 的取值范围是 .解析：94t ≤ 因为对于任意的正数,0a b >，不等式(2)(1)3abt t a t b t +-+-≤-恒成立，即不等式可转化为1211t a b +≥++恒成立.因为121211()111142a b a b a b ++⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭51159142(1)2(1)44b a a b ++=++≥+=++，当且仅当112(1)2(1)b a a b ++=++，即13a b ==时，取到最小值.因为1211t a b +≥++恒成立，所以有94t ≤. 三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()22C f =，且2c ab =，试判断ABC ∆的形状.解：(1)2()2cos cos 1f x x x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+所以22T ππ==. 所以函数的最小正周期为π. (2)()2sin()226C f C π=+=，因为02C π<<，所以解得3C π=.又因为222222cos c ab a b ab C a b ab ==+-=+-， 所以2()0a b -=，即a b =所以ABC ∆是正三角形.24.已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点(2,3)P ，且它的离心率21=e . (1)求椭圆的标准方程；(2)与圆1)1(22=++y x 相切的直线:l y kx t =+交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足ON OM λ=+，求实数λ的取值范围.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知得：22222491,1,2a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得4,23,2a b c ===所以椭圆的标准方程为：1121622=+y x . (2)因为直线:l y kx t =+与圆22(1)1x y ++=相切，所以211t kd k-==+，解得212(0)t k t t -=≠. 把y kx t =+代入1121622=+y x 并整理得222(34)8(448)0k x ktx t +++-=. 设1122(,),(,)M x y N x y ，则有122834ktx x k+=-+， 121226()234ty y k x x t k +=++=+，因为1212(,)OC x x y y λ=++所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC 又因为点C 在椭圆上，所以1)43(3)43(4222222222=+++λλk t k t k ， 解得22222211134()()1t k t tλ==+++ 因为02>t ，所以 11)1()1(222>++tt 所以102<<λ所以λ的取值范围为)1,0()0,1( -. 25.设函数()(,)f x x x a b a b R =-+∈. (1)当0a >时，求函数()y f x =的单调区间；(2)若不存在正数a ，使得不等式()0f x <对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数b 的取值范围.解：(1)当0a >时，22,,(),x ax b x a f x x x a b x ax b x a⎧-+≥=-+=⎨-++<⎩当x a ≥时，函数2()f x x ax b =-+在[,)a +∞上单调递增；当x a ≤时，函数2()f x x ax b =-++在(,]2a -∞上单调递增，在[,)2a a 上单调递减. 所以函数()y f x =的单调递增区间为(,]2a -∞和[,)a +∞，单调递减区间为[,)2a a . (2)由题可得，0b ≥时显然成立； 当0b <时，()0f x <即b x a x -<-，即b b x a x x<-<-， 所以有,b x a xb x a x ⎧+<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩.所以不等式()0f x <对任意[0,1]x ∈恒成立即为max min ,b x a x b x a x ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩由maxb x a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可得1b a +<， 由minb x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭可得当10b -<<时，a >； 当1b <-时，1b a ->.所以当1b <-时，11b a b +<<-，符合题意的正数a 总是存在的. 当10b -<<时，当1b +≥时符合题意的正数a 不存在，此时解得30b -+≤<.综上可得，3b ≥-+。
2020届 百师联盟 全国高三模拟考(一)全国Ⅰ卷数学(文)试题(解析版)
2020届百师联盟全国高三模拟考（一）全国Ⅰ卷数学（文）试题一、单选题1．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．B ．2C ．4D ．3【答案】A【解析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,1(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 2．已知集合{}20,2131x A x B x x x +⎧⎫=≤=-≤⎨⎬-⎩⎭则()R C A B ⋂（ ）A ．[]1,2B ．()[),21,2-∞-UC ．()[],21,2-∞-⋃D ．(]1,2【答案】C【解析】解不等式确定集合,A B 中的元素，再由集合的运算法则计算． 【详解】由201x x +≤-得(2)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，∴21x -?，即[2,1)A =-，又{|2}(,2]B x x =≤=-∞，∴(,2)[1,)R A =-∞-+∞U ð，()(,2)[1,2]R A B =-∞-I U ð． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题基础． 3．已知命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥，则p ⌝为（ ） A ．[]02,2x ∃∉-，2430x x -+<B ．[]02,2x ∀∉-，2430x x -+<C ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+< D ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+≥【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题可得出答案. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，故命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥的否定是：:p ⌝[]2,2x ∀∈-，2430x x -+<.故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定，意在考查学生的推断能力，属于基础题. 4．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】先求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值， 5sin sin 1246ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由两角和的正弦公式计算即可. 【详解】Q α为锐角，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴4sin 45απ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，∴51sin sin cos 1246424ααααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，考查两角和的正弦公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的渐近线与圆()22314x y +-=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．2 C 23D 6【答案】C【解析】先根据双曲线的方程求得双曲线的渐近线，再利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a 和b 的关系，代入221be a=+.【详解】渐近线方程为0bx ay -=，2232ar a b ==+，2213b a ∴=，222313b e a ∴=+=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 7．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C【解析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．8．函数32sin ()xx xg x e-=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项．【详解】由32sin()()xx xf x f xe-+-==-，知()f x为奇函数，排除D；12sin1(1)0fe-=<，排除C；322732sin3822fe-⎛⎫=>⎪⎝⎭，排除A．故选：B【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．83B．163C．43D．8【答案】A【解析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V=⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】()()4f x f x =+说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值． 【详解】由()()4f x f x =+知函数()f x 的周期为4，又()f x 是奇函数，(2)(2)f f =-，又(2)(2)f f -=-，∴(2)0f =，∴()()()()()()201820192301011f f f f f f +=+=+-=-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．11．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695 C ．311 D ．1095【答案】D【解析】确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n 中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和． 【详解】35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n有三项3，9，27，{}2n 有32项，所以123353231 (3927322210952)c c c c ⨯++++=+++⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n 中的．12．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x ex a->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数xe y a=的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围．【详解】由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设xe y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．二、填空题13．已知a =ra r 在b r ，则a r 与b r的夹角为_________.【答案】6π 【解析】由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小． 【详解】a r 在b r方向上的投影为cos ,cos ,2a a b a b <>=∴<>==r r r r r ，即夹角为6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键．14．抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点到准线的距离为4，则抛物线的准线方程为___________. 【答案】2y =-【解析】根据题意先求出p 的值，然后再写出准线方程即可. 【详解】焦点到准线的距离为4p =，准线方程为22py =-=-. 故答案为：2y =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.15．已知ABC ∆内角、、A B C 的对边分别为,4,a b c a b ABC ==∆、、外接圆的面积为4π，则ABC ∆的面积为_________.【答案】【解析】由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角,A B ，从而有C ，于是可得三角形边长，可得面积． 【详解】设外接圆半径为r ，则24,2S r r =π=π=，由正弦定理24sin sin a b r A B ===，得sin ,sin 12A B ==，,,,326A B C πππ∴===∴2c =，a =12S ac ==．故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题关键．16．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC 、、两两垂直，1,4PB PA PA PC =++=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积的最小值为________.【答案】14π【解析】设PA x =，可表示出,PB PC ，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积． 【详解】设PA x =则1,4PC x PC x =+=-，由,,PA PB PC 两两垂直知三棱锥P ABC -的三条棱,,PA PB PC 的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为r ，∴2r ==当1x =时，2min min 2,=41422r r S ⎛⎫==π=π ⎪ ⎪⎝⎭表． 故答案为：14π． 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．三、解答题17．已知{}n a 为各项均为整数的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若3a 为213a 和13a 的等比中项，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T. 【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn + 【解析】（1）利用已知条件列出方程组，求出1a 和d 的值，进而写出通项公式即可； （2）()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由题得()23213177137492a a a a a S ⎧=⋅⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1073a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为数列{}n a 为各项均为整数，所以112a d =⎧⎨=⎩，即21n a n =-； （2）令()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以111111112113355721212121n n T n n n n =-+-+-+-=-=-+++. 【点睛】本题考查等差等比数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，2ABC π∠=，PE ⊥面ABCD ，3AD AE =，22AB BC AE ===，3PC =.（1）在线段PD 上是否存在点F ，使//CF 面PAB ，说明理由； （2）求三棱锥C PAE -的体积.【答案】（1）存在，理由见解析；（2）23. 【解析】（1）取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，易得//AB CQ ，//QF AP ，然后可证面//CQF 面PAB ，即//CF 面PAB ；（2）过E 作//EG AB 交BC 于G ，分别求出EC ，PE 的长度，在梯形ABCD 中，作EH BC ⊥于H ，再求出EH 的长度，利用等体积法C PAE P ACE V V --=计算得解.【详解】（1）当F 为PD 上靠近D 点的三等分点时，满足//CF 面PAB ， 证明如下，取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，//AD BC Q ，3AD AE =，2BC =，2AE =，AQ BC ∴=，即易得//AB CQ ，AB Ì面PAB ，CQ ⊄面PAB ， 所以//CQ 面PAB ，同理可得//QF AP ，AP ⊂面PAB ，QF Ë面PAB ， 所以//QF 面PAB ，又CQ QF Q ⋂=，CQ ，QF ⊂面CQF ，所以面//CQF 面PAB ，又CF ⊂面CQF ，所以//CF 面PAB ； （2）过E 作//EH AB 交BC 于H ，PE ⊥Q 面ABCD ，2ABC π∠=，EH BC ∴⊥在Rt PEC ∆中，225EC EH HC +=222PE PC EC +=， 所以11121223323C PAE P ACE ACE V V S PE --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的证法，考查利用等体积法求三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于常考题.19．某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表： 运动达人 非运动达人 总计 男 35 60 女 26 总计100（1）（i ）将22⨯列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？ （2）从样本中的运动达人中抽取7人参加“幸运抽奖”活动，通过抽奖共产生2位幸运用户，求这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率. 附：()20P K k ≥0.050 0.0100.001()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）（i ）列联表见解析；（ii ）没有；（2）1021. 【解析】（1）（i ）根据题意补全22⨯列联表； （ii ）代入数据计算2K ，对照临界值做出判断即可；（2）由分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值. 【详解】 （1）（i ）（ii ）由22⨯列联表得()2210035261425 5.229 6.63560404951K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”； （2）由列联表知从运动达人中抽取的男用户人数为735549⨯=，女用户人数为714249⨯=， 男用户编号a ，b ，c ，d ，e ，女用户编号m ，n ，则抽取的两位幸运用户有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a m ，(),a n ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b m ，(),b n ，(),c d ，(),c e ，(),c m ，(),c n ，(),d e ，(),d m ，(),d n ，(),e m ，(),e n ，(),m n ，共21种，其中男女各一位的有10种，概率为1021，所以这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率为1021. 【点睛】本题考查独立性检验及其计算，考查分层抽样，考查古典概率，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点为12F F 、，点P 为C 上任意一点，若1PF 的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 过点2F 与C 交于P Q 、两点，在x 轴上是否存在定点A ，使22PAF QAF ∠=∠成立，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；详见解析【解析】（1）由椭圆的性质得3,1a c a c +=-=，解得,a c 后可得b ，从而得椭圆方程； （2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n ，当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入AP AQ k k +＝0由恒成立问题可求得n ．验证l 斜率不存在时也适合即得． 【详解】解：（1）由题易知1max 1min31PF a c PF a c ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩解得21a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 方程为22143x y +=（2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-与椭圆方程联立得()22224384120kx k x k +-+-=，显然>0∆所以221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++ 因为22,0AP AQ PAF QAF k k ∠=∠∴+=()()()()()()1221121212110k x x n k x x n y yx n x n x n x n --+--∴+==---- 化简()()()222121222281824682120,0434343n k k n nk x x n x x n k k k --+-+++=∴-+=+++ 解得6240n -=即4n =所以此时存在定点()4,0A 满足题意 当直线l 斜率不存在时，()4,0A 显然也满足综上所述，存在定点()4,0A ，使22PAF QAF ∠=∠成立 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法． 21．已知函数1()ln 1a f x x x+=-+，a R ∈. （1）当2a =-时，求函数()f x 在点()2,(2)f 处的切线方程； （2）若当0x >，()3f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）1ln 214y x =++；（2）(],1e -∞--. 【解析】（1）先求导，然后根据导数的几何意义求出切线斜率，最后由点斜式写出切线方程即可；（2）0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，对a 进行分类讨论， 求()f x 的最小值，解不等式求出范围即可. 【详解】（1）当2a =-时，1()ln 1f x x x=++，21()x f x x -'=，1(2)4f '∴=，()32ln 22f =+，所以切线方程为1ln 214y x =++；（2）当0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，()21'()1x a f x x ++=+，当1a ≥-时，即10a --≤，()0f x '>，()f x ∴在()0,∞+上增，无最小值，舍去， 当1a <-时，即10a -->，()0f x '>，得1x a >--，()0f x '<，得01x a <<--， 此时()f x 在()1,1a ---上减，在()1a --+∞,上增，即()()min ()12ln 13f x f a a =--=+--≥，解得1a e ≤--， 综上(],1a e ∈-∞--. 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线12:12x t l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值. 【答案】（1）()2211x y -+=（21 【解析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把M 点极坐标化为直角坐标，直线l 的参数方程是过定点M 的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C 的方程，利用参数t 的几何意义求解． 【详解】解：（1）2:cos C ρθ=，则22cos ρρθ=，∴222x y x +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=（2）点1,2M π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1M ，易知M l ∈.设,A B 对应参数分别为12,t t将12:1x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩与22:20C x y x +-=联立得)21212110,1,1t t t t t t +++=∴+=⋅=120,0t t ∴<<12121MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题． 23．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()2f x ≤的解集A ；（2）若不等式2()2f x x x m ≤+-对x A ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）114m ≤-【解析】（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）不等式转化为2321m x x x ≤++--，求出2()321g x x x x =++--在3[,)2-+∞上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值． 【详解】解：（1）1122x x x ≥⎧⎨---≤⎩或21122x x x -<<⎧⎨---≤⎩或2122x x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩解得1x ≥或312x -≤<或无解 综上不等式的解集为3,2A ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，2()2f x x x m ≤+-，即2132x x x m -≤++- 所以只需2321m x x x ≤++--在3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时恒成立即可 令22223,1()321341,12x x x g x x x x x x x ⎧++≥⎪=++--=⎨++-≤<⎪⎩， 由解析式得()g x 在3[,)2-+∞上是增函数，∴当32x =-时，min 11()4g x =- 即114m ≤-【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．。
2020年全国I卷百师联盟高三数学(文)试卷四附答案解析
的三棱锥
P
ABC
，点 Q 是三棱锥内部任意一点，Q
到平面 PAB ， PBC ， PAC ， ABC 的距离分别为 D1 ， D2 ， D3 ， D4 ，若
S△PAB 1
S△PBC 2
S△PAC 3
S△ABC 4
K ，则 D1 2D2 3D3 4D4
（
）
A． V K
B． 2V K
C． 3V K
点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
sin
4
32 2
.
（1）求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）
M
(3,
0)
，直线
l
和曲线
C
交于
A,
B
两点，求
|
1 MA
|
|
1 MB
|
的值.
23．已知函数 f (x) | 2x 1 | | 2x 5 | .
（1）求不等式 f (x) 10 的解集；
6．已知凸四边形 ABCD 的面积为 S ，点 P 是四边形内部任意一点，若点 P 到四条边 AB ， BC ，CD ， DA
的距离分别为 d1 ， d2
， d3 ， d4 ，且满足
AB 1
BC 2
CD 3
DA 4
k
，利用分割法可得
d1
2d2
3d3
4d4
2S k
；类比以上性质，体积为 V
的三棱锥
P
ABC
3．若用列举法表示集合
A
(
x,
y
)
|
2x
x
y
y 6
3
，则下列表示正确的是（
2020届百校联盟高考复习全程精练模拟卷(全国I卷)文科数学试题(带答案解析)
○…………外…………○学○…………内…………○2020届百校联盟高考复习全程精练模拟卷（全国I 卷)文科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．()()()1232i i i -+-=（ ） A ．113i + B ．93i + C ．113i -+D ．93i -+3．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>4．某学校有高中学生2200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700、700、800.为调查学生参加“春游活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为110的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．30B ．35C ．38D ．405．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．…………○…………装…………○…………订…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※…………○…………装…………○…………订…6．cos525=（ ） A ．4-B ．4C ．4D ．4- 7．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（ ） A ．()4,6B ．()4,6--C ．1313⎛ ⎝⎭D ．,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．3……○…………订…………______班级：___________考号：_________……○…………订…………10．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A B C ．12D 11．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．函数()11xe f x x+=+的图象在0x =处的切线方程为______.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过1F A 、B （B 在右侧），2AF 的中点为D ，若2BD AF ⊥，则该双曲线的离心率是______.15．第七届世界军人运动会（以下简称武汉军运会）专题新闻发布会在武汉举行，武汉军运会会徽、吉祥物正式公布.武汉军运会将于2019年10月1827日举行，赛期10天.若将5名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆至少2名志愿者，则其中志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场馆的概率为______. 16．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若sin 2n a n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2019S 的值为_________. 三、解答题17．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，…………订…………班级：___________考号：_______…………订…………每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.18．在公比大于1的等比数列{}n a 中，327a =，且2a 、318a +、4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设32log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ； （2）求直线AB 到平面PCD 的距离.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()()ln 21f x a x a x a R =+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a ≥且()2f x x ≤，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求OAB ∆的面积. 23．已知函数()412f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >；（2）记函数()52y f x x =++的最小值为k ，正实数a 、b 满足69ka b +=，求证：参考答案1．A 【解析】 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()()()()123252113i i i i i i -+-=+-=-+. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与1和2的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】对数函数4log y x =为()0,∞+上的增函数，则4441log 4log 15.9log 162=<<=，即12a <<；指数函数2xy =为R 上的增函数，则 1.011222b =>=； 指数函数0.4x y =为R 上的减函数，则100.0.410.4c <==. 综上所述，b a c >>. 故选：C. 【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】计算出总体的入样比，进行可求得样本中高一年级学生的人数. 【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为1101220020=，则高一年级应抽取的人数是17003520⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用分层抽样求样本中各层的容量，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的， 由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 6．A 【解析】 【分析】利用诱导公式得()cos525cos15cos 4530=-=--，结合两角差的余弦公式可计算出结果. 【详解】()()()cos525cos 360165cos165cos 18015cos15cos 4530=+==-=-=--()21cos 45cos30sin 45sin 3022224⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用诱导公式和两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】设(),a x y =，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a 的坐标.【详解】设(),a x y =，且()4,6m =，()5,1b =-，由//a m 得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=，②，所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--.故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得角A 的值，结合基本不等式可求得bc 的最大值，进而可求得ABC ∆的面积的最大值.【详解】 由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=+，所以22222a b c b bc +-=+，所以222b c a bc +-=-. 由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，又()0,A π∈，所以23A π=. 若6a =，由余弦定理的得222222cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=++≥+=， 当且仅当b c =时取等号，所以336bc ≤，解得12bc ≤.故1sin 2ABC S bc A ∆=≤.因此，ABC ∆面积的最大值为故选：D.【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.10．D【解析】【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -. 由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33cb FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b +=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =. 即椭圆C的离心率为2 故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.11．B【解析】【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】 由图象可得，函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==. 将点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()()2cos 2f x x ϕ=+中，得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈，解得()726k k Z πϕπ=-∈，由0ϕπ<≤，可得56πϕ=，所以()52cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()52226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当1k =-时，函数()y f x =在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 正确； 令()52226k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得()1151212k x k k Z ππππ-≤≤-∈，故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 当2k =时，函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误； 令()5262x k k Z πππ+=+∈，得()26k x k Z ππ=-∈，故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈，故C 正确； 令526x k ππ+=()k Z ∈，得5212k x ππ=-()k Z ∈，故函数()y f x =的对称轴是5212k x ππ=-()k Z ∈，故D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．B【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则4SD CD ===则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F .由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又143OE DF OE OF =====由勾股定理得OD ==所以外接球半径为3R ===.所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.13．20x y +-=【解析】【分析】求出()0f 和()0f '的值，然后利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】()11x e f x x+=+，()()211x xe f x x -∴=+'，则切线的斜率为()01f '=-， 又()02f =，所以函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程为()20y x -=--，即20x y +-=.故答案为：20x y +-=.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，一般要求出切线的斜率和切点坐标，并利用点斜式得出切线方程，考查计算能力，属于基础题.14【解析】【分析】由2BD AF ⊥可得出2AB BF =，利用双曲线的定义求得12AF a =，24AF a =，且有123AF F π∠=，在12AF F ∆利用余弦定理可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可求得双曲线C的离心率.【详解】 因为2AF 的中点为D ，2BD AF ⊥，所以BD 既是2ABF ∆的中线，又是2ABF ∆的高，所以2ABF ∆是等腰三角形且2AB BF =. 由双曲线定义得1212BF BF AF a -==，212AF AF a -=，24AF a ∴=，又直线AB 123AF F π∠=.在12AF F ∆中，由余弦定理得222244161cos 3032222a c a e e a c π+-==⇒--=⨯⨯，解得12e -=（舍去），12e +=.【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解，在涉及焦点三角形时，一般利用双曲线的定义来求解转化，考查运算求解能力，属于中等题.15．710【解析】【分析】设甲为1，乙为2，丙为3，另外两名志愿者为4、5，列举出所有的基本事件，并确定事件“志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场馆”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算得出所求事件的概率.【详解】设甲为1，乙为2，丙为3，另外两名志愿者为4、5.以()123,45表示场馆1、场馆2分别分配123、45的志愿者服务.将5名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，基本事件有：()123,45、()124,35、()125,34、()134,25、()135,24、()145,23、()234,15、()235,14、()245,13、()345,12，()12,345、()13,245、()14,235、()15,234、()23,145、()24,135、()25,134、()34,125、()35,124、()45,123，共20种，其中，志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场所的情况如下：()123,45、()124,35、()125,34、()134,25、()135,24、()245,13、()345,12，()12,345、()13,245、()24,135、()25,134、()34,125、()35,124、()45,123，共14种， 故志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场所的概率为1472010P ==. 故答案为：710. 【点睛】 本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中等题.16．0【解析】【分析】直接利用数列的通项公式和数列的周期求出结果.【详解】 解：由于数列的通项公式为：sin 2n a n π⎛⎫=⎪⎝⎭， 当1n =时，1sin 12a π==， 当2n =时，22sin 02a π==. 当3n =时，33sin 12a π==-， 当4n =时，44sin 02a π==， 当5n =时，55sin 12a π==， …所以：数列的周期为4，故：123410100a a a a +++=+-+=，所以：201920172018201950401010S a a a =⨯+++=+-=.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了数列的周期的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题. 17．（1）4.4小时；（2）0.4.【解析】【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率.【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=.由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天，又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4.【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.18．（1）3n n a =；（2）44n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，根据题中条件求得q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得321log 2n n b a n ==，1111141n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求得n S . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，因为2a 、318a +、4a 成等差数列，所以()324218a a a +=+.即()272271827q q +=+，整理得231030q q -+=，解得13q =（舍去）或3q =. 故3332733n n n n a a q --==⨯=；（2）由（1）得，2323log log 32n n n b a n ===，则()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.故1111111111422314144n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.19．（1）见解析；（2.【解析】【分析】（1）取PD 的中点F ，连接AF 、EF ，证明出四边形ABEF 为平行四边形，可得出//BE AF ，并推导出AF ⊥平面PCD ，进而可得出BE ⊥平面PCD ；（2）推导出//AB 平面PCD ，可得知直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，即为AF ，进而得解.【详解】（1）如下图，取PD 的中点F ，连接AF 、EF .又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线，所以//EF CD 且12EF CD =. 又//AB CD 且12AB CD =，所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形，所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD .AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD .又//BE AF ，所以BE ⊥平面PCD ；（2）因为//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD . 所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离.由（1）得AF ⊥平面PCD ，则AF 等于点A 到平面PCD 的距离. 因为122AB AD AP CD ====，所以12AF PD ===故点A 到平面PCD，即直线AB 到平面PCD.【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了直线到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．（1）216y x =；（2）4.【解析】【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离.【详解】（1）易知点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =. 联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭. 故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y x x my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）见解析；（2）[]0,1. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数()()21a a x f x x+-'=，对实数a 进行分类讨论，分析导数在()0,∞+上的符号变化，进而可得出函数()y f x =在其定义域上的单调区间； （2）由题意得不等式()2ln 210a x a x x +--≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()()2ln 21g x a x a x x =+--，可得出()max 0g x ≤，利用导数分析函数()y g x =在区间()0,∞+上的单调性，求得函数()y g x =的最大值，然后解不等式()max 0g x ≤即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()()ln 21f x a x a x =+-()a R ∈的定义域是()0,∞+.()()()2121a a x af x a x x+-'=+-=. ①当210a -≥，即12a ≥时，()210a a x +->，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；②当210a -<，即12a <时，（i ）若102a <<，则012a a>-. 令()0f x '<，得12a x a >-；令()0f x '>，得012ax a<<-， 此时，函数()y f x =在0,12a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在,12a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减；（ii ）若0a ≤，则()210a x -<，则()210a a x +-<，则()210a a xx+-<.则()0f x '<对任意()0,x ∈+∞恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递减；当102a <<时，函数()y f x =在0,12a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在,12a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减； 当12a ≥时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增； （2）()2f x x ≤等价于()2ln 21a x a x x +-≤，即()2ln 210a x a x x +--≤. 令()()2ln 21g x a x a x x =+--，则()0g x ≤.()()()()21221x a x ag x x a x x-+'=-+-=-， ①当0a =时，()20g x x x =--≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，符合题意； ②当0a >时，令()0g x '=，得x a =或12x =-（负根舍去），令()0g x '>，得0x a <<；令()0g x '<，得x a >， 所以函数()y g x =在()0,a 上单调递增，在(),a +∞上单调递减. 故()()2max ln 0g x g a a a a a ==+-≤，因为0a >，所以ln 10a a +-≤，令()ln 1h a a a =+-，则函数()y h a =单调递增. 又()10h =，故由ln 10a a +-≤得()()1h a h ≤，得01a <≤. 综上，实数a 的取值范围为[]0,1. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想的应用，属于中等题.22．（1）:230l x y +-=，22:40C x y y +-=；（2）5. 【解析】 【分析】（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，结合222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）计算出直线l 截圆C 所得弦长AB ，并计算出原点O 到直线l 的距离d '，利用三角形的面积公式可求得OAB ∆的面积. 【详解】（1）由32x ty t=⎧⎨=-⎩得32y x =-，故直线l 的普通方程是230x y +-=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，代入公式222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩得224x y y +=，得2240x y y +-=，故曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=；（2）因为曲线22:40C x y y +-=的圆心为()0,2，半径为2r，圆心()0,2到直线230x y +-=的距离为d ==，则弦长5AB ===.又O 到直线:230l x y +-=的距离为5d '==，所以1122555OAB S AB d ∆'=⨯=⨯=. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）35,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）分2x -≤、124x -<<、14x ≥三种情况解不等式()2f x >，综合可得出原不等式的的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得函数()52y f x x =++的最小值为9k =，进而可得出61a b +=，再将代数式61a b +与6a b +相乘，利用基本不等式求得61a b+的最小值，进而可证得结论成立. 【详解】（1）当2x -≤时，由()2f x >，得1422x x -++>，即130x ->，解得13x <，此时2x -≤；当124x -<<时，由()2f x >，得1422x x --->，即530x +<，解得35x <-，此时325x -<<-；当14x ≥时，由()2f x >，得4122x x --->，即350x ->，解得53x >，此时53x >. 综上所述，不等式()2f x >的解集为35,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()524142414841489y f x x x x x x x x =++=-++=-++≥--+=， 当且仅当()()41480x x -+≤时取等号，所以9k =，61a b +=.所以()6161366661224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当36b a a b =，即12a =，112b =时等号成立，所以6124a b+≥.≥≥【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.。
百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试(12月)
2020届普通高中教育教学质量监测考试全国I卷语文注意事项：1.答题前，考生务必将自己的、号填写在本试卷相应的位置。
2.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.本试卷满分150分，测试时间150分钟。
4.考试围：高考全部容。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1~3题。
“民生”，这几年已经成了社会生活中分外响亮的“主题词”。
政府出台“民生政策”之密集，媒体推出“民生话题”之深入，百姓关注“民生热点”之强烈，可谓前所未有。
如何使每一级政府的惠民之举，托起每一个百姓的幸福生活？显然，我们还有许多的结待解。
走进基层，常常遇到一些令人忧虑的现象。
民生是个“筐”。
看一看各地在抵抗金融危机中接连推出的刺激需的大手笔，看一看基层在跟进产业转移中争相展示的招商引资的新路数，其中究竞有多少是真正关乎民众切身利益的惠民工程，有多少是紧密呼应民众迫切需求的民生项目！一些地方向上汇报、对外宣传时，为了标榜自己的“高度重视”，竟然把高速公路、城市广场等基础设施投资都算作了民生工程。
民生是个“秀”。
“有粉搭在脸上”，这是许多官员的共通心态。
就谈新农村建设，不少地方忙于撤并村庄、洗脚上楼，简单地将城市样式照搬进来，靠近路边的建筑，还要涂脂抹粉，配上白墙红顶。
老百姓的谋生之道、生产方式还没有改变，就急着要在一个早上颠覆农民既有的居住文明和生活方式，于此，官员们有了迎接上级领导检查视察的“盆景”，有了自己表功炫耀的“面子”，甚至还有了其中房地产开发的“实惠”，老百姓却尝到了难言的苦果。
民生是个“痛”。
一些地方政府或盲目追求跨越发展，或急于拉动投资需求，或企图摆脱财政困境，提出加速城市化，让更多的百姓以承包土地换一纸户籍，尽快过上城市生活，享受公共服务，沐浴现代文明。
但是，他们并没有换位思考：农民到城里买不起房怎么办？找不到工作怎么办？子女就学遇到困难怎么办？民生是什么？不是口号，不是标榜，它是百姓的切身利益，是人民的幸福生活。
2020年全国I卷百师联盟高三数学(文)试卷二附答案解析
百师联盟2020年全国I 卷高三数学（文）试卷二一、单选题 1．已知集合{}|23Mx x =-<<，{}131|x N x +=>，则M N =I （ ）A ．(1,3)-B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(2,1)(3,)--⋃+∞ 2．复数201912zi i=+-(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．25 B ．25i C ．45-D ．45i -3．已知函数3()2(1)1f x x xf '=+-，则(1)f '=（ ）A ．32B ．3C ．-3D ．32-4．如图所示，某出租司机9月上旬和10月上旬的日收入(单位：元).设9月上旬和10月上旬收入的中位数分别为1x ，2x ，9月上旬和10月上旬收入的方差分别为21S ，22S ，则下列说法正确的是（ ）A ．12x x <，2212S S < B ．12x x >，2212S S >C ．12x x >，2212S S < D ．12x x <，2212S S >5．已知函数31,3()(1),3x e x f x f x x -⎧+≥=⎨+<⎩则(ln 2)f =（ ）A ．2B ．3C ．21e+ D ．221e + 6．如图是某四棱锥的三视图(每个小正方形的面积均为1)，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．43C ．8D ．47．已知a =r ，2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r rr r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．48．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ）A ．2nB ．31n -C ．2nD ．31n -9．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02x x ≤-；②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件； ③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；A ．3B ．2C ．1D ．010．若51sin 86πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1718 B ．1718-C ．1819D ．1819-11．已知点P 为抛物线24C y x =：上一点，且5PF =，以点P 为圆心的圆经过点F 且与y 轴交于A B，两点，则AB =（ ）A ．B ．4C ．6D ．812．已知A BCD -是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且4AC =，2BD =，3ACD ACB π∠=∠=，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3二、填空题13．已知圆22:(1)(2)9P x y -+-=，动直线l 过原点，则圆P 被直线l 截得的最短弦的长度为_________.14．古神话中的茅山道士会“穿墙术”，在二次根式中的一些带分数的等式也具有“穿墙术”.如…，按照以上规律猜想，若具有“穿墙术”，则n =_________(*n N ∈).15．若将函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位长度后与函数cos y x ω=图像重合，则ω的最小值为_________.16．已知函数2()33g x x =+和32()34f x mx x =-+，若方程()()f x g x =存在唯一的实根0x ，且00x >，则实数m 的取值范围为_________.三、解答题 17．已知等差数列{}n a 中，49a=，公差0d ≠，且满足2722a a a 、、成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和nT.18．某快递公司有两种发放薪水的方案：方案一：底薪1800元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为05130008300600600x x y x x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩．，，．，，，， 方案二：底薪2000元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为0514*******x x y x x ≤≤⎧=⎨>⎩．，，．，， 以下该公司某职工小甲在2019年9月份(30天)送快递的数据，（1）从小甲日送快递单数大于15的六天中抽取两天，求这两天他送的快递单数恰好都为16单的概率.（2）请你利用所学的统计学知识为小甲9月份选择合适的发放薪水的方案，并说明理由.19．如图在三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，底面BCD V 为正三角形，2AB BC ==，点E 为BD 中点，点F 为线段AD 上一动点.（1）求证：平面CEF ⊥平面ABD ；（2）当//AB 平面CEF 时，求三棱锥F CDE -的体积.20．已知ABC V 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=.(1)求角B 的大小；(2)若2,b a c =+= 求ABC V 的面积S .21．已知函数()2(1)ln 1f x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小值； （2）证明：当0x >时，1()1(1)f x x x x ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭.22．已知函数2()2(1)xf x xe a x =-+.（1）若()f x 在1x =时取得极小值，求()f x 的解析式； （2）当10a e≤<时，判断函数()f x 在(,1)-∞上的零点个数.解析百师联盟2020年全国I 卷高三数学（文）试卷二一、单选题 1．已知集合{}|23Mx x =-<<，{}131|x N x +=>，则M N =I （ ）A ．(1,3)-B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(2,1)(3,)--⋃+∞ 【答案】A【解析】求出集合N ，即求MN ⋂.{}|23M x x =-<<Q ，{}{}1|1|31x x N x x +=>=>-.()1,3M N ∴⋂=-.故选：A .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2．复数201912zi i=+-(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．25 B ．25i C ．45-D ．45i -【答案】C【解析】根据复数的除法法则和5044332019i i i i ⨯+===-，把z 化为(),z a bi a b R =+∈的形式，即求复数z的虚部. 【详解】504432224(2)(2)555i i i z i i i i ⨯+++=+=-=--+Q ，∴虚部为45-.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3．已知函数3()2(1)1f x x xf '=+-，则(1)f '=（ ）A ．32B ．3C ．-3D ．32-【答案】C【解析】求出'()f x ，令1x =，即得'(1)f .3'()2(1)1f x x xf =+-Q ，()'2'()321f x x f ∴=+，()''(1)321f f ∴=+，()'13f ∴=-.故选：C .【点睛】本题考查求导数值，属于基础题.4．如图所示，某出租司机9月上旬和10月上旬的日收入(单位：元).设9月上旬和10月上旬收入的中位数分别为1x ，2x ，9月上旬和10月上旬收入的方差分别为21S ，22S ，则下列说法正确的是（ ）A ．12x x <，2212S S < B ．12x x >，2212S S >C ．12x x >，2212S S < D ．12x x <，2212S S >【答案】D【解析】根据茎叶图可求出12,x x ，根据两组数据的分散程度可得21S 与22S 的大小. 【详解】 由茎叶图可得1212134136143144135,143.5,22x x x x ++====∴<， 又9月上旬的数据比10月上旬的数据分散，2212S S ∴>. 故选：D . 【点睛】本题考查茎叶图，属于基础题.5．已知函数31,3()(1),3x e x f x f x x -⎧+≥=⎨+<⎩则(ln 2)f =（ ）A ．2B ．3C ．21e+ D ．221e+ 【答案】B【解析】把ln 2x =代入()f x 的解析式中，比较ln21+与3的大小，依此进行，即得(ln 2)f 的值.【详解】31,3()(1),3x e x f x f x x -⎧+≥=⎨+<⎩Q ,()()()()3ln33ln3ln21ln22ln23ln23f f f f e e +-∴=+=+=+===.故选：B . 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.6．如图是某四棱锥的三视图(每个小正方形的面积均为1)，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．43C ．8D ．4【答案】A【解析】由三视图可知，该四棱锥是底面边长为2，高为2的四棱锥，根据体积公式可求. 【详解】由三视图可知，该四棱锥是底面边长为2，高为2的四棱锥，即如图所示四棱锥P ABCD -.118222333V Sh ∴==⨯⨯⨯=.故选：A . 【点睛】本题考查空间几何体的三视图，属于基础题.7．已知a =r ，2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【答案】D【解析】根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r方向上的投影a b b⋅r rr .【详解】()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ，即2220b a a b -+=r r r rg .2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，所以a r 在b r方向上的投影为4a b b⋅=r rr .故选：D . 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题. 8．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ）A ．2nB ．31n -C ．2nD ．31n -【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，写出,n n a b .由数列{}n b 是等比数列，得2213b b b =，求出q ，即求n S .【详解】 设等比数列{}n a 的公比为q ，112,2n n a a q -=∴=Q ，121n n b q -∴=+，13b ∴=，221b q =+，2321b q =+，{}n b Q 也是等比数列， 2213b b b ∴=，即()()2221321q q +=+解得1q =，2,2n n a S n ∴=∴=. 故选：C . 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题. 9．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02x x ≤-；②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件； ③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】对三个命题逐一判断即可. 【详解】 ①中p ⌝：()1x ∀∈+∞，，02xx ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题；③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题.故选：C . 【点睛】本题考查命题的真假，属于基础题. 10．若51sin 86πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1718 B ．1718-C ．1819D ．1819-【答案】A【解析】根据诱导公式得31sin 86πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】 解：∵531sin sin 886ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3cos 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2312sin 8πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭117123618=-⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式，属于基础题．11．已知点P 为抛物线24C y x =：上一点，且5PF =，以点P 为圆心的圆经过点F 且与y 轴交于A B，两点，则AB =（ ）A ．B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】设点(),P a b .由抛物线的定义可得：1PF a =+，求出,a b .由题意圆的半径为5，可求AB .【详解】设点(),P a b .抛物线24C y x =：的焦点()10F ，，准线方程为1x =-. 由抛物线的定义可得：15PF a =+=，4a ∴=，4b ∴=±，所以圆心P 到y 轴的距离为4，圆P 的半径为5，6AB ∴==.故选：C . 【点睛】本题考查抛物线的定义和圆的弦长，属于基础题.12．已知A BCD -是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且4AC =，2BD =，3ACD ACB π∠=∠=，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】B【解析】由题意可得AC 为直径，则AC 中点即为球心O ，可得2ADCABC π∠=∠=.由3ACD ACB π∠=∠=，可得BCD V 为正三角形. 取BCD V 中心H ，则OHHC ⊥.在Rt OCH V 中求出OH ，即可求点A 到平面BCD 的距离.【详解】由题意知A B C D ，，，四点都在球面上，且AC 为直径，AC ∴中点即为球心O ，如图所示2ADC ABC π∴∠=∠=，4AC =Q ，3ACD ACB π∠=∠=，2BC CD ∴==，又2BD =Q ，BCD ∴△为正三角形.取BCD V 中心H ，连接,OH HC . 则OH⊥面BCD ，OH HC ∴⊥.可求得3CH=，2OC =Q ，3OH ∴=. 又因为AC 中点为O ，所以点A 到面BCD 的距离为点O 到面BCD 的距离的2倍，. 故选：B . 【点睛】本题考查点面距，属于中档题.二、填空题13．已知圆22:(1)(2)9P x y -+-=，动直线l 过原点，则圆P 被直线l 截得的最短弦的长度为_________. 【答案】4【解析】设原点为O ，当动直线l OP ⊥时，圆P 被直线l 截得的弦长最短,即求最短弦长.【详解】设原点为O ，当动直线lOP ⊥时，圆心P 到直线l 的距离最远，此时圆P 被直线l 截得的弦长最短.112l OP k k ∴=-=-，直线l 的方程为12y x =-，即20x y +=.圆心()1,2P到直线l 的距离d ==所以最短弦弦长为4=.故答案为：4. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.14．古神话中的茅山道士会“穿墙术”，在二次根式中的一些带分数的等式也具有“穿墙术”.如…，按照以上规律猜想，若具有“穿墙术”，则n =_________(*n N ∈). 【答案】624【解析】按照规律可知具有“穿墙术”的等式应为=，可求n 值. 【详解】==，==== L按照规律可知具有“穿墙术”的等式应为=，若2251624n =-=. 故答案为：624. 【点睛】本题考查合情推理，属于基础题.15．若将函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位长度后与函数cos y x ω=图像重合，则ω的最小值为_________. 【答案】2【解析】函数平移后为sin 66y x πωπω⎛⎫=++⎪⎝⎭与函数cos y x ω=图像重合，根据诱导公式可得2662k πωπππ+=+，k Z ∈，即求ω的最小值.【详解】ω最小时，函数的周期T 最大，所以6T π>.函数平移后为sin co 66y x s x πωπωω⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以2662k πωπππ+=+，k Z ∈，所以2minω=.故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，属于基础题.16．已知函数2()33g x x =+和32()34f x mx x =-+，若方程()()f x g x =存在唯一的实根0x ，且00x >，则实数m 的取值范围为_________.【答案】(,-∞- 【解析】令()()()3261hx f x g x mx x =-=-+，由题意函数()h x 有唯一的正零点.求()'h x ，分0m >和0m <两种情况讨论：当0m >时，需()h x 的极大值小于0；当0m <时，需()h x 的极小值大于0，即得实数m 的取值范围. 【详解】 令()()()3261hx f x g x mx x =-=-+，由题意函数()h x 有唯一的正零点.()'243123h x mx x mx x m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()'0h x =，得0x =或4x m =.当0m >时，40m>，由()'0h x >，得0x <或4x m >；由()'0h x <，得40x m <<.∴函数()h x 在()0-∞，和4,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，40,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()h x ∴的极大值为()01h =.若函数()hx 有唯一的正零点，只需极大值()00h <，无解.当0m <时，40m<，由()'0h x >，得40x m <<；由()'0h x <，得4x m <或0x >.∴函数()h x 在4,m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0+∞，上单调递减，4,0m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()h x ∴的极小值为24321h m m ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 若函数()hx 有唯一的正零点，只需极小值40h m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即23210m ->，解得m <-m >0m <Q ，m ∴<-.综上，当m <-()()h x f x =有唯一的正根.故答案为：(,-∞-. 【点睛】本题考查利用导数研究方程的根，属于较难的题目.三、解答题 17．已知等差数列{}n a 中，49a=，公差0d ≠，且满足2722a a a 、、成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和nT.【答案】（1）21n a n =+；（2）21222n n T n n +++-=.【解析】（1）由2722a a a 、、成等比数列，得27222a a a =，求出d ，即可求出n a ； （2）写出n b ，n T ，分组求和即得. 【详解】（1）2a Q ，7a ，22a 成等比数列，27222a a a ∴=，()()()29392918d d d ∴+=-+，解得2d =或0d =(舍)，()4421n a a n d n ∴=+-=+，即数列{}n a 的通项公式21n a n =+.（2）由（1）知2=212n n nn b a n =+++， 则()()1235721222n nn T +=++++++++L L()()21322121221222nn n n n n ++=+=++-⨯-+-所以数列{}n b 的前n 项和21222n n T n n +++-=.【点睛】本题考查数列的通项公式和数列求和，属于基础题. 18．某快递公司有两种发放薪水的方案：方案一：底薪1800元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为05130008300600600x x y x x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩．，，．，，，， 方案二：底薪2000元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为0514*******x x y x x ≤≤⎧=⎨>⎩．，，．，， 以下该公司某职工小甲在2019年9月份(30天)送快递的数据，（1）从小甲日送快递单数大于15的六天中抽取两天，求这两天他送的快递单数恰好都为16单的概率. （2）请你利用所学的统计学知识为小甲9月份选择合适的发放薪水的方案，并说明理由. 【答案】（1）23；（2）选择方案二，理由见解析. 【解析】（1）列举法求出“从小甲日送快递单数大于15的六天中抽取两天”的所有抽取方式，求出“这两天他送的快递单数恰好都为16单”包含的抽取方式，根据古典概型的概率计算公式即求概率； （2）求出小甲的月送单量，代入两种方案求他的薪水，选择薪水较高的方案. 【详解】（1）小甲日送快递单数为16的有5天，依次编号为a b c d e ，，，，，单数为18的有1天，编号为f ，从中抽取两天，()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e ,,,,,,,,,,,()(),,c f d e ,,()(),,d f e f ,共15种抽取方式.他送的快递单数恰好都为16单共有10种情况， 所以这两天他送的快递单数恰好都为16单的概率为102153=. （2）月送单量114135141215316518420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=， 方案一：薪水11800420082136y =+⨯=．元， 方案二：薪水22000420092378y =+⨯=．元，因为21y y >，所以选择方案二. 【点睛】本题考查古典概型和分段函数的实际应用，属于基础题.19．如图在三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，底面BCD V 为正三角形，2AB BC ==，点E 为BD 中点，点F 为线段AD 上一动点.（1）求证：平面CEF ⊥平面ABD ；（2）当//AB 平面CEF 时，求三棱锥F CDE -的体积.【答案】（1）答案见解析；（2.【解析】（1）证明CE AB ⊥，CE BD ⊥，可证CE ⊥面ABD ，又CE ⊂面CEF ，即证面CEF ⊥面ABD ；（2）根据//AB 平面CEF ，得//AB EF .由AB ⊥底面BCD ，得EF ⊥面BCD ，求出EF ，即求三棱锥F CDE -的体积.【详解】（1）证明：AB ⊥Q 面BCD ，CE ⊂面BCD ，CE AB ∴⊥.BCD QV 为正三角形，2BC CD ==，点E 为BD 中点，CE BD ∴⊥，又AB BD B =I，CE ∴⊥面ABD ，又CE ⊂面CEF ，∴面CEF ⊥面ABD .（2）//AB Q面CEF ，面ABD ⋂面CEF EF =，//AB EF ∴.又点E 为BD 中点，//EF AB ∴，112EFAB ==. AB ⊥Q 面BCD ，EF ∴⊥面BCD ，21112222ECD BCD S S ∴==⨯⨯=V V ，1113326F CDE ECD V S EF -∴=⨯⨯=⨯=V . 【点睛】本题考查面面垂直，考查求几何体的体积，属于中档题. 20．已知ABC V 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=.(1)求角B 的大小；(2)若2,b a c =+= 求ABC V 的面积S .【答案】(1)3B π=(2)3【解析】（1）用正弦定理将已知等式化为角，再利用两角和的正弦公式，即可求得角B 的三角函数值，进而求解；（2）由余弦定理求出ac ，即可求出面积. 【详解】 解:(1)Q 由()20a c cosB bcosC --=可得:()2sinA sinC cosB sinBcosC -=. 2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+可得:()2sinAcosB sinB C sinA =+=()0,,0A sinA π∈>Q .∴可得12cosB =又由(0,)B π∈得3B π=又由(0,)B π∈得3B π=.(2)由余弦定理及已知得()222223b a c accosB a c ac =+-=+-84123,3ac ac ∴=-∴=123S acsinB ∴==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形以及求面积，属于中档题. 21．已知函数()2(1)ln 1f x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小值； （2）证明：当0x >时，1()1(1)f x x x x ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭.【答案】（1）1；（2）答案见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()'22ln 2f x x x=-+.判断函数()f x 的单调性，即可求函数()f x 的最小值；（2）令()()()()111112ln ,0h x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需证()0h x ≤.令()12ln x x x xφ=+-，求出()'x φ，判断()x φ的符号，即可证明()0h x ≤.【详解】 （1）定义域为()0,∞+，()'22ln 2f x x x =-+. 令()22ln 2gx x x =-+，则()'2220g x x x=+>， ()'f x ∴在()0,∞+上单调递增，且()'10f =，由()'0f x >解得1x >，由()'0f x <解得01x <<.所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()min 11f x f ==.（2）证明：令()()()()111112ln ,0h x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需证()0hx ≤.令()12ln x x x x φ=+-，()()2'210x x xφ-∴=-≤，()x φ∴在()0,∞+上单调递减， 又知()10φ=，∴当01x <<时，()>0x φ；当1x >时，()<0x φ.∴当01x <<时，()()()1<0h x x x φ=-；当1x >时，()()()1<0h x x x φ=-；当=1x 时，()0hx =.综上,()0hx ≤，即1()1(1)f x x x x⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式，属于较难的题目. 22．已知函数2()2(1)xf x xe a x =-+.（1）若()f x 在1x =时取得极小值，求()f x 的解析式； （2）当10a e≤<时，判断函数()f x 在(,1)-∞上的零点个数. 【答案】（1）2()2(1)x f x xe e x =-+；（2）一个零点.【解析】（1）由()f x 在1x =时取得极小值，得()'10f =，求出a e =，再进行检验；（2）()()()'21x f x x e a =+-，令()'0f x =，得1x =-或ln x a =.分0a =和10a e<<两种情况讨论函数()f x 在(,1)-∞上的零点个数. 【详解】（1）定义域为R ，()()()'21x f x x e a =+-.()f x Q 在1x =时取得极小值，所以()'10f =，解得a e =.()()()21x f x x e e ∴'=+-.由()'0f x >，得1x <-或1x >；()'0f x <，得11x -<<.()f x ∴在()11-，上单调递减，在(),1-∞-，()1+∞，上单调递增， ()f x ∴在1x =时取得极小值.a e ∴=，2()2(1)x f x xe e x ∴=-+.（2）由()()()'210x f x x e a =+-=，解得1x =-或ln x a =.当0a =时，()2x f x xe =，令()0f x =得0x =， 当0x <时，()0f x <；当0x >时，()0f x >，此时()f x 在()1-∞，上有且只有一个零点； 当10a e<<时，ln 1a <-， 由()'0f x >，得ln x a <或1x >-；()'0f x <，得ln 1a x <<-，()f x ∴在()ln a -∞，，()11-，上单调递增，在()ln ,1a -上单调递减，又()1120f e --=-<，()1240f e a =->，()()2ln ln 0f a a a a =--<，此时()f x 在()1-∞，上有且只有一个零点. 综上所述，当10a e≤<时，()f x 在()1-∞，上有一个零点. 【点睛】本题考查利用导数求函数的解析式，考查利用导数研究函数的零点，属于难题.。
【附加15套高考模拟试卷】百校联盟2020届高三TOP20十二月联考(全国Ⅰ卷)数学(文)试卷含答案
百校联盟2020届高三TOP20十二月联考（全国Ⅰ卷）数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{}1,2,3,4,5S =，{3,5,7}T =，则()U S C T ⋂= ( ) A ．{1,2,4} B ．{1,2,3,4,5,7} C ．{}1,2D ．{1,2,4,5,6,8}2．设椭圆2222:1(0)x y C a ba b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上不同于,A B 的一点，设直线,AP BP 的斜率分别为,m n ，则当22(3)3(ln ||ln ||)3a m n b mn mn-+++取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．15B ．2C ．45 D ．33．下列函数中，即是奇函数又是增函数的为（ ） A ．3ln y x = B ．2y x =-C ．y x x= D ．1y x -=4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．145．若直线l 不平行于平面a ，且l a ⊄，则 A ．a 内的所有直线与l 异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线C ．a 内存在唯一的直线与l 平行D ．a 内的直线与l 都相交6．函数()24412x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数2()ln(1)1f x x x =+++，则使得()(21)f x f x >-的x 的范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 8．函数()221f x x ex m =-++-，函数()()20e g x x x x=+>，（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，则实数m 取值范围为（ ）A ．221m e e <-++B ．221m e e >-+C ．221m e e >-++D ．221m e e <-+9．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(文)(一)及答案
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国I 卷·文数(一)第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0}，B ＝{x|y ＝21x -}，则A ∩B ＝ (A)[0，34] (B)∅ (C)[0，12] (D) [12，34] (2)设复数4273i z i-=-，则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为133，则双曲线C 的渐近线方程为 A.2y x =± B.22y x =± C.23y x =± D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n<2019，则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2 (6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”。
译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。
)(A)45000立方尺(B)52000立方尺(C)63000立方尺(D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。
，且S3＝0，若az＝号，则数列{an}的公比为(A)12(B)13(C)23(D)34(8)图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A)104＋85＋2π(B)104＋45＋(2－2)π(C)104＋85＋(2－2)π(D)104＋85＋(22－2) π(9)设函数f(x)＝e|x|－5cosx－x2，则函数f(x)的图象大致为(10)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|＝(A)178(B)98(C)1716(D)3316(11)记等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4＋a6＝18，S11＝121。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国Ⅰ卷)(附答案详解)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（二）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|x<6且x∈N∗}，则A的非空真子集的个数为()A. 30B. 31C. 62D. 632.复数z满足z⋅(1+i)=1+3i，则|z|=()A. 2B. 4C. √5D. 53.▱ABCO，O为原点，A(1,−2)，C(2,3)，则B点坐标为()A. (3,1)B. (−1,−5)C. (1,5)D. (−3,−1)4.袋中有4个球，3个红色，1个黑色，从中任意摸取2个，则恰为2个红球的概率为()A. 13B. 23C. 14D. 125.已知sin(3π2+α)=13，则cosα=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√236.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x−2)2+y2=1相切，则C的渐近线方程为()A. y=±13x B. y=±√33x C. y=±√3x D. y=±3x7.已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S37−S23=a，则S60=()A. 4aB. 307a C. 5a D. 407a8.李冶，真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法)，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为()A. x 2+z 2=y 2？B. x 2+y 2=z 2？C. y 2+z 2=x 2？D. x =y ？9. 已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)的图象在(0,π)上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为( )A. [1,32)B. (43,32)C. (43,73]D. [1,73]10. 已知：f(x)={x 2+2a −1,x >1x +a 2,x ≤1在R 上为增函数．M =f(a)，N =f(log 4⋅3⋅log 45)，则M ，N 的大小关系是( )A. M =NB. M >NC. M <ND. M ，N 大小不能确定11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为( )A. 2√3B. 2√2C. 3D. √612. 已知f(x)={2x ,x ≤12,f(x −1)−f(x −2),x >12,则f(2019)=( )A. 1B. −1C. 2D. −2二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 过y =x 3−3x 2上一点(2,−4)作曲线的切线，则切线方程为______．14.已知x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,目标函数z=−2x+y的最大值为2，则实数k的取值范围是______．15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，的左、右焦点分别为F1，F2，右焦点F2与抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点重合．椭圆C与抛物线E交于A，B两点，A，F2，B三点共线，则椭圆C的离心率为______．16.数列{a n}满足：a12+a25+⋯+a n3n−1=3−12n，且a1+a2+⋯+a n≤m(m∈N∗)恒成立，则m的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，2cosAcosB=tanCtanA+tanB．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)若c=√3，求△ABC周长的最大值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD=2，AB=BC=CD=1，BC//AD，∠PAD=90°.∠PBA为锐角，平面PAB⊥平面PBD．(Ⅰ)证明：PA⊥平面ABCD；(Ⅱ)AD与平面PBD所成角的正弦值为√24，求三棱锥P−ABD的表面积．19.西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种鸡的数量x(单位：只)如表：这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨A饭店当天的需求量即可．这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数7a(14≤a≤18)，送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x<a时，剩下的鸡只能以每只56−a 元的价钱处理．(Ⅰ)若a=15，求鸡厂当天在A饭店得到的利润y(单位：元)关于A饭店当天需求量x(单位：只，x∈N∗)的函数解析式；(Ⅱ)若a=16，求鸡厂当天在A饭店得到的利润(单位：元)的平均值；(Ⅲ)a=17时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479元的概率．20.已知抛物线x2=2py(p>0)上有两点A，B，过A，B作抛物线的切线交于点Q(−2,−1)，且∠AQB=90°．(Ⅰ)求p；(Ⅱ)斜率为1且过焦点的直线交抛物线于M，N两点，直线y=x+c(c<1)交抛物线于C，D两点，求四边形MNDC面积的最大值．21. 已知函数f(x)=e 2x −a ，g(x)=e x −b ，且f(x)与g(x)的图象有一个斜率为1的公切线(e 为自然对数的底数)． (Ⅰ)求b −a ；(Ⅱ)设函数ℎ(x)=f(x)=g(x)−mx +ln22−12，讨论函数ℎ(x)的零点个数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosϕy =1+tsinϕ(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ．(Ⅰ)当φ=π3时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为M(2,1)，求直线l 的斜率．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x −2|．(Ⅰ)若f(x)≥3恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)f(x)≤x 的解集为[2,m]，求a 和m ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A ={x|x <6且x ∈N ∗}={1，2，3，4，5}， 故A 的子集个数为25=32，非空真子集个数为30． 故选：A ．求出集合A ={x|x <6且x ∈N ∗}={1，2，3，4，5}，由此能求出A 的非空真子集个数． 本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由z ⋅(1+i)=1+3i ， 得z =1+3i 1+i=(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i ，∴|z|=√5． 故选：C ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，▱ABCO 中，有OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又由A(1,−2)，C(2,3)，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)， 则OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)+(2,3)=(3,1)，则B(3,1)； 故选：A ．根据题意，由向量加法的平行四边形法则可得OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，计算可得答案．本题考查向量的坐标计算，涉及向量的加法运算，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：设3个红球分别为a，b，c，黑球为m．所有2个红球的取法有3种：ab，ac，bc．所有不同的取法有6种：ab，ac，bc，am，bm，cm，故所求概率为P=36=12．故选：D．设3个红球分别为a，b，c，黑球为m.利用列举法能求出从中任意摸取2个，恰为2个红球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：sin(3π2+α)=sin3π2cosα+cos3π2sinα=−cosα=13，故cosα=−13．故选：B．利用两角和与差公式直接求解．本题考查三角函数值的求法，考查两角和与差公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．根据题意，设双曲线C的渐近线为y=±kx，由直线与圆的位置关系可得d=√1+k2=1，解可得k的值，将k的值代入直线的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，设双曲线C的渐近线为y=±kx，即kx±y=0，若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x−2)2+y2=1相切，则圆心到渐近线的距离d=√1+k2=1，解可得k=±√33，则C 的渐近线方程为y =±√33x.故选B ．7.【答案】B【解析】解：S 37−S 23=a 24+a 25+⋯+a 37=a 24+a 372⋅14=7(a 24+a 37)=a ，S 60=a 1+a 602⋅60=30(a 24+a 37)=307a ．故选：B ．利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题知，AC =x ，AB =y ，BC =z ， 由勾股定理可知x 2+z 2=y 2． 故选：A ．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】C【解析】解：令ωx +π6=π2,3π2,5π2，解得x =π3ω,x =4π3ω,x =7π3ω，分别为y =f(x)的y 轴右侧由左往右最近的三条对称轴．要满足图象在(0,π)上有且仅有两条对称轴，只需{ 0<π3ω<π0<4π3ω<π7π3ω≥π，解得43<ω≤73．故选：C ．只要保证y =sin(ωx +π6)在y 轴右侧的最近三条对称轴，左边两条对称轴落在(0,π)内，第三条在(0,π)外即可，由此构造不等式组．本题考查三角函数的图象与性质，注意结合正余弦函数的图象与性质解决y =Asin(ωx +φ)的性质的基本路子，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意1+2a −1≥1+a 2， ∴(a −1)2≤0， ∴a =1， 又log 43⋅log 45<(log 43+log 452)2<(log 4162)2=1，且f(x)是R 上的增函数，∴f(a)=f(1)>f(log 43⋅log 45)，即M >N ． 故选：B ．根据f(x)是R 上的增函数即可得出1+2a −1≥1+a 2，从而得出a =1，并且可得出log 43⋅log 45<1，从而可得出M 与N 的大小关系．本题考查了增函数的定义，分段函数的单调性，对数的运算性质，对数函数的单调性，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四面体ABCD ，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：AB =CD =√5，AC =2√2，BC =1，BD =√6，BD =3． 最长的棱的长度为3． 故选：C ．由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD ，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：∵f(x)={2x ,x ≤12,f(x −1)−f(x −2),x >12,，∴x >12时，f(x)=f(x −1)−f(x −2)，f(x +1)=f(x)−f(x −1)=[f(x −1)−f(x −2)]−f(x −1)=−f(x −2)， 即f(x +3)=−f(x)，故f(x +6)=−f(x +3)=f(x)，故f(2019)=f(2016+3)=f(3)=f(2)−f(1)=[f(1)−f(0)]−f(1)=−f(0)=−20=−1． 故选：B ．x >12时，f(x)=f(x −1)−f(x −2)，推导出f(x +6)=−f(x +3)=f(x)，从而f(2019)=f(2016+3)=f(3)=f(2)−f(1)=[f(1)−f(0)]−f(1)=−f(0)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】9x +4y −2=0或y =−4【解析】 【分析】设切点为(x 0,y 0)，然后利用x 0表示切线方程，再根据切线过(2,−4)求出x 0，进而得到切线方程．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题． 【解答】解：设y =x 3−3x 2上的切点为(x 0,y 0)，则切线的斜率k =y′|x=x 0=3x 02−6x 0， ∵(x 0,y 0)在y =x 3−3x 2上，∴y 0=x 03−3x 02， ∴切线方程为y −(x 03−3x 02)=(3x 02−6x 0)(x −x 0)，∵(2,−4)在切线上，∴−4−(x 03−3x 02)=(3x 02−6x 0)(2−x 0)，∴x 0=2或x 0=12，∴切线方程为9x +4y −2=0或y =−4， 故答案为：9x +4y −2=0或y =−4．14.【答案】(−1,2]【解析】解：x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,表示的可行域如图：目标函数化为y=2x+z，z=2时，可知：最优解在直线2x−y+2=0上，而(0,2)在可行域内，且满足2x−y+2=0.故可知：实数k的取值范围是(−1,2]．故答案为：(−1,2]．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】√2−1【解析】解：如图，根据题意可得抛物线准线l过左焦点F1，作AA′⊥l交于点l于点A′，则AA′=AF2.则易得四边形A′AF2F1是正方形，故椭圆C的离心率e=|F1F2||AF1|+|AF2|=1√2+1=√2−1．故答案为：√2−1．作出图形，作AA′⊥准线l交于点l于点A′，则可得四边形A′AF2F1是正方形，所以离心率e=|F1F2||AF1|+|AF2|即可．本题考查椭圆离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．16.【答案】9【解析】解：由a12+a25+⋯+a n3n−1=3−12n，得：a12+a25+⋯+a n−13n−4=3−12n−1．两式相减得：a n3n−1=12n(n≥2)，a12=52⇒a1=5.∴a n={3n−12n,n≥2,5,n=1,故a1+a2+⋯+a n=5+522+823+⋯+3n−12n=4+221+522+3n−12n．令S=221+522+⋯+3n−42n−1+3n−12n，则12S=222+523+⋯+3n−42n+3n−12n+1．两式相减得：12S=1+3(122+⋯+12n)−3n−12n+1=52−3n+52n+1⇒S=5−3n+52n，故a1+a2+⋯+a n=4+S=9−3n+52n<9．而当n=5时，9−3×5+525>8，故m的最小值为9．故答案为：9．先由题设条件求出a n，再求其前n项和，然后处理m的最小值．本题主要考查数列通项公式的求法及前n项和的最值，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由2cosAcosB=tanCtanA+tanB，可得：tanC=2cosAcosB(tanA+tanB)=2(sinAcosB+cosAsinB)=2sin(A+B)= 2sinC，可得cosC=12，因为0<C<π，可得C=π3．(Ⅱ)由题意可得：asinA =bsinB=csinC=2，可得：a+b+c=2sinA+2sinB+√3=2sinA+2sin(2π3−A)+√3=2sinA+2[√32cosA+12sinA]+√3=3sinA+√3cosA+√3=2√3sin(A+π6)+√3≤3√3，当A=π3时，△ABC周长取最大值为3√3．【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC=12，结合范围0< C<π，可求C的值．(Ⅱ)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质即可求解a+b+c=2√3sin(A+π6)+√3≤3√3，即可得解△ABC周长的最大值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：作AM ⊥PB 于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD ⇒AM ⊥平面PBD ⇒AM ⊥BD ． 取AD 中点为Q ，则BC−−//QD ⇒BQ =CD =1=QD =QA ⇒∠ABD =90°．又∠PBA 为锐角，∴点M 与点B 不重合． {DB ⊥AB DB ⊥AM⇒DB ⊥平面PAB ⇒DB ⊥PA ． 又PA ⊥AD ，DB 与AD 为平面ABCD 内两条相交直线， 故PA ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：AM ⊥平面PBD ， 故∠ADM 即为AD 与平面PBD 所成角，AM AD=√24⇒AM =√22． 在Rt △PAB 中，AM =√22⇒∠PBA =45°，故PA =1，S △PAB =12，S △PAD =1，S △ABD =AB⋅BD 2=√32． 而∠PBD =90°⇒S △PBD =PB⋅BD 2=√2×√32=√62， 故所求表面积为：12+1+√32+√62=3+√3+√62．【解析】(Ⅰ)作AM ⊥PB 于M ，则AM ⊥平面PBD ，AM ⊥BD.取AD 中点为Q ，推导出{DB ⊥ABDB ⊥AM⇒DB ⊥平面PAB ⇒DB ⊥PA.由此能证明PA ⊥平面ABCD ． (Ⅱ)由AM ⊥平面PBD ，得∠ADM 即为AD 与平面PBD 所成角，AM AD=√24⇒AM =√22.由此能求出三棱锥P −ABD 的表面积．本题考查空中线面平行、线面垂直、面面垂直、锥体表面积求法，考查空间想象能力、推理论证能力、考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)当x <a 时，y =(70−40)x +(56−a −40)(a −x)=(14+a)x +16a −a 2，当x ≥a 时，y =30a ，∴y ={(14+a)x +16a −a 2,x <a30a,x ≥a (x ∈N ∗)，由a =15，得y ={29x +15,x <15450,x ≥15(x ∈N ∗)； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，a =16，y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗)，300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，∴鸡厂当天在A 饭店得到的利润(单位：元)的平均值为1300×(420×45+450×60+195×480)=465(元)．(Ⅲ)当a =17时，y ={31x −17,x <17510,x ≥17(x ∈N ∗)，当x =16时，鸡厂当天在A 饭店得到的利润y =479元，∴鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率为60300+60300=25．【解析】(Ⅰ)根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量x <a ，剩下的鸡只能以每只56−a 元的价格处理，建立分段函数模型，再将a =15代入求解；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，将a =16代入，得y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗)，根据表中记录，300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，再由平均数公式求解；(Ⅲ)当a =17时，y ={31x −17,x <17510,x ≥17(x ∈N ∗)，把y =479代入求得x =16，再由表中记录，利用频率求概率．本题主要考查样本估计总体，考查分段函数的应用与运算求解能力，正确理解题意是关键，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)过点Q 作x 2=2py 的切线，方程设为y +1=k(x +2)，即y =kx +2k −1，代入x 2=2py ⇒x 2−2pkx −2p(2k −1)=0，由△=0即4p 2k 2+8p(2k −1)=0，化为pk 2+4k −2=0，由∠AQB =90°，可得两切线相互垂直，可得它们的斜率之积为−1， k 1k 2=−1⇒−2p=−1⇒p =2．(Ⅱ)由题意可得直线MN ：y =x +1，联立抛物线方程x 2=4y ，可得x 2=4(x +1)⇒x 2−4x −4=0， 即有x =2±2√2，故|MN|=√2⋅|x M −x N |=√2⋅√32=8．由CD ：y =x +c ，联立抛物线方程x 2=4y ，可得x 2=4(x +c)⇒x 2−4x −4c =0⇒|CD|=√2⋅|x C −x D |=√2⋅√16+16c =4√2⋅√1+c ， 且由△=16+16c >0⇒−1<c <1，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC 的高为√2=√2，故S MNDC =12×(8+4√2×√1+c)×√2=(1−c)(2√2+2√1+c)，令√1+c =t ，则S MNDC =(2−t 2)(2√2+2t)(t ∈(0,√2))，S′=(−2t)(2√2+2t)+(2−t 2)⋅2=−6t 2−4√2t +4=−6(t +√2)(t −√23)． 在(0,√23)上，S′>0，S 递增；在(√23,√2)上，S′<0，S 递减．故当t =√23时，S 取最大值为128√227．【解析】(Ⅰ)设过Q 的切线方程为y =kx +2k −1，联立抛物线的方程，再由相切的条件：判别式为0，再由两直线相互垂直的条件：斜率之积为−1，结合韦达定理，可得所求值；(Ⅱ)由直线MN 的方程和抛物线方程联立，求得|MN|，由CD 的方程联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得|CD|，求得梯形MNDC 的高，由梯形的面积公式可得四边形MNDC 面积S ，运用换元法和导数，求得单调性和最值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(I)f′(x)=2e 2x =1⇒x =−ln22,f(−ln22)=12−a ．f(x)在(−ln22,12−a)处的切线方程为y −(12−a)=x +ln22，即y =x +ln22+12−a ，g′(x)=e x =1⇒x =0，g(0)=1−b ． g(x)在(0,1−b)处的切线方程为y −(1−b)=x ⇒y =x +1−b ， 故ln22+12−a =1−b ⇒b −a =12−ln22．(II)∵ℎ(x)=e 2x −a −(e x −b)−mx +ln22−12=e 2x −e x −mx ，∴ℎ′(x)=2e 2x −e x −m ，令t =e x ，则y =2t 2−t −m ， 当m >1时，2t 2−t −m =0有两根t 1，t 2，且t 1<0<t 2， ∴ℎ′(x)=2(e x −t 1)(e x −t 2)=0，∴x =lnt 2，在(−∞,lnt 2)上，ℎ′(x)<0；在(lnt 2,+∞)上，ℎ′(x)>0，此时ℎ(lnt 2)<ℎ(0)=0，又x →−∞时，ℎ(x)→+∞，x →+∞时，ℎ(x)→+∞，故在(−∞,lnt 2)和(lnt 2,+∞)上，ℎ(x)各有1个零点；当m =1时，ℎ′(x)=2(e x +12)(e x −1)ℎ(x)最小值为ℎ(0)=0，故ℎ(x)仅有1个零点． 当0<m <1时，ℎ′(x)=2(e x −t 1)(e x −t 2)，其中t 1<0<t 2， 同m >1，ℎ(x)在(−∞,lnt 2)与(lnt 2,+∞)上，ℎ(x)各有1个零点，当m =0时，ℎ(x)=e 2x −e x ，仅有1个零点，−18<m <0时，对方程2t 2−t −m =0，△=1+8m >0．方程有两个正根t 1，t 2，ℎ′(x)=2(e x −t 1)(e x −t 2)．在(−∞,lnt 1)上，ℎ′(x)>0；在(lnt 1,lnt 2)上，ℎ′(x)<0；在(lnt 2,+∞)，ℎ′(x)>0． 由{t 1+t 2=120<t 1<t 2⇒0<t 1<14<t 2<12，故lnt 2<0，ℎ(lnt 2)<ℎ(0)=0． ∴ℎ(lnt 1)=t 2−t 1−mlnt 1=t 12−t 1−(2t 12−t 1)lnt 1=t 1[(t 1−1)+(1−2t 1)lnt 1]，∵t 1−1<0，1−2t 1>0，lnt 1<0，故ℎ(lnt 1)<0． 故在(−∞,lnt 1)上，ℎ(x)<ℎ(lnt 1)<0，在(lnt 1,lnt 2)上，ℎ(x)<0；在(lnt 2,+∞)上，ℎ(x)有1个零点x =0，当m ≤−18时，ℎ′(x)=2e 2x −e x −m ≥0恒成立，ℎ(x)为增函数，ℎ(x)仅有1个零点x =0． 综上，m ≤0或m =1时，ℎ(x)有1个零点，0<m <1或m >1时，ℎ(x)有2个零点．【解析】(Ⅰ)根据条件求出f(x)与g(x)的公切线方程，然后建立关于a ，b 的方程，再求出b −a ；(Ⅱ)先求出ℎ(x)的解析式，然后令t =e x ，得到y =2t 2−t −m ，再对m 分类，讨论函数ℎ(x)的零点个数．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性和函数零点的判断，考查了分类讨论思想和方程思想，属难题．22.【答案】解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为：√3x −y +1−2√3=0；椭圆C 的直角坐标方程为：x 216+y 212=1． (Ⅱ)将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得：(3+sin 2φ)t 2+(12cosφ+8sinφ)t −32=0， 由题意得：t 1+t 2=0，故12cosφ+8sinφ=0⇒k =tanφ=−32，所以直线l的斜率为−3．2【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力生的运算能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣，当且仅当(x−a)(x−2)≤0时取等号，故f(x)的最小值为∣a−2∣，∴∣a−2∣≥3⇔a≥5或a≤−1．(Ⅱ)由不等式解集的意义可知：x=2时，f(2)=2，即∣a−2∣=2，解得a=0或4．a=0时，如图所示：不合题意，舍去；a=4时，如图所示：由y=x与y=2x−6，解得：x=6．即m=6，综上，a=4，m=6．【解析】(Ⅰ).根据绝对值三角不等式，由f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣，求得f(x)最小值，再由∣a−2∣≥3求解；(Ⅱ)不等式的解集与相应方程根的关系，当x=2时，f(2)=2，即∣a−2∣=2，解得a=0或4.再分类求解．本题主要考查绝对值不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．。
(全国I卷)2020届高三数学12月教育教学质量监测考试试题文
（全国I 卷）2020届高三数学12月教育教学质量监测考试试题 文 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.5273i i i--=+ A.1175858i + B.1175858i -+ C.1175858i - D.1175858i --2.已知集合M ＝{x|8x 2－9x ＋1≤0}，N ＝{x|y ，则()R M N =I ð A.[1,)+∞ B.11(,)82 C.11[,)82 D.1(,1]23.已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为 A.2213x y -= B.22139x y -= C.221312y x -= D.221217y x -= 4.设向量m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，现有如下命题：命题p ：|m －2n|的值可能为9；命题q ：“(m －2n)⊥m ”的充要条件为“cos<m ，n>＝13”； 则下列命题中，真命题为A.pB.p ∧qC.(﹁p)∧qD.p ∨(﹁q)5.2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款、法国8款、荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国。
A 地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区一婴幼儿用品商店在售某品牌的奶粉共6袋，这6袋奶粉中有4袋含有芳香烃矿物油成分，则随机抽取3袋，恰有2袋含有芳香烃矿物油成分的概率为A.310B.710C.25D.356.函数3sin 2()x x x f x e+=在[－2π，2π]上的图象大致为7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＋b ＝8，c ＝27，(2a －b)(a2＋b 2－c 2)＝2abc(1－2sin 22B )，则△ABC 的面积为 A.63 B.83 C.33 D.438.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗。
2020届校联盟(全国i卷)高三上学期12月教育教学质量监测考试数学(理)试题(解析版)
2020届校联盟（全国i 卷）高三上学期12月教育教学质量监测考试数学（理）试题一、单选题1．5273i i i --=+（ ） A ．17+5858i 1 B ．17+5858i 1- C ．175858i 1- D ．175858i 1-- 【答案】C【解析】根据复数的除法运算法则先计算出52141735858i i i -=++，再减去i ，即可. 【详解】()()()()527352737373i i i i i i i i ----=-++-351514641111758585858i i i i i i +-++-=-=-= 故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于容易题.2．已知集合{}2|8910M x x x =-+≤，{|N x y ==，则()R M C N ⋂=（ ）A ．[)1,+∞ B ．11,82⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】解不等式28910x x -+≤，确定集合1|18M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，解不等式210x -≥，确定集合1|2R C N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，再将集合R C N 与集合M 求交集，即可. 【详解】依题意，()(){}1|8110|18M x x x x x ⎧⎫=--≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，{1||2N x y x x ⎧⎫===≥⎨⎬⎩⎭，则1|2R C N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，故()11,82R M C N ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭I . 故选：C 【点睛】本题考查集合的运算，属于较易题.3．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若135a =,32120S =，则4a =（ ） A ．340-或8140B ．8140-或340C ．8140D ．340 【答案】B【解析】根据等比数列的通项公式求出q 即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 依题意，231233332155520S a a a q q =++=++=， 解得32q =-或12q =，则3418140a a q ==-或340．故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.4．设向量m ，n 满足||2,m =u r ||3n =r ，现有如下命题：命题2:||p m n -u r r的值可能为9；命题:q “(2)m n m -⊥u r r u r”的充要条件为“1cos ,3m n 〈〉=u r r”；则下列命题中，真命题为（ ） A ．p B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∨⌝【答案】C【解析】首先判断命题p 与命题q 的真假，再由简单逻辑联接词连接命题的真假表即可判断. 【详解】依题意，|2|m n -u r r的最大值为8，即向量m ，n 共线反向时取得，故命题p 为假；(2)m n m -⊥u r r u r (2)0m n m ⇔-⋅=u r r u r 220m m n ⇔-⋅=⇔u r u r r4223cos ,0m n -⨯⨯⨯〈〉=⇔u r r 1cos ,3m n 〈〉=u r r ，故命题q 为真；故()p q ⌝∧为真． 故选：C 【点睛】本题考查了命题的真假判断以及简单逻辑联接词联接命题的真假表，属于基础题.5．记抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线上，若MN NF =u u u u r u u u r，且2(2)N ，，则抛物线C 的准线方程为（ ）A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =-D ．【答案】B【解析】根据中点坐标公式求出点M ，代入抛物线方程求出p 即可求解. 【详解】因为MN NF =u u u u r u u u r，故点N 为线段MF 的中点； 因为(,0),(,22)2p F N ，则4,42p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入22y px =中，得2(4)162pp -=，即28160p p -+=．解得4p =． 故抛物线C 的准线方程为2x =-． 故选：B 【点睛】本题主要考查了求抛物线的准线方程，需熟记抛物线的定义，属于基础题.6．函数()3sin 2xx x f ex =+在[]2,2ππ-上的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断函数()f x 的奇偶性，排除C ；再验证()4f π的值，排除B ，D ，即可.【详解】依题意，()()()3sin 2xx x f xe--+--=()3sin 2xx x f x e+=-=-，故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ；3334273sin 11191919124646440.54 2.8 2.8 2.864179.2182e ef πππππ⎛⎫++++ ⎪⎛⎫⎝⎭=>>===>= ⎪⨯⎝⎭，排除B ，D. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象问题.此类问题可根据函数的单调性、奇偶性、特值检验，通过排除法解决.属于中档题.7．元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗“我有一壶酒携着游春走，遇店添一倍，开始逢友饮一斗，”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若入的x 的值为54，输出的x 值为9则判断框中可以填（ ）A ．4i >B ．5i >C ．6i >D ．7i >【答案】B【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 与i 值，当9,6x i ==时退出循环，因此判断框可填入条件5i >. 【详解】运行该程序，第一次，532142x =⨯-=，2i =，第二次，32122x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，3i =，第三次，2213x =⨯-=，4i =，第四次，2315x =⨯-=，5i =，第五次，2519x =⨯-=，6i =，此时，需要输出x 的值，观察可知.故选：B【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程，判断程序运行的i 值是解题的关键.属于较易题.8．2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款，法国8款，荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国．A 地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区有6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙3名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检1家商店，且检测过的商店不重复检测，则甲检测员检测2家商店的概率为（ ） A ．1118B ．718C ．512D ．712【答案】B【解析】由题意分类讨论三人各检测的数量分配，求出所以情况的数量，再求出满足甲检测2家商店的情况数量，根据古典概型概率的求法即可求解. 【详解】若3人检测的数量为2：2：2，则所有的情况为222342633390C C C A A ⋅=种， 若3人检测的数量为3：2：1，则所有的情况为32136313360C C C A ⋅=种，若3人检测的数量为4：1：1，则所有的情况为143362132290C C C A A ⋅=种， 故所有的情况为540种，其中满足甲检测2家商店的情况为90120210+=种， 故所求概率210754018P ==. 故选：B 【点睛】本题主要考了排列组合在实际中的应用以及古典概型概率的求法，属于基础题. 9．已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段11A D 的中点，点F 是线段1DD 上靠近D 的三等分点，则直线CE ，BF 所成角的余弦值为（ ）A ．B C D 【答案】B【解析】取线段1BB 上靠近1B 的三等分点G ，过点G 作//GH BC ，且12GH BC =，连接EH ，CH ，1D G 故1//D G BF ，1//D G EH ，则//EH BF ，即异面直线CE ，BF 所成角的为CEH ∠，分别计算,,CH EH CE 长度，由余弦定理，求解即可.【详解】取线段1BB 上靠近1B 的三等分点G ，过点G 作//GH BC ，且12GH BC =，连接EH ，CH ，1D G ，故1//D G BF ；1//D G EH ，所以//EH BF ，则CEH ∠即为直线CE ，BF 的所成角；不妨设6AD =，则97CH =，219EH =，9CE =，故519cos 5729219CEH ∠==⨯⨯.故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，解决此类问题的关键在于将异面直线的夹角通过平移转化为共面直线的夹角.属于中档题.10．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f ―x ++=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】根据题意首先求出函数的周期为4，从而求出()()20211f f =；再由函数的奇偶性即可求出1(1)3f =，由(1)(3)f f =-，代入解析式即可求解. 【详解】因为()()()133f x f x f x +=--=-， 故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =；而()()11f f -=-，由(2021)1(1)2f f -=-可得1(1)3f =；而121(1)(3)(31)3f f log m =-=--=, 解得43m =-． 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性求函数值以及根据函数值求参数值，属于中档题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 引直线l交双曲线C 的渐近线于y 轴右侧P ，Q 两点，其中OP PQ ⊥，记OPQ △的内心为M ．若点M 到直线PQ 的距离为3a，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．4y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】C【解析】由题意设P ，Q 分别在第一象限、第四象限；由OPQ △的内心为M ． 过点M 分别作MN OP ⊥，垂足为N ，MT PQ ⊥，垂足为T ，可得四边形MTPN 为正方形，焦点到渐近线的距离为b ，可知2||3NO a =，1||3MN a =，从而可求得渐近线方程. 【详解】不妨设P ，Q 分别在第一象限、第四象限；则M 在POQ ∠角平分线Ox 上， 过点M 分别作MN OP ⊥，垂足为N ，MT PQ ⊥，垂足为T ，由OP PQ ⊥可得四边形MTPN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b ，得2||F P b =； 又2||OF c =，故OP a =，故1||||3NP MN a ==，故2||3NO a =，故2||1tan ||2b MN POF a NO =∠==, 故所求渐近线方程为12y x =±． 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题. 12．已知函数()(2)f x x ϕ=++其中22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3()4f π的最大值为（ ） A．B ．0C．-D． 【答案】B【解析】由题意求出52(,)6x πϕϕϕ+∈+，根据()0f x >恒成立求出2x ϕ+的范围，从而由57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++求出ϕ的取值范围，进而求出答案. 【详解】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+； 由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈， 故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈， 故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，故33()()42f ππϕϕ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 故3()4f π的最大值为0． 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数中不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.二、填空题13．曲线()21xy x e =-在点()0,1-处的切线方程为__________.【答案】1y x =-【解析】利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式,即可求出切线方程. 【详解】Q ()21x y x e =-∴ ()221x x y e x e '=+-∴函数()21x y x e =-在0x =处的切线斜率为1，又Q 切点坐标为()0,1-，∴切线方程为1y x =-．故答案为:1y x =-． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.14．已知实数x ，y 满足2 336x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为____________.【答案】274【解析】画出可行域，平移目标函数，根据图象，确定最大值即可. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示；观察可知，当直线2z x y =+过点C 时，z 有最大值；联立36030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得15434x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故z 的最大值为274.故答案为：274【点睛】本题考查线性规划问题，属于较易题.15．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2418a a +=，17459S =，则(){}31nn a -的前n 项和n T =______．【答案】()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩【解析】由等差数列的通项公式以及前n 项和公式代入可求得n a ，再由分组求和即可求解. 【详解】因为{}n a 是等数差数列，17994591745927S a a =⇒=⇒=，而2418a a +=，所以1918272418a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得3d =，13a =，则3(1)33n a n n +-⨯==，n *∈N ； 数列{}3n a 构成首项为9，公差为9的等差数列；若n 为偶数，则991827369(1)92n n T n n =-+-++--+=L ， 若n 为奇数，则T 91827369(2)9(1)9n n n n =-+-++--+--L9(1)9(1)922n n n -+=-=- 故()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩. 故答案为：()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及分组求和，需熟记公式，属于基础题. 16．已知三棱锥P-ABC 中，PAB △是面积为4ACB π∠=，则当点C 到平面PAB 的距离最大时，三棱锥P-ABC 外接球的表面积为_______． 【答案】1123π 【解析】首先确定当平面CAB ⊥平面P AB 时，三棱锥P-ABC 的体积达到最大；然后作出球的球心求出半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】当平面CAB ⊥平面P AB 时，三棱锥P-ABC 的体积达到最大；记点D ，E 分别为APB △，ACB △的外心，并过两个三角形的外心作三角形所在平面的垂线，两垂线交于点O ，则点O 即为三棱锥P-ABC 外接球的球心，AO 即为球的半径；因为PAB S ∆=4AB =；在ACB △中，45ACB ∠=︒，则90AEB =︒∠，由正弦定理可2ABAE sin ACB=∠，故AE EB EC ===记AB 的中点为F ，则1133OE DF PF AB ====故OA ==故外接球的表面积211243S R ππ==． 故答案为：1123π【点睛】本题主要考查立体几何中球的外接内切问题、正弦定理解三角形，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223sin 3sin3sin sin sin B CA B C A+=+．（1）求A 的大小；（2）若a =ABC V 面积的最大值以及周长的最大值．【答案】（1）3A π=；（2）ABC V 面积的最大值为【解析】（1）利用正弦定理边化角以及余弦定理即可求解. （2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意，2223sin 3sin 3sin sin sin B C A A B C ++=，故2223333sin 2b c a A bc +=+⋅,即2223sin 23b c a A bc +-=，由余弦定理得，3cos sin A A =，故tan 3A =，因为(0,)A π∈，故3A π=；（2）由余弦定理，2222cos a c b bc A =+-，即221+2c b bc bc =-≥， 当且仅当23c b ==时等号成立； 故ABC V 的面积133324S bcsinA bc ==≤， 故ABC V 面积的最大值为33.而22223()12()3()4b c c b bc c b bc b c +=+-=+-≥+-，故43b c +≤，当且仅当23c b ==时等号成立； 故ABC V 的周长63l a b c =++≤ 故周长的最大值为63. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式以及基本不等式，在运用基本不等式时注意验证等号成立的条件，属于基础题.18．如图所示，在四棱锥S-ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，135ABC ∠=︒，2SD CD =，点P ，Q ，M 分别是线段SD ，PD ，AP 的中点，点N 是线段SB 上靠近B的四等分点．（1）若R 在直线MQ 上，求证：//NR 平面ABCD ；（2）若SD ⊥平面ABCD ，求平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（222【解析】（1）利用面面平行的判定定理、面面平行的性质定理即可证出.（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AD =，求出平面SBC 的一个法向量与平面SAD 的一个法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】 （1）依题意，34SQ SNSD SB ==，故//QN BD ， 而QN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故//QN 平面ABCD ； 因为12PQ PM PD PA ==，故//QM AD ， 而QM ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故//QM 平面ABCD ； 因为QM QN Q =I ，故平面//QMN 平面ABCD ； 因为NR ⊂平面QMN ，故//NR 平面ABCD ； （2）如图，以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AD =，则0)00D（，，，()002S ，，，0)10A （，，，22(,22C -， ∴(1,0,0)BC AD ==-u u u r u u u r ，22(2)22SC =--u u u r ，设平面SBC 的一个法向量为1(,,)x y z =n ，则110n BC n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u v ， 0222022x x y z -=⎧⎪∴⎨-+-=⎪⎩取2y =1(0,22,1)n =， 易知平面SAD 的一个法向量20()01n =，，， 设平面SAD 与平面SBC 所成锐二面角为θ，则121222cos 3n n n n θ⋅==⋅，∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为3.【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理、面面平行的性质定理以及空间向量求二面角，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.19．为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望()E X．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（1）没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关；（2）分布列见解析，20()9E X=【解析】（1）根据独立性检验的思想即可判断.（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，X的可能取值为01234，，，，，求出各随机变量的概率，列出分布列即可求出期望.【详解】（1）完善列联表如下所示：222()60(14201016) 1.111 2.706()()()()30302436n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯∴==≈<++++⨯⨯⨯，故没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，故X 的可能取值为01234，，，，，55591(0)126C P X C ===,41545920(1)126C C P X C ===,32545960(2)126C C P X C ===, 23545940(3)126C C P X C ===,5944155(4)126C C P X C ===， 故X 的分布列为：所以1206040520()012341261261261261269E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验以及数学期望，解题的关键是列出列联表和分布列，属于基础题.20．已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的上、下焦点分别为1F ，2F 点M ⎝⎭ 在椭圆C 上，延长1MF 交椭圆于N 点．（1）求椭圆C 的方程；（2）P ，Q 为椭圆上的点，记线段MN ，PQ 的中点分别为A ，B （A ，B 异于原点O ），且直线AB 过原点O ，求OPQ △面积的最大值．【答案】（1）22194y x +=；（2）最大值为3 【解析】（1）利用待定系数法以及椭圆的离心率即可求解. （2）由（1）可知1F，可求11:2MF y x =-+11(,)P x y ，()22,Q x y ，根据设而不求的思想求出12PQMN k k ==-，设直线1:2PQ y x m =-+，与椭圆方程联立，由弦长公式以及点到直线的距离公式求出面积表达式，借助基本不等式即可求出. 【详解】（1）依题意，22916155a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 解得39a =，24b =，故椭圆C 的方程为22194y x +=；（2）由（1）可知，1F，故直线11:2MF y x =-+ 设11(,)P x y ，()22,Q x y ，则22112222149149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()049x x x x y y y y +-+-+=，因为PQ 不过原点，所以12121212()()9()()4y y y y x x x x +-⋅=-+-，即94PQ OB k k ⋅=-，同理：94MN OA k k ⋅=-， 又因为直线AB 过原点O ，所以OB OA k k =，所以12PQ MN k k ==-， 设直线1:2PQ y x m =-+，由2214912x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得22522180x mx m -+-=， 由>0∆，得m <<，由韦达定理得，1225m x x +=，2122185m x x -=所以12|||PQ x x =-==又因为O 到直线PQ的距离||d m ==，所以2213310|||32552CPQm m S PQ d m +-=⋅=≤⋅=V ， 当且仅当2210m m =-，即m = 所以OPQ △面积的最大值为3． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.21．已知函数()ln f x x a x =-，[1,e]x ∈． （1）若2a =，求函数()f x 的最值；（2）讨论函数()()1g x xf x a =++的零点个数．【答案】（1）最小值为22ln 2-，最大值为1；（2）当2a ≤-或211e a e +≥-时，()g x 在[1,]e 内有1个零点；当2121e a e +-<<-时，()g x 在[1,]e 内无零点．【解析】（1）求出导函数()f x '，令()0f x '=，求出极值，再求出端点值即可求解. （2）由题意将问题转化为函数1()ln a h x x a x x+=-+的零点个数，对()h x 求导，根据导函数结合定义域分三种情况讨论①当1a e >-时；②当0a ≤时；③当01a e <≤-时，分别求出函数的最值和单调区间，从而可判断出函数零点的个数.【详解】（1）若2a =，则()2ln f x x x =-，2()1f x x'=-， 令()0f x '=，解得2x =；而()11f =，()22n2l 2f =-，()2f e e =-， 故函数()f x 的最小值为22ln 2-，最大值为1．（2）令2()()1ln 10g x xf x a x ax x a =++=-++=，因为0x >，故1ln 0a x a x x+-+=， 令1()ln a h x x a x x+=-+，故问题转化为函数()h x 的零点个数； 而[]2(1)(1)()x a x h x x -++'=，①当1a e >-时，即1a e +>，当(1,)x e ∈时，()0h x '<， 故()h x 在(1,)e 上单调递减，(1)20h a =+>，111()(1)a h e e a a e e e e+=+-=-++， 故当()0h e >，即211(1)0,1e a e a e e e +-++><-时，()0h x >在[1,]e 上恒成立，当2111e e a e +-<<-时，()h x 在[1,]e 内无零点；当()0h e ≤，即11(1)0a e e e-++≤， 即21 1e a e +≥-时，()()00h h e ⋅≤，由零点存在性定理可知，此时()h x 在[1,]e 内有零点，因为函数()h x 在[1,]e 内单调递减，此时()h x 在[1,]e 内有一个零点；②当0a ≤时，即11a +<，当(1,)x e ∈时，()0h x '>，()h x 在(1,)e 上单调递增，()12h a =+，11()(1)0h e a e e e=-++>，故当()120h a =+≤，即2a ≤-时，()()10h h e ≤， 由零点存在性定理，此时()h x 在[1,]e 内有零点，因为()h x 在[1,]e 内单调递增，故仅有1个零点；当20a -<≤时，()()min 10h x h ⎡=⎣⎦>⎤，此时()h x 在[1,]e 内无零点； ③当01a e <≤-时，即11a e <+≤， 当1,(1)x a ∈+时，()0h x '<， 当),(1x a e ∈+时，()0h x '>．则函数()h x 在(1,1)a +上单调递减，在(,)1a e +上单调递增，故()()()min 12ln 122h x h a a a a a a =+=+⎡⎤≥⎦++-⎣-=， 故()0h x >，此时()h x 在[1,]e 内无零点；综上所述，当2a ≤-或211e a e +≥-时，()g x 在[1,]e 内有1个零点；当2121e a e +-<<-时，()g x 在[1,]e 内无零点．【点睛】本题考查了导数在函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，且直线l 与曲线交于M ，N 两点.（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程； （2）若()0,1A ，求||||AM AN +的值.【答案】（1）l ：1x y +=，C ：2240x y x +-=；（2）【解析】（1）将2x =，1y =-+相加，消去参数t ，整理得直线l 的普通方程；在方程4cos ρθ=两边同时乘以ρ，再利用222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩转化为直角坐标方程即可.（2）将直线l的参数方程为21x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程，利用参数t 的几何意义求解，即可. 【详解】（1）依题意，直线l ：10x y +-=；曲线C ：24cos ρρθ=，即2240x y x +-=；（2）依题意，直线l的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2240x y x +-=中，可得210t ++=，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则1212||AM AN t t t t +=+=+=【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程t 的几何意义.属于中档题.23．已知函数()()422f x x m x m m=-++>. （1）若4m =，求不等式()5f x >的解集； （2）证明：()()422f x m m +≥+-【答案】（1）2{|3x x <-或0}x >；（2）见解析 【解析】（1）分类讨论21x <-；142x -≤≤；4x >；分别求解，再取并集，即可.（2）确定分段函数()423,42,43,x m x m m f x x m x m m m x m x m m ⎧-+-<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩的最小值，再加上4(2)m m -，变形整理为42()22(2)2f x m m m m +≥-++--，根据均值定理证明，即可.【详解】第 21 页 共 21 页 （1）依题意，4215x x -++>； 当21x <-时，原式化为4215x x --->，解得23x <-； 当142x -≤≤时，原式化为4215x x -++>，解得0x >，故04x <≤； 当4x >时，原式化为4215x x -++>，解得83x >，故4x >； 综上所述，不等式()5f x >的解集为2{|3x x <-或0}x >. （2）依题意，()423,42,43,x m x m m f x x m x m m m x m x m m ⎧-+-<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩，所以()min 22f m m m f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭=， ()()()42422m m m m f x m m +≥++--222222222m m m m m m =++-=-++≥--， 当且仅当222m m -=-，即2m =+. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及均值定理证明不等式.属于中档题.。
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2020届百校联盟（全国I 卷）高三12月教育教学质量监测考试 数学（文）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
5273i i i
--=+ A.1175858i + B.1175858i -+ C.1175858i - D.1175858i --
2.已知集合M ＝{x|8x 2－9x ＋1≤0}，N ＝{x|y ，则()R M N =I ð
A.[1,)+∞
B.11(,)82
C.11[,)82
D.1(,1]2
3.已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为 A.2213x y -= B.22139x y -= C.221312y x -= D.22
1217
y x -= 4.设向量m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，现有如下命题：
命题p ：|m －2n|的值可能为9；
命题q ：“(m －2n)⊥m ”的充要条件为“cos<m ，n>＝
13”； 则下列命题中，真命题为
A.p
B.p ∧q
C.(﹁p)∧q
D.p ∨(﹁q)
5.2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款、法国8款、荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国。
A 地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区一婴幼儿用品商店在售某品牌的奶粉共6袋，这6袋奶粉中有4袋含有芳香烃矿物油成分，则随机抽取3袋，恰有2袋含有芳香烃矿物油成分的概率为 A.310 B.710 C.25 D.35
6.函数3
sin 2()x x x f x e
+=在[－2π，2π]上的图象大致为
7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＋b ＝8，c ＝27，(2a －b)(a 2＋b 2－c 2)＝2abc(1－2sin 22
B )，则△AB
C 的面积为 A.63 B.83 C.33 D.43
8.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗。
”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若输入的x 的值为，输出的x 值为9，则判断框中可以填
A.i>4
B.i>5
C.i>6
D.i>7
9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段A 1D 1的中点，点F 是线段DD 1上靠近D 的三等分点，则直线CE ，BF 所成角的余弦值为
A.1957
B.51957
C.1919
D.31919
10.已知函数155()2sin()3,[,]2322
f x x x πππ=-
∈-，则函数f(x)的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5
11.已知椭圆C：
22
22
1(0) x y
a b
a
b
+=>>的左、右焦点分别为F1，F2第二象限的点M在椭圆C上，且|OM|＝|OF2|，若椭圆C的离心率为
5
3
，则直线MF2的斜率为
A.－4
B.
1
4
- C.－2 D.
1
2
-
12.已知函数f(x)＝4|x＋2|＋cosπx，则f(4x－7)≤3的解集为
A.
3
[,2]
2
B.
3
[1,]
2
C.
5
[2,]
2
D.
1
[,1]
2
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.已知函数f(x)＝(4x2＋mx)·e x，若曲线y＝f(x)在(0，0)处的切线与直线y＝4x相互垂直，则m＝________。
14.已知实数x，y满足
2
3
36
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪-≤
⎩
，则z＝2x＋y的最大值为_______。
15.若tan(α＋β)＝3，tanβ＝
3
2
，则2sin(2)
4
π
α-=________。
16.已知三棱锥P－ABC的外接球表面积为16π，∠PAB＝∠PAC＝∠ABC＝2∠ACP＝90°，则三棱锥P－ABC体积的最大值为________。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)记等比数列的前n项和为S n，且a n＝－2，S3＝3。
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列{3n－2＋a n}的前n项和。
18.(本小题满分12分)某公司统计了2010～2018年期间公司年收入的增加值y(万元)以及相应的年增长率z，所得数据如下所示：
(1)通过散点图可知，可用线性回归模型拟合2010～2014年y与x的关系；
①求2010－2014年这5年期间公司年利润的增加值的平均数Y；
②求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； (2)从哪年开始连续三年公司利润增加值的方差最大?(不需要说明理由。
)
附：参考公式：回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 121()()
ˆˆˆ,()n
i i
i n i
i x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑。
19.(本小题满分12分)已知四棱锥S －ABCD 中，∠SAD ＝∠ABC ＝∠BAD ＝90°，SA ＝AD ＝12
BC ＝3AB ＝1，SC ＝22。
(1)求证：SA ⊥BD ；
(2)若P 为线段SC 的中点，求三棱锥A －SBP 的体积。
20.(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x ，点M ，N 在抛物线C 上。
(1)若直线MN 的斜率为3，求线段MN 中点的纵坐标；
(2)若P(－2，4)，M ，N 三点共线，且|MN|2＝|PM|·|PN|，求直线MN 的方程。
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx －4ax ＋2有两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2)。
(1)求实数a 的取值范围；
(2)求证：2ax 1＋2ax 2>1。
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22.(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2212x t y t
⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数)。
以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，且直线l 与曲线C 交于M ，N 两点。
(1)求直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；
(2)若A(0，1)，求|AM|＋|AN|的值。
23.(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x －m|＋|2x ＋4m
|(x>2)。
(1)若m ＝4，求不等式f(x)>5的解集；
(2)证明：4()2(2)
f x m m +
≥+-。