特殊平行四边形：折叠问题
专题02特殊平行四边形中的折叠问题教师版
专题02 特殊平行四边形中的折叠问题【典型例题】1．（2020·河北定州初三二模）如图，正方形ABCD 中，AB =6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【解析】连接AE ，∵AB =AD =AF ,∠D =∠AFE =90°，由折叠的性质得：Rt △ABG ≌Rt △AFG ，在△AFE 和△ADE 中，∵AE =AE ，AD =AF ，∠D =∠AFE ，∴Rt △AFE ≌Rt △ADE ，∴EF =DE ，设DE =FE =x ，则CG =3，EC =6−x .在直角△ECG 中，根据勾股定理，得：(6−x )2+9=(x +3)2，解得x =2.则DE =2. 2．（2019·全国初三单元测试）如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AEF ，若AB ＝2，∠B ＝45°，则△AEF 与菱形ABCD 重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）.A ．2B ．C ．D ．【解析】∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B =45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ，由折叠的性质可知，△ABF 为等腰直角三角形，∴S △ABF =12AB •AF =2，S △ABE =1，∴CF =BF -BC =-2，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =45°，又由折叠的性质知，∠F =∠B =45°，∴CG =GF =2∴S △CGF =12GC •GF =3-，∴重叠部分的面积为：2-1-（3-）=2，故选D ． 3．（2020·全国）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，使得点D 与点B 重合，点C 落在点C ′的位置上．（1）折叠后，DC 的对应线段是 ，CF 的对应线段是 ；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；（3）若AB =8，DE =10，求CF 的长度．【答案】（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC 的对应线段是BC ′，CF 的对应线段是C ′F ；故答案为：BC ′，C ′F ． （2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF =50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°； 故答案为：50°，80°（3）∵AB =8，DE =10，∴BE =10，∴AE 6，∴AD =BC =6+10=16，∵∠1=∠BEF =50°，∴BF =BE =10， ∴CF =BC ﹣BF =16﹣10=6．故答案为：6【专题训练】一、选择题1．（2020·海南临高）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC =∠ECA ，则AC 的长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．5【解析】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴AF=CF，∴AC=2AB=6，选B．2．（2020·全国）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( )A．6B．8C．10D．12【解析】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，∴∠1=∠2，而∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴ED=EB=5，∵矩形ABCD中，∠A=90°∴重叠部分△BDE的面积=12DE×AB=12×5×4=10．故选：C.．3．（2020·全国）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（）A．3B．4C．6D．8【解析】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选C．4．（2020·新疆昌吉初三一模）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解析】设CN=xcm，则DN=（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x）cm，而EC=12BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选：A．5．（2019·河北遵化初三一模）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°【解析】试题分析：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°．∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°．∴∠PDC=90°．∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°．在△DEC中，．故选B．6．（2020·全国）如图，已知四边形ABCD 是边长为6的菱形，且∠BAD =120°，点E ,F 分别在AB ,BC 边上，将菱形沿EF 折叠，点B 正好落在AD 边的点G 处．若EG ⊥AC ，则FG 的长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【解析】如图，设AC 与EG 交于点O ，FG 交AC 于点H ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°，∴60B D ∠=∠=︒， ∴ABC ACD 、是等边三角形．∴60CAD B ∠=∠=︒．∵EG AC ⊥，∴90GOH ∠=︒．∵60EGF B ∠=∠=︒，∴30OHG ∠=︒，∴18090AGH CAD OHG ∠=︒-∠-∠=︒，∴FG AD ⊥，∴FG 是菱形ABCD 的高，即为等边三角形ABC 的高，∴ =C ．7．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校）如图,把一个矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置,若∠EFB =65°,则∠AED ′为（ ）。
专题训练(4) 特殊平行四边形中的五种折叠方式
专题训练(四)特殊平行四边形中的五种折叠方式►方式一把一个顶点折叠到一边上1．如图4－ZT－1，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是() A．7 B．8 C．9 D．10图4－ZT－12．如图4－ZT－2，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E，F分别在边AB，BC上，△BEF沿EF折叠得到△GEF，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6 2，则FG的长为________．图4－ZT－23．如图4－ZT－3，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D 落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求CEDE的值．图4－ZT－3►方式二把一个顶点折叠到对角线上4．如图4－ZT－4所示，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使点B落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为()A．3 B．4 C．5 D．6图4－ZT －45．如图4－ZT －5所示，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且点D 落在对角线上的点D ′处．若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为( )A.32 B ．3 C ．1 D.43图4－ZT －5 ► 方式三 把一个顶点折叠到另一个顶点上6．把一张矩形纸片ABCD 按图4－ZT －6所示方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ，若AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积为______cm 2.图4－ZT －67．如图4－ZT －7所示，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接CE .(1)求证：四边形AFCE 为菱形；(2)设AE ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，请写出a ，b ，c 三者之间的数量关系，并说明理由．图4－ZT －7► 方式四 把一个顶点折叠到图形外或图形内 8．如图4－ZT －8，已知正方形ABCD 的对角线长为2 2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为( )A ．8 2B ．4 2C ．8D ．6图4－ZT －89．如图4－ZT －9，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D ，则B ′D 的最小值是( )A ．2 10－2B ．6C ．2 13－2D ．4图4－ZT－910．如图4－ZT－10，矩形ABCD中，点P，Q分别是边AD和BC的中点，沿过点C 的直线折叠矩形ABCD，使点B落在线段PQ上的点F处，折痕交AB边于点E，交线段PQ 于点G.若线段BC的长为3，则线段FG的长为________．图4－ZT－1011．如图4－ZT－11，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC折叠矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP.(1)求证：四边形AECF为平行四边形；(2)若△AEP是等边三角形，求证：△APB≌△EPC；(3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．图4－ZT－11►方式五多次折叠12．2018·资阳如图4－ZT－12，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是() A．12 cm B．16 cmC．20 cm D．28 cm图4－ZT－1213．准备一张矩形纸片ABCD，按如图4－ZT－13所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．图4－ZT－1314．如图4－ZT－14①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平；沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处；再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．图4－ZT－14详解详析1．[解析] C 由折叠的性质得EF ＝AE ＝5.由勾股定理得BE ＝4，∴AB ＝CD ＝9. 2．[答案] 3 6[解析] ∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠B ＝60°，∠BAC ＝60°. ∵EG ⊥AC ，∴∠AEG ＝30°.由折叠可知，∠BEF ＝12×(180°－∠AEG )＝75°，∴∠BFE ＝180°－(∠B ＋∠BEF )＝45°.∴∠BFG ＝90°，即FG ⊥BC . ∴FG ＝BC 边上的高＝3 6.3．解：(1)证明：由折叠的性质得∠1＝∠2，ED ＝EF ，GD ＝GF . ∵FG ∥CD ，∴∠1＝∠3，则∠2＝∠3，∴EF ＝GF ，(方法一)(如图①)∴ED ＝EF ＝GD ＝GF ，∴四边形DEFG 为菱形． (方法二)(如图①)∴ED ＝GF .又∵ED ∥GF ，∴四边形DEFG 为平行四边形． 又∵EF ＝GF ，∴▱DEFG 为菱形．(方法三)连接DF 交AE 于点O (如图②)，则EG ⊥DF ，DO ＝FO . ∵EF ＝GF ，EG ⊥DF ，∴OG ＝OE ，∴四边形DEFG 为平行四边形，∴▱DEFG 为菱形．(2)设DE ＝x ，则FE ＝DE ＝x ，CE ＝8－x . 在Rt △EFC 中，CF 2＋CE 2＝EF 2，即42＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝5，∴CE ＝8－x ＝3，∴CE DE ＝35.4．[答案] D 5．[答案] A 6．[答案]5110[解析] 设ED ＝x cm ，则根据折叠和矩形的性质，得A ′E ＝AE ＝(5－x )cm ，A ′D ＝AB ＝3 cm.根据勾股定理，得ED 2＝A ′E 2＋A ′D 2，即x 2＝(5－x )2＋32，解得x ＝175， ∴S △DEF ＝12×175×3＝5110(cm 2)．7．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE .由折叠的性质，可得∠AFE ＝∠CFE ，AF ＝CF ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AF ＝AE ，∴AF ＝CF ＝AE .又∵AD ′＝CD ，∠D ′＝∠D ，D ′E ＝DE ， ∴△AD ′E ≌△CDE ，∴AE ＝CE ， ∴AF ＝CF ＝AE ＝CE ，∴四边形AFCE 为菱形．(2)a ，b ，c 三者之间的数量关系为a 2＝b 2＋c 2.理由如下：由(1)知CE ＝AE . ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°. ∵AE ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，∴CE ＝AE ＝a . 在Rt △DCE 中，CE 2＝ED 2＋DC 2， 即a 2＝b 2＋c 2. 8．[答案] C 9．[答案] A10．[答案] 3[解析] 由折叠可知△CEF ≌△CEB ，∴FC ＝BC ＝3，∠ECF ＝∠ECB .由P ，Q 分别是矩形ABCD 的边AD ，BC 的中点，得∠FQC ＝90°.∵QC ＝12BC ＝12FC ，∴∠CFQ ＝30°，∴∠FCQ ＝60°，∴∠ECB ＝∠ECF ＝∠CFQ ＝30°，∴FG ＝CG ＝ 3.11．解：(1)证明：在矩形ABCD 中，AB ∥DC . ∵E 为AB 的中点，∴AE ＝BE .又由翻折知：EC ⊥BP ，EP ＝EB ＝AE ， ∴∠EAP ＝∠EP A ，∠EPB ＝∠EBP .在△ABP 中，∠EAP ＋∠EP A ＋∠EPB ＋∠EBP ＝180°， ∴∠EP A ＋∠EPB ＝∠APB ＝90°， ∴EC ∥AF ，∴四边形AECF 为平行四边形． (2)证明：∵△AEP 是等边三角形，∴AP ＝EP ＝AE ，∠P AB ＝∠AEP ＝∠APE ＝60°， ∴∠PEC ＝∠BEC ＝60°.由折叠的性质，得∠EPC ＝∠EBC ＝90°. 由(1)知∠APB ＝90°，∴∠APB ＝∠EPC ， ∴△APB ≌△EPC .(3)∵AB ＝6，BC ＝4，E 是AB 边的中点， ∴AE ＝BE ＝12AB ＝3.在Rt △BEC 中，EC ＝BE 2＋BC 2＝5， ∵四边形AECF 为平行四边形， ∴AF ＝EC ＝5.如图，设CE 与BP 交于点H . ∵BE ·BC ＝EC ·BH ， ∴BH ＝125，∴PH ＝BH ＝125，∴BP ＝245.在Rt △BP A 中，AP ＝AB 2－BP 2＝185，∴PF ＝75.过点C 作CG ⊥AF 交AF 的延长线于点G ，∴CG ＝PH ＝125，∴△CPF 的面积＝12PF ·CG ＝12×75×125＝4225.[点评] (1)抓住翻折图形的特点：对应边相等，对应角相等．进而抓住AE ＝BE ＝PE 的图形特点——A ，P ，B 三点构成的三角形是直角三角形．(2)本问考查等边三角形的性质、三角形内角和、全等三角形的判定等知识． (3)本问考查了平行四边形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识．12．[解析] C 设点A ，B 折叠后的对应点为M ，∵∠HEM ＝∠HEA ，∠FEB ＝∠FEM ， ∴∠HEF ＝∠HEM ＋∠FEM ＝12(∠AEM ＋∠BEM )＝12×180°＝90°.同理，∠EHG ＝∠HGF ＝90°，∴四边形EFGH 为矩形，∴EF ＝HG . ∵AD ∥BC ，∴∠DHF ＝∠HFB ， ∴∠DHG ＝∠BFE ， ∴Rt △BEF ≌Rt △DGH ，∴BF ＝HD .∵HA ＝HM ，BF ＝MF ，∴HD ＝MF ，∴AD ＝HA ＋HD ＝HM ＋MF ＝HF ＝EH 2＋EF 2＝122＋162＝20(cm)． 故选C.13．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB . 又由折叠的性质，知∠ABE ＝∠EBD ，∠CDF ＝∠FDB ，∴∠EBD ＝∠FDB ，∴EB ∥DF . 又∵ED ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．(2)∵四边形BFDE 是菱形，∴BE ＝ED ，∠EBD ＝∠FBD ＝∠ABE . ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝30°. ∵∠A ＝90°，AB ＝2，∴AE ＝2 33，BF ＝BE ＝2AE ＝4 33，∴菱形BFDE 的面积为4 33×2＝8 33.14．解：(1)证明：当DE 是折痕时，DE 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠EDC ＝∠AED ，∴AD ＝AE . 当EF 是折痕时，AE ＝EG ，∴AD ＝EG . 当CE 是折痕时，CH ＝BC .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∴EG ＝CH .(2)∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，∴DG＝FG＝AF＝2，DF＝2，∴AD＝AF＋DF＝2＋2. 由折叠知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°.∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE.又∵∠A＝∠B＝90°，AE＝AD＝BC，∴△AEF≌△BCE，∴AF＝BE，∴AB＝AE＋BE＝(2＋2)＋2＝2 2＋2.。
平行四边形折叠问题
平行四边形折叠问题
平行四边形折叠问题是一个几何问题，它涉及到将一个平行四边形沿着其边界线进行折叠，使得一些特定的条件得到满足。
具体来说，给定一个平行四边形，我们可以将它的两个相对边折叠在一起，形成一个三角形或者一个平行四边形。
问题的目标通常是找到能够实现特定条件的折叠方式。
有一些常见的平行四边形折叠问题，例如：
1. 平行四边形的对角线折叠问题：给定一个平行四边形，我们需要找到一种折叠方式，使得对角线之间的夹角保持不变。
2. 平行四边形的三角形折叠问题：给定一个平行四边形，我们需要找到一种折叠方式，使得折叠后形成的是一个三角形。
3. 平行四边形的正方形折叠问题：给定一个平行四边形，我们需要找到一种折叠方式，使得折叠后形成的是一个正方形。
对于这些问题，一般可以通过几何知识和数学推理来解决。
可以使用平行四边形的性质、角度关系、对称性等来推导出正确的折叠方式。
解决特殊平行四边形中折叠问题的4种方法
解决特别平行四边形中折叠问题的4种方法►方法一用方程思想解决特别平行四边形中的折叠问题1、如图1－ZT－１,将矩形AＢCD沿EＦ折叠,使顶点C恰好落在ＡB边的中点Ｃ′上、若ＡＢ=6,BC＝９,则ＢＦ的长为()图1－ZT-1Ａ、4 B、3 2C、4、５D、５2、把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图1－ZT-2所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为ＥF、若AＢ＝3 cm,BＣ＝５cm,则重叠部分△ＤEＦ的面积是______＿＿cm2、:学*科＊网Ｚ＊X＊X*K]图1－ZＴ—２３。
如图１－ZT—3,将长方形纸片ABＣD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且点D落在对角线D′处、若AB＝3,ＡＤ＝4,则ED的长为()图1—ＺT-３A、＼f(3,2)B、3C。
１D。
＼f(４,3)［来源:1]4。
如图1-ZT-４,折叠矩形ABCD的一边AＤ,使点D落在BC边上的点F处,已知折痕AE=5 5 ｃm,且EC∶ＦC=BF∶AB=3∶４、那么矩形ABCD的周长为______＿＿cｍ、图１—ZＴ-4５、如图1-ZT—５,在矩形ＡBCD中,点E在边ＣD上,将该矩形沿ＡE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作ＦG∥CD,交AE于点G,连接DG、(1)求证:四边形DEFＧ为菱形;(２)若ＣD=8,CF＝4,求CEDＥ的值。
图1-ZT-５►方法二用数形结合思想解决特别平行四边形中的折叠问题6。
如图1—ＺT—6,在矩形ABCＤ中,AB＝4,BＣ=6,Ｅ为BC的中点,将△ABＥ沿AＥ折叠,使点Ｂ落在矩形内点F处,连接CF,则ＣＦ的长为()图1－ZT-6A、95B。
＼f(1２,5)C、＼f(1６,５)D、＼f(18,5)7。
如图１—ZT－7,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AＥ折叠(点E在边ＤC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处、若点Ｄ的坐标为(10,８),则点E的坐标为＿＿______、图1-ZT－78、如图１－ZT－8,在矩形ABＣD中,AＢ=6 cｍ,E,F分别是边BC,AＤ上一点,将矩形AＢCD沿ＥF折叠,使点C,Ｄ分别落在点C′,D′处、若Ｃ′E⊥ＡD,则ＥＦ的长为＿＿______ｃm。
专题07 特殊的平行四边形中折叠问题(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(人教版)
2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题07 特殊的平行四边形中折叠问题【典型例题】1．如图所示，长方形纸片ABCD 的长AD =8cm ，宽AB =4cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合. （1）求证：BE =BF ；（2）求折叠后DE 的长；（2）求以折痕EF 为边的正方形面积.【答案】（1）证明见解析；（2）5cm ；（3）20cm 2.【详解】（1）在长方形ABCD 中，AD //BC ，DEF EFB ∴∠=∠，DEF BEF ∠=∠，EFB BEF ∴∠=∠，∴ BE =BF ，设DE =x cm ，则BE =x cm ，AE =()8x cm -，在Rt ABE △中，由勾股定理()22248x x +-=， ∴5x =，即DE 的长为5cm ．（2）过E 作EH BF ⊥于点H ，则EH =AB =4，BH =AE =3，∴ HF =BF -BH =5-3=2，∴2222420EF =+=，∴ 以EF 为边长的正方形的面积为220cm ．【专题训练】一、选择题1．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）A B ．2 C ．D ．4【答案】B【分析】 根据菱形的性质证明∴ABD 是等边三角形，求得BD =4，再证明EF 是∴ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BD 平分∴ABC ，4AB BC CD DA ==== ∴∴111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒ ∴AB AD =∴∴ABD 是等边三角形，∴ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又∴BD AC ⊥，∴//EF BD∴EF 为∴ABD 的中位线， ∴122EF BD == 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．2．如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点C 折叠纸片，使点C 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为1，则FM 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．12【答案】B【分析】根据翻折得到1FB BC ==，12BM =，在Rt BFM 中，可利用勾股定理求出FM 的值． 【详解】 解：四边形ABCD 是正方形， 1AB BC ∴==，由折叠的性质可知，1FB BC ==，1122BM AB ==， 在Rt BFM 中，由勾股定理得：2FM ===． 故选：B ．【点睛】本题考查翻折、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（ ）A ．1B ．2CD 【答案】D【分析】 根据菱形及矩形的性质可得到∴BAC 的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC 的长．【详解】解：∴四边形AECF 为菱形，∴∴FCO =∴ECO ，EC =AE ，由折叠的性质可知，∴ECO =∴BCE ，又∴FCO +∴ECO +∴BCE =90°，∴∴FCO =∴ECO =∴BCE =30°，在Rt ∴EBC 中，EC =2EB ，又∴EC =AE ，AB =AE +EB =3，∴EB=1，EC=2，∴Rt∴BCE中，BC ，故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．4．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E，F分别在边AB，CD上，∴EFC=120°．若将四边形EBCF沿EF 折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（）A．2B C D．1【答案】A【分析】依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到∴AEB'=60°，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AE的长．【详解】解：∴四边形ABCD是正方形，∴AB∴CD，∴A=90°，∴∴BEF=180°-∴EFC=60°，∴将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∴BEF=∴FEB'=60°，BE=B'E，∴∴AEB'=180°-∴BEF-∴FEB'=60°，∴∴AB'E=30°，∴B'E=2AE，设AE=x，则B'E=2x=BE，∴AB=6，∴x+2x=6，解得x=2．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．5．如图，菱形ABCD中，∴ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将∴CDE沿CE折叠，得到∴CFE，则∴BCF 面积的最大值是（）A．8B．C．16D．【答案】A【分析】由三角形底边BC是定长，所以当∴BCF的高最大时，∴BCF的面积最大，即当FC∴BC时，三角形有最大面积．【详解】解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4又∴将∴CDE沿CE折叠，得到∴CFE，∴FC=CD=4由此，∴BCF的底边BC是定长，所以当∴BCF的高最大时，∴BCF的面积最大，即当FC∴BC时，三角形有最大面积∴∴BCF面积的最大值是11448 22BC FC=⨯⨯=故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键． 6．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C ′上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为（ ）cm ．A 32B ．52CD ．32【答案】A【分析】探究点E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．【详解】解：如图1中，∴四边形ABCD 是矩形，∴AB ∴CD ，∴∴1=∴3，由翻折的性质可知：∴1=∴2，BM =MB ′，∴∴2=∴3，∴MB ′=NB ′，∴NB '==cm ），∴BM NB '==（cm ）．如图2中，当点M 与A 重合时，同理可得：AE =EN ，设AE =EN =x cm ，在Rt ∴ADE 中，则有2222(4)=+-x x ，解得x =52， ∴53422DE =-=（cm ）， 如图3中，当点M 运动到MB ′∴AB 时，DE ′的值最大，DE ′=5-1-2=2（cm ），如图4中，当点M 运动到点B ′落在CD 时，DB ′（即DE ″）51(4=-=（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径3322(4)22EE E B '''=+=-+-=（cm ）． 故选：A ．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二、填空题7．如图a 是长方形纸带，∴DEF =22°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∴CFE 的度数是________°．【答案】114°【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∴EFB=∴DEF，再根据翻折的性质，图c中∴EFB处重叠3层，然后根据∴CFE=180°-3∴EFB代入数据行计算即可得解【详解】∴∴DEF =22°长方形ABCD的对边AD//BC∴∴EFB=∴DEF=22°由折叠，∴EFB处折叠了3层∴∴CFE=180° -3∴EFB=180°—3 × 22°=114°故答案为:114°【点睛】本题考查折叠问题，熟知折叠中蕴含着全等，有相等的角与边进行分析是关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC 边上的点F处，则CE＝_____．【答案】4 3【分析】由折叠求出BF和CF，再设CF＝x，在∴CEF中用勾股定理列方程即可得答案．【详解】解：∴矩形ABCD沿AE折叠，AB＝3，AD＝5，∴AF＝AD＝5，∴B＝∴C＝90°，DE＝EF，∴BF4，∴CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则EF＝DE＝3﹣x，在Rt∴CEF中，CE2＋CF2＝EF2，∴x2＋12＝（3﹣x）2，解得x＝43，∴CE＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查矩形性质及勾股定理应用等知识，解题的关键是在Rt∴CEF中用勾股定理列方程．9．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若32NEC FMN∠=︒∠=，_____︒．【答案】119【分析】根据正方形的性质得到∴A=∴C=∴D=90°，根据折叠的性质得到∴F=∴A=90°，∴FEN=∴C=90°，∴DNM=∴ENM，根据平角的定义得到∴ENM=12（180°-∴ENC）=12（180°-58°）=61°，根据四边形的内角和即可得到结论．【详解】解：∴四边形ABCD是正方形，∴∴A=∴C=∴D=90°，∴将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，∴∴F=∴A=90°，∴FEN=∴D=90°，∴DNM=∴ENM，∴∴NEC=32°，∴∴ENC=58°，∴∴ENM=12（180°-∴ENC）=12（180°-58°）=61°，∴∴FMN =360°-90°-90°-61°=119°，故答案为：119．【点睛】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．10．对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B ，B '两点重合，MN 是折痕．若1B M '=，则CN 的长为_______．【答案】4【分析】连接AC 、BD ，如图，利用菱形的性质得132OC AC ==，142OD BD ==，90COD ∠=︒，再利用勾股定理计算出5CD =，接着证明OBM ODN ∆≅∆得到DN BM =，然后根据折叠的性质得1BM BM'==，从而有1DN =，于是计算CD DN -即可．【详解】解：连接AC 、BD ，如图，点O 为菱形ABCD 的对角线的交点，132OC AC ∴==，142OD BD ==，90COD ∠=︒， 在Rt COD ∆中，5CD ==，//AB CD ，MBO NDO ∴∠=∠，在OBM ∆和ODN ∆中MBO NDO OB ODBOM DON ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， OBM ODN ∴∆≅∆，DN BM ∴=，过点O 折叠菱形，使B ，B ′两点重合，MN 是折痕，1BM BM'∴==， 1DN ∴=，514CN CD DN ∴=-=-=，故答案为：4．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．11．如图，矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把ABE △沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，当CEF △为直角三角形时，CF 的长为________．【答案】4或【分析】当CEF △为直角三角形时，有两种情况：①当点F 落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC ，先利用勾股定理计算出10AC =，根据折叠的性质得90AFE B ∠=∠=︒，而当CEF △为直角三角形时，只能得到90EFC ∠=︒，所以点A 、F 、C 共线，即B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，则,6EB EF AB AF ===，可计算出CF ； ②当点F 落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEF 为正方形，根据勾股定理计算出CF ．【详解】解：当CEF △为直角三角形时，有两种情况：①当点F 落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC ，在Rt ABC 中，6,8AB BC ==，∴10AC =，∴B 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，∴90AFE B ∠=∠=︒，当CEF △为直角三角形时，只能得到90EFC ∠=︒，∴点A 、F 、C 共线，即B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴,6EB EF AB AF ===，∴1064CF =-=；②当点F 落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEF 为正方形，∴6,862BE AB CE ===-=，∴CF =综上所述，CF 的长为4或．故答案为：4或．【点睛】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．解题的关键是要注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．12．如图，在正方形ABCD 中，12AB =，点E 在边CD 上，3CD DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ．有下列结论：①ABG AFG ≅；②BG GC =；③//AG CF ；④6FGC S =△．其中正确的结论是__________．（填序号）【答案】①②③【分析】由正方形的性质和折叠的性质得出AB =AF ，∴AFG =90°，由HL 证明Rt ∴ABG ∴Rt ∴AFG ，得出①正确；设BG =FG =x ，则CG =12-x ．由勾股定理得出方程，解方程求出BG ，得出GC ，即可得出②正确；由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∴AGB =∴AGF =∴GFC =∴GCF ，得出AG ∴CF ，即可得出③正确；通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果．【详解】解：①正确．理由如下：四边形ABCD 是正方形，12AB BC CD AD ∴====，90B GCE D ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质得：AF AD =，90AFE D ∠=∠=︒，90AFG ∴∠=︒，AB AF =，在Rt ABG △和Rt AFG △中，AG AG AB AF=⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)ABG AFG ∴≅△△；②正确．理由如下： 由题意得：143EF DE CD ===，设BG FG x ==，则12CG x =-． 在直角ECG 中，根据勾股定理，得222(12)8(4)x x -+=+，解得：6x =，6BG ∴=，1266GC ∴=-=，BG GC ∴=；③正确．理由如下：CG BG =，BG GF =，CG GF ∴=，FGC ∴△是等腰三角形，GFC GCF ∠=∠．又∴Rt Rt ABG AFG ≅△△，AGB AGF ∴∠=∠，218022+==︒-=+==∠∠∠∠∠∠∠∠AGB AGF AGB FGC GFC GCF GFC GCF ，AGB AGF GFC GCF ∴∠=∠=∠=∠，//AG CF ∴；④错误；理由如下：11682422GCE S GC CE =⋅=⨯⨯=△， 6GF =，4EF =，GFC 和FCE △等高，:3:2GFC FCE S S ∴=△△，37224655GFC S ∴=⨯=≠△． 故④不正确．∴正确的个数有①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度．三、解答题13．如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD ＝10cm ，宽 AB ＝5cm ，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后AE 的长是多少？【答案】154cm【分析】设DE ＝x ，根据折叠的性质可得BE ＝x ，表示出AE ＝10−x ，然后在Rt ∴ABE 中，利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：设 DE ＝xcm ，则BE ＝xcm ，∴AE ＝（10﹣x ）cm ，∴在 Rt ∴ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴52＋（10﹣x ）2＝x 2，∴解得：x ＝254， ∴AE ＝10﹣254＝154cm 答：折叠后AE 的长是154cm ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 14．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B D ，重合），折痕为EF ，若26DG BG ==，，求AF 的长.【答案】AF 的长为267． 【分析】 作FH BD ⊥于点H ，通过菱形的性质和折叠的性质证明ABD △为等边三角形，设AF x =，则FG x =，8DF x =-，在Rt DFH 中，利用特殊角表示出DH ,FH ，最后在Rt FHG 中利用勾股定理即可求解．【详解】如图，作FH BD ⊥于点H ．由折叠的性质可知，FG FA =．由题意，得8BD DG BG =+=．∴ 四边形ABCD 是菱形． ∴1602AD AB ABD CBD ABC =∠=∠=∠=︒，， ∴ABD △为等边三角形，∴8AD BD ==．设AF x =，则FG x =，8DF x =-，在Rt DFH 中，∴60FDH ∠=︒，∴()118422DH x x =-=-，)822FH x x =-=， ∴1222HG DH x =-=-． 在Rt FHG 中，222FG FH GH =+，即222122x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得267x =， ∴AF 的长为267． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握菱形的性质，勾股定理及方程的思想是解题的关键．15．如图，正方形纸片ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，将AB 、AD 分别沿AE 、AF 折叠，点B 、D 恰好都在点G 处，已知2BE =，求FC 的长．【答案】3【分析】因为正方形ABCD 的边长为6，由图形折叠可得=2BE EG =，624EC =-=，6DF FG x ==-， 再利用勾股定理进行计算即可.【详解】解：设FC x =，由图形折叠可得=2BE EG =，624EC =-=，6DF FG x ==-，在直角ECF ∆中，∴222EF EC CF =+，∴222(426)x x +-=+，解得3x =，∴3=FC ．【点睛】此题考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段．16．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）30.【解析】试题分析：（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB =CD ，AD ∴BC ，∴ANF =90°，∴CME =90°，易得AN =CM ，可得∴ANF∴∴CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8-x，CM=10-6=4，在Rt∴CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．试题解析：（1）证明：∴折叠，∴AM=AB，CN=CD，∴FNC=∴D=90°，∴AME=∴B=90°，∴∴ANF=90°，∴CME=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∴BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在∴ANF和∴CME中，{FAN EMC AN CMANF CME∠=∠=∠=∠，∴∴ANF∴∴CME（ASA），∴AF=CE，又∴AF∴CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∴AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt∴CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．17．如图1．将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在A'处，然后将矩形展平，沿EF折叠使点A落在折痕DE 上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图2．（1）求证：EG＝CH；（2）已知AF∴CDE的面积．【答案】（1）见解析；（2）∴CDE的面积＝4+【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质可得AD AE BC ==，AE EG =，BC CH =，可得结论；（2）由折叠的性质可知45ADE ∠=︒，90FGE A ∠=∠=︒，AF =，那么DG =，利用勾股定理求出2DF =，于是可得2AD AF DF =+=；再利用AAS 证明AEF BCE △≌△，得到AF BE =，于是22AB AE BE =+=+=，即可求解．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形， AD BC ∴=，将矩形ABCD 沿DE 折叠使点A 落在A '处，AD A D '∴=，AE A E '=，45ADE A DE '∠=∠=︒，45ADE AED ∴∠=∠=︒，AD AE ∴=，AE BC ∴=，由折叠的性质可得AE EG =，BC CH =，EG CH ∴=；（2）45ADE ∠=︒，90FGE A ∠=∠=︒，AFDG ∴=2DF =，2AD AF DF ∴=+；由折叠知AEF GEF ∠=∠，BEC HEC ∠=∠，90GEF HEC ∴∠+∠=︒，90AEF BEC ∠+∠=︒，90∠+∠=︒AEF AFE ，BEC AFE ∴∠=∠，在AEF 与BCE 中，90AFE BEC A B AE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()AEF BCE AAS ∴△≌△，AF BE∴=，22AB AE BE CD ∴=+=+==，CDE ∴的面积11(2(24 22CD AD=⨯⨯=⨯+⨯=+【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识．18．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF 折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∴BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）当∴BAE=30°时，四边形AECF是菱形【分析】（1）首先证明∴ABE∴∴CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；（2）由折叠性质得到∴BAE=∴CAE=30°，求得∴ACE=90°-30°=60°，即∴CAE=∴ACE，得到EA=EC，于是得到结论．【详解】（1）∴四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∴BC，∴B=∴D=90°，∴BAC=∴DCA．由翻折的性质可知：∴EAB=12∴BAC，∴DCF=12∴DCA．∴∴EAB=∴DCF．在∴ABE和∴CDF中B DAB CDEAB DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴∴ABE∴∴CDF（ASA），∴DF=BE．∴AF=EC．又∴AF∴EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）当∴BAE=30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∴BAE=∴CAE=30°，∴∴B=90°，∴∴ACE=90°-30°=60°，即∴CAE=∴ACE，∴EA=EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．19．探究：如图①点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连结AE、AF、EF，将∴ABE、∴ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与∴AEF完全重合的三角形．若BE＝2，DF＝3，求AB的长；拓展：如图②点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，且∴B＝∴D＝90°．连结AE、AF、EF将∴ABE、∴ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与∴AEF完全重合的三角形．若∴EAF＝30°，AB＝4，则∴ECF的周长是．【答案】探究：AB＝6；拓展：．3【分析】探究：设：正方形的边长为a，则EC=a-2，CF=a-3，则由勾股定理得：EF2=EC2+CF2，即可求解；拓展：证明∴ABC∴∴ADC，∴BAE+∴DAF=∴EAF=30°，则∴BAD=60°，∴BAC=∴DAC=12（∴BAD）=30°，CD=BC=ABtan∴BAC，即可求解．【详解】探究：设：正方形的边长为a，则EC＝a﹣2，CF＝a﹣3，则EF＝BE+DF＝5，则EF2＝EC2+CF2，即：25＝（a﹣2）2+（a﹣3）2，解得：a＝6或﹣1（舍去﹣1），故AB＝6；拓展：由题意得：AB＝CD＝4，连接AC，∴AB＝CD，AC＝AC，∴∴ABC∴∴ADC，∴BC＝CD，∴BAC＝∴DAC，∴点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，故：∴BAE+∴DAF＝∴EAF＝30°，则∴BAD＝60°，∴∴BAC＝∴DAC＝12（∴BAD）＝30°，CD＝BC＝ABtan∴BAC＝4∴ECF的周长＝EF+EC+FC＝AE+FD+EC+FC＝AC+CD＝2CD，故答案为：3． 【点睛】 本题考查的是翻折变换（折叠问题），涉及到正方形的性质、三角形全等等，其中（2）证明∴ABC ∴∴ADC ，是本题解题的关键．20．(1)如图1，将矩形ABCD 折叠，使AB 落在对角线AC 上，折痕为AE ，点B 落在点1B 处，若66DAC ∠=︒，则BAE ∠= º;(2)小丽手中有一张矩形纸片，9AB =，4=AD .她准备按如下两种方式进行折叠:①如图2，点F 在这张矩形纸片的边CD 上，将纸片折叠，使点D 落在边AB 上的点1D 处，折痕为FG ，若5DF =，求AG 的长;②如图3，点H 在这张矩形纸片的边AB 上，将纸片折叠，使HA 落在射线HC 上，折痕为HK ，点A ，D 分别落在1A ，2D 处，若73DK =，求1AC 的长. 【答案】（1）12；（2）①AG =32;②13A C = 【分析】 （1）由折叠的性质可得∴BAE ＝∴CAE ＝12°；（2）①过点F 作FH ∴AB 于H ，可证四边形DFHA 是矩形，可得AD ＝FH ＝4，由勾股定理可求D 1H ＝3，由勾股定理可求AG 的长；②首先证明CK ＝CH ，利用勾股定理求出BH ，可得AH ，再利用翻折不变性，可知AH ＝A 1H ，由此即可解决问题.【详解】解：（1）∴∴DAC ＝66°，∴∴CAB ＝24°∴将矩形ABCD 折叠，使AB 落在对角线AC 上，∴∴BAE＝∴CAE＝12°故答案为：12；（2）如图2，过点F作FH∴AB于H，∴∴D＝∴A＝90°，FH∴AB∴四边形DFHA是矩形∴AD＝FH＝4，∴将纸片ABCD折叠∴DF＝D1F＝5，DG＝D1G，∴D 1H2225163FH，∴AD1＝2∴AG2＋D1A2＝D1G2，∴AG2＋4＝（4−AG）2，∴AG＝32；②∴DK＝73，CD＝9，∴CK＝9−73＝203，∴四边形ABCD是矩形，∴DC∴AB，∴∴CKH＝∴AHK，由翻折不变性可知，∴AHK＝∴CHK，∴∴CKH＝∴CHK，∴CK＝CH＝203，∴CB＝AD＝4，∴B＝90°，∴在Rt∴CDF中，BH22400161693BC，∴AH＝AB−BH＝11 3，由翻折不变性可知，AH＝A1H＝11 3，∴A1C＝CH−A1H＝3．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题，属于中考压轴题．。
2024年北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形专项突破2特殊平行四边形的折叠问题
7. 如图，将矩形 ABCD 对折，使边 AB 与 DC ， BC 与 AD 分
别重合，展开后得到四边形 EFGH . 若 AB ＝2， BC ＝4，
则四边形 EFGH 的面积为(
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
1
2
3
4
5
B
6
)
7
8
9
10
11
8. 如图，正方形 ABCD 的边长为3， E 为 BC 边上一点， BE
∴四边形 AGEF 的面积＝ S正方形 ABCD － S△ ADF － S△ ECF －
S△ GBE ＝32－ ×3× － ×2× － ×1× ＝9－1－
－ ＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. [教材P28复习题T15变式]如图，将矩形 ABCD 沿对角线
设 CF ＝ a ，则 DF ＝ CD － CF ＝3－ a .
由折叠的性质可知 AG ＝ EG ， AF ＝ EF .
在△ ECF 和△ ADF 中，
∵ AF2＝ AD2＋ DF2， EF2＝ CE2＋ CF2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
∴ AD2＋ DF2＝ CE2＋ CF2，即32＋(3－ a )2＝22＋ a2，
则 DE 长为(
A
)
A. 5
B. 3
C. 5
九年级数学 第一章 特殊平行四边形专题课堂(二)特殊平行四边形中的折叠问题
证明：由折叠可知△MOP≌△MNP，∴OM＝MN，∠OMP＝∠NMP ＝21 ∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°，∴∠BOP＝∠MOP ＝90°.∵OP＝OP，∴△MOP≌△BOP(AAS).∴MO＝BO＝21 BM.∴MN ＝21 BM
FG＝AF＝ 2 ，∴DG＝FG＝ 2 ，DF＝ DG2＋FG2 ＝2，∴AD＝AF＋DF ＝ 2 ＋2.由折叠可知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠AEF＋∠BEC ＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE，在△AEF 与△BCE
∠AFE＝∠BEC， 中，∠A＝∠B＝90°， ∴△AEF≌△BCE(AAS)，∴BE＝AF＝ 2 ，∴AB
则 AC 的长是( B )
A．3 3 B．6 C．4 D．5
第7题图
8．如图，将边长为 6 cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边中点 E 处，点 C 落在点 Q 处，折痕为 FH，则线段 AF 的长是___94____cm.
第8题图
9．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠 正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为____1_3_．
折痕BE，BF，则∠EBF的大小为( C)
A．15° B．30° C．45° D．60°
第2题图
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，
点A恰好落在BD上的点F处，连接CF，那么∠BFC的度数是( ) C
A．60° B．70° C．75° D．80°
第3题图
6．如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中
点 C′上．若 AB＝6，BC＝9，则 BF 的长为( A )
北师大版九年级数学上学期题型全攻略专题01 特殊平行四边形中的折叠问题全梳理(解析版)
专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (16)【课后练习】 (28)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。
【考法一、矩形翻折问题】例．如图，在矩形OABC 中8AB =，4BC =，点D 为对角线OB 中点，点E 在OC 所在的直线上运动，连结DE ，把ODE 沿DE 翻折，点O 的对应点为点F ，连结BF ．(1)当点F 在OC 下方时（如图1），求证：DE BF ∥．(2)当点F 落在矩形的对称轴上时，求EF 的长．(3)是否存在点E ，使得以D ，E ，F ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求OE 的长；若不存在，请说明理由．当四边形△中，在Rt ABO222=+=OB AB AO8BC OC⊥∴∥，且D为OBDM BC中位线，DM∴为OCBOE EF BD DO ∴==，，25OE OD ∴==；如图，当四边形DEBF 为平行四边形时，DF OD BE ∴=，25BE ∴=，在Rt BEC △中，EC =826OE ∴=-=；DF OD BD DF == ，25BE OD ∴==，在Rt BCE 中，2CE BE =-在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．【初步思考】（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）当点P与点A重合时，DEF∠=_____︒，当点E与点A重合时，DEF∠=______︒；【深入探究】（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图②），且点E、F分别在AD、DC边上，AP的最小值是______；【拓展延伸】（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；45（2）2（3）存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等，线段AE的长度为65或4211【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则EF平分DAB∠，即可得出答案；（2）当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求8CD PC==，由勾股定理求10AC=，即可得出结果；（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90DAB D∴∠=∠=︒，当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，90DEF∴∠=︒，当点E与点A重合时，如图，则EF平分DAB∠，==，则AF=设DF PF x当A，P，F在一直线上时，当x最大为8时，AP最小值为四边形ABCD是矩形，A ADC B∴∠=∠=∠=90∠由折叠的性质得：EPM ，AM DE=∴=，AM EP四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠=︒，DAM ADC B90∠=∠由折叠的性质得：EPC ADC ∴∠=∠=︒，GAM GPE90变式2．【问题情境】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．【动手操作】步骤1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展平纸片；步骤2：点M 为边AD 上任意一点（与点A ，D 不重合），ABM 沿BM 折叠得到A BM '△，折痕BM 交EF 于点N ．【问题探究】（1）如图1，当点A 的对称点A '落在EF 上时，连接AN ．求证：四边形ANA M '为菱形；（2）已知2BC AB =，继续对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，折痕GH 与EF 交于点O ．将ABM 沿BM 折叠，连接MO ，若点A 的对称点A '恰好落在线段MO 上，此时2AM =．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A 的对称点A '（保留作图痕迹，不写作法）；②求AB 的长度；【拓展迁移】如图3，在矩形纸片ABCD 的边AB 上取一点P ，折叠纸片，使P ，B 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；点B '为EF 上任意一点（与点E ，F 不重合），折叠纸片使B ，B '两点重合，得到折痕l 及点P 的对应点P '，折痕l 交EF 于点K ，展平纸片，连接BP '，KP '．（3）猜想P B K ∠'与BC P '∠的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6AB =；（3）3P BC BP K ''∠∠＝，理由见解析【分析】（1）根据折叠可得出NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，，证明AD EF ∥，利用平行线的性质得出AMB MNA '∠=∠，则A MB MNA ''∠=∠，利用等角对等边得出MA NA ''=，即可得证；（2）①以M 为圆心，MA 为半径画弧交MO 于A '即可；②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出2BH AB A B AG OG '====，证明()HL OA B OHB ' ≌，得出OA OH OG '==，在Rt MGO △中，根据勾股定理，可求出OG ，进而求出AB ；（3）连接PK ，BK ，延长BK 交P B ''于点M ，可证明EB B MBB ''≌ ，得出BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可得BK PK P K B K ''===，利用等边对等角和三线合一的性质可得出P BK BP K ''∠=∠，KBB KB B ''∠=∠，MB MP ''=，利用线段垂直平分线的性质BP BB ''=，利用三线合一性质可得出P BK KBB ''∠=∠，则P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）中BC EF ∥，可得出B BC KB B ''∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：连接AA '，∵ABM 沿BM 折叠，得到A BM '△，∴BM 垂直平分AA '，∴NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，由折叠可知：AEF BEF ∠=∠，∵180AEF BEF ∠+∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=︒，∴90BEF DAB ∠=∠=︒，∴AD EF ∥，∴AMB MNA '∠=∠，∴A MB MNA ''∠=∠，∴MA NA ''=，∴MA NA NA MA ''===，∴四边形ANA M '为菱形；点A'即为所求，解：连接BO，由折叠可知：AB A B'=，MA 由（1）得90∠=∠=︒GHB HGA∵l为折痕，∴P B B PBB'''∠=∠，BP B P''=，l ∴KP KP'=，=，KB KB'∴KBB KB B''∠=∠，∵B B BB''=，∴BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可知：KP KB =，EP EB =，90FEB ∠=︒，∴KP KB '=，KP KB ''=∴P BK BP K ''∠=∠，MB MP ''=∴BP BB ''=，∴P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）可知BC EF ∥，∴B BC KB B ''∠=∠，∴3P BC BP K ''∠=∠．【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．变式3．如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 上的一点，连接DE ．(1)若DE 平分ADC ∠，点G 是CD 上的一点，连接EC ，EG ，且EC EG =．过点C 作CQ EG⊥于Q ，CQ 延长线交ED 于H ，过点H 作HP CD ⊥于P ，如图．①填空：AED △的形状是______三角形；②求证：PHC BEC△△≌(2)将图1的矩形ABCD 画在纸上，若DE 平分ADC ∠，沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，如图．求证：MC ME '=．(3)如图，延长DE 交CB 的延长线于点K 使得AB BK =，此时恰好BE BC =，连接AC 交DK 于点J ，连接BJ ．请证明：KJ AJ BJ >+．【答案】(1)①等腰直角；②见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得45AED ADE ∠=∠=︒，进而得出结果；②可证得BCE PCH ∠=∠，EC HC =，90HPC B ︒∠=∠=，进而得出结论；（2）连接C E '，可证得Rt Rt EC A C EB ''' ≌，可得C EA EC B '''∠=∠，根据等角对等边即可得出结论；（3）在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，可证KBE ABC ≌△△，得BKE BAC ∠=∠，在证KBI ABJ ≌△△，得KBI ABJ ∠=∠，90IBJ KBA ︒∠=∠=，得出IJ BJ >，进一步得出结论．【详解】（1）① 四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴1452ADE ADC ∠=∠=︒，∴9045AED ADE ∠=︒-∠=︒，∴AED ADE ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △等腰直角三角形，故答案为：等腰直角②证明：如图，过点E 作EW CD ⊥于W ．EC EG = ，EGC ECG ∴∠=∠，CH EG ⊥ ，90HCP EGC ∴∠+∠=︒，90BCE ECG ∠︒∠+= ，BCE PCH ∴∠=∠，45EDW DEW ∠︒∠== ，45EHC EDW PCH PCH ∴∠=∠︒+∠=+∠，DEC DEW CEW ∠=∠+∠，EW BC ∥，BCE CEW PCH ∴∠=∠=∠，DEC EHC ∴∠=∠，EC HC ∴=，90HPC B ∠=∠=︒PHC BEC ∴△△≌．（2）证明：如图，连接C E '，由（1）知，AED △为等腰直角三角形，AD AE ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，AE B C ''∴=，EAC B ''∠=∠，又EC C E ''=，在Rt EC A '△和Rt C EB ''△中，EC C E ''=，AE B C ''=，∴Rt Rt EC A C EB ''' ≌，C EA EC B '''∴∠=∠，MC ME '∴=．（3）如图，在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，在AJB 与KIB △中，BK AB =，ABC ABK ∠=∠，BE BC =，KBE ABC ∴△△≌，BKE BAC ∴∠=∠．KI AJ = ，BK AB =，BKE BAC ∠=∠，KBI ABJ ∴△△≌，KBI ABJ ∴∠=∠，90IBJ IBA ABJ IBA KBI KBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，IBJ ∴△为直角三角形，IJ BJ ∴>，KJ AJ BJ ∴>+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。
小专题(九) 特殊平行四边形中的折叠与最值问题
第5题图
5.如图，在矩形纸片 中， ， ，点 为 边上的动点（点 不与点 ， 重合）.将纸片沿 折叠，则 的最小值为___．
8
第6题图
6.如图，正方形纸片 的边长为4， ， ， 分别是边 ， ， 上的一点，将纸片沿 折叠，使点 恰好落在 边的中点 处，点 的对应点为点 ，则折痕 的长为_____.
解：作点 关于直线 的对称点 （易知点 在 上），连接 ，交 于点 ，连接 ,则 , .
.此时点 即为所求的使 最小的点.∵正方形 的边长为4， ， 为 的中点， ， . .
过点 作 于点 ,则 .∵四边形 是正方形， .∴四边形 是矩形. ， . .∴在 中， . 的最小值为 .
第3题图
3.如图，在矩形纸片 中， ，将 向内翻折，点 落在 上，记为 ，折痕为 .若将 沿 向内翻折，点 恰好落在 上，记为 ，则下列结论不正确的是( )
D
A. B. C. D.
第4题图
4.（2022·雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠.若 ， ，那么阴影部分的面积为_ __.B来自A. B. C. D.
第2题图
2.（2021·遵义）如图，将矩形纸片 的两个直角进行折叠，使 ， 恰好落在对角线 上， ， 分别是 ， 的对应点，折痕分别为 ， ．若 ， ，则线段 的长是( )
D
A. B. C. D.
【例2】（2022·河南改编）（教材P64“数学活动”变式）如图，对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；再次折叠纸片，使点 落在
上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ， .请你猜想 的度数是多少，并证明你的结论.
解：猜想： .证明：连接 .∵直线 是 的垂直平分线，点 在 上，
北师大版数学九年级上册：第一章 特殊平行四边形——特殊平行四边形的折叠问题(含答案)
第一章特殊平行四边形特殊平行四边形的折叠问题▶类型一菱形中的折叠问题1.对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图1-ZT-1所示,O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B,B'两点重合,MN是折痕.若B'M=1,则CN的长为()图1-ZT-1A.7B.6C.5D.42.如图1-ZT-2,将菱形ABCD折叠,使点B落在AD边上的点F处,折痕为CE.若∠D=70°,则∠AEF=°.图1-ZT-23.如图1-ZT-3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B,D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为.图1-ZT-3▶类型二矩形中的折叠问题4.[2020·枣庄]如图1-ZT-4,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE 折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是()图1-ZT-4A.3√3B.4C.5D.65.[2020·青岛]如图1-ZT-5,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的长为()图1-ZT-5A.√5B.32√5C.2√5D.4√56.[2020·衢州]如图1-ZT-6,把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF,若BC=1,则AB的长度为()图1-ZT-6A.√2B.√2+12C.√5+12D.437.如图1-ZT-7,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E为AD的中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF 折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,求折痕EF的长.图1-ZT-7▶类型三正方形中的折叠问题8.[2020·广东]如图1-ZT-8,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上的点B'处,则BE的长度为()图1-ZT-8A.1B.√2C.√3D.29.如图1-ZT-9,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A的坐标为(0,2),E是线段BC上一点,且∠AEB=67.5°,沿AE折叠正方形后点B落在点F处,那么点F的坐标为.图1-ZT-9参考答案1.D [解析] 连接AC ,BD ,如图.∵O 为菱形ABCD 对角线的交点,∴OC=12AC=3,OB=OD=12BD=4,∠COD=90°.在Rt △COD 中,CD=√32+42=5. ∵AB ∥CD ,∴∠MBO=∠NDO. 又∵∠BOM=∠DON ,OB=OD , ∴△OBM ≌△ODN ,∴DN=BM.∵过点O 折叠菱形ABCD ,使B ,B'两点重合,MN 是折痕, ∴BM=B'M=1,∴DN=1, ∴CN=CD-DN=5-1=4.故选D .2.30 [解析] ∵四边形ABCD 是菱形,∠D=70°, ∴∠B=70°,∠A=110°.∵将菱形ABCD 折叠,使点B 落在AD 边上的点F 处, ∴∠B=∠EFC=70°,CF=BC=CD , 则∠CFD=∠D=70°, ∴∠AFE=180°-70°-70°=40°,∴∠AEF=180°-∠A-∠AFE=30°.故答案为30. 3.2.8[解析] 如图,过点E 作EH ⊥BD 于点H.由折叠的性质可知EG=EA. 由题意得BD=DG+BG=8. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AD=AB ,∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°,∴△ABD 为等边三角形,∠BEH=30°, ∴AB=BD=8.设BE=x ,则EG=AE=8-x.在Rt △EHB 中,BH=12x ,EH=√BE 2-BH 2=√32x.在Rt △EHG 中,EG 2=EH 2+GH 2, 即(8-x )2=(√32x )2+(6-12x )2,解得x=2.8,即BE=2.8. 故答案为2.8.4.D [解析] ∵将△ABE 沿直线AE 折叠,点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处, ∴AF=AB ,∠AFE=∠B=90°,∴EF ⊥AC , ∵∠EAC=∠ECA ,∴AE=CE ,∴AF=CF , ∴AC=2AB=6. 故选D .5.C [解析] ∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,∴∠EFC=∠AEF . 由折叠得∠EFC=∠AFE ,∴∠AFE=∠AEF ,∴AE=AF=5. 由折叠得FC=AF ,OA=OC ,∴BC=3+5=8. 在Rt △ABF 中,AB=√AF 2-BF 2=√52-32=4. 在Rt △ABC 中,AC=√AB 2+BC 2=√42+82=4√5, ∴OA=OC=2√5.故选C .6.A [解析] 由折叠补全图形如图所示.∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ADC=∠A=90°,AD=BC=1,CD=AB. 由第一次折叠得∠ADE=12∠ADC=45°, ∴∠AED=∠ADE=45°, ∴AE=AD=1.在Rt △ADE 中,根据勾股定理,得DE=√2AD=√2. 由第二次折叠知CD=DE=√2, ∴AB=√2. 故选A .7.解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD=6,BC=AD=8,∠A=∠D=90°.如图,连接CE.∵E 为AD 的中点, ∴AE=DE=4.由折叠可得AE=GE ,∠EGF=∠A=90°, ∴DE=GE.又∵∠D=90°,∴∠EGC=∠D=90°. 又∵CE=CE.∴Rt △CDE ≌Rt △CGE (HL), ∴CD=CG=6.设AF=x ,则GF=x ,BF=6-x ,则CF=6+x. 在Rt △BCF 中,BF 2+BC 2=CF 2, 即(6-x )2+82=(6+x )2,解得x=83,∴AF=83.在Rt △AEF 中,EF=√AE 2+AF 2=√42+(83) 2=43√13. 8.D [解析] ∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB ∥CD ,∠A=90°, ∴∠EFD=∠BEF=60°.∵将四边形EBCF 沿EF 折叠,点B 恰好落在AD 边上, ∴∠BEF=∠FEB'=60°,BE=B'E , ∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°, ∴∠AB'E=30°,∴B'E=2AE. 设BE=x ,则B'E=x ,AE=3-x ,∴2(3-x)=x,解得x=2.故选D.9.(-√2,2-√2)[解析] 如图,过点F作FD⊥CO于点D,FG⊥AO于点G.∵∠AEB=67.5°,沿AE折叠后点B落在点F处,∴∠BAE=∠EAF=22.5°,AF=AB=2,∴∠F AG=45°,∴FG=AG=√2,∴GO=2-√2,∴点F的坐标为(-√2,2-√2).故答案为(-√2,2-√2).。
特殊平行四边形折叠问题
折叠问题1．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′为 度．2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 度．3．如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为 度．4．如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，︒>∠60BEG ，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在约片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角有 个。
A.4B. 3C.2D.1EDBC′FCD ′A5．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则AM 的长是6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝6，沿AE •翻折梯形ABCD ，使点B 落在AD 的延长线上，记为B ′，连结B ′E 交CD 于F ，则DE:FC=A. 13B. 14C. 15D. 167.如图，在梯形ABCD 中，∠DCB ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝25，BC ＝24. 将该梯形折叠，点A 恰好与点D 重合，BE 为折痕，那么AD 的长度为_______．8．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是 .9.如图2是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD 的长是A B CDMNA 'B ' F E DB A C①② 3 4 1010.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长 是11．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则A'G 的长是 。
特殊平行四边形中的折叠问题专题突破八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义解析
第9讲特殊四边形中的折叠问题专题训练类型一折叠与角度1．如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在线段BC上，∠AEC＝32°，则∠BFD等于（）A．28°B．32°C．34°D．36°【分析】根据矩形纸片沿EF折叠，可得∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，然后根据直角三角形两个锐角互余可得∠AEC＝∠DCB，再由对顶角相等，即可解决问题．【解答】解：∵矩形纸片沿EF折叠，∴∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，∴∠AEC+∠ACE＝∠ACE+∠DCB＝90°，∴∠AEC＝∠DCB，∴∠AEC＝∠BFD，∵∠AEC＝32°，∴∠BFD＝32°，故选：B．2．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△ABE处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（）A．10°B．12°C．14°D．15°【分析】利用正方形的性质和轴对称的性质很容易求出∠CAE的大小．【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故选：B．3．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为度．【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝50°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝70°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝110°，即可得出∠FED′的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝50°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝110°，∴∠FED′＝110°﹣70°＝40°；故答案为：40．4．如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠图（2），则∠FGD的度数是，再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数是．【分析】根据图形的翻折变换依据平行线性质即可求解．【解答】解：根据折叠可知：∠FGD＝2∠FEG＝40°．∵AD∥BC∴∠EFG＝∠DEF＝20°∴∠CFE＝180°﹣20°﹣40°＝120°故答案为40°、120°．5．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为．【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【解答】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∠C＝∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得：∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故答案为：75°．类型二折叠与长度6．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F 处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，整理得16x＝48，所以x＝3．故选：A．7．如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD 边于点E，连接BE．若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠EAB+∠EBA＝90°，再结合勾股定理得出答案．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA＝180°，∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2+BE2，∴AE＝＝3．故选：B．8．如图，点F是矩形ABCD边CD上一点，将矩形沿AF折叠，点D正好落在BC边上的点E处，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（）A．2B．3C．D．4【分析】由折叠的性质得出AE＝AD＝10，EF＝DF，根据勾股定理求出BE＝8，设EF ＝x，则CF＝6﹣x，得出x2＝22+（6﹣x）2，解方程即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°；由翻折变换的性质得：AE＝AD＝10，EF＝DF，∵BE2＝AE2﹣AB2，∴BE＝＝8，∴CE＝2，设EF＝x，则CF＝6﹣x；在Rt△EFC中，∵EF2＝CE2+CF2∴x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，即EF＝．故选：C．9．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′，若D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为（）A．3或4B．或C．或D．或【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′＝PD′，设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，又折叠图形可得AD＝AD′＝5，∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4．在Rt△END′中，设ED′＝a，①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，∴a2＝22+（4﹣a）2，解得a＝，即DE＝，②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，∴a2＝12+（3﹣a）2，解得a＝，即DE＝．故选：B．10．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边中点，将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D 两点刚好落在点E处，已知AN＝3，MN＝5，设BN＝x，则x的值为（）A．B．C．D．【分析】求出AM＝4，由折叠的性质得出AN＝NE＝3，CE＝CD，由勾股定理得出x2+82＝（x+6）2，解方程即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∵AN＝3，MN＝5，∴AM＝＝＝4，∵M是AD边中点，∴AM＝DM＝4，BC＝8，∵将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，∴AN＝NE＝3，CE＝CD，∵BN2+BC2＝CN2，∴x2+82＝（x+6）2，解得x＝．故选：B．11．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为．【分析】分两种情况•分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），∵∠CED′＝90°，根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，∴A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝＝30，∴CD′＝30﹣18＝12，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，即x2+144＝（24﹣x）2，解得x＝9，即DE＝9；综上所述：DE的长为9或18；故答案为：9或18．12．如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，则矩形ABCD的面积是（）A．13B．C．60D．120【分析】由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，于是矩形ABCD的面积等于矩形EFGH的2倍，矩形EFGH的面积可以求出，【解答】解：如图，由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，∴S矩形ABCD＝2S矩形EFGH＝2×EF•EH＝2×5×12＝120，故选：D．13．（2020•雁江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG分别平分∠EAD，则GH长为（）A．3B．4C．5D．7【分析】如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．想办法求出BN，CT即可解决问题．【解答】解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．由题意：∠BAD＝90°，∠BAE＝∠EAG＝∠GAM，∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，∵AB＝AG＝2，∴AM＝AG•cos30°＝3，同法可得CT＝3，易知四边形ABNM，四边形GHTN是矩形，∴BN＝AM＝3，GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣6＝4，故选：B．14．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝8，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB，AD上，则EG的长为（）A．B．C．4D．4【分析】作EM⊥AD于M，由直角三角形的性质得出DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，由折叠的性质得AG＝EG，在Rt△GME中，由勾股定理得出EG2＝（8﹣EG+2）2+（2）2，解得EG＝即可．【解答】解：作EM⊥AD于M，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，∴CD＝AD＝AB＝8，AB∥DC，∵AB∥CD，∴∠A＝∠MDC＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝4，∵ME⊥AD，∠DMC＝60°∴∠MED＝30°，且ME⊥AD∴DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，由折叠的性质得：AG＝EG，∠AFG＝∠EFG，在Rt△GME中，EG2＝GM2+ME2．∴EG2＝（8﹣EG+2）2+（2）2，解得：EG＝，故选：A．15．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（）A．cm B．cm C．cm D．8cm【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，∵矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，∴DF＝D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，∴x2＝62+（8﹣x）2，解得：x＝．故选：B．类型三折叠与综合16．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB＝4，BC＝5，∠BAD＝135°，现将△ABE沿AE折叠，点B'是点B的对应点，设CE的长为x．若点B'落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是．【分析】点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，求出CE＝1；点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．解直角三角形求出AH、HB′、DH，再证明DA＝DE＝5，求出EB′即可解决问题．【解答】解：点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝135°，AD＝BC＝5，AD∥BC，∴∠B＝45°，由折叠的性质得：∠AB'H＝∠B＝45°，AB'＝AB＝4，∠AEB＝∠AED，在Rt△AHB′中，∵∠AB′H＝45°，AB′＝4，∴HB′＝AH＝AB'＝2，在Rt△ADH中，DH＝＝＝，∴B'D＝DH﹣HB'＝﹣2，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝∠AED，∴DA＝DE＝5，∴EB′＝BE＝DE﹣B'D＝5﹣（﹣2）＝5﹣+2，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣（5﹣+2）＝﹣2，∴若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是1≤x≤﹣2，故答案为：1≤x≤﹣2．17．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）A．EB＝EDB．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C．AE＝ECD．△EBA和△EDC一定是全等三角形【分析】由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，可得BE＝DE，可证AE＝CE，由“SAS”可证△ABE≌△CDE，即可求解．【解答】解：如图，∵把矩形纸片ABC'D沿对角线折叠，∴∠CBD＝∠DBC'，CD＝C'D＝AB，BC＝BC'，∵AD∥BC'，∴∠ADB＝∠DBC'，∴∠ADB＝∠CBD，∴BE＝DE，∴AE＝CE，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE（SAS），∴选项A、C、D都不符合题意，故选：B．18．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中结论正确的序号是．【分析】①正确．证明∠GAF＝∠GAD，∠EAB＝∠EAF即可．②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF 即可．④错误．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可．【解答】解：如图，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x，∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，∴x＝6，∵CD＝BC＝BE+EC＝12，∴DG＝CG＝6，∴FG＝GC，∵FG＞EF，∴F不是EG的中点，∴FG≠FC，故②错误，∵GF＝GD＝GC，∴∠DFC＝90°，∴CF⊥DF，∵AD＝AF，GD＝GF，∴AG⊥DF，∴CF∥AG，故③正确，∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，∴FG：EG＝3：5，∴S△GFC＝×24＝，故④错误，故答案为：①③．19．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF＝2以上结论中，你认为正确的有．（填序号）【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出②正确；③根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出③错误；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；②点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故②正确；③∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故③错误；过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF＝＝2，故④正确．综上所述，结论正确的有①②④．故答案为：①②④．20．如图，正方形ABCD的边长AB＝12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN＝5，连接AN．（1）求△AEN的面积；（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．【分析】（1）由折叠的性质得NE＝AE，设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt △EBN中，由勾股定理得出方程，得出AE＝，由三角形面积公式即可得出答案；（2）作FH⊥AB于H，则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折叠的性质得出EF ⊥AN，证明△EFH≌△NAB（ASA），得出EF＝AN即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，由折叠的性质得：NE＝AE，设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt△EBN中，由勾股定理得：52+（12﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AE＝，∴△AEN的面积＝AE×BN＝××5＝；（2）EF⊥AN，EF＝AN，理由如下：作FH⊥AB于H，如图所示：则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折叠的性质得：EF⊥AN，∴∠NAB+∠FEH＝90°，∴∠EFH＝∠NAB，在△EFH和△NAB中，，∴△EFH≌△NAB（ASA），∴EF＝AN．21．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B＝60°，AB＝3，求：（1）△ADE的周长；（2）△ACO的面积．【分析】（1）由折叠的性质可得∠ACD＝∠ACE＝90°，AD＝AE，CD＝CE，由平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD＝3＝CE，∠B＝∠D＝60°，AB∥CD，由直角三角形的性质可求AD＝2CD＝6，即可求解；（2）由勾股定理可求AC的长，可证四边形ABEC是平行四边形，可得AO＝OE，可得S△ACO＝S△ACE＝××3×3＝．【解答】解：（1）∵将△ADC沿AC折叠∴∠ACD＝∠ACE＝90°，AD＝AE，CD＝CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD＝3＝CE，∠B＝∠D＝60°，AB∥CD，∴AD＝2CD＝6＝AE，∴△ADE的周长＝AD+AE+CE+CD＝6+6+3+3＝18；（2）∵AD＝6，CD＝3，∴AC＝＝＝3∵AB∥CE，AB＝CE＝CD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AO＝OE，∴S△ACO＝S△ACE＝××3×3＝．22．综合与实践：学习完了矩形后，兴趣小组的同学们在一起共同研究矩形的折叠．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD 沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．【分析】（1）依据矩形的性质以及折叠的性质，即可得到AF∥CE，AE∥CF，即可得到四边形AECF是平行四边形；（2）设CE＝x，则EM＝BE＝8﹣x，CM＝10﹣6＝4，利用勾股定理即可得到CE的长，进而得出四边形AECF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠BAC＝∠DCA，由折叠的性质知，∠EAC＝∠BAC，∠FCA＝∠DCA，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，又∵AD∥BC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，由勾股定理得，BC＝＝8，由折叠的性质知，∠ABC＝∠AME＝90°，BE＝EM，在Rt△CEM中，CM＝AC﹣AM＝10﹣6＝4，设CE＝x，则BE＝EM＝8﹣x，由勾股定理得，ME2+CM2＝EC2，即（8﹣x）2+16＝x2，解得x＝5，∵由（1）得，四边形AECF为平行四边形，∴S四边形AECF＝EC•CD＝5×6＝30．23．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，2），点E，F分别在边AB，BC上．沿着OE折叠该纸片，使得点A落在OC边上，对应点为A'，如图①．再沿OF折叠，这时点E恰好与点C重合，如图②．（Ⅰ）求点C的坐标；（Ⅱ）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点O与点F重合，折痕与AB相交于点P，展开矩形纸片，如图③．①求∠OPF的大小；②点M，N分别为OF，OE上的动点，当PM+MN取得最小值时，求点N的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）先由折叠的性质得OA'＝OA＝2，OC＝OE，再证四边形OA'EA是正方形，得OA'＝A'E＝2，然后由勾股定理得OE＝2，即可求解；（Ⅱ）①连接EF，由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE ＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，再证△EBF是等腰直角三角形，得BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，设AP＝x，则PB＝2﹣x，然后由勾股定理得出方程，解得：x＝2﹣2，最后证Rt△POA≌Rt△FPB（HL），得∠POA＝∠FPB，进而得出结论；②作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，则△OGN为等腰直角三角形，当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，再求出OG＝NG＝ON＝2﹣，即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（0，2），∴OA＝2，由折叠的性质得：OA'＝OA＝2，OC＝OE，∵四边形OABC是矩形，∴四边形OA'EA是正方形，∴OA'＝A'E＝2，在Rt△OA'E中，由勾股定理得：OE＝＝＝2，∴点C的坐标为：（2，0）；（Ⅱ）①连接EF，如图③所示：由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，由折叠的性质得：∠OEF＝∠OCF＝90°，∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，设AP＝x，则PB＝2﹣x，由折叠的性质得：PO＝PF，即PO2＝PF2，在Rt△OAP中，由勾股定理得：PO2＝OA2+AP2，在Rt△PBF中，由勾股定理得：PF2＝PB2+BF2，∴22+x2＝（2﹣x）2+（2﹣2）2，解得：x＝2﹣2，∴AP＝BF，在Rt△POA和Rt△FPB中，，∴Rt△POA≌Rt△FPB（HL），∴∠POA＝∠FPB，∵∠POA+∠APO＝90°，∴∠FPB+∠APO＝90°，∴∠OPF＝180°﹣（∠FPB+∠APO）＝90°；②由①知，AP＝2﹣2，∠EOC＝45°，作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，如图④所示：则△OGN为等腰直角三角形，当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，∴四边形APN′O为矩形，∴ON＝ON′＝AP＝2﹣2，∴OG＝NG＝ON＝×（2﹣2）＝2﹣，∴N（2﹣，2﹣）．24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；（2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；（3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？（4）如图②，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D 为菱形？并判断此时点A是否在BC上？请说明理由．【分析】（1）根据题意直接表示出来即可；（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF＝t，又AE＝t，则DF＝AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；（3）①显然∠DFE＜90°；②如图（1），当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，此时AE＝AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；③如图（2），当∠DEF＝90°时，此时∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，此时AD＝AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE＝AD，则t＝12﹣2t，所以t＝4．即当t＝4时，四边形AEA′D为菱形．【解答】解：（1）AE＝t，AD＝12﹣2t；（2）∵DF⊥BC，∠C＝30°∴DF＝CD＝×2t＝t∵AE＝t∴DF＝AE，∵∠ABC＝90°，DF⊥BC∴DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形；（3）①显然∠DFE＜90°；②如图（1），当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，此时AE＝AD∴∴t＝3，③如图（2），当∠DEF＝90°时，此时∠ADE＝90°∴∠AED＝90°﹣∠A＝30°∴AD＝AE∴∴，综上：当t＝3秒或秒时，△DEF为直角三角形；（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE＝AD ∴t＝12﹣2t∴t＝4∴当t＝4时，四边形AEA′D为菱形，设EA′交BC于点G在Rt△EBG中，∠BEG＝180°﹣∠AEG＝60°∴GE＝2BE∵BE＝AB﹣AE＝6﹣4＝2∴GE＝4＝EA′，∴点G与点A′重合∴点A在BC上．25．如图，在四边形AOCB中，A（0，2），B（，n）C（，0），其中△ABO是等边三角形．（1）如图（a），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使点A与点C重合．①求点E坐标；②求△BCF的面积；（2）如图（b），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使EF∥OB，设点A对折后所对应的点为A′，△A′EF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，t）（t＞0），求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．【分析】（1）①设点E坐标为（0，y），根据A的坐标得到OA的长，由B与C的横坐标相同得到BC垂直于x轴，再由三角形ABO为等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝2，且求出∠OBC为30度，进而求出n的值，由折叠的性质得到AE＝EC＝2﹣y，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出E坐标；②过F作FM垂直于CB，设MB＝x，求出∠MBF为60度，在直角三角形MBF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出三角形BCF的面积；（2）分两种情况考虑：当点A′落在四边形EOBF内或BC上时，如图（b）所示，重合部分的面积即为三角形AEF的面积，表示出S与t的关系式即可；当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，重合部分面积由两等边三角形面积之差，表示出S与t关系式即可．【解答】解：（1）①设点E的坐标为（0，y），∵A（0，2），B（，n），C（，0），∴BC⊥x轴，OA＝2，∵△ABO为等边三角形，∴∠BOC＝30°，OA＝OB＝AB＝2，∴n＝1，由对折可得AE＝EC＝2﹣y，在Rt△OCE中，y2+3＝（2﹣y）2，解得：y＝，则E坐标为（0，）；②作FM⊥CB于点M，设MB＝x，∵∠MBF＝180°﹣120°＝60°，在Rt△MBF中，FB＝2x，FM＝x，在Rt△MCF中，根据勾股定理得：（2﹣2x）2＝（x+1）2+（x）2，解得：x＝，则S△BCF＝BC•FM＝；（2）∵EF∥OB，∴△A′EF为等边三角形，当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，得S＝（2﹣t）2﹣（2﹣2t）2＝﹣t2+t（0＜x≤1）；当点A′落在四边形EOBF内或OB上时，如图（b）所示，得S＝（2﹣t）2（1≤x＜2）．。
特殊平行四边形折叠问题
特殊平行四边形折叠问题1. 引言哎呀，今天咱们聊聊一个看起来挺抽象的话题——特殊平行四边形折叠问题。
乍一听，有点像数学课上那些让人抓耳挠腮的难题，对吧？但别担心，咱们不打算像学霸那样死抠公式，而是轻松聊聊其中的乐趣和奇妙之处。
生活就像一块折纸，咱们要学会把它折得既美观又实用！2. 特殊平行四边形的魅力2.1 什么是特殊平行四边形？特殊平行四边形，其实就是那种边平行、角度相等的家伙。
想象一下，一个长方形或是正方形，这些都是特殊平行四边形的好朋友。
简单来说，它们的结构稳定得像一座大厦，让人一眼看去就觉得安心。
就像人们总说的，“万事开头难”，这类形状的基础知识可一点都不难。
2.2 折叠的乐趣说到折叠，咱们先来个小互动：谁小时候没折过纸飞机呢？想想当时那种心情，跟朋友们比赛谁的飞机飞得更远。
其实，折叠不仅仅是孩子们的游戏，也是数学里的一个重要概念。
把平行四边形折叠起来，可以生成一些意想不到的形状和图案。
就像是生活中的惊喜，没准一不小心就折出了个小怪兽！。
3. 折叠背后的奥秘3.1 数学与生活的交汇有人可能会问，折叠这些形状有什么用呢？其实，折叠不仅能帮助我们理解空间关系，还能启发我们的创造力。
在日常生活中，很多东西都得经过折叠，比如纸袋、便携式桌子，还有那些时尚的折叠伞。
就像“巧妙应对”，灵活的折叠设计能让我们的生活变得更加便捷。
3.2 折叠的艺术当然，折叠的过程可不仅仅是把纸一折了之，更多的是一种艺术。
想想那些精致的折纸作品，简直美得让人目不转睛。
那些作品往往需要精准的计算和独特的创意，才能把简单的平行四边形变成一只活灵活现的纸鹤。
正所谓“心灵手巧”，只要你愿意动手，总能从平凡中找到不平凡。
4. 结尾好啦，经过这一番聊天下来，咱们发现特殊平行四边形折叠问题不仅是个数学难题，更是一种生活哲学。
它告诉我们，灵活应对，活学活用，才能在这个复杂的世界里找到自己的位置。
生活就像一块大折纸，有时候你得先把它折起来，才能看到不一样的风景。
平行四边形的折叠问题
特殊平行四边形中的折叠问题1 、矩形中的折叠例1 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8.将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处.求EF 的长.例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处.（1）试说明B ′E ＝BF ；（2）设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a 、b 、c 之间有何等量关系，并给予说理.2、 菱形中的折叠例3 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若BC ＝4，BG ＝3，则GE 的长为 ．3、 正方形中的折叠例4如图，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点，将∠ABE 沿AE 折叠至∠ABE 处，BE 与AC 交于点F ，若∠EFC ＝69°，则∠CAE 的大小为（ ）A ．10°B ．12°C ．14°D ．15°例5 如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC ＝2：1，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6AB CDFA ′B ′EFB A CD E G O E B CA D P EN M CD BA F G E C DB A F E DCA BEFGB A HB'CDAB EGFECDBAE B CA D 跟踪练习：1．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D 1、C 1的位置，ED 1的延长线交BC 于点G ，若∠EFG ＝64°，则∠EGB 等于（ ） A ．128° B ．130° C ．132° D ．136°（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）2．如上图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将∠ABP 沿BP 翻折至∠EBP ，PE 与CD 相交于点O ，BE 与CD 相交于点G ，且OE ＝OD ，则AP 的长为_________．3．如图，菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 的中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，若菱形边长为1，则点E 到CD 的距离为 ．4. 如图，已知E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，点A 关于DE 的对称点为F ，若正方形ABCD 的边长为1，且∠BFC ＝90°，则AE 的长是__________；综合练习：1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，点E 为BC 上一点，把∠CDE 沿DE 翻折，点C 恰好落在AB 边上的F 处，则CE 的长是（ ）A ．1B ．43C ．32D ．53（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）2．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝120°，则EF 的值是（ ） A ．√3 B ．2 C ．2√3 D ．43．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，∠ABE 沿直线BE 折叠后得到∠GBE ，延长BG 交CD 于点F ，若AB ＝6，BC ＝46，则FD 的长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．234．如图，矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ，若∠CDN 的面积与∠CMN 的面积比为1∠4，则MN ∠BM 的值是( ) A ．4 B ．5 C ．25 D ．265．在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠C ＝90°，DC ＝DA ，∠D ＝60°，AB ＝2，将四边形ABCD 折叠，使点D 和点B 重合，折痕为EF ，则EF 的长为( ) A ．2B ．3215C ．72110D ．4215（5题图） （6题图） （7题图） （8题图）6．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把紙片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝10，AF 的值为_________．7．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当∠CB ′E ＝90°时，BE 的长为__________； 8．如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝6，BC ＝8．将矩形的一部分沿EF 折叠，使D 点与B 点重合，C 点的对应点为G ．则EF 的长是_________．将∠BEF 绕着点B 顺时针旋转角度α (0°＜α＜180°)，得到∠BE 1F 1，直线E 1F 1分别与射线EF 、射线ED 交于点M 、N ．当EN ＝MN 时，FM 的长是__________； 9．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝6，M 是AD 边上的一点，AM ：MD ＝1：2．将∠BMA 沿BM 对折至∠BMN ，连接DN ，则DN 的长是________．10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2．E 是AB 的中点，直线l 平行于直线CE ，且直线l 与直线EC 之间的距离为2，点F 在矩形ABCD 边上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点A 恰好落在直线l 上，则DF 的长为__________．。
特殊平行四边形的折叠问题
特殊平行四边形的折叠问题一，基础热身例1，如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8 cm，则图中阴影部分面积为 __________cm2．例2,如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF= _________例3,如图(上题)，将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知DE=5，AB=8，则BF=_______ 例4，如图(上题），将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=6，AB=16，则BF= ________例5，如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在ABC边上F点处，已知CE=4cm，AB=9cm,则矩形ABCD的面积为_________m2．例6，如图(上题),将矩形ABCD沿直线AE折叠，使点D+落在BC边上的点F处，若已知∠BAF=60°，则∠DAE度数是（）A, 15° B,30° C， 45° D,60°二，菱形中的折叠问题例7,如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连结A′C,则A′C长度的最小值________，例8，如图，在菱形纸片ABCD 中,∠A=60°将纸片折叠,点A,D 分别落在A ′，D ′处，且 A ′D ′经过点B ，EF 为折痕．当D ′F⊥CD时,=___________三，矩形中的折叠问题例9,如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=8cm ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF =则AD 的长为_______。
例10,如图,已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的终点，点G 是BC 上的一点，∠BEG ＞60°．现沿直线EG 将折叠,使B 落在纸片上的H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为_______。
平行四边形中的折叠问题含答案
平行四边形中的折叠问题一、新课导入（一）学习目标熟练掌握平行四边形的性质与判定，并能运用相关性质、判定解决平行四边形中的折叠问题．（二）预习导入1．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A=55°，∠ABD=45°，则∠A′BC的大小为（）．A．30°B．35°C．40°D．45°2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________．二、典型问题知识点一：在折叠中求角度和边长例1如图，矩形ABCD中，点M，N分别在AD、BC边上．将矩形ABCD沿MN翻折，点C恰好落在AD边上的点F处．若MD=1，∠MNC=60°，则∠EFM的度数为_______，AB的长为________．分析：由折叠变换可得EF=CD，MD=EM=1，∠MNC=∠FNM=60°，∠C=∠EFN=90°，由平行线的性质可得∠FMN=∠MNC=60°，即可求得∠EFM的度数，由直角三角形的性质可求得EF的长，即为AB的长．知识点二：在折叠中判定平行四边形例2如图，已知矩形ABCD，将纸片折叠，使顶点A与C重合，折痕EF分别于DC，AB 交于E，F．求证：E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．分析：连接AE，AC，AC交EF于O，由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，根据全等三角形的性质得到AF=CE，则即可得解．三、阶梯训练A组：基础练习1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为_________．2．把矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4cm，BC=8cm，则DF的长度是________cm．3．如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________．4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D=80°，则∠ECF的度数是__________．5．在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G 处，连接AG并延长，交CD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．6．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M 点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE=2，求菱形BFDE的面积．B组：拓展练习7．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为_________．8．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为_________．9．如图，正方形ABCD的边长AB=12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN=5，连接AN．（1）求△AEN的面积；（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．平行四边形中的折叠问题答案预习导入1．B．2．6．例130°，3．例2连接AE，AC交EF于O．由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，∴AE=CE，AF=CF．∵AB∥CD，∴∠ECO=∠OAF．在△AOF与△COE中，∠ 쫠⩊＝∠ ，쫠 ＝ ，∠쫠 ⩊＝∠ ，∴△AOF≌△COE．∴AF=CE．∴AE=AF=CE=CF．∴E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．1．105°．2．5．3．7．4．40°．5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE=GE，∠CEB=∠CEG．∴AE=GE．∴∠FAE=∠AGE．∵∠BEG=∠FAE+∠AGE，∴∠FAE=12∠BEG．又∵∠CEB=∠CEG=12∠BEG，∴∠FAE=∠CEB．∴AF∥EC．∴四边形AECF是平行四边形．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．由翻折变换的性质可知，∠ABE=∠EBD，∠CDF=∠FDB，∴∠EBD=∠FDB．∴EB∥DF．∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴∠EBD=∠FBD．∵∠EBD=∠ABE，∴∠EBD=∠FBD=∠ABE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∴∠EBD=∠FBD=∠ABE=30°．∴AB=3．∴菱形BFDE的面积S=DE×AB=23．7．30°．8．75°．9．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°．由折叠的性质，得NE=AE．设NE=AE=x，则BE=AB-AE=12-x．在Rt△ABN中，由勾股定理，得52+（12-x）2=x2，解得x=16924．∴AE=16924．∴△AEN的面积=12AE×BN=84548．（2）EF⊥AN，EF=AN，理由如下：作FH⊥AB于H，如图所示．则FH=AD=AB，∠EFH+∠FEH=90°．由折叠的性质，得EF⊥AN，∴∠NAB+∠FEH=90°．∴∠EFH=∠NAB．在△EFH和△NAB中，∠ ⩊h＝∠ 쫠 ，⩊h＝쫠 ，∠⩊h ＝∠ ＝90°，∴△EFH≌△NAB．∴EF=AN．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
折叠问题
1．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED
′为
度．
2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 度．
3．如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为 度．
4．如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，︒
>∠60BEG ，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在约片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角有 个。
A.4
B. 3
C.2
D.1
E
D
B
C′
F
C
D ′
A
5．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则AM
的长是
6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝6，沿AE•翻折梯形ABCD ，使点B 落在AD 的延长线上，记为B ′，连结B ′E 交CD 于F ，则DE:FC=
A. 13
B. 14
C. 15
D. 1
6
7.如图，在梯形ABCD 中，∠DCB ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝25，BC ＝24. 将该梯形折叠，点A 恰好与点D 重合，BE 为折痕，那么AD 的长度为_______．
8．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是 . 9.如图2是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD 的长是
A B C
D
M
N
A '
B ' F E D
B A C
①
② 3 4
10.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB
＝3，折叠后，点
C 落在A
D 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长 是
11．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则A'G 的长是 。
12. AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2
．
13．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长．．是
14．矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BD ＝3，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的B ’处，折痕为AE ．在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为________．
C
B ’ D
P
15.如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是____________cm.
16.在正方形ABCD 中,正方形的边长为2，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，
连接GF 。
则ΔEFD 的面积为。
17．小明尝试着将矩形纸片ABCD （如图①，AD >CD ）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE （如图②）；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG （如图③）．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为 ．
18取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 .
19.长为1，宽为a 的矩形纸片（
12
1
<<a ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n =3时，a 的____________．
第二次操作
A
B B B D ①
② C D G M ③ 第一次操作
20.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH 的值，并说明理由.
21.如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．
(1)如图②，若M为AD边的中点，
①,△AEM的周长=_____cm；
②求证：EP=AE+DP；
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
22、在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴,y轴上，且OA=4，OC=3.
(1)求对角线OB所在直线的解析式
(2)如图，将△OAB沿对角线OB翻折得打△OBN，ON与AB交于点M；
①判断△OBM是什么三角形，并说明理由
②试求直线MN的解析式。
23.如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，A点坐标为（0，a），E是线段BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标是。
24.如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，
在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与D N交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．
（2）△MNK的面积能否小于1
2
？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．
A
F D C E
B D '
（备用图）
25.将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D '处，折痕为EF ．
（1）求证：ABE AD F '△≌△；
（2）连结CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？说明你的结论．
26．如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB DC ∥，90A ∠=o
，CD AD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片． （1）求证：四边形ADEF 是正方形；
（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG CD =，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．
27.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB,BC 于点F ，E,若AD=2,BC=8.求： （1） DE 的长；
（2） ∠CDE 的正切值。
28.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3BC ＝6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE ＝30°． （1）求BE 、QF 的长． （2）求四边形PEFH 的面积．
E
C
B
D
A G F
29.把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。
（1）求证：△BHE≌△DGF；
（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。