解一元二次方程PPT课件
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21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
2×2 2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
《解一元二次方程—公式法》课件PPT
方程没有实数解。
当堂检测—不做不讲
1.不解方程，判断下列一元二次 方程的根的情况（每小题5分）
(1)2x2-3x-1.5=0
(2)16x2-24x+9=0
(3)x2-4x+9=0 (4)3x2+10=2x2+8x
2.用公式法解下列方程：（1-4每小题10分 5，6每小题20分）。
(1)2x2-x-1=0
(3)4x-x2=x2+2
• 解：方程整理为：x2-2x+1=0 • a=1,b=-2,c=1 • ∵ ⊿=b2-4ac • =(-2)2-4 ×1 ×1 • =4-4=0 • ∴方程有两个相等的实数根。
利用判别式判断根的情况的 步骤
• 1、化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
• 2、找准 a,b,c • 3、求出⊿=b2-4ac的值 • 4、判断根的情况
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2, b=5, c= -3,
①
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49>0 ②
∴x= 即
= x1= -3 , x2=
③
=
④
用公式法解一元二次方程的 一般步骤：
• 1、化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) • 2、找准 a,b,c • 3、求出⊿=b2-4ac的值 • 4、判断根的情况
人民教育出版社九年级数学上册
21.2 解一元二次方程 —公式法
学习目标:
1、理解一元二次方程求根公式的推导过 程
2 、会熟练应用公式法解一元二次方 程．
重点和难点
1重点：求根公式的推导和公式 法的应用．
《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)
分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.
〔3〕9〔x+1〕2＝〔2x-5〕2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝〔-12〕2-4×9×〔-1〕＝ 144+36
(x + m) 〔x + n〕＝0
解法选择根本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕， 应选用直接开平方法； 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕，应选用因式分解法； 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕，先化为 一般式，看一边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选 用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
不过现在教同学们一个 小办法，左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ，看看图就能缓解眼疲劳， 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理，在一张二维 空间平面上，强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形，远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳，可以通过此 种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
〔3〕9〔x+1〕2＝〔2x-5〕2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝〔-12〕2-4×9×〔-1〕＝ 144+36
(x + m) 〔x + n〕＝0
解法选择根本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕， 应选用直接开平方法； 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕，应选用因式分解法； 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕，先化为 一般式，看一边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选 用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
不过现在教同学们一个 小办法，左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ，看看图就能缓解眼疲劳， 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理，在一张二维 空间平面上，强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形，远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳，可以通过此 种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
解一元二次方程PPT课件
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x 3 2 3x
2
2
解： 原方程化为：x 2 2 3x 3 0
a 1, b 2 3, c 3
2
x1 x2 0
结论：当 相等的实数根.
2 3 0 2 3 x 3 2 1 2
b 2 4ac 0
2
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
当 b 4ac >0 时，方程有两个不同的根 2 当 b 4ac =0 时，方程有两个相同的根 当 b 2 4ac <0 时，方程无实数根
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 . b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 4 24 4 2 6 x= = 2 1 = 2. 即 x1 = 2 6 , x2 = 2 6 .
练习:
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2
2
即
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
完全平方公式？
配方法
我们通过配成完全平方式 （x n） a(a 0) ， 然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
解一元二次方程-公式法 ppt课件
利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程：x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得：x²−4x-7=0
∵ = 1，b=−4，c=−7.
∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
= 2 + 11， = 2 − 11.
x
，
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程：
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
不解方，判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
k
练习
1
的取值范围为：k＞2且 k
=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得
《因式分解法》一元二次方程PPT课件
+
−
，
=
②2x²-9x+8=0
③4x(2x+1)=3(2x+1) = − ， =
= ， =
④3x²-7x+2=0
=
温馨提示：计算△=b²-4ac，若为平方数，此方程必定可以
因式分解。
可以发现，上述解法中，使方程化为两个一次式的乘积等于
也可将方程的解代入原
0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，
方程来验证是否正确
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
练习
1-1
用因式分解法解下列方程
①(x-2)²=3(x-2)
= ， =
③x²-6x+9=0
= =
②(2x-1)²-x²=0
= ， =
③x²-12x+35=0
= ， =
例题2
下面是小明同学在解一道一元二次的过程，你认为
正确吗？为什么？
解方程： x²=2x
解：方程两边同时除以x
得 x=2
∴方程的解为x=2
易错点：漏解
用合适的方法解一Βιβλιοθήκη 二次方程直接开平方法：可以解ax²=b 型的方程 .
提公因式法
情境导入
回顾
若 =0，能得出什么结论？
=0，则=0或=0
请将 2 − 3进行因式分解
猜想
解方程： 2 − 3 =0
归纳
方程 2 + + = 0( ≠0)，通过变形和因式分解，
变成(x+p)(x+q)=0的形式，则x+p=0或x+q=0，进
《解一元二次方程公式法》PPT课件
第二十四章 解一元二次方程
24.2 解一元二次方程
第3课时 因式分解法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.回顾因式分解的相关知识. 2.学会用因式分解法解一元二次方程. (重点、难点)
导入新课
观察与思考
问题 一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次 方程的解的方法有哪些？
ax2 bx c 0（a≠0）
24．2 解一元二次方程 公式法
12．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是2x2－8x＋7＝
0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是( B )
A. 3 B．3 C．6
D．9
13．已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根
是( C )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
24．2 解一元二次方程 公式法
适合运用公式法 ① ⑦ ⑧
；
适合运用配方法 ④
.
2.解下列一元二次方程： （1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解： (1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0,
∴x=0 或3x－17=0
解得
x1=0,
x2=
17 3
则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3.
(2)同上可得x1=0.8，x2=-0.8. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式 分解法.
归纳 因式分解法的基本步骤是： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 将方程的左边分解因式； 根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两 个一元一次方程.
《解一元二次方程配方法》PPT课件
完全平方式
1
右
一半的平方
24．2 解一元二次方程
1．(4分)(1)一元二次方程x2＋1＝2的解是________ ；(2)方程(x－1)2＝4的解是________ ．2．(4分)(2013·丽水)一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
24.2 解一元二次方程配方法
- .
24．2 解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的二次项系数化为________；(2)把常数项移到方程的________边；(3)方程两边都加上一次项系数________ ；(4)方程左边配方为含未知数的________ ，方程右边是一个常数；(5)方程两边开平方，求出方程的根．
D
－3
4
24．2 解一元二次方程
【易错盘点】【例】用配方法解方程x2－6x－1＝0.【错解】移项，得x2－6x＝1；配方，得x2－6x＋(－3)2＝1，即(x－3)2＝1；开平方，得x－3＝±1；解得x1＝4，x2＝2.【错因分析】在配方时，方程的两边应同时加上一次项系数一半的平方，而错解只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，却忽略了在方程的右边也应加上相同的数．【正解】
D
C
24．2 解一元二次方程
13．(5分)若方程x2＋px＋q＝0可化成 的形式，则p＝________，q＝________．三、解答题(共42分)14．(16分)解下列方程．(1)(2x－1)2＝9；(2)x(x＋4)－2＝0；
1
(1)x1＝2，x2＝－1
24．2 解一元二次方程
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精品
复习回顾： 1、一元二次方程的形式 2、二次项、二次项系数 3、一次项、一次项系数 4、常数项 5、一元二次方程的解法
精品
❖ 形如ax²+bx+c=0(其中a,b,c是
常数，a≠0)叫做一元二次方程
称：a为二次项系数， ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项 c为常数项,
精品
例1 下列方程哪些是一元二次方程?
当 b24ac>0 时，方程有两个不同的根 当 b24ac=0 时，方程有两个相同的根 当 b24ac<0 时，方程无实数根
精品
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
c 0
即
x b 2a
b2 4ac 2a
＝0
此时，方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
精品
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(3)b24a c0,这b 时 24 a42ac 0
而x取任何实数都不可能使 (x
b
2
) 0
，
2a
因此方程无实数根
解:
a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
精品
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例3：用公式法解方程 x2+4x=2
这里的a、b、c 的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 .
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6 , x2= 2 6 .
形如x2=a (a≥0)
或m （ x n） 2a(a0)
精品
x2+6x-7=0
精品
精品
什么是配方法？ 平方根的意义？ 完全平方公式？
精品
配方法
我们通过配成完全平方式 （ xn） 2a(a0) ，
然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的方法的助手: 平方根的意义: 如果x2 = a, 那么x= a .
x a x1 a,x2 a 精品
例1、x2－4=0
解：原方程可变形为
X2 = 4 ∴ x1=-2 ,x2=2
精品
例2、（3x -2）²- 49=0
解：移项，得：（3x-2）²=49
两边开平方，得：3x -2=±7
所以：x= 2 7
所以x1=3，
3
x2= -
5
3
精品
归纳：直接开平方法的 特点：
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
精品
1 －8 04 0 －4
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
精品
精品
依据：平方根的意义，即
如果 x2=a , 那么x = a .
这种方法称为直接开平方法。
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
精品
当△>0时，方程 ax2bxc0 (a≠0)
的实根可写为
b b2 4ac x
2a
一元二次方程的 求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
精品
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
x b b2 4ac
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56 x1 5 ; x2 2. 精品
5.定根:写出原方 程的根.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
ax2bxc0(a≠0)
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2abx2ba2ac2ba2
即
x
பைடு நூலகம்b 2 2a
b2 4ac 4a2
精品
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(1)b24a
精品
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解 ： x26x7
x26x979
x32 16
x34
x11 x2 7
精品
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
解： x24x5
2
x2 4x454
2
x 22 13
2 x2
26
2
26
26
x1 2 2 x2 精品 2 2
精品
用配方法解一般形式的一元二次方程
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
精品
学习是件很愉快的事
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 : a 5 , b 4 , c 1 2
1.变形:化已知方 程为一般形式;
b 2 4 a c 4 2 4 5 ( 1 2 ) 2 5 6 0. 2.确定系数:用
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
精品
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成 (x m )2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
(3)2x2－－31x －1 ＝0 (4) －y22 ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
解: (1)、 (4)
精品
例题分析
例2 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
c0,这b 时 24 a42a
c 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根
b
x1
b 2 4 ac
2a
b
x2
b 2 4 ac
2a
精品
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(2)b24a c0,这b 时 2 4 a42a
复习回顾： 1、一元二次方程的形式 2、二次项、二次项系数 3、一次项、一次项系数 4、常数项 5、一元二次方程的解法
精品
❖ 形如ax²+bx+c=0(其中a,b,c是
常数，a≠0)叫做一元二次方程
称：a为二次项系数， ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项 c为常数项,
精品
例1 下列方程哪些是一元二次方程?
当 b24ac>0 时，方程有两个不同的根 当 b24ac=0 时，方程有两个相同的根 当 b24ac<0 时，方程无实数根
精品
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
c 0
即
x b 2a
b2 4ac 2a
＝0
此时，方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
精品
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(3)b24a c0,这b 时 24 a42ac 0
而x取任何实数都不可能使 (x
b
2
) 0
，
2a
因此方程无实数根
解:
a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
精品
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例3：用公式法解方程 x2+4x=2
这里的a、b、c 的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 .
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6 , x2= 2 6 .
形如x2=a (a≥0)
或m （ x n） 2a(a0)
精品
x2+6x-7=0
精品
精品
什么是配方法？ 平方根的意义？ 完全平方公式？
精品
配方法
我们通过配成完全平方式 （ xn） 2a(a0) ，
然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的方法的助手: 平方根的意义: 如果x2 = a, 那么x= a .
x a x1 a,x2 a 精品
例1、x2－4=0
解：原方程可变形为
X2 = 4 ∴ x1=-2 ,x2=2
精品
例2、（3x -2）²- 49=0
解：移项，得：（3x-2）²=49
两边开平方，得：3x -2=±7
所以：x= 2 7
所以x1=3，
3
x2= -
5
3
精品
归纳：直接开平方法的 特点：
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
精品
1 －8 04 0 －4
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
精品
精品
依据：平方根的意义，即
如果 x2=a , 那么x = a .
这种方法称为直接开平方法。
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
精品
当△>0时，方程 ax2bxc0 (a≠0)
的实根可写为
b b2 4ac x
2a
一元二次方程的 求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
精品
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
x b b2 4ac
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56 x1 5 ; x2 2. 精品
5.定根:写出原方 程的根.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
ax2bxc0(a≠0)
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2abx2ba2ac2ba2
即
x
பைடு நூலகம்b 2 2a
b2 4ac 4a2
精品
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(1)b24a
精品
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解 ： x26x7
x26x979
x32 16
x34
x11 x2 7
精品
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
解： x24x5
2
x2 4x454
2
x 22 13
2 x2
26
2
26
26
x1 2 2 x2 精品 2 2
精品
用配方法解一般形式的一元二次方程
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
精品
学习是件很愉快的事
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 : a 5 , b 4 , c 1 2
1.变形:化已知方 程为一般形式;
b 2 4 a c 4 2 4 5 ( 1 2 ) 2 5 6 0. 2.确定系数:用
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
精品
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成 (x m )2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
(3)2x2－－31x －1 ＝0 (4) －y22 ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
解: (1)、 (4)
精品
例题分析
例2 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
c0,这b 时 24 a42a
c 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根
b
x1
b 2 4 ac
2a
b
x2
b 2 4 ac
2a
精品
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(2)b24a c0,这b 时 2 4 a42a