网络名师小班辅导教案-初中数学第7讲分式化简的技巧学生版
初中数学教案分式的运算与化简
初中数学教案分式的运算与化简教案教学目标:学生能够掌握分式的基本运算与化简方法。
教学重点:分式的加法、减法、乘法和除法的运算与化简。
教学难点:应用不同的运算方法解决实际问题。
一、引入1. 导入主题分式在数学中起着重要的作用,它能够帮助我们简化计算过程,解决实际问题。
今天我们将学习分式的运算与化简方法。
2. 激发学生兴趣通过提问的方式引出学生的疑问与思考,例如:你们在生活中遇到过分式吗?它们是如何帮助你们解决问题的?二、知识点讲解1. 分式的定义与表示提醒学生回顾分式的定义与表示方法,确保学生对分子、分母的理解。
2. 分式的加法与减法(以x/y + z/w为例)a. 约分法:将两个分数的分母找到最小公倍数,分别进行分数扩展,再进行加法运算。
示例1: 3/4 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4示略2: 1/3 - 1/6 = 2/6 - 1/6 = 1/6b. 通分法:将两个分数的分母相乘作为新的分母,再进行分子的运算。
示例1: 3/4 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4示略2: 1/3 - 1/6 = 2/6 - 1/6 = 1/63. 分式的乘法与除法(以x/y * z/w为例)a. 乘法:将两个分式的分子相乘,分母相乘。
示例1:(3/4) * (5/6) = 15/24示例2:(3/4) * (2/3) = 6/12b. 除法:将除数的分子与被除数的分母相乘,分母与分子相乘。
示例1:(3/4) ÷ (5/6) = (3/4) * (6/5) = 18/20示例2:(3/4) ÷ (2/3) = (3/4) * (3/2) = 9/84. 分式的化简a. 分母为1的分式化简为整数。
示例:5/1 = 5b. 分子与分母有公因数时,约去公因数。
示例:6/10 = 3/5c. 分母为两个数的和或差时,进行提公因式化简。
示例:1/(x+3) + 1/(x+2) = (2x+5)/(x^2+5x+6)三、实例演练1. 课堂练习教师提供一些简单分式的运算练习题,让学生在黑板上解答,并进行讲解与订正。
分式的化简方法教案
分式的化简方法教学案一、教学目标1.了解分式的定义和基本性质。
2.掌握分式的化简方法。
3.学会应用分式的化简方法解决实际问题。
二、教学重点1.分式的化简方法。
2.分式的应用。
三、教学难点1.掌握分式的化简方法。
2.运用分式解决实际问题。
四、教学准备1.教师需要准备白板、黑板、笔。
2.学生需要准备笔、笔记本。
五、教学过程1.引入教师通过简单的数学问题引入本课学习内容。
例如:“你有8个苹果,你要将他们平均分给4个人,请问每个人分到几个苹果?”引导学生思考,将8除以4,得到答案2个苹果。
从中引入分式的基本概念,并介绍分式的定义和基本性质。
分式是指一个整数除以另一个整数,或者一个多项式除以另一个多项式,例如1/2或(x+1)/(x-1),其中分母不能为零。
2.讲解(1)分式的定义和基本性质。
(2)分式的化简方法。
①通分,并将分式化简为最简形式。
②合并同类项,并将分式化简为最简形式。
③分解因式,并将分式化简为最简形式。
(3)分式的应用。
通过实例分析,引导学生了解应用分式的归约公式解决实际问题的方法。
3.练习教师以简单的例子引导学生进行分式的归约练习,并根据学生练习情况适时进行讲解和辅导。
4.巩固通过例题的讲解,引导学生总结并掌握分式的化简方法。
学生需掌握通分、合并同类项和分解因式这三种方法,并能够熟练运用这些方法解决实际问题。
五、教学效果的评估通过课后作业及时检查学生掌握情况,及其对分式的化简方法的灵活应用。
对学生的不足场次进行讲解,并对学生做好知识点复习和答疑辅导,六、教学反思本课程将分式的基本概念、基本方法和应用相结合。
引导学生在课堂上一步一步掌握分式化简方法。
同时通过实例分析,引导学生跨越认知层面,促使其提高数学应用能力。
课堂效果较好。
分式方程教案小班
分式方程教案小班一、教学目标1. 了解分式的基本概念和性质;2. 学会解分式方程;3. 能够应用分式方程解决实际问题。
二、教学重点1. 分式的基本概念及分式方程的解法;2. 分式方程在实际问题中的应用。
三、教学难点分式方程的解法及其应用。
四、教学过程1. 导入(5分钟)教师通过一个简单的实例引入分式的概念,例如:小明有一束花,他将花分给三个朋友,每人分得其中的1/3。
请问这束花原本有多少朵?通过这个问题,引导学生思考分式的意义和使用场景。
2. 讲解(20分钟)(1)分式的定义与基本性质教师讲解分式的定义,即分数的分子和分母,以及分式的基本性质,如约分、通分和比较大小等。
(2)分式方程的解法教师通过几个简单的分式方程示例,引导学生掌握分式方程的解法。
例如,解方程2/x = 1/4,解方程(x+2)/3 = 5/6等。
3. 练习(25分钟)教师设计一些练习题,供学生进行自主练习。
例如:(1)解方程:5/x = 2/3,4/(x+1) = 2/5,等等。
(2)应用题:小明每天有5个小时的时间做作业,他计划将时间的1/5用于写作业,1/4用于看书,剩下的时间用于玩游戏。
请问他每天玩游戏多少个小时?4. 拓展(15分钟)教师引导学生思考分式方程在实际生活中的应用场景,并结合一些实际问题进行拓展讨论。
例如:(1)甲、乙、丙三个人一起做一件工作,甲独自完成这项工作需要6小时,乙独自完成需要8小时,丙独自完成需要12小时。
请问他们同时工作需要多少小时才能完成?(2)某项工程由甲、乙两人合作完成,甲独自花20天完成,乙独自花30天完成,他们共同工作需要多少天才能完成?5. 归纳总结(10分钟)教师对整个教学内容进行归纳总结,帮助学生掌握分式方程的基本概念、解题方法和应用技巧。
六、教学反思通过本节课的教学,学生能够初步掌握分式方程的解法,理解分式的基本概念和性质,并且能够应用分式方程解决一些实际问题。
进一步培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
《分式的化简》教学设计
《分式的化简与计算复习》教学设计马晓戎一、复习目标:1.使学生系统的了解本章前两节的知识体系与知识内容,使学生在掌握通分、约分的基础上进一步掌握分式的四则运算法则及它们之间的内在联系。
2.在学生掌握基本概念、基本方法的基础上将知识融会贯通,进行一些提高训练。
3.培养学生对知识的掌握,综合运用的能力,提高学生的运算能力。
二、复习重难点:复习重点:熟练而正确地掌握分式四则运算,进一步掌握分式化简的基本方法、基本技能。
复习难点:四则混合运算中的去括号及符号问题,主要研究分式的运算,主要训练学生的基本计算技能,化简求值过程中的取值范围及取值要求等,所以要多练习、多动手才能熟练掌握。
三、复习方法:讨论交流法,小组合作法、练习法四、复习过程:2、试题特点与命题趋势陕西近几年在17题的考查上主要是以分式化简与解分式方程为主的数学计算,且二者交替出现,如2012年考查分式减法与除法的化简运算,而2011年和2013年均考查解分式方程,所以由此估计2014年的陕西中考会考查分式的化简,且化简式为三项,其中有两项或三项为分式。
3、复习知识点1:分式的化简例1:计算1-12--x x ÷x2-x 解:原式=1-12--x x ×2-x x =1—1-x x =11---x x x =—11-x 练习1、(2012 陕西)化简(b a +b -a 2-ba b -)÷b a b a +-2 练习2、计算(3-y y 2-3+y y )×y y 92- 解法归纳1:(1)、当分子、分母是多项式时,先进行分解因式。
(2)、进行通分。
(3)、进行约分,化成最简形式。
(4)、遇到除法问题,经常是把除法利用倒数的原理化成乘法问题。
4、复习知识点2:分式的化简求值例2:(2013广州,19)先化简,再求值:y x x -2-yx y -2,其中x=1+23,y=1-23 解:原式=yx y x --22=yx y x y x --+)()( =x+y把x=1+23,y=1-23代入上式,得原式=1+23+1-23=2练习3:(2013 广州)先化简,再求值:x x x 2442+-÷222x x x -+1,再选择一个你喜欢的数,代入求值。
数学化简技巧初中教案
数学化简技巧初中教案教学目标:1. 理解数学化简的概念和意义;2. 学会运用基本的数学化简技巧;3. 能够运用化简技巧解决实际问题。
教学内容:1. 数学化简的概念和意义;2. 基本的数学化简技巧;3. 实际问题的解决。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 引导学生回顾数学中的基本运算,如加法、减法、乘法、除法等;2. 提问:我们在进行数学运算时,是否会遇到复杂的表达式呢?我们应该如何简化这些表达式呢?二、新课讲解(20分钟)1. 讲解数学化简的概念和意义:化简是将复杂的数学表达式转化为更简单、更易于理解的形式。
化简可以帮助我们更方便地进行运算和解决问题。
2. 讲解基本的数学化简技巧:a. 因式分解:将多项式转化为几个整式的乘积形式;b. 合并同类项:将具有相同字母和指数的项进行合并;c. 约分:将分子和分母的公因数约去;d. 指数法则:运用指数的性质和运算法则进行化简。
3. 举例讲解:运用基本的化简技巧对一些数学表达式进行化简,如:a. \(3x^2 + 4x - 2\) → \(3x^2 + 4x - 2\)b. \(\frac{12x^3}{4x^2}\) → \(3x\)c. \((x + 1)(x - 1)\) → \(x^2 - 1\)d. \(2^3 \times 2^2\) → \(2^5\)三、课堂练习(15分钟)1. 让学生独立完成一些化简题目,巩固所学的化简技巧;2. 引导学生思考:在化简过程中,我们应该注意哪些问题?如何避免出错?四、实际问题解决(10分钟)1. 提出一些实际问题,如:求解方程、计算物理量的平均速度等;2. 引导学生运用所学的化简技巧解决这些问题;3. 讲解解题思路和步骤,让学生理解化简在实际问题中的应用。
五、总结(5分钟)1. 回顾本节课所学的内容,让学生明确数学化简的概念和意义;2. 强调基本的数学化简技巧在实际问题解决中的重要性;3. 提醒学生在学习过程中要注意积累和总结,提高自己的数学素养。
初中分式化简教案
初中分式化简教案教学目标:1. 理解分式的概念和基本性质;2. 掌握分式化简的方法和技巧;3. 能够运用分式化简解决实际问题。
教学内容:1. 分式的概念和基本性质;2. 分式化简的方法和技巧;3. 分式化简在实际问题中的应用。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 引导学生回顾整式的概念和基本性质,为新课的学习打下基础;2. 提问:我们已经学习了整式的四则运算,那么分式呢?分式有哪些基本性质?二、新课讲解(20分钟)1. 讲解分式的概念:分式是两个整式的比,其中分母不能为零;2. 讲解分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式,分式的值不变;3. 讲解分式化简的方法和技巧:a. 先将分式的分子和分母分解因式;b. 然后约去分子和分母中相同的因式;c. 最后将化简后的分式写成最简形式。
三、例题讲解(15分钟)1. 出示例题:化简分式 (3x + 5) / (2x - 3);2. 引导学生按照分式化简的方法和技巧进行计算;3. 讲解例题的解题思路和步骤。
四、课堂练习(10分钟)1. 出示练习题:化简分式 (2x^2 - 5x + 3) / (x^2 - 2x + 1) 和 (4a^3 - 9a^2 + 6a - 1) / (a^3 - 2a^2 + a);2. 让学生独立完成练习题,教师巡回指导;3. 讲解练习题的解题思路和步骤。
五、总结与拓展(5分钟)1. 总结本节课所学的内容,让学生明确分式化简的方法和技巧;2. 提问:分式化简在实际问题中的应用有哪些?引导学生思考和探索;3. 出示拓展题:某工厂生产两种产品A和B,生产一个产品A需要2小时,生产一个产品B需要3小时。
现在有8小时的生产时间,要求生产尽可能多的产品B,问最多能生产多少个产品B?教学评价:1. 课堂讲解是否清晰易懂,学生是否能理解和掌握分式的概念和基本性质;2. 学生是否能运用分式化简的方法和技巧解决实际问题;3. 学生对分式化简的练习题的完成情况,以及是否能正确解题。
化简分式的基本原理及应用初中数学教案
化简分式的基本原理及应用初中数学教案一、教学目标1、理解化简分式的基本方法及应用。
2、掌握常见分式化简法。
3、培养学生对分式概念的理解和初步的计算能力。
二、教学重点难点1、理解约分概念。
2、掌握分式的加减法。
3、解题的思维能力。
三、教学内容和教学方法1、讨论法教学法。
通过讨论分式化简的基本原理和方法,提醒学生要重视分式的约分和通分,这对于化简分式的计算非常重要。
2、演练法教学法。
通过让学生掌握分式的加减法和常见化简法的应用,以便完成更复杂的运算。
四、教学流程1、引入假设一个班有50个学生,其中20个是男生,问这个班的男女生比例是多少?请同学们思考一下怎么算这个比例。
引导学生用分式来表示这个比例,例如:男生比例是20/50,女生比例是30/50。
引出本次课程的主题:化简分式。
2、讲解化简分式的基本原理和应用分式的化简是指将一个分式转化成一个最简单的形式。
这是化简分式的基本原理。
要化简分式,需要掌握以下概念:(1) 约分:将分子和分母同时除以一个相同的非零因数,使得分式可以写成最简分数形式。
例如:28/60可以约分为7/15;(2) 通分:化简多个分式时需将它们通分,即使它们的分母相同。
例如:1/2+3/2可以通分为4/2;(3) 分式的加减法:同分母的分式可以直接相加,不同分母的分式必须通分后再加减。
3、讲解常见分式化简法分式的化简方法有以下基本法则:(1) 合并同类项:如果两个分式的分母相同,则可以将它们的分子相加合并为一个分式。
例如:1/5+2/5可以化简为3/5;(2) 去除因式:将分式的分子、分母相同的因数约去。
例如:(3a+6)/(6a)可以化简为1/2;(3) 分子分母交换:将分式的分子和分母交换后,结果不变。
例如:3/4可以化简为4/3;(4) 分离因式:将分式的分子和分母分别进行因式分解,然后将公因式约去。
例如:(2a+6)/(6a)可以化简为1/3;(5) 转化为乘除形式:将分式的加减变成乘除,则化简分式更容易。
第7讲[1].分式化简的技巧.学生版
比例的性质: ⑴ 比例的基本性质:a cad bc b d=⇔=,比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性(交换比例的内项或外项): ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性(把比例的前项、后项交换):a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性:a c a b c d b d b d ±±=⇒=,推广:a c a kb c kdb d b d±±=⇒=(k 为任意实数) 知识点睛中考要求第七讲 分式化简的技巧⑸ 等比性:如果....a c m b d n ===,那么......a c m a b d n b+++=+++(...0b d n +++≠)基本运算分式的乘法:a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法:a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方:()n nn n n a a a a a a a a b b b b b b b b⋅=⋅=⋅个个n 个=(n 为正整数)整数指数幂运算性质:⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠,m 、n 为整数) 负整指数幂:一般地,当n 是正整数时,1n n a a-=(0a ≠),即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,a b a bc c c+±=异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式再加减,a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序:先算乘方,再算乘除,后算加减,如有括号,括号内先算.结果以最简形式存在.重难点:灵活对分式进行适当变形一、基本运算【例1】 计算:⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a ba b a-⋅-÷-重、难点例题精讲⑶32231(4)()2mn m n ---÷-⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【巩固】 (2008杭州)化简22x y y x y x---的结果是( ) A .x y -- B .y x - C .x y - D .x y +【巩固】 (2008黄冈)计算a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为( )A .a bb- B .a bb+ C .a ba- D .a ba+【例2】 计算:⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵22222621616x x x x x +-++--【巩固】 (第9届希望杯试题)化简:422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+【巩固】 化简:22222222112()22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦【例3】 化简:222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-【例4】 已知:2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++,其中3a =【巩固】 当12x =-时,求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值【巩固】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值,其中1a =,12b =-,23c =-【例5】 计算:2482112482111111n nx x x x x x ++++++-+++++ (n 为自然数)【巩固】 已知24816124816()11111f x x x x x x =+++++++++,求(2)f .二、整体代入运算【例6】 已知:233mx y +=,且()22201nx y x y -=≠≠-,.试用x y ,表示mn.【巩固】 已知:34x y =,求2222222x y xy y x xy y x xy-+÷-+-的值【巩固】 已知221547280x xy y -+=,求xy的值.【例7】 已知分式1x yxy+-的值是m ,如果用x ,y 的相反数代入这个分式,那么所得的值为n ,则m 、n 是什么关系?【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342()x ax bx cx x dx+++,当1=x 时,值为 1,求该代数式当1-=x 时的值.【例8】 已知210x y xy +=,求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【巩固】 已知:12xy =-,4x y +=-,求1111x y y x +++++的值.【巩固】 已知3a ba b-=+,求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值.【例9】 已知111m n -=,求575232m mn nn mn m+---的值.【巩固】 已知:111x y x y +=+,求y xx y +的值.【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛)设1114x y -=,求2322y xy x y x xy +---【巩固】 如果235x y y x +=-,求2222410623x xy y x y +++的值.三、消元计算【例10】 已知3a b =,23a c =,求代数式a b ca b c+++-的值.【巩固】 (第9届华罗庚金杯总决赛1试)已知22(3)0x y a b -+-=,求32223322232332a x ab y b xy a x ab y b xy++++的值.【巩固】 (清华附中暑假作业)已知:2232a b ab -=,求2a ba b +-的值.【例11】 已知:230a b c -+=,3260a b c --=,且0abc ≠,求3332223273a b c ab bc a c-++-的值.【巩固】 已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠),求:::x y z【巩固】 (全国数学竞赛)若4360x y z --=,270x y z +-=(0xyz ≠),求222222522310x y z x y z +---的值.四、设比例参数【例12】 (五羊杯试题)已知232332234a b c b c a c a b +--+++==,则2332a b ca b c-++-=____________.【巩固】 (重庆市数学竞赛试题)已知345x y y z z x ==+++,则222x y z xy yz zx++++=__________.【补充】(“五羊杯”试题)设1x y z u +++=,()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+,则733x y z u +++=___________.【例13】 (天津市竞赛题)若x y z x y z x y z z y x +--+-++==,求()()()x y y z z x xyz+++的值.【巩固】 若a b c d b c d a ===,求a b c da b c d-+-+-+的值.【巩固】 已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++.求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值.【例14】 已知x y zb c a c a b a b c==+-+-+-,求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值.【巩固】 (第11届“希望杯”试题)已知9p q r ++=,且222p q rx yz y zx z xy==---,则 px qy rzx y z++++的值等于( )A. 9B.10C. 8D. 7【巩固】 已知2220(0)x yz y zx z xyxyz a b c---==≠≠,求证:222a bc b ca c ab x y z ---==.五、分式与裂项【例15】 设n 为正整数,求证:1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【巩固】 化简:111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【例16】 化简:22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【巩固】 化简:[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+【例17】 (河北省数学竞赛题)已知:1xy x y =+,2yz y z =+,3zxz x=+,求x y z ++的值.【巩固】 (华罗庚金杯培训试题)解方程组:21232(1)(2)43xy xx y xz xx z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩【例18】 化简:()()()()()()a b b c c ac a c b b a a c b c b a ---++------【巩固】 化简:222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.【巩固】 化简:222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.六、倒数法【例19】 已知:1x x -=,求221x x+的值.【巩固】设1x x -=1x x+的值.【巩固】 若11a a -=,求1a a+的值.【例20】 (05山东潍坊中考)若12x x +=,求2421x x x ++的值.【巩固】 本类题有一种典型错题,如:已知11x x +=,求1242++x x x 的值.【巩固】(湖北黄冈市初级数学竞赛)设21x a x x =++,其中0a ≠,则2421x x x =++【补充】设211xx mx =-+,求36331x x m x -+的值.【例21】 已知:2710x x -+=,求⑴1x x +;⑵221x x +;⑶441x x+的值.【巩固】 已知:2510a a -+=,求4221a a a++的值.【巩固】 已知:2310x x -+=,求221x x+的值.【例22】 (上海市高中理科实验班招生试题)已知:210a a --=,且4232232932112a xa a xa a -+=-+-,求x 的值.【巩固】 (第17届江苏省竞赛题)已知2410a a ++=,且42321533a ma a ma a++=++,求m .【巩固】已知a 是2310x x -+=的根,求5432225281a a a a a -+-+的值.【巩固】 (广西竞赛题)已知:210x x --=,求4521x x x ++【习题1】 计算: ⑴232435126111a a a a a a a-+--+-++- ⑵222434332a a a a a a --⋅-+++ ⑶22233(3)(4)m n mn ---⋅-【习题2】 先化简,再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+,其中4a = 家庭作业【习题3】 已知2232a b ab -=,0a >,0b >,求证:252a b a b +=-【习题4】 设113x y -=,求3237y xy x x xy y +-+-的值.【习题5】 (“希望杯”试题)已知234x y z ==,则222x y z xy yz zx ++=++___________.【习题6】 (第11届希望杯试题)已知a ,b ,c 为实数,且13ab a b =+,14bc b c =+,15ca c a =+,求abc ab bc ca ++.【习题7】 已知:2213a a +=,求1a a-的值.【备选1】 计算:22b a a ab b ab+--.【备选2】 (第15届希望杯试题)化简:代数式32411241111x x x x x x +++-+++.月测备选【备选3】 已知1,12x y xy +==,求代数式222()3x y x y xy +++的值.【备选4】 (第8届华罗庚金杯复赛) 已知123a b c a c ==++,求c a b+的值.【备选5】 若21(2)a x b xy -=--,且0ab >,求111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值.【备选6】 化简:222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+.【备选7】 已知x 为实数,且12x x +=,则441x x+=__________.。
分式的化简教案
分式的化简教案教学目标- 理解分式的概念和性质- 学会将分式化简为最简形式- 掌握分式的加减乘除运算规则教学准备- 黑板、粉笔- 教学课件或投影仪教学步骤1. 引入分式的概念和性质(5分钟)- 通过实例引导学生理解分式的定义和分子、分母的含义- 强调分式的化简是将分子和分母的公因子化简为最简形式2. 分式的化简方法(10分钟)- 示范将有公因子的分式化简为最简形式- 使用算式和具体的例子解释每一步的操作- 鼓励学生积极参与,自己尝试化简分式3. 分式的加减运算规则(15分钟)- 分享分式加减运算的规则和步骤- 解释为何需要找到最小公倍数来处理不同分母的分式相加减- 通过例题演示加减运算的步骤和化简过程4. 分式的乘除运算规则(20分钟)- 介绍分式乘除运算的规则和步骤- 通过具体的例子解释乘除运算的操作步骤- 强调乘除运算后需要化简分式为最简形式5. 小结和练(10分钟)- 回顾本课所学内容,强调重点和难点- 设计简单的练题,让学生运用所学知识进行实践- 对学生的研究情况进行简单总结和评价教学要点1. 分式的定义和性质2. 化简分式的步骤和方法3. 分式的加减乘除运算规则4. 将分式化简为最简形式的要求教学评价- 通过学生提问、互动和练情况,评估学生对分式的理解情况- 可以设计小组讨论活动或考试题目来检验学生的实际掌握程度教学延伸- 引导学生进行更多的分式化简练,提高熟练度- 探讨分式与实际生活问题的关系,提升学生的应用能力参考资料- 无以上是一份关于分式的化简教案,主要介绍了分式的定义、化简方法以及加减乘除运算规则。
通过逐步讲解和示范,学生将能够掌握分式化简的基本技巧,并能够运用所学知识解决实际问题。
为了巩固学生的理解和应用能力,建议在教学过程中加入练习和讨论环节。
让你掌握化简等式的技巧的教案设计
让你掌握化简等式的技巧的教案设计让你掌握化简等式的技巧
一、教学目标
1.了解等式化简的概念和步骤。
2.掌握等式化简的一些技巧。
3.能够完成等式化简练习。
二、教学重点
1.等式化简的概念和步骤。
2.等式化简的一些技巧。
三、教学难点
1.掌握等式化简的一些技巧。
2.能够灵活运用等式化简技巧。
四、教学方法
1.介绍法:介绍等式化简的概念和步骤。
2.演示法:演示等式化简的一些技巧。
3.练习法:教师布置练习题,学生自主完成。
五、教学过程
1.引入:教师出示一道等式化简题目,让学生思考该如何解
题。
2.介绍等式化简的概念和步骤。
教师介绍等式化简的概念和步骤,引导学生了解等式化简的含义以及化简时应该注意的步骤。
3.演示等式化简的一些技巧。
教师演示等式化简的一些技巧,并举例说明。
如分离变量、用分式通分、用公因数提出等。
4.练习等式化简。
教师布置等式化简的练习题,让学生自主完成并对答案进行讨论。
六、课堂小结
1.学生反馈本节课程内容。
2.课堂小结:回顾本节课所学的等式化简的概念、步骤和技
巧,以及练习等式化简的结果。
七、作业布置
教师布置等式化简的作业,以巩固学生对等式化简的掌握。
八、教学反思
本节课程旨在让学生掌握等式化简的技巧和方法,通过介绍和演示等式化简的步骤和技巧,并进行练习。
课程设计充分考虑学生的实际情况,采用多种教学方法,使得学生能够更好地理解和掌握等式化简的技巧,达到教学目标。
初中分式化解教案
初中分式化解教案教学目标:1. 让学生理解分式的概念,掌握分式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力,提高学生的数学思维水平。
教学内容:1. 分式的概念及基本性质2. 分式的运算3. 分式在实际问题中的应用教学过程:一、导入(5分钟)1. 引导学生回顾整式的知识,复习整式的四则运算。
2. 提问:我们在解决实际问题时,会遇到哪些数量关系无法用整式表示?二、新课讲解(15分钟)1. 讲解分式的概念:分式是两个整式的比,其中分母不能为零。
2. 讲解分式的基本性质:分式的分子、分母同时乘以(或除以)同一个非零整式,分式的值不变。
3. 举例说明分式的运算规则,如:分式的加减法、乘除法。
三、课堂练习(15分钟)1. 让学生独立完成练习题,巩固分式的概念和运算规则。
2. 引导学生思考:如何将实际问题转化为分式问题?四、案例分析(10分钟)1. 给出一个实际问题,如:甲、乙两人做机器零件,甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。
求甲、乙每小时各做多少个?2. 引导学生将实际问题转化为分式问题,并列出方程。
3. 讲解如何利用分式的运算规则解方程。
五、课堂小结(5分钟)1. 回顾本节课所学内容,让学生总结分式的概念、基本性质和运算规则。
2. 强调分式在实际问题中的应用价值。
六、课后作业(课后自主完成)1. 巩固分式的概念和运算规则。
2. 尝试解决一些实际问题,运用分式知识。
教学反思:本节课通过讲解分式的概念、基本性质和运算规则,让学生掌握分式的基本知识。
通过案例分析,让学生学会将实际问题转化为分式问题,并运用分式的运算规则解决问题。
在教学过程中,要注意关注学生的学习情况,及时解答学生的疑问,提高学生的学习效果。
初中数学分式化简法教案
初中数学分式化简法教案教学目标:1. 理解分式的概念和基本性质;2. 学会分式的化简方法;3. 能够运用分式化简法解决实际问题。
教学重点:1. 分式的概念和基本性质;2. 分式化简法的步骤和技巧。
教学难点:1. 分式化简法的灵活运用;2. 解决实际问题时的分式化简。
教学准备:1. 教学课件或黑板;2. 练习题。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 引导学生回顾分数的概念和基本性质,如分子、分母、约分、通分等;2. 提问:分数在实际生活中有哪些应用?二、新课讲解(20分钟)1. 介绍分式的概念,如分子、分母、分式值等;2. 讲解分式化简的意义和作用,如简化计算、解决实际问题等;3. 演示分式化简法的步骤和技巧,如约分、通分、分子分母分解等;4. 举例讲解分式化简法的应用,如解决实际问题。
三、课堂练习(15分钟)1. 布置练习题,让学生独立完成;2. 选几位学生上台展示解题过程,讲解思路和方法;3. 教师点评练习题,解答学生疑问。
四、拓展与应用(10分钟)1. 引导学生思考:分式化简法在其他学科或生活中的应用;2. 举例说明分式化简法在其他学科或生活中的应用;3. 让学生尝试解决一个实际问题,如财务计算、工程问题等。
五、总结与反思(5分钟)1. 回顾本节课所学内容,让学生总结分式化简法的概念、步骤和应用;2. 提问:你们认为分式化简法在实际生活中有哪些作用?教学评价:1. 课后作业:布置一些分式化简的练习题,检验学生掌握程度;2. 课堂表现:观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况,了解学生的学习状况。
教学反思:本节课通过讲解分式的概念、化简方法及应用,让学生掌握了分式化简的基本技能。
在课堂练习环节,学生能够独立完成练习题,并对分式化简法有了更深入的理解。
但在解决实际问题时,部分学生仍存在分式化简的困难,需要在今后的教学中加强练习和指导。
总体来说,本节课达到了预期的教学目标,学生对分式化简法的掌握情况较好。
分数化简备课教案
分数化简备课教案【教学目标】1. 理解分数化简的概念和方法;2. 能够运用不同的化简方法简化分数;3. 学会化简分数在数学运算中的应用。
【教学准备】白板、黑板笔、教学投影仪、教学PPT、练习题、学生作业本。
【教学过程】一、导入教师出示一道分数化简的题目,引导学生回顾如何将该分数化简到最简形式,激发学生的兴趣。
二、知识讲解1. 分数化简的概念分数化简是将分子和分母的公因数约去,使分数的值保持不变,并且使分子和分母之间的最大公约数为1。
2. 分数化简的方法a. 列举法:将分子和分母的因数列举出来,找到它们的最大公约数,然后将分子和分母同时除以最大公约数即可。
b. 素因数分解法:将分子和分母进行素因数分解,找到它们的公共素因子,然后将分子和分母分别除以公共素因子。
c. 分子因子法:首先用分子的因数除以分母,若能整除则继续除,直到不能整除为止。
三、示范演练教师通过示范演练,将不同方法的步骤讲解清楚,引导学生灵活运用。
四、合作探究学生分组合作解决一些分数化简的练习题,每个小组派出一人进行汇报,并解释所使用的化简方法。
五、拓展运用教师出示一些应用题,引导学生将分数化简运用到实际生活中的问题中,培养学生的综合运用能力。
六、归纳总结学生根据所学的内容归纳总结分数化简的方法和技巧,并将重点内容记录在笔记本中。
七、作业布置布置相应的作业练习,要求学生运用所学的化简方法简化分数,并完成相关题目的计算。
【教学反思】通过本堂课的教学,学生对分数化简有了更深入的理解,掌握了不同的化简方法与应用技巧。
通过合作探究和拓展运用的环节,培养了学生的合作意识和创造力。
在教学过程中,教师应注意引导学生思考和解决问题的能力,注重学生的参与和互动。
分式化简复习课教案
分式化简复习课教案一、教学目标1. 了解什么是分式化简;2. 研究分式化简的基本原则和方法;3. 掌握分式化简的常见技巧;4. 能够通过练题熟练应用所学知识。
二、教学内容1. 什么是分式化简- 分式化简是指将复杂的分式表达式化简为简单的形式,以便计算和理解。
- 一般来说,分式化简的目标是消除分母或因式分解。
2. 分式化简的基本原则和方法- 分子和分母可以同时除以一个公因子;- 分式可以合并同类项;- 分式可以展开并简化。
3. 分式化简的常见技巧- 利用最大公约数化简;- 利用分子分母同乘以适当的因式;- 利用分子分母因式分解;- 利用公式化简。
4. 分式化简的练题- 练不同类型的分式化简题目,并鼓励学生积极参与解题过程。
- 提供实际问题的分式化简题目,增强学生的应用能力。
三、教学方法1. 讲解法:通过教师对分式化简的基本概念、原则、方法进行系统讲解,帮助学生理解和掌握相关知识。
2. 案例分析法:通过解析一些实际问题的分式化简过程,引导学生将所学知识应用到实际情境中,加深理解。
3. 互动讨论法:鼓励学生积极参与课堂讨论,提出问题并与教师及同学一起探讨解决方法,促进学生的研究和思考能力。
四、教学步骤1. 引入:通过一个生活中的实例引出分式化简的概念并解释其重要性。
2. 讲解:教师对分式化简的基本原则和方法进行讲解,并通过示例演示分式化简的步骤。
3. 练:教师出示一些简单的分式化简题目,让学生在黑板上进行求解,并互相交流和讨论解题思路。
4. 深化:教师提出一些复杂的分式化简问题,引导学生分析和解决问题,并讨论不同的解题方法和思路。
5. 总结:教师对本节课所学内容进行总结,并回顾重点和难点,强调掌握分式化简的重要性和应用场景。
6. 作业:布置分式化简的作业,要求学生在家中继续练和巩固所学知识。
五、教学评估1. 课堂表现:观察学生的参与度、回答问题的准确性和及时性。
2. 练题:检查学生完成的分式化简题的正确性和方法的正确应用程度。
分式的化简应用教学设计
分式的化简应用教学设计一、教学目标:1. 理解分式的概念和性质,掌握分式的化简方法。
2. 掌握把分式应用到实际问题中的能力。
3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学重难点:1. 理解分式的概念和性质。
2. 独立解决实际问题时的分式化简过程。
三、教学准备:1. 教师:课件、教材、黑板、粉笔。
2. 学生:课本、笔、纸。
四、教学过程:1. 导入(5分钟)教师通过提问引导学生回顾分式的定义,并询问学生分式在生活中的应用。
2. 概念讲解(15分钟)教师通过课件和黑板上的示意图,详细讲解分式的概念和基本性质,包括分子、分母、化简、约分等。
3. 实例分析(20分钟)教师给出一些分式的实际问题,引导学生运用所学知识进行化简。
教师可通过黑板上的步骤演示和学生的参与讨论,逐步解决问题。
4. 锻炼训练(25分钟)教师在黑板上列出一些分式化简的练习题,并让学生独立完成。
学生可以互相讨论和交流解题思路。
5. 拓展应用(15分钟)教师设计一些拓展应用题,让学生运用所学知识解决更复杂的问题。
学生可以分组合作,通过小组讨论解答。
6. 总结与反思(10分钟)教师引导学生总结本节课的重点内容,并鼓励学生提出问题和想法。
同时,教师也对学生的课堂表现和解题能力进行评价,并提出建议和指导。
五、课后作业:1. 继续完成课堂上未完成的练习题。
2. 阅读相关的分式化简应用问题,并思考解决方法。
3. 编写一道分式化简应用题,并交给教师。
六、教学反思:本节课通过概念讲解、实例分析、锻炼训练和拓展应用等环节,有效提高学生对分式化简应用的理解和能力。
在实例分析环节,逐步引导学生思考和解决问题,激发了他们的学习兴趣。
在拓展应用环节,通过组织小组讨论和解答复杂问题,培养了学生的团队合作和解决问题的能力。
同时,通过课后作业来巩固学生的知识,有助于学生在下堂课前的知识复习和巩固。
整个教学过程中,教师要积极引导学生思考和讨论,培养他们的独立思考和解决问题的能力。
网络名师小班辅导教案-初中数学第7讲分式化简的技巧学生版
内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念,能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质,并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算,会运用适当的方法解决与分式有关的问题比例的性质: ⑴ 比例的基本性质:a cad bc b d=⇔=,比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性(交换比例的内项或外项): ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性(把比例的前项、后项交换):a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性:a c a b c d b d b d ±±=⇒=,推广:a c a kb c kdb d b d±±=⇒=(k 为任意实数) ⑸ 等比性:如果....a c m b d n ===,那么......a c m ab d n b+++=+++(...0b d n +++≠)基本运算知识点睛中考要求第七讲 分式化简的技巧分式的乘法:a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法:a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方:()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个=(n 为正整数) 整数指数幂运算性质:⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠,m 、n 为整数) 负整指数幂:一般地,当n 是正整数时,1n n a a-=(0a ≠),即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,a b a bc c c+±=异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式再加减,a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序:先算乘方,再算乘除,后算加减,如有括号,括号内先算.结果以最简形式存在.重难点:灵活对分式进行适当变形一、基本运算【例1】 计算:⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a b a b a-⋅-÷- ⑶32231(4)()2mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【巩固】 (2008杭州)化简22x y y x y x---的结果是( ) A .x y -- B .y x - C .x y - D .x y +例题精讲重、难点【巩固】 (2008黄冈)计算a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为( )A .a bb- B .a bb+ C .a ba- D .a ba+【例2】 计算:⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵22222621616x x x x x +-++--【巩固】 (第9届希望杯试题)化简:422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+【巩固】 化简:22222222112()22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦【例3】 化简:222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-【例4】 已知:2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++,其中3a =【巩固】 当12x =-时,求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值【巩固】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值,其中1a =,12b =-,23c =-【例5】 计算:2482112482111111nnx x x x x x ++++++-+++++(n 为自然数)【巩固】 已知24816124816()11111f x x x x x x =+++++++++,求(2)f .二、整体代入运算【例6】 已知:233mx y +=,且()22201nx y x y -=≠≠-,.试用x y ,表示m n.【巩固】 已知:34x y =,求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【巩固】 已知221547280x xy y -+=,求xy的值.【例7】 已知分式1x yxy+-的值是m ,如果用x ,y 的相反数代入这个分式,那么所得的值为n ,则m 、n是什么关系?【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++,当1=x 时,值为 1,求该代数式当1-=x 时的值.【例8】 已知210x y xy +=,求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【巩固】 已知:12xy =-,4x y +=-,求1111x y y x +++++的值.【巩固】 已知3a ba b-=+,求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值.【例9】 已知111m n -=,求575232m mn nn mn m+---的值.【巩固】 已知:111x y x y +=+,求y xx y +的值.【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛)设1114x y -=,求2322y xy x y x xy+---【巩固】 如果235x y y x+=-,求2222410623x xy y x y +++的值.三、消元计算【例10】 已知3a b =,23a c =,求代数式a b ca b c+++-的值.【巩固】 (第9届华罗庚金杯总决赛1试)已知22(3)0x y a b -+-=,求32223322232332a x ab y b xy a x ab y b xy++++的值.【巩固】 (清华附中暑假作业)已知:2232a b ab -=,求2a ba b +-的值.【例11】 已知:230a b c -+=,3260a b c --=,且0abc ≠,求3332223273a b c ab bc a c-++-的值.【巩固】 已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠),求:::x y z【巩固】 (全国数学竞赛)若4360x y z --=,270x y z +-=(0xyz ≠),求222222522310x y z x y z +---的值.四、设比例参数【例12】 (五羊杯试题)已知232332234a b c b c a c a b +--+++==,则2332a b ca b c-++-=____________.【巩固】 (重庆市数学竞赛试题)已知345x y y z z x==+++,则222x y z xy yz zx ++++=__________.【补充】(“五羊杯”试题)设1x y z u +++=,()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+,则733x y z u +++=___________.【例13】 (天津市竞赛题)若x y z x y z x y z z y x +--+-++==,求()()()x y y z z x xyz+++的值.【巩固】 若a b c d b c d a ===,求a b c da b c d-+-+-+的值.【巩固】 已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++.求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值.【例14】 已知x y zb c a c a b a b c==+-+-+-,求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值.【巩固】 (第11届“希望杯”试题)已知9p q r ++=,且222p q rx yz y zx z xy==---,则 px qy rzx y z++++的值等于( )A. 9B.10C. 8D. 7【巩固】 已知2220(0)x yz y zx z xy xyz a b c---==≠≠,求证:222a bc b ca c abx y z ---==.五、分式与裂项【例15】 设n 为正整数,求证:1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【巩固】 化简:111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【例16】 化简:22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【巩固】 化简:[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+【例17】 (河北省数学竞赛题)已知:1xy x y =+,2yz y z =+,3zxz x=+,求x y z ++的值.【巩固】 (华罗庚金杯培训试题)解方程组:21232(1)(2)43xy xx y xz xx z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩【例18】 化简:()()()()()()a b b c c ac a c b b a a c b c b a ---++------【巩固】 化简:222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.【巩固】 化简:222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.六、倒数法【例19】 已知:1x x -,求221x x+的值.【巩固】设1x x -=1x x+的值.【巩固】 若11a a -=,求1a a+的值.【例20】 (05山东潍坊中考)若12x x+=,求2421x x x ++的值.【巩固】 本类题有一种典型错题,如:已知11x x +=,求1242++x x x的值.【巩固】(湖北黄冈市初级数学竞赛)设21xa x x =++,其中0a ≠,则2421x x x =++【补充】设211xx mx =-+,求36331x x m x -+的值.【例21】 已知:2710x x -+=,求⑴1x x +;⑵221x x +;⑶441x x+的值.【巩固】 已知:2510a a -+=,求4221a a a++的值.【巩固】 已知:2310x x -+=,求221x x+的值.【例22】 (上海市高中理科实验班招生试题)已知:210a a --=,且4232232932112a xa a xa a -+=-+-,求x 的值.【巩固】 (第17届江苏省竞赛题)已知2410a a ++=,且42321533a ma a ma a++=++,求m .【巩固】已知a 是2310x x -+=的根,求5432225281a a a a a -+-+的值.【巩固】 (广西竞赛题)已知:210x x --=,求4521x x x ++【习题1】 计算:⑴232435126111a a a a a a a -+--+-++- ⑵222434332a a a a a a --⋅-+++ ⑶22233(3)(4)m n mn ---⋅-【习题2】 先化简,再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+,其中4a =【习题3】 已知2232a b ab -=,0a >,0b >,求证:252a b a b +=-家庭作业资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除 【习题4】 设113x y -=,求3237y xy x x xy y+-+-的值.【习题5】 (“希望杯”试题)已知234x y z ==,则222x y z xy yz zx ++=++___________.【习题6】 (第11届希望杯试题)已知a ,b ,c 为实数,且13ab a b =+,14bc b c =+,15ca c a =+,求abc ab bc ca++.【习题7】 已知:2213a a +=,求1a a-的值.【备选1】 计算:22b a a ab b ab+--.【备选2】 (第15届希望杯试题)化简:代数式32411241111x x x x x x +++-+++.【备选3】 已知1,12x y xy +==,求代数式222()3x y x y xy +++的值.【备选4】 (第8届华罗庚金杯复赛)已知123a b c a c ==++,求c a b+的值.月测备选资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除【备选5】 若21(2)a x b xy -=--,且0ab >,求111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值.【备选6】 化简:222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+.【备选7】 已知x 为实数,且12x x +=,则441x x +=__________.。
《分式化简求值的几种常见方法》公开课教案
《分式化简求值的几种常见方法》公开课教案【教学目标】1、复习分式计算的相关知识。
2、归纳总结分式化简的几种常见方法技巧。
3、通过探究把新旧知识有机结合起来找出解决问题的方法。
4、通过有效引导,提高学生解决问题的能力,激发学生数学学习的兴趣。
【教学重点】熟练掌握分式化简求值的几种常见方法。
【教学难点】能够根据题型特点迅速的找出解决问题的途径。
【教学方法】合作探究,练习,归纳【辅助手段】多媒体【教学过程】一、复习准备1、提问:平方差公式和完全平方式。
2、计算(1)已知2x-y=3,则2y+9-4x的值是多少?(2) (2x+ 3)3、因式分解(1) x2-2x+l=(2) 9x2+9x+l= 二、问题研讨(一)、连比设k法例1:已知二丫」W0,求文卫上3 4 5 x-2y-z针对练习:】、二知:右=亍贝叱/W =2、已矢口三1 刍£^^段y, n, : y : N=3 : 5 : 7 ,贝U X + -、’ + W白勺值*"——> + N(二)、整体代入法伊」2、己矢口:x — y = 4xy, 求:"+ "v-2、的值。
x — Ixy —y针对练习:1、i~~1A 矢口二 a — b = 贝lj ———=a b2、已矢口二工一工=3, 求>2x+3xy 2y白勺值x y x—2xy—y3、已矢口二JL + -L = __1,贝【」二 +二= x y x + y JC y4、L A矢口二K H——— = 3,贝llx2 -I------------- =X x~(三)倒数法彳列3、己矢口 : 小求:"TT的值针对练习:X21、己矢口:X?+4x+l=O , 求:-------- ---- 白勺值x4 + 122、若a?—3a+I=O, 贝I」一.——-------------- =a? + 3夕2 + 1 (四)非负代数式之和等于零例4、已知:a.2+b2+4a-2b+5=0, 求:支上的值a—b针对练习:1、已矢口7a - l +t>2 —4b+4=O, 贝Ll ----------- =ci — b—H 2 2、己矢口:ab — 2| + (b-l)2=0,贝I」---- ----- =1(a + l)S + D 以上环节,教师展示例题之后学生合作探究,结果展示之后师生共同明确,教师引导学生归纳总结方法,特点以及注意事项。
分式的化简教案
分式的化简教案一、教学目标1. 了解分式的定义和基本概念。
2. 学会化简分式并熟练运用化简规则。
3. 掌握化简分式过程中的常见错误和解决方法。
4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分式的定义和基本概念- 分式的基本结构- 分子、分母的概念- 表示方法:横线、冒号、括号等2. 化简分式的规则- 取公因式法化简- 分子分母同时除以相同因式化简- 加减乘除法运算规则- 例题分析和演算示范3. 常见错误和解决方法- 忽略符号的影响- 没有化简到最简形式- 未将分子、分母分别化简- 通过检验验证答案的正确性三、教学过程1. 导入:通过问题、例子或图片引入分式的概念,引发学生的思考和兴趣。
2. 知识讲解:- 介绍分式的定义和基本概念,明确分子、分母的含义。
- 讲解化简分式的规则和方法,提供多个例题进行分析和演算。
3. 教学实践:- 由教师带领学生尝试化简分式的例题,进行学生的实践操作。
- 学生分组合作解答化简分式的练题,互相讨论和纠正错误。
4. 错误分析:- 教师总结学生容易犯的错误和问题,进行详细讲解和解决方案。
5. 巩固练:- 学生独立完成一组练题,巩固化简分式的知识和技能。
- 教师进行答疑和指导,鼓励学生自主解决问题。
6. 课堂反思:- 回顾本节课的重点内容和研究效果。
- 分享学生的思考和发现,引导他们总结和归纳。
四、教学评估1. 课堂参与度:观察学生课堂发言和积极参与度。
2. 练表现:检查学生的练作业和解题过程。
3.考试考核:设计相应的分式化简试题进行考核。
五、教学资源1. 教材:教科书提供相关知识和例题。
2. 课件:使用电子课件展示理论知识和演算过程。
3. 练册:提供练题供学生练和巩固。
六、教学反馈根据学生的学习情况和课堂反应,及时调整教学策略,进一步提高教学效果。
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比例的性质: ⑴ 比例的基本性质:a cad bc b d=⇔=,比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性(交换比例的内项或外项): ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性(把比例的前项、后项交换):a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性:a c a b c d b d b d ±±=⇒=,推广:a c a kb c kdb d b d±±=⇒=(k 为任意实数) 知识点睛中考要求第七讲 分式化简的技巧⑸ 等比性:如果....a c m b d n ===,那么......a c m a b d n b+++=+++(...0b d n +++≠)基本运算分式的乘法:a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法:a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方:()n nn n n a a a a a a a a b b b b b b b b⋅=⋅=⋅个个n 个=(n 为正整数)整数指数幂运算性质:⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠,m 、n 为整数) 负整指数幂:一般地,当n 是正整数时,1n n a a-=(0a ≠),即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,a b a bc c c+±=异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式再加减,a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序:先算乘方,再算乘除,后算加减,如有括号,括号内先算.结果以最简形式存在.重难点:灵活对分式进行适当变形一、基本运算【例1】 计算:⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a ba b a-⋅-÷-重、难点例题精讲⑶32231(4)()2mn m n ---÷-⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【巩固】 (2008杭州)化简22x y y x y x---的结果是( ) A .x y -- B .y x - C .x y - D .x y +【巩固】 (2008黄冈)计算a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为( )A .a bb- B .a bb+ C .a ba- D .a ba+【例2】 计算:⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵22222621616x x x x x +-++--【巩固】 (第9届希望杯试题)化简:422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+【巩固】 化简:22222222112()22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦【例3】 化简:222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-【例4】 已知:2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++,其中3a =【巩固】 当12x =-时,求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值【巩固】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值,其中1a =,12b =-,23c =-【例5】 计算:2482112482111111n nx x x x x x ++++++-+++++ (n 为自然数)【巩固】 已知24816124816()11111f x x x x x x =+++++++++,求(2)f .二、整体代入运算【例6】 已知:233mx y +=,且()22201nx y x y -=≠≠-,.试用x y ,表示mn.【巩固】 已知:34x y =,求2222222x y xy y x xy y x xy-+÷-+-的值【巩固】 已知221547280x xy y -+=,求xy的值.【例7】 已知分式1x yxy+-的值是m ,如果用x ,y 的相反数代入这个分式,那么所得的值为n ,则m 、n 是什么关系?【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342()x ax bx cx x dx+++,当1=x 时,值为 1,求该代数式当1-=x 时的值.【例8】 已知210x y xy +=,求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【巩固】 已知:12xy =-,4x y +=-,求1111x y y x +++++的值.【巩固】 已知3a ba b-=+,求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值.【例9】 已知111m n -=,求575232m mn nn mn m+---的值.【巩固】 已知:111x y x y +=+,求y xx y +的值.【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛)设1114x y -=,求2322y xy x y x xy +---【巩固】 如果235x y y x +=-,求2222410623x xy y x y +++的值.三、消元计算【例10】 已知3a b =,23a c =,求代数式a b ca b c+++-的值.【巩固】 (第9届华罗庚金杯总决赛1试)已知22(3)0x y a b -+-=,求32223322232332a x ab y b xy a x ab y b xy++++的值.【巩固】 (清华附中暑假作业)已知:2232a b ab -=,求2a ba b +-的值.【例11】 已知:230a b c -+=,3260a b c --=,且0abc ≠,求3332223273a b c ab bc a c-++-的值.【巩固】 已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠),求:::x y z【巩固】 (全国数学竞赛)若4360x y z --=,270x y z +-=(0xyz ≠),求222222522310x y z x y z +---的值.四、设比例参数【例12】 (五羊杯试题)已知232332234a b c b c a c a b +--+++==,则2332a b ca b c-++-=____________.【巩固】 (重庆市数学竞赛试题)已知345x y y z z x ==+++,则222x y z xy yz zx++++=__________.【补充】(“五羊杯”试题)设1x y z u +++=,()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+,则733x y z u +++=___________.【例13】 (天津市竞赛题)若x y z x y z x y z z y x +--+-++==,求()()()x y y z z x xyz+++的值.【巩固】 若a b c d b c d a ===,求a b c da b c d-+-+-+的值.【巩固】 已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++.求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值.【例14】 已知x y zb c a c a b a b c==+-+-+-,求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值.【巩固】 (第11届“希望杯”试题)已知9p q r ++=,且222p q rx yz y zx z xy==---,则 px qy rzx y z++++的值等于( )A. 9B.10C. 8D. 7【巩固】 已知2220(0)x yz y zx z xyxyz a b c---==≠≠,求证:222a bc b ca c ab x y z ---==.五、分式与裂项【例15】 设n 为正整数,求证:1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【巩固】 化简:111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【例16】 化简:22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【巩固】 化简:[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+【例17】 (河北省数学竞赛题)已知:1xy x y =+,2yz y z =+,3zxz x=+,求x y z ++的值.【巩固】 (华罗庚金杯培训试题)解方程组:21232(1)(2)43xy xx y xz xx z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩【例18】 化简:()()()()()()a b b c c ac a c b b a a c b c b a ---++------【巩固】 化简:222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.【巩固】 化简:222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.六、倒数法【例19】 已知:1x x -=,求221x x+的值.【巩固】设1x x -=1x x+的值.【巩固】 若11a a -=,求1a a+的值.【例20】 (05山东潍坊中考)若12x x +=,求2421x x x ++的值.【巩固】 本类题有一种典型错题,如:已知11x x +=,求1242++x x x 的值.【巩固】(湖北黄冈市初级数学竞赛)设21x a x x =++,其中0a ≠,则2421x x x =++【补充】设211xx mx =-+,求36331x x m x -+的值.【例21】 已知:2710x x -+=,求⑴1x x +;⑵221x x +;⑶441x x+的值.【巩固】 已知:2510a a -+=,求4221a a a++的值.【巩固】 已知:2310x x -+=,求221x x+的值.【例22】 (上海市高中理科实验班招生试题)已知:210a a --=,且4232232932112a xa a xa a -+=-+-,求x 的值.【巩固】 (第17届江苏省竞赛题)已知2410a a ++=,且42321533a ma a ma a++=++,求m .【巩固】已知a 是2310x x -+=的根,求5432225281a a a a a -+-+的值.【巩固】 (广西竞赛题)已知:210x x --=,求4521x x x ++【习题1】 计算: ⑴232435126111a a a a a a a-+--+-++- ⑵222434332a a a a a a --⋅-+++ ⑶22233(3)(4)m n mn ---⋅-【习题2】 先化简,再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+,其中4a = 家庭作业【习题3】 已知2232a b ab -=,0a >,0b >,求证:252a b a b +=-【习题4】 设113x y -=,求3237y xy x x xy y +-+-的值.【习题5】 (“希望杯”试题)已知234x y z ==,则222x y z xy yz zx ++=++___________.【习题6】 (第11届希望杯试题)已知a ,b ,c 为实数,且13ab a b =+,14bc b c =+,15ca c a =+,求abc ab bc ca ++.【习题7】 已知:2213a a +=,求1a a-的值.【备选1】 计算:22b a a ab b ab+--.【备选2】 (第15届希望杯试题)化简:代数式32411241111x x x x x x +++-+++.月测备选【备选3】 已知1,12x y xy +==,求代数式222()3x y x y xy +++的值.【备选4】 (第8届华罗庚金杯复赛) 已知123a b c a c ==++,求c a b+的值.【备选5】 若21(2)a x b xy -=--,且0ab >,求111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值.【备选6】 化简:222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+.【备选7】 已知x 为实数,且12x x +=,则441x x+=__________.。