九级数学上册2.2一元二次方程的解法同步导练(新版)湘教版
2021秋九上2、2一元二次方程的解法3用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程习题湘教版
9．用配方法解方程3x2＋x＝1，应在方程两边同时( C )
A．先除以 3，再加上16 C.先除以 3，再加上316
B．先乘13，再减去16 D．先乘13，再减去316
10．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( B )
A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25 C．2t2－7t－4＝0 化为t－742＝8116 D．3x2－4x－2＝0 化为x－232＝190
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
第3课时 用配方法解二次项系数不是1的 一元二次方程
新知笔记 1 2 ≥0
提示：点击 进入习题
1B 2B 3A 4A 5B
答案显示
6C 7 －6 8 见习题 9C 10 B
11 D 12 B 13 见习题 14 见习题 15 见习题
答案显示
16 见习题
11.
下列对于配方法叙述错误的是( D )
A．二次项系数为1，一次项系数是偶数的一元二次方程都
适合用配方法求解
B．一次项系数是0的一元二次方程都不适合用配方法求解
C．用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程时，第一
步可以在方程两边同时除以二次项系数
D．用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程时，第一
A．4(x－1)2＝1
B．4(x－1)2＝5
C．4(x－1)2＝3
D．4(x－1)2＝－3
2．用配方法解一元二次方程－3x2＋4x＋1＝0的第一步是 把方程的两边同时除以( B )
A．3 B．－3 C．13 D．－13
3．【2020·聊城】用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0
时，配方正确的是( A )
湘教版九年级数学上册第2章测试题及答案
湘教版九年级数学上册第2章测试题及答案2.1 一元二次方程一、选择题1.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A. 1B. -1C. 1或﹣1D.2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A. B. C. D.3.方程（m﹣2）x +（m+2）x+5=0是关于x的一元二次方程，则（）A. m=±2B. m=﹣2C. m=2D. m=14.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A. 5（x+1）2=2（x+3）B.C. ax2+bx+c=0D. 2m2+x=35.方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是（）A. x2－5x+5=0B. x2+5x+5=0C. x2+5x－5=0D. x2+5=0二、填空题6.已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=________．7.方程3x2﹣2x﹣1=0的一次项系数是________，常数项是________．8.把方程3x（x﹣1）=（x+2）（x﹣2）+9化成ax2+bx+c=0的形式为________．9.若方程（m﹣2）x|m|+4mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为________．10.已知一元二次方程（a+3）x2+4ax+a2﹣9=0有一个根为0，则a=________．三、解答题11.已知关于x的方程（m+1）x2+（m﹣3）x﹣（2m+1）=0，m取何值时，它是一元二次方程？12.已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0，有一个根是-a(a≠0)，求a-b的值．13.已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．参考答案一、选择题1.B2.A3.B4.A5.A二、填空题6. 67.﹣2 ﹣18.2x2﹣3x﹣5=09.﹣2 10.3三、解答题11.解：∵方程（m+1）x2+（m﹣3）x﹣（2m+1）=0是关于x的一元二次方程，∴m+1≠0，即m≠﹣1．12.解：∵-a是方程x2＋bx＋a＝0的根，∴a2-ab＋a＝0.又a≠0，∴a-b＋1＝0，∴a－b＝－1.13.解：把x=m代入方程得：m2+m﹣1=0，即m2+m=1，则原式=m2+2m+1+m2﹣1=2（m2+m）=2．2.2 一元二次方程的解法一、选择题1.一元二次方程x2﹣9=0的解是（）A. x=﹣3B. x=3C. x1=3，x2=﹣3D. x=812.一元二次方程x2－4x－6＝0，经过配方可变形为（）A. (x－2)2＝10B. (x－2)2＝6C. (x－4)2＝6D. (x－2)2＝23.方程x(x+2)=0 的根是（）A. x=2B. x=0C. x1=0, x2=-2D. x1=0, x2=24.方程x2=2x的解是（）A. x=2B. x1=2，x2=0C. x1=，x2=0D. x=05.一元二次方程的解是( )A. B. C. D.二、填空题6.方程x2﹣x=0的解是________．7.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=________．8.方程5x4=80的解是________．9.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为________，确定________的值，当________时，把a ，b ，c 的值代入公式，x 1，x 2= ________，求得方程的解．10.若x 2+x ﹣1=（x+ ）2+a ，则a=________．三、解答题11.解方程：x 2﹣3x+2=0 .12.回答下面的问题：解方程：x 2﹣|x|﹣2=0．解：①x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）．②x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2．请参照例题解方程x 2+|x ﹣4|﹣8=0．参考答案一、选择题1.C2.A3.C4.B5.B二、填空题6.0或17.﹣5或18.±29.一般式方程 a ，b ，c 24b ac ≥010.﹣三、解答题11.解：x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0或x﹣2=0，解得x1=1，x2=2.12.解：当x≥4时，原方程化为x2+x﹣12=0，解得x1=3，x2=﹣4（不合题意，舍去）．当x＜4时，原方程化为x2﹣x﹣4=0，解得x1= ，x2= ，∴原方程的根是x=3或x= 或x= .2.3 一元二次方程根的判别式一、选择题1.一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的正根B. 有两个不相等的负根C. 没有实数根D. 有两个相等的实数根2.若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是（）A. a 且a≠0B. aC. aD. a 且a≠03.已知a，b，c是△ABC的三条边长，且关于x的方程（c－b）x2+2（b－a）x+（a－b）=0有两个相等的实数根，那么这个三角形是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 不等边三角形D. 直角三角形4.若一元二次方程x2+2x+m+1=0有实数根，则（）A. m的最小值是1B. m的最小值是﹣1C. m的最大值是0D. m的最大值是25.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A. x2+4=0B. x2﹣2x=0C. （x+1）2=0D. （x﹣3）（x+1）=06.下列方程，没有实数根的是（）A. x2+x-1=0B. x2+8x+1=0C. x2+x+2=0D. x2-2x+2=0二、填空题7.写一个你喜欢的整数m的值，使关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m=0有两个不相等的实数根，m=________．8.关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________ .9. 关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是________ ．10.如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为________.三、解答题11.已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．12.已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数m的值．13.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.（1）当m=8时，判断方程的根的情况；（2）当m=﹣8时，求方程的根．参考答案一、选择题1.C2. A3.B4.C5. C6.C二、填空题7. 1 8.9.10.﹣1或2三、解答题11.解：（1）根据题意，得m﹣2≠0且∆=4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得m＜6且m≠2；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0，∴（3x+4）（x+2）=0，∴x1=﹣，x2=﹣2．12.（1）证明：∵m≠0，∴方程mx2﹣（m+3）x+3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，∴∆=（m+3）2﹣4×m×3=（m﹣3）2 .∵（m﹣3）2≥0，即∆≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x=，∴x1=1，x2=.∵方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，∴为大于1的整数.∵m为整数，∴m=1．13.解：（1）当m=8时，b2﹣4ac=22﹣4×1×8=4﹣32=﹣28＜0，∴原方程没有实数根．（2）当m=﹣8时，原方程为x2+2x﹣8=0，即（x﹣2）（x+4）=0，∴x1=2，x2=﹣4．2.4 一元二次方程根与系数的关系一、选择题1.设x1，x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根，则x13﹣5x22+10=（）A. ﹣29B. ﹣19C. ﹣15D. -92.已知关于x的一元二次方程x2-6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22=24，则k的值是（）A. 8B. -7C. 6D. 53.已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（）A. -2B. 2C. 5D. 64.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0两实数根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A. 3B. -3C. 2D. -25.设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（）A. 2B. 1C. ﹣2D. ﹣1二、填空题11.已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为________.12.如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=________ .13.已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0两根为a、b，则①a+b=________②ab=________．14.已知3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．三、解答题15.已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求m的值.16.已知关于x的方程x2﹣3mx+2（m﹣1）=0的两根为x1、x2，且+ =﹣，则m的值是多少？17.已知x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根，不解方程，求：①(x1－x2)2；②＋的值．参考答案一、选择题1.B2.D3.B4.C5.D二、填空题11. 3 12.2026 13.6 -5 14.1三、解答题15.解：设方程的另一个根为k，则一个根为2k，则k+2k=3,解得k=1.∴m=1×2=2.16.解：根据题意，得x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1）.∵+ =﹣，∴=﹣，∴=﹣，解得m= .∵ ＞0，∴m的值为．17.解：由一元二次方程根与系数的关系可知：x1＋x2＝－，x1·x2＝－.所以①(x1－x2)2＝x12－2x1x2＋x22＝(x12＋2x1x2＋x22)－4x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝.②＋＝＝＝3.2.5 一元二次方程的应用一、选择题1.九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（）A. 39B. 40C. 50D. 602.某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A. 168（1+x）2=128B. 168（1﹣x）2=128C. 168（1﹣2x）=128D. 168（1﹣x2）=1283.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A. 5B. 6C. 7D. 84.某化肥厂第一季度生产了化肥为m，后每季度比上一季度多生产x％,第三季度生产的化肥为n，则可列方程为( )A. m(1＋x）2=nB. m(1＋x％）2=nC. (1＋x％）2=nD. a＋a (x％）2=n5.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（）A. 50（1+x）2=175B. 50+50（1+x）2=175C. 50（1+x）+50（1+x）2=175D. 50+50（1+x）+50（1+x）2=1756.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A. 10cmB. 13cmC. 14cmD. 16cm7.小丽要在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边制成一幅矩形挂图，使整幅挂图的面积是5400，设金色纸边的宽度为xcm，则x满足的方程是（）A. B. C. D.二、填空题8.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是________%.9.某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量平均增长率为x，则二月份的产量为________ ．若三月份产量的平均增长率为x，则三月份产量为________ ．10.如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________ m．三、解答题11.为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？12.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？参考答案一、选择题1.B2.B3.C4.B5.D6.D7.C二、填空题8.10 9.4（1+x）万吨4（1+x）2万吨10.2三、解答题11.解：∵25人的费用为2500元＜2800元，∴参加这次春游活动的人数超过25人．设该班参加这次春游活动的人数为x名.根据题意，得[100-2（x-25）]x=2800.整理，得x2-75x+1400=0.解得x1=40，x2=35.当x1=40时，100-2（x-25）=70＜75，不合题意，舍去．当x2=35时，100-2（x-25）=80＞75，符合题意．答：该班参加这次春游活动的人数为35名．12.解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元．根据题意，得（45﹣x）（20+4x）=2100，解得x1=10，x2=30．因尽快减少库存，故x=30．答：每件衬衫应降价30元.。
湘教版九年级数学上册《2.2 一元二次方程的解法》同步练习(附答案)
湘教版九年级数学上册《2.2 一元二次方程的解法》同步练习(附答案)一、选择题1.一元二次方程x2﹣4=0的解是( )A.x=2B.x=﹣2C.x1=2，x2=﹣2 D.x1=2，x2=﹣ 22.若方程x2=m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的( )A.1B.4C.14 D.123.用配方法解方程x2＋1＝8x，变形后的结果正确的是( )A.(x＋4)2＝15B.(x＋4)2＝17C.(x－4)2＝15D.(x－4)2＝174.用配方法解3x2﹣6x＝6配方得( )A.(x﹣1)2＝3B.(x﹣2)2＝3C.(x﹣3)2＝3D.(x﹣4)2＝35.用公式法解方程3x2＋4=12x，下列代入公式正确的是( )A.x1、2= B.x1、2=C.x1、2= D.x1、2=6.方程x(x﹣2)＋x﹣2＝0的解是( )A.x1＝0，x2＝0 B.x1＝﹣1，x2＝﹣2C.x1＝﹣1，x2＝2 D.x1＝0，x2＝﹣27.下列说法正确的是( )A.x2＋4＝0，则x＝±2B.x2＝x的根为x＝1C.x2﹣2x＝3没有实数根D.4x2＋9＝12x有两个相等的实数根8.若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n=0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2＋mx＋n 可分解为( )A.(x＋5)(x﹣6)B.(x﹣5)(x＋6)C.(x＋5)(x＋6)D.(x﹣5)(x﹣6)9.对于代数式﹣x2＋4x﹣5,通过配方能说明它的值一定是( )A.非正数B.非负数C.正数D.负数10.已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为( )A.1B.1，－6C.－1D.－6二、填空题11.方程：(2x﹣1)2﹣25=0的解为______.12.若一元二次方程(m﹣2)x2＋3(m2＋15)x＋m2﹣4=0的常数项是0，则m的值是．13.用配方法解一元二次方程2x2＋3x＋1=0，变形为(x＋h)2=k，则h=______，k=______.14.用配方法解一元二次方程x2＋2x﹣3=0 时，方程变形正确的是(填序号)①(x﹣1)2=2 ②(x＋1)2=4 ③(x﹣1)2=1④(x＋1)2=7.15.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x＋21＝0的根，则三角形的周长为________.16.若实数a、b满足(4a＋4b)(4a＋4b﹣2)﹣8=0，则a＋b= ．三、解答题17.解方程：2x2﹣4x＋1＝0(配方法)18.解方程：2x2－6x－1＝0(公式法)19.解方程：x(x＋4)＝﹣3(x＋4)(因式分解法).20.已知方程x2﹣4x＋m＝0的一个根为﹣2，求方程的另一根及m的值.21.用公式法解方程：2x2＋7x=4.解：∵a=2，b=7，c=4∴b2－4ac=72－4×2×4=17.∴x=－7±174即x1=－7＋174，x2=－7－174.上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正.22.解答下列各题：(1)当x为何值时，x2－10x＋12的值为－13?(2)当x为何值时，x2－7x－13的值与2x－13的值相等？23.如图，有一块长方形空地ABCD，要在中央修建一个长方形花圃EFGH，使其面积为这块空地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等．现无测量工具，只有一条无刻度且足够长的绳子，则该如何确定道路的宽？24.已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程：①x2﹣1=0②x2＋x﹣2=0③x2＋2x﹣3=0…(n)x2＋(n﹣1)x﹣n=0.(1)请解上述一元二次方程①、②、③、(n)；(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.答案1.C.2.D3.C4.A.5.D6.C.7.D.8.B9.D.10.A11.答案为：3，﹣2.12.答案为：﹣2．13.答案为：34 116. 14.答案为：②.15.答案为：1616.答案为：﹣0.5或1．17.解：(1)2x 2﹣4x ＋1＝02x 2﹣4x ＝﹣1x 2﹣2x ＝﹣12 (x ﹣1)2＝12x ﹣1＝±22解得x 1＝1﹣22，x 2＝1﹣22； 18.解：a ＝2，b ＝－6，c ＝－1Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×2×(－1)＝44.∴x＝6±2114.∴x1＝3＋112，x2＝3－112.19.解：x(x＋4)＋3(x＋4)＝0 (x＋4)(x＋3)＝0x＋4＝0或x＋3＝0所以x1＝﹣4，x2＝﹣3．20.解：把x＝﹣2代入方程x2﹣4x＋m＝0得：4＋8＋m＝0解得：m＝﹣12即方程为x2﹣4x﹣12＝0设方程的另一个根为a，则a＋(﹣2)＝4即得：a＝6即方程的另一根为6，m＝﹣12.21.解：不正确.错误原因：没有将方程化成一般形式，造成常数项c的符号错误. 正解：移项，得2x2＋7x－4=0∵a=2，b=7，c=－4∴b2－4ac=72－4×2×(－4)=81.∴x=－7±812×2=－7±94.即x1=－4，x2=12.22.解：(1)由题意，得x2－10x＋12＝－13 ∴x2－10x＋25＝0，(x－5)2＝0∴x1＝x2＝5∴当x＝5时，x2－10x＋12的值为－13.(2)由题意，得x2－7x－13＝2x－13∴x2－9x＝0∴x(x－9)＝0∴x1＝0，x2＝9∴当x＝0或9时，x2－7x－13的值与2x－13的值相等.23.解：设道路的宽为x, AD＝a, AB＝b不妨设a<b，则x<a 2 .由题意，得(a﹣2x)(b﹣2x)＝12ab解方程，得x＝a＋b±a2＋b24.当x＝a＋b＋a2＋b24时，4x＝a＋b＋a2＋b2＞a＋b＞2a，∴x＞a2∴x＝a＋b＋a2＋b24不合题意，舍去∴x＝a＋b－a2＋b24.又∵BD＝a2＋b2∴x＝14(AB＋AD﹣BD)．具体做法：先用绳子量出AB和AD的长度之和，并减去BD的长，再将AB＋AD﹣BD对折两次，即得道路的宽x＝14(AB＋AD﹣BD)．24.解：(1)①(x＋1)(x﹣1)=0所以x1=﹣1，x2=1②(x＋2)(x﹣1)=0所以x1=﹣2，x2=1；③(x＋3)(x﹣1)=0所以x1=﹣3，x2=1；(n)(x＋n)(x﹣1)=0所以x1=﹣n，x2=1(2)共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等等.。
湘教版九上数学2.2一元二次方程的解法试题及答案
2.2 一元二次方程的解法同步课堂检测考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.方程的解是（）A. B.C.或D.2.将一元二次方程用配方法化成的形式为（）A. B.C. D.3.将代数式化为的形式，正确的是（）A. B.C. D.4.一元二次方程的两个根是A. B.C. D.5.如图，是一个简单的数值运算程序．则输入的值为（）A.或B.或C.或D.6.一元二次方程的根是（）A. B.C.，D.，7.一元二次方程的根是（）A. B.C.，D.，8.若，则，的值分别是（）A.，B.，C.，D.，9.将方程配方，变形正确的是（）A. B.C. D.10.方程的正根是（）A. B.C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.________．12.方程的根是________．13.若代数式与的值相等，则________．14.已知，则方程的根为________．15.把方程变形为的形式，则方程变形后所得的方程是________．16.把一元二次方程化成的形式，则________．17.填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、________、________、________．18.方程的解是________19.对于实数，，定义运算“﹡”：﹡．例如﹡，因为，所以﹡．若，是一元二次方程的两个根，则﹡________．20.方程的根________，________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.解方程：．22.解下列方程：（配方法）（公式法）23.解方程：（配方法）24.解方程（要求用公式法）（要求用配方法）25.解下列方程：（用配方法）．26.解下列方程：（用配方法解）．答案1.C2.A3.B4.A5.B6.D7.D8.B9.C10.D11.12.，13.14.15.16.17.配方法公式法因式分解法18.，19.或20.21.解：∵，∴，∴或，解得：或；整理成一般式得：，∴．22.解：方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；这里，，，∵，∴．23.解：，，，，，，；，，，，，．24.解：方程两边都除以得：，，，；，，，，；，，，，，，；，，．，，，．25.解：，所以，；，所以，；，，，所以，；，，所以，．26.解：，解得：，．，解得：，．，解得：，．，解得：，．。
湘教版数学九年级上册2.2《一元二次方程的解法》教学设计1
湘教版数学九年级上册2.2《一元二次方程的解法》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程的解法》是湘教版数学九年级上册第二章第二节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法等。
通过本节的学习，学生能够熟练运用各种方法解一元二次方程，并为后续学习其他数学知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但一元二次方程的解法与一元一次方程的解法有很大的不同，需要学生能够理解和掌握。
在学习过程中，学生可能会对公式法和解根公式的推导过程感到困惑，需要教师进行耐心讲解和引导。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法等。
2.过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法。
2.难点：公式法和解根公式的推导过程。
五. 教学方法1.讲授法：教师讲解一元二次方程的解法，引导学生理解和解根公式的推导过程。
2.案例分析法：通过典型例题，让学生掌握一元二次方程的解法。
3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。
4.实践操作法：让学生动手解一元二次方程，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.教师准备：备好相关教学内容，准备典型例题和练习题。
2.学生准备：预习一元二次方程的解法，了解一元二次方程的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师讲解一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法等。
重点讲解公式法和解根公式的推导过程。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决典型例题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解和分析。
湘教版数学九年级上册2.2《一元二次方程的解法》教学设计2
湘教版数学九年级上册2.2《一元二次方程的解法》教学设计2一. 教材分析《一元二次方程的解法》是湘教版数学九年级上册第二章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法的基础上，进一步学习一元二次方程的解法。
一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在实际生活和工作中有着广泛的应用。
本节内容的学习，不仅能够巩固学生对一元二次方程的理解，还能够提高学生的解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的解法，部分学生可能还存在着理解上的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的困难进行有针对性的讲解和辅导。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用解法解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过学生的自主学习、合作交流，培养学生的解决问题能力和团队合作精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和坚持不懈的精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法。
2.难点：理解一元二次方程的解法原理，能够灵活运用解法解题。
五. 教学方法1.讲授法：教师讲解一元二次方程的解法原理和步骤。
2.案例分析法：教师通过典型例题的分析，引导学生理解和解题方法。
3.小组讨论法：学生分组讨论，合作解决问题。
4.实践操作法：学生通过练习题目的解答，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.投影仪和电脑。
3.练习题目。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示一元二次方程的解法，引导学生理解解法原理。
3.操练（10分钟）教师给出典型例题，学生独立解答，教师进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，合作解决练习题目，教师进行巡回指导。
5.拓展（10分钟）教师给出一些实际问题，学生运用一元二次方程的解法进行解答。
初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法-章节测试习题
章节测试题1.【答题】若是关于的方程的一个根，则______．【答案】-2或1【分析】将方程的解代入方程求解即可.【解答】解：把代入方程可得，解这个方程即可求得a值．2.【题文】解方程:x2-4x-1=0.【答案】x1=2+,x2=2-.【分析】根据配方法，可得答案.【解答】解：∵x2-4x-1=0,∴x2-4x=1,∴x2-4x+4=1+4,∴(x-2)2=5,∴x=2±,∴x1=2+,x2=2-.3.【题文】解下列方程：（1）x2+10x+25=0（2）x2﹣x﹣1=0．【答案】（1）x1=x2=﹣5；（2）x1=，x2=【分析】本题考查了一元二次方程的解法---配方法，按照先移项，再配方，后开方的步骤求解即可..【解答】解：（1）配方，得：（x+5）2=0，开方，得：x+5=0，解得x=﹣5，x1=x2=﹣5；（2）移项，得：x2﹣x=1，配方，得：x2﹣x+=，（x﹣）2=，开方，得x﹣=±，x1=，x2=．4.【题文】解方程：（1）x2﹣9=0（2）x2+2x﹣1=0．【答案】（1）x1=3，x2=﹣3；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．【分析】（1）根据本题方程的特点，用“直接开平方法”解答即可；（2）根据本题方程的特点，用“配方法”或“公式法”解答即可.【解答】解：（1）x2﹣9=0，∴x2=9，∴x=±3，∴x1=3，x2=﹣3；（2）x2+2x﹣1=0，移项得：x2+2x=1，配方得：x2+2x+1=2，∴（x+1）2=2，∴x+1=±，∴ x1=﹣1+，x2=﹣1﹣.5.【题文】用配方法解方程：．【答案】，【分析】先把常数项移到右边,两边同时加上一次项系数的一半的平方，即都加上9,把左边写成完全平方式，即的形式，然后两边开平方求出未知数的值.【解答】解:，，，，，∴，．6.【题文】用配方法说明下列结论：（1）代数式x2+8x+17的值恒大于0；（2）代数式2x-x2-3的值恒小于0【答案】（1）代数式x2+8x+17的值恒大于0（2）代数式2x-x2-3的值恒小于0【分析】运用配方法的运算方法，第一步：如果二次项数不是1，首先提取二次项系数，一次项与二次项都提取二次项系数并加括号，常数项可以不参与运算；第二步：配方，加常数项为一次项系数一半的平方，注意括号外应相应的加减这个常数项，保证配方后不改变原式的值，分别进行运算即可．【解答】解：（1）x2+8x+17= x2+8x+16-16+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0∴（x+4）2+1＞0即代数式x2+8x+17的值恒大于0（2）2x-x2-3= -x2+2x -3= -（x2-2x +3）= -（x2-2x+1-1 +3）= -［（x-1）2+2］= -（x-1）2-2∵-（x-1）2≤0∴-（x-1）2-2＜0即代数式2x-x2-3的值恒小于0．7.【题文】解方程：【答案】，【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据完全平方公式配方，配方的方法是：先将常数项移到右边，然后两边都加一次项系数一半的平方.【解答】解：，8.【题文】解方程：x2+4x﹣4=0．【答案】x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2．【分析】根据这个一元二次方程的特点，用“配方法”或“公式法”解即可.【解答】解：方程移项得：x2+4x=4，配方得：x2+4x+4=8，即（x+2）2=8，∴x+2=±2，解得：x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2．9.【题文】解方程：2x2-4x-1=0.【答案】．【分析】根据配方法解方程即可．【解答】解：移项得，2x2-4x=1，将二次项系数化为1得，，配方得，x2-2x+1=+1，，∴，∴．10.【题文】用配方法解下列方程：（1）4x2 -4x -1 = 0；（2）7x2 -28x +7= 0. (3) x2-x-4=0(4) 3x2-45=30x【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（2）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（3）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（4）整理成一般式，把二次项系数化为1，常数项移到等号的右边后，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案.【解答】解：（1）4x2 -4x -1 = 0，x2-x-=0，x2-x=，x2-x+=+，即(x-)2=，则x-1=±，；（2）7x2 -28x +7= 0，x2-4x=-1，x2-4x+22=-1+22，即(x-2)2=3，则x-2=±，x=2±，即；（3）x2-x-4=0x2-4x=16，x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，则x-2=±，x=2±，即；（4）3x2-45=30x，x2-10x=15，x2-10x+52=15+52，即(x-5)2=40，则x-5=±，x=5±，即.11.【题文】用配方法解下列方程：（1）x2+2x-8=0 （2）x2+12x-15=0（3）x2-4x=16 （4）x2=x+56【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（2）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（3）两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（4）整理成一般式，常数项移到等号的右边后，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案.【解答】解：（1）x2+2x-8=0，x2+2x=8，x2+2x+12=8+12，即(x+1)2=9，则x+1=±3，x=−1±3，即；（2）x2+12x-15=0，x2+12x=15，x2+12x+62=15+62，即(x+6)2=51，则x+6=±，x=−6±，即；（3）x2-4x=16，x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，则x-2=±，x=2±，；（4）x2=x+56，x2-x+2=56+2，（2=，则x-=±，x-=±+，即.12.【题文】x2﹣4x+1=0（用配方法）【答案】x1=2+，x2=2﹣.【分析】先移项，然后配方，解出x即可.【解答】解：x2－4x+1=0，移项，得x2－4x=－1，配方，得x2－4x+4=－1+4，即（x－2）2=3，解得，x－2=，即x1=2+，x2=2－.13.【题文】解下列方程：（1）(1+x)2－2=0；(2)9(x－1)2－4=0．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先移项，再用“直接开平方法”解方程即可；（2）先移项，再把二次项系数化为1，然后用“直接开平方法”解方程即可.【解答】解：（1）移项得：，∴，∴.（2）原方程可化为：，∴，∴.14.【题文】解关于x的方程（x+m）2=n．【答案】当时，方程无解；当时，，.【分析】由于题目中没有告诉“n”的取值范围，所以分“n0”和“n<0”进行解答即可.【解答】解：（1）当n≥0时，x+m=±，∴ x1=－m，x2=－－m．（2）当n<0时，方程无解．15.【题文】解方程：（1）x2+4x﹣1=0．（2）x2﹣2x=4．【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=1+，x2=1﹣【分析】（1）利用配方法即可解决；（2）利用配方法即可解决．【解答】解：解：（1）∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．（2）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．16.【题文】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．【答案】（1）4；（2）7；（3）2【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．【解答】解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a-b=4；（2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0，∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0，∴2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（3）∵x+y=2，∴y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，∴x2-2x+1+z2+4z+4=0，∴（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，∴xyz=2．17.【题文】“a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x2﹣4x+6=（x）2+ ；所以当x= 时，代数式x2﹣4x+6有最（填“大”或“小”）值，这个最值为．（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．【答案】（1）﹣2；2；2；小；2；（2）x2﹣1＞2x﹣3．【分析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．【解答】解：（1）x2-4x+6=（x-2）2+2，所以当x=2时，代数式x2-4x+6有最小值，这个最值为2，故答案为：-2；2；2；小；2；（2）x2-1-（2x-3）=x2-2x+2；=（x-1）2+1＞0，则x2-1＞2x-3．18.【题文】如果a、b为实数，满足+b2－12b+36=0，求ab的值．【答案】-8【分析】将原式化为+（b－6）2=0，由此可得，分别求出a、b 的值即可求出ab.【解答】解：原等式可化为+（b－6）2=0，∴，∴a=，b=6，∴ab=－8.故答案为－8.19.【题文】用配方法解下列方程：（1）x2+4x+1=0；（2）2x2－4x－1=0；（3）9y2－18y－4=0；（4）x2+3=2x.【答案】（1）x1=－2，x2=－－2；（2）x1=1+，x2=1－；（3）y1=+1，y2=1－；（4）x1=x2=.【分析】（1）先移项，再配方，解出x即可；（2）先移项，再将二次项系数化为1，最后配方解出x即可；（3）先移项，再将二次项系数化为1，最后配方解出x 即可；（4）先移项，再配方解出x即可.【解答】解：（1）移项，得x2+4x=－1，配方，得x2+4x+22=－1+22，即（x+2）2=3，解得x1=－2，x2=－－2；（2）移项，得2x2－4x=1，二次项系数化为1，得x2－2x=，配方，得x2－2x+12=+12，即（x－1）2=，解得x－1=±，即x1=1+，x2=1－；（3）移项，得9y2－18y=4，二次项系数化为1，得y2－2y=，配方，得y2－2y+12=+12，即（y－1）2=，解得y－1=±，即y1=+1，y2=1－；（4）移项，得x2－2x+3=0，配方，得（x－）2=0，解得x1=x2=.20.【题文】用配方法解方程，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．解：方程两边都除以2并移项，得，配方，得，即，解得，即．【答案】．【分析】上面过程不对，错在配方一步，改正即可.【解答】解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得x2－x+=15+，即（x－）2=，解得x－=±,即x1=3，x2=.。
【湘教版】九年级数学上册：2.2《一元二次方程的解法》教案新部编本(含答案)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法教学目标【知识与技能】1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程.2.学会用直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程.3.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣.【教学重点】运用配方法解一元二次方程.【教学难点】把一元二次方程转化为形如（x+n）2=d(d≥0)的过程.教学过程一、情景导入，初步认知1.根据完全平方公式填空：（1）x2＋6x＋9＝( )2（2）x2－8x＋16＝( )2（3）x2＋10x＋( )2＝( )2（4）x2－3x＋( )2＝( )22.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？3.你会解方程x2＋6x－16＝0吗?你会将它变成(x＋m)2＝n（n为非负数）的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础.二、思考探究，获取新知1.解方程：x 2-2500=0.问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?把方程写成x 2=2500这表明x 是2500的平方根，根据平方根的意义，得因此，原方程的解为x 1=50,x 2=-50【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根.2.解方程（2x+1）2=2解：根据平方根的有意义，得因此，原方程的根为x 1=2,x 2=-23.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？【归纳结论】对于形如（x+n ）2=d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解.直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n ）2=d (d≥0)，然后直接开平方得和.4.解方程x 2+4x=12我们已知，如果把方程x 2+4x=12写成（x+n ）2=d 的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.那么，如何将左边写成（x+n ）2的形式呢？我们学过完全平方式，你能否将左边x 2+4x 添上一项使它成为一个完全平方式.请相互交流.写出解题过程.【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x 2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.5.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流.试着写出解题过程.6.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d(d≥0)的形式.三、运用新知，深化理解1.见教材P33例3、P34例4.2.列方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导.）（1）x2-10x+24=0；（2）(2x-1)(x+3)=5；（3）3x2-6x+4=0.解：（1）移项，得x2-10x=-24配方，得x2-10x+25=-24+25，由此可得(x-5)2=1，x-5=±1，∴x1=6，x2=4.（2）整理，得2x2+5x-8=0.移项，得2x2+5x=8二次项系数化为1得x 2+5/2x=4，配方，得x 2+5/2x+(5/4)2=4+(5/4)2(x+5/4)2=89/16，由此可得，x 1=54 － ，x 2=54－. （3）移项，得3x 2-6x=-4二次项系数化为1，得x 2-2x=-4/3，配方，得x 2-2x+12=-4/3+12,(x-1)2=-1/3因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.3.解方程x 2-8x+1=0分析：显然这个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式.解：x 2-8x+1=0移项得：x 2-8x=-1配方得：x 2-8x+16=-1+16即(x-4)2=15两边开平方得：x-∴x 1x 2=44.用配方法将下列各式化为a(x+h)2+k 的形式.(1)-3x 2-6x+1；(2)2/3y 2+1/3y+2；(3)0.4x 2-0.8x-1.解：(1)-3x2-6x+1=-3(x2+2x-1/3)=-3(x2+2x+12-12-1/3)=-3［(x+1)2-4/3］=-3(x+1)2+4(2)2/3y2+1/3y－2=2/3(y2+1/2y－3)=2/3［y2+1/2y+(1/4)2－(1/4)2－3］=2/3［(y+1/4)2－49/16］=2/3(y+1/4)2－49/24.(3)0.4x2-0.8x-1=0.4(x2-2x-2.5)=0.4［(x2-2x+12)-12-2.5］=0.4(x-1)2-1.4【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的认识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题2.2”中第1、2、3题.教学反思在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动.同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习.。
湘教版九年级数学上册2.2一元二次方程的解法2.2.3因式分解法第1课时练习
7．若关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝－4，则二次三 项式x2＋bx＋c可分解为( C )
A.(x＋3)(x＋4) B．(x－3)(x－4) C．(x－3)(x＋4) D．(x＋3)(x－4) 8．一元二次方程x2＋6x－7＝0的解为( D ) A．x1＝1，x2＝7 B．x1＝－1，x2＝7 C．x1＝－1，x2＝－7 D．x1＝1，x2＝－7
13．(2019·十堰)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a －b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝__－__3_或__4_______．
14．(例7变式)解方程： (1)x(x＋5)－5(x＋5)＝0； 解：(x＋5)(x－5)＝0，x＋5＝0或x－5＝0，∴x1＝－5，x2＝5 (2)2(x－3)2＝x2－9； 解：x1＝3，x2＝9
10．设m是方程x2＋5x＝0的一个较大的根，n是方程x2－3x＋2＝0的一个 较小的根，则m＋n的值是( C )
A．－4 B．－3 C．1 D．2 11．已知实数a，b同时满足a2＋b2－11＝0，a2－5b－5＝0，则b的值是( A ) A．1 B．1，－6 C．－1 D．－6
12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二 次方程x2＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长是_4_＋__2__2___．
9．解方程： (1)x2＋12x＋27＝0； 解：∵x2＋12x＋27＝0，∴(x＋3)(x＋9)＝0，∴x＋3＝0或x＋9＝0，∴x1 ＝－3，x2＝－9 (2)x2－5x＋6＝0； 解：∵x2－5x＋6＝0，∴(x－2)(x－3)＝0，∴x－2＝0或x－3＝0，∴x1＝2， x2＝3
(3)x2＋4x－12＝0； 解：∵x2＋4x－12＝0，∴(x－2)(x＋6)＝0，∴x－2＝0，x＋6＝0，∴x1＝ 2，x2＝－6 (4)x2－3x－4＝0. 解：∵x2－3x－4＝0，∴(x＋1)(x－4)＝0，∴x＋1＝0或x－4＝0，∴x1＝ －1，x2＝4
湘教版数学九年级上册同步训练《 一元二次方程的解法》
湘教版数学九年级上册同步训练《 2.2 一元二次方程的解法》一、单选题1.若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 52.一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A. x1＝2，x2＝﹣3B. x1＝﹣2，x2＝3C. x1＝﹣2，x2＝﹣3D. x1＝2，x2＝33.关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（）A. 2或4B. 0或4C. ﹣2或0D. ﹣2或24.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A. 2B. 4C. 8D. 2或45.已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于的一元二次方程的两个根，则k的值等于A. 7B. 7或6C. 6或D. 66.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A. 16B. 24C. 16或24D. 487.用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0时，变形正确的是（）A. （x﹣5）2＝24B. （x﹣5）2＝26C. （x+5）2＝24D. （x+5）2＝268.关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（）A. 0B. 1C. -2D. 1或-29.设方程x2+x﹣1=0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（）A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣310.将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题11.已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于________．12.若，则________．13.一元二次方程的解为________．14.已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为________．15..用配方法解方程，将方程变为的形式，则 1 ．16.已知m是方程x2-2021x+1=0的一个根，则代数式m2-2022m+ +2022的值是________三、解答题17.用适当的方法解下列方程（1）（2）（3）（4）18.已知：a是不等式的最小整数解，请用配方法解关于x的方程.19..阅读下列解方程x2﹣9＝2（x﹣3）的过程，并解决相关问题．解：将方程左边分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），…第一步方程两边都除以（x﹣3），得x+3＝2，…第二步解得x＝﹣1…第三步①第一步方程左边分解因式的方法是 1 ，解方程的过程从第 2 步开始出现不符合题意，错误的原因是 3 ；②请直接写出方程的根为 4 ．20.阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），解：设，则有，原方程可化为：，续解：21..对于三个实数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用min 表示这三个数中最小的数.例如：，min ，min .请结合上述材料，解决下列问题：（1）. 1 ；（2）.若min ，则整数的值是 1 ；（3）.若min ，求的值.答案解析部分一、单选题1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D二、填空题11.【答案】612.【答案】613.【答案】x= 或x=214.【答案】-115.【答案】116.【答案】2021三、解答题17.【答案】（1）∴；（2）∴；（3）或∴；（4）∴；18.【答案】解：∵；∴；∴；∴；∵a是不等式的最小整数解，∴；∴关于x的方程；∴；∴；∴；∴，.19.【答案】公式法；二；x﹣3可能为0；x1＝3，x2＝﹣120.【答案】解：续解：，，解得，（不合题意，舍去），，，，，经检验都是方程的解.21.【答案】（1）3（2）2、3（3）解：依据表示这三个数的平均数；依据表示这三个数中最小的数；又；且∴，∴，∴或；。
九年级数学上册 2.2.2 公式法同步导练 (新版)湘教版
2.2.3 公式法基础导练1.一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．1m >-C ．1m >D ．1m <-3.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是_____________.能力提升4.如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.5.用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ；（2）(2)(35)1x x --=；（3）20.30.8y y +=.6.求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．参考答案 1.B 2.C 3.94m ≤ 4.1k <- 5.解：（1）将方程化为一般形式22810x x +-=，∴2a =，8b =，1c =-,∴224842(1)720b ac -=-⨯⨯-=>,∴x ==1x =，2x =． （2）将方程化为一般形式231190x x -+=，∴3a =，11b =-，9c =,∴224(11)439130b ac -=--⨯⨯=>,∴x ==1x =，2x =． （3）将方程化为一般形式20.30.80y y +-=，∴0.3a =，1b =，0.8c =-,∴224140.3(0.8) 1.960b ac -=-⨯⨯-=>,∴y =10146-±=，∴14y =-，223y =． 6.证明：∵∆＝2224(21)41(1)450b ac k k k -=+-⨯⨯-=+>恒成立，∴方程有两个不相等的实数根．。
【学海风暴】2016湘教版九年级数学上册(同步导练)2.2一元二次方程的解法
2.2一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：解一元二次方程需根据方程特点选用适当方法，一般情况下：（1）首先看能否用平方根的意义或因式分解法；（2）不能用以上方法的可考虑公式法；（3）除特别指明外，一般不用配方法.基础导练1.一元二次方程x2-4x+2=0的根是.2.已知x=1是一元二次方程x2+m x+n=0的一个根，则m+n的值是.3.一元二次方程x2+5x+6=0的根是.4.方程x2-x-12=0的解是.5.下列方程中，不能用平方根的意义求解的是( )A.x2-3=0B.(x-1)2-4=0C.x2+2x=0D.(x-1)2=(2x+1)26.用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时，方程变形正确的是( )A.(x-1)2=2B.(x-1)2=4C.(x-2)2=1D.(x-2)2=77.方程4(x-3)2+x(x-3)=0的根为( )A.x=3B.x=C.x1=-3，x2=D.x1=3，x2=8.方程x2+x-1=0的根是( )A.1-B.C.-1+D.能力提升9.阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是=ad-bc.例如：=1×4-2×3=-2,=(-2)×5-4×3=-22.(1)按照这个规定请你计算的值；(2)按照这个规定请你计算：当x2-4x+4=0时，的值.10.已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程(x2-2x)-5(x-2)=0的根，求△ABC的周长.11.分解因式x2+2x-1.参考答案基础导练1.x1=2+，x2=2-2.-13.x1=-2，x2=-3 4.x1=4，x2=-3 5.C 6.B 7.D 8.D能力提升9. (1)=5×8-6×7=-2.（2）由x2-4x+4=0得x=2，==3×1-4×1=-1.10.原方程可化为x(x-2)-5(x-2)=0，∴(x-5)(x-2)=0，∴x1=5，x2=2.∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，∴第三边的长x的取值范围是1<x<5，∴x=2，∴△ABC的周长为2+3+2=7.11..解：x2+2x-1=x2+2x+1-1-1= (x+1)2-2= (x+1+) (x+1-)。
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2.2一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：
解一元二次方程需根据方程特点选用适当方法，一般情况下：（1）首先看能否用平方根的意义或因式分解法；（2）不能用以上方法的可考虑公式法；（3）除特别指明外，一般不用配方法.
基础导练
1.一元二次方程x2-4x+2=0的根是 .
2.已知x=1是一元二次方程x2+m x+n=0的一个根，则m+n的值是 .
3.一元二次方程x2+5x+6=0的根是 .
4.方程x2-x-12=0的解是 .
5.下列方程中，不能用平方根的意义求解的是( )
A.x2-3=0
B.(x-1)2-4=0
C.x2+2x=0
D.(x-1)2=(2x+1)2
6.用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时，方程变形正确的是( )
A.(x-1)2=2
B.(x-1)2=4
C.(x-2)2=1
D.(x-2)2=7
7.方程4(x-3)2+x(x-3)=0的根为( )
A.x=3
B.x=
12
5
C.x1=-3，x2=
12
5
D.x1=3，x2=
12
5
8.方程x2+x-1=0的根是( )
能力提升
9.阅读材料：对于任何实数，我们规定符号a b
c d
的意义是
a b
c d
=ad-bc.
例如：12
34
=1×4-2×3=-2,
24
35
-
=(-2)×5-4×3=-22.
(1)按照这个规定请你计算56
78
的值；
(2)按照这个规定请你计算：当x2-4x+4=0时，
12
123
x x
x x
+
--
的值.
10.已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程(x2-2x)-5(x-2)=0的根，求△ABC的周长.
11.分解因式x2+2x-1.
参考答案
基础导练
1.x1x21=-2，x2=-3 4.x1=4，x2=-3 5.C 6.B 7.D 8.D
能力提升
9. (1)56
78
=5×8-6×7=-2.
（2）由x2-4x+4=0得x=2，
12
123
x x
x x
+
--
=
34
11
=3×1-4×1=-1.
10.原方程可化为x(x-2)-5(x-2)=0，∴(x-5)(x-2)=0，∴x1=5，x2=2. ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∴第三边的长x的取值范围是1<x<5，∴x=2，
∴△ABC的周长为2+3+2=7.
11..解：x2+2x-1
= x2+2x+1-1-1
= (x+1)2-22
= (x+1+2) (x+1-2)。