(新课标)高考数学二轮专题复习第三部分讲重点解答题专练专题5解析几何作业31理
高考数学《解析几何》专项训练及答案解析
高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。
2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练专题15解析几何小题压轴练(解析版)
解析几何小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)一、单选题1.(2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=60°，PF 2的延长线交双曲线于点Q ，若双曲线的离心率为e =72，则PQ F 1Q=()A.23B.813C.815D.12【答案】B【分析】利用双曲线的定义得到PF 2 ,F 2Q ,PF 1 ,F 1Q 关于k ,m ,n 的表达式，在△PF 1F 2与△PF 1Q 中利用余弦定理求得m =2k 与n =65k ，从而求得PQ ,F 1Q 关于k 的表达式，由此得解.【详解】因为双曲线的离心率为e =72，即c a =72，令a =2k k >0 ，则c =7k ，所以F 1F 2 =2c =27k ，2a =4k ，不妨设点P 在双曲线的右支上时，如图，记PF 2 =m ,F 2Q =n ，则由双曲线的定义得PF 1 -PF 2 =2a ,F 1Q -F 2Q =2a ，所以PF 1 =4k +m ,F 1Q =4k +n ，在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=60°，则F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos60°，即28k 2=4k +m 2+m 2-24k +m m ×12，整理得12k 2-4km -m 2=0，解得m =2k 或m =-6k (舍去)，故PF 1 =4k +m =6k ，PQ =m +n =2k +n ，在△PF 1Q 中，∠F 1PF 2=60°，则F 1Q 2=PF 1 2+PQ 2-2PF 1 PQ cos60°，即4k +n 2=36k 2+2k +n 2-2×6k 2k +n ×12，整理得12k 2-10kn =0，解得n =65k ，则PQ =2k +n =2k +65k =165k ，F 1Q =4k +n =265k ，所以PQ F 1Q=165k 265k =813；故选：B .2.(2023·山东潍坊·统考模拟预测)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点F 2与抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，点P 为C 1与C 2的一个交点，若△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，C 2的准线与C 1交于A ，B 两点，且AB =92，则C 1的离心率为()A.94B.54C.95D.74【答案】B【分析】令F 1(-c ,0),F 2(c ,0)，由题设知c=p 2>0且AB =2b 2a 求得4b 2=9a ，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与F 1F 2的切点C 的位置，进而求离心率.【详解】由题设F 1(-c ,0),F 2(c ,0)，又点F 2与抛物线的焦点重合，即c =p2>0，由-c2a 2-y 2b 2=1a 2+b 2=c2，则y =±b 2a ，故AB =2b 2a =92，即4b 2=9a ，如下图示，内切圆与△PF 1F 2各边的切点为D ,E ,K ，所以PD =PE ,DF 1= KF 1, EF 2= KF 2 ，又|PF 1|-|PF 2|=2a ，则PD +DF 1)-PE + EF 2)= DF 1- EF 2= KF 1- KF 2 =2a ， 所以K 为双曲线右顶点，又△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，即a =4，故b 2=9，则c =5，所以离心率为e =c a =54.故选：B3.(2023·江苏南通·海安高级中学校考一模)双曲线C :x 2-y 2=4的左，右焦点分别为F 1,F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ,B 两点，△AF 1F 2,△BF 1F 2,△F 1AB 的内切圆圆心分别为O 1,O 2,O 3，则△O 1O 2O 3的面积是()A.62-8B.62-4C.8-42D.6-42【答案】A【分析】由题意画出图，由已知求出c 的值，找出A ,B 的坐标，由△AF 1F 2,△BF 1F 2,△F 1AB 的内切圆圆心分别为O 1,O 2,O 3，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出△O 1O 2O 3的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.【详解】由题意如图所示：由双曲线C:x2-y2=4，知a2=b2=4，所以c2=a2+b2=8，所以F2(22,0)，F1F2=2c=42所以过F2作垂直于x轴的直线为x=22，代入C中，解出A22,2,B22,-2，由题知△AF1F2,△BF1F2的内切圆的半径相等，且AF1=BF1，△AF1F2,△BF1F2的内切圆圆心O1,O2的连线垂直于x轴于点P，设为r，在△AF1F2中，由等面积法得：1 2AF1+AF2+F1F2⋅r=12F1F2⋅AF2由双曲线的定义可知：AF1-AF2=2a=4由AF2=2，所以AF1=6，所以126+2+42⋅r=12×42×2，解得：r=222+2=22×2-22=22-2，因为F1F2为△F1AB的∠AF1B的角平分线，所以O3一定在F1F2上，即x轴上，令圆O3半径为R，在△AF1B中，由等面积法得：1 2AF1+BF1+AB⋅R=12F1F2⋅AB，又AF1=BF1=F1F22+AF12=422+22=6所以12×6+6+4⋅R=12×42×4，所以R=2，所以PF 2 =r =22-2，O 3P =O 3F 2 -PF 2 =R -r =2-22-2 =2-2，所以S △O 1O 2O 3=12O 1O 2 O 3P =12×2r ×O 3P =r ×O 3P =22-2 ×2-2 =62-8，故选：A .4.(2023·湖南永州·统考二模)如图，F 1,F 2为双曲线的左右焦点，过F 2的直线交双曲线于B ,D 两点，且F 2D =3F 2B ，E 为线段DF 1的中点，若对于线段DF 1上的任意点P ，都有PF 1 ⋅PB ≥EF 1 ⋅EB 成立，则双曲线的离心率是()A.2B.3C.2D.5【答案】D【分析】取F 1B 中点Q ，根据向量数量积的运算律和向量线性运算可将已知数量积不等式化为PQ 2≥EQ 2，由此可确定EQ ⊥DF 1，由三角形中位线性质知DF 1⊥BD ；设BF 2 =m ，结合双曲线定义可表示出DF 1 ,BF 1 ，在Rt △BDF 1和Rt △DF 1F 2中，利用勾股定理可求得离心率.【详解】取F 1B 中点Q ，连接PQ ,EQ ,DQ ，∵PF 1 ⋅PB =14PF 1 +PB 2-PF 1 -PB 2 =144PQ2-BF 1 2 =PQ 2-14BF 1 2，EF 1 ⋅EB =14EF 1 +EB 2-EF 1 -EB 2 =144EQ2-BF 1 2 =EQ 2-14BF 1 2，∴PQ 2-14BF 1 2≥EQ 2-14BF 1 2，则PQ 2≥EQ 2，∴PQ ≥EQ 恒成立，∴EQ ⊥DF 1，又EQ ⎳BD ，∴BD ⊥DF 1，设BF 2 =m ，由F 2D =3F 2B得：BD =2m ，根据双曲线定义可知：DF 1 =DF 2 -2a =3m -2a ，BF 1 =BF 2 +2a =m +2a ，∵BD 2+DF 1 2=BF 1 2，即4m 2+3m -2a 2=m +2a 2，∴m =43a ，∴DF 1 =2a ，DF 2 =4a ，又DF 2 2+DF 1 2=F 1F 2 2，∴20a 2=4c 2，∴e 2=c 2a2=5，则离心率e =5.故选：D .5.(2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两焦点为F 1，F 2，x 轴上方两点A ，B 在椭圆上，AF 1与BF 2平行，AF 2交BF 1于P .过P 且倾斜角为αα≠0 的直线从上到下依次交椭圆于S ，T .若PS =βPT ，则“α为定值”是“β为定值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要也不充分条件【答案】D【分析】先求出P 的轨迹，其轨迹方程为x 2a 2+c 22a2+y 2a 2-c 22a2=1，取α=π4，结合特殊情形可得“当α取定值，β是定值”是错误的；再由β是定值可得α=π2，从而可判断当β取定值，α是定值”是错误的，从而可得正确的选项.【详解】设M x ,y 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上的动点，c 为椭圆的半焦距，故F 1-c ,0 ，故MF 1 =x +c2+y 2=x +c 2+b 21-x2a2=x +c 2+b 21-x2a2=c 2x 2a 2+2cx +a 2=a +c a x ，设直线l :x =-a 2c ，则M 到该直线的距离为d =x +a 2c，故MF 1 d=ca =e ，如图，设直线MF 1的倾斜角为γ，过M 作l 的垂线，垂足为S ，则MF 1MF 1 cos γ+a 2c-c=e ，故MF 1 =e ×b 2c1-e cos γ，设p =b 2c ，故MF1=ep1-e cosγ，同理MF2=ep1+e cosγ.设AF1的倾斜角为θ，则MF1=ep1-e cosθ，MF2=ep1+e cosθ，因为AF1⎳BF2，故BF2AF1=F2PAP，所以BF2AF1+BF2=F2PAP+F2P=F2PAF2=F2P2a-AF1，所以F2P=BF22a-AF1AF1+BF2，同理F1P=AF12a-BF2AF1+BF2，故F2P+F1P=2a-2BF2×AF1AF1+BF2=2a-ep，故P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆，其长半轴长为a-ep2=a2+c22a，短半轴长为a2+c224a2-c2=a2-c22a，故P的轨迹方程为：x2 a2+c2 2a2+y2a2-c22a2=1，其中y>0.取α=π2，PS2PT2=y S-y P2y S+y P2=y Sy P-12y Sy P+12,而a2≠a4+2a2c2+c44a2，故PS2PT2不是定值即β不是定值.故“当α取定值，β是定值”是错误的.又直线ST的参数方程为：x=x0+t cosαy=y0+t sinα，设S x0+t1cosα,y0+t1sinα,T x0+t2cosα,y0+t2sinα，由x0+t cosα2a2+y0+t sinα2b2=1整理得到：cos2αa2+sin2αb2t2+2x0cosαa2+y0sinαb2t+x20a2+y20b2-1=0，故t1+t2=-2x0cosαa2+y0sinαb2cos2αa2+sin2αb2t1t2=x20a2+y20b2-1cos2αa2+sin2αb2，而PS=βPT，故1-βt2=-2x0cosαa2+y0sinαb2cos2αa2+sin2αb2-βt22=x20a2+y20b2-1cos2αa2+sin2αb2，所以1-β2-4β=x0cosαa2+y0sinαb22cos2αa2+sin2αb2x20a2+y20b2-1，若β为定值，则1-β2-4β为定值，而1-β2-4βcos2αa2+sin2αb2=x0cosαa2+y0sinαb22x20a2+y20b2-1，故当P x0,y0变化时，x0cosαa2+y0sinαb22x20 a2+y20b2-1始终为定值，又x0cosαa2+y0sinαb22x20a2+y20b2-1=x20cos2αa4+2x0y0cosαsinαa2b2+y20sin2αb2x20a2+y20b2-1=x20cos2αa4+2x0y0cosαsinαa2b2+b22a21-x20a2+c224a2sin2αb2x20a2+b22a21-x20a2+c224a2b2-1=x20cos2αa4-b2sin2αa2+c22+2x0y0cosαsinαa2b2+b2sin2α4a2x201a2-b2a2+c22+b24a2-1故cos2αa4-b2sin2αa2+c221a2-b2a2+c22=b2sin2α4a2b24a2-1且cosαsinαa2b2=0，但α≠0,α∈0,π，故α=π2，所以1-β2-4β=y0b221b2x20a2+y20b2-1=y20b2x20a2+y20-1=y20b2×a2+c224a21-y20b24a2a2+y20-1=y20b2×a2+c224a2a2-1+1-a2+c22a2y20，但此时1-β2-4β随y 20的变化而变化，不是定值，故“当β取定值，α是定值”是错误的.故选：D .【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.6.(2023·江苏南通·二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为()A.54B.85C.52D.2105【答案】D【分析】设PF 1 =n ，PF 2 =m ，有n -m =2a ，n 2+m 2=4c 2，mn =2b 2，由弦长公式可得MN =23c 2 2-n 2 2，AB=23c 2 2-m 2 2，四边形AMBN 的面积为12AB ⋅MN ，解得c 2=83b 2，可求双曲线的离心率.【详解】根据对称性不妨设点P 在第一象限，如图所示，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，圆心为O 0,0 ，半径为3c2，设PF 1 =n ，PF 2 =m ，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，则有n -m =2a ，n 2+m 2=4c 2，可得mn =2b 2，过O 作MN 的垂线，垂足为D ，O 为F 1F 2的中点，则OD =12PF 1 =n2，MN =23c 2 2-n 22，同理，AB =23c 2 2-m 2 2，由AB ⊥MN ，四边形AMBN 的面积为12AB ⋅MN =12×23c 2 2-m 22×23c 2 2-n 22=9b 2，481c 416-m 2+n 24 9c 24+m 2n 216 =481c 416-9c 44+b 44=81b 4，化简得c 2=83b 2，则有a 2=c 2-b 2=53b 2，则C 的离心率e =c a =85=2105.故选：D7.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)如图，已知椭圆C 1和双曲线C 2具有相同的焦点F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，A 、B 、C 、D 是它们的公共点，且都在圆x 2+y 2=c 2上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若椭圆C 1的离心率为155，则k 1⋅k 2的值为()A.2B.52C.3D.4【答案】D【分析】设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，双曲线方程为x 2s 2-y 2t 2=1，根据椭圆离心率得到b 2=25a 2，故椭圆方程为2x 2+5y 2=2a 2，联立x 2+y 2=c 2求出A 点坐标，从而由对称性得到B ,C ,P 点坐标，表达出CP :y =55x -306b，将A 点代入双曲线方程，结合s 2+t 2=a 2-b 2=32b 2得到s 2=b 22，t 2=b 2，得到双曲线方程2x 2b 2-y 2b 2=1，联立CP :y =55x -306b，得到两根之和，两根之积，表达出Q 73054b ,-6b27，从而求出k 1,k 2，得到乘积.【详解】设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，双曲线方程为x 2s 2-y 2t 2=1，则a 2-b 2=s 2+t 2=c 2，由c a =155可得3a 2=5c 2，因为c 2=a 2-b 2，所以b 2=25a 2，故椭圆方程为2x 2+5y 2=2a 2，联立x 2+y 2=c 2可得：x 2=c 2-23b 2=32b 2-23b 2=56b 2，y 2=2b 23，则A 306b ,63b，由对称性可知A 、C 两点关于原点对称，A 、B 两点关于x 轴对称，则B 306b ,-63b，C -306b ,-63b ，所以P 306b ,0，故k CP =0+63b 306b +306b =55，直线CP :y =55x -306b，A 306b ,63b 代入x 2s 2-y 2t 2=1中得，5b 26s 2-2b 23t2=1①，又s 2+t 2=a 2-b 2=52b 2-b 2=32b 2②，②①结合得到s 2=5b 22或s 2=b 22，因为a 2=52b 2，显然s <a ，故s 2=b 22，所以t 2=32b 2-b 22=b 2，故双曲线方程为2x 2b 2-y 2b 2=1，联立CP :y =55x -306b 与2x 2b 2-y 2b2=1得：95x 2+3015bx -76b 2=0，设Q x 1,y 1 ，则-306bx 1=-76b 2⋅59，解得：x 1=73054b ，故y 1=5535930b -306b=-6b 27，所以Q 73054b ,-6b27，所以k 2=63b +6b27306b -73054b =25，其中k 1=63b +63b 306b +306b =255，故k 1k 2=25×255=4.故选：D【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题，共焦点的椭圆和双曲线的重要结论：①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为e 1,e 2，P 为它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则sin θe 12+cos θe 22=1；②若点P x 0,y 0 是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线C 2:x 2m 2-y 2n 2=1m >0,n >0 的一个公共点，且它们在P x 0,y 0 处的切线互相垂直，则椭圆C 1与双曲线C 2有公共焦点.二、多选题1.(2023·广东·统考一模)已知拋物线E :y 2=8x 的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(点A 和点C 在点B 的两侧)，则下列命题正确的是()A.若BF 为△ACF 的中线，则AF =2BFB.若BF 为∠AFC 的角平分线，则AF =6C.存在直线l ，使得AC =2AFD.对于任意直线l ，都有AF +BF >2CF【答案】AD【分析】设l :x =ky -2，不妨令A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在第一象限，C (-2,0),F (2,0)，联立抛物线，根据已知及韦达定理得k 2>1、y 1+y 2=8k ,y 1y 2=16，则x 1+x 2=8k 2-4,x 1x 2=4，再根据各项描述、抛物线定义判断它们的正误.【详解】由题意，设l :x =ky -2，不妨令A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在第一象限，C (-2,0),F (2,0)，联立E :y 2=8x ，则y 2-8ky +16=0，且Δ=64(k 2-1)>0，即k 2>1，所以y 1+y 2=8k ,y 1y 2=16，则x 1+x 2=8k 2-4,x 1x 2=4，如上图所示.A ：若BF 为△ACF 的中线，则y 2=y 12，所以y 1=42，所以x 1=4，故A (4,42)，所以B (1,22)，则AF =2BF =6，故A 正确；B ：若BF 为∠AFC 的角平分线，则BC AB=CF AF，作AD ,BE 垂直准线x =-2于D ,E ，则|AF |=|AD |且BC AB=CE DE，所以CF AD=CE DE，即CF AD +CF=CE CD=BE AD，则4x 1+6=x 2+2x 1+2，将x 2=4x 1>0代入整理，得x 21-4x 1-12=(x 1-6)(x 1+2)=0，则x 1=6，所以AF =x 1+2=8，故B 错误；C ：若AC =2AF ，即AC =2AD ，即△ACD 为等腰直角三角形，此时CD =AD ，即A (y 1-2,y 1)，所以y 21=8y 1-16，所以y 21-8y 1+16=0，所以y 1=4，所以y 2=4，则此时A ,B 为同一点，不合题设，故C 错误；D ：AF +BF =AD +BE =x 1+x 2+4=8k 2，而2CF =8，结合k 2>1，可得8k 2>8，即AF +BF >2CF 恒成立，故D 正确.故选：AD .2.(2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测)已知P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 是椭圆x 24+9y 24=1上两个不同点，且满足x 1x 2+9y 1y 2=-2，则下列说法正确的是()A.2x 1+3y 1-3 +2x 2+3y 2-3 的最大值为6+25B.2x 1+3y 1-3 +2x 2+3y 2-3 的最小值为3-5C.x 1-3y 1+5 +x 2-3y 2+5 的最大值为25+2105D.x 1-3y 1+5 +x 2-3y 2+5 的最小值为10-22【答案】AD【分析】设x =m ,3y =n ，设C (m 1,n 1),D (m 2,n 2)，可得OC =(m 1,n 1)，OD =(m 2,n 2),可得C 、D 两点均在圆m 2+n 2=4的圆上，且∠COD =2π3，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得2x 1+3y 1-3 5+2x 2+3y 2-35及x 1-3y 1+52+x 2-3y 2+52的最值，可得答案.【详解】由x 24+9y 24=1，可得x 2+9y 2=4，又P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 是椭圆x 2+9y 2=4上两个不同点,可得x 12+9y 12=4,x 22+9y 22=4，设x =m ,3y =n ，则m 2+n 2=4，设C (m 1,n 1),D (m 2,n 2),O 为坐标原点，可得OC =(m 1,n 1)，OD=(m 2,n 2),可得m 12+n 12=4,m 22+n 22=4，且m 1m 2+n 1n 2=-2，所以OC ⋅OD =-2，cos OC ,OD =OC ⋅ODOC ⋅OD=-12，又OC ,OD ∈0,π ，可得C 、D 两点均在圆m 2+n 2=4的圆上，且∠COD =2π3，设CD 的中点为E ，则OE =2cosπ3=1,根据点到直线的距离公式可知：2x 1+3y 1-35+2x 2+3y 2-35=2m 1+n 1-35+2m 2+n 2-35为点C 、D两点到直线2x+y-3=0的距离d1、d2之和，设E到直线2x+y-3=0的距离d3，由题可知圆心到直线2x+y-3=0的距离为-322+1=35，则d1+d2=2d3≤2EO+3 5=21+35=2+65，d1+d2=2d3≥235-EO=235-1=65-2可得d1+d2的最大值为2+65，d1+d2的最小值为65-2；可得2x1+3y1-3+2x2+3y2-3=5(d1+d2)，可得2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为5×2+65=25+6，最小值为6-25，故A正确，B错误；同理，x1-3y1+52+x2-3y2+52=m1-n1+52+m2-n2+52为点C、D两点到直线x-y+5=0的距离d4、d5之和，设E到直线x-y+5=0的距离d6，由题可知圆心到直线x-y+5=0的距离为512+1=52，则d4+d5=2d6≤252+1=52+2，d4+d5=2d6≥252-1=52-2，可得x1-3y1+5+x2-3y2+5=2(d4+d5)，可得2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为10+22，最小值为10-22，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得.3.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)设F1，F2为椭圆x24+y23=1的左，右焦点，直线l过F1交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是()A.△ABF2的周长为定值8B.△ABF2的面积最大值为23C.AF12+AF22的最小值为8 D.存在直线l使得△ABF2的重心为16,14【答案】ACD【分析】利用椭圆的定义可判断A，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C，设直线l的方程为x= my-1，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出△ABF2的面积，△ABF2的重心进而判断BD.【详解】由椭圆x24+y23=1，可得a=2,b=3,c=1，所以△ABF2为AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8，故A正确；因为AF1+AF2=4，所以AF12+AF22≥AF1+AF222=8，当且仅当AF1=AF2取等号，故C正确；由题可设直线l 的方程为x =my -1，由x =my -1x24+y 23=1 ，可得3m 2+4 y 2-6my -9=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，所以y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=6m3m 2+42-4-93m 2+4=12m 2+13m 2+4，所以△ABF 2的面积为S =12F 1F 2 y 1-y 2 =12m 2+13m 2+4，令t =m 2+1，则t ≥1，m 2=t 2-1，所以S =12m 2+13m 2+4=12t 3t 2+1=123t +1t，因为t ≥1，由对勾函数的性质可知3t +1t≥4，所以S =12m 2+13m 2+4=12t 3t 2+1=123t +1t≤3，当t =1，即m =0取等号，故B 错误；由上可知y 1+y 2=6m3m 2+4所以x 1+x 2=m y 1+y 2 -2=6m 23m 2+4-2=-83m 2+4，又F 21,0 ，所以△ABF 2的重心为131-83m 2+4,2m 3m 2+4，令131-83m 2+4 =162m 3m 2+4=14，解得m =2，所以当直线l 的方程为x =2y -1时△ABF 2的重心为16,14，故D 正确.故选：ACD .4.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，直线l 与C 交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是()A.若直线l 经过焦点F ，且OA ⋅OB=-12，则p =2B.若AF =3FB ，则直线l 的倾斜角为π3C.若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则ABMN的最小值为2D.若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切【答案】BC【分析】A 选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由OA ⋅OB=-12列出方程，求出p =4，A 错误；B 选项，先得到直线l 经过抛物线焦点，与A 一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合y 1=-3y 2求出直线l 的斜率，得到倾斜角；C 选项，设AF =m ,BF =n ，由抛物线定义结合基本不等式得到AB MN的最小值；D选项，与C 一样，考虑直线l 不经过焦点时，得到圆M 与准线相离，D 错误.【详解】A 选项，由题意得：F p 2,0，准线方程为x =-p2，当直线l 的斜率为0时，此时，直线l 与C 只有1个交点，不合题意，故设直线l :x =p2+my ，与y 2=2px 联立得：y 2-2pmy -p 2=0，故y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2，则x 1x 2=y 1y 224p 2=p 24，所以OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=p 24-p 2=-12，解得：p =4，A 错误；B 选项，因为AF =3FB，所以A ,F ,B 三点共线，即直线l 经过抛物线焦点，当直线l 的斜率为0时，此时，直线l 与C 只有1个交点，不合题意，故设直线l :x =p2+my ，与y 2=2px 联立得：y 2-2pmy -p 2=0，故y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2，因为AF =3FB ，所以y 1=-3y 2，代入y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2中，得到y 2=-pm ,-3y 22=-p 2，即m 2=13，因为点A 在第一象限，所以y 1>0，故y 2<0，即-pm <0，m >0，解得：m =33故直线l 的斜率为1m=3，设直线l 的倾斜角为θ0≤θ<π ，则tan θ=3，解得：θ=π3，B 正确；C 选项，设AF =m ,BF =n ，过点A 作AQ ⊥准线于点Q ，过点B 作BP ⊥准线于点P ，因为以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，所以AF ⊥BF ，则AB =m 2+n 2，由抛物线定义可知：MN =AQ +BP2=AF +BF2=m +n2，由基本不等式得：m 2+n 2≥2mn ，则2m 2+n 2 ≥2mn +m 2+n 2=m +n 2，当且仅当m =n 时，等号成立，故m 2+n 2≥m +n 2，即AB MN=m 2+n 2m +n2=2m 2+n 2m +n≥2，C 正确；D 选项，当直线l 不经过焦点F p2,0时，设AF =m ,BF =n ，由三角形三边关系可知：AF +BF >AB ，由抛物线定义可知结合C 选项可知：AF +BF =2MN >AB ，即MN >AB2，若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相离，D 错误.故选：BC【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．5.(2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ，斜率为34的直线l 1过点F 交C 于A ，B 两点，且点B 的横坐标为4，直线l 2过点B 交C 于另一点M (异于点A )，交C 的准线于点D ，直线AM 交准线于点E ，准线交y 轴于点N ，则()A.C 的方程为x 2=4yB.AB =254C.BD <AED.ND ⋅NE =4【答案】ABD【分析】对于A ，根据题意设得F ,B 的坐标，再由直线l 1的斜率求得p ，从而求得抛物线C 的方程，由此判断即可；对于B ，联立直线l 1与抛物线C 的方程，求得A ,B 的坐标，进而求得AB ，由此即可判断；对于D ，设M m ,m 24 ，从而利用直接法求得E ,D 的坐标关于m 的表达式，从而证得ND ⋅NE =4，由此判断即可；对于C ，举反例排除即可.【详解】对于A ，由题意得F 0,p 2 ，B 4,8p，所以k AB =8p-p 24=34，整理得p 2+6p -16=0，又p >0，解得p =2，所以C 的方程为x 2=4y ，故A 正确；对于B ，由选项A 知双曲线C 的准线方程为y =-1，B (4,4)，F (0,1)，直线l 1的方程为y =34x +1，联立x 2=4y y =34x +1 ，解得x =-1或x =4，所以A -1,14 ，则AB =4+12+4-142=254，故B 正确；对于D ，设点M m ,m 24 ，由题意知m ≠±1且m ≠±4，所以直线MA :y -14=m -14x +1 ，令y =-1，得x =-m +4m -1，即E -m +4m -1,-1 ，故NE =m +4m -1，同理可得D 4m -4m +4,-1，故ND =4m -4m +4，所以ND ⋅NE =4m -4m +4 ⋅m +4m -1 =4，故D 正确；对于C ，当m =2时，E (-6,-1)，D 23,-1 ，则AE =5174，BD =5133，则BD >AE ，故C 错误．故选：ABD ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是设M m ,m 24 ，从而利用熟练的运算能力将E ,D 的坐标表示为关于m 的表达式，从而得解.6.(2023·山东青岛·统考一模)已知A 、B 是平面直角坐标系xOy 中的两点，若OA =λOB λ∈R ，OA ⋅OB=r 2r >0 ，则称B 是A 关于圆x 2+y 2=r 2的对称点．下面说法正确的是()A.点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是-2,-2B.圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身C.圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上不同于原点O 的点M 关于圆x 2+y 2=1的对称点N 的轨迹方程是y =12bD.若定点E 不在圆C :x 2+y 2=4上，其关于圆C 的对称点为D ，A 为圆C 上任意一点，则AD AE为定值【答案】BCD【分析】利用题中定义可判断AB 选项；设点M x 0,y 0 ，其中x 0≠0，设点N x ,y ，可得出x 20+y 20=2by 0，根据题中定义并结合已知条件求出点N 的轨迹方程，可判断C 选项；证明出△AOD ∽△EOA ，可得出AD AE=OA OE，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取点A 1,1 ，设点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点为B ，则存在e 使得，OB =e OA ，可得OA ⋅OB =e OA 2=2e =4，则e =2，所以，OB =2OA =2,2 ，因此，点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是2,2 ，A 错；对于B 选项，由题意可知OA=2，设点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点为点B ，则存在实数k ，使得OB =kOA ，所以，OA ⋅OB =kOA 2=4k =4，可得k =1，即OB =OA ，因此，圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身，B 对；对于C 选项，设点M x 0,y 0 ，其中x 0≠0，设点N x ,y ，因为点M 在圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上，则x 20+y 0-b 2=b 2，可得x 20+y 20=2by 0，由题意可知，存在实数m ，使得ON =mOM ，即x =mx 0y =my 0 ，所以，OM ⋅ON =mOM 2=m x 20+y 20 =2bmy 0=2by =1，可得y =12b，因此，点N 的轨迹方程为y =12b，C 对；对于D 选项，设点E x 1,y 1 ，则x 21+y 21≠4，设点D x 2,y 2 ，由题意可知，存在实数t ，使得OD =tOE ，且OD ⋅OE =tOE 2=4，则t >0，所以，OD 、OE 同向，且OD ⋅OE =OD ⋅OE =4=OA 2，所以，OD OA =OA OE ，又因为∠AOD =∠EOA ，所以，△AOD ∽△EOA ，所以，AD AE=OA OE为定值，D 对.故选：BCD .【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；(3)相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标x 0、y 0，然后代入点P 的坐标x 0,y 0 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；(4)参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.7.(2023·山东济宁·统考一模)已知F 1，F 2是椭圆C 1：x 2a 12+y 2a 22=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22-y 2a 22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点，e 1，e 2分别是C 1与C 2的离心率，且P 是C 1与C 2的一个公共点，满足PF 1⋅PF 2=0，则下列结论中正确的是()A.a 12+b 12=a 22-b 22 B.1e 21+1e 22=2C.1e 1+3e 2的最大值为22 D.3e 1+1e 2的最大值为22【答案】BD【分析】根据共焦点得到a 12-b 12=a 22+b 22，A 错误，计算PF 1 =a 1+a 2，PF 2 =a 1-a 2，得到a 12+a 22=2c 2，B 正确，设1e 1=2sin θ，1e 2=2cos θ，代入计算得到C 错误，D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：椭圆和双曲线共焦点，故a 12-b 12=a 22+b 22，错误；对选项B ：PF 1 ⋅PF 2 =0，即∠F 1PF 2=π2，PF 1 +PF 2 =2a 1，PF 1 -PF 2 =2a 2，故PF 1 =a 1+a 2，PF 2 =a 1-a 2，故a 1+a 2 2+a 1-a 2 2=4c 2，即a 12+a 22=2c 2，即1e 12+1e 22=2，正确；对选项C ：设1e 1=2sin θ，1e 2=2cos θ，1e 1+3e 2=2sin θ+6cos θ=22sin θ+π3 ，若最大值为22，则θ+π3=π2+2k π,k ∈Z ，θ=π6+2k π,k ∈Z ，1e 1=22，即e 1=2>1，不成立，错误；对选项D ：设1e 1=2sin θ，1e 2=2cos θ，3e 1+1e 2=6sin θ+2cos θ，=22sin θ+π6 ，若最大值为22，则θ+π6=π2+2k π,k ∈Z ，θ=π3+2k π,k ∈Z ，1e 1=62，即e 1=63，1e 2=22，e 2=2，成立，正确；故选：BD【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键.8.(2023·山东济南·一模)在平面直角坐标系xOy 中，由直线x =-4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则()A.∠APB 恒为锐角B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C.|AP |的最小值为4D.存在点P ，使得(PA +PO )⋅OA=0【答案】ABD【分析】对于A 项，利用椭圆的切点弦方程可得l AB 过椭圆左焦点，再判定以AB 为直径的圆与直线x =-4的位置关系即可；对于B 项，当AB 垂直于x 轴时，可直接解得切线方程判定即可；对于C 项，特殊值法判定即可；对于D 项，取OA 中点M ，易知PM ⊥OA ，建立方程计算即可.【详解】对于A 项，设切线方程为l :y =kx +m ,P -4,t 、A x 1,y 1 、B x 2,y 2 联立y =kx +m3x 2+4y 2-12=0得：4k 2+3 x 2+8km +4m 2-12=0，∵直线与椭圆相切，故Δ=0,则x 1=-4km 4k 2+3,y 1=3m 4k 2+3∴k =-3x 14y 1,m =3y 1，∴切线PA 的方程为l PA :x 1x 4+y 1y 3=1，同理切线PB 的方程为l :x 2x4+y 2y 3=1而P 点在l PA 、l PB 上，故-4x 14+y 1t 3=1-4x 24+y 2t 3=1，又A x 1,y 1 、B x 2,y 2 满足该方程组，故l AB :-4x 4+ty 3=1，显然l AB 过定点-1,0 即椭圆左焦点.以AB 为直径的圆半径最大无限接近a ，但该圆与x =-4一直相离，即∠APB 始终为锐角，A 正确；对于B 项，由A 得l AB :-4x 4+ty 3=1，AB ⊥x 轴时，t =0，易得A -1,32、P -4,0 ，∴k PA =32-0-1--4=12，故B 正确；对于C 项，由B 知AB ⊥x 轴时，A -1,32 、P -4,0 此时PA =352<4，故C 错误；对于D 项，取AO 中点M ，若(PA +PO )⋅OA =0则2PM ⋅AO=0,∴PM ⊥AO ，即△PAO 为等腰三角形，PA 2=x 1+4 2+y 1-t 2=PO 2=16+t 2，化简得x 12+y 12+8x 1-2ty 1=0，由A 知：ty 1=3x 1+3,y 12=31-x 124，整理得：x 12+8x 1-12=0,∴x 1=27-4，显然存在P 满足题意，故D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，属于压轴题.对于小题，提高效率可以用特殊值法，极端位置猜测，这里也需要积累一些比较常用的二级结论：(1)过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点x 0,y 0 的切线方程x 0x a 2+y 0y b2=1，(2)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1外一点x 0,y 0 引两条切线，切点连线方程为x 0x a 2+y 0y b2=1；(3)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的准线方程：x =±a 2c ，过准线引椭圆的两条切线，切点连线过对应焦点.9.(2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)已知AB ，CD 是经过抛物线y 2=2x 焦点F 的互相垂直的两条弦，若AB 的倾斜角为锐角，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中一定成立的是()A.AB 2+CD 2最小值为32B.设P x ,y 为抛物线上任意一点，则x +x -322+y -22的最小值为5C.若直线CD 的斜率为-3，则AF ⋅BF =4D.OA ⋅OB +OC ⋅OD =-32【答案】AD【分析】选项AC :数形结合推导出|AF |=p 1-cos α,|BF |=p1+cos α,应用公式求解和判断；选项B ：根据抛物线定义和性质转化求解；选项D ：联立方程，应用韦达定理证得：OA ⋅OB =OC ⋅OD =-34p 2即可判断；【详解】设直线AB 的倾斜角为α.AF =AA 1 =p +FH =p +AF cos α，则AF 1-cos α =p ，即AF =p 1-cos α，同理可得BF =p1+cos α.y 2=2x ,根据定义得：p =1,焦点坐标12,0；选项A ：AB 2+CD 2=2p sin θ 2 2+2p sin θ+π2 22=4p 2sin θ 4+4p 2cos θ 4≥8sin θ 2cos θ 2(当且仅当θ=π4时等号成立)8sin θ 2cos θ 2=812sin2θ2=32sin 22θ≥32，因为sin2θ∈-1,1 ，所以AB 2+CD 2=32sin 22θ≥32,故A 正确；选项B ：令Q 32,2 ,x +x -32 2+y -2 2=x +p2+x -322+y -2 2-p2转换成抛物线上的点到焦点的距离,x +x -322+y -2 2=PF +PQ -12≥FQ -12=32-122+2-0 2-12=5-12,故B 错误；选项C ：tan θ=-3,根据三角函数间关系得：cos θ=-12,AF ⋅BF =p 1-cos α⋅p 1+cos α=43，故C 错误；选项D :因为AB 的斜率为k ，AB ⊥CD ，所以k CD =-1k ，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，AB 的方程为y =k x -p2 ，由y =k x -p2y 2=2px可得，k 2x 2-p (k 2+2)x +14k 2p 2=0，x 1+x 2=p (k 2+2)k 2x 1x 2=14p2，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=14p 2+k 2x 1-p 2 x 2-p 2=14p 2+k 2x 1x 2-p 2x 1+x 2 +14p 2 =14p 2+12k 2p 2-p 2(k 2+2)2=-34p 2与k 无关，同理OC ⋅OD =-34p 2，故OA ⋅OB +OC ⋅OD =-32p 2=-32,即OA ⋅OB +OC ⋅OD =-32故D 正确；故选：AD ;10.(2023·湖南·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =3x ，且F 1到l 的距离为33，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为2,0 ，PQ 为∠F 1PF 2的平分线．则下列正确的是()A.双曲线的方程为x 29-y 227=1B.PF 1=3 PF 2C.OP =36D.点P 到x 轴的距离为3152【答案】ACD【分析】由F 1到l 的距离为33以及渐近线方程为y =3x 可求得a =3,b =33,c =6，即可得出方程，判断A ；由PF 1PF 2 =QF 1QF 2 可求出判断B ；结合双曲线定义可求得PF 1 =12,PF 2 =6，求出cos ∠F 1PF 2，即可求出PF 1 +PF 2，判断C ；利用等面积法可求得点P 到x 轴的距离，判断D .【详解】F 1-c ，0 到y =3x 的距离为33，3c2=33，解得c =6，又渐近线方程为y =3x ，则ba=3，结合a 2+b 2=c 2可解得a =3，b =33，则双曲线的方程为x 29-y 227=1，故A 正确；PQ 为∠F 1PF 2的平分线，PF 1 PF 2=QF 1 QF 2=84=2，故B 错误；由双曲线定义可得PF 1- PF 2 =6，则可得PF 1 =12，PF 2 =6，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=122+62-1222×12×6=14，则|PF 1 +PF 2 |2=PF 1 2+2PF 1 ⋅PF 2 +PF 2 2=122+2×12×6×14+62=216，则PF 1 +PF 2 =2PO=66，即OP =36，故C 正确；在△PF 1F 2中，sin ∠F 1PF 2=1-cos 2∠F 1PF 2=154，设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2=12×F 1F 2×d =12PF 1× PF 2 ×sin ∠F 1PF 2，即12×12×d =12×12×6×154，解得d =3152，故D 正确．故选：ACD .【点睛】关键点点睛：是根据已知求出双曲线方程，结合双曲线的定义求得焦点三角形的各边长.11.(2023·湖南·模拟预测)已知椭圆：Γ:x 2a2+y 23=1(a >3)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，点M 为椭圆Γ上一点，点I 是△MF 1F 2的内心，延长MI 交线段F 1F 2于N ，抛物线y 2=158(a +c )x (其中c为椭圆下的半焦距)与椭圆Γ交于B ，C 两点，若四边形ABF 1C 是菱形，则下列结论正确的是()A.|BC |=352 B.椭圆Γ的离心率是32C.1MF 1 +4MF 2的最小值为94 D.|IN ||MI |的值为12【答案】ACD【分析】对于A ，利用椭圆与抛物线的对称性得到m =12a -c ，从而将B m ,n 代入抛物线方程得到n =354，进而得以判断；对于B ，将B m ,n 代入椭圆Γ的方程得到a =2c ，由此得以判断；对于C ，利用椭圆的定义与基本不等式“1”的妙用即可判断；对于D ，利用三角形内心的性质与三角形角平分线的性质，结合比例的性质即可判断.【详解】对于A ，因为椭圆Γ:x 2a 2+y 23=1(a >3)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，则A a ,0 ，F 1-c ,0 ，F 2-c ,0 ，b 2=3，因为抛物线y 2=158(a +c )x (其中c 为椭圆下的半焦距)与椭圆Γ交于B ，C 两点，所以由椭圆与抛物线的对称性可得，B ,C 两点关于x 轴对称，不妨设B m ,n ，C m ,-n ，n >0，因为四边形ABF 1C 是菱形，所以BC 的中点是AF 1的中点，所以由中点坐标公式得2m =a -c ，则m =12a -c ，将B m ,n 代入抛物线方程y 2=158(a +c )x 得，n 2=158a +c m =1516a +c a -c =1516a 2-c 2，所以n 2=1516b 2=4516，则n =354，所以|BC |=2n =352，故A 正确；对于B ，由选项A 得B 12a -c ,354 ，再代入椭圆方程得14⋅a -c 2a2+4516×3=1，化简得a -c2a2=14，则a -c a =12，故a =2c ，所以e =c a =12，故B 错误；对于C ，由选项B 得a =2c ，所以b 2=a 2-c 2=3c 2=3，则c =1,a =2，所以MF 1 +MF 2 =2a =4，不妨设MF 1 =s ,MF 2 =t ，则s +t =4，且s >0,t >0，所以1MF 1 +4MF 2=1s +4t =14s +t 1s +4t =145+t s +4s t ≥145+2t s ⋅4s t =94，当且仅当t s =4s t 且s +t =4，即s =43,t =83，即MF 1 =43,MF 2 =83时，等号成立，所以1MF 1 +4MF 2 的最小值为94，故C 正确；对于D ，连接IF 1和IF 2，如图，因为△MF 1F 2的内心为I ，所以IF 1为∠MF 1F 2的平分线，则有MF 1 F 1N=MI IN，同理：MF 2 F 2N=MI IN，所以MF 1 F 1N=MF 2 F 2N=MI IN，所以MI IN=MF 1 +MF 2 F 1N +F 2N=2a 2c =2，所以|IN ||MI |=12，故D 正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设B ,C 的坐标，再由菱形的性质与中点坐标公式推得m =12a -c ，从而求得a ,c 的值，由此得解.三、填空题1.(2023·广东揭阳·校考模拟预测)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1,F 2，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2=π3.若ΔF 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ,r ，且R =4r ，则双曲线的离心率为.【答案】2721．【分析】在△F 1PF 2中，利用正弦定理：2R =F 1F 2sin ∠F 1PF 2，求得R =233c ，r =14R =36c ，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，再利用余弦定理求得mn ，然后由S △F 1PF 2=12mn sin π3=12m +n +2c r 求解．【详解】双曲线的焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ,F 1F 2 =2c ，在△F 1PF 2中，由正弦定理得：2R =F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2c sin π3=433c ，解得R =233c ，r =14R =36c ，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，在△F 1PF 2中，由余弦定理得：4c 2=m 2+n 2-2mn cos π3=m -n 2+mn ，解得mn =4c 2-a 2 ，所以S △F 1PF 2=12mn sin π3=3c 2-a 2 ，因为m +n 2=m -n 2+4mn =4a 2+16c 2-a 2 =16c 2-12a 2又S △F 1PF 2=12m +n +2c r =3c m +n +2c12，所以3c 2-a 2=3c m +n +2c 12，则m +n =10c 2-12a 2c所以m +n 2=10c 2-12a 2c2=16c 2-12a 2整理得21c 4+36a 4-57a 2c 2=0，则c 2-a 2 21c 2-36a 2 =0解得e =c a =2217或e =1(舍去)故答案为：2217．【点睛】关键点点睛：本题的关键在于结合正余定理以及S △F 1PF 2=12mn sin π3=12m +n +2c r 化简求解．2.(2023·浙江·校联考三模)已知椭圆E :x 24+y 2=1，椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，点A (m ,n )为椭圆上一点且m >0,n >0，过A 作椭圆E 的切线l ，并分别交x =2、x =-2于C 、D 点．连接CF 1、DF 2，CF 1与DF 2交于点E ，并连接AE ．若直线l ，AE 的斜率之和为32，则点A 坐标为．【答案】2,22 ##2,122 【分析】设直线l 的程y =kx +b ，利用直线与椭圆相切，联立方程，则Δ=0，即4k 2=b 2-1，最后得到切线方程为mx4+ny =1，再求出C ,D 坐标，写出直线直线DF 2，CF 1的方程，联立解出E 点坐标，最后得到m =2n ，再联立m 24+n 2=1，解出即可.【详解】由椭圆E :x 24+y 2=1可得F 1(-3,0),F 2(3,0)，。
2021高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题五解析几何规范答题示范课_解析几何解答题含解析
规范答题示范课——解析几何解答题[破题之道] 解析几何试题知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.【典例示范】 (12分)(2020·全国Ⅲ卷)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点.(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积.规范解答 (1)由题设可得25－m 25＝154，得m 2＝2516，2分 所以C 的方程为x 225＋y 22516＝1.3分 (2)设P (x P ，y P )，Q (6，y Q )，根据对称性可设y Q >0，由题意知y P >0.由已知可得B (5，0)，直线BP 的方程为y ＝－1y Q (x －5)，所以|BP |＝y P 1＋y 2Q ，|BQ |＝1＋y 2Q .5分 因为|BP |＝|BQ |，所以y P ＝1.将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3.由直线BP 的方程得y Q ＝2或8，所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3，1)，Q 1(6，2)；P 2(－3，1)，Q 2(6，8).7分所以|P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ， 点A (－5，0)到直线P 1Q 1的距离为102， 故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52.9分 |P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103， 点A 到直线P 2Q 2的距离为13026， 故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52.11分 综上，△APQ 的面积为52.12分 [高考状元满分心得] ❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问，求椭圆C 的方程；第(2)问表示出|BP |与|BQ |，分两种情况求△APQ 的面积.❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中由离心率求m 2；第(2)问中求直线BP 的方程、直线P 1Q 1与直线P 2Q 2的方程等.❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问求对m 2及曲线C 的方程，否则全盘皆输；第(2)问中正确计算点P ，Q 的坐标，否则将导致失分.[满分体验](2020·东北三省三校联考)直线与椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，已知m ＝(ax 1，by 1)，n ＝(ax 2，by 2)，椭圆的离心率e ＝32，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，1，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程.(2)当m ⊥n 时，△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 解 (1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧e ＝a 2－b 2a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，由m ⊥n ，即m ·n ＝0，得4x 21－y 21＝0，所以y 21＝4x 21. 又A (x 1，y 1)在椭圆C 上，所以4x 214＋x 21＝1，解得|x 1|＝22，所以|y 1|＝2，所以S △AOB ＝12|x 1||y 1－y 2|＝12|x 1|·2|y 1|＝1，此时△AOB 的面积为定值. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，y 24＋x 2＝1，消去y 并整理得 (k 2＋4)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0. 由题意知Δ＝4k 2t 2－4(k 2＋4)(t 2－4)＞0，(*) x 1＋x 2＝－2kt k 2＋4，x 1x 2＝t 2－4k 2＋4. 由m ⊥n ，即m ·n ＝0，得4x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以4x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0， 即(k 2＋4)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝0. 所以(k 2＋4)·t 2－4k 2＋4＋kt ·－2ktk 2＋4＋t 2＝0，整理得2t 2－k 2＝4，满足(*)式.从而S △AOB ＝12·|t |1＋k 2·|AB | ＝|t |2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝|t |2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kt k 2＋42－4·t 2－4k 2＋4 ＝|t |4k 2－4t 2＋16k 2＋4＝4t 22|t |＝1， 此时△AOB 的面积为定值.综合①②可得，△AOB 的面积为定值1.。
高考数学解析几何练习题及答案
高考数学解析几何练习题及答案解析几何是高考数学中的一个重要知识点，对于考生来说具有一定的难度。
为了帮助广大考生更好地复习和应对高考数学解析几何部分，本文提供一些常见的解析几何练习题及其答案。
考生可以借此进行自测和巩固知识点，提升解析几何的解题能力。
题目一：已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(-3,1)，B(4,2)，C(1,-3)，求三角形ABC的周长和面积。
解析和求解：首先，我们可以利用两点之间的距离公式计算出三角形ABC的三边长度。
设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则两点之间的距离公式为d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。
根据该公式，我们可以计算出：AB的距离：dAB = √[(4-(-3))^2 + (2-1)^2] = √[7^2 + 1^2] = √50BC的距离：dBC = √[(1-4)^2 + (-3-2)^2] = √[(-3)^2 + (-5)^2] = √34AC的距离：dAC = √[(-3-1)^2 + (1-(-3))^2] = √[(-4)^2 + 4^2] = √32所以，三角形ABC的周长等于AB+BC+AC，即周长=√50+√34+√32。
接下来，我们可以利用海伦公式来计算三角形ABC的面积。
海伦公式可以表示为：面积=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s为三角形的半周长，即s=(a+b+c)/2。
由此，我们可以计算出半周长s=（√50+√34+√32）/2，将其代入海伦公式，即可得到三角形ABC的面积。
题目二：设直线l1过点A(-1,2)且与直线l2：2x-y-3=0平行，求直线l1的方程。
解析和求解：首先，根据题目提示，直线l1与l2平行，可以推知l1与l2的斜率相同。
斜率可以通过直线的一般方程式y=ax+b中的a来表示。
要求得直线l1的方程，我们需要先求出直线l2的斜率k。
直线l2的一般方程式为2x-y-3=0，将其转换为斜截式方程式y=2x-3，可以看出斜率k=2。
全国高考数学第二轮复习 专题升级训练30 解答题专项训练解析几何 理.docx
1.设有半径为3千米的圆形村落，A, B两人同时从村落中心出发，B向北直行，/先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A, B两人速度一定，其速度比为3 : 1,问两人在何处相遇？2.已知圆C-. / + y-2^+4y-4 = 0.问是否存在斜率为1的直线1,使得/被圆C截得的弦为血?，且以血?为直径的圆经过原点？若存在，写出直线/的方程；若不存在，说明理由.3.设直线厶：y=k.x+\, L, y=k,x~\,其中实数人，民满足血民+ 2 = 0.⑴证明厶与Z相交；(2)证明厶与<2的交点在椭圆2A-12 + y = 1上.4.已知过抛物线y = 2px(p>0)的焦点，斜率为2応的直线交抛物线于JU，yO，B(xt, 72)(X1VX2)两点，且丨AB\ =9.(1)求该抛物线的方程；(2)0为坐标原点，C为抛物线上一点，^OC = OA+AOB,求A的值.5.己知椭圆C的中心为坐标原点0, —个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线/与y轴交于点AO, ni),与椭圆C交于相异两点B,且4片2PB.(1)求椭圆方程；(2)求加的取值范围.r K26.设椭圆C： -+^=l(a>A>0)的右焦点为尺过F的直线/与椭圆C相交于B两a b点，直线/的倾斜角为60° , AF=2FB.(1)求椭圆C的离心率；1 5⑵如^z\AB\ =—,求椭圆C的方程.x2 /7.己知点凡尺分别为椭圆C： -+^=l(a>6>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，a b且\F X F2\ =2, /F\PF2=+，△幷序的面积为申.(1)求椭圆C的方程；⑵点〃的坐标为& 0)过点A且斜率为k的直线1与椭圆C相交于A, B两点，对于任意的kER, MAMB是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.8.己知抛物线G： r=y,圆G : x2 + (y—4)J = 1的圆心为点必1 求点〃到抛物线G的准线的距离；2 己知点P是抛物线G上一点(异于原点)，过点P作圆G的两条切线，交抛物线G于/, B 两点，若过必0两点的直线/垂直于血?，求直线/的方程.参考答案1.解：建立如图所示平面直角坐标系，由题意，可设力，〃两人速度分别为3卩千米/时, 卩千米/时，再设出发必小时后，/在点户改变方向，又经过対小时，在点0处与〃相遇.则P, 0两点坐标为(3 K¥o, 0), (0,^\OP\2+\OQ\2=\PQ\2知，(3vxo)2+ (vxo+ vyo)2= (3 vyo)2, 即(xo+yo) (5^b—4jo) =0. V Ab+7b＞0, .*.5Ao=4jo.①将①代入k P Q=—十严，得加=一£ 又已知〃与圆相切，直线〃在y轴上的截距就是两人相遇的位置.3设直线卩=一犷+b(方＞0)与圆/+/=9相切，I —4AI 1 斤则有箱話=3,解得1 5答：A, B相遇点在离村中心正北才千米处.2.解：假设/存在，设其方程为y=x+m,代入/+y — 2^r+4y—4 = 0,得2#+2(加+ 1) x-\~m +4 刃一4=0.再设力(孟，yj , B(X2,乃)，〒曰 , / I八就+4加一4十是X\-\~X2=—(加十1),孟卫='锐2 +心Y\k2-k x)8 + kj + + 2£&2 kj + k? + 4 〔+ kj - 2 上&2 kj + + 4此即表明交点户匕，力在椭圆2/+/=l±.2 °以力〃为直径的圆经过原点，即直线必与仞互相垂直，也就是也4・k°B=_\, ^..xi+/n X2~\~m所以---- •---- :1,即2/1卫+加(xi+z) +/ = 0,W X1~\~X2=—(777+ 1) J X1X2m +4/Z7—42 ，代入整理得/n +3/Z7—4 = 0,解得刃=一4或刃=1. 故所求的直线存在，且有两条，其方程分别为Ly+l = 0, x—y—4=0.3.证明：⑴假设/i与＜2不相交，则Z与＜2平行，有血=%,代入&1&2十2 = 0,得血?+2 =0,这与*1为实数的事实相矛盾.从而血工&2,即/1与厶相交.由方程组(2)方法一:|y=kix+l, ［卩=曲一1,解得交点户的坐标为Iki—k\ k—k\j / \22 \而2x +y =2[y — \ = k\Xi方法二：交点P 的坐标(x, y)满足| 故知xKO.{y-\-\=k'ix,从而< y — 1 y~\~ 1代入血％+2 = 0, 得 ------ • --- +2 = 0.x x整理后，得2x+y = \.所以交点戶在椭圆2/+y = 1 ±.从而有4/—5p^+p=0,所以益+屍=¥・ 由抛物线定义得M 方| =总+屍+刀=9,所以p=4,从而抛物线方程是y=8x.（2）由 p=4,知 4/—= 0 可化为 x —5x+4 = 0, 从而xi = l,屍=4,乃=一2、问，乃=4、问， 从而水1, -2^2）, B （4, 4萌.设OC =（易，乃）= （1, — 2寸^） +久（4,低也）=（4久+1, 4寸^人一2寸^）, 又 y/ = 8x3,所以[2寸^（2 久一1）『=8（4 久+ 1）,即（2 久一1）2 = 4 久+1, 解得久=0,或久=2.5. 解：（1）由题意，知椭圆的焦点在y 轴上， 、 / /设椭圆方程为飞+左=1 @>0>0）,a b由题意，知a=2, b= c,又a=l ）+c ,则b=蟲, 所以椭圆方程为$+另=】•⑵设水孟，乃），Bk,乃），由题意，知直线/的斜率存在， 设其方程为y=kx+m,与椭圆方程联立，\y-\~2x =4,即| 消去卩则（2+护）/十2皿匕+/—4 = 0,[y=kx-\-m,△ = （2加）2—4（2+#）（駢一4）>0,由根与系数的关系，知S 又 AP = 2PB ,即有(一xi, /Z7—yi) =2(x 2f y?—金，：• 一X \=2X 2.兀]+吃—_兀2_ 4 丿 2mk ) r r _ _o Y 2 • • 2+护•Aq •A/。
高考数学(理)二轮专题练习：解析几何(含答案)
解析几何1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC . [问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________． 答案 (1)错 (2)[0，π6]∪[5π6，π)2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋yb ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________．答案152613 4．两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．[问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 答案 －1 12 m ≠3且m ≠－1 35．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案 －16．直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切． (2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当|O 1O 2|>r 1＋r 2时，两圆外离；②当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2时，两圆相交；④当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|时，两圆内含．[问题6] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________．答案 内切7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：Fl ，否则定点的轨迹可能是过点F 且垂直于直线l 的一条直线．[问题7] 已知平面内两定点A (0,1)，B (0，－1)，动点M 到两定点A 、B 的距离之和为4，则动点M 的轨迹方程是________． 答案 x 23＋y 24＝18．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(4)抛物线标准方程焦点在x 轴上：y 2＝±2px (p >0)； 焦点在y 轴上：x 2＝±2py (p >0)．[问题8] 与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，且过点(－3,23)的双曲线方程为________．答案 4x 29－y 24＝19．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则(1)焦半径|CF |＝x 1＋p 2；(2)弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；(3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[问题9] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案 54解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.易错点1 直线倾斜角与斜率关系不清致误例1 已知直线x sin α＋y ＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是__________． 错解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，34π.找准失分点 直线斜率k ＝tan β(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续． 正解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当－1≤k <0时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎭⎫34π，π；当0≤k ≤1时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4. 故直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π 易错点2 忽视斜率不存在情形致误例2 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．错解 直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t， 直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1， 解得t ＝－1.找准失分点 (1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形． 正解 方法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存在时，由k 1·k 2＝－1得，t ＝－1. (2)若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直，综上t ＝－1或t ＝1.方法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0⇔t ＝1或t ＝－1. 答案 －1或1易错点3 忽视“判别式”致误例3 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 错解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2， 故所求直线方程为2x －y －1＝0.错解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以符合题设条件的直线的方程为2x －y －1＝0.找准失分点 没有判断直线2x －y －1＝0与双曲线是否相交． 正解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得，(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0， 解得k <32.设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2>32， 故不存在被点A (1,1)平分的弦．正解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以直线l 的方程为2x －y －1＝0， 再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x 2－y 22＝1，得2x 2－4x ＋3＝0.根据Δ＝－8<0，所以所求直线不存在．1．(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 D解析 方法一 如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，OA ＝1， 则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.故D. 方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π3]．2．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.3．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)与曲线x 2＋y 2＝|m －n |无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，1 B.⎝⎛⎭⎫0，32 C.⎝⎛⎭⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎫0，22解析 由于m 、n 可互换而不影响，可令m >n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 2n ＝1，x 2＋y 2＝m －n ，则x 2＝2m ·n －m 2n －m ，若两曲线无交点，则x 2<0，即m <2n ，则e ＝ m －nm< m －m 2m ＝22， 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知点F 1、F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是()A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)， PF →2＝(1－x 0，－y 0)．∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2，∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1.∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.5．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2 答案 C解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.6．(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.7．一直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32，且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，则此弦所在的直线方程为________．答案 x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0解析 ①当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3， 代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4. 所以弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．②当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3， 所以|k ·0－0＋3k －32|k 2＋1＝3，解得k ＝－34，所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 向其一条渐近线作垂线，垂足为M ，已知∠MFO＝30°(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________． 答案 2解析 由已知得点F 的坐标为(c,0)(c ＝a 2＋b 2)， 其中一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则|MF |＝bca 2＋b 2＝b ， 由∠MFO ＝30°可得|MF ||OF |＝b c ＝cos 30°＝32，所以c 2－a 2c ＝32，所以e ＝ca＝2.10．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b)，所以AB 的中点C 坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52.。
XXXX高考数学(理)二轮复习专题五解析几何(带解析)
XXXX高考数学(理)二轮复习专题五解析几何(带解析)解析几何主要包括两大知识模块——直线和圆模块以及圆锥曲线模块。
回顾这一部分内容，我们应该把握“两个基本，一个结合”:一个基本方法——坐标法，一个基本思想——方程的思想，以及一个完美的结合——数与形的结合。
这三个方面是平面解析几何核心内容的体现，也贯穿了这一部分知识综述的主线。
坐标法贯穿了这一部分的第一条主线——方程式(1)直线的点斜方程是各种形式直线方程推导的来源。
应该注意各种形式的直线方程之间的关系。
这些形式的方程都有自己的约束条件，如截距方程不能表示平行于两个坐标轴的直线，通过坐标原点的直线等。
(2)圆的标准方程直接表示圆心和半径，而圆的一般方程表示曲线和二元二次方程之间的关系。
当求解圆的方程时，中心和半径通常是通过结合圆的性质直接确定的。
(3)圆锥曲线的定义是推导方程的基础。
我们应该熟练掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义，并灵活运用这些定义来解决运动点的轨迹问题。
椭圆和双曲线有两种形式的标准方程。
应注意这两条曲线中A、B和C的几何意义以及它们之间的区别和联系。
我们应该准确掌握抛物型标准方程的焦点坐标和准线方程。
数字和形状的结合贯穿了本节中讨论的第二条主线——圆锥曲线的几何性质(1)为了确定直线和圆之间的位置关系，圆和圆可以通过几何图形来确定，特别是求圆的弦长的问题。
要充分利用由半径、弦长和半弦长组成的直角三角形，这是考试的重点；x2y2(2)几何性质中的范围、对称性和顶点是二次曲线特征的完美体现，如椭圆+= 1 (a > b > 0)在a2b2中，|x|≤a，|y|≤b由下式定义x2y2≤1，≤1求解；圆锥曲线的范围反映了曲线a2b2上各点的水平和垂直位置。
目标值的范围，注意其在解决相关最大值问题时的局限性；准确把握偏心率的定义并求解方程是命题的重点。
方程的思想贯穿了本节中回顾的第三条主线——直线和直线、直线和圆、直线和圆锥之间的位置关系(1)两条直线之间有三种位置关系:相交、平行和重合。
2024年高考数学二轮复习专题五解析几何解答题专项5圆锥曲线的综合问题
C.
(1)求 C 的方程;
(2)设 M,N 是 C 上的不同两点,直线 MN 的斜率存在且与曲线 x2+y2=1 相切,
若点 F 为( 2,0),求△MNF 的周长的最大值.
解 (1)设点 P 坐标为(x,y),点 A,B 的坐标分别为(a,0),(0,b).
所以设直线 MN:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2).
因为 M,N 是椭圆 C 上的不同两点,所以 k≠0.
||
由直线 MN 与曲线 x +y =1 相切,可得
2
2
=1,
2 +1
= + ,
2 2
2
得 m2=k2+1.联立 2
可得(1+3k
)x
+6kmx+3m
-3=0,
因为-5≤y0≤-3,所以当 y0=-3 时,|FN|min=
2
4
因此 p=2.
(方法二 利用圆的几何意义求最小值)点 F
|FM|-1= +4-1=4,解得
2
p=2.
+ 3 + 9=4.又 p>0,解得 p=2,
0, 2
到圆 M 的距离的最小值为
2
2
(2)(方法一)由(1)知,抛物线 C 的方程为 x =4y,即 y= ,则 y'= .
0 2
2
· (1 + 2 )2 -41 2 =
(02 + 4)(02 -40 ).
1
y= 2 -y1,
2023高考数学解析几何复习 题集附答案
2023高考数学解析几何复习题集附答案2023高考数学解析几何复习题集附答案*本文为2023年高考数学解析几何复习题集，共附带答案。
以下按照题目类型分类，分别给出题目和答案。
一、点、线、面的位置关系1. 已知点A(2,3)和B(-1,4)，求向量AB的坐标。
解析：向量AB的坐标表示为<XB - XA, YB - YA>，其中XA和YA分别是点A的横纵坐标，XB和YB分别是点B的横纵坐标。
代入数据，得到向量AB的坐标为<-3, 1>。
2. 已知直线L的方程为2x - 3y + 6 = 0，求过点(1,2)且垂直于直线L 的直线方程。
解析：由于垂直于直线L的直线斜率的乘积为-1，所以我们需要知道直线L的斜率，即L的系数比例。
将L的方程转化为斜截式方程y = mx + b的形式，其中m为斜率，b为截距。
将2x - 3y + 6 = 0转化为y = mx + b形式得到 y = (2/3)x - 2。
斜率m 为2/3，垂直于L的直线的斜率为-3/2（斜率的乘积为-1）。
过点(1,2)且斜率为-3/2的直线方程为y - 2 = -3/2(x - 1)。
二、直线与圆的位置关系1. 已知直线L的方程为2x - 3y + 6 = 0，圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0，判断直线L和圆C的位置关系。
解析：我们可以通过求直线L的斜率与圆C的判别式（D）的符号来判断直线和圆的位置关系。
首先，将L的方程转化为斜截式方程y = mx + b的形式，其中m为斜率，b为截距。
将2x - 3y + 6 = 0转化为y = mx + b形式得到 y = (2/3)x - 2。
斜率m 为2/3。
将圆C的方程中的项进行配方，并移项得到(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25。
判别式D为 D = (m^2 + 1)r^2 - (2mb + 2a)r + (b^2 + a^2 - r^2)其中，a、b分别为直线L和圆心的横纵坐标，r为圆的半径。
高考数学二轮复习第三部分讲重点解答题专练3_5解析几
得(1＋k2)x2＋2(k－2)x＝0， 4－2k ∴x2＝ 2， 1＋k 1 → → ∵AQ＝－2AP ，∴x1＝－2x2， → → → → → → ∵ BP ⊥ BQ ，∴ BP · BQ ＝0，又 BP ＝(x1，y1＋1)， BQ ＝ (x2，y2＋1)， y1＝kx1＋1， y2＝kx2＋1，
∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0， ∴(1＋k2)x22－2kx2－8＝0， 4－2k 1 将x2＝ 2 代入上式得k＝ ， 3 1＋k 6a2 6a2 3 2 ∴x1＝－ ， x ＝ 3 ，∴－ ＝－ ，解得 a ＝3 ， 2 2 9＋a2 9＋a2 由b＝1，得c2＝2， 6 ∴e＝ 3 .
1 【解析】 (1)设椭圆的离心率为e.由已知，可得 2 (c＋a)c＝ b2 .又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0.又因为 2 1 0<e<1，解得e＝ 2. 1 所以，椭圆的离心率为 . 2
(2)①依题意，设直线FP的方程为x＝ my－c(m>0) ，则直线 1 FP的斜率为m. x y 由(1)知a＝2c，可得直线AE的方程为 2c ＋ c ＝1，即x＋2y－ 2c＝0，与直线FP的方程联立，可解得x＝ （2m－2）c m＋2 2 y2 (2017· 太原二模)如图，曲线C由左半椭圆M： a2 ＋ b2 ＝ 1(a>b>0，x≤0)和圆N：(x－2)2＋y2＝5在y轴右侧的部分连接而 成，A， B是M与N的公共点，点P，Q(均异于点 A，B)分别是 M，N上的动点．
(1)若|PQ|的最大值为4＋ 5，求半椭圆M的方程； → → → → (2)若直线PQ过点A，且 AQ ＝－2 AP ，BP ⊥ BQ ，求半椭圆 M的离心率．
高考数学二轮复习重点模块练：解析几何(5)双曲线 含答案
双曲线1、已知方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >-B ．2m >C ．12m m <->或D ．12m -<<2、双曲线()222210,0x y a b a b-=>> ）A ．y x =B ．y =C ．y =D ．y =3、若1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在y 轴上的椭圆C.焦点在y 轴上的双曲线D.焦点在x 轴上的双曲线4、设点12,F F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且120,PF PF ⋅=u u u r u u u u r 则12PF PF +=u u u r u u u u r（ ）B.D.5、设F 为双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为（ ）C.26、已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且直线2PF 与x 轴垂直，若12F PF ∠的角平分线恰好过点(1,0)，则12PF F △的面积为（ ） A.12B.24C.36D.487、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（ ）A.22139x y -=B.22193x y -= C.221412x y -= D.221124x y -= 8、已知直线1y x =-与双曲线22()10,0ax by a b ><+=的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为a b 的值为（ ）A.B.C.D.9、已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使2112sin e sin PF F PF F ∠=∠，Q 点为直线1PF 上的一点，且13PQ QF =u u u r u u u r ，则221F Q F F ⋅u u u u r u u u u r 的值为（ ） A.252C.5210、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线2y ax =上的两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线y x m =+对称，且1212x x =-，则m 的值为（ ） A.32 B.52C.2D.311、已知双曲线22x 1my -=的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m 的值是__________.12、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_____________. 13、已知抛物线28x y =上有一条长为10的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为________.14、双曲线22:142-=x y C 的左、右焦点12,F F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，则22+AF BF 的最小值为__________.15、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30︒的直线，直线与双曲线交于不同的两点,A B ，求||AB .答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：∵方程22112x y m m +=+-，∴()()210m m -+<，解得12m -<<，∴m 的取值范围是()1,2-．故选D.2答案及解析： 答案：D解析：双曲线22221x y a b-=的离心率c e a ==c ，由22222232b c a a a a =-=-=，即b ， 则该双曲线的渐近线方程为by x a=±，即为y =.故选D.3答案及解析： 答案：C解析： 原方程可化为22211+1y x k k -=-，∵1k >，∴210k ->，10k +>，∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线. 故选C.4答案及解析： 答案：B解析：由双曲线方程知13a b ==，，则12c F F ==，由120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，得12PF PF ⊥u u u r u u u u r，则12122PF PF PO F F +===u u u r u u u u r u u u r u u u u r，故选B.5答案及解析： 答案：A解析：由题意，记(),0F c ，则以OF 为直径的圆的方程为22224c c x y ⎛⎫ ⎪+=⎝⎭-，将圆22224c c x y ⎛⎫ ⎪+=⎝⎭-与圆222x y a +=的方程相减得2cx a =，即2a x c =，所以点,P Q 的横坐标均为2a c .由于PQ 是圆222x y a +=的一条弦，因此22222PQ a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22222a c a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222222214c a a b a c c ⎛⎪=⎫ ⎝⎭=-所以22c ab =，即()22220a b ab a b +-=-=，所以a b =，因此C 的离心率212e b a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选A.6答案及解析： 答案：B解析：方法一：如图记(1,0)A ，过点A 作1AD PF ⊥于D ，由角平分线的性质可知22,1PD PF AD AF c ===-，则111224DF PF PD PF PF a =-=-==.在Rt ADF △中，由22211AF DF AD =+，且11AF c =+，得22(1)(1)16x c +=-+，解得4c =，故212b =，所以双曲线的方程为221412x y -=，所以226b PF a==，则12212242PF F S c PF =⋅⋅=△，故选B.方法二：记(1,0)A ，将x c =代入22214x y b -=，且24b c =-得242c y -=，即2242c PF -=. 由双曲线的定义知1224PF PF a -==，故22144422c c PF -+=+=，因为121,1F A c F A c =+=-，所以由角平分线的性质可知1122PF F A PF F A=，即240c c -=，则4c =.故122122142422PF F c S F F PF c -=⋅=⋅=△.故选B.7答案及解析： 答案：A解析：因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2222c a c a b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，所以2c a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线的渐近线方程为b y x a =±=.依题意，不妨设22,,,b b A c B c aa ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到直线y =的距离分别为12,d d ，因为126d d +=6=6=，解得a =a =（舍），所以3b =，所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A.8答案及解析： 答案：B解析：由双曲线221ax by +=知其渐近线方程为22+=0ax by ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有22110ax by +=，22220ax by +=， 两式相减得()()22221212a x x b y y -=--，即()()1212a x x x x +- ()()1212b y y y y =-+-，由题意可知12x x ≠，且120x x +≠，∴12121212y y y y ax x x x b +-⋅=-+-，设AB 的中点为00(,)M x y ，则0012001222OM y y y y k x x x x +====+，又知1AB k =-，∴()1a b -=-，∴a b =故选B.9答案及解析：答案：A解析：由题可得1a =，b =，2c =，则2ce a==，由于2112sin 21sin PF F e PF F ∠==>∠，可知点P 在双曲线的右支，则有21211221sin 2sin ppy PF PF PF F PF F PF y PF ∠===∠，即122PF PF =，而由双曲线的定义有1222PF PF a ==－，可得124,2PF PF ==，又1224F F c ==，可知12PF F △中，127cos 8PF F ∠=，211cos 4PF F ∠=，而13PQ QF =u u u r u u u r ，故221212134F Q F F F P PF F F ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r221121313725244444482F P F F PF F F =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯⨯=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r .故选A.10答案及解析： 答案：A解析：由双曲线的定义知24a =，得2a =，所以抛物线的方程为22y x =.因为点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线22y x =上，所以2112y x =，2222y x =，两式相减得121212()(2)y y x x x x -=-+，不妨设12x x <，又A ，B 关于直线y x m =+对称，所以12121y y x x -=-，故1212x x +=-，而1212x x =-，解得11x =-，212x =，设()11,A x y ，()22,B x y 的中点为()00,M x y ，则120124x x x +==-，2212120225224y y x x y ++===，因为中点M 在直线y x m =+上，所以5144m =-+，解得32m =.故选A.11答案及解析： 答案：19解析：双曲线221x my -=的虚轴长是实轴长的3倍，3=，解得19m =.12答案及解析： 答案：[)2,+∞解析：双曲线的渐近线为by x a=±.因为过点F 且倾斜角为60︒的直线的斜率为3，由题意得，3ba≥，即223b a ≥.所以2223c a a -≥， 所以24e ≥，所以2e ≥. 即答案为[)2,+∞.13答案及解析： 答案：3解析：由题意知，抛物线的准线:2l y =-，过点A 作1AA ⊥l 交l 于点1A ，过点B 作1BB l ⊥交l 于点1B ，设弦AB 的中点为M ，过点M 作1MM l ⊥交l 于点1M ， 则11122AA BB AF FM B M ++==，因为AB AF BF ≤+ （F 为抛物线的焦点）， 即10AF BF +≥.所以1110AA BB +≥，1210MM ≥， 即15MM ≥.故点M 到x 轴的距离3d ≥. 故AB 的中点到x 轴的最短距离为3.14答案及解析： 答案：10解析：根据双曲线22142-=x y 得2=a ，2b . 根据双曲线的定义，2124-==AF AF a ，2124-==BF BF a ，相加得()22118+-+=AF BF BF AF ，由题意可知12+=AF BF AB ，当AB 是双曲线通径时AB 最小， 即有()1211228+-+=+-=AF BF BF AF AF BF AB ，即有222222888102⨯+=+≥+=+=b AF BF AB a . 故答案为10.15答案及解析：答案：（1）∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>点是双曲线的一个顶点，∴ca a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3,c b = ∴双曲线的方程为22136x y -=. （2）双曲线22136x y -=的右焦点为2(3,0)F ， ∴经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30︒的直线的方程为3)y x =-，联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得256270x x +-=.设1122(,),(,)A x y B x y ， 则1212627,55x x x x +=-=-.所以||AB ==.。
高考数学二轮复习 专题五 解析几何 课后综合提升练 1.5.3 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问
第三讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与X围问题(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.若抛物线y2=4x的焦点为F,一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为( )A. B.- C.± D.-【解析】选B.因为MA平行于x轴,所以A的纵坐标为1,所以A的横坐标为,又因为直线AB 经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为=-.2.若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值X围是( )A.(,+∞)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)【解析】选C.因为e==,a>1,所以e∈(1,).3.设离心率为的椭圆+=1的右焦点与双曲线x2-=1的右焦点重合,则椭圆方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.因为双曲线x2-=1的右焦点为(2,0),所以c=2,又因为离心率为,所以a=4,所以b2=12,所以椭圆的方程为+=1.4.已知抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线y=k(x-1)与C1,C2依次相交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)四点(其中x1<x2<x3<x4),则|AB|·|CD|的值为( ) A.1B.2C. D.k2【解析】选A.因为y2=4x,所以焦点F(1,0),准线l0:x=-1.如图,由抛物线的定义得:|AF|=x A+1,又因为|AF|=|AB|+1,所以|AB|=x A,同理:|CD|=x D,将l:y=k(x-1),代入抛物线方程,得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x A x D=1,则|AB|·|CD|=1.综上所述,|AB|·|CD|=1,5.椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F1,若椭圆上存在一个点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.设线段PF1的中点为M,另一个焦点为F2,由题意知,OM=b,又OM是△F1PF2的中位线,所以OM=PF2=b,PF2=2b,由椭圆的定义知PF1=2a-PF2=2a-2b,则MF1=PF1=(2a-2b)=a-b,又OF1=c,所以在直角三角形OMF1中,由勾股定理得:(a-b)2+b2=c2,又a2-b2=c2,可得2a=3b,故有4a2=9b2=9(a2-c2),由此可求得离心率 e==.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知A,B是圆C:x2+y2-8x-2y+16=0上两点,点P在抛物线x2=2y上,当∠APB取得最大值时,|AB|=____________.【解析】设∠PCB=θ,θ∈(0,π),要使得∠APB取得最大值,当且仅当cos∠ACB=cos2θ=2cos2θ-1=-1达到最大,也就是CP2最小时,因为圆心C的坐标为(4,1),设点P,所以CP2=(x-4)2+=-8x+17,求导数得x3-8=0,所以x=2,所以当x=2时,CP2取到最小值,最小值为5,此时cos 2θ=-,所以在△ACB中由余弦定理得|AB|==.答案:7.椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,顶点B(0,b)到右焦点F2的距离为4,直线x=a上存在点P,使得△F2PF1为底角是30°的等腰三角形,则此椭圆方程为____________.【解析】因为顶点B(0,b)到F2的距离为4,所以a=4,因为△F2PF1为底角是30°的等腰三角形,所以c=3,所以b2=7,所以椭圆方程为+=1.答案:+=18.与双曲线-y2=1有相同的焦点,且经过点(0,-2)的椭圆的标准方程为_____.【解析】因为双曲线-y2=1的焦点为(±,0),所以椭圆的焦点为(±,0),c=,又因为椭圆经过点(0,-2),所以b=2,所以a2=10,椭圆的方程为+=1. 答案:+=1三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,D(x0,y0)为AB中点,且|AF|+|BF|=2+2x0.(1)求抛物线C的方程.(2)若过A作抛物线C的切线l1,过D作与x轴平行的直线l2,设l1与l2相交于点E,l2与C 相交于点H,求证:为定值,并求出该定值.【解析】(1)根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p,x1+x2=2x0,因为|AF|+|BF|=2+2x0,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设过A(x1,y1)的切线l1方程为x=m(y-y1)+x1,联立抛物线C与切线l1的方程得y2-4my+4my1-=0,所以Δ=16m2-4(4my1-4x1)=0,解得m=,所以过点A的切线方程为y1y=2(x+x1),联立直线l2的方程y=y0,解得点E,即E为,所以H,所以|EH|=-==,所以|HD|=x D-=-==,所以=1,即的定值为1.10.已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1和l2,分别交曲线C于点A,B和K,N.设线段AB,KN 的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点.【解析】(1)由题意可知:动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离,根据抛物线的定义可知,点M的轨迹C是抛物线.因为p=2,所以抛物线方程为:y2=4x.(2)设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点P的坐标为.由题意可设直线l1的方程为y=k(x-1)(k≠0),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,因为直线l1与曲线C交于A,B两点,所以x1+x2=2+,y1+y2=k(x1+x2-2)=,所以点P的坐标为.由题意知,直线l2的斜率为-,同理可得点Q的坐标为(1+2k2,-2k),当k≠±1时,有1+≠1+2k2,此时直线PQ的斜率k PQ==.所以,直线PQ的方程为y+2k=(x-1-2k2),整理得yk2+(x-3)k-y=0.于是,直线PQ恒过定点(3,0);当k=±1时,直线PQ的方程为x=3,也过点(3,0).综上所述,直线PQ恒过定点(3,0).11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点A,且两个焦点F1,F2的坐标依次为(-1,0)和(1,0).(1)求椭圆C的标准方程.(2)设E,F是椭圆C上的两个动点,O为坐标原点,直线OE的斜率为k1,直线OF的斜率为k2,若k1·k2=-1,证明:直线EF与以原点为圆心的定圆相切,并写出此定圆的标准方程.【解析】(1)由椭圆定义得2a=+=4,即a=2,又c=1,所以b2=3,得椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线EF的方程为y=kx+b,E(x1,y1),F(x2,y2),直线EF的方程与椭圆方程联立,消去y得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,当判别式Δ=3+4k2-b2>0时,得x1+x2=-,x1x2=,由已知k1·k2=-1,即=-1,因为点E,F在直线y=kx+b上,所以(kx1+b)(kx2+b)=-x1x2,整理得(k2+1)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0,即(k2+1)+bk+b2=0,化简得b2=,原点O到直线EF的距离d=,d2===,所以直线与一个以原点为圆心的定圆相切,定圆的标准方程为x2+y2=.【提分备选】1.已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点,其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上,则双曲线C的离心率为( )A. B. C.2D.【解析】选C.如图所示,由题意可知△OPQ≌△OPF,所以∠POQ=∠POF=∠QOM=60°,所以e==2.2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,在抛物线C上任取一点A,过A作 l的垂线,垂足为E.(1)若|AF|=5,求cos∠EAF的值.(2)除A外,∠EAF的平分线与抛物线C是否有其他的公共点,并说明理由.【解析】(1)|AF|=x A+1=5,所以x A=4,即A(4,±4),由抛物线的对称性,不妨取A(4,4),因为F(1,0),E(-1,4),所以=(-5,0),=(-3,-4),所以cos∠EAF===.(2)设A(x0,y0),因为F(1,0),E(-1,y0),所以=(2,-y0).由|AE|=|AF|知∠EAF的平分线所在直线就是△EAF边EF上的高所在的直线.所以∠EAF的平分线所在的直线方程为2(x-x0)-y0(y-y0)=0.由消x得y2-2y0y-4x0+2=0.因为=4x0,方程化为y2-2y0y+=0,即y1=y2=y0.即∠EAF的平分线与抛物线C只有一个公共点,除A以外没有其他公共点.(20分钟20分)1.(10分)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程.(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.【解析】(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为+=1.(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为y=(x-c).当x=0时,y=,即点Q坐标为.因此,直线F1Q的斜率为=.由于F1P⊥F1Q,所以·=·=-1.化简得=-(2a2-1).①将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.2.(10分)已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程.(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆C:(x-a)2+y2=R2(a>0),由题意知解得a=1或a=,又S=πR2<13,所以a=1,R=2.所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1), B(x2,y2),又l与圆C相交于不同的两点,联立得消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0,所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,解得k<1-或k>1+.x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+6=,=+=(x1+x2,y1+y2),=(1,-3),假设∥,则-3(x1+x2)=y1+y2,所以3×=,解得k=∉∪,假设不成立, 所以不存在这样的直线l.。
高考数学二轮复习解析几何解答题专题训练(含解析)
高考数学二轮复习分析几何解答题专题训练（含分析）1．已知过抛物线y2＝2px( p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A( x1，y1)，B( x2，y2)( x1<x2)两点，且 | AB| ＝ 9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C为抛物线上一点，若→＝→＋→ ，求λ的值．OC OAλOB解(1) 直线AB的方程是y＝ 2 2 x －p2px 联立，进而有222，与 y ＝24x－ 5px＋p＝ 0，5p所以 x1＋ x2＝4.由抛物线定义得| AB| ＝x1＋x2＋p＝ 9，所以 p＝4，进而抛物线方程是y2＝8x.(2)由 p＝4，知4x2－5px＋ p2＝0可化为 x2－5x＋4＝0，进而 x1＝1，x2＝4， y1＝－2 2，y2＝4 2，进而 (1 ，－ 2 2) ， (4,42) ．A B→x3， y3)＝(1，－22) ＋λ (4,42) ＝ (4 λ＋ 1,4 2λ－ 2 2) ，设 OC＝(2，又 y ＝ 8x33所以 [22(2 λ－ 1)] 2＝ 8(4 λ＋ 1) ，即 (2 λ－ 1) 2＝ 4λ＋ 1，解得λ＝0，或λ＝2.2．已知圆心为C的圆，知足以下条件：圆心C位于 x 轴正半轴上，与直线3x－ 4y＋ 7＝0 相切，且被 y 轴截得的弦长为 2 3，圆C的面积小于13.(1)求圆 C的标准方程；(2)设过点 M(0,3)的直线 l 与圆 C交于不一样的两点 A，B，以 OA， OB为邻边作平行四边形 OADB.能否存在这样的直线l ，使得直线与恰巧平行？假如存在，求出l的方程；假如不存在，请OD MC说明原因．解 (1) 设圆C： ( x－a) 2＋y2＝R2( a>0) ，由题意知|3 a＋ 7|＝ R，32＋ 42a2＋3＝ R13解得 a＝1或 a＝8，又 S＝π R2<13，∴ a＝1， R＝2.∴圆 C 的标准方程为 ( x － 1) 2 ＋y 2＝ 4.(2) 当斜率不存在时，直线l 为 x ＝ 0，不知足题意．当斜率存在时，设直线l ： y ＝kx ＋ 3， A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2) ，又 l 与圆 C 订交于不一样的两点，y ＝ kx ＋ 3联立得x － 12＋y 2＝ 4，消去 y 得 (1 ＋ k 2) x 2＋ (6 k － 2) x ＋ 6＝ 0，∴＝ (6 k － 2) 2－ 24(1 ＋ k 2) ＝ 12k 2－ 24k －20>0，解得 k <1－2 6 2 63或 k >1＋.36k －22k ＋ 6x 1＋ x 2＝－ 1＋ k 2 ， y 1 ＋ y 2＝k ( x 1＋ x 2) ＋ 6＝ 1＋ k 2 ，→ → → → OD ＝ OA ＋ OB ＝ ( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2) ， MC ＝ (1 ，－ 3) ，→ →假定 OD ∥ MC ，则－ 3( x 1＋x 2) ＝ y 1＋ y 2，6k － 2 2k ＋ 6∴3× 1＋k 2 ＝ 1＋k 2 ，3 －∞， 1－2 6∪ 1＋26，＋∞ ，假定不建立，解得 k ＝ ?433∴不存在这样的直线l .→→1→→3．已知 A ( － 2,0) ， B (2,0) ，点 C ，点 D 知足 | AC | ＝ 2 ， AD ＝2( AB ＋ AC ) ． (1) 求点 D 的轨迹方程；(2) 过点A 作直线l交以 ， B 为焦点的椭圆于， 两点，线段的中点到y 轴的距离为4，且AM NMN5直线 l 与点 D 的轨迹相切，求该椭圆的方程．解(1) 设 ， 点的坐标分别为( 0， 0)， ( ， ) ，C DC xyD xy→→，则 AC ＝ ( x 0＋ 2， y 0) ， AB ＝ (4,0) 则 → ＋ → ＝( x 0＋ 6， 0) ，AB ACy→1 →→ x 0y 0故 AD ＝ 2( AB ＋ AC ) ＝＋3，2.2x 0又 →＝ ( x ＋2， ) ，故2 ＋3＝ x ＋ 2，AD yy 02＝ y .x 0＝2x － 2，解得y ＝ 2y .代入 |→＝x 0＋222| ＋ 0＝ 2，ACy得 x 2＋ y 2＝ 1，即所求点 D 的轨迹方程为 x 2＋y 2＝ 1.(2) 易知直线 l 与 x 轴不垂直，设直线l 的方程为y ＝ k ( x ＋ 2) ，①x 2y 22设椭圆方程为 a 2＋ a 2－ 4＝ 1( a >4) ．②将①代入②整理，得 ( a 2k 2＋ a 2－ 4) x 2＋ 4a 2k 2x ＋ 4a 2k 2－a 4＋ 4a 2＝ 0. ③由于直线 l 与圆 x 2＋y 2 ＝1 相切，|2 k |＝ 1，故k 2＋ 121解得 k ＝ 3.故③式可整理为 (a 2－3) x 2＋ 2－ 3 4＋ 4 a 2＝ 0.a x 4a设 M ( x 1， y 1) ，N ( x 2， y 2) ，a 2则 x 1＋ x 2＝－ a 2－ 3.a 2＝2× 4 2，由题意有2( a >4)a － 3 5解得 a 2＝ 8，经查验，此时 >0.故椭圆的方程为x 2 y 2＋ ＝ 1.84224．已知点 F ，F 分别为椭圆 C ：a＋b＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， P 是椭圆 C 上的一点， 且 | F F |12x 2 y 21 2＝ 2，∠ 1 2＝ π，△ 12的面积为 3 .F PFF PF3 3(1) 求椭圆 C 的方程；5(2) 点 M 的坐标为 4， 0 ，过点 F 2且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 订交于 A ， B 两点，关于随意的→ →k ∈R ，MA · MB 能否为定值？假如，求出这个定值；若不是，说明原因．解(1) 设 | PF 1| ＝ m ，| PF 2| ＝ n .2 22π在△ PF 1F 2 中，由余弦定理得 2 ＝ m ＋n － 2mn cos 3 ， 化简得， 2＋ n 2－ ＝ 4.mmn由 S △ PF 1F 2＝3 1 π 3，得 mn sin＝ .32334化简得 mn ＝ 3.222于是 ( m ＋ n ) ＝ m ＋ n － mn ＋ 3mn ＝ 8.∴ ＋ ＝ 2 2，由此可得，＝ 2.m na又∵半焦距 c ＝ 1，∴ b 2＝ a 2－ c 2＝1.x 22所以，椭圆 C 的方程为 2 ＋ y ＝ 1. (2) 由已知得 F 2(1,0) ，直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ，y ＝ k x － 1 ，由 x 222 ＋ y ＝ 1消去 y ，得 (2 k 2＋ 1) x 2－4k 2x ＋ 2( k 2 －1) ＝ 0.设 A ( x 1， y 1) ，B ( x 2， y 2) ，4k 22 k 2－ 1则 x 1＋ x 2＝ 2k 2＋ 1， x 1x 2＝ 2k 2 ＋1 .∵→· →55＝ x 1 － ， y 1 · x 2－ ， y 2MA MB44＝ x 1－5x 2－5＋1 244y y＝ x 152－ 5 22－ 1)－4 x4 ＋ k ( x 1－ 1)( x＝ ( k 2122＋ 512252＋ 1) x x － k4 ( x ＋ x ) ＋ 16＋ k242k 2＋ 522k －2k4252＝ ( k＋ 1) 2k 2＋1－2k 2＋ 1 ＋ 16＋ k － 4k 2－ 2 25＝ 2 k 2＋ 1 ＋167＝－ 16.→→ 7 为定值．由此可知 MA · MB ＝－16x2y25．已知双曲线E：a2－b2＝1( a>0， b>0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线 x－y＋6＝ 0 相切．(1)求双曲线 E 的方程；(2)已知点F 为双曲线E的左焦点，试问在x轴上能否存在必定点，过点随意作一条直线交M M→ →M的坐双曲线 E 于 P，Q两点( P 在 Q点左边)，使 FP·FQ为定值？若存在，求出此定值和全部的定点标；若不存在，请说明原因．解(1) 由题意知|6|2＝ a，∴ a＝ 3. 12＋－ 1又∵ 2c＝ 4，∴c＝ 2，∴b＝c2－ a2＝1.2x2∴双曲线E的方程为－y＝ 1.(2)当直线为 y＝0时，则 P(－3，0) ，Q(3，0) ，F( － 2,0)，→ →3＋2,0) ·( 3＋ 2,0)＝ 1.∴ FP· FQ＝(－当直线不为y＝0时，2x2可设 l ： x＝ ty ＋ m( t ≠±3) ，代入E：－y＝1，222＝0( t≠± 3)． (*)整理得 ( t－ 3) y＋ 2mty＋m－ 32 2由 >0，得m＋t >3.设方程12122mt (*) 的两个根为y， y，知足 y ＋ y ＝－t2－3，2－ 3my1y2＝t2－3，→→∴ FP· FQ＝( ty1＋m＋ 2，y1) ·(ty2＋m＋ 2，y2)＝( t2＋ 1) y1y2＋t ( m＋ 2)( y1＋y2) ＋ ( m＋ 2) 222t－ 2m－ 12m－ 15＝t 2－3.当且仅当 2 2＋12＋15＝3 时，→·→ 为定值，m m FP FQ 解得 m1＝－3－3，m2＝－3＋3(舍去)．综上，过定点 M(－3－3，0) 随意作一条直线交双曲线→ →E 于 P，Q两点，使 FP· FQ＝1.5。
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x2 y2
2
3． (2015 · 福建 三明月考 ) 如图，已知椭圆 a2＋ b2＝ 1( a>b>0) 的离心率为 2 ，以该椭
圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1， F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2＋ 1) ．一等轴双曲线的
顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线
PF1 和 PF2 与椭圆的交
＝ 2k1.
综上可得 2k1＝ k2＋ k3.
6．(2015 ·东北三省模拟 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆过点 (2,0) ，且被 y 轴
所截得的弦长为 4.
(1) 求动圆圆心的轨迹 C1 的方程；
(2) 过点 P(1,2) 分别作斜率为 k1， k2 的两条直线 l 1， l 2，分别交 C1 于 A， B两点 ( 点 A，
5．(2015 ·吉林长春质监 ) 在△ ABC中，顶点 B( － 1,0) ， C(1,0) ， G， I 分别是△ ABC的
→→ 重心和内心，且 IG∥ BC.
(1) 求顶点 A的轨迹 M的方程；
(2) 过点 C 的直线交曲线 M于 P， Q 两点， H 是直线 x＝4 上一点，设直线 CH， PH， QH
.
2
1
4 4k2 － 3
又点 O到直线 PQ的距离 d＝
，所以△ OPQ的面积 k2＋ 1
S△ ＝ OPQ 2d·｜PQ| ＝
4k2 ＋1
.
4t
4
设 4k2－ 3＝ t ，则 t >0， S△ ＝ OPQ t2 ＋ 4＝
. 4
t＋
t
4
7
因为 t
y2 ＝ 4x， 由
y－ 2＝ k x－ 1 ，
得 ky2－ 4y＋ 8－ 4k＝ 0.
6/7
设
A( x1， y1) ， B( x2， y2) ，Δ>0 恒成立，即
(
k－
1)
2
>0，有
k≠１，
8－ 4k
4－ 2k
∴ y1yP＝ k ，∵ yP＝ 2， ∴y1＝ k .
k－ 2 2
代入直线方程，得 x1＝
且满足 Δ>0. 所以，当△ OPQ的面积最大时， l 的方程为
7
7
y＝ 2 x－ 2 或 y＝－ 2 x－ 2.
x2 y2
2．(2015 ·安徽淮北模拟
) 已知椭圆
C：
＋ a2
＝ b2
1(
a>b>0)
的上顶点为
A，左、右焦点
1/7
4b
分别为
F1， F2，且椭圆
C过点
P(
3，
) 3
，以
AP为直径的圆恰好过右焦点
y＝k x－1 ，
得 k2x2－ (2 k2＋4) x＋ k2＝ 0.
因为直线 l 与抛物线有两个交点，所以 k≠0.
2k2 ＋ 4
4
设 A1( x3， y3) ， A2( x4， y4) ，则 x3＋ x4＝ k2 ＝ 2＋k2 ， x3x4＝ 1，
4
64
所以 | A1A2| ＝ x3＋x4＋ p＝ 2＋k2＋ 2＝ 9 .
x1 － 4
8m＋ 8k＋ 2kx1x2 － m＋ 5k x1＋ x2
＝
x1x2 － 4 x1＋x2 ＋ 16
24mk2＋ 24m ＝ 36k2 ＋ 36
2m ＝ 3 ＝ 2k1 .
当直线 PQ的斜率不存在时，不妨取
3
3
m－ m＋
3
3
2
2 2m
P(1 ， 2) ， Q(1 ，－ 2) ，则 k2＋ k3＝ 3 ＋ 3 ＝ 3
又
k1k2＝ 1，所以
|AB|
＋|CD|
＝ 4
( 2
k21＋1 ＋
1) ＋1
k21
2 2k21＋ 1 k21＋2 3 2 ＝ 8 ( k21＋1 ＋ k21＋1) ＝ 8 .
1
1 32
故 |AB| ＋|CD| ＝ 8 恒成立．
4．(2015 · 福建漳州期末 ) 设抛物线 C1： y2＝4x 的准线与 x 轴交于点 F1，焦点为 F2，以
b
F2，所以
b3 AF2⊥ F2P，即－ c · 4
＝－ 1，b2＝ c(4 －
3－ c
3c) ．而 b2＝ a2－ c2＝ 2－ c2，所以 c2－2c＋ 1＝0，解得
c＝ 1，故椭圆
C 的方程是
x2 2
＋
y
2＝
1.
(2) ① 当直线 l 斜率存在时，设直线
l 的方程为 y＝ kx＋ p，代入椭圆方程得 (1 ＋ 2k2) x2 ＋ 4kpx＋ 2p2－ 2＝ 0.
B 异于点
P) ．若 k1＋k2＝ 0，且直线
AB与圆
C2
：
(
x－
2)
2
＋
y2
＝
1 相切，求
△PAB的面积．
2
x－ 2 2＋ y2＝ r2 ，
解析 (1) 设动圆圆心坐标为 ( x， y) ，半径为 r . 由题可知
?
22＋ x2＝ r2 ，
y2＝ 4x，∴ 动圆圆心的轨迹方程为 y2＝4x.
(2) 设直线 l 1 斜率为 k，则 l 1： y－ 2＝ k( x－ 1) ， l 2： y－ 2＝－ k( x－ 1) ． 点 P(1,2) 在抛物线 y2＝ 4x 上，
的斜率分别为 k1， k2， k3，试比较 2k1 与 k2＋k3 的大小，并加以证明．
1
1
解析
(1) 由题意知
S△ ＝ ABC 2(|
AB| ＋ | AC| ＋ |
BC|)
·r ＝ | 2
BC| ·｜yA|
，且 |
BC| ＝ 2， |
y A|
＝ 3r ，其中 r 为内切圆半径，化简得 | AB| ＋ | AC| ＝ 4，顶点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点， 4
点分别为 A， B和 C， D.
(1) 求椭圆和双曲线的标准方程；
(2) 设直线 PF1，PF2 的斜率分别为 k1，k2，证明： k1· k2＝ 1；
1
1
(3) 探究 ＋ 是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
|AB| |CD|
解析 (1) 设椭圆的半焦距为
c2 c，由题意知 a＝ 2 ， 2a＋ 2c ＝ 4( 2 ＋ 1) ，所以 a＝
s＋t ＝0，
s＝ 1， 解得
t ＝－ 1，
s＝－ 1， 或
t ＝ 1，
而 (**) 不恒成立．
2/7
② 当直线 l 斜率不存在时，直线方程为 x＝ ± 2， 定点 F1( － 1,0) ， F2(1,0) 到直线 l 的距离之积 d1d2＝ ( 2－ 1)( 2＋ 1) ＝ 1. 综上，存在两个定点 (1,0) ，( － 1,0) ，使其到直线 l 的距离之积为定值 1.
m) ，
x2 y2 ＋ ＝1，
联立 4 3 y＝ k x－1 ，
8k2
4k2 － 12
可得 x1＋ x2＝3＋ 4k2 ， x1x2＝ 3＋ 4k2 .
m
y1－ m
y2－ m
由题意： k1＝3， k2＝ x1－ 4， k3＝ x2－ 4.
y1 － m k2＋ k3＝
x2－ 4 ＋ y2－ m x1 － 4 x2－ 4
y＝k x－1 ， 由 x2 y2
4 ＋ 3 ＝ 1，
得 (3 ＋ 4k2) x2－ 8k2x＋ 4k2－ 12＝ 0.
因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．
8k2
4k2 － 12
设 B1( x1， y1) ， B2( x2， y2) ，则 x1＋ x2＝3＋ 4k2 ， x1x2＝ 3＋ 4k2 .
(1) 由已知得
c＝ 1，a＝ 2， b2＝ a2－ c2＝ 4－ 1＝3，故椭圆方程为
x2 y2 4 ＋ 3 ＝ 1.
→→
3
3
(2) 当直线
l
与
x
轴垂直时，
B1(1
，－
) 2
， B2(1
，
) 2
，又
F1( － 1,0)
，此时 B1F1· B2F1
≠０，所以以线段 B1B2 为直径的圆不经过 F1，不满足条件． 当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l ： y＝ k( x－ 1) ．
1
F1，F2 为焦点，离心率为
的椭圆记作 2
C2.
(1) 求椭圆 C2 的标准方程； (2) 直线 l 经过椭圆 C2 的右焦点 F2，与抛物 线 C1 交于 A1， A2 两点，与椭圆 C2 交于 B1，
B2 两点，当以线段 B1B2 为直径的圆经过 F1 时，求 | A1A2| 的长．
4/7
解析
(2) 证明：设 P( x0， y0) ， F1( － 2,0) ， F2(2,0) ，则 k1＝ x0＋ 2，k2＝ x0－2.
因为点 P 在双曲线 x2－ y2＝ 4 上，所以 x20－ y20＝ 4.
y0
y0
y20
因此 k1k2＝ x0＋ 2· x0－ 2＝ x20－ 4＝1，即 k1k2＝ 1.
3/7
(3) 解：设 A( x1， y1) ， B( x2， y2) ，由于直线 PF1 的方程为 y＝ k1( x＋2) ，将其代入椭圆 方程得 (2 k21＋1) x2＋ 8k21x＋ 8k21－ 8＝0，
8k21
8k21－ 8
所以
x1＋
x2＝－
2k21＋
1，
x1·
x
2＝
2k21＋
. 1
所以 | AB| ＝ 1＋ k21 x1＋ x2 2－ 4x1x2