人教B版高中数学必修一学案：1.2.2 第1课时 并集、交集

1.2.2集合的运算
第1课时并集、交集
[学习目标] 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表示集合的关系及运算，体会直观图对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.
[知识链接]
下列说法中，不正确的有________：
①集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,3,4,5}；
②集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,4,5}；
③集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的公共元素组成的集合为{3}.
答案①
[预习导引]
1.并集与交集的概念
运算自然语言符号语言图形语言
交集对于两个给定的集合A、B，由属于A
又属于B的所有元素构成的集合
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
并集对于两个给定的集合A、B，由两个集
合的所有元素构成的集合
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
(1)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅；
(2)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A；
(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
解决学生疑难点
要点一集合并集的简单运算
例1(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()
A.{3,4,5,6,7,8}
B.{5,8}
C.{3,5,7,8}
D.{4,5,6,8}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()
A.{x|－1≤x＜3}
B.{x|－1≤x≤4}
C.{x|x≤4}
D.{x|x≥－1}
答案(1)A(2)C
解析(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}.
(2)在数轴上表示两个集合，如图.
规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点值不在集合中时，应用“空心点”表示.
跟踪演练1(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是()
A.{－1,2,3}
B.{－1，－2,3}
C.{1，－2,3}
D.{1，－2，－3}
(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.
答案(1)C(2){x|x＜－5，或x＞－3}
解析(1)A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，
∴A∪B＝{1，－2,3}.
(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来.
∴M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}.
要点二集合交集的简单运算
例2(1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于()
A.{2}
B.{4}
C.{0,2,4,6,8,16}
D.{2,4}
(2)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B 等于( ) A.{x |0≤x ≤2} B.{x |1≤x ≤2} C.{x |0≤x ≤4} D.{x |1≤x ≤4}
答案 (1)D (2)A
解析 (1)观察集合A ，B ，可得集合A ，B 的全部公共元素是2,4，所以A ∩B ＝{2,4}. (2)在数轴上表示出集合A 与B ，如下图.
则由交集的定义可得A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}.
规律方法 1.求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似. 2.当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合. 跟踪演练2 已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥5
2}，求A ∩B ，A ∪B .
解 ∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥5
2}，
把集合A 与B 表示在数轴上，如图.
∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0，或x ≥5
2}
＝{x |－1＜x ≤0，或5
2
≤x ≤3}；
A ∪
B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0，或x ≥5
2}＝R .
要点三 已知集合交集、并集求参数
例3 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.
解 由A ∩B ＝∅，
(1)若A ＝∅，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠∅，如下图：
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，
解得－12
≤a ≤2.
综上所述，a的取值范围是{a|－1
2≤a≤2，或a＞3}.
规律方法 1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.
2.建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到.最好是把端点值代入题目验证.
跟踪演练3设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求实数a 的取值范围.
解如下图所示，
由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.
1.若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{1,2}
D.{0}
答案 A
解析集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素.故选A.
2.设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()
A.{2}
B.{3}
C.{－3,2}
D.{－2,3}
答案 A
解析注意到集合A中的元素均为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}.
3.集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于()
A.{1,2}
B.{0,1,2}
C.{x|0≤x≤3}
D.{x|0≤x＜3}
答案 B
解析由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，
故P∩M＝{0,1,2}.
4.已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()
A.A∩B＝∅
B.A∪B＝R
C.B⊆A
D.A⊆B
答案 B
解析∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－5＜x＜5}，
∴A∩B＝{x|－5＜x＜0，或2＜x＜5}，A∪B＝R.故选B.
5.设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________. 答案k≤6
解析因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k
2}，
且M∩N≠∅，所以－k
2≥－3⇒k≤6.
1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“可兼”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B 但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由两个集合A，B的所有元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.。