高中人教B版数学必修第二册精练:第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 对数函数的性质与图象
【例2】(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(
)
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(0,1)
D.[0,1]
(2)已知函数 f(x)=2log 1 x 的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域
是
2
.
答案 (1)A (2)[
2
,
2
2]
解析 (1)由题意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).
第四章
4.2.3 对数函数的性质与图象
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.通过具体实例,了解对数函数的概念.
2.能用描点法或借助ห้องสมุดไป่ตู้算工具画出具体对数函数的图象,直观了解对数函
数的模型所刻画的数量关系.
3.熟练掌握对数函数y=logax的图象与性质.
2.(1)下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是(
)
A.y=5x
B.y=lg x+2
C.y=x2+1
D.y=log 1 x
2
(2)函数f(x)=loga(x-2)-2x(a>0且a≠1)的图象必经过定点
答案 (1)D
(2)(3,-6)
.
重难探究•能力素养全提升
探究点一 对数函数的概念
【例1】(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m=
质
非奇非偶函数
数学人教B版必修第二册 4.3指数函数与对数函数的关系 作业 Word版含解析
2020-2021学年高一数学人教B 版(2019)必修二同步课时作业 4.3指数函数与对数函数的关系1.下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( )A.2log y x =B.1y x =C.12x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.23y x = 2.已知函数1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则函数(1)f x +的反函数的图像可能是图中的( ) A. B.C. D.3.若函数()f x 的图像与函数()10x g x =的图像关于直线y x =对称,则(100)f =( )A.10B.-1C.2D.-2 4.设0.0122log 3,3,a b c ===,则( ) A.c a b << B.a b c << C.a c b << D.b a c <<5.设0.321log 0.6,log 0.62m n ==,则( ) A .m n m n mn ->+>B .m n mn m n ->>+C .m n m n mn +>->D .mn m n m n >->+6.已知121211,log ,,2m m a m b c m ⎛⎫>=== ⎪⎝⎭则( ) A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a << 7.已知()()0,1x f x a a a =>≠且,()g x 为()f x 的反函数.若()()220f g -⋅<,那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图象可能是( )A. B. C. D.8.函数2()(0)f x x x =>的反函数为__________.9.已知1()2x f x x+=,其反函数为1()f x -,则1(0)f -=___________. 10.已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -.(1)若11()(1)1f x f x ----=,求实数x 的值;(2)若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]1,2内有解,求实数m 的取值范围.答案以及解析1.答案:B解析:A.2log y x =在(0,)+∞上是增函数,∴2log y x =在(0,1)上是增函数,故错;B.1y x =在(0,)+∞上是减函数,∴1y x =在(0,1)上是减函数,故对;C.12x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上是增函数,∴12x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在(0,1)上是增函数,故错;D.23y x =在(0,)+∞上是增函数,∴23y x =在(0,1)上是增函数,故错.故选B.2.答案:D 解析:函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像恒过点(0,1),则函数(1)f x +的图像恒过点(1,1)-, 则其反函数的图像恒过点(1,1)-.而选项A,B,C 中的图像明显不过点(1,1)-,故排除.所以正确选项为D.3.答案:C解析:()f x 与()g x 关于y x =对称()f x ⇒为()g x 的反函数,∴()lg (100)lg1002f x x f =⇒==.故选C.4.答案:A解析:先和0比较,0.0122log log 10,30,ln10a b c ===>=<=,得到c 最小;再与1比较,0.01022log log 21,331a b =<==>=,得到b 最大.综上,b a c >>.故选A.5.答案:A 解析:0.30.321log 0.6log 10,log 0.62m n =>==,则210log 102mn <<=. 0.60.60.60.611log 0.3log 4log 1.2log 0.61m n+=+=<=, ∴m n mn +>.∴m n m n mn ->+>.故选:A.6.答案:A解析:当1m >时,由对数函数的性质可知0,01,1a b c <<<>,则a b c <<成立.故选:A .7.答案:C解析:因为()20f ->,又()()220f g -<,所以()20g <,又因为()f x 与()g x 的单调性相同,所以C 正确.8.答案:1()0)f x x ->解析:由2(0)y x x =>,解得x =,∴1()0)f x x -=>,故答案为1()0)f x x -=>.9.答案:-1 解析:∵1()2x f x x +=,则由12x y x +=,得21xy x =+,∴121x y =-,∴11()21f x x -=-,∴11(0)1201f -==-⨯-. 10.答案:(1)由题意可得12()log f x x -=, 所以2222log log (1)1log log 21x x x x --=⇒=-, 所以2213x x x =⇒=-. (2)由()(1)0f x f x m +--=,可得222x x m =+, 令[]22,4x t =∈,所以2m t t=+, 所以当[]2,4t ∈时,函数2m t t=+为增函数, 所以函数的最小值为3,最大值为92,所以实数m 的取值范围为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
高中数学新教材人教B版必修第二册训练:4.3 指数函数与对数函数的关系
第四章 4.3请同学们认真完成 [练案8]A 级 基础巩固一、选择题1.函数y =e x 与y =ln x 的图像( D ) A .关于原点对称 B .关于x 轴对称 C .关于y 轴对称D .关于直线y =x 对称[解析] ∵函数y =e x 与y =ln x 是互为反函数, ∴其图像关于直线y =x 对称.2.函数y =f (x )的图像经过第三、四象限,则y =f -1(x )的图像经过( B ) A .第一、二象限 B .第二、三象限 C .第三、四象限D .第一、四象限[解析] 因为第三、四象限关于y =x 对称的象限为第三、二象限,故y =f -1(x )的图像经过第二、三象限.3.函数y =f (x )的图像过点(1,3),则它的反函数的图像过点( D ) A .(1,2) B .(2,1) C .(1,3)D .(3,1)[解析] ∵互为反函数的图像关于直线y =x 对称, ∴点(1,3)关于直线y =x 的对称点为(3,1),故选D .4.若函数y =f (x )是函数y =a x (a >0且a ≠1)的反函数,且f (2)=1,则f (8)=( A ) A .3 B .13C .-3D .-13[解析] 由题意可知f (x )=log a x ,f (2)=log a 2=1,a =2, 即f (x )=log 2x ,f (8)=log 28=3.5.(多选题)函数y =2|x |在下面的区间上,不存在反函数的是( AC ) A .[-1,1] B .(-∞,0] C .[-2,4]D .[2,4][解析] 函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y =2|x |在[-1,1],[-2,4]上不单调.二、填空题6.已知f (x )=2x +b 的反函数为f -1(x ),若y =f -1(x )的图像经过点Q (5,2),则b =__1__.[解析] 由互为反函数的图像关于直线y =x 对称可知,点Q ′(2,5)必在f (x )=2x +b 的图像上,∴5=22+b , ∴b =1.7.函数f (x )=4-x 的反函数是__f -1(x )=4-x 2(x ≥0)__. [解析] 函数的值域为[0,+∞),令y =4-x , 将其中的x ,y 对调得x =4-y ,解得y =4-x 2, 所以反函数f -1(x )=4-x 2(x ≥0).8.若函数y =f (x )的反函数是y =-2-x 2(-1≤x ≤0),则原函数的定义域是-1]__,f (-1)=__-1__.[解析] 因为原函数的定义域为反函数的值域,又-1≤x ≤0,所以1≤2-x 2≤2,即y ∈[-2,-1].令-2-x 2=-1,解得x =±1,因为原函数的定义域为[-2,-1],所以x =-1. 三、解答题9.已知y =12x +a 与y =3-bx 互为反函数,求a 、b 的值.[解析] 由y =12x +a ,得x =2y -2a ,∴y =2x -2A .即函数y =12x +a 的反函数为y =2x -2a ,由已知得函数y =2x -2a 与函数 y =3-bx 为同一函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧-b =2-2a =3,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =-32b =-2.10.求下列函数的反函数. (1)f (x )=12x +1; (2)f (x )=1-1-x 2(-1≤x <0);(3)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1(0≤x ≤1)x 2(-1≤x <0).[解析] (1)设y =f (x )=12x +1.∵x ≠-12,∴y ≠0.由y =12x +1,解得x =1-y 2y .∴f -1(x )=1-x 2x (x ≠0).(2)设y =f (x )=1-1-x 2. ∵-1≤x <0,∴0<y ≤1.由y =1-1-x 2,解得x =-2y -y 2. ∴f -1(x )=-2x -x 2(0<x ≤1).(3)设y =f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1(0≤x ≤1)x 2(-1≤x <0),当0≤x ≤1时,-1≤y ≤0, 由y =x 2-1,得x =1+y ; 当-1≤x <0时,0<y ≤1, 由y =x 2,得x =-y .∴f -1(x )=⎩⎨⎧1+x (-1≤x ≤0)-x (0<x ≤1).B 级 素养提升一、选择题1.若f (ln x +1)=x ,则f (5)=( C ) A .log 5e B .ln 4 C .e 4D .4e[解析] 解法一:令ln x +1=t ,则x =e t -1,∴f (t )=e t -1, ∴f (5)=e 5-1=e 4.解法二:令ln x +1=5,则ln x =4, ∴x =e 4,∴f (5)=e 4.2.若函数y =ax1+x 的图像关于直线y =x 对称,则a 的值为( B )A .1B .-1C .±1D .任意实数[解析] 因为函数图像本身关于直线y =x 对称,故可知原函数与反函数是同一函数,所以先求反函数,再与原函数作比较即可得出答案;或利用反函数的性质求解,依题意,知点(1,a 2)与(a2,1)均在原函数图像上,故可得a =-1. 3.已知函数y =f (x )与y =e x 互为反函数,函数y =g (x )的图像与y =f (x )的图像关于x 轴对称,若g (a )=1,则实数a 的值为( C )A .-eB .-1eC .1eD .e[解析] ∵函数y =f (x )与y =e x 互为反函数, ∴f (x )=ln x ,又∵函数y =g (x )的图像与y =f (x )的图像关于x 轴对称,∴g (x )=-ln x , ∴g (a )=-ln a =1,∴ln a =-1,∴a =1e .4.函数y =10x 2-1(0<x ≤1)的反函数是( D ) A .y =-1+lg x (x >110)B .y =1+lg x (x >110)C .y =-1+lg x (110<x ≤1)D .y =1+lg x (110<x ≤1)[解析] 由y =10x 2-1(0<x ≤1),得x 2-1=lg y , 即x =lg y +1.又∵0<x ≤1,即-1<x 2-1≤0, ∴110<10x 2-1≤1,即原函数的值域为(110,1]. ∴原函数的反函数为y =lg x +1(110<x ≤1).二、填空题5.若点(1,2)既在y =ax +b 的图像上,又在其反函数的图像上,则a =__-3__,b =__7__. [解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y =ax +b 的图像上,∴⎩⎨⎧2=a +b 1=2a +b,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3b =7.6.已知函数f (x )的反函数为g (x )=1+2lg x (x >0),则f (1)+g (1)=__2__. [解析] 令g (x )=1,则2lg x =0,∴x =1. ∵f (x )与g (x )互为反函数, ∴f (1)=1,g (1)=1+2lg 1=1, ∴f (1)+g (1)=2.7.设a >0且a ≠1,若函数f (x )=a x -1+2的反函数的图像经过定点P ,则点P 的坐标是__(3,1)__.[解析] 因为函数f (x )=a x -1+2经过定点(1,3),所以函数f (x )的反函数的图像经过定点P (3,1).三、解答题8.已知函数f (x )=log a (2-x )(a >1).(1)求函数f(x)的定义域、值域;(2)求函数f(x)的反函数f-1(x);(3)判断f-1(x)的单调性.[解析](1)要使函数f(x)有意义,需满足2-x>0,即x<2,故原函数的定义域为(-∞,2),值域为R.(2)由y=log a(2-x)得,2-x=a y,即x=2-a y.∴f-1(x)=2-a x(x∈R).(3)f-1(x)在R上是减函数.证明如下:任取x1,x2∈R且x1<x2,∵f-1(x2)-f-1(x1)=2-ax2-2+ax1=ax1-ax2,∵a>1,x1<x2,∴ax1<ax2即ax1-ax2<0,∴f-1(x2)<f-1(x1),∴y=f-1(x)在R上是减函数.9.已知f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;(3)解方程f(2x)=f-1(x).[解析](1)要使函数有意义,必须a x-1>0,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a>1时,设0<x1<x2,则1<ax1<ax2,故0<ax1-1<ax2-1,∴log a(ax1-1)<log a(ax2-1),∴f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.(3)令y=log a(a x-1),则a y=a x-1,∴x=log a(a y+1).∴f-1(x)=log a(a x+1).由f(2x)=f-1(x),得log a(a2x-1)=log a(a x+1),∴a2x-1=a x+1,解得a x=2或a x=-1(舍去),∴x=log a2.由Ruize收集整理。
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 对数运算法则
1 2 3 4
带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转
化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算法则.要整体把握对数
式的结构特征,灵活运用指数式与对数式互化进行解题.
成果验收·课堂达标检测
1.(多选题)已知a,b均为不等于1的正数,则下列选项中与logab相等的有
( AD )
1
A.lo g
1 2 3 4
3
1
3
10-1+ =1+ +1-1+ =2.
4
4
4
3
4
=
2
.
4.计算:(1)3log72-log79+2log7
3
2√2
;
(2)(lg 2)2+lg 2×lg 500+lg 125;
(3)[(1-log63)2+log62×log618]÷log64.
解
9
(1)原式=log78-log79+log7 =log78-log79+log79-log78=0.
ln
4.任何对数均可用自然对数表示,即 logab=
过关自诊
1.换底公式中底数c是特定数还是任意数?
提示 换底公式等号右边的“底数c”是不定的,它可以是任何一个不为1的
正数.
2.(多选题)下列等式正确的是(ABC )
ln4
A.log34=ln3
lg4
B.log34=lg3
1
C.log34=lo g 3
lg
B.lg
C.log √ √
D.log bn(n∈R 且 n≠0)
解析
1
人教B版高中数学必修第二册课后习题 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.1 对数运算
4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算必备知识基础练1.方程2log3x=14的解是( )A.19B.√3 C.√33D.92.若log a√b7=c(a>0且a≠1,b>0),则有( )A.b=a7cB.b7=a cC.b=7a cD.b=c7a3.(天津红桥教师发展中心高一期末)有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=10;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是( )A.①②B.②④C.①③D.③④4.已知log3[log3(log4x)]=0,则x= .5.方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的解为.6.求下列各式中x的值:(1)log27x=-23;(2)log x16=-4;(3)lg 11000=x;(4)-ln e-3=x.7.(1)计算:lg 0.000 1;log21;log3.12(log1515).64,log3(log2y)=1,求xy的值.(2)已知log4x=-32关键能力提升练8.(多选题)已知函数f(x)={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0.若f(a)=13,则x 的可能取值为( )A.-1B.√2C.√23D.29.若log (1+k)(1-k)有意义,则实数k 的取值范围是 .10.方程9x -3x+2+8=0的实数解为 .11.已知二次函数f(x)=(lg a)x 2+2x+4lg a 的最大值是3,求a 的值.学科素养创新练12.设a,b,c为正数,且满足a2+b2=c2,log41+b+ca =1,log8(a+b-c)=23,求a,b,c的值.参考答案4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算1.A ∵2log 3x =14=2-2,∴log 3x=-2,∴x=3-2=19.2.A ∵log a √b 7=c,∴a c =√b 7.∴(a c )7=(√b 7)7. ∴a 7c =b.3.A 由对数定义可知,lg(lg10)=lg1=0,①正确;ln(lne)=ln1=0,②正确;10=lgx ⇒x=1010,③错误;e=lnx ⇒x=e e ,④错误.故选A.4.64 log 3[log 3(log 4x)]=0⇒log 3(log 4x)=1⇒log 4x=3⇒x=43⇒x=64.5.x=3 由lg(x 2-1)=lg(2x+2),得x 2-1=2x+2, 即x 2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.经检验x=-1不符合要求,所以原方程的解为x=3. 6.解(1)由题意,x=27-23=(33)-23=3-2=19.(2)由题意,x -4=16⇒(1x )4=24,而x>0且x≠1,所以1x =2⇒x=12.(3)由题意,10x =11000=10-3⇒x=-3.(4)由题意,lne -3=-x ⇒e -3=e -x ⇒x=3.7.解(1)因为10-4=0.0001,所以lg0.0001=-4. 因为2-6=164,所以log 2164=-6.log 3.12(log 1515)=log 3.121=0. (2)因为log 4x=-32,所以x=4-32=2-3=18.因为log 3(log 2y)=1,所以log 2y=3. 所以y=23=8.所以xy=18×8=1.8.AC 当a>0时,由log 2a=13,得a=213=√23,故C 正确;当a≤0时,由3a =13,得a=-1,故A 正确.9.(-1,0)∪(0,1) 若log (1+k)(1-k)有意义,则满足{1+k >0,1+k ≠1,1-k >0,解得k ∈(-1,0)∪(0,1).10.0或log 38 因为9x -3x+2+8=(3x )2-9×3x +8=0,令3x =t,则t 2-9t+8=0,解得t=1或t=8,所以3x =1或3x =8,解得x=0或x=log 38. 所以方程9x -3x+2+8=0的实数解为0或log 38. 11.解因为二次函数f(ax =16(lga )2-44lga=4(lga )2-1lga=3,所以4(lga)2-3lga-1=0. 所以lga=1或lga=-14.因为lga<0,所以lga=-14.所以a=10-14.12.解由log 41+b+c a=1,可得1+b+c a=4,即-3a+b+c=0. ① 由log 8(a+b-c)=23,可得a+b-c=4.② 由①+②,得b-a=2.③由①得c=3a-b,代入a 2+b 2=c 2,得a(4a-3b)=0. 因为a>0,所以4a-3b=0. ④由③④得a=6,b=8,则c=10.。
人教B版高中数学必修第二册课后习题 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 第4章末测评卷
第四章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=x 53的图象大致是( )2.已知f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则实数a的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(0,1)3.若函数f(x)=1+3-x的反函数为g(x),则g(10)=( )A.2B.-2C.3D.-14.函数f(x)=lo g12(2x-x2)的单调递减区间为( )A.(0,2)B.(-∞,1]C.[1,2)D.(0,1]5.函数f(x)=a x-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,点P 又在幂函数g(x)的图象上,则g(3)的值为( ) A.4B.8C.9D.166.10月16日,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心成功发射升空,载人飞船精准进入预定轨道,顺利将3名宇航员送入太空,发射取得圆满成功.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v 0·ln Mm 计算火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v 0(单位:m/s)是喷流相对速度大小,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,Mm 称为“总质比”.若某型火箭的喷流相对速度大小为1 000 m/s,当总质比为625时,该型火箭的最大速度约为( )(附:lg e≈0.434,lg 2≈0.301) A.5 790 m/s B.6 219 m/s C.6 442 m/s D.6 689 m/s7.设a=log 32,b=ln 2,c=5-12,则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<bD.c<b<a8.若对于任意-1)2的取值范围是( ) A.(-∞,13)B.(-∞,13]C.(-∞,1)D.(-∞,1]二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知a>0,b>0,2a+b=1,则( ) A.log 0.5a+log 0.5b 的最大值为3 B.4a +2b 的最小值为2√2 C.a ∈(0,12)D.a 2+b 2的最小值为1410.设a,b,c 都是正数,且4a =6b =9c ,则下列结论正确的是( ) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.4b ·9b =4a ·9c D.1c=2b−1a11.已知函数f(x)={2x -4,x ≥0,-x 2-4x +1,x <0,则关于x 的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解可以为( ) A.-4B.0C.-2D.log 2612.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有 ( )A.f(x)在区间(1,2)内单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x 1≠x 2,f(x 1)=f(x 2),则x 1+x 2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.方程log 3(3x-1)=log 3(x-1)+log 3(3+x)的解为x= . 14.函数y=12x,-3≤x≤1的值域是 .15.若log a 23<1,则实数a 的取值范围是 .16.已知函数f(x)={lnx ,x >0,e x +1,x ≤0,且函数g(恰有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)计算题: (1)√2-1-(-9.6)0+√(√2-e )44−(827)23+(32)-2.(2)lg 4+2lg 5+log 45·log 514.+a).18.(12分)已知函数f(x)=log2(12x(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求实数a的值;(2)若函数f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)=lg(10x-1).(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)设函数g(x)=f(x)-lg(10x+1),若关于x的不等式g(x)<t恒成立,求实数t的取值范围.20.(12分)在刚刷完漆的室内放置空气净化器,净化过程中有害气体含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的关系为:P=P0e-kt,其中P0,k是正常数,如果在前5 h消除了10%的有害气体,那么(1)10 h后还剩百分之几的有害气体?(2)有害气体减少50%需要花多少时间?(精确到1 h)(参考数据:ln2≈0.693 1,ln 0.9≈-0.105 4)21.(12分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=log a2.1-x(1)求f(x)的定义域及其零点;(2)设g(x+3,当a>1时,若对任意x1∈(-∞,-1],存在x2∈[3,4],使得f(x1)≤g(的取值范围.22.(12分)给出下面两个条件:①函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点;②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数f(x)的解析式确定.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且. (1)求f(x)的解析式;,27],2f(log3的取值范围.(2)若对任意x∈[19参考答案第四章测评1.B 函数y=x 53=√x53的定义域为R,且此函数在定义域上是增函数,故排除选项A,C;当0<x<1时,x 53<x,所以x∈(0,1)时,函数y=x53图象要在函数y=x图象的下方,排除选项D.故选B.2.D3.B 令y=1+3-x,得x=-log3(y-1),∴g(x)=-log3(x-1)(x>1),∴g(10)=-2.4.D 记u(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,u(x)的图象为抛物线,对称轴为x=1,且开口向下,令u(x)>0,解得x∈(0,2),①当x∈(0,1]时,u(x)单调递增,f(x)=lo g12u(x)单调递减,即原函数的单调递减区间为(0,1];②当x∈[1,2)时,u(x)单调递减,f(x)=lo g12u(x)单调递增,即原函数的单调递增区间为[1,2).故选D.5.C ∵f(x)=a x-2+3,令x-2=0,得x=2,∴f(2)=a0+3=4,∴f(x)的图象恒过点(2,4).设g(x)=x a,把P(2,4)代入得2a=4,∴a=2,∴g(x)=x2,∴g(3)=32=9.故选C.6.C 由题得v=v 0·ln Mm =1000×ln625=1000×4lg5lge=1000×4×(1-lg2)lge≈6442m/s.故选C.7.C a=log 32=1log 23,b=ln2=1log 2e,而log 23>log 2e>1,所以a<b,c=5-12=√5,而√5>2=log 24>log 23,所以c<a,综上c<a<b.故选C. 8.C ∵2-1)2x<1(-1<12x=(12)x对于任意x ∈(-∞,-1]恒成立.∵-1<2,解得m<1.∴实数m 的取值范围是(-∞,1).故选C.9.BC a>0,b>0,2a+b=1⇒ab≤18,则log 0.5a+log 0.5b=log 0.5ab≥3,当且仅当a=14,b=12时,等号成立,故A 错误;4a +2b =22a +2b ≥2√2,当且仅当a=14,b=12时,等号成立,故B 正确;a>0,b>0,2a+b=1⇒b=1-2a>0⇒0<a<12,故C 正确;a 2+b 2=a 2+(1-2a)2=5a 2-4a+1,0<a<12,则当a=25时,有最小值为15,故D 错误.10.ACD 设4a =6b =9c =t,t>1,则a=log 4t,b=log 6t,c=log 9t,所以b c+ba=log 6t log 9t+log 6t log 4t =lgt lg6lgt lg9+lgt lg6lgt lg4=lg9lg6+lg4lg6=lg9+lg4lg6=lg (9×4)lg6=lg62lg6=2,即b c+ba=2,所以1c+1a=2b,所以1c=2b−1a,故D 正确;由b c+ba=2,所以ab+bc=2ac,故A正确,B 错误;因为4a ·9c =4a ·4a =(4a )2,4b ·9b =(4×9)b =(62)b =(6b )2.又4a =6b =9c ,所以(4a )2=(6b )2,即4b ·9b =4a ·9c ,故C 正确.故选ACD. 11.AD [f(x)]2-3f(x)+2=0,[f(x)-1][f(x)-2]=0,得f(x)=1或f(x)=2,当x≥0时,2x -4=1或2x -4=2,解得x=log 25或x=log 26;当x<0时,-x 2-4x+1=1或-x 2-4x+1=2,解得x=-4或x=-2±√3.故在选项中方程的解可以为AD.故选AD.12.ABD 根据图象变换作出函数f(x)的大致图象,如图,由图象知f(x)在区间(1,2)内单调递增,故A 正确;函数图象关于直线x=2对称,故B 正确;令f(x 1)=f(x 2)=k,则直线y=k 与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如图.如果最左边两个交点横坐标分别是x 1,x 2,则x 1+x 2=4不成立,故C 错误;f(x)的图象与x 轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D 正确.故选ABD. 13.214.[12,8] 因为指数函数y=12x在区间[-3,1]上单调递减,所以当x=-3时,函数有最大值为12-3=8;当x=1时,函数有最小值为12.所以函数y 的值域为[12,8].15.0,23∪(1,+∞) 当a>1时,不等式为log a 23<log a a,∴a>23,即a>1;当0<a<1时,不等式为log a 23<log a a,∴a<23,即0<a<23.综上所述,实数a 的取值范围是0,23∪(1,+∞).16.(1,2] 由g(,即函数g(与函数y=f(x)图象交点的横坐标.当x≤0时,f(x)=e x +1单调递增,其值域为(1,2];当x>0时,f(x)=ln 与函数y=f(x)图象有2个交点,即函数g(的取值范围是(1,2]. 17.解(1)原式=√2+1-1+e-√2−23×23+49=e.(2)原式=lg4+lg25+log 45·(-log 54)=lg4×25-lg5lg4×lg4lg5=lg102-1=2-1=1.18.解(1)若函数f(x)是R 上的奇函数,则f(0)=0,即log 2(120+a)=0,解得a=0.当a=0时,f(x)=-x=-f(-x),在R 上为奇函数,所以a=0为所求. (2)若函数f(x)的定义域是R,则12x +a>0恒成立,即a>-12x 恒成立,由于-12x ∈(-∞,0),故只要a≥0即可,即实数a 的取值范围为[0,+∞).(3)由题意,知函数f(x)在[0,1]上单调递减,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log 2(1+a),最小值是f(1)=log 2(12+a).由题意,得log 2(1+a)-log 2(12+a)≥2,所以{1+a >0,a +12>0,a +1≥4a +2,解得-12<a≤-13, 故实数a 的取值范围为(-12,-13].19.解(1)∵10x -1>0,∴10x >100,则x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).又10x -1>0,∴f(x)的值域为R.(2)g(x)=f(x)-lg(10x+1)=lg(10x-1)-lg(10x+1)=lg (10x -110x +1)=lg (1-210x +1).∵10x >0,∴10x +1>1,∴0<210x +1<2,∴-2<-210x +1<0,∴-1<1-210x +1<1.又1-210x +1>0,∴0<1-210x +1<1.∴lg (1-210x +1)<0,∴g(x)的值域为(-∞,0).∵关于x 的不等式g(x)<t 恒成立,∴t≥0,即t 的取值范围是[0,+∞). 20.解(1)根据题意得P=P 0e -5k =P 0(1-10%),则e -5k =90%,故当t=10时,P=P 0e -10k =P 0(e -5k )2=P 0(90%)2=P 081%,故10个小时后还剩81%的有害气体. (2)根据题意得P 0e -kt=P 050%,即(e -5k)15t =12,即0.915t =0.5,故t=5log 0.90.5=5-ln2ln0.9≈33,故有害气体减少50%需要花33小时.21.解(1)由题意知,21-x>0,1-x>0,解得x<1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,1).令f(x)=0,得21-x=1,解得x=-1,故函数f(x)的零点为-1.(2)若对于任意x 1∈(-∞,-1],存在x 2∈[3,4],使得f(x 1)≤g(≥-1.即m ∈[-1,+∞).22.解(1)因为二次函数f(x)=ax 2+bx+c 满足f(x+1)-f(x)=2x-1,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax 2-bx-c=2ax+a+b=2x-1,所以{2a =2,a +b =-1,解得{a =1,b =-2,所以f(x)=x 2-2x+c.选①,因为函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点,所以f(1)=1-2+c=-1,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(x)=x 2-2x.选②,设x 1,x 2是函数f(x)的两个零点,则|x 1-x 2|=2,且Δ=4-4c>0,可得c<1.由题可知x 1+x 2=2,x 1x 2=c,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√4-4c =2,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(sx)=x 2-2x.(2)由2f(log3≤-2f(log3x).当x∈1,27时,log3x∈[-2,3].令h=log3x,9,27],2f(log3≤-2f(h)在h∈[-2,3]上恒则h∈[-2,3],所以对任意x∈[19成立,所以m≤[-2f(h)]min.当h=-2时,取最小值,则-2f(-2)=-16,所以实数m的取值范围为(-∞,-16].。
新教材2020人教B版数学必修第二册教师用书:第4章 4.3 指数函数与对数函数的关系
4.3指数函数与对数函数的关系学习目标核心素养1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图像间的对称关系.(重点)2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.(难点)1.通过反函数概念及指数函数与对数函数图像间的关系学习,培养直观想象素养.2.借助指数函数与对数函数综合应用的学习,提升数学运算、逻辑推理素养.1.反函数的概念与记法(1)反函数的概念一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x 与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数,此时,称y=f(x)存在反函数.(2)反函数的记法:函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.思考:如何准确理解反函数的定义?[提示](1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域.(2)对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是单调函数时,这个函数才存在反函数.如y=x2+1(x∈R)就没有反函数,因为它在R 上不是单调函数.(3)反函数也是函数,因为它符合函数的定义.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数.(2)指数函数y=a x与对数函数y=log a x的图像关于直线y=x对称.1.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于()A.log2x B.1 2xC.log12x D.2x-2A[y=a x的反函数为f(x)=log a x,则1=log a2,所以a=2.所以f(x)=log2x.]2.若函数y=f(x)的反函数图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点() A.(1,1) B.(1,5)C.(5,1) D.(5,5)C[原函数与它的反函数的图像关于直线y=x对称,因为y=f(x)的反函数的图像过(1,5),而(1,5)关于y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必过点(5,1).]3.函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是()A.(0,+∞) B.RC.(-∞,0) D.(0,1)A[由原函数与反函数间的关系知,反函数的值域为原函数的定义域.] 4.函数y=x+3的反函数为__________.y=x-3(x∈R)[由y=x+3得x=y-3,x,y互换得y=x-3,所以原函数的反函数为y=x-3.(x∈R).]求函数的反函数【例1】 求下列函数的反函数. (1)y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x;(2)y =5x +1;(3)y =x 2(x ≤0).[思路探究] 根据原函数反解x ⇒x ,y 互换⇒原函数的定义域即为反函数的值域.[解] (1)由y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,得x =log 13y ,且y >0,∴f -1(x )=log 13x (x >0).(2)由y =5x +1,得x =y -15, ∴f -1(x )=x -15(x ∈R ).(3)由y =x 2得x =±y . 因为x ≤0,所以x =-y . 所以f -1(x )=-x (x ≥0).求反函数的一般步骤(1)求值域:由函数y =f (x )求y 的范围.(2)解出x :由y =f (x )解出x =f -1(y ).若求出的x 不唯一,要根据条件中x 的范围决定取舍,只取一个.(3)得反函数:将x ,y 互换得y =f -1(x ),注意定义域得反函数.提醒:求反函数时,若原函数y =f (x )的定义域有限制条件,其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求.1.(1)已知函数y =e x 的图像与函数y =f (x )的图像关于直线y =x 对称,则()A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln 2·ln x(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=ln 2+ln x(x>0)(2)求函数y=0.2x+1(x≤1)的反函数.(1)D[(1)由题意知函数y=e x与函数y=f(x)互为反函数,y=e x>0,所以f(x)=ln x(x>0).则f(2x)=ln(2x)=ln 2+ln x(x>0).](2)[解]由y=0.2x+1得x=log0.2(y-1),对换x、y得y=log0.2(x-1).∵原函数中x≤1,y≥1.2,∴反函数的定义域为[1.2,+∞),因此y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1),x∈[1.2,+∞).指数函数与对数函数图像之间的关系()aA B C D(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图像是图中的()A BC D(1)C (2)A [(1)y =a x 与y =log a x 的单调性一致,故排除A 、B ;当0<a <1时,排除D ;当a >1时,C 正确.(2)因为a >1时,y =a -x =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x,0<1a <1是减函数,恒过(0,1)点,y =log a x 为增函数,恒过(1,0)点,故选A.]互为反函数的图像特点(1)互为反函数的图像关于直线y =x 对称;图像关于直线y =x 对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致. (3)若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.2.(1)已知函数f (x )=a x +b 的图像过(1,7),其反函数f -1(x )的图像过点(4,0),则f (x )的表达式为( )A .4x +3B .3x +4C .5x +2D .2x +5(2)若函数y =ax1+x的图像关于直线y =x 对称,则a 的值为________. (1)A (2)-1 [(1)∵f (x )的反函数图像过点(4,0), ∴f (x )的图像过(0,4), 又f (x )=a x +b 的图像过(1,7),所以有方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 0+b =4,a +b =7,∴a =4且b =3,故f (x )的表达式为4x +3,选A.(2)由y =ax1+x可得x =ya-y,则原函数的反函数是y=xa-x,所以xa-x=ax1+x,得a=-1.]指数函数与对数函数的综合应用[1.观察函数y=2x与y=log2x的图像,指出两个函数的增长有怎样的差异?[提示]根据图像,可以看到,在区间[1,+∞)内,指数函数y=2x随着x 的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y=log2x的增长速度逐渐变得很缓慢.2.你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗?[提示]y=a x(a>1)y=log a x(a>1)图像定义域R(0,+∞)值域(0,+∞)R性质当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1;当x=0时,y=1;在R上是增函数当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0;当x=1时,y=0;在(0,+∞)上是增函数【例3】已知f(x)=2x+1(a∈R),f(0)=0.(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k ∈(0,+∞),解不等式f -1(x )>log 21+x k . [思路探究] (1)判断奇偶性⇒奇偶性定义. (2)求反函数⇒反解,改写,标注定义域.(3)对数不等式⇒构建不等式组⇒解不等式组⇒得出解集. [解] (1)由f (0)=0,得a =1,所以f (x )=2x -12x+1.因为f (x )+f (-x )=2x -12x +1+2-x -12-x +1=2x -12x +1+1-2x1+2x =0, 所以f (-x )=-f (x ),即f (x )为奇函数. (2)因为f (x )=y =2x -12x +1=1-22x+1, 所以2x=1+y1-y(-1<y <1),所以f -1(x )=log 21+x1-x (-1<x <1). (3)因为f -1(x )>log 21+x k ,即log 21+x 1-x >log 21+x k ,所以⎩⎪⎨⎪⎧1+x 1-x>1+x k ,-1<x <1,所以⎩⎪⎨⎪⎧x >1-k ,-1<x <1,所以当0<k <2时,原不等式的解集为{x |1-k <x <1}; 当k ≥2时,原不等式的解集为{x |-1<x <1}.1.(变条件)本例变为“若f (x )为奇函数”,求a 的值. [解] 由奇函数定义可得f (-x )=-f (x ),即a ·2-x -12-x +1=-a ·2x -12x+1,可变形为a -2x =1-a ·2x ,所以a =1.2.(变结论)本例中的条件不变,如何判断f -1(x )的单调性,并给出证明. [解]由原题解答知:f -1(x )=log 21+x1-x(-1<x <1). 任取-1<x 1<x 2<1,则令t (x )=1+x 1-x =-(-x +1)+21-x =-1+21-x ,所以t (x 1)-t (x 2)=⎝⎛⎭⎪⎫-1+21-x 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+21-x 2 =21-x 1-21-x 2=2(1-x 2)-2(1-x 1)(1-x 1)(1-x 2) =2(x 1-x 2)(1-x 1)(1-x 2).因为-1<x 1<x 2<1,所以1-x 1>0,1-x 2>0,x 1-x 2<0,所以t (x 1)-t (x 2)<0,t (x 1)<t (x 2),所以log 2t (x 1)<log 2t (x 2),即f -1(x 1)<f -1(x 2),所以函数f -1(x )为(-1,1)上的增函数.解对数不等式的常见解法(1)借助对数函数的单调性,把对数不等式转化为真数的不等式,最后与定义域取交集即得原不等式的解集.(2)底数中若含有变量,一定要注意底数大于0且不等于1,并注意与1的大小的讨论.(教师独具)1.本节课的重点是反函数的概念及它们的图像间的关系,难点是指数函数、对数函数的综合应用.2.本节课要掌握的规律方法 (1)了解反函数的概念. (2)互为反函数的图像间的关系.(3)能够利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.3.本节课的易错点是求反函数时忘记写反函数的定义域.1.思考辨析(1)函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数是y =log x 12.( )(2)函数y =log 3x 的反函数的值域为R .( )(3)函数y =e x 的图像与y =lg x 的图像关于y =x 对称.( ) (1)× (2)× (3)× [(1)×.函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数是y =log 12x (x >0).(2)×.函数y =log 3x 的反函数的值域是原函数的定义域,故y =log 3x 的反函数的值域为(0,+∞).(3)×.互为反函数的图像关于直线y =x 对称,所以函数y =e x 的图像与y =ln x 的图像关于直线y =x 对称,函数y =lg x 的图像与y =10x 的图像关于直线y =x 对称.]2.下列函数中,反函数是其自身的函数为( )A.f(x)=x2,x∈[0,+∞) B.f(x)=x3,x∈(-∞,+∞) C.f(x)=e x,x∈(-∞,+∞)D.f(x)=1x,x∈(0,+∞)D[f(x)=x2,x∈[0,+∞)的反函数为f-1(x)=x,x∈[0,+∞);f(x)=x3,x∈(-∞,+∞)的反函数为f-1(x)=3x,x∈(-∞,+∞);f(x)=e x,x∈(-∞,+∞)的反函数为f-1(x)=ln x,x∈(0,+∞);只有f(x)=1x,x∈(0,+∞)的反函数仍为f-1(x)=1x,x∈(0,+∞).]3.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像过点Q(5,2),则b =________.1[f-1(x)的图像过Q(5,2),则f(x)的图像过点(2,5),则f(2)=5,即22+b=5,解得b=1.]4.已知函数y=ax+2与函数y=3x+b的图像关于直线y=x对称,求a,b 的值.[解]由y=ax+2与函数y=3x+b的图像关于直线y=x对称,说明它们互为反函数.又由y=ax+2,解得x=y-2a(a≠0),所求反函数为y=1a x-2a,与函数y=3x+b表示同一函数,则有1a =3且-2a=b,解得a=13,b=-6.。
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 本章总结提升
若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是(BCD)
A.x1+x2=-1
B.x3x4=1
C.1<x4<2
D.0<x1x2x3x4<1
解析 f(x)的大致图象如下:
由图易知 x1+x2=-2,-2<x1<-1.当 y=1 时,有|log2x|=1,即
∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4.
∵0<a<1,
∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4.
1
2
-
由 loga4=-2,得 a =4,∴a=4 =
-2
1
.
2
÷
(1-2
)×
2
3
3
3
4 +2 ab +
(a>0,b>0).
1
1
1
1 1
1
1 1
3 (-8)
3
3 (-8)
3 3
3
3 3
解 原式= 1
1 1
1 × 1 1 × = -8 × ×
(23 )2 +233 +(3 )2
3 -23
3
=a b(a>0,b>0).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.
1- > 0,
解 (1)要使函数有意义,则有
+ 3 > 0,
解得-3<x<1,即函数f(x)的定义域为(-3,1).
新教材 人教B版高中数学必修第二册 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 知识点考点及解题方法提炼汇总
第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数 (1)4.1.1实数指数幂及其运算 (1)4.1.2指数函数的性质与图像 (5)第1课时指数函数的性质与图像 (5)第2课时指数函数的性质与图像的应用 (9)4.2对数与对数函数 (13)4.2.1对数运算 (13)4.2.2对数运算法则 (17)4.2.3对数函数的性质与图像 (20)第1课时对数函数的性质与图像 (20)第2课时对数函数的性质与图像的应用 (23)4.3指数函数与对数函数的关系 (27)4.4幂函数 (30)4.5增长速度的比较 (35)4.6函数的应用(二) (38)4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算知识点n次方根(1)定义:给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得__x n=a__,则x称为a的n次方根.n为奇数n为偶数a∈R a>0a=0a<0x=__na__x=__±na__0不存在根式(1)当na有意义时,na称为根式,n称为__根指数__,a称为被开方数.(2)性质:①(na)n=__a__;②na n=⎩⎨⎧__a__,n为奇数,__|a|__,n为偶数.分数指数幂的意义正分数 指数幂 n 为正整数,na 有意义,且a ≠0时,规定a 1n =__na __正分数m n ,a m n =__(n a )m __=na m负分数 指数幂 s 是正分数,a s 有意义且a ≠0时,规定a -s =__1a s __无理数指数幂当a >0且t 是无理数时,a t 是一个确定的__实数__. 实数指数幂的运算法则(a >0,b >0,r ,s ∈R ) (1)a r a s =__a r +s __. (2)(a r )s =__a rs __. (3)(ab )r =__a r b r __. 题型n 次方根的概念及相关问题 典例剖析典例1 (1)求使等式(a -3)(a 2-9)=(3-a )a +3成立的实数a 的取值范围; (2)设-3<x <3,求x 2-2x +1-x 2+6x +9的值. [分析] (1)利用a 2=|a |进行讨论化简. (2)利用限制条件去绝对值号.[解析] (1)(a -3)(a 2-9)=(a -3)2(a +3) =|a -3|a +3,要使|a -3|a +3=(3-a )a +3成立,需⎩⎨⎧a -3≤0,a +3≥0,解得-3≤a ≤3,即实数a 的取值范围为[-3,3]. (2)原式=(x -1)2-(x +3)2=|x -1|-|x +3|,∵-3<x <3,∴当-3<x <1时,原式=-(x -1)-(x +3)=-2x -2;当1≤x <3时,原式=(x -1)-(x +3)=-4.∴原式=⎩⎨⎧-2x -2,-3<x <1,-4,1≤x <3.规律方法:1.对于na ,当n 为偶数时,要注意两点:(1)只有a ≥0时才有意义;(2)只要n a 有意义,na 必不为负.2.当n 为偶数时,na n 先化为|a |,再根据a 的正负去绝对值符号.根式与分数指数幂的互化 典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式:a 15 ;a 34 ;a -23 ; (2)用分数指数幂表示下列各式:3a 5;3a 6;13a2.[分析] 利用分数指数幂的定义求解.[解析] (1)a 15 =5a ;a 34 =4a 3;a -23 =1a 23 =13a 2.(2)3a 5=a 53 ;3a 6=a 63 =a 2;13a 2=1a 23 =a -23 .规律方法:根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母,被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子. (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算法则解题.有理(实数)指数幂的运算法则的应用 典例剖析典例3 化简:(1)(5x -23 y 12 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫-14x -1y 12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-56x 13 y -16 (其中x >0,y >0);(2)0.064-13 -⎝ ⎛⎭⎪⎫-780+[(-2)3] -43 +16-0.75;(3)32+3×27-33;(4)(1+2)[(-2-1)-2(2)12 ]12 +(2)1-3×(2)1+3.[分析] 利用幂的运算法则计算.[解析] (1)原式=⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×(-14)×(-56)·x -23 +(-1)+13·y 12 +12 -16=2524x -43 y 56 .(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3=52-1+116+18=2716.(3)32+3×27-33 =32+3×(33)-33 =32+3×3-3=32+3-3=32=9.(4)(1+2)[(-2-1)-2(2)12 ]12 +(2)1-3×(2)1+3=(1+2)[(2+1)-2·(2)12 ]12 +(2)1-3+1+3 =(1+2)[(2+1)-2×12(2)12 ×12 ]+(2)2 =(1+2)·[(2+1)-1·(2)14 ]+2=(2)14 +2=2+218 .规律方法:指数幂的一般运算步骤是:有括号先算括号里的;无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质. 易错警示 典例剖析典例4 化简(1-a )[(a -1)-2·(-a ) 12 ] 12 .[错解] 原式=(1-a )(a -1)-1·(-a ) 14 =-(-a ) 14 .[辨析] 误解中忽略了题中有(-a ) 12 ,即-a ≥0,a ≤0,则[(a -1)-2] 12 ≠(a -1)-1.[正解] ∵(-a ) 12 存在,∴-a ≥0,故a -1<0,原式=(1-a )·(1-a )-1(-a ) 14=(-a ) 14 .4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时 指数函数的性质与图像知识点 指数函数函数__y =a x __称为指数函数,其中a 是常数,a >0且a ≠1. 思考:(1)为什么指数函数的底数a >0,且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征?提示:(1)①如果a =0,当x >0时,a x 恒等于0,没有研究的必要;当x ≤0时,a x 无意义.②如果a <0,例如f (x )=(-4)x ,这时对于x =12,14,…,该函数无意义. ③如果a =1,则y =1x 是一个常量,没有研究的价值. 为了避免上述各种情况,所以规定a >0,且a ≠1.(2)①a >0,且a ≠1,②a x 的系数为1;③自变量x 的系数为1.指数函数的图像和性质0<a <1a >1图像定义域 实数集R 值域 __(0,+∞)__ 性质 过定点__(0,1)__ 是__减__函数是__增__函数思考:(1)对于指数函数y =2x,y =3x,y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,…,为什么一定过点(0,1)?(2)对于指数函数y x底数 x 的范围 y 的范围 a >1x >0 ? x <0?0<a <1x >0 ? x <0?提示:(1)当x =0时,a =1恒成立,即指数函数的图像一定过点(0,1). (2)底数 x 的范围 y 的范围 a >1x >0 y >1 x <0 0<y <1 0<a <1x >0 0<y <1 x <0y >1题型指数函数的概念 典例剖析典例1 (1)函数y =(a 2-3a +3)·a x 是指数函数,则a 的值为__2__.(2)指数函数y =f (x )的图像经过点(π,e),则f (-π)=__1e __. [分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解. (2)设出指数函数的解析式,代入点的坐标求f (-π). [解析] (1)由题意得a 2-3a +3=1, 即(a -2)(a -1)=0, 解得a =2或a =1(舍).(2)设指数函数为y =a x (a >0且a ≠1), 则e =a π,所以f (-π)=a -π=(a π)-1=e -1=1e . 规律方法:1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征:①底数a >0,且a ≠1; ②a x 的系数为1;③自变量x 的系数为1.(2)有些函数需要对解析式变形后判断,如y =13x =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数.2.求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )=a x (a >0且a ≠1). (2)利用已知条件求底数A . (3)写出指数函数的解析式.指数函数的图像问题 典例剖析典例2 (1)函数y =a x ,y =x +a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y =23-x的图像,只需将函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像( A )A .向右平移3个单位B .向左平移3个单位C .向右平移8个单位D .向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论,分0<a <1和a >1两种情况讨论判断. (2)先对解析式变形,再进行判断. [解析] (1)函数y =x +a 单调递增. 由题意知a >0且a ≠1.当0<a <1时,y =a x 单调递减,直线y =x +a 在y 轴上的截距大于0且小于1; 当a >1时,y =a x 单调递增,直线y =x +a 在y 轴上的截距大于1.故选D .(2)因为y =23-x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x -3,所以y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像向右平移3个单位得到y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -3 ,即y =23-x 的图像.规律方法:1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点,如指数函数的图像过定点.(2)利用图像变换,如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图像的走势.2.指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时,只需令指数为0,求出对应的x 与y 的值,即为函数图像所过的定点.指数函数的定义域、值域问题 典例剖析典例3 (1)当x >0时,函数f (x )=(a 2-1)x 的值域为(1,+∞),则实数a 的取值范围是( D )A .(-2,-1)∪(1,2)B .(-1,1)C .(-∞,-1)∪(1,+∞)D .(-∞,-2)∪(2,+∞) (2)函数y =52x -1的定义域为__⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12__. [分析] (1)根据指数函数的图像,函数值恒大于1,底数应该大于1可得. (2)根据根式的性质,被开方数大于或等于0求解.[解析] (1)当x >0时,函数f (x )=(a 2-1)x 的值总大于1,则底数a 2-1>1,a 2>2,所以|a |>2,所以实数a 的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞). (2)要使函数y =52x -1有意义,则2x -1≥0,所以x ≥12.所以函数y = 52x -1的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12. 规律方法:函数y =a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域:形如y =a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合. (2)值域:①换元,令t =f (x ); ②求t =f (x )的定义域x ∈D ; ③求t =f (x )的值域t ∈M ;④利用y =a t 的单调性求y =a t ,t ∈M 的值域.提醒:(1)通过建立不等关系求定义域时,要注意解集为各不等关系解集的交集. (2)当指数型函数的底数含字母时,在求定义域、值域时要注意分类讨论. 易错警示 典例剖析典例4 若函数f (x )=a x -1(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a 的值.[错解] ∵函数f (x )=a x -1(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,2],∴⎩⎨⎧a 0-1=2a 2-1=0,∴a =3.故实数a 的值为3.[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论.[正解] 当a >1时,函数f (x )=a x -1在[0,2]上是增函数,。
人教B版(2019)高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数指数函数与对数函数的关系习题
4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一反函数的概念1.函数y=e2x(x∈R)的反函数为( )A.y=2ln x(x>0) B.y=ln (2x)(x>0)C.y=12ln x(x>0) D.y=12ln (2x)(x>0)2.已知函数y=log3(3-x)(0≤x<3),则它的反函数是( ) A.y=3-3x(x≥0) B.y=3+3x(x≤1) C.y=3+3x(x≥0) D.y=3-3x(x≤1)3.函数f(x)=12x2+1(x>2)的反函数是( )A.y=2x-2(1≤x<3) B.y=2x-2(x>3) C.y=-2x-2(1≤x<3) D.y=-2x-2(x>3)4.已知函数y=3x-2a的反函数是y=bx+23,则( )A.a=-6,b=13B.a=1,b=13C.a=6,b=-13D.a=23,b=-135.已知函数f(x)=x2,x∈D的值域是{1,4,9},且函数f(x)存在反函数,这样的f(x)共有________个.6.若函数f(x)=2x+1x+a的反函数是其本身,则实数a=________.7.已知函数f(x)是以2为周期的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=lg (x+1),令函数g(x)=f(x)(x∈[1,2]),则g(x)的反函数为________________.8.已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1].(1)当a =-12时,判定此函数有没有反函数,并说明理由;(2)当a 为何值时,此函数存在反函数?并求出此函数的反函数f -1(x ). 知识点二 反函数的图像与性质 9.函数y =log 212x -1的反函数的定义域为( ) A .(-∞,+∞) B .(0,+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,0)∪(0,+∞)10.已知x >0,f (x )=log 3x 2的值域是[-1,1],则它的反函数f -1(x )的值域是( )A .[-1,1]B .(0,+∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3,-13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3 11.如图,已知函数f (x )=3x -1,则它的反函数y =f -1(x )的大致图像是( )12.已知函数y =f (x )的反函数为y =f -1(x ),则函数y =f (-x )与y =-f -1(x )的图像( )A .关于y 轴对称B .关于原点对称C .关于直线x +y =0对称D .关于直线x -y =0对称13.给出下列命题:(1)若奇函数存在反函数,则其反函数也是奇函数;(2)函数f (x )在区间[a ,b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ,b ]上是单调函数;(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f -1(x ),则对于任意的x 0∈D 都有f (f-1(x 0))=f -1(f (x 0))=x 0成立. 其中正确的命题为( ) A .(1) B .(1)(2) C .(1)(3)D .(1)(2)(3)14.已知点(3,9)在函数f (x )=1+a x 的图像上,则f (x )的反函数f -1(x )=________.15.若函数y =f (x )是函数y =g (x )=a 2x 的反函数(a >0,且a ≠1),且f (4)=1,则a =________.16.若函数y =f (x )的图像过点(0,1),则函数g (x )=f (4-x )的反函数的图像过点________.17.已知f (x )=x -1,其反函数为f -1(x ),若f -1(x )-a =f (x +a )有实数根,则a 的取值范围为________.知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 18.设a ,b ,c 均为正数,且2a=,⎝ ⎛⎭⎪⎫12b =,⎝ ⎛⎭⎪⎫12c =log 2c ,则( ) A .a <b <c B .c <b <a C .c <a <bD .b <a <c19.(多选)已知函数f (x )=log a (a x -1)(a >0,a ≠1),则下列说法正确的是( )A .函数f (x )的图像在y 轴的一侧B .函数f (x )为奇函数C .函数f (x )为定义域上的增函数D .函数f (x )在定义域内有最大值 20.已知函数f (x )=log 2(1-2x ). (1)求函数f (x )的定义域和值域;(2)求证函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称.易错点一对反函数的定义理解不清而致误已知函数y=f(x+1)与函数y=g(x)的图像关于直线y=x对称,且g(x)的图像过定点(1,2020),则y=f-1(x+1)的图像过定点________.易错点二不能将问题合理转化致误设α,β分别是关于x的方程log2x+x-4=0和2x+x-4=0的根,则α+β=________.一、单项选择题1.函数y=2x+1(x∈R)的反函数是( )A.y=1+log2x(x>0)B.y=log2(x-1)(x>1)C.y=-1+log2x(x>0)D.y=log2(x+1)(x>-1)2.把函数y=log a x(a>0且a≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后,新图像的函数解析式是( )A.y=-a x B.y=a-xC.y=log a(-x) D.y=-log a x3.已知f(x)=-4-x2的反函数为f-1(x)=4-x2,则f(x)的定义域为( )A.(-2,0) B.[-2,2]C.[-2,0] D.[0,2]4.当0<a<1时,方程log a x=a x的实数解( )A.有且只有一个B.可能无解C .可能有3个D .一定有3个5.若函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图像过点(a ,a ),则a 的值为( )A .2B .12C .2或12D .36.函数y =1-xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )7.已知函数y =f (x )的定义域是[-1,1],其图像如图所示,则不等式-1≤f-1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,12C .[-2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1D .[-1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,18.已知函数f (x )=3x ,函数g (x )是f (x )的反函数,若正数x 1,x 2,…,x 2020满足x 1x 2…x 2020=81,则g (x 21)+g (x 22)+…+g (x 22020)的值等于( )A .4B .8C .16D .64二、多项选择题9.下列说法中正确的是( )A .一次函数y =kx +b (k ≠0)一定存在反函数B .若函数f (x )在其定义域内不是单调函数,则f (x )不存在反函数C .若函数y =f (x )的图像位于第一、二象限,则它的反函数y =f -1(x )的图像位于第一、四象限D .若函数f (x )存在反函数f -1(x ),则f -1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y =x 上10.在同一直角坐标系下,函数y =a x 与y =log a x (a >0,a ≠1)的大致图像如图所示,则实数a 的可能值为( )A.32 B .43 C.75D .10711.如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点,那么称这个点为“好点”,在下面的四个点中,是“好点”的有( )A .(1,2)B .(2,1)C .(2,2)D .(2,0.5)12.下列说法正确的是( )A .函数y =a x 与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B .函数y =log a x 与y =图像关于x 轴对称C .函数y =a x 与y =log a x 图像关于直线y =x 对称D .函数y =a x 与y =log a x 图像关于y 轴对称 三、填空题13.函数f (x )=-x 2(x ∈(-∞,-2])的反函数f -1(x )=________. 14.已知函数f (x )=a x -k 的图像过点(1,3),其反函数y =f -1(x )的图像过点(2,0),则f (x )的表达式为________.15.已知函数f (x )与函数g (x )=的图像关于直线y =x 对称,则函数f (x 2+2x )的单调增区间是________.16.已知函数f (x )=log a x -bx +b (a >0,b ≠0),则f (x )的值域为____________,f (x )的反函数f -1(x )的解析式为________________.四、解答题17.若不等式4x -log a x <0,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12时恒成立,求实数a 的取值范围.18.已知f (x )=1-3x 1+3x ,求f-1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值. 19.已知y =f (x )是R 上的增函数,点A (-1,1),B (1,3)在它的图像上,y =f -1(x )是它的反函数,解不等式|f -1(log 2x )|<1.20.已知f (x )=a ·2x -12x +1(a ∈R ),f (0)=0.(1)求a 的值,并判断f (x )的奇偶性; (2)求f (x )的反函数;(3)对任意的k ∈(0,+∞),解不等式f -1(x )>log 21+xk.4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一 反函数的概念1.函数y=e2x(x∈R)的反函数为( )A.y=2ln x(x>0) B.y=ln (2x)(x>0)C.y=12ln x(x>0) D.y=12ln (2x)(x>0)答案 C解析y=e2x>0,2x=ln y,x=12ln y,∴y=e2x的反函数为y=12ln x,x>0.2.已知函数y=log3(3-x)(0≤x<3),则它的反函数是( ) A.y=3-3x(x≥0) B.y=3+3x(x≤1) C.y=3+3x(x≥0) D.y=3-3x(x≤1)答案 D解析∵0≤x<3,∴y≤1.又3-x=3y,∴x=3-3y.∴y=log3(3-x)的反函数为y=3-3x,x≤1.3.函数f(x)=12x2+1(x>2)的反函数是( )A.y=2x-2(1≤x<3) B.y=2x-2(x>3) C.y=-2x-2(1≤x<3) D.y=-2x-2(x>3)答案 B解析令y=12x2+1.∵x>2,∴y=12x2+1>3.对调函数中的x和y得x=12y2+1,解得y=2x-2.∴所求反函数为y=2x-2(x>3).4.已知函数y=3x-2a的反函数是y=bx+23,则( )A.a=-6,b=13B.a=1,b=13C.a=6,b=-13D.a=23,b=-13答案 B解析∵函数y=3x-2a,∴x=y+2a3,互换x,y,得函数y=3x-2a的反函数是y =13x +23a ,x ∈R .∵函数y =3x -2a 的反函数是y =bx +23,∴⎩⎪⎨⎪⎧b =13,2a 3=23,解得a =1,b =13.故选B.5.已知函数f (x )=x 2,x ∈D 的值域是{1,4,9},且函数f (x )存在反函数,这样的f (x )共有________个.答案 8解析 当x 2=1时,x =±1;当x 2=4时,x =±2;当x 2=9时,x =±3.若函数f (x )存在反函数,则一个y 只能对应一个x ,列举如下:⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x =1,y =1,⎩⎪⎨⎪⎧ x =2,y =4,⎩⎨⎧ x =3,y =9,x =-3,y =9,x =-2,y =4,⎩⎨⎧ x =3,y =9,x =-3,y =9,x =-1,y =1,⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4,⎩⎨⎧ x =3,y =9,x =-3,y =9,x =-2,y =4,⎩⎨⎧ x =3,y =9,x =-3,y =9.故这样的f (x )共有8个. 6.若函数f (x )=2x +1x +a的反函数是其本身,则实数a =________. 答案 -2解析 函数y =f (x )=2x +1x +a 的反函数为x =2y +1y +a ,即y =1-axx -2,因为函数f (x )=2x +1x +a 的反函数是其本身,所以2x +1x +a =1-axx -2,所以a =-2. 7.已知函数f (x )是以2为周期的偶函数,当0≤x ≤1时,f (x )=lg (x +1),令函数g (x )=f (x )(x ∈[1,2]),则g (x )的反函数为________________.答案 g -1(x )=3-10x (0≤x ≤lg 2)解析 当-1≤x ≤0时,0≤-x ≤1,∴f (x )=f (-x )=lg (-x +1);当1≤x ≤2时,-1≤x -2≤0,∴f (x )=f (x -2)=lg [-(x -2)+1]=lg (-x +3).∴g (x )=lg (-x +3)(1≤x ≤2),∴-x +3=10g (x ),∴x =3-10g (x ).故反函数为g -1(x )=3-10x (0≤x ≤lg 2).8.已知函数f (x )=x 2-2ax +2,x ∈[-1,1].(1)当a =-12时,判定此函数有没有反函数,并说明理由;(2)当a 为何值时,此函数存在反函数?并求出此函数的反函数f -1(x ). 解 (1)当a =-12时,f (x )=x 2+x +2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+74,x ∈[-1,1],显然函数不单调,所以此时没有反函数.(2)函数存在反函数时必须在[-1,1]上单调,而f (x )=(x -a )2+2-a 2,x ∈[-1,1],对称轴x =a ,所以a ≥1或a ≤-1.当a ≥1时,f -1(x )=a -x +a 2-2,x ∈[3-2a,3+2a ];当a ≤-1时,f -1(x )=a +x +a 2-2,x ∈[3+2a,3-2a ].知识点二 反函数的图像与性质 9.函数y =log 212x -1的反函数的定义域为( ) A .(-∞,+∞) B .(0,+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,0)∪(0,+∞)答案 A解析 反函数的定义域即为原函数的值域.由12x -1>0可得log 212x -1∈R ,所以原函数的值域为R ,故它的反函数的定义域为R .故选A.10.已知x >0,f (x )=log 3x 2的值域是[-1,1],则它的反函数f -1(x )的值域是( )A .[-1,1]B .(0,+∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3,-13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3 答案 D解析 ∵f (x )=log 3x 2的值域是[-1,1],∴-1≤log 3x 2≤1,即13≤x 2≤3,而x >0,∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3.∵反函数的值域为原函数的定义域,∴反函数f -1(x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3. 11.如图,已知函数f (x )=3x -1,则它的反函数y =f -1(x )的大致图像是( )答案 C解析 由f (x )=3x -1可得f -1(x )=log 3x +1,∴图像为C.12.已知函数y =f (x )的反函数为y =f -1(x ),则函数y =f (-x )与y =-f -1(x )的图像( )A .关于y 轴对称B .关于原点对称C .关于直线x +y =0对称D .关于直线x -y =0对称 答案 D解析 函数y =f (-x )与y =-f -1(x )互为反函数,图像关于直线x -y =0对称.故选D.13.给出下列命题:(1)若奇函数存在反函数,则其反函数也是奇函数;(2)函数f (x )在区间[a ,b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ,b ]上是单调函数;(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f -1(x ),则对于任意的x 0∈D 都有f (f-1(x 0))=f -1(f (x 0))=x 0成立. 其中正确的命题为( ) A .(1) B .(1)(2) C .(1)(3) D .(1)(2)(3)答案 A解析 (1)设奇函数f (x )的反函数为f -1(x ),∵f (x )是奇函数,∴f (x )的值域关于原点对称,即f -1(x )的定义域关于原点对称.假设f (x )=y ,则f (-x )=-y .∴f -1(y )=x ,f -1(-y )=-x .∴f -1(-y )=-f -1(y ),即f -1(-x )=-f -1(x ).∴f -1(x )是奇函数.故(1)正确;(2)函数f (x )在区间[a ,b ]上存在反函数,不一定f (x )在区间[a ,b ]上是单调函数,比如f (x )=⎩⎨⎧1-x ,x ≤1,x ,x >1存在反函数,但f (x )在R 上不单调,故(2)不正确;(3)x 0不一定属于f (x )的值域,即f -1(x 0)不一定存在,故(3)不正确.故选A.14.已知点(3,9)在函数f (x )=1+a x 的图像上,则f (x )的反函数f -1(x )=________.答案 log 2(x -1)(x >1)解析 ∵(3,9)在函数f (x )上,∴1+a 3=9,解得a =2,∴f (x )=1+2x ,又f (x )>1,∴f -1(x )=log 2(x -1)(x >1).15.若函数y =f (x )是函数y =g (x )=a 2x 的反函数(a >0,且a ≠1),且f (4)=1,则a =________.答案 2解析 由y =f (x )与y =g (x )互为反函数,且f (4)=1,得g (1)=4,所以a 2=4,a =2.16.若函数y =f (x )的图像过点(0,1),则函数g (x )=f (4-x )的反函数的图像过点________.答案 (1,4)解析 ∵y =f (x )的图像过点(0,1),∴f (4-x )的图像过点(4,1),∴g (x )=f (4-x )的反函数的图像过点(1,4).17.已知f (x )=x -1,其反函数为f -1(x ),若f -1(x )-a =f (x +a )有实数根,则a 的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34,+∞解析 因为y =f -1(x )-a 与y =f (x +a )互为反函数,所以二者关于y =x 对称.若y =f -1(x )-a 与y =f (x +a )有实数根,则y =f (x +a )与y =x 有交点,所以x +a -1=x ,即a =x 2-x +1=⎝⎛⎭⎪⎫x -122+34≥34.知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 18.设a ,b ,c 均为正数,且2a=,⎝ ⎛⎭⎪⎫12b =,⎝ ⎛⎭⎪⎫12c =log 2c ,则( ) A .a <b <c B .c <b <a C .c <a <b D .b <a <c答案 A解析 在同一平面直角坐标系中,画出函数y =2x,y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,y =log 2x ,y =的图像,如图所示,则a ,b ,c 分别为两个图像交点的横坐标,根据图像可知a <b <c .19.(多选)已知函数f (x )=log a (a x -1)(a >0,a ≠1),则下列说法正确的是( )A .函数f (x )的图像在y 轴的一侧B .函数f (x )为奇函数C .函数f (x )为定义域上的增函数D .函数f (x )在定义域内有最大值 答案 AC解析 ∵函数f (x )=log a (a x -1)(a >0,a ≠1),当a >1时,由a x -1>0,可得x >0,此时,函数的图像仅在y 轴的右侧;当0<a <1时,由a x -1>0,可得x <0,此时,函数的图像仅在y 轴的左侧,故A 正确.由于f (-x )=log a (a -x -1)=log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x -1≠-f (x ),故函数不是奇函数,故B 不正确.由于函数y =log a t 和函数t =a x 的单调性相同,即同是增函数或同是减函数,根据复合函数的单调性可得f (x )=log a (a x -1)在它的定义域内一定是增函数,故C 正确.由于t =a x -1无最值,故y =log a t 无最值,故D 不正确.故选AC.20.已知函数f (x )=log 2(1-2x ). (1)求函数f (x )的定义域和值域;(2)求证函数y =f (x )的图像关于直线y =x 对称. 解 (1)要使函数f (x )=log 2(1-2x )有意义, 则1-2x>0,即2x<1. 故x <0,此时0<1-2x <1, ∴f (x )=log 2(1-2x )<0,故函数f (x )的定义域为(-∞,0),值域为(-∞,0).(2)证明:由y =f (x )=log 2(1-2x )可得1-2x =2y ,解得x =log 2(1-2y ),故原函数的反函数为f -1(x )=log 2(1-2x ),与原函数相同,所以函数f (x )的图像关于直线y =x 对称.易错点一 对反函数的定义理解不清而致误已知函数y =f (x +1)与函数y =g (x )的图像关于直线y =x 对称,且g (x )的图像过定点(1,2020),则y =f -1(x +1)的图像过定点________.易错分析 本题容易误认为f (x +1)与f -1(x +1)互为反函数.答案(0,2021)正解∵g(x)的图像过定点(1,2020),∴f(x+1)的图像过定点(2020,1).又f(x)的图像可以看作由f(x+1)的图像向右平移一个单位长度得到的,∴f(x)过定点(2021,1).又f(x)与f-1(x)互为反函数,∴f-1(x)的图像过定点(1,2021).再结合f-1(x)与f-1(x+1)的关系可知,f-1(x+1)的图像过定点(0,2021).易错点二不能将问题合理转化致误设α,β分别是关于x的方程log2x+x-4=0和2x+x-4=0的根,则α+β=________.易错分析本题的易错之处为不能正确将问题转化为函数y=log2x,y=2x,y=4-x三个图像之间的关系进行求解.答案 4正解如图,分别作出函数y=log2x,y=2x,y=4-x的图像,相交于点P,Q.∵log2α=4-α,2β=4-β.而y=log2x(x>0)与y=2x互为反函数,直线y=4-x与直线y=x互相垂直,∴点P与Q关于直线y=x对称.∴α=2β=4-β.∴α+β=4.一、单项选择题1.函数y =2x +1(x ∈R )的反函数是( ) A .y =1+log 2x (x >0) B .y =log 2(x -1)(x >1) C .y =-1+log 2x (x >0) D .y =log 2(x +1)(x >-1) 答案 C解析 由y =2x +1⇒x +1=log 2y ⇒x =-1+log 2y ,又因原函数的值域{y |y >0},故其反函数是y =-1+log 2x (x >0).2.把函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后,新图像的函数解析式是( )A .y =-a xB .y =a -xC .y =log a (-x )D .y =-log a x答案 B解析 函数的图像绕坐标原点逆时针旋转90°后,得到的函数与原函数的反函数的图像关于y 轴对称.函数y =log a x (a >0且a ≠1)的反函数为y =a x ,其关于y 轴对称的函数解析式为y =a -x .故选B.3.已知f (x )=-4-x 2的反函数为f -1(x )=4-x 2,则f (x )的定义域为( )A .(-2,0)B .[-2,2]C .[-2,0]D .[0,2]答案 D解析 ∵原函数的定义域就是反函数的值域,原函数的值域就是反函数的定义域.∴⎩⎨⎧4-x 2≥0,f-1x ≥0,解得⎩⎨⎧-2≤x ≤2,x ≥0,即0≤x ≤2.故f (x )的定义域为[0,2].故选D.4.当0<a <1时,方程log a x =a x 的实数解( ) A .有且只有一个 B .可能无解 C .可能有3个 D .一定有3个答案 C解析 考虑函数y =log a x 与函数y =a x 的图像公共点,易知B ,D 两项不对.又y =和y =⎝ ⎛⎭⎪⎫116x 的图像除了在直线y =x 上存在一个公共点外,还存在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14和⎝ ⎛⎭⎪⎫14,12两个公共点.故选C. 5.若函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图像过点(a ,a ),则a 的值为( )A .2B .12C .2或12D .3答案 B解析 解法一:函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数即y =log a x ,故y =log a x 的图像过点(a ,a ),则a =log a a =12.解法二:由题意得,函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图像过点(a ,a ),则函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图像过点(a ,a ),即a a =a =,故a =12.6.函数y =1-xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )答案 B 解析 y =1-xx(x ≠0)的反函数为y =11+x (x ≠-1),其图像为y =1x的图像向左平移1个单位长度.7.已知函数y =f (x )的定义域是[-1,1],其图像如图所示,则不等式-1≤f-1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,12C .[-2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1D .[-1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1答案 C解析 由题意,可得-1≤f -1(x )≤12的解集即为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,12上的值域.当-1≤x <0时,由题图可知f (x )∈[-2,0),当0≤x ≤12时,由题图可知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1.故不等式-1≤f -1(x )≤12的解集为[-2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1.8.已知函数f (x )=3x ,函数g (x )是f (x )的反函数,若正数x 1,x 2,…,x 2020满足x 1x 2…x 2020=81,则g (x 21)+g (x 22)+…+g (x 22020)的值等于( )A .4B .8C .16D .64答案 B解析 由函数f (x )=3x ,函数g (x )是f (x )的反函数,则g (x )=log 3x ,所以g (x 21)+g (x 22)+…+g (x 22020)=log 3(x 1x 2…x 2020)2=2log 3(x 1x 2…x 2020)=2log 381=8.故选B.二、多项选择题9.下列说法中正确的是( )A .一次函数y =kx +b (k ≠0)一定存在反函数B .若函数f (x )在其定义域内不是单调函数,则f (x )不存在反函数C .若函数y =f (x )的图像位于第一、二象限,则它的反函数y =f -1(x )的图像位于第一、四象限D .若函数f (x )存在反函数f -1(x ),则f -1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y =x 上答案 AC解析 对于A ,一次函数y =kx +b (k ≠0)为单调函数,一定存在反函数,故正确;对于B ,因为函数f (x )=1x在定义域上不单调,但函数f (x )存在反函数,故错误;对于C ,因为原函数与它的反函数的图像关于y =x 对称,所以将y =f (x )的图像沿y =x 翻折后,会落在第一、四象限,故正确;对于D ,比如函数y =-x +1与其反函数y =x 2-1(x ≤0)的交点坐标有(-1,0),(0,-1),显然交点不在直线y =x 上,故错误.故选AC.10.在同一直角坐标系下,函数y =a x 与y =log a x (a >0,a ≠1)的大致图像如图所示,则实数a 的可能值为( )A.32 B .43 C.75 D .107答案 BC解析 由图像可知a >1且a 2<log a 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫322=94>2=94>2,故A 错误;⎝ ⎛⎭⎪⎫432=169<2=169<2,故B 正确;⎝ ⎛⎭⎪⎫752=4925<2=4925<2,故C 正确;⎝ ⎛⎭⎪⎫1072=10049>2=10049>2,故D 错误.综上,选BC.11.如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点,那么称这个点为“好点”,在下面的四个点中,是“好点”的有( )A .(1,2)B .(2,1)C .(2,2)D .(2,0.5)答案 CD解析 当x =1时,对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)恒过(1,0)点,故(1,2)一定不是好点;当y =1时,指数函数y =a x (a >0,a ≠1)恒过(0,1)点,故(2,1)也一定不是好点;而(2,2)是函数y =(2)x 与的交点;(2,0.5)是函数y =⎝⎛⎭⎪⎫12x与y =log 4x 的交点;故选CD. 12.下列说法正确的是( )A .函数y =a x 与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B .函数y =log a x 与y =图像关于x 轴对称C .函数y =a x 与y =log a x 图像关于直线y =x 对称D .函数y =a x 与y =log a x 图像关于y 轴对称 答案 ABC解析 令a =2,分别作出对应的图像,由图像可知,对于A ,∵函数y =a x与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x图像关于y 轴对称,故A 正确;对于B ,∵函数y =log a x 与y =图像关于x 轴对称,故B 正确;对于C ,D ,∵函数y =a x 与y =log a x 图像关于直线y =x 对称,故C 正确,D 不正确.故选ABC.三、填空题13.函数f (x )=-x 2(x ∈(-∞,-2])的反函数f -1(x )=________. 答案 --x ,x ∈(-∞,-4]解析 由y =-x 2,x ∈(-∞,-2],得y ∈(-∞,-4],∴x =--y ,即f -1(x )=--x ,x ∈(-∞,-4].14.已知函数f (x )=a x -k 的图像过点(1,3),其反函数y =f -1(x )的图像过点(2,0),则f (x )的表达式为________.答案 f (x )=2x +1解析 ∵y =f -1(x )的图像过点(2,0),∴f (x )的图像过点(0,2),∴2=a 0-k ,∴k =-1,∴f (x )=a x +1.又f (x )的图像过点(1,3),∴3=a 1+1,∴a =2,∴f (x )=2x +1.15.已知函数f (x )与函数g (x )=的图像关于直线y =x 对称,则函数f (x 2+2x )的单调增区间是________.答案 (-∞,-1]解析 由题意得f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,∴f (x 2+2x )=,∵f (x )在R 上是减函数,∴由同增异减的原则可知,所求函数的单调增区间即为t =x 2+2x 的单调减区间,即(-∞,-1].16.已知函数f (x )=log a x -b x +b(a >0,b ≠0),则f (x )的值域为____________,f (x )的反函数f -1(x )的解析式为________________.答案 (-∞,0)∪(0,+∞) f -1(x )=b ·1+a x1-a x 解析 ∵b ≠0,∴x -b x +b ≠1,∴f (x )=log a x -b x +b ≠0.由y =log a x -b x +b ,化为x -b x +b =a y ,解得x =b ·1+a y 1-a y .把x 与y 互换可得y =b ·1+a x 1-ax ,∴f (x )的反函数f -1(x )=b ·1+a x1-a x. 四、解答题17.若不等式4x -log a x <0,当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,12时恒成立,求实数a 的取值范围.解 要使不等式4x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12时恒成立,即函数y =log a x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12内恒在函数y =4x 图像的上方,而y =4x 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2. 由图可知,log a 12≥2,显然这里0<a <1,∴函数y =log a x 递减.又log a 12≥2=log a a 2,∴a 2≥12, 又0<a <1,∴a ≥22. ∴所求的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,1. 18.已知f (x )=1-3x1+3x ,求f -1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值. 解 令y =1-3x 1+3x ,∴y +y ·3x =1-3x ,∴3x =1-y 1+y , ∴x =log 31-y 1+y ,∴f -1(x )=log 31-x 1+x. ∴f -1⎝ ⎛⎭⎪⎫45=log 31-451+45=log 319=-2. 19.已知y =f (x )是R 上的增函数,点A (-1,1),B (1,3)在它的图像上,y =f -1(x )是它的反函数,解不等式|f -1(log 2x )|<1.解 ∵y =f (x )是R 上的增函数,∴y =f -1(x )在R 上也是增函数.∵f (-1)=1,f (1)=3,∴f -1(1)=-1,f -1(3)=1.由|f -1(log 2x )|<1,得-1<f -1(log 2x )<1,∴f -1(1)<f -1(log 2x )<f -1(3),∴1<log 2x <3,∴2<x <8,即所求不等式的解集为{x |2<x <8}.20.已知f (x )=a ·2x -12x +1(a ∈R ),f (0)=0.(1)求a 的值,并判断f (x )的奇偶性;(2)求f (x )的反函数;(3)对任意的k ∈(0,+∞),解不等式f -1(x )>log 21+x k .解 (1)由f (0)=0,得a =1,所以f (x )=2x -12x +1(x ∈R ). 因为f (x )+f (-x )=2x -12x +1+2-x -12-x +1=2x -12x +1+1-2x1+2x =0, 所以f (-x )=-f (x ),即f (x )为奇函数.(2)因为f (x )=y =2x -12x +1=1-22x +1, 所以2x =1+y 1-y(-1<y <1), 所以f -1(x )=log 21+x 1-x(-1<x <1). (3)因为f -1(x )>log 21+x k ,即log 21+x 1-x >log 21+x k ,所以⎩⎨⎧ 1+x 1-x >1+x k ,-1<x <1,所以⎩⎨⎧ x >1-k ,-1<x <1,当0<k <2时,原不等式的解集为{x |1-k <x <1}; 当k ≥2时,原不等式的解集为{x |-1<x <1}.。
最新人教B版高中数学必修第二册第四章4.3 指数函数与对数函数的关系
即f-1(0)=1,即y=f-1(0)+1=1+1=2,
∴y=f-1(x)+1的图像过点(0,2).
3.已知
1-3
-1 4
f(x)= ,则 f
1+3
5
=
答案 -2
解析
1-3
由1+3
∴x=-2,即 f
=
-1 4
5
4
,得
5
=-2.
x
3
1
=9,
-1≤f
1
(x)≤ 的解集是(
2
-1
A.
1
-1,
2
B.
1
-2, 2
C.[-2,0)∪
1
,1
2
D.[-1,0]∪
1
,1
2
)
答案 C
解析 由题意可得 f-1(x)的图像如图所示.由图像知-1≤f-1(x)<0 的解集为
{x|-2≤x<0},0≤f
[-2,0)∪
1
,1
2
1
(x)≤2的解集为
-1
.故选 C.
对数函数
R
(0,+∞)
(0,+∞)
R
非奇非偶函数
非奇非偶函数
当a>1时,y=ax在R上为增函数; 当a>1时,y=logax在区间(0,+∞)上为增函数;
当0<a<1时,y=ax在R上为减函 当0<a<1时,y=logax在区间(0,+∞)上为减函
数
数
y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称
最新人教B版高中数学必修第二册第四章4.3 指数函数与对数函数的关系
4.3指数函数与对数函数的关系必备知识基础练1.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,其图像经过点(√a,a),则f(x)=()A.log2xB.lo g12xC.12xD.x2y=a x(a>0且a≠1)的反函数是f(x)=log a x,由a=log a√a=12,得f(x)=lo g12x.2.(2020山东聊城高一检测)已知f(x)=x5-a且f(-1)=0,则f-1(1)的值是()A.0B.1C.-1D.√25f(x)=x5-a,且f(-1)=0,所以-1-a=0,故a=-1,所以f(x)=x5+1.令x5+1=1,所以x=0,所以f-1(1)=0.3.(多选题)函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是()A.[-1,1]B.(-∞,0]C.[-2,4]D.[2,4]2|x|在[-1,1]和[-2,4]上不是单调函数,所以不存在反函数.4.已知a>0且a≠1,f(x)=a x,g(x)=log a x,若f(1)·g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图像可能是()f(1)·g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即log a2<0,∴0<a<1.∴f(x)是减函数,且g(x)是减函数.故选C.5.已知函数y=a x+b的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),则a=,b=.1y=a x+b的图像过点(1,4),得a+b=4;由其反函数的图像过点(2,0),得原函数的图像必过点(0,2),得a0+b=2,因此a=3,b=1.6.函数y={x +1,x <0,e x ,x ≥0的反函数是 .{x -1,x <1,lnx ,x ≥1x<0时,y=x+1的反函数是y=x-1,x<1;当x ≥0时,y=e x 的反函数是y=ln x ,x ≥1. 故原函数的反函数为y={x -1,x <1,lnx ,x ≥1.7.求出下列函数的反函数. (1)y=lo g 16x ;(2)y=(1e )x;(3)y=πx ;(4)y={x 2,-1≤x <0,x 2-1,0≤x ≤1.对数函数y=lo g 16x 的底数为16,所以它的反函数是指数函数y=(16)x .(2)指数函数y=(1e )x的反函数是对数函数y=lo g 1ex=-ln x.(3)指数函数y=πx 的反函数为对数函数y=log πx.(4)①当x ∈[-1,0)时,y ∈(0,1],此时x=-√y ,得原函数的反函数是y=-√x ,x ∈(0,1];②当x ∈[0,1]时,y=x 2-1,y ∈[-1,0],此时x=√y +1,得原函数的反函数是y=√x +1,x ∈[-1,0]. ∴函数y={x 2,-1≤x <0,x 2-1,0≤x ≤1的反函数为y={√x +1,x ∈[-1,0],-√x ,x ∈(0,1].关键能力提升练8.(2020四川泸县高二月考)已知函数g (x )=f (x )+x 2是奇函数,当x>0时,函数f (x )的图像与函数y=log 2x 的图像关于y=x 对称,则g (-1)+g (-2)=( ) A.-7 B.-9 C.-11 D.-13当x>0时,f (x )的图像与函数y=log 2x 的图像关于y=x 对称,∴当x>0时,f (x )=2x ,∴当x>0时,g (x )=2x +x 2.又g (x )是奇函数,∴g (-1)+g (-2)=-[g (1)+g (2)]=-(2+1+4+4)=-11.9.(2020山东临沂高一检测)已知函数f (x )=3x ,函数g (x )是f (x )的反函数,若正数x 1,x 2,…,x 2 018,x 2 019满足x 1·x 2·…·x 2 018·x 2 019=243,则g (x 12)+g (x 22)+…+g (x 2 0172)+g (x 2 0182)+g (x 2 0192)的值等于( )A.4B.8C.10D.32函数f (x )=3x ,函数g (x )是f (x )的反函数,∴g (x )=log 3x ,∴g (x 12)+g (x 22)+…+g (x 2 0172)+g (x 2 0182)+g (x 2 0192)=log 3(x 1·x 2·…·x 2 018·x 2 019)2=2log 3(x 1·x 2·…·x 2 018·x 2 019)=2log 3243=2log 335=10. 10.(2020上海高一期末)函数f (x )=x 2-1(x<0)的反函数f -1(x )= .√x +1(x>-1)x<0时,f (x )=x 2-1>-1,由y=x 2-1对调x ,y 得x=y 2-1, 解得y=-√x +1,因此,f -1(x )=-√x +1(x>-1).11.(2021上海交大附中高一考试)若函数y=x 2+(a-4)x+3-a ,x ∈[0,1]没有反函数,则a 的取值范围是 .y=x 2+(a-4)x+3-a ,x ∈[0,1]没有反函数,则函数在定义域内不单调,又函数的对称轴为x=4-a2, 所以0<4-a2<1,解得2<a<4. 12.已知函数f (x )=a ·2x +a 2-22x -1(x ∈R ,x ≠0),其中a 为常数,且a<0.(1)若f (x )是奇函数,求a 的取值集合A ;(2)当a=-1时,设f (x )的反函数为f -1(x ),且y=g (x )的图像与y=f -1(x+1)的图像关于y=x 对称,求g (1)的取值集合B.由于函数y=f (x )为奇函数,且定义域为{x|x ≠0},则f (-1)=-f (1).∵f (1)=2a+a 2-22-1=a 2+2a-2,f (-1)=12a+a 2-212-1=-2a 2-a+4, ∴-2a 2-a+4=-a 2-2a+2,整理得a 2-a-2=0,解得a=-1或a=2. ∵a<0,∴a=-1,∴f (x )=-2x -12x -1=-2x +12x -1,定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,f (-x )=-2-x +12-x -1=-2x (2-x +1)2x (2-x -1)=-1+2x1-2x=2x +12x -1=-f (x ), 此时,函数y=f (x )为奇函数,合乎题意. 因此,A={-1}. (2)当a=-1时,y=f (x )=1+2x 1-2x ,可得y (1-2x )=1+2x ,得2x =y -1y+1,∴x=log 2y -1y+1,所以,f -1(x )=log 2x -1x+1.由于y=g (x )的图像与y=f -1(x+1)的图像关于y=x 对称,则g (1)为方程f -1(x+1)=1的实数解,解方程f -1(x+1)=1,即log 2xx+2=1, 变形得xx+2=2,解得x=-4,即g (1)=-4.因此,B={-4}.学科素养创新练13.已知f (x )=a ·2x -12x +1(a ∈R ),f (0)=0.(1)求a 的值,并判断f (x )的奇偶性; (2)求f (x )的反函数;(3)对任意的k ∈(0,+∞),解不等式f -1(x )>log 21+xk.由f (0)=0,得a=1,所以f (x )=2x -12x +1.因为f (x )+f (-x )=2x -12x +1+2-x -12-x+1=2x -12x +1+1-2x1+2x=0,所以f (-x )=-f (x ),即f (x )为奇函数.(2)因为f (x )=y=2x -12x +1对调x ,y 后,得x=2y -12y +1,所以2y =1+x1-x (-1<x<1).所以f -1(x )=log 21+x1-x(-1<x<1). (3)因为f -1(x )>log 21+xk,即log 21+x 1-x >log 21+xk ,所以{1+x1-x>1+xk ,-1<x <1,所以{x >1-k ,-1<x <1,所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1}; 当k ≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.。
人教B版高中数学必修第二册精品课件 第四章 4.3 指数函数与对数函数的关系
上.( √ )
(5)若f(x)反函数的图象上有一点(b,a),则点(a,b)必在原函数的图象上.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
求反函数
【例1】 求下列函数的反函数:
1
(1)y=log2x;(2)y=
;(3)y=x2(x≤0).
点(4,0),求f(x)的表达式.
解:∵y=f-1(x)的图象过点(4,0),
∴y=f(x)的图象过点(0,4),
∴1+b=4,∴b=3.
又f(x)=ax+b的图象过点(1,7),
∴a+b=7,∴a=4.
∴f(x)=4x+3.
本 课 结 束
【例3】 已知x1是方程x+lg x=3的根,x2是方程x+10x=3的根,则x1+x2的值是
(
A.6
B.3
C.2
D.1
分析:两方程分别化为lg x=3-x,10x=3-x.令f(x)=lg x,g(x)=10x,h(x)=3-x.把三
个函数图象画在同一平面直角坐标系中,则x1,x2分别是直线h(x)与g(x),f(x)
3
分析:由y=f(x)入手,用y表示出x,再互换x,y,最后标明反函数的定义域.
解:(1)由 y=log2x 得 x=2y,所以 f-1(x)=2x.
1
(2)由 y=
得 x=log 1 y 且 y>0,
3
3
所以 f-1(x)=log 1 x(x>0).
3
(3)由 y=x2 得 x=± .
因为 x≤0,所以 x=- .所以 f-1(x)=-√(x≥0).
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 第4章 综合训练
3
2
1
loga2
3
3
3
1
,求得
2
1
0<a<4.
< ,则 1+loga - +2 < ,
2
2
2
<
1
,即
2
<
当 a>1 时,函数 f(x)为增函数,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
.
若f
即
3
2
1
loga
2
3
< ,则
6.[2023河南安阳高一]设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,
设a=30.3,b=(
1 -0.4
) ,c=log40.3,则( A )
3
A.f(c)>f(a)>f(b)
B.f(a)>f(c)>f(b)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(a)>f(b)>f(c)
解析 ∵|c|=|log40.3|=
1
11.已知实数a,b满足等式
2
A.a>b>0
B.a<b<0
C.0<a<b
1
=
,则下列关系式可能成立的是( ABD)
3
D.a=b
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
解析 画出函数 y=
1
时的
3
1
和
2
y=
高中人教B版数学必修第二册精练:第四章 指数函数、对数函数与幂函数 单元质量测评
第四章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.a 2等于( )A .|a |B .-aC .a 2D .a 答案 A解析 由根式的性质,得a 2=|a |.A .6aB .-aC .-9aD .9a 答案 C3.函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 B .(2,+∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(2,+∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12∪[2,+∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义,需使(log 2x )2-1>0,即(log 2x )2>1,∴log 2x >1或log 2x <-1.解得x >2或0<x <12.故所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(2,+∞),选C.4.已知=13,则x =( ) A.12 B.22 C .2 D. 2答案 D5.已知函数y =g (x )的图像与函数y =3x 的图像关于直线y =x 对称,则g (2)的值为( )A .9 B. 3 C. 2 D .log 32 答案 D解析 依题意可得,g (x )=log 3x ,∴g (2)=log 32. 6.下列函数中,在(-∞,0)上是增函数的是( ) A .y =lg x B .y =3x C .y =x -1 D .y =-(x +1)2 答案 B解析 函数y =lg x 在(-∞,0)上无意义,函数y =x -1在(-∞,0)上是减函数,函数y =-(x +1)2在(-∞,0)上先增后减,函数y =3x 在R 上是增函数,在(-∞,0)上也是增函数.7.已知函数f (x )=2x -12x +1,若f (a )=b ,则f (-a )=( )A .bB .-b C.1b D .-1b 答案 B解析 因为函数f (x )=2x -12x +1为奇函数,所以f (-a )=-f (a )=-b ,故选B.8.已知函数y =-2x 3+2,则该函数在区间[0,2]上的平均变化率为( ) A .8 B .-8 C .16 D .-16 答案 B解析 由题意可知x 1=0,x 2=2,所以y 1=-2×0+2=2,y 2=-2×23+2=-14,所以Δx =x 2-x 1=2,Δy =y 2-y 1=-14-2=-16.所以该函数在区间[0,2]上的平均变化率为Δy Δx =-162=-8,故选B.9.已知函数f (x )=2x -2,则函数y =|f (x )|的图像可能是( )答案 B解析 y =|f (x )|≥0,排除C ;取x =12,则y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=|2-2|=2-2<1,排除D ;取x =-12,y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-2=2-22>1,排除A ,故选B.10.三个数a =70.3,b =0.37,c =ln 0.3的大小顺序是( ) A .a >b >c B .a >c >b C .b >a >c D .c >a >b 答案 A解析 ∵a =70.3>1,0<b =0.37<1,c =ln 0.3<0, ∴a >b >c .11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=3x +m (m 为常数),则f (-log 35)的值为( )A .-4B .4C .-6D .6 答案 A解析 由题意,得f (0)=0,即1+m =0,所以m =-1.所以f (-log 35)=-f (log 35)==-4.12.已知a ,b 是方程log (3x )3+log 27(3x )=-43的两个根,则a +b =( ) A.1027 B.481 C.1081 D.2881 答案 C解析 log (3x )3+log 27(3x )=-43,即1log 3(3x )+log 3(3x )3=-43,令t =log 3(3x ),则1t +t 3=-43,即t 2+4t +3=0,所以t =-1或t =-3,所以log 3(3x )=-1或log 3(3x )=-3,即x =19或x =181,所以a +b =1081,选C.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.函数f (x )=-a 2x -1+2(a >0且a ≠1)恒过定点的坐标是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1解析 令2x -1=0,解得x =12,又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-a 0+2=1,∴f (x )恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1.14.已知函数f (x )=⎩⎨⎧log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________.答案 19解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=log 214=-2,而f (-2)=3-2=19,所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=f (-2)=19.15.关于x 的方程lg x 2-lg (x +2)=0的解集是________. 答案 {-1,2}解析由⎩⎨⎧x 2>0,x +2>0,x 2=x +2,得x =2或x =-1.16.关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫29x =2m -3有负根,则实数m 的取值范围是________.答案 m >2解析 方程有负根,即当x <0时,⎝ ⎛⎭⎪⎫29x =2m -3有解,∵当x <0时,⎝ ⎛⎭⎪⎫29x >1,∴2m -3>1.∴m >2.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )=log 12x .(1)求当x <0时,f (x )的解析式; (2)解不等式f (x )≤2.解 (1)当x <0时,-x >0,则f (-x )=log 12(-x ),又因为f (x )为奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-log 12(-x ).(2)由题意及 (1),知原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x >0,log 12x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x <0,-log 12 (-x )≤2,解得x ≥14或-4≤x <0.18.(本小题满分12分)众所周知,大包装商品的成本要比小包装商品的成本高.某种品牌的饼干,其100克装的售价为1.6元,200克装的售价为3元,假定该商品的售价由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比,包装成本与饼干质量的算术平方根(估计值)成正比,利润率为20%,试计算该种饼干1000克装的合理售价(精确到0.1元).解 设饼干的质量为x 克,则其售价y (元)与x (克)之间的函数关系式为y =(ax +b x )(1+20%).由已知有1.6=(a ·100+b 100)×1.2, 即43=100a +10b ,①3=(a ·200+b 200)×1.2,即2.5=200a +102b .② 联立①②解方程组,得⎩⎨⎧b ≈0.0285,a ≈0.0105,∴y =(0.0105×x +0.0285x )×1.2. 当x =1000时,y ≈13.7,∴该种饼干1000克装的合理售价约为13.7元.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=1-2a x -a 2x (a >0,且a ≠1). (1)当a =3时,求函数f (x )的值域;(2)当a >1,x ∈[-2,1]时,f (x )的最小值为-7,求a 的值.解 (1)当a =3时,函数f (x )=1-2·3x -32x ,令t =3x (t >0),则g (t )=-t 2-2t +1=-(t +1)2+2,因为t >0,所以-(t +1)2+2<1,即f (x )<1,故所求函数的值域为(-∞,1).(2)由(1)可得f (x )=-(a x +1)2+2,因为a >1,所以函数y =a x 为单调递增函数且y >0,所以函数f (x )为单调递减函数,由f (x )的最小值为-7,得f (1)=-7,所以-(a 1+1)2+2=-7且a >1,解得a =2,故所求a 的值为2.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=-x +log 21-x1+x.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12020+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12020的值;(2)当x ∈(-a ,a ](其中a ∈(0,1))时,函数f (x )是否存在最小值?若存在,求出f (x )的最小值;若不存在,请说明理由.解 (1)因为函数f (x )的定义域是(-1,1),f (-x )=x +log 21+x 1-x =-(-x )+log 2⎝⎛⎭⎪⎫1-x 1+x -1=-⎝ ⎛⎭⎪⎫-x +log 21-x 1+x =-f (x ),即f (x )+f (-x )=0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12020+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12020=0.(2)令t =1-x 1+x =-1+21+x ,则t =-1+21+x在(-1,1)上单调递减. 又y =log 2t 在(0,+∞)上单调递增,所以f (x )=-x +log 21-x1+x在(-1,1)上单调递减.所以当x ∈(-a ,a ](其中a ∈(0,1))时,函数f (x )存在最小值,f (x )min =f (a )=-a +log 21-a 1+a.21.(本小题满分12分)设f (x )=lg 1+2x +4x a3,且当x ∈(-∞,1]时,f (x )有意义,求实数a 的取值范围.解 欲使x ∈(-∞,1]时,f (x )有意义,需1+2x +4x a >0恒成立,即a >-⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +⎝ ⎛⎭⎪⎫14x . 令u (x )=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .∵u (x )=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在(-∞,1]上是增函数,∴当x =1时,u (x )max =-34. 于是可知,当a >-34时,满足题意, 即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,+∞.22.(本小题满分12分)已知常数a (a >1)及变量x ,y 之间存在关系式log a x +3log x a -log x y =3.(1)若x=a t(t≠0),用a,t表示y;(2)若已知(1)中的t在区间[1,+∞)内变化时,y有最小值8,则这时a的值是多少?x的值是多少?解(1)用换底公式可将原方程化为log a x+3log a x-log a ylog a x=3,若x=a t(t≠0),则t=log a x≠0,故有t+3t-log a yt=3,整理,得log a y=t2-3t+3,∴y=at2-3t+3(t≠0).由Ruize收集整理。
高中人教B版数学必修第二册精练:第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2 4.2.1
A级:“四基”巩固训练一、选择题1.若log(x-1)(x-1)=1,则x的取值范围是()A.x≠1 B.x>1C.x≠2 D.x>1且x≠2答案 D解析使log(x-1)(x-1)=1有意义,需x-1>0且x-1≠1,即x>1且x≠2,故选D.2.下列指数式与对数式的互化中,不正确的一组是()答案 C解析A,B,D正确.log39=2变成指数式应为32=9,故C不正确.3.方程2log3x=14的解是()A.x=19B.x=33C.x= 3 D.x=9 答案 A解析4.设a =log 310,b =log 37,则3a -b =( ) A.1049 B.710 C.107 D.4910 答案 C解析 ∵a =log 310,b =log 37,∴3a =10,3b =7,∴3a -b=3a 3b =107.5.如果f (10x )=x ,则f (3)等于( ) A .log 310 B .lg 3 C .103 D .310 答案 B解析 解法一:令10x =t ,则x =lg t ,∴f (t )=lg t . ∴f (3)=lg 3.解法二:令10x =3,得x =lg 3,∴f (3)=lg 3,故选B. 二、填空题答案 12 解析答案 1解析 由a >0,a 2=49=⎝ ⎛⎭⎪⎫232,可知a =23,答案 -3解析三、解答题9.计算:解(1)设log84=x,则8x=4,即23x=22,3x=2,x=23,故log84=23.10.求下列各式中的x的值:(1)log x27=32;(2)log2x=-23;(3)log x(3+22)=-2;(4)log5(log2x)=0;(5)lg (ln x)=1;(6)lg (ln x)=0.解B 级:“四能”提升训练解2.已知二次函数f (x )=(lg a )x 2+2x +4lg a 的最大值为3,求a 的值. 解 原函数式可化为f (x )=lg a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1lg a 2-1lg a +4lg a .∵f (x )有最大值3,∴lg a <0,且-1lg a +4lg a =3, 整理,得4(lg a )2-3lg a -1=0, 解得lg a =1或lg a =-14.由Ruize收集整理。
人教B高中数学必修第二册练习:第4章 指数对数函数与幂函数 4.2 4.23 课时6 含解析
4.2.3 对数函数的性质与图像课时6 对数函数的性质与图像知识点一 对数函数的概念1.下列函数表达式中,是对数函数的有( )①y =log x 2;②y =log a x (a ∈R );③y =log 8x ;④y =ln x . A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 答案 B解析 符合对数函数的定义的只有③④.故选B. 2.若函数y =log (2a +1)x 是对数函数,求a 的取值范围. 解 因为y =log (2a +1)x 是对数函数,所以⎩⎨⎧2a +1>0,2a +1≠1,解得a >-12,且a ≠0,即a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >-12且a ≠0. 知识点二 与对数函数有关的函数图像3.函数f (x )=log a |x |+1(0<a <1)的图像大致为下图的( )答案 A解析 解法一:当x >0时,函数f (x )=log a x +1(0<a <1)的图像是将函数y =log a x (0<a <1)的图像上所有点向上平移一个单位;再将图像关于y 轴对称,得到的函数图像为A.解法二:由f (x )=log a |x |+1,得f (1)=1且f (-1)=1,排除B ,D ,再由0<a <1知当x >0时,f (x )单调递减,排除C.故选A.知识点三 与对数函数有关的函数定义域问题 4.求下列函数的定义域: (1)f (x )=lg (4-x )x -3;(2)y =log 0.1(5x -4).解 (1)由⎩⎨⎧4-x >0,x -3≠0,得x <4且x ≠3,∴所求定义域为(-∞,3)∪(3,4). (2)由⎩⎨⎧ 5x -4>0,log 0.1(5x -4)≥0,得⎩⎨⎧5x -4>0,5x -4≤1,∴45<x ≤1,∴所求定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤45,1.知识点四 对数函数的单调性的应用5.比较下列各组中两个值的大小(e 为自然对数的底数):解6.解下列不等式:解又∵x>0,∴0<x<1,∴不等式的解集为{x|0<x<1}.(2)∵log m 23<1=logmm,∴当m>1时,m>23,即m>1;当0<m<1时,m<23,即0<m<23.∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m⎪⎪⎪0<m<23或m>1.(3)原不等式等价于⎩⎨⎧2-x>0,2x-1>0,2-x>2x-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x<2,x>12,x<1,∴12<x<1,∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪12<x<1.知识点五对数函数的性质综合解8.已知函数f (x )=log 2(1-x )+log 2(1+x ). (1)求f (x )的定义域; (2)判断f (x )的奇偶性. 解 (1)∵1-x >0且1+x >0, ∴-1<x <1.∴f (x )的定义域为{x |-1<x <1}.(2)由(1)知,f (x )的定义域关于原点对称, ∵f (-x )=log 2(1+x )+log 2(1-x )=f (x ), ∴f (x )是偶函数.易错点 忽视真数的取值范围而致误 9.解不等式log a (2x -5)>log a (x -1).易错分析 本题易出现未考虑真数的取值范围,也没有对a 进行分类讨论的错误.正解当a >1时,原不等式等价于⎩⎨⎧2x -5>0,x -1>0,2x -5>x -1,解得x >4.当0<a <1时,原不等式等价于⎩⎨⎧2x -5>0,x -1>0,2x -5<x -1,解得52<x <4.综上,当a >1时,原不等式的解集为{x |x >4}; 当0<a <1时,原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪52<x <4.一、选择题1.函数y =x ln (1-x )的定义域为( ) A .(0,1) B .[0,1) C .(0,1] D .[0,1]答案 B解析 因为y =x ln (1-x ),所以⎩⎨⎧x ≥0,1-x >0,解得0≤x <1.2.已知实数a =log 45,b =⎝ ⎛⎭⎪⎫120,c =log 30.4,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .b <c <aB .b <a <cC .c <a <bD .c <b <a 答案 D解析 由题知,a =log 45>1,b =⎝ ⎛⎭⎪⎫120=1,c =log 30.4<0,故c <b <a .3.函数y =-lg (x +1)的图像大致是( )答案 B解析当x=0时,y=0,而且函数为减函数,可见只有B符合.A.(-∞,-3) B.(-∞,-1)C.(1,+∞) D.(-3,1)答案 A解析5.设函数f(x)=ln (1+x)-ln (1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数答案 A解析由题意可得,函数f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln (1-x)-ln (1+x)=-f(x),故f(x)为奇函数.又f(x)=ln 1+x1-x=ln⎝⎛⎭⎪⎫21-x-1,易知y=21-x-1在(0,1)上为增函数,故f(x)在(0,1)上为增函数.二、填空题6.已知函数y=log a(x+3)+1的图像恒过定点P,则点P的坐标是________.答案(-2,1)解析令x+3=1,即x=-2时,y=1,故P(-2,1).答案(1,3]解析要使函数有意义,答案-1 4解析三、解答题9.函数y=log a x,x∈[2,4],a>0且a≠1,若此函数的最大值比最小值大1,求a的值.解当a>1时,y=log a x在[2,4]上为增函数,∴最大值为log a4=2log a2,最小值为log a2.由log a4-log a2=log a2=1,∴a=2.同理,当0<a<1时,求得a=1 2,∴a的值为2或1 2.10.已知函数f(x)=log2(2+x2).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求函数f(x)的值域.解(1)因为2+x2>0对任意x∈R都成立,所以函数f(x)=log2(2+x2)的定义域是R.因为f(-x)=log2[2+(-x)2]=log2(2+x2)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)由x∈R得2+x2≥2,所以log2(2+x2)≥log22=1,即函数f(x)=log2(2+x2)的值域为[1,+∞).。
新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系学案新人教B版必修第二册
4.3 指数函数与对数函数的关系问题导学预习教材P30-P31的内容,思考以下问题: 1.反函数是如何定义的? 2.互为反函数的函数有哪些性质?1.一般地,如果在函数 y =f (x )中,给定值域中任意一个y 的值,只有唯一的x 与之对应,那么x 是y 的函数,这个函数称为y =f (x )的反函数.2.一般地,函数 y =f (x )的反函数记作y =f -1(x ). y =f (x )的定义域与y =f -1(x )的值域相同, y =f (x )的值域与y =f -1(x )的定义域相同, y =f (x )与y =f -1(x )的图像关于直线y =x 对称.3.如果y =f (x )是单调函数,那么它的反函数一定存在.如果y =f (x )是增函数,则y =f -1(x )也是增函数;如果y =f (x )是减函数,则y =f -1(x )也是减函数.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数是y =log x 12.( )(2)函数y =log 3x 的反函数的值域为R .( )(3)函数y =e x的图像与y =lg x 的图像关于直线y =x 对称.( ) 答案:(1)× (2)× (3)×函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数为g (x ),那么g (x )的图像一定过点________.解析:f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数为g (x )=log 12x ,所以g (x )的图像一定过点(1,0).答案:(1,0)函数y =x +3的反函数为________. 解析:由y =x +3得x =y -3,x ,y 互换得y =x -3,所以原函数的反函数为y =x -3.(x ∈R ).答案:y =x -3(x ∈R )求反函数写出下列函数的反函数:(1)y =lg x ;(2)y =5x +1;(3)y =(2)x;(4)y =x 2(x ≤0). 【解】 (1)y =lg x 的底数为10, 它的反函数为指数函数y =10x. (2)由y =5x +1,得x =y -15,所以反函数为y =x -15(x ∈R ).(3)y =(2)x的底数为2,它的反函数为对数函数y =log 2x (x >0).(4)由y =x 2得x =±y . 因为x ≤0, 所以x =-y .所以反函数为y =-x (x ≥0).求反函数的一般步骤(1)求值域:由函数y =f (x )求y 的范围.(2)解出x :由y =f (x )解出x =f -1(y ).若求出的x 不唯一,要根据条件中x 的范围决定取舍,只取一个.(3)得反函数:将x ,y 互换得y =f -1(x ),注意定义域.函数y =x -1+1(x ≥1)的反函数是( )A .y =x 2-2x +2(x <1) B .y =x 2-2x +2(x ≥1) C .y =x 2-2x (x <1) D .y =x 2-2x (x ≥1)解析:选B.由y =x -1+1,得x =(y -1)2+1,即x=y2-2y+2,因为x≥1,所以y=x-1+1≥1,所以反函数为y=x2-2x+2(x≥1).互为反函数的性质应用已知函数y=a x+b(a>0且a≠1)的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),求a,b的值.【解】因为y=a x+b的图像过点(1,4),所以a+b=4.①又因为y=a x+b的反函数图像过点(2,0),所以点(0,2)在原函数y=a x+b的图像上.所以a0+b=2.②联立①②得a=3,b=1.互为反函数的函数图像关于直线y=x对称是反函数的重要性质,由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y=x对称,所以若点(a,b)在函数y=f(x)的图像上,则点(b,a)必在其反函数y=f-1(x)的图像上.已知f(x)=log3x,则f-1(4)=________.解析:由log3x=4,得x=34=81.即f-1(4)=34=81.答案:81指数、对数函数图像与性质的应用设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.【解】将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.如图可知,a是指数函数y=2x的图像与直线y=-x+3交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图像与直线y=-x+3交点B的横坐标.由于函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图像关于直线y=x对称,由题意可得出A 、B 两点也关于直线y =x 对称, 于是A 、B 两点的坐标为A (a ,b ),B (b ,a ). 而A 、B 都在直线y =-x +3上, 所以b =-a +3(A 点坐标代入),或a =-b +3(B 点坐标代入),故a +b =3.形如a x+kx =b (a >0且a ≠0)或log a x +kx =b (a >0且a ≠1)的方程的求解常借助于函数图像,把求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标问题.函数f (x )=lg x +x -3的零点所在区间为( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,+∞)解析:选C.在同一平面直角坐标系中,画出函数y =lg x 与y =-x +3的图像.它们交点的横坐标x 0显然在区间(1,3)内,由此可排除A ,D.至于选B 还是选C ,由于手工画图精确性的限制,单凭直观想象很难做出判断.实际上这是要比较x 0与2的大小.当x =2时,lg x =lg 2,-x +3=1,由于lg 2<1,因此x 0>2,从而得到x 0∈(2,3),故选C.1.函数y =log 12x (x >0)的反函数是( )A .y =x 12,x >0 B .y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,x ∈R C .y =x 2,x ∈RD .y =2x,x ∈R解析:选B.互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同.2.若函数f (x )是函数y =a x(a >0,且a ≠1)的反函数,且f (2)=1,则f (x )等于( ) A .log 2x B.12x C .log 12xD .2x -2解析:选A.y =a x的反函数f (x )=log a x , 则1=log a 2,所以a =2.所以f (x )=log 2x .3.已知函数y =a x 与y =log a x (a >0且a ≠1),下列说法不正确的是( ) A .两者的图像关于直线y =x 对称B .前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C .两函数在各自的定义域内的增减性相同D .y =a x的图像经过平移可得到y =log a x 的图像解析:选D.由反函数的定义及互为反函数的函数图像间的对称关系可知A 、B 、C 选项均正确.4.已知y =⎝ ⎛⎭⎪⎫14x的反函数为y =f (x ),若f (x 0)=-12,则x 0等于( ) A .-2 B .-1 C .2D .12解析:选C.y =⎝ ⎛⎭⎪⎫14x的反函数是f (x )=log 14x , 所以f (x 0)=log 14x 0=-12.所以x 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫14-12=⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122-12=2.[A 基础达标]1.函数y =3x(0<x ≤2)的反函数的定义域为( ) A .(0,+∞) B .(1,9] C .(0,1)D .[9,+∞)解析:选B.由于反函数的定义域为原函数的值域,因为0<x ≤2,所以y =3x ∈(1,9],故y =3x(0<x ≤2)的反函数的定义域为(1,9]. 2.函数y =-1-x (x ≤1)的反函数是( ) A .y =x 2-1(-1≤x ≤0) B .y =x 2-1(0≤x ≤1) C .y =1-x 2(x ≤0)D .y =1-x 2(0≤x ≤1)解析:选C.因为x ≤1,所以-x ≥-1,1-x ≥0,所以1-x ≥0,所以-1-x ≤0,所以y ≤0.原函数的值域应与反函数的定义域相同,所以选项中只有C 的定义域满足小于等于0. 3.设函数f (x )=log a (x +b )(a >0,且a ≠1)的图像过点(2,1),其反函数图像过点(2,8),则a +b 等于( )A .6B .5C .4D .3解析:选 C.由题意,知f (x )=log a (x +b )的图像过点(2,1)和(8,2),所以⎩⎪⎨⎪⎧log a (2+b )=1,log a (8+b )=2, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a =2+b ,a 2=8+b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =1.所以a +b =4.4.函数y =f (x )的图像经过第三、四象限,则y =f -1(x )的图像经过( ) A .第一、二象限 B .第二、三象限 C .第三、四象限D .第一、四象限解析:选B.因为第三、四象限关于y =x 对称的象限为第三、二象限,故y =f -1(x )的图像经过第二、三象限.5.设函数f (x )=log 2x +3,x ∈[1,+∞),则f -1(x )的定义域是________. 解析:f -1(x )的定义域为f (x )的值域, 因为x ≥1,所以log 2x ≥0, 所以log 2x +3≥3,所以f -1(x )的定义域为[3,+∞). 答案:[3,+∞)6.若函数f (x )=y =2x +1的反函数为f -1(x ),则f -1(-2)=________. 解析:法一:函数f (x )的值域为R ,由y =2x +1,得x =y -12,故f -1(x )=x -12,故f -1(-2)=-2-12=-32.法二:由互为反函数的两函数定义域、值域的关系,令2x +1=-2,得x =-32.故f -1(-2)=-32.答案:-327.对任意不等于1的正数a ,函数f (x )=log a (x +3)的反函数的图像都过点P ,则点P 的坐标是________.解析:当x =-2时,f (x )=log a (-2+3)=0,所以f (x )恒过(-2,0)点,即反函数的图像恒过点P (0,-2).答案:(0,-2)8.求下列函数的反函数. (1)f (x )=12x +1;(2)f (x )=1-1-x 2(-1≤x <0). 解:(1)设y =f (x )=12x +1,则y ≠0.由y =12x +1,解得x =1-y2y .所以f -1(x )=1-x 2x (x ≠0).(2)设y =f (x )=1-1-x 2. 因为-1≤x <0,所以0<y ≤1. 由y =1-1-x 2,解得x =-2y -y 2. 所以f -1(x )=-2x -x 2(0<x ≤1). 9.已知函数f (x )=log a (2-x )(a >1). (1)求函数f (x )的定义域、值域; (2)求函数f (x )的反函数f -1(x ); (3)判断f -1(x )的单调性.解:(1)要使函数f (x )有意义,需满足2-x >0,即x <2, 故原函数f (x )的定义域为(-∞,2),值域为R . (2)由f (x )=y =log a (2-x ),得2-x =a y, 即x =2-a y.所以f -1(x )=2-a x(x ∈R ). (3)f -1(x )在R 上是减函数. 证明如下:任取x 1,x 2∈R 且x 1<x 2.因为f -1(x 2)-f -1(x 1)=2-ax 2-2+ax 1=ax 1-ax 2, 因为a >1,x 1<x 2,所以ax 1<ax 2,即ax 1-ax 2<0, 所以f -1(x 2)<f -1(x 1),所以y =f -1(x )在R 上是减函数.[B 能力提升]10.函数y =ln 2x (x >0)的反函数是( )A .y =12e x(x ∈R )B .y =e 2x(x ∈R )C .y =2e x(x ∈R )D .y =e x2(x ∈R )解析:选A.由y =ln 2x (x >0),得x =12e y,所以所求的反函数是y =12e x(x ∈R ).11.已知a >0,且a ≠1,函数y =a x与y =log a (-x )的图像只能是图中的( )解析:选B.y =a x与y =log a x 互为反函数,图像关于直线y =x 对称.而y =log a (-x )与y =log a x 关于y 轴对称.因为在y =log a (-x )中,-x >0,即x <0,所以排除A 、C.当0<a <1时,在D 中,log a (-x )应是递增的,故D 错误. 12.已知f (x )=x -3a (a >0),若f -1(x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ,4a ,则f (x )的定义域是________. 解析:f -1(x )的定义域即为f (x )的值域,所以1a≤x -3a≤4a.又a >0,所以4≤x ≤7.所以f (x )的定义域为[4,7].答案:[4,7]13.已知函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[1,2]上存在反函数,求a 的取值范围. 解:若函数f (x )在区间[1,2]上存在反函数,则f (x )在[1,2]上为单调函数,f (x )=x 2-2ax -3的对称轴是直线x =a ,要使f (x )=x 2-2ax -3在区间[1,2]上为单调函数, 则[1,2]⊆(-∞,a ]或[1,2]⊆[a ,+∞), 即a ≥2或a ≤1.所以a 的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).[C 拓展探究]14.已知函数f (x )=3x ,且f -1(18)=a +2,g (x )=3ax -4x的定义域为[0,1]. (1)求g (x )的解析式; (2)求g (x )的值域.解:(1)因为f (x )=3x,且f -1(18)=a +2, 所以f (a +2)=3a +2=18.所以3a=2.因为g (x )=3ax -4x =(3a )x -4x, 所以g (x )=2x-4x(0≤x ≤1). (2)令t =2x(0≤x ≤1), 所以t ∈[1,2].则g (x )=y =-t 2+t =-⎝ ⎛⎭⎪⎫t -122+14.所以当t =1,即x =0时,g (x )max =0; 当t =2,即x =1时,g (x )min =-2. 故g (x )的值域为[-2,0].。
人教B版2019必修二第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.3指数函数与对数函数的关系专题训练
必修二第四章指数函数、对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系专题训练第I 卷(选择题)一、单选题 1.函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的反函数是( ) A.,020x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ B.,020x x y x ⎧≥⎪=< C.2,00x x y x ≥⎧⎪=<D.2,0x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩2.已知()f x =的反函数为1()f x -=()f x 的定义域为( ) A .(2,0)-B .[2,2]-C .[2,0]-D .[0,2]3.已知12,x x 是函数()|ln |x f x e x -=-的两个零点,则( ) A .1211x x e<< B .121x x e << C .12110x x << D .1210e x x <<4.下列说法中,正确的是 A .对任意x ∈R ,都有32x x > B .y=x-是R 上的增函数C .若x ∈R 且0x ≠,则222log 2log x x =D .在同一坐标系中,2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称.5.关于x 的方程lg 3x x +=,103x x +=的根分别为α,β,则αβ+的值为( ). A .3B .4C .5D .66.函数lg 1(0)y x x =+>的反函数为( ). A .110()x y x +=∈R B .110()x y x -=∈R C .110(1)x y x +=>D .110(1)x y x -=>7.函数1()x f x a +=(0a >且1a ≠)的反函数1()y f x -=所过定点的坐标为( ) A .(0,1)-B .(1,1)-C .(1,1)-D .(0,1)8.点(2,4)在函数()log a f x x =(0a >,且1a ≠)的反函数的图象上,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .2-B .2C .1-D .19.设实数0λ>,若对任意的(1,)x ∈+∞,不等式ln 0xxe λλ-恒成立,则λ的最小值为( ) A .1eB .12eC .2eD .3e10.设函数()y f x =与2x y =的图像关于直线y x =对称,则(2)f =( )A .4BC .1D .12第II 卷(非选择题)二、填空题11.已知函数()f x 是函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数,且(9)2f =-,则a =_______.12.函数2x y =的反函数是___________.13.已知函数()xf x a =(0a >且1a ≠)满足()()23f f >,若()1y fx -=是()y f x =的反函数,则关于x 的不等式1111f x-⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集是______.14.设1x 、2x 分别是函数()x f x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点(其中1a >),则122020+x x 的取值范围是______.15.已知函数()()lg 21f x x =-,则()11f -的值为___________.三、解答题16.已知函数()()32,log xf xg x x -==(1)请在给定的同一个坐标系中画出()f x 和()g x 函数的图象; (2)设函数()() 3h x f x =-,求出成()h x 的零点.17.已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--(0a >且1a ≠), (1)讨论()f x 的奇偶性与单调性; (2)求()f x 的反函数1()f x -; (3)若11(1)3f-=,解关于x 的不等式1()()f x m m -<∈R .。
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A级:“四基”巩固训练
一、选择题
1.已知函数y=f(x)有反函数,则方程f(x)=0的根的情况是()
A.有且仅有一个实根
B.至少有一个实根
C.至多有一个实根
D.0个,1个或1个以上实根
答案 C
解析若f(x)=0有根m,则f(m)=0,又因为f(x)有反函数,所以0在y=f-1(x)关系下有唯一的值与之对应,故m必唯一,所以y=f(x)的图像与x轴至多有一个交点,即方程f(x)=0至多有一个实根.
2.将y=2x的图像________,再作关于直线y=x对称的图像,可得函数y=log2(x+1)的图像.横线处应填写()
A.先向左平移1个单位B.先向右平移1个单位
C.先向上平移1个单位D.先向下平移1个单位
答案 D
解析与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x对称的曲线是函数y=2x-1的图像.为了得到它,只需将y=2x的图像向下平移1个单位.故选D.
3.函数f(x)=ax+1(a>0且a≠1)的反函数的图像经过点(4,2),则f-1(2)的值为()
A.1
2 B.
2
3C.2 D.4
答案 B
解析由已知得f(x)=ax+1的图像经过点(2,4),
∴4=2a +1,∴a =32.∴f (x )=32x +1.∴2=32x +1,∴x =23,∴f -1(2)=23.
4.若指数函数y =a x 当x <0时,有0<y <1,则在同一坐标系中,函数y =a -x 与函数y =log a x 的图像是( )
答案 A
解析 ∵x <0时,y =a x ∈(0,1),∴a >1.∴y =log a x 单调递增,y =a -x
=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 单调递减.结合选项知,选A.
5.已知e 是自然对数的底数,函数f (x )=e x +x -2的零点为a ,函数g (x )=ln x +x -2的零点为b ,则下列不等式中成立的是( )
A .f (a )<f (1)<f (b )
B .f (a )<f (b )<f (1)
C .f (1)<f (a )<f (b )
D .f (b )<f (1)<f (a )
答案 A
解析 分别作出函数y =e x ,y =ln x ,y =2-x 的图像,如图所示,不难发现a <1<b ,而函数f (x )为增函数,所以f (a )<f (1)<f (b ).
二、填空题
6.函数y =⎩⎨⎧ x +1,x <0,e x ,x ≥0
的反函数是________. 答案 y =⎩
⎨⎧ x -1,x <1,ln x ,x ≥1 解析 当x <0时,y =x +1的反函数是y =x -1,x <1;
当x ≥0时,y =e x 的反函数是y =ln x ,x ≥1.
故原函数的反函数为y =⎩⎨⎧
x -1,x <1,ln x ,x ≥1.
7.函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1)满足f (9)=2,则f -1(-log 92)=________.
答案 22
解析 ∵log a 9=2,∴a =3,而f -1(x )=a x ,
∴f -1(x )=3x ,
8.已知f (x )是定义在(-∞,+∞)上的减函数,其图像经过A (-4,1),B (0,-1)两点,f (x )的反函数是f -1(x ),则f -1(1)的值是________;不等式|f (x -2)|<1的解集是________.
答案 -4 (-2,2)
解析 由题意,可知f -1(x )的图像过点(1,-4)和点(-1,0),∴f -1(1)=-4;∵|f (x -2)|<1,∴-1<f (x -2)<1,即f (0)<f (x -2)<f (-4),又f (x )为(-∞,+∞)上的
减函数,∴-4<x-2<0,即-2<x<2,∴不等式|f(x-2)|<1的解集为{x|-2<x<2}.
三、解答题
9.已知函数f(x)=log a(2-x)(a>1).
(1)求函数f(x)的定义域、值域;
(2)求函数f(x)的反函数f-1(x);
(3)判断f-1(x)的单调性.
解(1)要使函数f(x)有意义,
需满足2-x>0,即x<2,
故函数f(x)的定义域为(-∞,2),值域为R.
(2)由y=log a(2-x),得2-x=a y,
即x=2-a y.∴f-1(x)=2-a x.
(3)f-1(x)在R上是减函数.
证明如下:任取x1,x2∈R且x1<x2.
B级:“四能”提升训练
已知1<a<2,函数f(x)=log a(x+x2-1)(x>1).
(1)求f(x)的反函数f-1(x)及f-1(x)的定义域D;
(2)设x∈D,g(x)=2x+2-x
2,比较f
-1(x)与g(x)的大小.
解(1)设u=x+x2-1,该函数在(1,+∞)上为增函数,所以u>1.因为1<a<2,所以y=log a u在(0,+∞)上是增函数,
所以当u>1时,y>0.
所以函数f(x)=log a(x+x2-1)(x>1)的值域为(0,+∞).
由y=log a(x+x2-1),得a y=x+x2-1,
所以x2-1=a y-x,
解得x=a2y+1
2a y=
1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a y+
1
a y.
所以f(x)=log a(x+x2-1)(x>1)的反函数为
f-1(x)=1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a x+
1
a x(x∈(0,+∞)).
(2)f-1(x)-g(x)=1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a x+
1
a x-
1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x+
1
2x
=1
2⎣⎢
⎡
⎦
⎥
⎤(a x-2x)+⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
a x-
1
2x
=(a x-2x)[(2a)x-1]
2·(2a)x
.
因为1<a<2,
所以当x∈D时,a x<2x且(2a)x>1. 所以a x-2x<0,(2a)x-1>0,
所以f-1(x)-g(x)<0.
所以当x∈D时,f-1(x)<g(x).
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