2012初中数学竞赛 (2)
2012年全国初中数学竞赛试题及参考答案
—
１
＝
么
＋
ｃ 口＋ａ ｂ的 ÷一 ＋ 值为— — ． ＋
７ 甲） 图 ４ （ ．如 ，正 方 形 Ａ Ｃ 的 边 ＢＤ ，Ｅ、Ｆ分 别 是 Ａ Ｂ、Ｂ 的 Ｃ
（ Ａ）３ ／ 、２
４ 甲） （ ．小倩 和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币． 小
题均给 出了代 号为 Ａ，Ｂ，ｃ ，Ｄ的 四个选项 ，其 中有且只有 一 倩对小 玲说 ：“ 若给我 ２元 ，我 的钱数将 是你 的 ｎ倍” 你 ；小玲
个 选 项 是 正 确 的 ．请 将 正 确 选 项 的 代 号 填 入 题 后 的 括 号 里 ， 不 对小倩说 ：“ 你若给我 ｎ元 ，我的钱数将是你 的 ２倍” ．其 中 ｎ为 填 、 多填 或错 填都 得 ０分 ）
（ Ｂ）４
长为 ２
曰 Ｃ
（ Ｃ）２ ／ 、５
（ Ｄ）４５ ．
中 点 ，ＡＦ与 Ｄ Ｅ、Ｄ 分 别 交 于 点 、 Ｂ Ｎ，￣ ＡＤ ＭＮ的面积是
图２
３ ５
舞
７ 乙 ） 如 图 ５ ６０ 的半 径 为 ２ ， （ ． ， ３ ０ Ｃ 点 Ｅ在 Ｏ Ｄ． Ｄ上 ，且 ＤＣ＝Ｄ Ｅ，Ｂ Ｅ的 延 长 线 与 ６ ０ 交 于点 Ｆ ３．
（ ）Ｐ Ｂ 。
（ Ｄ）Ｐ ３
１
，
…
２ 甲） （ ．如果 正 比例 函数 Ｙ＝一（ ≠０ 与反 比例 函数 Ｙ Ⅱ ） ＝ （ ≠０ 的图象有两个交点 ，其 中一个交点 的坐标为（ ３ ２ ，那 ｂ ） 一 ，一 ） 么另一个交点的坐标为 （
（ （ ，３ Ａ） ２ ） （ Ｃ）（ ２
2012年全国初中数学竞赛试题
2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编重排版目录一2012广东初中数学竞赛预赛................................................................................................- 2 -二2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区）........................................- 5 -三2012年北京市初二数学竞赛试题..................................................................................... - 10 -四2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）......................................................................... - 11 -五2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案......................................... - 13 -六2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区）......................................................... - 15 -七2012年全国初中数学竞赛试题......................................................................................... - 19 -八2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷................................................................. - 21 -九2012年全国初中数学联赛（浙江赛区）试题及参考答案..............................................- 26 -十2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷 .................................................................. - 29 -十一2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】............................................................. - 30 -十二2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题..................................................... - 35 -十三2012年全国初中数学竞赛试题（副题）..................................................................... - 39 -十四2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案..................................................... - 41 -十五2012年全国初中数学竞赛试题（正题）..................................................................... - 50 -十六2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案......................................................- 55 -小贴士：word目录发生下列问题ctrl+左键显示“由于本机的限制，该操作已被取消，请与系统管理员联系”请按下列步骤自行解决1.开始，运行里输入regedit,回车2.在注册表中，找到HKEY_CURRENT_USER\Software\Classes\.html 项3.在默认项上点右键选择修改4.将Max2.Association.HTML改为Htmlfile，确认，然后退出注册表5.重启正在使用的Office程序，然后再次点Office里面超链接，ok了2012广东初中数学竞赛预赛2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区） 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】（A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】（A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m <【答】C ．解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y 轴的交点位于y 轴的正半轴，且y 随x 的增大而增大，所以10,10.m m ->⎧⎨+>⎩ 解得1m >．3．如图，在⊙O 中， CD DA AB ==，给出下列三个结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30°时，∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答】D ．解：因为 CD AB =，所以DC =AB ；因为AD AB =，AO 是半径,所以AO ⊥BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为180°得：2(30)180x x -︒+=︒，解得80x =︒． 4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】第3题图（A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）21【答】B ．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3264=. 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个【答】D ．解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2=)62,0(),62,0(21-C C ， 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C ． 6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【 】（A ）221y x =-+ （B ）2112y x =-+ （C ）241y x =-+ （D ）2114y x =-+【答】A ．解：221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ，设4b x -=，882b y -=，由4b x -=得x b 4-=，所以222218)4(888x x b y -=--=-=． 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为 ． 【答】7．解：71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ． 8．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 ．【答】120,4x x ==-．解：11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++y xO 第6题图 第5题图11213(1)(3)x x x x =-=++++.∴22(1)(3)3x x =++，解得 1x 9．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1,0），若点A 的坐标为（a ，b ），将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段BA '，则点A '的坐标是 ．【答】(1,1)b a +-+．解：分别过点A 、A '作x 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的坐标是(,)a b ，所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+，1A D BC a '==-，所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．10．如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =3，AM =1， DE是以点A 为圆心2为半径的41圆弧， NB是以点M 为圆心2为半径的41圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 ． 【答】2．解：连接MN ，显然将扇形AED 向右平移可与扇形MBN 重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND 的面积，等于221=⨯．11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为 ． 【答】2-．解：∵α是方程2210x x +-=的根，∴212αα=-．∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-，又 ∵2,αβ+=-∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个．【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x 个小朋友，这相当于x 个抽屉，问题变为把145颗糖放进x 个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145，解得x ≤36，所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为x ，个位数字为y （x 、y 均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： …………………2分（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为200010x y ++，依题意，得2012(200010)20x y x y -++=+++，A BM 第10题图 E 第9题图整理，得 1011,2xy -=x 、y 均为0 ~ 9的整数，∴0.x = 此时 5.y =∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为190010x y ++，依题意，得2012(190010)19x y x y -++=+++，整理，得 111022x y =-，故x 为偶数，又1021110211,09,22x xy --=≤≤ ∴ 779,11x ≤≤ ∴ 8.x = 此时7.y = ∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分 综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =．∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤依题意，得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩，∴4,1x k =- ∴ 41 3.1k -≤≤解得13.3k --≤≤……………………………………………7分 （2） 13,3k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分又因为抛物线25y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为52x =．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22， ∴125224a <-<．解得 822525a -<<-．……………………………………15分 15. 如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角是90°．点B 是 MN上一动点， BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ，试说明223PQ OA +是定值． 解：（1）证明：如图①， ∵∠AOC =90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//． ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点， ∴.,//GC AE GC AE =∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分 连接OB ， ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点， ∴ GF ∥OB ，DE ∥OB ， ∴ PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED =90°时，□EPGQ 是矩形． 此时 ∠AED +∠CEB =90°．又∵∠DAE =∠EBC =90°，∴∠AED =∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴AD AEBE BC=． 设OA =x ，AB =y ，则2x ∶2y =2y ∶x ，得222y x =．…10分又 222OA AB OB +=，即2221x y +=．∴2221x x +=，解得x =∴当OA的长为3时，四边形EPGQ 是矩形．………………………………12分 （3）如图③，连结GE 交PQ 于O '，则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线AB C ODEF GP QMN 图②A B CO D EF GPQM N图①分别交BC 、GE 于点B '、A '．由△PCF ∽△PEG 得，2,1PG PE GE PF PC FC === ∴ PA '=23A B ''=13AB ， GA '=13GE =13OA ，∴ 1126A O GE GA OA '''=-=．在Rt △PA O ''中，222PO PA A O ''''=+，即 2224936PQ AB OA =+， 又 221AB OA +=， ∴ 22133PQ AB =+，∴ 2222143()33OA PQ OA AB +=++=．……………………………………18分2012年北京市初二数学竞赛试题 ．选择题(每小题5分，共25分)．方程|2x －4|＝5的所有根的和等于( )．A ．－0.5B ．4.5C ．5D ．4．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝ax ＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y ＝ax ＋24上的点的坐标是( )．A ．(3，12)B ．(1，20)C ．(－0.5，26)D ．(－2.5，32)．两个正数的算术平均数等于，则期中的大数比小数大( )．A ．4B．C ．6D ．．在△ABC 中，M 是AB 的中点，N 是BC 边上一点，且CN ＝2BN ，连接AN 与MC 交于点O ，四边形BMON 的面积为14cm2，则△ABC 的面积为( )．A ．56cm2B ．60cm2C ．64cm2D ．68cm2．当a ＝1.67，b ＝1.71，c ＝0.46时，222121a ac ab bc b ab bc ac c ac bc ab++--+--+--+等于( )．A ．20B ．15C ．10D ．5.55 ．填空题(每小题7分，共35分)．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，则在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿个质数． ．△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝9cm ，BC ＝13cm ，自A 分别作∠C 平分线的垂线，垂足为M ，作∠B 的平分线的垂线，垂足为N ，连接MN ，则AMNABCS S ∆∆=＿＿＿＿．．实数x 和y 满足x2＋12xy ＋52y2－8y ＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿． ．P 为等边△ABC 内一点，AP ＝3cm ，BP ＝4cm ，CP ＝5cm ，则四边形ABCP 的面积等于＿＿cm2．B'N MA'QP O'GF E D C BA O 图③(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a，b ，c ，222()()()()()()()()()a b c b c a c a b a c b c b a c a c b a b +-+-+-++------是常数．(满分15分)．已知正整数n 可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n 的最小值．(满分15分)．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝70°，P 为形内一点，∠PAB ＝40°，∠PBA ＝20°，求证：PA ＋PB ＝PC ．2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 1、下列运算正确的是（ ）A ．x 2‧x 3=x 6B ． 2x +3x =5x 2C ．(x 2)3=x 6D ． x 6÷x 2=x 32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ） A ．129 B ．120 C ．108 D ．963、实数a ＝20123－2012，下列各数中不能整除a 的是（ ） A ．2013 B ．2012 C ．2011 D ．20104、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（ ）A ．251B ．252C ．256D ．25245、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）P CBA图16、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为 A ．321 x ≤≤ B ．321 ＜x ≤ C ．321x ＜≤ D ． 321＜x＜7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（ ）A ．S L 4212-B ．S L 2212-C ．S L 4221-D ．2421L S -8、如图2，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处， 且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ）①△CEF 是等腰三角形 ②四边形ADFE 是菱形③四边形BFED 是平行四边形 ④∠BDF +∠CEF ＝2∠AA ．1B ．2C ．3D ．4 9、如图3，直线x ＝1是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有A ．a ＋b ＋c ＝0B ．b ＞a ＋cC ．b ＝2aD ．abc ＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（ ）A．甲板能穿过，乙板不能穿过 B ．甲板不能穿过，乙板能穿过 C ．甲、乙两板都能穿过 D ．甲、乙两板都不能穿过 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122++xy x 的值为__________. 12、一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++-b b a 得________.13、若x=－1是关于x 的方程a 2x 2+2011ax －2012=0的一个根，则a 的值为__________. 14、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）．15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．16、如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．17、如图7，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是________. 18、如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，图3 图4AB C D E F 图2图7 A B C D E图5 F 图6 l B ＇ D ＇C DG把∠B、∠D分别沿CE、AG翻折，点B、D分别落在对角线AC的点B＇和D＇上，则线段EG的长度是________.三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：（1）如图9（1），当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；（2）如图9（2），当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2；（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）图9 （2）图9（1）MNQAB CDP79、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a ＋b ＋c ＜0,当x=-1时有a-b ＋c ＞0,即a ＋c ＞b,即b ＜a ＋c ，函数的对称轴为12=-=ab x ，则b ＝－2a ，因为抛物线的开口向上，所以a ＞0，抛物线与y 轴的交点在负半轴，所以c ＜0，由b ＝－2a 可得b ＜0．所以abc ＞0，因而正确答案为D 10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm ，BC=10cm ，∠C=60°，过点A 过AE//CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F ，可求得AB=36cm ＞8.5cm ，BE=35cm ＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC 中，顶角∠A=45°，作腰上的高线BD ，可求得BD=26cm ＜8.5cm ， 所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、 45- 12、a +1 13、 a 1=2012, a 2=－1 14、4815、41单位面积 16、3个 17、85° 18、1017、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC=∠EAC ，因为，∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°， 所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°18、分析：AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，可求得AC=5cm ，由题意可知C B ＇=BC=3cm ，A B ＇=2cm 设BE=x ，则AE=4-x ，则有(4-x )2-x 2 =22,x =1.5cm ，即BE=DG=1.5cm ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，则 可求出EF=1 cm ，所以EG=103122=+三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分. 解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：1)601301(=+x ，解得：x =20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：16010301=+⨯y ，解得y =40 。
2012年全国初中数学联合竞赛试题
这样的四位数共有 A ． 36 个
B． 40 个
C． 44 个
D． 48 个
（）
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）
得分 评卷人
本题共有 4 个小题，要求直接将答案写在横线上 .
）
题
答
要
1
1
1
1．已知互不相等的实数 a,b, c 满足 a
b
c
t ，则 t _________ ．
b
c
a
不 内
线
订
装
2．使得 5 2m 1 是完全平方数的整数 m 的个数为
．
封
密
（
BC
3．在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，∠A ＝ 40°，P 为 AB上一点，∠ ACP ＝20°，则 ＝
．
AP
4． 已知实数 a, b, c 满足
a
b
c
4
abc
1， a b c
4， a2
3a 1
b2
3b 1
c2
3c 1
于点 F，连接 BF 并延长与线段 DE交于点 G，则 BG的长为
（）
校 学
6
A．
3
5
B．
3
26
C．
3
25
D．
3
4． 已知实数 a, b 满足 a 2 b 2 1 ，则 a 4 ab b 4 的最小值为
1
A．
8
B．0
C．1
9
D．
8
（）
）
县
、
区
（ 市
2012 年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
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2012全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准(湖南卷)
中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．B 5．D二、填空题 6．8 7．7＜x ≤19 8．8 9．32-10．223 三、解答题11．解： 因为当13x -<<时，恒有0y <，所以 23420m m ∆=+-+>（）（）， 即210m +>（），所以1m ≠-． …………（5分）当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即 2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0， 且233(3)2m m ++++≤0， 解得m ≤5-． …………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得 ()121232x x m x x m +=-+=+，． 因为1211910x x +<-，所以 121239210x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．因此12m <-． …………（20分）12．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以 AB = 10．由勾股定理，得 BO6=.易知△ABO ≌△ACO ， 因此 CO = BO = 6.于是A （0，－8），B （6，0），C （－6，0）. 设点D 的坐标为（m ，n ），由S △COE = S △ADE ，得S △CDB = S △AOB . 所以 1122BC |n |=AO BO ， 1112()8622n ⨯-=⨯⨯， 解得n =－4. 因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为（3，－4）. …………（10分） 因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△A BC的重心，所以点E 的坐标为），（380-. 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y =a （x －6）（x +6）. 将点E 的坐标代入，解得a =272. 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 228273y x =-. …………（20分） 13． 证明：连接BD ，因为OB 为1O 的直径，所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =，所以△CBE 是等腰三角形． …………（5分）设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =，所以 22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠． …………（15分）又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以△BOC ∽△1DO F ． …………（20分）14．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）.因为 (a +b )2－4ab = (a －b )2，所以 (2a －m )2－4n 2 = m 2，(2a －m +2n )(2a －m －2n ) = m 2. …………（5分）因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m +2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以2a －m +2n =m 2，2a －m －2n =1.解得:a =2(1)4m +，n =214m -. 于是 b = a －m =214m -（）. ………（10分） 又a ≥2012，即2(1)4m +≥2012. 又因为m 是素数，解得m ≥89. 此时，a ≥41)(892+=2025. 当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =.因此，a 的最小值为2025. …………（20分）。
2012年初中数学联赛深圳市初赛答案
10．已知 y 1 8sin 2sin ， 0 90 ，则 y 的最大值与最小值的和是（ A，
）
9 1 3 7 ； B， 3 ； C， 3 ； D ， 4 2 4 4
5
10．解答：设 x 1 8 sin ，则： x 0 ， sin
x2 1 ，且 1 x 3 。 8
y x
x2 1 1 5 2 x 2 。 4 4 4
1 x 22 5 在 1 x 3 的图像知： 4 4 5 当 x 2 时，有最大值 y max 。 4
作出函数 y 当 x 1,3 时，有最小值 y min 1 。
2 2 2 2
C(x,y)的坐标满足（ ） A. x > 0； B. x < 0； C. x = 0； D. 不确定。
2
Y
A
0,a
(0，a)
X
B
O
D
d,0
(b，0) b,0 Nhomakorabea(d，0)
C (x，y)
x,y
第 5 题图 5 解答：如图所示，由于 ABCD 是凸四边形，故 b d ， y 0 。根据勾股定理知
P （摸到的球的号码数既不是 3 的倍数，也不是 7 的倍数）=
57 。选 D. 100
4 ． 若 凸 n 边 形 A1 A2 A3 An （ n 为 正 整 数 ） 的 每 个 内 角 都 是 30 的 倍 数 ， 且
A1 A2 A3 90 ，那么， n 的可能取值的个数有（
参考答案
题号 答案 题 号 答 案 1 C 11 12 12 2 B 3 D 13 6020 4 C 14 5 C 15 6 D 16 2 7 A 17 6 18 99 、 4900、 4901 8 B 9 B 19 5 20 10 A
2012年全国初中数学联赛试卷
2012年全国初中数学联赛试卷一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）223．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接．C D．2244．．5．（7分）若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所C．6．（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=_________．8．（7分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为_________．9．（7分）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=_________．10．（7分）已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2= _________．三、解答题（共3小题）11．（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．12．（25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．13．（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．2012年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）﹣b=﹣﹣=，=+，=+1=＜＜，＜＜，22，3．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接．C D．DE=DE=．，=．2244．．≤，﹣+≤时，时，﹣（﹣）+×+﹣，，或a=﹣5．（7分）若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所C．然后利用得到有关+﹣=[+﹣（+）得=4﹣（），﹣（﹣．6．（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=±1．=t，b+=t=t，=t，得：=t=t，时，﹣时，a+8．（7分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为1．或9．（7分）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=．BCBAE=PAsin60=AP==故答案为：10．（7分）已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2=．，同理可得：，=+，+=，=，即整理得：，=故答案为：三、解答题（共3小题）11．（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．∴只可能是或或，三角形的外接圆的面积为12．（25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．13．（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．中，，的横坐标为：﹣=3b，纵坐标为：b的坐标为是一元二次方程，．，即，．代入，解得（另一解舍去）∴抛物线的解析式为。
全国初中数学联合竞赛试题及答案详解
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ C ）A ．103a b <+≤.B ．113a b <+≤.C ．413a b <+≤.D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，12320092010a a a a a +++++=（ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. NCA又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC. 又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<. 又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=. 所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+. 易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m -++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾.因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．（B）12 （C）13 （D）143．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值范围是（）．（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．12. 求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题）14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.2012-04-16 人教网2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题1．D解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，tan， tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc ca a b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）．（A ）2222(2)0c x b ac x a +-+=（B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12b x x a+=-，12cx x a=，且120x x ≠，所以0c ≠，且221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ． 因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：（第3题答题）（第4题答题）（第3题）（第4题）()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967 （B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=-，因此33(2)9b +==．7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最（第7题答题）（第7题）大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC ∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．抛物线223yx x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝CE ，BE ＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
2012年全国初中数学竞赛福建赛区获奖学生及指导教师名单
阙开煜
李昱丞
同安一中
李葵阳
蒋书凝
泉州实验中学
王冠
林波阳
泉州实验中学
叶荣川
涂常和
晋江南区中学
张国强
王昕韬
泉州现代中学
张建南
叶栋梓
厦门市汀溪中学
陈清同
杨均晖
泉州实验中学
吕海斌
姚璐
永春华侨中学
王月真
黄玲玲
泉州现代中学
张建南
吴书涵
泉州实验中学
杨伟纯
谢树珏
永春华侨中学
谢雅礼
祝梦超
泉州实验中学
王冠
赵育君
厦门一中
黄晚玉
卓若凡
长乐朝阳中学
陈锦秀
陈董泽
漳浦英才学校
林大元
董惠清
福鼎太姥山中学
方光德
方啸
霞浦一中
罗惠青
胡哲扬
诏安一中
许美妹
黄树东
南靖实验中学
庄响全
林琼宇
建阳二中
李 敏
孙黄铄
东山二中
陈进喜
吴岳展
南靖实验中学
解勇
张世杰
古田新城中学
李建法
林维贵
宁德树德中学
申敏陆
吴军
南靖实验中学
李勤
张介宇
宁德蕉城中学
王瀚枢
泉州第三中学
洪伟红
林吴曦
仙游私立一中
陈勇辉彭书浩泉来自实验中学刘联车刘佳芸
泉州实验中学
吴剑滨
许景毅
泉州现代中学
张建南
杜泽虎
泉州实验中学
吴剑滨
何宇杰
泉州实验中学
李瑞平
林锦坤
泉州现代中学
2012年全国初中数学竞赛
且 口 是完全平方数．当口 １ 时 ， 口的 ６ ≥２ ２ 求 ０ 最小值．
Ｂ 凸 ｎ边 形 中 最 多有 多少 个 内角 等 于 ．
１０ ？并说 明理 由． ５。
的两个实数根的倒数和小于 一 ． ｍ的取 求
值 范 围． Ｂ ．如 图 ７ 在平 面直 角 坐标 系 ｘ ｙ中 ， ， Ｏ
（ （ ，） Ａ） ２ ３
Ｂ 若关 于 的方程 ．
一 一
ｑ＝ （ ｇ是正 整数 ） ０ Ｐ、
） ．
（ （ ， ２ Ｂ） ３ 一 ）
的正 根 小 于 ３ ，则 这 样 的 方 程 的 个 数 是 （ ） ．
（ ５ Ａ） （ ） Ｂ６ （ ７ Ｃ） （ ８ Ｏ）
（ ） 一 ，） Ｃ （ ２３
中 等 数 学
２ １ 年 全 国 初 中 数 学 竞 赛 ０２
中圈分类号 ： ， ４ ７ Ｃ ２ ．９ ４ 文献标识码 ：Ａ 文章 编号 ：１０ ６ １ ２ １ ） ５— ０ ０— ９ ０ ５— ４６（ｏ２ ｏ ０ ２ ０
一
、
选 择题 （ 每小题 ７分 ， ３ ） 共 ５分
（ ） （） Ａ ｌ Ｂ
内心．证 明 ： （１） ． 的切线 ； （ Ａ ＋Ａ ２） Ｂ Ｄ
＝
２＋ ｌ —１ √ ２
：＋ ： ． １士 ， ／ ｆ
√ ２＋１
口 ５．＝・ ＝ ｂ ６ －
是 解 方程组
Ｃ
△ ＩＤ的 外 接 圆 Ｂ
｛’ 二得
图９
２ ＢＤ．
２１ ０ ２年第 ５期
个面上的数字分别是 １２ ３ ４ ５ ６ 掷两次 、 、 、 、 、． 骰子， 设其朝上的面上的两个数字之和除以
４的余数分别是 ０ １２ ３的概率为 Ｐ 、 。 、、、 ｏＰ 、
2012年下学期七年级数学竞赛试题答案
2012年下学期七年级数学竞赛试题及答案时量：120分钟 满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分） 1. a b c -+的相反数是（ C ）A.a b c -+B.b a c -+C.a b c -+-D.a b c +-2. 已知数轴上三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、1-，那么1a +表示（ B ）A.A 与B 两点的距离B.A 与C 两点的距离C.A 与B 两点到原点的距离之和D.A 与C 两点到原点的距离之和3. 在()23-，22-，2-，()31-，2--，()211n n --（为正整数）这六个数中，负数有（ A ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4. 小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为A ，B ，B=32x y -，求A+B 的值．”他误将“A B +”看成了“A B -”，结果求出的答案是x y -，那么原来的A B +的值应该是（ D ）A ．43x y +B ．2x y -C ．2x y -+D ．75x y -5. 如图是用棋子摆成的“H ”字，按这样的规律摆下去，摆成第10个“H ”字需要（ C ）个棋子.A.50B.51C.52D.53 6. 一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加%a ，则所用的时间减少%b ，则a ，b 的关系是（ D ） A.1001%a b a =+ B.1001%b a =+ C.1a b a=+ D.100100a b a=+7. 方程12233445x xx x ++++⨯⨯⨯⨯ (201220122013)x+=⨯的解是（ A ）A.2013x =B.2012x =C.2011x =D.1x =8. 9点12分时，时钟的分针和时针的夹角（小于180°的角）为（ C ）A.150°B.154°C.156°D.162°9. A 站与B 站之间还有3个车站，那么往返于A 站与B 站之间的车辆，应安排多少种车票？（ B ）A.4B.20C.10D.910. 希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是（ C ）A ．被调查的学生有200人B ．被调查的学生中喜欢教师职业的有40人C ．被调查的学生中喜欢其他职业的占40%D ．扇形图中，公务员部分所对应的圆心角为72° 二、选择题（每小题4分，共32分）11. 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则化简a a b b c b c --+-++＝b 12. 国务院总理温家宝在政府工作报告中指出，我国2011年国内生产总值47.2万亿元．47.2万亿元用科学记数法表示为为：134.7210⨯ 元． 13. 已知235x y -=，用含有x 的代数式表示y ，得253x y -= ；用含有y 的代数式表示x ，得352y x +=. 14. 已知235x x +-的值为7，则2293x x --的值为34- .15. 如果规定运算a ※b =2ab a b +++，那么x ※3=1中的x =1- ． 16. 若关于x 的方程243x m -=和2x m +=有相同的解，则m 的值是8- . 17. 27.24︒=27 度14 分24 秒，108°21′36″=108.36 度．18. 如图是七年级（1）班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图．如果参加外语兴趣小组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是 5 人．5三、解答题（共58分） 19. （6分）计算：()()420051481221349-÷⨯--+-+-解：原式=4481161399-⨯⨯--+=161613---+ =30-20. （8分）如果单项式2amx y 与235a nxy --是关于x 、y 的单项式，且它们是同类项. （1）求()2013413a -的值；（2）若23250a a mx y nx y -+=，且0xy ≠，求()201325m n +的值.21. （8分）为庆祝建党91周年，某中学开展了“红诗咏诵”活动，九年一班为推选学生参加此项活动，在班级内举行一次选拔赛，成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，并将收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中所给出的信息，解答下列各题：（1）求九年一班共有多少人； （2）补全折线统计图；（3）在扇形统计图中等极为“D”的部分所占圆心角的度数为___________ （4）若等级A 为优秀，求该班的优秀率．22. （8分）一队学生从学校步行前往国家历史博物馆参观，速度为5km/h ，走了1小时后，一名学生回学校取东西，他以7.5km/h 的速度回到学校，取了东西后立即以同样的速度追赶队伍，结果在离博物馆2.5千米处追上队伍，求学校到博物馆的距离．23. （8分）有这样一道题：“当2x =-，23y =时，求221312323m x x y x y ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值”．在做此题时，小刚把2x =-看成了2x =，但结果也正确，已知计算过程无误，求m 的值．24. （10分）小马在解方程21132x x a -+=-．去分母时，方程右边的1-忘记乘6，因而求得的解为2x =，试求a 的值，并正确解这个方程．25.（10分）如图，已知∠AOC与∠AOB互为补角，OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，且∠MON=35°，求∠COB的补角和∠AON的余角．。
2012年四川省初中数学联赛决赛(初二)
ＰＮ ＝８Ｅ ＝１ ．
＝
５ 一ｍ ＋ＳＡＲＣ Ｕ．
Ｆ Ａ ｈＡ ＮＴ６ ￣ Ａ Ｂ， Ａ ， ９ Ｅ Ｎ＝ ５
．
故Ｓ ｃ ＝ｍ＋ｒ＝ ／ ３． ，
６ Ａ． ．
则 Ａ＝ ． ＝ ÷Leabharlann ＰＳ￣梯形
Ａ Ｎ Ｏ Ｍ
＝
注意 到 ，
１
＋
ＡＮ 丽 Ｍ ＋ 否＝３ Ｄ
片 Ａ Ｃ 中， ＢＤ Ｅ为 Ｂ Ｃ的 中点 ， 折叠正 方形使 点
与 Ｅ重 合， 压平后折痕
为 ＭＮ 则梯 形 Ａ ＭＮ与 Ａ ． Ｄ
梯形 Ｂ ＭＮ面积 之 比为 Ｃ
Ｎ Ｂ
则（
） ．
图３
三 、２ （０分 ） 已知
（ ａ＋ ｂ一１ ＋Ｉ ３ ＋１ ＝ ． ３ ５ ） 口＋ ６ ０ ｌ
３ 若 戈一１是 。 麟 ＋１的因式 ， 口的 ． ＋ 则
的值一定 （ ） ． （ 大于 ０ Ａ） （） 于０ Ｂ等 （） Ｃ 小于 ０ （） Ｄ 大于或等于 ０ ４ 已知 、 不等 于 ０ 若 ． Ｙ都 ．
Ｉ ＋ｙｌ＝ Ｉ ｌ— Ｉ， ｌ ｌ ）Ｉ ，
值是 ． ４ 如 图 ３ 正方 形纸 ． ，
＋
８
＝
一
＋ 丽
＝６ ＋
＋ 丽
．
一＿ 丁 ＝
二 、 ２ ． １． ４。
Ｄ
由正五边 形 和正六边 形 的内角大 小知
Ａ／ ＝１ ８。． ＨＩ ＝１ ０。 Ｄ ０ Ｄ ２ ．
．
因此 ， Ａ Ｈ＝１２ ． ／ ３。
又△ Ａ － Ｈ 是等腰三角形 ， ／ 故
图４
４． Ｃ．
由题意有
徐闻县2012年初中数学教学能力大比武的赛后反思(徐闻县第一中学)
反比例函数图象和性质（2）教学反思
一、本节课优点
1、复习引入时能够结合反比例函数图象，使学生对性质从数到形的认识，突出本节课重点。
2、利用一题多解，培养学生发散性思维。
在引例的探究中，引导学生用多种方法求解，对比不同解题方法，从而使学生发现结合函数图象解题不容易出错，体会数形结合法解题的优点。
3、遵循学生认识规律，设计时题目由易到难。
从两个点在图象的同一支上到在图象上的任意两点，培养学生灵活分析问题，解决问题能力。
二、存在不足
1、由于讲课比赛过程中比较紧张，所以在讲完例4以后没有及时对例题进行变式探究。
2、备课中设计当堂检测题时，用数形结合法解题的题目稍少些，使学生只是体会但练得不够。
总之，通过参加这次讲课比赛，本人感觉收获很多。
更希望经过这一节课写教学反思，在今后的教学中，也能做到每节课都记下优点和不足。
2012年全国初中数学竞赛试题
2012年全国初中数学竞赛试题考试时间 2012年3月18日 9:30-11:30 满分150分答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.如果实数a ，b ，ca b b c +++可以化简为（ ）A .2c -aB . 2a -2bC . –aD .a2.在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）A .10B .9C . 7D .53.如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形.∠ADC =30°，AD =3，BD =5，则CD的长为（ ）A .B .4C .D .4.5(第1题图)BADC4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）A .1B .2C .3D .45.黑板上写有1111,,,,23100⋅⋅⋅共有100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a+b+ab ，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A .2012B .101C .100D .99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是____________.7.如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点.以OA 为对角线作矩形OBAC ，且OC =12.延长BC ，与⊙O 分别交于D ,E 两点，则CE -BD 的值等于___________.8.如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，那么2011120122x x 的值为_______________.9.2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为_____________.10.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD =DC .分别延长BA ,CD ,交点为E .作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线交于点F .若AE =AO ,BC =6，则CF 的长为___________.(第6题图)AB OCED(第7题图)三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，AO =8，AB =AC ，sin ∠ ABC =45.CD 与y 轴交于点E ，且C O E A D E S S ∆∆=.已知经过B ,C ,E 三点的图像是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.12.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ,BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB +AD =2BD .13.已知整数a ，b 满足：a -b 是素数，且ab 是完全平方数.当a ≥2012时，求a 的最小值.14.将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a ，b ，c （可以相同）使得ba c =，求n 的最小值.IABDOC2012年全国初中数学竞赛试卷答案（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c a b b c ++可以化简为（ C ）A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以()()()a b b c a a b c a b c a +++=-+++--+=-2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ B ） A ．10 B ．9 C ．7 D ．5解：由题设2222x y x y +≤+，得220(1)(1)2x y ≤-+-≤．因为x ，y 均为整数，所以有22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩，01x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩以上共计9对()x y ，3．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ B ）A ．23B ．4C ．52D ．4.5 解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ．由于AC = BC ，CD = CE ，BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ． 又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒． 在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE 4=，所以CD = DE = 4．4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数．由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩．消去x 得，(27)4y n y -=+，(27)1515212727y n y y -+==+--． 因为1527y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15．y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1． 所以 x 的值分别为14，7，6，7．5．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ）A ．2012B ．101C ．100D ．99解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)(1)(1)(1)23100x +=+++⋅⋅+ ， 解得，1101x +=，100x =．二、填空题（每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 719x <≤ ．解：前四次操作的结果分别为32x -，3(32)298x x --=-，3(98)22726x x --=-，3(2726)28180x x --=-．由已知得，27264878180487x x -≤⎧⎨->⎩．解得719x <≤．容易验证，当719x <≤，32487x -≤，98487x -≤，故x 的取值范围是719x <≤．7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为16OB ==，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===，366455CM BM ===，．z CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 32-．解：根据题意，关于x 的方程有22394(3)042k k k ∆=--+≥，由此得2(3)0k -≤．又2(3)0k -≥，所以2(3)0k -= ，3k =．此时方程为29304x x ++=，解得1232x x ==-．故20111201222123x x x ==-9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 8 ．解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知 23130a b +=．由此得043b ≤≤．又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++．于是0130(1)(2)43b m m ≤=-++≤，87(1)(2)130m m ≤++≤． 由此得8m =或9m =． 当8m =时，40b =，5a =； 当9m =时，20b =，35a =，5522a b a +>=．不合题设．故8m =． 10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作BF E C ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 223 ．解：如图，连接AC ，BD ，OD ．由AB 是⊙O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=︒．依题设90BFC ∠=︒，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， 所以BCF BAD ∠=∠．所以Rt BCF Rt BAD △∽△，因此BC BACF AD=．因为OD 是⊙O 的半径，AD CD =， 所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥，于是2DE OEDC OB==． 因此223DE CD AD CE AD ===，． 由AED CEB △∽△，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA =．故AD CF BC BA =⋅==． 三、解答题（每题20分，共80分）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10．由勾股定理，得6BO ==．易知ABO ACO △≌△， 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，． 设点D 的坐标为()m n ，． 由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△． 所以1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯． 解得 4n =-．因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，． 因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△A BC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+． 将点E 的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-．12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心．求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=． 解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ． 同理，CI = CB ． 故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ， 所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． （2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由 BCCD =，知OC ⊥BD ． 因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．13．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．解：设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是正整数）．因为 22()4()a b ab a b +-=-，所以 222(2)4a m n m --=，2(22)(22)a m n a m n m -+--=．因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--（m 为素数)， 所以 222a m n m -+=，221a m n --=．解得2(1)4m a +=， 214m n -=．于是214m b a m -=-=（）．又2012a ≥，即2(1)20124m +≥． 又因为m 是素数，解得89m ≥． 此时，2(891)4a +≥=2025．当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =． 因此，a 的最小值为2025．14．将23n ， ， ，（2n ≥）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b ac =，求n 的最小值．解：当1621n =-时，把23n ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+- ， ， ， ， ， 和{}84521- ， ， ， ．在数组{}88162322121+- ， ， ， ， ， 中，由于38821632221<>-（，），所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 在数组{}84521- ， ， ， 中，由于48421>-， 所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 所以，162n ≥． 下面证明当162n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组，8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时ba c =；如果8在第二组，我们取16482abc ===，，，此时ba c =． 综上，162n =满足题设条件． 所以，n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．。
2012～2013学年八年级数学竞赛试题
2012～2013学年度八年级数学竞赛试题一、选择题（本大题共8个小题；每小题3分，共24分） 1、下列计算错误的是（ ）A 、253--=⋅a a aB 、326a a a =÷C 、33323a a a -=-D 、()1210=+-2、若把分式yx xy+2的x 、y 同时扩大3倍，则分式值（ ） A 、扩大3倍 B 、缩小3倍 C 、不变 D 、扩大9倍3、有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0。
其中错误的是（ ）A 、 ①②③B 、 ①②④C 、 ②③④D 、 ①③④ 4、在同一直角坐标系中，函数y=kx-k 与(0)ky k x=≠的图像大致是（ ）5、同一坐标系中直线1y k x =与双曲线2k y x=无公共点，则12k k 与的关系是（ ） A 、一定同号 B 、一定异号 C 、一定互为相反数 D 、一定互为倒数 6、直线与1y x =-两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）。
A 、4个 B 、5个 C 、7个 D 、8个7、已知25x =2000, 80y =2000，则y1x 1+等于（ ） A 、2 B 、1 C 、21D 、238、如图14—15所示，有一矩形纸片ABCD ，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC交于点F ，则△CEF 的面积为( )A.4B.6C.8D.10二、填空题（本大题共8个小题；每小题3分，共24分）9、若分式2)2)(4(--+x x x 的值为零，则x ＝ 。
10、已知并联电路中的电阻关系为1R =11R +21R ，那么R 2=________（用R 、R 1表示）。
2012年初中数学竞赛获奖情况
学生姓名 龙景怡 罗诗婷 马芷豪 刘敏豪 乡智洋 关世裕 林沛良 李嘉雯 谭宇琛 罗 致 陈静文 陈秀芳 曾瑞屏 伍志兴 梁秋雄 凌肇霆 黄君灏 李浩鹏 黎 勇 邓建彬 叶文圣 莫鸿昌 黄镇鹏 石 言 纪颖仪 韦贵红 张婉倩 雷泳茵 张志豪 孔家亮 范梓麒 林诗慧 苏梓康 谭振宇 冼长进 考生所在学校 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 四会市四会中学 肇庆市奖 四会市奖 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 贰 贰 贰 贰 贰 贰 贰 贰 贰 贰 贰 贰 贰 贰 贰 贰 叁 叁 叁 叁 叁 叁 叁 叁 叁 叁 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 壹 贰 贰 周琼 谭术明 李火妹 李火妹 王宝瑞 谭术明 李火妹 冯雄英 冯雄英 谭术明 周琼 谭术明 王宝瑞 冯雄英 冯雄英 王宝瑞 冯雄英 李火妹 李火妹 王宝瑞 谭术明 辅导老师 李火妹 王宝瑞 王宝瑞 王宝瑞 冯雄英 周琼 冯雄英 周琼 王宝瑞 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌 陆开昌
2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛
叠使点 Ｄ与点 曰 重 合 ，得 折 痕 Ｅ 则 Ｅ 的长 Ｆ 为（ ） ． （ √ Ａ）３
（ ２ Ｂ）
（ ｃ） （ Ｄ）
图２
图３
图１
９如图 ３在Ａ Ａ Ｃ中， ． ， Ｂ 已知 Ｄ 为边 Ｂ Ｃ 的中点 ， 、 Ｅ Ｆ为边 Ａ Ｂ的三等分点 ，Ｄ分别 Ａ 与 Ｃ 、 Ｆ交 于点 Ｍ、 ．则 Ａ Ｍ ： Ｄ＝ ＥＣ Ⅳ Ｍ： Ｎ Ｎ １． 平 面 内 有 一 正 方 形 Ａ Ｃ Ｍ 是 Ｏ若 Ｂ Ｄ， 该平 面 内任 意 点 ， Ｍ Ｍ Ｃ的 最 小 值 为 ￣ Ａ＋
＝ＤＥ ＝ ２ ７ ｒ． ｃ Ａ ＢＣ ＝ Ｃ ＤＥ ＝ １ ０。 ５ ，
号 码不 小 于 第 一 次 取 出球 的 号 码 的概 率 为 （ ） ．
Ｂ Ｄ＝１０ ， ｏ０ 自点 Ａ至 点 Ｅ转 动 了 Ｃ ２ 。则
周．
（÷ Ｂ （ （詈 Ａ （詈 ｃ Ｄ ） ） ） ）
ｌ ｘ～２ ＞口 ２
Ｄ＝肋＝ Ｇ丢
得 Ｅ Ｇ：￣Ｄ ２— Ｇ ／ Ｅ － ２： — Ｄ
＝＃ ， ３＇ ２ － １ － ０
．
的解集中的整数恰好有两个．求实数 口的取 值范 围．
参 考 答 案
— —
所 以 ， Ｆ＝ Ｅ Ｅ ２ Ｇ＝，ｌ ／Ｏ．
４．Ｂ．
、
１． Ａ．
三、 解答题（ 每小题 ２ 分 ， ８ 分） ０ 共 ０ ｌ． １ 已知 抛 物 线 ｙ＝ ＋ ＋，经 过 点 ｌ （ ， ）且 与 轴 交 于 （ ， ）Ｂ（ ， 两 ２ 一１ ， 口０ 、 ｂ０） 点．若 Ｐ为该抛物线的顶点， 求使Ａ Ｐ Ｂ面 Ａ 积最 小 时抛物线 的解 析式．
2012年初中数学竞赛初 二答案
2012年株洲市初中数学竞赛试题答案（初二年级）时量：120分钟 总分：100分 注意事项：1．用黑色．蓝色钢笔或圆珠笔作答；2．在密封线内答题，答题内容不要超过密封线； 3．不准使用计算器．1．点93P a -+，则点P 所在象限为（ D ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．下列各式计算正确的是 （ C ） A ． 236236a a a = B ． (-2a 2)3＝-6a 6 C ． 2a =- D ．(a －2)2＝a 2－43．某商店为了促销，决定全场按标价的6折销售，该店某商品的进价为300元，为了要保持利润率为20%，则标价应为 （ A ）元.A ． 600B ．500C ．400D ．3604．某轮船往返于A ．B 两地之间,设轮船在静水中的速度不变,那么,当水的流速增大时, 轮船往返一次所用的时间( B )（Ａ）不变 （Ｂ）增加 （Ｃ）减少 （Ｄ）增加．减少都有可能则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是（ D ） A ．15，16 B ．13，15 C ．13，14 D ．14，146．有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ D ） A ．129 B ．120 C ．108 D ．96C FDEBANMCBA7．如图为某企业标志图案，在△ABC 中，∠ACB=900，∠A=200, 将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转角α到△A ′B ′C 的位置，其中A ′，B ′分别是A, B 的对应点，B 在A ′B ′上，CA ′交AB 于D ，则∠BDC 的度数为 （ C ）A.300B.450C.600D. 10008．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，在斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN =45°．设MN=x ，BN=n ，AM=m ，则以x 、m 、n 为边的三角形的形状为（ B ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．随x ．m ．n 的值而定 二．填空题（每题 5分，共30分，请将答案填在表格内）9．已知点P 1（a-1，5）和P 2（2，b-1）关于x 轴对称，则（a+b ）2013的值为____________.-1 10．一次函数y=ax+b 的图象如图所示，则化简|1||||3|b b a a ++--+=得________.-211．关于x 的不等式组513412x x x m x ->-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的整数解的和是9，则整数m 的值是 .212．小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A ，再走下坡路到达点B ，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示．放学后，如果他沿原路返回，且走平路．上坡路．下坡（第13题图）（第12题图）A（第10题图）（第7题图）（第8题图）路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是___________分钟．20分钟13．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，D 为BC 中点， △ABC 折叠，使A 点 与D 点重合．若EF 为折痕，则 CFAF为 ．53,14. 如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，则345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝ .97300;三．解答题（本大题共4个小题，共38分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本题满分8分）已知三角形三边为a 、b 、c，且满足|24|a -2482b b a -+= ，求c 的取值范围。
2012年全国初中数学联合竞赛已于4月15日在全国各地同时举行。本次
犍为县教研室关于初中学生参加2012年全国数学联合竞赛获奖情况通报2012年全国初中数学联合竞赛已于4月15日在全国各地同时举行。
本次竞赛按四川省数学竞赛委员会的规定，分初三组和初二组同时进行。
我县九年级名学90名学生和八年级102名学生在犍为一中外校参加了由县教研室统一组织的决赛工作。
考试结束后，由教研室以及犍为一中外校教科室数学组认真组织了初评工作，后送乐山市教科所复评，最后经四川省数学竞赛委员会复评审核，仔细复查。
我县初三组宋柯锐，余少琪这2名同学获国家级一等奖，魏珂瑶同学获全国二等奖，吴迪曦，岑鑫，袁可星等8名同学获国家级三等奖，34名同学获市级奖。
44名同学获县级奖。
初二组杨媚滟同学获省一等奖，敖祥，张寒昱，张鑫洋等5名同学获省二等奖，郑诗颖，刘洪驿，周悦来等14名同学获省三等奖，39名同学获市级奖，44名同学获县级奖。
因为我县总的参赛人数较少，很多的乡镇中学没有组织学生参赛，因此与市中区还有较大的差距，现将获奖名单附后：初三组：全国一等奖（2人）学校姓名指导教师犍为一中外校宋柯锐傅维银曹明荣犍为一中外校余少琪傅维银曹明荣全国二等奖（1人）学校姓名指导教师犍为一中外校魏珂瑶傅维银全国三等奖（8人）犍为一中外校吴迪曦犍为一中外校余欣键犍为一中外校李佳卓犍为一中外校岑鑫犍为一中外校余武松犍为一中外校袁可星犍为一中外校徐翠犍为一中外校邓开伦乐山市一等奖(5人)王维业二中汪中海一中外校罗雪林龙孔中学杨根一中外校陈芋君一中外校乐山市二等奖（12人）陈杰清溪初中周柯文一中外校李瑾言一中外校王玉婷一中外校曾泳盺一中外校邹雪寒二中段冉一中外校彭诗雅一中外校胡竣议一中外校刘云一中外校张凯雄一中外校彭麟一中外校乐山市三等奖 (17人)吴鑫龙孔中学陈倩茹一中外校李忠妮一中外校夏晋一中外校刘忠睿一中外校罗洋一中外校练敏丽一中外校彭丽颖二中朱思颖一中外校吴宗键一中外校张兰琳一中外校周古月二中吴坤鑫一中外校罗江清溪初中陈艺龙孔中学余艳一中外校彭湃二中犍为县级一等奖(20人)李珂一中外校陈龙一中外校吴雯琦一中外校罗茜二中陈曦铭一中外校周子玉一中外校邓凤林龙孔中学魏朝阳龙孔中学叶茂林龙孔中学罗佳龙孔中学黄茄恒一中外校钟志恩一中外校余阳一中外校曾鑫一中外校代瑞柯一中外校邓彭华龙孔中学潘盛元一中外校王升清溪初中刘敏龙孔中学漆琦一中外校犍为县级二等奖（24人）李双江清溪初中余琳清溪初中何莎山清溪初中邓晓玲一中外校彭近伟二中宋平安一中外校杨思宇二中谢俊杰一中外校杨俊明龙孔中学赵强钢龙孔余真恒一中外校钟涛一中外校曾帅龙孔中学刘全一中外校杨德祥龙孔中学叶倩一中外校何欣霞清溪初中曾渝文龙孔中学王雨婷清溪初中曾一桐龙孔中学曾珂龙孔中学潘婷二中吴雪龙孔中学胡太彬龙孔中学初二组：四川省一等奖（1人）学生学校指导教师杨媚滟一中外校胡利琼四川省二等奖（5人）学生学校指导教师敖祥一中外校宋宏文张寒昱一中外校曾代友张鑫洋龙孔中学侯琼英税蝶一中外校吴英蔡丽霞一中外校宋远安省三等奖（14人）郑诗颖一中外校曾代友刘洪驿一中外校宋远安周悦来一中外校宋远安邱虹瑞一中外校胡利琼胡佳矿一子弟校叶建明杨又权龙孔中学万天英牛晨淇一中外校胡利琼袁凯清溪初中费恩莉李俊林一中外校王世峰黄茂绮一中外校胡利琼吕艺琳一中外校王世峰曹先军清溪初中费恩莉黄玥深一中外校王世峰陈红燕龙孔中学侯琼英乐山市一等奖（6人）胡颖雪一中外校刘娱吉一中外校王俊涵一中外校史金呚一中外校罗译清溪初中杨慧文一中外校乐山市二等奖（13人）潘莉一中外校袁航一中外校黄婧铃一中外校王澳一中外校纪梦娇龙孔中学夏文杰一中外校李超凡一中外校车金蓉一中外校谭丽坪龙孔中学喻露莎二中段满聪一中外校黄俊唏一中外校周鹏飞一中外校市三等奖（20人）李世琪一中外校李敏龙孔中学黄文涛一中外校张周扬一中外校龙思沛一中外校彭亚馨矿一子弟校余荟一中外校邱福钟一中外校邱翼二中罗宏清溪初中罗云一中外校钟倩茹一中外校高欣怡一中外校王崇宇一中外校黄林清溪初中袁崑铭一中外校温铭洪龙孔中学杨洁一中外校胡泽东龙孔中学武商乘一中外校犍为县一等奖（24人）董祝龙孔中学谢鉴一中外校段铭武矿一子弟校毛鑫龙孔中学王玉璐清溪初中陈秋林龙孔中学白钧尹二中彭琪一中外校余杭骏一中外校曾强龙孔中学邓鸿铃龙孔中学卓泽友矿一子弟校余栋汶一中外校吴玉婷清溪初中李鹏斐一中外校吴玉婷清溪初中梅瑶二中钟鸿翔二中余胜一中外校吴勇红矿一子弟校陈旭澜矿一子弟校秦棹航一中外校封美岚一中外校王洪丽龙孔中学犍为县二等奖(20人)刘芸秋清溪初中胡雅丽一中外校刘袭明一中外校周沐菡一中外校王思锐一中外校吴燕龙孔中学罗屹一中外校朱波龙孔中学段钰熊龙孔中学李成峰龙孔中学杨奕涵清溪初中岑冬梅龙孔中学廖友文龙孔中学李冬梅龙孔中学何思雨一中外校张喻芳二中杜受渊一中外校潘丽萍矿一子弟校李展忠二中黎剑波一中外校。
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2012初中数学能力竞赛∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线亲订学校姓名考号学号（笔试部分）时间：100分钟满分：120分题号一二三总分得分一、填空（每空3分，共21分）1、计算：_______．2、某班学生要栽一批树苗，若每个人分配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有_______名学生．3、已知三个合数A、B、C两两互质，且，那么的最大值为_______．4、在51个连续的奇数1、3、5、、101中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是_______．5、如图1所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BC相交于点O．已知AB5，CD3，且梯形ABCD的面积为4，则三角形OAB的面积为．6、在图2所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同的汉字代表不同的汉字．若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，则“新中国”所表示的整数是．7、若直线与直线的交点坐标是（，），则的值是．8、有一只手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4：30与准确时间对准，则当天上午手表指示的时间是10：50，准确时间应该是．二、简答下列各题（第9题5分，第10题6分，第11、12题各8分，第13、14、15题各10分，共57分，要求写出简略过程）9、若10个数据的平均数是，平方和是10，求方差．10、已知，求的值．11、在平面直角坐标系中，点P（m为实数）不可能在第几象限？12、一个正方形的纸盒中，恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（圆周率取3.14）图313、如图3所示，在△ABC中，AC＝7，BC＝4，D为AB的中点，E为AC 边上一点，且∠AED＝90°＋∠C，求CE的长．图414、某校第一届数学竞赛在1986年举行，第二届在1988年举行，第三届是在1991年举行，以后每2年举行一届。
第一届数学竞赛所在年份的各位数字和是：A1＝1＋9＋8＋6＝24。
前二届所在年份的各位数字和是：A2=1＋9＋8＋6＋1＋9＋8＋8=50问：前50届数学竞赛所在年份的各位数字和A50＝？15、已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．三、详答下列各题（每题14分，共42分，要求写出详细过程）16、A，B两地相距l25千米，甲、乙二人骑自行车分别从A，B两地同时出发，相向而行．丙骑摩托车每小时行63千米，与甲同时从A出发，在甲、乙二人间来回穿梭（与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回），若甲车速每小时9千米，且当丙第二次回到甲处时（甲、丙同时出发的那一次为丙第0次回到甲处），甲、乙二人相距45千米．问：当甲、乙二人相距20千米时，甲与丙相距多少千米？17、3个三位数乘积的算式，（其中a＞b＞c）在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的．问：原式中的是多少？18、对干自然数a，S a表示a的各位数字之和．求同时满足下列条件的所有的自然数：（1）a为奇数，且不是3的倍数；（2）＝m＜50，m为自然数．2012初中数学能力竞赛笔试部分参考答案一、填空题号12345678答案241162643159200811:10【解析】1、一般地，故原式2．2、首先k是小于9的自然数，由盈亏问题，人数为3839k名，根据整除性，41是质数，约数只有1、41，那么k8，人数为名．3、，为使得三个合数的和最大，只需一个数尽可能大，其它两个数尽可能小，得到44915731626．4、由于135871936，相差1949193613，不管把哪些数加上偶数，总的所加的和为偶数，不是奇数13，所以44个奇数相加不可能成立，43个可以是：35783851011949．5、如图，根据梯形中的蝴蝶定理得到三角形OAB的面积为．6、首先考虑两位数乘以三位数得到的积为四位数，那么首位的乘积加上进位后也不能向前进位；再者48乘以21也要进位，故三位数的首位为1；第三，三位数的末位可以是2、6、7、9，试填十位上的数字，得到481597632．7、，解得，所以，，因此=2008．8、设标准时间经过了小时，则，解得6小时40分．二、简答题9、解：，，则方差是．10、解：由非负性可得：，，原式=．11、解：（1）当时，有或，所以或，因此或，即P经过第一、四象限．（2）当时，有或，所以，因此，即P经过第四象限．综合得，P不经过第二象限．12、解：圆柱的高与底面直径都等于正方体的边长，即6.28＝3.14×边长×所以，即纸盒的容积是8立方厘米．13、解：作BF∥DE交AC于F，作∠ACB的平分线交AB于G，交BF于H则∠AED＝∠AFB＝∠CHF＋∠C图4-答案图解∵ ∠AED＝90°＋∠C，∴∠CHF＝90°＝∠CHB又∠FCH＝∠BCH，CH＝CH∴△FCH≌△BCH，∴CF＝CB＝4，∴AF＝AC－CF＝7－4＝3∵AD＝DB，BF∥DE，∴ AE＝EF＝1.5，CE＝5.5．14、解：按所给的规律，前50届在20世纪内有7次赛事，在21世纪内有43次赛事．在20世纪内，已知A2＝50，其余5届年份各位数字的和是：5×(1＋9＋9)＋(1十3＋5＋7＋9)＝95＋25＝120；从而A7＝A2＋120＝170在21世纪内的前45届年份的数字和是：2×45＋(1＋2＋3＋…＋8)×5＋(1＋3＋5＋7＋9)×9＝495，前43届年份的数字和是：495－2－8－7－2－8－9＝459，于是A50＝170＋459＝629．15、解：（1）令，即可得；（2）比较两边系数，因为，所以；（3）再令，可得，与（1）中的结论相减再除以2，即可得．三、解答题16、解：先求乙的速度，设乙的速度为甲的K倍，丙与乙相遇时甲行S千米，则这时丙行7S千米，乙行KS千米，于是7S＋KS＝125 ①这时甲丙相距6S（＝7S－S）千米，丙第一次回到甲处时，甲又向前行6S＋(7＋1)＝S（千米），丙行S×7（千米），乙行S×K（千米），所以甲、乙相距S×7－S×K＝S(7－K) ②即（将①代入②消去S）×125（千米）③【注】③中的125，如果改成其他数（例如A、A两地原来相距250千米）．推导完全一样，于是，在丙第二次回到甲处时，甲、乙相距××125（千米）④（推导与上面完全一样，只是125千米换成了×125千米）根据已知条件：××125＝45 ⑤，即：⑥ 于是（只取正值）⑦，从而K＝，即乙的速度是每小时：×9＝7（千米）当丙第三次回到甲处时，甲、乙相距×45＝××45＝×45＝27（千米）．丙第四次回到甲处时，甲、乙相距×27＝＜20（千米）．因此，甲、乙相距20千米发生在丙第四次回到甲处之前，即他们都应从丙第四次回到甲处这事往回倒退．由于20－＝，而甲、乙速度之比是9∶7，所以甲应退×，丙的速度是甲的7倍，所以丙应退甲的7倍．从而在甲、乙相距20米时，甲丙相距××(1＋7)＝（千米）．17、解：考虑除以9的余数，我们用x ≡ y (mod9)表示x，y除以9的余数相同，也就是x－y是9的倍数，读作x与y模9同余，熟知一个自然数与它的数字和模9同余，所以234235286≡2＋3＋4＋2十3＋5＋2＋8＋6 ≡ 8(mod 9)≡ (a＋b＋c)3(mod 9)，于是(a＋b＋c)3 ≡ 8(mod 9)从而（用a＋b＋c≡0，1，2，…，8代入上式检验）a＋b＋c ≡ 2，5，8(mod 9)①对a进行讨论如果a＝9，那么b＋c≡2，5，8(mod 9) ②，又c×a×b的个位数字是6所以b×c＝4×1＝7×2＝8×3＝6×4其中只有(b，c)＝(4，1)，(8，3)符合②，经检验只有983×839×398＝328245326 符合题意如果a＝8，那么b＋c≡3，6，O(mod9)③，又b×c＝2×1＝4×3＝6×2＝7×6＝7×1，其中只有(b，c)＝(2，1)，符合③．经检验＝921，不合题意如果a＝7，那么b＋c≡4，7，1(mod9) ④，又b×c＝4×2＝6×3，其中没有符合④的b、c如果a≤6，那么＜700×600×500＝210000000＜222334586，因此这时不可能符合题意．综上所述，＝983是本题唯一的解．18、解：如果a是一位数，那么（2）显然满足(＝1)，由（1），a＝1，5，7如果a是两位数，设十位数字为x，个位数字为y，则，由于a不是3的倍数，所以Sa也不是3的倍数．但＝m是自然数，所以是自然数，即9x 被x＋y整除．因为S a＝x＋y不是3的倍数，即x＋y与9互质，所以x被x＋y 整除．但a是奇数，所以y≠0，x＜x＋y，x不可能被x＋y整除，因此a不可能是两位数．如果a是四位以上的数，设a＝1000x＋100y十10z＋u，其中y，z，u 都是数字，x是自然数，则Sa≤x＋y＋z＋u，由（2），1000x十100y＋10z ＋u＜50(x＋y十z十u)．于是950＜950x＋50y＜40z＋50u＜400＋500＝900矛盾，因此a不可能是四位以上的数．如果a是三位数，设a＝100x＋10y＋10z，x、y、z都是数字，x≠0，则S a＝x＋y＋z，m＝．与前面的推理相同，是奇数，而且由于m＜50，所以＜＜5，从而，＝1或3 ①，以下分两种情况来求①的解：(a) 10x－z＝x＋y＋z，即 9x＝y＋2z ②在x＝1时，由②可得z＝1，y＝7或者z＝3，y＝3（注意a为奇数，所以z 是奇数），其中第一组得出a＝117是3的倍数不合要求．在x＝2时，由②可得z＝5，y＝8（不合要求）；z＝7，y＝4；z＝9，y ＝0．在x＝3时，由②得x＝y＝9不合要求．由于y＋2z≤9十2×9＝27，所以x不可能大于3(b)10x－z＝3(x＋y＋z)，即 7x＝3y＋4z同样，令x＝1，2，…，9，逐一检验，得出x＝4时，z＝7，y＝0；z＝1，y＝8．x＝6时，z＝9，y＝2，于是本题的解为：1，5，7，133，247，209，407，481，629．。