新高考总复习 数学 第二章 函数 第3节 函数的奇偶性与周期性 习题

多维层次练9

[A级基础巩固]

1．(多选题)(2020·广东肇庆检测)下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是()

A．y＝－1

x B．y＝2

x－2－x

C．y＝sin x D．y＝x|x|

解析：C项在定义域上有增有减，A选项定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)不能写成并集，所以A选项错误．对于B选项，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)是奇函数，并且在定义域上为增函数．D项，当x≥0，y＝x2是增函数；x≤0时，y＝－x2也是增函数，且y＝x|x|是奇函数．

答案：BD

2．(2020·广东湛江模拟)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝()

A．－2 B．－1 C．1 D．2

解析：因为g(x)为奇函数，且f(2)＝1，所以g(－1)＝－g(1)，

所以f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1.

答案：C

3．若函数y＝f(2x－1)是偶函数，则函数y＝f(2x＋1)的图象的对称轴是()

A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝1

2D．x＝－

1

2

解析：因为函数y ＝f (2x －1)是偶函数，所以函数y ＝f (2x －1)的图象关于y 轴对称，因为函数y ＝f (2x ＋1)的图象是由函数y ＝f (2x －

1)的图象向左平移一个单位得到，故y ＝f (2x ＋1)的图象关于x ＝－1对称．

答案：A

4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，

且当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 021)等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．log 27

解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，所以f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．

因为－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，且当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，

所以f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2，

所以f (2 021)＝－f (－1)＝－2.

答案：C

5．(一题多解)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a

B ．c

C ．b

D ．b

解析：法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，

因为奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0.

所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数．

又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，

所以g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .

法二(特殊化) 取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，

从而可得c >a >b .

答案：C

6．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1

，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1，4) B ．(－2，0) C ．(－1，0) D ．(－1，2)

解析：因为f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，

所以f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，

因为f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，所以2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1

＜0， 解得－1＜a ＜4.

答案：A

7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，则f (1)＝________，f (0)＋f (－1)＝________．

解析：当x >0时，f (x )＝x ＋1，则f (1)＝2，

又f (x )在R 上是奇函数，

所以f (－1)＝－f (1)＝－2，f (0)＝0，

故f (0)＋f (－1)＝－2.

答案：2 －2

8．(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．

解析：因为f (x ＋4)＝f (x －2)，

所以f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )，

所以f (x )是周期为6的周期函数，

所以f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．

又f (x )是定义在R 上的偶函数，

所以f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.

答案：6

9．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是

单调递增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________．

解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，

所以f (ln t )＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫ln 1t ≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1)．

又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，