类比探究之结构类比(中位线)(北师版)(含答案)
数学北师大选修22教材基础 第一章§1归纳与类比 含答案
第一章推理与证明走近学科思想推理与证明是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.合情推理具有猜想和发现新结论、探究和提供解决问题思路的作用;演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,演绎推理具有证明结论,整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法.知识要点重要指数链接考题学习策略合情推理★★P5，例1（2007浙江高考，理8）；P6，例2（2007福建高考，理16）通过对具体实例的推理过程的分析、体会,概括出合情推理的描述性定义和常用的归纳和类比的思维方法综合法和分析法★★★★P22，例4（2006辽宁高考，理18文19）；P24，例5（2007海南、宁夏高考，理22（A））弄清综合法和分析法的证明方法特征,通过一些实例证明熟练两种证明方法的证明过程反证法★★★P42,例6（2007河南郑州模拟）；P43，例7（2007江西高考，理16）弄清楚使用反证法的常见情形及适用条件,形成使用反证法的意识数学归纳法★★★★P60，例9（2007天津高考，理21）；P60,例8（2006湖南高考，理19）关键是找出从n=k到n=k+1时的递推关系式§1 归纳与类比在日常生活中,人们常常需要进行各种各样的推理.如医生诊断病人的病症,警察侦破案件,数学家论证命题的真假等,其中都包含了推理活动.在数学中,证明的过程更离不开推理.本节就开始学习有关数学推理的知识.高手支招1细品教材一、推理1.推理的概念根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.推理一般由两部分组成:前提和结论.状元笔记合情推理中,当前提为真时,结论可能为真,也可能为假.2.合情推理(1)当前提为真时,结论可能为真的推理,叫做合情推理.合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向,其推理过程为：(2)两种合情推理:归纳推理和类比推理.二、归纳推理1.概念根据一类事物的部分事物具有某种性质,推出这类事物中每一个都具有这种属性的推理方式,叫做归纳推理(有时简称归纳).归纳推理是从个别到一般.由部分到整体的过程. 状元笔记归纳推理的前提与结论不具有必然性联系,其结论不一定正确.2.特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需要经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.3.归纳推理的步骤其一般步骤为:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.示例:已知:数列{a n }的第1项a 1=1,且a n+1=nn a a +1(n=1,2,3,…),试归纳出这个数列的通项公式. 思路分析：数列{a n }的通项公式是第n 项a n 与序号n 之间的对应关系,我们可以先根据已知条件算出数列{a n }的前几项,然后去归纳出一般性的公式.解：当n=1时,a 1=1,当n=2时,a 2=21111=+,当n=3时,a 3=3121121=+,当n=4时,a 4=4131131=+,…… 通过观察可得:数列的前四项都等于相应序号的倒数,由此归纳出:a n =n1. 三、类比推理1.概念两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,这类推理叫做类比推理(简称类比).类比推理是数学推理的一种重要形式,它的实质是根据两对象之间的相似,把信息从一个对象转移到另外一个对象,类比推理不仅是一种从特殊到特殊的推理方法,也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法.这在事物规律的发现和事物本质的认识等方面都有着极其重要的作用.2.特点(1)类比推理是由特殊到特殊的推理.(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所以,类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.(3)类比推理以旧的知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能.类比推理在数学发现中有重要作用.(4)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.状元笔记类比推理是一种由特殊到特殊的推理形式,目的是寻找事物之间的共同或相似性质,它是一种似真推理.类比推理的结论需要进一步证明其正确性,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间就越相关,从而类比得出的结论就越可靠.例如，据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦·惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等.又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此,惠更斯作出推理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念.惠更斯在这里运用的推理就是类比推理. 3.类比推理的步骤其一般步骤为:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).状元笔记类比推理是两类事物特征之间的推理,利用类比推理得出的结论可能是正确的,也可能是错误的.【示例】类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是（）①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A.①B.①②C.①②③D.③思路分析：因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比,所以①②③都恰当.答案：C高手支招2基础整理推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式.任何推理都由前提和结论两部分组成,前提与结论的关系是理由与推断.原因与结果的关系.本节则主要讲述合情推理的两种类型:归纳推理和类比推理.其主要知识结构如下:。
类比探究问题(含答案)
类比探究问题（讲义）➢ 课前预习1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．2. 解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问； （2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬． 整体框架照搬包括_________________，________________， _________________．3. 用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢ 知识点睛1. 类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________，___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________． 2. 类比探究问题中常见结构举例①旋转结构AB=AC DCD'A②中点结构ABCE MDA BMCNM A（类）倍长中线 平行夹中点 中位线➢ 精讲精练1. 原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，易证EF =BE +DF ．图1B C DEF A（1）类比引申：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，∠B +∠D =180°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则原题中的结论是否仍然成立？请说明理由．AF E DCB 图2（2）联想拓展：如图3，在△ABD 中，∠BAD =90°，AB =AD ，点E ，F 均在边BD 上，且∠EAF =45°．猜想EF ，BE ，DF 之间满足的数量关系，并写出推理过程．图3B DEF A2. 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A < 45°，O 为AB 的中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O 重合，一边OE 经过点C ，另一边OD 与AC 交于点M ．（1）如图1，当∠A =30°时，求证：222MC AM BC =+． （2）如图2，当∠A ≠30°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由．（3）如图3，将三角板ODE 绕点O 旋转，若直线OD 与线段AC 的延长线相交于点M ，直线OE 与线段CB 的延长线相交于点N ，连接MN ，则MN 2=AM 2+BN 2成立吗？请说明理由．N图3E BC O MD A图1EBCOMD AADM OCBE图23.已知P是Rt△ABC的斜边AB上一动点（不与点A，B重合），分别过点A，B向直线C P作垂线，垂足分别为点E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是___________，QE与QF的数量关系是______________．图1B CQ(P)EFA（2）如图2，当点P不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．A FEPQCB 图2（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．4.某校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程．（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是___________．（填写序号）①12AF BA AG==；②MD=ME；③MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明．（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则△MED是_____________三角形．图1CD EF GMBA图2C DEMA图3AB CMDE【参考答案】➢课前预习2.（1）分支条件（2）第一问；照搬字母，照搬辅助线，照搬思路➢知识点睛1.类比字母，类比辅助线，类比思路，不变特征➢精讲精练1.（1）原题中的结论仍成立，理由略提示：延长CD到点G，使DG=BE，证明△ABE≌△ADG（SAS）；再证明△AEF ≌△AGF（SAS），得EF=FG=BE+DG。
类比探究之结构类比((类)倍长中线)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？问题3：如图1，△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，点D在AB边上．连接EC，取EC的中点F，连接AF，DF．为了证明FA⊥FD，FA=FD，我们只需要延长DF交线段AC于点G，说明AF是等腰直角三角形ADG的中线即可．将△BDE旋转至如图2所示的位置，使点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，其他条件不变，类比上面的做法，为了证明FA⊥FD，FA=FD，我们需要作的辅助线是( )A．连接ADB．过点C作CG⊥DF，交DF的延长线于点GC．延长DF到G，使FG=DF，连接CG，AD，AGD．延长DF交AC的延长线于点G，连接AD分析题目中的不变特征，画出其线路图.类比探究之结构类比（（类）倍长中线）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图1，△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，点D在AB边上．连接EC，取EC的中点F，连接AF，DF．为了证明FA⊥FD，FA=FD，我们只需要延长DF交线段AC于点G，说明AF是等腰直角三角形ADG的中线即可．将△BDE旋转至如图2所示的位置，使点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，其他条件不变，类比上面的做法，为了证明FA⊥FD，FA=FD，我们需要作的辅助线是( )A.连接ADB.过点C作CG⊥DF，交DF的延长线于点GC.延长DF到G，使FG=DF，连接CG，AD，AGD.延长DF交AC的延长线于点G，连接AD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.在试题1图2的证明中，说明△ADG是等腰直角三角形之前，证明AD=AG需要直接使用到某对三角形全等，则判定这对三角形全等的条件是( )A.AASB.ASAC.SSSD.SAS答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.已知等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上一点，过D点作DE⊥BC交AB于E，连接CE，F为CE中点，连接AF、DF，易证AF=DF；（1）若将图①中△BDE绕点B顺时针旋转45°，如图②所示，取CE的中点F，连接AF、DF，则下列结论中错误的是( )．A.AF=DFB.C. D.AF⊥DF答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4.（上接试题3）（2）将图①中△BDE绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，则（1）中的结论中，AF=DF以及AF⊥DF仍然成立，我们需要作的辅助线是( )A.连接ADB.过点C作CM⊥DF，交DF的延长线于点MC.延长AF到M，使FM=AF，连接DM，AD，EMD.延长DF交AC的于点M，连接AD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题5.（上接试题3,4）（3）如图③，说明△ADM是等腰直角三角形之前，证明AD=DM需要直接使用到某对三角形全等，则判定这对三角形全等的条件是( )A.AASB.ASAC.SSSD.SAS答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题。
北师大版九下数学类比探究--针对中考第22题 第1节 类比探究专题
类比探究专题1.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．（1）观察猜想图1中，线段AP与BE的数量关系是________，位置关系是________；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出线段AP 的取值范围．P EDAB C图1PEDAB C图22. （1）操作：如图1，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．（不写画法） 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）探究二：如图3，DE ，BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE :EC =1:2，∠BAE =∠EDF ，CF ∥AB ．若AB =5，CF =1，求DF 的长度．图1MNQ PO图2F EDC B AAB C D E F图33.特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为_________________；②线段BC，DE的位置关系为_________________．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM 与△AFD全等时，请直接写出DE的值．M F ED CB A图1EMDCBA图2MFEDC BA图34. 已知△ABC 中，CA =CB ，0°＜∠ACB ≤90°．点M ，N 分别在边CA ，CB 上（不与端点重合），BN =AM ，射线AG ∥BC 交BM 延长线于点D ，点E 在直线AN 上，EA =ED ．（1）【观察猜想】如图1，点E 在射线NA 上，当∠ACB =45°时， ①线段BM 与AN 的数量关系是_________； ②∠BDE 的度数是____________．（2）【探究证明】如图2，点E 在射线AN 上，当∠ACB =30°时，判断并证明线段BM 与AN 的数量关系，求∠BDE 的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E 在直线AN 上，当∠ACB =60°时，AB =3，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长．图1A B CD ENMG图2AB CD MN EG 图3A BCG5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则DEDF=__________．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF=__________（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．FEDC BA图1图2ABCDEFDB FECA图3DC BA备用图6.（1）【问题发现】如图1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EFC=90°，点E 与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为__________；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB=AC=2，△CEF旋转到B，E，F三点共线时，直接写出线段AF的长．F图1CB A(E)EAB C图2F备用图CBA7. （1）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 的中点，以点D 为顶点作正方形DFGE ，使点A ，C 分别在DE 和DF 上，连接BE ，AF ，则线段BE 和AF 数量关系是________．（2）类比探究：如图2，保持△ABC 固定不动，将正方形DFGE 绕点D 旋转α（0＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC =DF =2，在（2）的旋转过程中，连接AE ，请直接写出AE 的最大值．图1A BCDEF G图2GFED CB A 备用图A BC DEFG8.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是__________，CE与AD的位置关系是__________．（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明）．（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE= ADPE的面积．（直接写出结果）P EDCBA图1图2ABCDEPPEDCBA图3图4ABCDEP9. （1）操作发现如图1，AD 是等边三角形ABC 的角平分线，请你按下列要求画图：过点A 作AM ⊥AB ，过点C 作CN ∥AB ，AM 与CN 相交于点E ．则AD 与AE 的数量关系是________，∠EAC =________°． （2）问题探究将图1中的△AEC 绕点A 逆时针旋转，点C 落在点F 的位置，连接EC ，DF ，如图2所示，请你探究DF 与EC 的数量关系并说明理由． （3）拓展延伸若（2）中等边△ABC 的边长为2，当F A ⊥AC 时，请直接写出DF 2的值．图1AB CD图2EFDCBA备用图CBA10. 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）问题发现如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于__________，线段CE 1的长等于__________． （2）探究证明如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1，且BD 1⊥CE 1． （3）问题解决求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）图1E 1(D 1)A BCDE PEDCBA D 1E 1图211. 如图1，在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中，AB =2，AB′=，连接CC′．（1）问题发现：CC BB'='__________； （2）拓展探究：将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB′，试判断：当0°≤θ＜360°时，CC BB ''的值有无变化？请仅就图2中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C ，C′，D′三点共线时BB′的长．D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图12. 问题发现：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边AB 上的一点，过点D作DE ∥BC 交AC 于E ，则线段BD 与CE 的数量关系为___________； 拓展探究：如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明；问题解决：如果△ABC的边长等于AD =2，直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长．图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D CBA13. 如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断AGBE的值为_______． （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG =6，GH=BC =________．GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图314. （1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A =1，PB，PC =2．求∠BPC 的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ，连接PP′，则PP′的长为__________；在△P AP′中，易证∠P AP′=90°，且∠PP′A 的度数为__________，综上可得∠BPC 的度数为__________． （2）类比迁移如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB =90°，P A =2，PB，PC =1．求∠APC 的度数． （3）拓展应用如图3，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =5，AB =AC =12AD ，∠BAC = 2∠ADC ，请直接写出BD 的长．P′ABCP图1图2P CBAD图3C BA15.如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB，AD交于点E，F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）观察猜想若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论．（2）延伸探究若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展证明若AB:AD=m:n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论．ABCD OEF16. （1）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证△AEB ≌△FEC ，得到AB =FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系为_____________；（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图3，AB ∥CF ，AE 与BC 交于点E ，BE :EC =2:3，点D 在线段AE 上，且∠EDF =∠BAE ，试判断AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．ABCD EF图1ABCDE F图2A BCDE F图317. 如图1，菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合，点G 在对角线AC 上，且∠BCD =∠ECF =60°． （1）问题发现：AGBE的值为__________． （2）探究与证明：将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：菱形GECF 在旋转过程中，当点A ，G ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，连接CG 并延长，交AD 于点H ，若CE =2，GH，则AH 的长为__________．图1AB CDEFGGFED CB A图2H图3AB CD E FG18. 已知∠AOB =90°，点C 是∠AOB 的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角∠MCN 绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E ．（1）如图1，若CD ⊥OA ，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明．（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且OD =2，OE =8，请直接写出线段CE 的长度．图1OABC D EMPNN PMED CBAO图2图3O ABCD E MPN19. 如图1，在△ABC 中，∠A B C =45°，AH ⊥BC 于点H ，点D 在AH 上，且DH =CH ，连接BD ．（1）求证：BD =AC ．（2）将△BHD 绕点H 旋转，得到△EHF （点B ，D 分别与点E ，F 对应），连接AE ．①如图2，当点F 落在AC 上时（F 不与C 重合），若BC =4，tan C =3，求AE 的长．②如图3，当△EHF 是由△BHD 绕点H 逆时针旋转30°得到时，设射线CF 与AE 相交于点G ，连接GH ．试探究线段GH 与EF 之间满足的等量关系，并说明理由．图1ABCDH20. 如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =6，点E ，F 分别是边DC ，DA 的中点，四边形DFGE 为矩形，连接BG ． （1）问题发现 在图1中，CEBG__________． （2）拓展探究将图1中的矩形DFGE 绕点D 旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当矩形DFGE 旋转至B ，G ，E 三点共线时，请直接写出线段CE 的长．GFED CBA 图1图2ABCDEFG备用图ABCD21. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD 等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，则AC 与BD 的位置关系是__________，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD 的两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC =4，AB =5，求GE 的长．A BC D图1图2DC B AABCD EFG 图322. 观察猜想（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是_________，BE +BF =_________； 探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD =1，其余条件不变，如图2，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE +BF 的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图3，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点D 在边BA 的延长线上，BD =n ，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角∠EDF =α，连接BF ，则BE +BF 的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论．图1A (D )B CE FD FE C B A图2图3A CDE F。
三角形全等之类比探究(综合测试)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合____________先解决第一问；（2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬．问题2：整体框架照搬包括____________，____________，____________．问题3：“三角形全等”的辅助线：见中线，要________，________之后___________．问题4：等腰三角形的两个底角________，简称______________；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．问题5：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问题．问题6：当见到线段的______________考虑截长补短，截长补短的作用是把_________________________转化成_____________________．答：相等，等边对等角；相等，等角对等边．问题5：当见到线段的考虑截长补短，构造全等或等腰转移、转移，然后和重新组合解决问题．答：和差倍分，边，角，已知条件．问题6：当见到线段的考虑截长补短，截长补短的作用是把转化成．答：和差倍分，多条线段间的数量关系，两条线段间的等量关系．三角形全等之类比探究（综合测试）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：如图1，在等边三角形ABC中，AB=BC，∠BAC=∠ABC=60°，在AB，AC边上分别取点M，N，使BM=AN，连接BN，CM交于点O，求∠NOC的度数．下面给出了解题的路线图，如图：请你仔细观察下列序号所代表的内容：①△NAB≌△MBC（SAS）；②△NAB≌△AMC（SSA）；③∠2=∠1；④BN=CM．以上横线处，依次所填最恰当的是( )A.②④B.②③C.①③D.①④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究2.（上接第1题）如图2，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ABC=90°，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，DM交于点O，求∠DON的度数．则∠DON度数和做题的思路均正确的是( )A.∠DON=90°，先证明△BNA≌△AMD，再进行转角B.∠DON=90°，先证明△BNA≌△AOD，再进行转角C.∠DON=60°，先证明△BNA≌△ADO，再进行转角D.∠DON=60°，先证明△BNA≌△AMD，再进行转角答案：A解题思路：类比试题1的思路，本题的路线图为：故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究3.（上接第1，2题）如图3，在正五边形ABCDE中，AB=AE，∠BAE=∠ABC=108°，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，EM交于点O，则∠EON=( )A.72°B.90°C.108°D.120°答案：C解题思路：类比第1，2题的思路，本题的路线图为：故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究4.如图1，直线AM∥BN，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．（1）如图1所示，当直线与直线MA垂直时，求证：AB=AD+BE．下面给出了证明的路线图，如图：请你仔细观察下列序号所代表的内容：①∠CEB=90°，∠1=∠3；②AB=BF；③AC=CF；④AB=BF，AD=EF；⑤△ACB≌△FCB（SAS）；⑥△ADC≌△FEC（ASA）．以上横线处，依次所填最恰当的是( )A.②③⑥B.①④⑤C.②③⑤D.①④⑥答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究5.（上接第4题）（2）如图2所示，当直线与直线MA不垂直，且交点D，E在AB的异侧时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系和证明思路正确的是( )A.AB=AD-BE，延长AC交BN于点F，证明AB=BF，△ADC≌△FECB.AB=AD-BE，延长AC交BN于点F，使CF=AC，证明AB=BF，△ADC≌△FBCC.AB=AD+BE，延长AC交BN于点F，证明AB=BF，△ADC≌△FECD.AB=AD+BE，延长AC交BN于点F，使CF=AC，证明AB=BF，△ADC≌△FBC答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究。
类比探究之结构类比((类)倍长中线)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？问题3：中点结构的常见处理思路是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？答：类比是解决此类问题的主要方法：字母类比，辅助线类比和思路类比.在这个基础上还有结构类比，做好类比需要把握变化过程中的不变特征.问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？答：旋转结构和中点结构，其中中点结构中包含：（类）倍长中线，平行夹中点，以及中位线.问题3：中点结构的常见处理思路是什么？答：①直角三角形斜边中线等于斜边一半；②等腰三角形三线合一；③一般三角形一边上的中点可以考虑倍长中线；④平行夹中点考虑延长证全等；⑤多个中点考虑构造中位线．类比探究之结构类比（（类）倍长中线）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图1，△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，点D在AB边上．连接EC，取EC的中点F，连接AF，DF．为了证明FA⊥FD，FA=FD，我们只需要延长DF交线段AC于点G，说明AF是等腰直角三角形ADG的中线即可．将△BDE旋转至如图2所示的位置，使点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，其他条件不变，类比上面的做法，为了证明FA⊥FD，FA=FD，我们需要作的辅助线是( )A.连接ADB.过点C作CG⊥DF，交DF的延长线于点GC.延长DF到G，使FG=DF，连接CG，AD，AGD.延长DF交AC的延长线于点G，连接AD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.在第1题图2的证明中，说明△ADG是等腰直角三角形之前，证明AD=AG需要直接使用到某对三角形全等，则判定这对三角形全等的条件是( )A.AASB.ASAC.SSSD.SAS答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.已知等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上一点，过D点作DE⊥BC交AB于E，连接CE，F为CE中点，连接AF，DF，易证AF=DF；（1）若将图①中△BDE绕点B顺时针旋转45°，如图②所示，取CE的中点F，连接AF，DF，则下列结论中错误的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4.（上接第3题）（2）将图①中△BDE绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，则（1）中的结论中，AF=DF以及AF⊥DF仍然成立，我们需要作的辅助线是( )A.连接ADB.过点C作CM⊥DF，交DF的延长线于点MC.延长AF到M，使FM=AF，连接DM，AD，EMD.延长DF交AC的于点M，连接AD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题5.（上接第3题，第4题）（3）如图③，说明△ADM是等腰直角三角形之前，证明AD=DM 需要直接使用到某对三角形全等，则判定这对三角形全等的条件是( )A.AASB.ASAC.SSSD.SAS答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：本套试题主要训练类比探究的处理框架，我们一起来对本套试题进行反思和小结，同学们在做的时候哪些题目有困难？问题2：针对做题时的困难，需要进行反思；主要原因是：①类比不下去；②找不到不变特征；③每一问都不同，不知如何类比．。
类比探究测试(北师版)(含答案)
类比探究测试（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，直线CD经过∠BCA的顶点C，点E，F在直线CD上，已知CA=CB，∠BEC=∠CFA=α．（1）如图1，若∠BCA=90°，α=90°，试证明EF=BE-AF．解题思路：（1）由∠BCA=∠CFA=90°，可以得到∠BCE＋∠ACF＝90°，∠ACF+∠1=90°，得到_____________，理由是______________________．又因为CB=AC，∠BEC=∠CFA，因此根据全等三角形的判定定理___________，可以得到___________，由全等的性质得到CE=AF，BE=CF，最后得到EF=CF-CE=BE-AF．①∠BCE=∠1；②∠BCE=∠ACF；③同角的余角相等；④同角的补角相等；⑤△BEC≌△AFC；⑥△BEC≌△CFA；⑦AAS；⑧ASA．以上横线处，依次所填正确的是( )A.①③⑧⑤B.②③⑦⑥C.②④⑧⑥D.①③⑦⑥答案：D试题难度：三颗星知识点：类比探究2.（上接第1题）（2）如图2，若∠BCA=60°，α=120°，结论EF=BE-AF仍成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.．解题思路：（2）由∠BCA=60°，∠AFC=120°，可以得到∠BCE＋∠ACF＝60°，∠ACF+∠1=60°，得到_____________，理由是______________________．又因为CB=AC，∠BEC=∠CFA，因此根据全等三角形的判定定理___________，可以得到___________，由全等的性质得到CE=AF，BE=CF，最后得到EF=CF-CE=BE-AF．①∠BCE=∠1；②∠BCE=∠ACF；③等式性质；④同角的余角相等；⑤△BEC≌△AFC；⑥△BEC≌△CFA；⑦AAS；⑧ASA．以上横线处，依次所填正确的是( )A.①③⑧⑤B.①③⑦⑥C.②④⑧⑥D.②③⑦⑥答案：B试题难度：三颗星知识点：类比探究3.（上接第1，2题）（3）如图3，若0°<∠BCA<90°，若让你添加一个关于∠α与∠BCA的条件，使结论EF=BE-AF仍然成立，则你添加的条件是( )A.∠BCA=∠αB.∠BCA=180°-∠αC.∠BCA=2∠α或者∠BCA=∠αD.不确定答案：B试题难度：三颗星知识点：类比探究4.在正方形ABCD中，P是直线CD上一点，连接PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为点E，F．（1）如图，当点P在边CD上时，BE，DF，EF这三条线段之间的数量关系为( )A. B.BE=DF-EFC.BE=EF-DFD.BE=DF+EF答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题5.（上接第4题）（2）如图，当点P在DC的延长线上时，BE，DF，EF这三条线段之间的数量关系为( )A.BE=DF+EFB.BE=DF-EFC.BE=EF-DFD.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题6.（上接第4，5题）（3）如图，当点P在CD的延长线上时，BE，DF，EF这三条线段之间的数量关系为( )A.BE=DF+EFB.BE=DF-EFC.BE=EF-DFD.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题7.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF．利用旋转的思想很容易证明DE+BF=EF；如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且．则DE，BF，EF之间的数量关系为( )A. B.C.DE+2BF=EFD.DE+BF=EF答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题8.（上接第7题）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，当∠ABC与∠ADC满足( )时，可使得DE+BF=EF．A.∠ABC=∠ADCB.∠ABC+∠ADC=180°C.∠ABC=2∠ADC-180°D.∠ABC+2∠ADC=270°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题。
初中数学北师大版八年级下册6.3构造三角形中位线的常用方法习题课件(23张PPT)
4 如图，在△ ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△ BEF 为等 腰直角三角形，∠BEF＝90°，M 为 AF 的中点．求证： ME＝12CF.
【证明】如图，延长 FE 至点 N，使 EN＝EF，连接 BN， AN.易得 ME＝12AN. ∵EF＝EN，∠BEF＝90°， ∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN. ∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF＝90°， ∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°. ∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
整合方法·提升练
【解】如图，延长BD交AC于点F. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠FAD. ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°.
又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)． ∴AF＝AB＝6，BD＝FD. ∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4. ∵点 E 为 BC 的中点，BD＝FD， ∴DE 是△ BCF 的中位线．∴DE＝12CF＝12×4＝2.
【解】如图，连接 BD，取 BD 的中点 P，连接 PM，PN. ∵M 是 AD 的中点，P 是 BD 的中点， ∴PM 是△ ABD 的中位线． ∴PM＝12AB＝5. 同理可得 PN＝12CD＝4. 在△ PMN 中，∵PM－PN<MN<PM＋PN，∴1<MN<9.
6 [2023·天津中学月考]如图所示，在△ABC中，∠A＝ 40°，D，E分别在AB，AC上，BD＝CE， BE，CD的中点分别是M，N，直线MN 分别交AB，AC于点P，Q，求∠APQ的 度数．
又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN. BF＝BN，
在△ BCF 和△ BAN 中，∠CBF＝∠ABN， BC＝BA，
∴△BCF≌△BAN(SAS)．∴CF＝AN.∴ME＝12CF.
类比探究中熟悉的特征(中点、全等等)(北师版)(含答案)
类比探究中熟悉的特征（中点、全等等）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.八年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：如图，在等边三角形中，在边上分别取点，使，连接交于点O，则( )A.45°B.60°C.62°D.75°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究2.（上接第1题）如图，在正方形中，在边上分别取点，使，连接交于点O，那么_________，且_________．( )A.AD，90°B.ND，90°C.MD，60°D.MD，90°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究3.（上接第1，2题）如图，在正五边形中，在边上分别取点，使，连接交于点O，那么_________，_________．( )A.ND，90°B.ME，100°C.ME，108°D.ND，120°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究4.在正方形ABCD中，O是对角线BD的中点，点P是BD所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．如图1，当点P与点O重合时，猜测AP=EF且AP⊥EF，小明在证明AP=EF时想到了下列思路，你认为比较合理的是( )①延长FO与交AB于点M，证明△AMO≌△FOE②通过四边形PECF的面积与△AOD的面积相等来证明③证明四边形PDFE是平行四边形，通过AO=OD=EF来证明A.①②③B.①②C.②③D.①③答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究5.（上接第4题）如图2，当点P在线段BD上（不与点D，O，B重合）时，探究AP与EF 的数量关系与位置关系，则下列思路中可以走通的是( )①延长FP交AB于点M，延长AP交BC于点N，证明△AMP≌△FPE，然后通过全等来倒角；②通过四边形PECF的面积与△AOD的面积相等来证明③连接OA，证明△OAP≌△FPEA.①②③B.①②C.①③D.①答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究6.（上接第4,5题）当点P在DB的延长线上时，请你帮小明将图3补充完整，并说明在证明结论的过程中，需要证明的全等三角形是( )A.△AEB≌△FBMB.△APM≌△FEPC.△APB≌△PFBD.找不出来答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究。
类比探究之探究(二)(北师版) (含答案)
类比探究之探究（二）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA=CB，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）如图，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF，BE，AF这三条线段之间的数量关系为( )A.BE=AF+EFB.BE=2EFC.BE=AF-EFD.BE=AF+2EF答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究2.（上接第1题）（2）如图，若，请你添加一个关于∠α与∠BCA的关系的条件，使结论EF=BE-AF成立，则添加的条件是( )A.∠α=∠BCAB.∠α=∠BCA+90°C.∠BCA+∠α=180°D.∠α=2∠BCA-90°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究3.（上接第1，2题）（3）如图，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，则EF，BE，AF这三条线段之间的数量关系为( )A.BE=AF+EFB.BE=2EFC.BE=EF-AFD.EF=AF+2EF答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究4.如图，AD为△ABC的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究5.（上接第4题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若BE=2，CF=3，则EF的值可能为( )A.7B.6C.5D.4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究6.（上接第4，5题）如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，若BE=4，CF=2，则EF的值为( )A.7B.6C.5D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究。
类比探究之探究(一)(北师版)(含答案) (1)
学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？问题3：什么特征我们会考虑旋转结构？类比探究之探究（一）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．在图1中，D是BC边上的中点，请判断DE+DF与BG的关系．( )A. B.C. D.无法判断答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究2.（上接第1题）在图2中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系仍然成立．下列3种思路中你认为可行的是( )思路①：连接AD，借助S△ABD+S△ACD=S△ABC思路②：过点D作DM⊥BG于点M，然后证明△BMD≌△DEB思路③：连接EF，证明EF=BGA.①②③B.①③C.②③D.①②答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究3.（上接第1，2题）在图3中，D是线段BC延长线上的点，探究DE，DF与BG的关系，你认为正确的是( )A. B.C. D.无法判断答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究4.在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且CE=DE．为判断AE和BD 之间的关系，小明准备分情况进行讨论．当E是AB中点时，如图1，小明发现，由于E是AB边的中点，利用三线合一可以得到AE=BE，∠ECB=30°，再由CE=DE 可以得到∠D=30°，进而得到∠BED=30°，就可以得到BD=BE=AE．但是当E不是AB中点时，就不能照搬上述方式进行证明，此时小明想到了另外一种方式：过点E作EF∥BC，交AC于点F，也能证明AE=BD．（1）当E是线段AB上除端点和中点外的任一点时，如图2，按照上述辅助线证明AE=BD，证明过程中需要使用一对三角形全等，则证明此对三角形全等不能使用的条件是( )A.AASB.ASAC.SASD.SSS答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究5.（上接第4题）（2）当点E在BA的延长线上时，如图3，点D在BC边上，且CE=DE，按照下面的操作，能够证明AE=BD的是( )A.直接证明△EAC≌△BDEB.①过点A作AF∥BC，交EC于点F；②△AEF是等边三角形；③△AFC≌△BDEC.①过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F；②△AEF是等边三角形；③△EFC≌△DBED.①过点A作AF∥BC，交EC于点F，连接DF；②四边形FDBE是等腰梯形答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？问题3：什么特征我们会考虑旋转结构？问题4：在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．在图1中，D是BC边上的中点，请判断DE+DF与BG的关系．( )A.B.C.D. 无法判断根据不同的特征，本题可以有不同的思路，你能想出几种？。
类比探究之结构类比(中位线)(北师版)(含答案).docx
学生做题前请先回答以下问题问题1:类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？问题2：IT前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？问题3：什么情况下考虑中点结构？类比探究之结构类比（中位线）（北师版）一、单选题（共5道，每道20分）1.如图，已知等边三角形ABC中，点D, E, F分别为边AB, AC, BC的中点，M为直线BC 上一动点，ADM N为等边三角形（点M的位置改变时，ADM N也随之整体移动）.在图1 中，点M在点B左侧，在图2中，点M在线段BC上，两个图中都可以证明EN=MF.我们的思路是连接DE, DF,然后证明两个三角形全等就能解决问题，我们证明三角形全等的判定定理是（）图1 图2A.SSSB.ASAC.SASD.SSA答案:C 解题思路:以图1为例证明，根据题意连接DE, DF.图1根据中位线定理可以证明：ZEDF=60。
，DE=DF,•・• ZMZXW60。
，・•・ ZWF=ZAZ）£,•・• DWDN,.\A MDF^A NDE,・•・MF=NE・通过上面的证明可以看岀，证明三角形全等使用的判定定理是SAS. 故选C试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.（上接第1题）在两种情况下，我们均可以说明点F在直线EN上，结合图1下面哪个思路是正确的？（）A.DE=DFB.EF+FN 二ENC.EN 二MFD.ZDEF=ZDEN答案：D解题思路：通过上题的证明可以知道，'MDF^'NDE、・•・ ADEN=ADFM=60°,・•・乙DEF=ZDEN,即：E, F, N三点共线,・••点F在直线瓦V上.故选D试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.如图，在四边形ABCD屮，AB=CD, E, F分别是BC, AD的屮点，连接EF并延长，分别与BA, CD的延长线交于点M, N.如果我们连接BD,取BD的中点P,连接EP, FP,可证明ZBME=ZCNE.请问，在证明的过程中，我们都用到了哪些知识？（）B E C图1A.平行的性质，全等三角形的性质B.三角形中位线的性质，等边对等角，平行的性质C.三角形中位线的性质，全等三角形的性质D.全等三角形的性质，等边对等角答案:B解题思路：结合题意添加辅助线.F, P分别是BC, AD9 3D的中点，:・FP, EP分别是厶毎D和△BCD的中位线，:.FPllAB, FP=-AB f EPlI CD, EP=-CD f2 2AB=CD,:.FP=EP,・•・ APEF=^PFE,\'FPllAB f EPII CD,：・乙PEF=ZCNE, APFE=ABME,:.ABME=ACNE ・通过上面的证明可以看到，我们共用了 : 三角形中位线的性质，等边对等角，平行的性质, 故选B试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4.（上接第3题）如图2,在四边形ADBC中，AB与CD相交于点0, AB=CD, E, F分别是BC,AD的中点，连接EF,分别交DC, AB于点M, N,则△ MON是（）图2A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案：B解题思路：如图，取3D的中点P,连接EP, FP.图2•・•£, F, P分别是BC, AD,的中点，:・FP、EP分别是厶仏D和△BCD的中位线，.'.FPllAB, FP=-AB , EPlI CD, EP=-CD,2 2 \'AB=CD,・•・ FP=EP,:.ZPEF=ZPFE f\TP II AB, EP Q CD,：・乙PEF=/OMN, ZPFE=ZONM f・•・ ZOMN=ZONM,•••△MOW是等腰三角形.故选B试题难度：三颗星知识点：类比探究问题5.（上接第3, 4题）如图3,在AABC中，AC>AB,点D在AC ±, AB=CD, E, F分别是BC,AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若ZEFC=60°,连接GD,贝1」（）A.AD=2AGB.GD=2AG c> AD = 73-4G D.AD=EF答案：A解题思路：如图，连接加，取肋的中点P,连接FP.• E, F, P分别是BC, AD,的中点,:・FP, EP分别是△九BD和厶BCD的中位线，.\FPllAB f FP=-AB , EPII CD, EP=-CD f2 2 \'AB=CD,・•・ FP=EP,:.ZPEF=ZPFE f\TP II AB, EP Q CD,・・・ ZPEF=ZEFC=60°f・•・ ZAGE=ZPFE=ZPEF=60Q,•・•乙AFG=ZEFC=6L,:・\AFG是等边三角形，.\AG=AF,AD=LiF=lA G ・故选A试题难度：三颗星知识点：类比探究问题。
类比探究综合检测(北师版)(含答案).docx
类比探究综合检测（北师版）一、单选题（共7道，每道14分）1.如图，在RtA ABC中，AB二BC, ZABC=90°. 一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的小点0处，将三角板绕点0旋转，图2,图2是旋转三角板所得图形的两种情况，三角板的两直角边分别交AB, BC或其延长线于点E, F,图1,图2可以证明出0E与OF之间有相同的数量关系，则这个数量关系为（）A3OE = -OFA. 4B. = OF4 5OS = -OF OE = -OFC. 3D. 4答案：B 解题思路:观察到两间都有中点，且是直角加中点，所以考虑利用直角三角形斜边的中线等于斜边一半进行类比,OE=OF,证明如下：如图1,连接P0,T20是等腰Rt△九BC斜边的中线，.\BO^OA=OC, BO1AC,ZOB4=ZOCB=45。
, 又T Z£OF=90°,・•・ ZBOE=ZCOF,:.ABOE^ACOF (ASA),・•・ OE=OF.如图2,连接20,•・• BO是等腫Rt△肋C斜边的中线，:,BO=OA=OC f BO1AC, AOBA=AOCB=45°f 又•・• ZEOF=90。
，・•・ ZB0E=ZC0F,ZOBA=ZOCB=45°f•••乙OBE=ZOCF=\35。
,:.ABOE^ACOF (ASA),・•・ OE=OF.故选B.试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.（上接笫1题）在证明图1,图2屮0E与OF Z间的数量关系时，小明发现直接连接B0 即可类比解决两问，你能说出小明的思路吗？（）①全等；②再证全等；③等角对等边；④等边对等角；⑤等腰直角三角形的性质.A.①②⑤B.①⑤C.⑤①D.①③④答案:C解题思路：由第1题的解题思路知，答案选C.试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.（上接第1, 2题）在小明同学的证明过程中，需要证明三角形全等，请问他所依据的判定定理是（）A.SASB.ASAC.SSSD.SSA答案：B解题思路：由第1题的解题思路知，答案选B.试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4•如图，直线AM//BN, ZMAB与ZNBA的平分线交于点C,过点C作一条直线'与两条直线MA, NB分别相交于点D, E.如图1所示，当直线/与直线MA垂直时，则线段AD, BE, ABZ间的数量关系是（）图1A,A52=^D24-552 B.曲<AD + BEAB = AD-^BS^AB = AD + 2BSC答案：C 解题思路:如图，延长〃（7交£\「于点F・£V,・・・ZD 毎+ZEB4=180。
类比探究之结构类比(平行夹中点)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？问题3：如图1，在长方形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，则FG＝CG，请证明．小明发现把AE延长与GC 的延长线交于一点H，证明△AHG是等腰三角形即可证明结论．如图2，将（1）中的长方形ABCD改为平行四边形，其中，AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，且其他条件不变，我们可以结合小明的思路，延长AE与GC的延长线交于一点H，此时，证明△AHG是等腰三角形的依据是( )A．△AEG≌△HEG，全等三角形对应边相等B．AF＝HC，FG＝CG，等量加等量和相等C．∠CHE＝∠FAE，等角对等边D．EG⊥AH，三线合一分析题目中的不变特征，画出其线路图.类比探究之结构类比（平行夹中点）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图1，在长方形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，则FG＝CG，请证明．小明发现把AE延长与GC的延长线交于一点H，证明△AHG是等腰三角形即可证明结论．如图2，将（1）中的长方形ABCD改为四边形，其中，AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，且其他条件不变，我们可以结合小明的思路，延长AE与GC的延长线交于一点H，此时，证明△AHG是等腰三角形的依据是( )A.△AEG≌△HEG，全等三角形对应边相等B.AF＝HC，FG＝CG，等量加等量和相等C.∠CHE＝∠FAE，等角对等边D.EG⊥AH，三线合一答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.如图1，在△ABC中，P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．要证PM=PN，只需延长MP交CN 于点E，通过说明某对三角形全等就可以证明此结论．此时，证明结论成立的理论基础是( )A.全等三角形的对应边相等B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C.等腰三角形等角对等边D.等量代换答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.（上接第2题）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，要证明PM=PN，类比上题思路，则需要证明的全等三角形是( )A.△APB≌△APEB.△CAN≌△ABMC.△NPB≌△NPED.△MBP≌△ECP答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4.如图1，在正方形ABCD的边AB上取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG，CG，易证EG=CG且EG⊥CG．如图2，将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图3，将△BEF绕点B逆时针旋转180°，都可以得到和图1相同的结论.若不想证明三点共线，则最好作什么样的辅助线.( )A.（图1）连接CE；（图2）无需辅助线；（图3）连接CE.B.（图1）延长EG至点H，使GH=EG，连接DH，CE，CH；（图2）延长EG至点H，使GH=EG，连接DH；（图3）延长EG，交AD于点H，连接CE，CH.C.在CD边上取一点H，使CH=BE，连接GH.（适用于图1，图2，图3）D.（图1）延长EG，交AD的延长线于点H，连接CE，CH；（图2）延长EG，交CD的延长线于点H；（图3）延长EG，交AD于点H，连接CE，CH.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题5.（上接第4题）在证明过程中，选用什么样的思路，可以类比解决三问.( )①证全等；②再证全等；③等角对等边；④等边对等角；⑤等腰直角三角形的性质.A.①②⑤B.①⑤C.①②③D.①③④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题6.（上接第4，5题）类比解决三问的过程中，需要证明三角形全等，那么证全等所依据的判定定理（依次）是( )A.SASB.AASC.SAS，AASD.AAS，SAS答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题。
八年级数学类比探究之探究(三)(北师版)(含答案)
类比探究之探究（三）（北师版）
一、单选题(共5道，每道20分)
1.如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE，FE，则线段CE与EF之间的数量关系为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究
2.（上接第1题）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB 的边
AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，则线段CE与FE之间的数量关系为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究
3.（上接第1，2题）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接
BD，取BD的中点F，则线段CE与FE之间的数量关系为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究
4.如图1，平面内有一等腰直角三角板ABC（∠ACB=90°）和一直线MN.过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，则线段AF，BF，CE之间的数量关系为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究
5.（上接第4题）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，则线段AF，BF，CE之间的数量关系为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究。
七年级数学三角形全等之类比探究(二)(北师版)(专题)(含答案)
三角形全等之类比探究（二）（北师版）（专题）一、单选题(共5道，每道20分)1.已知△ABC中，AB=AC，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作△ADF （A，D，F按顺时针排列），使AD=AF，且∠BAC=∠DAF，连接CF．（1）如图，当点D在边BC上时，求证：BC=CF＋CD．先在图上走通思路后再填写空格内容：（1）由∠BAC=∠DAF，得∠BAD=∠CAF；又因为AB=AC，AD=AF，因此根据三角形全等的判定___________，可得___________，由全等的性质得______________________，所以BC=BD+CD=CF+CD．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①ASA；②SAS；③SSA；④△ADB≌△AFC；⑤△AFC≌△BAD；⑥△ADB≌△FCD；⑦BD=CF；⑧BD=CF，BC=AC．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.③⑤⑦B.②④⑦C.③⑤⑧D.①⑥⑧答案：B解题思路：要证BC=CF＋CD，已知BC=BD＋CD，只需要证明CF=BD即可，可以把它们放在两个三角形中证全等．如图，可把本题思路整理成路线图，如图具体过程如下：∵∠BAC=∠DAF∴∠2+∠3=∠1+∠2∴∠3=∠1在△ADB和△AFC中∴△ADB≌△AFC（SAS）∴BD=CF∵BC=BD+CD∴BC=CF+CD因此空缺处依次所填最恰当的是②④⑦．故选B．试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究2.（上接第1题）（2）如图，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，则BC，CF，CD 之间的数量关系和证明思路分别是( )A.BC=CF+CD；思路是利用SAS证明△ADB≌△AFCB.BC=CF+CD；思路是利用SSS证明△FDC≌△ACDC.BC=CF-CD；思路是利用SSS证明△FDC≌△ACDD.BC=CF-CD；思路是利用SAS证明△ADB≌△AFC答案：D解题思路：类比第1题中的路线图，把三角形全等的证明照搬到（2）中，证得△ADB≌△AFC（SAS），根据全等的性质，得到对应边的关系BD=CF，进而推导出BC，CF，CD这三条线段之间的数量关系为BC=CF-CD．如图，∵∠1=∠3∴∠1+∠2=∠2+∠3即∠BAD=∠CAF在△ADB和△AFC中∴△ADB≌△AFC（SAS）∴BD=CF∵BC=BD-CD∴BC=CF-CD故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究3.（上接第1，2题）（3）如图，当点D在边CB的延长线上时，其他条件不变，则BC，CF，CD之间的数量关系和证明思路分别是( )A.BC=CF+CD；思路是利用SAS证明△ADB≌△AFCB.BC=CD-CF；思路是利用SAS证明△ADB≌△AFCC.BC=CD-CF；思路是利用SSS证明△FDC≌△ACDD.BC=CF+CD；思路是利用SSS证明△FDC≌△ACD答案：B解题思路：如图，类比第1题中的路线图，把三角形全等的证明照搬到（3）中，证得△ADB≌△AFC（SAS），根据全等的性质，得到对应边的关系BD=CF，进而推导出BC，CF，CD这三条线段之间的数量关系为BC=CD-BD=CD-CF．故选B．试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究4.在四边形ABCD中，BA=BC，．（1）如图1，当点M，N分别在AD，CD上时，若∠BAD+∠BCD=180°，求证：MN=AM+CN．先在图上走通思路后再填写空格内容：（1）如图，延长NC到E，使CE=AM，连接BE．由∠BAD+∠BCD=180°，∠BCE+∠BCD=180°，利用同角的补角相等，得∠BAD=∠BCE；因为BA=BC，AM=CE，因此根据三角形全等的判定___________，可以得到△BAM≌△BCE，由全等的性质得到______________________；又因为，可得_____________，因此根据三角形全等的判定SAS，可以得到___________，由全等的性质得MN=EN；所以MN=EN=CE+CN=AM+CN．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①ASA；②SAS；③SSA；④AM=CE，BM=BE；⑤∠1=∠2，BM=BE；⑥∠1=∠2；⑦∠MBN=∠EBN；⑧△MBN≌△EBN；⑨△BAM≌△MDN．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.③⑤⑦⑨B.①④⑥⑧C.②⑤⑥⑨D.②⑤⑦⑧答案：D解题思路：要证MN=AM+CN，这是几条线段间的数量关系，考虑利用截长补短转化成两条线段间的等量关系，在这里使用补短法．如图，延长NC到E，使CE=AM，连接BE．∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCE+∠BCD=180°∴∠BAD=∠BCE在△BAM和△BCE中∴△BAM≌△BCE(SAS)∴∠1=∠2，BM=BE∵∠MBN=∠ABC∴∠1+∠3=∠MBN∴∠2+∠3=∠MBN即∠MBN=∠EBN在△MBN和△EBN中∴△MBN≌△EBN(SAS)∴MN=EN=CE+CN=AM+CN故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究5.（上接第1题）（2）如图2，当点M，N分别在DA，CD的延长线上时，若∠BAD与∠BCD 互补，求证：MN=CN-AM．如图，下面给出了证明的路线图：请你仔细观察下列序号所代表的内容：①△BAM≌△BCE（SAS）；②△BMN≌△BEN（SAS）；③∠1=∠2，BM=BE；④BM=BE，BA=BC；⑤∠1=∠2．以上横线处，依次所填最恰当的是( )A.①③②B.②④①C.②⑤①D.①④②答案：A解题思路：解：如图，类比前面的字母和思路，根据图中信息，在CN上截取CE，使CE=AM，连接BE，可以得到△BAM≌△BCE（SAS），进而得到∠1=∠2，BM=BE，结合条件进行角的转移，可以得到∠MBN=∠EBN，可证△BMN≌△BEN（SAS），进而推导出MN，AM，CN这三条线段之间的数量关系为MN=CN-AM．因此横线处依次所填最恰当的是①③②．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究。
类比探究综合测试(北师版)(含答案)
类比探究综合测试（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：如图1，在等边三角形ABC中，在AB，AC边上分别取点M，N，使BM=AN，连接BN，CM交于点O，求∠NOC的度数．下面给出了解题的路线图，如图1-1：①△NAB≌△MBC（SAS）；②△NAB≌△AMC（SSA）；③△AMC≌△NCB（SAS）；④∠2=∠1；⑤BN=CM；⑥∠2=∠1，BN=CM．以上横线处，依次所填正确的是( )A.②⑤B.③⑥C.②⑥D.①④答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定和性质2.（上接第1题）如图2，在正方形ABCD中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，DM交于点O，则∠DON的度数和解题思路正确的是( )A.∠DON=90°，先证明△BNA≌△AMD，再进行转角B.∠DON=90°，先证明△BNA≌△ADO，再进行转角C.∠DON=60°，先证明△BNA≌△ADO，再进行转角D.∠DON=60°，先证明△BNA≌△AMD，再进行转角答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定和性质3.（上接第1，2题）如图3，在正五边形ABCDE中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，EM交于点O，则∠EON=( )A.72°B.90°C.108°D.120°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定和性质4.如图1，直线AM∥BN，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．如图1所示，当直线与直线MA垂直时，求证：AB=AD+BE．下面给出了证明的路线图，如图1-1：①△ADC≌△FEC；②△ADC≌△FBC；③AD=BF；④AD=EF；⑤∠1=∠3．以上横线处，依次所填正确的是( )A.③⑥B.①④C.②⑥D.②⑤答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定和性质5.（上接第4题）如图2所示，当直线与直线MA不垂直，且交点D，E在AB的异侧时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系和证明思路正确的是( )A.AB=AD+BE，延长AC交BN于点F，使CF=AC，证明AB=BF，△ADC≌△FBCB.AB=AD-BE，延长AC交BN于点F，使CF=AC，证明AB=BF，△ADC≌△FBCC.AB=AD+BE，延长AC交BN于点F，证明AB=BF，△ADC≌△FECD.AB=AD-BE，延长AC交BN于点F，证明AB=BF，△ADC≌△FEC答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定和性质。
三角形全等之类比探究(照搬字母二)(北师版)(含答案)
三角形全等之类比探究（照搬字母二）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.已知△ABC中，AB=AC，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作△ADF（A，D，F按顺时针排列），使AD=AF，且∠BAC=∠DAF，连接CF．（1）如图，当点D在边BC上时，求证：BC=CF+CD．先在图上走通思路后再填写空格内容：（1）由∠BAC=∠DAF，得∠BAD=∠CAF；又因为AB=AC，AD=AF，因此根据三角形全等的判定___________，可得___________，由全等的性质得______________________，所以BC=BD+CD=CF+CD．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①ASA；②SAS；③SSA；④△ADB≌△AFC；⑤△AFC≌△BAD；⑥△ADB≌△FCD；⑦BD=CF；⑧BD=CF，BC=AC．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.③⑤⑦B.②④⑦C.③⑤⑧D.①⑥⑧答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究2.（上接第1题）（2）如图，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，则BC，CF，CD 之间的数量关系和证明思路分别是( )A.BC=CF+CD；思路是利用SAS证明△ADB≌△AFCB.BC=CF+CD；思路是利用SSS证明△FDC≌△ACDC.BC=CF-CD；思路是利用SSS证明△FDC≌△ACDD.BC=CF-CD；思路是利用SAS证明△ADB≌△AFC答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究3.（上接第1，2题）（3）如图，当点D在边CB的延长线上时，其他条件不变，则BC，CF，CD之间的数量关系和证明思路分别是( )A.BC=CF+CD；思路是利用SAS证明△ADB≌△AFCB.BC=CD-CF；思路是利用SAS证明△ADB≌△AFCC.BC=CD-CF；思路是利用SSS证明△FDC≌△ACDD.BC=CF+CD；思路是利用SSS证明△FDC≌△ACD答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转．（1）如图，当三角板的两直角边分别交AB，BC于点E，F，求证：OE=OF．先在图上走通思路后再填写空格内容：（1）如图，连接OB．由AB=BC，∠ABC=90°，O为AC的中点，∠EOF=90°，经过一系列推理可得______________________________________，因此根据三角形全等的判定___________，可以得到___________，由全等的性质得OE=OF．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①∠C=∠OBE，∠OFC=∠OEB，FO=EO；②OB=OC=OA，∠C=∠OBE=45°；③∠C=∠OBE=45°，OC=OB，∠COF=∠BOE；④AAS；⑤ASA；⑥△OCF≌△OBE；⑦△OFB≌△AOE．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.③⑤⑥B.②④⑦C.①④⑦D.②⑤⑥答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究5.（上接第4题）（2）如图，当三角板的两直角边分别交AB，BC的延长线于点E，F，则OE与OF的数量关系及证明思路分别是( )A.OE＞OF；思路是连接OB，证明△OCF≌△OBEB.OE=OF；思路是连接OB，证明△OCF≌△OBEC.OE＞OF；思路是连接EF，在△OEF中利用大角对大边证明D.OE=OF；思路是连接OB，使OB⊥AC，证明△OCF≌△OBE答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之类比探究。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？
问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？
问题3：什么情况下考虑中点结构？
以下是问题及答案，请对比参考:
问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？
答：类比是解决此类问题的主要方法：字母类比，辅助线类比和思路类比．在这个基础上还有结构类比，做好类比需要把握变化过程中的不变特征．
问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？
答：旋转结构和中点结构，其中中点结构中包含：（类）倍长中线，平行夹中点，以及中位线．
问题3：什么情况下考虑中点结构？
答：当出现中点、中线等字眼时考虑中点结构，中点较多时考虑构造中位线．
类比探究之结构类比（中位线）（北师版）
一、单选题(共5道，每道20分)
1.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC 上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．在图1中，点M在点B左侧，在图2中，点M在线段BC上，两个图中都可以证明EN=MF．我们的思路是连接DE，DF，然后证明两个三角形全等就能解决问题，我们证明三角形全等的判定定理是( )
A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.SSA
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究问题
2.（上接第1题）在两种情况下，我们均可以说明点F在直线EN上，结合图1下面哪个思路是正确的？( )
A.DE=DF
B.EF+FN=EN
C.EN=MF
D.∠DEF=∠DEN
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究问题
3.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．如果我们连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，可证明∠BME=∠CNE．请问，在证明的过程中，我们都用到了哪些知识？( )
A.平行的性质，全等三角形的性质
B.三角形中位线的性质，等边对等角，平行的性质
C.三角形中位线的性质，全等三角形的性质
D.全等三角形的性质，等边对等角
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究问题
4.（上接第3题）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，
AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，则△MON是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究问题
5.（上接第3，4题）如图3，在△ABC中，AC AB，点D在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，
AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，则( )
A.AD=2AG
B.GD=2AG
C. D.AD=EF
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究问题。