总复习圆
高三总复习圆的知识点归纳总结
高三总复习圆的知识点归纳总结圆是数学中的基本几何图形之一，它在几何学和数学分析中都具有重要的地位。
在高三数学的复习中，圆的知识点是一个必不可少的部分。
下面将对高三数学中与圆相关的重要知识点进行归纳总结。
一、圆的定义和性质圆是平面上的一组点，这些点到某一固定点的距离都相等。
这个固定点叫做圆心，到圆心距离相等的那个数值称为半径。
圆的性质包括以下几点：1. 圆心角：圆心角是半径所对的弧所对应的角，它的度数等于所对弧所对应的圆周长的比例。
2. 弧度制与度数制之间的转换：1弧度=180°/π。
3. 圆内接四边形：圆内接四边形的对角线互相垂直，且对角线交点到圆心的距离相等。
4. 弦长和弦心角的关系：弦长等于半径乘以弦心角对应的圆心角的弧度。
5. 圆的切线：过圆上任一点A，可以作出与圆相切且以A为切点的直线。
切线与半径的关系是切线垂直于半径。
二、圆的常见定理1. 切线定理：切线和半径垂直。
2. 弦切角定理：弦切角等于弦上其余弧所对的圆心角的一半。
3. 弧切角定理：弧切角等于弧所对的圆心角。
三、圆锥曲线1. 椭圆：椭圆是平面上一个点到两个定点的距离之和等于常数的点集。
常数为两个定点间的距离的一半。
2. 双曲线：双曲线是平面上一个点到两个定点的距离之差等于常数的点集。
常数为两个定点间的距离的一半。
3. 抛物线：抛物线是平面上一个点到一个定点的距离等于该点到一条直线的垂直距离的点集。
四、圆与其他几何图形的关系1. 圆与直线的交点：圆与直线的交点可能是0个、1个、2个或无穷多个。
2. 圆与圆的关系：两个圆可以相交于两个交点、相切于一个交点或者不相交。
3. 圆与多边形的关系：圆可以内切于多边形、外切于多边形，或者同时内切和外切于多边形。
五、圆的应用1. 圆的面积和周长：圆的面积等于半径平方乘以π，周长等于直径乘以π。
2. 圆的旋转和平移：通过圆的旋转和平移可以构造出各种复杂的图形。
3. 圆锥曲线的应用：椭圆、双曲线和抛物线在物理、工程等领域有广泛的应用。
圆整理复习(总复习)
轴对称图形
圆的周 长和面 积 知识储备
我们把圆中心的这一点叫做圆心。
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
直径 d
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径 d
d 在同一个圆里，直径的长 d＝2r 或 r＝ 2 度与半径有什么关系？
画一个半径为2厘米的圆。
一、定长（半径） 二、定点（圆心） 三、一只脚旋转一周
2厘米
0 1 2 3 4 5
围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
★任意一个圆的周长与它的直径的比值是 一个固定的数,我们把它叫做圆周率，用字 母 π （读pài ）表示。圆周率兀 是一个无 限不循环的小数，我们在计算时，一般只取 它的近似值。 π≈ 3.14 ★因为圆的周长总是直径的兀倍，知道了 直径或半径时，就可以计算出它的周长。 C=πd
六年级上册第四单元
《圆》整理复习
在《圆》这一单元,你 学习了哪些知识?
圆形是由封闭曲线组成的平面图形。
各部分 名称
画圆
什么是圆、圆心、半径和直径？ 在同一个圆里，半径和直径有什么特点？
圆
在同一个圆里，半径和直径之间有什么 关系？ 你会画圆吗？怎样确定圆的大小 和位置？ 所学的平面图形中哪些是 轴对称图形？有几条对称轴？
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 C 2
r
圆的面积
C 2
＝ πr
r
因为: 长方形面积 = 长 × 宽
所以: 圆 的 面 积 = πr × 2 ＝ πr
r
结论：
1、长方形的长与圆周长的一半相等。
2、长方形的宽与圆的半径相等。 即： a=πr
圆的总复习全面版
3：已知：直线AB切⊙O于点A．求证：AB⊥OA．
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
初三数学圆的总复习
两个圆有且仅有一个公共点，且该点在两个圆的内部时，称 这两个圆内切。
圆与圆的相交
相交
两个圆有两个不同的公共点时，称这两个圆相交。此时两个公共点连成的线段叫 做两圆的公共弦。
特殊相交
当两个圆的半径相等且相交于两点时，这两点连成的线段既是两圆的公共弦也是 两圆的直径。
05 圆的综合应用
圆的面积与周长计算
01
02
03
圆的面积公式
$S = pi r^{2}$，其中 $r$ 是圆的半径。这个公 式用于计算圆的面积。
圆的周长公式
$C = 2pi r$ 或 $C = pi d$，其中 $r$ 是圆的半径， $d$ 是圆的直径。这两个 公式用于计算圆的周长。
扇形面积公式
$S_{扇形} = frac{npi r^{2}}{360}$，其中 $n$ 是扇形的圆心角，$r$ 是 圆的半径。这个公式用于 计算扇形的面积。
线的性质。
圆的拓展应用问题
圆锥曲线问题
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。在解决这类问题时，需要掌握圆锥曲线的定义、标 准方程和性质等知识点。
极坐标与参数方程问题
极坐标是一种用距离和角度来描述平面上点的方法，参数方程则是用参数来描述曲线上点 的坐标的方法。在解决这类问题时，需要掌握极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普 通方程的互化等知识点。
通过一般方程，可以计算出圆心坐标$left( frac{D}{2},-frac{E}{2} right)$和半径 $r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
方程变形
通过配方等方法，可以将一般方程转化为标准方 程。
圆的图形与方程的关系
图形与方程对应
01
初中数学圆总复习课件
圆的运动问题
总结词
理解运动问题中的变量和常量，掌握运动过程中圆的变化规 律。
详细描述
在解决圆的运动问题时，需要理解圆心和半径在运动过程中 的变化规律，以及这些变化对圆的面积、周长等量的影响。 同时，要善于利用代数和几何方法来求解相关问题。
圆的面积和周长问题
总结词
掌握计算圆面积和周长的公式，理解半径与面积、周长的关系。
扇形面积公式
若圆心角为 $alpha$，半径为 $r$，则扇形面积 $S_{扇形} = frac{1}{2} alpha r^{2}$。
圆与直线的位置关系
相切
直线与圆只有一个公共点，即直 线与圆相切。
相交
直线与圆有两个公共点，即直线与 圆相交。
相离
直线与圆没有公共点，即直线与圆 相离。
02
圆的定理与性质
圆的内接四边形
总结词
理解内接四边形的性质和判定定理
详细描述
圆的内接四边形具有一系列重要的性质，如对角互补、外角等于内对 角等。这些性质在解题过程中经常用到，需要熟练掌握。
总结词
掌握内接四边形的面积和周长的计算方法
详细描述
圆的内接四边形的面积和周长的计算涉及到圆的半径和内角，需要灵 活运用圆的性质和三角函数的知识。
总结词 详细描述
总结词 详细描述
理解弦的重要定理和性质
弦在圆中具有很多重要的定理和性质，如垂径定理、弦心距定 理等。这些定理和性质在解题过程中经常用到，需要熟练掌握
。
掌握弦长的计算方法以及与弦相关问题的解决方法
弦长的计算以及与弦相关问题的解决方法是解决与弦相关问题 的关键，需要熟练掌握其应用方法。
03
圆的数学建模
总结词
圆的总复习-圆、与圆有关的位置关系复习
点在圆内
如果一个点位于圆的内部， 则该点称为圆内的点。
点在圆外
如果一个点位于圆的外部， 则该点称为圆外的点。
圆与直线的位置关系
相交
如果一条直线与圆有两个不同的 交点，则该直线称为圆的相交线。
相切
如果一条直线与圆只有一个交点， 则该直线称为圆的切线。
平行
如果一条直线与圆没有交点，则该 直线称为圆的平行线。
圆的面积与周长
圆的面积公式
A = πr^2，其中A表示面积，r表示半径。
圆的周长公式
C = 2πr，其中C表示周长，r表示半径。
圆的面积与周长的关系
周长是半径的函数，随着半径的增加而增加；面积是半径的二次函 数，随着半径的增加而快速增加。
02
与圆有关的位置关系
圆与点的位置关系
点在圆上
如果一个点位于圆的边界 上，则该点称为圆上的点。
圆的总复习-圆、与圆有 关的位置关系复习
• 圆的基本性质 • 与圆有关的位置关系 • 圆的定理与性质 • 圆的综合应用
01
圆的基本性质
圆的定义与基本性质
圆的定义
圆的度量
平面上所有与给定点（圆心）的距离 等于给定长度（半径）的点组成的图 形。
圆的周长和面积都是无限大，但常用 的度量单位是弧度。
圆的基本性质
圆与圆的位置关系
外离
如果两个圆没有交点并 且不相切，则它们是外
离的。
内含
如果一个圆完全位于另 一个圆的内部，则称该
圆为内含的。
相交
如果两个圆有两个公共 的交点，则它们是相交
的。
相切
如果两个圆有一个公共 的交点，则它们是相切
的。
03
圆的定理与性质
第六单元《圆》整理复习(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆》这一单元的整理复习。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过圆形物体或圆形设计？”比如，自行车的轮子、时钟的表盘等。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾圆的几何特性。
另外，小组讨论的环节，学生们的参与度很高，大家积极发表自己的见解，互相交流想法。但在引导讨论的过程中，我意识到有些问题设置得还不够明确，导致学生的思考方向略有偏差。今后我需要在这方面多下功夫，提高问题的针对性和引导性。
实践活动环节，学生们对实验操作表现出浓厚的兴趣，但也暴露出一些问题。比如，在操作过程中，部分学生对于实验步骤和原理的理解还不够深入。我考虑在下次实验前，先进行一次简短的实验原理讲解，帮助学生更好地理解实验目的和操作方法。
在总结回顾环节，我尝试让学生自己总结今天学习的知识点，这样既能检验他们的学习效果，也能培养他们的归纳总结能力。但从学生的反馈来看，他们对自己的总结还不太自信，可能是因为这方面的训练还不够。今后我需要在教学中多给学生提供这样的机会，让他们在实践中不断提高。
-教材章节：第13章《弧、弦、圆心角的关系》
4.圆的周长与面积：圆的周长公式、面积公式及其应用。
-教材章节：第14章《圆的周长与面积》
5.圆与直线的关系：直线与圆的位置关系、圆的切线、割线等。
-教材章节：第15章《圆与直线的关系》
6.圆的应用问题：实际生活中的圆的应用，如圆的轨迹、圆周运动等。
-教材章节：第16章《圆的应用问题》
（二）新课讲授（用时10分钟）
小学圆周长和面积复习(完全版直接打印)
小学圆知识总复习圆的和面积一、考点1：圆的基本概念，圆心、半径、直径。
判断：1、通过圆心的线段是半径。
（）2、通过圆心的线段是直径。
（）3、两端都在圆上的线段是直径。
（）4、两端都在圆上并且经过圆心的线段是直径。
（）5、所有的直径都相等，所有的半径都相等。
（）6、旋转式水龙喷头的射程是8m，8m就是指圆的直径。
（）二、考点2：圆心决定圆的位置，半径（直径）决定圆的大小。
填空：1、（）确定圆的位置，（）确定圆的大小。
2、圆内最长的线段是（），圆规两脚之间的距离是（）。
3、圆有（）条半径，圆有（）条直径。
判断：1、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
（）2、直径3厘米的圆大于半径2厘米的圆。
（）3、半径3分米的圆大于直径5分米的圆。
（）三、考点3：半径与直径的关系。
1、在同一个圆中，直径的长度是半径的（），半径的长度是直径的（）。
2、一个圆的半径是3厘米，它的直径是（）。
3、圆规两脚间的距离是10厘米，画成的圆的直径是（）。
4、直径是5厘米的圆，它的半径是（）。
5、画一个直径为8厘米的圆，圆规两脚间是距离应是（）。
四、考点4：正方形、长方形与圆的关系。
1、在边长为17cm的正方形中画一个最大的圆，这个圆的直径是（）。
3、在边长为8厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的半是（）厘米。
5、在一张长16厘米，宽8厘米的长方形内画直径是4厘的圆，这样的圆最多可画（）个。
6、在一张长50厘片中剪最大米，宽6厘米的长方形纸的圆，这样的圆最多可剪（）个。
7、在长3分米，宽2分米的长方形上剪出直径是4厘米的圆，至少可以剪（）个。
A、7B、47C、358、在长28cm，宽26cm的长方形纸板上剪出一个最大的圆，这个圆的半径是（）。
9、在长6cm，宽4cm的长方形纸板上剪出一个最大的半圆，这个半圆的半径是（）。
10、在长9cm，宽4cm的长方形纸板上剪出一个最大的半圆，这个半圆的半径是（）。
五、考点5：常见的轴对称图形与它们的对称轴。
圆的总复习精选教学PPT课件
第七章的内容可概括为三大部分： 其一是它本身的概念和性质；
其二是它与其它几何图形的位置关系及性质、判定和应用；
第一部分圆的概念和性质： 1．什么是圆？ 2．圆心确定圆的什么？半径确定圆的什么？ 3．满足什么条件的三点可以确定一个圆． 4．圆是轴对称图形，它的对称轴是谁？它有多少条对称轴？ 5．圆的轴对称性主要体现在哪个定理上？ 6．圆是中心对称图形吗？它的对称中心是谁？ 7．圆的旋转不变性，主要体现在哪个定理上？什么是圆的 旋转不变性？
第一大部分知识间的关系可如下表：
1：过⊙O内一点M的最长的弦长4cm，最短的弦长为2cm，则OM的 长为 。 2：一条弦把圆分成2：3两部分，则该弦所对的圆周角的度数为
。
3：见幻灯片
第二是部分它与其它几何图形的位置关系及性质、判定和应用；
1．点在圆内，点在圆上，点在圆 1．点与圆有哪几种位置关系？ 外．2．设圆的半径为R，当d＞R时 2．点到圆心的距离d跟点与圆 的位置关系是怎样对应的？ 点在圆外，当d=R时，点在圆上，当 d＜R时，点在圆内。 3．直线与圆有哪几种位置关系？ 4．圆心到直线的距离d跟直线与圆的位置关系是怎样对应的？ 5．与圆有关的角都有哪些？ 6．圆心角的度数和它所对弧的度数有什么关系？ 7．一条弧所对的圆周角与圆心角具有什么数量关系？ 8．弦切角与它所夹的弧所对的圆周角具有什么数量关系？ 9．三角形的三边中垂线的交点是三角形的什么心？ 三角形的内心是三角形的什么特殊线段的交点？ 10．圆内接四边形有哪些性质？ 11．与圆有关的成比例线段定理有哪些？ 12．圆内接四边形对 角互补、外角等于它 14．相交弦定理、切割线定理、 的内对角． 割线定理．
第二大部分知识间的关系可如下表：
第三部分：通过圆柱、圆锥的直观展开图进行有关计算．
初三数学总复习圆
初三数学总复习圆的有关概念和性质【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．【课前练习】1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）A．60○B．45○ C．30○D．15○2.如图，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠AOB=50°，则∠C的度数为（）A．35○B．50○ C．105○D．150○3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A．180° B．15 0° C．135° D．120°4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）A．40○ B．50○ C．65○D．130○5.如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○，AC＝3，则△ABC的周长是_______6.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸7.如图，在⊙O中，弦AB=1．8m，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于_________cm．8.在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数为9.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AMB上，则∠C的度数是_______.10.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°11.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（）A．30° B．60° C．90° D．120°平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4,求这个圆形截面的半径.点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则①两圆外离⇔d＞R+r；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R＋r；有3条公切线；③两圆相交⇔R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R－r（R＞r）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d＜R—r（R＞r）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点的直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．1.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（）A．．3 D．42.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径 cm．BA．d＞8 B．0＜d≤2C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞84.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有___个．5.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含 B．外离 C．内切 D．相交6.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）3344A B C D....45537.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（）A．70° B．40° C．50° D．20°8.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.9.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_________个．10.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切11.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65○，则∠BAC等于（）A．35○B．25○C．50○D．65○12.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切13.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB的长．14.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，求⊙O的半径．ACBO（1）求证：AB 是⊙O 切线；（2）若△ABO 腰上的高等于底边的一半，且AB=4 3 ，求ECF 的长16.如图，CB 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，CD 的延长线与⊙O 的直径BE 的延长线交于A 点，连OC ，ED ．（1）探索OC 与ED 的位置关系，并加以证明； （2）若OD ＝4，CD=6，求tan ∠ADE 的值．17.如图,⊙O 的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O 于点B,交y 轴于点C (1)求线段AB 的长(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式18.如图，经过原点O 的⊙P 与、轴分别交于A 、B 两点，点C 是劣弧上一点，则∠ACB=（ ）A. 80°B. 90°C. 100°D. 无法确定 19.如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙Or 切线，A 为切点，BC 经过圆心. 若∠B=20°，则∠C 的大小等于（ ） A ．20° B ．25° C ． 40° D ．50°20.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB =（ ）C OAB xyA ．30°B ．35°C ．45°D ．60°21.如图A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，若，则等于（ ）(A) 50°(B) 80°(C) 100° (D) 130°22.如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边 形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ） A 、AD ＝BD B 、OD ＝CD C 、∠CAD ＝∠CBD D 、∠OCA ＝∠OCB23.如图，AB 为⊙O 直径，已知为∠DCB=20o,则∠DBA 为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、渾颦涧24.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不成立．．．的是( )择峴A ．∠A ﹦∠D B ．CE ﹦DE C ．∠ACB ﹦90°D ．CE ﹦BD 25. 如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则☉C 的半径为（ ）（A ）2.3 （B ）2.4 （C ）2.5 （D ）2.626. 已知，是⊙O 的一条直径 ，延长至点，使,与⊙O 相切于点，若,则劣弧的长为 .27. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ， CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD.若∠ACD＝30°， 则∠DBA 的大小是( )A ．15°B ．30°C ．60°D ．75°第10题DOBA C①已知Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AB=3，BC=4，⊿ABC 内切圆半径为 ②已知⊿ABC 中，°，AB=2，BC=3，AC=2，⊿ABC 内切圆半径为 28.已知圆锥的侧面积等于cm 2，母线长10cm ，则圆锥的高是 cm ．29.一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米， 则该圆锥的侧面积是（结果保留π）。
2025高考物理总复习圆周运动
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研透核心考点
解析 由于 A、C 啮合在一起，转动方向相同，转轮 A、B
向着同一方向运动，故转动方向相同，故 A 错误；由ω＝
vr 可知，在线速度相等的情况下，半径越小角速度越大，故 B 正确；自行车运动过程中，前后轮 A、B 的线速度相等， 由于 A、C 啮合在一起，A、C 线速度也相等，有 vA＝vB ＝vC，又 rA>rB>rC，根据 a＝vr2可得 aA<aB<aC，故 C、D 错误。
径依次减小。轮C与轮A啮合在一起，骑行者踩踏板使轮C动，轮C驱动轮A转动，
从而使得整个自行车沿路面前行，轮胎不打滑。下列说法正确的是( B )
A.转轮A、C转动方向相同，转轮A、B转动方向不相同 B.转轮A、B、C角速度之间的关系是ωA<ωB<ωC C.转轮A、B、C边缘线速度之间的关系是vA＝vB>vC D.转轮A、B、C边缘向心加速度之间的关系是aA>aB>aC
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夯实必备知识
3.如图所示，汽车正在水平路面上沿圆轨道匀速率转弯，且没有发生侧滑。下列
说法正确的是( A )
A.汽车转弯时由车轮和路面间的静摩擦力提供向心力 B.汽车转弯时由汽车受到的重力与支持力的合力提供向心力 C.汽车转弯时由车轮和路面间的滑动摩擦力提供向心力 D.汽车转弯半径不变，速度减小时，汽车受到的静摩擦力可能不变
转速(n)
2.T 的单位：s
为频率
频率(f) 2.转速是单位时间内物体转过的_圈__数__ n 的单位：r/s、r/min
f 的单位：Hz
向心 加速度
(a)
1.描述线速度_方__向__变化快慢的物理量 2.方向指向_圆__心___
1.a＝vr2＝___ω_2_r_＝4Tπ22r＝ωv 2.单位：m/s2
圆总复习
圆圆的特征1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。
2、圆的特征：外形美观，易滚动。
3、圆心O：圆中心的点叫做圆心，圆心一般用字母O表示。
圆多次对折后，折痕相交于圆的中心即圆心，圆心确定圆的位置。
半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。
半径确定圆的大小。
直径d：通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。
在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。
直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或r=d÷2。
4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。
同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。
有二条对称轴的图形：长方形有三条对称轴的图形：等边三角形有四条对称轴的图形：正方形有无数条对称轴的图形：圆，圆环6、画圆（1）圆规两脚间的距离是圆的半径；（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。
即圆周率π= 周长÷直径≈3.14，所以圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)——周长公式：c=πd, c=2πr圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。
3、周长的变化规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
4、半圆周长=圆周长一半+直径= πr+d圆的面积1、圆面积公式推导把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。
圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=长方形的长长方形面积=长×宽所以，圆的面积=圆的周长的一半（πr）×圆的半径（r）S圆=πr×r=πr^22、在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积最小。
圆总复习3圆的旋转不变性
B
B
O
C
练习1.如图,AB是半圆O的直径,AE为弦, C是 AE 的中点,CD⊥AB于D,交AE于点F,BC交 AE于G, 求证:AF=CF
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2.如图,AB和CD是⊙O的两条直径,AB⊥CD,AB=2,∠BAF=15°
AE,DB的延长线交于点F,求(1)∠FAD的度数, (2)△ADF的面积.
D
C
O
B
2.如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直 径,∠ABC=30°,则∠DAC等于( D ) A.30° B.40° C.50° D.60°
B
D
O A
C
3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=140°, 则∠BCD等于( B )
A.140° B.110° C.70° D.20 °
4.已知⊙O的半径为2cm,弦AB所对的圆周角为60°,则弦 AB的长为( C )
E B D O C A
A
1 2
O
2
B
C
D
例1.已知:如图,在◇ABCD中以A为圆心,AB为半径,画 圆交AD,BC于F,G,延长AB交⊙A于E,求证: EF=FG
E
A
F
D
B
G
C
例2.如图,△ABC是等边三角形,以BC为直径画⊙O交AB,AC 于D,E 求证:BD=CE
A
C G F A D O
E
D E
8.如图, ACB：ADB=5：4 ,则∠AOB= 160°,
∠ACB= 80° ,∠ADB= 100° ,∠CAD+∠CBD=180° .
B
A
D A
圆总复习第一单元 圆的认识与性质
第一单元圆的认识与性质一、知识梳理1、圆的定义（两种）(1)(2)2、有关概念弦：直径：弧：优弧：劣弧等弧：3、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点A、B、C确定一个圆，圆心在过A、B两点可做个圆，圆心在。
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的，圆心叫。
4、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，对称轴是的直线。
（2）圆是中心对称图形，对称中心是。
（3）圆具有旋转不变性，即。
5、垂径定理及推论（1）垂径定理：。
（2）推论：。
6、圆心角、弧、弦之间的关系（1）定理：。
（2）推论：在同圆或等园中，如果两个、两条、两条中有一组量相等，那么他们所对应的。
8、圆心角与圆周角：（1）定义：圆心角：。
圆周角：。
（2）圆周角定理：。
（3）推论：（1）。
（2）。
二、中考指向圆在近年的考试中有所弱化，而本单元内容中垂径定理，圆周角等考查频率较高。
各地中考题中对本单元考查内容多以基础知识为主，形式以填空、选择为主，解答题在部分省市中考题中也有出现，但难度不大。
题型以计算、作图为主，并有向开放、探索应用方向发展的趋势，而对论证推理的要求有所降低。
三、方法指导1、垂径定理的拓展及应用：（1）拓展：如下图所示，直线CD满足条件：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
其中任意两个成立，其余三条也成立，特别具备①③时，需强调被平分的弦不能是直径。
（2）应用：如下图所示，设AB=a，OM=d，CM=h，OA=r，则在R t△AOM中有222r d 2a =+）（，且h+d=r 。
所以，a,d,h,r 中知道任意两个可求其余两个。
在应用垂径定理时应抓住R t △AOM ，用好勾股定理和方程。
2、 圆周角定理：（1） 注意如下图所示C 点的三种不同位置：图1、图2中O C ∠=∠21,而图3中 O C ∠-=∠211800(2)同一条弧所对的圆周角大于其所对的圆外角而小于其所对的圆内角。
如图所示，即BDC BAC BEC ∠<∠<∠3、 几种常见的辅助线：（1） 利用直径构造直角三角形（2） 作弦心距构造直角三角形 （3） 作弦构造同弦所对的圆周角（4） 作辅助圆四、例题指导例1、如图，点C 在⊙O 上，将圆心角∠AOB 绕点O 按逆时针方向旋转到∠A O B '''，旋转角为(0180)αα︒<<︒。
圆的知识点总复习
圆的知识点总复习一、选择题1．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线323y x =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )A ．3B ．2C ．3D ．2 【答案】D【解析】【分析】先根据题意，画出图形，令直线y= 3x+ 23与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ，作OH ⊥CD 于H ；然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C 、D 两点的坐标值； 再在Rt △POC 中，利用勾股定理可计算出CD 的长，并利用面积法可计算出OH 的值； 最后连接OA ，利用切线的性质得OA ⊥PA ，在Rt △POH 中，利用勾股定理，得到21PA OP =-，并利用垂线段最短求得PA 的最小值即可.【详解】如图， 令直线3x+23x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ， 当x=0时，y=3D （0，3当y=033，解得x=-2，则C （-2，0），∴222(23)4CD =+=， ∵12OH•CD=12OC•OD ， ∴OH=2334⨯= 连接OA ，如图，∵PA 为⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，∴2221=-=-，PA OP OA OP当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，∴PA的最小值为22-=.(3)12故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．2．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A．4 B．83C．6 D．43【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB3∴光盘的直径为3故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.3．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】【分析】设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．【详解】设P（x，y），∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，∵OP2＝x2+y2，∴PA2+PB2＝2OP2+2，当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，∴OP的最小值为CO﹣CP＝3﹣1＝2，∴PA2+PB2最小值为2×22+2＝10．故选：C．【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP 的最小值，难度较大．4．已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1a；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．【详解】解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1，则a=a是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C()A．54°B．27°C．36°D．46°【答案】C【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.【详解】解：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝54°，∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，∴∠ACB＝12∠AOB＝36°．故答案为C．【点睛】本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键. 6．如图，O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为()A ．32π-B ．332π-C ．23π-D ．33π- 【答案】A【解析】【分析】【详解】 解：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB =60°，∴△OAB 是等边三角形，OA =OB =AB =2，设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG ⊥AB ，∴OG =OA •sin 60°=2×32=3， ∴S 阴影=S △OAB ﹣S 扇形OMN =12×2×3﹣260(3)360π⨯=32π-．故选A ．7．下列命题是假命题的是（ ）A ．三角形两边的和大于第三边B ．正六边形的每个中心角都等于60C ．半径为R 2RD ．只有正方形的外角和等于360︒【答案】D【解析】【分析】根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可.【详解】A 、三角形两边的和大于第三边，A 是真命题，不符合题意；B 、正六边形6条边对应6个中心角，每个中心角都等于360606︒︒＝，B 是真命题，不符合题意；C 、半径为R 的圆内接正方形中，对角线长为圆的直径2R ，设边长等于x ，则：222(2)x x R +=，解得边长为2x R ：＝，C 是真命题，不符合题意；D 、任何凸3n n ≥（）边形的外角和都为360︒，D 是假命题，符合题意， 故选D.【点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.8．如图，用半径为12cm ，面积272cm π的扇形无重叠地围成一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）A ．12cmB ．6cmC ．6√2 cmD ．3【答案】D【解析】【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角，再利用周长公式计算出底面圆的周长，得出半径．再构建直角三角形，解直角三角形即可．【详解】 72π=212360n π⨯ 解得n=180°，∴扇形的弧长=18012180π⨯=12πcm ． 围成一个圆锥后如图所示：因为扇形弧长=圆锥底面周长即12π=2πr解得r=6cm ，即OB=6cm根据勾股定理得OC=22126=63 cm ，故选D ．【点睛】本题综合考查了弧长公式，扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长，及勾股定理等知识，所以学生学过的知识一定要结合起来．9．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B ．故选B ．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．10．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（ ）A ．5B ．5C ．5或5cmD ．3或3【答案】C【解析】连接AC，AO，∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM=222254OA AM-=-=3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=22224845AM CM+=+=cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5−3=2cm，在Rt△AMC中,AC=22224225AM CM+=+=cm.故选C.11．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】B【解析】试题分析：∵AC为切线∴∠OAC=90°∵∠C=40°∴∠AOC=50°∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°∴∠ABD=∠ODB=25°.考点：圆的基本性质.12．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A ．60πcm 2B ．65πcm 2C ．120πcm 2D ．130πcm 2【答案】B【解析】【分析】 先利用三视图得到底面圆的半径为5cm ，圆锥的高为12cm ，再根据勾股定理计算出母线长为13cm ，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm ，即底面圆的半径为5cm ，圆锥的高为12cm ，所以圆锥的母线长225+12=13，所以这个圆锥的侧面积=12×2π×5×13=65π（cm 2）． 故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．13．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x 的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．14．如图，ABC 是O 的内接三角形，且AB AC =，56ABC ∠=︒，O 的直径CD 交AB 于点E ，则AED ∠的度数为（ ）A ．99︒B ．100︒C ．101D ．102︒【答案】D【解析】【分析】 连接OB ，根据等腰三角形的性质得到∠A ，从而根据圆周角定理得出∠BOC ，再根据OB=OC 得出∠OBC ，即可得到∠OBE ，再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED 的度数.【详解】解：连接OB ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=56°，∴∠A=180°-56°-56°=68°=12∠BOC ， ∴∠BOC=68°×2=136°，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°-136°）÷2=22°，∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°，∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是作出辅助线OB ，得到∠BOC 的度数.15．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183-πC ．32316π-D ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=38432⨯=， ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积=2120(43)84332316360ππ⨯⨯-=-． 故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．16．如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 等分⊙O ，分别以点B 、D 、F 为圆心，AF 的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O 的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（ ）A ．π33B ．π33C 33π+ D 33π-【答案】B【解析】【分析】连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB ，根据扇形面积公式计算．【详解】连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，∵点A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的等分点，∴∠AOB=60°，又OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OB=1，∠ABO=60°，∴OH=2211()2-=32， ∴“三叶轮”图案的面积=（2601360π⨯⨯-12×1×32）×6=π-332， 故选B ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键．17．如图，已知圆O 的半径为10，AB ⊥CD ，垂足为P ，且AB ＝CD ＝16，则OP 的长为( )A ．6B ．6C ．8D ．8【答案】B【解析】【分析】 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，连接OP ，OB ，OD ，首先利用勾股定理求得OM 的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，∵AB=CD=16，∴BM=DN=8，∴OM=ON==6，∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=．故选B．【点睛】本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（）A．86°B．94°C．107°D．137°【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵∠BOD=86°，∴∠BAD=86°÷2=43°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-43°=137°，即∠BCD的度数是137°．故选D．【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．19．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1图2有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】B【解析】【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等，故②正确；③图2中，设圆的半径为r∴勒洛三角形的周长=12032180rrππ⨯=圆的周长为2rπ∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误故选B【点睛】本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键.20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则弧BC的长度为（）A．23πB．13πC．43πD．49π【答案】A【解析】【分析】连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论.【详解】解：连接OE、OC，如图，∵DE=OB=OE，∴∠D=∠EOD=20°，∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，∵OE=OC，∴∠C=∠CEO=40°，∴∠BOC=∠C+∠D=60°，∴BC的长度=260?2360π⨯=23π，故选A.【点睛】本题考查了弧长公式：l=••180n Rπ（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），还考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．。
初中圆知识的总复习
2021/10/10
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l
l ∴直线l是⊙O的切线.
14
切线的性质: 圆的切线垂直于经过切点的半径.
． ．O
A
2021/10/10
∟
∵直线l是⊙O的切线,切 点为A ∴ OA⊥ l
l
15
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等；这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
内切圆半径r=
D． ．．F
C
O．
E
B
a+b-c 2
2021/10/10
38
6.如图,AB是圆O的直径,AD,BC,DC均 为切线,则:
A
D
(1)DC=AD+BC
E (2) ∠DOC=900
O
C B
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39
专题一：与圆有关的辅助线的作法：
辅助线， 莫乱添，
弦与弦心距， 亲密紧相连；
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB
O
∴ AB = CD
C ∴AB=CD
A 2021/10/10
B
6
例：如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA ＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需 B
MA
要过圆心作弦的垂线段，
P
这是一条非常重要的辅
O
助线。
圆心到弦的距离、半径、
弦长构成直角三角形，
．
．
．
O
O
O
l
l
l (1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做
直线与这个圆相离. (2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫
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九年级数学第二十四章
一、选择题1．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ）
A ．2b a +
B ．2b a -
C ．2
2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．如图⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，
则弦AB 的长是（ ）A ．4 B ．6 C ．7 D ．8
3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ）
A ．40°
B ．80°
C ．160°
D ．120°
4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．50°
D ．70°
5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A ．12个单位
B ．10个单位
C ．1个单位
D ．15个单位
6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30°
7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ）
A ．5
B ．7
C ．8
D ．10
8．已知⊙O 的半径为4cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=7cm 时，点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点A 在⊙O 内 B ．点A 在⊙O 上
C ．点A 在⊙O 外
D ．不能确定
9．已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm 2，母线长是5cm ，则圆锥的底面半径为（ ）
A ．cm 2
3 B ．3cm C ．4cm D ．6cm 10．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ）
图24—A —
5 图24—A —
3
图24—A —4
A ．26m
B ．26m π
C ．212m
D ．212m π
11．在△ABC 中，I 是内心，∠ BIC=130°，则∠A 的度数为（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．65°
D ．80°
二、填空题
12．如图24—A —8，在⊙O 中，弦AB 等于⊙O 的半径，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，则∠AOC= 。
13．如图24—A —9，AB 、AC 与⊙O 相切于点B 、C ，∠A=50゜，P 为⊙O 上异于
B 、
C 的一个动点，则∠BPC 的度数为 。
14．已知⊙O 的半径为2，点P 为⊙O 外一点，OP 长为3，那么以P 为圆心且与⊙O 相切的圆的半径为 。
15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积是 。
16．扇形的弧长为20πcm ，面积为240πcm 2，则扇形的半径为 cm 。
17．如图24—A —10，半径为2的圆形纸片，沿半径OA 、OB 裁成1：3两部分，用得到的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径分别为 。
18．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）
A ．9cm
B ．6cm
C ．3cm
D ．cm 4115．
19.在Rt △ABC 中，∠C=90゜，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作圆与斜边AB 相切，则R 的值为 。
三、作图题
20．如图24—A —12，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为6cm.
⑴请用尺规作出扇形的对称轴(不写做法,保留作图痕迹).
⑵若将此扇形围成一个圆锥的侧面(不计接缝),求圆锥的底面
积.
图24—A —
8 图24—A —
10 图24—A —
12
21．如图24—B —16，已知在△⊙ABC 中，∠ A=90°，请用圆规和直尺作⊙P ，使圆心P 在AC 上，且与AB 、BC 两边都相切。
（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）
四．22．如图24—A —13，AD 、BC 是⊙O 的两条弦，且AD=BC ，
求证：AB=CD 。
23．如图24—A —14，已知⊙O 的半径为8cm ，点A 为半径OB
的延长线上一点，射线AC 切⊙O 于点C ，BC 的长为cm 3
8，求线段AB 的长。
24．如图24—B —17，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD 。
求证：OC=OD 。
⌒
图24—A —
13 图24—A —
14 图24—B —
17 图24—B —16。