河南省平顶山市郏县一中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年河南省平顶山市郏县一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={y|y=}，B={x|x2﹣2x＞0}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则在复平面中在第（）象限．A．一B．二C．三D．四3．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．要使如图所示的程序框图输出的P不小于60，则输入的n值至少为（）A．5 B．6 C．7 D．45．“k＞4”是“方程+=1表示的图形为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件6．点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1 B．C．2 D．27．已知函数在区间[1，4]上是单调递增函数，则实数a的最小值是（）A．﹣1 B．﹣4 C． D．18．已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，1）9．函数g（x）=，则函数f（x）=g（x）﹣的零点个数是（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知：在平面直角坐标系xOy中，直线+y=1与x轴交于A点，与直线y=﹣x交于B 点，过O任作一条与线段AB相交的射线，则该射线落在第二象限的概率为（）A．B．C．D．11．郑州市的机动车牌照号码自主选号统一由2个英文字母与3个数字组成，若要求2个字母互不相同，这种牌照的号码最多有（）个．A．A103C B．A AC．（C）2A C D．A10312．汉诺塔的游戏规则如下：如图有A，B，C三根套杆，在A上有n个大小不等的盘子，中间有孔可以套在杆子上面，大盘在下，小盘在下，现在要将A杆上面的所有盘子合部移动到C杆上面，每次只能移动一个盘子，且每根杆子上面的所有盘子大盘不能压在小盘上面；n个盘子全部移动完成后，所需的最少移动次数记为v n，例如v1=1，v2=3；请你耐心寻找规律，计算v5=（）A．31 B．15 C．11 D．9二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（2x﹣）n二项展开式系数和为64，则展开式中的x3项的系数为______（结果用数字表示）．14．函数f（x）=ln（2x﹣x2）的单调递减区间为______．15．第一排有5个座位，安排4个老师坐下，其中老师A必须在老师B的左边，共有______种不同的排法（结果用数字表示）．16．曲线y=x2﹣3x和y=x围成的图形面积为______．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知：命题p：函数f（x）=m x在（1，+∞）内单调增；命题q：函数g（x）=x m在（1，+∞）内单调增，命题p∨q与命题￢p两个命题一真一假．求m的取值范围．18．已知f（x）=x2﹣ax+4．（1）若f（x）≥0在[，4]上恒成立，求a的取值范围；（2）若方程f（x）=3在[，4]上有两个解，求a的取值范围．19．4年一届的欧洲杯的关注度是仅次于世界杯的第二大足球赛事，2018年欧洲杯于2018年6月10日至7月10日在法国境内9座城市的12座球场内举行，共24支国家队参赛，比赛第一阶段是小组赛，每个小组4支国家队，组内任两只球队之间需进行一场较量，采取积分制，获胜一场3分，打平一场1分，输一场0分，每个小组根据积分取得资格进入下一阶段比赛﹣淘汰赛．（1）在小组赛阶段，若东道主法国队在所处的A组中，打胜一场概率为，打平一场概率为，输一场概率为，每场比赛输赢互不影响；那么小组赛结束后，法国队积分为3分的概率；（2）在淘汰赛阶段，每一场比赛必分输赢，当出现平局时采用点球的方式决出胜负；若德国门将诺伊尔扑出点球的成功率为，在5次点球中，求他扑出的点球个数X的分布列与期望．20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2．21．在直角坐标系xOy中，L的参数方程（t为参数），C的参数方程为（θ为参数）．（1）求L和C的普通方程；（2）已知P（0，1），L与C交于A、B两点，求|PA||PB|的值．22．已知函数f（x）=x+（e为自然底数）．（1）当a=e时，求函数y=f（x）的极值；（2）是否存在正数a，使得f（x）＞a在定义域内恒成立？若存在，求此满足要求的a；若不存在，请说明理由．2017-2018学年河南省平顶山市郏县一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={y|y=}，B={x|x2﹣2x＞0}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】并集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集、并集以及两集合的包含关系，即可作出判断．【解答】解：由y=≥0，得到A=[0，+∞），由x2﹣2x＞0，变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴A∩B=（2，+∞），A∪B=R，故选：B．2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则在复平面中在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得，∴，则复平面中对应的点的坐标为（﹣1，﹣1），在第三象限．故选：C．3．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ=2，得对称轴是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P（0＜ξ＜2）=0.3．故选：C．4．要使如图所示的程序框图输出的P不小于60，则输入的n值至少为（）A．5 B．6 C．7 D．4【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出当输出的P不小于60时，输入的n值至少是多少．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入n，a=1，i=0，p=0，p=0+1=1，i＜n；a=1×2=2，i=1，p=1+2=3，i＜n；a=2×2=4，i=2，p=3+4=7，i＜n；a=4×2=8，i=3，p=7+8=15，i＜n；a=8×2=16，i=4，p=15+16=31，i＜n；a=16×2=32，i=5，p=31+32=63，i≥n；终止循环，输出P=63满足条件，所以输入的n值至少为5．故选：A．5．“k＞4”是“方程+=1表示的图形为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出方程+=1表示的图形为椭圆的k的范围，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵方程+=1表示的图形为椭圆，∴，解得：4＜k＜9且k≠，故k＞4”是“方程+=1表示的图形为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．6．点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1 B．C．2 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间的距离公式．【分析】画出函数的图象，故当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时，然后求解即可．【解答】解：由题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时，最近；故令y′=2x﹣=1解得，x=1；故点P的坐标为（1，1）；故点P到直线y=x﹣2的最小值为=；故选：B．7．已知函数在区间[1，4]上是单调递增函数，则实数a的最小值是（）A．﹣1 B．﹣4 C． D．1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得f′（x）≥0在[1，4]上恒成立，即x∈[1，4]时，a≥可得a的范围．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2+4ax，若f（x）在[2，4]上是单调递增函数，故有f′（x）≥0在[1，4]上恒成立，即x+4a≥0在[1，4]上恒成立，即a≥在[1，4]上恒成立，故a≥﹣，故选：C．8．已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，1）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】结合方程f（x）=a有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数f（x）的图象即可获得解答．【解答】解：由题意可知：函数f（x）的图象如下：由关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数解，可知函数y=a与函数y=f（x）有三个不同的交点，由图象易知：实数a的取值范围为（0，1）．故选D9．函数g（x）=，则函数f（x）=g（x）﹣的零点个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令f（x）=0得出g（x）=，作出g（x）和y=的函数图象，根据函数图象的交点个数判断零点个数．【解答】解：令f（x）=0得g（x）=，作出g（x）和y=的函数图象如图所示：∵g（8）=g（7）=g（6）=g（5）=g（4）=g（3）=g（2）=g（1）=g（0）=，∴g（x）与y=有4个零点．故选：B．10．已知：在平面直角坐标系xOy中，直线+y=1与x轴交于A点，与直线y=﹣x交于B点，过O任作一条与线段AB相交的射线，则该射线落在第二象限的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，B（﹣2，2），∠AOB=135°，∠BOy=45°，以角度为测度，即可求出过O 任作一条与线段AB相交的射线，该射线落在第二象限的概率．【解答】解：由题意，B（﹣2，2），∠AOB=135°，∠BOy=45°，∴过O任作一条与线段AB相交的射线，则该射线落在第二象限的概率为=．故选：D．11．郑州市的机动车牌照号码自主选号统一由2个英文字母与3个数字组成，若要求2个字母互不相同，这种牌照的号码最多有（）个．A．A103C B．A AC．（C）2A C D．A103【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先确定2个不同的英文字母的方法数为共A C种，再确定其余的3个位上的数字的方法有103 种，由分步计数原理求得不相同的牌照号码数．【解答】解：先从26个英文字母中选出2个不同的英文字，把它排在其中的2个位上，有A C种方法．其余的3个位上确定3个数字的方法数共有103个，由分步计数原理可得不相同的牌照号码共A103C个，故选A．12．汉诺塔的游戏规则如下：如图有A，B，C三根套杆，在A上有n个大小不等的盘子，中间有孔可以套在杆子上面，大盘在下，小盘在下，现在要将A杆上面的所有盘子合部移动到C杆上面，每次只能移动一个盘子，且每根杆子上面的所有盘子大盘不能压在小盘上面；n个盘子全部移动完成后，所需的最少移动次数记为v n，例如v1=1，v2=3；请你耐心寻找规律，计算v5=（）A．31 B．15 C．11 D．9【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意，一个碟子要移动一次，两个碟子要移动3次，三个碟子要移动7次，从而归纳出5个碟子要移动25﹣1=31次．【解答】解：一个碟子要移动一次，两个碟子要移动3次，三个碟子要移动7次，故5个碟子要移动25﹣1=31次，故选A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（2x﹣）n二项展开式系数和为64，则展开式中的x3项的系数为240（结果用数字表示）．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=64，解得n，再利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=64，解得n=6．=（2x）6﹣r=（﹣1）r26﹣r，的通项公式：T r+1令6﹣=3，解得r=2．∴展开式中的x3项的系数=24=240．故答案为：240．14．函数f（x）=ln（2x﹣x2）的单调递减区间为（1，2）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，再求出内函数的减区间，结合复合函数的单调性得答案．【解答】解：由2x﹣x2＞0，得0＜x＜2，∴函数f（x）=ln（2x﹣x2）的定义域为（0，2），又内层函数t=﹣x2+2x的对称轴方程为x=1，则内函数在（1，2）上为减函数，且外层函数对数函数y=lnt为定义域内的增函数，故复合函数数f（x）=ln（2x﹣x2）的单调递减区间为（1，2）．故答案为：（1，2）．15．第一排有5个座位，安排4个老师坐下，其中老师A必须在老师B的左边，共有60种不同的排法（结果用数字表示）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，首先计算第一排有5个座位，安排4个老师坐下的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．【解答】解：根据题意，使用倍分法，第一排有5个座位，安排4个老师坐下，有A54种情况，而其中A在B左边与A在B边是等可能的，则其情况数目是相等的，则A必须站在B的左边为×A54=60．故答案为：60．16．曲线y=x2﹣3x和y=x围成的图形面积为．【考点】定积分．【分析】首先求出两个曲线的交点坐标，然后利用定积分表示围成部分的面积，然后计算即可．【解答】解：曲线y=x2﹣3x和y=x交点坐标为（0，0），（4，4），两个曲线所围成的图形面积==（）=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知：命题p：函数f（x）=m x在（1，+∞）内单调增；命题q：函数g（x）=x m在（1，+∞）内单调增，命题p∨q与命题￢p两个命题一真一假．求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出命题p，q为真时的m的范围，根据复合命题的判断得到p，q同真或同假，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：命题p：函数f（x）=m x在（1，+∞）内单调增，故p为真时：m＞1；命题q：函数g（x）=x m在（1，+∞）内单调增，故q为真时：m＞0，若命题p∨q与命题￢p两个命题一真一假，则p，q同真或同假或p假q真，∴或或，故m的范围是R．18．已知f（x）=x2﹣ax+4．（1）若f（x）≥0在[，4]上恒成立，求a的取值范围；（2）若方程f（x）=3在[，4]上有两个解，求a的取值范围．【考点】二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．【分析】（1）由f（x）≥0在[，4]上恒成立，得到a≤x+在[，4]上恒成立，利用基本不等式求出右边的最小值，即可求a的取值范围；（2）f（x）=3，a=x+，结合基本不等式，利用方程f（x）=3在[，4]上有两个解，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）≥0在[，4]上恒成立，得到a≤x+在[，4]上恒成立，∵x+≥4，当且仅当x=2时取等号，∴a≤4；（2）f（x）=3，∴a=x+，由g（x）=x+，在[，1）上单调递减，（1，4]上单调递增，g（）=，g（4）=，g（1）=2，，∴方程f（x）=3在[，4]上有两个解，a的取值范围是（2，]．19．4年一届的欧洲杯的关注度是仅次于世界杯的第二大足球赛事，2018年欧洲杯于2018年6月10日至7月10日在法国境内9座城市的12座球场内举行，共24支国家队参赛，比赛第一阶段是小组赛，每个小组4支国家队，组内任两只球队之间需进行一场较量，采取积分制，获胜一场3分，打平一场1分，输一场0分，每个小组根据积分取得资格进入下一阶段比赛﹣淘汰赛．（1）在小组赛阶段，若东道主法国队在所处的A组中，打胜一场概率为，打平一场概率为，输一场概率为，每场比赛输赢互不影响；那么小组赛结束后，法国队积分为3分的概率；（2）在淘汰赛阶段，每一场比赛必分输赢，当出现平局时采用点球的方式决出胜负；若德国门将诺伊尔扑出点球的成功率为，在5次点球中，求他扑出的点球个数X的分布列与期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题意，X～B（5，），求出相应的概率，即可求他扑出的点球个数X的分布列与期望．【解答】解：（1）当法国队胜一场，输2场时，P=C31×=；当法国队打平3场时，P==．∴法国队积分为3分的概率=+=；（2）由题意，X～B（5，），P（X=0）=（）5=，P（X=1）=C51××（）4=，P（X=2）=C52×（）2×（）3=，P（X=3）=C53×（）3×（）2=，P（X=4）=C54×（）4×（）=，P（X=5）=C55×（）5=，EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=．20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程组，联解可得a，b的值；（Ⅱ）转化为证明函数y=f（x）﹣（2x﹣2）的最大值不超过0，用导数工具讨论单调性，可得此函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=1+2ax+，由已知条件得：，即解之得：a=﹣1，b=3（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x﹣x2+3lnx，设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，则=当时0＜x＜1，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0所以在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减∴g（x）在x=1处取得最大值g（1）=0即当x＞0时，函数g（x）≤0∴f（x）≤2x﹣2在（0，+∞）上恒成立21．在直角坐标系xOy中，L的参数方程（t为参数），C的参数方程为（θ为参数）．（1）求L和C的普通方程；（2）已知P（0，1），L与C交于A、B两点，求|PA||PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）L的参数方程（t为参数），消去参数t可得普通方程．C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得普通方程．（2）把直线L的参数方程代入圆的普通方程可得：t2+t﹣2=0，利用根与系数的关系可得|PA||PB|=|t1t2|．【解答】解：（1）L的参数方程（t为参数），消去参数t可得：x﹣y+1=0．C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得：（x﹣1）2+y2=4．（2）把直线L的参数方程代入圆的普通方程可得：t2+t﹣2=0，∴t1t2=﹣2，∴|PA||PB|=|t1t2|=2．22．已知函数f（x）=x+（e为自然底数）．（1）当a=e时，求函数y=f（x）的极值；（2）是否存在正数a，使得f（x）＞a在定义域内恒成立？若存在，求此满足要求的a；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（2）构造F（x）=x+﹣a＞0，求出F（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，判断即可．【解答】解：（1）a=e时，f（x）=x+，f′（x）=1﹣，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，∴f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）的最小值是f（1）=2；（2）由f（x）＞a，得：F（x）=x+﹣a＞0，F′（x）=1﹣，（a＞0），令F′（x）＞0，解得：x＞lna，令F′（x）＜0，解得：x＜lna，∴F（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，∴F（x）＞F（lna）=lna+1﹣a＞0，令g（a）=lna+1﹣a，g′（a）=，∴g（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，而g（1）=0，∴g（a）≤0，∴不存在正数a．2018年9月28日。