2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第九节函数的图象及其变换 理

第九节 函数的图象及其变换
知识梳理
函数图象的作图方法有两种：描点法和利用基本函数图象变换作图． 一、描点法作图
用描点法作函数图象的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即____________(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
二、图象变换法作图
1．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的图象及性质．
2．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等．
3．四种图象变换：________________________. (1)平移变换．
①水平平移：函数y ＝f (x ＋h )的图象可以把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向左(h >0)
或向右(h <0)平移|h |个单位长度得到，即y ＝f (x )――――――――→h >0，左移
h <0，右移
y ＝f (x ＋h )； ②竖直平移：函数y ＝f (x )＋k 的图象可以把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴方向向上(k >0)
或向下(k <0)平移|k |个单位长度得到，即y ＝f (x )―――――→k >0，上移
k <0，下移
y ＝f (x )＋k . (2)对称变换．
①函数y ＝－f (x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到； ②函数y ＝f (－x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得到； ③函数y ＝－f (－x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于原点对称得到；
④函数y ＝f －1
(x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称得到；
(3)翻折变换．
①函数y ＝|f (x )|的图象可以将函数y ＝f (x )的图象(如图①)的x 轴下方部分沿x 轴翻
1．掌握图象变换的规律，如平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等．
2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．
折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f (x )的x 轴上方部分即可得到(如图②)；
②函数y ＝f (|x |)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象(如图①)右边沿y 轴翻折到y 轴左边，替代原y 轴左边部分并保留y ＝f (x )在y 轴右边部分即可得到(如图③)．即
(4)伸缩变换．
①函数y ＝f (ax )(a >0)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象中的每一点纵坐标不变，横坐
标缩短(a >1)或伸长(0<a <1)为原来的1
a
倍得到；
②函数y ＝af (x )(a >0)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(a >1)或缩短(0<a <1)为原来的a 倍得到，即
基础自测
1．函数y ＝x |x |的图象大致是( )
解析：y ＝x |x |＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0.对照图象可知选项A 正确．
答案：A
2．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x
＋b 的图象是( )
答案： A
3．设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如下图所示的线段，则在区间[1, 2]上，f (x )＝________.
解析：依题意，函数在区间[1,2]上的图象与线段AB 关于直线x ＝1对称，∴点A (0,2)关于直线x ＝1的对称点A ′(2,2)在所求函数的图象上，易求得f (x )＝x .
答案：x
4．(2013·湖北宜昌质检)函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]的图象如图所示，则f (x )＋f (－x )等于______________________．
解析：由函数图象知f (x )为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝0. 答案：0
1．(2013·四川卷)函数y ＝
x 2
3x
－1
的图象大致是( )
解析：对于函数y ＝
x 2
3x
－1
定义域为{x ∈R ，且x ≠0}，去掉A ，当x <0时，3x －1<0， x 2>0，∴y <0，去掉C 、D ，选B.
答案：B
2．(2012·山东卷)函数y ＝
cos 6x 2x －2
－x 的图象大致为( )
解析：函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A.令y ＝0得cos 6x ＝0，所以，6x
＝π2＋k π，x ＝π12＋k
6
π，函数零点有无穷多个，排除C ，且y 轴右侧第一个零点为⎝⎛⎭⎫π12，0，又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当0<x <π12时，y ＝2x －2－
x >0，cos 6x >0，所以函数y ＝cos 6x 2x －2－x >0，排除B.故选D.
答案：D
1．与函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )
解析：y ＝⎝⎛⎭⎫12x
＋1为减函数，关于y ＝x 对称后也为减函数，故选A. 答案：A
2．已知函数y ＝1
x
，将其图象向左平移a (a ＞0)个单位，再向下平移b (b ＞0)个单位后
图象过坐标原点，则ab的值为________．
解析：图象平移后的函数解析式为y＝
1
x＋a
－b，由题意知
1
a－b＝0，∴ab＝1.
答案：1。