新高中数学(北师大版,必修5)同步练习：3.3.1基本不等式(含答案解析)

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2021学年高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课后习题含解析北师大版必修5.docx

§3基本不等式3.1基本不等式课后篇巩固探究A组1.已知x,y∈R,下列不等关系正确的是()A.x2+y2≥2|xy|B.x2+y2≤2|xy|C.x2+y2>2|xy|D.x2+y2<2|xy|解析:x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|.当且仅当|x|=|y|时等号成立.答案:A2.若x>0,y>0,且√2xy≥x+2y2,则必有()A.2x=yB.x=2yC.x=yD.x=4y解析:因为x>0,y>0,所以x+2y2≥√x·2y,即x+2y2≥√2xy.又√2xy≥x+2y2,所以必有√2xy=x+2y2,所以x=2y.答案:B3.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一解析:因为a+b=cd=4,a+b≥2√ab,所以√ab≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立.又cd≤(c+d)24,所以(c+d)24≥4,所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时,等号成立.所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立,故选A.答案:A4.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中,正确的是()A.log2a>0B.2a-b<12C.2ab+ba<12D.log2a+log2b<-2解析:因为0<a<b,且a+b=1,所以ab<(a+b2)2=14,所以log2a+log2b=log2(ab)<log214=-2.答案:D5.若a>0,b>0,则√a 2+b 22与a+b 2的大小关系是 . 解析:因为a 2+b 22=a 2+b 2+a 2+b 24≥a 2+b 2+2ab4=(a+b )24,所以√a 2+b 22≥a+b 2,当且仅当a=b>0时,等号成立. 答案:√a 2+b 22≥a+b 26.设a>0,b>0,给出下列不等式: (1)(a +1a )(b +1b )≥4; (2)(a+b )(1a +1b )≥4;(3)a 2+9>6a ; (4)a 2+1+1a 2+1>2.其中正确的是 .解析:因为a+1a≥2√a ·1a=2,b+1b≥2√b ·1b=2,所以(a +1a )(b +1b)≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立,所以(1)正确;因为(a+b )(1a +1b )=1+1+ba +ab ≥2+2·√b a ·ab =4,当且仅当a=b>0时,等号成立,所以(2)正确; 因为a 2+9≥22·9=6a ,当且仅当a=3时,等号成立,所以当a=3时,a 2+9=6a ,所以(3)不正确; 因为a 2+1+1a 2+1≥2√(a 2+1)·1a 2+1=2,当且仅当a 2+1=1a 2+1,即a=0时,等号成立,又a>0,所以等号不成立,所以(4)正确. 答案:(1)(2)(4)7.若a ,b 为正实数,a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞),则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y,当且仅当a x =by 时取等号,利用以上结论,函数f (x )=2x +91-2x (x ∈(0,12))取得最小值时,x 的值为 . 解析:由题意可知f (x )=42x +91-2x ≥(2+3)22x+(1-2x ),当且仅当22x =31-2x 时,等号成立,解得x=15. 答案:158.若实数x ,y 满足x 2+y 2+xy=1,求x+y 的最大值. 解由x 2+y 2+xy=1可得(x+y )2=xy+1,又xy ≤(x+y 2)2,所以(x+y )2≤(x+y 2)2+1,整理得34(x+y )2≤1,当且仅当x=y 时取等号.所以x+y∈[-2√33,2√33].所以x+y的最大值为2√33.9.导学号33194061已知a>0,b>0,a+b=1,求证:√a+12+√b+12≤2.证明因为√a+12=√1·(a+12)≤1+a+122=34+a2,当且仅当a=12时取等号,同理√b+12≤34+b2,当且仅当b=12时取等号.所以√a+12+√b+12≤34+a2+34+b2=32+12(a+b)=32+12=2,当且仅当a=b=12时取等号.所以√a+12+√b+12≤2.B组1.已知m>0,n>0,α=m+1m ,β=n+1n,m,n的等差中项为1,则α+β的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析:由已知得,m+n=2,所以α+β=m+1m +n+1n=(m+n)+m+nmn=2+2mn.因为m>0,n>0,所以mn≤(m+n2)2=1.所以α+β≥2+21=4.当且仅当m=n=1时,等号成立.所以α+β的最小值为4.答案:B2.给出下列四个命题:①若a<b,则a2<b2;②若a≥b>-1,则a1+a ≥b1+b;③若正整数m和n满足m<n,则√m(n-m)≤n2;④若x>0,且x≠1,则ln x+1lnx≥2,其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④解析:当a=-2,b=1时,a<b,但a2>b2,故①不成立;对于②,a1+a −b1+b=a(1+b)-b(1+a)(1+a)(1+b)=a-b(1+a)(1+b),因为a≥b>-1,所以a1+a−b1+b≥0,故②正确;对于③,√m(n-m)≤m+n-m2=n2(m<n,且m,n为正整数),当且仅当m=n-m,即m=n2时,等号成立,故③正确;对于④,当0<x<1时,ln x<0,故④不成立.故选B.答案:B3.在算式4×□+△=30的□、△中,分别填入一个正整数使算式成立,并使填入的正整数的倒数之和最小,则这两个正整数构成的数对(□,△)应为()。

2020_2021学年高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课时作业含解析北师大版必修5

课时作业20 基本不等式时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式一定成立的是( B ) A ．3x ＋12x ≥ 6B ．3x 2＋12x2≥ 6C ．3(x 2＋1)＋12(x 2＋1)≥ 6D ．3(x 2－1)＋12(x 2－1)≥ 6解析：A 中x 可能是负数，不成立；B 中当且仅当3x 2＝12x 2，即x 4＝16时取等号，成立；C 中当3(x 2＋1)＝12(x 2＋1)时，(x 2＋1)2＝16，不成立；D 中x 2－1也可能是负数，不成立．故选B.2．给出下列推导过程：①∵x ，y >0，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋yx＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中推导正确的有( B ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：①虽然x ，y >0，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，故①的推导是错误的．②由于a ∈R ，不符合基本不等式的使用条件，故②的推导是错误的．③由xy <0，知x y ，yx均为负数，但推导过程中，将其转变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ，即均为正数后再结合不等式性质推导，符合基本不等式的使用条件，故③的推导是正确的．3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则( B )A ．R b >1， ∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b2.∵a ≠b ，∴“＝”不成立．又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b 2，∴lga ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B.4．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( B ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b2<b解析：∵0<a <b ，∴a ·a <ab . ∴a <ab .由基本不等式知ab <a ＋b2(a ≠b )，又∵0<a <b ，a ＋b <b ＋b ，∴a ＋b2<b .∴a <ab <a ＋b2<b .5．下列不等式一定成立的是( B ) A ．x ＋1x≥2B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x≥2解析：A 项中，当x <0时，x ＋1x<0<2，∴A 错误．B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中，取x ＝1,2－3x －4x<2，∴D 错误．6．下列命题：①x ＋1x≥2(x <0)，②⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，③x 2＋1＋1x 2＋1≥2.其中正确的个数为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①错误，x <0时，x ＋1x是负数；②正确，分x <0和x >0两种情形证明；③正确，直接利用基本不等式．7．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( A ) A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .8．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，G ，H 的大小关系是( A )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b＝2ab a ＋b. 当且仅当a ＝b 时等号成立，又∵函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，∴A ≤G ≤H . 二、填空题9．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是A ≥G .解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .10．若a ，b 是两个实数且a ＋3b ＝4，则3a ＋27b≥18.(填“≥”“＝”或“≤”) 解析：利用基本不等式得：3a＋27b≥23a·27b＝23a·33b＝18. 11．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为P ≥Q . 解析：因为m >1，所以P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2(m －1)·4m －1＋1＝5＝Q ，当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立．三、解答题12．已知a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明：法一：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4b a ·ab＝9. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝12时取“＝”号．∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1b ＋1a ＋1ab＝1＋a ＋b ab ＋1ab. ∵a ＋b ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋2ab.又∵a ，b >0， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14.∴1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”号． ∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋2×4＝9. 13．设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．解：∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1， ∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log at ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12. ——能力提升类——14．设a ，b 是正实数，且a ＋b ＝4，则有( B ) A.1ab ≥12 B.1a ＋1b≥1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≥14解析：由a >0，b >0，且a ＋b ＝4得2ab ≤4⇔ab ≤2，1ab ≥14，1a ＋1b ＝4ab ≥1.又由1a 2＋b 2≤1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，即1a 2＋b 2≤14. 由此可知，A ，C ，D 都不正确，只有B 正确．15．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.证明：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a－1＝b ＋c a ≥2bca>0. 同理，1b－1≥2ac b>0，1c－1≥2ab c>0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ≥8bc ac ababc＝8.。

2022_2022学年高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课时作业含解析北师大版必修5

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤ .
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋ ≥a＋b＋c.
所以＋＋ ≥1.
|
11．假设f(x)＝ x，a，b均为正数，P＝f ，G＝f( )，H＝f ，那么()
A．P≤G≤HB．P≤H≤G
所以＋ ≥ ；
即 ≥ (当且仅当a＝b时取等号)，
又 2＝
≤ ＝ .
所以 ≤ (当且仅当a＝b时等号成立)，
而 ≤ ，
故 ≥ ≥ ≥ (当且仅当a＝b时等号成立)．
C．G≤H≤PD．H≤G≤P
解析：因为a，b均为正数，
所以 ≥ ＝ ≥ ＝，又因为f(x)＝ x为减函数，所以f ≤f( )≤f ，所以P≤G≤H.
答案：A
12．假设a>0，b>0，a＋b＝2，那么以下不等式①ab≤1；② ＋ ≤ ；③a2＋b2≥2；④ ＋ ≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)
当x＝y时，＝xy，④不正确；
当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．
答案：②
三、解答题(每题10分，共20分)
9．设a，b，c为正实数，求证：(a＋b＋c)· ≥4.
证明：因为a，b，c为正实数，
所以(a＋b＋c)·
＝[(a＋b)＋c]
＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝2＋2＝4.
当且仅当＝，即a＋b＝c时，取等号．
C．2abD．a＋b
解析：因为a，b∈(0,1)，所以a2<a，b2<b，
所以a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，
所以2ab<a2＋b2<a＋b.

(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试题(有答案解析)

一、选择题1．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y +的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（） A ．8B ．7C ．6D ．33．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（）A ．5B ．4C ．2D4．不等式112x x ->+的解集是（）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R5．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（） A ．275B ．245C ．5D ．66．下列函数中最小值为4 的是（） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+7．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（） A ．11a b 8．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．1b a< C ．lg(a －b )>0D ．11()()33ab<9．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则AB =（）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-10．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >12．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t+=+，那么（） A ．M N C ．MND ．M 与N 的大小关系和t 有关二、填空题13x =______. 14．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.15．若实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则1x y x ++的取值范围为_____.16．已知正数a ，b 满足(1)(1)1a b --=，则4a b +的最小值等于________.17．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则28a b+的最小值为__________． 18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.19．已知实数,x y 满足11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是________________.20．某港口的水深y （米）随着时间t （小时）呈现周期性变化，经研究可用sincos66y a t b t c ππ=++来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则+a b的取值范围为_______．三、解答题21．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定问题：二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条件的序号).（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22．已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =. （1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()f x y x=的值域；（2）当0a >时，解不等式()0f x <. 23．解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>.24．已知实数x ，y 满足不等式组204030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，求目标函数23z x y =-的最值及相应的最优解．25．已知函数2()(3)2f x ax a x =+-+（其中a ∈R ）. （1）当a ＝－1时，解关于x 的不等式()0f x <；（2）若()1f x ≥-的解集为R ，求实数a 的取值范围. 26．已知函数2()3f x x ax a =-++. （1）当7a =时，解不等式()0f x >；（2）当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min 28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．C解析：C【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.4．A解析：A 【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+，即302x <+，则有20x +<，解得2x <-，所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.解析：A 【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x+=，()13492743433355555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．6．C解析：C 【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y tt（，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．4y ≥=，当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜，不成立．故选C ．7．C解析：C 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a bb a=，故D 错误；故选C. 8．D解析：D 【详解】试题分析：A 中1,2a b ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.10．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-，平移直线12zy x +=-，由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时，直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值，由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=，可知当直线12zy x +=-，经过点A 时，直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值，由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．11．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.12．A解析：A 【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小. 【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<，又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.二、填空题13．4【分析】将所给式子变形为然后利用基本不等式求解即可【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为从而满足基本不等式成立的条件最后计算求解解析：4 【分析】11=+-，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】11≥，111615=-≥=-=，1=4x =时，等号成立. 故答案为：4. 【点睛】11，从而满足基本不等式成立的条件，最后计算求解.14．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点解析：10 【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由32z x y =+，则322z y x =-+，平移直线322zy x =-+，由图象可知当直线322zy x =-+，经过点A 时，直线322z y x =-+，在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由20y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ，此时322210max z =⨯+⨯=，故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15．【分析】作出不等式组对应的平面区域然后化简目标函数利用不等式的几何意义利用线性规划的知识进行求解即可【详解】解：实数满足不等式组的可行域如图三角形的三边及其内部部分：它的几何意义是可行域内的点与连线解析：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出不等式组对应的平面区域，然后化简目标函数，利用不等式的几何意义，利用线性规划的知识进行求解即可. 【详解】解：实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，的可行域如图，三角形ABC 的三边及其内部部分：111x y y x x+++=+，它的几何意义是可行域内的点与()0,1D -连线的斜率加1，由图象知BD 的斜率最小，CB 的斜率最大，由4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得()1,3C ，此时DC 的斜率：3141+=，由25040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得()3,1B ，此时BD 的斜率：11233+=，则1x y x ++的取值范围为是5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题． 16．9【分析】将已知等式变形为然后利用乘1法将进行变形利用基本不等式即可求得【详解】因为所以即又ab 为正数所以当且仅当时等号成立故的最小值等于故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值关键是将已知解析：9【分析】将已知等式变形为111a b +=，然后利用“乘1法”将4a b +进行变形，利用基本不等式即可求得.【详解】因为(1)(1)1a b --=，所以0ab a b --=，即111a b+=.又a ，b 为正数，所以11444(4)14529b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+⋅=⎪⎝⎭，当且仅当3a =，32b =时，等号成立. 故4a b +的最小值等于9. 故答案为：9 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键是将已知条件适当变形，得到111a b+=，以便利用“乘1法”，利用基本不等式求4a b +的最小值.利用基本不等式求最值要注意“正、定、等”的原则.17．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a kb =-，由0a b >>可得10a k b-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得1a b +=．282828()()10b a a b a b a b a b+=++=++，利用基本不等式可得2828281010218b a b a a b a b a b+=++≥+⨯=．详解：画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图．由100y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B ．当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=．所以28282828()()101018b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=．当且仅当2810,0b aa ba ba b⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩即12,33a b==时，上式取“=”号．所以28a b+的最小值为18.点睛：⑴线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b=+>>的最值时，当0b>时，直线z ax by=+越向上平移，z取值越大；当0b<时，直线z ax by=+越向上平移，z取值越小；⑵用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m+=为常数，则111111()()(2)b aa ba b m a b m a b+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可．18．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三解析：843+【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则ABC的面积为111sin1202sin602sin60222ac a c=⋅+⋅︒︒︒，即22ac a c=+，∴1112a c+=.∴3(3)a c a c+=+1132242(423)843c aa c a c⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当33843c aa ca c⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即2232233ac⎧=+⎪⎨=+⎪⎩时取等号.所以，a+3c的最小值为8+43.故答案为：8+43.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.19．【分析】画出可行域再分析直线取最大值的最优解即可【详解】由约束条件作出可行域如图联立目标函数由图可知过A时直线在y轴上的截距最小z有最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题考查解析：12【分析】画出可行域，再分析直线2z x y=-取最大值的最优解即可.【详解】由约束条件11y xx yy≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，联立11(,)122y xAx y=⎧⇒⎨+=⎩．目标函数22z x y y x z=-⇒=-由图可知，过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为12．故答案为：12【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题，考查运算求解能力和数形结合思想，属于基础题.20．【分析】由已知结合辅助角公式可求然后结合基本不等式即可求解【详解】由题意可知（为辅助角）由题意可得故由解得故答案为【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用属于中档题解析：22⎡-⎢⎣⎦【分析】由已知结合辅助角公式可求2294a b +=，然后结合基本不等式22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由题意可知sin cos 666y a t b t c t c πππθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，（θ为辅助角）由题意可得3=，故2294a b +=，由2229228a b a b ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得22a b -≤+≤，故答案为22⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题.三、解答题21．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或12t -= 【分析】(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值；(2). 将任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可.【详解】(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++，所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨+=-⎩解得：12a b =⎧∴⎨=-⎩因为二次函数2()2f x x x c =-+选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=- 0c ∴=；选② ：因为函数(1)f x +是偶函数,所以22(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,所以c 取任意值.选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=，由韦达定理可知：12122,x x x x c +==所以122x x -=解得：0c ；综上：()f x 的解析式为2()2f x x x =-.(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立, 32(log )m f x ∴≤-，[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦令3log t x =，原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,所以实数m 的取值范围为16m ≤-.(3) 因为函数()()(21)3232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x m =>，所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，因为2()2f x x x =-即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，当21=0t -即12t =时，220m --=解得1m =-不合题意；当210t ->即12t >时， 2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;当210t -<即12t时，要想2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，只有()21682102021t t t x t⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩对解得：t =，综上：实数t 的取值范围为12t >或12t -=. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．22．（1）91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）答案见解析. 【分析】（1）由()0f x <的解集转化为2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，求得18a =，得出()12584f x x x x =+-，再分0x >和0x <两种情况，结合基本不等式，即可求解；（2）由题意，得到(1)(2)0ax x --<，分类讨论，即可求得不等式的解集. 【详解】（1）由题意，函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f c ==，所以2()(21)2f x ax a x =-++，因为()0f x <的解集为{|28}x x <<，即2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，所以228c a a ⨯==，所以18a =，所以()12584f x y x x x ==+-，当0x >时，125518444x x +-≥=-，当且仅当4x =时等号成立；当0x <时，12512559848444x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=--+--≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当4x =-时等号成立. 故函数()f x y x =的值域城为91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）由2()(21)2(1)(2)0f x ax a x ax x =-++=--<，因为0a >时，分三种情况讨论：①当12a <，即12a >时，1()02f x x a <⇒<<； ②当12a =，即12a =时，无解； ③当12a >，即102a <<时，1()02f x x a<⇒<<，综上所述，当12a >时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当12a =时，不等式()0f x <的解集为∅；当102a <<时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.23．答案见解析【分析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x -->，再对a 进行分类讨论，比较根的大小，即可得答案；【详解】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x --> （1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<，（3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >，（4）当14a =时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠，（5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >，综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞ 0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫⎪⎝⎭； 14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭; 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意讨论的依据是比较根的大小.24．在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），由2=030x y x -+⎧⎨-=⎩得()3A ，5，由+4=030x y x -⎧⎨-=⎩得()31B ，，由2=0+40x y x y -+⎧⎨-=⎩得()13C ，，作直线:230l x y -=，向上平移直线l ，z 减小，当l 过点()3A ，5时，z 取得最小值23359⨯-⨯=-；向下平移直线l ，z 增大，当l 过点()31B ，时，z 取得最大值23313⨯-⨯=；所以目标函数23z x y =-在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题．25．（1）(62)(62)-∞--+∞，，；（2）962962a -+≤【分析】（1）当0a =时，解一元二次不等式求得不等式()0f x <的解集.（2）化简不等式()1f x ≥-，对a 分成0a ≠和0a >两种情况进行分类讨论，结合一元二次不等式恒成立，求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，由()0f x <得，2420x x --+<，所以2420x x +->，所以不等式的解集为(62)(62)-∞-+∞，，；（2）因为()1f x ≥-解集为R ，所以2(3)21ax a x +-+-≥在R 恒成立，当0a =时，得321x -+-≥，不合题意；当0a ≠时，由2(3)30ax a x +-+≥在R 恒成立，得()203120a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，所以99a -+≤【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 26．（1）(,2)(5,)-∞⋃+∞；（2）[2,6]-.【分析】（1）当7a =是，解一元二次不等式求得不等式()0f x >的解集.（2）利用判别式列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）当7a =时，不等式为27100x x -+>，即(2)(5)0x x -->，∴该不等式解集为(,2)(5,)-∞⋃+∞ .（2）由已知得，若x ∈R 时，230+++≥x ax a 恒成立，24(3)0a a ∴∆=-+≤，即(2)(6)0a a +-≤，∴a 的取值范围为[2,6]-.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.。

高中数学必修5(北师版)第三章不等式3.3 基本不等式(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

，即 x =
1 1 时，f (x) 取得最大值． 6 12
设 a, b, c ∈ R，求证：a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ．证明：因为 a2 + b 2 ⩾ 2ab ，b 2 + c 2 ⩾ 2bc，c 2 + a2 ⩾ 2ca ，所以
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解：设使用 x 年时，年平均费用 y 最少．由于“年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元”，可知汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列．因此汽车使用 x 年的总维修费用为
(a2 + b 2 ) + (b 2 + c 2 ) + (c 2 + a2 ) ⩾ 2ab + 2bc + 2ca,
2
+
2
+
2
⩾
+
+
当且仅当 a = b = c 时，等号成立，所以 a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ．
3.均值不等式的实际应用描述：利用基本不等式解决实际问题的一般步骤： ①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大值或最小值； ④正确写出答案．例题：建造一个容积为 8 m 3 ，深为 2 m 的长方形无盖水池，如果池底的造价是每平方米 120 元，池壁的造价是每平方米 80 元，求这个水池的最低造价．解：设水池的造价为 y 元，池底的长为 x m ，则宽为

新高中数学(北师大版,必修5)同步练习：3.1.1-3.1.2不等关系与不等式(含答案解析)

1.2 不等关系与不等式1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a____b ；如果a －b 等于____，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a____b ，反之也成立． (2)符号表示 a －b>0⇔a____b ； a －b ＝0⇔a____b ； a －b<0⇔a____b.2．常用的不等式的基本性质 (1)a>b ⇔b____a(对称性)； (2)a>b ，b>c ⇒a____c(传递性)； (3)a>b ⇒a ＋c____b ＋c(可加性)；(4)a>b ，c>0⇒ac____bc ；a>b ，c<0⇒ac____bc ； (5)a>b ，c>d ⇒a ＋c____b ＋d ； (6)a>b>0，c>d>0⇒ac____bd ； (7)a>b>0，n ∈N ，n≥2⇒a n ____b n ； (8)a>b>0，n ∈N ，n≥2⇒na____n b.一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a>b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a|c|>b|c| 2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a>a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a>a b 2D.a b >a b 2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a>0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a>0 6．若a>b>c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab>ac B ．ac>bc C ．a|b|>c|b| D ．a 2>b 2>c 2 二、填空题7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a －b 的取值范围为___________________________． 8．若f(x)＝3x 2－x ＋1，g(x)＝2x 2＋x －1，则f(x)与g(x)的大小关系是________． 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 10．设n>1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．三、解答题11．设a>b>0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b 的大小．12．设f(x)＝1＋log x 3，g(x)＝2log x 2，其中x ＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．能力提升13．若0<a 1<a 2,00⇔a>b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b<0⇔a<b. 2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．1．2 不等关系与不等式答案知识梳理1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)>作业设计1．C [对A ，若a>0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立．]2．D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a.]3．C [对于A ，当a<0，b<0时，a 20时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立；对于C ，∵a0，∴1ab 2<1a 2b；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab ＝－1.]4．C [∵1e <x<1，∴－1<ln x<0.令t ＝ln x ，则－1<t<0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t>0，∴a>b. c －a ＝t 3－t ＝t(t 2－1)＝t(t ＋1)(t －1)，又∵－1<t<0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a>0，∴c>a.∴c>a>b.]5．D [由a>|b|得－a<b<a ，∴a ＋b>0，且a －b>0.∴b －a<0，A 错，D 对．a 3＋b 3＝(a ＋b)(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b)[(a －b 2)2＋34b 2]∴a 3＋b 3>0，B 错．而a 2－b 2＝(a －b)(a ＋b)>0，∴C 错．]6．A [由a>b>c 及a ＋b ＋c ＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c ，∴ab>ac.] 7．[－1,6]解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a －b≤6. 8．f(x)>g(x)解析 ∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．9.x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x2＋x 2＝－－2＋x 2≤0，∴x 1＋x 2≤12.10．A>B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数， ∴A>B.11．解方法一作差法 a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b ＝＋2－b 2－－2＋b 22＋b 2＋＝－＋2－2＋b22＋b 2＋＝－＋2＋b 2∵a>b>0，∴a ＋b>0，a －b>0,2ab>0.∴－＋2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.方法二作商法∵a>b>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝＋2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．解 f(x)－g(x)＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f(x)＝g(x)；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x ＜43时，f(x)＜g(x)；当x ＝43时，f(x)＝g(x)；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f(x)＞g(x)．13．A [特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.] 14．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y)2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．。

北师大版高中数学必修五同步练测：3.3基本不等式(含答案解析).docx

§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.下列函数中，最小值为4的函数是（）A.y=x+B.y=sin x+(0＜x＜π)C.y=D.y=+2.已知f(x)＝x+ 2(x＜0),则f(x)的（）A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-43.设a＞1，b＞1且ab-（a+b）=1，那么（）A.a+b有最小值2（2+1）B.a+b有最大值（2+1）2C.ab有最大值2+1D.ab有最小值2（2+1）4.设，则a2+的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题5分，共20分) 5．若实数a，b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围是.6．当a＞1时，+a的最小值为. 7.已知关于x的不等式在x∈(a,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为____________.8.某商场中秋节前30天月饼销售总量f(t)（单位：盒）与时间t(0＜t≤30，单位：天)的关系大致满足＝，则该商场前t天的平均销售量最少为______________.三、解答题(共60分)9．（12分）已知，，∈（0，+∞），求证：2ab+2bc+2ca≥a+b+c.10. (12分)求函数f（x）=2x（5-3x），x∈（0，53）的最大值.11．（12分）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求1x+1y的最小值.12.（12分）某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.计算：仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？13.（12分）某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x).(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：A 项，y =x + 4≥4或x + 4≤-4，∴ A 项不正确；B 项等号不能取到；D 项，y log 34log 3与A项相同，所以只有C 项正确.2.C 解析：∵ x ＜0，∴ -x ＞0，∴ x + 1-2=-[(-x )+ 1]-2≤-2·1-2=-4，等号成立的条件是-x =1，即x =-1.3.A 解析：∵ ab-（a+b ）=1，ab ≤（2a b +）2， ∴ （2a b +）2-（a+b ）≥1，它是关于a+b 的一元二次不等式，解得a+b ≥2（2+1）或a+b ≤2（1-2）（舍去）. ∴ a+b 有最小值2（2+1）. 又∵ ab-（a+b ）=1，a+b ≥2ab ，∴ ab-2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式，解得ab ≥2+1，或ab ≤1-2（舍去）. ∴ ab ≥3+22，即ab 有最小值3+22，选A. 4. D 解析：a 2+1ab +1()a a b -=a 2-ab+ab+1ab +1()a ab - +1()a a b -+ ab +1ab≥2+2=4，当且仅当a （a-b ）=1且ab =1，即a =2，b =22时取等号. 二、填空题5. （-∞，-2］∪［6，+∞）解析：∵ ab ≤，∴ ab =a+b+3≤，∴ （a+b ）2-4（a+b ）-12≥0，即［（a+b ）-6］·［（a+b ）+2］≥0， ∴ a+b ≥6或a+b ≤-2，∴ 所求a+b 的取值范围是（-∞，-2］∪［6，+∞）.6.5解析：41a-+a=41a-+（a-1）+1≥24(1)1aa∙--+1=5，当且仅当41a-=a-1，即a=3时取等号，所以41a-+a的最小值为5.7. 32解析：因为x＞a，所以2x+ 2 =2(x-a)+ 2 +2a≥2 22 +2a=2a+4，即2a+4≥7，所以a≥32，即a的最小值为32.8.18 解析：平均销售量y= 21016 =t+ 16 +10≥18，当且仅当t= 16，即t=4∈［1，30］时等号成立，即平均销售量最少为18.三、解答题9.证明：∵a，b∈（0，+∞），∴2ab+b≥22a=2a，同理2bc+c≥22b=2b，2ca+a≥22c=2c，当且仅当a=b=c时，上述三式均取“=”.三式两边分别相加得2ab+b+2bc+c+2ca+a≥2a+2b+2c，即2ab+2bc+2ca≥a+b+c.10．解：∵x∈(0，53)，∴5-3x＞0.∴f（x）=2x·（5-3x）=23［3(53)x x-］2≤23·(3532x x+-)2=256.当且仅当3x=5-3x，即x=56时，等号成立.故f（x）的最大值为25 6.11.解：因为x＞0，y＞0，且x+2y=1，所以1x+1y=2x yx++2x yy+=1+2+2yx+xy≥3+23+22.当且仅当2yx=xy且x+2y=1，即x=2-1，y=1-22时，取等号.所以1x+1y的最小值为3+22.12.解：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有S=xy.由题意得40x+2×45y+20xy 3 200.由基本不等式得3 200≥2 y+20xy=120xy+20xy=120S+20S，∴S+6S≤160，即（S+16）（S-10）≤0.∵S+16＞0，∴S-10≤0，从而S≤100.因此S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=100，由此求得x=15，即铁栅的长应是15米.13.解：(1)设题中比例系数为k，若每批购入x张书桌，则共需分36批，每批价值为20x元，由题意得f(x)= 36·4+k·20x.由x=4时，f(x)=52，得k= 1680 = 15.∴f(x)= 144 +4x(0＜x≤36，x∈N).(2)由(1)知f(x)= 144 +4x(0＜x≤36，x∈N)，∴f(x)≥2 144448(元). 当且仅当144 =4x，即x=6时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.。

北师大版高中数学必修五同步练测：3.1不等关系(含答案解析).docx

高中数学学习材料唐玲出品§1 不等关系（数学北京师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分） 1.如果c ＜b ＜a ,且ac ＜0，那么下列不等式中不一定成立的是（）A.ab ＞acB.c (b -a )＞0C. ＜D.ac (a -c )＜02.若1a <1b<0，则下列不等式：①a +b <ab ； ②|a |>|b |；③a b ，则下列不等式成立的是（）A. 1a <1bB.a 2>b 2C. 21a c +>21b c + D.a |c |>b |c |4. 已知1，2∈(0，1)，记M ＝12，N12-1，则M 与N 的大小关系是( )A .M ＜NB .M ＞NC .M =ND .不确定二、填空题(每小题5分，共20分)5.若1＜α＜3，＜β＜2，则α |β|的取值范围是_____________.6．已知a >b >0，c <d <0，则b ac -与a b d-的大7．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc ad >0，则c a db>0； ②若ab >0，c a db>0，则bc ad >0； ③若bc ad >0，c a db>0，则ab >0.其中正确命题的个数是 .8.设命题p ：若a ＞b ，则1＜ 1，q ：若1＜0，则ab ＜0.给出以下三个复合命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧q .其中真命题有 ____________ (填序号). 三、解答题(共60分) 9．（12分）已知f （x ），若1≤f （1）≤2，2≤f （2）≤3，求f （3）的范围.10．（12分）已知实数,,满足，，试比较,,的大小.11.（12分）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：12．(12分) 已知，，.求证：，，不能都大于14.13.（12分）若二次函数y=f（x）的图像关于y轴对称，且1≤f（1）≤2，3≤f（2）≤4，求f（3）的范围.§1 不等关系（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§1 不等关系（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1 .C 解析：∵ c ＜b ＜a ，ac ＜0，∴ c ＜0，a ＞0.∴ b ＞c ⇒ab ＞ac ，∴ A 正确. ∵ b -a ＜0，∴ c (b -a )＞0，∴ B 正确. ∵ a ＞c ，∴2＜2；又当b =0时22，∴ C 不一定成立.∵ ac ＜0，a -c ＞0，∴ ac (a -c )＜0.2.B 解析：∵ 1a <1b<0，∴ b <a <0，∴ a +b <0<ab ，|b |>|a |，∴ a 2b ，c 2+1>0，∴ 21a c +>21bc +.4. B 解析：M N121211121 ，∵1，2∈(0，1)，∴1121)＞0，∴ M ＞N .二、填空题5.-3＜α-|β|＜3 解析：∵ -4＜β＜2，∴ 0≤|β|＜4.∴ -4＜-|β|≤0.∴ -3＜α-|β|＜3.6.b ac - a b d- 解析：由题意知 a >b >0， c > d >0， ∴ a c b d 0，∴ 0 1a c - 1b d -.∵ a b 0，∴ b a c - ab d-.7. 3 解析：由bc ad 0得bc ad ，又ab 0，∴ bc ab ad ab ，即c a d b，∴0，故①正确；由，，得ab( ) 0，即bc-ad 0，故②正确；由 >0，得bc ad ab->0，∵ ，∴ ，故③正确.8. ② 解析：∵ p 为假命题，q 为真命题，∴ p ∨q 为真命题.三、解答题9. 解法1：整体代换令f （3）=9a +b = ，则49,1,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5,38.3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即.因为1≤a +b ≤2，2≤4a +b ≤3，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 解法2:巧妙换元令a +b =x ，4a +b =y ，则a =y x -，b =4x y-，1≤x ≤2，2≤y ≤3.因为f （3）=9a +b =853y x-，6≤8y 5x ≤19，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193].解法3：增元换元令2,01,34,01,a b t t a b s s =++≤≤⎧⎨=++≤≤⎩解得1,3453t s a t s b -+⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩.因为0≤t ≤1，0≤s ≤1，且f （3）=9a +b =58143t s -+，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193].10.解：4 42= 2 2≥0，∴ c ≥b .又6 4 3 2，①4 4 2，②由①-②得2 2 22，即12.∵ 12= 12 234 ＞0，∴ 12＞a ，∴ b ＞a ，∴ c ≥b a .11．证明：∵ （b-c ）2≥0，∴ b 2+c 2-2bc ≥0，即b 2+c 2≥2bc.又a >0，∴ a （b 2+c 2）≥2abc .同理b （c 2+a 2）≥2abc ，c （a 2+b 2）≥2abc .∵ a ，b ，c 不全相等，∴ 以上三个式子中至少有一个式子取不到等号. 故12. 证明：假设（1-a ）b14，（1-b ）c 14，（1-c ）a 14，由（1a - b ）2≥0，展开得(1)2a b -+≥(1)a b ->12. 同理可得(1)2b c -+>12，(1)2c a -+>12.∴ (1)2a b -++(1)2b c -++(1)2c a -+>32，即32>32，矛盾. ∴ 原结论成立.13. 解：设f （x ）=ax 2+c （a ≠0），又∵ f （3）=9a +c ，故设λ1f （1）+λ2f （2）=f （3），则有121249,1,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得125,38,3λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ f （3）=8(2)5(1)3f f -.∵ 1≤f （1）≤2，3≤f （2）≤4， ∴ 5≤5f （1）≤10，24≤8f （2）≤32. ∴ 14≤8f （2） 5f （1）≤27. ∴143≤8(2)5(1)3f f -≤9，即143≤f （3）≤9.。

2021-2022学年高中数学北师大版必修5作业：3.3.1 基本不等式

课时分层作业(十八)基本不等式(建议用时：60分钟)一、选择题1．不等式(x－2y)＋1x－2y≥2成立的条件为()A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号B[因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B．]2．已知m＝a＋1a－2(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．m>n B．m<n C．m＝n D．不确定A[因为a>2，所以a－2>0．又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2(a－2)×1a－2＋2＝4(当且仅当a－2＝1a－2，即a＝3时，“＝”成立)．即m∈[4，＋∞]，由b≠0得b2≠0，所以2－b2<2．所以22－b2<4，即n<4．所以n∈(0,4)，综上易知m>n．]3．下列不等式中正确的是()A．a＋4a≥4 B．a2＋b2≥4abC．ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥2 3D[若a<0，则a＋4a≥4不成立，故A错误．取a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B 错误．取a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错误．由基本不等式可知选项D 正确．]4．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q2的大小关系是( )A ．s ＝p ＋q2 B ．s ≤p ＋q2 C ．s >p ＋q 2D ．s ≥p ＋q2B [由已知得(1＋s %)2 ＝(1＋p %)(1＋q %) ≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋q %22，于是1＋s %≤1＋p %＋q %2．故s ≤p ＋q2．]5．设M ＝3x ＋3y2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy(x ，y >0，且x ≠y )，则M ，N ，P 大小关系为( )A ．M <N <PB ．N <P <MC ．P <M <ND ．P <N <MD [由基本不等式可知3x ＋3y 2≥3x 3y ＝(3)x ＋y ＝3x ＋y2≥3xy，因为x ≠y ，所以等号不成立，故P <N <M ．]二、填空题 6．若a <1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是． a ＋1a －1≤－1 [因为a <1，即a －1<0，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(1－a )·11－a ＝2．即a ＋1a －1≤－1．] 7．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是． (a －b )(b －c )≤a －c2 [因为a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0． (a －b )(b －c )≤a －b ＋b －c 2＝a －c2．当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．所以(a －b )(b －c )≤a －c2．]8．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．≤ [因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥t ，所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ．] 三、解答题9．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，求证：x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x 中，至少有一个大于2．[证明] x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥2x ·1x ＋2y ·1y ＋2z ·1z ＝6，又x ，y ，z 互不相等，则x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x >6，所以，x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x 至少有一个大于2． 10．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，则abc ＝1．求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c ．[证明] 因为a ，b ，c 都是正实数，且abc ＝1，所以1a ＋1b ≥21ab ＝2c ，1b ＋1c ≥21bc ＝2a ， 1a ＋1c ≥21ac ＝2b ，以上三个不等式相加，得 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，又因为a ，b ，c 不全相等的正实数，所以a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c ．1．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >b >0) C.2ab a ＋b≤ab (a >b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >b >0)D [由图形可知：OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在直角△OCF 中，由勾股定理可得： CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ， ∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )，(a ，b >0)．]2．给出下面四个推导过程： ①∵a 、b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2；②∵x 、y 为正实数，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4； ④∵x 、y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋yx ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2．其中正确的推导为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④D [①∵a 、b 为正实数，∴b a 、ab 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②虽然x 、y 为正实数，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，故②的推导过程是错误的．③∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的． ④由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．] 3．若0<a (a ＋b )22＝12，2ab ＝2a (1－a )＝－2(a －12)2＋12<12，所以a ，12，2ab ，a 2＋b 2中最大的是a 2＋b 2．]4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系是．C ≥B ≥A [2ab a ＋b ≤2ab 2ab ≤ab ≤a ＋b 2，又∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ≥f (ab )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即C ≥B ≥A ．] 5．设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1. (1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. [证明] (1)由题设可知，a ，b ，c 均不为零，所以 ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)] ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，因为abc ＝1，a ＝－(b ＋c )，所以a ＞0，b ＜0，c ＜0.由bc ≤(b ＋c )24，可得abc ≤a 34，故a ≥34，所以max{a ，b ，c }≥34.。

高中数学必修五北师大版 3.1基本不等式作业(含答案)1

§3 基本不等式3.1 基本不等式双基达标 (限时20分钟)1．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是 ( )．A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3解析 3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当3x ＝3y 即x ＝y ＝52时取等号．答案 D2．设a ＞0，b ＞0，下列不等式中，不正确的是 ( )．A ．a 2＋b 2≥2|ab | B. b a ＋a b≥2 C. b 2a ＋a 2b ≥a ＋b D .1a ＋1b ≤1a ＋b解析 A 、B 显然正确；C 中b 2a ＋a 2b－(a ＋b ) ＝a 3＋b 3－ab (a ＋b )ab ＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－ab (a ＋b )ab＝(a ＋b )(a 2－2ab ＋b 2)ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab≥0， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ；D 中1a ＋1b －1a ＋b ＝(a ＋b )2－ab ab (a ＋b )＝a 2＋b 2＋ab ab (a ＋b )＞0，∴1a ＋1b ＞1a ＋b ，∴D 不正确．答案 D3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 ( )．A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析 ∵a ＋b ＝2，∴(a ＋b )2＝4，∴2(a 2＋b 2)＝a 2＋a 2＋b 2＋b 2≥a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2， ∴a 2＋b 2≥2.答案 C4．若a ，b ∈(0，＋∞)，满足a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的取值范围是________．解析 ∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解之a ＋b ≥6，当且仅当 a ＝b ＝3时取等号．答案 [6，＋∞) 5．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③a ＋b ab≤2；④x 2＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是________．解析由基本不等式可知①④正确．答案 26．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明 ∵ a ＋12＝ 1·⎝⎛⎭⎫a ＋12≤1＋a ＋122＝34＋a 2， b ＋12＝ 1·⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1＋b ＋122＝34＋b 2， ∴ a ＋12＋ b ＋12≤34＋34＋12(a ＋b )＝2 (当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”)．综合提高（限时25分钟）7．下列结论正确的是 ( )．A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x最小值为2 D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值答案 B8．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个数大于1”的条件是 ( )．A ．②③B ．①②③C ．③④⑤D ．③解析 ③显然合适．①中令a ＝23，b ＝23，②中a ＝b ＝1，④中a ＝－3，b ＝0，⑤中a ＝－1，b ＝－4.答案 D9．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________．解析 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，∵a ＞2，∴a －2＞0，∴m ≥2 (a －2)·1a －2＋2＝4，即m ∈[4，＋∞)．∵b ≠0，∴b 2≠0，∴2－b 2＜2，∴2a －b 2＜4，即n ＜4，∴m ＞n .答案 m ＞n10．下列不等式的证明过程： (1)若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2； (2)若x ＞0，y ＞0，则lg x ＋lg y ≥2 lg x ·lg y ；(3)若x ，y ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2 |x |·4|y |； (4)若a ，b ∈R ，ab ＜0，则b a ＋a b＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－b a ＋⎝⎛⎭⎫－a b ≤－2 ⎝⎛⎭⎫－b a ·⎝⎛⎭⎫－a b ＝－2. 其中正确的序号是________．解析 ①②③都错在符号上．答案 ④ 11．设a ，h 分别为△ABC 的底边和高，且满足ah ＋4a ＋h ＝12，求△ABC 的面积S 的最大值．解因为a ，h ＞0，所以4a ＋h ≥24ah ＝4ah .所以由原式可得ah ＋4 ah ≤12，即(ah )2＋4ah －12≤0.所以－6≤ah ≤2，又ah ＞0，所以0＜ah ≤2，当4a ＝h 时，有a ＝1或a ＝－3(舍去)，即当a ＝1时，取等号，此时ah 有最大值2.所以当a ＝1，h ＝4时，S △ABC 的面积最大值为2.12．(创新拓展)求证：log 0.5⎝⎛⎭⎫14a ＋14b ≤a ＋b －1.证明因为14a ＋14b ≥2 14a ·14b ＝2·2－a ·2－b ＝2－(a ＋b －1)＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b －1，又因为y ＝log 0.5x 为减函数，所以log 0.5⎝⎛⎭⎫14a ＋14b ≤log 0.5⎝⎛⎭⎫12a ＋b －1＝a ＋b －1，当且仅当14a ＝14b ，得a ＝b 时，等号成立．。

高中数学北师大版必修5同步精练3.3基本不等式 Word版含答案

．基本不等式基础巩固当，∈时，下列不等关系成立的是( )≥．－≥．＋≥．－≥已知，∈，下列不等关系正确的是( )．＋≥．＋≤．＋＞．＋＜已知＞，求证：＋≥，并推导出式中等号成立的条件．已知＜，求证：－＋≥.已知、、是不全相等的正数，求证：(＋)＋(＋)＋(＋)＞.综合过关某民营企业生产的一种电子产品，年的产量在年的基础上增长率为；年又在年的基础上增长率为(，＞)．若这两年的平均增长率为，则( )．＝．≥．≤．与的大小不确定设＞，＞，给出下列不等式：①＋＞；②(＋)(＋)≥；③(＋)(＋)≥；④＋＞；⑤＋＋＞.其中恒成立的是．能力提升已知、是正数，且＋＝(、∈(，＋∞))，求证：＋≥(＋).参考答案答案：解析：＋＝＋≥＝.答案：证明：因为＞，所以＞，＞.由基本不等式，得＋≥＝，即＋≥.当且仅当＝，即＝时式中等号成立．因为＞，，同号，所以＝，即式中等号成立的条件是＝.证明：∵＜，∴－＞.∴－＋≥＝，当且仅当－＝，即＝－时取等号．∴－＋≥.分析：本题的结论是关于、、的轮换对称式(、、在不等式中的作用对等，交换其中任意两个位置，结论仍成立)，只需证明(＋)≥，其他同理可证．证明：∵＋≥，＞，∴(＋)≥.①同理(＋)≥，②(＋)≥.③因为、、不全相等，所以①②③中至少有两式不能取“＝”号．∴(＋)＋(＋)＋(＋)＞.解析：设年产量为，则年产量为(＋)(＋)＝(＋)，即＋＝≤＝＋，∴≤.答案：解析：∵＋≥＝，且＞，∴＞，∴①正确；∵＋≥＝，＋≥＝，∴(＋)(＋)≥，当且仅当＝，＝时等号成立，故②正确；∵(＋)(＋)＝＋＋＋≥＋·＝，当且仅当＝＝时等号成立，故③正确；∵＋≥＝，当且仅当＝时等号成立，故当＝时，＋＝，故④不正确；∵＋＋≥＝，当且仅当＝时等号成立，又＞，所以等号不成立，故⑤正确．答案：①②③⑤分析：不等式左端是＋(不含、)，而右端是(＋)(含有、)，又知＋＝，所以将＋乘，也即＋乘＋可得出相应式子，从而可应用基本不等式．证明：左式＝＋＝(＋)(＋)＝＋＋＋≥＋＋＝(＋)＝右式．当且仅当＝，即＝时取“＝”，故＋≥(＋).。

高中数学北师大版必修5 第三章3.1 基本不等式作业2 含解析

, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin xC ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81解析：选C.A 、D 不能保证是两正数之和，而B 中sin x 取不到2.只有C 项满足两项均为正．当且仅当x ＝ln 2时等号成立．2．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞n B ．m ＜nC ．m ＝nD ．不确定解析：选A.因为a ＞2，所以a －2＞0.又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2（a －2）×1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立)．即m ∈[4，＋∞)，由b ≠0得b 2≠0，所以2－b 2＜2.所以22－b 2＜4，即n ＜4.所以n ∈(0，4)，综上易知m ＞n .3．下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x2≥2 3 解析：选D.a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab .故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 4．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q 2的大小关系是( ) A ．s ＝p ＋q 2 B ．s ≤p ＋q 2C ．s >p ＋q 2D ．s ≥p ＋q 2解析：选B.由已知得(1＋s %)2＝(1＋p %)(1＋q %)≤⎝⎛⎭⎫1＋p %＋1＋q %22＝⎝⎛⎭⎫1＋p %＋q %22，于是1＋s %≤1＋p %＋q %2. 故s ≤p ＋q 2. 5．设M ＝3x ＋3y2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy (x ，y ＞0，且x ≠y )，则M ，N ，P 大小关系为( ) A ．M ＜N ＜P B ．N ＜P ＜MC ．P ＜M ＜ND ．P ＜N ＜M解析：选D.由基本不等式可知3x ＋3y 2≥3x 3y ＝(3)x ＋y ＝3x ＋y 2≥3xy ，因为x ≠y ，所以等号不成立，故P ＜N ＜M .6．当0＜x ＜2时，不等式x (2－x )≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为0＜x ＜2，所以2－x ＞0，所以x (2－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋2－x 22＝1，当且仅当x ＝2－x 即x ＝1时等号成立．所以a ≥1.答案：[1，＋∞)7．已知a ＞b ＞c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c 2的大小关系是________．解析：因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0.（a －b ）（b －c ）≤a －b ＋b －c 2＝a －c 2.当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．所以（a －b ）（b －c ）≤a －c 2. 答案：（a －b ）（b －c ）≤a －c 28．若a >1，01，01，00且a ≠1)，当x 1≠x 2时，比较f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22与f （x 1）＋f （x 2）2的大小．解：因为f (x )＝a x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝a x 1＋x 22，12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12(ax 1＋ax 2)．因为a >0且a ≠1，x 1≠x 2，所以a x 1>0，a x 2>0，且a x 1≠a x 2，所以12(a x 1＋a x 2)> a x 1·a x 2＝a x 1＋x 22，即f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<12[f (x 1)＋f (x 2)]．10．已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＞3. 证明：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c－3 ＝⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3.因为a ，b ，c 都是正数，所以b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，同理c a ＋a c ≥2，c b ＋b c≥2，所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥6.因为a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号，所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＞6，所以b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＞3. [B.能力提升]1．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D.因为2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1，所以22x ＋y ≤1，所以2x ＋y ≤14＝2－2，所以x ＋y ≤－2，即(x ＋y )∈(－∞，－2]．2．设a ＞b ＞c ＞0，则2a 2＋1ab ＋1a （a －b ）－10ac ＋25c 2的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞)C ．[25，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选B.2a 2＋1ab ＋1a （a －b ）－10ac ＋25c 2 ＝2a 2＋a －b ＋b ab （a －b ）－10ac ＋25c 2 ＝2a 2＋1b （a －b ）－10ac ＋25c 2≥2a 2＋1⎝⎛⎭⎫b ＋a －b 22－10ac ＋25c 2(当b ＝a －b 时取“＝”号)＝2a 2＋4a 2－10ac ＋25c 2 ＝(a 2＋4a 2)＋(a －5c )2≥4.(当且仅当a ＝2，b ＝22，c ＝25时取“＝”号)． 3．设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式：①a 2＋1＞a ；②⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号)．解析：由于a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2. 所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立，当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不能恒成立．答案：①②③4．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________．解析：原式等价于x ＋y ＋3＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以x ＋y ＋3≤（x ＋y ）24，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0.解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．所以x ＋y 的取值范围是[6，＋∞)．答案：[6，＋∞)5．设x 是实数，且满足等式x 2＋12x＝cos θ，你能利用基本不等式和余弦函数的性质求出θ吗？解：(1)当x ＞0时，x 2＋12x ≥2x 2·12x＝1，当且仅当x ＝1时，取等号．又－1≤cos θ≤1，所以cos θ＝1. (2)当x ＜0时，x 2＋12x＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x 2＋⎝⎛⎭⎫－12x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x 2·⎝⎛⎭⎫－12x ＝－1，当且仅当x ＝－1时取等号，又－1≤cos θ≤1，所以cos θ＝－1.综上知cos θ＝±1，所以θ＝k π，k ∈Z .6．是否存在常数c ，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤c ≤x x ＋2y ＋y 2x ＋y对任意正实数x ，y 恒成立？证明你的结论．解：当x ＝y 时，由已知不等式得c ＝23.下面分两部分给出证明： (1)先证x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23，此不等式⇔3x (x ＋2y )＋3y (2x ＋y )≤2(2x ＋y )(x ＋2y )⇔2xy ≤x 2＋y 2，此式显然成立． (2)再证x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23，此不等式⇔3x (2x ＋y )＋3y (x ＋2y )≥2(x ＋2y )(2x ＋y )⇔x 2＋y 2≥2xy ，此式显然成立．综上可知，存在常数c ＝23，对任意的实数x ，y 使题中的不等式成立．。

【创新设计】高中数学(北师大版必修五)配套练习：3.3.1基本不等式(含答案解析)

3.1 基本不等式课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab(当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b 2____ab(当且仅当a____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中________称为a ，b 的算术平均数，______称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22 (a ，b ∈R)；(2)当x>0时，x ＋1x ≥____；当x<0时，x ＋1x ≤______.(3)当ab>0时，b a ＋a b ≥____；当ab<0时，b a ＋ab ≤____.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R)．一、选择题1．已知a>0，b>0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b中最小的是( ) A.a ＋b2 B.abC.a 2＋b 22 D.2aba ＋b2．已知m ＝a ＋1a －2 (a>2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x<0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m>n B ．m<n C ．m ＝n D ．m ≤n 3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab<1<a 2＋b 22C ．ab<a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab<14．已知正数0<a<1,0<b<1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 5．设0<a<b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 26．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3二、填空题7．若a<1，则a ＋1a －1有最______值，为________．8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．10．若对任意x>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c.12．a>b>c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c ，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c<1a ＋1b ＋1c .§3 基本不等式 3．1 基本不等式答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝基本 a ＋b2ab 3．(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥作业设计1．D [方法一特殊值法．令a ＝4，b ＝2，则a ＋b2＝3，ab ＝8，a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2aba ＋b最小．方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22，可知2aba ＋b最小．] 2．A [∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4.∴m>n.]3．B [∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab<1，又∵a 2＋b 22>a ＋b2>0， ∴a 2＋b 22>1，∴ab<1<a 2＋b 22.]4．D [因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b>2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b)＝a(a －1)＋b(b －1)，又0<a<1,0<b<1，所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大．] 5．B [∵ab<⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab<14，∴2ab<12.∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，∴ a 2＋b 22>12， ∴a 2＋b 2>12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b(1－b)－a 2＝ab －a 2＝a(b －a)>0，∴b>a 2＋b 2，∴b 最大．]6．B [x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2.] 7．大－1解析 ∵a<1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a)＋11－a≥2(a ＝0时取等号)，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.8．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x>0，y>0， ∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)． 9．3解析 ∵x>0，y>0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 10.⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 ∵x>0，∴x x 2＋3x ＋1>0，易知a>0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3. ∵x>0，x ＋1x ＋3≥2x·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c)，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c. 12．解 ∵a>b>c ，∴a －b>0，b －c>0，a －c>0. ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c， ∴n ≤a －c a －b ＋a －cb －c .∵a －c ＝(a －b)＋(b －c)，∴n ≤(a －b)＋(b －c)a －b ＋(a －b)＋(b －c)b －c ，∴n ≤b －c a －b ＋a －bb －c ＋2.∵b －c a －b ＋a －b b －c≥2 (b －c a －b )·(a －b b －c)＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4.13．C [只需求(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2 a·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a·x y ＝yx即可，所以(a)2＋2 a ＋1≥9，即(a)2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4.] 14．证明 ∵1a ＋1b ≥21ab＝2c ， 1b ＋1c ≥2 1bc ＝2a ， 1c ＋1a≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c)，即1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋ c. ∵a ，b ，c 为不等正实数， ∴a ＋b ＋c<1a ＋1b ＋1c .。

2020-2021学年北师大版高中数学必修五《不等式》同步练习题及解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修五不等式同步练习一、选择题1. 不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log 2|2|22x x 的解集为( ) A ． (0,3)；B 。

(3,2)；C 。

(3,4)；D 。

(2,4)。

2．若a >0，b >0，则不等式－b <1x <a 等价于（）A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a3．已知不等式1()()9a x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）Ａ.8 Ｂ.6 C.4 D.24．在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y sy x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（）A. ]15,6[B. ]15,7[C. ]8,6[D. ]8,7[5. 设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（）A. )0,(-∞B. ),0(+∞C. )3log ,(a -∞D. ),3(log +∞a6.当20π<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（） A. 2B. 32C. 4D. 34二、填空题7．已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于_________,最大值等于____________.8.对a,b ∈R,记max|a,b|=⎩⎨⎧≥b a b b a a ＜,,函数f （x ）＝max||x+1|,|x-2||(x ∈R)的最小值是 .9．已知变量x,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2.若目标函数z=ax+y(其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为___________.10.设实数x, y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- .三、解答题11.设集合M={x|ax 2-2(a+1)x-1>0},已知M ≠φ，+⊆R M ,求a 的取值范围12.某工厂制造甲，乙两种产品，已知制造甲产品1千克要用煤9吨，用电力4千瓦，劳动力（按工作日算）3个；制造乙产品1千克要用煤4吨，用电力5千瓦，劳动力（按工作日算）10个。

高中数学 3.3 基本不等式同步精练北师大版必修5

高中数学 3.3 基本不等式同步精练北师大版必修5基础巩固1当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是( ) A.a ＋b2≥ab B ．a －b ≥2abC ．a 2＋b 2≥2ab D ．a 2－b 2≥2ab 2已知x ，y ∈R ，下列不等关系正确的是( ) A ．x 2＋y 2≥2|xy | B ．x 2＋y 2≤2|xy | C ．x 2＋y 2＞2|xy | D ．x 2＋y 2＜2|xy | 3已知ab ＞0，求证：b a ＋ab≥2，并推导出式中等号成立的条件． 4已知x ＜0，求证：－x ＋4－x≥4.5已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc . 综合过关6某民营企业生产的一种电子产品，2007年的产量在2006年的基础上增长率为a ；2008年又在2007年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)．若这两年的平均增长率为q ，则( )A ．q ＝a ＋b2 B ．q ≥a ＋b2C ．q ≤a ＋b2D ．q 与a ＋b2的大小不确定7设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2＋1＞a ； ②(a ＋1a )(b ＋1b)≥4；③(a ＋b )(1a ＋1b)≥4；④a 2＋9＞6a ； ⑤a 2＋1＋1a 2＋1＞2. 其中恒成立的是__________．能力提升8已知a 、b 是正数，且a x ＋b y＝1(x 、y ∈(0，＋∞))，求证：x ＋y ≥(a ＋b )2.参考答案1答案：C2解析：x 2＋y 2＝|x |2＋|y |2≥2|x ||y |＝2|xy |. 答案：A3证明：因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b＞0. 由基本不等式，得b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2，即b a ＋ab≥2. 当且仅当b a ＝a b，即a 2＝b 2时式中等号成立．因为ab ＞0，a ，b 同号，所以a ＝b ，即式中等号成立的条件是a ＝b . 4证明：∵x ＜0， ∴－x ＞0. ∴－x ＋4－x≥2－x ×4－x＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时取等号． ∴－x ＋4－x≥4.5分析：本题的结论是关于a 、b 、c 的轮换对称式(a 、b 、c 在不等式中的作用对等，交换其中任意两个位置，结论仍成立)，只需证明a (b 2＋c 2)≥2abc ，其他同理可证．证明：∵b 2＋c 2≥2bc ，a ＞0，∴a (b 2＋c 2)≥2abc . ① 同理b (c 2＋a 2)≥2abc ， ②c (a 2＋b 2)≥2abc . ③因为a 、b 、c 不全相等，所以①②③中至少有两式不能取“＝”号．∴a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc .6解析：设2006年产量为1，则2008年产量为 (1＋a )(1＋b )＝(1＋q )2，即1＋q ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，∴q ≤a ＋b2.答案：C7解析：∵a 2＋1≥2a 2·1＝2a ，且a ＞0，∴2a ＞a ，∴①正确；∵a ＋1a≥2a ·1a ＝2，b ＋1b ≥2b ·1b＝2，∴(a ＋1a)(b ＋1b)≥4，当且仅当a ＝1，b ＝1时等号成立，故②正确；∵(a ＋b )(1a ＋1b )＝1＋1＋b a ＋ab≥2＋2·b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故③正确；∵a 2＋9≥2a 2·9＝6a ，当且仅当a ＝3时等号成立，故当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不正确；∵a 2＋1＋1a 2＋1≥2a 2＋1·1a 2＋1＝2，当且仅当a ＝0时等号成立，又a ＞0，所以等号不成立，故⑤正确．答案：①②③⑤8分析：不等式左端是x ＋y (不含a 、b )，而右端是(a ＋b )2(含有a 、b )，又知a x ＋by＝1，所以将x ＋y 乘1，也即x ＋y 乘a x ＋b y可得出相应式子，从而可应用基本不等式．证明：左式＝x ＋y ＝(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2＝右式．当且仅当ay x ＝bx y ，即x 2y 2＝a b时取“＝”，故x ＋y ≥(a ＋b )2.3.2 基本不等式与最大(小)值基础巩固1已知a ，b ∈R ，下列不等式不成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a 2＋b 2≥2ab C ．ab ≤(a ＋b2)2D ．|a |＋|b |≥2|ab |2设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正数，则xy 的最大值是( ) A ．400 B ．100 C ．40 D ．203已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是…… ( ) A ．10 B ．25 C ．5 D ．210 4已知m ，n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是…… ( ) A ．100 B ．50 C ．20 D ．105已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是( ) A ．200 B ．100 C ．50 D ．20 6已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为______． 7求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值． 8已知f (x )＝12x＋4x ，(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值； (2)当x ＜0时，求f (x )的最大值．9某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10 000平方米，每座球场的建筑面积均为1 000平方米，球场总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关，当该球场建n 个时，每平方米的平均建筑费用用f (n )表示，且f (n )＝m (1＋n －520)(其中n ∈N )，又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应建几个球场？综合过关10下列结论正确的是( ) A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值11若b ＜a ＜0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2＜b2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b | 12设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab ＜1＜a 2＋b 22C ．ab ＜a 2＋b 22＜1 D.a 2＋b 22＜ab ＜113函数y ＝log a (x －1)＋1(a ＞0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx＋n 的图像上，其中m ，n ＞0，则1m ＋2n的最小值为______．能力提升14设a ＞b ＞0, 那么 a 2＋1ba －b的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．515已知a ，b ，c ∈{正实数}且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.参考答案1答案：A 2解析：xy ≤(x ＋y2)2＝400，当且仅当x ＝y ＝20时等号成立．答案：A3解析：a ＋b ≥2ab ＝210，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立．答案：D 4解析：mn ≤m 2＋n 22＝1002＝50，当且仅当m ＝n ＝50或m ＝n ＝－50时等号成立．答案：B5解析：p 2＋q 2≥2pq ＝200，当且仅当p ＝q ＝10或p ＝q ＝－10时等号成立．答案：A6解析：∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0，则x (3－3x )＝3[x (1－x )]≤3×(x ＋1－x2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时取等号．答案：127分析：可将原函数解析式变形，凑配成积为定值的形式．解：y ＝1x －3＋x －3＋3， ∵x ＞3，x －3＞0，1x －3＞0， ∴y ≥21x －3·x －3＋3＝5，当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时，y 有最小值5. 8分析：由12x，4x 的积是定值，因此可以利用基本不等式求最值，但要注意x 的符号．解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0，∴12x＋4x ≥212x·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3. (2)∵x ＜0，∴－x ＞0，则－f (x )＝12－x＋(－4x )≥212－x·－4x ＝83，当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.9分析：每平方米的综合费用为f (n )＋每平方米的购地费用，利用n ＝5，f (n )＝400求出m ，这样用n 表示每平方米的综合费用，用基本不等式求出最小值．解：设建成n 个球场，则每平方米的购地费用为128×1041 000n ＝1 280n ，由题意知n ＝5，f (n )＝400，则f (5)＝m (1＋5－520)＝400，所以m ＝400，所以f (n )＝400(1＋n －520)＝20n ＋300，从而每平方米的综合费用为y ＝f (n )＋1 280n ＝20(n ＋64n)＋300≥20×264＋300＝620(元)，当且仅当n ＝8时等号成立，所以当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省．10解析：A 中，当x ＞0且x ≠1时，lg x 不一定是正数，所以A 不正确；C 中，当x ≥2时，x ＋1x≥2x ×1x＝2中的等号不成立，所以C 不正确；D 中，当0＜x ≤2时，可以证明函数y ＝x －1x 是增函数，则其最大值是f (2)＝32，所以D 不正确；B 中，满足基本不等式的条件一正二定三相等，所以B 正确．答案：B11解析：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＜0，所以A 正确；ab －b 2＝b (a －b )＜0，所以B 正确；由于b a ＞0，a b ＞0，且b a ≠a b ，则b a ＋a b ＞2b a ×ab＝2，所以C 正确；当b ＝－2，a ＝－1时，|a |－|b |＝1－2＝－1≠|a －b |＝1，所以D 不正确．答案：D12解析：从所给的选项来看，就是要比较ab 、1与a 2＋b 22的大小关系，最基本的方法就是采用差值比较法，也可利用不等式a 2＋b 2≥2ab 及其变形来考虑，并且注意等号取得的条件是否具备．由a ＋b ＝2，且a ≠b ，得a 2＋b 22＞(a ＋b2)2＝1＞ab .答案：B13解析：A (2,1)，则1＝2m ＋n ，又m ，n ＞0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋22m ＋nn＝4＋nm＋4m n ≥4＋24＝8，当且仅当n m ＝4m n 即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n的最小值为8. 答案：814解析：由 a ＞b ＞0, 可知0＜b (a －b )＝a 24－(b －a 2)2≤14a 2，所以 a 2＋1ba －b≥a 2＋4a 2≥4，当且仅当a ＝2，b ＝22时等号成立．答案：C15分析：不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bca，可由此变形入手．证明：∵a ，b ，c ∈{正实数}，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bca，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．。

高中数学《3.3.1基本不等式》随堂自测(含解析) 北师大版必修5

2013年高中数学《3.3．1基本不等式》随堂自测（含解析）北师大版必修51．下列不等式中，对任意实数x 都成立的是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg xB ．x 2＋1>2xC.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2 解析：选C.A 、D 中，x <0时都不成立，在B 中，x ＝1时不成立，故选C. 2．下列不等式正确的是( )A ．a ＋1a ≥2B ．(－a )＋(－1a)≤－2C ．a 2＋1a2≥2D ．(－a )2＋(－1a)2≤－2解析：选C.∵a 2＋1a2中a 2>0，∴a 2＋1a22≥a 2×1a2，即12(a 2＋1a 2)≥1，∴a 2＋1a 2≥2，故选C. 3．式子a b ＋ba的取值范围是________．解析：当ab >0时，a b >0，b a >0，则a b ＋b a≥2，当ab <0时，a b <0，b a<0，此时－a b >0，－b a>0，∴(－a b )＋(－b a )≥2.∴a b ＋b a ＝－[(－a b )＋(－ba )]≤－2， ∴ab ＋ba∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 4．设a >0，b >0，给出下列不等式：(1)a 2＋1>a ；(2)(a ＋1a )(b ＋1b )≥4；(3)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4，其中恒成立的是________．解析：∵(a 2＋1)－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，故(1)恒成立；∵a >0，∴a ＋1a≥2，∵b >0，∴b ＋1b ≥2，∴当a >0，b >0时，(a ＋1a )(b ＋1b )≥4，故(2)恒成立；∵(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a＋a b ，又∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2，∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4，故(3)恒成立．答案：(1)(2)(3)[A 级基础达标]1．(2012·宿州调研)若x >0，则x ＋4x的最小值为( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析：选D.∵x >0，∴x ＋4x ≥2x ·4x (当且仅当x ＝2时等号成立)；∴x ＋4x≥4，故选D.2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则ab ，a ＋b 2， a 2＋b 22，2aba ＋b的大小顺序是( )A.a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ≥ a 2＋b 22B.2ab a ＋b ≥ a 2＋b 22≥ab ≥a ＋b 2C. a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋bD.a ＋b 2≥2ab a ＋b ≥ a 2＋b 22≥ab解析：选C.∵a ＋b2≥ab ，即a ＋b ≥2ab ＝2abab，∴ab ≥2ab a ＋b ，又由 a 2＋b 22≥a ＋b 2，故C 正确．3．(2012·蚌埠质检)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D．a 2＋b 2≥8解析：选D.∵a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，∴a 2＋b 22≥(42)2，即a 2＋b 22≥4，∴a 2＋b 2≥8，故选D.4．若xy ＝1，则下列结论中正确的是________．①x ＋y ≥2；②x ＋y ≤－2；③2x ＋8y ≥8或2x ＋8y ≤－8；④|x ＋y |≥2；⑤x 2＋y 2≥2. 解析：∵xy ＝1>0，∴x 、y 同号，∴当x 、y ∈(0，＋∞)时，x ＋y ≥2xy ，即x ＋y ≥2；当x 、y 为负数时，x ＋y ＝－[(－x )＋(－y )]，此时(－x )＋(－y )≥2xy ，即－(x ＋y )≥2，∴x ＋y ≤－2，因此，x ＋y ≥2或x ＋y ≤－2.题中①、②都错误；同样方法可得：2x ＋8y ≥8或2x ＋8y ≤－8，故③正确；∵|x ＋y |＝|x |＋|y |≥2|xy |，∴|x ＋y |≥2，故④正确；又∵x 2＋y 2≥2xy ，∴x 2＋y 2≥2，故⑤正确．答案：③④⑤5．已知a >b >c ，则a －b b －c 与a －c2的大小关系是________．解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，∴a －b b －c ≤a －b ＋b －c 2＝a －c2，当且仅当a －b ＝b －c ，即b ＝a ＋c 2时等号成立．答案：a －b b －c ≤a －c26．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝1＋b a ＋c a ＋1＋a b ＋c b ＋1＋a c ＋b c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝9，即1a ＋1b ＋1c≥9.[B 级能力提升]7．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则( )A ．R b >1，∴lg a ·lg b <12(lg a ＋lg b )＝lg ab <lg a ＋b2.∴P <Q <R .8．(2012·亳州检测)已知0<a 0B ．2a －b <12C ．2b a ＋a b <12D ．log 2a ＋log 2b <－2解析：选D.∵0<a ab ，∴ab <14.又∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ，∴log 2a ＋log 2b <log 214，即log 2a ＋log 2b <－2，故选D.9．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x)]≤－2 －x y－yx＝－2. 其中正确的推导过程为________．解析：从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，当y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a ≥24a·a ＝4是错误的；④由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中整体x y ＋y x 提出负号后，(－x y )，(－yx)均变为正数，符合基本不等式的条件．故④正确．答案：①④10．已知a ，b ，c 均为正数，且a ，b ，c 不相等，且abc ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a ，b ，c 为不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝abc a ＋abc b ＋abcc ＝bc ＋ac ＋ab ＝bc ＋ac 2＋ac ＋ab 2＋ab ＋bc2> abc 2＋a 2bc ＋ab 2c .又∵abc ＝1，∴abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝c ＋a ＋b ， ∴1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .11．(创新题)证明不等式33＋14(x 2＋y 2＋z 2)≥xy ＋2yz ＋2zx . 证明：设λ>0，则λy 2＋1λz 2≥2yz ，λx 2＋1λz 2≥2zx .又∵12x 2＋12y 2≥xy ，∴(λy 2＋1λz 2)＋(λx 2＋1λz 2)＋12(x 2＋y 2)≥xy ＋2yz ＋2zx ，∴(λ＋12)x 2＋(λ＋12)y 2＋2λz 2≥xy ＋2yz ＋2zx ，令λ＋12＝2λ，即2λ2＋λ－4＝0，解得λ＝－1＋334或λ＝－1－334(舍)，∴12＋λ＝2λ＝33＋14， ∴33＋14(x 2＋y 2＋z 2)≥xy ＋2yz ＋2zx .。

高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §3-3.1 基本不等式含解析

[A 基础达标]1．不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的条件为( ) A ．x ≥2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号B ．x >2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B.2．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不确定解析：选A.因为a ＞2，所以a －2＞0.又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2（a －2）×1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立)．即m ∈[4，＋∞)，由b ≠0得b 2≠0，所以2－b 2＜2.所以22－b 2＜4，即n ＜4.所以n ∈(0，4)，综上易知m ＞n .3．下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x2≥2 3 解析：选D.若a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错误．取a ＝1，b ＝1，则a 2＋b 2＜4ab ，故B 错误．取a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b 2，故C 错误．由基本不等式可知选项D 正确． 4．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q 2的大小关系是( )A ．s ＝p ＋q 2B ．s ≤p ＋q 2C ．s >p ＋q 2D ．s ≥p ＋q 2解析：选B.由已知得(1＋s %)2＝(1＋p %)(1＋q %)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋q %22，于是1＋s %≤1＋p %＋q %2.故s ≤p ＋q 2.5．设M ＝3x ＋3y 2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy (x ，y ＞0，且x ≠y )，则M ，N ，P 大小关系为() A ．M ＜N ＜P B ．N ＜P ＜MC ．P ＜M ＜ND ．P ＜N ＜M解析：选D.由基本不等式可知3x ＋3y 2≥3x 3y ＝(3)x ＋y ＝3x ＋y 2≥3xy ，因为x ≠y ，所以等号不成立，故P ＜N ＜M .6．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________．解析：因为a ＜1，即a －1＜0，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2（1－a ）·11－a ＝2.即a ＋1a －1≤－1.答案：a ＋1a －1≤－17．已知a ＞b ＞c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c2的大小关系是________．解析：因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0.（a －b ）（b －c ）≤a －b ＋b －c 2＝a －c 2.当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．所以（a －b ）（b －c ）≤a －c 2. 答案：（a －b ）（b －c ）≤a －c 28．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥t ，所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t . 答案：≤9．已知f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，当x 1≠x 2时，比较f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22与f （x 1）＋f （x 2）2的大小．解：因为f (x )＝a x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝a x 1＋x 22，12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12(ax 1＋ax 2)．因为a >0且a ≠1，x 1≠x 2，所以ax 1>0，ax 2>0，且ax 1≠ax 2，所以12(ax 1＋ax 2)> ax 1·ax 2＝a x 1＋x 22，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<12[f (x 1)＋f (x 2)]． 10．已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＞3. 证明：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c－3＝⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3. 因为a ，b ，c 都是正数，所以b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，同理c a ＋a c ≥2，c b ＋b c≥2，所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥6.因为a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号，所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＞6，所以b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＞3. [B 能力提升]11．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：选D.因为2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1，所以22x ＋y ≤1，所以2x ＋y ≤14＝2－2，所以x ＋y ≤－2，即(x ＋y )∈(－∞，－2]．12．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________．解析：原式等价于x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以x ＋y ＋3≤（x ＋y ）24，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0.解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．所以x ＋y 的取值范围是[6，＋∞)．答案：[6，＋∞)13．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 14．(选做题)是否存在常数c ，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤c ≤x x ＋2y ＋y 2x ＋y对任意正实数x ，y 恒成立？证明你的结论．解：当x ＝y 时，由已知不等式得c ＝23.下面分两部分给出证明： (1)先证x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23，此不等式⇔ 3x (x ＋2y )＋3y (2x ＋y )≤2(2x ＋y )(x ＋2y )⇔2xy ≤x 2＋y 2，此式显然成立．(2)再证x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23，此不等式⇔ 3x (2x ＋y )＋3y (x ＋2y )≥2(x ＋2y )(2x ＋y )⇔x 2＋y 2≥2xy ，此式显然成立．综上可知，存在常数c ＝23，对任意的实数x ，y 使题中的不等式成立．。

2018-2019学年北师大版数学必修五同步练习：第三章不等式 3.3.1 Word版含解析

姓名，年级：时间：§3基本不等式3。

1基本不等式一、非标准1.已知x，y∈R，下列不等关系中正确的是( ）A.x2+y2≥2｜xy｜B。

x2+y2≤2|xy|C。

x2+y2〉2｜xy| D。

x2+y2<2|xy｜解析：x2+y2=｜x｜2+|y｜2≥2｜x｜｜y｜=2｜xy|。

当且仅当|x|=|y|时等号成立.答案:A2。

下列结论中正确的是（)A。

若a,b∈R，则≥2=2B。

若x〉0，y>0,则lg x+lg y≥2C.若x〈0，则x+≥2=4D。

若a,b∈R,且ab<0,则=—≤—2=—2解析:选项A,B，C忽略了利用基本不等式求值的前提条件,只有选项D是正确的.答案：D3。

若x〉0,y〉0，且，则必有（）A。

2x=y B.x=2y C.x=y D.x=4y解析:因为x>0，y〉0,所以,即.又，所以必有,所以x=2y.答案:B4.如果正数a，b,c，d满足a+b=cd=4,那么（)A.ab≤c+d,且等号成立时a，b，c,d的取值唯一B。

ab≥c+d，且等号成立时a,b，c，d的取值唯一C。

ab≤c+d，且等号成立时a， b，c，d的取值不唯一D.ab≥c+d，且等号成立时a，b,c,d的取值不唯一解析:因为a+b=cd=4,a+b≥2，所以≤2，所以ab≤4，当且仅当a=b=2时等号成立.又cd≤，所以≥4，所以c+d≥4，当且仅当c=d=2时等号成立.所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时，等号成立,故选A.答案：A5.已知0<a〈b，且a+b=1,则下列不等式中，正确的是( )A.log2a〉0 B。

2a—b〈C。

D。

log2a+log2b〈—2解析：由于0〈a<b,且a+b=1，所以ab<，所以log2a+log2b=log2(ab）<log2=—2.答案:D6.实数4和9的算术平均数为,几何平均数为。

解析:算术平均数为=6。

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3.1 基本不等式
1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab(当且仅当______时取“＝”号)．
2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b
2____ab(当且仅当a____b 时，等号成立)，称上述不
等式为______不等式，其中________称为a ，b 的算术平均数，______称为a ，b 的几何平均数．
3．基本不等式的常用推论
(1)ab ≤⎝⎛⎫a ＋b 22≤a 2
＋b
2
2 (a ，b ∈R)；
(2)当x>0时，x ＋1x ≥____；当x<0时，x ＋1
x ≤______.
(3)当ab>0时，b a ＋a b ≥____；当ab<0时，b a ＋a
b ≤____.
(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R)．
一、选择题
1．已知a>0，b>0，则a ＋b
2
，ab ，
a 2＋
b 22，2ab
a ＋b
中最小的是( ) A.a ＋b
2 B.ab
C.
a 2＋
b 22 D.2ab
a ＋b
2．已知m ＝a ＋1
a －2 (a>2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x<0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m>n B ．m<n C ．m ＝n D ．m ≤n 3．设a ，
b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )
A ．1≤ab ≤a 2＋b 22
B ．ab<1<a 2＋b 22
C ．ab<a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 2
2
<ab<1
4．已知正数0<a<1,0<b<1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( )
A ．a 2＋b 2
B ．2ab
C ．2ab
D ．a ＋b 5．设0<a<b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )
A.1
2
B ．b
C ．2ab
D ．a 2＋b 2
6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－5
2 D ．－3
二、填空题
7．若a<1，则a ＋1
a －1有最______值，为________．
8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5
y
的最小值为________．
9．已知x ，y ∈R ＋
，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．
10．若对任意x>0，x
x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．
三、解答题
11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab
c ≥a ＋b ＋c.
12．a>b>c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥n
a －c ，求n 的最大值．
能力提升
13．已知不等式(x ＋y)⎝⎛⎭⎫
1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c<1a ＋1b ＋1c .
3．1 基本不等式答案
知识梳理
1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝基本
a ＋b
2
ab 3．(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥
作业设计
1．D [方法一特殊值法．
令a ＝4，b ＝2，则a ＋b
2
＝3，ab ＝8，
a 2＋
b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2ab
a ＋b
最小．方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1
b ，由2
1a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤
a 2＋
b 22，可知2ab
a ＋b
最小．] 2．A [∵m ＝(a －2)＋1
a －2
＋2≥2
(a －2)1
a －2
＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4.∴m>n.]
3．B [∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22
，a ≠b ，∴ab<1，又∵a 2＋b 22>a ＋b
2
>0， ∴a 2＋b 22>1，∴ab<1<a 2＋b 22
.]
4．D [因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b>2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b)＝a(a －1)＋b(b －1)，又0<a<1,0<b<1，所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大．] 5．B [∵ab<⎝⎛⎭
⎫a ＋b 22，∴ab<14，∴2ab<1
2.
∵
a 2＋
b 22>a ＋b
2
>0，∴ a 2＋b 22>1
2
， ∴a 2＋b 2>1
2
.
∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b(1－b)－a 2＝ab －a 2＝a(b －a)>0，∴b>a 2＋b 2，∴b 最大．]
6．B [x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎡⎦
⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1
x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2.] 7．大－1
解析 ∵a<1，∴a －1<0，
∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a)＋1
1－a
≥2(a ＝0时取等号)，
∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1
a －1≤－1.
8．2
解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x>0，y>0， ∴2x ＋5y ＝2x ＋x
2≥2(x ＝2时取等号)． 9．3
解析 ∵x>0，y>0且1＝x 3＋y
4≥2
xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y
4
时取等号． 10.⎣⎡⎭
⎫1
5，＋∞ 解析 ∵x>0，∴x x 2＋3x ＋1>0，易知a>0.
∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，
∴1a ≤x ＋1x ＋3. ∵x>0，x ＋1
x ＋3≥2
x·1
x
＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15
. 11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab
c 也都是正数．
∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab
c ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c)，即bc a ＋ca b ＋ab
c
≥a ＋b ＋c. 12．解 ∵a>b>c ，∴a －b>0，b －c>0，a －c>0. ∵
1a －b ＋1b －c ≥n a －c
， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c
b －
c .
∵a －c ＝(a －b)＋(b －c)，
∴n ≤(a －b)＋(b －c)a －b ＋(a －b)＋(b －c)b －c ，
∴n ≤b －c a －b ＋a －b
b －
c ＋2.
∵b －c a －b ＋a －b b －c
≥2 (b －c a －b )·(a －b b －c
)
＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4.
13．C [只需求(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2 a·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a·x y ＝y
x
即可，所以(a)2＋2 a ＋1≥9，
即(a)2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4.] 14．证明 ∵1a ＋1
b ≥2
1
ab
＝2c ， 1b ＋1c ≥2 1
bc ＝2a ， 1c ＋1a
≥2 1
ac
＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫
1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c)，即1a ＋1b ＋1
c ≥a ＋b ＋ c. ∵a ，b ，c 为不等正实数， ∴a ＋b ＋c<1a ＋1b ＋1
c .。