高考数学提分专项复习巧用斜率公式-拓宽解题思路
高考斜率知识点归纳
高考斜率知识点归纳斜率是高考数学中的重要知识点，涉及到函数的变化趋势和直线的倾斜程度等问题。
掌握斜率的概念和计算方法对于解决相关题目具有重要的指导意义。
本文将对高考中常见的斜率知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和应用。
一、斜率的定义斜率是表示直线倾斜程度的一个量。
对于一条直线上两个不同的点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，其斜率可以用以下公式进行计算：斜率k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)二、斜率的性质1. 垂直线的斜率不存在。
2. 平行线的斜率相等。
3. 斜率为正的线段上的点随着x的增大而y的增大，斜率为负的线段上的点随着x的增大而y的减小。
三、斜率与函数的关系1. 一次函数的斜率等于它的导函数。
对于一次函数y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
其导函数f'(x)也等于k。
2. 二次函数的斜率不是常数。
二次函数y = ax² + bx + c的斜率是变化的，不是一个常数。
其斜率随着x的变化而变化。
四、斜率的应用1. 判断函数的增减区间对于一元函数f(x)，若在某一区间内，f'(x) > 0，则函数在此区间上是单调递增的；若f'(x) < 0，则函数在此区间上是单调递减的。
2. 求切线方程给定一个函数f(x)和一点P(a, f(a))，要求通过点P的切线方程，可以先求得该点的导数f'(a)，然后利用切线方程的一般形式y - y₁ = k(x - x₁)，其中k为切线的斜率。
3. 求法线方程给定一个函数f(x)和一点P(a, f(a))，要求通过点P的法线方程，可以利用法线与切线垂直的性质，求得法线的斜率k₂，然后利用求直线的垂直斜率关系得到法线的斜率和方程。
五、常见考点1. 两点求斜率给定两个不同的点，通过斜率公式计算得到直线的斜率。
注意判断点的横坐标是否相同，避免分母为零的情况。
2. 导数与斜率与一次函数和二次函数相关的问题，需要掌握导数与斜率的关系，以及求导的方法。
2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路,清华学长告诉你如何拿高分
2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路，清华学长告诉你如何拿高分2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路，清华学长告知你如何拿高分把握数学解题思想是解答数学题时不行缺少的一步，建议同学们在做题型训练之前先了解数学解题思想，把握解题技巧，并将做过的题目加以划分，最终几天集中复习。
2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路六种解题技巧一、三角函数题留意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很简单由于马虎，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。
二、数列题1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最终下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2、最终一问证明不等式成立时，假如一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;假如两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，肯定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时肯定写上综上：由①②得证;3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简洁(所以要有构造函数的意识)。
三、立体几何题1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简洁;2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3、留意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。
四、概率问题1、搞清随机试验包含的全部基本领件和所求大事包含的基本领件的个数;2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3、记准均值、方差、标准差公式;4、求概率时，正难则反(依据p1+p2+...+pn=1);5、留意计数时利用列举、树图等基本方法;6、留意放回抽样，不放回抽样;7、留意“零散的”的学问点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8、留意条件概率公式;9、留意平均分组、不完全平均分组问题。
巧用斜率公式 拓宽解题思路
巧用斜率公式拓宽解题思路斜率是直线的一个重要特征量，在数学解题中，我们经常把某些问题通过变形或换元，化成斜率公式的结构，然后巧用斜率的坐标公式，数形结合解决问题，会起到事半功倍之效，从而拓宽了解题思路。
现枚举数例，供大家参考。
一、比较数（或式）的大小例1.若，试比较的大小分析：本题虽然给出的是特殊值，可是用常规的方法却不易解决，但我们可以分析其结构，会发现具有两点连线斜率公式的结构特征。
解：变换结构，表示函数图象上的点与点E连线的斜率，即分别表示函数图象上的三点AB，C与点E连线的斜率（如图1）。
而由图可知，，畋（图1）所以二、求函数的最大值（或最小值）例2.已知集合，求函数的最大值与最小值。
分析：本题通过换元（令）将化为，从而进一步转化为动点与定点A（，1）连线的斜率。
解：因为，令，则，所以，可以看成动点与定点A（，1）连线的斜率。
（如图2）设，，由图可知动点P在抛物线上MN这一段滑动,则，又因为，（图2）所以，即函数的最大值为1，最小值为三、证明不等式例3.已知求证分析：本题我们可以分析不等式的左边结构形式，也会发现具有两点连线斜率公式的结构特征，联想到“形”，将求证转化为求证的连线的斜率介于与1之间。
证明：如图3设，则表示的连线的斜率;设,则Q点在线段AB上（图3）（不包括A、B）两点，由图可知，又因为点A、B与点P的连线的斜率分别为1，，所以，即四、求参数范围例4.已知点,，直线与线段相交，求实数的取值范围．分析：直线是一条过定点P（1，1）的动直线，若与线段相交，如图4直线PA，PB是其变化的边界线。
所以我们只需求出PA，PB斜率，就可以确定已知直线的斜率的变化范围。
解：如图4所示，直线是一条过定点P（1，1）设过P点且斜率不存在的直线为，由图可知，当直线夹在PB与之间时，的斜率大于等于PB的斜率，而PB的斜率为；当直线夹在与PA之间时，的斜率小于等于PA的斜率，而PA的斜率为－4．由此可知，直线的斜率的变化范围是，所以实数的取值范围为（图4）以上数例都是通过观察代数式的结构特点，联想斜率公式，望式生“形”，借助图形直观求解，加快解题速度，展现“形”解的无穷魅力。
【智博教育专题】斜率公式在解题中的妙用
斜率公式在解题中的妙用在高中数学中已知两点1122(,),(,)A x y B x y 求直线AB 的斜率可以用斜率公式1212AB y y k x x -=-来计算，在数学的解答过程中，如果能够恰当地使用这个公式，把它转化为一个几何图形，化为一个动点和一个定点，根据动点的变化来形象、具体地对问题进行描述，从而可以直观地看到问题的本质，对我们的解题起到事半功倍的效果。
一般来说，斜率在高中数学中的应用主要有以下几个方面：【题型1】应用斜率进行求值域及最值【例1】 函数2sin 2cos x y x-=+的最值。
【分析】这是一个比较常规的问题，通常在教学过程中就会指导学生采用数形结合的方式，把问题2sin 2cos x y x-=+变化成2sin 2(cos )x y x -=--看成动点(cos ,sin )x x -与定点(2,2)之间的直线的斜率问题，通过动点的轨迹是一个圆心在坐标原点的单位圆，转化为圆上一点与定点(2,2)之间的斜率的变化趋势来说明问题。
通过对形的分析可以马上得到相切时达到最值。
【解析】由题设直线2(2)y k x -=-与圆221x y +=相切，则联立方程222(2)1y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得222224(22)4(1)(483)0,3830,k k k k k k k k ∴∆=--+-+=-+=∴∴函数2sin 2cos x y x -=+的。
【例2】 求函数521x y x -=+的值域。
【分析】通常在求解这类一次分式函数时用的比较多的方法是通过求反函数或分离常数的方法来求值域，但是在仔细观察了这个函数的构成之后，特别是受到上个例题的启发，将这个函数进行变化后为52(1)x y x -=--，就是动点(2,)x x 与定点(1,5)-之间连线的斜率问题，而这个动点的轨迹就是直线1(1)2y x x =≠-，通过将 直线上的点与(1,5)-连线后就可以发现只有斜率为12取不到，从而可以直接判定函数521x y x -=+的值域为1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭了。
【智博教育专题】斜率公式在解题中的妙用
斜率公式在解题中的妙用在高中数学中已知两点1122(,),(,)A x y B x y 求直线AB 的斜率可以用斜率公式1212AB y y k x x -=-来计算，在数学的解答过程中，如果能够恰当地使用这个公式，把它转化为一个几何图形，化为一个动点和一个定点，根据动点的变化来形象、具体地对问题进行描述，从而可以直观地看到问题的本质，对我们的解题起到事半功倍的效果。
一般来说，斜率在高中数学中的应用主要有以下几个方面：【题型1】应用斜率进行求值域及最值【例1】 函数2sin 2cos x y x-=+的最值。
【分析】这是一个比较常规的问题，通常在教学过程中就会指导学生采用数形结合的方式，把问题2sin 2cos x y x-=+变化成2sin 2(cos )x y x -=--看成动点(cos ,sin )x x -与定点(2,2)之间的直线的斜率问题，通过动点的轨迹是一个圆心在坐标原点的单位圆，转化为圆上一点与定点(2,2)之间的斜率的变化趋势来说明问题。
通过对形的分析可以马上得到相切时达到最值。
【解析】由题设直线2(2)y k x -=-与圆221x y +=相切，则联立方程222(2)1y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得222224(22)4(1)(483)0,3830,k k k k k k k k ∴∆=--+-+=-+=∴∴函数2sin 2cos x y x -=+的。
【例2】 求函数521x y x -=+的值域。
【分析】通常在求解这类一次分式函数时用的比较多的方法是通过求反函数或分离常数的方法来求值域，但是在仔细观察了这个函数的构成之后，特别是受到上个例题的启发，将这个函数进行变化后为52(1)x y x -=--，就是动点(2,)x x 与定点(1,5)-之间连线的斜率问题，而这个动点的轨迹就是直线1(1)2y x x =≠-，通过将 直线上的点与(1,5)-连线后就可以发现只有斜率为12取不到，从而可以直接判定函数521x y x -=+的值域为1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭了。
高考数学复习点拨：直线斜率的求法
直线斜率的求法直线的倾斜角和直线的斜率一样，都是刻画直线的倾斜程度的量，直线的倾斜角侧重于直观形象，直线的斜率则侧重于数量关系.直线的斜率为进一步研究直线奠定了基础，是后继内容（直线的位置关系、直线方程）展开的主线.特别是过两点的斜率公式的推导体现了数形结合的思想.因此我们必须熟练掌握求直线的斜率的各种方法与技巧.下面举例说明.一、根据倾斜角求斜率例1如图，菱形ABCD 的∠ADC ＝120︒，求两条对角线AC 与BD 所在直线的斜率.分析：由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC 与BD 的倾斜角，再利用公式k ＝tan θ.解：∵在菱形ABCD 中，∠ADC ＝120︒，∴∠BAD ＝60︒，∠ABC ＝120︒，又∵菱形的对角线互相平分，∴∠BAC ＝30︒，∠DBA ＝60︒，∴∠DBx ＝180︒－∠DBA ＝120︒， ∴k AC ＝tan30︒＝33，k BD ＝tan60︒＝ 3. 点评：本题在解答的关键是根据直线与其它直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率.二、利用两点斜率公式例2直线l 沿y 轴正方向平移a 个单位（a ≠0），再沿x 轴的负方向平移a ＋1单位，结果恰好与原直线l 重合，求l 的斜率.分析：由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现.因此，本题可以采取在直线取点P ，经过相应的平移后得到一个新点Q ，它也在直线上，则直线l 的斜率即为PQ 的斜率.解：（1）设P(x,y)是l 上任一点，按规则移动后，P 点坐标为Q(x －a －1,y ＋a)，∵Q 也在l 上，∴k ＝(y ＋a)－y (x －a －1)－x ＝–a a ＋1， 点评：①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x ，y)沿x 轴正向平移a 个单位，再点沿y 轴正向移动a 个单位，坐标由(x,y)变为(x ＋a,y ＋b)，本题还可用特殊点，并赋a 为特殊值去解0.②直线过两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），若x 1＝x 2，y 1≠y 2时，倾斜角等于90︒，不能利用两点的坐标斜率公式，此时，斜率不存在.三、利用三角变换公式例3已知M(－4，3)，N(2，15)，若直线l 的倾斜角是直线MN 倾斜角的两倍，求直线l 的斜率.分析：利用过两点的斜率公式先求得直线MN 的斜率，再利用二倍角公式可求得斜率. 解：设直线MN 的倾斜角为θ，则直线l 的倾斜角为2θ，∵M(－4，3)，N(2，15)，∴k MN ＝15－32＋4＝2，即tan θ＝2， ∴tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝43，即直线l 的斜率为43.点评：直线的倾斜角与三角有着密切的联系，在解题中相互补充.此类问题出现在处理两条直线的位置关系上.四、利用待定系数法例4如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率.分析：本题可以利用例2解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解.除此之外，还可以考虑直线l 的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果.解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y －1＝k(x ＋3)＋b ，即y ＝kx ＋3k ＋b ＋1.∴由条件知，y ＝kx ＋3k ＋b ＋1与y ＝kx ＋b 为同一直线的方程.比较系数得b ＝3k ＋b ＋1，解得k ＝－13. 点评：本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果的.另外要注意曲线f(x ，y)＝0沿x 正方向平移a 年单位，沿y 轴正方向移动b 个单位，平移后的曲线方程为f(x －a ，y ＋b)＝0.。
高考数学斜率知识点
高考数学斜率知识点斜率是数学中一个重要的概念，它描述了函数曲线的变化率。
在高考数学中，斜率是一个常见的考点，掌握斜率的相关知识对解题非常有帮助。
本文将详细介绍高考数学中与斜率相关的知识点。
一、斜率的定义斜率描述了函数曲线在某一点的切线斜率，它表示函数的变化速率。
对于直线函数，斜率可以直接通过斜率公式计算得出；对于曲线函数，斜率可以通过求导函数得到。
以下是斜率的计算公式：1. 直线函数的斜率对于直线函数y = kx + b, 其中k为斜率。
斜率的计算公式为：k =(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点。
2. 曲线函数的斜率对于曲线函数y = f(x)，其斜率可以通过求导得到。
求导函数f'(x)表示了曲线在每个点的切线斜率。
二、斜率的性质了解斜率的性质对于高考数学题目的解答非常重要。
下面介绍几个斜率的性质：1. 斜率为正、负和零的含义当斜率大于0时，表示函数呈现递增趋势；当斜率小于0时，表示函数呈现递减趋势；当斜率等于0时，表示函数的值保持不变。
2. 平行线和垂线的斜率关系两条平行线的斜率相等；两条垂直线的斜率乘积为-1。
3. 斜率与角度的关系斜率为k的直线与x轴的夹角为θ，其中tanθ = k。
三、斜率在解题中的应用掌握斜率的应用方法对于高考数学题目的解答非常重要。
以下是一些常见的斜率应用：1. 判断直线的趋势通过计算斜率，可以判断直线是递增还是递减，也可以判断直线的陡峭程度。
2. 求平行线和垂线已知一条直线的斜率，可以通过斜率的性质求得与它平行或垂直的直线的斜率。
3. 求函数的切线已知曲线函数的斜率，可以通过斜率的定义求得函数曲线在某一点的切线方程。
4. 解决最优化问题最优化问题中经常需要求解某个函数的最大值或最小值，这可以通过斜率为0的点来实现。
四、总结斜率作为高考数学中的重要概念，对于解题非常有帮助。
本文详细介绍了斜率的定义、性质和应用，希望可以帮助到同学们在高考数学中顺利解题。
推荐-斜率公式的巧妙运用 精品
斜率公式的巧妙运用设是圆锥曲线上的两点，则直线的斜率为：Ey y C Dx x A k p p ++++-=)()(212121证：是曲线上的点，①②①－②得： 即注 ： （1）上述斜率的表达式中，和既是直线与圆锥曲线交点的横坐标，也是直线的方程与圆锥曲线的方程联立后消去或消去后得到的一元二次方程的两个根，这就为利用一元二次方程解决直线与圆锥曲线的相交问题或圆锥曲线有关弦的问题提供了很大的方便. 特别地，当弦的中点的坐标为时，由上述公式就变为：这表明弦所在直线斜率可用弦中点坐标来表示，这样解决中点弦问题时更为方便.（2）上述公式不必去记.这里给出这一公式的目的，一方面是揭示它们的内在联系，另一方面使得下面例题的解题过程简单明了，同学们解题时应补上并掌握这一重要的作差变形过程.典型题目：例1 ： 在圆中，求通过点且点又恰好为中点的弦所在直线方程. 解：设为中点，而均在圆上，则，将两式相减得0))(())((21212121=-++-+y y y y x x x x ，即故，的方程为：即评注：若用圆的性质来求斜率也很简捷，但上面的解法对二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线等）的中点弦问题均适用，具有一般性. 例2 ： 过点作圆的切线，求点弦所在的直线方程. 解：设由圆的切线方程知过分别作圆的切线，切线方程为：，又切线均过点，所以有（2）－（1），得所在直线方程为，即，再将（1）代入得所在直线方程为：评注：过圆外一点作圆切线，则切点弦方程为：例3 ：求过作直线，被圆所截得弦的中点轨迹方程. 解：过作直线被圆所截得弦为，其中点，设则又将两式相减得yxy y x x x x y y K AB -=++-=--=∴12121212 又而四点共线，12+-=-==x y y x K K AB Mp即（其中）例4：过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点是，设直线的斜率为，的斜率为为定值. 证 设直线与椭圆相交于，线段.在椭圆之外且直线的斜率，又直线的斜率（定值）.例5：已知椭圆方程为：（1）求这椭圆中以为中点的弦所在直线方程.（2）求斜率是2的平行弦中点的轨迹方程. 解 ：（1）易知点在椭圆内.设以点为中点的弦为，且的坐标分别为直线的斜率，所求的直线方程为，即（2）设弦两端点分别为，中点，则，，即当时，，点也适合上方程.故所求轨迹为直线在椭圆内的部分.例6：给定双曲线（1）过点的直线与所给双曲线交于点，求线段的轨迹方程.（2）过点能否作直线与所给双曲线交于两点，且点是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由. 解 ：（1）设则直线的斜率所求轨迹方程为，即点（0,0），（2,0）也满足方程.（2）假设这样的直线存在，它与所给双曲线交于点),(),,(222111y x Q y x Q ，则直线的斜率， 的方程为把代入无实根，故，不存在.。
高二数学斜率公式和知识点总结图
高二数学斜率公式和知识点总结图一、斜率公式在数学中，斜率是表示一条线的倾斜程度的量。
我们可以通过斜率公式来计算直线的斜率，斜率公式如下：斜率 = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)分别为直线上任意两点的坐标。
二、斜率的几何意义斜率实际上反映了直线的趋势和变化率。
具体而言，斜率代表了直线上每增加一个单位的x坐标，y坐标的变化量。
1. 斜率大于0：当斜率大于0时，直线呈现上升趋势，即直线从左下往右上延伸。
斜率越大，直线的倾斜程度越陡峭。
2. 斜率小于0：当斜率小于0时，直线呈现下降趋势，即直线从左上往右下延伸。
斜率越小，直线的倾斜程度越平缓。
3. 斜率等于0：当斜率等于0时，直线为水平线，即y轴上的坐标值不变。
4. 斜率不存在（无穷大）：当斜率不存在时，表示直线为垂直线，即x轴上的坐标值不变。
三、关于斜率的一些重要知识点总结1. 平行线的斜率相等如果两条直线平行，则它们的斜率相等。
这是因为平行线具有相同的倾斜程度。
2. 垂直线的斜率乘积为-1如果两条直线垂直相交，则它们的斜率乘积为-1。
3. 斜率为整数时的特殊情况当直线的斜率为整数时，可以用单位比来表示。
例如，斜率为2表示直线上每增加一个单位的x坐标，y坐标增加2个单位。
四、斜率公式的应用1. 直线方程的求解斜率公式可用于求解直线的方程。
已知一点和斜率，可以通过斜率公式推导出直线的方程。
2. 判定平行和垂直关系通过比较两条直线的斜率，可以判断它们是否平行或垂直。
3. 问题求解斜率公式在解决实际问题时也起到了重要的作用，如计算速度、变化率等。
总结图如下：（在这里插入高二数学斜率公式和知识点总结图，根据实际需要进行绘制，以便更好地理解和记忆斜率的相关知识）结论：斜率公式是高中数学中重要且基础的概念。
理解和掌握斜率的概念、公式和几何意义对于解决各种直线相关的问题具有重要作用。
通过总结图的方式，可以帮助我们更好地理解和记忆斜率相关的知识点。
巧用斜率妙解数学问题
三、运用斜率解数列问题
［例 3］等 差 数 列 {a n} 中 ，已 知 a p = q, a q = p( p、
.
q ∈ N+ , p ≠ q )，
则p + q =
分析：要用函数的观点看数列，用函数的方法来研
究、
处理数列问题，数列的通项公式及前 n 项和的公式都
可以看成是关于 n 的函数，特别是等差数列的通项公式
，即
=
= -1，解 得
q
( p + q)- q
p-q
p-q
a p + q = 0.
点 评 ：在 等 差 数 列 {a n} 中 ，通 项 a n = a 1 + ( n -
1 ) d = dn + ( a 1 - d ). 当公差 d ≠ 0 时，a n 为关于 n 的一次
函数，则点 ( n, a n )( n ∈ N ) 都在直线 y = dx + a 1 - d 上 . 而
ln3
ln5
［例 1］若 a =
,b =
,c =
，则 a, b, c 的大小关
2
3
5
系为
.
ln2
分 析 ：直 接 比 较 大 小 较 困 难 ，联 想 到 a =
=
2
1n2 - 0
ln3 ln3 - 0
ln5 ln5 - 0
,b =
=
，c =
=
，与直线斜
2-0
3
3-0
5
5-0
率公式相似，
进而求解 .
要关注“向量与三角”
“向量与函数”
“向量与几何”
“向量
与数例”的结合 .
高考数学科学复习创新方案：直线的倾斜角与斜率、直线的方程
直线的倾斜角与斜率、直线的方程[课程标准]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．1．直线的方向向量设A ，B 是直线上的两点，则AB →就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴01正向与直线l 02向上的方向之间所成的角α叫做这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为030°．②倾斜角的范围为040°≤α<180°．(2)直线的斜率条件公式直线的倾斜角为α，且α≠90°k ＝05tan α直线过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2k ＝06y 2－y 1x 2－x 13.直线的方向向量同斜率的关系若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝07yx．4．直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k 与点(x 0，y 0)08y －y 0＝k (x －x 0)不含直线x ＝x 0斜截式斜率k 与直线在y 轴上的截距b09y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)10y －y1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2)截距式直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b11x a ＋y b ＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—12Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系．α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k >0不存在k <0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的一个法向量v ＝(A ，B )，一个方向向量a ＝(－B ，A )．1．(人教A 选择性必修第一册2.1.1练习T 5改编)过A (2，4)，B (1，m )两点的直线的一个方向向量为(－1，1)，则m ＝()A ．－1B ．1C．5D．3答案C解析解法一：由题意可知m－41－2＝－1，∴m＝5.故选C.解法二：∵AB→＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故选C. 2．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案D解析由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设该直线的倾斜角为α，则tanα＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π63．(人教A选择性必修第一册练习T3改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0答案D解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y ＋1＝0.4．(人教A选择性必修第一册习题2.2T10改编)如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析∵AC＜0，BC＜0，∴A，B同号．又直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－A B x－CB，－AB＜0，－CB＞0，∴直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．5．(人教A 选择性必修第一册习题2.2T 7改编)过点(5，2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是________．答案2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析设所求直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a .①当a ＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；②当a ≠0时，设所求直线方程为x a ＋y 2a ＝1，又直线过点(5，2)，所以5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，所以所求直线方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0.综上，所求直线方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.例1(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A ．[0，π) B.0，π4∪3π4，C.0，π4D.0，π4∪答案B解析设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.故选B.(2)(2023·湖北名校联考模拟)已知点A (2，3)，B (－3，－2)与直线l ：kx －y －k ＋1＝0，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．答案∞，34∪[2，＋∞)解析已知点A (2，3)，B (－3，－2)与直线l ：kx －y －k ＋1＝0，且直线l 与线段AB 相交，直线l ：kx －y －k ＋1＝0，即直线l ：k (x －1)－y ＋1＝0，它经过定点M (1，1)，MA 的斜率为3－12－1＝2，MB 的斜率为－2－1－3－1＝34，则直线l 的斜率k∞，34∪[2，＋∞)．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分1.(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l 的一个方向向量为p ＝sin π3，l 的倾斜角为()A.π6B.π3C.2π3D.4π3答案A解析由题意得，直线l 的斜率k ＝cosπ3sin π3＝33＝tan π6，即直线l 的倾斜角为π6.故选A.2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．答案13－3解析如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan45°1＋tan θtan45°＝2－11＋2＝13，k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan45°1－tan θtan45°＝2＋11－2＝－3.例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝(－3，2)．解(1)由题可知sinα＝45，则tanα＝±43，∵直线经过点P(1，2)，∴直线的方程为y－2＝±43(x－1)，即y＝±43(x－1)＋2，整理得4x－3y＋2＝0或4x＋3y－10＝0.(2)解法一：①当截距为0时，直线过点(0，0)，(2，3)，则直线的斜率为k＝3－02－0＝3 2，因此直线的方程为y＝32x，即3x－2y＝0.②当截距不为0时，可设直线的方程为xa＋ya＝1.∵直线过点P(2，3)，∴2a＋3a＝1，∴a＝5.∴直线的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由题意可知所求直线的斜率存在，则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－3k＋2.于是－2k＋3＝－3k ＋2，解得k＝32或k＝－1.则直线的方程为y－3＝32(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0.(3)＋y ＝2，x －y ＝1，＝1，＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的一个方向向量为v ＝(－3，2)，∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.求直线方程的两种方法注意：使用点斜式、截距式求直线方程时，应注意分类讨论．1.(2024·福建龙岩质检)过点A (－1，1)的直线l 的倾斜角是直线l 1：3x －y ＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是()A.3x －y ＋3＋1＝0B.3x ＋y ＋3－1＝0C.3x －3y ＋3＋3＝0D.3x ＋3y ＋3－3＝0答案B解析由k 1＝tan α＝3，得α＝60°，所以k ＝tan120°＝－3，所以直线l 的方程是y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3－1＝0.2．经过A (0，2)，B (－1，0)两点的直线方程为________，若直线的一个方向向量为(1，k )，则k ＝________．答案2x －y ＋2＝02解析经过A (0，2)，B (－1，0)两点的直线方程为x －1＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0，所以直线的一个方向向量为(1，2)，故k ＝2.3．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________．答案2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0解析设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1，则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是x3＋y2＝1或x2＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.多角度探究突破考向三直线方程的应用角度直线方程与不等式的结合例3过点P(4，1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解设直线l：xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以4a＋1b＝1.(1)因为4a ＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，S△AOB＝12ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0.角度直线方程与函数的结合例4为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB |＝100m ，|BC |＝80m ，|AE |＝30m ，|AF |＝20m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30，0)，F (0，20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF 上时，草坪面积可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m .∴S ＝(100－m －20＋23m ＝－23(m －5)2＋180503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP |∶|PF |＝5∶1.∴当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题、不等式的性质、基本不等式等)来解决．1.已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________．答案12解析由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＋154，所以当a ＝12时，四边形的面积最小．2．如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行直道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行直道的长度为多少米？解如图，建立平面直角坐标系，则P (3，4)．设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以－4k，B (0，4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k －9k因为k <0，所以－9k －16k ≥24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号．此时，A (6，0)，B (0，8)，所以人行直道的长度为62＋82＝10米．课时作业一、单项选择题1．(2023·上海松江区二模)经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是()A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝0答案A解析由于直线的方向向量为(1，2)，故直线的斜率为21＝2，故直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.故选A.2．(2024·山东滨州模拟)已知A (m ，0)，B (0，1)，C (3，－1)，且A ，B ，C 三点共线，则m ＝()A.32B.23C ．－32D ．－23答案A解析因为A ，B ，C 三点共线，且A (m ，0)，B (0，1)，C (3，－1)，所以直线的斜率存在，且k AB ＝k BC ，即1－m ＝－23，解得m ＝32.故选A.3．(2023·杭州学军中学期中)已知直线l 1：3x ＋y ＝0与直线l 2：kx －y ＋1＝0，若直线l 1与直线l 2的夹角为60°，则实数k 的值为()A.3B ．－3C.3或0D ．－2或－3答案C解析因为直线l1：3x ＋y ＝0的斜率为k ＝－3，所以其倾斜角为120°.直线l 2：kx －y ＋1＝0恒过点(0，1)，如图，若直线l 1与直线l 2的夹角为60°，则l 2的倾斜角为60°或0°，所以k ＝3或k ＝0.故选C.4．函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为()A.0，3π4B.0∪3π4，C.3π4，D.π2，3π4答案B解析设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴切线的斜率k ＝tan α≥－1，则α的取值范围为03π4，5．已知△ABC 的顶点C 的坐标为(1，1)，AC 所在直线的方向向量为(1，2)，AC 边上的中线所在的直线方程为x ＋y －1＝0，则点A 的坐标为()答案A解析设A (x 0，y 0)，AC 所在直线的方向向量为(1，2)，则AC 所在直线的斜率k ＝1－y 01－x 0＝21，∴1×(1－y 0)－2(1－x 0)＝0，得y 0＝2x 0－1，∴A (x 0，2x 0－1)，又C (1，1)，则AC x ∵AC 边上的中线所在的直线方程为x＋y －1＝0，则AC x x ＋y －1＝0上，∴1＋x 02＋x 0－1＝0，解得x 0＝13，∴点A 故选A.6．现有下列四个命题：甲：直线l 经过点(0，－1)；乙：直线l 经过点(1，0)；丙：直线l 经过点(－1，1)；丁：直线l 的倾斜角为锐角．如果只有一个假命题，则假命题是()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案C解析设A (0，－1)，B (1，0)，C (－1，1)，则k AB ＝－1－00－1＝1，k BC ＝1－0－1－1＝－12，因为k AB ≠k BC ，所以A ，B ，C 三点不共线，所以假命题必是甲、乙、丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0，而k AB >0，k BC <0，k AC <0，故丙是假命题．故选C.7．(2024·四川宜宾模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案D解析因为直线ax ＋by ＝ab 过点(1，1)，所以a ＋b ＝ab ，又因为a >0，b >0，所以1b ＋1a ＝1，所以直线x b ＋ya ＝1在x 轴与y 轴上的截距之和为b ＋a ＝(b ＋a ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b ＝2时取等号，所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.故选D.8.(2023·安徽江南十校模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立平面直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为()A ．0°B ．1°C ．2°D ．3°答案C解析∵O ，O 3都为五角星的中心点，∴OO 3平分第三颗小星的一个角，由五角星的内角为36°，知∠BAO 3＝18°，过O 3作x 轴的平行线O 3E ，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角约为18°－16°＝2°.故选C.二、多项选择题9．已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则()A．直线l的方程为x－3y＋3＝0B．直线l与直线l1的倾斜角互补C．直线l在y轴上的截距为1D．这样的直线l有两条答案ABC解析因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以直线l与直线l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－13，知直线l的斜率为1 3，可得直线l的方程为y－2＝13(x－3)，即直线l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；令x＝0，得y＝1，所以直线l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3，2)且斜率为13的直线只有一条，故D错误．故选ABC.10．已知直线x sinα＋y cosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是()A．直线的倾斜角是π－αB．无论α如何变化，直线不过原点C．直线的斜率一定存在D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案BD解析直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，x sinα＋y cosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝π2时，直线的斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝12|1－sinα|·|1－cosα|＝1|sin2α|≥1，D正确．故选BD.11．(2023·广东珠海二模)在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，则正方形ABCD四边所在直线中过点(0，0)的直线的斜率可以是()A ．2 B.32C.34D.14答案ABD解析因为选项斜率均为正值，不妨假设AB 所在的直线过点(0，0)，设直线AB 的倾斜角为αk ，①若CD 所在的直线过点(1，0)，如图1，可得|BC |＝sin α，|CD |＝2cos α，因为|BC |＝|CD |，即sin α＝2cos α，所以k ＝tan α＝2；②若CD 所在的直线过点(2，0)，如图2，可得|BC |＝2sin α，|CD |＝3cos α，因为|BC |＝|CD |，即2sin α＝3cos α，所以k ＝tan α＝32；③若CD 所在的直线过点(4，0)，如图3，可得|BC |＝4sin α，|CD |＝cos α，因为|BC |＝|CD |，即4sin α＝cos α，所以k ＝tan α＝14.综上所述，k 的值可能为2，32，14.故选ABD.三、填空题12．若直线l 的一个方向向量为a sin π7，l 的倾斜角θ＝________．答案5π14解析∵直线l 的一个方向向量为a sin π7，∴直线l 的斜率k ＝cos π7sin π7＝sin5π14cos5π14＝tan 5π14，∴直线l 的倾斜角θ＝5π14.13．在△ABC 中，已知A (1，1)，AC 边上的高线所在的直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在的直线方程为3x ＋2y －3＝0.则BC 边所在的直线方程为________．答案2x ＋5y ＋9＝0解析由题意，得k AC ＝－2，k AB ＝23，∴l AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，l AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.x ＋y －3＝0，x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)．由x －3y ＋1＝0，－2y ＝0，得B (－2，－1)，∴l BC ：2x ＋5y ＋9＝0.14．(2023·重庆育才中学期末)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．设△ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，点P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确算得OE ＝0，则OF 的方程为________________．答案＝0解析由题意，C (c ，0)，P (0，p )，则CP 的方程为x c ＋yp＝1，同理，AB 的方程为x b ＋ya＝1，两直线方程相减，得OF 的方程为＝0.四、解答题15．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，所以直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.16．过点Pl与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求△OAB面积的最小值以及此时直线l的方程；(2)是否存在直线l，使△OAB的周长为12？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解(1)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为xa ＋yb＝1.因为直线l过点，所以43a＋2b＝1，故1＝43a ＋2b≥283ab⇒ab≥323，故S△OAB＝12ab≥163，＝2b，＋2b＝1，＝83，＝4时取等号，此时直线l的方程为3x8＋y4＝1，故(S△OAB)min＝163，此时直线l的方程为3x＋2y－8＝0.(2)假设存在满足条件的直线l：xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，＋2b＝1，b＋a2＋b2＝12，＝4，＝3＝12 5，＝92，故存在满足条件的直线l：3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.。
高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)直线的倾斜角与斜率、直线的方程
直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 二、直线方程的形式及适用条件一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)[小题能否全取]1．(教材习题改编)直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：选C 由k ＝tan α＝－33，α∈[0，π)得α＝150°. 2．(教材习题改编)已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：选A 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：选A 由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.4．(2012·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：45．若直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． 解析：由已知得直线l 的斜率为k ＝－32.所以l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 答案：3x ＋2y －1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．直线的倾斜角与斜率典题导入[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2(2)(2012·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． [自主解答] (1)tan 3π4＝2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1.y ＝－3.(2)由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π，故直线的倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π. [答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，则直线l 的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12解析：选D 由题意知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图．若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.直 线 方 程典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________________．(2)(2012·东城模拟)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______________．[自主解答] (1)设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m ＝0，m ＝－1. 则所求直线方程为x －2y －1＝0.(2)由题意得，1－01－3×k MN ＝－1，所以k MN ＝2，故弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案] (1)x －2y －1＝0 (2)2x －y －1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理一般式方程为得6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.直线方程的综合应用典题导入[例3] (2012·开封模拟)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．[自主解答] 法一：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，6－x ＋－y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设所求的直线方程为y ＝k (x －3)， 点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －3，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝3k －2k －2，y A＝4kk －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝3k －3k ＋1，y B＝－6kk ＋1.∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A ＋y B ＝0，即4k k －2＋－6k k ＋1＝0， ∴k 2－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8. 若k ＝0，则x A ＝1，x B ＝－3， 此时x A ＋x B 2＝1－32≠3，∴k ＝0舍去，故所求的直线方程为y ＝8(x －3)， 即8x －y －24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )， △AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵|MA |＝ 1k2＋1，|MB |＝4＋4k 2， ∴|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2k 2＋1k2＋2≥2×2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，故直线方程为x ＋y －3＝0.1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0 B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝0解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112，解得C ＝16(舍去)或C ＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D ∵l 1∥l 2，且l 1斜率为2，∴l 2的斜率为2. 又l 2过(－1,1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 整理即得y ＝2x ＋3.令x ＝0，得P (0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．－7 C ．3D ．1解析：选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.7．(2013·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．(2012·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________． 解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．(2012·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程．解：设所求直线方程为x a ＋yb＝1， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．(2012·莆田月考)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析：选B 由⎩⎨⎧ y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32＋32＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，y ＞0，解得k ＞33. ∴直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.2．(2012·洛阳模拟)当过点P (1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C (2,1)，P (1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．(2012·郑州模拟)已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0解析：选B ∵kl 1＝3，kl 2＝－k ，l 1⊥l 2，∴k ＝13，l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0. 2．(2012·吴忠调研)若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， 故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)3.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥2 6ab ，即ab ≥24. ∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时， △ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.。
高二数学斜率公式和知识点
高二数学斜率公式和知识点高二学习阶段是数学知识的进一步深化和拓展的时期，其中斜率是一个重要的概念和公式。
本文将介绍高二数学中的斜率公式和相关的知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这部分内容。
一、斜率的定义和基本概念斜率是数学中用来描述曲线斜率陡缓的概念，可以用来解决直线的问题。
在高二数学中，斜率通常指的是直线的斜率。
具体而言，斜率是指直线上两点之间的纵向变化量与横向变化量的比值。
用数学符号表示，斜率记作m，可以通过以下公式进行计算：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别是直线上的两个点的坐标。
二、斜率公式的推导与特殊情况斜率公式的推导主要基于直线的定义和斜率的概念。
当直线不垂直于坐标轴时，斜率的计算公式如上述所示。
但有几个特殊情况需要注意：1. 垂直线的斜率对于垂直线而言，斜率是不存在的。
在数学中，垂直线的斜率定义为无穷大（即不存在有限斜率），可用符号∞表示。
2. 水平线的斜率对于水平线而言，斜率为零。
因为水平线的斜率在纵向上没有变化，即纵向变化量为零。
三、斜率的几何意义和应用斜率的几何意义是描述一条直线的倾斜程度。
斜率的正负决定了直线是向上倾斜（正斜率）还是向下倾斜（负斜率），斜率的绝对值越大，倾斜程度越大。
斜率在高二数学中有广泛的应用，其中一些重要的应用包括：1. 判定两条直线的关系通过比较两条直线的斜率，可以判断它们的相互关系。
当两条直线的斜率相等时，它们是平行直线；当两条直线的斜率互为倒数（乘积为-1）时，它们是垂直直线。
2. 计算函数的导数在微积分中，函数的导数可以通过斜率的概念来定义。
导数描述了函数在某一点上的变化率，它可以通过斜率公式计算得出。
3. 解决直线方程的问题直线方程是高中数学中常见的问题，可以通过斜率公式来解决。
已知直线上一点和斜率，可以通过斜率公式推导出直线的方程，从而解决与直线相关的问题。
四、斜率的计算和问题解答对于给定的直线上两点的坐标，可以通过斜率公式进行斜率的计算。
高中数学专题函数斜率的应用,对应函数的导函数应用,轻松解题
高中数学专题函数斜率的应用，对应函数的导函数应
用，轻松解题
导数的定义：
导数是函数在某一点上的变化率，
也是函数在该点处的切线斜率。
函数斜率的应用：
在数学中，函数的斜率是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们理解函数的变化率和趋势。
在实际应用中，函数的斜率也常常被用来描述一些自然或者物理现象。
常见的函数斜率应用：
1. 获取函数的最大值和最小值：函数的最大值和最小值通常出现在函数的转折点或者极值点，而这些点的位置可以通过函数的导数和导数的零点来确定。
2. 设计和调整曲线：当我们需要画一个平滑的曲线或者调整平面图像时，可以通过控制曲线的斜率来达到预期的效果。
3. 解决物理问题：在物理学中，函数的斜率可以用来描述物体的速度
和加速度，而在工程中，它也可以用来计算一些结构或者材料的强度
和刚度等物理量。
导数的应用：
导数是一种非常重要的数学工具，在很多领域都得到了广泛的应用。
在下面，我们将介绍一些常见的导数应用：
1. 求函数的最值：通过求导数，我们可以找到函数的极大值和极小值，从而解决一些优化问题。
2. 确定函数的凸凹性：通过求导数，我们可以判断一个函数的凸凹性，这在建筑和航天工程等领域非常重要。
3. 计算函数的斜率和速度：在物理学和工程学中，导数可以用来计算
物体的速度和加速度，以及在不同位置的斜率。
4. 优化算法：一些优化算法，如梯度下降法，就是基于导数的概念来
设计的。
总之，函数斜率和导数是数学中非常基础和重要的概念，它们在很多
领域都有着广泛的应用。
如果你想在这些领域中获得更好的成就，那
么熟练掌握这些概念是非常必要的。
高三数学二轮复习冲刺：斜率和积问题的六大算法
18-22全国卷斜率和积真题解法荟萃例1.（2022新高考1卷）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率.（2）若tan PAQ ∠=，求PAQ ∆的面积．解法1：设点解点设直线AP 的方程为1)2(+-=x k y ，与双曲线C 的方程联立，消去y 得到，根据韦达定理，得，故，从而.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，所以直线AQ 的方程为1)2(+--=x k y ，同理，可得：，.所以直线l 的斜率为解法2：不联立的艺术设),(),,(2211y x Q y x P ，由点A Q P ,,都在双曲线C 上，得，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，即QA P A k k -=，所以，由得.②由得.③由②-③，得，从而，即l 的斜率为1-.解法3：设而不求，韦达定理将点A 代入双曲线方程得224111a a -=-，化简得42440a a -+=，22a ∴=，故双曲线方程为2212x y -=，由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设1(P x ，12)(y Q x ，2)y ，则联立双曲线得：222(21)4220k x kmx m -+++=，故122421km x x k +=--，21222221m x x k +=-，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----，化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=，故2222(22)4(12)(4(1)02121k m km m k m k k ++-----=--，即(1)(21)0k m k ++-=，当012=-+k m 时，直线1)2(:+-=x k y l 过点A，不合题意，舍去.,故1k =-.方法4.同构双斜率设过点A 的直线方程为1)2(+-=x k y ，直线l 的方程为m x k y +=0，联立解得，代入双曲线C 的方程1222=-y x 中，整理得，这是关于k 的一元二次方程，方程的两根21k k 、分别为直线AQ AP 、的斜率.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，即021=+k k ，所以，整理后分解得.因为直线l 不经过点A ，所以120≠+m k ，从而10-=k ，即l 的斜率为1-.方法5：齐次化联立双曲线方程为2212x y -=，设()()1122,,,P x y Q x y ，∵AP,AQ 的斜率之和为0，∴12121211022y y k k x x --+=+=--，故将双曲线方程为2212x y -=变形为：()()22221112x y -+--+=()*，且设直线()():211l m x n y -+-=，由()*式有：()()()()222214210x y x y ---+---=⎡⎤⎣⎦⇒()()()()()()22221421210x y x y m x n y ---+---⨯-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⇒()()()()()()()2241242144210m x n y m n x y +--+-----=⇒()()()()()2211424441022y y n m n m x x --++--+=--,（两边同除以()22x -），即()()()24244410n k m n k m ++--+=，而12,k k 是此方程的两根.∴1244042n m k k n -+==+m n ⇒=，故直线l 斜率为−1.方法6：曲线系点A 处的切线方程为01=--y x ，设直线AP 的方程为)2(11-=-x k y ，AQ 的方程为)2(12-=-x k y ，PQ 的方程b kx y +=，则过这四条直线交点的二次曲线方程为又因为双曲线过这些交点，比较xy 的系数得0)(121=--+--k k k λ.又由021=+k k ，所以1-=k .例2．（2020山东卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．解析：（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.方法1.设线解点（2）由题意，设直线AM 的方程为)1,0(1)2(≠+-=k x k y ，代入椭圆方程，可得0488)84()12(2222=--+-++k k x k k x k .解得12244,22221+--==k k k x x .所以12142,122442222++--=+--=k k k y k k k x M M .因为AN AM ⊥，将k 1-代替上面的k ，可得224,24422222+-+=+++-=k k k y k k k x N N .故)2()12)(2(132≠+-+--=--=k k k k k x x y y k N M N M MN .所以直线MN 的方程为2442()12)(2(1322422222+++--+-+--=+-+-k k k x k k k k k k k y .化简，得31)32()12)(2(132--+-+--=x k k k k y .即直线MN 恒过定点31,32(-H .方法2：韦达定理（2）设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程：消去y 并整理得：()222124260k x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN = ，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x k m ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN = 得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故123DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.方法3.齐次化（2）将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==．方法4.不联立，不韦达（2）设，依题意知，因为，所以，整理得同理得相减可得即直线MN 恒过定点.又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．方法5.曲线系（2）A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ×=-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭．对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③，将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．。
高中数学导数斜率题解题方法
高中数学导数斜率题解题方法在高中数学中，导数和斜率是一个非常重要的概念，也是学生们经常遇到的题型之一。
解决这类题目需要一定的技巧和方法。
本文将介绍一些常见的导数斜率题解题方法，并通过具体题目进行说明，帮助学生和家长更好地理解和应用这些知识。
一、导数的定义和计算方法首先，我们需要了解导数的定义和计算方法。
导数表示函数在某一点上的变化率，也就是函数曲线在该点处的切线斜率。
计算导数有多种方法，常见的有使用导数定义、使用导数的基本性质和使用导数的四则运算法则等。
例如，对于函数 y = x^2，我们可以使用导数的定义来计算它在 x = 2 处的导数。
根据导数的定义，导数可以表示为函数的极限值，即：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h将函数 y = x^2 代入上式，得到：f'(2) = lim(h->0) [(2+h)^2 - 2^2] / h= lim(h->0) (4 + 4h + h^2 - 4) / h= lim(h->0) (4h + h^2) / h= lim(h->0) 4 + h= 4所以，函数 y = x^2 在 x = 2 处的导数为 4。
二、导数斜率题的解题方法1. 求函数在某一点处的斜率导数可以表示函数在某一点处的斜率，因此，我们可以利用导数的计算方法来求解函数在某一点处的斜率。
例如，对于函数 y = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，在 x = 1 处的斜率可以通过求导得到：f'(x) = 6x^2 - 6x + 2将 x = 1 代入上式，得到：f'(1) = 6(1)^2 - 6(1) + 2= 2所以，函数 y = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1 在 x = 1 处的斜率为 2。
2. 求函数在某一点处的切线方程利用导数的定义和斜率的概念，我们可以求解函数在某一点处的切线方程。
高中数学高考复习中要对斜率公式另眼相看
高考备考中要重视直线的斜率公式的应用复习直线的斜率是直线的重要属性。
它所描述的是一条直线相对直角坐标系中横轴正方向的倾斜程度， 是用数值描述直线的几何特征的代表。
是连接几何图形和代数方程的纽带， 是数形结合思想的关键联姻者之一。
在解决解析几何类型题目及线性规划类型题目中都有比较广泛的应用， 甚至是在数列类型题目中的应用也比较常见。
纵观历年的考题我们发现， 对斜率公式的考察， 主要是通过对已知条件进行变形或换元等手段， 将问题化归为与直线斜率计算公式类似的结构形式， 充分利用直线斜率的几何意义， 采用数形结合的思想方法， 来达到直观、简明的解决问题的效果。
现笔者根据自己的教学实践经历， 将斜率公式在圆锥曲线、数列、线性规划类型题目中应用情况列举说明如下， 以期能够引起各位同仁在高考备考过程中的高度重视， 最终对各位的高效备考提供些帮助。
一、 斜率公式在圆锥曲线类题目中的应用1、点差法求轨迹方程在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时， 我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、， 代入圆锥曲线得两方程后相减， 得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系， 然后加以求解， 这即为“点差法”， 此法在求解解析几何类型题目时有着不可忽视的作用， 其特点就是巧代斜率公式。
例1 已知椭圆2212x y +=， 求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ， PQ 的中点为(),M x y .则 221112x y += ————（1） 222212x y += ————（2）()()12-得：()2222121202x x y y -+-=， ()1212121202x x y y y y x x +-∴++=-.又121212122,2,2y y x x x y y y x x -+=+==-， 40x y ∴+=.Q 弦中点轨迹在已知椭圆内， ∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）。
高考数学斜率知识点怎么复习
高考数学斜率知识点怎么复习高考数学斜率知识点怎么复习高中斜率是高考的重点。
作为高考数学的必考点，应该怎么复习这个知识点?下面由店铺为大家整理高考数学斜率知识点怎么复习有关的资料，希望对大家有所帮助!高中常用数学知识点一：斜率定义斜率用来量度斜坡的斜度，由一条直线与X轴正方向所成角的.正切。
1、设直线倾斜角为α斜率为k,k=tanα=y/x2、设已知点为(a,b)未知点为(x,y)k=(y-b)/(x-a)3、导数：曲线上某一点的导数值为该点在这条曲线上切线的斜率高中常用数学知识点二：斜率公式当直线L的斜率存在时，斜截式y=kx+b，当x=0时y=b当直线L的斜率存在时，点斜式y2-y1=k(x2-x1)，当直线L在两坐标轴上存在非零截距时，有截距式x/a+y/b=1 对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向所成的角，即k=tanα斜率计算：ax+by+c=0中，k=-a/b直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1)两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1：k1*k2=-1.曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的斜率就是函数f(x)在点x1处的导数高中常用数学知识点三：高考数学怎么复习适度练习，但不搞题海战术基础题、中档题不需要题海，高档题题海也是不能解决的。
切忌“高起点、高强度、高要求”，投入很大，收效甚微，甚至丧失学习数学的兴趣和信心。
提升能力，适度创新高考遵循“以能力立意命题”。
复习中数学能力的培养是关键，思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识，以及提出问题、分析问题和解决问题的能力，数学探究能力、数学建模能力、数学交流能力、数学实践能力、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，都是高考考查的重点。
【高考数学斜率知识点怎么复习】。
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巧用斜率公式 拓宽解题思路
斜率是直线的一个重要特征量，在数学解题中，我们经常把某些问题通过变形或换元，化成斜率公式的结构，然后巧用斜率的坐标公式，数形结合解决问题，会起到事半功倍之效，从而拓宽了解题思路。
现枚举数例，供大家参考。
一、比较数（或式）的大小
例1.若ln 2007ln 2008ln 2009,,200620072008
a b c ===，试比较,,a b c 的大小 分析：本题虽然给出的是特殊值，可是用常规的方法却不易解决，但我们可以分析其结构，会发现具有两点连线斜率公式的结构特征。
解：变换结构ln ln 011
x x x x -=--，表示函数ln y x =图象 上的点(,)x y 与点E (1,0)连线的斜率，即,,a b c 分
别表示函数ln y x =图象上的三点A (2007,ln 2007),
B (2008,ln 2008)，
C (2009,ln 2009)与点E (1,0)连
线的斜率（如图1）。
而由图可知，EA EB EC k k K >>， 畋 所以a b c >>
二、求函数的最大值（或最小值）
例2.已知集合{}2
|10,A x x x R =-≤∈，求函数41,21x x y x
A -=∈+的最大值与最小值。
分析：本题通过换元（令2x
t =）将4121x x -+化为211t t -+，从而进一步转化为动点2(,)P t t 与定点A （1-，1）连线的斜率。
解：因为{}|11,A x x x R =-≤≤∈，令2x
t =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以y =211t t -+，可以看成动点2(,)P t t 与定点A （1-，1）连线的斜率。
（如图2）
设11(,)24
M ，(2,4)N ，由图可知动点P 在抛物线上
MN 这一段滑动,则AM AP AN k k k ≤≤， 又因为111412(1)2
AM k -==---，4112(1)AN k -==-- 所以112AP k -≤≤，即函数4121
x x y -=+的最大值为1，最小值为12- （图1） （图2）
三、证明不等式
例3.已知1,1,a b <<求证11a b ab
+<+ 分析：本题我们可以分析不等式的左边结构形式，也会
发现具有两点连线斜率公式的结构特征，联想到“形”， 将求证111a b ab
+-<
<+转化为求证(1,),(,)P a Q ab b -- 的连线的斜率介于1-与1之间。
证明：如图3设(1,),(,)P a Q ab b --，则1a b ab ++表示,P Q 的连线的斜率;设(,1),(,1)A a B a -,则Q 点在线段AB 上 （不包括A 、B ）两点，由图可知PB PQ PA k k k <<，又因为点A 、B 与点P 的连线的斜率,PA PB k k 分别为1，1-，所以11PQ k -<<，即11a b ab
+<+ 四、求参数范围
例4.已知点(2,3)A -,(3,2)B --，直线:10l ax y a --+=与线段AB 相交，求实数a 的取值范围．
分析：直线:10l ax y a --+=是一条过定点P （1，1）的动直线，若与线段AB 相交，如图4直线PA ，PB 是其变化的边界线。
所以我们只需求出PA ，PB 斜率，就可以确定已知直线的斜率a 的变化范围。
解： 如图4所示，直线:10l ax y a --+=是一条过定点P
（1，1）设过P 点且斜率不存在的直线为0l ，由图可知，当
直线l 夹在PB 与0l 之间时，l 的斜率大于等于PB 的斜率，
而PB 的斜率为3
4
；当直线l 夹在0l 与PA 之间时，l 的斜率 小于等于PA 的斜率，而PA 的斜率为－4．由此可知，直
线l 的斜率的变化范围是(]3,4,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
， 所以实数a 的取值范围为(]3,4,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ 以上数例都是通过观察代数式的结构特点，联想斜率公式，望式生“形”，借助图形直观求解，加快解题速度，展现“形”解的无穷魅力。
（图3）
（图4）。