高二数学上学期开学考试(9月)习题文

襄阳五中高二年级9月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列命题中正确的是( )A ．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B ．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．棱台的底面是两个相似的正方形D ．棱台的侧棱延长后必交于一点2．经过点M (1,1)且在两轴上截距相等的直线方程是( )．A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＝1C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝y 3．根据右下边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）A ．2n a n =B ．2(1)n a n =-C ．2n n a =D ．12n n a -=4．在等比数列{}n a 中, 6135=⋅a a , 4145,a a +=则9080a a 等于（ ）A ．23或32 B ．3或2- C ．23 D ．325．已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则1231111nS S S S ++++=（ ） A ．(1)2n n + B ．2(1)n n + C ．21nn + D ．2(1)n n +6．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ②若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m∥n 则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④7．若,,,a b c R a b ∈>且，则下列不等式正确的个数是（ ）①b a 11< ②22b a > ③44bc ac > ④1122+>+c b c a A ．1 B ．2 C．3 D ．48．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）A ．83πB ．32πC ．8π D． 9．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为（ ）A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝110．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 11．若圆C ：x 2＋y 2－－－12＝0上有四个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为2，则c 的取值范围是（ ）A ．[－2,2]B ．[－22，22]C ． (－2,2)D ．(－22，22)12．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a ＝3，tan 21tan A cB b+=，则b c +的最大值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．36二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+0330101y x y x y x ，则目标函数z=2x+y 的最大值为________ ．14．汽车以每小时50km 的速度向东行驶，在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶1.2小时后，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时汽车与灯塔的距离为 _____ km ．15．如图，三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的 角的余弦值是________．16．如图，已知平面l =⊥βαβα ,，B A 、是直线l 上的两点，D C 、是平面β内的两点，且,3,,=⊥⊥AD l CB l DA6,6==CB AB .P 是平面α上的一动点，且直线PC PD ,与平面α所成角相等，则二面角D BC P --的余弦值的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本大题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且sin cos b A B =．（1）求角B 的大小；（2）若a =4，c =3，D 为BC 的中点，求△ABC 的面积及AD 的长度．18．（本大题满分12分）已知两条平行直线l 110y -+=与l 230y -+=．（1）若直线n 与l 1、l 2都垂直，且与坐标轴构成的三角形的面积是n 的方程．（2）若直线m 经过点(4)，且被l 1、l 2所截得的线段长为2，求直线m 的方程；19．（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，,D E 分别为111,A B AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. （1）求证：//EF 平面1BDC ；（2）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1:15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.20．（本大题满分12分）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元；（1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）若400=a ，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为2的圆C ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线20x +=相切. （1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上，是否存在点P ，满足PQ =，其中，点Q 的坐标是(1,0)Q -.若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；（3）若在圆C 上存在点(),M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交不同两点,A B ，求m 的取值范围.并求出使得OAB ∆的面积最大的点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积.22．（本大题满分12分）已知1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足：22213,0n n n n S n a S a -=+≠，n=2，3，4，……，设数列{}n b 满足：n n a b 2=，*∈N n ．（1）证明数列{}n b 是等差数列，并求出数列{}n b 的公差；（2）确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{}n a 是单调递增数列．高二年级9月月考数学参考答案（文）DDCAC AACBB DB 13．8； 14．； 15．78； 16．23。

17．解析：（1）B a A b cos 3sin = 因此，利用正弦定理化简得：B A A B cos sin 3sin sin =， 3分0sin ≠A B B cos 3sin =∴，即3tan =B ，B 为三角形的内角，060=∴B . 6分(2)23sin ,3,4===A c a 33sin 21==∴∆A ac S ABC 9分 D 为BC 的中点，利用余弦定理得：7213229460cos 20222=⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+=BA BD BA BD AD ，则7=AD 12分18．(1)解：直线l 1的斜率是1k =∵n l ⊥ ∴直线n 的斜率是k =分设直线n 的方程为y b =+，令0y =得x =，令0x =得y b = 4分∴1||||2b ⋅=2b =±，∴直线n 的方程为2y x =+或2y x =-． 6分 (2)解：l 1、l 2之间的距离1d == 8分设直线m 与l 1所成锐角为θ，则1sin θ=，∴30θ=︒，直线m 的倾斜角为90°或30° 10分所以，直线m 的方程为x =或4y x -=即x =3y x =+． 12分19．（1）证明：取AB 的中点M ，14AF AB =F ∴为AM 的中点，又E 为1AA 的中点，1//EF A M ∴ 在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点，11//,A D BM A D BM ∴=,1A DBM ∴为平行四边形，1//A M BD ∴ //,EF BD ∴ BD ⊆平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D //EF ∴平面1BC D ………6分20.（Ⅰ）可变成本为241v ，固定成本为a 元，所用时间为v1000 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a v v y 2411000，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v a v y 411000。

定义域为(]80,0 6分（Ⅱ）200001002100040041000=⋅≥⎪⎭⎫⎝⎛+=v v y ，当且仅当v v 4004=，即40=v 时等号成立，∴当40=v 时，20000min =y答：当火车以h km /40的速度行驶，全程运输成本最小． 12分21. 解析：（1）设圆心是()()00,00x x >，它到直线20x +=的距离是2d ==，解得02x =或06x =-(舍去),所以,所求圆C 的方程是()2224x y -+=. 4分（2）假设存在这样的点),(y x P ，则由PO PA 22=，得02422=+++x y x . 6分 即，点P 在圆D:()2222x y ++=上，点P 也在圆C:()2224x y -+=上.因为=42c d CD r r >+=，所以圆C 与圆D 外离，圆C 与圆D 没有公共点.所以，不存在点P 满足条件. 8分（3）存在，理由如下：因为点(),M m n 在圆C 上，所以()2224m n -+=，()222424n m m m =--=-且04m ≤≤.因为原点到直线:1l mx ny +=的距离1h ==<，解得144m <≤ 10分而AB =2412OAB S AB h h ∆==-==因为111164m ≤<，所以当1142m =，即12m =时，OAB S ∆取得最大值12，此时点M 的坐标是1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，OAB ∆的面积的最大值是12. 12分22. 解析：（1）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+= ①．于是213(1)n n S S n ++=+ ②．2分 由②－①得163n n a a n ++=+ ③．于是2169n n a a n +++=+ ④．由④－③得26n n a a +-= ⑤， 4分 所以12226n n n n b b a a ++-=-=，即数列{}n b 是等差数列，公差是6． 6分（2）由题意知2112S S +=，所以2122a a =-，而3215a a +=，4321a a +=， 所以332a a =+，4182a a =-． 8分数列{}2k a 和{}21k a +分别是以23,a a 为首项，6为公差的等差数列，所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)k a a k +=+-( k∈N *)． 10分因此，数列{}n a 是单调递增数列⇔12a a <且22122k k k a a a ++<<对任意的k∈N *成立⇔12a a <且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- ⇔1234a a a a <<< ⇔122a a <-3<+2182a a <-⇔91544a <<． 所以，a 的取值集合是}41549|{<<=a a M ． 12分。