新课标高考数学专题复习 §2.7 函数与方程
高考数学方程与函数知识点
高考数学方程与函数知识点一、一次函数一次函数是指函数的最高次数为1的函数，通常表达为y=ax+b 的形式，其中a称为斜率，b称为截距。
1. 斜率：斜率可以用来表示函数图像的增减趋势，斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减。
2. 截距：截距表示函数图像与y轴之间的交点，可以用来确定函数图像的位置。
二、二次函数二次函数是指函数的最高次数为2的函数，通常表达为y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b、c均为常数。
1. 抛物线：二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定。
2. 零点：通过解方程y=0，可以求得二次函数的零点，即方程的根。
3. 非负性：当a>0时，二次函数的值大于等于c，当a<0时，二次函数的值小于等于c。
4. 顶点：二次函数的顶点坐标可以通过求得x=-b/(2a)来确定。
三、指数函数指数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的指数函数。
1. 指数规律：指数函数的数学规律为a^x=a^y，当x=y时，指数函数取相同的值。
2. 增长与衰减：指数函数具有快速增长或衰减的特点，指数函数的指数为正时，函数递增；指数为负时，函数递减。
3. 自然指数函数：自然指数函数是指以常数e≈2.71828为底的指数函数，形式为f(x)=e^x。
四、对数函数对数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的对数函数。
1. 对数规律：对数函数的数学规律为a^loga(x)=x，当x>0时，对数函数取正值。
2. 增长与衰减：对数函数具有递增但增长速度逐渐减小的特点。
3. 自然对数函数：自然对数函数是指以常数e≈2.71828为底的对数函数，形式为f(x)=ln(x)。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，常用于解决与角度相关的问题。
1. 正弦函数：正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值，通常表示为sin(x)。
2. 余弦函数：余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值，通常表示为cos(x)。
2025版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第1课时函数的零点与方程的解课件
= ln .作出函数 =
1
和
3
1
e
= ln 的图象如图所示.显然 = 在( ,1)内无零点，在 1, e 内
有零点.
1
e
1
3
1
（方法二）当 ∈ ( ,e)时，函数图象是连续的，且′ = − =
1
e
在( ，e)上单调递减.又
1
e
1
e
=
1
3e
1
3
−3
3
< 0，所以函数
10
− 的零点个数，即函数
10
图象的交点个数，作出图象如图所示.
10
，当
10
= 0时， = 0；当 = 10时，
= 1；当 > 10时， > 1.
所以在轴非负半轴上两个函数图象有4个交点.
由对称性，知在轴负半轴上两个函数图象有3个交点.
综上，函数 = sin −
的零点个数为7.故填7.
图4
变式1（1） 方程 2 = 4 − ln 的解所在的区间是(
A. 0,1
B. 1,2
√
C. 2,3
)
D. 3,4
解：令 = 2 − 4 + ln , > 0，易知 单调递增.又 1 = −3 < 0，
2 = ln 2 > 0，故其唯一零点在 1,2 内.故选B.
（2）设函数 =
√
∪
1
( ,+∞)
5
D. −∞, −1
解：显然 ≠ 0.因为 在 −1,1 上为单调函数，且在区间 −1,1 上存在一个零点，
【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录
第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。
高中数学复习函数与方程篇
高中数学复习函数与方程篇高中数学复习：函数与方程篇一、引言在高中数学中，函数与方程是学习最为重要且基础的内容之一。
函数是一种对应关系，能够描述事物之间的联系，而方程则是含有未知数的等式。
这篇文章将从函数的定义与性质、函数的图像、方程与根的关系等几个方面进行复习与总结，帮助读者回顾与巩固相关的知识。
二、函数的定义与性质函数是一种将自变量映射到因变量的关系。
在数学中，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
下面我们将回顾函数的一些重要性质。
1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，而值域则是因变量的取值范围。
例如，对于函数y = x^2，其定义域为实数集，值域为非负实数集。
2. 奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的解析式判断。
若函数满足f(-x) = f(x)（偶函数），则其图像关于y轴对称；若函数满足f(-x) = -f(x)（奇函数），则其图像关于原点对称。
3. 单调性与极值点：函数的单调性表示其在定义域内的增减情况。
对于平滑的函数，可以通过导数的正负性判断其单调性。
极值点是函数在某一区间内取得最大或最小值的点。
三、函数的图像函数的图像可以直观地展示函数的性质与特点。
在高中数学中，我们主要了解一些常见函数的图像特征。
以下是几个例子：1. 线性函数：线性函数的图像为一条直线。
其一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
斜率为正表示直线上升，为负表示直线下降。
2. 二次函数：二次函数的图像为一条称为抛物线的曲线。
一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a确定抛物线开口方向，b与c确定顶点位置。
3. 指数函数：指数函数的图像为递增或递减的曲线。
一般形式为y= a^x，其中a为底数。
四、方程与根的关系方程是由未知数和已知数之间的关系构成的等式。
解方程就是求出满足等式的未知数的值。
以下是几种常见的方程类型及其解法：1. 一元一次方程：形如ax + b = 0的方程，其中a、b为已知数，x为未知数。
高考数学一轮复习专题2.7二次函数及幂函数练习(含解析)
第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确． 【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2， 因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． （3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是． 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点． 当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x xx x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限 【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0， 解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去； 当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）． 【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4； （2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1）， 又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0； 当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)， 令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]， 由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]， 因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围； （2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立， 所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)， 所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。
2023版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用课件
70 ≈100r.
若 r＝3%，f(x)≥2a，则 x 的最小整数值为
()
A. 22
B. 25
C. 23
D. 24
解：依题意可得
a(1＋3%)x≥2a，即
ln2
0.693
x≥ln（1＋3%）≈ 3%
15≈1007×03%＝730≈23.
2. 三种函数模型性质比较
性质
在(0，＋∞) 上的单调性
增长速度
图象的 变化
y＝ax(a＞1)
增函数
越来越快 随 x 值增大，
图象与 y 轴 接近平行
函数 y＝logax(a＞1)
增函数
越来越慢 随 x 值增大，
图象与 x 轴 接近平行
y＝xn(n＞0) 增函数
相对平稳 随 n 值变 化而不同
3. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 (1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)； (2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题； (3)通过运算、推理求解函数模型； (4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期利息. 假设最开始本金f(x).
若
f(x)≥2a，则
a(1＋r)x≥2a，解得
ln2 x≥ln（1＋r）.
银行业中经常
使用“70 原则”，因为 ln2≈0. 693 15，而且当 r 比较小时，ln(1＋r)≈r，所以ln（l1n＋2 r）≈0.69r3 15
≈3α3，则 r 的近似值为
()
A.
MM21R
B.
2MM21R
C. 3 3MM12R
2.7 函数与方程
∴若存在实数 a 满足条件， 则只需 f(－1)· f(3)≤0 即可． f(－1)· f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)· (9＋9a－6＋a－1) ＝4(1－a)(5a＋1)≤0. 1 所以 a≤－ 或 a≥1. 5 检验：①当 f(－1)＝0 时，a＝1. 所以 f(x)＝x2＋x.令 f(x)＝0，即 x2＋x＝0. 得 x＝0 或 x＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故 a≠1.
f(a)· f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所 以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．
基础自测 1．根据下面表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个根所在的区间为__________. (1,2) x ex x＋2 －1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5
(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内， 如图(2)所示 f0>0， f1>0， 列不等式组 Δ≥0， 0<－m<1. 1 m>－ ， 2 1 ⇒m>－2， m≥1＋ 2或m≤1－ 2， －1<m<0. 1 即－ <m≤1－ 2. 2
( B )
题型分类
题型一 例1
深度剖析
判断函数在给定区间上零点的存在性
判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]． 思维启迪
第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出
零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交 点来求解．
探究提高
直接求解法．这类题目是高考的常考题目，望同学们能 够灵活处理．
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§2.7函数与方程.pdf
5.(2017 江苏 ,14,5 分) 设 f(x) 是定义在 R 上且周期为 1 的函数 , 在区间 [0,1) 上 , f(x)=
{????2,,?x?∈?D?,,其中集合
D={??|??=
n -1 ,n∈ N *} , 则方程
n
f(x)-lg x=0
的解的个数是
.
答案 8
6.(2016 浙江 ,12,6 分) 设函数 f(x)=x 3+3x2+1. 已知 a≠ 0, 且 f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)
.
1
答案 (0, 2)
考点 函数零点与方程的根
三年模拟
A 组 2016— 2018 年模拟 · 基础题组
1.(2018 广东深圳高级中学月考 ,2) 下列函数中 , 既是偶函数又存在零点的是 (
)
A.y=x 2+1
B.y=|lg x|
C.y=cos x
D.y=e x-1
答案 C
2.(2018 湖北荆州第一次检测 ,6) 函数 f(x)= 6-log 2x 的零点所在区间是 (
, 则 a=(
)
A.- 1
B. 1
C. 1
D.1
2
3
2
答案 C
2.(2015 天津 ,8,5 分 ) 已知函数 f(x)= {2 - |??|,
x
≤
2, 函数
g(x)=3-f(2-x),
则函数 y=f(x)-g(x) 的零点个数为 (
)
(??-2) 2 ,x > 2,
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 A
4
2
C. ( -
9 4
,-2]
高中数学函数与方程归纳
高中数学函数与方程归纳高中数学：函数与方程归纳导言：函数与方程是高中数学中的重要内容，它们在数学建模、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用。
本文将围绕函数与方程进行归纳总结，从基本概念、性质、图像、解法等方面进行讨论，帮助读者更好地理解和掌握这一重要知识点。
一、函数的基本概念与性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将两个集合之间的元素按照某种规律进行对应。
通常用一个字母代表函数，如f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
1.2 函数的性质函数可以分为奇函数和偶函数、增函数和减函数等。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)；增函数满足f(x1)<f(x2)，当x1<x2；减函数满足f(x1)>f(x2)，当x1<x2。
二、常见函数类型的图像与性质2.1 一次函数一次函数的图像是一条直线，形如y=ax+b。
斜率a决定了直线的倾斜程度，截距b代表直线与y轴的交点。
一次函数的图像是一条斜率为a的直线。
2.2 二次函数二次函数的图像是一条抛物线，形如y=ax²+bx+c。
二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负性决定，开口向上为a>0，开口向下为a<0。
顶点是抛物线的最高点或最低点。
2.3 幂函数幂函数的图像是一条曲线，形如y=ax^b。
幂函数的特点是，当b>1时曲线上升得越来越快，当0<b<1时曲线上升越来越慢。
2.4 指数函数指数函数的图像是一条曲线，形如y=a^x。
指数函数的特点是，当a>1时曲线上升得越来越快，当0<a<1时曲线上升越来越慢。
指数函数的导数等于函数值与自变量的乘积。
2.5 对数函数对数函数的图像是一条曲线，形如y=logₐx。
对数函数的特点是，曲线渐近于x轴和y轴，且当x趋近于无穷大时，对数函数值无限增大。
三、方程的解法与应用3.1 一元一次方程一元一次方程是形如ax+b=0的方程。
高三函数与方程知识点
高三函数与方程知识点函数与方程是高中数学中的重要内容，也是高三数学的重要知识点之一。
掌握好函数与方程的相关概念和运用方法，对于高三数学的学习和应试都具有重要意义。
本文将以清晰、简洁的方式介绍高三函数与方程的知识点。
一、函数的概念及性质函数是自变量和因变量之间的一种特殊关系。
在数学上，函数可以用公式、图像、表格等方式表示。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
在高三数学中，函数的性质常常用于解决问题和证明题。
二、基本初等函数常见的基本初等函数包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数都具有特定的特性和图像，通过对这些函数的研究，可以更好地理解函数的性质和变化规律，同时也为解决各种函数方程提供了基础。
三、函数的图像与性质函数的图像是研究函数性质的重要工具之一。
通过函数图像的形状、变化趋势等特点，可以得出函数的部分性质。
在高三数学中，对于基本函数的图像性质要有清晰的认识，同时也要能够根据函数的图像推断其性质。
四、函数的运算与复合函数函数的运算是指对函数进行加减乘除等操作。
常见的函数运算包括函数的加减、函数的乘除、函数的积分、函数的导数等。
复合函数是两个或多个函数构成的函数，通过复合函数的运算可以得到新的函数。
函数的运算和复合函数的求导是高三数学中的重要内容，需要熟练掌握。
五、函数方程的解法函数方程是包含函数未知量的方程，通常需要求函数的具体形式或特定的性质。
常见的函数方程包括函数的零点求解、函数的最值求解等。
对于不同类型的函数方程，需要采用不同的解法。
在高三数学中，熟练掌握函数方程的解法，可以快速解决各类相关问题。
六、常见的函数类型及应用高三数学中，除了基本初等函数之外，还有许多常见的函数类型如绝对值函数、分段函数、双曲线函数等。
这些函数在实际问题中的应用广泛，需要注意这些函数的特点和应用方法。
七、函数与方程的综合应用函数与方程在实际问题中具有广泛的应用，涉及到各个领域。
【把握高考】高三数学最新专题课件 第二章 2.7《函数与方程》人教版必修
中点函数值 1.25
0.062 5 －0.484 4 －0.214 8 －0.077 1
第二章 函数
因为区间[－2.25，－2.187 5]的长度是0.062 5 <0.1，
所以函数f(x)＝x2－5的负零点的一个近似值可 取为－2.187 5.
解：因为f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，故取 区间[－3，－2]作为计算的初始区间．用二分法逐 次计算，列表如下：
区间 [－3，－2] [－2.5，－2] [－2.25，－2] [－2.25，－2.125] [－2.25，－2.187 5]
中点 －2.5 －2.25 －2.125 －2.187 5 －2.218 75
Δ≥0， (3)－f2m>－20，1≥2，
解得 m∈∅.
所以 A∩B＝∅的条件为 m>－1，故 m≤－1 时 A∩B≠∅.
第二章 函数
考点三 用二分法求函数零点的近似值 【案例3】 求方程x2＝2x＋1的一个近似解．(精 确度0.1) 关键提示：依据二分法求函数的零点近似值． 解：设f(x)＝x2－2x－1， 因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0， 所以在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解， 记为x0. 取2与3的中间数2.5，因为f(2.5)＝0.25>0， 所以2<x0<2.5； 再取2与2.5的中间数2.25，
解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，则有f(0)＝1>0. 方法1：(直接法)(1)若f(x)＝0在[0,2]内有且只有一个 根，则f(2)<0，即4＋2(m－1)＋1<0， 所以 m<－32； (2)若 f(x)＝0 在[0,2]内有两个根，
Δ≥0， 则有0≤－m－2 1≤2，
2.7 函数与方程
§2.7 函数与方程(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题6分，共42分)1．在以下区间中，存在函数f (x )＝x 3＋3x －3的零点的是( )A ．[－1,0]B ．[1,2]C ．[0,1]D ．[2,3] 2．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为( )A ．2B ．3C ．1D ．43．已知函数f (x )＝x e x －ax －1，则关于f (x )的零点叙述正确的是( )A ．当a ＝0时，函数f (x )有两个零点B ．函数f (x )必有一个零点是正数C ．当a <0时，函数f (x )有两个零点D ．当a >0时，函数f (x )有一个零点4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 (x >0)－x (x ＋1) (x ≤0) 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．如果函数f (x )＝x ＋2＋a －x 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎫－94，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－94，－2 C ．[－2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－94，0 6．方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)二、填空题(每小题5分，共20分)8．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1) (n ∈N )内，则n ＝________.9．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________． 10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是__________．11．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1<x <2， 则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为____________．三、解答题(共38分)12．(12分)关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．13.(12分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．14．(14分)(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．答案1．C 2．A 3．B 4．D 5．B 6.B 7．C 8．2 9．(2,3) 10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <1 11．1＋2或112．解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， ∴m ≤－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥00<－m －12<2f （2） ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧（m －1） 2－4≥0－3<m <14＋ （m －1） ×2＋1≥0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1－3<m <1m ≥－32，∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.13．解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．设 2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0时，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.14．解 (1)①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.②由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－m >－1，f （－1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>0，m <1，1－2m ＋3m ＋4>0. ∴－5<m <－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)． (2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0，即|4x －x 2|＝－a .令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a . 作出g (x )、h (x )的图象． 由图象可知，当0<－a <4，即－4<a <0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，即f (x )有4个零点．故a 的取值范围为 (－4,0)．。
高中数学复习函数与方程
高中数学复习函数与方程高中数学复习：函数与方程函数和方程是高中数学中的重要内容，也是学习数学的基础。
掌握了函数和方程的知识，不仅可以解决实际生活中的问题，还可以帮助我们理解更高深的数学概念和原理。
本篇文章将对函数和方程进行深入的复习和总结。
一、函数的概念与性质1.1 函数的定义函数是一个映射关系，它将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。
数学上，函数可以用公式、表格或图像表示。
1.2 函数的性质函数包括定义域、值域、奇偶性、周期性等性质。
其中，定义域是指函数的自变量的取值范围，值域是函数所有可能的取值。
奇偶性描述的是函数关于y轴的对称性，周期性描述的是函数图像的重复性。
1.3 常见函数的图像与特点常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线，指数函数的图像是逐渐上升或下降的曲线，对数函数的图像是逐渐趋近于y轴的曲线。
二、方程的求解方法2.1 一次方程的求解一次方程是指最高次数为一的代数方程。
求解一次方程的方法包括等式两边加减同一数、等式两边乘除同一数等。
2.2 二次方程的求解二次方程是指最高次数为二的代数方程。
求解二次方程的方法包括配方法、因式分解法、求根公式等。
2.3 高次方程的求解高次方程是指最高次数大于二的代数方程。
求解高次方程时一般需要借助代数方法，如变量代换、因式分解等。
三、函数与方程的应用3.1 函数方程在实际问题中的应用函数方程在实际问题中具有广泛的应用，如利润函数、销售量函数等。
通过建立函数方程，可以分析和解决各种实际问题。
3.2 函数方程的图像及特点函数方程的图像和特点可以通过计算和绘制来得到。
图像可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
3.3 方程在几何图形中的应用方程在几何图形中的应用主要包括点、线、圆等几何图形的方程。
通过解方程，可以确定几何图形的位置和性质。
四、综合练习与总结在学习函数与方程的过程中，综合练习是巩固知识的有效方法。
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的图象
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.7函数的图象最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )．②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )．(4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，你能得到f (x )解析式满足什么条件？提示f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )．2．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )对称，求f (x )，g (x )的关系．提示g (x )＝2b －f (2a －x )题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．(×)(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(×)(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．(×)(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．(×)题组二教材改编2．[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋1x的图象关于()A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案C 解析函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故选C.3．[P32T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是．(填序号)答案③解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．下列图象是函数y 2，x <0，－1，x ≥0的图象的是()答案C6．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案y ＝解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝7．(2018·太原调研)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________．答案(0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解(1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图象的辨识例1(1)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是()答案D 解析从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x 0，1e 上单调递减，在区间1e，＋∞ D.(2)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)答案C 解析题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝12x 在同一直角坐标系下的图象大致是()答案B 解析因为函数g (x )＝12为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B.(2)函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为()答案D 解析令f (x )＝1ln|e x －e －x |，则f (－x )＝1ln|e －x －e x |＝1ln|e x －e －x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C.当x >1时，y ＝1ln|e x －e －x |＝1ln (e x －e －x )，显然y >0且函数单调递减，故D 正确．题型三函数图象的应用命题点1研究函数的性质例2(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是()A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C 解析将函数f (x )＝x |x |－2x去掉绝对值，得f (x )x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b ，故取不到等号)，所以ab >4.命题点2解不等式例3函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为．答案－π2，－1∪1，π2解析当x ∈0，π2y ＝cos x >0.当x ∈π2，4y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x<0－π2，－1，所以f (x )cos x<0－π2，－1∪1，π2命题点3求参数的取值范围例4(1)已知函数f (x )12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是．答案(0,1]解析作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是．答案解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)(2018·昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )()A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值答案C 解析画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1(1)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为()答案B 解析当x ∈0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C ；当x ∈π4，3π4时，1＋5，22.∵22<1＋5，∴D ，故选B.(2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝ln|x |x B ．f (x )＝e x xC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x答案A 解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(3)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x 2的图象大致为()答案B 解析∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －x x 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e >32，排除C 选项．故选B.二、函数图象的变换问题例2已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()答案D 解析方法一先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法二先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法三当x ＝0时，y ＝－f (2－0)＝－f (2)＝－4.故选D.三、函数图象的应用例3(1)已知函数f (x )|，x ≤m ，2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是．答案(3，＋∞)解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m－m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.(2)不等式3sin π2x－12log x<0的整数解的个数为．答案2解析不等式3sin π2x12log x<0，即3sinπ2x<12log x.设f(x)＝3sinπ2x，g(x)＝12log x，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)<g(x)，所以不等式3sin π2x12log x<0的整数解的个数为2.(3)已知函数f(x)sinπx，0≤x≤1，log2020x，x>1，若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是．答案(2,2021)解析函数f(x)sinπx，0≤x≤1，log2020x，x>1的图象如图所示，不妨令a<b<c，由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2020，所以2<a＋b＋c<2021.1．(2018·浙江)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()答案D解析由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B.令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z )，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C.故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是()答案C解析当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.3．已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为()答案A解析先作出函数f(x)＝log a x(0<a<1)的图象，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x<0时的图象，故选A.4.若函数f(x)ax＋b，x<－1，ln(x＋a)，x≥－1的图象如图所示，则f(－3)等于()A．－12B．－54C．－1D．－2答案C解析由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)2x＋5，x<－1，ln(x＋2)，x≥－1，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝e x＋1B．f(x)＝e x－1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1答案D解析与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.6．(2018·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)2－x－1，x≤0，f x－1)，x>0，若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为() A．(－∞，1)B．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)答案A解析当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.类推有f (x )＝f (x －1)＝22－x －1，x ∈(1,2]，…，也就是说，x >0的部分是将x ∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．7．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为．答案{x |x ≤0或1<x ≤2}解析画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0>1，x )≤0<1，x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．8．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a ＝.答案－2解析由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是．答案－13，解析由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.10．给定min{a ，b }，a ≤b ，，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为．答案(4,5)解析作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )2(1－x )＋1，－1≤x <0，3－3x ＋2，0≤x ≤a的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是．答案[1，3]解析先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3.12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个实数解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x )2＋2x －1，x ≥0，2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是()A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案D解析函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.14．已知函数f (x )＝x |x －1|，g (x )＝1＋x ＋|x |2，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围是．答案解析f (x )＋1x －1，x >1，1＋11－x，x <1，g (x )＋x ，x ≥0，，x <0，作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋11－x＝x ＋1，解得x ＝5－12；当x >1时，由1＋1x －1＝x ＋1，解得x ＝5＋12.结合图象可知，满足f (x )<g (x )的x －∞，5－12∪1＋52，＋∞15．已知函数f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13logx ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为____________．答案－∞，74∪94，＋∞解析对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是－∞，74∪94，＋∞16．已知函数f (x )(x －1)2，0≤x ≤2，14x －12，2<x ≤6.若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝k ，求实数k 的取值范围．解由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )(x ∈[0,6])的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图知k ，1 6.。
函数与方程高考知识点总结
函数与方程高考知识点总结一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系。
2.函数的表示方法：函数可以用函数解析式、函数图象、函数表等形式表示。
3.函数的性质：奇偶性、周期性、有界性、单调性、极值、最值等。
二、初等函数1.常数函数：y=c。
2. 一次函数：y=kx+b。
3. 二次函数：y=ax²+bx+c。
4.幂函数：y=xⁿ。
5.指数函数：y=aᵡ。
6. 对数函数：y=logₐx。
7.三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
8.反三角函数：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
三、函数的运算1.函数的和、差、积、商的定义与性质。
2.复合函数的定义与性质。
3.反函数的定义与性质。
四、方程的概念与性质1.方程的定义：含有未知数的等式称为方程。
2.方程的根：使方程等式成立的未知数的值称为方程的根。
3.方程的解：满足方程的根的值的集合。
4.方程的性质：等价方程、可解性、唯一性等。
五、一元一次方程1.一元一次方程的定义与解的概念。
2.一元一次方程的解法：解方程的基本步骤、去分母、去项、整理方程等。
3.一元一次方程的应用：问题转化为一元一次方程。
六、一元二次方程1.一元二次方程的定义与解的概念。
2.一元二次方程的解法：配方法、因式分解法、求根公式、三角函数法等。
3.一元二次方程的判别式：判别式与方程根的关系。
七、一元高次方程1.一元高次方程的定义与解的概念。
2.一元高次方程的解法：因式分解法、整理方程法、二次根与系数关系、综合除法等。
3.一元高次方程的应用：问题转化为一元高次方程。
八、二元一次方程组1.二元一次方程组的定义与解的概念。
2.二元一次方程组的解法：方法一、方法二、方法三等。
3.二元一次方程组的应用：问题转化为二元一次方程组。
九、二元二次方程组1.二元二次方程组的定义与解的概念。
2.二元二次方程组的解法：消元法、代入法、加减消元法、变量代换法等。
3.二元二次方程组的应用：问题转化为二元二次方程组。
2.7 函数与方程(讲解部分) 高考数学(课标版,理科)复习课件
例2
直线y=x与函数f(x)=
2,x m,
x2
4x
2,x
m
的图象恰有三个公共点,则实数m
注意 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能判 断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上至多有 一个零点. 3.f(a)·f(b)<0与函数f(x)存在零点的关系 (1)不满足f(a)·f(b)<0的函数也可能有零点(如图). (2)连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图.所 以f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
(2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数即为方程|log0.5x|=
1 2x
=
1 2
x
的根的个数,
亦即函数y1=|log0.5x|与y2=
1 2
x
的图象的交点个数.两个函数的图象如图所
示,可知两个函数图象有两个交点,故选B.
答案 (1)C (2)B
方法2 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 (1)根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3, f(x)是定义在 (0,+∞)上的单调函数,则f(x)-log2x为定值,设t=f(x)-log2x,则f(x)=log2x+t,又由 f(t)=3,所以f(t)=log2t+t=3,所以t=2,所以f(x)=log2x+2,所以g(x)=log2x+x-5,因为 g(1)<0,g(2)<0,g(3)<0,g(4)>0,g(5)>0,所以零点所在的区间为(3,4).
2021-2022年高三数学函数与方程专题复习新课标
2021年高三数学函数与方程专题复习新课标纵观近几年的新课程高考卷，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.一、高考命题展望：由于函数在高中数学中具有举足轻重的地位，它仍将是xx 年高考的一个热点.对函数试题的设计依然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图像、应用考查函数知识；与方程、不等式、解几等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查.1. 函数的奇偶性. 因为函数的奇偶性蕴涵着对称、变换、化归等丰富的数学知识和方法，例1.设为奇函数，).2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则（ ）例2.已知定义域为的函数是偶函数，并且在上是增函数，若，则的解集是（ ）例3.函数的定义域为且为奇函数，当时，则当时，的单调减区间为（ ）例4. 已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则例5.如果函数对任意实数，都有，则2.复合函数. 函数试题的设计始终围绕着几个基本初等函数，并通过这几个函数之间的串联、组合成为复合函数，达到对函数知识、方法和思想的深刻考查.因而对复合函数类问题，要掌握换元、分解、整体代入等方法，找到其母函数，从而化归为基本初等函数问题加以解决.例6.若，要使有意义，实数的取值范围是例7.若函数的图象可由函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到,则（ ）例8.已知，、为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是(A)2()()2a b ab f f f a b +>>+(B)2()()2a b ab f f f a b+>>+(C) (D)2()()2ab a b f f f a b +>>+ 例9.已知则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 . 例10.已知函数，有下列命题：①时，只有一个实数根②时，是奇函数③的图象关于点对称④方程至多有3个实数根，则正确的命题的序号为3.抽象函数.抽象函数问题是近几年高考中函数类问题的一个新的热点，由于具体函数与抽象函数之间是特殊化与一般化的关系，因而抽象函数问题的解决方法更加灵活多样，既可以采用特殊化方法，又可以回归函数的各种性质，有利于考查学生的抽象思维能力，故而应引起我们的高度重视.例11.已知的解析式可取为（A ） （B ） （C ） （D ） 例12. 若和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程有实数解，则不可能．．．是 （A ） （B ） （C ） （D ）例13.给出四个函数，分别满足：① ②③ ④又给出四个函数的图像，则正确的匹配方案是（ ）（A ）①-a ②-b ③-c④-d（B ）①-b ②-c ③-a ④-d （C ）①-c ②-a ③-b ④-d （D ）①-d ②-a ③-b ④-c例14.已知的定义域为,若与互为反函数且 (为非零常数),则=例15. 函数的定义域为，对于任意实数、，有：()()2()()22f f f f αβαβαβ+-+=且（1）求证：()()()f x f x f x π-==--（2）若，，证明：在递减4.数学思想.数学思想能从整体上深层次认识数学的实质，对数学知识、数学方法的运用起到导向作用.对数学思想的教学在新授课和第一轮复习中通常处在“隐含、渗透”阶段，在第二轮复习中就应提升到“介绍、运用”阶段，应更加明确，更加系统，这是一个从模糊到清晰的质的飞跃。
高考数学 专题二 函数 7 函数与方程课件 文
高考文数
专题二 函 数
§2.7 函数与方程
考点清单
考向基础
考点 函数与方程
1.函数零点的定义
(1)对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的
零点.
(2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
)
2,x0,
A.1 B.2 C.3 D.4
12/10/2021
解析 由已知得lg a=4-a,10b=4-b,如图,在同一直角坐标系中作出y=10x,y=
lg x以及y=4-x的图象,其中y=10x,y=lg x(-1<x<3)的图象关于直线y=x对称,直
线y=x与y=4-x的交点为(2,2),所以a+b=4,∴f(x)=
2
∴f(1)·f(2)<0,∴根据零点存在性定理知f(x)=ln x- 2 的零点所在的区间为(1,
x2
2).故选B.
答案 B
12/10/2021
考向二 判断零点的个数
例2 (2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,12)若a满足a+lg a=4,b满足b+
10b=4,函数f(x)=
x2
则(关a于b)xx的2方,x程0f,(x)=x解的个数是(
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点个数 零点个数
Δ>0
两个 2
Δ=0
一个 1
Δ<0无Βιβλιοθήκη 点 012/10/2021
考向突破
考向一 判断零点所在区间 例1 (2018豫西南部分示范性高中联考,7)函数f(x)=ln x- 2 的零点所在的
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§2.7 函数与方程探考情 悟真题 【考情探究】考点 内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数与 方程结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系;判断一元二次方程根的存在性与根的个数;根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解2017课标全国Ⅲ,12,5分函数零点的应用函数的奇偶性★★★2019课标全国Ⅲ,5,5分函数零点个数的判断三角函数式的化简分析解读函数与方程思想是中学数学重要的思想方法之一,由于函数图象与x 轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中为5分左右,难度较大.在备考时,注意以下几个问题:1.结合函数与方程的关系,求函数的零点;2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或范围是高考的热点.破考点 练考向 【考点集训】考点 函数与方程1.(2018河北保定第一次模拟,12)定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x ∈[0,1]时, f(x)=-2x+1,设函数g(x)=(12)|x -1|(-1<x<3),则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( ) A.2B.4C.6D.8答案 B2.(2018安徽安庆二模,12)f(x)为定义在R 上的函数,f(x)={x 2+2,x ∈[0,1),2-x 2,x ∈[-1,0),且f(x+1)=f(x-1),若g(x)=3-log 2x,则函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)内的零点有( )A.3个B.2个C.1个D.0个 答案 B3.(2019湖北十堰元月调研,4)已知函数f(x)={ln(x -1),x >1,2x -1-1,x ≤1,则f(x)的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C4.(2019河北石家庄二中期末,11)函数f(x)=x 2-6xsin πx 2+1(x ∈R)的零点个数为( ) A.10 B.8C.6D.4答案 B炼技法 提能力 【方法集训】方法1 判断函数零点所在区间和零点个数的方法1.(2018河南、河北重点高中第二次联合考试,8)定义在R 上的奇函数f(x)=a ·2x -2-x -4sin x 的一个零点所在区间为( ) A.(-a,0) B.(0,a) C.(a,3) D.(3,a+3)答案 C2.(2019陕西西安高新区第一中学模拟,5)f(x)=e x -x-2在下列哪个区间必有零点( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 答案 C方法2 已知函数零点求参数的取值范围1.(2018广东汕头金山中学期中考试,12)已知函数f(x)={e x ,x ≥0,lg(-x),x <0,若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根,则t 的取值范围为( )A.(-∞,-2]B.[1,+∞)C.[-2,1]D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案 A2.(2019江西吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学4月联考,8)已知f(x)={(12)|x|(x ≤1),-x 2+4x -2(x >1),若关于x 的方程a=f(x)恰有两个不同实根,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,12)∪[1,2) B.(0,12)∪[1,2) C.(1,2) D.[1,2)答案 B【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点 函数与方程1.(2019课标全国Ⅲ,5,5分)函数f(x)=2sin x-sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案 B2.(2017课标全国Ⅲ,12,5分)已知函数f(x)=x 2-2x+a(e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a=( ) A.-12B.13C.12D.1答案 CB 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点 函数与方程1.(2019天津,8,5分)已知函数f(x)={2√x,0≤x ≤1,1x,x >1.若关于x 的方程f(x)=-14x+a(a ∈R)恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为( ) A.[54,94] B.(54,94] C.(54,94]∪{1} D.[54,94]∪{1}答案 D2.(2019浙江,9,4分)设a,b ∈R,函数f(x)={x, x <0,13x 3-12(a +1)x 2+ax,x ≥0.若函数y=f(x)-ax-b 恰有3个零点,则 ( )A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0答案 C3.(2015湖南,14,5分)若函数f(x)=|2x -2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 . 答案 (0,2)4.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)={x -4,x ≥λ,x 2-4x +3,x <λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 . 答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)5.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)={x 2,x ∈D,x,x ∉D,其中集合D={x |x =n -1n ,n ∈N *},则方程f(x)-lg x=0的解的个数是 . 答案 8C 组 教师专用题组考点 函数与方程1.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)=6x-log 2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 答案 C2.(2013湖北,10,5分)已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(0,12) C.(0,1) D.(0,+∞) 答案 B3.(2014课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=ax 3-3x 2+1,若f(x)存在唯一的零点x 0,且x 0>0,则a 的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 答案 C4.(2016浙江,12,6分)设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x ∈R,则实数a= ,b= . 答案 -2;15.(2015湖北,13,5分)函数f(x)=2sin xsin (x +π2)-x 2的零点个数为 . 答案 26.(2015安徽,14,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若直线y=2a 与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a 的值为 . 答案 -127.(2014福建,15,4分)函数f(x)={x 2-2, x ≤0,2x -6+lnx,x >0的零点个数是 .答案 28.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时, f(x)=|x 2-2x +12|.若函数y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 . 答案 (0,12)【三年模拟】时间:40分钟 分值:50分一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,9)已知a 是函数f(x)=2x -lo g 12x 的零点,若0<x 0<a,则f(x 0)的值满足( ) A.f(x 0)>0 B.f(x 0)<0 C.f(x 0)=0 D.f(x 0)的符号不确定答案 B2.(2020届福建龙海二中期初考试,9)若函数f(x)=|x|,则函数y=f(x)-lo g 12|x|的零点个数为( )A.5B.4C.3D.2答案 D3.(2019河北衡水第十三中学质检(四),12)已知函数f(x)={|log 3x|,0<x <3,-cos (π3x),3≤x ≤9.若存在实数x 1,x 2,x 3,x 4,当x 1<x 2<x 3<x 4时,满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4),则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( ) A.(21,1354) B.(7,294) C.(27,1354) D.[27,30)答案 C4.(2020届黑龙江哈尔滨第六中学调研,10)已知关于x 的方程e mx =x 2在(0,8]上有两个不等的实数根,则实数m 的取值范围为( ) A.(18,ln24) B.[116,ln24) C.[3ln24,2e) D.[ln24,2e) 答案 C5.(2020届安徽芜湖第一中学检测,12)已知函数f(x)={|lnx|(0<x ≤e),2-lnx(x >e),若a,b,c 互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c 的取值范围为( ) A.(1+e,1+e+e 2)B.(1e+2e,2+e 2)C.(2√1+e 2,2+e 2)D.(2√1+e 2,1e +2e)答案 B6.(2018河南、河北重点高中联合考试,12)已知函数f(x)={3x,x <0,0,0≤x ≤1,3-3x,x >1,若函数g(x)=x 3+λf(x)恰有3个零点,则λ的取值范围为( )A.(94,+∞)B.(-∞,0)∪{94}C.(0,94)D.(-∞,0)∪(94,+∞) 答案 A7.(2019河南顶级名校第四次联合质量测评,12)已知函数f(x)={-x 2+2ax +1,x ≤1,lnx +2a,x >1.给出下列命题,其中正确命题的个数为( )①当0<a<1时, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;②当a>1时,存在不相等的两个实数x 1和x 2,使f(x 1)=f(x 2); ③当a<0时, f(x)有3个零点. A.3B.2C.1D.0答案 C8.(2019安徽六安第一中学模拟(四),12)已知函数f(x)={x 2+(a -2)x +11-2a3,x >0,2a x -1,x ≤0(a>0,且a ≠1)在R 上单调递增,且函数y=|f(x)|与y=x+2的图象恰有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是( ) A.[52,4] B.[73,4] C.{73}∪[52,4] D.{73}∪(52,4]答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2019湘赣十四校第二次联考,15)已知函数f(x)={ax 2+2x +a(x ≤0),ax -3(x >0)有且只有1个零点,则实数a 的取值范围是 .答案 {0}∪(1,+∞)10.(2018江西上高第二中学模拟,15)已知f(x)={x 3,x ≥0,|lg(-x)|,x <0,则函数y=2f 2(x)-3f(x)的零点个数为 .答案 5。