【世纪金榜】高考数学总复习课时提升作业(六十一) 选修45 1绝对值不等式文新人教A版

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世纪金榜二轮专题辅导与练习选修45

5.放缩法：放缩法是在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大)，或把和 (或积)里的各项换以较大(或较小)的数，或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母)，从而达到证明的目的. 6.数学归纳法：用数学归纳法证明与正整数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.
nHale Waihona Puke nn(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则 (
a
2 i
)(
bi2 ) (
a
b2 2
ii
)2，
i1
i1
i1
当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得
ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设 α，β为平面上的两个向量，
则 α gβ αgβ，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．
【变式训练】(2013· 辽宁高考 ) 已知函数 f(x)=|x － a|, 其中 a>1. (1)当a=2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集. (2) 已知关于 x 的不等式 |f(2x+a) － 2f(x)|≤2 的解集为 {x|1≤x≤2}，求a的值.
4.算术—几何不等式：若a1,a2,…,an为正数，则__a_1 __a_2_n____a_n___n __a_1a_2___a_n ___，当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.
二、重要方法 1.比较法：一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”. 2.综合法：用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式.

高考数学一轮总复习不等式选讲课时训练理(选修45)

选修4－5 不等式选讲第1课时绝对值不等式(理科专用)1. 解不等式：|2x －1|＜3.解：|2x －1|＜3－3＜2x －1＜3－1＜x ＜2.2. 若关于x 的不等式|x ＋1|－|x －2|<a 2－4a 有实数解，求实数a 的取值范围．解：∵ ||x＋1|－|x －2||≤|(x＋1)－(x －2)|＝3，∴ －3≤|x＋1|－|x －2|≤3.由不等式a 2－4a>|x ＋1|－|x －2|有实数解，知a 2－4a>－3，解得a>3或a<1.3. 不等式|2－x|＋|x ＋1|≤a 对于任意x∈[0，5]恒成立的实数a 的集合是多少？解：当x∈[0，2]时，|2－x|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3，当x∈[2，5]时，|2－x|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≤9，综上可得|2－x|＋|x ＋1|≤9，∴ a ≥9.4. 解不等式：|2x ＋1|－|x －4|<2.解：① 当x≥4时，2x ＋1－(x －4)<2，∴ x ∈；② 当－12≤x<4时，2x ＋1＋x －4<2，∴ －12≤x<53；③ 当x<－12时，－2x －1＋x －4<2.∴ －7<x<－12.综上，该不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－7，53. 5. (2014·南通一模)已知：a≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3. 证明：因为|m|＋|n|≥|m－n|，所以|x －1＋a|＋|x －a|≥|x－1＋a －(x －a)|＝|2a －1|. 又a≥2，故|2a －1|≥3.所以|x －1＋a|＋|x －a|≥3.6. 若对任意x∈R ，||2－x ＋||3＋x ≥a 2－4a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：||2－x ＋||3＋x ≥5，要||2－x ＋||3＋x ≥a 2－4a 恒成立，即5≥a 2－4a ，解得－1≤a ≤5.7. 设a∈R ，函数f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x≤1)．(1) 若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54；(2) 求使函数f(x)最大值为178时a 的值．(1) 证明：∵ |x|≤1，|a|≤1，∴ |f(x)|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a(x 2－1)|＋|x|＝|a|·|x2－1|＋|x|≤|x 2－1|＋|x|＝|1－x 2|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x|－122＋54≤54.(2) 解：当a ＝0时，f(x)＝x(－1≤x≤1)的最大值是f(1)＝1，从而a≠0，故知f(x)是二次函数．∵ f(±1)＝±1，∴ f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x≤1)有最大值178⎩⎪⎨⎪⎧－1<－12a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，即⎩⎪⎨⎪⎧a<－12，（a ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋18＝0，∴ a ＝－2.8. 已知函数f(x)＝|x －a|－2|x －1|(a∈R )．(1) 当a ＝3时，求函数f(x)的最大值； (2) 解关于x 的不等式f(x)≥0.解：(1) 当a ＝3时，f(x)＝|x －3|－2|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ≥3，－3x ＋5，1<x<3，x ＋1，x ≤1，所以，当x ＝1时，函数f(x)取得最大值2. (2) 由f(x)≥0得|x －a|≥2|x－1|，两边平方得(x －a)2≥4(x －1)2，即3x 2＋2(a －4)x ＋4－a 2≤0，得[x －(2－a)][3x －(2＋a)]≤0，所以，①当a>1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－a ，2＋a 3； ② 当a ＝1时，不等式的解集为{x|x ＝1}；③ 当a<1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 3，2－a .9. 设函数f(x)＝|x －2a|，a ∈R .(1) 若不等式f(x)<1的解集为{x|1<x<3}，求a 的值； (2) 若存在x 0∈R ，使f(x 0)＋x 0<3，求a 的取值范围．解：(1) 由题意可得|x －2a|<1可化为2a －1<x<2a ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝1，2a ＋1＝3，解得a ＝1.(2) 令g(x)＝f(x)＋x ＝|x －2a|＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x<2a ，所以函数g(x)＝f(x)＋x 的最小值为2a ，根据题意可得2a<3，即a<32，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32. 10. 已知函数f(x)＝|x ＋1|，g(x)＝2|x|＋a. (1) 当a ＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2) 若存在x∈R ，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a 的取值范围．解：(1) |x ＋1|≥2|x|x 2＋2x ＋1≥4x 2－13≤x ≤1，∴ 解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1. (2) ∵ 存在x∈R ，使|x ＋1|≥2|x|＋a ， ∴ 存在x∈R ，使|x ＋1|－2|x|≥a.令φ(x)＝|x ＋1|－2|x|，即有a≤φ(x)max ，φ(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≥0，3x ＋1，－1≤x<0，x －1，x<－1.当x≥0时，y ≤1；当－1≤x<0时，－2≤y<1；当x<－1时，y<－2.综上可得φ(x)≤1，∴ a ≤1. 即a 的取值范围是(－∞，1]．11. 已知函数f(x)＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m)． (1) 当m ＝5时，求函数f(x)的定义域；(2) 若关于x 的不等式f(x)≥1的解集是R ，求m 的取值范围．解：(1) 由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞5, 不等式的解集是三个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x ＋1＋x －2＞5或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x<2，x ＋1－x ＋2＞5或⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，－x －1－x ＋2＞5解集的并集，解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2) 不等式f(x)≥1即|x ＋1|＋|x －2|＞m ＋2.∵ x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，要使不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ，∴ m ＋2≤3，∴ m 的取值范围是(－∞，1]．第2课时不等式证明的基本方法(理科专用)1. 求不等式|x ＋1|＋|x －2|>5的解集．解：不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，－x －1＋2－x>5，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤2，x ＋1＋2－x>5，或⎩⎪⎨⎪⎧x>2，x ＋1＋x －2>5，解得x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)．2. (2014·镇江期末)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．解：∵ (a＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．∴(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.3. 已知x 、y∈R ＋，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：已知x 、y∈R ＋，且1x ＋9y＝1，有x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝y x ＋9xy＋10≥2y x ·9x y ＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y 即x ＝4、y ＝12时，取“＝”．∴ x ＋y 的最小值为16.4. 已知x 2＋y 2＝1，求3x ＋4y 的最大值．解：(换元法)由x 2＋y 2＝1，可设x ＝cos α，y ＝sin α，则3x ＋4y ＝3cos α＋4sin α＝32＋42cos (α－φ)≤5，其中cos φ＝35，sin φ＝45，∴ (3x ＋4y)max ＝5.5. 设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜1.证明：由2n≥n＋k ＞n(k ＝1，2，…，n)，得12n ≤1n ＋k ＜1n.当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n，∴ 12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n＝1. 6. 已知a 、b 、c 为正数，且满足acos 2θ＋bsin 2θ<c ，求证：acos 2θ＋bsin 2θ< c.证明：由柯西不等式可得acos 2θ＋bsin 2θ≤[(acos θ)2＋(bsin θ)2]12(cos 2θ＋sin 2θ)12＝(acos 2θ＋bsin 2θ)12< c.7. 已知a 、b 、c∈R ＋，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c ≥cb a＋a c b ＋b a c. 证明：∵ a、b 、c∈R ＋，∴ b 2a ＋c2b ≥2b 2a ·c2b ＝2c b a. 同理，c 2b ＋a2c≥2ac b ，a 2c ＋b2a≥2b a c ，三式相加可得b 2a ＋c 2b ＋a2c ≥cb a＋a c b＋b a c . 8. 已知a 、b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b2b ＋1≥1.证明：(证法1)a 2a ＋1＋b2b ＋1－1＝a 2（b ＋1）＋b 2（a ＋1）－（a ＋1）（b ＋1）（a ＋1）（b ＋1）＝a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1（a ＋1）（b ＋1）.∵ a ＋b ＝2，∴ a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝1－ab（a ＋1）（b ＋1）.∵ a 、b 都是正实数，∴ ab ≤（a ＋b ）24＝1，∴ a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1≥0，即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. (证法2)由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋1＋b 2b ＋1[(a ＋1)2＋(b ＋1)2]≥(a＋b)2. ∵ a ＋b ＝2，∴ 上式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋1＋b 2b ＋1×4≥4，即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. (证法3)∵ a、b 都是正实数，∴ a 2a ＋1＋a ＋14≥a ，b 2b ＋1＋b ＋14≥b.两式相加，得a2a ＋1＋a ＋14＋b 2b ＋1＋b ＋14≥a ＋b. ∵ a ＋b ＝2，∴ a 2a ＋1＋b2b ＋1≥1.9. (2014·苏北三市期末)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.证明：(证法1)因为a 、b 、c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc)23，1a ＋1b ＋1c≥3(abc)－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc)－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc)23＋9(abc)－23. 又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，所以原不等式成立．(证法2)因为a 、b 、c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca.所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ca，故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ca ＋3ab ＋3bc ＋3ca ≥6 3.所以原不等式成立．10. (2014·徐州二模)已知x 、y 、z∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x－1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.11. (2014·南通二模)各项均为正数的数列{x n }对一切n∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.试证明：(1) x n ＜x n ＋1；(2) 1－1n＜x n ＜1.证明：(1) 因为x n ＞0，x n ＋1x n ＋1＜2，所以0＜1x n ＋1＜2－x n ，所以x n ＋1＞12－x n，且2－x n ＞0.因为12－x n －x n ＝x 2n －2x n ＋12－x n ＝（x n －1）22－x n≥0，所以12－x n ≥x n ，所以x n ≤12－x n＜x n ＋1，即x n ＜x n ＋1.(2) 下面用数学归纳法证明：x n ＞1－1n.① 当n ＝1时，由题设x 1＞0可知结论成立；② 假设n ＝k 时，x k ＞1－1k，当n ＝k ＋1时，由(1)得x k ＋1＞12－x k ＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝k k ＋1＝1－1k ＋1.由①②可得x n ＞1－1n.下面先证明x n ≤1.假设存在自然数k ，使得x k ＞1，则一定存在自然数m ，使得x k ＞1＋1m.因为x k ＋1x k ＋1＜2，x k ＋1＞12－x k ＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＝mm －1，x k ＋2＞12－x k ＋1＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m －1＝m －1m －2，…，x k ＋m －1＞m －（m －2）m －（m －1）＝2，与题设x k ＋1x k ＋1＜2矛盾，所以x n ≤1.若x k ＝1，则x k ＋1＞x k ＝1，根据上述证明可知存在矛盾．所以x n ＜1成立．。

2021年高考数学绝对值不等式课时提升作业理北师大版选修4-1

2021年高考数学绝对值不等式课时提升作业理北师大版选修4-1一、选择题1.(xx·宝鸡模拟)不等式|x-2|>x-2的解集是( )(A)(-∞,2) (B)(-∞,+∞)(C)(2,+∞) (D)(-∞,2)∪(2,+∞)2.(xx·蚌埠模拟)若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,则a的取值范围为( )(A)a>5 (B)a≥5 (C)a<5 (D)a≤53.(xx·潍坊模拟)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是( )(A)[-5,7](B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7,+∞)(D)(-∞,-4]∪[6,+∞)二、填空题4.(xx·天津高考)集合A={x∈R||x-2|≤5}中最小整数为.5.(xx·陕西高考)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是.6.(xx·江西高考)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为.三、解答题7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|.(1)求x的取值范围,使f(x)为常数函数.(2)若关于x的不等式f(x)-a≤0有解,求实数a的取值范围.8.已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集.(2)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求实数a的取值范围.9.(xx·辽宁高考)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.(1)求a的值.(2)若|f(x)-2f()|≤k恒成立,求k的取值范围.10.(xx·玉溪模拟)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|-m.(1)当m=5时,求f(x)>0的解集.(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围.11.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R).(2)若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.a(其中a>0).12.(xx·哈尔滨模拟)已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2(1)当a=4时,求不等式的解集.(2)若不等式有解,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选A.∵|x-2|>x-2,∴x-2<0,即x<2.2.【解析】选D.∵|x-2|+|x+3|≥|x-2-x-3|=5,又不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,∴a≤5.3.【解析】选D.①当x≥5时,不等式化为x-5+x+3≥10,解得x≥6;②-3<x<5时,不等式化为5-x+x+3≥10,即8≥10,不等式不成立,故这时原不等式无解;③x≤-3时,5-x-(x+3)≥10,解得x≤-4.由①②③得x≤-4或x≥6.4.【解析】不等式|x-2|≤5,即-5≤x-2≤5,∴-3≤x≤7,故集合A={x|-3≤x≤7},故最小的整数为-3.答案:-35.【解析】方法一:在数轴上确定点1,再移动点a的位置,观察a点的位置在-2和4的位置时验证符合题意.因为它们是边界位置,所以-2≤a≤4.方法二:∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,只要有|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.答案:[-2,4]6.【解析】当|2x-1|=0时,x=,当|2x+1|=0时,x=-.当x<-时,不等式化为1-2x-2x-1≤6⇒->x≥-;当-≤x≤时,不等式化为1-2x+2x+1≤6⇒-≤x≤;当x>时,不等式化为2x-1+2x+1≤6⇒<x≤.综上可得,不等式的解集为[-,].答案:[-,]7.【解析】(1)f(x)=|x-1|+|x+3|=则当x∈[-3,1]时,f(x)为常数函数.(2)方法一:如图所示,由(1)得函数f(x)的最小值为4.∴a≥4.方法二:|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|,∴|x-1|+|x+3|≥4,等号当且仅当x∈[-3,1]时成立,得函数f(x)的最小值为4,则实数a的取值范围为a≥4.8.【解析】(1)原不等式等价于或或解之得<x≤2,或-≤x≤,或-1≤x<-,即不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.(2)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,∴|a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5.9.【解析】(1)因为|ax+1|≤3⇒-4≤ax≤2,而f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},当a≤0时,不合题意;当a>0时,-≤x≤,对照得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f(),则h(x)=所以|h(x)|≤1,由于|f(x)-2f()|≤k恒成立,故k≥1.10.【解析】(1)由题设知:|x+1|+|x-2|>5,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集.或或解得f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).(2)不等式f(x)≥2,即|x+1|+|x-2|≥m+2,∵x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,不等式|x+1|+|x-2|≥m+2的解集是R,∴m+2≤3,m≤1,m的取值范围是(-∞,1].11.【解析】(1)不等式f(x)+a-1>0,即|x-2|+a-1>0.当a=1时,解集为x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞);当a>1时,解集为R;当a<1时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞).(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|>m恒成立,又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m<5,即m的取值范围是(-∞,5).12.【解析】(1)当a=4时,|2x+1|-|x-1|≤2,x<-时,-x-2≤2,得-4≤x<-;-≤x≤1时,3x≤2,得-≤x≤,x>1时,x≤0,此时无解,∴不等式的解集为{x|-4≤x≤}.(2)设f(x)=|2x+1|-|x-1|=故f(x)∈[-,+∞),即f(x)的最小值为-,所以若使f(x)≤log2a有解,只需log2a≥f(x)min,即log2a≥-,解得a≥,即a的取值范围是[,+∞).33677 838D 莍20728 50F8 僸C 39843 9BA3 鮣\737780 9394 鎔38057 94A9 钩uj @27426 6B22 欢。

高考理科数学(人教A版)一轮复习课件选修45第1课时绝对值不等式

(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
-15-
考点1
考点2
考点3
-3, < -1,
解:(1)f(x)= 2-1,-1 ≤ ≤ 2,
3, > 2.
当 x<-1 时,f(x)≥1 无解;
当-1≤x≤2 时,由 f(x)≥1 得,2x-1≥1,
解得 1≤x≤2;
当 x>2 时,由 f(x)≥1 解得 x>2.
想;
解法2:利用“零点分段法”求解,即令各个绝对值式子等于0,求出
各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成
的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式,体现
了分类讨论的思想;
解法3:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的
思想.
-13-
考点1
考点2
考点3
对点训练1(2019全国2,23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
6
解:(1)由-5<ax-1<5 得-4<ax<6,当 a>0 时,- <x< ,
6
由

= 3,
4
- = -2,

得 a=2,
6
4

当 a<0 时, <x<- ,
6
由

= -2,
4
无解,
- = 3,
所以 a=2.
-11-
考点1
考点2
考点3
(2)f(2x)-f(x)=|2x-1|-|x-1|.
2
2
3, ≥ 2,
3

【金榜教程】高考数学总复习第1讲绝对值不等式配套课件理新人教A版选修4-5

2．绝对值不等式的应用 (1)定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ________时，等号成立．
(2) 如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅
当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． (3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 ①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. ②||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
1. 绝对值不等式的解法 (1) 形如 |ax ＋ b|≥|cx ＋ d| 的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．
(2)形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式
①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集不等式 |x|<a |x|>a a>0 __________ __________ a＝0 ∅ {x|x≠0} a<0 ∅ R
∴
m＝－3， n＝2，
∴|x－5y|＝|－3(x＋y)＋2(2x－y)|≤3|x＋y|＋2|2x
1 1 4 －y|，由题知|x＋y|<3，|2x－y|<6，从而|x－5y|<3.
所以a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3.
由不等式的解集为{x|－2≤x≤3}，知a－3＝－2，所以a＝1.
1 例2 [2012· 江苏高考]已知实数x，y满足：|x＋y|< 3 ，|2x－ 1 5 y|<6，求证：|y|<18. [证明] 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－
方法二：由|2x＋1|－2|x－1|>0，得|2x＋1|>2|x－1|，平方， 1 得12x>3，x>4. 1 ∴解集为{x|x>4}． 1 [答案] {x|x>4}

人教版高中数学选修4-5课时提升作业 1.2绝对值不等式.2 Word版含答案

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课时提升作业五绝对值不等式的解法一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·临沂高二检测)>0的解集为( )A.B.C.D.{x|x∈R且x≠-3}【解析】选C.原不等式可化为解得x>或x<-且x≠-3.2.(2016·济南高二检测)不等式|x-2|+|x-1|≤3的最小整数解是( )A.0B.-1C.1D.2【解析】选A.根据绝对值的几何意义,得不等式|x-2|+|x-1|≤3的解为0≤x≤3.所以不等式|x-2|+|x-1|≤3的最小整数解为0.3.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值是( )A.0B.1C.-1D.2【解析】选B.|x-2|+|x-a|=|x-2|+|a-x|≥|x-2+a-x|=|a-2|,所以|a-2|≥a,解得a≤1,所以a的最大值为1.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016·德州高二检测)已知集合A={x||x-4|+|x-1|<5},B={x|a<x<6}且A∩B=(2,b),则a+b=________. 【解析】A={x|0<x<5},由A∩B=(2,b)知故a+b=7.答案:75.(2016·石家庄高二检测)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为__________.【解析】方法一:由得x≤-3;由无解;由得x≥2.即所求的解集为{x|x≤-3或x≥2}.方法二:在数轴上,点-2与点1的距离为3,所以往左右边界各找距离为1的两个点,即点-3到点-2与点1的距离之和为5,点2到点-2与点1的距离之和也为5,所以原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.答案:{x|x≤-3或x≥2}三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·武汉高二检测)解不等式x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为或解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7.已知a+b=1,对任意的a,b∈(0,+∞),+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围. 【解析】因为a>0,b>0且a+b=1,所以+=(a+b)=5++≥9,故+的最小值为9,因为对任意的a,b∈(0,+∞),使+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,所以|2x-1|-|x+1|≤9,当x≤-1时,2-x≤9,所以-7≤x≤-1;当-1<x<时,-3x≤9,所以-1<x<;当x≥时,x-2≤9,所以≤x≤11.综上所述,x的取值范围是-7≤x≤11.8.(2016·聊城高二检测)已知函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,求实数a的值. 【解析】①当a≤2时,f(x)=②当a>2时,f(x)=由①②可得f(x)min=f==3,解得a=-4或8.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·山东高考)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)【解题指南】可以分段讨论去掉绝对值符号,也可以利用绝对值的几何意义,还可以结合选择题的特点利用特殊值排除错误答案.【解析】选A.方法一:当x<1时,原不等式化为1-x-(5-x)<2,即-4<2,不等式恒成立;当1≤x<5时,原不等式即x-1-(5-x)<2,解得x<4;当x≥5时,原不等式化为x-1-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,综上可得不等式的解集为(-∞,4).方法二:由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1,5两点 (距离为4)的距离之差小于2的点满足x<4,所求不等式的解集为(-∞,4).方法三:用排除法,令x=0符合题意,排除C,D;令x=2符合题意,排除B.2.(2016·石家庄高二检测)设函数f(x)=则使f(x)≥1的自变量x的取值范围是( )A.(-∞,-2]∪B.(-∞,-2]∪C.(-∞,-2]∪D.∪【解析】选A.由题意知,当x<1时,f(x)≥1等价于(x+1)2≥1,解得x≤-2或0≤x<1;当x≥1时,f(x)≥1等价于4-≥1,解得1≤x≤4.综上所述,满足题设的x的取值范围是(-∞,-2]∪.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·安阳高二检测)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为,则a=__________. 【解析】由|ax-2|<3得到-3<ax-2<3,-1<ax<5,又知道解集为,所以a=-3.答案:-34.设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是________.【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识|x-a|+|x-b|表示数轴上某点到a,b的距离之和即可得解. 【解析】函数f(x)=| x-a|+|x-b|的值域为:2≤.【解析】(1)f(x)=2|x-1|+x-1=当x≥1时,由f(x)≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)≤1得x≥0,故0≤x<1;综上可知,f(x)≤1的解集为M=.(2)由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,解得-≤x≤.因此N=,故M∩N=.当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x2=xf(x)(x+f(x))=xf(x)=x(1-x)=-≤.关闭Word文档返回原板块。

高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第一节绝对值不等式学案文选修45

第一节绝对值不等式1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.知识点一绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当______时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当______________时，等号成立．答案1．ab≥0 2.(a－b)(b－c)≥01．判断正误(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( )(2)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( )(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2,4]知识点二含绝对值的不等式的解法1．含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法(1)|ax ＋b |≤c ⇔______________； (2)|ax ＋b |≥c ⇔______________.3．|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．答案1．{x |－a <x <a } ∅ ∅ {x |x >a ，或x <－a } {x |x ∈R ，且x ≠0}2．(1)－c ≤ax ＋b ≤c (2)ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案：24．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)解析：|x －1|－|x －5|表示数轴上对应的点x 到1和5的距离之差．而数轴上满足|x －1|－|x －5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x －1|－|x －5|<2的解集是(－∞，4)．答案：A热点一绝对值三角不等式的应用【例1】已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.【证明】 ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.(2016·江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y－2|<2×a 3＋a3＝a .即|2x ＋y －4|<a .热点二含绝对值的不等式的解法考向1 “|ax ＋b |≤c 和|ax ＋b |≥c (c >0)”型不等式的解法【例2】 (1)|5－4x |>9的解集是________．(2)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．【解析】 (1)因为|5－4x |>9，所以5－4x >9或5－4x <－9，所以4x <－4或4x >14，所以x <－1或x >72，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >72. (2)由于||x －2|－1|≤1，即－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，所以－2≤x －2≤2，所以0≤x ≤4.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >72 (2)0≤x ≤4 考向2 “|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x ＋b |≤c (c >0)”型不等式的解法【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (Ⅰ)画出y ＝f (x )的图象；(Ⅱ)求不等式|f (x )|>1的解集．【解】 (Ⅰ)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(Ⅱ)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为{x |x <13或x >5}．所以|f (x )|>1的解集为{x |x <13或1<x <3或x >5}.(1)若不等式|x －a |＋3x ≤0(其中a >0)的解集为{x |x ≤1}，则实数a 的值是________． (2)解不等式|2x ＋1|－|x －4|>0.解析：(1)不等式|x －a |＋3x ≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.(2)解：令f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|，当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0得x >－5，所以x ≥4时，不等式成立．当－12≤x <4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0，得x >1，所以，1<x <4时，不等式成立．当x <－12时，f (x )＝－x －5>0，得x <－5，所以，x <－5时，不等式成立．综上，原不等式的解集为{x |x >1或x <－5}．答案：(1)2热点三绝对值不等式的恒成立问题【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (Ⅰ)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(Ⅱ)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．【解】 (Ⅰ)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (Ⅱ)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集．(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x >32，x ＋＋x －，或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤32，x ＋－x －，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x ＋－x －解之得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)因为f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，所以|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5.1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≤0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时右边等号成立．2．形如|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c 的符号判断，若c <0，则不等式解集为R .。

高考数学一轮总复习不等式选讲课堂过关理(选修45)

选修4－5 不等式选讲第1课时绝对值不等式(对应学生用书(理)197～198页)含有绝对值的不等式的解法．① 理解绝对值的几何意义. ② 会解绝对值不等式：|ax ＋b|≤c，|ax ＋b|≥c.③ 了解绝对值不等式：|x －c|＋|x －b|≥a 的解法．1. 解不等式：|x ＋1|>3.解：由|x ＋1|＞3得x ＋1＜－3或x ＋1＞3，解得x ＜－4或x ＞2.所以解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．2. 解不等式：3≤|5－2x|<9.解：⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9|2x －5|≥3⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<92x －5≥3或2x －5≤－3⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<7，x ≥4或x≤1，得解集为(－2，1]∪[4，7)． 3. 已知|x －a|<b(a 、b∈R )的解集为{x|2<x<4}, 求a －b 的值．解：由|x －a|<b ，得a －b<x<a ＋b.又|x －a|<b(a 、b∈R )的解集为{x|2<x<4}，所以a －b ＝2.4. 解不等式：|2x －1|－|x －2|<0. 解：原不等式等价于不等式组 ① ⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，2x －1－（x －2）＜0，无解； ② ⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ＜2，2x －1＋（x －2）＜0，解得12<x<1；③ ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－（2x －1）＋（x －2）＜0，解得－1＜x≤12.综上得－1＜x ＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x ＜1}．5. 若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|<a ，求实数a 的取值范围．解：由绝对值不等式的性质知，|x －4|＋|x －3|≥|(x－4)－(x －3)|＝1，所以函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1.因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是(1，＋∞)．1. 不等式的基本性质① a>b b<a ；② a>b，b>c a>c ；③ a>b a ＋c>b ＋c ；④ a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc；⑤ a>b>0a n>b n(n∈N，且n>1)；⑥ a>b>0na>nb(n∈N，且n>1)．2. 含有绝对值的不等式的解法① |f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<－a；② |f(x)|<a(a>0)－a<f(x)<a.3. 含有绝对值的不等式的性质① |a|＋|b|≥|a＋b|；② |a|－|b|≤|a＋b|；③ |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.[备课札记]题型1 含绝对值不等式的解法 , 1) 解不等式：|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解： ① 当x<－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得x<10，∴ x<－3.② 当－3≤x<12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x)<x 2＋1，解得x<－25，∴ －3≤x<－25.③ 当x≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x>2，∴ x>2.综上可知，原不等式的解集为{x|x<－25或x>2}．备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|.(1) 当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2) 若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．解：(1) 当a ＝－3时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f (x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x －5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}． (2) f(x)≤|x－4||x －4|－|x －2|≥|x＋a|. 当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a| 4－x －(2－x)≥|x＋a| －2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3，0]．题型2 含绝对值不等式性质的运用, 2) (2014·苏锡常镇一模)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)．变式训练已知函数f(x)＝|x －a|.(1) 若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a 的值； (2) 在(1)的条件下，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 由f(x)≤3得|x －a|≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2) 当a ＝2时，f(x)＝|x －2|，设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)，于是g(x)＝|x －2|＋|x ＋3|≥|(2－x)＋(x ＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x ＋3)≥0即当－3≤x ≤2时等号成立．所以实数m 的取值范围是{m|m≤5}．题型3 含绝对值不等式综合运用, 3) 设函数f(x)＝|x －a|＋3x ，其中a ＞0.(1) 当a ＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2) 若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a 的值．解：(1) 当a ＝1时，f (x)≥3x＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1，故不等式f(x)≥3x ＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2) 由f(x)≤0得|x －a|＋3x≤0，此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥a，x －a ＋3x≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x≤a a －x ＋3x≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥a，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x≤a，x ≤－a 2.因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≤－a 2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.变式训练已知f(x)＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f(a)－f(b)|<|a －b|.证明：∵ |f(a)－f(b)|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b||a ＋b|1＋a 2＋1＋b 2，又|a ＋b|≤|a|＋|b|＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴ |a ＋b|1＋a 2＋1＋b2<1. ∵ a ≠b ，∴ |a －b|>0.∴ |f(a)－f(b)|<|a －b|.1. 若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，求实数a 的取值范围．解：因为|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8，所以要使不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则a≤8，即实数a 的取值范围是(－∞，8]．2. 在实数范围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集．解：由||x －2|－1|≤1，得－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，即－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4，所以原不等式的解集为[0，4]．3. (2014·南京、盐城一模)已知x 、y∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14，求证：|x ＋5y|≤1.证明：因为|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|. 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|≤|3(x ＋y)|＋|2(x －y)|＝3|x＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y|≤1.4. 设不等式|x －2|<a(a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12A.(1) 求a 的值；(2) 求函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值．解：(1) 因为32∈A ，且12A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32. 因为a∈N *，所以a ＝1.(2) 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x≤2时取等号，所以f(x)的最小值为3.1. 解不等式：|x －1|>2x.解：当x<0时，原不等式成立；当x≥1时，原不等式等价于x(x －1)>2，解得x>2或x<－1，所以x>2；当0<x<1时，原不等式等价于x(1－x)>2，这个不等式无解．综上，原不等式的解集是{x|x<0或x>2}．2. 若不等式|3x －b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b 的取值范围．解：由|3x －b|＜4，得－4＜3x －b ＜4，即b －43＜x ＜b ＋43.因为解集中整数有且只有1，2，3，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43＜1，3＜b ＋43≤4，解得⎩⎪⎨⎪⎧4≤b＜7，5＜b≤8，所以5＜b ＜7.3. 设函数f(x)＝|2x －a|＋5x ，其中a>0.(1) 若a ＝3时，求不等式f(x)≥5x＋1的解集；(2) 若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a 的值．解：(1) 当a ＝3时，不等式f(x)≥5x＋1可化为 |2x －3|≥1.由此可得x≥2或x≤1，故不等式f(x)≥5x＋1的解集为{x|x≤1，或x≥2}．(2) 由f(x)≤0得|2x －a|＋5x≤0，此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，2x －a ＋5x≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x<a 2，－（2x －a ）＋5x≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，x ≤a 7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a 2，x ≤－a 3.因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a 3}．由题设可得－a3＝－1，故a ＝3.4. 已知函数f(x)＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a)． (1) 当a ＝2时，求函数f(x)的最小值；(2) 当函数f(x)的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a>0，即|x －1|＋|x －5|>a.(1) 当a ＝2时，f(x)＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g(x)＝|x －1|＋|x －5|，则g(x)＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －6，x ≥5，4，1＜x ＜5，6－2x ，x ≤1，g(x)min＝4，f(x)min＝log2(4－2)＝1.(2) 由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4，|x－1|＋|x－5|－a>0，∴ a<4.∴ a的取值范围是(－∞，4)．1. |ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1) |ax＋b|≤c－c≤ax＋b≤c；(2) |ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.2. |x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法方法1：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法2：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法3：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．请使用课时训练(A)第1课时(见活页)．[备课札记]第2课时不等式证明的基本方法(对应学生用书(理)199～202页)证明不等式的基本方法．① 了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法，数学归纳法，放缩法. ②能用比较法，综合法，分析法证明简单的不等式．1. 设a、b∈R＋，试比较a＋b2与a＋b的大小．解：∵ (a＋b)2－⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝（a－b）22≥0，∴a＋b≥a＋b2.2. 若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值．解：(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即a＋b＋c的最大值为 3.3. 已知关于x的不等式x＋4x－a≥3，在x∈(a，＋∞)上恒成立，求实数a的最小值．解：∵ x＋4x－a＝x－a＋4x－a＋a≥24＋a＝4＋a，∴ a＋4≥3，∴ a≥－1.∴ 实数a 的最小值为－1.4. (2014·南通二模)已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R.求证：⎝⎛⎭⎪⎫ax＋byx＋y2≤a2x＋b2yx＋y.证明：因为x＞0，y＞0，所以x＋y＞0，所以要证⎝⎛⎭⎪⎫ax＋byx＋y2≤a2x＋b2yx＋y，即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)．即证xy(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故⎝⎛⎭⎪⎫ax＋byx＋y2≤a2x＋b2yx＋y.5. 用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n>12(n>1，n∈N*)的过程中，用n＝k ＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果是A，求代数式A.解：当n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k，n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1（k＋1）＋（k＋1），故左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1，即A＝1（2k＋1）（2k＋2）.1. 不等式证明的常用方法(1) 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．(2) 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式．(3) 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”．2. 不等式证明的其他方法和技巧 (1) 反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．(2) 放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C 1≥C 2≥…≥C n≥B ，利用传递性达到证明的目的．(3) 数学归纳法3. 柯西不等式的二维形式(1) 柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立)．(2) 柯西不等式的向量形式：设α、β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.(3) 三角形不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2. 4. 柯西不等式的一般形式设n 为大于1的自然数，a i ，b i (i ＝1，2，…，n)为任意实数，则∑ni ＝1a 2i ∑n i ＝1b 2i ≥(∑ni ＝1a ib i )2，其中等号当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n时成立(当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1，2，…，n)．5. 算术—几何平均不等式a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (a 1，a 2，…，a n ∈R ＋)．题型1 用比较法证明不等式, 1) 求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.证明：∵ (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b)2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0. ∴ a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1. 备选变式（教师专享）(2014·常州期末)已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1] ＝(1－y)(xy －1)(x －1)， ∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而，左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.题型2 用分析法、综合法证明不等式, 2) 已知x 、y 、z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .证明：(证法1：综合法)因为x 、y 、z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z .同理可得yzx＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.(证法2：分析法)因为x 、y 、z 均为正数，要证x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .只要证x 2＋y 2＋z2xyz≥yz ＋zx ＋xy xyz ，只要证x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy ，只要证(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0，而(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0显然成立，所以原不等式成立．变式训练已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a＋2，只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，即证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2，即证a 2＋1a2≥2，此式显然成立．∴ 原不等式成立．题型3 均值不等式与柯西不等式的应用, 3) (2014·泰州期末)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1，∴ abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．(2) 柯西不等式a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．变式训练若实数x 、y 、z 满足x ＋2y ＋3z ＝a(a 为常数)，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：∵ (12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x＋2y ＋3z)2＝a 2，即14(x 2＋y 2＋z 2)≥a 2，∴ x 2＋y 2＋z 2≥a 214，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为a 214.备选变式（教师专享）(2014·无锡期末)已知a 、b 、c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a 、b 、c 的值．解：∵ a ＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a 、b 、c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2，等号成立． 1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027., 4) 求函数y ＝1－x ＋4＋2x 的最大值．解：∵y 2＝(1－x ＋2·2＋x)2≤[12＋(2)2](1－x ＋2＋x)＝3×3，∴ y ≤3，当且仅当11－x ＝22＋x时取“＝”号，即当x ＝0时，y max ＝3.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1) 求m 的值；(2) 若a 、b 、c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9.解：(1) 因为f(x ＋2)＝m －|x|，f(x ＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m 有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(2) 证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又a 、b 、c∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a＋2b ＋3c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.1. (2014·南京二模)已知a 、b 、c∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．解：由柯西不等式，得[a 2＋(2b)2＋(3c)2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(a ＋b ＋c)2.因为a 2＋2b 2＋3c 2＝6，所以(a ＋b ＋c)2≤11，即－11≤a ＋b ＋c≤11.故a ＋b ＋c 的最大值为11，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝61111.2. 设x 、y 、z∈R ，且满足x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值．解：由柯西不等式可知(x ＋2y ＋3z)2＝14≤(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)，因为x 2＋y 2＋z 2＝1，所以当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．此时y ＝2x ，z ＝3x 代入x ＋2y ＋3z ＝14得x ＝1414，即 y ＝21414，z ＝31414，所以x ＋y ＋z ＝3147.3. 已知a≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.证明：∵ 2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b＝(2a 3－2ab 2)＋(a 2b －b 3)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a ＋b)(a －b)(2a ＋b)，又a≥b>0，∴ a ＋b>0，a －b≥0，2a ＋b≥0， ∴ (a ＋b)(a －b)(2a ＋b)≥0，∴ 2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，∴ 2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.4. (2014·南京、盐城期末)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. 证明：因为x 1、x 2、x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取等号．所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.1. (2014·江苏)已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥9xy. 证明：因为x>0，y>0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0， 1＋x 2＋y≥33x 2y>0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥33xy 2·33x 2y ＝9xy.2. 已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1) 求m 的值；(2) 若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9.解：(1) ∵ f(x＋2)＝m －|x|≥0，∴ |x|≤m ， ∴ m ≥0，－m≤x≤m，∴ f(x ＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m ＝1.(2) 由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，a 、b 、c∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥(a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c)2＝9.3. 已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1(1) 若2x 2＋3y 2＋6z 2＝1，求x ，y ，z 的值．(2) 若2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立，求正数t 的取值范围．解：(1) ∵ (2x 2＋3y 2＋6z 2)(12＋13＋16)≥(x＋y ＋z)2＝1，当且仅当2x 12＝3y 13＝6z 16时取“＝”．∴ 2x ＝3y ＝6z. ∵ x ＋y ＋z ＝1，∴ x ＝12，y ＝13，z ＝16.(2) ∵ (2x 2＋3y 2＋tz 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1t ≥(x ＋y ＋z)2＝1，∴ (2x 2＋3y 2＋tz 2)min ＝156＋1t.∵ 2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立，∴ 156＋1t ≥1. ∴ t ≥6.4. (2014·苏锡常镇二模)已知不等式|a －2|≤x 2＋2y 2＋3z 2对满足x ＋y ＋z ＝1的一切实数x 、y 、z 都成立，求实数a 的取值范围．解：由柯西不等式，得[x 2＋(2y)2＋(3z)2][12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132]≥(x＋y ＋z)2.所以x 2＋2y 2＋3z 2≥611.当且仅当x 1＝2y 12＝3z13时取等号，即x ＝611，y ＝311，z ＝211取等号．则|a －2|≤611.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1611，2811.1. 算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，n>1且n∈N *，则a 1＋a 2＋…＋a n n 叫做这n 个正数的算术平均数，na 1a 2…a n 叫做这n 个正数的几何平均数．基本不等式：(n∈N*，a i∈R＋，1≤i≤n)．2. 绝对值三角形不等式若a、b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.推论1：|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.推论2：如果a、b、c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3. 柯西不等式若a、b、c、d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.4. 三角不等式设x1、y1、x2、y2∈R，则x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]。

高三一轮复习选修4-5 绝对值不等式

1 2
3．已知集合A＝{x|x2－4x＞0}，B＝{x||x－1|≤2}，那么集合 A∩B等于( )
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|3≤x＜4} C．{x|0＜x≤3} D．{x|－1≤x＜0或3≤x＜4} 解析： ∵A＝{x|x＜0或x＞4}，B＝{x|－1≤x≤3}，
a x b或 a x b b a 0 ________ . b x a
4．绝对值不等式的性质
1 a 0(当且仅当a 0时，等号成立)； 2 a a； 3 a a a ； 4 a b a b ||| a b | a b .
R
7.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思
想.
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想. 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
【即时应用1】
(1)思考：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义是什么？
提示：|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；|x-a|〒|x-b|表示数轴上的点x到点a、b的距离之和(差). (2)不等式|2x+3|>0的解集是 .
2
【解析】原不等式等价于2x+3≠0,≨x≠- 3 . 答案：{x|x≠- 3 } 2
(3)不等式x|x|<x的解集是
.
【解析】≧x≠0,x<0时，|x|>1,≨x<-1. x>0时，|x|<1,≨0<x<1. ≨{x|x<-1或0<x<1}. 答案：{x|x<-1或0<x<1} 3.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 -c≤ax+b≤c ①|ax+b|≤c⇔ __________________; ax+b≥c或ax+b≤-c ②|ax+b|≥c⇔__________________.

高考数学一轮复习不等式选讲1绝对值不等式课时提升作业理选修45

绝对值不等式(45分钟60分)1.关于x的不等式lg(错误！未找到引用源。

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)<m .(1)当m=1时,解此不等式.(2)设函数f(x)=lg(错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

),当m为何值时,f(x)<m恒成立? 【解析】(1)当m=1时,原不等式可变为0<|x+3|-|x-7|<10,可得其解集为{x|2<x<7}.(2)设t=|x+3|-|x-7|,则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t≤10.因y=lgx在(0,+∞)上为增函数,则lgt≤1,当t=10,x≥7时,lgt=1,故只需m>1即可,即m>1时,f(x)<m恒成立.2.(2016·邯郸模拟)设函数f(x)=|2x+1|+|x-a|(a∈R).(1)当a=2时,求不等式f(x)≤4的解集.(2)当a<-错误！未找到引用源。

时,若存在x≤-错误！未找到引用源。

使得f(x)+x≤3成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x+1|+|x-2|,当x≥2时,f(x)≤4,即为(2x+1)+(x-2)≤4,即x≤错误！未找到引用源。

成立,则有2≤x≤错误！未找到引用源。

,显然不成立;当x≤-错误！未找到引用源。

时,f(x)≤4,即为-(2x+1)-(x-2)≤4,即x≥-1,则-1≤x≤-错误！未找到引用源。

;当-错误！未找到引用源。

<x<2时,f(x)≤4,即为(2x+1)-(x-2)≤4,即x≤1,则有-错误！未找到引用源。

<x≤1.综上,原不等式的解集为[-1,1].(2)由a<-错误！未找到引用源。

,x≤-错误！未找到引用源。

可得f(x)+x=错误！未找到引用源。

因为存在x≤-错误！未找到引用源。

使得f(x)+x≤3成立,所以3≥(f(x)+x)min=-a-1,所以求得a≥-4,则a的取值范围为错误！未找到引用源。

年高考数学总复习 (教材回扣夯实双基考点探究把脉高考)选修45第1课时绝对值不等式课件

选修45
不等式选讲
选修45 不等式选讲
第1课时
绝对值不等式
教材回扣夯实双基
1．绝对值三角不等式 |a|＋|b| , 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤_______ ab≥0 时，等号成立．当且仅当________ 定理2：如果a，b，c是实数，那么 |a－c|≤|a－b|＋|b－c| _________________________ ，当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 _______________________ 时，等号成立．
{x|x∈R { x | x > a 或 x < － a } |x|>a _______________ R 且x≠0}
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法－c≤ax＋b≤c ； ①|ax＋b|≤c⇔_________________ ax＋b≥c或ax＋b≤－c . ②|ax＋b|≥c⇔_______________________
变式训练 2．已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|. (1)解不等式f(x)≤4； (2)若存在x使得f(x)＋a≤0成立，求实数a的
取值范围．
解：(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－3|＝ 1 －x－4， x≤－2， 1 3x－2，－2<x<3， x＋4， x≥3.
7 的取值范围是－∞， . 2
绝对值不等式的证明
例3 (函数f(x)的定义域为[0,1]且f(0)＝ f(1)，当x1、x2∈[0,1]，x1≠x2时都有|f(x2)－ f(x1)|<|x2－x1|，
1 求证：|f(x2)－f(x1)|< . 2
【证明】不妨设 0≤x1<x2≤1，分以下两种情形讨论： 1 1 若 x2－x1≤ ，而|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|≤ ， 2 2 1 ∴|f(x2)－f(x1)|< ； 2 1 若 x2－x1> ，∵f(0)＝f(1)， 2

高考数学一轮复习不等式选讲课时训练选修45

选修45 不等式选讲第1课时绝对值不等式1. 解不等式1<|x －1|<3.解：原不等式可化为1<x －1<3或－3<x －1<－1，解得不等式的解集为(－2，0)∪(2，4)． 2. 解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4.解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－32<x<－1；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4，得－1≤x≤2；当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<52.∴ 原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 3. 解不等式|x 2－2x ＋4|>2x.解：原不等式等价于x 2－2x ＋4<－2x ①，或x 2－2x ＋4>2x ②. 解①得解集为∅，解②得解集为{x|x∈R 且x≠2}．∴ 原不等式的解集为{x|x∈R 且x≠2}．4. 解不等式x 2－|x|－2<0.解：(解法1)当x≥0时，x 2－x －2<0，解得－1<x<2，∴ 0≤x<2；当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1， ∴ －2<x<0.∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．(解法2)原不等式可化为|x|2－|x|－2<0，解得－1<|x|<2.∵ |x|≥0，∴ 0≤|x|<2，∴ －2<x<2. ∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．5. 已知满足不等式|2x ＋a|＋|x －3|≤4的x 的最大值为3，求实数a 的值．解：因为x 的最大值为3，所以x≤3，即不等式为|2x ＋a|＋3－x≤4，所以|2x ＋a|≤x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x －1≤2x＋a≤x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x ≥－a －13，x ≤1－a ，因为x 的最大值为3，所以1－a ＝3，即a ＝－2.6. 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)． 7. 已知函数f(x)＝|x|－|x －3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)≥1；(2) 若存在x 0∈R ，使得关于x 的不等式m ≤f(x 0)成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 原不等式等价于不等式组①：⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x ＋（x －3）≥1或②：⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，x ＋（x －3）≥1或③：⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，x －x ＋3≥1.不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解不等式组③得x≥3，所以原不等式的解集为[2，＋∞)．(2) 由题意知m≤f (x)max ，因为f(x)＝|x|－|x －3|≤|x－x ＋3|＝3，所以f(x)max ＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]．8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|. (1) 求f(x)的最大值；(2) |2t －1|≥f(x)恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3，当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max ＝3. (2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max ，即|2t －1|≥3，2t －1≥3或2t －1≤－3，解得t≥2 或 t≤－1，∴ 实数t 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 9. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)． (1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥12，解得x≥32或x≤12，∴ 不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2) ∵ |ax－1|＋|ax －a|≥|a－1|， ∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1. ∴ a ≥2或a≤0. ∵ a>0，∴ a ≥2.∴ 实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 10. 设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集；(2) ∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－12，3x －1，－12≤x<2，x ＋3，x ≥2，当x<－12时，－x －3>2，x<－5，∴ x<－5；当－12≤x<2时，3x －1>2，x>1，∴ 1<x<2；当x≥2时，x ＋3>2，x>－1，∴ x ≥2.综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}．(2) f(x)min ＝－52，若∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t 恒成立，则只需f(x)min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5.即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5.11. 设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D ；(2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2}，使得3x ＋2－x>a 成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 当x≤－1时，由f(x)＝－x ＋2≤0得x≥2，所以x ∈∅；当－1<x≤12时，由f(x)＝－3x≤0得x≥0，所以0≤x≤12；当x>12时，由f(x)＝x －2≤0得x≤2，所以12<x ≤2.综上，不等式f(x)≤0的解集D ＝{x|0≤x≤2}．(2) 3x ＋2－x ＝3x ＋2－x ，由柯西不等式得(3x ＋2－x)2≤(3＋1)[x ＋(2－x)]＝8，∴ 3x ＋2－x ≤22，当且仅当x ＝32时取“＝”， ∴ a 的取值范围是(－∞，22)．第2课时不等式证明的基本方法1. 已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1)，∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y. 2. (2017·苏州期末)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)≥ab ·2xy ＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2xy.又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 当且仅当x ＝y 时等号成立．3. 已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M. (1) 求不等式f(x)≤3的解集；(2) 若t∈M，求证：t 2＋1≥3t＋3t.(1) 解：依题意，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1.2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12，于是得f(x)≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M ＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1＞0.∴（t －3）（t 2＋1）t ≥0.∴t 2＋1≥3t＋3t.5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.证明：∵ a，b ，c 为正实数，∴ a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a2c ≥2a ，将上面三个式子相加得a ＋b ＋c ＋b 2a ＋c 2b ＋a2c≥2a ＋2b ＋2c ，∴ b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.6. 设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥3(a 1a 2a 3)13·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·1a 2·1a 313＝9(当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.7. 已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值．解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z)＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y3z≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36，当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立，∴ 1x ＋2y ＋3z的最小值为36. 8. 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx. 证明：∵ x＞0，y ＞0，z ＞0，∴ x 3＋y 3＋z 3≥3xyz.同理x 3＋y 3＋1≥3xy，y 3＋z 3＋1≥3yz，x 3＋z 3＋1≥3xz.将以上各式相加，得3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.∵ xyz ＝1，∴ x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.9. 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a ，b ，c 的值．解：∵ a＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a ，b ，c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2时，等式成立．∴1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027.10. 已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ＞0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1⇒abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．(2) 由柯西不等式得a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等号．11. 已知函数f(x)＝3x ＋6，g(x)＝14－x.若存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a. ∵ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64， ∴ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取等号．故实数a 的取值范围是(－∞，8)．。

选修45高中数学复习专题训练

第1讲绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并认识以下不等式建立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下种类的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a <0|x|<a(－a，a)??|x|>a(－∞，－)∪，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(a(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形联合的思想；②利用“零点分段法”求解，表现了分类议论的思想；③经过结构函数，利用函数的图象求解，表现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)假如a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号建立.(2)假如a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号建立.诊疗自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)( 1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.()( 3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号建立.()( 4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号建立.()( 5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号建立.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为()A.5或8 B.－1或5C.－1或－4D.－4或8分析分类议论：－3x－1－a，x<－1，a当a≤2时，f(x)＝－x＋1－a，－1≤x≤－2，3x＋1＋a，x>－a2，明显，x ＝－a a2时，f(x)min＝2＋1－a＝3，∴a＝－4，a3x－1－a，x<－2，当a>2时，f(x)＝x－1＋a，－a2≤x≤－1，3x＋1＋a，x>－1，明显a ax＝－2时，f(x)min＝－2－1＋a＝3，∴a＝8.答案D3.(2015山·东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为________.分析①当x≤1时，原不等式可化为 1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒建立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为 x－1－(x－5)<2，该不等式不建立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4).答案(－∞，4)4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.分析∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.答案 22 15.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a＋2a＋2对随意实数x恒建立，则实数a的取值范围为________.－3x－1，x＜－2，1分析设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝－x＋3，－2≤x<2，13x＋1，x≥2，当x＜－2时，y＝－3x－1＞5；15当－2≤x＜2时，5≥y＝－x＋3＞2；155当x≥2时，y＝3x＋1≥2，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为2.因为不等式|2x151－1|＋|x＋2|≥a2＋2a＋2对随意实数x恒建立，所以2≥a2＋2a＋2.5111解不等式2≥a2＋2a＋2，得－1≤a≤2，故实数a的取值范围为－1，2.1答案－1，2考点一含绝对值不等式的解法【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.解法一如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.明显，区间[－2，1]不是不等式的解集.把A向左挪动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右挪动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).法二原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5?x≤－2，或－（x－1）－（x＋2）≥5－2＜x＜1，x≥1，解得x≥2或x≤－3，－（x－1）＋x＋2≥5或－＋＋≥，1x25∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).法三将原不等式转变为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则2x－6，x≤－2，f(x)＝－2，－2＜x＜1，作出函数的图象，如下图.2x－4，x≥1.由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).规律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段议论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，而后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，联合图象求解.【训练1】(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)在图中画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集.x－4，x≤－1，3解(1)f(x)＝3x－2，－1<x≤2，3－x＋4，x>2，y＝f(x)的图象如下图.(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可1得x＝3或x＝5，1故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1的解集为x|x<3或x>5.1所以|f(x)|>1的解集为x|x<3或1<x<3或x>5}.考点二含参数的绝对值不等式问题【例2】(1)对随意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.解(1)∵x，y∈R，|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.规律方法求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法.【训练2】(1)若对于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解，务实数d 的取值范围；1(2)不等式x＋x≥|a－2|＋siny对全部非零实数x，y均建立，务实数a的取值范围.解(1)∵|2014－x|＋|2015－x|≥|2014－x－2015＋x|＝1，∴对于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解时，d≥1.1(2)∵x＋x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，1∴x＋x∈[2，＋∞)，其最小值为2.又∵siny的最大值为1，1故不等式x＋x≥|a－2|＋siny恒建即刻，有|a－2|≤1，解得a∈[1，3].考点三含绝对值的不等式的应用【例3】(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，务实数a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.所以f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.(2)当x∈R时，1f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝2时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以实数a的取值范围是[2，＋∞).规律方法(1)解决与绝对值相关的综合问题的重点是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形联合是解决与绝对值相关的综合问题的常用方法.【训练3】(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，务实数a的取值范围. 解(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，2解得3<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.2所以f(x)>1的解集为x3<x<2.x－1－2a，x<－1，(2)由题设可得，f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个极点分别为A2a－1，B(2a＋3，1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为2＋2(a 1) .2由题设得3(a＋1)2>6，故a>2.所以实数a的取值范围为(2，＋∞).[思想方法]1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形联合法，结构函数法.2.不等式恒建立问题、存在性问题都能够转变为最值问题解决.[易错防备]1.能够利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意此中等号建立的条件.2.掌握分类议论的标准，做到不重不漏.(建议用时：60分钟)1.设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值.解(1)法一令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－1，x＝4.2原不等式可化为：11x＜－2，或－2≤x＜4，或x≥4，－x－5＞23x －＞2x＋5＞2.3即x＜－11≤＜，或x≥4，2，或－2x4＞－，x＜－7x＞x3 5∴x＜－7或x＞3.5∴原不等式的解集为xx＜－7或x＞3.1－x－5x＜－2法二f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝1 3x－3－2≤x＜4x＋5（x≥4）画出f(x)的图象，如下图.5求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7，2)，3，2.5由图象知f(x)＞2的解集为xx＜－7或x＞3.1(2)由(1)的法二图象知：当x＝－2时，9知：f(x)min＝－2.2.(2017长·沙一模)设α，β，γ均为实数.(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cosα|＋|sinβ|，|sin(α＋β)|≤|cosα|＋|cosβ|；(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.证明(1)|cos(α＋β)|＝|cosαcosβ－sinαsinβ|≤|cosαcosβ|＋|sinαsinβ|≤|cosα|＋|sinβ|；|sin(α＋β)|＝|sinαcosβ＋cosαsinβ|≤|sinαcosβ|＋|cosαsinβ|≤|cosα|＋|cosβ|.(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cosα|＋|sin(β＋γ)|≤|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|，而α＋β＋γ＝0，故|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.3.(2016镇·江模拟)已知a和b是随意非零实数.( 1)|2a＋b|＋|2a－b|求|a|的最小值；( 2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒建立，务实数x的取值范围.( 1)∵|2a＋b|＋（2a－b）|2a＋b＋2a－b||4a|＝4，∴|2a＋b|＋|2a－b|解|a|≥|a|＝|a||a|的最小值为4.(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒建立，即|2＋x|＋|2－|2a＋b|＋|2a－b|x|≤|a|恒建立，故|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b|min.|a|由(1)可知，|2a＋b|＋|2a－b|的最小值为4.|a|∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集.解不等式得－2≤x≤2.故实数x的取值范围为[－2，2].4.(2017广·州二测)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a).(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域；(2)若对于x的不等式f(x)≥3的解集是R，务实数a的最大值.解(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|＞7，①当x＞2时，得x＋1＋x－2＞7，解得x＞4.②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x＞7，无解.③当x＜－1时，得－x－1－x＋2＞7，解得x＜－3.∴函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞).(2)不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8，∵当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8的解集是R，∴a＋8≤3，即a≤－5，∴a的最大值为－5.5.设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；当x∈(M∩N)时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]21( 2)≤4.( 1)3x－3，x∈[1，＋∞），解f(x)＝1－x，x∈（－∞，1）当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1，4得x≤3，故4 1≤x≤3；当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.4所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤3}.(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4162证明得x－≤4，1313解得－4≤x≤4.所以N＝x|－4≤x≤4，3故M∩N＝x|0≤x≤4.当x∈(M∩N)时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝14－x－122≤14.6.(2017郑·州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.(1)解不等式：|g(x)|＜5；(2)若对随意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)建立，务实数a的取值范围. 解(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，所以－7＜|x－1|＜3，解不等式得－2＜x＜4，所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}.(2)因为对随意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)建立，所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.第2讲不等式的证明最新考纲经过一些简单问题认识证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.知识梳理1.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、剖析法、反证法、放缩法等.(1)比较法①求差比较法知道a>b?a－b>0，a<b?a－b<0，所以要证明a>b，只需证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法.②求商比较法a a由a>b>0?b>1且a>0，b>0，所以当a>0，b>0时要证明a>b，只需证明b>1即可，这类方法称为求商比较法.(2)剖析法从待证不等式出发，逐渐追求使它建立的充足条件，直到将待证不等式归纳为一个已建立的不等式(已知条件、定理等).这类证法称为剖析法，即“执果索因”的证明方法.(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的相关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式建立，即“由因寻果”的方法，这类证明不等式的方法称为综合法.(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假定；第二步：从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否认假定，进而证明原不等式建立.2.几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号建立).②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号建立.③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－3）2＋（y1－3）2y.④柯西不等式的一般形式：设a1，2，3，，n，1，2，3，，n是实数，a a ab b b＋2222≥11＋22＋＋nn，当且仅当bi＝则(a12＋＋n1＋2＋＋n(ia)(b bb)(ababab)＝1，2，，n)或存在一个数k，使得ai＝i＝，，，)时，等号建立.kb(i12(2)算术—几何均匀不等式若a1，a2，，an为正数，则a1＋a2＋＋an≥n a1a2an，当且仅当a1＝a2＝n＝an时，等号建立.诊疗自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假定为“a，b，c全不为0”.()(2)若实数x，y合适不等式xy＞1，x＋y＞－2，则x＞0，y＞0.()答案(1)×(2)√112.(2017泰·安模拟)若a＞b＞1，x＝a＋a，y＝b＋b，则x与y的大小关系是()A.x＞yB.x＜yC.x≥y D.x≤y分析x －y ＝a ＋1－b ＋1＝a －b ＋b －a（－）（－）＞＞＝abab1 得abab ab ab.由ab1＞1，a －b ＞0，（a －b ）（ab －1）所以ab＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y.答案A3.(2017聊·城模拟)以下四个不等式：①log x10＋lgx≥2(x＞1)；②|a－b|＜|a|＋|b|；b a ≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x －2|≥1，此中恒建立的个数是()③a ＋b A .1B.2C.3D.4分析logx ＋l gx＝1＋lgx≥2(x＞)，①正确.10 l gxb ab≤0时，|a －b|＝|a|＋|b|，②不正确； ca因为ab≠0，a 与b 同号，所以baa＋b ＝ba＋ab≥2，③正确；由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，|x－1|＋|x－2|≥1恒建立，④也正确，综上①③④正确.答案C设，，，∈，且2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________.4.abmnR a分析由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，∴m2＋n2≥5，∴所求最小值为5.答案55.(2016全·国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝x－1＋x＋1，M为不等式f(x)<2的解集. 22(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|. 2x，x≤－12，( 1)解f(x)＝111得－2x<2，解得x>－1；1，－<x<，当x≤－时，由f(x)<222212x，x≥2.1 1当－2<x<2时，f(x)<2建立；1当x≥2时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}.(2)证明由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，进而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，所以|a＋b|<|1＋ab|.考点一用剖析法证明不等式【例1】设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；a(2) bc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c).证明(1)要证a＋b＋c≥3，因为a，b，c＞0，所以只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca). 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.22＋c 222当且仅当＝＝而这能够由ab＋bc＋ca≤a＋b＋b＋c＋a＝a2＋b2＋c2222(abc时等号建立)证得.∴原不等式建立.( 2)a＋b＋a＋b＋cc＝.bcacababc因为(1)中已证a＋b＋c≥ 3.所以要证原不等式建立，只需证明1≥a＋b＋ c.abc即证a bc＋b ac＋cab≤1，即证a bc＋b ac＋cab≤ab＋bc＋ca.规律方法当所证明的不等式不可以使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用剖析法来找寻证明门路，使用剖析法证明的重点是推理的每一步一定可逆.【训练1】(2016·宜昌一中月考)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x－1)＋f(x＋3)≥6；b(2)若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f a.解(1)由题意，知原不等式等价为|x－2|＋|x＋2|≥6，令g(x)＝|x－2|＋|x＋2|，－2x，x≤－2，则g(x)＝4，－2＜x＜2，2x，x≥2.当x≤－2时，由－2x≥6，得x≤－3；当－2＜x＜2时，4≥6不建立，此时无解；当x≥2时，由2x≥6，得x≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).b(2)证明要证f(ab)＞|a|f a，只需证|ab－1|＞|b－a|，只需证(ab－1)2＞(b－a)2.而(ab－1)2－(b－a)2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)·(b2－1)＞0，进而原不等式建立.考点二用综合法证明不等式【例2】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1 1 11(1)a＋b＋ab≥8；21(2)1＋a1＋b≥9.证明(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，1111a＋b11∴a＋b＋ab＝a＋b＋ab＝2a＋ba ＋ba＋b b ba＝2a＋＝2a＋b＋4≥4a×b＋4＝8.∴1＋1＋1≥8(当且仅当a＝b＝1时等号建立).a b ab2( 2)∵1＋11＋1＝1＋1＋1＋1，a ba ab由(1)知1＋1＋≥8 .bab11＋a1＋b≥9.规律方法(1)综合法证明不等式，要着力剖析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差别与联系.合理进行变换，恰入选择已知不等式，这是证明的重点 .( 2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质建立的前提条件.【训练2】(2017·重庆适应性测试)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.c21( 1)求证：2ab＋bc＋ca＋2≤2；( 2)求证：a2＋c2＋b2＋a2＋c2＋b2b c a≥2.证明(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，所以2ab＋bc＋ca＋c2＝1＋＋＋2≤22(4ab2bc2cac).a2＋c2b2＋a2c2＋b2≥2bc，(2)因为b ≥2ac，c≥2ab，ac aa2＋c2b2＋a2c2＋b2acababbcacbccbac所以＋c＋a≥b＋c＋c＋a＋b＋a＝a b＋c＋b c＋abc b＋a≥2a＋2b＋2c＝2.考点三柯西不等式的应用【例3】已知x，y，z均为实数.(1)若x＋y＋z＝1，求证： 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3≤33；(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.(1)证明因为( 3x ＋1＋ 3y ＋2＋ 3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)27.所以 3x ＋1＋ 3y ＋2＋ 3z ＋3≤3 3.2 1当且仅当x ＝3，y ＝3，z ＝0时取等号. (2)解因为6＝x ＋2y ＋3z≤ x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，2218所以x ＋y＋z≥7，当且仅当x ＝y＝z即x ＝3，y ＝6，z ＝9时，237 77x 2＋y 2＋z 218有最小值7.规律方法(1)使用柯西不等式证明的重点是合适变形，化为切合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧拥有一致形式时，便可使用柯西不等式进2 2行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a1＋a2＋＋111＝2在使用柯西不等式时，要注意右侧常数2＋2＋＋2≥(1＋1＋＋1)n.a )2 naaa且应注意等号建立的条件.【3】已知大于的正数x ，y ，z 知足x ＋y ＋z ＝33.求证：x 2训练1＋x＋2y＋3zy2z23y＋2z＋3x＋z＋2x＋3y≥2.证明由柯西不等式及题意得，2y2z2·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋x＋2y＋3z＋y＋2z＋3x＋z＋2x＋3y3y)]≥(x＋y＋z)2＝27.又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝183，∴x2y2z227＝3＋＋≥2，x＋2y＋3zy＋2z＋3xz＋2x＋3y183当且仅当x＝y＝z＝3时，等号建立.[思想方法]证明不等式的方法和技巧：(1)假如已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用剖析法；假如待证的命题以“起码”“至多”等方式给出或否认性命题、独一性命题，则考虑用反证法；假如待证不等式与自然数相关，则考虑用数学概括法等.(2)在必需的状况下，可能还需要使用换元法、结构法等技巧简化对问题的表述和证明.特别是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的在本思路是去绝对值号，转变为常有的不等式(组)求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐一解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，常常作为不等式放缩的依照. [易错防备]1.在使用基本不等式时，等号建立的条件是向来要注意的事情，特别是连续使用时，要求剖析每次使用时等号能否建立.2.柯西不等式使用的重点是出现其结构形式，也要注意等号建立的条件.(建议用时：60分钟)1.设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求会合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.解(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}.(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.12.已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：a＋ b＋ c＜a＋11b＋c.证明法一∵a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，11111∴a＋b＋c＝111b＋c ＋a a＋b111b c＋ca＋ab＜2＋2＋2＝a＋b＋c.111∴a＋b＋c＜a＋b＋c.法二∵1＋1≥21＝2c；ba b1＋1≥21＝2a；1＋1≥21＝2b.b c bc ac∴以上三式相加，得1＋1＋1≥a＋b＋c.a c又∵a，b，c互不相等，∴1＋1＋1＞a＋b＋c.ab c法三∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴1＋1＋1＝bc＋ca＋ab＝bc＋ca＋ca＋ab＋ab＋bc＞abc2＋a2＋2＝a bc222bcabc＋b＋c.111∴a＋b＋c＜a＋b＋c.3.(2017衡·阳二联)已知函数f(x)＝|x－3|.(1)若不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，务实数a的取值范围；( 2)若＜，＜，且≠，判断f（ab）与fb的大小，并说明原因.|a|1|b|3a0|a|a解(1)因为f(x－1)＋f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1，不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，则1≥a即可，所以实数a的取值范围是(－∞，1].f（ab）b(2)|a|＞f a.f（ab）b证明：要证|a|＞f a，只需证|ab－3|＞|b－3a|，即证(ab－3)2＞(b－3a)2，又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9). 因为|a|＜1，|b|＜3，所以(ab－3)2＞(b－3a)2建立，所以原不等式建立.4.(2015陕·西卷)已知对于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)务实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值.解(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，－b－a＝2，a＝－3，则解得b－a＝4，b＝1.(2) －3t＋12＋t＝ 3 4－t＋t[（3）2＋12][（（4－t））2＋（t）2] ＝2 4－t＋t＝4，当且仅当4－t＝，即t＝1时等号建立，3故(－3t＋12＋t)max＝4.5.(2015全·国Ⅱ卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则a＋ b＞ c＋ d；(2) a＋ b＞ c＋ d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.证明(1)因为( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，( c＋ d)2＝c＋d＋2 cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得( a＋ b)2＞( c＋ d)2.所以a＋ b＞ c＋ d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋ b＞ c＋ d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，2222于是(a－b)＝(a＋b)－4ab＜(c＋d)－4cd＝(c－d).综上，a＋ b＞ c＋ d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.6.已知a，b，c均为正实数.求证：(1)(a＋b)(ab＋c2)≥4abc；(2)若a＋b＋c＝3，则a＋1＋b＋1＋c＋1≤3 2.证明(1)要证(a＋b)(ab＋c2)≥4abc，可证a2b＋ac2＋ab2＋bc2－4abc≥0，需证b(a2＋c2－2ac)＋a(c2＋b2－2bc)≥0，即证b(a－c)2＋a(c－b)2≥0，当且仅当a＝b＝c时，取等号，由已知，上式明显建立，故不等式(a＋b)(ab＋c2)≥4abc建立.(2)因为a，b，c均为正实数，由不等式的性质知＋·≤a＋1＋2a＋3b＋1＋2＝，当且仅当a＋1＝2时，取等号，b＋1·2≤a12222b ＋3c＋1＋2c＋3＝2，当且仅当b＋1＝2时，取等号，c＋1·2≤2＝2，当且仅当c＋1＝2时，取等号，以上三式相加，得2(a＋1＋b＋1＋c＋1)≤a＋b＋c＋9＝6，2所以a＋1＋b＋1＋c＋1≤32，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号.。

新版高考数学(文科)课时作业：选修451 绝对值不等式(含答案)

1课时作业(七十八) 1．ab≥0是|a－b|＝|a|－|b|的()A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．不充分也不必要条件答案B解析当ab≥0，a<b时，|a－b|≠|a|－|b|，故条件不充分．当|a－b|＝|a|－|b|时，则a、b同号且|a|≥|b|.故条件必要．综上可知，ab≥0是|a－b|＝|a|－|b|的必要不充分条件．2．不等式(1＋x)(1－|x|)>0的解集是()A．{x|0≤x<1} C．{x|－1<x<1}B．{x|x<0且x≠－1} D．{x|x<1且x≠－1}答案D⎧1＋x>0，⎧1＋x<0，解析原不等式等价于⎨或⎨⎩1－|x|>0⎩1－|x|<0.解之得x<1且x≠－1.3．若2－m与|m|－3异号，则m的取值范围是()A．m>3 C．2<m<3B．－3<m<3 D．－3<m<2或m>3答案D解析方法一：2－m与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－3)<0，所以(m－2)(|m|－3)>0，⎧m≥0，⎧m<0，所以⎨或⎨⎩(m－2)(m－3)>0⎩(m－2)(－m－3)>0.解得m>3或0≤m<2或－3<m<0.方法二：由选项知，令m＝4符合题意，排除B、C两项，令m＝0可排除A 项．4．不等式x2－|x|－2<0(x∈R)的解集是()A．{x|－2<x<2}B．{x|x<－2或x>2}C．{x|－1<x<1}D．{x|x<－1或x>1}答案A解析方法一：当x≥0时，x2－x－2<0，解得－1<x<2，∴0≤x<2.当x<0时，x2＋x－2<0，解得－2<x<1，∴－2<x<0.故原不等式的解集为{x|－2<x<2}．方法二：原不等式可化为|x|2－|x|－2<0，解得－1<|x|<2.∵|x|≥0，∴0≤|x|<2，∴－2<x<2.∴原不等式的解集为{x|－2<x<2}．115．已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为(－2，2)，则t＝() A．0B．1C．2D．3答案A解析∵|2x－t|<1－t，11∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，t－2<x<2.∴t＝0.6．使关于x的不等式|x＋1|＋k<x有解的实数k的取值范围是() A．(－∞，－1)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(1，＋∞)答案A解析|x＋1|＋k<x k<x－|x＋1|，⎧2x＋1，x<－1，又x－|x＋1|＝⎨⎩－1，x≥－1，∴x－|x＋1|的最大值为－1.∴k<－1.7．不等式|x－1|＋|2x＋1|>1的解集是________．答案R⎧⎪ ⎧⎪ ⎧⎪ 1 ⎧⎪1解析原不等式等价于⎨x ≤－2， ⎪⎩－3x >1 ⎧⎪－1<x <1，或⎨ 2 ⎪⎩x ＋2>1⎧x ≥1，或⎨ 解得 x ≤－⎩3x >1，1 12或－2<x <1 或 x ≥1，所以 x ∈R .8．(20xx· 江西)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6 的解集为________．3 3答案{x|－2≤x ≤2}1解析原不等式可化为 ⎨x <－2，⎪⎩1－2x －2x －1≤61或 ⎨－2≤x ≤2， ⎪⎩1－2x ＋2x ＋1≤6或1 ⎨x >2，⎪⎩2x －1＋2x ＋1≤6，3 3 3 3解得－2≤x ≤2，即原不等式的解集为{x|－2≤x ≤2}．9 ． (20xx· 山东 ) 若不等式 |kx － 4|≤2 的解集为 {x|1≤x ≤3} ，则实数 k ＝________.答案 2k k解析由|kx －4|≤2，可得 2≤kx ≤6，所以 1≤2x ≤3.所以2＝1，故 k ＝2.10．已知关于 x 的不等式|x ＋a|＋|x －1|＋a <2 011(a 是常数)的解是非空集合，则 a 的取值范围是________．答案 (－∞，1 005)解析 ∵|x ＋a|＋|x －1|的最小值为|a ＋1|，由题意|a ＋1|<2 011－a ，解得 a <1005.111．若不等式|x ＋x |>|a －2|＋1 对于一切非零实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是________．答案 (1,3)1解析∵|x ＋x |≥2，∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得 1<a<3.12．已知对于任意非零实数 m ，不等式|2m －1|＋|1－m |≥|m |(|x －1|－|2x ＋3|)恒成立，求实数 x 的取值范围．答案 (－∞，－3]∪[－1，＋∞)|m | |m |≥ ＝1，解析由题意知|x －1|－|2x ＋3|≤ |2m －1|＋|1－m | |2m －1|＋|1－m |恒成立，∵|2m －1＋1－m ||m |∴只需|x －1|－|2x ＋3|≤1.3(1)当 x ≤－2时，原式化为 1－x ＋2x ＋3≤1，即 x ≤－3，∴x ≤－3；3(2)当－2<x <1 时，原式化为 1－x －2x －3≤1，即 x ≥－1，∴－1≤x <1；(3)当 x ≥1 时，原式化为 x －1－2x －3≤1，即 x ≥－5，∴x ≥1.综上 x 的取值范围为(－∞，－3]∪[－1，＋∞)．13．(20xx· 新课标全国)设函数 f(x)＝|x －a|＋3x ，其中 a>0. (1)当 a ＝1 时，求不等式 f(x)≥3x ＋2 的解集；(2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x ≤－1}，求 a 的值．答案 (1){x|x ≥3 或 x ≤－1} (2)a ＝2解析 (1)当 a ＝1 时，f(x)≥3x ＋2 可化为|x －1|≥2.由此可得 x ≥3 或 x ≤－1.故不等式 f(x)≥3x ＋2 的解集为{x|x ≥3 或 x ≤－1}．(2)由 f(x)≤0，得|x －a|＋3x ≤0.⎧x ≥a ， ⎧x <a ，由此不等式化为不等式组⎨ 或⎨⎩ x －a ＋3x ≤0 ⎩a －x ＋3x ≤0，⎧⎪x ≥a ，即⎨ a ⎪⎩x ≤4 ⎧⎪x <a ，或⎨ a⎪⎩x ≤－2.a因为 a >0，所以不等式组的解集为{x|x ≤－2}．a由题设可得－2＝－1，故 a ＝2.14．f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－m .(1)当 m ＝5 时，求 f(x)>0 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)≥2 的解集是 R ，求 m 的取值范围．答案 (1){x|x >3 或 x <－2} (2)m ≤1解析方法一：(1)当 m ＝5 时不等式可化为|x ＋1|＋|x －2|>5.∵g (x)关于 x ＝对称，⎧－2x ＋1，x ≤－1，令 g (x)＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎨3，－1<x <2，⎩2x －1，x ≥2.⎧x ≤－1，则不等式等价于⎨ 或⎩－2x ＋1>5⎧－1<x <2，⎧x ≥2， ⎨ 或⎨ ⎩3>5 ⎩2x －1>5，解之得 x >3 或 x <－2.∴不等式的解集为{x|x >3 或 x <－2}．(2)由题意，不等式|x ＋1|＋|x －2|－m ≥2 的解集是 R ，则 m ≤|x ＋1|＋|x －2|－2 在 R 上恒成立．而|x ＋1|＋|x －2|－2≥3－2＝1，故 m ≤1.⎧－2x ＋1，x ≤－1，方法二：令 g (x)＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎨3，－1<x <2，⎩2x －1，x ≥2.作出 g (x)的图像可知 g (x)min ＝3.且关于 x ＝－1＋2 12 ＝2对称．(1)m ＝5 时，即 g (x)>5，x ≥2,2x －1>5，∴x>3.12∴不等式的解集为{x|x >3 或 x <－2}．(2)由题意知 g (x)≥2＋m 恒成立．∴g (x)min ≥2＋m ，即 3≥2＋m .∴m ≤1.15．(20xx· 郑州质检)已知函数 f(x)＝|x ＋1|，g (x)＝2|x|＋a.(1)当 a ＝0 时，解不等式 f(x)≥g (x)；(2)若存在 x ∈R ，使得 f(x)≥g (x)成立，求实数 a 的取值范围．1答案(1)[－3，1] (2)(－∞，1]解析 (1)由题意，得|x ＋1|≥2|x|.1故x 2＋2x ＋1≥4x 2，∴－3≤x ≤1.1∴不等式 f(x)≥g (x)的解集为[－3，1]．(2)若存在 x ∈R ，使得|x ＋1|≥2|x|＋a 成立，即存在 x ∈R ，使得|x ＋1|－2|x|≥a成立．令 φ(x)＝|x ＋1|－2|x|，则 a ≤φ(x)max .⎧1－x ，x ≥0，又 φ(x)＝⎨3x ＋1，－1≤x <0，⎩x －1，x <－1，当 x ≥0 时，φ(x)≤1；当－1≤x <0 时，－2≤φ(x)<1；当 x <－1 时，φ(x)<－2.综上可得：φ(x)≤1，∴a ≤1，即实数 a 的取值范围为(－∞，1]．16．(20xx· 辽宁)已知函数 f(x)＝|x －a|，其中 a>1. (1)当 a ＝2 时，求不等式 f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于 x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x ≤2}，求 a 的值．答案 (1){x|x ≤1 或 x ≥5} (2)a ＝3解析⎧－2x ＋6，x ≤2，(1)当 a ＝2 时，f(x)＋|x －4|＝⎨2，2<x <4，⎩2x －6，x ≥4.当 x ≤2 时，由 f(x)≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得 x ≤1；当 2<x <4 时，f(x)≥4－|x －4|无解；当 x ≥4 时，由 f(x)≥4－|x －4|，得 2x －6≥4，解得 x ≥5；所以 f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x ≤1 或 x ≥5}．(2)记 h (x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，2⎧－2a ，x ≤0，则 h (x)＝⎨4x －2a ，0<x <a ，⎩2a ，x ≥a.a －1 a ＋1由|h (x)|≤2，解得 2 ≤x ≤2 .又已知|h (x)|≤2 的解集为{x|1≤x ≤2}，所以 ⎧⎪a －1＝1，⎨ 2⎪⎩a ＋1＝2，于是 a ＝3.。

人教版高考文科数学复习练习题选修45不等式

课时提升练(六十二)绝对值不等式一、选择题1．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为()A．2 B.2C．4D．6【解析】由绝对值三角形不等式得y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.【答案】 A2．若不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集为∅，则a的取值范围为() A．a＞5 B．a≥5C．a＜5 D．a≤5【解析】∵|x－2|＋|x＋3|≥|－x＋2＋x＋3|＝5.∴当a＜5时不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集为∅.【答案】 D3．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】|x－1|＜2⇔－1＜x＜3，x(x－3)＜0⇔0＜x＜3.则(0,3)(－1,3)．【答案】 B4．(2013·大纲全国卷)不等式|x2－2|＜2的解集是() A．(－1,1) B．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)【解析】由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D5．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则t ＝( ) A ．0B ．－1C ．－2D ．－3【解析】 ∵|2x －t |<1－t ，∴t －1<2x －t <1－t ，即2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.【答案】 A6．若关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥a 在R 上恒成立，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．2【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，解之得a ≤1.故实数a 的最大值为1.【答案】 B二、填空题7．(2012·陕西高考)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.【答案】[－2,4]8．(2014·陕西渭南模拟)若不存在实数x使|x－3|＋|x－1|≤a成立，则实数a的取值集合是________．【解析】|x－3|＋|x－1|的几何意义为数轴上的点到3和1的距离之和，所以函数y＝|x－3|＋|x－1|的最小值为2，实数a的取值集合是{a|a＜2}．【答案】{a|a＜2}9．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．【解】法一：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值5.法二：∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，从而－6≤－2y≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0，∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值为5.【答案】 5三、解答题10．(2014·本溪模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|.(1)当a＝－1时，求不等式f(x)≥|x＋1|＋1的解集；(2)若不等式f(x)＋f(－x)＜2存在实数解，求实数a的取值范围．【解】(1)当a＝－1时，f(x)≥|x＋1|＋1可化为|x－1|－|x＋1|≥1，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，2≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ≤1，－2x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－2≥1，解得x ≤－1或－1＜x ≤－12，即所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤－12. (2)令g (x )＝f (x )＋f (－x )，则g (x )＝|x ＋a |＋|－x ＋a |＝|x ＋a |＋|x －a |≥2|a |，所以2＞2|a |，即－1＜a ＜1.所以实数a 的取值范围是(－1,1)．11．(2014·洛阳模拟)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )＞2的解集；(2)∀x ∈R ，使f (x )≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －3，x ＜－12，3x －1，－12≤x ＜2，x ＋3，x ≥2，当x ＜－12时，－x －3＞2⇒x ＜－5，∴x ＜－5.当－12≤x ＜2时，3x －1＞2⇒x ＞1，∴1＜x ＜2.当x ≥2时，x ＋3＞2⇒x ＞－1，∴x ≥2.综上所述，不等式f (x )＞2的解集为{x |x ＞1或x ＜－5}．(2)易得f (x )min ＝－52，若∀x ∈R 都有f (x )≥t 2－112t 恒成立，则只需f (x )min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5.12．(2014·石家庄模拟)已知函数f (x )＝log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－a )．(1)当a ＝4时，求函数f (x )的定义域；(2)若对任意的x ∈R ，都有f (x )≥2成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由题意得f (x )＝log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－4)，|2x －1|＋|x ＋2|－4＞0，当x ＜－2时，－(2x －1)－(x ＋2)－4＞0，∴x ＜－53，即x ＜－2.当－2≤x ≤12时，－(2x －1)＋(x ＋2)－4＞0，∴x ＜－1，即－2≤x ＜－1.当x ＞12时，(2x －1)＋(x ＋2)－4＞0，∴x ＞1，即x ＞1.综上所述，函数f (x )的定义域为{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)由题意得log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－a )≥2＝log 24恒成立，即|2x －1|＋|x ＋2|－a ≥4，∴|2x －1|＋|x ＋2|－4≥a 恒成立，令g (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －5，x ＜－2，－x －1，－2≤x ≤12，3x －3，x ＞12.显然x ＝12时，g (x )取得最小值－32，∴a ≤－32.。

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课时提升作业(六十一)
绝对值不等式
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a 的值为 ( )
A.8
B.2
C.-4
D.-8
【解析】选C.由题知a ≠0,由|ax+2|<6⇒-8<ax<4,
当a>0时,-错误！未找到引用源。

<x<错误！未找到引用源。

,
又因为原不等式的解集为(-1,2),
当a<0时,错误！未找到引用源。

<x<-错误！未找到引用源。

,
2.不等式ax 1
||x ->a 的解集为M,且2∉M,则a 的取值范围为( )
【解析】选B.由已知2∉M,可得2∈错误！未找到引用源。

M, 于是有2a 1
||2-≤a,
即-a ≤2a 1
2-≤a,
解得a ≥1
4,故应选B.
3.如果关于x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集不是空集,则实数a 的取值范围是
( )
A.0<a ≤1
B.a ≥1
C.0<a<1
D.a>1
【解析】选D.因为|x-3|+|x-4|
≥|(x-3)-(x-4)|=1,
所以(|x-3|+|x-4|)min=1.
当a≤1时,|x-3|+|x-4|<a解集显然为∅,所以a>1.
【加固训练】已知不等式|x+1|-|x-3|>a.分别求出下列情形中a的取值范围.
(1)不等式有解.
(2)不等式的解集为R.
(3)不等式的解集为∅.
【解析】方法一: |x+1|-|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(-1),B(3)距离的差即|x+1|-|x-3|=|PA|-|PB|.
由绝对值的几何意义知,PA-PB的最大值为|AB|=4,最小值为-|AB|=-4,即
-4≤|x+1|-|x-3|≤4.
(1)若不等式有解,则a只要比|x+1|-|x-3|的最大值小即可,故a<4.
(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,则a只要比|x+1|-|x-3|的最小值小即可,即a<-4.
(3)若不等式的解集为∅,则a只要不小于|x+1|-|x-3|的最大值即可,即a≥4.
方法二:由|x+1|-|x-3|≤|x+1-(x-3)|=4,
|x-3|-|x+1|≤|(x-3)-(x+1)|=4,
可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.
(1)若不等式有解,则a<4.
(2)若不等式的解集为R,则a<-4.
(3)若不等式的解集为∅,则a≥4.
二、填空题(每小题6分,共18分)
4.1≤|3x+4|<6的解集为.
【解析】1≤|3x+4|⇔3x+4≥1或3x+4≤-1⇔x≥-1或x≤-错误！未找到引用源。

,|3x+4|<6⇔-6<3x+4<6⇔-错误！未找到引用源。

<x<错误！未找到引用源。

,故解集为
答案:
5.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为.
【解析】方法一:当x≤-2时,-(x+2)-(-x)≤1,
-2≤1,所以x≤-2.
当-2<x<0时,(x+2)-(-x)≤1,2x+2≤1,
所以-2<x≤-错误！未找到引用源。

.
当x≥0时,(x+2)-x≤1,2≤1不成立,∅.
综上知原不等式的解集为
方法二:由绝对值的几何意义,点x到-2的距离与点x到0的距离的差小于等于1,如图所示.
答案:
6.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是. 【解题提示】存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立⇔(|x-a|+|x-1|)min≤3,要求出f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值,可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式来探求.
【解析】方法一:不等式|x-a|+|x-1|≤3表示数轴上的点x到点a和点1的距离之和小于等于3.
因为数轴上的点x到点a和点1的距离之和最小时,即点x在点a和点1之间时,此时距离之和为|a-1|,
要使不等式|x-a|+|x-1|≤3有解,
则|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.
方法二:因为存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,
所以(|x-a|+|x-1|)min≤3,
又|x-a|+|x-1|≥|x-a-(x-1)|=|a-1|,
所以|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.
答案:-2≤a≤4
【方法技巧】解决存在性问题的“两关”及“三法”
求解存在性问题需过两关:第一关是转化关,先把存在性问题转化为求最值问题;第二关是求最值关,求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||来快速求解其最值.(3)利用零点分区间来
求其最值.
三、解答题(每小题16分,共64分)
7.设函数f(x)=x2x6a
++-+错误！未找到引用源。

.
(1)当a=-10时,求函数f(x)的定义域.
(2)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.
【解析】(1)由题设知:|x+2|+|x-6|-10≥0.
①当x<-2时,不等式可化为-(x+2)-(x-6)-10=-2x-6≥0,即x≤-3;
②当-2≤x≤6时,不等式可化为(x+2)-(x-6)-10=-2≥0,无解;
③当x>6时,不等式可化为(x+2)+(x-6)-10=2x-14≥0,即x≥7.
综上所述,函数f(x)的定义域为(-∞,-3]∪[7,+∞).
(2)由题设知,当x∈R时,恒有|x+2|+|x-6|+a≥0,
即|x+2|+|x-6|≥-a.
又由|x+2|+|x-6|≥|(x+2)-(x-6)|=8,
当-2≤x≤6时取“=”号,
所以-a≤8,即a≥-8,
所以a的取值范围是[-8,+∞).
8.已知f(x)=|ax-4|-|ax+8|,a∈R.
(1)当a=2时,解不等式f(x)<2.
(2)若f(x)≤k恒成立,求k的取值范围.
【解题提示】(1)利用分类讨论思想将函数转化为分段函数,然后逐一求解每个不等式.
(2)利用绝对值性质定理求解f(x)=|ax-4|-|ax+8|的最大值,然后确定k的取值范围. 【解析】(1)当a=2时,
f(x)=2(|x-2|-|x+4|)
=
12,x4,
4x4,4x2, 12,x 2.
<-
⎧
⎪
---≤≤⎨
⎪->
⎩
当x<-4时,不等式不成立;
当-4≤x≤2时,由-4x-4<2,得-错误！未找到引用源。

<x≤2; 当x>2时,不等式必成立.
综上,不等式f(x)<2的解集为{x|x>-错误！未找到引用源。

}.
(2)因为f(x)=|ax-4|-|ax+8|≤|(ax-4)-(ax+8)|=12,当且仅当ax≤-8时取等号.
所以f(x)的最大值为12.
故k的取值范围是[12,+∞).
9.已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为x|-2≤x≤3,求实数a的值.
(2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a,所以a-6≤2x-a≤6-a.即a-3≤x≤3,所以a-3=-2,所以a=1.
(2)由(1)知f(x)=|2x-1|+1.
令φ(n)=f(n)+f(-n).
则φ(n)=|2n-1|+|2n+1|+2
所以φ(n)的最小值为4,故实数m的取值范围是[4,+∞).
10.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.
(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R).
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.
【解析】(1)不等式f(x)+a-1>0,
即|x-2|+a-1>0,
当a=1时,解集为x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞);
当a>1时,解集为全体实数R;
当a<1时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞).
(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|>m恒成立,又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m<5, 即m的取值范围是(-∞,5).。