第九讲：余数趣题
小学奥数教程之-中国剩余定理 及余数性质拓展 (90) (含答案)
我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为 “中国剩余定理 ”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以 3 所得的余数用 70 乘． 五树梅花廿一枝，是说除以 5 所得的余数用 21 乘． 七子团圆正月半，是说除以 7 所得的余数用 15 乘． 除百零五便得知，是说把上面乘得的 3 个积加起来，减去 105 的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用 70 乘 3 除所得的余数，21 乘 5 除所得的余数，15 乘 7 除所得的 余数，把这 3 个结果加起来，如果它大于 105，则减去 105，所得的差如果仍比 105 大，则继续减去 105， 最后所得的整数就是所求．也就是 2 × 70 + 3× 21 + 2 ×15 =233 ， 233 −105 = 128 ，128 −105 = 23 为什么 70，21，15，105 有此神奇效用？70，21，15，105 是从何而来？ 先看 70，21，15，105 的性质：70 被 3 除余 1，被 5，7 整除，所以 70a 是一个被 3 除余 a 而被 5 与 7 整除的数；21 是 5 除余 1，被 3 与 7 整除的数，因此 21b 是被 5 除余 b，被 3 与 7 整除的数；同理 15c 是被 7 除余 c，被 3、5 整除的数，105 是 3，5，7 的最小公倍数．也就是说， 70a + 21b + 15c 是被 3 除余 a，被 5 除余 b，被 7 除余 c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数． 了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．
二年级下册奥数-有趣的余数
九 《有趣的余数》
姓名 ------------- 例题1
÷
(4)
，除数最小是多少？
试一试1：÷，余数可以是几，最大的余数是多少？
例题2
：按照规律继续画下去，第22个图应该画什么？
试一试2
：看一堆围棋，按“三黑三白”的顺序排列起来（如下图）。
想一想，第
27个棋子是白子还是黑子？第42个呢？
例
3：
有24个橘子，最少拿走几个，就能使得7
个小朋友分的一样多？每个小朋友分几个？
试一试3；小丽带领6个小朋友为学校做50朵花，平均每人做几朵？小丽要多做几朵才能完成任务？
例4：小红说：“今天是星期三。
”同学们，你知道再过20天是星期几吗？
试一试4：昨天是7号，今天是星期五，27号是星期几？
例5、李老师把1-30号卡片一次发给小东、小力、小青、小云、小平五个小朋友，问第18张卡片应发给哪个小朋友？最后那张卡片应发给哪个小朋友？
试一试5、小云练习朗诵，她把“我爱你老师”这句话反复朗诵训练，第43个字应说到哪个字呢？
例6 为庆祝六一儿童节，学校按“红、黄、蓝、绿”的顺序插彩旗，一共插了38面旗。
你知道其中红、黄、蓝、绿棋子各有多少面吗？
试一试6、有一列数：1，3，2，1，3，2，1，3，2，1，3，2，……，你知道第19个数是几？这19个数相加的和是多少？。
小学奥数—中国剩余定理及余数性质拓展
．
【例 22】在 200 至 300 之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被 3 整除，中间的能被 7 整除，最大的 能被 13 整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展.题库
学生版
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【例 23】有三个连续自然数，其中最小的能被 15 整除，中间的能被 17 整除，最大的能被 19 整除，请写出 一组这样的三个连续自然数．
【例 7】 某个自然数除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 5 也余 1，则这个数最小是
。
【例 8】 一个大于 10 的自然数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为多少？
【巩固】一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？
【例 17】如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个)，小明像玩跳棋那样，从 A 孔出发沿着逆时针方向， 每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔．他先试着每隔 2 孔跳一步，结果只能跳到 B 孔．他 又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔．最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到 A 孔，你知道这 个圆圈上共有多少个孔吗?
与 7 整除的数；21 是 5 除余 1，被 3 与 7 整除的数，因此 21b 是被 5 除余 b，被 3 与 7 整除的数；同理 15c 是被 7 除余 c，被 3、5 整除的数，105 是 3，5，7 的最小公倍数．也就是说， 70a 21b 15c 是被 3 除余 a，被 5 除余 b，被 7 除余 c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍 数．
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小学奥数教程之-中国剩余定理 及余数性质拓展 （含答案）
1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用 一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
一年级下册数学试题-拔尖培优讲练：第九讲 智力趣题(无答案)全国通用
第九讲智力趣题
例1：两个父亲和；两个儿子一起去看电影，他们一共买了3张票，小朋友你知道为什么吗？
例2：两棵树上一共有16只小鸟，5只小鸟从第二棵树上飞到第一棵树上，现在两棵树上一共有几只小鸟？
例3：亮亮和风风玩一盘中国象棋要30分钟，他们每人用了多少分钟？
例4、一个正方形有4个角，剪去1个角，还剩下几个角？
例5：小华的姐姐今年18岁，小华6岁，5年后，姐姐比小华大几岁？
例6、如果有3个铁环，只许断开其中一个，就可将这3个铁环连成一串，你能办到吗？
体验成功
1、有20个小朋友玩捉迷藏，捉住了8个，还剩几个小朋友藏着？
2、教室里有8根日光灯，全亮着。
如果关了2根，现在教室里还有几根日光灯？
3、用2块同样重的橡皮泥，一块捏了1只老虎，一块捏了1只老鼠，问：捏成
的老虎和老鼠，哪一个重一些？
4、前面走来几头猪，珍珍数了数，两头猪前面有一头猪，两头猪的后面也有一
头猪，两头猪的中间也有一头猪，珍珍一共数了多少头猪呢？
5、过年了，美美和爸爸妈妈到外婆家去玩，进门一看，屋里只有6个人，现在
屋里有几个人？
6、姐姐过生日共点燃12枝蜡烛，第一次吹灭了3枝蜡烛，第二次吹灭了2枝，
第三次蜡烛全部被吹灭，最后还剩几枝蜡烛？
挑战奥数
7、商店规定3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小胖有10个空汽水瓶，最多可以喝
到多少瓶汽水？。
【小学精品奥数】中国剩余定理及余数性质拓展.学生版
1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（ChineseRemainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，-=233105128-=，12810523为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115++是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不a b c一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
三数学思维训练(有趣的余数)
三年级数学思维训练
（有趣的余数）
学校__________姓名________________成绩____________
例1、 幼儿园老师把一些糖果分给9个小朋友，每人分得3粒，还剩下3 粒。
这些糖果一共有（ ）粒。
例2
……第20个图形是（ ）。
例3、商店门口挂着２７个彩色气球，按红、黄、蓝、绿四种颜色顺序排列，
最后一个气球是（ ）色，第16个是（ ）色。
例4、一座大楼前插34面彩旗，按红、黄、兰、绿、紫五色顺序安排，最后
一面是（ ）色。
例5、今天是星期六，再过30天是星期（ ）。
练习、1、把21个球按顺序投入甲、乙、丙、丁四个袋中，最后一个球是投在（）袋中。
2、
……按照这样排列，第17个图形是（）。
3、老师把编有1~30号码的画片依次分发给王宁、大林、小明和丁芬四个人，
第9号画片发给（），第28号画片发给（）。
4、一堆围棋子按三白二黑顺序排列，第25个围棋是（）色，第34个
围棋是（）色。
5、如果“元旦”是星期三，那再过25天是星期（）。
思考：有一列数：2、3、4、2、3、4、2、3、4……。
第20个数是（），这20个数的和是（）。
二年级奥数-第一学期-009有趣的余数(一)
二年级创新思维秋季班讲义：第九讲有趣的余数（一）姓名：【例1】在下面的除法算式中，余数可以是几？最大的余数是几？÷6= ……【例2】在下面的除法算式中，除数最大可以是几？÷ (7)【例3】在下面的除法算式中，被除数是几？÷4= 3 (2)【例4】在下面的除法算式中，除数是几？27÷= 4 (3)【例5】在下面的除法算式中，如果商和余数相等，被除数可能是几？5= ……练习一、在下面的除法算式中，余数可以是几？最大的余数是几？1. 7= ……，余数可以是（），最大余数是（）。
2. 4= ……，余数可以是（），最大余数是（）。
3. 8= ……，余数可以是（），最大余数是（）。
二、在下面的除法算式中，除数最大可以是几？1. ÷= ……8 ，除数最小是（）。
2. ÷= ……5 ，除数最小是（）。
三、在下面的除法算式中，被除数是几？1. ÷5= 3……2 ，被除数是（）。
2. ÷4= 5……1 ，被除数是（）。
3. ÷7= 4……5 ，被除数是（）。
4. ☆÷8=5……6 ，☆=（）。
5. ÷7= 5……，被除数最大是（），最小是（）。
6. ÷6= 4……，被除数最大是（），最小是（）。
7. ÷9= 8……，被除数最大是（），最小是（）。
四、在下面的除法算式中，除数是几？1. 20÷= 6……2 ，除数是（）。
2. 47÷= 5……7 ，除数是（）。
3. 43÷= 7……1 ，除数是（）。
4. 35÷□=5……5 ，□=（）。
5. 18÷◇=○……3 ，◇最小是（），这时○=（）。
五、商和余数相等，被除数可能是几？1. ÷，商和余数相等，被除数最大是（）。
2. ÷，商和余数相等，被除数最小是（）。
六、比一比，赛一赛1. △÷◎=3……7 ，◎最小是（），这时△=（）。
二年级奥数：趣味数学一,余数问题
二年级奥数：趣味数学一，余数问题同学们在平时的练习中会发现，有些题目和我们的生活紧密联系，非常有趣味性，但是又没有什么固定的模式去解答，总是一不小心就掉进了出题人的陷阱，要想解答这些题目，就需要发挥我们的聪明才智，有时还要打破常规去想。
在我们解答这些带有迷惑性的题目时，一定要认真读题，领会题目的真实意思，再经过充分的分析和思考，运用自己的聪明才智巧妙地解决问题。
下面我就通过一些典型的例题来打开大家的思路，希望对大家日后的学习带来帮助。
例题1碰到例1这类可能性的问题，我们一定要认真读题，抓住重点，仔细思考题目出现的一些关键字或者词语的深层意思。
例题2这题还是比较简单的，也许同学们会说我很容易就可以知道答案了，但是如果题目中的数字变大了的时候呢？所以我们要先列举一些情况，从中来找到规律。
例题3此类问题非常具有迷惑性，初一看会觉得，这题还有解吗？30个小时后谁知道天气会怎样？但是如果你能够联系我们的生活实际，考虑到晚上不会有太阳出现的情况，那么就会非常容易了。
还要注意时间前面说的是下午，不要弄错。
例题4例题5我相信大家都觉得例5非常的简单，但是以往老师的学生出错的，都是写的10。
说明没有很好的审题，粗心会导致将20号也算了进去。
因此在我们平时学习和练习过程中，开始没有思路的时候要反复读题，将已知条件在草稿本上先列出来，这样比已知条件藏在题目中更容易找到思路。
余数的除法，在有余数的除法里，余数要比除数小。
利用有余数的除法里的余数，可以解决许多有趣的实际问题，就看你会不会巧妙地应用了。
要解决除数最小，余数最大的问题，最主要是掌握除数和余数的关系，余数必须比数数小，即除数必须比余数大，掌握了这一点才能找到正确答案。
下面我就通过几个典型的例子来讲解一下这类问题。
例题1时刻要记住，余数要比除数小，首先列出可能的结果，然后再根据题目的意思，找出合适的答案。
要确定最小的除数，就是比余数大1的数。
要确定最大的余数，只要比除数小1即可。
小学奥数-余数问题-完整版题型训练
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
余数问题求解技巧
余数问题求解技巧当我们进行数学运算时，有时候我们需要求解一个问题的余数。
余数是一个数字除以另一个数字所得到的剩下的部分。
在解决余数问题时，有一些技巧可以帮助我们更有效地解决问题。
1. 余数定义：余数是除法运算中除数除以被除数得到的剩余部分。
用数学符号表示，余数可以表示为：被除数= 除数×商 + 余数。
例如，当我们计算20除以3时，可以得到商为6，余数为2，即20 = 3 × 6 + 2。
2. 同余定理：同余定理指出，如果两个整数在除以一个正整数时具有相同的余数，那么这两个整数之差是这个正整数的倍数。
例如，如果a除以n的余数是r，b除以n 的余数也是r，那么就有a - b能够被n整除。
3. 整数相加求余：当我们面对两个整数相加并求余的问题时，可以先对两个整数分别求余，然后再相加，最后再对结果求余。
例如，求解(23 + 33) mod 5，先分别对23和33求余，得到3和3，然后再相加得到6，最后再对结果6求余得到1。
4. 余数的性质：余数具有一些特定的性质，可以用来简化问题。
例如，两个数的和的余数等于两个数分别取余后再相加的余数，即(a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n。
5. 除数的特殊取值：在解决求余的问题时，有时候除数的特殊取值可以帮助我们更快地得到答案。
例如，当除数是10的幂时，我们可以直接取被除数的末尾几位数作为余数。
例如，求解4357 mod 1000，我们可以直接取57作为余数。
6. 负数求余：当我们面对负数求余的问题时，可以先将负数转换为正数，然后再对正数求余，最后再将结果转换为负数。
例如，求解-25 mod 7，可以将-25转换为25，然后再对25求余，得到结果4，最后再将结果转换为负数-4。
7. 大数求余：当我们面对大数求余的问题时，直接使用除法运算可能会比较繁琐。
可以利用同余定理简化求余运算。
例如，求解1234567 mod 8，我们可以将1234567分解为(1200000 + 3000 + 400 + 60 + 7) mod 8，然后分别对每一项求余，得到(0 + 3 + 0 + 4 + 7) mod 8 = 14 mod 8 = 6。
小学数学：余数问题
小学数学：余数问题余数问题，最基本的有两种：类型一：同余一个数除以5余2，除以6余2，除以7余2，那么这个数最小是多少？分析：这一题的特点是，除以5，6，7的余数都是2，所以将这个数减去2，就可以被5，6，7整除，因此这个数最小是5X6X7+2=212类型二：同缺一个数除以5余4，除以7余6，除以8余7，那么这个数最小是多少？分析：除以5余4，那么这个数加1就能被5整除；除以7余6，那么这个数加1也能被7整除；除以8余7，这个数加1还能被8整除。
因此，这个数加1最小是5X7X8=280，这个数最小就是280-1=279。
数学趣题：宝树上的人参果分析：3个人分要剩2个，5个人分要剩3个，7个人分也是剩2个。
这三个条件中，第一个条件和第三个条件是同余的。
先考虑这两个条件，我们就知道人参果的数量减去2可以整除3和7，也就是这个数量减去2可以整除21，因此这个数可以是21+2，42+2，63+2......。
因为5个人分要剩3个，所以这个数最小是21+2=23。
做这一题首先用的是同余中介绍的方法，然后用的是列举的方法，也就是把符合前面条件的数，一个一个列举出来，从中找出符合剩下条件的数。
如果题目既不是同余也不是同缺，那最常用的方法就是列举，列举时一般选较大的数来列举，比如上面的趣题，分析后我们知道，人参果的数量除以21余2，除以5余3。
做题时我们用除以21余2来列举，然后用除以5余3来检验；如果不这样做，用除以5余3来列举，那就是5+3，10+3，15+3，20+3，25+3......需要列举的数更多，做起来就更麻烦。
数学趣题：唐僧的经书分析：这本经书除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，除以8余7，除以9余8，这一题属于前面说的类型二。
将这本经书的页码加1，就可以整除2，3，4，5，6，7，8，9，因此页码加1后的数量是2，3，4，5，6，7，8，9的倍数，根据求最小公倍数的方法，可以得出这个数量是5X7X8X9=2520，下一个公倍数是5040，超过题目要求的页码不到3000页，所以经书的页码是2520-1=2519。
余数问题(教师版)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质 一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b=q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数5-6余数问题教学目标知识点拨的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
(完整)二年级奥数教程有趣的余数(完)
二年级奥数教程——有趣的余数(完)例1．下面的算式是一个有余数的除法，问被除数最大是几？最小是几？（）÷8＝9……( )随堂练习1.下面的有余数的除法算式中，被除数最大是几？最小是几？①( ) ÷7＝8……( )②( ) ÷10＝9……( )例2.下面的算式是一个有余数的除法,要使除数最小,被除数是几?( )÷( ) ＝18 (28)练习2.下面的算式是一个有余数的除法,要使除数最小,被除数是几?( )÷( ) ＝8 (18)例3.写出所有除以5所得的商和余数相同的数。
例 4.节日里街上挂起彩灯,从第一盏灯开始,按照红,黄,蓝,绿各一盏的顺序依次重复排下去,问①第50盏灯是什么颜料？②这50盏灯里有红灯几盏？例5．2007年的6月1日儿童节是星期五，那么，39天后是星期几？随堂练习4．2007年1月1日是星期一，那么小明这年生日是2月28日是星期几？例6．有一列数是：2，3，5；2，3，5；2，3，5；…问①第26个数是几？②这26个数的和是几？随堂练习5．有一列数：2，4，1； 2，4，1； 2，4，1；…问：第25个数是几？这25个数的和是多少？练习题:练习题2．明明到少年宫看演出，他坐在第8排，如果用他的座位号除以排号，商和余正好是2，明明坐在8排几座？练习题3．植树节那天，同学们按1棵松树，2棵香樟树，3棵广玉兰有顺序栽树，第15棵是什么树？第30棵又是什么树？练习题4.国庆节挂彩灯,按红,黄,蓝,白,绿,紫的顺序挂,一共挂了50只彩灯。
问：第50只彩灯是什么颜色的？红色的彩灯共有多少只？练习题5．2004年的5月1日是星期六，那么那年的国庆节是星期几？练习题8.小明按1——3报数，小红按1——4报数，两人以同样的速度同时开始报数。
当两人都报了100个数时，有多少次两人报的数相同？。
一道余数趣题的解法
生活中有很多趣题，给人们带来了无穷的欢乐，有时深入思考，会得到意想不到的收获。
趣例：一筐鸡蛋，1个1个拿，正好拿完；2个2个拿，还剩1个；3个3个拿，正好拿完；4个4个拿，还剩1个；5个5个拿，还差1个；6个6个拿，还剩3个；7个7个拿，正好拿完；8个8个拿，还剩1个；9个9个拿，正好拿完。
问筐里最少有多少鸡蛋？一．利用小学知识求解。
“1个1个拿，正好拿完”这个条件不用考虑，由“2个2个拿，还剩1个”可知鸡蛋数是奇数，由“3个3个拿，正好拿完；7个7个拿，正好拿完；9个9个拿，正好拿完”可知鸡蛋数是63的倍数。
所以，鸡蛋数是63的倍数且是奇数，即可以在63的奇数倍里寻找满足其它条件的数就可以找到答案。
最终答案是63×23=1449.二．利用“孙子定理”求解孙子定理：设同余方程组。
(1)这里m 1,m 2,……,m k 是正整数且两两互质，记m =m 1m 2L m k ，M i =，1£i £k ，则存在整数M i ′（1£i £k ），使得M i M i ′º1(mod m i )，则(mod m)是同余方程组(1)对模m 的唯一解，即若有x 使方程组(1)成立，则xºx 0(mod m)。
若m 1,m 2,……,m k 不是两两互质，则可用下列两个定理变成两两互质。
定理1：设m 为正整数，且其标准分解式为k kp p p a a a L \2121m =，其中k p p p <<<L 21，i p 为质数，)i 1(k ££，则)(mod a x m º与ïïîïïí캺º)(mod )(mod )(mod 2121k k p a x p a x p a x a a a L L 等价。
二年级有余数除法数学趣题，第二道是我见过最难的
二年级有余数除法数学趣题，第二道是我见过最难的
有余数的除法，不光可以解决生活当中的难题，还能有效地开发二年级小学生的智力，下面这两道数学趣题，同学们可以尝试着做一下，看会不会？
第一道：
这是一道找规律的数学题，但是呢，可以用有余数的除法来解决。
蓝色珠子和红色珠子，一组的规律是五颗，依次是：蓝、蓝、红、红、红……
要解决的问题是：第24个珠子应该是什么颜色？
运用除法，24÷5＝4……4，商的意思是，这串珠子可以组成4组规律，余数为4的意思是，剩下的4个珠子，不能组成一个规律，但是可以推测出来，剩下的4颗珠子的顺序是蓝、蓝、红、红。
那么，第24个珠子，就应该是红色的。
第二道：
题目是：三月份共有31天，如果这个3月份有五个星期五、五个星期六、五个星期日，那么，这个月的3月1号是星期几？
对于二年级小同学来说，如何开动脑筋，解出这道数学趣题呢？
一个星期，是七天，这个月呢，总共31天，先列一道除法算式：31÷7＝4 (3)
余数为3，余下的三天，需要刚好是星期五、星期六和星期日。
也就是说，这余下的三天，刚好就是29号、30号和31号，那么，就可以推测出来了，这个3月的第一天，即3月1号，刚好是星期五。
这道数学趣题，您还有更好更简便的解答方法吗？
如果有，请留言在评论区吧。
数论之余数问题
数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a〔b=q……r，也就是a＝b〓q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23〓16除以5的余数等于3〓1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
六年级奥数中国剩余定理及余数性质拓展学生版
1. 六年级奥数中国剩余定理及余数性质拓展学生版2. 掌握中国剩余定理的核心思想,并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题〈1〉趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945〈注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积〉,然后再加3,得9948〈人〉。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。
中国剩余定理〈Chinese Remainder Theorem 〉在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
〈2〉趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位,他在解答“物不知其数”问题〈即：有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何？〉时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙,它被世界各国称为“中国剩余定理”〈Chinese Remainder Theorem 〉,是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀,是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝,是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半,是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知,是说把上面乘得的3个积加起来,减去105的倍数,减得差就是所求的数．知识点拨 教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数,21乘5除所得的余数,15乘7除所得的余数,把这3个结果加起来,如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大,则继续减去105,最后所得的整数就是所求．也就是-=-=,12810523270321215233⨯+⨯+⨯=,233105128为什么70,21,15,105有此神奇效用？70,21,15,105是从何而来？先看70,21,15,105的性质：70被3除余1,被5,7整除,所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1,被3与7整除的数,因此21b是被5除余b,被3与7整除的数；同理15c是被7除余c,被3、5整除的数,105是3,5,7的最小公倍数．也就是说,702115++是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数,这个数可能是解答,但不一a b c定是最小的,因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后,对类似于上面的题目,我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。
有趣的有余数除法解决问题
有趣的有余数除法解决问题摘要：小学是学生思维和问题解决能力形成的关键时期，在小学数学教学中，教师更应该以核心素养教育为前提，提高学生的数感、推理能力、数据分析观念、运算能力等。
让学生大胆的猜想，反复的推理验证、假设，引导学生在遇到问题时可以独立思考，在解决问题后不断积累相关的经验，从而提高数学的教学效率。
关键词：有趣；小学数学；解决问题；教学策略小学低年级的孩子活泼好动，注意力不集中，怎样从一年级入学的孩子入手，提高课堂的参与率，培养孩子对数学学习的兴趣呢？《小学数学新课程标准》指出：“数学教学应该从学生的生活经验和已有知识背景出发，向学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，帮助学生在自主探索的过程中真正理解掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。
”但小学一年级数学教学中，由于学生年龄、生活经验的限制，大多数教师重视数学知识的教学，很少关注数学知识和学生的实际生活有什么联系，学生学会了数学知识，却不会运用知识和利用知识来解决实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，因此学生感受不到学习数学的趣味和作用。
今天我在给二年级同学讲一道看图列式。
是这样的一道题17个苹果放在3个盘子了。
每个盘子放了5个苹果，还余下2个。
图的下面给了提示性的填空。
17÷3=（）（个）……（）（个） 17÷5=（）（盘）……（）（个）这道题我让学生思考，看看怎么填？大部分学生能够根据以往经验填出答案。
17÷3=（5 ）（个）……（ 2 ）（个） 17÷5=（ 3 ）（盘）……（ 2）（个）而还有一部分孩子，没有注意单位名称，就填错了。
17÷5=（3 ）（个）……（ 2 ）（个） 17÷3=（ 5 ）（盘）……（ 2）（个）那么这道题对于本班孩子来说也是有难度的。
我灵机一动，就让他们现把这道题仔细观察，然后说出每个算式的表达的意思。
提醒他们注意每道题的单位名称。
小学奥数剩余定理及余数性质拓展
1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
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余数趣题
【知识点】
被除数＝商×除数+余数
除数＝（被除数－余数）÷商
【典型例题】
例1：（）÷7＝6......4 （）÷5＝8 (1)
75÷（）＝8......3 51÷（）＝5 (6)
例2：求下列算式中最大、最小的被除数
（1）（）÷10＝6……（）（）÷6＝9……（）
例3：同学们到敬老院看望孤寡老人，带去了一些桔子，如果每人分4个，可以分给9个老人，还剩下3个。
他们共带去了多少个桔子？
例4：找出下列图形的排列规律，根据规律求出第20个图形是什么？
（1）⊿★★⊿★★⊿★★⊿★★……
（2）〇▽★〇▽★〇▽★〇▽★……
例5：一列数按2、3、1、1、2、3、1、1，……的顺序排列。
问：（1）第38个数是几？（2）这38个数的和是多少？
【思维训练】
1、填空：
（1）（）÷4＝9......3 （2）（）÷7＝5 (6)
（3）（）÷9＝8......4 （4）64÷（）＝8 (5)
（5）77÷（）＝8......5 （6）88÷（）＝9 (7)
2、求下列算式中最大、最小的被除数
（1）（）÷9＝8……（）
（2）（）÷11＝10……（）
（3）（）÷6＝9……（）
3、学校要做一些大红花搞庆典活动，共分10个小组做，每组做了9朵后还差
60朵。
学校共要做大红花多少朵？
4、要把52个苹果分给几个小朋友，如果每个小朋友分7个就差4个。
共有几
个小朋友？
5、一串珠子，按“1红，2黄，3绿”的顺序排列，那么第34颗是什么颜色？
第57颗呢？
6、一排字按“我们爱科学我们爱科学……”的顺序依次排列，第47个字是什
么?第50个字呢？
7、一列数字按1、2、1、4、1、2、1、4、1，……的顺序排列。
（1）第54个数
字是几？（2）这54个数字的和是多少？
8、一列数字按3、2、1、2、3、2、1、2，……的顺序排列。
（1）第39个数字
是几？（2）这39个数字的和是多少？
9、一列数字按2、3、2、1、1、2、3、2、1、1，……的规律排列。
（1）第48
个数字是几？（2）这48个数字的和是多少？。