2020年中考数学复习冲刺几何提升----第8讲费马点最值模型(解析版

中考数学几何模型8：费马点最值模型TH 名师点睛拨开云雾开门见山

费马尔问题思考：

如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

当B、P、Q、E四点共线时取得最小值

费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的：

1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；

2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点的性质：费马点有如下主要性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

=

BP AP CP BP PQ QE BE

++++≥

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值快速求解：

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

秘诀：以△ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值

典题探究 启迪思维 探究重点

例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°. 求证：GA+GB+GC 的值最小. 证明：将△BGC 逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB ≌△CPD ； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD. ∵ ∠GCP=60°, ∴ ∠BCD=60°,

∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。 ∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°. ∴ A 、G 、P 三点一线。 ∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°. ∴ G 、P 、D 三点一线。

∴ AG 、GP 、PD 三条线段同在一条直线上。 ∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点

变式练习>>>

1．如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.

解：将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60°得到''BP C ∆， 易知'BPP ∆为等边三角形.

从而''''PA PB PC PA PP P C AC ++=++≥ （两点之间线段最短），从而3t ≥.

过P 作BC 的平行线分别交AB AC 、于点M N 、， 易知MN AN AM ==.

因为在BMP ∆和PNC ∆中， PB MP BM <+①， PC PN NC <+②。

又APM ANM AMN ∠>∠=∠，所以PA AM <③. ①+②+③可得

()()()12t AM BM MP NP NC AB MN NC AN NC <++++=++=++=，

即2t <.综上，t PA PB PC =++的取值范围为32t ≤<.

例题2. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为26+，求正方形的边长．

解 如图2，连接AC ，把△AEC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△GFC ，连接EF 、BG 、A G ，

可知△EFC 、△AGC 都是等边三角形，则EF =CE ．又FG =AE ， ∴AE +BE +CE = BE +EF +FG ．

∵ 点B 、点G 为定点（G 为点A 绕C 点顺时针旋转60°所得）．

∴ 线段BG 即为点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值，此时E 、F 两点都在BG 上． 设正方形的边长为a ，那么 BO =CO =

2

2

a ，GC =2a , GO =6a ． ∴ BG=BO +GO =

2

a +6a ． ∵ 点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为26+．

∴

2

a +6a =26+，解得a =2． 注 本题旋转△AEB 、△BEC 也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试．

变式练习>>>

2．若P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC =60°，P A =3，PC =4, 求PB 的值.

例题3. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．

600m

1000m D

A

C

P

B H

【解答】3

500

600 ，线段A1E为最短．

变式练习>>>

3．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD ，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C 两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道P A，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）

连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，

由（2）知，当M，P ，P′，D′在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D′N，

∵M在BC上，

∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值，

设D′M交AD于E，

∵△ADD′是等边三角形，

∴EM＝AB ＝500，

∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣，

∴D′E＝AD＝400，

∴D′M＝400+500，

∴最少费用为10000×（400+500）＝1000000（4+5）元；

∴M建在BC中点（BM＝400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣）米处，最少费用为1000000（4+5）元．

例题4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD＝AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．

P1

E

A1

P