2014~2015学年度 北京市海淀区高三期末练习(二模)数学文试题及答案

海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（文）答案及评分参考 2015.5
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）D （3）A （4）C
（5）D （6）C （7）B （8）C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分）
（9）24y x =- （10）1 （11）12
π- （12）,2.4
αβπ⎧=⎪⎪⎨π⎪=-⎪⎩ （13）3-，327e y -=-
（14）假，由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是212+374=586，这与④矛盾
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分） 解：（Ⅰ）πππ113()4sin
cos 4663222
f =-=⨯-=. ………………4分 （Ⅱ）因为 ()4sin cos 2f x x x =- 24sin (12sin )x x =-- ………………6分
22sin 4sin 1x x =+-
22(sin 1)3x =+-. ………………8分
因为 1sin 1x -≤≤，
所以 当sin 1x =-，即2,2
x k k π=π-∈Z 时，()f x 取得最小值3-. ………………13分
（16）（共13分）
解.(Ⅰ) 20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，
10，10．所以中位数为8，众数为9． ………………4分
(Ⅱ) 由题意可知，掷距离低于7.0米的男生的得分如下：4，4，4，6，6，6.这6名男生分别记为
123123,,,,,A A A B B B .从这6名男生中随机抽取2名男生，所有可能的结果有15种，它们是：
121311121323212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A B A B A B A A A B A B A B ，
313233121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B B B B B B B . ………………6分
用C 表示“抽取的2名男生得分均为4分”这一事件，则C 中的结果有3个，它们是：
121323(,),(,),(,)A A A A A A . ………………8分 所以，所求得概率31()155
P C ==. ………………9分 (Ⅲ)略. ………………13分
评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行
合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在
该项目的训练提出合理建议.
（17）（共14分）
（Ⅰ）解：四棱准P ABCD -的正视图如图所示.
………………3分
（Ⅱ）证明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
所以 PD AD ⊥. ………………5分
因为 AD DC ⊥，PD CD D =，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，
所以AD ⊥平面PCD . ………………7分
因为 AD ⊂平面PAD ，
所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分
（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得
12
PE EB =.下证//AE 平面PCD .
………………10分
因为 //AD BC ，3BC AD =，
所以
13OA AD OB BC ==，即12
OA AB =. 所以 OA PE AB EB
=. 所以 //AE OP . ………………12分
因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ， 所以 //AE 平面PCD . ………………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 1222n n n a -=⨯=. ………………2分
所以 222log 2log 22n n n b a n ===. ………………3分
所以 2(22)24+22
n n n S n n n +=++==+. ………………6分 （Ⅱ）令2(1)22n n n n n S n n n n c a ++===. 则11111(1)(2)(1)(1)(2)222
n n n n n n n n n S S n n n n n n c c a a +++++++++--=-=-=. ………………9分 所以 当1n =时，12c c <；
当2n =时，32c c =；
当3n ≥时，10n n c c +-<，即345c c c >>>
. 所以 数列{}n c 中最大项为2c 和3c .
所以 存在2k =或3，使得对任意的正整数n ，都有k n k n S S a a ≥. ………………13分 （19）（共13分）
解：（Ⅰ）'()1,0.a a x f x x x x
-=-=> ………………2分 当0a <时，对(0,)x ∀∈+∞，'()0f x <，所以 ()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；
………………4分
O E D C B A P
当0a >时，令'()0f x =，得x a =.
因为 (0,)x a ∈时，'()0f x >；(,)x a ∈+∞时，'()0f x <.
所以 ()f x 的单调递增区间为(0,)a ，单调递减区间为(,)a +∞. ………………6分
（Ⅱ）用max min (),()f x f x 分别表示函数()f x 在[1,e]上的最大值，最小值.
当1a ≤，且0a ≠时，由（Ⅰ）知：在[1,e]上，()f x 是减函数.
所以 max ()(1)1f x f ==.
因为 对任意的1[1,e]x ∈，2[1,e]x ∈， 12()()2(1)24f x f x f +≤=<，
所以对任意的1[1,e]x ∈，不存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=. ………………8分
当1e a <<时，由（Ⅰ）知：在[1,]a 上，()f x 是增函数，在[,e]a 上，()f x 是减函数.
所以 max ()()ln 2f x f a a a a ==-+.
因为 对11x =，2[1,e]x ∀∈，
2(1)()(1)()1ln 2(ln 1)33f f x f f a a a a a a +≤+=+-+=-+<，
所以 对11[1,e]x =∈，不存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=. ………………10分
当e a ≥时，令()4()([1,e])g x f x x =-∈.
由（Ⅰ）知：在[1,e]上，()f x 是增函数，进而知()g x 是减函数.
所以 min ()(1)1f x f ==,max ()(e)e 2f x f a ==-+，
max ()(1)4(1)g x g f ==-，min ()(e)4(e)g x g f ==-.
因为 对任意的1[1,e]x ∈，总存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=，即12()()f x g x =，
所以 (1)(e),(e)(1),f g f g ≥⎧⎨≤⎩即(1)(e)4,(e)(1) 4.
f f f f +≥⎧⎨+≤⎩
所以 (1)(e)e 34f f a +=-+=，解得e 1a =+. ………………13分
综上所述，实数a 的值为e 1+.
（20）（共14分）
（Ⅰ）解：点10M （,）是椭圆C 的“1分点”，理由如下： ………………1分
当直线l 的方程为1x =时，由2114y +=可得33(1,),(1,)22
A B -.（不妨假设点A 在x 轴的上方） 所以 13=13=22AOB S ∆⨯⨯，133=2=222
AOD S ∆⨯⨯. 所以AOB AOD S S ∆∆=，即点10M （,）是椭圆C 的“1分点”. ………………4分
（Ⅱ）证明：假设点M 为椭圆C 的“2分点”，则存在过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，
使得2AOB AOD S S ∆∆=.
显然直线l 不与y 轴垂直，设:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y . 由2
21,41x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得 22(4)230m y my ++-=.
所以 12224m y y m -+=+， ① 12234
y y m -=+. ② ………………6分 因为 2AOB AOD S S ∆∆=，
所以 12111(||||)22||22
y y y +=⋅⋅，即21||3||y y =. ………………8分 由②可知120y y <，所以213y y =-. ③
将③代入①中得 124
m y m =
+, ④ 将③代入②中得21214y m =+, ⑤ 将④代入⑤中得 2
214
m m =+，无解. 所以 点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”. ………………10分
（Ⅲ）0x 的取值范围为(2,1)
(1,2)--. ………………14分。