一类整系数Riccati微分方程特解的求法(1)
一类指数型函数Riccati微分方程通解的求法
一类指数型函数Riccati微分方程通解的求法
王建锋;李先枝
【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(015)004
【摘要】讨论一类系数为指数函数的Riccati微分方程，得到了此类方程通解的一些求法，并给出其相关的应用．%The Riccati differential equations, a coefficient of which is exponential function, are discussed. Several general solutions are derived. The related applications are also addressed.
【总页数】2页(P49-50)
【作者】王建锋;李先枝
【作者单位】郑州师范学院数学系,郑州450044;郑州师范学院数学系,郑州450044
【正文语种】中文
【中图分类】O175.5
【相关文献】
1.一类Riccati微分方程通解的充要条件 [J], 陈冬君;叶永升;王慧;刘婉璐
2.一类特殊Riccati微分方程的通解公式 [J], 李松桦;张泽川
3.一类指数型函数Riccati微分方程特解的存在条件及应用 [J], 平根建;王明建
4.一类对数型函数Riccati微分方程特解的存在条件及应用 [J], 王建锋;王明建
5.一类Riccati微分方程通解的充要条件 [J], 陈冬君; 叶永升; 王慧; 刘婉璐
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世界著名难题黎卡提(Riccati)方程的解法
世界著名难题黎卡提(Riccati)方程的解法林文业湛江公路工程大队 邮编:52400 电话0668-8322239摘要: 对于黎卡提(Riccati)方程)()()(/2x r y x q y x p dx dy ++=,本文先将其化为二阶线性微分方程,再由《关于高阶线性微分方程的一般解法》(2000年《湛江师范学报.增刊》发表)提供的方法,求得通解。
关键词: 黎卡提(Riccati)方程；通解 一. 方程的线性化及求解对于黎卡提(Riccati)方程 )()()(/2x r y x q y x p dx dy ++= (1.1) 其中)(x p 在[]b a ,上一阶可导,且0)(≠x p ,)(x q 、)(x r 在[]b a ,上连续, a 、b 为实数。
设Y x f y )(=，0)(≠x f ，则(1.1)化为)()()()()()()()(2x f x r Y x f x f x f x q Y x f x p Y +'-+=' (1.2) 令)(1)(x p x f =,则(1.2)为 )()()()()()(2x r x p Y x p x p x q x p Y Y +'++=' 设)()()()()(x p x p x q x p x g '+=,)()()(x r x p x h =,则上式变为 )()(2x h Y x g Y Y ++=' (1.3) 设zz Y '-=(0≠z ),则(1.3)化为 z x h z x g z )()(-'='' (1.4) 令j x i z )(=,0)(≠x i ,则(1.4)化为j x i x i x i x h x i x g j x i x i x i x g j )()()()()()()()(2)()(''--'+''-='' (1.5) 令 0)(2)()(='-x i x i x g , (1.6) 则(1.4)化为j x i x i x i x h x i x g j )()()()()()(''--'='' 简记为j x k j )(='' 其中)()()()()()()(x i x i x i x h x i x g x k ''--'=(1.7)解(1.6),得 ⎰=dx x g e x i )(21)( 代入(1.7),得())(21)()(41)(2x g x h x g x k '--= (1.8) 由《关于高阶线性微分方程的一般解法》(2000年《湛江师范学报.增刊》发表)提供的方法,求得微分方程j x k j )(=''的通解为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x a x a x a m x a x a x a x a m x a dx j x k dx dx x x k x k dx x x k x C dx j x k dx dx x k x k dx x k C x j 2)1(2222222222)1(122222221)()()()()()()()()()()())(()())((1)(其中)()()()()()(21)()()()(41)(2x r x p x p x p x q x p x p x p x q x p x k -'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=,[]b a x ,∈, 1C ,2C 为任意常数。
连续时间代数riccati方程
连续时间代数riccati方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续时间代数Riccati方程是一类重要的微分代数方程，广泛应用于控制理论、动力系统、信号处理等领域。
它可以描述系统状态随时间演化的动态过程，并在实际应用中发挥着重要作用。
本文将介绍连续时间代数Riccati方程的基本概念、求解方法和应用领域。
一、基本概念连续时间代数Riccati方程是一种特殊的矩阵微分方程，定义如下：\dot{P}(t) = -A^T P(t) - P(t)A - P(t)B R^{-1} B^T P(t) + QP(t)是一个对称矩阵，称为Riccati方程的解；A、B、R、Q分别是给定的矩阵，分别代表系统的状态矩阵、输入矩阵、状态-输入权重矩阵和状态-状态权重矩阵。
连续时间代数Riccati方程的特点在于，它不仅包含了状态矩阵的演化动态，还考虑了系统输入和权重矩阵对系统状态的影响。
Riccati 方程可以描述系统在连续时间下的状态演化规律，是控制理论中的重要工具。
二、求解方法对于一般的连续时间代数Riccati方程，其解并不容易求解。
针对特定情况下的Riccati方程，可以采用不同的方法进行求解。
常用的求解方法包括：1. Lyapunov方程法：将Riccati方程转化为Lyapunov方程进行求解；2. 反应敏感性法：通过求解线性化的Riccati方程，然后利用反应敏感性理论进行逼近求解；3. 近似法：将Riccati方程展开成级数，通过截断级数求解近似解。
这些方法在实际应用中都有其适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
三、应用领域连续时间代数Riccati方程在控制理论、动力系统、信号处理等领域有着广泛的应用。
一些典型的应用包括：1. 线性二次型控制：Riccati方程是线性二次型控制理论的核心工具，用于设计最优控制器，实现控制系统的性能优化；2. 动态系统稳定性分析：通过求解Riccati方程，可以分析系统的稳定性和受控性，评估系统的运动特性；3. 鲁棒控制设计：Riccati方程在鲁棒控制设计中起着重要作用，可以设计具有鲁棒性能的控制器。
微分方程怎么求特解
微分方程怎么求特解一、引言微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学和工程技术中。
在解微分方程时，我们常常需要找到特解，以满足特定的条件。
本文将介绍如何求解微分方程的特解，并提供一些常见的求解方法和技巧。
二、常见的求解方法1. 变量分离法变量分离法是求解微分方程的常用方法之一。
对于形如f(x,y)dx+g(x,y)dy=0的微分方程，我们可以尝试将f(x,y)和g(x,y)分别移到方程的两边，然后对两边同时积分，得到一个常数解。
这样就完成了变量的分离，从而得到特解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程，其中M(x,y)和N(x,y)是齐次函数。
我们可以令y=ux，然后将原方程进行替换和整理，最后得到一个可分离变量的微分方程。
通过变量分离法的求解步骤，我们可以得到特解。
3. 一阶线性微分方程法+P(x)y=Q(x)。
我们可以使用积分因子的方一阶线性微分方程的一般形式为dydx法来求解该方程。
首先确定积分因子μ(x)，然后将方程两边同时乘以μ(x)，再进行整理和积分，最后得到特解。
4. 变量替换法变量替换法是解决一些特殊类型微分方程的有效方法。
通过适当的变量替换，可以将原微分方程转化为更简单的形式。
例如，对于形如y′=f(x,y)的微分方程，我们可以进行变量替换u=y，然后对方程进行整理和求解。
5. 常数变易法常数变易法是解决二阶齐次线性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0的一种常用方法。
我们可以尝试假设y=u(x)e mx，其中m是待定的常数，然后对方程进行替换和整理，最后得到一个与u(x)相关的微分方程。
通过求解该微分方程，我们可以得到特解。
三、求解微分方程的步骤要求解微分方程的特解，通常可以按照以下步骤进行：1.根据微分方程的类型，选择适当的求解方法。
可以参考前文提到的常见求解方法。
2.根据微分方程的形式，进行适当的变量替换或变量分离。
riccati方程推导
riccati方程推导我们来了解一下Riccati方程的背景。
Riccati方程最早出现在动力学中，用于描述运动物体的加速度与速度之间的关系。
随着时间的推移，研究者们发现Riccati方程不仅可以描述运动问题，还可以用于解决其他领域的非线性问题。
因此，Riccati方程逐渐成为数学领域的研究热点之一。
Riccati方程的特点在于它是一类非线性微分方程。
一般而言，Riccati方程的形式为：\[y'(x) = q(x) + p(x)y(x) + y^2(x)\]其中，y(x)是未知函数，q(x)和p(x)是已知函数。
Riccati方程的非线性项y^2(x)使得方程的求解变得困难，因此研究者们一直致力于寻找解析解或近似解的方法。
对于Riccati方程的求解方法，目前已经发展出了多种方法。
其中一种常用的方法是通过变换将Riccati方程转化为线性微分方程。
通过适当的变换，可以将Riccati方程转化为二阶线性微分方程，从而利用线性微分方程的求解方法来求解Riccati方程。
Riccati方程还可以通过数值方法进行求解。
数值方法是一种通过数值计算来近似求解微分方程的方法。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以将Riccati方程离散化，然后通过迭代计算来逼近方程的解。
除了数值方法，Riccati方程还在控制系统中得到了广泛的应用。
控制系统是一种通过对系统的输入进行调节，使系统输出达到期望值的技术。
在控制系统中，Riccati方程可以用来描述最优控制问题。
通过求解Riccati方程，可以得到最优控制器的参数，从而实现对系统的最优控制。
Riccati方程还在量子力学中发挥了重要作用。
量子力学是一种描述微观粒子行为的理论。
在量子力学中，Riccati方程可以用来描述量子系统的演化。
通过求解Riccati方程，可以得到量子系统的波函数，从而研究系统的性质和行为。
Riccati方程是一类非线性微分方程，具有广泛的应用价值。
代数 riccati 方程 (are) 的唯一正定解
代数riccati 方程(are) 的唯一正定解
代数Riccati 方程是一类特殊的微分方程，其形式为：
dx/dt = ax + bx^2 + c
其中a、b、c 为常数。
要求解这个方程的唯一正定解，我们可以采用以下方法：
1. 首先，根据线性微分方程的解法，我们可以将原方程转化为特征方程的形式：
x'' + bx + c = 0
2. 求解特征方程，得到特征根。
设特征根为λ_1、λ_2（假设有两个不同的特征根），则有：
x_1 = e^(λ_1 t)
x_2 = e^(λ_2 t)
3. 由于要求正定解，我们需要找到满足条件的解。
根据代数Riccati 方程的性质，唯一正定解可以通过以下公式得到：
x = x_1 + x_2 = e^(λ_1 t) + e^(λ_2 t)
4. 为了得到具体的解，我们需要知道特征根λ_1 和λ_2 的值。
根据特征方程，我们可以使用求根公式求得：
λ_1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2
λ_2 = (-b -√(b^2 - 4ac)) / 2
5. 最后，将λ_1 和λ_2 代入公式x = e^(λ_1 t) + e^(λ_2 t)，即可得到代数Riccati 方程的唯一正定解。
需要注意的是，在实际求解过程中，我们需要确保b^2 - 4ac > 0，以保证方程有实数解。
此外，根据实际问题的需求，我们可能需要对解进行适当的初始条件设置，以满足特定场景的要求。
一类指数型函数Riccati微分方程特解的存在条件及应用
众所周知 ， 一阶非线性 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 微分方程
， ｕ １． ，
＿
Ｚ＝ Ｐ （ ） Ｙ ＋Ｑ（ ） Ｙ＋ Ｒ（ ）
（ １ ）
ｕｘ ，
（ 其中 Ｐ （ ｘ） 、 Ｑ （ ） 和Ｒ （ ｘ ） 都是定义域 Ｄ上的连续可微函数 ， 且Ｐ （ ） Ｒ （ ） ≠ ０ ） 一般没有初等积 分解法¨ ， 求通解 的途径是 ： 如果预先知道方程（ １ ） 的一个特解 Ｙ 。 ， 再利用初等变换 Ｙ ： ＋ Ｙ ０ ， 使之变为 Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 方程再求解 ， 然而求方程（ １ ） 一个特解 的难度并不亚于求其完整的通解． 文［ １ ］ 给出了一 类指数函数系数 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 微分方程 的特解或通解的求法 ， 但所述结论并不全面． 本文从另一角度出发 ， 利 用初等的方法 ， 讨论了一类系数为指数函数型的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程的特解或通解的求法 ， 并说 明文［ １ ］ 的结论
（ １ ． 郑 州职业技术 学院 基础教 育处， 郑州 ４ ５ ０ １ ２ １ ； ２ ． 郑州师范学院 数 学与统计 学院 ， 郑州４ ５ ０ ０ ４ ４ ）
摘
要： 对于一类系数为指数型函数的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 微分方程 Ｙ ＝ Ｐ （ ｘ ） ｆ＋ Ｑ （ ｘ ） ｙ ＋ 尺 （ ） ， 当尸 （ ） 、 Ｑ （ ）
第ｌ ６卷 第 ２期
２ ０ １ ３年 ４月
西安文理 学院学报 ： 自然科 学版 Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｘ ｉ ’ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ａ ｒ ｔ ｓ＆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ （ Ｎ ａ ｔ Ｓ ｃ ｉ Ｅ ｄ ）
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｗｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ａ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｙ ＝Ｐ（ ） Ｙ ＋Ｑ（ ） Ｙ＋ Ｒ（ ） ｗ ｈ ｅ ｎ Ｐ（ ） 、 Ｑ（ ）ａ ｎ ｄ Ｒ（ Ｘ ）ａ ｒ ｅ ｅ ｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｔ ｙ ｐ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｉ ｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ —
riccati方程及其幂级数解法
riccati方程及其幂级数解法拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程是一类常微分方程，其表达形式为：$$y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x)$$其中，a(x), b(x), c(x)为连续函数，y'表示对y的导数。
拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程在物理、化学和数学等领域有着重要的应用，其解可以用幂级数的方法求解。
幂级数的定义是：若存在一系列常数$a_0$,$a_1$,$a_2$,...,$a_n$，则有：$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$这可以看作一种特殊的函数，称为幂级数。
设$y=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n$，将$y$代入Riccati方程，可以得到：$$\sum_{n=0}^\inftyb_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$$$\sum_{n=1}^\inftynb_nx^{n-1}=a_0x+2a_1x^2+3a_2x^3+...+na_nx^n$$将上面两式相减，得：$$\sum_{n=1}^\infty (nb_n-a_n)x^{n-1}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+(n-1)a_{n-1}x^{n-1}$$令$nb_n-a_n=0$，从而得到：$$b_n=\frac{a_n}{n}$$由此得到：$$y=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n}x^n$$这样，就可以通过幂级数方法求解Riccati方程。
拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程在物理、化学和数学等领域有着重要的应用，它的解可以用幂级数的方法求解，具体的求解过程为：首先将$y$代入Riccati方程，然后将两式相减，令$nb_n-a_n=0$，得到$b_n=\frac{a_n}{n}$，最后得到：$y=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n}x^n$，这样就可以求出Riccati方程的解。
riccati方程解法
Riccati方程的解法有多种，其中包括变量替换法、数值方法和初等积分法等。
1.变量替换法：将Riccati方程转化为线性二阶常微分方程。
例如，通过变换
y = -v'/v，可以将Riccati方程转化为二阶常微分方程v'' - (b - 1/2)v + (c - 1/4)v^3 = 0。
然后，可以使用常见的线性二阶常微分方程的解法来求解。
2.数值方法：使用数值方法求解Riccati方程。
数值方法可以通过将微分方程
转化为差分方程，然后使用数值迭代方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法等）进行逐步计算来获得数值解。
3.初等积分法：如果知道Riccati方程的一个特解，可以使用初等积分方法求
出通解。
设Riccati方程一个特解y∗=y1，令y=z+y1，则Riccati方程转化为dzdx=[2P(x)y1+Q(x)]z+P(x)z2。
这是一个伯努利方程，可求出通解，再代入y=z+y1即可。
以上是Riccati方程的三种常见解法，可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
如何求解微分方程的特解？
如何求解微分方程的特解？如何求解微分方程的特解？在数学领域中，微分方程是研究变量之间的关系的重要工具。
它们被广泛应用于物理学、工程学和其他科学领域中，用于描述自然界中的各种现象和过程。
微分方程的求解是解析数学和应用数学中一个核心的研究方向。
在本文中，我们将探讨如何求解微分方程的特解，并深入了解一些重要的方法和原理。
首先，让我们回顾一下微分方程的基本定义。
微分方程是包含一个未知函数及其导数的方程。
它的一般形式可以表示为：dy/dx = f(x)其中，y是未知函数，f(x)是已知函数。
求解微分方程的特解就是要找到满足该方程的特定函数。
为了求解微分方程，我们通常需要掌握以下几种常用的方法和技巧：1. 分离变量法：对于可以表示为dy/dx = g(x)h(y)的微分方程，可以通过分离变量的方法将其转化为两个独立变量的分离方程，并进行进一步的求解。
2. 常系数线性微分方程：常系数线性微分方程具有形式ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c为常数。
这类微分方程的特解可以通过假设一个形如e^(rt)的解，并代入方程中得到特征方程。
通过求解特征方程的根来得到特解的表达式。
3. 变量可分离的一阶线性微分方程：这种类型的微分方程具有形式dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)都是已知函数。
通过乘以一个适当的积分因子，将方程转化为一个可直接积分得到特解的形式。
4. 齐次微分方程：齐次微分方程具有形式dy/dx = F(y/x)，其中F为已知函数。
通过进行变量代换和分离变量，可以将齐次微分方程转化为一阶线性微分方程，并采用相应的解法求解特解。
5. 变化常数法：对于线性非齐次微分方程，可以通过引入变量变化后的常数的方法，将原方程转化为一个齐次微分方程。
通过求解齐次微分方程的特解，再加上引入的变量变化后的常数值，可以得到原方程的特解。
通过掌握以上求解微分方程的方法，我们可以有效地解决各种复杂的微分方程，并得到特解。
微分方程求特解的公式
微分方程求特解的公式微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。
求解微分方程的特解是解决实际问题的关键步骤之一。
本文将介绍微分方程求特解的公式。
一、一阶线性常微分方程的特解公式对于一阶线性常微分方程形如：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数，则可以得到特解公式为：y = e^(-∫P(x)dx) * [∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + C]，其中C为任意常数。
二、二阶常系数齐次线性微分方程的特解公式对于二阶常系数齐次线性微分方程形如：ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c是已知常数，则可以得到特解公式为：1. 当方程的特征方程有两个不相等的实根r1和r2时，特解公式为：y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为任意常数。
2. 当方程的特征方程有两个相等的实根r1=r2=r时，特解公式为：y = C1e^(rx) + C2xe^(rx)，其中C1和C2为任意常数。
3. 当方程的特征方程有两个共轭复根α±βi时，特解公式为：y = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx))，其中C1和C2为任意常数。
三、二阶非齐次线性微分方程的特解公式对于二阶非齐次线性微分方程形如：ay'' + by' + cy = f(x)，其中a、b、c是已知常数，f(x)是已知函数，则可以得到特解公式为：1. 根据待定系数法，特解形式可以根据f(x)的类型选择。
* 当f(x)是常数时，特解形式为y = k，其中k是常数。
* 当f(x)为多项式时，特解形式为y = P(x)，其中P(x)是与f(x)次数相同的多项式。
* 当f(x)为三角函数时，特解形式为y = A sin(mx) + B cos(mx)，其中A和B 是待定常数，m是f(x)的角频率。
riccati微分方程特解新求法的研究
riccati微分方程特解新求法的研究本文将介绍对于riccati微分方程特解新的求法以及其研究。
riccati微分方程是一类非常重要的微分方程，其有着在控制系统、微分几何、数值分析、天体力学等领域中的广泛应用。
因此，对于它的求解方法有着很高的研究价值。
首先，我们来了解什么是riccati微分方程。
riccati微分方程是具有以下形式的一阶非线性微分方程：$$ y'+A(y)x+By^{\small 2}(x)+C(x)=0 $$其中，$A(y),B(x),C(x)$均是已知函数。
riccati微分方程通常很难求解，但对于它的特解，我们可以采用以下的新方法进行求解。
步骤一：寻找常解$y_1(x)$我们可以对于riccati微分方程的一般解做出假设$y=y_1+\dfrac1u$，其中$y_1$是常解，$u(x)$是待求函数。
将$y_1$代入原方程中，可以得到：$$y'_1+A(x)y_1+B(x)y^2_1+C(x)=0$$移项可得：$$y'_1=-A(x)y_1-B(x)y^2_1-C(x)$$进而，将$y=y_1+\dfrac1u$代入原方程中，我们可以得到：$$u'+A(x)u=-\dfrac{B(x)}{(y_1+\dfrac1u)^2}-C(x)$$这是一个一阶非齐次线性微分方程，利用已知的求解技巧，可以得到$u(x)$的 general solution。
步骤二：求解特解$y_0(x)$将刚才求得的$u(x)$代入$y=y_1+\dfrac1u$中，我们可得到riccati微分方程的特解，即：$$y_0(x)=y_1(x)+\dfrac{1}{u(x)}$$这时，$y_0(x)$就是我们要求的riccati微分方程的特解。
通过这个方法，我们可以比以往更快捷地求得riccati微分方程的特解。
此外，我们还可以将这种方法扩展到高阶riccati微分方程、变系数riccati微分方程以及含有延迟的riccati微分方程中，这样也将大大扩展riccati微分方程的研究广度和深度。
求微分方程满足初始条件的特解
求微分方程满足初始条件的特解对于给定的微分方程，要求解特解，首先需要知道这个微分方程的形式。
下面我将介绍几种常见的微分方程及其求解方法。
1.一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程的一般形式为 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
这类微分方程的解可以通过积分因子法求解。
首先，我们要求解它的通解，然后再根据初始条件，求得特解。
具体的步骤如下：（1）求解齐次方程dy/dx + P(x)y = 0的通解y0(x)；（2）设特解为y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是待定函数；（3）代入原方程并整理，得到一个关于u(x)和v(x)的线性方程；（4）解线性方程得到u(x)和v(x)的关系式，进而求得特解；（5）根据初始条件求系数，并求得特解。
2.二阶线性常微分方程二阶线性常微分方程的一般形式为 d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，其中P(x)、Q(x)和f(x)是已知函数。
这类微分方程的特解可以通过常数变易法或待定系数法求解。
具体的步骤如下：（1）求解齐次方程d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的通解y0(x)；（2）设特解为y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是待定函数；（3）将特解代入原方程并整理，得到一个关于u(x)和v(x)的线性方程；（4）解线性方程得到u(x)和v(x)的关系式，进而求得特解；（5）根据初始条件求系数，并求得特解。
3.可分离变量的一阶常微分方程可分离变量的一阶常微分方程的一般形式为dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是已知函数。
这类微分方程的特解可以通过变量分离法求解。
具体的步骤如下：（1）将方程变形为dy/g(y) = f(x)dx；（2）对两边同时求积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx；（3）求解积分得到y的函数表达式；（4）根据初始条件求系数，并求得特解。
微分方程中的特殊解和边值问题
微分方程中的特殊解和边值问题微分方程是数学中的重要分支之一，它描述了自然界和各种科学领域中许多现象的变化规律。
在求解微分方程的过程中，我们常常遇到特殊解和边值问题。
本文将重点介绍微分方程中的特殊解和边值问题，并探讨它们的求解方法和应用。
一、特殊解在求解微分方程时，我们通常会遇到特殊解。
特殊解是指满足给定边界条件或特定形式的解。
特殊解的求解方法有多种，下面我们将介绍其中两种常见的方法。
1. 常数特解对于一些特定的微分方程，我们可以通过设定特定的解形式来求得特殊解。
例如，对于一阶线性常微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，如果右侧Q(x)为常数C，我们可以猜测特殊解为y = A（其中A为常数）。
将这个猜测代入微分方程中，我们可以求解得到A的值，从而得到特殊解。
2. 变量变换法变量变换法是一种常用的求解微分方程的方法，通过引入新的变量来简化微分方程的形式。
例如，对于一阶非齐次线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以通过引入新的变量u = e^(∫P(x)dx)来将其转化为齐次线性微分方程dy/du + Q(x)u = 0。
然后，我们可以使用常数变易法或其他方法求解齐次线性微分方程，最后再通过逆变换得到原微分方程的特殊解。
二、边值问题边值问题是指在微分方程的求解过程中，给定一些边界条件，要求求解满足这些边界条件的特殊解。
边值问题在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
下面我们将介绍两类常见的边值问题及其求解方法。
1. 自由边值问题自由边值问题是指在求解微分方程时，给定方程的边界条件是自由的，即不受特定数值限制。
例如，对于二阶线性微分方程d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，给定自由边界条件y(a) = b，y(b) = c（其中a、b、c为常数），我们需要求解满足这些边界条件的特殊解。
对于这类问题，我们可以使用常数变易法或其他方法求解微分方程，然后根据边界条件确定特殊解的形式。
一类黎卡提方程的求解
一类黎卡提方程的求解一类黎卡提方程是一种常见的微分方程，它可以用来描述物理系统中的动力学过程。
它的求解是一个重要的数学问题，也是研究物理系统的重要工具。
一类黎卡提方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=f(x)$$其中，$y$是未知函数，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$f(x)$是右端项函数。
一类黎卡提方程的求解可以分为两种方法：一种是通过积分法求解，另一种是通过特殊函数求解。
积分法求解一类黎卡提方程的基本思想是：将方程化为一个积分方程，然后用积分的方法求解。
首先，将方程化为一个积分方程：$$\int_{x_0}^x p(t)y(t)dt+\int_{x_0}^x q(t)y(t)dt=\int_{x_0}^x f(t)dt$$其中，$x_0$是一个已知的常数，$p(t)$和$q(t)$是已知函数，$f(t)$是右端项函数。
接下来，用积分的方法求解积分方程，即：$$y(x)=e^{-\int_{x_0}^x q(t)dt}\left[\int_{x_0}^x e^{\int_{x_0}^t q(s)ds}f(t)dt+C\right]$$其中，$C$是一个常数，可以通过边界条件确定。
另一种求解一类黎卡提方程的方法是通过特殊函数求解。
特殊函数求解的基本思想是：将方程化为一个特殊函数方程，然后用特殊函数的性质求解。
首先，将方程化为一个特殊函数方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=f(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$f(x)$是右端项函数。
接下来，用特殊函数的性质求解特殊函数方程，即：$$y(x)=e^{\int_{x_0}^x p(t)dt}\left[\int_{x_0}^x e^{-\int_{x_0}^t p(s)ds}f(t)dt+C\right]$$其中，$C$是一个常数，可以通过边界条件确定。
一类riccati方程的可解的条件
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ ２４一类Ｒｉｃｃａｔｉ方程的可解的条件一类Ｒｉｃｃａｔｉ方程的可解的条件Һ宋华兵㊀(肇庆学院数学学院ꎬ广东㊀肇庆㊀５２６０６１)㊀㊀ʌ摘要ɔ本文讨论了Ｒｉｃｃａｔｉ方程在特定约束条件下ꎬ转化为可解的微分方程ꎬ得到方程的特解ꎬ并通过变换得到其通解ꎬ从而丰富了Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解方法.ʌ关键词ɔＲｉｃｃａｔｉ方程ꎻ约束条件ꎻ求解方法一㊁引㊀言Ｒｉｃｃａｔｉ方程的一般形式如下ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ２＋Ｑ(ｘ)ｙ＋Ｒ(ｘ)ꎬ(１)其中ꎬＰ(ｘ)ꎬＱ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)为区间[ａꎬｂ]上的连续可微函数ꎬ且Ｐ(ｘ)ʂ０ꎬ１８４１年法国数学家Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ证明此方程没有初等解法ꎬ但如果满足可积的充分条件[６]ꎬ求得Ｒｉｃｃａｔｉ方程的一个特解[２ꎬ３]ꎬ则可以通过变换得到其通解[４ꎬ５]ꎬ由于Ｒｉｃｃａｔｉ方程在控制[６]及非线性方程[７]领域具有重要应用ꎬ对Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解可提高其应用价值.本文介绍了一种新的Ｒｉｃｃａｔｉ方程约束条件ꎬ并得到一类Ｒｉｃｃａｔｉ方程的解.二㊁主要结论及求解过程对式(１)的Ｒｉｃｃａｔｉ方程ꎬ若Ｑ(ｘ)可表示成形如Ｑ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)φ(ｘ)的格式ꎬ其中φ(ｘ)Ｐ(ｘ)为[ａꎬｂ]上的连续可微函数ꎬ则方程(１)便有如下形式:ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ２＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ)ｙ＋Ｒ(ｘ)ꎬ(２)可写成:ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ[ｙ＋φ(ｘ)]＋Ｒ(ｘ).因为ｙ(ｘ)ꎬＰ(ｘ)ꎬφ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)皆为关于ｘ的函数ꎬ若令ｙ＋φ(ｘ)＝１ꎬ(３)则有ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ＋Ｒ(ｘ)ꎬ有解ｙ~＝ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬ将其代入式(３)得:φ(ｘ)＝１－ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬ(４)Ｑ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)φ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)(１－ｙ~)＝Ｐ(ｘ)－Ｐ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬ(５)其中ꎬＣ为任意常数.结论１㊀对形如(２)式的Ｒｉｃｃａｔｉ方程ꎬ当Ｐ(ｘ)ꎬφ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)满足条件(４)时ꎬ方程(２)有形如ｙ~＝ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)的特解ꎬ其中ꎬＣ为任意常数.此时ꎬ设ｙ(ｘ)＝ｚ(ｘ)＋ｙ~(ｘ)为方程(２)的解ꎬ则有ｄｙｄｘ＝ｄｚｄｘ＋ｄｙ~ｄｘ＝Ｐ(ｘ)(ｚ＋ｙ~)２＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ)(ｚ＋ｙ~)＋Ｒ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋(２Ｐ(ｘ)ｙ~＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ))ｚ＋Ｐ(ｘ)ｙ~２＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ)ｙ~＋Ｒ(ｘ)ꎬ可得伯努利方程:ｄｚｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋(２Ｐ(ｘ)ｙ~＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ))ｚ＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋Ｐ(ｘ)(２ｙ~＋φ(ｘ))ｚ.由式(３)得ｄｚｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｚ.(６)令ｕ＝ｚ－１ꎬ有ｄｕｄｘ＝－１ｚ２ｄｚｄｘꎬ则ꎬ式(６)可化为ｄｕｄｘ＝－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｕ－Ｐ(ｘ)ꎬ有解ｕ＝ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)ꎬ其中ꎬＣ~为任意常数.ｚ＝１ｕ＝１ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)ꎬｙ＝ｚ＋ｙ~＝１ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)＋ｙ~.(７)结论２㊀如果Ｒｉｃｃａｔｉ方程中的Ｐ(ｘ)ꎬＱ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)满足条件(４)ꎬ则方程(２)的通解为:ｙ＝ｚ＋ｙ~＝１ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)＋ｙ~ꎬ其中ꎬｙ~＝ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬＣꎬＣ~为任意常数.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ ２４三㊁应用举例例１㊀当Ｐ(ｘ)＝１ꎬＲ(ｘ)＝１时ꎬφ(ｘ)＝２－ｃｅｘꎬ验证ｙ＝ｃｅｘ－１为方程ｄｙｄｘ＝ｙ２＋(２－ｃｅｘ)ｙ＋１的一个特解.证㊀方程左边ꎬｄｙｄｘ＝ｃｅｘꎬ右边＝ｙ２＋(２－ｃｅｘ)ｙ＋１＝(ｃｅｘ－１)２＋(２－ｃｅｘ)(ｃｅｘ－１)＋１＝ｃｅｘꎬ方程两边相等ꎬ证毕.例２㊀求ｄｙｄｘ＝ｘｙ２＋ｘ(１－ｅｘ２２ʏｅ－ｘ２２ｄｘ－ｅｘ２２)ｙ＋１的解.解㊀因为Ｐ(ｘ)＝ｘꎬＲ(ｘ)＝１ꎬＱ(ｘ)＝ｘ１－ｅｘ２２ʏｅ－ｘ２２ｄｘ－ｅｘ２２()满足条件(４)ꎬ由结论１ꎬ原方程有特解:ｙ~＝ｅｘ２２ʏｅ－ｘ２２ｄｘｄｘ＋ｅｘ２２ꎬ由结论２ꎬ原方程的通解为:ｙ＝１ｅʏ－ｘ(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏｘｅʏｘ(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)＋ｙ~ꎬ其中ꎬＣ~为任意常数.ʌ参考文献ɔ[１]李天林.黎卡提方程可积的一个充分条件[Ｊ].数学通报ꎬ１９９１(５):４０－４１.[２]王明建.Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程特解新求法的研究[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２００６(７):３８２－３８６.[３]保继光.Ｒｉｃｃａｔｉ方程的特解[Ｊ].数学通报ꎬ２０００(１０):４１－４２.[４]张玮玮.一类特殊类型的Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解[Ｊ].安庆师范学院学报(自然科学版)ꎬ２０１５(２):１１０－１１１.[５]贾庆菊ꎬ冯文俊ꎬ武跃祥.某些黎卡蒂(Ｒｉｃｃａｔｉ)方程的解[Ｊ].中央民族大学学报(自然科学版)ꎬ２０１３(１):４８－５１.[６]ＲｏｇｅｒｓＣꎬＳｃｈｉｅｆＷＫ.ＢａｃｋｌｕｎｄａｎｄＤａｒｂｏｕｘＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＧｅｏｍｅｔｒｙａｎｄＭｏｄｅｒｎＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎＳｏｌｉｔｏｎｓＴｈｅｏｒｙ[Ｍ].Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ:ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓꎬ２００２.[７]ＲｉｃｈａｒｄＤａｖｉｅｓꎬＰｅｎｇｓｈｉａｎｄＲｏｎＷｉｌｔｓｈｉｒｅ.Ｎｅｗｕｐｐｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎｂｏｕｎｄｓｆｏｒｐｅｒ－ｔｕｒｂｅｄｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓａｌｇｅｂｒａｉｃＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎｓａｐｐｌｉｅｄｔｏａｕｔｏｍａｔｉｃｃｏｎｔｒｏｌ[Ｊ].ＣｈａｏｓꎬＳｏｌｉｔｏｎｓａｎｄＦｒａｃｔａｌｓꎬ２００７(３２):４８７－４９５.㊀(上接１５页)㊀㊀注意:复合函数求导时ꎬ要由外往里层层应用整体思维进行复合求导ꎬ在此过程中ꎬ把哪个部分看成整体就在右边乘这个整体的导数ꎬ直到最后的那个整体是基本初等函数或简单函数为止.四㊁凑微分法求积分应用整体思维ꎬ可以把积分公式ʏｆ(ｘ)ｄｘ＝Ｆ(ｘ)＋ｃ看成:㊀ʏｆ(Ѳ)ｄѲ＝Ｆ(Ѳ)＋ｃ(这里Ѳ表示一个整体).例６㊀求不定积分ʏｅ２ｘｄｘ.分析㊀把２ｘ看成一个整体ꎬ把微分凑成２ｘꎬ则转化为ʏｅѲｄѲꎬ这是可以直接用积分公式的ꎬ于是有:ʏｅ２ｘｄｘ＝１２ʏｅ２ｘｄ(２ｘ)＝ｅ２ｘ２＋ｃ.例７㊀求不定积分ʏｓｉｎ１ｘｘ２ｄｘ.分析㊀把被积函数看成ｓｉｎ１ｘ和１ｘ２两个部分ꎬ从整体看ꎬ可以把１ｘ２ｄｘ凑成－ｄ１ｘ()ꎬ然后把１ｘ看成一个整体ꎬ可以直接利用积分公式得出结果ꎬ即:ʏｓｉｎ１ｘｘ２ｄｘ＝－ʏｓｉｎ１ｘｄ１ｘ()＝ｃｏｓ１ｘ()＋ｃ.由以上我们可以得出ꎬ利用整体思维解决问题ꎬ一般是三个步骤ꎬ第一步:找准整体对象ꎬ即把哪个部分看成是一个整体ꎻ第二步:进行等值变换ꎬ即把用整体替换后的式子进行等值变换使其与原来的式子相等ꎻ第三步:利用已知的数学结论得出计算结果.ʌ参考文献ɔ[１]柳重堪.高等数学(上册第一分册)[Ｍ].北京:国家开放大学出版社ꎬ１９９９.[２]李林曙ꎬ黎诣远.经济数学基础(微积分)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００４.[３]赵坚ꎬ顾静相.微积分初步[Ｍ].北京:中央广播电视大学出版社ꎬ２００６.[４]曾亮.整体概念在高等数学教学中的应用[Ｊ].高等函授学报(自然科学版)ꎬ２０１０(２):４８－５０.。
微分方程特解设法大全
微分方程特解设法大全
微分方程特解是指对于给定的微分方程，找到满足特定条件的解。
一般来说，微分方程的特解可以通过多种方法来求解，以下是一些常见的方法：
1. 分离变量法，对于一些可以通过变量分离的微分方程，可以使用分离变量法将变量分离后再进行积分求解。
2. 齐次方程的特解，对于齐次微分方程，可以尝试使用变量代换或者特定的方法来求解特解。
3. 一阶线性微分方程的特解，对于一阶线性微分方程，可以使用积分因子法或者直接利用线性微分方程的通解形式来求解特解。
4. 变量代换法，对于一些复杂的微分方程，可以尝试使用适当的变量代换将微分方程化简为更容易求解的形式。
5. 特殊类型微分方程的特解，对于一些特殊类型的微分方程，比如常系数线性微分方程、二阶线性常系数齐次微分方程等，可以使用特定的方法来求解特解。
除了上述方法外，还有一些其他特殊的方法和技巧可以用来求
解微分方程的特解。
在实际应用中，根据具体的微分方程形式和条件，可能需要结合多种方法来求解特解。
同时，对于一些复杂的微
分方程，可能需要借助数值方法或者计算机软件来求解特解。
总之，求解微分方程的特解需要根据具体情况选择合适的方法，并且需要灵活运用数学知识和技巧来进行推导和计算。
希望以上回
答能够全面地解答你的问题。
如何求微分方程的特解
如何求微分方程的特解
微分方程是数学中一个很重要的概念，它描述了一些变量的变化规律。
其中，特解是一个特殊的解，它可以满足一些特定的条件。
那么，如何求微分方程的特解呢？
一般来说，求微分方程的特解有以下几种方法：
1. 常数变易法：通过变换常数的值，得到不同的特解。
这种方法适用于一些特殊的微分方程，比如齐次线性微分方程等。
2. 变量分离法：将微分方程中的变量分离出来，得到一个可分离变量的方程，然后对其进行求解。
这种方法适用于一些特定的微分方程，比如一阶线性微分方程等。
3. 未定系数法：通过猜测特解的形式，确定方程中的未知系数，然后代入微分方程，解出未知系数。
这种方法适用于一些特殊的微分方程，比如常系数线性齐次微分方程等。
4. 常数变异法：通过变换微分方程的形式，使其具有特定的解形式，然后求出特解。
这种方法适用于一些特殊的微分方程，比如欧拉微分方程等。
需要注意的是，求微分方程的特解是一个比较复杂的过程，需要对微分方程的结构、性质等进行深入的分析和理解。
在实际应用中，还需要根据具体的问题和条件，选择不同的方法进行求解。
- 1 -。
里卡蒂方程
Riccati 方程秦源 S201801006通过一个学期常微分方程课的学习，我对一些有关常微分方程的理论和方程解法有了一定的了解，下面主要介绍一种比较特殊的一阶非线性微分方程：里卡蒂(Riccati)方程。
当一阶微分方程y’=f(x,y)的右端函数f(x,y)对y 是二次多项式时，称它为里卡蒂(Riccati)方程,其一般形式为)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=。
(1) 里卡蒂方程是二次的非线性微分方程，在一般情况下无法用初等积分法求解，只有对一些特殊情况，或者事先知道了它的一个特解，才可以求出其通解。
下面介绍里卡蒂方程可求解的一些特殊情况，如下：1 当p(x),q(x),r(x)都是常数时，方程(1)是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。
2 当p(x)≡0时，方程(1)是一阶线性微分方程，可用公式()()()⎰⎰⎰-+=dx dx x q x r C dx x q y )(exp )()(exp 求解。
3 当r (x)≡0时，方程(1)是Bernoulli 方程，也可以求解。
4 当里卡蒂方程的形式为22xb y x l ay dx dy +=+ (2) 时，可利用变量替换z=xy,将方程(2)化为变量可分离的方程b z l az dxdz x +++-=)1(2可以用分离变量法求解。
5 若已知里卡蒂方程的一个特解，则可求得它的通解。
令y=φ(x)是里卡蒂方程的一个特解，令y=u+φ(x)代入方程(1)得：)()]()[()]()(2)[()(''22x r x u x q x u x u x p x u +++++=+ϕϕϕϕ因为y=φ(x)是里卡蒂方程的特解，所以代入得：)()()()()()('2x r x x q x x p x ++=ϕϕϕ所以2)()]()()(2['u x p u x q x x p u ++=ϕ这是一个Bernoulli 方程可以求解；或者令z=1/u)()]()()(2['x p z x q x x p z -+-=ϕ这是一阶线性微分方程，我们可以求出它的通解z=Φ(x,C),然后通过变换u=1/z 以及y=u+φ(x),可得里卡蒂方程的通解。
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0321 收稿日期： 2011作者简介： 闫淑霞（ 1965 — ） ， 女， 河南荥阳人， 郑州师范学院初等教育部副教授， 硕士． 研究方向： 微分方程．
ck （ i = 0 ， 1， 2， …， m； j = 0 ， 1， 2， …， n； k = 0 ， 1， 2， …， l） 都是整数， b0 、 c0 均不为 0 ． 如果方程组 （ 2 ） 其中 a0 、
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西安文理学院学报： 自然科学版
第 14 卷
2 不存在实数解， 那么方程（ 1 ） 没有型如 y = y（ x） = ax + bx + c 的特解．
Abstract： This paper finds special solution of a kinds polynomial function Integrol coefficients Riccati Differential Equations． We discuss the necessary and sufficient conditions and apply the elementary method for getting the special solution of the equation． Examples are also provided for the illustrating the application． Key words： polynomial function Integrol coefficients； Riccati differential equation； special solution； existence； necessary and sufficient condition 对于非线性 Riccati 微分方程 y' = p（ x） y2 + q（ x） y + r（ x） （ 1） （ 其中 p（ x） 、 q（ x ） 、 r （ x ） 是［ a， b］上的连续可微函数， 且 p （ x ） r （ x ） ≠0 ） ， 法国著名数学家 Liouville 于 ［1 － 7 ］ 1841 年证明： 方程（ 1 ） 一般没有初等积分解法 ． 解此类方程的一般方法是先求其一个特解 ， 经过初 等变换 y = z + y ， 化为 Bernoulli 方程再求得通解． 然而求其一个特解也并非容易， 所以求此类方程的特 解就成了解此类方程的焦点问题 ． 另外， 由于（ 1 ） 不仅在理论方面具有重要性， 而且它还有着较高的应 用价值， 所以近几十年来， 国内外许多学者仍对 （ 1 ） 特解的求法有着不断的研究和创新， 并且得到一些 2 － 6］ 好的结果． 如文献［ 直接利用公式法； 或巧用一阶微分系统； 或借助 Euler 方程的形式解求得几类 Riccati 方程的特解； 或作初等变换再求其特解， 方法有一定的实用价值． 本文旨在探讨一类系数为整式
2
应用举例
例1 解
［8 ］ 2 2 求方程 y' = y － （ x + 1 ） y + 2 x 的特解． 2 这是整系数方程， 设其特解为 y = ax + bx + c， 代入方程， 比较 x 同次项的系数得方程组 2 c － c = b 2 bc － b + 2 = 2 a 2 b + 2 ac － c － a = 0 2 ab － b = 0 ……
m－i q（ x） = ∑ b j x n － j 、 r （ x ） = ∑ c k x l － k ，这里 a i 、 bj 、 记方程（ 1 ） 中的整系数函数 p（ x） = ∑a i x 、 i =0 j =0 k =0 m n l
ck （ i = 0 ， 1， 2， …， m； j = 0 ， 1， 2， …， n； k = 0 ， 1， 2， …， l） 都是整数， b0 、 c0 均不为 0 ． 那么方程（ 1 ） 存 其中 a0 、
2 b、 c 的方程组 在特解 y = y（ x） = ax + bx + c 的充要条件是关于 a、 2 a 0 c + b 0 c + c0 = b 2 a0 bc + a1 c2 + b0 b + b1 c + c1 = 2 a 2 2 a0 （ b + 2 ac） + 2 a1 bc + a2 c + b0 a + b1 b + b2 c + c2 = 0 2 a0 ab + a1 （ b2 + 2 ac） + 2 a2 bc + a3 c2 + b1 a + b2 b + b3 c + c3 = 0 ……
第 14 卷第 3 期 2011 年 7 月
西安文理学院学报： 自然科学版 Journal of Xi ，an University of Arts ＆ Science（ Nat Sci Ed）
Vol． 14 No． 3 Jul． 2011
5564 （ 2011 ） 03004003 文章编号： 1008-
2 b = 0， c = 1， 解得 a = 1 ， 所以原方程有特解 y = x + 1 ． ［9 ］ 2 例2 求方程 y' = y + xy + x － 1 的特解．
解
2 这是整系数方程， 设其特解为 y = ax + bx + c， 代入方程， 比较 x 同次项的系数得方程组 2 c － 1 = b 2 bc + c + 1 = 2 a 2 b + 2 ac + b = 0 2 ab = 0 ……
（ b0 + b1 x + b2 x2 + …） （ c + bx + ax2 ） + （ c0 + c1 x + c2 x2 + …）
（ 3）
展开（ 3 ） 并比较关于 x 的同次项的系数， 即可得 （ 2 ） ． 2 b、 c 存在， 必要性． 反之， 只要有满足（ 2 ） 的常数 a、 那么函数 y = y （ x ） = ax + bx + c 便可确定， 则方 2 程（ 1 ） 必存在型如 y = y（ x） = ax + bx + c 的特解． 推论 1 c 为常数， c 的方程组 方程（ 1 ） 存在特解 y = bx + c（ b、 且 b≠0 ） 的充要条件是关于 b、 a 0 c + b 0 c + c0 = b 2 a0 bc + a1 c + b0 b + b1 c + c1 = 0 2 2 a0 b + 2 a1 bc + a2 c + b1 b + b2 c + c2 = 0 2 a b + 2 a2 bc + a3 c2 + b2 b + b3 c + c3 = 0 1 …… 方程（ 1 ） 存在特解 y = c（ c 为常数） 的充要条件是关于 c 的方程组 a 0 c + b 0 c + c0 = 0 a c + b c + c = 0 1 1 1 a 2 c + b 2 c + c2 = 0 a c + b c + c = 0 3 3 3 ……
一类整系数 Riccati 微分方程特解的求法
1 2 闫淑霞 ， 王明建
（ 1 郑州师范学院 初等教育部， 河南 郑州 450044 ； 2 郑州师范学院 数学系，河南 郑州 450044 ） 摘 要： 对一类系数为整式函数的 Riccati 微分方程， 首先给出求此类方程特解存在的充要条件， 再
用初等方法求其特解， 最后结合实例给出应用说明 ． 关键词： 整系数； Riccati 微分方程； 特解； 存在性； 充要条件 中图分类号： O175． 5 文献标识码： A
Methods of Special Solution at Some Integrol Coefficients Riccati Differential Equations
YAN Shuxia1 ， WANG Mingjian2
（ 1． Department of Elementary Education，Zhengzhou Normal University，Zhengzhou 450044 ， China； 2． Department of Mathematics，Zhengzhou Normal University，Zhengzhou 450044 ， China）
（ 3）
有实数解． 推பைடு நூலகம் 2
（ 2）
有实数解． 作为定理 1 的逆否命题， 显然有 定理 2
m－i q（ x） = ∑ b j x n － j 、 r （ x ） = ∑ c k x l － k ，这里 a i 、 bj 、 记方程（ 1 ） 中的整系数函数 p（ x） = ∑a i x 、 i =0 j =0 k =0 m n l
b = 0， c = － 1， 解得 a = 0 ， 所以原方程有特解 y = － 1．
3
结论
使用待定系数法寻找方程（ 1 ） 的多项式型特解的过程虽然较烦， 但这却是最基本的和最初等的方 它把求 Riccati 微分方程的特解， 转化为求代数方程组的实数解， 这种解法打破了传统的求解方法， 法， 这部分知识的教学对学生应当是比较有益的 ．