2010年全国高中数学联赛模拟题四
2010年全国高中数学联赛试题及答案
2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-. 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 1223≤≤-a .解：令t x =sin ，则原函数化为t a att g )3()(2-+-=，即a att g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立； 对20,102≤+<≤<t t t ； 对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3.解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d dd ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而 βαα+-=-=9log3,69log，求得 3,33==βα， 333+=+βα.5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f xx在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-.解：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211m ax 1()32822g y aaa a ---=+-=⇒=⇒=，所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217.解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin4.解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos 4αα=⇒=.所以 410sin =α.解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OEO B E B O B .4105542sin sin 111===∠=EB O B EO B α.8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，OEP1B 1A 1CBA110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分） )21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. （8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤8≤， 38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b a z ba z a z g z h . （4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . （8分） 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ，从而0143≥+++c b a ,2432≤za ，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则2,22210210y y y x x x +==+=，1221221212123666y y y yyy y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(300--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(. （5分）由（1）知直线AB 的方程为 )2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且1y 22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=.定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==. （10分）2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤ 7314=. （15分）当且仅当20202249y y -=+，即0y =,33A B 或33A B -++时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值为7314. （20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, （10分） 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t)5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S , （15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t,33A B 或33A B -时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值是7314. （20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n nn .求证:nn n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1）证明：由1221+-=+n n nn a a a a 知111121+-=+nnn a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2）所以211,111n nn n n nna a a a a a a ++==----即 1111n n n nn a a a a a ++=---. （5分）从而 n a a a +++ 21 1133222211111111++---++---+---=n n nn a a a a a a a a a a a a11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a .所以（1）等价于nn n n a a 2112312112131211-<--<-++-，即 nn n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分）由311=a 及 1221+-=+n nnn a a a a 知 712=a .当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ，即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 kk k k a a 21123131<-<++-.当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++； （15分）又由（2）及311=a 知)1(1≥-n a a nn均为整数，从而由 kk k a a 21131<-++ 有131211-≤-++kk k a a 即kk a 2131≤+ ，所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k kkk k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）。
2010年全国高中数学联赛(甘肃赛区预赛)
2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛 试 题一.填空题(每小题7分，共56分)1. 已知12n k k k <<< 是非负整数,满足12222227nk kk+++= ，则12n k k k +++= .2. 设0a >，函数()|2|f x x a =+和()||g x x a =-的图像交于C 点且它们分别与y 轴交于A 和B 点，若三角形ABC 的面积是1，则a = .3. 已知n S 是公差为正数q 的等差数列的前n 项之和，如果210n S n+在6n =时取到最小值, 则q 的取值范围是 .4. 已知函数3y x =在k x a =的切线和x 轴交于1k a +，如果11a =, 则lim n n S →∞= .5. 函数:f R R →对于一切,,x y z R ∈满足不等式()()()3(2)f x y f y z f z x f x y z +++++≥++，则(1)(0)f f -= ；6.锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos b aC a b +=，则11tan tan A B +的最小值是； 7. P 是椭圆221124x y +=上的一动点，1F 和2F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF ⋅ 的取值范围是；8. 用3种颜色给立方体的8个顶点染色，其中至少有一种颜色恰好染4个顶点．则任一棱的两个端点都不同色的概率是 ；二.解答题 (本题满分64分, 第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9. 已知1sin sin 5αβ+=，1cos cos 3αβ+=，求 ()()()()1cos2sin 21cos2sin 2αβαβαβαβ-+++++++的值.10. 设12,,,n a a a 是12,,,n 的一个排列（3n ≥），求证：()()()222222222222212323434521221111121n n nn a a a a a a a a a a a a n n n ---++++>++++++++++ .11.对任意的正整数n ,证明恒等式4211nk k k k ==++∑2111nk k n n =++∑. 12.设S 是一些互不相同的4元数组1234(,,,)a a a a 的集合，其中0i a =或1,1,2,3,4i =．已知S 的元素个数不超过15且满足：若12341234(,,,),(,,,)a a a a b b b b S ∈，则11223344(max{,},max{,},max{,},max{,})a b a b a b a b S ∈且11223344(min{,},min{,},min{,},min{,})a b a b a b a b S ∈．求S 的元素个数的最大值．解 答1. 19 提示：0156722712326412822222=++++=++++,故120156719n k k k +++=++++= ，于是应填19.2. 2 提示：由()f x 和()g x 的图像知三角形ABC 是底为a 的等腰直角三角形,故其面积214a =，于是2a =. 应填2.3. [10,14] 提示：设1(1)n a a n q =+-，则1(1)2n n n S na q -=+，于是 121021022n S q qn a n n +=++-． 由题设知621052107210min{,}262527q q q +≤++， 由此可得572q≤≤，故q 的取值范围是[10,14]． 4.3 提示： 由3y x =知23y x '=，于是3y x =在k x a =的切线方程为()323k k k y a a x a -=-．它与x 轴交于点1(,0)k a +，故()3213k k k k a a a a +-=-，由此可得123k k a a +=．又11a =，故 21()13lim lim3221133nn n n S →∞→∞-===--， 所以应填3．5. 0 提示： ()()()()(0)(0)23020x y z f f f x f f x f =-=⇒++≥⇒≥，(2)(0)(0)3(2)(0)(2)x y z f x f f f x f f x ==-⇒++≥⇒≥由此得(0)()(0)f f x f ≥≥， 从而()(0)f x f c =≡（常数）．故应填0．6.提示：由题设及余弦定理22222222422a b c ab a b a b c ab+-⋅=+⇒+=，于是11cos sin sin cos tan tan sin sin B A B AA B A B++= sin()sin sin sin sin A B C A B C +=2sin sin sin sin CA B C=222sin 2sin 212sin sin c a b ab C ab C ab ab C C +==≥=≥而上式等号成立当且仅当A B C==11tan tan A B +=7. [4,4]-提示：设00(,)P x y ，()()12,0,,0F c F c -，则有10000(,0)(,)(,)PF c x y x c y =--=---， 20000(,0)(,)(,)PF c x y c x y =-=--，于是120000(,)(,)PF PF x c y c x y ⋅----- 22200x c y =-+22200x y c =+-． 注意到222200b x y a ≤+≤，即有222222200b c x y c a c -≤+-≤-，也即222212b c PF PF a c -≤⋅≤-（其中2222212,4,8a b c a b ===-=），故有1244PF PF -≤⋅≤ ．8.135提示：当其中一种颜色染4个顶点时，其余两种颜色可任意染色剩余的4个顶点．于是满足要求的染色方法共有140123384444()37015C C C C C C ⋅⋅+++=⨯⨯(种)若要求任一棱的两个端点都不同色，则一种颜色染4个顶点的染法只有2种，此时其余两种颜色仍可任意染色剩余的4个顶点．于是这样的染法共有10123344442()615C C C C C ⋅⋅+++=⨯(种)故所求概率为61513701535⨯=⨯⨯.9. 由1sin sin 2sincos225αβαβαβ+-+==及1cos cos 2coscos223αβαβαβ+-+== 可得3tan25αβ+=，于是 ()23622tan15552tan 91681tan 122525αβαβαβ+⨯+====+--. 注意到()()()()()()()()()1cos 2sin 2sin 21cos 21cos 2sin 21cos 2sin 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβ-++=++=++-+++=++++tan从而()()()()1cos2sin 21cos2sin 2αβαβαβαβ-+++++++=158.10.由柯西不等式容易得到：()()()22222222212323421n n n aa aaa aaa a⎡⎤+++++++++⋅⎢⎥--⎣⎦ ()2111222222222212323421n a a a a a a a a a n n n ⎡⎤⎢⎥+++≥-⎢⎥++++++⎢⎥--⎣⎦从而有22222222212323421111n n na a a a a a a a a --+++++++++22222222121212222122(2)3()2()()(2)3()(2)1(1)(21)2n n n n n a a a a a a a n a a a n n n n --≥+++-+-+->+++-=++22(2)(1)(21)n n n n -=++11.证明：42422222111121(1)nn nk k k k k kk k k k k k k =====++++-+-∑∑∑ 222211111[()](1)(1)211nn k k k k k k k k k k k ====-+-+++-++∑∑ 222221111(1)212112n n n nn n n n n n ++=-==++++++ 2111nk k n n ==++∑.12. 显然所有可能的4元数组有16种．因为至少有一个那样的4元数组不在S 中，所以(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)和(0,0,0,1)中至少有一个不在S 中，若不然由题中条件可推出所有那样的4元数组都在S 中，不妨设(1,0,0,0)S ∉．此时由题中条件又知(1,1,0,0)，(1,0,1,0)和(1,0,0,1)中至少有2个不能在S 中，不 妨设(1,1,0,0)和(1,0,1,0)不在S 中．此时又可知(1,1,1,0)和(1,0,0,1)不能同时在S 中，不妨设(1,1,1,0)不在S 中．于是S 的元素个数不超过16412-=个．现在设S 是所有可能的16个4元数组中去掉(1,0,0,0)，(1,1,0,0)，(1,0,1,0)和(1,1,1,0)后所成的集合，我们要证S 满足题中条件，从而S 的元素个数最大值为12．任取12341234(,,,),(,,,)a a a a b b b b S ∈. （1）若110a b ==或41a =或41b =，则显然11223344(max{,},max{,},max{,},max{,})a b a b a b a b不等于上述去掉的4个4元数组中任何一个，从而属于S ．又11223344(min{,},min{,},min{,},min{,})a b a b a b a b（2）若11a =或11b =且440a b ==，则112233442233(max{,},max{,},max{,},max{,})(1,max{,},max{,},0)a b a b a b a b a b a b =，由此推出1234(,,,)a a a a 或1234(,,,)b b b b 不属于S ，这种情况不会出现．类似地有：（3）若10a =或10b =或441a b ==，则显然11223344(min{,},min{,},min{,},min{,})a b a b a b a b不等于上述去掉的4个4元数组中任何一个，从而属于S ．（4）若111a b ==且40a =或40b =，则112233442233(min{,},min{,},min{,},min{,})(1,min{,},min{,},0)a b a b a b a b a b a b =，由此推出1234(,,,)a a a a 或1234(,,,)b b b b 不属于S ，这种情况也不会出现．综上所述，S 是满足题目要求的，故S 的元素个数最大值就是12．。
2010年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
g (t ) at 3 (a 3)t .
(t 1)( at (t 1) 3) 0 及 t 1 0 at 3 (a 3)t 3 ， at (t 2 1) 3(t 1) 0 ， a (t 2 t ) 3
（1）
2
知 at (t 1) 3 0 即
BA1 (2,0,2), BP (1, 3 ,1), B1 A1 (2,0,0), B1 P (1, 3 ,1) .
设分别与平面 BA1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则
当 t 0,1 时（1）总成立；对 0 t 1,0 t t 2 ；对 1 t 0, 从而可知：
3 a 12 . 2
2 2
1 t2 t 0. 4
2010B 3、双曲线 x y 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标 均为整数的点）的个数是 ◆答案： 4851 ★解析：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,99) 与双曲线右半支于 Ak , 交直线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的 个数为
解法二：如图， PC PC1 , PA1 PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则 OA1 OB , OA OB1 , A1 B AB1 .
因为 PA PB1 , 所以 PO AB1 , 从
而 AB1 平面 PA1 B .过 O 在平面 PA1 B 上作 OE A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 B1 EO 为二面角 B A1 P B1 的平面角.设 AA1 2 ,则易求得
2010年全国高中数学联赛试题及答案
PA1 B .
过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ^ A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ÐB1 EO 为二面角 B - A1 P - B1 的平面 设 AA1 = 2 ,则易求得 PB = PA1 = 5, AO = B1O = 1 在直角 DPA1O 中， A1O × PO = A1 P × OE ,即
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声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） 》
容 易 知 道 当 -1 £ z £ 1 时 ， 0 £ h ( z ) £ 2, 0 £ h(-z) £ 2 . 从 而 当 -1 £ z £ 1 时 ，
0£
h( z ) + h(- z ) £2 ， 即 2
a1 = 3, b1 = 1, a2 = b2 ,3a5 = b3 ，且存在常数 a, b 使得对每一个正整数 n 都有 an = log a bn + b ，
则a+b = 5. .
2x
函数 f ( x ) = a
+ 3a x - 2( a > 0, a ¹ 1) 在区间 x Î [- 1,1] 上的最大值为 8，则它在这个
A1 C1 OA1 = OB, OA = OB , E 1 A 1B ^ AB1 B1 O A P
6 . 4
所以 sin a =
解法二：如图， PC = PC1 , PA1 = PB . 设 .
A1 B
与
AB1
交
于
点
O,
则
因为 PA = PB1 , 所以 PO ^ AB1 , 从而 AB1 ^ 平
面
区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正 三 棱 柱 ABC - A1 B1C1 的 9 条 棱 长 都 相 等 ， P 是 CC1 的 中 点 ， 二 面 角 . .
2010年全国高中数学联赛(江苏赛区复赛)含答案
2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1．已知数列{a n }、{b n }满足a n ＝22n +35，b n ＝1nlog 2(a 1a 2a 3…a n )，n ∈N*，则数列{b n }的通项公式是 ．2．已知两点M (0，2)、N (－3，6)到直线l 的距离分别为1和4，则满足条件的直线l 的条数是 ． ．3．设函数f (x )＝ax 2＋x ．已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N*时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是 ．4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是边长为3的正方体， 点P 、Q 、R 分别是棱AB 、AD 、AA 1上的 点，AP ＝AQ ＝AR ＝1，则四面体C 1PQR 的 体积为 ．5．数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，n ∈N *．记T n ＝a 1a 2…a n ，则T 2010等于 ． 6．骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点. 现有质地均匀的 骰子10只. 一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的 概率的比为 ．7．在△ABC 中，已知BC ＝5，AC ＝4，cos(A －B )＝78，则cos C ＝ ．ABC(第7题)(第4题)C A BD D 1C 1 B 1A 1P Q R8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F . 设M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为 ．二、解答题（本题满分16分）如图，点P 是半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)上位于x 轴上方的任意一点，A 、B 是直径的两个端点，以AB 为一边作正方形ABCD ，PC 交AB 于E ，PD交AB 于F ，求证：BE ，EF ，F A 成等比数列．三、解答题（本题满分20分）设实数a ，m 满足1a ≤，0m <≤()()2221amx mx f x a a a m-=+-，()0,x a ∈. 若存在a ，m ，x ，使()2f x ≥，求所有的实数x 的值．四、解答题（本题满分20分）数列{a n }中，已知a 1∈(1，2)，a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，n ∈N*，求证：(a 1－a 2)( a 3－1)＋(a 2－a 3)( a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)( a n ＋2－1)＜14．2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分40分）圆心为I 的ABC ∆的内切圆分别切边AC 、AB 于点E 、F . 设M 为线段EF 上一点， 证明：MAB ∆与MAC ∆面积相等的充分必要条件是MI BC ⊥.二、（本题满分40分）将凸n 边形12n A A A 的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对k =1, 2,…，n ，记k b 是由顶点k A 引出的蓝色边的条数，求证：2122n n b b b +++≤.三、（本题满分50分）设正整数的无穷数列{}n a （n ∈N *）满足44a =，2111n n n a a a -+-=（2n ≥），求{}n a 的通项公式．四、（本题满分50分）A B CEF M I (第1题)设p 是一个素数， 3 (mod 4)p ≡. 设x ，y 是整数，满足221|4p p x xy y +-+. 求证：存在整数u ，v ，使得222211()44p p x xy y p u uv v ++-+=-+.2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1．已知数列{a n }、{b n }满足a n ＝22n +35，b n ＝1nlog 2(a 1a 2a 3…a n )，n ∈N*，则数列{b n }的通项公式是 ． 答案：b n ＝n ＋45，n ∈N*简解：由a n ＝22n +35，得a 1a 2a 3…a n ＝22(1＋2＋…＋n )＋3n5＝2n (n ＋4)5，n ∈N*．所以b n ＝1n ×n (n ＋4)5＝n ＋45，n ∈N*．2．已知两点M (0，2)、N (－3，6)到直线l 的距离分别为1和4，则满足条件的直线l 的条数是 ． 答案：3简解：易得MN ＝5，以点M 为圆心，半径1为的圆与以点N 为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l 有3条．3．设函数f (x )＝ax 2＋x ．已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N*时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(－17，－117)简解：(方法一) 因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，此时f (n )＞f (n ＋1)恒成立等价于f (8)＞f (9)，即64a ＋8＞81a ＋9，解得a ＜－117．因为f (3)＜f (4)，所以9a ＋3＜16a ＋4，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－117)．(方法二)考察二次函数f (x )＝ax 2＋x 的对称轴和开口方向．因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，且－12a ＜172，解得a ＜－117．因为f (3)＜f (4)，所以－12a ＞72，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－117)．4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是边长为3的正方体，点P 、Q 、R 分别是棱AB 、AD 、AA 1上的 点，AP ＝AQ ＝AR ＝1，则四面体C 1PQR 的 体积为 ．D 1C 1B 1A 1答案：43简解：因为C 1C ⊥面ABCD ，所以C 1C ⊥BD ．又因为AC ⊥BD ，所以BD ⊥面ACC 1，所以AC 1⊥BD ． 又PQ ∥BD ，所以AC 1⊥PQ ．同理AC 1⊥QR ．所以AC 1⊥面PQR ．因为AP ＝AQ ＝AR ＝1，所以PQ ＝QR ＝RP ＝2．因为AC 1＝33，且V A －PQR ＝13·12·12·1＝16，所以V C 1－PQR ＝13·34·(2)2·33－V A －PQR ＝43．5．数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，n ∈N *．记T n ＝a 1a 2…a n ，则T 2010等于 ． 答案：－6简解：易得：a 1＝2，a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 1a 2 a 3a 4＝1．又a 5＝2＝a 1，由归纳法易知a n ＋4＝a n ，n ∈N*．所以T 2010＝T 2008×a 2009×a 2010＝a 1a 2＝－6．6．骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点. 现有质地均匀的 骰子10只. 一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的 概率的比为 ．答案：1：6.提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2，2. 共 3+3!+1=10种，概率为 3106 .掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2. 共 4+24C =10种，概率为 4106 . 所以概率的比为 3106:4106 = 1:6 .7．在△ABC 中，已知BC ＝5，AC ＝4，cos(A －B )＝78，则cos C ＝ ． 答案：1116简解：因BC AC >，故A B ∠>∠. 如图，作AD ，使∠BAD ＝∠B ，则∠DAC ＝∠A －∠B ．设AD ＝BD ＝x ，则DC ＝5－x ．在△ADC 中，ABD C(第7题)由余弦定理得x ＝3．再由余弦定理得cos C ＝1116．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F . 设M 是抛物线上的动点，则MOMF 的最大值为 ． 答案：233简解：设点M (x ，y )，则(MO MF )2＝x 2＋y 2(x ＋12)2＝4x 2＋8x 4x 2＋4x ＋1＝1＋4x －14x 2＋4x ＋1．令4x －1＝t ，当t ≤0时，显然MOMF ≤1．当t ＞0时，则(MO MF)2＝1＋4t ＋6＋9t ≤1＋13＝43，且当t ＝3，即x ＝1时，等号成立． 所以MO MF 的最大值为233，此时点M 的坐标为(1，±2)．二、解答题（本题满分16分）如图，点P 是半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)上位于x 轴上方的任意一点，A 、B 是直径的两个端点，以AB 为一边作正方形ABCD ，PC 交AB 于E ，PD交AB 于F ，求证：BE ，EF ，F A 成等比数列．证明：设P (cos α，sin α)，C (－1，－2)，D (1，－2)，E (x 1，0)，F (x 2，0)． 因为点P 、E 、C 三点共线，所以sin α＋2cos α＋1＝2x 1＋1，所以x 1＝2(cos α＋1)sin α＋2－1． ………………5分由点P 、F 、D 三点共线，所以sin α＋2cos α－1＝2x 2－1，所以x 2＝2(cos α－1)sin α＋2＋1． ………………10分所以BE ＝x 1＋1＝2(cos α＋1)sin α＋2，EF ＝x 2－x 1＝2sin αsin α＋2 ，F A ＝2(cos α－1)sin α＋2．所以BE ·F A ＝2(cos α＋1)sin α＋2×2(cos α－1)sin α＋2＝4sin 2α(sin α＋2)2＝EF 2．即BE ，EF ，F A 成等比数列． ………………16分三、解答题（本题满分20分）设实数a ，m 满足1a ≤，023m <≤，函数()()2221amx mx f x a a a m-=+-，()0,x a ∈. 若存在a ，m ，x ，使()3f x ≥，求所有的实数x 的值． 解答：因为(0, )x a ∈时，2222()244x ma ma amx mx m a -=--+≤， 当且仅当2ax =时等号成立， ……………5分 所以2222222234(1)(1)4(1(1))a mamx mx am a a a m a a a m a m -≤≤=+-+-+- 344am m ≤≤≤， ……………15分 当且仅当2ax =及1a =与23m =时等号成立. 故1x =. ……………20分四、解答题（本题满分20分）数列{a n }中，已知a 1∈(1，2)，a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，n ∈N*，求证：(a 1－a 2)( a 3－1)＋(a 2－a 3)( a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)( a n ＋2－1)＜14．证明：(方法一) 由a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，得a n ＋1－1＝(a n －1)3．令b n ＝a n －1，则0＜b 1＜1，b n ＋1＝b n 3＜b n ，0＜b n ＜1． ………………5分 所以 (a k －a k ＋1)( a k ＋2－1)＝(b k －b k ＋1)×b k ＋2＝(b k －b k ＋1)×b k ＋13＜14(b k －b k ＋1)×(b k 3＋b k 2b k ＋1＋b k b k ＋12＋b k ＋13)＜14(b k 4－b k ＋14)． ………………15分所以 (a 1－a 2)(a 3－1)＋(a 2－a 3)(a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)(a n ＋2－1)＜14(b 14－b 24)＋14(b 24－b 34)＋…＋14(b n 4－b n ＋14) ＝14(b 14－b n ＋14)＜14b 14＜14． ………………20分 (方法二) 由a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，得a n ＋1－1＝(a n －1)3．令b n ＝a n －1，则0＜b 1＜1，b n ＋1＝b n 3，0＜b n ＜1． ………………5分所以 (a 1－a 2)( a 3－1)＋(a 2－a 3)( a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)( a n ＋2－1)＝(b 1－b 2) b 3＋(b 2－b 3) b 4＋…＋(b n －b n ＋1) b n ＋2 ＝(b 1－b 2) b 23＋(b 2－b 3) b 33＋…＋(b n －b n ＋1) b n ＋1313014x dx <=⎰． ………………20分2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分40分）圆心为I 的ABC ∆的内切圆分别切边AC 、AB 于点E 、F . 设M 为线段EF 上一点， 证明：MAB ∆与MAC ∆面积相等的充分必要条件是MI BC ⊥.证明：过点M 作MP AC ⊥、MQ AB ⊥，垂足分别为P 、Q . 圆I 切边BC 于点D ，则ID BC ⊥, IF AB ⊥, IE AC ⊥.显然AF=AE , 所以AFM AEM ∠=∠, 从而推知Rt Rt QFMPEM ∆∆, 得MQ MFMP ME=. A BCEFPQM IDA B C EF M I (第1题)又 1212MAB MAC MQ ABS MQ AB MF AB S MP AC ME ACMP AC ∆∆⋅==⋅=⋅⋅, 所以 MAB ∆与MAC ∆面积相等的充要条件是AB MEAC MF=. ① 由①可知，问题转化为证明：AB MEAC MF =的充分必要条件是MI BC ⊥. ………10分 首先证明：若MI BC ⊥，则AB MEAC MF=. 由MI BC ⊥可知点M 在直线ID 上.因为B 、D 、I 、F 四点共圆，所以MIF DBF B ∠=∠=∠，MIE ECD C ∠=∠=∠.又 IE=IF ，则由正弦定理得sin sin sin()sin MF FI IE MEMIF IMF IMF MIEπ===∠∠-∠∠,即sin sin ME C MF B =，而sin sin AB C AC B =. 所以AB MEAC MF=. ……………30分 其次证明：若AB MEAC MF=，则MI BC ⊥. 设直线ID 与EF 交于点'M ，则由上述证明可知''AB M EAC M F=，于是有 ''AB M EAC M F=，从而 'M M ≡. 故命题成立. ……………40分二、（本题满分40分）将凸n 边形12n A A A 的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对k =1, 2,…，n ，记k b 是由顶点k A 引出的蓝色边的条数，求证：2122n n b b b +++≤.证明：不妨设12max{,,,}n b b b b =，并且由点A 向12,,,b A A A 引出b 条蓝色边，则12,,,b A A A 之间无蓝色边，12,,,b A A A 以外的n b -个点，每点至多引出b 条蓝色边，因此蓝色边总数()n b b ≤-22()24n b b n-+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭. …………20分故 2212242n n n b b b +++≤⨯=. 命题得证. ……………40分三、（本题满分50分）设正整数的无穷数列{}n a （n ∈N *）满足44a =，2111n n n a a a -+-=（2n ≥），求{}n a 的通项公式． 解：由已知得11n n n na aa a -+>. 若有某个n ，使11n na a -≥，则 1n n a a +>， …………10分 从而112n n n n a a a a -++≥>>>，这显然不可能，因为*{} (N )n a n ∈是正整数的无穷数列. 故数列{}n a 中的项是严格递增的. …………20分 从而由44a =可知， 11a =，22a =，33a =. …………30分于是由{}n a 的递推公式及数学归纳法知*(N )n a n n =∈. …………40分显然数列*{} (N )n n ∈满足要求，故所求的正整数无穷数列为{}n (1)n ≥. …………50分 四、（本题满分50分）设p 是一个素数， 3 (mod 4)p ≡. 设x ，y 是整数，满足221|4p p x xy y +-+. 求证：存在整数u ，v ，使得222211()44p p x xy y p u uv v ++-+=-+. 证明：由条件可知22|(2)p x y py -+，则2|(2)p x y -.因p 是素数，故有|2p x y -. 设2x y pk -=， …………20分 则 222211((2))44p x xy y py x y +-+=+-2221((2))4x pk p p k =-+ 22((2))4p x pk pk =-+ …………30分 22((2))4p x pk k k pk =-+-+ 22((2))4p u v pv =-+ （这里(1)2k p u x -=-，v k =） 22(44(1))4p u uv p v =-++ 221()4p p u uv v +=-+. 命题得证. …………50分。
2010年全国高中数学联赛模拟卷
６已 ． 知不等式口 ÷ 一ｘ ４ ６ 解集为｛１≤ ≤ ｝其中０ 口 ｂ则ｂ 一 ≤ ３＋≤ 的 ０ ６， ＜ 边长 分别 为 １ ，４，５ 有 ４个半径 同为 ｒ的圆 ０， ０ ， ３ ｌ １． ０ ， ０ 放在 ＡＡ Ｃ内 ， 且 圆 ０ Ｂ 并 。 与边 Ａ Ａ Ｂ， Ｃ相 切 ， ０ 与 边 Ｂ ， Ｃ相 切 ， ０ 圆 ： ＡＢ 圆 ，与边 Ｃ Ｃ Ｂ，Ａ相 切 ， ０与 圆 ０ ， ： ０ 相 切 ， ｒ 圆 ０ ，３ 则 ＝
ｆ＋Ｉ ０ 了， ≤ ≤
９已 （ ． 知， ）：Ｊ
ｌ１ ）１ ≤ ２一，＜ １ （
２ ２
， 定义 （）＝ （ ， （ （ ） ∈ ， 厂 ） ）： 一（） ， Ｎ’求证： 集合
｛ ｆ （ ， ０ １ ｝ ｔ ）＝ ∈［ ，］ 中至少含 有 ９个元 素． ，
即当 ） 时，＝ 此时显然 ＝ ÷， （） ， ＝ 故
∈Ｂ 因为 ．
且
ａ ２＋ｂ 一Ｒ 一 ＝ —
。
ａ －
一
案 ≤ ， ）（ 口
ｌ Ｂ Ｉ 口一ｂ Ａ ≤ ．
ｏ 丢Ｉ）ｌ ） ， ） √１ １ ｏ ＝ ＝ ＝
所 以 当 ∈ｃ＝ ０ ， １
・
４ ６・
中学教研 （ 学） 数
２１ ００盎
都 说 自己讨论 了 １次 ， 在统 计时 ， 就被算作 了 ２次． 在 ｌ个人中， １ 若每 人刚好 只讨论 了 ３次 ， 则总 次数将 是 ｌ ３＝ ３次 ， １ Ｘ ３ 由于其 中有 ２个人 是讨论 的 ４次 ， 因此 总次数
考察 函数
（ ｏ ’ ＞ ）
程 为 Ｙ＝奴 ＋ｍ． 为点 Ａ既 在 椭 圆上 ， 在 直 线 因 又
一
2010年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-. 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 1223≤≤-a . 解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立； 对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3. 解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而 βαα+-=-=9log 3,69log ， 求得 3,33==βα， 333+=+βα. 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-. 解：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的. 当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以 412213)21()(2m in -=-⨯+=y g ； 当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2m ax =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12m in -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217. 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(12742 17121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin. 解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos 4αα=⇒=.所以 410sin =α. 解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 . 解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，OEPC 1B 1A 1CBA110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得 （4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. （8分） 所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 38≤a . （12分） 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h . （4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . （8分） 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ，从而0143≥+++c b a ,2432≤z a， 由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=. 线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分） 由（1）知直线AB 的方程为 )2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3） 依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且1y 22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>, 32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+= ]4))[(91(2122120y y y y y -++= ))122(44)(91(202020--+=y y y )12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 22029)0()25(y y CM h +=-+-==. （10分） 2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=. （15分）当且仅当20202249y y -=+，即0y =,66((33A B +-或A B -时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值为7314. （20分） 解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值,（10分） 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S , （15分） 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t,A B 或A B -时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值是7314. （20分） 11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n .求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1） 证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+n nn a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2） 所以211,111n n n n n n na a aa a a a ++==---- 即 1111n n n n n a aa a a ++=---. （5分） 从而 n a a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a .所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-， 即 n n n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分） 由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a .当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ， 即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-. 当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++； （15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a nn 均为整数， 从而由k k k a a 21131<-++ 有131211-≤-++k k k a a 即k k a 2131≤+ ， 所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ， 即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
2010年全国高中数学联赛试题及答案_百度文库
11111k nnkiiiikAAaankn
11111nk iiikiaankn
1 1111max, n kiiikiaankn
条，02 ni，标有b的边有2j
条，202nij ．选取2i条边标记a的有2inC种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有22j niC种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有2inC22jniC种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》
9 2. （40分）设k是给定的正整数
，1 2 rk ．记(1)()()frfrrr， ()()lfr(1)(()),2lffrl．证明：存在正整数m，使得()()mfr为一个整数．这里，x表示不 小于实数x
AQAP QNPM ． ① 由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
EQ P O N M KD C B A
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10 1NBDEAQ BDEAQN ， ②
2222220 04nniijnniijCC ． ① 这里我们约定0 01C． 当n为奇数时，20ni，此时
为偶数时，若2ni ，则②
式仍然成立；若2 n i，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
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2010年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案及评分标淮(B卷)
2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是1223≤≤-a . 解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立； 对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3.解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而 βαα+-=-=9log 3,69log ， 求得 3,33==βα， 333+=+βα. 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-. 解：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ； 当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217. 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(12742 17121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin. 解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B n由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==， 所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .OEPC 1B 1A 1CBA把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k .易知 100420096100331⨯=+⨯+k ， 110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.（8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 38≤a .（12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .（4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h .（8分）从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. （16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C坐标为)0,5(.（5分）由（1）知直线AB 的方程为)2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y . 221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y-++= ))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 22029)0()25(y y CM h +=-+-==.（10分） 220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= .（15分）当且仅当2202249y y -=+，即0y =,66((33A B 或66((,33A B -时等号成立. 所以ABC∆面积的最大值为7314.（20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值,（10分）2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S ,（15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t ,66((33A B 或A B -时等号成立. 所以ABC∆面积的最大值是7314.（20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n .求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1） 证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+n n n a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2） 所以 211,111n n n n n n na a aa a a a ++==----即1111n n n n n a aa a a ++=---.（5分）从而 n a a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a . 所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-， 即 n n n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分）由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a .当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ， 即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-. 当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++；（15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a nn 均为整数， 从而由 k k k a a 21131<-++ 有 131211-≤-++k k k a a 即kk a 2131≤+ ， 所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）。
2010年全国高中数学联赛试题与参考答案
2010年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数()5243f x x x =--的值域是______________.2.已知函数2(cos 3)sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是_____________.3.双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.4.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122533,1,,3a b a b a b ====，且存在常数,αβ使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+=____________.5. 函数2()32(0,1)x x f x a a a a =+->≠在区间[1,1]x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.7.正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=,则sin α=_____________.8.方程2010x y z ++= 满足x y z ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是_____________.二、解答题（本题满分56分）9.(本小题满分16分)已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当01x ≤≤时，|()|1f x '≤，试求a 的最大值.10. (本小题满分20分)已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.11. (本小题满分20分)证明：方程32520x x +-=恰有一个实根r ，且存在唯一的严格递增正整数列{}n a ，使得31225a a a r r r =+++ .2010年全国高中数学联合竞赛加试试题一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M.求证：若OK MN⊥,则,,,A B D C四点共圆.二、（本题满分40分）设k是给定的正整数，12r k=+.记()()f r f r r r==⎡⎤⎢⎥（1）,(1)()(()),2l lf r f f r l-=≥（）.证明：存在正整数m ,使得()()m f r 为一个整数.这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如11,112⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥.三、（本题满分50分）给定整数2n >,设正实数12,,,n a a a 满足1k a ≤,1,2,,k n = ,记12,1,2,,.kk a a a A k n k+++==求证：1112nnk k k k n a A ==--<∑∑.四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准一、填空题1.[3]-.2.3122a -≤≤ 3.9800. 4. 3335.14-. 6.1217. 7.104. 8.336675. 1.2..3.由对称性知，只需先考虑x 轴上方的情况，设(1,2,,99)y k k == 与双曲线右半支交于点k A ，与直线100x =交于点k B ，则线段k k A B 内部的整点个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)9949k k =-=⨯∑，又x 轴上有98个整点，则所求整点个数为24999+98=9800⨯⨯. 4.5.6.=1217. 7.8.二、解答题9.10.11.2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案与评分标准一、二、三、四、。
2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准(B卷)(20200920193600)
2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （B卷）（考试时间：10月17日上午9: 00-12: 10）题号-一--二二三四合计得分评卷人复核人考生注意:1 .本卷共四大题，全卷满分 180分。
2 .用圆珠笔或钢笔作答，解题书写不要超出装订线。
3 •不能用计算器。
一、（本题满分40分）如图，锐角三角形 ABC 的外心为O , K 是边BC 上 一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交 于点N ，直线CD 与AB 交于点M .求证：若OK 丄MN ，则A,B,C D 四点共圆。
得分评卷人R2二、（本题满分40分）设m 和n 是大于1的整数，求证：1 rmmA r nm mm1kk1 2 川 nn 1 ' qn m + 1 | y三、（本题满分50分）设X ,,是非负实数，求证:3f 2亠2丄 2 X 32x + y + z_zx + x [兰 ------- -----xy yz zx [ 3、一2丄2*2 丄2*2二x - xy y y - yz z z2四、（本题满分50分）设k是给定的正整数，f f * r）= f ［门,rf 1r二f f 1」r ,丨一2 •证明：存在正整数m，使得f m r为一个整数。
这里l.x 1表示不小于实数x的最小整数。
例如：-=1，1丄1 •〔2」2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（B卷）说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O, K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK 延长线上一点，直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M .求证：若OK丄MN，则A,B, D , C四点共圆.证明：用反证法.若A, B, D , C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E,连接BE并延长交直线AN于点Q,连接CE并延长交直线AM于点P,连接PQ.2因为PK 二P的幕（关于O O）' K的幕（关于O O）二PO2 _r2KO2 _r2,同理QK2h[QO2—r2厂i KO2—r2,所以PO2_PK2=Q02_QK2,故OK丄PQ.由题设，OK丄MN，所以PQ// MN，于是由①，②，③可得AQ APQN PMNB DE AQ②* 1 ,BD EA QNMC DE AP ,③1.CD EA PM得由梅内劳斯（Menelaus）定理,所以ND MD詰二玩，故△ D MN s△ DCB，于是/ DMN--DCB，所以BC // MN , 故OK丄BC,PK KF = AK KE , ④NB _ MC BD CD ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而 A, B,D,C 四点共圆•2注1 : PK =P 的幕（关于O O ） K 的幕（关于O O ） ”的证明：延长 PK 至点F ，使得 则P , E , F ,A 四点共圆，故PFE — PAE = BCE , 从而E , C , F , K 四点共圆，于是 PK PF = PE PC , ⑤⑤-④，得PK =PE PC - AK KE=P 的幕（关于O O ） K 的幕（关于O O ）.注2 :若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似.（本题满分40分）设m 和n 是大于1的整数，求证：1 r m k k j n j i m 2m I” n mJ nDsn “ c m j i J）m+1 [zJ =Ii=im +证明：由（q ・1）m1八，cm®得到JTm（q 1）m1-q m1八 C m”J 出分别将q =1,2,1山n 代入上式得:m2m1—1 八 c m“,J =Omm 1 m 1j j 3-2 =C m 12 ,J £m（30 分） （40 分）Nn m1_（ n—1）m1八瞄（n—1）J,J £PK KF = AK KE ,④m(n 1)m1一n m1八 n j.j =o将上面n 个等式两边分别相加得到:mn(n 1)m1一1 八(c m.「 i j),j=0i4 mJn(n 1)(n 1)m—1 二 n、(cm八 i j) (m 1)、j 」i 二(20 分)(40 分)三、(本题满分50分)设x, y,z 为非负实数，求证:(^^^rw-xy y 2)(y 2—yz z 2)(z 2zx x ) _ ( ).证明：首先证明左边不等式.因为 x 2 — xy + y 2 =」［(x + y) 2+3(x - y)］圣丄(x + y) , 24 4同理，有2 21 2 2 2 1 2y - yz z (y z) , z - zx x (z x); 4 4(10 分)(x 2-x y +y 2)y2-yz+ z 2Q zx + x 吩x酌川 z %()］1［(x y z )xy yz zx Txyz ；］ 64(20 分)1由算术-几何平均不等式，得xyz " (x y z)(xy • yz ■ zx),所以9 (x 2_xy y 2) y 2- yz z 2)z( - zx x(x 2+y 2 + z 2+2xy + gz + 2 x^+yz + zx 为( 左边不等式获证，其中等号当且仅当x = y = z 时成立. 下面证明右边不等式.根据欲证不等式关于 x, y, z 对称，不妨设 (z 2_zx x )( yz 2z - 2x 所以2 2 2 2 2(x- xy y) ( y - yz z ( z 运用算术-几何平均不等式，得 x 一 y 一 z ,于是xy yz zx 、3 3'(30 分)2 2 2 2乙x )x^ ( x xy ) y(40 分)x (y z xy (yz zx2 2,22 2 222、X -xy yxv 2(x -xy y )x y (x —xy y ) xy xy _ () xy22 2 2 2 2 2 2 2 2./X -xy y xy 、2 肿 y 、 z x y z x y z -( )( )=( )-( ).2 2 2 2右边不等式获证，其中等号当且仅当 x,y,z 中有一个为0,且另外两个相等时成立.(50 分)四、(本题满分50分)1设k 是给定的正整数，^k - •记f ⑴(r)二f(r)二r r , f ⑴(r)二使得f (m)(r)为一个整数.这里， x 表示不小于实数x 的最小整数，例如： -=1 ,1 =1证明：记v 2(n)表示正整数n 所含的2的幕次.则当 m 二v 2(k)，1时，f (m) (r)为整数.F 面我们对v 2(k) =v 用数学归纳法.当v=0时，k 为奇数，k+1为偶数，此时 f(r^^+— l^+-l(k +1)为整I 2 丿 |2 I 2 /‘数.(10分)假设命题对v - 1(v _1)成立.对于v _1，设k 的二进制表示具有形式k=2v2 2vI,这里，冷=0或者1, v 1, v 2^1 .(20分)kk 2k2 2 2vJ G v 1 1) 2v -:'v-2) -2v ^H - 22v HI21二 k ,① (40 分)2这里 k'2v4 • G v1 - 1) 2v G v< : v-2) 2v1 • III • 22v 71 .显然1k 中所含的2的幕次为v -1 .故由归纳假设知，r 二k •经过f 的v 次迭代得到整数，由①知,f (f 2)(r)), I _2 •证明：存在正整数m , 于是2f(v1)(r)是一个整数，这就完成了归纳证明. (50分)―出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
2010年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详细答案
2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及详细答案一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上. 1.方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上的实根个数为_________________.解：设2()log sin 2f x x x π=+-，则1()cos ln2f x x x π'=+，∵02x π<≤，∴0cos 1x ≤<，又0ln12π<<，∴()0f x '>，即在区间(0,]2π上单调递增，故方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上有且只有一个实根. 2.设数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足不等式1|6|125n S -<的最小整数n 是______. 解：易知数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭是首项是8，公比是13-的等比数列，∴18[1()]1366()131()3n n n S --==----，于是1|6|125n S -<⇔112132503125n n --<⇔>，∵53243250=<，63729250=>，故最小整数n 是7.3.已知n （n N ∈，2n ≥）是常数，且1x ，2x ， ，n x 是区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任意实数，则函数1212231(,,,)sin cos sin cos sin cos n n f x x x x x x x x x =+++ 的最大值等于_________.解：∵222a b ab +≤，∴1212231(,,,)sin cos sin cos sin cos n n f x x x x x x x x x =+++22222223112sin cos sin cos sin cos 222n x x x x x x +++≤+++2222221122(sin cos )(sin cos )(sin cos )2n n x x x x x x ++++++= 2n =，故所求函数的最大值等于2n.4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.解：圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有410109872101234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.解：由已知条件第n 次到达起始点的概率记为n a ，则到其他两点的概率为1n a -，则第1n +次到达起始点的概率为11(1)2n n a a +=-；所以接下来构造一个等比数列来进行计算.即1111()323n n a a +-=--，其中10a =，所以111()22(1)2332n n n n na ---+-==⋅.答案：22(1)32n n n +-⋅ 6.设O 是平面上一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AC ABOP OA AC AB λλ-=+，其中[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹为_________________. 解：∵||||AC AB OP OA AC AB λλ-=+ ，∴()||||AB ACOP OA AB AC λ-=++ ， 即()||||AB AC AP AB AC λ=+，又||AB AB ，||ACAC为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点P 的轨迹为BAC ∠的平分线.7.对给定的整数m ，符号()m ϕ表示{}1,2,3中使()m m ϕ+能被3整除的唯一值，那么201020102010(21)(22)(23)ϕϕϕ-+-+-=_________________.解：由二项式定理知，20101005100524(31)31p ==+=+，即20102被3除余1，∴2010(21)3ϕ-=，2010(22)1ϕ-=2010(23)2ϕ-=， 故201020102010(21)(22)(23)6ϕϕϕ-+-+-=.8.分别以直角三角形的两条直角边a ，b 和斜边c 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为a V ，b V ，c V ，则22a b V V +与2(2)c V 的大小关系是_________________.解： ∵222222222222222()()()3399a b V V b a a b a b a b a b c ππππ+=+=+=，224422242244(2)(2())()399c ab a b V h a b c c cπππ''=⋅+==⋅，∴作商，有22422222222222()(2)1(2)444a b c V V c a b ab V a b a b a b++==≥=，故222(2)a b c V V V +≥. 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（本小题满分16分）是否存在实数a ，使直线1y ax =+和双曲线2231x y -=相交于两点A 、B ，且以AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点？解：设交点A 、B 的坐标为11(,)A x y 、22(,)B x y ，由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩消去y ，得 22(3)220a x ax ---=，由韦达定理，得12223a x x a +=-， ① 12223x x a -=-， ② ∵以AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴OA OB ⊥，∴12120x x y y +=，即1212(1)(1)0x x ax ax +++=，整理，得21212(1)()10a x x a x x ++++=③将①②代入③，并化简得22103a a -=-，∴1a =±，经检验，1a =±确实满足题目条件，故存在实数a满足题目条件.2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数{}:1,2,3f Z →，满足对任意的整数x ，y ，若{}||2,3,5x y -∈，则()()f x f y ≠.证明：假设存在这样的函数f ，则对任意的整数n ，设()f n a =，(5)f n b +=，其中{},1,2,3a b ∈，由条件知a b ≠.由于|(5)(2)|3n n +-+=，|(2)|2n n -+=，∴(2)f n a +≠且(2)f n b +≠，即(2)f n +是{}1,2,3除去a ，b 后剩下的那个数，不妨设(2)f n c +=又由于|(5)(3)|2n n +-+=，|(3)|3n n -+=，∴(3)(2)f n f n +=+.以1n +代替n ，得(4)(3)(2)f n f n f n +=+=+，但这与|(4)(2)|2n n +-+=矛盾！ 因此假设不成立，即不存在这样的函数f . 3.（本小题满分20分）设非负实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求证：19(19)4abc ab bc ca abc ≤++≤+ 证明：先证左边的不等式.∵1a b c ++=，∴222222()()3ab bc ca ab bc ca a b c a b ab b c bc a c ac abc ++=++++=++++++639abc abc abc ≥+=再证右边的不等式. 不妨设a b c ≥≥，注意到条件1a b c ++=，得314()9()4()()9ab bc ca abc a b c a b c ab bc ca abc -+++=++-+++++()()()()()()a a b a c b b a b c c c a c b =--+--+--()[()()]()()0a b a a c b b c c c a c b =----+--≥，所以1(19)4ab bc ca abc ++≤+，综上，19(19)4abc ab bc ca abc ≤++≤+.。
2010年两省一市高三数学四校联考第四次高考模拟考试 理 人教版
2010年四校联考第四次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的某某、某某填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．参考公式：回归直线方程：x b ay ˆˆ+=，其中，x b y axn x yx n yx b n i i ni ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑== 标准正态分布函数：2221x ey -=π第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 若复数iia z -+=1（,a R ∈i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值等于 (A) 1- (B)2- (C)1 (D) 22. 若函数)cos()(θ+=x x f 在4π=x 时取得最大值，则θ2sin 等于(A) 1- (B)23-(C)1 (D) 23 3. 已知幂函数()x f 的图象经过点()27,3,则()2-f 的值等于(A)4 (B)4- (C)8 (D)8- 4． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,4sinπn a n =,则2010S 等于 (A)122+ (B)122-- (C)12+ (D)05. 已知集合(){}(){}24,,1,x y y x B x y y x A -==+==,B A C =,则集合C 中元素的个数为(A) 0个 (B)1个 (C)2个 (D) 无数个 6．用二分法求函数()43--=x x f x的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程043=--x x的一个近似解(精确到01.0)为(A)55.1 (B)56.1 (C)57.1 (D)58.1 7. 五名男同学,三名女同学外出春游,平均分成两组,每组4人,则女同学不都在同一组的不同分法有 (A) 30种 (B) 65种 (C) 35种 (D) 70种 8. 向量a ,b 的夹角为θ,则称a ◎b 为a ,b 的积,定义a ◎b θtan b a =,若5=a ,1=b ,3-=⋅b a, 则a ◎b 等于(A) 4 (B)320 (C) 320- (D) 4- 9. 假设关于某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：5521190,112.3ii i i i xx y ====∑∑， 则回归直线方程为(A) 1.230.08y x =+ (B) 03.025.1+=x y (C) 09.028.1+=x y (D)08.024.1+=x y10． 设双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的一条渐近线与抛物线22+=x y 无公共点，则双曲线的离心率e 的取值X 围是（A ）()22,1 （B ）()3,1（C）()∞+,22（D ）()+∞,311．为调查哈市高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，右图是此次调查中的某一项流程图，若其 输出的结果是3800，则身高在cm 170以下的频率为 （A ）24.0 （B ）38.0 （C ）62.0 （D ）76.0 12．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，31=AA ，1=AB ，N M ,分别在BCAD ,1上移动，且始终保持//MN 平面11D DCC ，设x AM =，y MN =，则函数()x f y =的图象大致是数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．） 13．已知()66221062x a x a x a a x ++++=- ,则_____________61=+a a .14. 平面内，两个正三角形的边长比为2:1，则其外接圆的面积比为4:1；类似地，空间中,两个正四面体的棱长比为2:1,则其外接球的体积比为___________. 15．设D 是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+01y x y y x 表示的平面区域,则D 中的点()y x P ,到直线01=++y x 的距离大于243的概率为__________________. 16．有一道数学题，因纸X 破损有一个条件模糊不清，具体如下“已知ABC ∆中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，且_________,4,3ππ==B A ,求a .”经推断,破损A A 1处条件为三角形一边的长度,且答案提示3=a .在横线上写出所有可能的答案.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，且公比1>q ，n S 为其前n 项和，43=a ,32=S ． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令n n na b =，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（本小题满分12分）某班级甲组有10名学生，其中有4名女生；乙组有5名学生，其中有3名女生.（Ⅰ）若从两组中各抽取两人进行心理健康测试，求每组至少抽到一名女生的概率； （Ⅱ）现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽 取3名学生进行心理健康测试.（i ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（ii ）记ξ表示抽取的3名学生中男生人数，求ξ的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）一个多面体的直观图和三视图如图所示(Ⅰ) 求证:BD PA ⊥； (Ⅱ) 若Q 为PD 上一点,且DP DQ 41=,求二面角D AC Q --的大小．20．（本小题满分12分）已知动点()y x P ,（0≥x ）到定点()0,1F 的距离与到y 轴的距离之差为1. （Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；A P D BC正 视 图 侧 视 图2俯 视 图（Ⅱ）若()2,1A ，C B ,为E 上两动点，且0=⋅AC AB ,求证：直线BC 必过一定 点，并求出其坐标.21.（本小题满分12分）函数()xx e e x f -+=2.(Ⅰ) 判断函数()x f 的奇偶性，并求其最大值； (Ⅱ) 求证：222x xxe ee ≤+-；(Ⅲ) 求证：()x f y =的图象与x 轴所围成的图形的面积不小于π2.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲在平面四边形ABCD 中,ABC ∆≌BAD ∆． 求证:CD AB //.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为06sin 2cos 62=+-+θρθρρ,曲线2C 的参数方D A CB程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x (θ为参数)．(Ⅰ) 将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (Ⅱ) 曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点,求AB 长.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()122++-=x x x f ．(Ⅰ) 画出()x f 的图象,并写出函数()x f 的值域； (Ⅱ) 若关于x 的不等式21122++>++-a a x x 对于任意R x ∈恒成立,某某数a 的取值X 围．2010年四校联考第四次高考模拟考试（高考资源网）数学试卷（理工类）评分标准一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CADABBACABAC二、填空题：13. 191- 14. 8:1 15. 4316. 226,2+==c b 三、解答题： 17．（本题满分12分）解：（Ⅰ）4213==q a a ,311212=+=+=q a a a a S ,则2=q 或32-=q ,因为1>q ,所以2=q ,所以11=a ,则12-=n n a ;---------------6分 （Ⅱ）12-==n n n n na b ,则12102232221-⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T ① 则2nn n T 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= ②所以①-②n T -=nn n 222221210⋅-++++=-则()121+-=nn n T .--------------------------------------------------12分18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）设每组至少抽到一名女生的事件为A则()+⋅=252321024C C C C A P +⋅25121321024C C C C C +⋅25232101614C C C C C 532512132101614=⋅C C C C C C ；-----------4分 （Ⅱ）(ⅰ)甲组抽取2人,乙组抽取1人；-----------------------------------------------------5分 (ⅱ)ξ的可能取值为0、1、2、3----------------------------------6分则()2520151321024=⋅==C C C C P ξ； ()7528115210122415132101614=+⋅==C C C C C C C C C P ξ ()7531215210121416151321026=+⋅==C C C C C C C C C P ξ；()1523151221026=⋅==C C C C P ξ-------9分则5153752751250=⋅+⋅+⋅+⋅=ξE .---------------------------12分19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由三视图可知ABCD P -为四棱锥,底面ABCD 为正方形,且PD PC PB PA ===,连接BD AC ,交于点O ,连接PO ，因为PO BD AC BD ⊥⊥,,所以⊥BD 平面PAC ，即PA BD ⊥；--------------------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由三视图可知,22,2==PA BC ,2241==PD DQ ，连接OQ , 因为OD AC OQ AC ⊥⊥,,所以DOQ ∠为二面角D AC Q --的平面角,PDO ∆中,2,22==OD PD ,则︒=∠60PDO ,DQO ∆中,2,22==OD QD ,︒=∠60PDO ,则︒=∠30QOD .-----------12分20.（本题满分12分）（Ⅰ）由已知题意得()1122+=+-x y x ,则x y 42=；---------------------------------------------------------4分（Ⅱ）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,4y y C , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2,14121y y AB ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2,14222y y AC , 因为0=⋅AC AB ,即()()0221414212221=--+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y y y , 即()02022121=+++y y y y ,-------------------------------------------8分2121221244y y y y y y K BC +=--=,则直线BC 的方程为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-4421211y x y y y y 即2121214y y y y y y xy +++=，令5=x 时,2-=y ,即直线过定点()2,5-.----------------------------------------------------12分21. （本题满分12分） （Ⅰ）定义域为R ,()()x f e e x f xx =+=--2,则()x f y =为偶函数，()()()022=+--='--x xx x eee e xf ,则0=x ,所以函数()x f y =在()0,∞-上单调递增,在()+∞,0上单调递减,则最大值()10=f ;------------------------------------------------------4分（Ⅱ）要证明222x x x e e e ≤+-, 只需证22ln 2x e e x x ≤+-, 设()22ln 2x e e x x x -+=-φ, 则()xx xx x x x x x x e e e xe e e x e e e e x -----+---=-+-='φ 令x x x x e xe e e x g -----=)(()0>x ，则()()0≤-='-x x e e x x g 所以，)(x g y =在()+∞,0上为单调递减函数，因此，()0)0(=≤g x g所以当0≥x 时,()0≤'x φ,又因为()()x x φφ=-,则()x φ为偶函数,所以()()00=≤φφx ,则原结论成立；----------------------------------------8分(Ⅲ)由标准正态分布2221x e y -=π与x 轴围成的面积为1,则由(Ⅱ)得2221221x x x e ee --≥+ππ， 则222122x x x e e e --⋅≥+ππ,所以()x f y =的图象与x 轴所围成的图形的面积不小于π2.------------------12分22．（本题满分10分）证明：连接BD AC ,交于点E ,因为BAD ABC ∆≅∆,则ACB ADB DBA CAB ∠=∠∠=∠,,所以BE AE =,则DE CE =,所以ACD BDC ∠=∠,则ACD BDC DBA CAB ∠+∠=∠+∠,则DCA CAB ∠=∠,即CD AB //.------------------------------------------------------------10分23．（本题满分10分）（Ⅰ）曲线1C 的直角方程为062622=+-++y x y x ---------------------------------------4分（Ⅱ）曲线1C 的直角方程为062622=+-++y x y x ①曲线2C 的直角方程为922=+y x ②则直线AB 的方程为①－②,即01526=-+y x ,则263242259=⨯-=AB .--------------------------------------------10分 24．（本题满分10分）（Ⅰ）图象略，值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,25；---------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）21122++>++-a a x x 恒成立, 则2125++>a a ,解得2->a 或38-<a .------10分。
2010年全国联赛模拟试题四
2010年全国联赛模拟试题四一.填空题(本题共8道小题每小题8分,满分64分)1.设A,B 为ΔABC 的两个锐角,则使得sin 2A+sin 2B=sin k (A+B) ,且0≤k ≤2的 A+B 的值是_______________.解:当k ≤2时,sin 2A+sin 2B=sin k (A+B)≥sin 2(A+B)=sin 2C 即a 2+b 2≥c 2 ∴cos C ≥0∴C=π-(A+B)≤2π∴A+B ≥2π,若A+B >2π,则sin k (A+B) =sin 2A+sin 2B >sin 2A+cos 2A=1∴当0≤k ≤2时,A+B=2π.2.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张,将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞.求两张都是假钞的概率.解:A=“两张都是假钞”，B=“两张中至少一张假钞”.要求P(A|B).因P(AB)=P(A)=22025C C ,P(B)=2201151525C C C C +, 所以,1728510)()()|(115152525==+==C C C C B P AB P B A P . 3.若(1+x+x 2)1005=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2010x 2010.则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 2010=_________;解:令f(x)=(1+x+x 2)1005=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2010x 2010.由3次单位根231i±-=ω使得f(ω)=0, f(ω2)=f(ω)=0,012=++ωω及f(1)=a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2010. f(ω)=a 0+ωa 1+ω2a 2+a 3+…+a 2010=0. f(ω2)=a 0+ω2a 1+ωa 2+a 3+…+a 2010=0.所以,a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 2010=31[f(1)+f(ω)+f(ω2)] =331005=31004.4.数列{a n }是集合{2x +2y +2z |0≤x<y<z,x,y,z ∈Z }中的数从小到大排成的数列,则a 2010的值是_________________;(A)24+221+222 (B)25+221+223 (C)25+222+223 (D)24+222+224解:令f(x,y,z)=2x +2y +2z ,因f(21,22,23)是第324C =2024项,所以,a 2008=f(7,22,23)=27+222+223.5.关于x 的方程[x]{x}+x=2{x}+10的解集是________________________________; (其中[x]表示不超过x 的最大整数, x=[x]+{x})解:将x=[x]+{x}代入原方程得:([x]-1)({x}+1)=9,即}{11][9x x +=- 因1≤1+{x}<2,所以,4.5<[x]-1≤9, [x]=6,7,8,9,10,1+{x}=1,89,79,23,59,x=[x]+{x}=10,819,728,217,546.6.在集合A={1,2,…,10}中选取若干个(不少于3个)构成等差数列的数做成子集B,则这种子集B 的个数是_______________.解:设集合B 中最大数为k(3≤k ≤10),|B|=m+2(m ≥1),且B 中等差数列的公差为d,则B 中最小数为k -(m+1)d ≥1,得m ≤1]1[--dk ,从而对于固定的d,这种子集的个数为1]1[--d k 个,令d 取1,2,…,k -1,得这种子集B 的个数是: g(k)=(1]11[--k )+(1]21[--k )+(1]31[--k )+…+(1]11[---k k ) =]21[-k +]31[-k +…+]11[--k k , 所以f(10)=∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-+-=103103]11[]31[]21[)(k k k k k k k g ]99[]39[]29[]44[]34[]24[]33[]23[]22[++++++++++= ]99[]89[]88[]39[]34[]33[]29[]23[]22[+++++++++++=5512345443)21(3)4321(2=+++++++++++++=.7.设OABC 是边长为1的正四面体，E 、F 分别为AB 与OC 的中点.则异面直线OE 与BF 的距离是________.解:令,,,===则,21),(21-=+=假设z y x ++=是OE 与BF 的公垂线向量,则有⎩⎨⎧=+=++⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-++=⋅=++=+++=⋅0302330)3(41)21)((0)233(41))((21y x z y x y x z y x z y x b a c z b y a x OE n , 取33)3,1,3(--=--=,则1039319||=+--=,1)33(=⋅--=⋅, 所以,向量b OB =在上的射影长1010||==n d 即为所求. 8.设S={1,2,…,n},A 为至少含有两项的公差为正的等差数列,A ⊆S 且当将S 的其它元素置于A 中时,均不能构成与A 有相同公差的等差数列.则A 的个数是________. 解:当偶数n=2k 时,满足题意的每个数列A 中必有连续两项,使得其前一项在集 {1,2,…,k}中而后一项在{k+1,k+2,…,2k}中,反之,从集合{1,2,…,k}与集合 {k+1,k+2,…,2k}中各任取一项,以两项差为公差可得一满足要求的数列 A.显然,这是一一映射,所以,A 的个数为k 2=42n .当奇数n=2k+1时,相应集合为{1,2,…,k}与{k+1,k+2,…,2k+1},相应A 的个数为k(k+1)=412-n .综合之得满足条件的数列A 的个数为]4[2n .三.解答题(本题共3道满分44分)9.(16分)如图,已知矩形OABC 的边|OA|=a,|OC|=b,点D 在AO 延长线上,|DO|=a,ABCOEF设M,N 分别是边OC,CB 上的动点,且满足0||||||||≠=NC BN MC OM . (Ⅰ)建立适当坐标系,求直线DM 和AN 交点P 的轨迹方程; (Ⅱ)求a,b 满足的关系,使得0=⋅PB PA 且点P 在OB 上. 证明:(Ⅰ)建系如图,则A(a,0),B(a,b),C(0,b),D(-a,0),令λ==||||||||NC BN MC OM ,则M(0,λλ+1b ),N(λ+1a ,b), 直线DM 为:y=)()1(a x ab++λλ ① 直线AN 为:y=)()1(a x a b -+-λλ ②,将①×②得: y 2=)(2222a x a b --,即 12222=+by a x (0<x<a,0<y<b). (Ⅱ)设P(acos θ,bsin θ),)2,0(πθ∈,由P 在直线x a by =上得: cos θ=sin θ,4πθ=, P(22a,22b),由)22,22()22,22(b b a a b a a --⋅--=⋅ =0)221(22)221(222=---b a 即22)21(b a +=. 10.(20分)函数f(x)满足对于任意的x,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y),且f(x)在[0,1]上单调递增.证明: f(x)为周期函数.解:令x=y=0得f(0)=2f(0)f(1),所以f(0)=0或f(1)=21,令x=0,y=1得f(1)=[f(0)]2+[f(1)]2,令x=y=21得f(1)=2[f(21)]2.若f(1)=21,则f(0)=21±,f(21)=21±,因()f x 在[0,1]单调递增,故f(0)<f(21)<f(1)矛盾,因此f(0)=0,f(1)=[f(1)]2,所以,f(1)=1.令y=1得f(x+1)=f(x)f(0)+f(1-x)f(1)=f(1-x),即f(x)=f(2-x).令x=21,y=21-得f(0)=f(21)f(23)+f(21)f(21-),因f(21)>f(0)=0,所以,f(21-)==-f(23)=-f(21),即f(21-)=-f(21).令y=-1得f(x-1)=f(x)f(2)+f(1-x)f(-1)=f(1-x)f(-1),对该式取x=21得f(21-)=f(21)f(-1),所以, f(-1)=-1,从而f(x-1)=-f(1-x),即对于任意x ∈R 恒有f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.从而f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=-f(4-x)=f(x-4),即f(x)为周期函数.11.求最小的正数c,使得只要n=m k kk 22221+++ (k 1,…,k m ∈N,k 1>k 2>…>k m ≥0),就有n c m k k k <+++22222221 .解:因对n=k 2时,有2222k k c ⋅<,所以,c>1. 因对n=k 2+12-k +…+2+1=2k+1-1,有121222121212-<+++++-k k k c ,即12121211-<--++k k c ,所以, )12(21121112)12(121111+⋅--=--->++++k k k k c ,令t=121+k ,则 )10(11)12()12(112<<+-+=+⋅-->t ttt t c 恒成立,所以,c ≥21+,c min =21+. 现对m 归纳证明:当m=1时,已知成立,假设对m 成立,即n 的二进制表示中有m 个非零项时成立,对m+1.设n=121222++++m k kk (k 1>k 2>…>k m+1≥0),则n-12k=132222++++m k k k ,由归纳假设得:11322)21(222222k k k k n m -+<++++ ,所以,222121222++++m k k k112)21(22k k n -++<,现证:n n k k )21(2)21(2112+<-++:⇔>--+⇔+<-++2211112)2)(21()21(2)21(2k kk k n n n n1222222)21(222)21(2132121111122>++++++++⇔>-++++m m k k k k k k k k k k n n ①.因12122222211111121-=++++≤++++-+k k k k k k m ,12121222222122213211-≤-=++++≤++++-+k k k k k k k m ,所以,① 左端122)21(21212)21(21111111212=++>-+-+≥++k k k k k k ,即对m+1成立.故c min =21+.二试题(本题共3道小题每小题50分,满分150分)一.(50分)如图,半径分别为r,R 的两圆Г1,Г2相交于A,B 两点,过点B 的一条直线分别交圆Г1,Г2于点C,D,过点B 的另一条直线分别交圆Г1,Г2于点E,F.如果弧AEB 与弧ABD 长度之比为r ∶R.求证:(Ⅰ)圆AEF 与圆ACD 的一个交点G 在线段FD(Ⅱ)BF=CG .证明: (Ⅰ) 连结AB,AC,AD,AE,AF,连结CE 并 延长交FD 于G ,连结AG .则由A,B,D,F与A,C,B,E 分别四点共圆得 ∠AEC=∠ABC=∠AFD 知A,E,G ,F 四点共圆,所以, ∠AGE=∠AFE=∠ADC,从而A,C,D,G 四点共圆, 故圆AEF 与圆ACD 的一个交点G 在线段FD 上.(Ⅱ)设弧AEB 与弧ABD 所对的圆心角分别为βα,,因弧AEB 与弧ABD 长度之比为r ∶R,及A,B,D,F 四点共圆,Г所以,RrR r =βα,即βα=,所以,∠ACB=∠AFD=∠ABC,从而AB=AC, 又由(Ⅰ)知∠AFB=∠AGC,可得ΔACG ≌ΔABF,所以,BF=CG .二.(50分)设数列{x n }满足:x 1=2011,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=--n x x x n n n )1(211,n=2,3,….其中[x]表示不超过x 的最大整数.求数列{x n }的通项x n .解:令a n =x n -1,代入已知等式得:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--112n n n a n a a . 当n=2时,,670320102211⨯===⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a 2010222112⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=a a a当n=3时,,6704201034322⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 67042010232223⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=a a a 当n=4时,670567022010423⨯=⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ,….猜测:)1(67021+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n a n n ,即 )1(6701++=-n a a n n ,a n -a n-1=670(n+1),亦即,112211a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =670[(n+1)+n+…+3+2+1]=335(n+1)(n+2). 以下归纳证明:a n =335(n+1)(n+2).证明:当n=1时,显然成立.假设a k =335(k+1)(k+2)(k ≥1),则对n=k+1有[])2(670)2)(1(335121++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+k k k a k a a k k k=335(k+1)(k+2)+670(k+2)=335(k+2)(k+3).即对n=k+1等式成立. 所以, a n =335(n+1)(n+2),x n =a n +1=335(n+1)(n+2)+1.三.(50分)证明:对于任意正整数k ，总存在满足下列条件的正整数n ： (ⅰ)n|2n +1，(ⅱ)n 恰有k 个不同的素数因子. 证明：对k 用归纳法，当k=1时，n=3满足条件；假设对于k≥1存在n且n是3的倍数，满足条件.则n必为奇数.对于k+1,我们要找正整数N满足:N|2N+1且N恰有k+1个不同的素数因子.因22n-2n+1=(2n+1)(2n-2)+3,所以,3|22n-2n+1,因n|2n+1,所以3n|23n+1,因(2n+1,22n-2n+1)=(2n+1,3)=3,且对于n=3r(r∈N*,r为奇数),有22n-2n+1=64r-8r+1≡3(mod9),即22n-2n+1不是3的方幂.所以22n-2n+1>3,且22n-2n+1必有大于3的奇素因数p，且p不整除2n+1(否则与(2n+1,22n-2n+1)=3矛盾),从而p不整除n,但3np|23n+1，3np|23np+1，且3np中恰有k+1个不同的素因子，即对k+1存在满足条件的正整数N=3n p.故对于任意正整数k，总存在满足题设条件的正整数n.四.(50分)客车上共20位乘客，已知乘客A不认识(相互)其他任何一位乘客.那么,这20位乘客中至少有多少个这样的三人组,他们两两认识或两两不认识?请证明你的结论.解法1：将20位乘客用20个点表示,设除A点外，其余19个点为A1,A2,…,A19，如果其中任何两位乘客认识,则相应两点间以绿色线段连结,否则以红色线段连结.于是,问题归结为:将20个点两两连线，并以红绿两种颜色染这些线段,且A点连出的都是红线.求至少有多少个三边同色的三角形.设过A i(i=1,2,…,19)共连出k i条蓝边(k i=0, 1,2,…,18),则以A i为顶点的异色角(两边不同色的角)共有k i(19-k i)个(因过A i连出19-k i 条红边).因k i(19-k i)=-k i2+19k i ,当k i=9或10时,取最大值90,所以,所有异色角最多有90×19=1710个,而每个异色三角形(三边不同色)均有两个异色角,故异色三角形最多有855个.C=1140个,所以同色三角形至少有1140-855=285个.因所有三角形共有320下面给出一种染色方案,恰染出285个同色三角形:在A,A 1,A 2,…,A 9的两两间都连红线,在A 10,A 11,…,A 19的两两间也都连红线,除A 点向A 10,A 2,…,A 19连出的都是红线外,其余各连线都是绿色.则可得红色三角形2103102C C =285个.故至少有285个满足题设条件的三人组.解法2:问题转化同解法1.因共有三角形320C =1140个,设同色三角形x 个,则异色三角形1140-x 个,而每个同色三角形有3个同色角,每个异色三角形有1个同色角,故同色角的总个数为:y=3x+1140-x=1140+2x.另一方面,以A 点为顶点的同色角有219C =171个,除A 点外,以其它某一点为顶点的同色角至少有29C +210C =81个,故y=1140+2x ≥171+19×81=1710.解得 x ≥285.以下同解法1.。
2010年全国数学联赛陕西省预赛
2010年全国高中数学联赛陕西赛区预赛第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1.设集合2{5,log (3)}A a =+，B={a ，b}，a 、b ∈R 。
若A ∩B={1}，则A ∪B=__________.2.如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y x =、12y x =、x y =的图像上，且矩形的边分别平行于两个坐标轴。
若点A 的纵坐标为2，则点D的坐标为__________.3.将四个全等的直角三角形可以拼成如图（1）所示的正方形弦图，还可以拼成如图（2）所示的菱形。
若图中大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图（2）中菱形的一个锐角的余弦值为__________.4.一个长方体的体对角线长为10，这条对角线在长方体一个表面上投影的长为8，则这个长方体体积的最大值为________.5.从一个正方体的8个定点中取出3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为______.6.设a 、b 、c 是三个素数（质数），且满足abc =5（a+b+c ），则这三个数从小到大依次是________.7.若关于x 的方程32*40(,)x ax bx a b N ++-=∈有正整数解，则|a -b|=__________.8.设对于任意的正整数n ，都有11[1a n n <<L L . 则实数a=__________.二、解答题（本大题共2小题，第9题16分，第10题20分，共36分）9.在△ABC 中，→AB·→AC=8，记∠BAC=θ，△ABC 的面积为S ，且满足4（2- 3 ）≤S ≤4 3 . （1）求θ的取值范围；（2）求函数22()()2cos 4f πθθ=++ 10.设动圆圆心在抛物线214y x =上，半径等于该圆圆心的纵坐标。
求所有这样的圆上点的集合。
第二试一、（本题满足30分）已知函数3()log ,03a x f x a x -=>+，且a ≠1。
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2010年全国高中数学联赛模拟题4一试考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分） 1、 用区间表示函数1()ln(1)3x f x x -=-+的定义域为 ； 2、在△ABC 中。
若1sin cos 3A A +=-，则cos 2A = ；3、在数列{}n a 中，1*112,22()n n n a a a n N ++=-=∈,则使10n a >成立的最小正整数n 的值是 ；4、已知()f x 是R 上的奇函数，对任意x R ∈，均有(2)()f x f x +=，且(0,1)x ∈时，2()f x x =，则3()(1)2f f -+= ；5、如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为正方形，△P A B 为等边三角形，O 为A B 边的中点，且P O ⊥平面A B C D ,则二面角P A C D --的余弦值为 ； 6、若正整数m 使得对任意一组满足12341a a a a =的正数1234,,,a a a a 都有123412341111mmmma a a a a a a a +++≥+++成立，则正整数m 的最小值为7、函数22*()sin cos ,()k k f x x x k N =+∈的最小值为8、将方程33[]40x x -⨯-=（[]x 表示不超过x 的最大整数）的实数解从小到大排列成12,,,k x x x ，则33312k x x x +++=二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）设二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈与x 轴有交点。
若对一切x R ∈,有1()0f x x+≥，且2223()11x f x +≤+，求,b c 的值。
10、（本题20分）记集合,5,6,7}{0,1,2,3,4T =，)4,3,2,1(=i a i 是T 中可重复选取的元素．（1）若将集合}4,3,2,1,888{432231=∈+⨯+⨯+⨯=i T a a a a a M i 中所有元素按从小．到大．的顺序排列，求第2008个数所对应的)4,3,2,1(i =i a 的值； （2）若将集合}4,3,2,1,8888{N 4433221=∈+++=i T a a a a a i 中所有元素按从大．到小．的顺序排列，求第2008个数所对应的)4,3,2,1(i =i a 的值．11、（本题20分）已知椭圆159x22=+y的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，过2F 的直线交椭圆于C 、D 两点，且CD AB ⊥，垂足为P ．（1）设P 点的坐标为),(00y x ，求592020y x +的最值；（2）求四边形ACBD 的面积的最小值．2010年全国高中数学联赛模拟题4加 试9：40~12：10共150分钟 满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（本题40分）已知三角形ABC 为锐角三角形，AB≠AC ，以BC 为直径的圆分别交AB ，AC 于点M ，N ，记BC 的中点为O ，∠BAC 的平分线和∠MON 的平分线交于点R.求证：三角形BMR 的外接圆和三角形CNR 的外接圆有一个交点在边BC 上.（45届IMO ）2、（本题40分）设a 1,b 1（i=1,2,…,n ）是有理数使得对任意的实数x 都有∑=+=++ni i ib x ax x 122.)(4求n 的最小可能值。
(2006国家队集训题，第二天)3、设,199}{1,2,3,I =，I },,,,{A 100321⊂=a a a a ，且A 中元素满足：对任何100j i 1≤<≤，恒有200≠+j i a a ．（1）试说明：集合A 的所有元素之和必为偶数；（2）如果10002100321=++++a a a a ，试求2100232221a a a a ++++ 的值．4、（本题50分）对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？（06上海竞赛）2010年全国高中数学联赛模拟题4参考答案 一试1、 ( 3.1)-- 293、3，*1112,1()22n n n na a a n N ++=-=∈4、14,(12)(1),(1)0f f f -+=-=5、7-6、3，用排序不等式，右边＝234134124123a a a a a a a a a a a a +++ 不妨设1234a a a a ≥≥≥，列出三组必定成立7、112k -，观察，归纳，证明。
8、16 33[]4x x =+,当[]0x >时，3323[]4[][]x x x x =+≥≥， ∴3[]3[]40x x --≤，1[]4x -≤≤，∵[]0x >，∴0[]4x <≤ 由于[]x Z ∈，验证可知[]1x =，此时，x =[]2x =此时x =当[]0x =时，无解当[]0x <时，[]{}x x x =-，由于0{}1x ≤<，故0[]1x x ≤-< 又33[]43({})433{}4x x x x x x =+≥-+=-+ ∴33340x x -<--≤由3340x x --≤ 得117117122x x ---+<-≤≤当1x <-时，3334x x -<--不成立；又[]0x < 易得10x -≤≤，x Z ∈,∴1x =-，033312k x x x +++= 169、11||||2||x x xx +=+≥，所以，对满足||2x ≥的实数x ，有()0f x ≥，则2()0f x x bx c =++=的实根在区间[2,2]-内，所以2()(,)f x x bx c b c R =++∈在区间[2,)+∞是增函数且(2)0420(2)0420(*)44222f b c f b c b b ⎧⎪≥-+≥⎧⎪⎪-≥⇒++≥⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎪-≤-≤⎩又2222312(2,3]11x x x +=+∈++，所以2223()11x f x +≤+，即(3)1,931f b c =++=代入（*）得，只有4b =-，此时4c =10、解：（1）记432231888a a a a +⨯+⨯+⨯=4321a a a a ，它表示一个８进制数；Ｍ中最小值为0，第2008个数在十进制数中为2007，将2007化为８进制数即为3727，所以7,2,7,34321====a a a a ．（２）因为)888(81888843223144433221a a a a a a a a +⨯+⨯+⨯+++＝，括号内表示的8进制数，其最大值为7777；∵ 7777＝4095787878723＝+⨯+⨯+⨯，从大到小排列，第２００８个数为 ４０９５－２００８＋１＝２０８８ 因为2088＝4050，所以0,5,0,44321====a a a a ．11、解：（１）由已知得1F （－２，０），2F （２，０），Ｐ1F ⊥Ｐ2F ，∴Ｐ),(00y x 满足220202x =+y ，∴4x 0,4y 202020≤≤-=且x ，∴592020y x +＝20x 45454-，∴它的最小值为94，最大值为54．（２）若直线AB 的斜率k 存在且不为０，因CD AB ⊥，∴直线AB 的方程为2)k(x y +=，直线CD 的方程为2)(x k1-y -=．联立159x22=+y和2)k(x y +=，消去y 得：0453636)5(9k2222=-+++kx k x ，0)1(3022>+=∆k ，设),A(x 11y ，),(22y x B ，则5936x 2221+-=+k kx ，5945362221+-=kk x x ，AB =59)130(k 22++k；联立159x22=+y和2)(x k1-y -=，消去y 得：0453636)9(5k222=-+++kx x ，0)1(30222>+=∆kk ，设),C(x 33y ，),(44y x D ，则2435936x kx +-=+，2243594536kk x x +-=，CD =2259)130(kk++；2222222222)59()59()1(450)59)(59()1(45021⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++≥+++=⋅=k k kk kk CD AB S ACBD =49450，当1k ±=时等号成立． 当k 为0或不存在时，10310621S ACBD =⨯⨯=49450>；综上，四边形ACBD 的面积的最小值为49450．2010年全国高中数学联赛模拟题4二试1、证明：首先证明A,M,R,N 共圆。
因为三角形ABC 为锐角三角形，故M 、N 分别在线段AB 、AC 内。
在射线AR 上取一点R 1,使A 、M 、R 1、N 共圆。
因为AR 1平分∠BAC ，故R 1M ＝R 1N.而点M,N 在以O 为圆心的圆上，故OM=ON 。
由OM=ON ，R 1M ＝R 1N 知点R 1在∠MON 的平分线上。
而AB≠AC ，则∠MON 的平分线与∠BAC 的平分线不重合、不平行，有唯一交点R,从而R 1=R,即A,M,N,R 共圆。
其次，设AR 的延长线交BC 于K,则K 在BC 边上。
因为B,C,N,M 共圆，故∠MBC=∠ANM.又因为A,M,N,R 共圆，故∠ANM ＝∠MRA ，所以∠MBK ＝∠MRA,所以B,M,R,K 共圆。
同理可证C,N,R,K 共圆。
证毕C2、解：因,2121123214222222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x故n=5是可以的，下证n=4不可以。
反证法 设∑=∈+=++4122,,,)(4t i i i iQ b a b x ax x则∑∑∑======41412412,4,21,1t t i i i t ib b a a故⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===41412412415i i i i i i i b a b a 234431221)(b a b a b a b a +-+-= 242241331)(b a b a b a b a +-+-+ 223321441)(b a b a b a b a +-+-+上表表明)8(mod 1522222d dcb a -==++有理，不妨搞a ，b ，c ，d 至少有一个奇数，且),8(mod 4,1,0,,,2222=dc b a 上式显然无解，矛盾。
3、解：（1）将集合,199}{1,2,3,I =的所有元素分组为{1,199}、{2,198}、……、{99,101}、{100}，共100组；由已知得，集合A 的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成．∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个， ∴集合A 的所有元素之和必为偶数．（2）不妨设9921,,,a a a 为依次从以上前99个集合中选取的元素，100100=a ， 且记各集合的落选元素分别为9921,,,b b b ，则200=+i i b a ，)99,,2,1( =i ， 由于2222321n ++++ =6)12)(1(++n n n∴ )(2100232221a a a a ++++ +)(2992221b b b +++=2222199321++++ =6)11992)(1199(199+⨯+=2646700，……①而)(9921a a a +++ +)(9921b b b +++ =1980099200＝⨯，)(9921a a a +++ =10002-100=9902，∴ )(9921b b b +++ =19800-9902=9898∴ )(2100232221a a a a ++++ -)(2992221b b b +++ =)(2121b a -+)(2222b a -+…+)(299299b a -+2100a=))((1111b a b a -++))((2222b a b a -++…+))((99999999b a b a -++2100a=200)[(9921a a a +++ -)](9921b b b +++ ）+10000=108001000098989902200＝）（+- ……② 由①②得：)(2100232221a a a a ++++ =1328750 ．4、解 设不同的染色法有n p 种．易知36p =．当4n ≥时，首先，对于边1a ，有3种不同的染法，由于边2a 的颜色与边1a 的颜色不同，所以，对边2a 有2种不同的染法，类似地，对边3a ，…，边1n a -均有2种染法．对于边n a ，用与边1n a -不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边1a 颜色相同的情况，而边1a 与边n a 颜色相同的不同染色方法数就是凸n －1边形的不同染色方法数的种数1n p -，于是可得1132n n n p p --=⨯-， ()1122n n n n p p ---=--．3于是 ()33232(1)2(1)2n n n n p p ---=--=-⋅， 2(1)2n nn p =+-⋅，3n ≥．综上所述，不同的染色方法数为2(1)2n n n p =+-⋅．。