分段函数图象的应用
借助Desmos软件浅谈“六步教学法”在分段函数的定义及图象中的应用
借助Desmos软件浅谈“六步教学法”在分段函数的定义及图象中的应用摘要：Desmos是一款动态数学工具软件，借助它可以轻松绘制函数图象，然后帮助学生数形结合，总结并理解函数性质，加强应用。
本文将依托“六步教学法”，介绍《函数的表示法——分段函数的定义及图象》的具体教学实践。
关键词：Desmos软件，六步教学法，分段函数分段函数作为函数的一部分，它加深了对函数定义、定义域、值域及函数表示法的理解，它对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，想要作出它的函数图象并总结相应的性质，对学生存在较大困难，借助软件作图，学生对函数图象有了直观的认识，更有利于加深学生对函数的理解和应用。
Desmos作为一款融几何、代数和微积分等于一体的动态数学工具软件，能够深入数学学科内部，展现数学对象的严格数量关系和几何关系，以及运动与变化中的数学规律，能够帮助学生认识数学的本质，推动学生的数学思维向更高层次发展。
这个软件最大的优点就是输入函数式就能绘制出函数图象，改变函数的位置就能改变相应的参数值，作用是双向的，因此，此软件非常适合数形结合，帮助学生通过图象总结函数的性质。
“六步教学法”作为课堂教学的6个环节，包括“课前学习，初探新知”，“情境导入，明确任务”，“引领学习，主动探究”，“练习实践，过程检验”，“展示评价，总结提升”，“布置作业，课后延伸”，涉及课前，课上及课后三个学习过程，打破了教学时间和空间的局限性，延伸和扩展了课堂的有效边界，加强学生对于知识的理解与应用，也帮助授课教师有的放矢，有效把控教学的每个环节。
具体教学过程如下：一、课前学习，初探新知（一）布置任务，自主学习1.观看微课《分段函数》2.预习教材P42—43，分段函数3.完成学案练习（二）设计意图教师优选教学内容，布置课前学习任务，通过观看微课，预习教材，完成检测练习等方式引导学生自主学习，针对学生产生的问题和困惑，在课堂上进行重点讲解。
分段函数
（2）若f(a)=3,求a的值；
（3）求f(x)的定义域与值域.
（1） f ( 7 ) 7 2 1 4 4 4
7 1 1 1 f f ( ) f ( ) 2 4 4 4 2
7 1 f f f ( ) f ( ) 1 4 2 （2）∵f(a)=3,
y
x 2, x 2 y 2 x , x 2
o
1
2
x
x2
x2
定义： 有些函数在它的定义域中，对于自变量 x的不同取值范围，对应法则不同，这样的 函数通常称为分段函数.
注意： 1、分段函数是一个函数，而不是几个函数 . 2、分段函数的定义域是各段定义域的 并集，值域也是各段值域的并集
1 1 = 2× 2×(2+1)-(2-x)(2-x) 3 1 2 5 = - 2 x +2x- 4 ≤x≤2. 2
2×2 1 1 x2 8
×
1 3 ≤x＜ . 2 2
2
＋（x-
1 ）× 2 2
∴所求函数的关系式为 1 2 1 x 0x 2 2 1 1 1 3 y x x 2 8 2 2 3 1 x 2 2x 5 x2 2 4 2 ∴函数的定义域为［0,2］,值域为[0, ] 【评析】分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集,值 域也是y在各部分值的取值范围的并集,因此,函数的解析式、 定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出.
求f{f［f(3)］}
【分析】求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值 在定义域的哪个子区间，然后用与这个区间相对应的对应关 系来求函数值.
【解析】∵3∈［2,+∞),
∴f(3)=32-4×3=-3. ∵-3∈(-∞,-2］,
分段函数知识点总结整理
分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。
分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。
本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。
1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。
通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。
在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。
2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。
在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。
需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。
3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。
需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。
4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。
当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。
例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。
5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。
分段函数的图像和性质
分段函数的图像和性质分段函数就像它的名字所描述的那样：它是由几个不同的函数段拼接在一起而成的。
这种类型的函数在数学和实际生活中都扮演着重要角色。
在这篇文章中，我们将讨论分段函数的图像和性质。
一、分段函数的图像分段函数的图像可能由几个不同的部分组成，每个部分都可以是一个简单的函数。
这些部分可以通过设定分界点来分隔开来，每一个分界点都表示着一个从一个函数变成另一个函数的转折点。
在这个转折点处，函数可以连续，也可以不连续，这取决于函数本身和特定的数值。
例如，考虑这样一个分段函数：f(x) ={ x^2 , x<0{ 2x , x>=0这个函数在 x=0 处存在一个分界点，f(0)=0。
在此之前，函数的形式为x^2，而在此之后，则是2x。
这个函数在x=0 处不连续，因为两个方程的斜率不同。
具体来说，左侧函数在 x=0 处的斜率是0，而右侧函数在这个点的斜率是2。
二、分段函数的性质1. 连续性像上面那样不连续的函数，叫做不连续函数。
尽管它们在某些点上不连续，但它们仍然有意义和应用。
这就意味着它们仍然有定义域和值域。
一些函数是连续的，这意味着它们在定义域内的每个点都是连续的。
这意味着它们没有锐利的变化，没有跳跃。
相反，它们变化平稳，可以用通常的方法来处理。
例如，线性函数就是一个连续函数。
在线性函数中，斜率是常数，同一个函数在定义域内的每一个值都是连续的。
2. 奇偶性分段函数可能是奇函数、偶函数，或既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数是这样的函数，满足 f(-x)=-f(x)。
换句话说，如果把函数关于原点翻转，那么它的值保持不变。
例如，函数 f(x) = x^3 是一个奇函数。
因为当 x=-a 时，f(-a)=-a^3，而 f(a)=a^3。
因此，f(-a)=-f(a)。
偶函数是这样的函数，满足 f(-x)=f(x)。
这意味着把函数关于 y 轴镜像，函数的形状保持不变。
例如，函数 f(x) = x^2 是一个偶函数。
七年级数学分段函数知识点
七年级数学分段函数知识点数学分段函数是七年级数学的一个重要知识点，它是由两个或多个线性函数组成的函数。
这些线性函数在不同的定义域上有不同的表现，因此需要在定义域上划分区间，进而构成一个分段函数。
本文将介绍数学分段函数的定义、图像、性质以及应用。
定义数学分段函数是由不同的线性函数组成的函数。
它的定义域被分成了若干个区间，每个区间内都对应一个不同的线性函数。
简言之，分段函数是由若干个区域组成，其中每个区域内对应一条线性函数。
例如，下面的函数就是一个分段函数：f(x) = 2x + 1 (x≤2)f(x) = x + 3 (x>2)这个函数在x≤2时等同于y=2x+1，而在x>2时等同于y=x+3。
图像数学分段函数的图像通常由不同的线性段组成。
每个段都是由一组坐标点来定义的。
例如，考虑上面的分段函数：f(x) = 2x + 1 (x≤2)f(x) = x + 3 (x>2)在x=2处这个函数取到了一个分界点，函数使用不同的线性段来定义。
因此，它的图像看起来像一个由两个直线段组成的图形。
性质1. 分段函数中的每条线性函数都是连续的。
2. 分段函数可以是单调上升的、单调下降的或者任意的。
3. 分段函数在每个区间内都有一个最大值或最小值。
应用分段函数在实际问题中经常出现。
例如，经济学中的“垃圾时间电费”，就是一个常见的分段函数。
在该问题中，电费以一定的费率计算。
然而，在某些时间段内，电费可能会受到不同的费率影响。
因此，用分段函数来计算不同时间段的电费就很有必要了。
总而言之，七年级数学中的分段函数是一个非常重要的知识点。
在掌握了基本的定义、图像、性质和应用之后，我们就可以灵活地应用这个函数来解决实际问题。
高中数学第三章函数-分段函数教师用书新人教B版必修第一册
第3课时分段函数问题导学预习教材P90－P92的内容，思考以下问题：1．什么是分段函数？2．分段函数是一个函数还是多个函数？1．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．■名师点拨(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．(2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．2．分段函数的图像分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图像．■名师点拨在画每一段函数图像时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图像即可，即“分段作图”．3．常数函数值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0是分段函数．( )(3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④答案：B已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0B ．13 C ．1D ．2解析：选C.f (2)＝2－1＝1.函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，－2，x <0的定义域为______________，值域为______________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)分段函数的定义域、值域(1)已知函数f (x )＝|x |x，则其定义域为( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0<x <1，0，x ＝0，x 2－1，－1<x <0的定义域为________，值域为________．【解析】 (1)要使f (x )有意义，需x ≠0， 故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由已知得，f (x )的定义域为{x |0<x <1}∪{0}∪{x |－1<x <0}＝{x |－1<x <1}，即(－1，1)，又0<x <1时，0<－x 2＋1<1，－1<x <0时，－1<x 2－1<0，x ＝0时，f (x )＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．【答案】 (1)D (2)(－1，1) (－1，1)(1)分段函数定义域、值域的求法①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集．(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1，则函数的定义域为________，值域为________．解析：由已知得，f (x )的定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R ，又x ∈[－1，1]时，x 2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]．答案：R [0，1]分段函数的求值问题已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．【解】 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， －2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34.(变问法)本例条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值． 解：①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1， 所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0， 所以(a －1)(a ＋3)＝0， 所以a ＝1或a ＝－3.因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)， 所以a ＝1符合题意． ③当a ≥2时，2a －1＝3， 所以a ＝2符合题意．综合①②③知，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.(1)分段函数求函数值的方法①确定要求值的自变量属于哪一段区间；②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知函数值求字母取值的步骤 ①先对字母的取值范围分类讨论； ②然后代入到不同的解析式中； ③通过解方程求出字母的值；④检验所求的值是否在所讨论的区间内．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f (x －1)，x ≥2，则f (2)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．解：当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )>2，得x ＋2>2，解得x >0，故x >0； 当x <－2时，f (x )＝－x －2， 由f (x )>2，得－x －2>2， 解得x <－4，故x <－4. 综上可得：x >0或x <－4.分段函数的图像及应用角度一分段函数图像的识别(2019·济南检测)函数y＝x2|x|的图像的大致形状是( )【解析】 因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图像为选项A.【答案】 A角度二 分段函数图像的画法分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1.(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x <－2，－3x ，－2≤x ＜2，－3，x ≥2.【解】 各函数对应图像如图所示：由图像知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．角度三分段函数图像的应用某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图像是一条折线(如图所示)，根据图像解下列问题：(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？【解】 (1)当0≤x ≤100时，设函数关系式为y ＝kx . 将x ＝100，y ＝65代入， 得k ＝0.65，所以y ＝0.65x .当x >100时，设函数关系式为y ＝ax ＋b . 将x ＝100，y ＝65和x ＝130，y ＝89代入，得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋b ＝65，130a ＋b ＝89，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.8，b ＝－15. 所以y ＝0.8x －15.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.65x ，0≤x ≤100，0.8x －15，x >100.(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．(3)当x ＝62时，y ＝62×0.65＝40.3(元)； 当y ＝105时，因为0.65×100＝65<105，故x >100， 所以105＝0.8x －15，x ＝150.即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．分段函数图像的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像．(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．已知函数f (x )＝|x |－x2＋1(－2<x ≤2)．(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数； (2)在坐标系中画出该函数的图像，并写出函数的值域． 解：(1)①当0≤x ≤2时，f (x )＝x －x2＋1＝1.②当－2<x <0时，f (x )＝－x －x2＋1＝－x ＋1.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，－x ＋1，－2<x <0.(2)函数f (x )的图像如图所示：由图可知，函数f (x )的值域为[1，3)．1．函数f (x )＝y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{y |0≤y ≤2或y ＝3}解析：选D.值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y |0≤y ≤2或y ＝3}．2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是 ( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52解析：选A.当x ≤0时，x 2＋1＝5，x ＝－2.当x >0时，－2x <0，不合题意．故x ＝－2. 3．函数y ＝x ＋|x |x的图像是( )解析：选C.对于y ＝x ＋|x |x ，当x >0时，y ＝x ＋1；当x <0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，故其图像应为C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， 所以f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4.所以x 0＝4.[A 基础达标]1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )解析：选B.根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D.然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D.f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139.3．(2019·广东深圳中学期中考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0<x ≤3，若f (x )＝3，则x 的值是( )A. 3 B ．9C ．－1或1D ．－3或 3解析：选A.依题意，若x ≤0，则x ＋2＝3，解得x ＝1，不合题意，舍去．若0<x ≤3，则x 2＝3，解得x ＝－3(舍去)或x ＝ 3.故选A.4．函数f (x )＝x 2－2|x |的图像是( )解析：选C.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，分段画出，应选C.5．已知函数f (x )的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于 ( ) A ．－13B.13 C ．－23D.23解析：选B.由题图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0<x <1，x ＋1，－1<x <0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，则f (8)＝________．解析：因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.答案：77．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________．解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ，求得a ＝43.答案：438．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月交水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应交水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.答案：139．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图像；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围；(3)求f (x )的值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图像，如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14，结合此函数图像可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)由图像知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0，1]． 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值；(2)画出函数f (x )的图像．解：(1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1，即f (f (f (5)))＝－1.(2)图像如图所示．[B 能力提升]11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x <0}解析：选A.当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1，所以0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x <0.综上，x ≤1.12．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1， 若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1，1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34. 答案：－3413．如图，△OAB 是边长为4的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t (0<t <6)左侧的图形的面积为f (t )，求函数f (t )的解析式．解：当0<t ≤2时，f (t )＝12×t ×3t ＝3t 22； 当2<t ≤4时，f (t )＝12×4×23－12(4－t )×3(4－t )＝－32t 2＋43t －43； 当4<t <6时，f (t )＝12×4×23＝4 3. 所以函数f (t )的解析式为 f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 22，0<t ≤2，－32t 2＋43t －43，2<t ≤4，43，4<t <6. 14．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f (f (x 0))∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ，所以0≤x 0<12， 且f (x 0)＝x 0＋12， 又12≤x 0＋12<1， 所以 x 0＋12∈B ，所以f (f (x 0))＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0， 又f (f (x 0))∈A ，所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12， 解得14＜x 0≤12，又0≤x 0＜12， 所以14<x 0<12. [C 拓展探究]15．讨论方程x 2－4|x |＋5＝m 的实根的个数．解：将方程x 2－4|x |＋5＝m 的实根个数问题转化为函数y ＝x 2－4|x |＋5的图像与直线y ＝m 的交点个数问题．作出函数y ＝x 2－4|x |＋5＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x ＜0的图像，如图所示．由图像可以看出：①当m ＜1时，直线y ＝m 与该图像无交点，此时方程无解；②当m ＝1时，直线y ＝m 与该图像有2个交点，此时方程有2个实根；③当1＜m ＜5时，直线y ＝m 与该图像有4个交点，此时方程有4个实根； ④当m ＝5时，直线y ＝m 与该图像有3个交点，此时方程有3个实根；⑤当m ＞5时，直线y ＝m 与该图像有2个交点，此时方程有2个实根．。
高中数学的分段函数
高中数学的分段函数分段函数是数学中非常重要的一个概念，它在高中阶段的数学学习中经常出现，不仅涉及到函数的定义与求值，还涉及到图像的绘制与性质的分析。
下面我将从分段函数的基本概念、定义与性质、图像分析等几个方面进行详细阐述，希望能够帮助你对高中数学中的分段函数有更深入的理解。
首先，我们先来了解一下分段函数的基本概念。
所谓分段函数，就是由两个或多个函数在不同的区间上组合而成的函数。
它的定义域被划分成多个不同的区间，并且在每个区间上有不同的函数式。
每一个区间上的函数式称为分段函数的一个分段。
分段函数常常由符号函数来定义，符号函数是根据自变量的取值范围判断所需函数的类型。
例如，当x小于其中一特定值时，分段函数的定义可能由多项式函数、指数函数或三角函数等组成；当x大于或等于这个特定值时，分段函数的定义可能完全由不同的多项式函数、指数函数或三角函数等组成。
其次，我们来详细了解分段函数的定义与性质。
分段函数的定义在每个区间上不同，因此我们需要将函数式按照每个区间进行表示。
例如，对于一个分段函数f(x)，其定义域可以分为多个区间[a,b]、(b,c)、(c,d]等。
对于每个区间，我们需要确定相应的函数式，即f(x)={f1(x)，a≤x≤b；f2(x)，b<x<c；f3(x)，c≤x≤d}。
在每个区间上，分段函数的性质可能与其对应的函数式有关。
例如，在[a,b]区间上的函数式f1(x)的性质可能是可导函数，而在(b,c)区间上的函数式f2(x)的性质可能是不可导函数。
最后，我们可以通过对分段函数的图像进行进一步的分析。
我们可以从图像的形状、连续性、单调性等方面来推断函数的性质。
例如，如果分段函数在一些区间上是光滑的、单调增加的，那么该区间上的函数式可能是一个增函数。
通过观察图像的局部特点，我们还可以找到函数的最大值、最小值以及极值点等。
通过对图像的分析，我们不仅可以了解函数的特点，还可以对函数进行进一步的运算和研究。
分段函数在初中教学中的应用
■ 黄 国金
分段 函数有 一次函数 的分 段函数 、 反 比例 函数 的分段函数 和二 次函数 中的分段 函数 。分段 函数是 高 中重点内容 ， 但现 已向初中渗透这方面内容 ， 并成 为 中 考 的热 点题 型 。
一 一
、
次 函数 中 的分 段 函数
次函数 的分段数 函数有分段计费 问题 、行程 中的分段 函数 和几何 图形 的分段 函数 。学习这类函 数 须注意 ： （ １ ） 注意 自变量变化 范围 ， 在解析式 和 图 形 上都要反 映 自变量 的取值范 围。 （ ２ ） 函数 图像有几 条 线段 （ 或射线 ） 或点组成 ， 其 中每条线段 （ 射线 ） 或 点代表不 同阶段情况 。 （ ３ ） 分段 函数 图像要结合实际 背景 ， 尤其注意折线 中横纵坐标的意义 。 例１ 小明从家骑 自行车出发 ， 沿一条直路到相 距２ ４ ０ ０ ｍ的邮局办事 ， 小明出发 的同时 ， 他 的爸 爸以 ９ ６ 米， 秒速度从 邮局沿 同一条 道路 步行 回家 ， 小 明在 邮局停 留２ 秒后沿原路以原速度返 回 ， 设他们出发后 在返 回途中经过ｔ 秒时， 小 明与家之 间的距 离为Ｓ ｎ ｌ ， 小 明 的 爸 爸 与 家 之 间 的距 离 为 Ｓ ２ ｍ，图 中折 线 Ｏ Ａ Ｂ Ｄ、 线段 盼 别 表示 ． ｓ ， 、 Ｓ 与ｔ 之 间的函数关 系的 图像 。求Ｓ ， 与ｔ 之 间的函数关系式 。
三、 与 二 次 函数 有 关 的分 段 函数
分析 ： 函数 图像是表示变量 之 间关 系 的一种 重 要方法 ，从 函数 图像上可 以清楚地了解函数变化规 律和某些性质 ， 能否正确解读 函数 图像 ， 是本题 解题
的关 键 。
解： ・ ． 卟 明的爸爸 以９ ６ 米， 秒 速度从 邮局沿 同一 条道路步行 回家 ，
分段函数及其在日常生活中的应用研究
标题：深度探索分段函数及其在日常生活中的应用研究一、概述分段函数作为数学中重要的概念，其在日常生活中的应用也是不可忽视的。
从简单的数学模型到复杂的实际问题，分段函数都能够提供有力的分析工具。
在本文中，我们将深入探讨分段函数的定义、性质以及在日常生活中的具体应用，并结合个人观点来全面了解这一概念。
二、分段函数的定义和性质1. 分段函数的定义分段函数是指在定义域的若干个子区间内，其函数值由不同的函数式子来定义的函数。
一般来说，分段函数可以分为线性分段函数、二次分段函数等不同类型。
当x≥0时，y=x；当 x<0 时，y=-x。
这就是一个简单的分段函数的定义。
2. 分段函数的性质分段函数的性质包括函数值的连续性、导数的计算以及函数图像的绘制等方面。
在任意一给定区间，分段函数都具有各自的函数式子和定义域，因此在计算导数和绘制函数图像时需要考虑到这一点。
这些性质对于从简单到复杂的分段函数来说都是通用的。
三、分段函数在日常生活中的应用1. 交通流量模型在城市交通规划中，常常需要通过分段函数来模拟不同时间段内的车辆流量。
早晚高峰期和平常时间的车辆密度就可以用分段函数来描述。
这对于优化交通信号灯的设置和道路设计都有着重要的指导意义。
2. 财务风险评估在金融领域，分段函数也经常被用来评估某个金融产品或投资组合的风险。
通过将不同的市场情况划分为不同的区间，可以更准确地评估风险的发生概率和程度，为投资决策提供科学依据。
3. 健康体能评估体育锻炼中，训练强度和时长的关系也可以用分段函数来描述。
通过分段函数模型，可以帮助运动员或普通人更合理地安排训练计划，避免过度或不足的训练对身体造成的不利影响。
四、个人观点和理解作为一种常见的数学模型，分段函数在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
从数学原理到实际应用，我深刻认识到了分段函数的重要性。
通过深入学习和实际应用，我相信分段函数将对我的学习和工作产生深远的影响。
五、总结与回顾分段函数不仅仅是数学中的一个抽象概念，更是一个具有深刻应用价值的数学工具。
考点04 分段函数(解析版)
考点4 分段函数以及应用一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1.（2017山东文9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（ ）A.165 B. 2 C.6 D.217【答案】B【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,故选B.2. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）B.41 B. 45 C. 41或45D. 2【答案】C【解析】由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-≥21)1(21a a ，解得14a =或45=a ，故选C【变式3：改编问法】已知f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=（ ）A ．B ．C ．1D ．﹣1【答案】C ．【解析】∵f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=﹣f （）=﹣f （）=﹣log 2=1，故选C ．【变式4：函数迭代】已知a ∈R ，函数()24,2,3, 2.x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a = ． 【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值．【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2． 2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =-是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】设函数的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，4]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．[5，+∞） 【答案】B【解析】由题知，当x ＜1时，f （x ）=x 2﹣4x+a=（x ﹣2）2+a ﹣4，且为减函数，可得f （x ）＞f （1）=a ﹣3，由x≥1时，f （x ）递增，可得f （x ）的最小值为f （1）=1，由题意可得a ﹣3≥1，即a≥4，故选B ．【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【答案】当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【解析】如图作出函数3()3h x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33h x x =-，知1x =-是函数()h x 的极大值点，1=x 是函数()h x 的极小值点，当1-<a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为)2(33a a a --- =0)1)(1(<-+a a a ，所以a a a 233-<-，所以函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]2,(-∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为22≤-a ，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为a a a 323-<-，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞；综上所述，当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1] B ．[，] C ．[，] D ．[，2] 【答案】B【解析】当x ∈[0，]时，y=﹣x ，值域是[0，]；x ∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．则x ∈[0，1]时，f （x ）的值域为[0，1]，当x ∈[0，1]时，g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），为增函数，值域是[2﹣2a ，2﹣]，∵存在x 1、x 2∈[0，1]使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]≠∅，若[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]=∅，则2﹣2a ＞1或2﹣＜0，即a ＜，或a ＞．∴a 的取值范围是[，]，故选B ．3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3．（2021年高考天津卷9）设a ∈R ，函数()()()22cos 22,,215,x a x a f x x a x a x aπ-π<⎧⎪=⎨-+++≥⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．7511,2,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．711,2,344⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是难题. 【答案】A【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a π-π=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出． 【解析】()222150x a x a -+++=最多有2个根，()cos 220x a ∴π-π=至少有4个根，由22,2x a k k ππ-π=+π∈Z 可得1,24k x a k =++∈Z ，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-． （1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤；当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤．（2）当x a ≥时，()()22215f x x a x a =-+++，()()()22Δ414582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点； 当2a >时，令()()22215250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点；∴若52a >时，()f x 有1个零点．综上，要使()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况． 【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，利用数形结合思想求解. 3.2【典型考题变式】【变式1：改变条件】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.【变式2：改编条件】已知函数f（x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【答案】D【解答】函数f（x）=，可得f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）=kx﹣k+有三个不同的实根，作出y=f（1﹣x）和y=kx﹣k+的图象，当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x≤1）相切于原点时，即k=时，两图象恰有三个交点；当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k=2（m﹣2），且km﹣k+=（m﹣2）2，解得m=1+，k=﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选D．【变式3：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()(2)0f x f x b +--=有2个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知2b >或47=b ，故选.A.【变式4：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 . 【答案】3【解析】当0<x 时，0>-x ，所以x x x f 4)()(2+-=-，因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-=x x 42+，所以x x x f 4)(2--=，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=0,404)(22x x x x x x x f ，，所以2)()(+-=x x f x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+--0,250,2522x x x x x x ，由)(x g y =的图象知，)(x g y =有3个零点，所以方程2)(-=x x f 解的个数为3.4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4．（2021高考上海卷14）已知参数方程[]334,1,12x t t t y ⎧=-⎪∈-⎨=⎪⎩，下列选项的图中，符合该方程的是 （ ）【答案】B【解析】当0,0,0,t x y ===∴过原点，排除A ；当1t =时1,0x y =-=，排除C 和D ；当31230,340,0,,22x t t t t t =-===-=时，1230,,22y y y ==-=，故选B ． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0）B ．[0，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数函数零点问题，是难题. 【答案】C【解析】由g （x ）=0得f （x ）=﹣x ﹣a ，作出函数f （x ）和y =﹣x ﹣a 的图象如图，当直线y =﹣x ﹣a 的截距﹣a ≤1，即a ≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g （x ）存在2个零点，故实数a 的取值范围是[﹣1，+∞），故选C ．【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.【变式2：改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞ C. [)()1,04,-⋃+∞ D. [)[)1,04,-⋃+∞【答案】C【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点，同一坐标系，画出()y f x =与()1y k x =-的图象，直线过()0,1时， 1k =-，直线与()20y xx =≥，相切时4k =，由图知， [)()1,04,k ∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞，故选C.【变式3：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】函数||)(x x f y -=零点个数，即为方程||)(x x f =解得个数，即为函数)(x f y =与函数||x y =交点个数，画出函数()f x 的图象与函数||x y =，由图像知，函数)(x f y =与函数||x y =交点个数0， 所以函数||)(x x f y -=零点个数为0，故选A.【变式4：改编问法】已知函数，则函数f (x )的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数，当x ＜0时，函数是二次函数，开口向下，对称轴为x=﹣1，排除选项B ，C ；当x≥0时，是指数函数向下平移1单位，排除选项A ，故选D ．5.分段函数性质5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知43020131a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得1334a ≤≤，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，] B ．[，+∞）C ．[，]D ．（，）【答案】C【解析】由于函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，2a≥e ﹣a ，解得a≥．排除A ，D ，当a=2时，x=1可得e x ﹣2x 2=e ﹣2；2a+lnx=4＞e ﹣2，显然不成立，排除B ，故选C ．【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】二次函数243x x -+的对称轴是2x =，所以该函数在(],0-∞上单调递减； 2433x x ∴-+≥，同样可知函数223x x --+， 2233x x ∴--+<，在()0,+∞上单调递减， ()f x ∴在R 上单调递减，；，所以由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a < , 2x a ∴<在[],1a a +上恒成立，()21;2a a a ∴+<∴<-，所以实数a 的取值范围是(),2-∞-，故选A.【变式3：改编问法】已知函数则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）不是周期函数B ．f （x ）在上是增函数C ．f （x ）的值域为[﹣1，+∞）D ．f （x ）的图象上存在不同的两点关于原点对称 【答案】D 【解析】函数的图象如图所示，则f （x ）不为周期函数，A 正确；f （x ）在[﹣，+∞）递增，B 正确；f （x ）的最小值为﹣1，无最大值，则C 正确；由于x ＜0时，f （x ）=sinx ，与原点对称的函数为y=sinx （x ＞0），而sinx=x 在x ＞0无交点，则D 不正确，故选D ．6.分段函数的综合应用6.1考题展示与解读例2【2018全国卷Ⅰ】设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题. 【答案】D【解析】当0x ≤时，函数()2xf x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，则不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ）的解集是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】函数f （x ）=，可得x≥0，f （x ）递增；x ＜0时，f （x ）递增；且x=0时函数连续，则f （x ）在R 上递增，不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ），可化为x+2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故选C ．【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A. ()2,e eB. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】作出)(x f 的图像，不妨设c b a <<，由图知，201a b e c e <<<<<<,由题知，|ln ||ln |b a =，即b a ln ln =-，所以0)ln(ln ln ==+ab b a ，所以ab =1,则c abc =),(2e e ∈,故选A.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为（ ） A ．[4，5） B ．（4，5] C ．[4，+∞） D ．（﹣∞，4]【答案】A【解析】当x ＞0时，f （x ）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减，由f（x ）=e，x≤0，当x ＜﹣1时，f （x ）递减；﹣1＜x ＜0时，f （x ）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f （x ）的图象，以及直线y=a ，可得e=e=x 3+﹣3=x 4+﹣3，即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=﹣2﹣x 2，﹣1＜x 2≤0，x 3﹣x 4=﹣=，可得x 3x 4=4，x 1x 2+x 3x 4=4﹣2x 2﹣x 22=﹣（x 2+1）2+5，在﹣1＜x 2≤0递减，可得所求范围为[4，5），故选A ．三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-， 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数， 所以)1()()(x x x f x f --=-=-， 所以)1()(x x x f -=， 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练一、单选题1．（2021·四川成都零模（文））已知函数2log (2),1()e ,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(2)(ln 4)f f -+=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【分析】分别求出()2f -和()ln 4f 的值再求它们的和，从而可得正确的选项. 【详解】()22log 42f -==，()ln4ln 44f e ==，故(2)(ln 4)6f f -+=，故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属于基础题.2．（2021·四川射洪模拟（理））定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[2]2=.当*[))0,(x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i i a =-∑的值为（ ） A ．40402021B ．20192021C ．20192020D ．20191010【答案】D【分析】先根据条件分析出当[)0,x n ∈时，集合n A 中的元素个数为222n n n a -+=，进而可得111211n a n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再结合裂项相消法进行求和可得结果. 【详解】因为[][)[)[)[)0,0,11,1,22,2,3......1,1,x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[][)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,3......1,1,x x x x x x x n x x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[]x x 在各个区间中的元素个数分别为：1,1,2,3,4,......,1n -，所以当[)*0,,x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A ，集合n A 中元素个数为：()()2121123 (1122)n n n n n a n --+=+++++-=+=，所以()1112211n n a n n ⎛⎫=-≥ ⎪--⎝⎭， 所以2020211111112019212...22112232019202020201010i ia =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选：D. 3．（2021·山东高三其他模拟）已知函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1a ∈B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】 将条件()()12120f x f x x x -<-等价于函数函数()f x 为定义域上的单调减函数，由分段函数的单调性要求，结合指数函数、一次函数的单调性得到关于a 的不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩为R 上的减函数，可得0120,123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩解得304a <≤，故选:C.4．（2021·江苏南京模拟（理））我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈.定义：(),00,0N n W N N n ≥⎧⎨<⎩的整数部分的位数＝的非有效数字的个数，如()()()2211.2103,(1.2310)2,3102, 3.001101W W W W --⨯=⨯=⨯=⨯=，则下列说法错误的是（ ）A ．当1,1M N >>时，()()()W M N W M W N ⋅=+B ．当0n <时，()W N n =-C ．当0,()1n W N n >=+D ．若1002,lg 20.301N ≈＝，则()31W N = 【答案】A【分析】A ．理解()W N 的含义，举例分析即可；B ．根据0n <分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；C ．根据0n >分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；D ．先将N 化为10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈的形式，然后计算出()W N 的值.【详解】当[)0,100N ∈时，N 的整数部分位数为2，当[)100,1000N ∈，N 的整数部分位数为3，一般地，)()110,100,1,2,3,4,......n n N n +⎡∈=⎣时，N 的整数部分位数为1n +； 当[)0.1,1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为1，当[)0.01,0.1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为2，一般地，)()110,101,2,3,4,5,......n n N n +⎡∈=-----⎣时，N 的非有效数字0的个数为n -，A ．取210,10M N ==，所以()()()()33,2,104W M W N W M N W ==⋅==，()()325W M W N +=+=，所以()()()W M N W M W N ⋅≠+，故错误；B ．当0n <时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 的非有效数字0的个数为n -，所以()W N n =-，故正确；C ．当0n >时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 整数部分位数为1n +，所以()1W N n =+，故正确； D ．因为1002N ＝，所以lg =100lg230.1N ≈，所以30.110N ≈，所以)303110,10N ⎡∈⎣，所以()30131W N =+=，故正确，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解()W N 的含义以及计算的方法， 通过对10n N a =⨯的分析，首先判断n 与0的关系，然后决定采用哪一种计算方法（类似分段函数）.5．（2021·安徽皖江名校联考）已知函数()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，方程()10f x -=有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．()1,+∞【答案】B【分析】根据已知条件对a 进行分类讨论：01a <<、1a >，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程()10f x -=有两解时a 所满足的不等式，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，所以0a >且1a ≠， 当01a <<时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递增，所以()()max 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，且()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=有两解，所以21a <，所以102a <<； 当1a >时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递减，()()min 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=要有两解，所以21a <，此时不成立. 综上可得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析()f x 的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.6．（2021·山东济南模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增， 根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ ，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A7．（2021·山西名校联考）已知函数()cos ()ln f x x g x x ==，用max{,}a b 表示a ，b 中的最大值，则函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论可得结果. 【详解】 分三种情况讨论：① 当1x >时，()ln 0g x x =>，所以()()0h x g x ≥>，故()h x 无零点；② 当1x =时，(1)cos110f =-<，(1)0g =，所以(1)0h =，故1x =是()h x 的零点；③ 当01x <<时，()ln 0g x x =<，所以()f x 的零点就是()h x 的零点.显然，()cos f x x =(0,1)上单调递减，且(0)10=>f ，(1)cos110f =-<， 故()f x 在(0,1)内有唯一零点，即()g x 在(0,1)内有唯一零点. 综上可知，函数()h x 在0x >时有2个零点. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论.8．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a->-成立，则满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．无数【答案】C 【分析】作出f （x ）的函数图象，利用直线的斜率，根据不等式只有1整数解得出a 的范围． 【详解】作出f （x ）的函数图象如图所示：()1f x x a--表示点(,())x f x 和点(,1)a 所在直线的斜率，即曲线上只有一个点(,())x f x 且x 是整数和点(,1)a 所在直线的斜率大于零.如图所示，动点(,1)a 在直线1y =上运动.因为(0)0,(1)3,(2)0f f f ===,当[1,0]a ∈-时，只有点(1,3)这个点满足()10f x x a ->-，当[1,2]a ∈时，只有点(0,0)这个点满足()10f x x a->-. 所以a ∈][1,01,2⎡⎤-⋃⎣⎦.所以满足条件的整数a 有4个.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的图像，考查直线的斜率，关键在于考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 二、多选题9．（2021·重庆高三三模）()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，则下列说法中正确的是（ ） A ．f ()x 的值域为[]0,2B ．当(]3,5x ∈时，()f x =C ．()f x 图象的对称轴为直线4,x k k Z =∈D ．方程3f x x 恰有5个实数解【答案】ABD 【分析】画出()f x 的部分图象结合图形分析每一个选项即可. 【详解】根据周期性，画出()f x 的部分图象如下图所示，由图可知，选项A ，D 正确，C 不正确；根据周期为4，当(3,5]x ∈时，()(4)f x f x =-==B 正确.故选：ABD.10．（2021·辽宁铁岭二模）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义判断A ，由分段函数求值域确定B ，由余弦函数性质确定C ，由二次函数及余弦函数的单调性确定D.【详解】因为()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≤-=⎨>⎩.所以()()f x f x -≠，()f x 不是偶函数，故选项A 错误. 当0x ≥时，211x +≥，当0x <时，cos [1,1]x ∈-，所以()f x 值域为[)1,-+∞，故B 正确； 因为()01f =，()21f π-=，选项C 正确.因为()f x 具有单调性的区间与()f x -具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D 错误(由()f x -表达式也可以看出).故选：BC 。
分段函数的概念与图像
分段函数的概念与图像在我们的数学世界中，分段函数是一个非常重要且有趣的概念。
它就像是一个拥有多种性格的角色，在不同的场景下表现出不同的行为和特点。
分段函数，简单来说，就是在自变量的不同取值范围内，函数有着不同的表达式。
这就好比我们去不同的商店买东西，每个商店的价格规则都不一样。
比如说，在一家商店，买 1 到 5 件商品，每件 10 元；买 5 件以上，每件 8 元。
这里的商品数量就是自变量，价格就是因变量，而这个价格规则就是一个分段函数。
为了更清晰地理解分段函数，让我们来看几个具体的例子。
比如，有这样一个分段函数：当 x 小于等于 0 时，f(x) ＝ x ＋ 1；当 x 大于 0 时，f(x) ＝2x。
我们可以通过代入具体的数值来看看这个函数的行为。
当 x ＝－1 时，因为－1 小于 0，所以 f(－1) ＝－1 ＋ 1 ＝ 0；当 x ＝2 时，因为 2 大于 0，所以 f(2) ＝ 2×2 ＝ 4。
再来看一个生活中的例子。
假设乘坐出租车，起步价是 8 元（3 公里以内），超过 3 公里后，每公里 15 元。
那么车费与行驶公里数之间的关系就可以用分段函数来表示。
当公里数 x 小于等于 3 时，车费 f(x) ＝ 8；当公里数 x 大于 3 时，车费 f(x) ＝ 8 ＋ 15×（x 3)。
了解了分段函数的概念，接下来我们来看看分段函数的图像。
图像是直观展示函数性质的有力工具。
对于分段函数，它的图像通常由几段不同的线段或曲线组成。
还是以刚才那个出租车费用的例子来说。
在图像中，我们先画出 x小于等于3 时，f(x) ＝8 这一段，这是一条水平的线段，起点是(0, 8)，终点是(3, 8)。
然后，对于 x 大于 3 的部分，f(x) ＝ 8 ＋ 15×（x 3)，这是一条斜率为 15 的直线。
我们通过计算几个点，比如当 x ＝ 5 时，f(5) ＝ 8 ＋ 15×（5 3) ＝ 11，就可以得到几个点来画出这条直线。
分段函数知识点
分段函数知识点分段函数，也称为分段定义函数，是指由多个不同定义域上的函数组成的一个整体。
在一个给定的定义域上，该函数按照不同的规则进行定义，因此其函数图像通常由多个不连续的线段或曲线段组成。
一、分段函数的定义分段函数可以通过以下形式进行定义：f(x) = { f1(x), x∈D1f2(x), x∈D2...fn(x), x∈Dn其中，f1(x), f2(x), ..., fn(x) 分别表示在不同的定义域 D1, D2, ..., Dn 上的函数，每个定义域 Dn 为函数 f(x) 的某个区间。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常由多段曲线或线段组成。
每一段的形状和位置由该段定义的函数决定。
在各个定义域的交界处，函数的图像通常出现不连续的情况，也可能存在间断点。
三、分段函数的性质1. 定义域：分段函数的定义域为各个函数定义域的并集，即 D = D1 ∪ D2 ∪ ... ∪ Dn。
2. 奇偶性：分段函数的奇偶性由各个函数分别决定，具体取决于各个函数的奇偶性质。
3. 连续性：分段函数在各个定义域的内部是连续的，但在定义域之间的交界处可能是不连续的，具体取决于函数定义的方式。
4. 极值：分段函数的极值可能出现在每个定义域的端点，以及在各个定义域之间的交界点处。
5. 最值：分段函数在定义域上的最值由各个函数的最值决定，需要分别找到各个函数的最大值和最小值进行比较。
四、常见的分段函数1. 绝对值函数：f(x) = |x| = { x, x≥0-x, x<02. 阶梯函数：f(x) = ⌊x⌋，表示小于等于 x 的最大整数。
3. 取整函数：f(x) = [x]，表示不大于 x 的最大整数。
4. 符号函数：f(x) = { -1, x<00, x=01, x>0五、分段函数的应用分段函数在数学和实际应用中有广泛的应用，如经济学中的需求函数、供给函数；物理学中的速度、加速度函数；计算机科学中的条件运算等。
高中数学讲义：分段函数的性质与应用
分段函数的性质与应⽤分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -£ì=í->î，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如()221,31,3x x f x x x -£ì=í->î中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+³ì=í-+<î5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
一次函数的扩展(分段函数
实际应用举例
经济学中的税收计算
税收往往根据收入的不同区间采用不同的税率，这可以通过分段函数来表示。例如，个人所得税的计算就可 以根据收入的不同水平，采用不同的税率进行计算。
物理学中的运动描述
在某些情况下，物体的运动规律在不同的时间段内遵循不同的规律，这可以用分段函数来描述。例如，自由 落体运动在初始阶段和后续阶段的速度和位移关系可以用不同的函数来表示。
分段函数的图像由各个区间上 的函数图像组成，整体上呈现 为多个相连的直线段。在分段 点处，函数图像可能发生转折 或连续但不可导。
分段函数具有多样性、灵活性 和复杂性。不同区间上的一次 函数可以有不同的斜率和截距 ，从而构成丰富多样的分段函 数。
对未来学习的建议
01
03
深入学习分段函数 02
加强数学基础
在某些情况下，分段函数的最值可能出现在分段点处，因此需要特别注意分段点的取值情况。
与其他知识点结合应用
分段函数可以与导数、积分等知识点 结合应用，解决一些复杂的数学问题 。
在一些实际问题中，分段函数可以与 概率、统计等知识点结合应用，建立 更加符合实际情况的数学模型。
06 总结与展望
知识点回顾总结
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
扣除数进行计算。
05 分段函数在数学领域的应 用
解方程和不等式问题
分段函数可以表示复杂的数学关系， 通过解方程或不等式，可以找到满足 特定条件的解集。
VS
在解决一些实际问题时，分段函数可 以描述不同区间内变量的关系，从而 建立数学模型进行求解。
求最值问题
分段函数的最值问题可以通过分析各段函数的单调性和极值点来解决。
分段函数的极值与最值
分段函数的极值与最值分段函数是一种由不同函数组合而成的函数形式，它包含了不同函数在不同区间的定义。
在实际问题中，我们常常遇到这样的情形：同一个问题可以用不同的函数来描述，而这些函数的定义域却有所不同，或者说同一个函数在不同的定义域范围内，其表现形式也不尽相同。
分段函数的研究，对于理解函数的本质、掌握其性质和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将重点探讨分段函数的极值与最值及其应用。
一、分段函数的定义及基本性质分段函数的一般形式为：$$ y=f(x),\ x\in D $$其中，$D$ 分为 $n$ 个不相交的子集 $D_1,D_2,\cdots,D_n$，即：$$D=D_1\cup D_2\cup\cdots\cup D_n$$在 $D_i$ 上，$f(x)$ 由特定的函数形式表示，即：$$f(x)=\begin{cases}f_1(x),\ x\in D_1\\\ f_2(x),\ x\in D_2\\ \cdots\\ f_n(x),\ x\in D_n\end{cases} $$分段函数的定义域是其所有子集的并集，而值域则是各子函数的值域的并集。
分段函数在各子函数定义域范围内都是普通函数，具有普通函数的一般性质。
但由于各子函数之间在某些点存在“缝隙”，因此在分段点处无法取得定义，也就是说，在分段点处分段函数可能不连续。
为了便于研究其性质，我们通常只考虑每一段的连续性和单调性。
二、（一）分段函数的极值对于普通函数 $y=f(x)$，其极值即为导数为 $0$，或者在导数不存在的点取得的极值。
对于分段函数，我们同样可以通过求导得到其各段函数的极值点。
假设 $f(x)$ 在 $x_i$ 点的右侧是一段 $n$ 次可导的函数，那么可以通过求 $f(x)$ 在 $(x_i,x_i+\Delta x)$ 区间内的导数来确定$x_i$ 点的极值。
具体来说，我们可以分三种情况来讨论：1. 当 $n=0$ 时，即 $f(x)$ 在 $x_i$ 右侧是一个常函数，则其导数为 $0$，$x_i$ 就是 $f(x)$ 的极值点。
九年级数学下册《分段函数的应用问题》教案、教学设计
4.探究性问题：鼓励学生思考分段函数在其他学科领域的应用，如物理学中的速度与时间关系、经济学中的成本分析等。
示例题目：
-请思考并举例说明分段函数在物理学中的一个应用场景，并建立相应的数学模型。
示例题目：
-选择题：下列哪个选项是关于分段函数的正确描述？
-填空题：已知分段函数f(x) = { x+1 (x<0), 2x (x≥0) }，则f(-2) = ______，f(3) = ______。
2.应用题：布置一些与分段函数相关的实际问题，要求学生建立分段函数模型，并解决问题。这些题目可以涉及生活中的例子，如购物优惠、交通工具票价等。
九年级数学下册《分段函数的应用问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分段函数的定义，掌握分段函数的表示方法和性质。
-学生能够描述分段函数在实际问题中的应用场景，如气温变化、税率调整等。
-学生能够运用数学符号准确地表示分段函数，并识别各段的定义域和值域。
-学生能够通过数形结合，分析分段函数的连续性、单调性等性质。
2.分步骤引导，逐步深入。
-教学过程中，应由浅入深，先从简单的分段函数开始，让学生逐步理解其定义和性质，然后过渡到复杂的多段函数。
3.多元化教学方法，促进理解。
-结合小组讨论、案例研究、数学实验等多种教学方法，让学生在互动中学习和理解分段函数。
4.强调数形结合，提高解题能力。
-在教学中，教师要强调数形结合的重要性，引导学生通过绘制和观察图像来辅助分析问题，提高解题效率。
高中高一分段函数知识点
高中高一分段函数知识点分段函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、经济学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、图像以及实际应用等方面介绍高中高一阶段分段函数的知识点。
一、定义分段函数是由两个或多个函数段组成的函数，不同的自变量区间对应着不同的函数段。
通常，每个函数段的定义域和值域可以是不相交的。
二、性质1. 定义域和值域的确定：分段函数的定义域由各个函数段的定义域交集确定，而值域则根据各个函数段的值域并集确定。
2. 连续性：分段函数在函数段之间可能存在不连续点，即转折点或者分界点。
在这些点上，左右侧的函数值可以不相等。
3. 奇偶性：当分段函数的各个函数段都具有相同的奇偶性时，整个函数可以被归类为奇函数或偶函数。
4. 单调性：分段函数在每个函数段上可能具有不同的单调性，需要分别进行讨论。
5. 极值点：分段函数的极值点可以出现在函数段的内部转折点或者边界点上，需要分别计算。
三、图像绘制分段函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的定义域、值域以及函数段之间的关系。
例如，考虑分段函数f(x) = \begin{cases} x^2, & x\geq 0\\ -x^2, & x<0 \end{cases}首先我们可以绘制函数y=x^2和y=-x^2的图像，然后根据x的正负值来确定在哪个函数段上取值。
四、实际应用分段函数在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的实际应用场景：1. 电费计算：电费的计算往往是分段线性函数，不同的用电量对应着不同的电费标准。
2. 温度调节：空调的温度调节可以看作是一个分段函数，不同的温度区间对应着不同的制冷或者制热模式。
3. 运输成本：货物的运输成本往往是根据距离分段计算的，不同的距离区间对应着不同的运费标准。
4. 奖励机制：某些奖励机制可以设计为分段函数形式，根据不同的目标达成程度给予不同的奖励。
5. 税收计算：个人所得税或者企业利润税往往是分段函数，不同的收入水平对应着不同的税率。
分段函数的python编程：定义、应用与实例解析
分段函数的Python编程：定义、应用与实例解析一、定义1.1分段函数的概念分段函数是指在不同的区间内，函数的定义域有不同的表达式，通常可以用来描述实际问题中的分段情况，如阶梯函数、绝对值函数等。
1.2分段函数的数学表达一般来说，分段函数可以表示为f(x)={f1(x),a≤x≤b;f2(x),b<x≤c;...fn(x),x>n}的形式，其中f1(x)、f2(x)等为不同的函数表达式，a、b、c等为不同的数值。
1.3分段函数的Python编程在Python编程中，可以通过if-else语句或者使用numpy库的piecewise函数来实现分段函数的定义。
二、应用2.1分段函数在数据处理中的应用分段函数在数据处理中常常用来对数据进行分段处理，比如将不同范围内的数据进行分类或转换。
2.2分段函数在图像处理中的应用在图像处理中，分段函数可以用来对图像进行灰度变换、边缘检测等操作，从而达到不同区域的不同效果。
2.3分段函数在机器学习中的应用在机器学习中，分段函数可以用来构建复杂的模型，对复杂的非线性关系进行建模。
三、实例解析3.1分段函数的简单实例以阶梯函数为例，我们可以通过以下Python代码来实现一个简单的分段函数：```pythondef step_function(x):if x < 0:return 0elif 0 <= x < 5:return 1else:return 2```3.2分段函数在数据处理中的实例假设我们有一个数据集，需要对数据进行分段处理，我们可以通过下面的代码来实现：```pythonimport numpy as npdata = np.array([1, 3, 5, 7, 9])result = np.piecewise(data, [data < 3, (3 <= data) (data < 6), data >= 6], [0, 1, 2])```3.3分段函数在图像处理中的实例我们可以通过下面的代码来实现一个灰度变换的分段函数实例：```pythonimport cv2import numpy as npimg = cv2.imread('input.jpg', 0)def piecewise_transform(x):return np.piecewise(x, [x < 100, x >= 100], [lambda x: 0, lambda x: 255])transformed_img = piecewise_transform(img)cv2.imwrite('output.jpg', transformed_img)```3.4分段函数在机器学习中的实例在机器学习中，分段函数可以用来构建复杂的模型，比如下面的代码用于实现一个简单的分段线性回归模型：```pythonfrom sklearn.linear_model import LinearRegressionfrom sklearn.preprocessing import FunctionTransformer import numpy as npX = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape(-1, 1)y = np.array([1, 2, 3, 4, 5])transformer = FunctionTransformer(lambda x: np.piecewise(x, [x < 3, x >= 3], [lambda x: x, lambda x: 3]), validate=True)X_transformed = transformer.fit_transform(X)model = LinearRegression().fit(X_transformed, y)```结论通过本文的介绍，我们了解了分段函数的概念和数学表达，以及在Python编程中的实现方法。
plot画分段函数 -回复
plot画分段函数-回复中括号内的主题：[plot画分段函数]引言：分段函数是数学中的一种特殊函数形式，它在定义域的不同区间上有不同的表达式。
本文将通过介绍分段函数的概念、图像特点以及如何用plot 函数画出分段函数的图像来回答中括号内的主题。
第一部分：分段函数的概念与表达式分段函数可以被定义为根据输入值所属的区间，选择不同的表达式进行计算。
我们用以下形式来表示分段函数：f(x) = {ae^x , x<0{bx^2 , 0<=x<2{c , x>=2在上述示例中，分段函数f(x)包含了三个不同的表达式，每个表达式在定义域的不同区间上有效。
这种形式的函数使得它的行为在不同区间上有所不同，对模拟和描述特定问题非常有用。
第二部分：分段函数的图像特点根据不同区间上的表达式，分段函数的图像通常在每个区间具有不同的特点。
我们以上述示例函数f(x)为例进行讨论。
- 在x<0的区间上，函数的表达式为f(x) = ae^x。
由于指数函数的特性，该区间上的分段函数图像具有增长迅速的特点。
- 在0<=x<2的区间上，函数的表达式为f(x) = bx^2。
由于二次函数的特性，该区间上的分段函数图像是一个开口向上的抛物线。
- 在x>=2的区间上，函数的表达式为f(x) = c。
这个区间上的分段函数图像是一个水平的直线。
第三部分：如何用plot函数画出分段函数的图像在Python中，我们可以使用plot函数绘制分段函数的图像。
下面是使用matplotlib库来实现的一步一步的具体方法：1. 导入matplotlib库和numpy库：`import matplotlib.pyplot as plt``import numpy as np`2. 创建x的值域：`x = np.linspace(-5,5,100)`3. 创建y的值域：`y = np.piecewise(x, [x<0, (x>=0) & (x<2), x>=2],[lambda x:a*np.exp(x), lambda x:b*x2, lambda x:c])`4. 绘制图像：`plt.plot(x, y)``plt.xlabel('x')``plt.ylabel('f(x)')``plt.title('Plot of Piecewise Function')``plt.grid(True)``plt.show()`在这个过程中，首先我们创建了x的值域，即从-5到5的100个等间距的点。
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分段函数的图像几个综合题目
1、(2012•兰州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是(
)
A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3
考点：二次函数的图象；二次函数的性质。
分析：先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根时，k的取值范围．
解答：解：根据题意得：y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图：
所以若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，
则k＞3，
故选D．
点评：本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，根据图象得出k的取值范围．
2、（2011鄂州）已知函数
()()
()()
2
2
113
513
x x
y
x x
⎧--
⎪
=⎨
--
⎪⎩
≤
＞
，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
分析：此题比较直接的做法是验证法：把y=0,1,2,3逐一带入函数式中求解验证，答案为D，巧妙的做法:画出函数图象观察图像最简单。
还可以改为：y=k成立的x值恰好有2个，4个时的k的值满足的条件是
3、（2012贵港）若直线y ＝m （m 为常数）与函数y ＝⎩
⎨⎧x 2（x≤2）
4x （x ＞2）的图像恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是 。
由图像可知： 0<m<2
问题扩展：改为有一个交点时？有2个交点时？。