5.1 电磁感应定律和全电流定律(20030605)

5 时变电磁场

电场、磁场矢量不仅是空间坐标的函数，而且是时间的函数，这样的场称为时电磁变场。在时变电磁场中，电场与磁场互相依存、互相制约，已不可能如前面三种静态场那样分别进行研究，而必须在一起进行统一研究。

在本章中，首先引出并扩展电磁感应定律的适用范围，在提出位移电流概念的基础上，将安培环路定律推广到时变场中，导出普遍适用的全电流定律。从而总结出得出变化的磁场产生电场、变化的电场产生磁场，这种电场与磁场的普遍联系。

然后，总结电磁场的基本方程(即麦克斯韦方程组)，媒质的构成方程和它在分界面的衔接条件。介绍动态位和达朗贝尔方程的解答，提出电磁场的波动性和电磁波概念。

其三，由基本方程出发推导出反映电磁场中能量守恒与能量转换的坡印廷定理和坡印廷矢量。再进一步介绍正旋稳态时变场中电磁场的基本方程和坡印廷矢量。

5.1 电磁感应定律和全电流定律

5.1.1 电磁感应定律

(1) 定律的内容

1831年法拉弟在大量实验基础上归纳总结，提出了电磁感应定律。 当一导体回路l 所限定的面积S 中的磁通发生变化时，在这个回路中就要产生感应电势，形成感应电流。感应电势的大小与S 中的磁通对时间的变化率成正比，感应电势的实际方向由楞次定律确定。

楞次定律指出：感应电动势及其所产生的

感应电流总是企图阻止与导体回路相交链的磁通的变化。

感应电动势可表示为

l S

()

S B d d d d d ⋅⎰

-

=-

=s

t

t

ψε （5.1.1）

式中“-”号体现楞次定律：当规定感应电势的参考方向与回路交链的磁通ψ的方向成右手螺旋关系时，“-”号反映感应电势的真实方向。 实际上引起磁链变化的因素比较多，上式应写为偏导数形式

S B d ⋅⎰∂∂-

=∂∂-

=s t

t

ψε （5.1.2）

分析电磁感应现象，是由于在导体中存在有一种感应电场，其场强ind E

l E d ind ⋅=⎰l ε

l 为导体线圈回路。于是电磁感应定律又可表位

S B l E d d ind ⋅∂∂-

=⋅⎰⎰s l t

（5.1.3）

要求式中l 回路循行方向与B 的方向符合右螺旋关系。当

t

∂∂B 不为零时，

0d ind ≠⋅⎰S E l ，说明感应电场是有旋场。

（2）法拉弟电磁感应定律的推广

法拉弟电磁感应定律反映了感应电势与导体回路l 限定面积中交链的磁通对时间变化率的关系，它没有涉及到导体的材料特性和周围的媒质特性。Maxwell 在研究电磁场基本规律时将电磁感应定律作了推广。

当变化的磁场客观存在时，场中某一回路所交链的磁链的变化也是客观存在的。在该处放置一导体回路，就可以产生感应电势，测得感应电流，反映出感应电场的存在，感应电流的大小与导体的电导率有关。假若在变化磁场中某处设想有一假想回路存在，它所交链的磁链同样在变化，显然也应当有感应电场存在，也同样具有感应电势，只不过不能测量到感应电流而已。由此引伸，可以认为感应电场不仅仅存在于导体内，而且存在于变化磁场所在的场域空间。于是，我们对于感应电场的看法由一个导体回路扩展到了整个变化的磁场空间。

由上面的分析，应当这样来理解电磁感应定律：在一个变化的磁场中总伴随着一个感应电场，总存在感应场强。这正是Maxwell 的重大贡献。

（3）感应电动势与感应场强计算：

按回路中磁链的变化可以分为以下三种情况： ① 导体回路（或其一部分）与恒定磁场之间有相对运动 导体棒以速度v 运动切割磁力线，其上线元d l 中的电荷d q 沿棒运动，形成元电流段d q v ，受到磁场作用力

B v f ⨯=q d d

由此定义感应电场强

B v f E ⨯==

q

ind d d （5.1.4）

感应电势为

()l B v l E d d ⋅⨯⎰=⋅⎰=l ind l ε （5.1.5）

称为发电机电势。在图示均匀场、匀速运动情况下有

Blv =ε

② 导体回路不动，磁场随时间变化

考虑单匝情况，有

S B l E d d ind ⋅∂∂⎰-=∂∂-

=⋅=⎰t

t

s

l ψε （5.1.6）

称为变压器电势。若导体线圈匝数为N 情况，每匝上通过相等的磁通，有 S B l E d d ind ⋅∂∂⎰-=∂∂-=⋅=⎰t

N t

s

l ψε

③ 兼有上面两种情况

感应电势为

()⎰⎰⎰⋅∂∂-⋅⨯=∂∂-=⋅=S

l l t

t

d S B l B v l E d d ind ψε （5.1.7）

（4）时变电场是有散有旋场

对于电磁感应定律S B l E d d ind ⋅∂∂-

=⋅⎰⎰s l t

，运用斯托克斯定理

导体与恒定磁场之间有相对运动

S B S E d d ind ⋅∂∂⎰-=⋅⨯∇⎰t

s

s

考虑到回路l 的任意性，它所界定面积S 的任意性，必有

t

∂∂-

=⨯∇B E ind

（5.1.8）

即为电磁感应定律的微分形式。它表明感应电场是有旋场，ind E 线与B 线互相交链，是无头无尾的闭合矢量线。

在研究时变电场时，Maxwell 认为时变电荷仍然是产生时变电场的通量场源，高斯通量定理仍然成立。时变电荷()t q 产生时变电场的守恒分量0E 。考虑感应电场也存在，于是总的电场为

0ind E E E +=

对上式做旋度

t

∂∂-

=⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇B E E E E ind 0ind

求闭合回路的线积分

S B l E l E l E l E d d d d d i n d 0i n d ⋅∂∂⎰-=⋅=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰t

s

l l l l

可得

S B l E d d ⋅∂∂⎰-=⋅⎰t

s

l （5.1.9）

称为推广的电磁感应定律。显然有

q s s s =⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰S E S E S D d d d 0ind εε

ρ

=⋅∇D

说明时变电场是有散有旋场。

5.1.2 全电流定律

研究时变磁场，就必然涉及到产生时变磁场的场源，恒定磁场中的安培环路定律在时变磁场中是否还能适用呢？这是我们十分关心的。 （1）运流电流的影响