2012年中考数学复习考点跟踪训练40 探索型问题
2012年全国中考数学试题分类汇编专题☆开探究型问题(二次函数)
1. (2012浙江衢州12分)如图,把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB 、OD 在x 轴上.已知点A (1,2),过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F .抛物线y =ax 2+bx +c 经过O 、A 、C 三点. (1)求该抛物线的函数解析式;(2)点P 为线段OC 上一个动点,过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ,交x 轴于点N ,问是否存在这样的点P ,使得四边形ABPM 为等腰梯形?若存在,求出此时点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若△AOB 沿AC 方向平移(点A 始终在线段AC 上,且不与点C 重合),△AOB 在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S .试探究S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.2. (2012浙江义乌12分)如图1,已知直线y =kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A (3,6). (1)求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度; (2)点P 为抛物线第一象限内的动点,过点P 作直线PM ,交x 轴于点M (点M 、O 不重合),交直线OA 于点Q ,再过点Q 作直线PM 的垂线,交y 轴于点N .试探究:线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;(3)如图2,若点B 为抛物线上对称轴右侧的点,点E 在线段OA 上(与点O 、A 不重合),点D (m ,0)是x 轴正半轴上的动点,且满足∠BAE =∠BED =∠AOD .继续探究:m 在什么范围时,符合条件的E 点的个数分别是1个、2个?3.(2012江苏苏州10分)如图,已知抛物线()211by=x b+1x+444-(b 是实数且b >2)与x 轴的正半轴分别交于点A 、B (点A 位于点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C .⑴点B 的坐标为 ▲ ,点C 的坐标为 ▲ (用含b 的代数式表示);⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.4.(2012福建龙岩)在平面直角坐标系xoy 中, 一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边 AB 在x 轴上,直角顶点C 在y 轴正半轴上,已知点A (-1,0).(1)请直接写出点B 、C 的坐标:B ( , )、C ( , );并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式; (2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF (其中∠EDF =90°,∠DEF =60°),把顶点E 放在线段AB 上(点E 是不与A 、B 两点重合的动点),并使ED 所在直线经过点C . 此时,EF 所在直线与(1)中的抛物线交于第一象限的点M .①设AE =x ,当x 为何值时,△OCE ∽△OBC ; ②在①的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形,若存在,请求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.xyPOC BA5. (2012湖北荆门)如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=13,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;(2)求证:CB是△ABE外接圆的切线;(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0<t≤3)时,△AOE与△ABE重叠部分的面积为s,求s与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.6.(2012湖南永州)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象过点A(2,0)和B(4,3),l为过点(0,﹣2)且与x轴平行的直线,P(m,n)是该二次函数图象上的任意一点,过P作PH⊥l,H为垂足.(1)求二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的解析式;(2)请直接写出使y<0的对应的x的取值范围;(3)对应当m=0,m=2和m=4时,分别计算|PO|2和|PH|2的值.由此观察其规律,并猜想一个结论,证明对于任意实数m,此结论成立;(4)试问是否存在实数m可使△POH为正三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.7. (2012四川广安)如图,在平面直角坐标系xOy 中,AB ⊥x 轴于点B ,AB =3,tan ∠AOB =34,将△OAB 绕着原点O 逆时针旋转90°,得到△OA 1B 1;再将△OA 1B 1绕着线段OB 1的中点旋转180°,得到△OA 2B 1,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点B 、B 1、A 2. (1)求抛物线的解析式.(2)在第三象限内,抛物线上的点P 在什么位置时,△PBB 1的面积最大?求出这时点P 的坐标.(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q ,使点Q 到线段BB 1的距离为22?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.8. (2012四川德阳)在平面直角坐标xOy 中,(如图)正方形OABC 的边长为4,边OA 在x 轴的正半轴上,边OC 在y 轴的正半轴上,点D 是OC 的中点,BE ⊥DB 交x 轴于点E .⑴求经过点D 、B 、E 的抛物线的解析式;⑵将∠DBE 绕点B 旋转一定的角度后,边BE 交线段OA 于点F ,边BD 交y 轴于点G ,交⑴中的抛物线于M (不与点B 重合),如果点M 的横坐标为512,那么结论OF =21DG 能成立吗?请说明理由. ⑶过⑵中的点F 的直线交射线CB 于点P ,交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q ,且使△PFE 为等腰三角形,求Q 点的坐标.9. (2012青海西宁)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,O 在x 轴的正半轴上,已知A (0,4)、C (5,0).作∠AOC 的平分线交AB 于点D ,连接CD ,过点D 作DE ⊥CD 交OA 于点E . (1)求点D 的坐标; (2)求证:△ADE ≌△BCD ;(3)抛物线y = 4 5x 2- 245x +4经过点A 、C ,连接AC .探索:若点P 是x 轴下方抛物线上一动点,过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点M .是否存在点P ,使线段MP 的长度有最大值?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.10. (2012四川绵阳)如图1,在直角坐标系中,O 是坐标原点,点A 在y 轴正半轴上,二次函数y =ax 2+16x +c 的图象F 交x 轴于B 、C 两点,交y 轴于M 点,其中B (-3,0),M (0,-1)。
2012数学中考探索规律专题
中考数学第二轮专题复习 ——探索规律一、数式规律:例1(2010肇庆)观察下列单项式: 按此规律第n 个单项式是 (n 为正整数) 【练习1】(2009重庆綦江)观察下列等式:① 42-12=3×5 ② 52-22=3×7 ③ 62-32=3×9; ④ 72-42=3×11… 则第n (n 是正整数)个等式为____ ____. 【练习2】(07自贡)一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59,1216,2125,3236,…中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥秘的大门,请你按照这种规律,写出第n (n ≥1)个数据是___________.二、图形规律:例3(2009海南省)用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形,按照这样的规律摆下去,则第n 个图形需棋子 枚(用含n 的代数式表示).【练习3】(2009年梅州市)如图,每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个,第2幅图中有3个,第3幅图中有5个,则第4幅图中有 个,第n 幅图中共有 个.三.利用规律求值例3. (2010湛江)观察算式:通过观察,用你所发现的规律确定32010的个位数字是( ) A .3 B .9 C .7 D .1【练习5】(2010深圳)观察下列算式,用你所发现的规律得出22010的末位数字是( )21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…, A .2 B .4 C .6 D .8 【练习6】已知22223322333388+=⨯+=⨯,,244441515+=⨯,……,若288a a b b+=⨯(a 、b 为正整数)则a b += . 【课堂评价】1、如图,用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案,按照这样的规律摆下去,第6个图案需棋子枚,第n 个图案需棋子 枚。
(n 为正整数)2、(2009年陕西)观察下列各式:1×3=12+2×1;2×4=22+2×2;3×5=32+2×3;… 第1个图第2个图第3个图…,......,16,8,4,2,5432a a a a a --… …第1幅 第2幅 第3幅 第n 幅65613,21873,7293,2433,813,273,93,3387654321======== 图案1 图案2 图案3 ……请你将猜想到的规律用正整数n 表示出来: 。
2012年中考数学复习考点解密 规律探索性问题(含解析)
2012年中考数学二轮复习考点解密 规律探索性问题第一部分 讲解部分一.专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据,处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睐,逐渐成为中考数学的热门考题。
二.解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下,探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题,它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件,要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法,考察了学生的分析、解决问题能力,观察、联想、归纳能力,以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.。
三.考点精讲考点一:数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式,然后写出其中蕴含的一般规律,一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分,找出各部分的特征,改写成要求的规律的形式。
例1. 有一组数:13,25579,,101726L ,请观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第n (n 为正整数)个数为 .分析:观察式子发现分子变化是奇数,分母是数的平方加1.根据规律求解即可.解答:解:21211211⨯-=+; 23221521⨯-=+; 252311031⨯-=+;272411741⨯-=+; 219251265+⨯-=;…; ∴第n (n 为正整数)个数为2211n n -+. 点评:对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.此题的规律为:分子变化是奇数,分母是数的平方加1.例2(2010广东汕头)阅读下列材料:1×2 =31(1×2×3-0×1×2), 2×3 = 31(2×3×4-1×2×3), 3×4 = 31(3×4×5-2×3×4), 由以上三个等式相加,可得1×2+2×3+3×4=31×3×4×5 = 20. 读完以上材料,请你计算下列各题:(1) 1×2+2×3+3×4+···+10×11(写出过程);(2) 1×2+2×3+3×4+···+n ×(n +1) = ______________;(3) 1×2×3+2×3×4+3×4×5+···+7×8×9 = ______________.分析:仔细阅读提供的材料,可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算,从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n Λ [])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n Λ )2)(1(31++=n n n ;照此方法,同样有公式: )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n Λ[])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n Λ)3)(2)(1(41+++=n n n n . 解:(1)∵1×2 =31(1×2×3-0×1×2), 2×3 = 31(2×3×4-1×2×3), 3×4 = 31(3×4×5-2×3×4),…10×11 =31(10×11×12-9×10×11), ∴1×2+2×3+3×4+···+10×11=31×10×11×12=440. (2))2)(1(31++n n n .(3)1260.点评:本题通过材料来探索有规律的数列求和公式,并应用此公式进行相关计算.本题系初、高中知识衔接的过渡题,对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求.如果学生不掌握这些数列求和的公式,直接硬做,既耽误了考试时间,又容易出错.而这些数列的求和公式的探索,需要认真阅读材料,寻找材料中提供的解题方法与技巧,从而较为轻松地解决问题.例3(2010山东日照,19,8分)我们知道不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似的性质?完成下列填空:一般地,如果⎩⎨⎧>>dc b a , 那么a +c b +d .(用“>”或“<”填空) 你能应用不等式的性质证明上述关系式吗?分析:可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。
初中数学专题复习数学探究性题目七例(含答案)
数学探究性题目七例1.时钟上的数学我们每个同学家里都有大大小小的钟,绝大部分钟都有时针、分针、秒针,时时刻刻都可以听到它们不停的“滴答、滴答”走动的声音,当然他们的走动有快有慢,秒针最快,时针最慢,不知你有没有注意到它们之间的一些数学关系?为了使问题简单起见,我们假设所讨论的时钟只有时针和分针。
问题:在一天之内时针和分针重合多少次?每次发生在什么时候?什么时候两针互相垂直?什么时候两针在一条直线上?如果时针和分针交换它还能表示某一时刻的时间么?希望大家在解决以上问题之后讨论一下是否还有其他有趣的问题。
2.揭穿转摊的骗术在车站,码头附近有时会看到一些碰运气、赌输赢的地摊,这些地摊大多引诱来往过路旅客,用骗术骗取他们的钱财。
转摊就是其中之一。
摊主在一个固定的圆盘上划出若干扇形区域,并顺次标上号码1,2,3,4,5,6,。
,在每一奇数扇区上放上值钱的物品,如名酒,中华香烟等,而在每一个偶数区域上放着廉价的物品,如糖块,小食品等。
圆盘中心安装一根可以转动的轴,轴的顶端有一根悬臂,臂端吊一根线,线头上系一根针。
你如果付给摊主一元钱,就可以随便转动一次,当悬臂停止转动时,针就停在某一区域,按照摊主制订的规则,这一格上的数是几,就从下一格起,按顺时针方向数出几,最后数到哪一格,那一格中的物品就归你,例如:当针指向“6”时,就要从“7”数起,顺时针方向数出“6”,最后应该数到“12”这一格。
参加这种赌博的人认为,圆盘中奇数、偶数格占一半,输赢得机会各占一半,于是就去碰碰运气,然而,不管转多少次,最后总是数到偶数区域中,你只能用自己的很多钱换来几粒糖果等廉价物品。
为什么大家的“运气”都这样不好,你能用数学知识解开这个迷吗?类似的还有1.音乐教室里有7排座位,每排7把椅子,每把椅子上坐一名学生,教师每月都要将座位调换一次,张明同学提出建议:每次交换时,每一名同学都必须与她相邻(前、后、左、右)的某一个同学交换位置,以示公平。
2012年中考数学复习考点跟踪训练40 探索型问题
考点跟踪训练40 探索型问题一、选择题1.(2010·株洲)如图所示的正方形网络中,网格线的交点称为格点,已知A 、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 C解析如图,可知符合题意的点C有8个.2.(2010·重庆)有两个完全重合的矩形,将其中一个始终保持不动,另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转,每次均旋转45°,第1次旋转后得到图①,第2次旋转后得到图②,……,则第10次旋转后得到的图形与图①~④中相同的是( )A.图①B.图②C.图③D.图④答案 B解析本题考查分析想象能力.由题意可知,45°×8=360°,当转动的矩形绕中心旋转8次后回到原位置,据此可得第10次旋转后的图形与图②相同.3.若正比例函数的图象经过点(-1,2),则这个图象必经过点()A.(1,2) B.(-1,-2)C.(2,-1) D.(1,-2)答案 D解析设y=kx的图象过点(-1,2),则2=-k,k=-2,y =-2x,又当x=1时,y=-2×1=-2,选D.4.如图,房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成.图中,第1个黑色L形由3个正方形组成,第2个黑色L 形由7个正方形组成,…,那么第6个黑色L形的正方形个数是( )A.22 B.23 C.24 D.25答案 B解析黑色.1234……n371115……4n-1当n=65.(2011·潜江)如图,已知直线l:y=3 3x,过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B,过点B作直线l的垂线交y轴于点A1;过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2;…;按此作法继续下去,则点A4的坐标为( )A.(0,64) B.(0,128) C.(0,256) D.(0,512)答案 C解析易求A(0,1),A1(0,4),A2(0,16)……,而21=1,22=4,24=16……,所以28=256,点A4的坐标为(0,256).二、填空题6.(2010·鄂尔多斯)如图,用小棒摆出下面的图形,图形(1)需要3根小棒,图形( 2)需要7根小棒,……,照这样的规律继续摆下去,第n个图形需要__________根小棒(用含n的代数式表示).答案4n-1解析图形(1)有小棒3=4×1-1;图形(2)有小棒7=4×2-1;图形(3)有小棒11=4×3-1;……;图形(n)有小棒4×n-1,即4n-1.7.(2011·肇庆)如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n(n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是 __________.答案n(n+2)解析第1个图形需黑色棋子2×3-3个,第2个图形需黑色棋子3×4-4个,……,则第n个图形需黑色棋子个数是(n+1)(n+2)-(n+2)=n2+2n=n(n+2).8.(2010·宿迁)如图,正方形纸片ABCD的边长为8,将其沿EF折叠,则图中①②③④四个三角形的周长之和为________.答案32解析如图,设C′B′与AB交点为G′,与AD交点为H′,FC′与AD交点为W′,则这三个点关于折痕EF对称的点分别为G、H、W,由翻折的性质“对应边相等”,得BE=EB′,BG=B′G′,GH=G′H′,HC=H′C′,CW=C′W′,FW =FW ′.∴①、②、③、④四个三角形的周长之和等于正方形的周长=4×8=32.9.(2011·菏泽)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m 的值是______.答案 158解析 根据左上角0、2、4、6、8、10可知最后一个正方形是第6个正方形,阴影部分应该是12、14,所以m =12×14-10=158.10.(2011·东莞)如图(1) ,将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形A FBDCE ,它的面积为1,取△ABC 和△DEF 各边中点,连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1,如图(2)中阴影部分;取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点,连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2,如图(3) 中阴影部分;如此下去,则正六角星形A n F n B n D n C n E n 的面积为_______.答案 14n解析 正六角星形AFBDCE 与正六角形A 1F 1B 1D 1C 1E 1相似,且相似比为2,所以正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积是1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122=14,依此类推,正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2的面积是14×⎝ ⎛⎭⎪⎫122=142,……,所以正六角星形A n F n B n D n E n 的面积是14n .三、解答题11.(2011·成都)设S 1=1+112+122,S 2=1+122+132,S 3=1+132+142,…, S n =1+1n2+错误!.设S =错误!+S2+…+Sn ,求S 的值 (用含n 的代数式表示,其中n 为正整数).解 S n =1+1n2+错误!=1+错误!2+2×错误!=1+错误!2+2×错误!=错误!2.∴S =⎝⎛⎭⎪⎫1+11×2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12×3+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13×4+…+错误!=n ×1+⎣⎢⎡11×2+12×3+13×4+… 错误!=n +错误!=n +错误!=错误!=错误!.12.(2011·鸡西)在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ,作EF ⊥AB 交BD 于点F ,取FD 的中点G ,连接EG 、CG ,如图1,易证EG =CG 且EG ⊥CG .(1)将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°,如图2,则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想;(2)将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°,如图3,则线段EG 和C G 又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.解 (1)EG =CG ,EG ⊥CG .(2)EG =CG ,EG ⊥CG .证明:如图,延长FE 交DC 延长线于M ,连接MG . ∵∠AEM =90°,∠EBC =90°,∠BCM =90°,∴四边形BEMC 是矩形.∴BE =CM ,∠EMC =90°.又∵BE=EF,∴EF=CM.∵∠EMC=90°,FG=DG,∴MG=12FD=FG.∵BC=EM,BC=CD,∴EM=CD.又∵EF=CM,∴FM=DM.∴∠F=45°.又∵FG=DG,∴∠CMG=12∠EMC=45°.∴∠F=∠GMC.∴△GFE≌△GMC.∴EG=CG,∠FGE=∠MGC.∵∠FMC=90°,MF=MD,FG=DG,∴MG⊥FD,∴∠FGE+∠EGM=90°,∴∠MGC+∠EGM=90°,即∠EGC=90°.∴EG⊥CG.13.(2011·苏州)已知二次函数y=a(x2-6x+8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A 、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.(1)如图①,连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数a的值;(2)如图②,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现一个正确的命题:“若点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条线段P A、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形).”若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;(3)如图②,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标t是大于3的常数,试问:是否存在一个正数a,使得四条线段P A、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.解(1)令y=0,由a(x2-6x+8)=0解得x1=2,x2=4;令x=0,解得y=8a.∴点A、B、C的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a),∴OA=2,该抛物线对称轴为直线x=3.如图③,设抛物线对称轴与x轴的交点为M,则AM=1.由题意得O′A=OA=2,∴O′A=2AM,∴∠O′AM=60°.∴∠OAC=∠O′AC=60°.∴OC=3·AO=2 3,即8a=2 3,∴a=3 4.(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点,结果同样成立.(i)如图④,设P是边EF上的任意一点(不与点E重合),连接PM.∵点E(4,4)、F(4,3)与点B(4,0)在一直线上,点C在y轴上,∴PB<4,PC≥4,∴PC>PB.又∵PD>PM>PB,P A>PM>PB,∴PB≠P A,PB≠PC,PB≠PD,∴此时线段P A、PB、PC、PD不可能构成平行四边形.(ii)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合),∵点F的坐标是(4,3),∴点G的坐标是(5,3).∴FB=3,GB=10,∴3≤PB<10.∵PC≥4,∴PC>PB.又∵PD>PM>PB,P A>PM>PB,∴PB≠P A,PB≠PC,PB≠PD,∴此时线段P A、PB、PC、PD不可能构成平行四边形.(3)存在一个正数a,使得四条线段P A、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能够成平行四边形).如图⑤,∵点A、B是抛物线与x轴的交点,点P在抛物线对称轴上,∴P A=PB.∴当PC=PD时,线段P A、PB、PC、PD能构成平行四边形.∵点C的坐标是(0,8a),点D的坐标是(3,-a),点P的坐标是(3,t),∴PC2=32+(t-8a)2,PD2=(t+a)2,由PC=PD得PC2=PD2,∴32+(t-8a)2=(t+a)2,整理得7a2-2ta+1=0,∴△=4t2-28.∵t是大于3的常数,∴△=4t2-28>0,∴方程7a2-2ta+1=0有两个不相等的实数根a=2t±4t2-2814=t±t2-77,显然,a=t+t2-77>0,满足题意.∴当t是一个大于3的常数时,存在一个正数a=t+t2-77,使得线段P A、PB、PC、PD能构成平行四边形.。
中考数学模拟试题开放探究型问题
开放探究型问题一、选择题1、(2012年中考数学新编及改编题试卷)图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。
已知; 甲的路线为:A →C →B 。
乙的路线为:A →D →E →F →B ,其中E 为AB 的中点。
丙的路线为:A →G →H →K →B ,其中H 在AB 上,且AH>HB 。
若符号「→」表示「直线前进」,则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据, 则三人行进路线长度的大小关系为( )(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲 二、填空题1. (2012年江苏南通三模)一元二次方程有一根为1,此方程可以是 ▲ (写出一个即可). 答案:x 2-x=0等.2. (2012年江苏南通三模)小明、小亮各有一段长为40cm 的铁丝,将将铁丝首尾相连围成一个长方形.(1)请问他俩围成长方形一定全等吗?(2)如果围成的长方形一定全等,则长方形的长和宽分别是多少?如果围成的长方形不一定全等,请再添加一个条件,使得他俩围成的长方形全等,并求出长方形的长和宽(写出解题过程). 答案:24.(1)不一定 (2)略3、(盐城地区2011~2012学年度适应性训练)如图,已知抛物线y =x 2+bx +c 经过点(0,-3),请你确定一个b 的值,使该抛物线与x 轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间.你所确定的b 的值是 ▲ (写出一个值即可).CDG50︒F60︒70︒50︒ 60︒70︒ 50︒ 60︒70︒ 50︒60︒70︒ 50︒ 60︒70︒ K图(1)图(2)图(3)-331O yx答案如-1,0(不惟一,在-2<b <2内取值均可)三、解答题1、(2012年香坊区一模) (本题l0分)已知:在∆ABC 中,AB=AC ,点P 是BC 上一点,PC=2PB,连接AP ,作∠APD=∠B 交AB 于点D 。
2012年中考几何探索(有答案)
数学中考中的几何探索题(教师版)1.(2012江苏盐城,25,10分)如图①所示,已知A、B为直线 上两点,点C为直线 上方一动点,连接AC、BC,分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作DD1⊥ 于点D1,过点E作EE1⊥ 于点E1.(1)如图②,当点E恰好在直线 的上方时(此时E1与E重合),试说明DD1=AB(2)在图①中,当D、E两点都在直线 的上方时,试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系,并说明理由.(3)如图③,当点E在直线 的下方时,请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系(不需证明).【解析】本题考查了正方形和全等三角形的判定和性质.利用两三角形全等后的对应边相等与对应角相等,是解决本题的关键(1)图②是特殊位置,直接证明三角形全等解决;(2)先猜想三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系,然后根据图②启示,构造两对全等三角形证明.(3)类比归纳、猜想出结论.【答案】(1)∵四边形CADF和四边形CBEG都是正方形,且DD1⊥ ,∴∠DAC=∠ABC=∠DD1A=900,又∵∠ADD1+∠DAD1=900,而∠DAD1+∠ABC=900,∴∠ADD1=∠ABC,在Rt△DD1A和在Rt△BEE1中,∵∠ABC=∠DD1A,∠ADD1=∠BAC,AD=AC,∴△DD1A≌△BEE1,∴DD1=AB.(2)AB=DD1+EE1.理由如下:过C作CM⊥AB于M,易得:△DD1A≌△ACM,∴DD1=AM,同理:△BCM≌△EBE1,∴EE1=BM,∴AB=AM+BM= DD1+EE1.(3)AB=DD1-EE1.【点评】本题是对平面几何推理证明的考查,证明两条线段相等或两角相等,常用的方法第25题图EMFDCBA就是先证得三角形全等,利用全等形的性质,推出结论,考查了同学们从特殊到一般的推理过程.2. (2012•重庆)已知:如图,在菱形ABCD 中,F 为边BC 的中点,DF 与对角线AC 交于点M ,过M 作ME ⊥CD 于点E ,∠1=∠2.(1)若CE=1,求BC 的长;(2)求证:AM=DF+ME .考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:综合题.分析:(1)根据菱形的对边平行可得AB ∥CD ,再根据两直线平行,内错角相等可得∠1=∠ACD ,所以∠ACD=∠2,根据等角对等边的性质可得CM=DM ,再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE ,然后求出CD 的长度,即为菱形的边长BC 的长度;(2)先利用“边角边”证明△CEM 和△CFM 全等,根据全等三角形对应边相等可得ME=MF ,延长AB 交DF 于点G ,然后证明∠1=∠G ,根据等角对等边的性质可得AM=GM ,再利用“角角边”证明△CDF 和△BGF 全等,根据全等三角形对应边相等可得GF=DF ,最后结合图形GM=GF+MF 即可得证.解答:(1)解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ∥CD , ∴∠1=∠ACD , ∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2,∴MC=MD , ∵ME ⊥CD , ∴CD=2CE , ∵CE=1, ∴CD=2, ∴BC=CD=2;(2)证明:如图,∵F为边BC的中点,∴BF=CF=1 2 BC,∴CF=CE,在菱形ABCD中,AC平分∠BCD,∴∠ACB=∠ACD,在△CEM和△CFM中,∵ CE=CF ∠ACB=∠ACD CM=CM ,∴△CEM≌△CFM(SAS),∴ME=MF,延长AB交DF于点G,∵AB∥CD,∴∠G=∠2,∵∠1=∠2,∴∠1=∠G,∴AM=MG,在△CDF和△BGF中,∵∠G=∠2 ∠BFG=∠CFD(对顶角相等) BF=CF ,∴△CDF≌△BGF(AAS),∴GF=DF,由图形可知,GM=GF+MF,∴AM=DF+ME.点评:本题考查了菱形的性质,全等三角形3.( 2012年浙江省宁波市,12,3)勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国古算书《周髀算经》中,就有“若勾三,股四,则弦五”记载,如图1是由边长相等的小正形和直角三角形构成的可以用其面积关系验证勾股定理。
2012版中考数学专题复习精品课件(含10 11真题)专题7 探索问题(53张)
2012版中考数学复习指导
3.(2011·成都中考)设 S 1 1 1 ,S 1 1 1 , 1 2 12 22 22 32 1 1 1 1 S3 1 2 2 ,,Sn 1 2 ,设S S1 S2 2 3 4 n n 1 则S=______(用含n的代数式表示,其中n为正整数). Sn ,
1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 n 1 . 2 2 3 3 4 n n 1 n 1
答案: 1 n
1 (n 1)
2012版中考数学复习指导
动态探索问题
动态探索问题的特点是:以几何图形为背景,讨论某个元素 的运动变化,探索其中隐含的规律,如线段关系、角度大小、 面积关系、函数关系等.在解决动态问题时,要抓住不变的量, 找出其中的规律,同时还应该考虑到,当动态元素去某一位臵 时,“动”则变为“静”,从而化动为静.
sin∠CGO的大小怎样变化,请说明理由.
2012版中考数学复习指导
【思路点拨】(1)连接OH, 过点H作HP⊥y轴于点P,构造直角 三角形,利用勾股定理求出线段的长,然后利用等角,求出 sin∠HAO的值.
(2)过点D作DM⊥EF于M,并延长DM交⊙O于N,连接ON,交BC于
T,利用等腰三角形的性质以及圆的轴对称性,证明∠CGO
2012版中考数学复习指导
n2 n 1 2 【解析】通过探索规律可得 Sn [ ], 所以 Sn n n 1 n2 n 1 3 7 13 n2 n 1 ,所以S n n 1 2 6 12 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 n n 1 1 1 1 1 2 6 12 n n 1
2012年全国中考数学试题分类解析汇编开放探究型问题讲解
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题58:开放探究型问题一、选择题二、填空题1. (2012陕西省3分)在同一平面直角坐标系中,若一个反比例函数的图象与一次函数y=2x+6-的图象无公共点,则这个反比例函数的表达式是▲ (只写出符合条件的一个即可).【答案】5yx=(答案不唯一)。
【考点】开放型问题,反比例函数与一次函数的交点问题,一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设反比例函数的解析式为:kyx=,联立y=2x+6-和kyx=,得k2x+6x-=,即22x6x+k0-=∵一次函数y=2x+6-与反比例函数kyx=图象无公共点,∴△<0,即268k0< --(),解得k>9 2。
∴只要选择一个大于92的k值即可。
如k=5,这个反比例函数的表达式是5yx=(答案不唯一)。
2. (2012广东湛江4分)请写出一个二元一次方程组▲ ,使它的解是x=2y=1⎧⎨-⎩.【答案】x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩(答案不唯一)。
【考点】二元一次方程的解。
【分析】根据二元一次方程解的定义,围绕x=2y=1⎧⎨-⎩列一组等式,例如:由x+y=2+(-1)=1得方程x+y=1;由x-y=2-(-1)=3得方程x-y=3;由x+2y=2+2(-1)=0得方程x+2y=0;由2x+y=4+(-1)=3得方程2x+y=3;等等,任取两个组成方程组即可,如x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩(答案不唯一)。
3. (2012广东梅州3分)春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验,这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是▲ (写出符合题意的两个图形即可)【答案】正方形、菱形(答案不唯一)。
【考点】平行投影。
【分析】根据平行投影的特点:在同一时刻,平行物体的投影仍旧平行。
所以,在同一时刻,这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形,例如,正方形、菱形(答案不唯一)。
4. (2012浙江衢州4分)试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式▲ .【答案】1y=x-(答案不唯一)。
中考数学总复习第40课 探索型问题
- b =1,
2a
a=-1,
∴ -b2=1, 解得 b=2.
4a
即当顶点坐标为(1,1)时,a=-1.
- b =m, 2a
a=- 1 ,
当顶点坐标为 (m ,m ),m ≠0
时,
-b2=m , 4a
解得
b=2.
m
∴a 与 m 之间的关系式是:a=-m1 或 am+1=0.]
(2)∵a≠0,
∴y=ax2+bx=a
专题解读
1.探索型问题: 探索是人类认识客观世界过程中最生动,最活跃的思维活 动.探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力,主 要包括: (1)规律探索型问题; (2)结论探索型问题; (3)存在性探索型问题; (4)动态探索型问题. 2.解答探索型问题的注意事项: 由于探索型问题的题型新颖,综合性强,思维能力要求高,结 构独特,因此解题时并无固定模式,它要求解题者具有较扎实 的基本功,较强的观察力,丰富的想象力及综合分析问题的能 力.解题时要注意问题情境,注重思维的严密性,注意寻找问 题解决的切入口.有时也可采用以下方法来寻找突破口:(1)利 用特殊值(特殊点,特殊数量,特殊线段等)进行归纳,概括;(2) 反演推理法(反证法);(3)分类讨论法;(4)类比猜想法.
3,4 3
3,
-2 P2 3
3,4 3
3
;当∠PAO=90°时,P3
34 9
3,4 3
3 ;当∠POA=90°时,
-16 3,4 3
P4 9
3.
名师点拨
存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型 问题,要注意相关的条件,可以先假设结论成立,然后通 过计算求相应的值,再作存在性的判断.
【预测演练 3】 如图 40-7,在△ABC 中,AB=AC=10 cm,BC=12 cm, 点 D 是 BC 边的中点.点 P 从点 B 出发,以 a(cm/s)(a>0)的速度沿 BA 匀速向点 A 运动;点 Q 同时以 1 cm/s 的速度从点 D 出发,沿 DB 匀 速向点 B 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运 动,设它们运动的时间为 t(s). (1)若 a=2,△BPQ∽△BDA (点 P 与点 D 对应),求 t 的值; (2)设点 M 在边 AC 上,四边形 PQCM 为平行四边形. ①若 a=5,求 PQ 的长; 2 ②是否存在实数 a,使得点 P 在∠ACB 的平分线上?若存在,请求 出 a 的值;若不存在,请说明理由.
2012年中考二轮专题复习专辑一规律探索专题
……图③图②图①专题一 关于规律探索的复习规律探索型问题能够体现”特殊—一般—特殊”的认知规律,通过观察分析推理,探究其中蕴含的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论. 一. 等差数列规律:解题思路:1.通过观察数列或者从图形演变中探寻到序号与结果存在的函数关系:从1,2,3到n 对应的结果之间存在等差;2.要从特殊到一般发现规律,并且注重验证;3.前n 项求和公式:(首项+末项)×项数÷2. 例题分析:例1.如图,将第一个图(图①)所示的正三角形连结各边中点进行分割,得到第二个图(图②);再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,得到第三个图(图③);再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,……,则得到的第n 个图中,共有________个正三角形.例2.观察表一寻找规律.表二、三、四分别是从表一中截取的的一部分,其中a,b,c 的值分别为 .(表2) (表三) (表四) 表一 二.与等比数列相关的问题 解题思路:1.前后结果存在等比问题;2,要从特殊到一般发现规律,注重验证.例1.如图,边长为1的菱形ABCD 中,∠DAB=60°,连结对角线AC ,以AC 为边作第二个菱形ACC l D l ,使∠D 1AC=60°;连结AC 1,再以AC 1为边作第三个菱形AC l C 2D 2,使∠D 2AC 1=60°;……,按此规律所作的第n 个菱形的边长为 .例2.如下数表是由从1 开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答. (1)表中第8行的最后一个数是 ,它是自然数 的平方,第8行共有 个数;(2)用含n 的代数式表示:第n 行的第一个数是 ,最后一个数是 ,第n 行共有 个数; (3)求第n 行各数之和: .123 4... 2 4 6 8... 3 6 9 12 ... 4 8 1216 ... …………...18e 32 12 15 a 20 24 25b输入x1 2x x +3输出X 为奇数 x 为偶数 ⑴ 1+8=? 1+8+16=?⑵⑶ 1+8+16+24=? ……三.周期循环规律问题:解题思路:周期循环主要是通过求余数的方法确定结果.例1.如图所示,两个全等菱形的边长为1米,一个微型机器人由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动,行走2012米停下,则这个微型机器人停在__ ____点.例2.如图所示的运算程序,若开始输入的x 值为48,我们发现第1次输出的结果为24,第2次输出的结果为12,……第2012次输出的结果为__ . 四、以幂的形式呈现的规律:解题思路:通过观察与计算,分析结果与序号之间存在的幂规律.例1. 下面是一个三角形数阵:12 4 23 6 9 6 34 8 12 16 12 8 4…… 根据该数阵的规律,猜想第n 行所有数的和是 .例2.观察图形及图形所对应的算式,根据你发现的规律计算1+8+16+24+……+8n (n 是正整数)的结果为 . 五、其他类例 1.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请仔细观察,第 n 个图形 有 个小圆. (用含 n的代数式表示)例2.根据如图(1),(2),(3)三个图所表示的规律,依次下去第n 个图中平行四边形第1个图形第 2 个图形第3个图形 第 4 个图形的个数是 .综合训练题:1. 有一个数列:0,3,8,15,24……,则第2012个数为 . 2.下列是有规律排列的一列数: ,53,85,32,43,1其中从左至右第n 个数是______ ____.3.已知:3212323=⨯⨯=C ,1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ,154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ,…,观察上面的计算过程,寻找规律并计算=610C .4.观察图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第___ __个图形共有120 个。
中考数学探索性问题知识点
中考数学探索性问题知识点中考数学探索性问题知识点一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论,需要经过推断、补充、并加以证明的问题。
其典型特点是不确定性。
主要包括(1)条件探索型,(2)结论探索型,(3)存在性探索型等。
条件探索型是指结论已明确,需要探索发现使结论成立的条件的题目;结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确,需要探索发现与之相应的结论的题目;而存在型探索题是指在一定的前提下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目。
探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大,不仅能考查学生的数学基础知识,而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力,因而倍受关注。
探索性问题解法,根据已知条件,从基础知识和基本数学思想方法出发,结合基本图形,抓住本质联系进行探究,常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法,进行分析、归纳、猜想、比较、推理等,直到得出答案。
题目的答案也是多种多样的,有的题目有唯一解,有的题无解,也有的题要分几种情况讨论。
解结论探索型题的方法是由因导果;解条件探索型的方法是执果索因;解存在性探索题先假设要探索的问题存在,继而进行推导与计算,若得出矛盾或错误的结论,则不存在,反之即为所求的结论。
解题时应注意知识的综合运用。
二、理解掌握例一、已知:(如图)要使ΔABC∽ΔAPB,需要添加的条件是_____(只填一个)。
(答案:∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB2=APAC)说明:该图是初二几何的基本图形,是解决其他问题的基础,应牢记。
例二、如图,☉O与☉O1外切于点T,AB为其外公切线,PT为内公切线,AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明。
(本题将按正确答案的难易程度评分)结论1: PA=PB=PT 结论2:AT⊥BT。
(或AT2+BT2=AB2)结论3:∠BAT=∠TBO1 结论4:∠OTA=∠PTB结论5:∠APT=∠BO1T 结论6:∠BPT=∠AOT结论7:ΔOAT∽ΔPBT 结论8:ΔAPT∽ΔBO1T设OT=R, O1T=r,结论9:PT2=Rr结论10:AB=2√Rr 结论11:S梯形AOO1B=(R+r)√Rr结论12:以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T点。
2012年中考数学二轮复习考点解密 开放探索性问题(含解析)
2012年中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题,可分为开放型问题和探究型问题两类.开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的,它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题.这类试题已成为近年中考的热点,重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性,但难度适中.根据其特征大致可分为:条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类.探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论,需要经过推断,补充并加以证明的一类问题.根据其特征大致可分为:条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类.二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖面较大,综合性较强,灵活选择方法的要求较高,再加上题意新颖,构思精巧,具有相当的深度和难度,所以要求同学们在复习时,首先对于基础知识一定要复习全面,并力求扎实牢靠;其次是要加强对解答这类试题的练习,注意各知识点之间的因果联系,选择合适的解题途径完成最后的解答.由于题型新颖、综合性强、结构独特等,此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路,但是可以从以下几个角度考虑:1.利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律.2.反演推理法(反证法),即假设结论成立,根据假设进行推理,看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.3.分类讨论法.当命题的题设和结论不惟一确定,难以统一解答时,则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏,分门别类加以讨论求解,将不同结论综合归纳得出正确结果.4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法,并加以严密的论证.以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略,因而具体操作时,应更注重数学思想方法的综合运用.三、考点精讲(一)开放型问题考点一:条件开放型:条件开放题是指结论给定,条件未知或不全,需探求与结论相对应的条件.解这种开放问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,逆向追索,逐步探求.例1:(2011江苏淮安)在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC.请再添加一个条件,使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)分析:已知两组对边相等,如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD,进而得到,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,使四边形ABCD是矩形.解:若四边形ABCD的对角线相等,则由AB=DC,AD=BC可得.△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD,所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角,所以四边形ABCD是矩形,故答案为:对角线相等.评注:此题属开放型题,考查的是矩形的判定,根据矩形的判定,关键是是要得到四个内角相等即直角.考点二:结论开放型:给出问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性,这些问题都是结论开放问题.这类问题的解题思路是:充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、类比、联想、归纳,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍.例2:(2011天津)已知一次函数的图象经过点(0,1),且满足y随x的增大而增大,则该一次函数的解析式可以为.分析:先设出一次函数的解析式,再根据一次函数的图象经过点(0,1)可确定出b的值,再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可.解:设一次函数的解析式为:y=kx+b(k≠0),∵一次函数的图象经过点(0,1),∴b=1,∵y随x的增大而增大,∴k>0,故答案为y=x+1(答案不唯一,可以是形如y=kx+1,k>0的一次函数).评注:本题考查的是一次函数的性质,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,k>0,y随x的增大而增大,与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上.考点三:条件和结论都开放的问题:此类问题没有明确的条件和结论,并且符合条件的结论具有多样性,因此必须认真观察与思考,将已知的信息集中分析,挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论,多方面、多角度、多层次探索条件和结论,并进行证明或判断.例3:(2010•玉溪)如图,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,请添加适当条件后,构造出一对全等的三角形,并说明理由.分析:先连接BE,再过D作DF∥BE交BC于F,可构造全等三角形△ABE和△CDF.利用ABCD是平行四边形,可得出两个条件,再结合DE∥BF,BE∥DF,又可得一个平行四边形,那么利用其性质,可得DE=BF,结合AD=BC,等量减等量差相等,可证AE=CF,利用SAS可证三角形全等.解:添加的条件是连接BE,过D作DF∥BE交BC于点F,构造的全等三角形是△ABE与△CDF .理由:∵平行四边形ABCD ,AE=ED ,∴在△ABE 与△CDF 中,AB=CD ,∠EAB=∠FCD ,又∵DE ∥BF ,DF ∥BE ,∴四边形BFDE 是平行四边形,∴DE=BF ,又AD=BC ,∴AD ﹣DE=BC ﹣BF ,即AE=CF ,∴△ABE ≌△CDF .(答案不唯一,也可增加其它条件)评注:本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识.考点四:编制开放型:此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知,而仅提供一种问题情境,需要我们补充条件,设计结论,寻求解法的一类题,它更具有开放性.例4:(2010年江苏盐城中考题)某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元.已知2班比1班人均捐款多4元,2班的人数比1班的人数少10%.请你根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程....解决的问题,并写出解题过程. 分析:本题的等量关系是:两班捐款数之和为1800元;2班捐款数-1班捐款数=4元;1班人数=2班人数×90%,从而提问解答即可.解:解法一:求两个班人均捐款各多少元?设1班人均捐款x 元,则2班人均捐款(x +4)元,根据题意得1800x ·90%=1800x +4解得x=36 经检验x=36是原方程的根∴x+4=40答:1班人均捐36元,2班人均捐40元解法二:求两个班人数各多少人?设1班有x人,则根据题意得1800x+4=180090x%解得x=50 ,经检验x=50是原方程的根∴90x % =45答:1班有50人,2班有45人.评注:对于此类编制开放型问题,是一类新型的开放型问题,它要求学生的思维较发散,写出符合题意的正确答案即可,难度要求不大,但学生容易犯想当然的错误,叙述不够准确,如单位的问题、符合实际等要求,在解题中应该注意防范.(二)探究型问题考点五:动态探索型:此类问题结论明确,而需探究发现使结论成立的条件的题目.例5:(2011•临沂)如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角扳的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.(1)求证:EF=EG;(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明:若不成立.请说明理由:(3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a、BC=b,求EFEG的值.分析:(1)由∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°,可得∠DEF=∠GEB,又由正方形的性质,可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB,则问题得证;(2)首先点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为H、I,然后利用SAS证得Rt△FEI ≌Rt△GEH,则问题得证;(3)首先过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为M、N,易证得EM∥AB,EN∥AD,则可证得△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,又由有两角对应相等的三角形相似,证得△GME∽△FNE,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.解:(1)证明:∵∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°,∴∠DEF=∠GEB,又∵ED=BE,∴Rt△FED≌Rt△GEB,∴EF=EG;(2)成立.证明:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为H、I,则EH=EI,∠HEI=90°,∵∠GEH+∠HEF=90°,∠IEF+∠HEF=90°,∴∠IEF=∠GEH,∴Rt△FEI≌Rt△GEH,∴EF=EG;(3)解:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为M、N,则∠MEN=90°,∴EM∥AB,EN∥AD.∴△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,∴,NE CE EM CE AD CA AB CA ==, ∴NE EM AD AB =,即NE AD b EM AB a ==, ∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°,∴∠GEM=∠FEN ,∵∠GME=∠FNE=90°,∴△GME ∽△FNE ,∴EF EN EG EM=, ∴EF b EG a =. 评注:此题考查了正方形,矩形的性质,以及全等三角形与相似三角形的判定与性质.此题综合性较强,注意数形结合思想的应用.考点六:结论探究型:此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一,而需探索发现与之相应的结论的题目. 例6:(2011福建省三明市)在矩形ABCD 中,点P 在AD 上,AB =2,AP =1.将直角尺的顶点放在P 处,直角尺的两边分别交AB ,BC 于点E ,F ,连接EF (如图①).(1)当点E 与点B 重合时,点F 恰好与点C 重合(如图②),求PC 的长;(2)探究:将直尺从图②中的位置开始,绕点P 顺时针旋转,当点E 和点A 重合时停止.在这个过程中,请你观察、猜想,并解答:①tan ∠PEF 的值是否发生变化?请说明理由;②直接写出从开始到停止,线段EF 的中点经过的路线长.分析:(1)由勾股定理求PB ,利用互余关系证明△APB ∽△DCP ,利用相似比求PC ;(2)tan∠PEF的值不变.过F作FG⊥AD,垂足为G,同(1)的方法证明△APB∽△DCP,得相似比PF GFPE AP==21=2,再利用锐角三角函数的定义求值;(3)如图3,画出起始位置和终点位置时,线段EF的中点O1,O2,连接O1O2,线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长,也就是△BPC的中位线.解:(1)在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,AP=1,CD=AB=2,则PB=5,∴∠ABP+∠APB=90°,又∵∠BPC=90°,∴∠APB+∠DPC=90°,∴∠ABP=∠DPC,∴△APB∽△DCP,∴AP PBCD PC=即152PC=,∴PC=25;(2)tan∠PEF的值不变.理由:过F作FG⊥AD,垂足为G,则四边形ABFG是矩形,∴∠A=∠PFG=90°,GF=AB=2,∴∠AEP+∠APE=90°,又∵∠EPF=90°,∴∠APE+∠GPF=90°,∴∠AEP=∠GPF,∴△APE∽△GPF,∴PF GFPE AP==21=2,∴Rt △EPF 中,tan ∠PEF =PF PE=2, ∴tan ∠PEF 的值不变; (3)线段EF 的中点经过的路线长为5.评注:本题考查了相似三角形的判定与性质,矩形的性质,解直角三角形.关键是利用互余关系证明相似三角形.考点七:规律探究型:规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程,来探求一般性结论的问题,解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用. 例7:(2011四川成都)设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =S =_________ (用含n 的代数式表示,其中n 为正整数).分析:由222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ,求n S ,得出一般规律.解:∵222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n , ∴1111)1(1)1(+-+=+++=n n n n n n S n , ∴1111312112111+-+++-++-+=n n S 111+-+=n n 1211)1(22++=+-+=n n n n n 故答案为: 122++n n n 评注:本题考查了二次根式的化简求值.关键是由S n 变形,得出一般规律,寻找抵消规律.考点八:存在探索型:此类问题在一定的条件下,需探究发现某种数学关系是否存在的题目.例8:(2011辽宁大连)如图15,抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (-1,0)、B (3,0)、C (0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ,连接PB .(1)求该抛物线的解析式;(2)抛物线上是否存在一点Q ,使△QMB 与△PMB 的面积相等,若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由;(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ,使△RPM 与△RMB 的面积相等,若存在,直接写出点R 的坐标;若不存在,说明理由.分析:(1)利用待定系数法求解;(2)若想求Q 点坐标,Q 到MB 的距离应该等于P 到MB 的距离,所以Q 点应该在经过P 点且平行于BM 的直线上,或者在这条直线关于BM 对称的直线上,因此,求出这两条直线的解析式,其与抛物线的交点即为所求Q 点;(3)设出R 点坐标,分别用其横坐标表示出△RPM 与△RMB 的面积,利用相等列出方程即可求出R 点坐标.解:(1)322++-=x x y(2)∵4)1(2+--=x y ∴P (1,4)BC :3+-=x y ,M (1,2)P (1,4);PB :62+-=x y ,当PQ ∥BC 时:设PQ 1:b x y +-=∵P (1,4)在直线PQ 上b +-=14;5=b∴PQ 1:5+-=x y⎩⎨⎧++-=+-=3252x x y x y 解得⎩⎨⎧==4111y x ,⎩⎨⎧==3222y x ∴1Q :(2,3);将PQ 向下平移4个单位得到1+-=x y⎩⎨⎧++-=+-=3212x x y x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2171217311y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=2171217311y x ∴2Q :(2173-,2171+-);3Q :(2173+,2171--)xx ,322++-x x )∵P (1,4),M (1,2)∴ 224=-=PM()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR x x x x x RN 3)3()32(22+-=+--++-=()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR ∵x x x 312+-=- 解得121+=x ,122+-=x (舍) ∴当12+=x 时,24)121(2=+-+-=y∴R (12+,2)x评注:求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成;在表示面积问题时,对于边不在特殊线上的通常要分割.四、真题演练1.(2011山东潍坊)一个y 关于x 的函数同时满足两个条件:①图象过(2,1)点;②当0x 时.y 随x 的增大而减小,这个函数解析式为_______________ (写出一个即可)2.(2011山西)如图,四边形ABCD 是平行四边形,添加一.个.条件:___________ _______________________,可使它成为矩形.3.(2011•泰州)“一根弹簧原长10cm ,在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体,挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比,,则弹簧的总长度y (cm )与所挂物体质量x (kg )之间的函数关系式为y=10+0.5x (0≤x≤5).”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染,被污染的部分是确定函数关系式的一个条件,你认为该条件可以是: (只需写出1个).3.(4.(2011广西百色)已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ,M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点.(1)请你在下列条件①DM =CN ,②OM =ON ,③MN 是△OCD 的中位线,④MN ∥AB 中任选一个添加条件(或添加一个你认为更满意的其他条件),使四边形ABNM 为等腰梯形,你添加的条件是 .(2)添加条件后,请证明四边形ABNM 是等腰梯形.(第14题) ACDo第二部分练习部分1.(2011•贺州)写出一个正比例函数,使其图象经过第二、四象限:y=﹣x(答案不唯一).分析:先设出此正比例函数的解析式,再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号,再写出符合条件的正比例函数即可.解答:解:2.(2011•湖南张家界)在△ABC中,AB=8,AC=6,在△DEF中,DE=4,DF=3,要使△ABC 与△DEF相似,则需添加的一个条件是(写出一种情况即可).分析:解答:解:则需添加的一个条件是:BC:EF=2:1.∵在△ABC中,AB=8,AC=6,在△DEF中,DE=4,DF=3,∴AB:DE=2:1,AC:DF=2:1,∵BC:EF=2:1.∴△ABC∽△DEF.故答案为:.3.(2010江苏连云港中考题)若关于x的方程x2-mx+3=0有实数根,则m的值可以为___________.(任意给出一个符合条件的值即可)4.(2011广东湛江)如图,点B,C,F,E在同直线上,∠1=∠2,BC=EF,∠1 _______(填“是”或“不是”)∠2的对顶角,要使△ABC ≌△DEF ,还需添加一个条件,可以是 _______(只需写出一个)5.(2011福建省漳州市,19,8分)如图,∠B =∠D ,请在不增加辅助线的情况下,添加一个适当的条件,使△ABC ≌△ADE ,并证明.(1)添加的条件是 ;(2)证明:6.(2010浙江杭州中考题)给出下列命题:命题1. 点(1,1)是直线y = x 与双曲线y =x 1的一个交点; 命题2. 点(2,4)是直线y = 2x 与双曲线y =x 8的一个交点; 命题3. 点(3,9)是直线y = 3x 与双曲线y =x27的一个交点; … … .(1)请观察上面命题,猜想出命题n (n 是正整数);(2)证明你猜想的命题n 是正确的.7.(2011•德州)●观察计算当a=5,b=3时,2a b +与ab 的大小关系是2a b +>ab . 当a=4,b=4时,2a b +与ab 的大小关系是2a b +=ab .●探究证明如图所示,△ABC 为圆O 的内接三角形,AB 为直径,过C 作CD ⊥AB 于D ,设AD=a ,BD=b .(1)分别用a ,b 表示线段OC ,CD ;(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系(用含a ,b 的式子表示).●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明,你能得出2a b +与ab 的大小关系是:2a b +≥ab . ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值.8.(2011浙江绍兴)数学课上,李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形ABC 中,点E 在AB 上,点D在CB 的延长线上,且ED=EC ,如图.试确定线段AE 与DB 的大小关系,并说明理由.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况•探索结论当点E 为AB 的中点时,如图1,确定线段AE 与的DB 大小关系.请你直接写出结论:AE = DB (填“>”,“<”或“=”).(2)特例启发,解答題目解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE=DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).★“真题演练”参考答案★1.【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数,可以从一次函数,反比例函数,二次函数三方面考虑,只要符合条件①②即可.【答案】符合题意的函数解析式可以是y= 2x,y=-x+3,y=-x2+5等,(本题答案不唯一)故答案为:y=2x,y=-x+3,y=-x2+5等.2.【分析】:由有一个角是直角的平行四边形是矩形.想到添加∠ABC=90°;由对角线相等的平行四边形是矩形.想到添加AC=BD.【答案】∠ABC=90°(或AC=BD等)3.解:根据弹簧的总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为y=10+0.5x (0≤x≤5)可以得到:当x=1时,弹簧总长为10.5cm,当x=2时,弹簧总长为11cm,…∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ,故答案为:每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm .4.解:(1)选择①DM =CN ;(2)证明:∵AD =BC ,∠ADM =∠BCN ,DM =CN∴△AND ≌△BCN ,∴AM =BN ,由OD =OC 知OM =ON , ∴OCON OD OM = ∴MN ∥CD ∥AB ,且MN ≠AB∴四边形ABNM 是等腰梯形.★“练习部分”参考答案★1.【分析】设此正比例函数的解析式为y=kx (k≠0),∵此正比例函数的图象经过二、四象限,∴k <0,∴符合条件的正比例函数解析式可以为:y=﹣x (答案不唯一).【答案】故答案为:y=﹣x (答案不唯一).2.【分析】因为两三角形三边对应成比例,那么这两个三角形就相似,从题目知道有两组个对应边的比为2:1,所以第三组也满足这个比例即可.【答案】BC :EF=2:13.【分析】由于这个方程有实数根,因此⊿=()22241212b a m m -=--=-≥0,即m 2≥12.【答案】答案不唯一,所填写的数值只要满足m 2≥12即可,如4等4.【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角.要使△ABC ≌△DEF ,已知∠1=∠2,BC=EF ,则只需补充AC=FD 或∠BAC=∠FED 都可,答案不唯一.【答案】解:根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角故填:不是.添加AC=FD 或∠BAC=∠FED 后可分别根据SAS 、AAS 判定△ABC ≌△DEF ,故答案为:AC=FD ,答案不唯一.5.解:(1)添加的条件是:AB =AD ,答案不唯一;(2)证明:在△ABC 和△ADE 中,∠B =∠D ,AB =AD ,∠A =∠A ,∴△ABC ≌△ADE .6.(1)命题n ;点(n , n 2)是直线y = nx 与双曲线y =x n 3的一个交点(n 是正整数). (2)把 ⎩⎨⎧==2n y nx 代入y = nx ,左边= n 2,右边= n ·n = n 2,∵左边=右边,∴点(n ,n 2)在直线上.同理可证:点(n ,n 2)在双曲线上,∴点(n ,n 2)是直线y = nx 与双曲线y =x n 3的一个交点,命题正确.7.解:●观察计算:2a b +2a b + ●探究证明:(1)∵AB=AD+BD=2OC ,∴OC=2a b +. ∵AB 为⊙O 直径,∴∠ACB=90°.∵∠A+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD .∴△ACD ∽△CBD .(4分) ∴AD CD CD BD=. 即CD 2=AD•BD=ab ,∴CD=ab .(5分) (2)当a=b 时,OC=CD ,2a b +=ab ; a≠b 时,OC >CD ,2a b +>ab . ●结论归纳:2a b +≥ab . ●实践应用设长方形一边长为x 米,则另一边长为1x米,设镜框周长为l 米,则112()4l x x x x=+≥⋅=4. 当x=1x,即x=1(米)时,镜框周长最小.此时四边形为正方形时,周长最小为4米.8.解:(1)故答案为:=.(2)故答案为:=.证明:在等边△ABC 中,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC ,∵EF ∥BC ,∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC ,∴AE=AF=EF ,∴AB ﹣AE=AC ﹣AF ,即BE=CF ,∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°,∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°,∵ED=EC ,∴∠EDB=∠ECB,∴∠BED=∠FCE,∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF,∴AE=BD.(3)答:CD的长是1或3.。
2012年中考数学复习考点解密 探索性问题(含解析)
2012年中考数学二轮复习考点解密探索性问题Ⅰ、综合问题精讲:探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论,需要经过推断,补充并加以证明的题型.探索性问题一般有三种类型:(1)条件探索型问题;(2)结论探索型问题;(3)探索存在型问题.条件探索型问题是指所给问题中结论明确,需要完备条件的题目;结论探索型问题是指题目中结论不确定,不唯一,或题目结论需要类比,引申推广,或题目给出特例,要通过归纳总结出一般结论;探索存在型问题是指在一定的前提下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.探索型问题具有较强的综合性,因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识.经常用到的知识是:一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法(图象及其性质)、直角三角形的性质、四边形(特殊)的性质、相似三角形、解直角三角形等.其中用几何图形的某些特殊性质:勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径.因此复习中既要重视基础知识的复习,又要加强变式训练和数学思想方法的研究,切实提高分析问题、解决问题的能力.Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图2-6-1,已知抛物线的顶点为A(O,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8.(1)求此抛物线的解析式;(2)如图2-6-2,若P点为抛物线上不同于A的一点,连结PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为S、R.①求证:PB=PS;②判断△SBR的形状;③试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似,若存在,请找出M点的位置;若不存在,请说明理由.⑴解:方法一:∵B点坐标为(0,2),∴OB=2,∵矩形CDEF面积为8,∴CF=4.∴C 点坐标为(一2,2).F 点坐标为(2,2)。
设抛物线的解析式为2y ax bx c =++. 其过三点A(0,1),C(-2.2),F(2,2)。
数学:中考2012年数学专题复习及试题解析 第04部分
考点四:逆推代入法 将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足题设条件,然后选择
符合题设条件的选择支的一种方法. 在运用验证法解题时,若能据题意确定代入顺序,则能 较大提高解题速度.
例 4.(2011·湖北省襄阳市)已知函数 y=(k-3)x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点,则 k 的取
A.y1<y2<y3
B.y2<y1<y3
C.y3<y1<y2
D.y1<y3<y2
5.(2011•广东省深圳市)如图,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,O 为 BC、EF 的中点,则
AD:BE 的值为
( )
8
A. 3 :l
B. 2 :l
C.5:3 D.不确定
第二部分 练习部分
1.(2011•江苏省泰州市)如图,直角三角形纸片 ABC 的∠C 为 90°,将三角形纸片沿着图示
4
例
5.(2011•湖北省随州市)已知函数
y=
(x 1) 2 (x 5) 2
1 1
x 3 ,若使 y=k 成立的 x 值恰好有
(x 3)
三个,则 k 的值为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
分析:首先在坐标系中画出已知函数
y=
(x 1) 2 (x 5) 2
(
)
A.﹣3,1
B.﹣3,3
C.﹣1,1
D.﹣1,3
2x 1 3x 1
3.(2011•山东省威海市)如果不等式组
xm
的解集是 x<2,那么 m 的取值范围是
9
( )
A.m=2
B.m>2
C.m<2
D.m≥2
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2012年最新中考数学题集考前冲刺探索型问题一、选择题1.(2010·株洲)如图所示的正方形网络中,网格线的交点称为格点,已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是()A.6 B.7 C.8 D.9答案 C解析如图,可知符合题意的点C有8个.2.(2010·重庆)有两个完全重合的矩形,将其中一个始终保持不动,另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转,每次均旋转45°,第1次旋转后得到图①,第2次旋转后得到图②,……,则第10次旋转后得到的图形与图①~④中相同的是()A.图①B.图②C.图③D.图④答案 B解析本题考查分析想象能力.由题意可知,45°×8=360°,当转动的矩形绕中心旋转8次后回到原位置,据此可得第10次旋转后的图形与图②相同.3.若正比例函数的图象经过点(-1,2),则这个图象必经过点()A.(1,2) B.(-1,-2)C.(2,-1) D.(1,-2)答案 D解析设y=kx的图象过点(-1,2),则2=-k,k=-2,y=-2x,又当x=1时,y=-2×1=-2,选D.4.如图,房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成.图中,第1个黑色L形由3个正方形组成,第2个黑色L形由7个正方形组成,…,那么第6个黑色L形的正方形个数是()A.22 B.23 C.24 D.25答案 B解析黑色L形与组成的正方形的个数如下表所示.1234……n371115……4n-1当n=6时,4n-1=4×6-1=23.故选B.5.(2011·潜江)如图,已知直线l:y=33x,过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B,过点B作直线l的垂线交y轴于点A1;过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2;…;按此作法继续下去,则点A4的坐标为()A.(0,64) B.(0,128) C.(0,256) D.(0,512)答案 C解析易求A(0,1),A1(0,4),A2(0,16)……,而21=1,22=4,24=16……,所以28=256,点A4的坐标为(0,256).二、填空题6.(2010·鄂尔多斯)如图,用小棒摆出下面的图形,图形(1)需要3根小棒,图形(2)需要7根小棒,……,照这样的规律继续摆下去,第n个图形需要__________根小棒(用含n的代数式表示).答案4n-1解析图形(1)有小棒3=4×1-1;图形(2)有小棒7=4×2-1;图形(3)有小棒11=4×3-1;……;图形(n)有小棒4×n-1,即4n-1.7.(2011·肇庆)如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n(n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是__________.答案n(n+2)解析第1个图形需黑色棋子2×3-3个,第2个图形需黑色棋子3×4-4个,……,则第n个图形需黑色棋子个数是(n+1)(n+2)-(n+2)=n2+2n=n(n+2).8.(2010·宿迁)如图,正方形纸片ABCD的边长为8,将其沿EF折叠,则图中①②③④四个三角形的周长之和为________.答案32解析 如图,设C ′B ′与AB 交点为G ′,与AD 交点为H ′,FC ′与AD 交点为W ′,则这三个点关于折痕EF 对称的点分别为G 、H 、W ,由翻折的性质“对应边相等”,得BE =EB ′,BG =B ′G ′,GH =G ′H ′,HC =H ′C ′,CW =C ′W ′,FW =FW ′.∴①、②、③、④四个三角形的周长之和等于正方形的周长=4×8=32. 9.(2011·菏泽)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m 的值是______.答案 158解析 根据左上角0、2、4、6、8、10可知最后一个正方形是第6个正方形,阴影部分应该是12、14,所以m =12×14-10=158.10.(2011·东莞)如图(1) ,将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形AFBDCE ,它的面积为1,取△ABC 和△DEF 各边中点,连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1,如图(2)中阴影部分;取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点,连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2,如图(3) 中阴影部分;如此下去,则正六角星形A n F n B n D n C n E n 的面积为_______.答案14n解析 正六角星形AFBDCE 与正六角形A 1F 1B 1D 1C 1E 1相似,且相似比为2,所以正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积是1×⎝⎛⎭⎫122=14,依此类推,正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2的面积是14×⎝⎛⎭⎫122=142,……,所以正六角星形A n F n B n D n E n 的面积是14n . 三、解答题11.(2011·成都)设S 1=1+112+122,S 2=1+122+132,S 3=1+132+142,…, S n =1+1n 2+1(n +1)2.设S =S 1+S 2+…+S n ,求S 的值 (用含n 的代数式表示,其中n 为正整数).解 S n =1+1n 2+1(n +1)2=1+⎣⎡⎦⎤1n -1(n +1)2+2×1n (n +1)=1+⎣⎡⎦⎤1n (n +1)2+2×1n (n +1)=⎣⎡⎦⎤1+1n (n +1)2. ∴S =⎝⎛⎭⎫1+11×2+⎝⎛⎭⎫1+12×3+⎝⎛⎭⎫1+13×4+…+⎝⎛⎭⎫1+1n (n +1)=n ×1+⎣⎡11×2+12×3+13×4+…⎦⎤+1n (n +1)=n +⎝⎛⎭⎫1-1n +1=n +n n +1=n (n +1)+n n +1=n 2+2n n +1. 12.(2011·鸡西)在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ,作EF ⊥AB 交BD 于点F ,取FD 的中点G ,连接EG 、CG ,如图1,易证 EG =CG 且EG ⊥CG .(1)将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°,如图2,则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想;(2)将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°,如图3,则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.解 (1)EG =CG ,EG ⊥CG .(2)EG =CG ,EG ⊥CG .证明:如图,延长FE 交DC 延长线于M ,连接MG . ∵∠AEM =90°,∠EBC =90°,∠BCM =90°, ∴四边形BEMC 是矩形. ∴BE =CM ,∠EMC =90°. 又∵BE =EF , ∴EF =CM . ∵∠EMC =90°,FG =DG ,∴MG =12FD =FG .∵BC =EM ,BC =CD , ∴EM =CD . 又∵EF =CM , ∴FM =DM . ∴∠F =45°. 又∵FG =DG ,∴∠CMG =12∠EMC =45°.∴∠F =∠GMC . ∴△GFE ≌△GMC .∴EG =CG ,∠FGE =∠MGC . ∵∠FMC =90°,MF =MD ,FG =DG , ∴MG ⊥FD ,∴∠FGE +∠EGM =90°, ∴∠MGC +∠EGM =90°, 即∠EGC =90°. ∴EG ⊥CG . 13.(2011·苏州)已知二次函数y =a (x 2-6x +8)(a >0)的图象与x 轴分别交于点A 、B ,与y 轴交于点C .点D 是抛物线的顶点.(1)如图①,连接AC ,将△OAC 沿直线AC 翻折,若点O 的对应点O ′恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数a 的值;(2)如图②,在正方形EFGH 中,点E 、F 的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG 位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现一个正确的命题:“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点,则四条线段P A 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形).”若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;(3)如图②,当点P 在抛物线对称轴上时,设点P 的纵坐标t 是大于3的常数,试问:是否存在一个正数a ,使得四条线段P A 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.解 (1)令y =0,由a (x 2-6x +8)=0解得x 1=2,x 2=4; 令x =0,解得y =8a .∴点A 、B 、C 的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a ), ∴OA =2,该抛物线对称轴为直线x =3.如图③,设抛物线对称轴与x 轴的交点为M ,则AM =1.由题意得O ′A =OA =2,∴O ′A =2AM ,∴∠O ′AM =60°. ∴∠OAC =∠ O ′AC =60°.∴OC =3·AO =2 3,即8a =2 3,∴a =34. (2)若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点,结果同样成立.(i )如图④,设P 是边EF 上的任意一点(不与点E 重合),连接PM .∵点E (4,4)、F (4,3)与点B (4,0)在一直线上,点C 在y 轴上, ∴PB <4,PC ≥4,∴PC >PB .又∵PD >PM >PB ,P A >PM >PB , ∴PB ≠P A ,PB ≠PC ,PB ≠PD ,∴此时线段P A 、PB 、PC 、PD 不可能构成平行四边形. (ii )设P 是边FG 上的任意一点(不与点G 重合),∵点F 的坐标是(4,3),∴点G 的坐标是(5,3). ∴FB =3,GB =10,∴3≤PB <10. ∵PC ≥4,∴PC >PB .又∵PD >PM >PB ,P A >PM >PB , ∴PB ≠P A ,PB ≠PC ,PB ≠PD ,∴此时线段P A 、PB 、PC 、PD 不可能构成平行四边形.(3)存在一个正数a ,使得四条线段P A 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能够成平行四边形).如图⑤,∵点A 、B 是抛物线与x 轴的交点,点P 在抛物线对称轴上,∴P A =PB .∴当PC =PD 时,线段P A 、PB 、PC 、PD 能构成平行四边形.∵点C 的坐标是(0,8a ),点D 的坐标是(3,-a ),点P 的坐标是(3,t ), ∴PC 2=32+(t -8a )2,PD 2=(t +a )2,由PC =PD 得PC 2=PD 2,∴32+(t -8a )2=(t +a )2, 整理得7a 2-2ta +1=0,∴△=4t 2-28. ∵t 是大于3的常数,∴△=4t 2-28>0,∴方程7a 2-2ta +1=0有两个不相等的实数根a =2t ±4t 2-2814=t ±t 2-77,显然,a =t +t 2-77>0,满足题意.∴当t 是一个大于3的常数时,存在一个正数a =t +t 2-77,使得线段P A 、PB 、PC 、PD 能构成平行四边形.。