绵阳市高中2012级第二次诊断性考试理科数学试题
四川省绵阳市2012届高三第三次诊断性考试数学(理)试题
绵阳市高中2012级第三次诊断性考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 已知复数z满足z•(1－i)=2i(其中i为虚数单位)，则z的值为(A) –1－i (B) -1+i (C) 1-i (D) 1+i2. 已知集合，，则=(A)(B)(C)(D)3. 若函数f(x)=在R上连续，则实数a的值为(A) -1 (B)O(C)(D) 14. l1,l2是空间中两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(A)(B)(C)(D)5. 已知两非零向量a,b,则是“a与b共线”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6. 设f(X)是定义在R上周期为4的奇函数，当时，，则f(5)的值为(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -27. 已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，且S15=45,M为a5, a11的等比中项，则M的最大值为(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 368. 已知点是圆内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为，那么(A)且m与圆C相切（B)且m与圆C相切(C)且m与圆C相离（D)且m与圆C相离9. 某运输公司有7辆载重量为8吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务.己知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车180元.该公司每天合理派出A型车与B型车，使得每天所花的最低成本费为(A) 1200元(B) 1320元(C) 1340元（D) 1520元10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变）(A) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位(B) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位(C) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位(D) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位11. 已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B两点,若，则C的离心率为(A)(B)(C) 2 (D)12. 形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0, 1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为(A)(B)(C)(D)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 抛物线的焦点坐标为.________14. 若展开式中常数项为60,则实数a=________15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为________16. 对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c，使得对任意x1,都有，且对任意x 2D,当时，恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数为R上的“平顶型”函数；③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当时，函数，是区间上的“平顶型”函数.其中正确的是.(填上你认为正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分）已知向量.(I )当m//n时，求的值；(II)已知在锐角ΔABC中，a, b, c分别为角A,B,C的对边，，函数，求的取值范围.18. (本题满分12分）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.(I )求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；(II) 记游戏A、B被闯关成功的总人数为，求的分布列和期望.19.(本题满分12分）如图，正方形AA 1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点(I) 当点E为AB的中点时,求证；BD1//平面A1DE(II )求点A1到平面BDD1的距离；(III) 当时，求二面角D1-EC-D的大小.20. (本题满分12分）已知函数的图象在点(1, f(1))处的切线方程为x-y-2=0(I )用a表示b, c；(II) 若函数g(x)=x-f(x)在上的最大值为2，求实数a的取值范围.21. (本题满分12分）在ΔABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c 成等差数列.(I )求顶点A的轨迹方程；(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围.22. (本题满分14分）已知数列{a n}各项均为正数，S n为其前n项和，对于，总有成等差数列.(I )求数列{a n}的通项a n；(II )设数列的前n项和为T n,数列{T n}的前n项和为R n,求证：时，；(III)对任意，试比较与的大小。
绵阳市高三第二次诊断性考试数学(理)试题含答案
保密 ★ 启用前 【考试时间：20XX 年1月26日15:00—17:00】绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1+y -1=0的倾斜角是A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．计算：1+i+i 2+i 3+…+i 100（i 为虚数单位）的结果是A ．0B ．1C ．iD ．i+1 3．已知a 、b ∈R ，那么“ab <0”是“方程ax 2+by 2=1表示双曲线”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只需把函数3sin()5y x π=+图象上所有点的A ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 5．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的体积为 AB．C．D．6．若log a (a 2+1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是A ．(0，21)B ．(21，1)正视图侧视图俯视图C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)7．现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种8．已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 A ．815B ．415C ．23D ．129．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +b -a +3=0，其中a 、b 为常数，点(a ，b )是区域Ω：0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，内的随机点．设该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，则x 1、x 2满足0≤x 1≤1≤x 2的概率是 A ．332B ．316C ．532D ．91610．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或11第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．《人再囧途之泰囧》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象，则抽取的女观众人数为 人．12．右图表示的程序所输出的结果是.13．51(21)(1)x x+-的展开式的常数项是__________.（填写具体数字） 14．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线221412x y -=与双曲线221x y m n-=是“相近双曲线”，则nm的取值范围是 .15．已知函数()f x ，若对给定的三角形ABC ，它的三边的长a 、b 、c 均在函数()f x 的定义域内，都有()f a 、()f b 、()f c 也为某三角形的三边的长，则称()f x 是△ABC 的“三角形函数”．下面给出四个命题：①函数1()((0))f x x =∈+∞，是任意三角形的“三角形函数”；②若定义在(0)+∞，上的周期函数2()f x 的值域也是(0)+∞，，则2()f x 是任意三角形的“三角形函数”；③若函数33()3f x x x m =-+在区间2433（，）上是某三角形的“三角形函数”，则m 的取值范围是62+27∞（，）； ④若a 、b 、c 是锐角△ABC 的三边长，且a 、b 、c ∈N +，则24()+ln (0)f x x x x =>是△ABC 的“三角形函数”．以上命题正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )=(sin x +cos x )2-2sin 2x ．（Ⅰ）求f (x )的单调递减区间；（Ⅱ）A 、B 、C 是△ABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c ．若()8A f =，AB AC ⋅=12，a =，且b <c ，求b 、c 的长．17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F ． （Ⅰ）求证：P A ∥平面EDB ； （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ； （Ⅲ）求二面角C -PB -D 的大小．18．（本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为13，乙每次投中的概率为14． （Ⅰ）求甲投篮三次恰好得三分的概率； （Ⅱ）假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮得分总和的差，求随机变量X 的分布列．19．（本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{a n }的首项134a =，2a n +1a n =ka n -a n +1（n ∈N +，k 是不等于1的正常数）． （Ⅰ）试问数列12{}1n a k --是否成等比数列，请说明理由； （Ⅱ）当k =3时，比较a n 与3435n n ++的大小，请写出推理过程． 20．（本小题满分13分）动点M (x ，y )与定点F (1，0)的距离和它到直线l ：x =4的距离之比是常数12，O 为坐标原点．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹E 是什么图形？（Ⅱ）已知圆C，是否存在圆C 的切线m ，使得m 与圆C 相切于点P ，与轨迹E 交于A 、B 两点，且使等式2AP PB OP ⋅=成立？若存在，求出m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))．D AB CPF E（Ⅰ）求(+1)()+1f xg x x x =-(x ∈(-1，+∞))的单调区间与极大值； （Ⅱ）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，求证：x 1<x 0<x 2；（Ⅲ）已知数列{a n }满足a 1=1，1211(1)2n n n a a n+=++(n ∈N +)，求证：114n a e <（e 为自然对数的底数）．绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCAA BBDAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．30 12．3013．-9 14．44[]215，∪521[]44， 15．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x -1+cos2xsin(2x+4π)， ∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减， 解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+， 即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分 （Ⅱ）f (8Asin(4A +4πsin(4A +4π，∴4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅=c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．① 又cos A=222122b c a a bc +-==，，得b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2 =100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6． ………12分17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC =1．（Ⅰ）连结AC ，交BD 于G ，连结EG ．依题意得A (1，0，0)，P (0，0，1)，E (0，12，12)．∵ 底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(12，12，0)， 且11(101)(0)22PA EG =-=-，，，，，．∴ 2=，这表明P A //EG ．而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴ P A //平面EDB ． ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意得B (1，1，0)，PB =(1，1，-1)．又11(0)22DE =，，， 故110022PB DE ⋅=+-=．∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，∴ ⊥PB 平面EFD ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知PB EF ⊥，PB DF ⊥，故EFD ∠是所求二面角的平面角． 设点F 的坐标为(x 0，y 0，z 0)，PF k PB =，则(x 0，y 0，z 0-1)=k (1，1，-1)，从而x 0=k ，y 0=k ，z 0=1-k ， ∵ PB FD ⋅=0，所以(1，1，-1)·(k ，k ，1-k )=0，解得13k =， ∴ 点F 的坐标为112()333，，，且111()366FE =--，，，112()333FD =---，，∴ 1cos 2||||FE FD EFD FE FD ⋅∠==，得3π=∠EFD ．∴ 二面角C -PB -D 的大小为3π．…………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，∵ 甲投篮三次中的次数x ～B (3，13)， ∴ P (x =1)=123114(1)339C ⋅⋅-=， 甲投篮三次恰好得三分的概率为49．…………………………………………4分 （Ⅱ）设甲投中的次数为m ，乙投中的次数为n ， ①当m =0，n =2时，X =-6，∴ P (X =-6)=222211()3424C ⋅⋅=． ②当m =1，n =2或m =0，n =1时，X =-3， ∴ P (X =-3)=2121121313()3434448C ⋅+⋅⋅⋅=． ③当m =1，n =1或m =0，n =0时，X =0，∴ P (X =0)=10222113231()344342C C ⋅⋅⋅+⋅⋅=． ④当m =1，n =0时，X =3，∴ P (X =3)=022139()3448C ⋅⋅=． ∴X 的分布列为…………………………………12分19．解：（Ⅰ）由 2a n +1a n =ka n -a n +1，可得11n a +=12n nka a +， ∴11n a +21k --=12n nka a +21k --=112()1n k a k --，首项为11242131a k k -=---． 若42031k -=-，即k=52时，数列12{}1n a k --为零数列，不成等比数列． 若42031k -≠-，即k>0，k ≠1且k ≠52时， 数列12{}1n a k --是以4231k --为首项，1k为公比的等比数列． ∴ 综上所述，当k=52时，数列12{}1n a k --不成等比数列；当k>0，k ≠1且k ≠52时，数列12{}1n a k --是等比数列．……………………………………6分 （Ⅱ）当k =3时，数列1{1}n a -是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴ 111()3n n a -=，即a n =331nn +=1-131n +， ∴ a n -3435n n ++=1-131n +-(1-135n +)=135n +-131n +=334(35)(31)n nn n --++， 令F (x ) =3x -3x -4(x ≥1)，则()F x '=3x ln3-3≥(1)F '>0， ∴ F (x )在[1)+∞，上是增函数． 而F (1)=-4<0，F (2)=-1<0，F (3)=14>0， ∴ ①当n =1和n =2时， a n <3435n n ++； ②当n ≥3时，3n +1>3n +5，即135n +>131n +，此时a n >3435n n ++． ∴ 综上所述，当n =1和n =2时，a n <3435n n ++；当n ≥3时，a n >3435n n ++．…12分 20．解：12=，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)．∵ OA OB ⋅=(OP PA +)۰(OP PB +)=2OP +OP PB ⋅+PA OP ⋅+PA PB ⋅， 由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅=0，PA OP ⋅=0． ∴ OA OB ⋅=2OP +PA PB ⋅=2OP -AP PB ⋅=0． 假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x=代入椭圆22143x y +=，得y=． ∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅=0矛盾，故此时m 不存在． ②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ， ∴|OP|==b 2=2k 2+2．联立22143x y +=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0，∴ x 1+x 2=2348kb k-+，x 1x 2=2241234k b -+， y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k+-， ∴OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=2241234k b -++22231234b k k+-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0， 又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -， 于是1()1=+11xg x x x '=--+． 故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --，令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=， 因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t tϕ'=-<()，∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=， 于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分 （Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n n a a a n +=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1． 于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n +=++≤++++， 所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n +≤+++． （*） 由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ． 所以（*）式变为1211ln ln 2n n n a a n +<++． 即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)， 令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++-（1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯--(-=1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++---(- =111111)1)2421n n -+++--(-( 1111111=4214n n --<--， 即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分。
四川省绵阳市2012届高三第三次诊断性考试数学理(附答案)
保密★启用前【考试时间：2012年4月21日15:00—17:00】四川省绵阳市2012届高三第三次诊断性考试数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷3至4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5亳米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 考试结束后，将答题卡收回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足z •(1－i)=2i(其中i 为虚数单位)，则z 的值为 (A) –1－i (B) -1+i( C) 1-i(D) 1+i2. 已知集合，，则=(A)(B)(C)(D)3. 若函数/(X)=在R 上连续，则实数a 的值为(A) -1 (B)O(C)(D) 14. l1,l2是空间中两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(A)(B)(C)(D)5. 已知两非零向量a,b,则是“a与b共线”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6. 设f(X)是定义在R上周期为4的奇函数，当时，，则f(5)的值为(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -27. 已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，且S15=45,M为a5, a11的等比中项，则M的最大值为(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 368. 已知点是圆内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为，那么(A)且m与圆C相切（B)且/W与圆C相切(C)且m与圆C相离（D)且w与圆C相离9. 某运输公司有7辆载重量为8吨的J型卡车与4辆载重量为10吨的5型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务.己知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车180元.该公司每天合理派出A型车与B型车，使得每天所花的最低成本费为(A) 1200 元(B) 1320 元(C) 1340 元（D) 1520 元10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变）(A) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位(B) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位(C) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位(D) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位11. 已知双曲线C:(a>09 b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B 两点,若，则C的离心率为(A)(B)(C) 2 (D)12. 形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0, 1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为(A)(B)(C)(D)第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 抛物线的焦点坐标为.________14. 若展开式中常数项为60,则实数a=________15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为________16. 对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c，使得对任意x 1,都有，且对任意x2D,当时，恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数为R上的“平顶型”函数；③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当时，函数，是区间上的“平顶型”函数.其中正确的是________.(填上你认为正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分）已知向量.(I )当m//n时，求的值；(II)已知在锐角ΔABC中，a, b, c分别为角A,B,C的对边，，函数，求的取值范围.18. (本题满分12分）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.(I )求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；(II) 记游戏A、B被闯关成功的总人数为，求的分布列和期望.19. (本题满分12分）如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点(I) 当点E为AB的中点时,求证；BD1//平面A1DE(II )求点A1到平面BDD1的距离；(III) 当时，求二面角D1-EC-D的大小.20. (本题满分12分）已知函数的图象在点(1, f(1))处的切线方程为x-y-2=0(I )用a表示b, c；(II) 若函数g(x)=x-f(x)在上的最大值为2，求实数a的取值范围.21. (本题满分12分）在ΔABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差数列.(I )求顶点A的轨迹方程；(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围.22. (本题满分14分）已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于，总有成等差数列.(I )求数列{a n }的通项a n ； (II )设数列的前n 项和为T n ,数列{T n }的前n 项和为R n ,求证：时，；(III)对任意，试比较与的大小绵阳市高2012级第三次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． BCDBA CACAB AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．(410-，) 14．±2 15．arccos 3116．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）由m //n ，可得3sin x =-cos x ，于是tan x =31-． ∴ 922)31(31312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x x x x x ． …………………………4分 （II ）∵在△ABC 中，A +B =π-C ，于是C B A sin )sin(=+，由正弦定理知：C A C sin sin 2sin 3⋅=， ∴23sin =A ，可解得3π=A ． ………………………………………………6分 又△ABC 为锐角三角形，于是26ππ<<B ，∵ )(x f =(m +n )·n =(sin x +cos x ，2)·(sin x ，-1) =sin 2x +sin x cos x -2 =22sin 2122cos 1-+-x x =23)42sin(22--πx ， ∴ 232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ．……………………10分由26ππ<<B 得ππ<<B 23，∴ 0<sin2B ≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-． 即]232223()8(--∈+，πB f ．………………………………………………12分 18．解：（I ）设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件A i (i =0，1，2)，“j 个人游戏B 闯关成功”为事件B j (j =0，1，2)，则“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0． ∴ P (A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0) =P (A 1B 0)+P (A 2B 1)+P (A 2B 0)=P (A 1)·P (B 0)+P (A 2)·P (B 1)+P (A 2)·P (B 0)=202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C367=． 即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367．……4分 （II ）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．361)31()21()0(202202=⋅⋅==C C P ξ，61366)21(3132)31(2121)1(2021222212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C P ξ，361331322121)21()32()31()21()2(1212222222222222=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C C C P ξ， 3136122121)32(3132)21()3(1222212222==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==C C C C P ξ， 91364)32()21()4(22==⋅==ξP ．∴ ξ的分布列为：10分 ∴ E ξ=37914313361326113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． ………………………12分 19．解法一：（I ）证明：连结AD 1交A 1D 于F ，则F 为中点，连结EF ，如图． ∵ E 为中点， ∴ EF //BD 1．又EF ⊂面A 1DE ，BD 1⊄面A 1DE ，∴ BD 1//面A 1DE ．……………………………………………………………3分 （II ）在Rt △ABD 中，AB =2AD =2，可得BD =5， ∴ 252111=⨯⨯=∆DD BD S BDD ，212111111=⨯⨯=∆DD D A S DD A ， 设A 1到面BDD 1的距离为d ，则由1111D D A B BD D A V V --=有1113131D D A BDD S AB S d ∆∆⋅=⋅⋅， 即212312531⋅⋅=⋅⋅d ，解得 552=d ，即A 1到面BDD 1的距离为552．……………………………………………8分 （III ）连结EC ． 由AB AE 21=，有32=AE ，34=EB ， 过D 作DH ⊥EC 于H ，连结D 1H ， 由已知面AA 1D 1D ⊥面ABCD 且DD 1⊥AD ， ∴DD 1⊥面ABCD ．由三垂线定理知：D 1H ⊥EC ， ∴ ∠DHD 1为D 1-EC -D 的平面角． Rt △EBC 中，由34=EB ，BC =1，得35=EC ．又DH ·EC =DC ·BC ，代入解得56=DH ， ∴在Rt △DHD 1中，65561tan 11===∠DH DD DHD ． ∴65arctan 1=∠DHD ，即二面角D 1-EC -D 的大小为65arctan ．…………12分解法二：（I ）同解法一．………………3分 （II ）由面ABCD ⊥面ADD 1A ，且四边形AA 1D 1D 为正方形，四边形ABCD 为矩形，可得D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥D C ，DC ⊥DA ． 于是以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由AB =2AD =2知：D (0，0，0)，D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)，B (1，2，0)， ∴ =(1，2，0)，1DD =(0，0，1)，B A 1=(0，2，-1)．设面BDD 1的一个法向量为n 1)1(11z x ，，=， A 1D 1AEBCH则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00111DD DB n n 即⎩⎨⎧==+，，00211z x ∴)012(1，，-=n ．∴ 点A 1到面BDD 1的距离552||||111=⋅=n n A d ． …………………………8分 （III ）由（II ）及题意知：E (1，32，0)，C (0，2，0)，)1321(1-=，，E D ，)0341(，，-=EC ．设面D 1EC 的一个法向量为)1(222，，y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00212EC E D n n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+，，03401322222y x y x 可得)12132(2，,n =．又易知面DEC 的一个法向量是=1DD (0，0，1)， 设D 1-EC -D 的大小为θ，则6161616611||||cos 1212=⨯=⋅=DD n θ， 得61616arccos=θ． 即D 1-EC -D 的大小为61616arccos ．………………………………………12分 20．解：（I ）)0()(2>+-='a x bxa x f ， 由题，1)1(='f ，得-a +b =1． ∴ b =a +1．又切点(1，a+c )在直线x -y -2=0上，得1-(a +c )-2=0，解得c =-a -1． ………………………………………………………………4分 （II ）g (x )c x b xax ---=ln 1ln )1(+++--=a x a xax ， ∴ 2))(1()1(11)(x a x x x a x a x x a x a x g --=++-=+-+='， 令0)(='x g ，得x =1，或x =a ．………………………………………………8分 i)当a ≥1时，由0<x ≤1知，)(x g '≥0， ∴ g (x )在(0，1]上递增． ∴ g (x )max =g (1)=2．于是a ≥1符合条件． ………………………………………………………10分 ii)当0<a <1时，当0<x <a 时，0)(>'x g ；a <x <1时，g '(x )<0， ∴ g (x )在(0，a )上递增，g (x )在(a ，1)上递减． 得g (x )max =g (a )>g (1)=2，与题意矛盾． ∴ 0<a <1不符合题意．综上知实数a 的取值范围为[)∞+，1．………………………………………12分 21．解：（I ）由题知⎩⎨⎧=+=，，a cb a 22得b +c =4，即|AC |+|AB |=4（定值）．由椭圆定义知，顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点）， 且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3．∴ 顶点A 的轨迹方程为)0(13422≠=+y y x ．………………………………4分 （II ）由⎩⎨⎧=-++=，，0124322y x m kx y 消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2-3)=0． ∴ Δ=(8km )2-4(3+4k 2)×4(m 2-3)>0， 整理得：4k 2>m 2-3．①令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+，，222122143)3(4438k m x x k km x x 设MN 的中点P (x 0，y 0)，则，2210434)(21k km x x x +-=+=2021210433)(21)(21kmkx m m kx m kx y y y +=+=+++=+=，…………………7分 i)当k =0时，由题知，)30()03(，，⋃-∈m ．……………………………8分 ii)当k ≠0时，直线l 方程为x ky 121-=+， 由P (x 0，y 0)在直线l 上，得2243421433k mkm +=++，得2m =3+4k 2．② 把②式代入①中可得2m -3>m 2-3，解得0<m <2. 又由②得2m -3=4k 2>0，解得23>m ． ∴223<<m ． 验证：当(-2，0)在y =kx+m 上时，得m =2k 代入②得4k 2-4k +3=0，k 无解． 即y =kx+m 不会过椭圆左顶点. 同理可验证y =kx +m 不过右顶点．∴ m 的取值范围为(223，)．………………………………………………11分 综上，当k =0时，m 的取值范围为)30()03(，，⋃-；当k ≠0时，m 的取值范围为(223，)．……………………………12分22．解：（I ）由题意，得22n n n a a S +=（n ∈N*）． 于是21112++++=n n n a a S ，两式相减，得221112n n n n n a a a a a -+-=+++，即a n +1+a n =(a n +1+a n )(a n +1-a n )， 由题，a n >0，a n +1+a n ≠0，得a n +1-a n =1，即{a n }为公差为1的等差数列．又由21112a a S +=，得a 1=1或a 1=0（舍去）．∴ a n =1+(n -1)·1=n (n ∈N *)．……………………………………………5分 （II ）证法一：由（I ）知n a n 11=，于是nT n 131211+⋅⋅⋅+++=， 于是当n ≥2时，13211--+⋅⋅⋅+++=n n T T T T R=)1131211()31211()211(1-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++n =113322)1(-+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n =11113121-+--+⋅⋅⋅+-+-+-nn n n n n n =n nn -+⋅⋅⋅+++)131211( =n (T n -1). ………………………………………………………………10分 法二：①当n =2时，R 1=T 1=11a =1，2(T 2-1)=2()1211-+=1， ∴ n =2时，等式成立．②假设n =k （k ≥2）时，等式成立，即)1(1-=-k k T k R ， 当n =k +1时，k k k T R R +=-1=k k T T k +-)1( =k T k k -+)1( =k a T k k k --+++)1)(1(11=k k T k k -+-++)11)(1(1=k T k k --++1)1(1=)1)(1(1-++k T k ．∴ 当n =k +1时，等式也成立．综合①②知，原等式对n ≥2，n ∈N*均成立． …………………………10分 （III ）由（I ）知，∑∑==-=n i n i i i a 13131． 由分析法易知，112++->k k k ，当k ≥2时，11123-⋅<k k k kk k 2112⋅-⋅+= )11(112++-+⋅-<k k k k1111+⋅---+=k k k k 1111+--=k k ， ∴ 333131211n +⋅⋅⋅+++)121()4121()311(1n n --+⋅⋅⋅+-+-+<)1111(+--+n n 111222+--+=n n ． 即22211113+<+++∑=-n i i a n n ． ………………………………………14分。
四川省绵阳市高三数学第二次诊断性考试试题 理(扫描版)
四川省绵阳市2015届高三数学第二次诊断性考试试题理（扫描版）绵阳市高2012级第二次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准①当1≥-ab，即a b -≥时，13)1()(0)0()(max min ≤+====b a f x f f x f ，， 即211313≤⇒+≤⇒⎩⎨⎧≤--≤b b b b a a b ，，．②当1<-ab即a b -<时， 233403)1(12)()(0)0(3max ≤⇒⎩⎨⎧≤--≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=≤-=-==b b a a b b a f a b b a b f x f f ，，，，，，此时233-=a . 将233-=a ，23=b 代入检验正确. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．27 12．-160 13． 23-14．65 15．①③ 15．提示：③ 法一：21)(x x f -=和)2()(>+-=b b x x g 是(-1，1)上的“接近函数”，结合图形，)11(，-∈∃x 使max 22)11(11++-≤⇔≤--+-x x b x b x ，令)11(11)(2<<-++-=x x x x h ，，22011)(2±=⇒=--='x x x x h ， 即)2222(，-∈x 时，0)(>'x h ；)122(，∈x 时，0)(<'x h ． 所以12)22()(max +==h x h ． 法二：数形结合求出直线和半圆相切时切点)2222(，P ，当直线和圆在)2222(，P 的“竖直距离”为1 时，12+=b ．④若ex xxx f 2ln )(+=与22)(e a x x g ++=是)1[∞+，上的“远离函数”， 即)1[∞+∈∀，x ，x x ex e a x e a x ex x x ln 22ln 2222--++=---+1ln )(2>-+-=xxa e x ．令a e x x P +-=21)()(，则)(1x P 在)(e ，-∞递减，在)(∞+，e 递增， ∴ a e P x P ==)()(1min 1； 令xx x P ln )(2=，22ln 1)(x xx P -='，易得)(2x P 在)(e ，-∞递增，在)(∞+，e 递减，∴e e P x P 1)()(2max 2==，∴ ea e a 1111+>⇒>-． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A ，则A 为所选取的人中没有1人为“满意观众”，∴ P (A )=1-P (A )=1-21224C C =1-111=1110， 即至少有1人为“满意观众”的概率为1110． ………………………………4分 (Ⅱ) 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为32128=，即从观看此影片的“满意观众”的概率为32，同理，不是“满意观众”的概率为31．…6分由题意有ξ=0，1，2，3，则P (ξ=0)=303)31(C =271，P (ξ=1)=213)31(32⨯⨯C =92，P (ξ=2)=31)32(223⨯⨯C =94，P (ξ=3)=333)32(C =278， ∴ ξ的分布列为10分∴ ξ的数学期望E ξ=0×271+1×92+2×94+3×278=2．………………………12分 17．解：(Ⅰ) 如图，连结AC 、BD 交于O ，连结OE ．由ABCD 是正方形，易得O 为AC 的中点，从而OE 为△PAC 的中位线，∴ EO //PA ．∵ EO ⊂面EBD ，PA ⊄面EBD ，∴ PA //面EBD ．………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由已知PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD ，PD ⊥CD ．如图，以DA ，DC ，DP 所在直线为坐标轴，D 为原点建立空间直角坐标系．设AD =2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，P (0，0，2)，E (0，1，1)，B (2，2，0)，PB =(2，2，-2)，=(2，0，0)．…………………………………6分 设F (x 0，y 0，z 0)，PB PF λ=，则由=(x 0，y 0，z 0-2)得(x 0，y 0，z 0-2)=λ(2，2，-2) ，即得⎪⎩⎪⎨⎧-===，，，λλλ2222000z y x于是F (2λ，2λ，2-2λ)． ∴ =(2λ，2λ-1，1-2λ)． 又EF ⊥PB ，∴ 0)2()21(2)12(22=-⨯-+⨯-+⨯λλλ，解得31=λ． ∴ )343232(，，F ，)343232(，，=DF ． ………………………………………8分设平面DAF 的法向量是n 1=(x ，y ，z )，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，0011n n 即⎩⎨⎧=++=，，0202z y x x 令z =1，得n 1=(0，-2，1)．又平面PAD 的一个法向量为n 2=(0，1，0)， ………………………………10分 设二面角P -AD -F 的平面角为θ， 则cos θ=2121n n n n ⋅55252==，即二面角P -AD -F 的余弦值为552． ………………………………………12分 18．解：(Ⅰ)由余弦定理得412212cos 222==-+=bc bcbc a c b A ，则415cos 1sin 2=-=A A ． …………………………………………………4分 (Ⅱ)由A +B +C =π有C =π-(A +B )，于是由已知sin B +sin C =210得210)(sin sin =++B A B ，即210sin cos cos sin sin =++B A B A B ， 将415sin =A ，41cos =A 代入整理得210cos 415sin 45=+B B ．①………7分 根据1cos sin 22=+B B ，可得B B 2sin 1cos -±=． 代入①中，整理得8sin 2B -410sin B +5=0， 解得410sin =B ． ……………………………………………………………10分 ∴ 由正弦定理BbA a sin sin =有364154101sin sin =⨯==A B a b ． ………………12分19．解：(Ⅰ) ∵二次函数x a x a x f n n n ⋅-+⋅=+-)2(21)(12的对称轴为x =21， ∴ a n ≠0，2121221=⨯--+-n n n a a ，整理得n n n a a 21211+=+，………………………2分左右两边同时乘以12+n ，得22211+=++n n n n a a ，即22211=-++n n n n a a (常数)， ∴ }2{n n a 是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴ n n a n n 2)1(222=-+=， ∴ 1222-==n n n nn a ． ……………………………………………………………5分 (Ⅱ)∵ 12210221232221--+-+++=n n n nn S ， ① n n n nn S 221232221211321+-+++=- ， ②①-②得：n n n n S 2212121211211321-++++=- n n n 2211211---=， 整理得 1224-+-=n n n S ．…………………………………………………………8分 ∵ )224(23411-++--+-=-n n n n n n S S =n n 21+>0， ∴ 数列{S n }是单调递增数列．………………………………………………10分∴ 要使S n <3成立，即使1224-+-n n <3，整理得n +2>12-n ， ∴ n =1，2，3．………………………………………………………………12分20．解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，焦点坐标为(c ，0)，由题知：⎪⎩⎪⎨⎧=+=，，53322b a a c 结合a 2=b 2+c 2，解得：a 2=3，b 2=2， ∴ 椭圆E 的标准方程为12322=+y x ． ………………………………………4分(Ⅱ) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，H (x 0，y 0)， 由已知直线MN 的方程为y =kx +3k +4，联立方程⎩⎨⎧++==+，，)43(63222k kx y y x消去y ，得0)427227()43(6)32(222=++++++k k x k k x k ，于是x 1+x 2=232)43(6k k k ++-，x 1x 2=2232427227k k k +++．① ………………………7分又P ，M ，H ，N 四点共线，将四点都投影到x 轴上，2102133x x x x x x --=++， 整理得：)(6)(322121210x x x x x x x ++++=． …………………………………………10分将①代入可得=++-+++-⨯++++⨯=2222032)43(6632)43(63324272272k k k k k k k k k x k k 2176-+， …… 12分 ∴ kk k k k k k kx y 2142)43(2176)43(00-+=++-+=++=， 消去参数k 得01200=+-y x ，即H 点恒在直线012=+-y x 上． ………13分21．解：(Ⅰ) ∵ 11)(+-='xax x f ，x ∈(0，+∞)， ………………………1分 ∴ a =2时，xx x x x x x f )1)(12(12)(2+-=-+='=0， ∴ 解得x =21，x =-1(舍)． 即)(x f 的极值点为x 0=21． ……………………………………………………3分 (Ⅱ) xx ax x ax x f 111)(2-+=+-='．（1）0=a 时，)(x f 在)1,0(上是减函数，在)1,0(上是增函数;0≠a 时， 对二次方程ax 2+x -1=0，Δ=1+4a ，（2）若1+4a ≤0，即41-≤a 时，ax 2+x -1<0，而x >0，故)(x f '<0，∴ )(x f 在(0，+∞)上是减函数． （3）若1+4a >0，即a >41-时，ax 2+x -1=0的根为aa x 241121+±-=，， ①若<-41a <0，则a a 2411+-->a a2411++->0， ∴ 当x ∈(a a 2411++-，a a 2411+--)时，ax 2+x -1>0，即)(x f '>0，得)(x f 是增函数；当x ∈)2411,0(aa ++-， (a a 2411+--，+∞)时，ax 2+x -1<0，即)(x f '<0，得)(x f 是减函数． ②若a >0，a a 2411+--<0<aa2411++-，∴ 当x ∈(0，aa 2411++-)时，ax 2+x -1<0，即)(x f '<0， 得)(x f 是减函数；当x ∈(aa 2411++-，+∞)时，ax 2+x -1>0，即)(x f '>0得)(x f 是增函数．∴ 综上所述，0=a 时，)(x f 在)1,0(上是减函数，在)1,0(上是增函数 当41-≤a 时，)(x f 在(0，+∞)上是减函数； 当41-<a <0时，)(x f 在(aa 2411++-，a a2411+--)上是增函数，在)2411,0(aa ++-， (a a2411+--，+∞)上是减函数； 当a >0时，)(x f 在(a a 2411++-，+∞)上是增函数，在(0，aa2411++-)上是减函数．…………………………………………………………………………7分 (Ⅲ)令)1(21)()()(+-++='-=a xa ae x f x g x h x ，x >0， 于是222)1(1)(xa x ae x a ae x h x x+-⋅=+-='． 令)1()(2+-⋅=a x ae x p x ，则)2()(+⋅='x x ae x p x >0， 即p (x )在(0，+∞)上是增函数．∵ p (x )=-(a +1)<0，而当x →+∞时，p (x )→+∞， ∴ ∃x 0∈(0，+∞)，使得p (x 0)=0．∴ 当x ∈(0，x 0)时，p (x )<0，即)(x h '<0，此时，h (x )单调递减； 当x ∈(x 0，+∞)时，p (x )>0，即)(x h '>0，此时，h (x )单调递增， ∴ )()(0min x h x h ==)1(210+-++a x a ae x ．① 由p (x 0)=0可得0)1(200=+-⋅a x ae x ，整理得210x a ae x +=，②…………10分代入①中，得)(0x h =)1(21102+-+++a x a x a ， 由∀x ∈(0，+∞)，恒有)(x g ≥)(x f '，转化为)1(21102+-+++a x a x a ≥0，③ 因为a >0，③式可化为21102-+x x ≥0，整理得12020--x x ≤0， 解得21-≤x 0≤1． 再由x 0>0，于是0<x 0≤1．…………………………………………………12分由②可得aa x e x 1200+=⋅． 令)(0x ϕ=200x e x ⋅ ，则根据p (x )的单调性易得)(0x ϕ在1]0(，是增函数， ∴ )0(ϕ<)(0x ϕ≤)1(ϕ，即0<aa 1+≤e ， 解得a ≥11-e ，即a 的最小值为11-e ．……………………………………14分。
2012年四川省绵阳市中考真题及答案
绵阳市初2012级学业考试暨高中阶段招生考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．4的算术平方根是（ ）．A ．2B ．－2C ．±2D ．2 2．点M （1，－2）关于原点对称的点的坐标是（ ）．A ．（－1，－2）B ．（1，2）C ．（－1，2）D ．（－2，1） 3．下列事件中，是随机事件的是（ ）．A ．度量四边形的内角和为180︒B ．通常加热到100℃，水沸腾C ．袋中有2个黄球，3个绿球，共五个球，随机摸出一个球是红球D ．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．绵阳市统计局发布2012年一季度全市完成GDP 共317亿元，居全省第二位，将这一数据用科学记数法表示为（ ）．A ．31.7×109元 C ．3.17×1010元B ．3.17×1011元 D ．31.7×1010元 6．把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（ ）．A ．225︒B ．235︒C ．270︒D ．与虚线的位置有关 8．已知a ＞b ，c ≠0，则下列关系一定成立的是（ ）． A ．ac ＞bc B ．c a ＞cbC ．c －a ＞c －bD ．c + a ＞c + b 9．图（1）是一个长为2 m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）．12A ．2 mB ．（m + n ）2C ．（m －n ）2D ．m 2－n 210．在同一直角坐标系中，正比例函数y = 2x 的图象与反比例函数xky 24-=的图象没有交点，则实数k 的取值范围在数轴上表示为（ ）．A ．B ．C ．D ．11．已知△ABC 中，∠C = 90︒，tan A =21，D 是AC 上一点， ∠CBD =∠A ，则sin ∠ABD =（ ）．A ．53 B ．510 C ．103D ．1010312．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90︒ 到BP ′，已知∠AP ′B = 135︒，P ′A :P ′C = 1:3，则P ′A :PB =（ ）．A ．1:2B ．1:2C ．3:2D ．1:3 二、填空题：将答案填写在答题卡相应的横线上．13．比 －1℃低2℃的温度是 ℃．（用数字填写）14．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ，EF 是∠BED 的平分一线， 若∠1 = 30︒，∠2 = 40︒，则∠BEF = 度．15．如图，BC = EC ，∠1 =∠2，要使△ABC ≌△DEC ，则应添加的 一个条件为 （答案不惟一，只需填一个）16．如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留两位有效数字．参考数据：π = 3.14）17．一个长方形的长减少5 cm ，宽增加2 cm ，就变成了一个正方形， 并且这两个图形的面积相等，则原长方形的面积为 cm ．18．如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-≥-02,03b x a x 的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a 、b 组成的有序数对（a ，b ）共有 个．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）计算：)82(|28|)2(3-⨯+---π （2）化简：)12()11(2x x x x +-÷+ 20．课外阅读是提高学生素养的重要途径．亚光初中为了了解学校学生的阅读情况，组织调查组对全CDBAAPP ′CBBFD AC E12E B12CAD校三个年级共1500名学生进行了抽样调查，抽取的样本容量为300．已知该校有初一学生600名，初二学生500名，初三学生400名．（1）为使调查的结果更加准确地反映全校的总体状况，应分别在初一年级随机抽取 人，在初二年级随机抽取 人，在初三年级随机抽取 人．（请直接填空）（2）调查组对本校学生课外阅读量的统计结果分别用扇形统计图和频数分布直方图表示如下：扇形统计图请根据以上统计图，计算样本中各类阅读量的人数，并补全频数分布直方图． 频数分布直方图（3）根据（2）的调查结果，从该校中随机抽取一名学生．他最大可能的阅读量是多少本？为什么？ 21．如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，连结PD 、AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C = 60︒．（1）求∠APB 的大小；（2）若PO = 20 cm ，求△AOB 的面积． 22．已知关于x 的方程 x 2－（m + 2）x +（2m －1）= 0． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 23．某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择． 方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；方案二：购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折．（1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x （千克）和付款金额y （元）之间的函数关系式； （2）若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？说明理由．24．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、CD 上的点，DE = CF ，AF 与BE 相交于O ，DG ⊥AF ，垂足为G ．（1）求证：AF ⊥BE ；（2）试探究线段AO 、BO 、GO 的长度之间的数量关系； （3）若GO : CF = 4:5，试确定E 点的位置．0本 1-5本 6-10本 10本以上APBD O C GOABCF DE0本 1-5本 6-10本 10本以上 阅读量25．如图，在直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上．二次函数y = ax 2 +61x + c 的图象交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于M 点，其中B （－3，0），M （0，－1）．已知AM = BC ．（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线上存在点D ，使A 、B 、C 、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l 过D 且分别交直线BA 、BC 于不同的P 、Q 两点，AC 、BD 相交于N ． ① 若直线l ⊥BD ，如图，试求BQBP 11 的值； ② 若l 为满足条件的任意直线，如图，①中的结论还 成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．一、ACDD BBCD CCAB二、13．－3 14．35 15．∠B =∠E （或∠A =∠D ，AC = DC ） 16．1.7 17．100∕9 18．6 三、19．（1）2 （2）11-x 20．（1）120，100，80（2） ∵ 72÷360×100％= 20％，1－（20％－22％－6％）= 52％，∴ 300×20％= 60人，300×22％= 66人，300×6％= 18人，300×52％= 156人．即阅读量为0本的有18人，1～5本的有66人，6～10本的有60人，10本以上的有156人． 补全频数分布图（略）．（3）最大可能的阅读量为10本以上．因为从抽样的结果看，约有52％的人阅读量在10本以上，占全校大多数．21．（1） ∵ ∠AOB 是圆周角∠C 的同弧所对圆心角，∴ ∠AOB = 2∠C = 120︒． ∵ P A 、PB 与⊙O 相切，∴ P A = PB ，∠P AO =∠PBO = 90︒， ∴ △P AO ≌△PBO ，∴ ∠AOP =∠BOP =21∠AOB = 60︒， ∴ ∠APD = 90︒－∠AOP = 30︒，故 ∠APB = 2∠APO = 60︒． （2）在Rt △P AO 中，∠AOP = 60︒，∴ AO = PO cos60︒ = 10 cm ． ∵ AO = BO ，PO 平分∠AOB ，∴ PD 垂直平分AB ． 于是 AB = 2 AO sin60︒ = 103cm ，OD = AO cos60︒ = 5 cm ． 因此△AOB 的面积为21×103×5 = 253cm 2． 22．（1）△= [－（m + 2）]2－4×l ×（2m －1）= m 2 + 4m + 4－8m + 4 =（m －2）2 + 4≥4，表明原方程恒有两个不相等的实数根．（2） ∵ 1是原方程的根，∴ 12－（m + 2）×1 + 2m －1 = 0，解得m = 2． ∴ 原方程变为 x 2－4x + 3 = 0，解得 x 1 = 1或x 2 = 3，即方程的另一个根是3． 若3是斜边长，则第三边长为22132=-，此时周长为4 + 22； 若3不是斜边长，则第三边长为10132=+，此时周长为4 +10． 23．（1）方案一：y 1 = 4x （x ≥0）．方案二：⎩⎨⎧>+≤≤=⎩⎨⎧⨯⨯-+=.3,5.45.3,30,57.05)3(15,52x x x x x x y（2）当购买的种子量不超过3千克时，由5x －4x = x ≥0知应选择方案一．当购买的种子量超过3千克时，由4.5 + 3.5x －4x ＞0，解得x ＜9，即购买量少于9千克时，应选择方案一．由4.5 + 3.5x －4x = 0，解得x = 9，即购买量为9千克时，两种方案付费一样多． 由4.5 + 3.5x －4x ＜0，解得x ＞9，即购买量多于9千克时，应选择方案二．综上，当购买的种子量小于9千克时，选择方案一；当购买的种子量大于9千克时，选择方案二；当购买的种子量等于9千克时，选择两种方案均可．24．（1）在正方形ABCD 中，由DE = CF ，AB = AD = CD 有AE = DF ， ∴ Rt △ABE ≌Rt △DAF ，∴ ∠ABE =∠DAF ．而 ∠BAO +∠DAF = 90︒，∴ ∠BAO +∠ABE = 90︒，进而 ∠AOB = 90︒，∴ AF ⊥BE ． （2）由（1）可知AO ⊥BE ，DG ⊥AF ，Rt △ABE ≌Rt △DAF ， ∴ BO = AG （全等三角形对应线段相等），即 BO = AO + OG ． （3）过点E 作EH ⊥DG ，垂足为H ，则四边形OEHG 是矩形． 设 ∠EDH =α，DE = a ，AE = b ，则DF = b ，∠AEB =α． 在Rt △EDH 中，有54sin ===CF OG DE EH α，在Rt △ABE 中，有22)(sin bb a b a AF AD BE AB +++===α． ∴54)(22=+++b b a b a ，即 25（a + b ）2 = 16（a + b ）2 + 16b 2，有 9（a + b ）2 = 16b 2，所以 3（a + b ） = 4b （舍去负号），b = 3a ，故点E 的位置在满足DE :EA = 1:3处．25．（1） ∵ B （－3，0），M （0，－1）在二次函数y = ax 2 +61x + c 的图象上， ∴ c =－1，9a 21-+ c = 0，解得a =61，c =－1，即二次函数的解析式为y =61x 2 +61x －1．（2）令y = 0，解得x =－3 或 x = 2，C （2，0），于是BC = 2－（－3）= 5，AM = BC = 5，A （0，4）． 由61x 2 +61x －1= 4，解得x =－6 或 x = 5． ∴ 过A 且平行于BC 的直线交抛物线的点的坐标为（－6，4）或（5，4）． 若D 是（－6，4），则AD = 6≠BC ，此时四边形ACBD 不是平行四边形． 若D 是（5，4），则AD = 5 = BC ，此时四边形ABCD 是平行四边形． ∴ 在抛物线上存在点D （5，4），使四边形ABCD 是平行四边形． 设直线BD 的解析式为y = kx + b ，∴ ⎩⎨⎧+=+-=,54,30b k b k 解得 21=k ，23=b ，∴ 直线BD 的解析式为2321+=x y ．（3）在Rt △ABO 中，∵ AB =2243 = 5，∴ 四边形ABCD 是菱形，于是抽出其基本图形（如后）． 由CD ∥AB 得 ，由AD ∥BC 得 ， ∴ ．注意到 CD = AD = AB ， ∴ ，即．PQ CN BAD。
绵阳市高2013届第二次诊断性考试数学(理科)(扫描版)
绵阳市高中2010级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCAA BBDAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．30 12．3013．-9 14．44[]215，∪521[]44， 15．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x -1+cos2xx+4π)，∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减，解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+，即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分（Ⅱ）f (8A4A +4π)=2sin(4A +4π)=2，∴4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅ =c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．①又cos A=222122b c aa bc+-==，，得b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2 =100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6． ………12分 17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC =1．（Ⅰ）连结AC ，交BD 于G ，连结EG ．依题意得 A (1，0，0)，P (0，0，1)，E (0，12，12)．∵ 底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(12，12，0)，且11(101)(0)22PA EG =-=-，，，，，．∴ EG PA 2=，这表明PA //EG ．而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴ PA //平面EDB ． ……………………………………………………………4分（Ⅱ）依题意得B (1，1，0)，PB =(1，1，-1)．又11(0)22D E = ，，， 故110022PB D E ⋅=+-= ．∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，∴ ⊥PB 平面EFD ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知PB EF ⊥，PB DF ⊥，故E F D ∠是所求二面角的平面角．设点F 的坐标为(x 0，y 0，z 0)，PF k PB =，则(x 0，y 0，z 0-1)=k (1，1，-1)，从而x 0=k ，y 0=k ，z 0=1-k ，∵ PB FD ⋅ =0，所以(1，1，-1)·(k ，k ，1-k )=0，解得13k =，∴ 点F 的坐标为112()333，，，且111()366FE =--，，，112()333FD =---，，∴ 1cos 2||||FE FD EFD FE FD ⋅∠== ，得3π=∠EFD ．∴ 二面角C -PB -D 的大小为3π．…………………………………………12分18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，∵ 甲投篮三次中的次数x ～B (3，13)，∴ P (x =1)=123114(1)339C ⋅⋅-=，甲投篮三次恰好得三分的概率为49．…………………………………………4分（Ⅱ）设甲投中的次数为m ，乙投中的次数为n ， ①当m =0，n =2时，X =-6， ∴ P (X =-6)=222211()3424C ⋅⋅=． ②当m =1，n =2或m =0，n =1时，X =-3， ∴ P (X =-3)=2121121313()3434448C ⋅+⋅⋅⋅=． ③当m =1，n =1或m =0，n =0时，X =0， ∴ P (X =0)=1222113231()344342C C ⋅⋅⋅+⋅⋅=．④当m =1，n =0时，X =3， ∴ P (X =3)=22139()3448C ⋅⋅=． ∴X 的分布列为…………………………………12分19．解：（Ⅰ）由 2a n +1a n =ka n -a n +1，可得11n a +=12n n ka a +，∴11n a +21k --=12n nka a +21k --=112(1n k a k --，首项为11242131a k k -=---．若42031k -=-，即k=52时，数列12{}1na k --为零数列，不成等比数列．若42031k -≠-，即k>0，k ≠1且k ≠52时，数列12{}1na k --是以4231k --为首项，1k为公比的等比数列．∴ 综上所述，当k=52时，数列12{}1na k --不成等比数列；当k>0，k ≠1且k ≠52时，数列12{}1na k --是等比数列．……………………………………6分（Ⅱ）当k =3时，数列1{1}na -是以13为首项，13为公比的等比数列．∴111()3nn a -=，即a n =331nn+=1-131n +， ∴ a n -3435n n ++=1-131n+-(1-135n +)=135n +-131n+=334(35)(31)nnn n --++，令F (x ) =3x -3x -4(x ≥1)，则()F x '=3x ln3-3≥(1)F '>0， ∴ F (x )在[1)+∞，上是增函数． 而F (1)=-4<0，F (2)=-1<0，F (3)=14>0， ∴ ①当n =1和n =2时， a n <3435n n ++；②当n ≥3时，3n +1>3n +5，即135n +>131n+，此时a n >3435n n ++．∴ 综上所述，当n =1和n =2时，a n <3435n n ++；当n ≥3时，a n >3435n n ++．…12分20．解：（Ⅰ12=，化简得：22143xy+=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)．∵ OA OB ⋅ =(OP PA + )۰(OP PB + )=2O P +OP PB ⋅ +PA OP ⋅ +PA PB ⋅， 由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅ =0，PA OP ⋅=0． ∴ OA OB ⋅ =2O P +PA PB ⋅ =2O P -AP PB ⋅=0． 假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x =代入椭圆22143xy+=，得y =2±．∴ OA OB ⋅ =x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅ =0矛盾，故此时m 不存在．②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ，∴ |OP |==b 2=2k 2+2．联立22143xy+=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0，∴ x 1+x 2=2348kb k-+，x 1x 2=2241234kb -+，y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k+-，∴ OA OB ⋅ =x 1x 2+y 1y 2=2241234kb -++22231234b kk+-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0， 又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -，于是1()1=+11x g x x x '=--+．故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --，令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=，因为10t ->，只需证明ln +10t t -<． 令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t t ϕ'=-<()，∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=， 于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分 （Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n na a a n+=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1． 于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n nnna a a a a nnn+=++≤++++，所以1211ln ln ln(1)2n n na a n+≤+++． （*）由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ． 所以（*）式变为1211ln ln 2n n na a n+<++．即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)，令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++- （1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯-- (-=1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++--- (-=111111)1)2421n n -+++--(-(1111111=4214n n --<--，即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分。
四川省绵阳市2012届高三第二次诊断性考试(2012绵阳二诊)word版物理试题
绵阳市高中2012级第二次诊断性考试14.一只鸟站在一条高压通电的铝质裸导线上,没有被电伤或电死。
主要是因为A.等线中电流不大B.鸟两爪之间的电压低C.鸟站的位置电势不高D.鸟自身的电阻非常大15一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，甲，乙，丙，丁是汽车的运动图像，横轴是时间t，纵轴没有标明是什么物理量，如图所示，下列判断正确的是：A.甲是a—t图像B.乙是s—t图像、C.丙是v-t图像D丁是v-t图像16—个电子只受电场力作用，从a点运动到b点，轨迹如图中虚线所示，图中一组线可能是电场线也可能是等势面，下列说法中正确的是A如果实线是电场线，则a点的电势比b点的电势高B. 如果实线是等势面，则a点的电势比d点的电势低C. 如果实线是电场线，则电子在a点的电势能比在b点的电势能大D. 如果实线是等势面，则电子在a点的电势能比在b点的电势能大17某同学为探月宇航员设计了如下实验:在月球表面以初速度V0水平抛出一个物体,测出该物体的竖直位移为h,水平位移为S。
通过查阅资料知道地球的半径为R,月球的半径r,引力常量为G,地球表面重力加速度为g。
只根据上述信息不可能求出的物理量是A. 月球与地球之间的引力B.月球的第一宇宙速度C.地球的质量 D月球表面的重力加速度18.如图所示,活塞将一定质量的气体封闭在汽缸内,汽缸和活塞导热良好，活塞与汽缸壁之间无摩擦。
活塞上方存有一定量的水,活塞静止，将一细管插入水中，由于虹吸现象,活塞上方水缓慢流出，在此过程中,外界的大气压强和温度保持不变，气体分子之间的作用力一直表现为引力,则汽虹内封闭的气体A 每个气体分子的动能都保持不变B. 单位时间内，气体分子对活塞的冲量保持不变C. 单位时间内，气体分子对活塞撞击的次数减少D. 气体分子之间的作用力减小，分子势能平均值减小19. 如图，表示水平方向的匀强磁场和竖直方向的匀强电场叠加区域,两质点a、b带电荷量均为q，质点B质量是2m,恰好能静止在区域中间，质点A质量是m,恰好能以某一速度沿着垂直于磁场、电场方向做匀速直线运动，且正好与静止的质点B发生正碰,碰后两质点粘合在一起运动，碰撞过程无电荷量损关，则A. 两质点均带正电,碰后仍做匀速直线运动B. 两质点均带负电，碰后的运动向上偏且动能增加,电势能减少C. 两质点均带正电，碰后的运动向下偏且动能减少,电势能增加D. 两质点均带负电，碰后的运动向上偏且动能减少,电势能减少20. 如下左图所示，波源S在直线PQ上，S从平衡位置y=0开始沿竖直方向振动(竖起向上为y 轴正方向)，振动向左、右两个方向传播，周期T=0.1s,波速v=8m/s,已知SP=1.2m，SQ=2,6m.以Q点开始振动的时刻作为计时起点,下列四幅振动图像中A.甲是Q点的振动图像B.乙是振源S点的振动图像C.丙是P点的振动图像D. 丁是P点的振动图像21.在足够长的粗糙斜面上，用平行于斜面的力推一物体沿斜面向上运动，撤去推力开始计时，在t=0至t=6 s的时间内，物体速摩随时间的变化情况如图所示，g=10m/s2，由图像可知A. 运动过程中，物体重力是摩擦力的5倍B. 0〜1 S内与1〜6s内,摩擦力平均功率之比为5：1C. 0〜1s内与1〜6s内,物体机械能变化量大小之比为1：5D. 0〜1s内与1〜6s内，物体重力势能变化量大小之比为5：122. (17分)（1) (2分)用如图所示的装置验证“力的平行四边形定则”。
四川省绵阳市2012届高三第二次诊断性考试理科综合试题(扫描版).pdf
在一个箱子里放有一个黄球和一个白球， 它们除颜色外都相同。
（1） 从箱子里摸出一个球，是黑球。
这属于哪类事件？ 解：因为箱子里没有黑球，所以摸出一个球是黑球这一事件是不可能事件。
只有白球和黄球，所以摸出一个球，是白球或者是黄球这一事件是必然事件。
因为箱子里 摸出一 个球，是黄球或者是白球，这属于哪一类事件？ 在一个箱子里放有一个黄球和一个白球， 它们除颜色外都相同。
（2）从箱子里摸出一个球，有几种不同的可能？它们属于哪一类事件？ 从箱子里摸出一个球有两种不同的可能：摸出一个白球，或者摸出一个黄球，都属于不确定事件。
在一个箱子里放有一个黄球和一个白球， 它们除颜色外都相同。
根据记录结果,回答下列问题 （3）从箱子里摸出一个球，放回，摇均匀后再摸出一个球，这样摸得的两球有几种不同的可能？ 第一次摸出一个球 第二次摸出一个球 白球 黄球 白球 黄球 白球 黄球 第一次摸出一个球 第二次摸出一个球 白球 黄球 白球 黄球 白球 黄球 列表 画树状图 从箱子里摸出一个球，放回，摇均匀后再摸出一个球，这样摸得的两球有4种可能：白，白；白，黄；黄，白；黄，黄。
动动脑？ （1）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的点数有几种可能？ （2）任意抛掷一枚硬币2次，朝上的一面共有几种可能？第1次 第2次 正面朝上 背面朝上 正面朝上 背面朝上 背面朝上 正面朝上笼子里关着一只野兔（如图），笼子的主人决定把野兔放归大自然，将笼子所有的门都打开。
野兔要先经过第一道门（A，B，C），再经过第二道门（D或E）才能出去。
问野兔走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？ A C B D E 练一练 A C B D E 练一练 解： 方法一，用列表法 第一道门 第二道门 可能的结果 A D A、D E A、E B D B、D E B、E C D C、D E C、E A C B D E 练一练 解： 方法二，用树状图 从2种不同款式的衬衣和2种不同款式的裤子中，分别取一件衬衣和一条裤子搭配，问有多少种搭配的可能？ 国王和大臣的故事 相传古代有个王国，这个国家世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚，在临刑前都要抽一次“生死签”（写着“生”和“死”的两张纸条），犯人当众抽签，若抽到“死”签，则立即处死，若抽到“生”签，则当场赦免。
四川省绵阳市高中2012级第二次诊断性考试_理综
四川省绵阳市高中2012级第二次诊断性考试理科综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
两卷共10页。
满分300分。
考试时间150分钟。
注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用0．5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0．5亳米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
以下数据可供解题时参考可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O16二、选择题（本题共8小题。
在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项是正确的，有的有多个选项是正确的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）14．一只鸟站在一条高压通电的铝质裸导线上，没有被电伤或电死。
主要是因为（）A．导线中电流不大B．鸟两爪之间的电压低C．鸟站的位置电势不高D．鸟自身的电阻非常大15．一辆汽车在平直公路上运动做匀变速直线运动，甲、乙、丙、丁是汽车的运动图像，横轴是时间t，纵轴没有标明是什么物理量，如图所示，下列判断正确的是（）A．甲是a—t图像B．乙是s—t图像C．丙是v—t图像D．丁是v—t图像16．一个电子只受电场力作用，从a点运动到b点，轨迹如图中虚线所示，图中一组平行实线可能是电场线也可能是等势面。
下列说法中正确的是（）A．如果实线是电场线，则a点的电势比b点的电势高B．如果实线是等势面，则a点的电势比b点的电势低C．如果实线是电场线，则电子在a点的电势能比在b点的电势能大D．如果实线是等势面，则电子在a点的电势能在比b点的电势能大17．某同学为探月宇航员设计了如下实验：在月球表面以初速度v水平抛出一个物体，测出该物体的竖直位移为h，水平位移为s。
通过查阅资料知道地球的半径为R，月球的半径为r，引力常量为G，地球表面重力加速度为g。
绵阳市高中2012级第一次诊断性考试理科数试题及答案
绵阳市高2012级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DBDAC BACDA10题提示：由1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤1+x e -ax ． 若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a 1+x e -a 2x ．设函数=)(x f x a ae x 21-+，求导求出f (x )的最小值为a a a a f ln 2)1(ln 22-=-．设)0(ln 2)(22>-=a a a a a g ，求导可以求出g(a )的最大值为32321)(e e g =， 即ab 的最大值是321e ，此时232321e b e a ==，．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．53-12．-1 13．40 14．3021 15．①③④15题提示：①容易证明正确．②不正确．反例：x x f =)(在区间[0，6]上．③正确．由定义：21020m m mx x --=--得1)1(10020+=⇒-=-x m m x x ， 又0x )11(，-∈所以实数m 的取值范围是)20(，∈m ． ④正确．理由如下：由题知ab a b x --=ln ln ln 0．要证明ab x 1ln 0<，即证明： b aa b aba b a b ab a b a b -=-<⇔<--ln 1ln ln ，令1>=t a b ，原式等价于01ln 21ln 2<+-⇔-<tt t t t t ． 令)1(1ln 2)(>+-=t tt t t h ，则0)1(12112)(22222<--=-+-=--='t t t t t t t t h ， 所以0)1(1ln 2)(=<+-=h tt t t h 得证．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω=)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ……………………………6分由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π， 又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数，∴ )34sin(2127sin2)(max πππ+==x f …………………………………10分 3sin 4cos23cos4sin 2ππππ+==213+．…………………………………………………………12分17．解：(Ⅰ) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………………3分 (Ⅱ) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分① 若m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值； ②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增，此时22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增， 此时221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得m =1． …………………………11分 综上：1=m ． …………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) 51cos 5=∠=ABC AB ，，2BC =， 由余弦定理：ABC BC BA BC BA AC ∠⋅⋅-+=cos 2222=52+22-2×5×2×51=25，∴ 5=AC ． ……………………………………………………………………3分又(0,)π∠∈ABC ，所以562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， 由正弦定理：ABC ACACB AB ∠=∠sin sin ， 得562sin sin =∠⨯=∠AC ABC AB ACB ．………………………………………6分(Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分 在△ABC 中，335145245cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ABC BC BA BC BA AC ， 即33=AC ．…………………………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ) 由832539a a a S ⋅==，，B CD A E得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分 (Ⅱ) 由题知=n c )12(2λ-+n n ．若使}{n c 为单调递减数列，则=-+n n c c 1)22(21λ-++n n -)12(2λ-+n n =0)1224(2<-+-+λn n n 对一切n ∈N *恒成立， …………………8分即： max )1224(01224+-+>⇔<-+-+n n n n λλ，又1224+-+n n =322232)1)(2(22++=++=++nn n n n n n n ，……………………10分 当1=n 或2时， max )1224(+-+n n =31．∴31>λ．………………………………………………………………………12分20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ， ∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，则0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分 即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分 化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，，∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，则a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a ∴a 的取值集合为{1} ……………………………13分 21．解：(Ⅰ)由xen x m x f +=ln )(得x xe xmx nx m x f ln )(--='(0>x )． 由已知得0)1(=-='enm f ，解得m =n ．又ee nf 2)1(==，即n =2， ∴ m =n =2．……………………………………………………………………3分(Ⅱ) 由 (Ⅰ)得)ln 1(2)(x x x xex f x --='，令=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ， 当x ∈(0，1)时，0)(>x p ；当x ∈(1，+∞)时，0)(<x p ，又0>x e ，所以当x ∈(0，1)时，0)(>'x f ； 当x ∈(1，+∞)时，0)(<'x f ， ∴ )(x f 的单调增区间是(0，1)，)(x f 的单调减区间是(1，+∞)．……8分(Ⅲ) 证明：由已知有)ln 1()1ln()(x x x xx x g --+=，)0(∞+∈，x ， 于是对任意0>x ，21)(-+<e x g 等价于)1()1ln(ln 12-++<--e x xx x x ， 由(Ⅱ)知=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ， ∴ )ln (ln 2ln )(2---=--='e x x x p ，)0(∞+∈，x ． 易得当)0(2-∈e x ，时，0)(>'x p ，即)(x p 单调递增；当)(2∞+∈-，e x 时，0)(<'x p ，即)(x p 单调递减． 所以)(x p 的最大值为221)(--+=e e p ，故x x x ln 1--≤21-+e ．设)1ln()(x x x q +-=，则01)(>+='x xx q ， 因此，当)0(∞+∈，x 时，)(x q 单调递增，0)0()(=>q x q ． 故当)0(∞+∈，x 时，0)1ln()(>+-=x x x q ，即1)1ln(>+x x．∴ x x x ln 1--≤21-+e <)1()1ln(2-++e x x．∴ 对任意0>x ，21)(-+<e x g ． ……………………………………………14分。
绵阳市2012级高三二诊数学试题及解答(理科)
数学(理科)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（其中i 为虚数单位)，则复数的虚部是(A)(B)(C)(D)2. “函数f(X)在点处连续”是“函数f (X)在点处有极限”的(A)充分而不必要条件. （B)必要而不充分条件 (C)充要条件. （D)既不充分也不必要条件3. 平面内动点P(x,y)与A(-2,0)，B(2, 0)两点连线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为 (A)(B)(C)(D)4. 在平行四边形ABCD 中，，已知，则=(A)(B)(C)(D)5. 函数的图象大致是6. 直线l与抛物线交于A,B 两点;线段AB中点为，则直线l的方程为(A)：(B)(C)(D)；7. 已知数列满足，则=(A) (B)(C)(D)8. 把函数的图象按向暈平移后得到函数的图象,则函数在区间上的最大值为 (A) O, (B) 1 (C) (D) -1 9.已知曲线和曲线（为参数）关于直线l 1.对称,直线l 2过点旦与l 1的夹角为60° ,则直线l 2的方程为(A)(B)(C)(D)10. 已知F 1,F 2分别是双曲线（a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2且平行于y 轴的直线交双曲线的渐近线M，N两点.若ΔMNF 1为锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是 (A)(B)(C)(D)11.己知关于x的方程的两根分别为椭圆和双曲线的离心率.记分别以m、n 为横纵坐标的点P(m，n)表示的平面区域为D,若函数的图象上存在区域D上的点,则实数a的取值范围为(A) (B) (C) (D)12. 若实数x,y满足方程组则=(A) 0 (B) (C) (D) 1第II卷（非选择题,共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分.13. 计算= __________14. 已知扇形AOB（为圆心角）的面积为，半径为2,则的面积为________15. 已知为抛物线，上的动点,点N的坐标为，则的最小值为________16.对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若对任意的，都有，则称f(x)和g(x)在D 上是“密切函数”.给出定义域均为的四组函数如下①； ②；③（其中e为自然对数的底数),；④.其中,函数f(x)和g(x)在D上为“密切函数”的是________三、解答题：本大题共6小题，共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分）已知向量函数且最小正周期为.(I)求函数的最大值,并写出相应的X的取值集合；(II)在中，角A，B, C所对的边分别为a, b,c,且,c=3,，求b的值.18.(本题满分12分)为备战2012年伦敦奥运会，爾家篮球队分轮次迸行分项冬训.训练分为甲、乙两组,根据经验，在冬训期间甲、乙两组完成各项训练任务的概率分别为和P(P>0)假设每轮训练中两组都各有两项训练任务需完成，并且每项任务的完成与否互不影响.若在一轮冬训中，两组完成训练任务的项数相等且都不小于一项，则称甲、乙两组为“友好组”(I)若求甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率;(II)设在6轮冬训中，甲、乙两组成为“友好组”的次数为，当时,求P的取值范围.19.(本题满分12分)已知圆C的半径为1,圆心C在直线l1:上，且其横坐标为整数，又圆C截直线所得的弦长为•(I)求圆C的标准方程;(II)设动点P在直线上，过点P作圆的两条切线PA,PB,切点分别为A ,B求四边形PACB面积的最小值.20．(本题满分12分)已知数列{an }的前n项和，数列为等比数列，且首项b1和公比q满足：(I)求数列的通项公式;(II)设，记数列的前n项和，若不等式对任意恒成立,求实数的最大值.21.(本题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,A为右顶点,K为右准线与X轴的交点，且.(I)求椭圆的标准方程；(II)设椭圆的上顶点为B，问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C，D两点，且椭圆的左焦点巧恰为ΔBC D的垂心?若存在,求出l的方程r若不存在,请说明理由.22.(本题满分14分)已知函数(I) 若直线l1交函数f(x)的图象于P,Q两点，与l1平行的直线与函数的图象切于点R,求证P,R,Q三点的横坐标成等差数列;(II) 若不等式恒成立,求实数a的取值范围；(III) 求证:〔其中, e为自然对数的底数）绵阳市高2012级第二次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BADCA CABBC BD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．2 14．3 15．2 16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）∵m=)sin (cos x x ωω，，n=)sin cos 32(cos x x ωωω-，， ∴∣m ∣=1sin cos 22=+x x ωω，m ·n=x x x x ωωωω22sin cos sin 32cos -+x x ωω2sin 32cos +=)2sin 232cos 21(2x x ωω+=)62sin(2πω+=x ，∴ 1)62sin(2)(++=πωx x f ． (4)分由πωπ==22T ，解得ω=1．∴ 1)62sin(2)(++=πx x f ．∴此时πππk x 2262+=+(k ∈Z)，即ππk x +=6(k ∈Z)，即当x ∈{x|ππk x +=6，k ∈Z}时，f (x)有最大值3．…………………………7分（Ⅱ）∵ f (B)=2， ∴ 由（1）知21)62sin(2=++πB ，即21)62sin(=+πB ．于是6562ππ=+B ，解得3π=B ．……………………………………………10分由36sin 21==∆B ac S ABC ，即 3623321=⨯⨯a ，解得a=8，由余弦定理得 b 2=a 2+c 2-2accosB 21382964⨯⨯⨯-+==49，∴ b=7. ………………………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为P 1，则319192)21()32()21(3132222222212121=+=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=C C C C P ．………………………5分 （Ⅱ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为P 2，则22222212122)32()1(3132p C C p p C C P ⋅⋅+-⋅⋅⋅=29498p p -=，………………………………………………………………9分∵ ξ～B(6，P 2)， ∴ 26P E =ξ≤2，即)9498(62p p -≤2，于是结合p>0，解得0<p ≤21． ……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）设圆心C 的坐标为(2a ，3a)，a ∈Z ，则由题意可知：1)515()31|992|(2222=+++-a a ，解得：a=1．∴所求圆C 的标准方程为：(x-2)2+(y-3)2=1． ……………………………4分 （Ⅱ）因CA ⊥PA ，CB ⊥PB ，|PA|=|PB|，|AC|=1， 故S 四边形PACB =2S △PAC =|AC|·|PA|=|PA|=1||2-PC ． 显然当PC ⊥l 0时，|PC|取得最小值， ∴ |PC|min =2232|232|=--． 此时214129||min =-=PA ．即四边形PACB 面积的最小值为214． ……………………………………12分20．解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1=5．当n ≥2时a n =S n -S n-1=n 2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3， 验证n=1时也成立．∴数列{a n }的通项公式为：a n =2n+3（n ∈N*）．∵511)()3(lim)113(lim 11212-=+-++--=--++∞→∞→n b n b q n q b qn n n n n∴⎩⎨⎧=+=-，，5031b q q 解得：b 1=2，q=3．∴数列{b n }的通项公式为：b n =2·3n-1．……………………………………5分 （Ⅱ）∵ nnn n n b a c 34)3(3⋅=-=，∴ T n = c 1+ c 2+ c 3+…+ c n =3+2·32+3·33+……+n ·3n①3T n =32+2·3n +3·34+……+n ·3n+1 ··········· ② 由①-②得：-2T n =3+32+ (3)-n ·3n+1=1313)13(3+⋅---n nn 233)21(1-⋅-=+n n ，∴ 433)12(1+⋅-=+n n n T ．………………………………………………………8分不等式λ(a n -2n)≤4T n 可化为λ≤(2n-1)·3n+1，（*）设f (n)=(2n-1)·3n +1，易知函数f (n)在n ∈N *上单调递增，故当n=1时(2n-1)·3n+1取得最小值为4，∴由题意可知：不等式(*)对一切n ∈N *恒成立，只需λ≤4．∴实数λ的最大值为4．……………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）设焦点坐标为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，由22=e ，得ca 2=． ①由题知 A(a ，0)，K(ca2，0)，∴ 2AF =(c-a ，0)，AK =(ca2-a ，0)，由2342-=⋅AK AF 得234)()(2-=-⋅-a caa c ②由①、②解得2=a ，c=1，从而b 2=a 2-c 2=1，即b=1．∴ 椭圆方程为1222=+y x．……………………………………………………4分（Ⅱ）假设存在直线l 满足题意，B(0，1)，F 1(-1，0)，于是直线F 1B 的斜率为11=B F k ．由于BF 1⊥CD ，令l ：y=-x+m ，代入x 2+2y 2=2整理，得3x 2-4mx+2m 2-2=0.令C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+>-=∆.322340)3(8221212m x x m x x m ，， 又BD C F ⋅1=(x 1+1，y 1)·(x 2，y 2-1)=x 1x 2+x 2+y 1y 2-y 1=x 1x 2+x 2+(m-x 1)(m-x 2)-(m-x 1)=2x 1x 2+m 2-m(x 1+x 2)-m+(x 1+x 2)=2x 1x 2 +(1-m)(x 1+x 2) +m 2-m ，由01=⋅BD C F ，代入x 1+x 2，x 1x 2得034)1(322222=-+⋅-+-⋅m m m m m ，整理得3m 2+m-4=0，解得m=1或34-．……………………………………………………………10分当m=1时，直线l 恰过B 点，于是B 、C 、D 不构成三角形，故m=1舍去． 当34-=m 的，满足Δ=8(3-m 2)>0．故所求的直线l 为：34--=x y ，即3x+3y+4=0．…………………………12分22．解：（Ⅰ）44)(+-='x x f ，设切点R(x 0，y 0)则44021+-==x k k l l ．令l 2：y=(-4x 0+4)x+b ． 联立⎩⎨⎧+-=++-=，，x x y b x x y 42)44(20 消去y 得 2x 2-4x 0x+b=0．令P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1+x 2=2x 0，即R 、R 、Q 三点的横坐标成等差数列． ……………………………………4分 （Ⅱ）由已知有f (x)+g(x)-4x=-2x 2+alnx ≤0恒成立， 令F(x)=2x 2-alnx(x>0)，则xax xa x x F -=-='244)(.由0)(='x F ，得2a x =.当0<x<2a 时0)(<'x F ，F(x)在区间(0，2a )上递减；当2a x >时，0)(>'x F ，F(x)在区间(2a ，+∞)上递增．∴ 2ln2)2(min a a a a F F -==≥0，得0<a ≤4e ．……………………………9分（Ⅲ）由（2）知当a=2e 时有2x 2-2elnx ≥0，得4ln xx ≤211xe ⋅∴4444ln 44ln 33ln 22ln n n ++++≤)1413121(12222n e ++++ <))1(1321211(1nn e -++⨯+⨯=)11(1ne - <e1． ………………………………………………………………………14分。
绵阳二诊数学(理)试题含答案
绵阳市高2014级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BACAB CCDAD CB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-11 14．32 15．53 16．55三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解 ：（Ⅰ） 令n n n a a c -=+1， 则n n c c -+1=(12++-n n a a )-(n n a a -+1)=1212=+-++n n n a a a （常数），2121=-=a a c ，故{a n +1-a n }是以2为首项，1为公差的等差数列． ………………………4分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知1+=n c n ， 即a n +1-a n =n +1，于是11211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+-+-=--2)1(12)2()1(+=+++-+-+=n n n n n ， …………………………8分 故)111(2)1(21+-=+=n n n n a n ． ∴ S n =2(1-21)+2(21-31)+2(31-41)+…+)111(2+-n n =2(111+-n ) =12+n n ． ………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) ∵a c 2=，∴ 由正弦定理有sin C =2sin A ． …………………………………………2分 又C =2A ，即sin2A =2sin A ，于是2sin A cos A =2sin A ， …………………………………………………4分 在△ABC 中，sin A ≠0，于是cos A =22， ∴ A =4π． ……………………………………………………………………6分 (Ⅱ)根据已知条件可设21+=+==n c n b n a ，，，n ∈N *．由C =2A ，得sin C =sin2A =2sin A cos A ，∴ ac A C A 2sin 2sin cos ==． ……………………………………………………8分由余弦定理得ac bc a c b 22222=-+， 代入a ，b ，c 可得 nn n n n n n 22)2)(1(2)2()1(222+=++-+++， ……………………………………………10分 解得n =4，∴ a =4，b =5，c =6，从而△ABC 的周长为15，即存在满足条件的△ABC ，其周长为15． ………………………………12分19．解：(Ⅰ)由已知有 1765179181176174170=++++=x ， 6656870666462=++++=y ， 2222)176179()176181()176174()176170()6668)(176179()6670)(176181()6664)(176174()6662)(176170(ˆ-+-+-+---+--+--+--=b =3727≈0.73， 于是17673.066ˆˆ⨯-=-=x b y a=-62.48， ∴ 48.6273.0ˆˆˆ-=+=x a x b y．………………………………………………10分 (Ⅱ) x =185，代入回归方程得48.6218573.0ˆ-⨯=y=72.57， 即可预测M 队的平均得分为72.57． ………………………………………12分20．解：(Ⅰ) 设椭圆C 的焦半距为c ，则c =6，于是a 2-b 2=6． 由12222=+b y a c ，整理得y 2=b 2(1-22a c )=b 2×222a c a -= 24a b ，解得y =a b 2±， ∴ 222=ab ，即a 2=2b 4， ∴ 2b 4-b 2-6=0，解得b 2=2，或b 2=-23（舍去），进而a 2=8， ∴ 椭圆C 的标准方程为12822=+y x ． ……………………………………4分 (Ⅱ)设直线PQ ：1+=ty x ，)()(2211y x Q y x P ，，，． 联立直线与椭圆方程：⎪⎩⎪⎨⎧+==+，，112822ty x y x消去x 得：072)4(22=-++ty y t ， ∴ y 1+y 2=422+-t t ，y 1y 2=472+-t ． ………………………………………7分 于是482)(22121+=++=+t y y t x x ， 故线段PQ 的中点)444(22+-+t t t D ，． ………………………………………8分 设)1(0y N ，-， 由NQ NP =，则1-=⋅PQ ND k k ，即t t t ty -=+--++4414220，整理得4320++=t t t y ，得)431(2++-t t t N ，． 又△NPQ 是等边三角形， ∴ PQ ND 23=，即2243PQ ND =， 即]474)42)[(1(43)44()144(22222222+-⋅-+-+=+++++t t t t t t t t ， 整理得22222)4(8424)144(++=++t t t ， 即222222)4(8424)48(++=++t t t t ， 解得 102=t ，10±=t ， …………………………………………………11分∴ 直线l 的方程是0110=-±y x ． ………………………………………12分21．解：(Ⅰ)222221)(xm x x x m x f -=+-='， ……………………………………1分 ①m ≤0时，)(x f '>0，)(x f 在)0(∞+，上单调递增，不可能有两个零点． …………………………………………………………2分 ②m >0 时，由0)(>'x f 可解得m x 2>，由0)(<'x f 可解得m x 20<<， ∴ )(x f 在)20(m ，上单调递减，在)2(∞+，m 上单调递增，于是)(x f min =)2(m f =12ln 212-+m m m ， ……………………………………4分 要使得)(x f 在)0(∞+，上有两个零点， 则12ln 212-+m m m <0，解得20e m <<， 即m 的取值范围为)20(e ，． ………………………………………………5分 (Ⅱ)令x t 1=，则11ln 21)1(--=xx m x f 1ln 2--=t mt ， 由题意知方程1ln 2--t mt =0有两个根t 1，t 2， 即方程t t m 22ln +=有两个根t 1，t 2，不妨设t 1=11x ，t 2=21x ． 令t t t h 22ln )(+=，则221ln )(tt t h +-='， 由0)(>'t h 可得e t 10<<，由0)(<'t h 可得e t 1>， ∴ )10(e t ，∈时，)(t h 单调递增，)1(∞+∈，et 时，)(t h 单调递减． 故结合已知有 t 1>e1>t 2>0． ……………………………………………………8分要证e x x 21121>+，即证et t 221>+，即e t e t 1221>->． 即证)2()(21t eh t h -<． …………………………………………………………9分 令)2()()(x eh x h x --=ϕ， 下面证0)(<x ϕ对任意的)10(ex ，∈恒成立． 22)2(21)2ln(21ln )2()()(x ex e x x x e h x h x ----+--=-'+'='ϕ．………………………10分 ∵ )10(ex ，∈， ∴ 22)2(01ln x ex x -<>--，， ∴ )(x ϕ'22)2(21)2ln()2(21ln x e x e x e x ----+--->=2)2(22)2(ln x ee x x --+--． ∵ )2(x e x -<221]2)2([ex e x =-+， ∴ )(x ϕ'>0，∴ )(x ϕ在)10(e，是增函数， ∴ )(x ϕ<)1(eϕ=0， ∴ 原不等式成立．……………………………………………………………12分22．解：(Ⅰ)消去参数得1322=+y x ． …………………………………………5分（Ⅱ）将直线l 的方程化为普通方程为0323=++y x ．设Q (ααsin cos 3，)，则M (ααsin 211cos 23+，)， ∴ 233)4sin(26232sin 233cos 23++=+++=παααd ，∴ 最小值是4636-．………………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ) 当t =2时，21)(-+-=x x x f ．若x ≤1，则x x f 23)(-=，于是由2)(>x f 解得x <21．综合得x <21．若1<x <2，则1)(=x f ，显然2)(>x f 不成立 ．若x ≥2，则32)(-=x x f ，于是由2)(>x f 解得x >25．综合得x >25． ∴ 不等式2)(>x f 的解集为{x | x <21，或x >25}． …………………………5分 （Ⅱ）)(x f ≥x a +等价于a ≤f (x )-x ．令g (x )= f (x )-x ．当-1≤x ≤1时，g (x )=1+t -3x ，显然g (x )min =g (1)=t -2．当1<x <t 时，g (x )=t -1-x ，此时g (x )>g (1)=t -2．当t ≤x ≤3时，g (x )=x -t -1，g (x )min =g (1)=t -2．∴ 当x ∈[1，3]时，g (x )min = t -2．又∵ t ∈[1，2]，∴ g (x )min ≤-1，即a ≤-1．综上，a 的取值范围是a ≤-1． ……………………………………………10分不用注册，免费下载！。
四川省绵阳市高中高三第二次诊断性考试(数学理)
保密 ★ 启用前 【考试时间：1月15日下午15:00 — 17:00】绵阳市高中第二次诊断性考试数 学（理科）本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1．设集合I = { x ︱︱x －2︱≤2，x ∈N *}，P = { 1，2，3 }，Q = { 2，3，4 }，则 I （P ∩Q ）=A ．{ 1，4 }B ．{ 2，3 }C ．{ 1 }D ．{ 4 } 2．若向量a 、b 、c 满足 a + b + c = 0，则a 、b 、cA ．一定能构成一个三角形B ．一定不能构成一个三角形C ．都是非零向量时一定能构成一个三角形D ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 3．将直线x －3y －2 = 0绕其上一点逆时针方向旋转60︒得直线l ，则直线l 的斜率为A ．33 B ．3 C ．不存在 D ．不确定4．已知f (x ) = sin (x +2π)，g (x ) = cos (x －2π)，则下列命题中正确的是 A ．函数y = f (x ) · g (x ) 的最小正周期为2πB ．函数y = f (x ) · g (x ) 是偶函数C ．函数y = f (x ) + g (x ) 的最小值为－1D ．函数y = f (x ) + g (x ) 的一个单调增区间是]4,43[ππ-5．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y = cos 2x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度6．设双曲线的焦点为F 1、F 2，过点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，若∠PF 1Q = 90︒，则双曲线的离心率e 等于A ．2+ 1B ．2C ．3D ．3+ 17．已知x ，y 满足线性约束条件：2302902690x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，若目标函数z =－x + my 取最大值的最优解有无数个，则m =A ．－3或－2B ．21-或31 C ．2或－3 D ．218．已知焦点（设为F 1，F 2）在x 轴上的双曲线上有一点P (x 0，23)，直线x y 3= 是双曲线的一条渐近线，当021=⋅PF PF 时，该双曲线的一个顶点坐标是 A ．(2，0) B ．(3，0) C ．(2，0) D ．(1，0) 9．若不等式︱x －a ︱－︱x ︱＜ 2－a 2 当x ∈R 时总成立，则实数a 的取值范围是 A ．（－2，2） B ．（－2，1） C ．（－1，1） D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）10．已知抛物线C ：y 2 = 8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为Q ，点P （x 0，y 0）在C 上且||||0QF y =，则︱y 0︱=A ．2B ．4C ．6D ．8 11．已知等腰三角形的面积为23，顶角的正弦值是底角正弦值的3倍，则该三角形一腰的长为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．612．设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数t ，使得对于任意x ∈C （C ⊆ A ），有x + t ∈A ，且f（x + t ）≤ f （x ），则称f （x ）为C 上的t 低调函数．如果定义域为 [ 0，+∞)的函数f （x ）=－︱x －m 2︱+ m 2，且 f （x ）为 [ 0，+∞)上的10低调函数，那么实数m 的取值范围是 A ．[－5，5 ] B ．[－5，5] C ．[－10，10] D ．]25,25[-第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）注意事项：答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，请不要答在试题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．不等式 13>x的解是 ．14．已知函数f （x ）= sin x －cos (6-πx )，x ∈[ 0，2π)，则满足f （x ）＞0的x 值的集合为 ．15．设a ＞2b ＞0，则29()(2)a b b a b -+-的最小值是 ．16．给出下列命题：① “sin α－tan α＞0”是“α 是第二或第四象限角”的充要条件；② 平面直角坐标系中有三个点A （4，5）、B （－2，2）、C （2，0），则直线AB 到直线BC 的角为4arctan3； ③ 函数xx x f 22cos 3cos )(+=的最小值为32； ④ 设[m ] 表示不大于m 的最大整数，若x ，y ∈R ，那么[x + y ]≥[x ] + [y ] ． 其中所有正确命题的序号是 ．（将你认为正确的结论序号都写上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）设△ABC 三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)2,(b a p =，)1,(sin A q =，且//．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 是锐角三角形，)tan cos sin ,1(),cos ,(cos B A A n B A m -==，求⋅的取值范围． 18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中， AB 是半圆⊙O ：x 2 + y 2= 1（y ≥0）的直径，C 是半 圆O （除端点A 、B ）上的任意一点，在线段AC 的 延长线上取点P ，使︱PC ︱=︱BC ︱，试求动点P 的轨迹方程． 19．（本题满分125，若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：元）． （Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止的概率；（Ⅱ）设ξ 为该幸运观众摸球停止时所得的奖金数（元），求ξ 的分布列和数学期望E ξ．本题满分12分）已知函数223)(ax x f =，g (x ) =－6x + ln x 3（a ≠0）．（Ⅰ）若函数h (x ) = f (x )－g (x ) 有两个极值点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a ＞0，使得方程g (x ) = x f ′(x )－3（2a + 1）x 无实数解？若存在，求出a 的取值范围？若不存在，请说明理由． 21．（本题满分12分）设椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为212，左焦点到左准线的距离为73．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 上有不同两点P 、Q ，且OP ⊥OQ ，过P 、Q 的直线为l ，求点O 到直线l 的距离．22．（本题满分14分）已知{ a n }是等差数列，{ b n }是等比数列，S n 是{ a n }的前n 项和，a 1 = b 1 = 1，2212b S =．（Ⅰ）若b 2是a 1，a 3的等差中项，求a n 与b n 的通项公式； （Ⅱ）若a n ∈N *，{n a b }是公比为9的等比数列，求证：351111321<++++n S S S S ． 绵阳市高中第二次诊断性考试数学（理科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ADCD BACD CBAB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．{ x ︱0＜x ＜3 } 14．（34,3ππ）或 }343|{ππ<<x x 15．12 16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解 （Ⅰ）∵ )2,(b a =，)1,(sin A =，//，∴ a －2b sin A = 0，由正弦定理得 sin A －2sin B sin A = 0． ………… 3分 ∵ 0＜A ，B ，C ＜π，∴ 21sin =B ，得 6π=B 或56B π=． …………………… 6分 （Ⅱ）∵ △ABC 是锐角三角形，∴ 6π=B ，)cos 33sin ,1(),23,(cos A A n A m -==， 于是 )cos 33(sin 23cos A A A n m -+=⋅=A A sin 23cos 21+=)6sin(π+A ．9分由 65ππ=-=+B C A 及 0＜C ＜2π，得 )65,3(65πππ∈-=C A ． 结合0＜A ＜2π，∴ 23ππ<<A ，得 3262πππ<+<A ， ∴1)6sin(23<+<πA ，即 123<⋅<n m ．… 12分 18．解 连结BP ，由已知得∠APB = 45︒．… 2分 设P （x ，y ），则 1+=x yk PA ，1-=x y k PB ，由PA 到PB 的角为45︒， 得1111145tan +⋅-++--=︒x y x y x y x y ，化简得 x 2 +（y －1）2= 2．… 10分由已知，y ＞0且1+=x y k PA ＞0，故点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2= 2（x ＞－1，y ＞0）． 12分法二 连结BP ，由已知可得∠APB = 45︒，∴ 点P 在以AB 为弦，所对圆周角为45︒的圆上．设该圆的圆心为D ，则点D 在弦AB 的中垂线上，即y 轴上，且∠ADB = 90︒，∴ D （0，1），︱DA ︱=2，圆D 的方程为x 2+（y －1）2= 2．由已知，当点C 趋近于点B 时，点P 趋近于点B ；当点C 趋近于点A 时，点P 趋近于点（－1，2），所以点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2= 2（x ＞－1，y ＞0）．19．解 （Ⅰ）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A ，则112232351()5C C A P A A ==． …………………… 5分 （Ⅱ）ξ 的可能值为0，1000，．…… 7分21222223551(0)6A C A P A A ξ==+=，31)1000(4533121235221212=+==A A C C A A C C P ξ， 21331422332445551(2000)2C C A C C A P A A ξ==+=．…………… 10分所以 11140000100020006323E ξ=⨯+⨯+⨯=．…… 12分答：略．（Ⅰ）∵ h (x ) = f (x )－g (x ) =223ax + 6x －3 ln x （x ＞0），∴ xax x h 363)(-+='． ………………… 2分∵ 函数h (x ) 有两个极值点，∴ 方程0)12(3363)(2=-+=-+='xx ax x ax x h ，即ax 2+ 2x －1 = 0应有两个不同的正数根，于是 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=>-=+>+=∆,01,02,04221212a x x a x x a⇒ －1＜a ＜0．……………… 6分（Ⅱ）方程 g (x ) = x f ′(x )－3（2a + 1）x 即为 －6x + 3 ln x = 3ax 2－3（2a + 1）x ，等价于方程 ax 2+（1－2a ）x －ln x = 0．设 H （x ）= ax 2+（1－2a ）x －ln x ，转化为关于函数H （x ）在区间（0，+∞）内的零点问题（即函数H （x ）图象与x 轴有无交点的问题）． …………………… 8分∵ H ′(x ) = 2ax +（1－2a ）－xx ax x x a ax x )1)(12(1)21(212-+=--+=， 且a ＞0，x ＞0，则当x ∈（0，1）时，H ′(x )＜0，H （x ）是减函数； 当x ∈（1，+∞）时，H ′(x )＞0，H （x ）是增函数．…… 10分 因为 x → 0（或者x →+∞）时，H （x ）→ +∞， ∴ 要使H （x ）图象与x 轴有无交点，只需H （x ）min = H （1）= a +（1－2a ）= 1－a ＞0，结合a ＞0得 0＜a ＜1，为所求．12分21．解 （1）设椭圆C 的方程为12222=+bb a x （a ＞b ＞0），则 2122=b ，21=b ．由 73)(2=---ca c ，即73222==-c b c c a ，得 7=c ． 于是 a 2= b 2+ c 2= 21 + 7 = 28，椭圆C 的方程为1212822=+y x ．…… 5分（2）若直线l 的斜率不存在，即l ⊥x 轴时，不妨设l 与x 正半轴交于点M ，将x = y 代入1212822=+y x 中，得32±==y x ，则点P （32，32），Q （32，32-），于是点O 到l 的距离为32．……… 7分若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y = kx + m （k ，m ∈R ），则点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的坐标是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1212822y x mkx y 的两个实数解，消去y ，整理，得（3 + 4k 2）x 2 + 8kmx + 4m 2－84 = 0，∴ △ =（8km ）2－4（3 + 4k 2）（4m 2－84）= 12（28k 2－m 2+ 21）＞0， ①221438k kmx x +-=+，222143844k m x x +-=． ② 9分∵ OP ⊥OQ ，∴ k OP · k OQ =－1，即12211-=⋅x y x y ，x 1x 2 + y 1y 2 = 0． 于是 x 1x 2 +（kx 1 + m ）（kx 2 + m ）=（1 + k 2）x 1x 2 + km （x 1 + x 2）+ m 2= 0． ③将 x 1 + x 2，x 1x 2 代入上式，得 043843844)1(22222=++-+-⋅+m kkm km k m k ， ∴（k 2 + 1）（4m 2－84）－8k 2m 2 + m 2（4k 2+ 3）= 0，化简，得 m 2 = 12（k 2+ 1）． ④ ④代入①满足，因此原点O 到直线l 的距离 32121||2==+-=k m d ．…… 12分22．解 设等差数列{ a n }的公差为d ，等比数列{ b n }公比为q ． （Ⅰ）∵ 2212b S =，∴ qb d a a 11112=++，而 a 1 = b 1 = 1，则 q （2 + d ）= 12．① 又 ∵ b 2是a 1，a 3的等差中项，∴ a 1 + a 3 = 2b 2，得1 + 1 + 2d = 2q ，即 1 + d = q ． ②联立①，②，解得 ⎩⎨⎧==,3,2q d 或 ⎩⎨⎧-=-=.4,5q d …………………… 4分所以 a n = 1 +（n －1）· 2 = 2n －1，b n = 3n －1；或 a n = 1 +（n －1）·（－5）= 6－5n ，b n =（－4）n －1． …………………… 6分 （Ⅱ） ∵ a n ∈N *，d n d n a a q q q b b n n )1(1)1(111---+-===，∴9)1(1===-+d dn nd a a q qq b b nn ，即 q d = 32． ① … 8分由（Ⅰ）知 q ( 2 + d ) = 12，得 dq +=212． ② ∵ a 1 = 1，a n ∈N *，∴ d 为正整数，从而根据①②知q ＞1且q 也为正整数， ∴ d 可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3，∴ a n = 2n －1，22)121(n n n S n =-+=．…… 10分 ∴ )121121(2)5.0)(5.0(1112+--=-+<=n n n n n S n （n ≥2）． 当n ≥2时，2222211312111111nS S S n ++++=+++ ＜)121121(2)7151(2)5131(21+--++-+-+n n =12135)]121121()7151()5131[(21+-=+--++-+-+n n n ＜35．显然，当n = 1时，不等式成立．故n ∈N *，3511121<+++n S S S ．…… 14分思路2 或者和文科题的解法相同，前两项不变，从第三项213开始缩小： 当n ≥2时，21211111111111111()()()2224235211n S S S n n +++<++-+-++--+ 111111111[()()()]42243511n n =++-+-++--+1111111()42231n n =+++--+51131n n =--+53<．。