高考专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的应用
高中 导数的概念、运算及应用知识点+例题+练习 含答案
教学过程【例3】(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．规律方法已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】(2013·福建卷改编)设函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值．1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．第2讲导数的应用(一)教学效果分析【例3】(2012·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．规律方法在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.【训练3】设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．1．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
高等数学基础概念解读及例题演练-导数与积分
x
、‘，，f
在
x
处的
(A）左、右导数都存在 (C）左导数不存在、右导数存在
(B）左导数存在、右导数不存在 (D）左、右导数都不存在
［答案］ B
2.导数的几何意义
） （ ） ）） y =f(x
’
在Xo处的导数／
x。 ）就是曲线 y = f(x
在点（布， f(xo
的切线斜率k，则：
L二 ． （ （ 切线方程是y-f 与1J =f＇ 与）（x一与）
f｝ 忡忡忡）
n
可 si十巾子），
忡忡忡）］伊） =anc十仙子）；
[ln(ax+b)](n)
={-If-
,,
a
(n-1)!
（αx+b)"
机）
（�）
=(-If an
(ax+nb!）川
·
［例6］设y=(l+sinxY，则dy= _
［答案J -mix
e lr-0 ＝ ［例7］设叫树脚＋ 川确定则主 ＝二
5.隐函数求导法
） 设y=y(x 由方程 F(x扑＝ 0确定，为求y’ ，可在方程 F(x,y)=O 两端直接对X求导，
解出y
’ ．
6.参数方程求导法
7.高阶导数
，（叫 (u 士νt) =u(n) ±v(n)
n) =ku("),(uv
k=O
注z
几个常用函数的高阶导数
） γ (eax+b 伊＞＝a
＋b ;
（ （ 法线方程是 y-f(x。 ）＝ 二� f’ x。一） x-x0 )
(f’ （与）=t:O).
y x ［例 3] (2010数二）曲线 = 2 与曲线 y = a In x （α:;c O）相叨，则 a ＝ 一一－－
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
导数、定积分及其应用
高二专题复习（导数）导数的概念、导数的几何意义及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的重点；利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。
选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。
（1）导数的概念：（2）导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数等于曲线在该点00(,())x f x 处的切线的 。
（3）基本初等函数的导数公式表及求导法则（默写）（4）函数单调性与导数：在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内 ．（5）求函数()y f x =单调区间的步骤：利用导数研究函数()f x 在(a ，b)内的单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确认()'f x 在(a ，b)内的符号；(3)作出结论：()'0f x >时为增函数；()'0f x <时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.（6）求函数极值的步骤:（7）函数的最大值与最小值：（8）导数的综合应用题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。
题型二：利用导数研究不等式恒成立。
1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、已知函数c ax x f +=2)(，且2)1(='f ，则a 的值为（ ）A. 1B.2C.1-D. 03、曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A. 6π B. 4π C.3π D.43π4、曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为 ( )A. 20x y --=B. 20x y +-=C.450x y +-=D. 450x y --=5、函数x x y +=3的递增区间是（ ）A.），（∞+0B. ）（1,∞-C. ）（+∞∞-,D.）（∞+16、0)(0='x f 是可导函数()y f x =在点0x x =处有极值的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7、函数331x x y -+=的极大值，极小值分别是 （ ）A. 极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C. 极小值-2，极大值2D. 极小值-1，极大值38、函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）A.2B.3C.4D.59、32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A.2-B.0C.2D.110、已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_____________11、设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A ．1B ．12 C ．12- D ．1-12、已知曲线a x x f -=22)(在点P 处的切线为0158=--y x ,则=a ( )A ．7B ．12C ．12- D ．1-13、曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．19B ．29 C ．13 D ．2314、点P 是曲线2x y -=上任意一点，则点P 到直线2+=x y 的最小距离( )A ．1B ．827 C ．825 D ．315、函数x x y ln =在区间 ( )(A))1,0(e 上单调递减(B)),1(+∞e上单调递 (C)),0(+∞上单调递减 (D)),0(+∞上单调递增 16、已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是（ ）A ．3B ．54C ．57D ．5917、 设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如右图所示，则导函数)(x f y '=的图象可能为()18、设)(x f y '=是函数()y f x =的导函数，)(x f y '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是( )(A) (B) (C) (D)19、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内极值点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A. 2eB. eC.ln 22 D. ln 2 21、曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为（ ）A.13+=x yB.12+=x yC.13-=x yD.12-=x y22、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( )A. )2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D. ),2(+∞ x y O 1 2 x y y x y xyx O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 223、若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值，则=a ( ) A.2 B.3 C.4 D.524、（2011年大纲全国卷）曲线12+=-x e y 在点)2,0(处的切线与直线0=y 和x y =围成的三角形的面积为（ ）A 、31B 、21C 、32 D 、1 25、（2014年理科）设曲线)1ln(+-=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为x y 2=，则=a （ ）A. 0B. 1C. 2D. 326、（2014年文科）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是（ ）（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞27、（2013年文科）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =28、（2015年理科）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x > 0时，()()0xf x f x '-<，则使得函数()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞29、（2015年文科）已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a = __________.30、（2015年I 卷）已知函数1)(3++=x ax x f 的图像在点))1(,1(f 处的切线过点)7,2(，则.__________=a31、设R m ∈，若函数)(2R x m e y x ∈+=有大于0的极值点，则m 的取值范围________.32、（2015高考天津）已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．33、（2015高考陕西）函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________.五、解答题：35、（2013高考文新课标）已知函数x x b ax e x f x 4)()(2--+=，曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程为44+=x y .（1）求b a ,的值;（2）讨论)(x f y =的单调性并求极大值.36、（2011高考文）已知函数）（k x e x f x-=)(. （1）求)(x f 的单调区间；（2）求)(x f 在区间[]1,0上的最小值37、已知函数1331(223+-+=x m mx x x f ），m ∈R . （1）当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；（2）若)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 的取值范围.38、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.39、已知函数322393)(a x a ax x x f +--=.(1)设1=a 时，求函数)(x f 的极值(2)若31>a ，且当[]a x 4,1∈时，a a x f 12)(3-≥恒成立，求a 的取值范围。
(完整版)高三复习导数专题
导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。
导数与积分的概念及运算导数的应用
导数与积分的概念及运算导数的应用部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑高考专题训练四导数与积分的概念及运算、导数的应用班级________ 姓名________ 时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．b5E2RGbCAP 1．(2018·全国>曲线y＝e－2x＋1在点(0,2>处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( >p1EanqFDPwA.错误!B.错误!C.错误!D．1解读：y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，在点(0,2>处的切线为：y－2＝－2x，即2x＋y－2＝0由错误!得错误!，A错误!，DXDiTa9E3dS△ABO＝错误!·错误!＝错误!.答案：A2．(2018·辽宁>函数f(x>的定义域为R，f(－1>＝2，对任意x∈R，f′(x>>2，则f(x>>2x＋4的解集为( >RTCrpUDGiTA．(－1,1> B．(－1，＋∞>C．(－∞，－1> D．(－∞，＋∞>解读：f(x>>2x＋4，即f(x>－2x－4>0.构造F(x>＝f(x>－2x－4，F′(x>＝f′(x>－2>0.F(x>在R上为增函数，而F(－1>＝f(－1>－2x(－1>－4＝0.x∈(－1，＋∞>，F(x>>F(－1>，∴x>－1.5PCzVD7HxA答案：B 3．(2018·烟台市高三年级诊断性检测>设a＝错误!(sinx＋cosx>dx，则(a错误!－错误!>6的二项展开式中含x2的系数是( >jLBHrnAILgA．192 B．－192C．96 D．－96解读：因为a＝错误!(sinx＋cosx>dx＝(－cosx＋sinx>错误!错误!＝xHAQX74J0X (－cosπ＋sinπ>－(－cos0＋sin0>＝2，所以(a错误!－错误!>6＝LDAYtRyKfE 错误!6，则可知其通项Tr＋1＝(－1>rC错误!26－rx错误!－错误!＝(－1>rC错误!26－rx3－r，令3－r＝2⇒r＝1，所以展开式中含x2项的系数是(－1>rC错误!26－r＝(－1>1C错误!26－1＝－192，故答案选B.Zzz6ZB2Ltk答案：B 4．(2018·山东省高考调研卷>已知函数f(x>＝错误!x3－x2－错误!x，则f(－a2>与f(4>的大小关系为( >dvzfvkwMI1A．f(－a2>≤f(4>B．f(－a2><f(4>C．f(－a2>≥f(4>D．f(－a2>与f(4>的大小关系不确定解读：∵f(x>＝错误!x3－x2－错误!x，∴f′(x>＝错误!x2－2x－错误!.由f′(x>＝错误!(3x－7>(x＋1>＝0得x＝－1或x＝错误!.rqyn14ZNXI当x<－1时，f(x>为增函数；当－1<x<错误!时，f(x>为减函数；当x>错误!时，f(x>为增函数，计算可得f(－1>＝f(4>＝2，又－a2≤0，由图象可知f(－a2>≤f(4>．答案：A 5．(2018·山东省高考调研卷>已知函数f(x>＝x3＋bx2－3x＋1(b∈R>在x＝x1和x＝x2(x1>x2>处都取得极值，且x1－x2＝2，则下列说法正确的是( >EmxvxOtOco A．f(x>在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极小值B．f(x>在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极大值C．f(x>在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极小值D．f(x>在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极大值解读：因为f(x>＝x3＋bx2－3x＋1，所以f′(x>＝3x2＋2bx－3，由题意可知f′(x1>＝0，f′(x2>＝0，即x1，x2为方程3x2＋2bx－3＝0的两根，所以x1－x2＝错误!＝错误!，由x1－x2＝2，得b＝0.从而f(x>＝x3－3x＋1，f′(x>＝3x2－3＝3(x＋1>(x－1>，由于x1>x2，所以x1＝1，x2＝－1，当x∈(－∞，－1>时，f′(x>>0，所以f(x>在x1＝1处取极小值，极小值为f(1>＝－1，在x2＝－1处取极大值，极大值为f(－1>＝3.SixE2yXPq5答案：B 6．(2018·合肥市高三第三次教案质量检测>对任意x1，x2∈(0，错误!>，x2>x1，y1＝错误!，y2＝错误!，则( >6ewMyirQFLA．y1＝y2B．y1>y2C．y1<y2D．y1，y2的大小关系不能确定解读：设f(x>＝错误!，则f′(x>＝错误!kavU42VRUs＝错误!.当x∈(0，错误!>时，x－tanx<0，故f′(x><0，所以f(x>在(0，错误!>上是减函数，故由x2>x1得y2<y1.y6v3ALoS89答案：B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．7．(2018·广东>函数f(x>＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解读：由f′(x>＝3x2－6x＝3x(x－2>＝0，解得x1＝0，x2＝2当x<0时，f′(x>>0，当0<x<2时，f′(x><0，当x>2时，f′(x>>0.∴当x＝2时，f(x>有极小值是f(2>＝23－3×22＋1＝－3.答案：2 8．(2018·潍坊市高三第一次教案质量检测>若等比数列{an}的首项为错误!，且a4＝错误!(1＋2x>dx，则公比等于________．M2ub6vSTnP 解读：错误!(1＋2x>dx＝(x＋x2>|错误!＝(4＋16>－(1＋1>＝18，即a4＝18＝错误!·q3⇒q＝3.0YujCfmUCw答案：3 9．(2009·山东省高考调研卷>已知函数f(x>＝3x2＋2x＋1，若错误!f(x>dx＝2f(a>成立，则a＝________.eUts8ZQVRd 解读：因为错误!f(x>dx＝错误!(3x2＋2x＋1>dx＝(x3＋x2＋x>|错误!＝4，所以2(3a2＋2a＋1>＝4⇒a＝－1或a＝错误!.sQsAEJkW5T答案：－1或错误! 10．(2009·山东省高考调研卷>曲线y＝错误!＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面积是________．GMsIasNXkA 解读：错误!(错误!＋2x＋2e2x>dx＝错误!错误!dx＋错误!2xdx＋错误!2e2xdx＝lnx|错误!＋x2|错误!＋e2x|错误!＝e2e.TIrRGchYzg答案：e2e 三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分>(2018·北京>已知函数f(x>＝(x－k>2错误!7EqZcWLZNX(1>求f(x>的单调区间；(2>若对于任意的x∈(0，＋∞>，都有f(x>≤错误!，求k的取值范围．解：(1>f′(x>＝错误!(x2－k2>错误!lzq7IGf02E令f′(x>＝0，得x＝±k当k>0时，f(x>与f′(x>的情况如下：↗↘↗间是(－k，k>．当k<0时，f(x>与f′(x>的情况如下：↘↗↘间是(k，－k>．(2>当k>0时，因为f(k＋1>＝错误!>错误!，所以不会有∀x∈(0，＋∞>，f(x>≤错误!zvpgeqJ1hk 当k<0时，由(1>知f(x>在(0，＋∞>上的最大值是f(－k>＝错误!所以∀x∈(0，＋∞>，f(x>≤错误!等价于f(－k>＝错误!≤错误!.解得－错误!≤k<0.NrpoJac3v1故当∀x∈(0，＋∞>，f(x>≤错误!时，k的取值范围是错误!.1nowfTG4KI 12．(13分>(2018·课标>已知函数f(x>＝错误!＋错误!，曲线y＝f(x>在点(1，f(1>>处的切线方程为x＋2y－3＝0.fjnFLDa5Zo(1>求a，b的值；(2>如果当x>0，且x≠1时，f(x>>错误!＋错误!，求k的取值范围．tfnNhnE6e5解：(1>f′(x>＝错误!－错误!.HbmVN777sL 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－错误!，且过点(1,1>，故错误!，即错误!V7l4jRB8Hs解得a＝1，b＝1.(2>由(1>知f(x>＝错误!＋错误!，所以f(x>－错误!＝错误!错误!.83lcPA59W9考虑函数h(x>＝2lnx＋错误!(x>0>，则h′(x>＝错误!. (ⅰ>设k≤0，则h′(x>＝错误!知，当x≠1时，h′(x><0，而h(1>＝0，故当x∈(0,1>时，h(x>>0，可得错误!h(x>>0；mZkklkzaaP当x∈(1，＋∞>时，h(x><0，可得错误!h(x>>0.从而当x>0，且x≠1时，f(x>－错误!>0，即f(x>>错误!＋错误!.AVktR43bpw (ⅱ>设0<k<1，由于当x∈错误!时，(k－1>·(x2＋1>＋2x>0，故h′(x>>0.而h(1>＝0，故当x∈错误!时，h(x>>0，可得错误!h(x><0，与题设矛盾．ORjBnOwcEd (ⅲ>设k≥1，此时h′(x>>0，而h(1>＝0，故当x∈(1，＋∞>时，h(x>>0，可得错误!h(x><0，与题设矛盾．2MiJTy0dTT综合得，k的取值范围为(－∞，0]．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
浙江省2020版高考数学第四章导数及其应用第1节导数的概念与导数的计算习题(含解析)
第1节 导数的概念与导数的计算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. [常用结论与易错提醒]1.f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同.2.f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同.( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2x )′＝x ·2x －1.( )(4)若f (x )＝e 2x，则f ′(x )＝e 2x.( )解析 (1)f ′(x 0)是函数f (x )在x 0处的导数，(f (x 0))′是常数f (x 0)的导数即(f (x 0))′＝0；(3)(2x )′＝2xln 2； (4)(e 2x)′＝2e 2x.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A.x sin x B.－x sin x C.x cos xD.－x cos x解析 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案 B3.(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________. 解析 ∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 y ＝2x4.(2019·南通一调)若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________.解析 因为y ′＝ln x ＋1， 所以(ln 1＋1)(ln t ＋1)＝－1， ∴ln t ＝－2，t ＝e －2. 答案 e －25.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝12f ′(1)e 2x －2＋x 2－2f (0)x ，则f (0)＝________；f (x )＝________.解析 ∵f (x )＝12f ′(1)e 2x －2＋x 2－2f (0)x ，∴f ′(x )＝f ′(1)e2x －2＋2x －2f (0)，∴f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，∴f (0)＝1， 即1＝12f ′(1)e －2，∴f ′(1)＝2e 2，∴f (x )＝e 2x＋x 2－2x . 答案 1 e 2x＋x 2－2x6.已知曲线y ＝e －x，则其图象上各点处的切线斜率的取值范围为________；该曲线在点(0，1)处的切线方程为________.解析 由题意得y ′＝－e －x，则由指数函数的性质易得y ′＝－e －x∈(－∞，0)，即曲线y ＝e －x的图象上各点处的切线斜率的取值范围为(－∞，0).当x ＝0时，y ′＝－e －0＝－1，则曲线y ＝e －x在(0，1)处的切线的斜率为－1，则切线的方程为y －1＝－1·(x －0)，即x ＋y －1＝0.答案 (－∞，0) x ＋y －1＝0考点一 导数的运算【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x ex ；(3)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5).解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x. (3)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .(4)令u ＝2x －5，y ＝ln u .则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【训练1】 分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x·1x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .考点二 导数的几何意义多维探究角度1 求切线的方程【例2－1】 (1)(2019·绍兴一中模拟)已知函数f (x )＝e x＋2sin x ，则f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x ＋y ＋1＝0 C.3x －y ＋1＝0D.3x －y －1＝0(2)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P 的切线方程为________.解析 (1)因为f (x )＝e x＋2sin x ，所以f ′(x )＝e x＋2cos x .所以f ′(0)＝3，f (0)＝1.由导数的几何意义可知，函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝3x ，即为3x －y ＋1＝0，故选C.(2)设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2， 解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4. 故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0.答案 (1)C (2)3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 角度2 求参数的值【例2－2】 (1)(2019·嘉兴检测)函数y ＝x 3－x 的图象与直线y ＝ax ＋2相切，则实数a ＝( ) A.－1 B.1 C.2D.4(2)(2019·杭州质检)若直线y ＝x 与曲线y ＝e x ＋m(m ∈R ，e 为自然对数的底数)相切，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－1D.－2解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ′＝3x 2－1＝a ①，y ＝x 3－x ＝ax ＋2 ②，将①代入②，消去a 得x 3－x ＝(3x 2－1)x ＋2，解得x ＝－1，则a ＝2，故选C. (2)设切点坐标为(x 0，e x 0＋m).由y ＝ex ＋m，得y ′＝ex ＋m，则切线的方程为y －e x 0＋m ＝e x 0＋m(x－x 0) ①，又因为切线y ＝x 过点(0，0)，代入①得x 0＝1，则切点坐标为(1，1)，将(1，1)代入y ＝ex ＋m中，解得m ＝－1，故选C.答案 (1)C (2)C 角度3 公切线问题【例2－3】 (一题多解)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析 法一 ∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1).∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案 8规律方法 (1)求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·苏州调研)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________.(2)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则a 的值为( ) A.－1或－2564B.－1或214C.－74或－2564D.－74或7解析 (1)f ′(x )＝3ax 2＋1x，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13.(2)由y ＝x 3得y ′＝3x 2，设曲线y ＝x 3上任意一点(x 0，x 30)处的切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，将(1，0)代入得x 0＝0或x 0＝32.①当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9得ax 2＋154x －9＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＋4·a ·9＝0得a ＝－2564. ②当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝274x －274，y ＝ax 2＋154x －9得ax 2－3x －94＝0，Δ＝32＋4·a ·94＝0得a ＝－1.综上①②知，a ＝－1或a ＝－2564.答案 (1)13(2)A基础巩固题组一、选择题1.若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2D.－4解析 ∵f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f ′(1)＝－2， ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. 答案 D2.设曲线y ＝e ax－ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 ∵y ＝e ax－ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax－1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax－ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.故选D. 答案 D3.曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)或(－1，3)D.(1，－3)解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. 答案 C4.(2019·诸暨统考)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( )A.x 2－x ln x ＋x B.x 2－x ln x －x C.x 2＋x ln x ＋xD.x 2＋2x ln x ＋x解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′（x ）－f （x ）x 2＝1＋1x，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝1＋1x ，故f （x ）x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x .又f (1)≥1，则c ≥0，故选C.答案 C5.(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A.y ＝－2xB.y ＝－xC.y ＝2xD.y ＝x解析 法一 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0.因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.法二 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以 －1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.法三 易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D. 答案 D6.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案 B 二、填空题7.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析 由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x·1x，则f ′(1)＝e.答案 e8.(2018·全国Ⅲ卷)曲线y ＝(ax ＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. 解析 y ′＝(ax ＋1＋a )e x，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x|x ＝0＝1＋a ＝－2，所以a ＝－3. 答案 －39.(2018·台州调考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为__________；f (x )在x ＝1处的切线方程为________. 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.f (x )＝3x ln x ，f (1)＝0，∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝3(x －1)，即为3x －y －3＝0.答案 3 3x －y －3＝010.设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1) 处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1). 答案 (1，1) 三、解答题11.已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围.解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53， ∴斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12.已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程.解 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.能力提升题组13.(2018·萧山月考)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A.－sin x －cos xB.sin x －cos xC.－sin x ＋cos xD.sin x ＋cos x解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x ，故选C.答案 C14.(2019·无锡模拟)关于x 的方程2|x ＋a |＝e x有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________.解析 由题意，临界情况为y ＝2(x ＋a )与y ＝e x 相切的情况，y ′＝e x ＝2，则x ＝ln 2，所以切点坐标为(ln 2，2)，则此时a ＝1－ln 2，所以只要y ＝2|x ＋a |图象向左移动，都会产生3个交点，所以a >1－ln 2，即a ∈(1－ln 2，＋∞).答案 (1－ln 2，＋∞)15.若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1). y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2). ∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x 2x 2＋1， 解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案 1－ln 216.(2019·湖州适应性考试)已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时，由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在(0，1)上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 答案 [－2，－1]17.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0).令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.18.如图，从点P 1(0，0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0，1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k ，0)(k ＝1，2，…，n ).(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解 (1)设点P k －1的坐标是(x k －1，0)， ∵y ＝e x ，∴y ′＝e x， ∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1 ＝e x k －11(x －x k －1)，令y ＝0，则 x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n ).(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)，∴|P k Q k |＝e xk ＝e －(k －1)， 于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n e －1.。
高三导数及应用练习题
高三导数及应用练习题导数是微积分中非常重要的概念，对于高中生来说，学习导数是必不可少的一部分内容。
导数的概念以及其应用能力的培养对于高三学生来说具有重要的意义，因此在这篇文章中，我将为大家提供一些导数及应用的练习题，希望能够帮助大家提升自己的学习水平。
【练习题一】1. 求函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在点 x = 2 处的导数。
解: 首先，我们可以利用导数的定义来求解该题目。
导数的定义是函数 f(x) 在某一点 x 附近的变化率。
对于给定的函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们可以通过求函数在 x = 2 处的变化率来求解该导数值。
根据定义，我们可以得到如下结果:f'(2) = lim(h→0) [f(2+h) - f(2)] / h代入 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，得到:f'(2) = lim(h→0) [(3(2+h)^2 - 2(2+h) + 1 - (3(2)^2 - 2(2) + 1)] / h化简上述表达式，我们可以得到:f'(2) = lim(h→0) [(12h + 9)] / h进一步简化，我们得到:f'(2) = lim(h→0) [12h + 9] / h利用极限的性质，我们可以得到:f'(2) = 12因此，函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在点 x = 2 处的导数为 12。
2. 求函数 g(x) = sin(2x) 在点x = π/4 处的导数。
解: 对于函数g(x) = sin(2x)，我们需要利用链式法则来求解其导数。
根据链式法则的定义，我们可以得到如下结果:g'(x) = cos(2x) * 2代入x = π/4，我们可以得到:g'(π/4) = cos(2 * π/4) * 2化简表达式，我们可以得到:g'(π/4) = cos(π/2) * 2利用三角函数的性质，我们可以得到:g'(π/4) = 0 * 2因此，函数 g(x) = sin(2x) 在点x = π/4 处的导数为 0。
导数的定义与几何意义例题和知识点总结
导数的定义与几何意义例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一颗璀璨的明珠。
它不仅在微积分中占据着核心地位，更是解决众多实际问题的有力工具。
让我们一同深入探索导数的定义与几何意义，并通过一些具体的例题来加深对其的理解。
一、导数的定义导数，从本质上来说，描述的是函数在某一点处的变化率。
如果给定一个函数＄y ＝ f(x)＄，那么在点＄x_0$ 处的导数可以表示为：＄f'（x_0) ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＄这个极限值反映了函数在＄x_0$ 点处的瞬时变化率。
为了更好地理解导数的定义，我们来看一个简单的例子。
例 1：设函数＄f(x) ＝ x^2$，求＄f'（2)＄。
解：＼＼begin{align}f'（2)＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(2 ＋＼Delta x)f(2)｝｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{（2 ＋＼Delta x)＾2 2^2}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{4 ＋ 4\Delta x ＋（＼Delta x)＾2 4}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} （4 ＋＼Delta x)＼＼＆＝ 4＼end{align}＼二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率。
对于函数＄y ＝f(x)＄，在点＄（x_0, f(x_0)）＄处的切线斜率就是＄f'（x_0)＄。
例如，对于函数＄y ＝ x^2$，在点＄（1, 1)＄处的切线斜率为＄f'（1) ＝ 2$。
例 2：求函数＄f(x) ＝＼sqrt{x}＄在点＄（4, 2)＄处的切线方程。
2023版新高考数学总复习专题四导数的应用 课件
含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论,但始终要注意定义域 及分类讨论的标准. 2.已知函数的单调性求参数范围 注意参数在导函数解析式中的位置,先尝试分离参数,将问题转化为求解 对应函数的最值问题;若不能分离参数或分离参数后对应函数的单调性 无法利用导数解决,则可以直接转化为求解含参内,函数的极值不一定唯一,在整个定义 域内可能有多个极大值和极小值;2)极大值与极小值没有必然关系,极大 值可能比极小值还小;3)导数等于零的点不一定是极值点(例如: f(x)=x3, f '(x)=3x2,当x=0时, f '(0)=0,但x=0不是函数的极值点);4)对于处处可导的函 数,极值点处的导数必为零. 2.函数的最值 1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
④∃x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
3.利用导数构造函数解不等式
常见的构造函数模型总结:
1)关系式为“加”型
①f '(x)+f(x)≥0,构造y=exf(x),则y'=[exf(x)]'=ex·[f '(x)+f(x)].
②xf '(x)+f(x)≥0,构造y=xf(x),则y'=[xf(x)]'=xf '(x)+f(x).
x
1 x ln x
,则f '(x)=x
x2
=
1
ln x2
x
,当x>e时,
f
'(x)<0,所以函
数f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为t≥2,所以t+3>t+2>e,所以f(t+3)<f(t+2),所
专题04 导数及其应用(解答题)-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(解析版)
x1
x0
1，故 ex1x0
x02 x1 1 x1 1
x02 ，两边取对数，得 ln ex1x0 ln x02 ，
于是
x1 x0 2 ln x0 2 x0 1 ，
整理得 3x0 x1 2 .
【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.
f
(2)
ln
2
1 2
ln
4 1 2
0
，故存在唯一
x0
(1, 2)
，使得
f
x0
0.
又当 x x0 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减；当 x x0 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增.
因此， f (x) 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知 f x0 f (1) 2 ，又 f e2 e2 3 0 ，所以 f (x) 0 在 x0, 内存在唯一根
6．【2019 年高考浙江】已知实数 a 0 ，设函数 f (x)=a ln x x 1, x 0.
（1）当 a 3 时，求函数 f (x) 的单调区间； 4
（2）对任意
x
[
1 e2
, ) 均有
f
(x)
x 2a
,
求 a 的取值范围．
注：e=2.71828…为自然对数的底数．
【解析】（Ⅰ）解：由已知， f (x) 的定义域为 (0, ) ，且
f (x)
1 x
导数及定积分知识点总结及练习(经典)
导数的应用及定积分（一）导数及其应用1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。
2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率 ，即k ＝f ′(x 0)＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.3．函数的导数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。
5．常见函数的导数(x n )′＝__________.(1x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________.(a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________． （2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝___________________.（3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．函数的单调性设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．(2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________．7．函数的极值x ，如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个_________；如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．8．函数的最值假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a ，b]上一定能够取得____________与____________，若该函数在(a ，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．9．生活中的实际优化问题（1）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点． （二）定积分1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x ＝a 、x ＝b(a≠b)、y ＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_______________； ①近似代替：对每个小曲边梯形“___________”，即用__________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的________；①求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________；①取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b 内所作的位移s.3．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑=ni 1f(ξi )Δx＝_____________(其中Δx 为小区间长度)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的_________，记作⎰baf (x )dx ，即⎰baf (x )dx ＝_________．________，x 叫做________，f(x)dx 叫做________．4．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有___________，那么定积分⎰baf (x )dx 表示由_________________________，y ＝0和_____________所围成的曲边梯形的面积．5．定积分的性质 ①⎰bakf(x )dx ＝__________________(k 为常数)；②⎰ba(x )]dx f±(x )[f 21＝________________；③⎰baf (x )dx ＝⎰caf (x )dx ＋_______________(其中a <c <b )．6．微积分（1）微积分基本定理如果F (x )是区间[a ，b ]上的________函数，并且F ′(x )＝________，那么⎰baf (x )dx ＝___________．（2）用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找被积函数的________，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．（3）被积函数的原函数有很多，即若F (x )是被积函数f (x )的一个________，那么F (x )＋C (C 为常数)也是被积函数f (x )的________．但是在实际运算时，不论如何选择常数C (或者是忽略C )都没有关系，事实上，以F (x )＋C 代替式中的F (x )有⎰baf (x )dx ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )．（4）求定积分的方法主要有：①利用定积分的________；②利用定积分的___________；③利用_______________。
导数与积分的概念及运算、导数的应用
a
(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理.
类型一 导数的概念及运算 【例1】 (2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则 f′(x)>0的解集为( ) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)
[解析]
f′(x)＝2x－2－4x＝2
x2－x－2＝ x
解：(1)不妨设A烟囱喷出的烟尘量
的烟尘写量出y关为于x的8函，数 由AC＝x(0<x<20)，可 表达式；
依题是意否存在，这样点的点 C处的烟尘浓度y的函数 C，使该点的烟尘 浓度最低？若存在，
y＝xk求不由2存出．＋在AC，的说距2明离0理；k若－·8x2(0<x<20)．
(2)对 (1)中的函数表达式求导得
(2)∵f(x)＝x2·eax，f′(x)＝(2x＋ax2)eax， ∴原不等式等价于 x2·eax≤(2x＋ax2)·eax＋x2＋axa＋a2＋1·eax， 即(a＋1a)·(x2＋1)≥x2－3x，亦即 a＋1a≥xx22－＋31x. ∴对于任意的 a>0，原不等式恒成立，等价于 a＋1a ≥xx22－＋31x对 a>0 恒成立，
∵对于任意的 a>0，a＋1a≥2 a·1a＝2(当且仅当 a ＝1 时取等号)，
∴只需xx22－＋31x≤2，即 x2＋3x＋2≥0，解之得 x≤－ 2 或 x≥－1.
因此，x 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，＋∞)．
[点评] 一般地，若已知不等式在区间I上恒成立，求不等 式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数，根据不等 式恒成立问题的解法(如：分离参数求最值、数形结合等)进 行求解．首先进行分离参数，然后利用导数求出分离参数后 不等式一边的函数(或代数式)的最大值(或最小值)，进而得 到参数的取值范围，即当a>f(x)恒成立时，只需a>f(x)max； 当a<f(x)恒成立时，只需a<f(x)min.
1-1-4导数与积分的概念及运算、导数的应用
高考专题训练四导数与积分的概念及运算、导数的应用班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·全国)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A .13 B .12 C .23 D ．1解析：y ′＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y －2＝－2x ，即2x ＋y －2＝0由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝23，A ⎝⎛⎭⎪⎫23，23，S △ABO ＝12·23＝13.答案：A2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：f (x )>2x ＋4，即f (x )－2x －4>0.构造F (x )＝f (x )－2x －4，F ′(x )＝f ′(x )－2>0.F (x )在R 上为增函数，而F (－1)＝f (－1)－2x (－1)－4＝0.x ∈(－1，＋∞)，F (x )>F (－1)，∴x >－1.答案：B3．(2011·烟台市高三年级诊断性检测)设a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x)d x ，则(a x－1x)6的二项展开式中含x 2的系数是( )A ．192B ．－192C ．96D ．－96解析：因为a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x)d x ＝(－cos x ＋sin x)| π0＝ (－cosπ＋sinπ)－(－cos 0＋sin 0)＝2，所以(a x －1x)6＝ ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，则可知其通项T r ＋1＝(－1)r C r 626－r x 6－r 2－r 2＝(－1)r C r 626－r x 3－r，令3－r ＝2⇒r ＝1，所以展开式中含x 2项的系数是(－1)r C r 626－r ＝(－1)1C 1626－1＝－192，故答案选B .答案：B4．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(4)的大小关系为( )A ．f(－a 2)≤f(4)B ．f(－a 2)<f(4)C ．f(－a 2)≥f(4)D ．f(－a 2)与f(4)的大小关系不确定解析：∵f(x)＝12x 3－x 2－72x ，∴f ′(x)＝32x 2－2x －72.由f ′(x)＝12(3x －7)(x ＋1)＝0得x ＝－1或x ＝73.当x<－1时，f(x)为增函数； 当－1<x<73时，f(x)为减函数；当x>73时，f(x)为增函数，计算可得f(－1)＝f(4)＝2，又－a 2≤0，由图象可知 f(－a 2)≤f(4)． 答案：A5．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x 3＋bx 2－3x ＋1(b ∈R)在x ＝x 1和x ＝x 2(x 1>x 2)处都取得极值，且x 1－x 2＝2，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在x ＝x 1处取极小值，在x ＝x 2处取极小值B ．f (x )在x ＝x 1处取极小值，在x ＝x 2处取极大值C ．f (x )在x ＝x 1处取极大值，在x ＝x 2处取极小值D ．f (x )在x ＝x 1处取极大值，在x ＝x 2处取极大值解析：因为f (x )＝x 3＋bx 2－3x ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx －3，由题意可知f ′(x 1)＝0，f ′(x 2)＝0，即x 1，x 2为方程3x 2＋2bx －3＝0的两根，所以x 1－x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4b 2＋363，由x 1－x 2＝2，得b ＝0.从而f (x )＝x 3－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，因为x 1>x 2，所以x 1＝1，x 2＝－1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，所以f (x )在x 1＝1处取极小值，极小值为f (1)＝－1，在x 2＝－1处取极大值，极大值为f (－1)＝3.答案：B6．(2011·合肥市高三第三次教学质量检测)对任意x 1，x 2∈(0，π2)，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定解析：设f (x )＝1＋sin x x ，则f ′(x )＝x cos x －sin x －1x 2＝cos x (x －tan x )－1x 2.当x ∈(0，π2)时，x －tan x <0，故f ′(x )<0，所以f (x )在(0，π2)上是减函数，故由x 2>x 1得y 2<y 1.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．7．(2011·广东)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝2 当x <0时，f ′(x )>0，当0<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0. ∴当x ＝2时，f (x )有极小值是f (2)＝23－3×22＋1＝－3. 答案：28．(2011·潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ，则公比等于________．解析：⎠⎛14(1＋2x)d x ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a 4＝18＝23·q3⇒q ＝3.答案：39．(2009·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f(x)d x＝2f(a)成立，则a ＝________.解析：因为⎠⎛-11f(x)d x ＝⎠⎛-11(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x)|1－1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4⇒a ＝－1或a ＝13.答案：－1或1310．(2009·山东省高考调研卷)曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：⎠⎛1e (1x ＋2x ＋2e 2x )d x ＝⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛1e 2x d x ＋⎠⎛1e 2e 2x d x ＝ln x|e 1＋x 2|e 1＋e 2x |e 1＝e 2e .答案：e 2e三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x －k)2e x k (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e ，求k 的取值范围． 解：(1)f ′(x)＝1k (x 2－k 2)e xk令f ′(x)＝0，得x ＝±k当k>0时，f(x)与f ′(x)的情况如下： ↗↘↗是(－k ，k)．当k<0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：↘ ↗↘是(k ，－k)．(2)当k>0时，因为f(k ＋1)＝e k+1k >1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k 2e 所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e .解得－12≤k<0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.12．(13分)(2011·课标)已知函数f(x)＝a ln x x ＋1＋bx ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果当x>0，且x ≠1时，f(x)>ln x x －1＋kx，求k 的取值范围．解：(1)f ′(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x －ln x (x ＋1)2－bx2. 因为直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎨⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎨⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知f(x)＝ln x x ＋1＋1x，所以f(x)－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x ＋(k －1)(x 2－1)x . 考虑函数h(x)＝2ln x ＋(k －1)(x 2－1)x (x>0)，则h ′(x)＝(k －1)(x 2＋1)＋2xx 2.(ⅰ)设k ≤0，则h ′(x)＝k (x 2＋1)－(x －1)2x 2知，当x ≠1时，h ′(x)<0，而h(1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h(x)>0，可得11－x 2h(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得11－x 2h(x)>0.从而当x>0，且x ≠1时，f(x)－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x >0，即f(x)>ln x x －1＋kx .(ⅱ)设0<k<1，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，(k －1)·(x 2＋1)＋2x>0，故h ′(x)>0.而h(1)＝0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，h(x)>0，可得11－x 2h(x)<0，与题设矛盾．(ⅲ)设k ≥1，此时h ′(x)>0，而h(1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h(x)>0，可得11－x2h(x)<0，与题设矛盾． 综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．。
导数与积分的概念及运算导数的应用
高考专题训练四导数与积分地概念及运算、导数地应用班级 ________ 姓名 _________ 时间：45分钟分值：75分总得分_____________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出地四个选项中，选出符合题目要求地一项填在答题卡上. b5E2R1. （2011全国）曲线y= e「2作1在点（0,2）处地切线与直线y= 0和y= x 围成地三角形地面积为（）pIEan1口1AA 3B・2C-2D.1解析：丫 =-2e-乡yj x=o= —2,在点(0,2)处地切线为：y —2=-2x,即2x+y—2= 0y = x由2x+ y —2= 0_2 x — 3 2 2 得 2 ，A 3，3，DXDiTy —2 12 1SABO—2 3—3.答案：A2. (2011辽宁)函数f(x)地定义域为 R , f( — 1)— 2,对任意 x € R , f f (x)>2,则 f(x)>2x + 4 地解集为()RTCrpA . (— 1,1)B . (— 1,+乂 )C .(―汽一1)D . (—X ，+* )解析：f(x)>2x + 4,即 f(x) — 2x — 4>0・构造 F(x) — f(x)— 2x — 4, F (x) — f (x) — 2>0.F(x)在 R 上为增函数，而 F( — 1) — f(— 1) — 2x( — 1)— 4 — 0・x q — 1,+OO ),F(x)>F(— 1) ,「x> — 1・ 5PCZV答案：B3. (2011烟台市高三年级诊断性检测 股a — I n(sinx + cosc)dx ，则(aVx丿—七)6地二项展开式中含x 2地系数是()jLBHr 。
A .佃2B .—佃2C. 96D. —96解析：因为a—'"(sinx + cos()dx—(—cosc + sinx)l o —xHAQX丿0(—cos + sin n—(—coS0 + sin0)—2,所以(aG—丁)6—LDAYL2&—贝何知其通项T r +1 = (- 1)r C626-r x6y r—2 =(- i)r c626-r x3-r，令3—r = 2? r = 1,所以展开式中含x2项地系数是(-1)r C626-r=(― 1)1C126-1 = —192，故答案选 B.zzz6乙答案：B1 74. (2011山东省高考调研卷)已知函数f(x) = QX3—x2-QX,则f( —a2)与f(4)地大小关系为()dvzfv。
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－
1 6 ) 的二项展开式中含 x2 的系数是( x A．192 C．96
0
)
B．－192 D．－96
解析：因为 a＝π(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| π 0＝ (－cosπ＋sinπ)－(－cos0＋sin0)＝2，所以(a x－ 1 6 )＝ x
1 r r 6－r 6－r 6－ r 3 2 x－ 6， 则可知其通项 Tr＋1＝(－1)rC6 2 x － ＝(－1)rCr x 62 2 2 x
1＋x a －lnx x b 解：(1)f′(x)＝ － 2. 2 x x＋1
1 由于直线 x＋2y－3＝0 的斜率为－ ，且过点(1,1)， 2
f1＝1， 故 1 f ′ 1 ＝－ 2
b＝1， ，即a 1 － b ＝－ . 2 2
解得 a＝1，b＝1. (2)由(1)知 f(x)＝ lnx 1 ＋ ，所以 x＋1 x
解析：f(x)>2x＋4，即 f(x)－2x－4>0. 构造 F(x)＝f(x)－2x－4，F′(x)＝f′(x)－2>0. F(x)在 R 上为增函数，而 F(－1)＝f(－1)－2x(－1)－4＝0.x∈(－1，＋ ∞)，F(x)>F(－1)，∴x>－1. 答案：B 3．(2011· 烟台市高三年级诊断性检测)设 a＝π(sinx＋cosx)dx，则(a x
- 1 - 1
1 2(3a2＋2a＋1)＝4⇒a＝－1 或 a＝ . 3 1 答案：－1 或 3
1 10．(2009· 山东省高考调研卷)曲线 y＝ ＋2x＋2e2x，直线 x＝1，x＝e x 和 x 轴所围成的区域的面积是________．
1 1 2e 2x e 解析：e ( ＋2x＋2e2x)dx＝e dx＋e 2xdx＋e 2e2xdx＝lnx|e 1＋x |1＋e |1 x x
1 7 解析：∵f(x)＝ x3－x2－ x， 2 2 3 7 ∴f′(x)＝ x2－2x－ . 2 2 1 7 由 f′(x)＝ (3x－7)(x＋1)＝0 得 x＝－1 或 x＝ . 2 3 当 x<－1 时，f(x)为增函数； 7 当－1<x< 时，f(x)为减函数； 3 7 当 x> 时，f(x)为增函数， 3 计算可得 f(－1)＝f(4)＝2，又－a2≤0，由图象可知 f(－a2)≤f(4)． 答案：A 5． (2011· 山东省高考调研卷)已知函数 f(x)＝x3＋bx2－3x＋1(b∈R)在 x ＝x1 和 x＝x2(x1>x2)处都取得极值， 且 x1－x2＝2， 则下列说法正确的是( )
高考专题训练四
班级________ 姓名________
导数与积分的概念及运算、导数的应用 时间：45 分钟 分值：75 分 总得分________
一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题给出 的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上． 1．(2011· 全国)曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为( 1 A. 3 2 C. 3 解析： ) 1 B. 2 D．1
1
2 3 解析：4(1＋2x)dx＝(x＋x2)|4 q 1＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即 a4＝18＝ · 3
1
⇒q＝3. 答案：3 9．(2009· 山东省高考调研卷)已知函数 f(x)＝3x2＋2x＋1，若1 f(x)dx
- 1
＝2f(a)成立，则 a＝________. 解析： 因为 1 f(x)dx ＝ 1 (3x2 ＋ 2x ＋ 1)dx ＝ (x3 ＋ x2 ＋ x)| 1 －1 ＝ 4 ，所以
1 1 故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤e时，k 的取值范围是－2，0.
alnx b 12．(13 分)(2011· 课标)已知函数 f(x)＝ ＋ ，曲线 y＝f(x)在点(1， x＋1 x f(1))处的切线方程为 x＋2y－3＝0. (1)求 a，b 的值； lnx k (2)如果当 x>0，且 x≠1 时，f(x)> ＋ ，求 k 的取值范围． x－1 x
y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y－2＝－2x，即 2x＋y－2＝0
y＝x 由 2x＋y－2＝0
2 x ＝ 3 得 2 y ＝ 3
2 2 ，A3，3，
12 1 S△ABO＝ · ＝ . 23 3 答案：A 2． (2011· 辽宁 )函数 f(x)的定义域为 R ， f(－ 1)＝ 2，对任意 x∈ R， f′(x)>2，则 f(x)>2x＋4 的解集为( A．(－1,1) C．(－∞，－1) ) B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
A．f(x)在 x＝x1 处取极小值，在 x＝x2 处取极小值 B．f(x)在 x＝x1 处取极小值，在 x＝x2 处取极大值 C．f(x)在 x＝x1 处取极大值，在 x＝x2 处取极小值 D．f(x)在 x＝x1 处取极大值，在 x＝x2 处取极大值 解析：因为 f(x)＝x3＋bx2－3x＋1，所以 f′(x)＝3x2＋2bx－3，由题意 可知 f′(x1)＝0，f′(x2)＝0，即 x1，x2 为方程 3x2＋2bx－3＝0 的两根，所 4b2＋36 以 x1－x2＝ x1＋x2 －4x1x2＝ ，由 x1－x2＝2，得 b＝0.从而 f(x) 3
2
＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，由于 x1>x2，所以 x1＝1，x2 ＝－1，当 x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，所以 f(x)在 x1＝1 处取极小值，极 小值为 f(1)＝－1，在 x2＝－1 处取极大值，极大值为 f(－1)＝3. 答案：B π 6． (2011· 合肥市高三第三次教学质量检测)对任意 x1， x2∈(0， )， x >x ， 2 2 1 y1＝ 1＋sinx1 1＋sinx2 ，y2＝ ，则( x1 x2 A．y1＝y2 B．y1>y2 C．y1<y2 D．y1，y2 的大小关系不能确定 解析：设 f(x)＝ 1＋sinx xcosx－sinx－1 ，则 f ′ ( x ) ＝ x x2 )
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)，(k，＋∞)；单调递减区间 是(－k，k)．
当 k<0 时，f(x)与 f′(x)的情况如下：
x
(－∞，k)
k
(k，－k)
－k
(－k，＋∞)
f′(x) f(x)
－ ↘
0 0
＋ ↗
0 4k2e－1
－ ↘
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)，(－k，＋∞)；单调递增区间 是(k，－k)． k+1 1 (2)当 k>0 时，因为 f(k＋1)＝e k >e，所以不会有∀x∈(0，＋∞)， 1 f(x)≤e 4k2 当 k<0 时，由(1)知 f(x)在(0，＋∞)上的最大值是 f(－k)＝ e 1 4k2 1 1 所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤e等价于 f(－k)＝ e ≤e.解得－ ≤k<0. 2
－r
r 6－r ， 令 3－r＝2⇒r＝1， 所以展开式中含 x2 项的系数是(－1)rC6 2 ＝(－1)1C1 6
26－1＝－192，故答案选 B. 答案：B
1 7 4．(2011· 山东省高考调研卷)已知函数 f(x)＝ x3－x2－ x，则 f(－a2)与 2 2 f(4)的大小关系为( A．f(－a2)≤f(4) B．f(－a2)<f(4) C．f(－a2)≥f(4) D．f(－a2)与 f(4)的大小关系不确定 )
1 1 1 1
＝e2e. 答案：e2e 三、解答题：本大题共 2 小题，共 25 分．解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． x 11．(12 分)(2011· 北京)已知函数 f(x)＝(x－k)2e k (1)求 f(x)的单调区间； 1 (2)若对于任意的 x∈(0，＋∞)，都有 f(x)≤e，求 k 的取值范围． x 1 2 2 解：(1)f′(x)＝ (x －k ) e k k 令 f′(x)＝0，得 x＝± k 当 k>0 时，f(x)与 f′(x)的情况如下： x f′(x) f(x) (－x，－k) ＋ ↗ －k 0 4k2e－1 (－k，k) － ↘ k 0 0 (k，＋∞) ＋ ↗
题设矛盾． (ⅲ)设 k≥1， 此时 h′(x)>0， 而 h(1)＝0， 故当 x∈(1， ＋∞)时， h(x)>0， 1 可得 h(x)<0，与题设矛盾． 1－x2 综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．
cosxx－tanx－1 π ＝ .当 x∈(0， )时，x－tanx<0，故 f′(x)<0，所以 f(x) 2 x 2 π 在(0， )上是减函数，故由 x2>x1 得 y2<y1. 2 答案：B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答
题卡上． 7．(2011· 广东)函数 f(x)＝x3－3x2＋1 在 x＝________处取得极小值． 解析：由 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)＝0，解得 x1＝0，x2＝2 当 x<0 时，f′(x)>0，当 0<x<2 时，f′(x)<0，当 x>2 时，f′(x)>0. ∴当 x＝2 时，f(x)有极小值是 f(2)＝23－3×22＋1＝－3. 答案：2 2 8．(2011· 潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列{an}的首项为 ， 3 且 a4＝4(1＋2x)dx，则公比等于________．
lnx k k－1x2－1 1 . f(x)－x－1＋x ＝ 22lnx＋ x 1－x
k－1x2－1 考虑函数 h(x)＝2lnx＋ (x>0)， x k－1x2＋1＋2x 则 h′(x)＝ . x2 kx2＋1－x－12 (ⅰ)设 k≤0，则 h′(x)＝ 知，当 x≠1 时，h′(x)<0， x2 而 h(1)＝0，故当 x∈(0,1)时，h(x)>0，可得 1 h(x)>0； 1－x2