(通用版)2020高考数学二轮复习逻辑推理专练文
【高考复习】2020年高考数学(文数) 常用逻辑用语 小题练(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(文数)常用逻辑用语小题练一、选择题1.若p是¬q的充分不必要条件,则¬p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤53.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5.命题“若△ABC中有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题6.下列命题中正确的个数是( )①命题“若m>-1,则方程x2+2x-m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+2x-m=0有实根,则m>-1”;②“x≠1”是“x2-3x+2≠0”的充分不必要条件;③若p∧q为假命题,则p,q均为假命题.A.0B.3C.2D.17.命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数8.有关下列说法正确的是( )A．“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x20－x0－1＞0，则¬p：∀x∈R，x2－x－1＜0C．命题“若x2－1=0，则x=1或x=－1”的否命题是“若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题9.已知命题p ：对任意x∈(0，＋∞)，log 4x ＜log 8x ；命题q ：存在x∈R，使得tan x=1－3x，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p)∧(¬q)C ．p ∧(¬q)D ．(¬p)∧q10.已知命题p ：存在x 0∈R ，x 0－2＞lg x 0；命题q ：任意x∈R，x 2＋x ＋1＞0.给出下列结论：①命题“p 且q”是真命题； ②命题“p 且¬q”是假命题； ③命题“¬p 或q”是真命题； ④命题“p 或¬q”是假命题．其中所有正确结论的序号为( )A ．②③B ．①④C ．①③④D ．①②③11. “∀x ∈R ，x 2－πx ≥0”的否定是( )A ．∀x∈R，x 2－πx ＜0B ．∀x ∈R ，x 2－πx ≤0C ．∃x 0∈R ，x 20－πx 0≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－πx 0＜0 12.已知命题:,34xxp x R ∀∈<，命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（ ）A.q p ∧B.q p ⌝∧C.q p ∧⌝D.q p ⌝∧⌝二、填空题13.已知函数f(x)=a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x)≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．14.命题“∃x ∈[﹣，]，tanx ≤m ”的否定为 .15.已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0=1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x|1＜x ＜2}．现有以下结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题； ③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题． 其中正确结论的序号为________． 16. “a=0” 是“函数f(x)=x 3+ax 2(x ∈R)为奇函数”的_______条件.17.若命题“∀x ∈R,ax 2-ax-2≤0”是真命题,则实数a 的取值范围是 .18.已知a,b,c ∈R,命题“若a+b+c=3,则a 2+b 2+c 2≥3”的否命题是 .答案解析1.B ∵p 是¬q 的充分不必要条件,∴p ⇒¬q,且¬q ⇒ /p.又p ⇒¬q 与q ⇒¬p 等价,且¬q ⇒ /p 与¬p⇒ /q 等价,∴q ⇒¬p,且¬p ⇒ /q.∴¬p 是q 的必要不充分条件,故选B. 2.答案为：C ；解析：命题“∀x ∈[1,2],x 2-a ≤0”可转化为“∀x ∈[1,2],a ≥x 2”,等价于a ≥(x 2)max =4(x ∈[1,2]),即“∀x ∈[1,2],x 2-a ≤0”为真命题的充要条件为a ≥4, ∴要找的一个充分不必要条件所对应的集合即为集合{a|a ≥4}的真子集, 由选项可知C 符合题意.3.答案为：D ；解析：a>b 不能推出a 2>b 2,例如a=-1,b=-2;a 2>b 2也不能推出a>b,例如a=-2,b=1.故“a>b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件.4.答案为：C ；解析：令x=1,y=-2,则满足x>y,但不满足x>|y|;又若x>|y|,则结合|y|≥y,知x>y 成立, 故“x>y ”是“x>|y|”的必要而不充分条件.5.答案为：D ；解析：原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列, 则△ABC 有一内角为”,它是真命题,故选D.6.D 对于①,命题“若m>-1,则方程x 2+2x-m=0有实根”的逆命题为“若方程x 2+2x-m=0有实根,则m>-1”,故①正确;对于②,由x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2,∴当x=2时,满足x ≠1,但不满足x 2-3x+2≠0,∴“x ≠1”不是“x 2-3x+2≠0”的充分不必要条件,故②错误;对于③,若p ∧q 为假命题,则p,q 中至少有一个为假命题,故③错误.∴正确命题的个数为1.故选D.7.答案为：C.将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x ，y 都是偶数， 则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，所以选C.8.答案为：D.对于A ，由f(0)=0，不一定有f(x)是奇函数，如f(x)=x 2；反之，函数f(x)是奇函数，也不一定有f(0)=0，如f(x)=1x.∴“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的既不充分也不必要条件．故A 错误；对于B ，若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＞0，则¬p：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0.故B 错误；对于C ，命题“若x 2－1=0，则x=1或x=－1”的否命题是“若x 2－1≠0，则x≠1且x≠－1”．故C 错误；对于D ，若命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题，不妨设p 为真命题，q 为假命题，则¬p∧q 为假命题，¬q∧p 为真命题，则(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题；反之，若(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题，则¬p∧q 或¬q∧p 至少有一个为真命题．若¬p∧q 真，¬q∧p 假，则p 假q 真；若¬p∧q 假，¬q∧p 真，则p 真q 假；不可能¬p∧q 与¬q∧p 都为真．故命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题．故选D.9.答案为：D.当x=1时，log 4x=log 8x ，所以命题p 是假命题；函数y=tan x 的图象与y=1－3x的图象有无数个交点，所以存在x∈R，使得tan x=1－3x，即命题q 是真命题，故(¬p)∧q 是真命题，选D.10.答案为：D.对于命题p ，取x 0=10，则有10－2＞lg 10，即8＞1，故命题p 为真命题；对于命题q ，方程x 2＋x ＋1=0，Δ=1－4×1＜0，故方程无解，即任意x∈R，x 2＋x ＋1＞0， 所以命题q 为真命题．综上“p 且q”是真命题，“p 且¬q”是假命题，“¬p 或q”是真命题， “p 或¬q”是真命题，即正确的结论为①②③.故选D.11.答案为：D.全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，x 2－πx ≥0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－πx 0＜0”． 故选D. 12.答案为：C;【解析】试题分析：由题意得，当x=-1时，1134-->，所以命题:,34xxp x R ∀∈<是假命题；因为函数3y x =与21y x =-的图象存在交点，所以命题231,:x x R x q -=∈∃是真命题，所以命题q p ∧⌝为真命题，故选C.13.答案为：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)； 解析：已知函数f(x)=a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，∴原命题的否定是“∃x 0∈(0，1)，使f(x 0)=0”是真命题，显然a≠0.∴f(1)f(0)＜0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)＜0，即(a －1)2(2a －1)＞0，解得a ＞12，且a≠1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．14.答案为：∀x ∈[﹣，]，tanx ＞m;15.答案为：①②③④；解析：∵当x=π4时，tan x=1，∴命题p 为真命题，命题¬p 为假命题．由x 2－3x ＋2＜0，解得1＜x ＜2，∴命题q 为真命题，命题¬q 为假命题．∴命题“p∧q”是真命题，命题“p∧¬q”是假命题，命题“¬p∨q”是真命题，命题“¬p∨¬q”是假命题．16.答案为：充要.解析:当a=0时，f(x)=x3是奇函数；函数f(x)=x3+ax2为奇函数，则f(x)+f(-x)=0.即x3+ax2+(-x)3+a(-x)2=2ax2=0.所以有a=0.所以“a=0”是“函数f(x)=x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.17.答案[-8,0]解析当a=0时,不等式显然成立;当a≠0时,由题意知解得-8≤a<0.综上,a的取值范围是-8≤a≤0.18.答案若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 解析根据否命题的定义知否命题为若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3.。
通用版2020版高考数学大二轮复习能力升级练四算法与推理证明文
A.0
B.1
C.2
D.3
解析①②显然成立,③前 5 个全答对,后 5 个全答错,符合题意,故选 D.
答案 D
9.(2018 安徽合肥模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自
诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:2
2=
3
22 3,3
3
3
4
4
5
5
9
9
=3
=4
=5
=9
8
8,4 15
15,5 24
24,…,则按照以上规律,若 9 n
n具有“穿墙术”,则
n=( )
A.25
B.48
C.63
D.80
解析由 2
2=
3
223,3
3=
8
338,4
4=
15
4145,5
5=
24
5254,…,可得若 9
9=
n
99n具有“穿墙
术”,则 n=92-1=80,故选 D.
2V
B.S1 + S2 + S3 + S4
3V
C.S1 + S2 + S3 + S4
4V
D.S1 + S2 + S3 + S4
解析设四面体的内切球的球心为 O,球心 O 到四个面的距离都是 R,则四面体的体积等于以 O 为顶点,分
1
3V
别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和,即 V=3(S1+S2+S3+S4)R,所以 R=S1 + S2 + S3 + S4.
高考数学专题-选填综合-逻辑推理与应用题 习题版
二轮复习专题-选填综合-逻辑推理与应用题一．选择题（共24小题）1．（2017•丰台区一模）一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c ．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是( )A ．aB ．bC ．cD ．d2．（2018•西城区一模）某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：)s 依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是( ) A ．U V W →→ B ．V W U →→ C ．W U V →→ D ．U W V →→3．（2012•昌平区二模）爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为1v ，下山的速度为212()v v v ≠，乙上下山的速度都是122v v +（甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人上下山所用的时间1t ，2t 的关系为( ) A ．12t t > B ．12t t < C ．12t t =D ．不能确定4．（2019•东城区二模）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离； 车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数． 一般的，V 和K 满足一个线性关系，即00(1)KV v k =-（其中0v ，0k 是正数），则以下说法正确的是( )A．随着车流密度增大，车流速度增大B．随着车流密度增大，交通流量增大C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小5．（2019•海淀区一模）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有()A．8种B．10种C．12种D．14种6．（2019•丰台区一模）某电动汽车“行车数据”的两次记录如表：0.126（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，=累计耗电量平均耗电量累计里程，剩余续航里程)=剩余电量平均耗电量下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是() A．等于12.5B．12.5到12.6之间C．等于12.6D．大于12.67．（2016•海淀区一模）某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是( )A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作8．（2017•海淀区二模）已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1x ，2x ，3x ，4x ，大圆盘上所写的实数分别记为1y ，2y ，3y ，4y ，如图所示．将小圆盘逆时针旋转(1i i =，2，3，4)次，每次转动90︒，记(1i T i =，2，3，4)为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++．若12340x x x x +++<，12340y y y y +++<，则以下结论正确的是( )A ．1T ，2T ，3T ，4T 中至少有一个为正数B ．1T ，2T ，3T ，4T 中至少有一个为负数C ．1T ，2T ，3T ，4T 中至多有一个为正数D ．1T ，2T ，3T ，4T 中至多有一个为负数9．（2017•西城区二模）有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是( ) A ．7 B ．6C ．5D ．410．（2018•保定二模）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a ，b ，(c a b c >>，且a ，b ，*)c N ∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是( ) A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名11．（2017•丰台区二模）血药浓度()PlasmaConcentration 是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是( )①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2018•东城区二模）A，B，C，D四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I型、II型零件数，则下列说法错误的是( )A．四个工人中，D的日生产零件总数最大B．A，B日生产零件总数之和小于C，D日生产零件总数之和C．A，B日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和D．A，B，C，D日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和13．（2019•西城区一模）团体购买公园门票，票价如表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为() A．20B．30C．35D．4014．（2019•延庆区一模）5名运动员参加一次乒乓球比赛，每2名运动员都赛1场并决出胜负．设第i 位运动员共胜i x 场，负i y 场(1i =，2，3，4，5)，则错误的结论是( ) A ．1234512345x x x x x y y y y y ++++=++++B ．22222222221234512345x x x x x y y y y y ++++=++++ C ．12345x x x x x ++++为定值，与各场比赛的结果无关D ．2222212345x x x x x ++++为定值，与各场比赛结果无关15．（2019秋•昌平区期末）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A ，B ，C ，D 四个派送点准备某种商品各50个．根据平台数据中心统计发现，需要将发送给A ，B ，C ，D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品．为完成调整，则( )A ．最少需要16次调动，有2种可行方案B ．最少需要15次调动，有1种可行方案C ．最少需要16次调动，有1种可行方案D ．最少需要15次调动，有2种可行方案16．（2020•平谷区一模）在声学中，声强级L （单位：)dB 由公式1210()10I L lg -=给出，其中I 为声强（单位：2/)W m ．160L dB =，275L dB =，那么12(II = )A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-17．（2019秋•海淀区校级期末）某企业为激励员工创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) A ．2022年 B ．2023年 C ．2024年 D ．2025年18．（2019秋•海淀区期末）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为( )（参考数据20.3010lg ≈，30.477)lg ≈A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒19．（2017•西城区一模）将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m ，则m 的最大值为( ) A ．8 B ．9C ．10D ．1120．（2017•蚌埠三模）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是( ) A ．可能有两支队伍得分都是18分B ．各支队伍得分总和为180分C ．各支队伍中最高得分不少于10分D ．得偶数分的队伍必有偶数个21．（2019•东城区一模）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，70%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值） 最高可能为( )A ．68%B ．88%C ．96%D ．98%22．（2018•东城区一模）某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．123．（2019•丰台区一模）在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若ABC 是格点三角形，其中(0,0)A ，(4,0)B ，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为( ) A ．6 B ．8C ．10D ．1224．（2019•丰台区二模）某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车( ) A ．12辆 B ．11辆C ．10辆D ．9辆二．填空题（共6小题）25．（2019•西城区二模）因市场战略储备的需要，某公司1月1日起，每月1日购买了相同金额的某种物资，连续购买了4次．由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出．已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格（单位：万元）的可能变化情况是 （写出所有正确的图标序号）26．（2016•朝阳区一模）某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第(1i i =，2，⋯，12)项能力特征用i x 表示，0,1,i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征如果某学生具有第项能力特征，若学生A ，B 的十二项能力特征分别记为1(A a =，2a ，⋯，12)a ，1(B b =，2b ，⋯，12)b ，则A ，B 两名学生的不同能力特征项数为 （用i a ，i b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ．27．（2016•石景山区一模）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“⨯”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．丁得了分．28．（2017•西城区二模）某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是；该班的平均成绩是．29．（2020•顺德区模拟）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是．30．（2016•西城区二模）在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有部优秀影片．。
2020届高考数学(文)二轮总复习专题训练：1.7.2常用逻辑用语Word版含答案
常用逻辑用语一、选择题1．命题“存在 x 0∈ R, 2x 0≤0”的否认是 ()A ．不存在 x 0∈ R, 2x 0>0B ．存在 x 0∈ R, 2x 0>0 xC ．对随意 x ∈ R, 2 ≤0D ．对随意 x ∈ R, 2x >0分析：此题主要考察全称命题与特称命题．x由题意知，原命题的否认为“对随意 x ∈ R, 2 >0”．答案： D2．以下命题中的假命题是 ()A ． ? x ∈ R ， e x >0B. ? x ∈ R ， x 2≥0 C ． ? x 0∈ R ，sin x 0＝ 2D.? x 0∈R,2 x 0> 02x分析：此题考察命题真假的判断． ? x ∈R ， sin x ≤1<2，所以 C 选项是假命题．答案： C3．命题“若 x >1，则 x >0”的否命题是 ( )A ．若 x ≤1，则 x ≤0 B. 若 x ≤1，则 x >0 C ．若 x >1，则 x ≤0D.若 x <1，则 x <0分析：此题考察否命题的观点．依题意，命题“若x >1，则 x >0”的否命题是“若 x ≤1，则x ≤0”．答案： A4． l 1， l 2 表示空间中的两条直线，若 p ： l 1 ， l 2 是异面直线， q ： l 1，l 2 不订交，则 ()A ． p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必需条件B ． p 是 q 的必需条件，但不是 q 的充分条件C ． p 是 q 的充分必需条件D ． p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必需条件分析：两直线异面，则两直线必定无交点，即两直线必定不订交；而两直线不订交，有可能是平行，不必定异面，故两直线异面是两直线不订交的充分不用要条件．答案：A5．“ sinα ＝ cosα”是“ cos 2α＝0”的 ()A ．充分不用要条件B. 必需不充分条件C ．充分必需条件D.既不充分也不用要条件分析：∵cos 2 α＝ cos 2α－ sin 2α ，∴当sinα＝ cosα时， cos 2α＝ 0，充分性建立；当 cos 2 α ＝ 0时，∵ cos 2α－ sin2α＝ 0，∴ cosα＝ sinα或cosα＝－ sinα，必需性不建立．答案： A6．已知 p ： x ≤1， q ： x 2－ x >0，则 p 是?q 的 ()A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件分析：此题考察充要条件的判断．依题意，?q ： x 2－x ≤0，即 0≤ x ≤1；由 x ≤1 不可以得悉0≤ x ≤1；反过来，由 0≤ x ≤1可得 x ≤1. 所以， p 是?q 建立的必需不充分条件．答案： B7．若 a >0， b >0，则“ a ＋ b ≤4”是“ ab ≤4”的 ()A ．充分不用要条件B. 必需不充分条件C ．充分必需条件D.既不充分也不用要条件分析：∵a >0，b >0 且 4≥ a ＋ b ≥2ab ，∴ 2≥ab ，∴ ab ≤4，即a ＋b ≤4?ab ≤4，若a ＝ 4，11b ＝ 4，则 ab ＝1≤4，但 a ＋ b ＝ 4＋ 4>4，即 ab ≤4推不出 a ＋ b ≤4，∴ a ＋ b ≤4是 ab ≤4的充分不用要条件．答案： A8．(2019 ·赣州检测 ) 已知命题 ：存在 0<0， 1≤1，命题 ：对随意 x∈R ， 2－ ＋1≥0，px2xqxx以下命题为真命题的是 ( )A ．?qB. p 且 q C ． 或?D.? p 且qpq1 x2分析：因为当 x <0 时，函数 y ＝ 2 >1，故命题 p 为假命题；当 x ∈R 时，函数 y ＝ x －x ＋ 1＝ 1 2 3 3x － ＋ ≥ ，故命题 q 为真命题．2 4 4 答案： D9．(2019 ·临沂三模 ) 以下命题中：①若命题 p ： ? x ∈ R ，x 2 － x2≤0，则?p ： ? x ∈R ， x－ x>0；②将 y ＝ sin 2 x 的图象沿 x 轴向右平移πy ＝sinπ ；个单位，获得的图象对应函数为2x －661③“ x >0”是“ x ＋ x ≥2”的充分必需条件；2222④已知 M ( x ，y ) 为圆 x ＋y ＝ R 内异于圆心的一点，则直线 x x ＋ y y ＝ R 与该圆订交．此中正确的个数是 ( )A ． 4B.3C.2D.1分析：关于①若命题 p ： ? x22∈ R ， x － x ≤0，则?p ： ? x ∈ R ， x － x>0，故正确．②将 y ＝ sin 2 x 的图象沿 x 轴向右平移 π个单位，获得的图象对应函数为y ＝sin 2x － π，6 3故错误．1③“ x >0”是“ x ＋ x ≥2”的充分必需条件，故正确．222222④已知 M ( x 0，y 0) 为圆 x ＋ y ＝ R 内异于圆心的一点， 则 x 0 ＋ y 0 <R ，所以圆心 (0,0) 到直线 x 0x ＋y 0y ＝ R 2 的距离 d ＝ | R 2| >R ，所以该直线与该圆相离，故错误．x220＋ y 0 答案： C10．已知会合 A ＝ x 1x<8，B ＝ { x | － 1<x <m ＋ 1} ，若 x ∈ B 建立的一个充分不用要的条<2 2件是 x ∈ ，则实数的取值范围是 ()A mA ． m ≥2B. m ≤2 C ． >2D. <2mm分析：A ＝ x 1 x＝ { x | －1<x <3 } ，因为 x ∈ B 建立的一个充分不用要的条件是x ∈ A ，<2 <82所以 A B ，故 m ＋ 1>3，即 m >2. 答案： C11．(2019 ·深圳模拟 ) 以下说法正确的选项是 ( )A ．命题“若 x 2－ 3x － 4＝ 0，则 x ＝4”的否命题是“若 x 2－ 3x － 4＝ 0，则 x ≠4”B ． a >0 是函数 y ＝ x a 在定义域上单一递加的充分不用要条件C ． ? x 0∈ ( －∞， 0) ，2 018 x 0<2 019 x 0D ．若命题 ： ? ∈N, 3n >2018，则? ： ? 0∈ N ， 3 0≤2 018pnp n n分析：命题“若 x 2－3x － 4＝ 0，则 x ＝4”的否命题是“若 x 2－ 3x －4≠0，则 x ≠4”，故 A 错；当 ＝2时， y ＝ x 2 在定义域上不但一，充分性不建立，故B 错．a? x ∈ ( －∞， 0) 时， 2 018x>2 019 x ，故 C错；n∈ N, 3n命题 p ： ? n ∈ N, 3 >2 018 ，则?p ： ? n ≤2 018 ，故 D 对．答案： D 12．以下说法错误的选项是 ( )A ．命题：“若 x 2－ 5x ＋6＝ 0，则 x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则 x 2－ 5x ＋6≠0”22B ．若命题 p ：存在 x 0∈R ， x 0＋ x 0＋ 1＜ 0，则?p ：对随意 x ∈ R ， x ＋ x ＋1≥0C ．若 x ， y ∈ R ，则“ x ＝ y ”是“ xy ≥x ＋y 2”的充要条件2D ．已知命题p和 ，若“ p 或 q ”为假命题，则命题p 与 q 中必一真一假q分析： 由逆否命题的定义知 A 正确；由特称命题的否认知 x ＋ y2B 正确；由 xy ≥? 4xy ≥(x2222xy ? ( x － 2≤0? x ＝ y 知 C 正确；关于 D ，命题 p 或 q 为假命题，则 ＋y ) ? 4xy ≥x ＋ y ＋ 2 y ) 命题 p ， q 均为假命题，所以 D 不正确．答案： D 二、填空题13．已知命题 p ： ? x 0∈R ， sin x 0>a ，若?p 是真命题，则实数 a 的取值范围为.分析：依题意得， ? x ∈ R ， sin x ≤ a 恒建立，于是有 a ≥1. 答案： [1 ，＋∞)14．记不等式 x 2＋ x － 6<0 的解集为会合 A ，函数 y ＝ lg( x － a ) 的定义域为会合 B . 若“ x ∈ A ” 是“ x ∈ B ”的充分条件，则实数 a 的取值范围为.分析：不等式x 2＋ － 6<0 的解集为 ＝ ( －3,2) ，函数 y ＝lg( x － ) 的定义域为 ＝( ，＋x Aa B a∞) ．由“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的充分条件，得实数 a 的取值范围为 ( －∞，－ 3] ．答案： ( －∞，－ 3]15．已知命题 p ： ? x 0∈R ， e x 0－ mx 0＝0， q ： ? x ∈ R ， x 2＋ mx ＋1≥0，若 p ∨?q 为假命题，则实数 m 的取值范围是.分析：因为 p ∨? 为假命题，故p 假， q 真．q当命题 p 为假时，方程 e x － mx ＝0 无解，在同一坐标系内分别作出函数y ＝ e x ，y ＝ mx 的图象，当直线 y ＝mx 与函数 y ＝ e x 的图象相切时， 利用导数易得 m ＝ e. 故当 0≤ m ＜ e 时，方程无解， 即命题p 为假命题．当命题q 为真时， 2 －4≤0，解得－ 2≤ ≤2. 综上可知 0≤ ≤2时，命m m m题 p ∨(? q ) 为假命题．答案： [0,2]16．以下四个结论：①若 x >0，则 x >sin x 恒建立；②命题“若 x － sin x ＝ 0，则 x ＝0”的抗命题为“若x ≠0，则 x － sin x ≠0”；③命题“若 x 2－ x ＝ 0，则 x ＝ 0 或 x ＝1”的否命题为“若 x 2－x ≠0，则 x ≠0且 x ≠1”；④命题“ ? x ∈ R ， x －ln x >0”的否认是“ ? x ∈ R ，x － ln x ≤0”．此中正确的结论是.分析：记f ( x) ＝ － sin ， >0，则 f ′( ) ＝ 1－ cos x ≥0，函数 f ( x ) 在(0，＋∞ ) 上是增x x x x函数，所以当 x >0 时， f ( x )> f (0) ，即 x － sin x >0， x >sin x ，①正确；命题“若x － sin x＝0，则 ＝0”的抗命题为“若x ＝ 0，则 x － sin x ＝0”，②不正确；命题“若x 2－ ＝0，x x 则 x ＝ 0 或 x ＝1”的否命题为“若 x 2－ x ≠0，则 x ≠0且 x ≠1”， ③正确； 命题“ ? x ∈ R ，x－l n x>0”的否认是“ ? x0∈ R，x0－ ln x0≤0”，④正确．综上所述，此中正确的结论是①③④ .答案：①③④。
2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：集合与常用逻辑用语含解析
答案:D
解析:原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若关于x的方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
9.已知p:∀x∈R,x2-2ax+1>0,q:∃x∈R,ax2+2≤0.若p∨q为假命题,则实数a的取值范围是()
答案:(2,+∞)
解析:由 <0,得0<x<2.∵p是q成立的充分不必要条件,∴(0,2)⫋(0,m),∴m>2.
16.已知集合A={(x,y)|y=x3},B={(x,y)|y=x},则A∩B的真子集个数是.
答案:7
解析:易知函数y=x3与y=x的图象有三个不同的交点,即A∩B有3个元素,所以A∩B的真子集个数为23-1=7.
A.a≥1B.a≤1
C.a≥-1D.a≤-3
答案:A
解析:因为条件p:x>1或x<-3,所以 p:-3≤x≤1.因为条件q:x>a,所以 q:x≤a.
因为 p是 q的充分不必要条件,所以a≥1,故选A.
11.下列有关命题的说法错误的是()
A.若命题p:∃x0∈R, <1,则命题 p:∀x∈R,ex≥1
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:由x2-5x<0,得0<x<5.由|x-1|<1,得0<x<2.故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分条件.
7.不等式1- >0成立的充分不必要条件是()
A.x>1B.x>-1
C.x<-1或0<x<1D.-1<x<0或x>0
专题07 切线问题-2020年高考数学多题一解篇(文理通用)(解析版)
2020年高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之切线篇【知识储备】直线与曲线相切涉及到三个量：直线、曲线、切点，直线与圆相切也涉及到三个量：直线、圆、点。
因此它们有共同的命题方式：知“二”求“一”，即知道其中的两个量去求另外一个两，虽然考查的知识点不一样，但思维方式是一样的，常常利用切点既在曲线上又在直线上来建立方程解决问题，都在考查方程思想的应用，因此它们属于多题一解。
1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx。
(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。
相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)。
(3）曲线切线方程的求法：①以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：i、求出函数f(x)的导数f′(x)；ii、求切线的斜率f′(x0)；iii、写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．②如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组001010()()y f xy yf xx x=⎧⎪-⎨'=⎪-⎩得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．2．直线与圆的位置关系与判断方法【走进高考】【例1】【2019年高考全国Ⅲ卷理、文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.【例2】【2019年高考全国Ⅰ卷文、理数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 【例3】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析；（2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）U （1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在 （0，1），（1，+∞）单调递增．因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-， 故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----．曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ，所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 【例4】【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.【例5】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【答案】（1）Me的半径=2r 或=6r ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为Me 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为Me与直线x +2=0相切，所以Me的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故Me的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得Me的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.【例6】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【答案】（1）见详解；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=．所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由于EM AB ⊥u u u u r u u u r，而()2,2EMt t =-u u u u r ，AB u u u r与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r ，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小. 【典例分析】已知曲线的方程、切点坐标求切线方程【例】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【答案】C【解析】2cos sin ,y x x '=-Q π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 【例】经过点(3,0)M 作圆22243x y x y +---0=的切线l ，则l 的方程为（ ）A ．30x y +-=B ．30x y +-=或3x =C ．30x y --=D ．30x y --=或3x =【答案】C【解析】22222430(1)(2)8x y x y x y +---=⇒-+-=，所以圆心坐标为(1,2)，半径为， 当过点()3,0M 的切线存在斜率k ，切线方程为(3)30y k x kx y k =-⇒--=，圆心到它的距离为1k =⇒=，即切线方程为30x y --=，当过点()3,0M 的切线不存在斜率时，即3x =，显然圆心到它的距离为2≠3x =不是圆的切线.因此切线方程为30x y --=，故本题选C.【名师点睛】本题考查了求圆的切线.本题实际上是过圆上一点求切线，所以只有一条.解答本题时，设直线l 存在斜率k ，点斜式设出方程，利用圆心到直线l 的距离等于半径求出斜率k ，再讨论直线l 不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能，写出直线方程，综合求出切线方程. 已知曲线的方程、切线方程求切点坐标【例】【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1x y x x -=-，将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．【例】【2014·高考江西卷】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e.即P (e ，e)．答案：(e ，e) 已知切线方程、切点坐标求曲线方程【例】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.【解析】法一：∵y ′＝1＋1x，∴y ′|x ＝1＝2，∴y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1.又切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，当a ＝0时，y ＝2x ＋1与y ＝2x －1平行，故a ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋?a ＋2?x ＋1，y ＝2x －1，得ax 2＋ax ＋2＝0，∵Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8.法二：∵y ′＝1＋1x，∴y ′|x ＝1＝2，∴y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1，又切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，当a ＝0时，y ＝2x ＋1与y ＝2x －1平行，故a ≠0.∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴令2ax ＋a ＋2＝2，得x ＝－12，代入y ＝2x －1，得y ＝－2，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2在y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1的图象上，故－2＝a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋(a ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1，∴a ＝8. 答案：8【例】若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 【答案】D【解析】设圆心(,0)(0)O a a <，则=，即||5a =，解得5a =-，所以圆O 的方程为22(5)5x y ++=．【小结】1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线。
2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习 集合与常用逻辑用语 专题强化 精练提能(5页)
1．(2019·江苏名校高三入学摸底)设集合A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－3x －4≥0}，则A ∩(∁R B )＝______．[解析] 由B ＝{x |x 2－3x －4≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥4}，得∁R B ＝{x |－1<x <4}，又A ＝{－2，2}，所以A ∩(∁R B )＝{2}．[答案] {2}2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是____________． [答案] 任意一个无理数，它的平方不是有理数3．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________．[解析] 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．[答案] 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<34．(2019·无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________． ①∃x ∈R ，x ＋1x ＝2； ②∃x ∈R ，sin x ＝－1； ③∀x ∈R ，x 2>0； ④∀x ∈R ，2x >0．[解析] 对于①x ＝1成立，对于②x ＝3π2成立，对于③x ＝0时显然不成立，对于④，根据指数函数性质显然成立．[答案] ①②④5．已知U ＝R ，A ＝{1，a }，B ＝{a 2－2a ＋2}，a ∈R ，若(∁U A )∩B ＝∅，则a ＝______．[解析] 由题意知B ⊆A ，所以a 2－2a ＋2＝1或a 2－2a ＋2＝a ．当a 2－2a ＋2＝1时，解得a ＝1；当a 2－2a ＋2＝a 时，解得a ＝1或a ＝2．当a ＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a ＝2时，满足题意．所以a ＝2．[答案] 26．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[解析] ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a <0； 所以－3≤a ≤0． [答案] －3≤a ≤07．(2019·南京调研)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．[解析] 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}＝(－1，1)，∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}＝(－∞，0]，∁R B ＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0，1)∪(－∞，－1]． [答案] (0，1)∪(－∞，－1]8．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知集合P ＝{x |x ≤a }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，若P ∩Q ＝Q ，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，得Q ＝{1，2}，又P ∩Q ＝Q ，所以a ≥2，即实数a 的取值范围是[2，＋∞)．[答案] [2，＋∞)9．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________．[解析] 由题意得sin θ－1≥0．又－1≤sin θ≤1， 所以sin θ＝1．所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12．[答案] 1210．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(八))已知x ≠0，x ∈R ，则“2x <1”是“3x >9”的______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)[解析] 由2x <1得x >2或x <0．由3x >9得x >2，所以由“3x >9”可以得“2x <1”，反之却无法得到，所以“2x <1”是“3x >9”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分 11．给出以下三个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)[解析] 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ．故填②． [答案] ②12．(2019·南京高三模拟)下列说法正确的序号是________．①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”．[解析] 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确．由x ＝－1，能够得到x 2－5x －6＝0，反之，由x 2－5x －6＝0，得到x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，所以②不正确．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③正确．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，所以④不正确．[答案] ③13．若命题“∀x ∈[－1，1]，1＋2x ＋a ·4x <0”是假命题，则实数a 的最小值为 __________．[解析] 变形得a <－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋14x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋122＋14，令t ＝12x ，则a <－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以f (t )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，所以[f (t )]min ＝f (2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋14＝－6，又因为该命题为假命题， 所以a ≥－6，故实数a 的最小值为－6． [答案] －614．(2019·江苏四星级学校高三联考)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．[解析] 法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2．故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1．z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，显然该集合中共有3个元素．[答案] 3。
2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练及参考答案
2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理1 与数字有关的等式的推理 【易错点】例1观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 【答案】 43×n ×(n ＋1)【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.2 与不等式有关的推理例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4； …照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn ≥______. 【答案】na 1a 2…a n【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)； 1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)； …可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝____________________. 【答案】1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *) 【解析】 根据式子中的规律可知，等式右侧为 15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) ＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) (n ∈N *)． 4 与图形变化有关的推理例4某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55 【答案】 D【解析】由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.【思维点拨】 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性． 题型二 类比推理例1(1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( )A.q 2 B ．q 2 C.q D.nq【答案】C【解析】由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝(1)21n nn b q-.∴nT n ＝121n b q-，∴等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.(2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 【答案】P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 【解析】设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.【思维点拨】 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 题型三 演绎推理例1数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 【答案】略【解析】(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)【思维点拨】演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 直接证明与间接证明 题型四分析法 例1已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【答案】略 【解析】要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2， 0>a ，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．【思维点拨】分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证． 题型五 综合法例1已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤g (x )． 【答案】a ＝0，b ＝1.【解析】(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln (x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)， h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1，∵x >－1，∴当－1<x <0时，h ′(x )>0； 当x >0时，h ′(x )<0.则h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．【思维点拨】综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性． 题型六 反证法例1 等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{}a n 的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{}b n 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 【答案】（1）S n ＝n (n ＋2)（2）证明略.【解析】(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾． ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．【思维点拨】(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【巩固训练】合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理1.将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是( )【答案】A【解析】从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.2.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】C【解析】由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n ＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n－8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．3.观察下列等式：12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6；12－22＋32－42＝－10； …依此规律，第n 个等式可为________【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2【解析】第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2. 题型二 类比推理1.若数列{}a n 是等差数列，则数列{}b n ⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}c n 是等比数列，且{}d n 也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nn C ．d n ＝nc n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n【答案】D【解析】若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D ．2.在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A －CD －B ，且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是______【答案】AE EB ＝S △ACDS △BCD【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD S △BCD .题型三 演绎推理1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.2.已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．【答案】证明略【解析】设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．3.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B. 直接证明与间接证明 题型四分析法1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0【答案】C【解析】由于a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以0,0,a c b a c ><=--且，b 2－ac <3a ⇔b 2－ac ＜3a 2⇔(a ＋c )2－ac ＜3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0⇔ －2a 2＋ac ＋c 2＜0⇔2a 2－ac －c 2＞0⇔ (a －c )(2a ＋c )＞0⇔(a －c )(a －b )＞0.2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定【答案】C【解析】不妨设P ＜Q ，∵要证P ＜Q ，只要证P 2＜Q 2，只要证2a ＋7＋2a (a ＋7)＜2a ＋7＋2·(a ＋3)(a ＋4)， 只要证a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12， 只要证0＜12，∵0＜12成立，∴P ＜Q 成立．3．要使3a －3b <3a －b 成立，则a ，b 应满足( )A ．ab <0且a >bB ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b 【答案】D【解析】要使3a －3b ＜3a －b 成立，只要(3a －3b )3＜(3a －b )3成立，即a －b －33a 2b ＋33ab 2＜a －b 成立，只要3ab 2＜3a 2b 成立，只要ab 2＜a 2b 成立，即要ab (b －a )＜0成立， 只要ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b 成立． 题型五 综合法1．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】∵a >0，b >0，c >0， ∴⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.2．如果a a ＋b b >a b ＋b a 成立，则a ，b 应满足的条件是__________________________． 【答案】a ≥0，b ≥0且a ≠b【解析】∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a ) ＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0. ∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b . 3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . 【答案】证明略【解析】∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0. 由于a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc >0成立． 上式两边同时取常用对数，得 lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ，∴lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .题型六反证法1．用反证法证明命题：若a＋b＋c为偶数，则“自然数a，b，c恰有一个偶数”时正确反设为() A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【答案】D【解析】由于“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选D．2.用反证法证明命题“已知a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【答案】A【解析】用反证法证明命题的步骤中第一步是假设命题的反面成立，而“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A．3.已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】略【解析】(1)证明由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴SA⊥平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.11∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．∴不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.12。
(新高考)2020版高考数学二轮复习第二部分讲重点选填题专练第2讲逻辑、算法课件理
A．p∧q
B．p∧(綈 q)
C．(綈 p)∧q
D．(綈 p)∧(綈 q)
解析：由 log2m<1，得 0<m<2，故命题 p 为假命题；f′(x)＝3x2＋2x，令 f′(x)＝0 得 x＝－23或 x＝0，所以 f(x)在－∞，－23和(0，＋∞)上单调递增，在－23，0上单调递
6．[2019·南昌二模]已知函数 f(x)＝ax2＋x＋a，命题 p：∃x0∈R，f(x0)＝0，若 p 为 假命题，则实数 a 的取值范围是( C )
A.－12，12 B.－12，12 C.－∞，－12∪12，＋∞ D.－∞，－12∪12，＋∞
注意：(1)注意“∀”后面跟的一般是统称的未知数 x(指某一类数)，“∃”后面跟
的一般是单指的数 x0(指某一类中的一个数)． (2)否定结论时要注意一些词语的否定方法，常见的一些词语及其否定如下：
词语 是 都是 都不是 等于
大于 小于或等于
否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 小于或等于 大于
解析：因为特称命的否定为全称命题，所以綈 p：∀x∈R,3x≥x3，故选 C.
3．[2019·安徽示范高中考试]已知下列两个命题， p1：存在正数 a，使函数 y＝2x＋a·2－x 在 R 上为偶函数； p2：函数 y＝sinx＋cosx＋ 2无零点．
则在命题 q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈 p1)∨p2，q4：p1∧(綈 p2)中，真命题是( A )
2．充要条件的判断方法
方法
解读
适合题型
第一步，分清条件和结论：
分清哪是条件，哪是结论；
A．q1，q4 C．q1，q3
B．q2，q3 D．q2，q4
解析：当 a＝1 时，y＝2x＋a·2－x 在 R 上是偶函数，所以 p1 为真命题．当 x＝54π时， 函数 y＝sinx＋cosx＋ 2＝0，所以命题 p2 是假命题．所以 p1∨p2，p1∧(綈 p2)是真命题，
(统考版)2023高考数学二轮专题复习：集合、复数与常用逻辑用语课件
zത 2+i 3+4i
解析：因为z＝2＋ ＝2＋
＝2－i，所以തz＝2＋i，则 ＝ ＝
，所以复
1+i
2
z 2−i
5
zത
数 在复平面内所对应的点在第一象限．z zത＝(2－i)(2＋i)＝4－i2＝5，则选项A，
z
C，D正确，选项B错误．故选B.
练后领悟
1．复数的概念及运算问题的解题技巧
(1)与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为mi(m∈R且m≠0)，
(4)A∩ B＝A⇔A⊆B，A∪ B＝A⇔B⊆A.
考点二
复数——求实、虚部是根本
考点二
复数——求实、虚部是根本
导向性
原则性
考查数学运算，逻辑推理核心素养．
主干知识、必考点、注意概念要点．
1.[2022·湖南高一期中]已知复数z＝m＋i(m∈R)，则“|z|>
“m>3”的(
)
A.充分不必要条件
B.充要条件
D.若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin
答案：D
2 5
α＝
5
)
3．[2022·河南新乡高二期中]若复数z在复平面内对应的点位于第二
象限，则(
)
A.z2不可能为纯虚数
B.z2在复平面内对应的点可能位于第二象限
C.z2在复平面内对应的点一定位于第三象限
D.z2在复平面内对应的点可能位于第四象限
中有3个元素，则集合B为{1，2，3}的非空真子集，有23－2＝6种取法；此时共
有1×6＝6种取法；综上所述：不同的取法共有9＋15＋6＝30种．
故选C.
练后领悟
1．解决集合问题的三个注意点
专题06三点共线-2020年高考数学多题一解篇(文理通用)(解析版)
2020年高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之三点共线篇【知识储备】 1、共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa 。
2、A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外一点，则OA →＝λOB →＋μOC →且λ＋μ＝1。
特别，当A 为线段BC 中点时，OA →＝12OB →＋12OC →。
3．向量共线的坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0。
提示：a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0。
【走进高考】【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uuu r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，则C 的离心率为____．【答案】2【解析】法一：由1F A AB =uuu r uuu r可得1，，F A B 三点共线且A 为线段1F B 的中点，由题意知F 1，F 2的坐标分别为(,0),(,0)-c c ，设A 点的坐标为(,）-b x x a ，B 点的坐标为11(,）x y ，由1F A AB =uuu r uuu r 可得11(,(,）=）+--+b bx c x x x y x a a， 解得B 点的坐标为2(2,）+-b x c x a ，所以1222=(22,),2,（）+-=-u u u r u u u u r b bF B x c x F B x x a a，又120F B F B ⋅=u u u r u u u u r ， 则有22242(22)0++=b x x c x a（1），又2=(2)-⨯+b bx x c a a 可得4=-c x ，代入（1）式得223=b a ，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 法二：如图，由1,F A AB =u u u r u u u r得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=o又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为221()1(3)2c bea a==+=+=．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB=和1OA F A⊥，从而可以得到1AOB AOF∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA∠=∠=∠=o从而由tan603ba=︒=可求离心率.【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3AP PB=u u u r u u u r，求|AB|．【答案】（1）3728y x=-；（2413【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y=+．（1）由题设得3,04F⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x+=++，由题设可得1252x x+=．由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t+-+=，则1212(1)9tx x-+=-．从而12(1)592t--=，得78t=-．所以l的方程为3728y x=-．（2）法一：由题意设P点的坐标为(,0）x，则1122=(,),,（）--=-u u u r u u u rAP x x y PB x x y，由3AP PB=u u u r u u u r可得123y y=-．由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t-+=．所以122y y+=．从而2232y y-+=，故211,3y y=-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =．法二：过A 点、B 点分别向x 轴作垂线，垂足分别为M ，N ，易知AMP BNP ∆≈∆，由3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-．下同法一。
2020浙江新高考数学二轮复习专题强化练：专题一 1 第1讲 集合、常用逻辑用语 Word版含解析
专题强化训练 [基础达标]1．已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2，3] B ．(－2，3]C ．[1，2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q ＝{x |x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x |－2＜x ＜2}，故得P ∪(∁R Q )＝{x |－2＜x ≤3}．故选B.2．(2019·金华模拟)已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选A.法一：因为A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}＝{y |y ＞1}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}＝{y |y ＞12}，所以A ∩B ＝{y |y ＞1}，故选A. 法二：取2∈A ∩B ，则由2∈A ，得log 2x ＝2，解得x ＝4＞2，满足条件，同时由2∈B ，得⎝⎛⎭⎫12x＝2，x ＝－1，满足条件，排除选项B ，D ；取1∈A ∩B ，则由1∈A ，得log 2x ＝1，解得x ＝2，不满足x ＞2，排除C ，故选A.3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅，故a 的值为2，选B.4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a ，b 为两个非零向量，设命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：a 与b 共线，则命题p 是命题q 成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.|a ·b |＝|a ||b |⇔|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝±1⇔a ∥b ，故是充要条件，选C.5．(2019·衢州质检)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}， 所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.6．“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1 解析：选C.若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0，故选C.7．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.8．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题 解析：选B.对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题为“若x ≠π3，则tan x≠3”，易知当x ＝4π3时，tan x ＝3，故选项D 为假命题．综上可知，选B.9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的体积不变 C ．与所有12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任意一点，则|MN |的最小值是3－22解析：选D.A.因为AB 1∥DC 1，AC ∥A 1C 1， 且AC ∩AB 1＝A ，所以平面ACB 1∥平面A 1C 1D ， 正方体的体对角线BD 1＝3， 设B 到平面ACB 1的距离为h ，则V B AB 1C ＝13×12×1×1×1＝13×12×2×2×32h ，即h ＝33，则平面ACB 1与平面A 1C 1D 的距离d ＝3－2h ＝3－2×33＝33，故A 正确． B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B 正确，C ．与所有12条棱都相切的球的直径2R 等于面的对角线B 1C ＝2，则2R ＝2，R ＝22，则球的体积V ＝43πR 3＝43×π×(22)3＝23π，故C 正确．D ．设正方体的内切球的球心为O ，正方体的外接球的球心为O ′， 则三角形ACB 1的外接圆是正方体的外接球O ′的一个小圆，因为点M 在正方体的内切球的球面上运动，点N 在三角形ACB 1的外接圆上运动， 所以线段MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径， 因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 所以线段MN 长度的最小值是32－12.故D 错误．故选D. 10．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，集合M 中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选C.由36－x 2>0可解得－6<x <6，又x ∈N ，故x 可取0，1，2，3，4，5，故S ＝{0，1，2，3，4，5}．由题意可知：集合M 不能含有0，1，且不能同时含有2，4.故集合M 可以是{2，3}，{2，5}，{3，5}，{3，4}，{4，5}．11．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二：(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1.z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎭⎬1，12，2，显然该集合中共有3个元素．答案：312．(2019·温州瑞安高考数学模拟)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝______，(∁U A )∪B ＝________．解析：因为U ＝{1，2，3，4，5，6}， ∁U B ＝{1，5，6}，∁U A ＝{3，4，5，6}， 所以A ∩(∁U B )＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，(∁U A )∪B ＝{3，4，5，6}∪{2，3，4}＝{2，3，4，5，6}． 答案：{1} {2，3，4，5，6}13．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题． 答案：114．一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充分必要条件是________． 解析：必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )， 所以b ＝0.充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ， 因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数． 答案：b ＝015．A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是________． 解析：有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有： ①(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，此时B ＝∅；②(2，1)，此时B ＝{1}； ③(3，2)，此时B ＝{1，2}． 所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89.答案：8916．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．解析：因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0.解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝ 4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意．(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0， 解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪{1}． 答案：(－∞，－1]∪{1}17．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错． ②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}， f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错． ③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}， 则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}， 则f (P )∪f (M )＝R ，故④错． 答案：①②③④[能力提升]1．已知集合P ＝{y |y ＝(12)x ，x ≥0}，Q ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，则P ∩Q 为( )A ．(0，1]B ．∅C ．(0，2)D ．{0}解析：选A.由已知得，因为x ≥0，且0＜(12)x ≤(12)0＝1，所以P ＝(0，1]，又因为2x －x 2＞0⇒0＜x ＜2，所以Q ＝(0，2)，因此P ∩Q ＝(0，1]，故选A.2．已知z ＝m 2－1＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R ，i 为虚数单位)，则“m ＝－1”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意，当m ＝－1时，z 的实部为(－1)2－1＝0，虚部为(－1)2－3×(－1)＋2＝6，此时z 为纯虚数，即充分性成立；当z 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m 2－3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1m ≠2，m ≠1⇒m＝－1，即必要性成立，故选C.3．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{x |x ＜－1或x ≥1} B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}． 故选B.4．若x ∈R ，则“x ＞1”是“1x ＜1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A.由x ＞1，一定能得到1x ＜1，但当1x ＜1时，不能推出x ＞1(如x ＝－1时)，故“x＞1”是“1x＜1”的充分非必要条件．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的必要而不充分的条件是( ) A ．a －1＞b B ．a ＋1＞b C ．|a |＞|b |D ．a 3＞b 3解析：选B.“a ＞b ”不能推出“a －1＞b ”，故选项A 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a ＋1＞b ”，但“a ＋1＞b ”不能推出“a ＞b ”，故满足题意；“a ＞b ”不能推出“|a |＞|b |”，故选项C 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a 3＞b 3”，且“a 3＞b 3”能推出“a ＞b ”，故是充要条件，不满足题意．6．(2019·绍兴质检)已知集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(－2，0)B ．[－2，0)C ．∅D ．(－2，1)解析：选B.因为集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， 所以∁R A ＝{x |－2≤x ≤1}，集合B＝{x|x＞2或x＜0}，所以(∁R A)∩B＝{x|－2≤x＜0}＝[－2，0)，故选B.7．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是()A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线解析：选C.A.α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；C.利用线面平行的性质定理，可得C 正确；D.若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选C.8．已知f(x)＝ax2＋bx，其中－1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b ＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f(x)＝ax2＋bx，所以a＋b＞1⇔f(1)＞1.因为存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1，所以|f(x)|max＞1.因为－1≤a＜0，b＞0，所以函数f(x)的对称轴x＝－b2a＞0.计算：f(0)＝0，f(1)＝a＋b，f(－b2a)＝b2－4a＞0.f(1)＞1，所以f(－b2a)＝b2－4a＞1，反之也成立，若b2＞－4a，则b＞－4a＞1－a.所以“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的充要条件．9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.10．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列B ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列解析：选 D.c n ⊥b n ⇒c n ·b n ＝na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝0，即a n ＋1a n＝－nn ＋1；所以数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列；c n ∥b n ⇒(n ＋1)a n －na n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ；所以a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝21×32×…×nn －1＝n (n ≥2)，即a n ＝na 1.所以数列{a n }是等差数列． 11．已知A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，3}，记：A ＋B ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }，试用列举法表示A ＋B ＝________．解析：因为a ∈A ，b ∈B ， 所以当a ＝0时，a ＋b ＝－1或3， 当a ＝1时，a ＋b ＝0或4， 当a ＝2时，a ＋b ＝1或5，所以A ＋B ＝{－1，0，1，3，4，5}． 答案：{－1，0，1，3，4，5}12．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝________． 解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，又因它的解为x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．答案：{1，3}13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 114．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为________．解析：若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.答案：115．给出下列四个命题：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确命题的序号是________．解析：由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以④正确．答案：①④16．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|x<m或x>m＋3}，Q＝{x|x2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)17．(2019·杭州市七校高三联考)下列命题中正确的有________．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＝sin 2 C ，则△ABC 为直角三角形；③若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则tan A tan B >1；④若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝S n －S n －1(n >1)．解析：命题①：由数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n －a n －1＝d (n ≥2)(ⅰ)，又数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，则a n ＝qa n －1(n ≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qa n －1－a n －1＝(q －1)a n －1＝d (n ≥2)，要使(q －1)·a n －1＝d (n ≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q －1＝d ＝0，也就是q ＝1，d ＝0.所以数列{a n }为非零常数列，故不正确；命题②：由正弦定理可把sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C 转化为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，所以三角形为直角三角形，故正确； 命题③：若A 、B 是锐角三角形的两内角，则tan A >0，tan B >0，π>A ＋B >π2， 则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B<0， 得tan A ·tan B >1，故正确；命题④：若S n 为数列{a n }的前n 项和， 则此数列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2），故不正确． 故正确的命题为：②③.答案：②③。
2020高考数学(文)二轮复习：逻辑推理专练
逻辑推理专练理题是近几年高考的又一创新题型B、C中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这4道题的得分：A．1B．2C．3 D．4D[由甲得3分，则正确3个，乙得2分，则正确为2个，则1,3必为正确答案，由丙答对1个，即3正确，则4为错误，∴第4题甲答错，故选D.] 2．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说：乙是第一名．丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是()A．甲B．乙C．丙D．丁C[假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙．故选C.] 3．现有A1，A2，…，A5这5个球队进行单循环比赛(全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场)．当比赛进行到一定阶段时，统计A1，A2，A3，A4这4个球队已经赛过的场数分别为：A1队4场，A2队3场，A3队2场，A4队1场，则A5队比赛过的场数为()A．1 B．2C．3 D．4B[根据题意，A1，A2，A3，A4，A5五支球队进行单循环比赛，已知A1队赛过4场，所以A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，已知A2队赛过3场，A2队已和A1队赛过1场，则A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又知A4队只赛过一场(也就是和A1队赛过的一场)，所以A2队必须和A3、A5各赛1场，这样满足A3队赛过2场，从而推断A5队赛过2场．故选B.] 4．(2019·安阳期末)我国古代著名的数学著作有10部算书，被称为“算经十书”．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是()A．乙甲丙丁B．甲丁乙丙C．丙甲丁乙D．甲丙乙丁D[假设甲说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到：“乙比丁少”；“甲比丙少”；“丙比丁少”；“丙比乙少”，∴甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是甲丙乙丁，符合题意；假设乙说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到“丙比乙少”，不合题意；假设丙说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到“丙比丁多”，不合题意；假设丁说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到“丙比丁少”，不合题意，故选D.] 5．(2019·滨州模拟)吴老师的班上有四名体育健将张明、王亮、李阳、赵旭，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4×100米接力队，吴老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的对话：张明：我不跑第一棒和第二棒；王亮：我不跑第一棒和第四棒；李阳：我也不跑第一棒和第四棒；赵旭：如果王亮不跑第二棒，我就不跑第一棒．吴老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在吴老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是() A．张明B．王亮C．李阳D．赵旭C[很明显张明跑第三棒或第四棒．若张明跑第三棒，则由王亮不跑第一棒和第四棒可知王亮跑第二棒，而李阳不跑第一棒和第四棒，则无法安排李阳，可见张明跑第三棒不可行，则张明跑第四棒．由王亮不跑第一棒和第四棒可知王亮跑第二棒或第三棒，若王亮跑第三棒，由李阳不跑第一棒和第四棒可知李阳跑第二棒，而赵旭要求如果王亮不跑第二棒，我就不跑第一棒，则赵旭无法安排；故王亮跑第二棒，由李阳不跑第一棒和第四棒可知李阳跑第三棒，此时赵旭跑第一棒，所有人员安排完毕．跑第三棒的人是李阳．故选C.]6．高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便．某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间如下：A．①B．②C．④D．⑤C[(1)同时开放①⑤两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为200 s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为140 s，所以疏散1 000名乘客④比①快60 s.(2)同时开放①⑤两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为200 s，同时开放①②两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为120 s，所以疏散1 000名乘客②比⑤快80 s.(3)同时开放①②两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为120 s，同时开放②③两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为220 s，所以疏散1 000名乘客①比③快100 s.(4)同时开放②③两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为220 s，同时开放③④两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为160 s，所以疏散1 000名乘客④比②快60 s.(5)同时开放③④两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为160 s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为140 s，所以疏散1 000名乘客⑤比③快20 s．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④.] 7．一布袋中装有n个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是()A．若n＝9，则乙有必赢的策略B．若n＝7，则甲有必赢的策略C．若n＝6，则甲有必赢的策略D．若n＝4，则乙有必赢的策略A[(1)若乙抓1球，甲抓1球时，乙再抓3球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球；(2)若乙抓1球，甲抓2球时，乙再抓2球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球；(3)若乙抓1球，甲抓3球时，乙再抓1球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球．所以若n＝9，则乙有必赢的策略，故选A.]8．(2019·福州期末)为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课．甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求：甲：我不选太极拳和足球；乙：我不选太极拳和游泳；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳．已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是________．丙[在如下图中，用√表示该门课程被选择，用×表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙，由于乙、丙都不选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑．]9．(2019·启东模拟)54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，当手中最后只剩下一张扑克牌时，这张是最开始的扑克牌顺序中从上面数的第________张．44[第一次剩下的卡片是27张：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20， (54)第二次剩下的卡片是14张：54,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52，第三次剩下的卡片是7张：4,12,20,28,36,44,52，第四次剩下的卡片是4张：52,12,28,44，第五次剩下的卡片是2张：12,44.第六次剩下的卡片是1张：44.]10．在平面直角坐标系中，若一个多边形的顶点全是格点(横、纵坐标都是整数)，则称该多边形为格点多边形．已知△ABC是面积为8的格点三角形，其中A(0,0)，B(4,0)．在研究该三角形边界上可能的格点个数时，甲、乙、丙、丁四位同学各自给出了一个取值，分别为6,8,10,12，其中得出错误结论的同学为________．丙[设三角形的高为h，则三角形的面积S＝12×4h＝8，解得h＝4，即C的纵坐标为4，若C(4,4)或(0,4)时，则三角形边界上的格点个数为12个，如图所示，若点C(2,4)，则三角形边界上的格点个数为8个，如图所示，若C(1,4)或(3,4)时，则三角形边界上的格点个数为6个，如图所示，所以不可能是10个，所以其中得出错误结论的同学为丙．]。
2020江苏高考理科数学二轮练习：小题分类练推理论证类含解析
14．有一支队伍长L米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L米，则传令兵所走的路程为________．
答案：[－1，1]
14．解析：设传令兵的速度为v′，队伍行进速度为v，则传令兵从排尾到排头的时间为 ，从排头到排尾的时间为 ，则易得 ＋ ＝ ，化简得v′2－v2＝2v′v，得 ＝ ＋1，由于队伍与传令兵行进时间相等，故传令兵所走路程为(1＋ )L.
答案：(1＋ )L
2020江苏高考理科数学二轮练习：小题分类练推理论证类含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
小题分类练(二)推理论证类
(建议用时：50分钟)
1．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ察下列等式：
＋2＝4； ×2＝4； ＋3＝ ； ×3＝ ； ＋4＝ ； ×4＝ ；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为_______________．
猜想出一般性结论为__________．
3．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，以下是“同形”函数是________．
①f2(x)与f4(x)②f1(x)与f3(x)
因为可推出n＝1，2，3，…，根个数分别为22，23，24，…，
所以通过类比得出fn(x)＝ 有2n＋1个实数根．
2020—2021年最新高考总复习数学二轮复习推理与证明专题强化练习题.docx
第一部分一17一、选择题1．(文)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )第第第第第一二三四五列列列列列1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25…A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列[答案] D[解析]正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．(理)(2014·广州市综合测试)将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记a ij表示第i行第j列的数，若a ij＝2014，则i＋j的值为( )第1第2第3第4第5列列列列列第12 4 6 8行第216 14 12 10行第318 20 22 24行第432 30 28 26行第534 36 38 40行………………A．257 B．256C．254 D．253[答案] C[解析]依题意，注意到题中的数表中，奇数行空置第1列，偶数行空置第5列；且自左向右，奇数行的数字由小到大排列，偶数行的数字由大到小排列；2014是数列{2n}的第1007项，且1007＝4×251＋3，因此2014位于题中的数表的第252行第2列，于是有i＋j＝252＋2＝254，故选C．[方法点拨] 归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，使其具有统一的表现形式，便于观察发现其规律，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．2．(2015·广东文，6)若直线l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交[答案] D[解析]考查空间点、线、面的位置关系．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，假如l与l1、l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，与l1、l2异面矛盾，因此l至少与l1，l2中的一条相交，故选D．[方法点拨] 演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真．(2)演绎推理的一般模式——“三段论” ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 3．(文)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn )也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，则数列{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n[答案] D[解析] 通过审题观察，对比分析得到：已知等差数列{a n }前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n b n ＝S nn算术平均b n 成等差类比项等比数 列{c n }前n 项积T n ＝c 1c 2…c nd n ＝n T n 几何 平均d n 成等比故选D ．[方法点拨] 类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．进行类比推理时，要抓住类比对象之间相似的性质，如等差数列的和对应的可能是等比数列的和，更可能是等比数列的积，再结合其他要求进一步确定类比项．(理)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝n (a 1＋a n )2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，且b n >0(n∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式，即公式T n ＝( )A ．n (b 1＋b n )2B ．(b 1＋b n )n2C ．nb 1b n D ．(b 1b n )n2[答案] D[解析] 利用等比数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ，利用倒序求积方法有⎩⎪⎨⎪⎧T n ＝b 1b 2·…·b n ，T n ＝b n b n －1·…·b 1，两式相乘得T 2n＝(b 1b n )n，即T n ＝(b 1b n )n2.4．观察下图：1 2 3 4 3 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…………则第( )行的各数之和等于20112.( )A．2010 B．2009C．1006 D．1005[答案] C[解析]由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…，∴第n行各数和为(2n－1)2，令2n－1＝2011，解得n＝1006.[点评] 观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5个数，第4行从4开始有7个数，…，第n行从n开始，有2n－1个数，因此第n行各数的和为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)[n＋(3n－2)]2＝(2n－1)2.5．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A．正四面体的内切球的半径是其高的1 2B．正四面体的内切球的半径是其高的1 3C．正四面体的内切球的半径是其高的1 4D．正四面体的内切球的半径是其高的15[解析] 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14，所以应选C ．6．(文)用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 [答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．(理)①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，②已知a 、b ∈R ，|a|＋|b|<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确[解析]反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定¬p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D．[方法点拨] 1.反证法的定义一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．7．(文)在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A(0，a)、B(b,0)、C(c,0)，点P(0，p)在线段AO上(异于端点)，设a、b、c、p均为非零实数，直线BP、CP分别交AC、AB于点E、F，一同学已正确算出OE的方程：(1b －1c)x＋(1p－1a)y＝0，则OF的方程为：(________)x＋(1p －1a)y＝0.( )A．1b－1cB．1a－1bC．1c－1bD．1c－1a[答案] C[分析]观察E，F两点可以发现，E、F两点的特征类似，E是BP 与AC 的交点，F 是CP 与AB 的交点，故直线OE 与OF 的方程应具有类似的特征，而y 的系数相同，故只有x 的系数满足某种“对称性”，据此可作猜测．[解析] 方法1：类比法 E 在AC 上，OE 的方程为 (1b －1c )x ＋(1p －1a)y ＝0. F 在AB 上，它们的区别在于B 、C 互换． 因而OF 的方程应为 (1c －1b )x ＋(1p －1a )y ＝0. ∴括号内应填：1c －1b.方法2：画草图如右，由对称性可猜想填1c －1b .事实上，由截距式可得直线AB ：x b ＋ya ＝1，直线AP ：x c ＋y p ＝1，两式相减得(1c －1b )x ＋(1p －1a )y＝0，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．[方法点拨] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后仿照推导类比对象的性质．(理)在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则1h21＝1CA2＋1CB2；类比此性质，如图，在四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为( )A．1h2＝1AB2＋1AC2＋1BC2B．h2＝PA2＋PB2＋PC2C．1h3＝1AB3＋1AC3＋1BC3D．1h2＝1PA2＋1PB2＋1PC2[答案] D[解析]本题考查了合情推理的能力．连接CO并延长交AB于点D，连接PD，由已知可得PC ⊥PD ，在直角三角形PDC 中，DC ·h ＝PD ·PC ， 则PD 2＋PC 2·h ＝PD ·PC ， 所以1h 2＝PD 2＋PC 2PD 2·PC 2＝1PC 2＋1PD2. 容易知道AB ⊥平面PDC ， 所以AB ⊥PD ，在直角三角形APB 中，AB ·PD ＝PA ·PB ， 所以PA 2＋PB 2·PD ＝PA ·PB ，1PD 2＝PA 2＋PB 2PA 2·PB 2＝1PA 2＋1PB 2，故1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2.(也可以由等体积法得到)．[点评] 上述解答完整的给出了结论1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2的证明过程，如果注意到所给结论是一个真命题，可直接用作条件，则在Rt△PAB中，有1PD2＝1PA2＋1PB2，在Rt△PDC中，有1h2＝1PD2＋1PC2，即可得出结论．8．(文)正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A．10232048a2B．1023768a2C．5111024a2D．20474096a2[答案] A[解析]由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a21＝(12a)2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝(24a)2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2[1－(12)10]1－12＝1023a22048. (理)对于大于1的自然数m 的三次幂可以用技术进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧35，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7911，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…，仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m ＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] B[解析] 由23,33,43的“分裂”规律可知m 3的分裂共有m 项，它们都是连续的奇数，其第一个奇数为(m －2)(m ＋1)＋3，当m ＝8时，第一个奇数为57，故m ＝8，此时83＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71.二、填空题9．(文)(2015·南昌市二模)观察下面数表： 1， 3,5， 7,9,11,13，15,17,19,21,23,25,27,29.设1027是该表第m 行的第n 个数，则m ＋n 等于________． [答案] 13[解析] 由数表知第P 行最后一个数为第S P 个奇数，其中S P＝1＋2＋22＋…＋2P －1＝2P －1，易得第9行最后一个奇数为2(29－1)－1＝1021，故1027为第10行的第3个数，∴m ＋n ＝13.(理)(2015·河南八市质量监测)已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，…，照此规律，总结出第n(n ∈N *)个不等式为________．[答案] 1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1(n ∈N *) [解析] 由于1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，所以可以写为1＋122<2×2－12，1＋122＋132<2×3－13，1＋122＋132＋142<2×4－14，照此规律，所以第n 个不等式为1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1.10．(文)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋ba＝92×ba(a、b为正整数)，则a＋b＝________.[答案]89[解析]观察前三式的特点可知，3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1，故其一般规律为n＋nn2－1＝n2×nn2－1，此式显然对任意n∈N，n≥2都成立，故当n＝9时，此式为9＋980＝81×980，∴a＝80，b＝9，a＋b＝89.(理)观察下列等式12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．[答案]12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·n(n＋1)2(n∈N*)[解析]观察上述各式等号左边的规律发现，左边的项数每次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3，…，n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(－1)n ＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n (n ＋1)2，所以第n 个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2(n ∈N *)．三、解答题11．(文)(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E.求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.[分析] 考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理． (1)由三棱锥性质知侧面BB 1C 1C 为平行四边形，因此点E 为B 1C 的中点，从而由三角形中位线性质得DE ∥AC ，再由线面平行的判定定理得DE ∥平面AA 1C 1C ；(2)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中BC ＝CC 1，所以侧面BB 1C 1C 为正方形，因此BC 1⊥B 1C ，又AC ⊥BC ，AC ⊥CC 1(可由直三棱柱推导)，因此由线面垂直的判定定理得AC ⊥平面BB 1C 1C ，从而AC ⊥BC 1，再由线面垂直的判定定理得BC 1⊥平面AB 1C ，进而可得BC 1⊥AB 1.[证明] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC ．又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE∥平面AA1C1C．(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC ∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC．因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC．又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.(理)(2015·商丘市二模)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，∠BCD＝120°，AB＝PC＝2，AP＝BP＝ 2.(1)求证：AB⊥PC；(2)求二面角B－PC－D的余弦值．[解析](1)证明：取AB的中点O，连接PO，CO，AC．∵AP＝BP，∴PO⊥AB．又四边形ABCD是菱形，且∠BCD＝120°，∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB．又CO ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面PCO ， 又PC ⊂平面PCO ，∴AB ⊥PC ．(2)由AB ＝PC ＝2，AP ＝BP ＝2，易求得PO ＝1，OC ＝3， ∴OP 2＋OC 2＝PC 2，OP ⊥OC ．以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，则B(0,1,0)，C(3，0,0)，P(0,0,1)，D(3，－2,0)，∴BC→＝(3，－1,0)，PC →＝(3，0，－1)，DC →＝(0,2,0)． 设平面DCP 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z)，则n 1⊥PC →，n 1⊥DC→， ∴⎩⎨⎧n 1·PC →＝3－z ＝0n 1·DC →＝2y ＝0，∴z ＝3，y ＝0，∴n 1＝(1,0，3)．设平面BCP 的一个法向量为n 2＝(1，b ，c)，则n 2⊥PC →，n 2⊥BC→， ∴⎩⎨⎧n 2·PC →＝3－c ＝0n 2·BC →＝3－b ＝0，∴c ＝3，b ＝3，∴n 2＝(1，3，3)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝42×7＝277，∵二面角B －PC －D 为钝角，∴二面角B －PC －D 的余弦值为－277.12．(文)(2015·昆明质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)＋1.(1)证明：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋1n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 的前n 项和为S n ，证明：S n <n2n ＋1.[解析](1)∵⎝⎛⎭⎪⎪⎫a n ＋1＋1n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a n ＋1n ＝a n ＋1n (n ＋1)＋1＋1n ＋1－a n －1n＝1n (n ＋1)－1n (n ＋1)＋1＝1. ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋1n 是公差为1的等差数列．又a 1＋1＝1，故a n ＋1n ＝n.即数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n .(2)由(1)知a n ＝n －1n ，则a n n ＝1－1n2，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 的前n 项和S n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫112＋122＋…＋1n 2 ∵1n 2>1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫112＋122＋…＋1n 2<n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1＝n －1＋1n ＋1＝n 2n ＋1.∴对∀n ∈N *，S n <n 2n ＋1成立．(理)(2015·湖南文，19)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .[分析] (1)依据已知等式利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)用构造法求解，然后验证当n ＝1时，命题成立即可； (2)利用(1)中的结论先求出数列{a n }的通项公式，然后通过求解数列{a n }的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式．[解析] (1)由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，(n ∈N *)，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3，(n ∈N *)，两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，(n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3，于是数列{a 2n －1}是首项 a 1＝1，公比为3的等比数列，数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，所以a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1，于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(3n－1)2从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n－1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)，综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32(5×3n －22－1)，(n ＝2k ＋1，k ∈N *)32(3n2－1)，(n ＝2k ，k ∈N *).[方法点拨] 直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．13．(文)(2015·邯郸市二模)设函数f(x)＝lnx －a(x －2)，g(x)＝e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)过原点分别作曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)的切线l 1，l 2，且l 1，l 2的斜率互为倒数，试证明：a ＝0或12－1e <a<1－1e.(附：ln2＝0.693)．[解析] (1)f ′(x)＝1x －a ＝1－axx(x>0)①当a ≤0时，对一切x>0，恒有f ′(x)>0，f(x)的单增区间为(0，＋∞)；②当a>0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1a 时，f ′(x)>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x)<0. ∴f(x)的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ，＋∞. (2)设过原点与函数f(x)，g(x)相切的直线分别为l 1：y ＝k 1x ，l 2：y ＝k 2x ，切点分别为A(x 1，lnx 1－ax 1＋2a)，B(x 2，ex 2)，∵g′(x)＝e x，∴k2＝ex2＝ex2x2，∴x2＝1，k2＝e，∴k1＝1e又f′(x)＝1x－a，∴k1＝1x1－a＝lnx1－ax1＋2ax1＝1e，得a＝1x1－1e，并将它代入lnx1－ax1＋2ax1＝1e中，可得lnx1－1＋2x1－2e＝0设h(x)＝lnx－1＋2x－2e，则h′(x)＝1x－2x2＝x－2x2∴h(x)在(0,2]上单减，在(2，＋∞)上单增若x1∈(0,2]，∵h(1)＝1－2e >0，h(2)＝ln2－2e≈0.693－2e<0，∴x1∈(1,2)而a＝1x1－1e在x1∈(1,2)上单减，∴12－1e<a<1－1e，若x1∈(2，＋∞)，h(x)在(2，＋∞)上单增，且h(e)＝0，即x1＝e，得a＝0，综上所述：a＝0或12－1e<a<1－1e.(理)(2015·安徽理，18)设n∈N*，x n是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{x n}的通项公式；(2)记T n＝x21x23…x22n－1，证明：T n≥1 4n.[分析] 考查1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式；4.考查运算求解能力和推理论证能力，分析和解决问题的能力．解答本题(1)可利用导数的几何意义求解，(2)根据数列的通项公式用放缩法证明不等式．[解析] (1)y ′＝(x2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2.从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0.解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.(2)由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1 ＝(12)2(34)2…(2n －12n )2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝(2n －12n )2＝(2n －1)2(2n )2>(2n －1)2－1(2n )2＝n －1n ，所以T n >(12)2×12×23×…×n －1n ＝14n. 综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.14．(2015·新课标Ⅱ文，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解析] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b(k ≠0，b ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x M ，y M )，把y ＝kx ＋b 代入x 28＋y24＝1得，(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝kx M ＋b ＝b2k 2＋1，于是直线OM的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12，所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．15．(文)已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F(1,0)为定点，且满足PN →＋12NM →＝0，PM →·PF →＝0.(1)求动点N 的轨迹E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A 、B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得|CA|2＋|CB|2＝|AB|2成立，请说明理由．[解析] (1)设N(x ，y)，则由PN →＋12NM →＝0，得P 为MN 的中点．∴P(0，y2)，M(－x,0)．∴PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(1，－y 2)． ∴PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x. ∴动点N 的轨迹E 的方程为y 2＝4x. (2)设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x消去x 得y 2－4ky －4＝0.设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.假设存在点C(m,0)满足条件，则CA →＝(x 1－m ，y 1)， CB→＝(x 2－m ，y 2)， ∴CA→·CB →＝x 1x 2－m(x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2 ＝(y 1y 24)2－m(y 21＋y 224)＋m 2－4＝－m 4[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋m 2－3＝m 2－m(4k2＋2)－3＝0.∵Δ＝(4k2＋2)2＋12>0，∴关于m 的方程m 2－m(4k2＋2)－3＝0有解．∴假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得|CA|2＋|CB|2＝|AB|2成立．[方法点拨] 1.在证明问题时，我们可以使用分析法，寻找解决问题的突破口，然后用综合法写出证明过程，有时分析法与综合法交替使用．2．有些命题和不等式，从正面证如果不好证，可以考虑反证法．凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法．即“正难则反”．反证法的步骤是：(1)假设：作出与命题结论相反的假设；(2)归谬：在假设的基础上，经过合理的推理，导出矛盾的结果；(3)结论：肯定原命题的正确性．(理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r(b>0且b ≠1，b 、r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．[解析] (1)由题意：S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r.所以a n ＝S n －S n －1＝bn －1(b －1)，由于b>0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b(b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明：由于b ＝2，则根据(1)得a n ＝2n －1，因此b n ＝2n(n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k(k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本值不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．[方法点拨] 1.与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明．2．数学归纳法的主要步骤(1)归纳奠基证明当n取第一个值n0(例如n0＝1或2等)时结论正确；(2)归纳递推假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时结论正确(归纳假设)，证明当n ＝k＋1时结论也正确．综合(1)(2)知，对任何n∈N*，命题均正确．在用数学归纳法证题中，从n＝k到n＝k＋1时一定要用到归纳假设，可以对n＝k＋1时的情况进行适当变换，突出归纳假设，这是证题的关键．3．归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是其正确性需要通过证明来验证．一般情况下，有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由不完全归纳法得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想．。
2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版课件：1.6 逻辑推理小题专项练
D
解析 -14-
答案
一、选择题 二、填空题
13.某公司招聘员工,有甲、乙、丙三人应聘并进行面试,结果只有
一人被录用,当三人被问到谁被录用时,甲说:丙没有被录用;乙说:我
被录用;丙说:甲说的是真话.事实证明,三人中只有一人说的是假话,
那么被录用的人是
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如果甲说假话,则丙被录用,那么乙也说假话了,与题设矛盾;
两位同学的说法中( )
A.甲对乙不对 B.乙对甲不对
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C选.出甲每乙列都标对号最小D的.甲卡乙片都,将不这对些卡片中标号最大的数设为a;选出每行标
号最大的卡片,将这些卡片中标号最小的数设为b.∴a≤b,甲同学认为a有
可能比b大错误,乙同学认为a和b有可能相等,正确.故选B.
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B
解-析7-
答案
一、选择题 二、填空题
个人中有一个人做对了,有一个说对了.”请问他们三个人中做对了
的是
.
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若甲做对了,则甲、乙说错了,丙说对了,符合题意;若乙做对了,则乙说错
了,甲、丙说对了,不符合题意;若丙做对了,则丙说错了,甲、乙说对了,不
符合题意;因此做对了的是甲.
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李他阳们跑的第所二有棒要,而求赵,据旭此要求我如们果可王以亮断不定跑,在第吴二棒老,师我就安不排跑的第出一场棒顺,则序赵中旭,
无跑法第安三排棒;故的王人亮是跑(第二棒) ,由李阳不跑第一棒和第四棒可知李阳跑第三棒, 关闭
此AC.时张赵明旭跑B.第王一亮棒C,.所李有阳人员安D排.赵完旭毕.跑第三棒的人是李阳.故选C.
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C
解析 -10-
答案
一、选择题 二、填空题
9.在一次国际学术会议上,来自四个国家的五位代表被安排坐在一
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逻辑推理专练
有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这4道题的得分：
A．1 B．2
C．3 D．4
D[由甲得3分，则正确3个，乙得2分，则正确为2个，则1,3必为正确答案，由丙答对1个，即3正确，则4为错误，∴第4题甲答错，故选D.]
2．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说：乙是第一名．丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是( )
A．甲B．乙
C．丙D．丁
C[假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；
假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；
假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；
假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙．故选C.]
3．现有A1，A2，…，A5这5个球队进行单循环比赛(全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场)．当比赛进行到一定阶段时，统计A1，A2，A3，A4这4个球队已经赛过的场数分别为：A1队4场，A2队3场，A3队2场，A4队1场，则A5队比赛过的场数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B[根据题意，A1，A2，A3，A4，A5五支球队进行单循环比赛，已知A1队赛过4场，所以A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，已知A2队赛过3场，A2队已和A1队赛过1场，则A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又知A4队只赛过一场(也就是和A1队赛过的一场)，所以A2队必须和A3、A5各赛1场，这样满足A3队赛过2场，从而推断A5队赛过2场．故选B.] 4．(2019·安阳期末)我国古代著名的数学著作有10部算书，被称为“算经十书”．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( )
A．乙甲丙丁B．甲丁乙丙
C．丙甲丁乙D．甲丙乙丁
D[假设甲说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到：“乙比丁少”；“甲比丙少”；“丙比丁少”；“丙比乙少”，∴甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是甲丙乙丁，符合题意；假设乙说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到“丙比乙少”，不合题意；假设丙说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到“丙比丁多”，不合题意；假设丁说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到“丙比丁少”，不合题意，故选D.]
5．(2019·滨州模拟)吴老师的班上有四名体育健将张明、王亮、李阳、赵旭，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4×100米接力队，吴老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的对话：
张明：我不跑第一棒和第二棒；
王亮：我不跑第一棒和第四棒；
李阳：我也不跑第一棒和第四棒；
赵旭：如果王亮不跑第二棒，我就不跑第一棒．
吴老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在吴老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是( )
A．张明B．王亮
C．李阳D．赵旭
C[很明显张明跑第三棒或第四棒．
若张明跑第三棒，则由王亮不跑第一棒和第四棒可知王亮跑第二棒，而李阳不跑第一棒和第四棒，则无法安排李阳，可见张明跑第三棒不可行，则张明跑第四棒．
由王亮不跑第一棒和第四棒可知王亮跑第二棒或第三棒，若王亮跑第三棒，由李阳不跑第一棒和第四棒可知李阳跑第二棒，而赵旭要求如果王亮不跑第二棒，我就不跑第一棒，则赵旭无法安排；故王亮跑第二棒，由李阳不跑第一棒和第四棒可知李阳跑第三棒，此时赵旭跑第一棒，所有人员安排完毕．跑第三棒的人是李阳．故选C.]
6．高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便．某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间如下：
A．① B．②
C．④ D．⑤
C[(1)同时开放①⑤两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为200 s，同时开放
④⑤两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为140 s，所以疏散1 000名乘客④比①快
60 s.
(2)同时开放①⑤两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为200 s，同时开放①②两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为120 s，所以疏散1 000名乘客②比⑤快80 s.
(3)同时开放①②两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为120 s，同时开放②③两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为220 s，所以疏散1 000名乘客①比③快100 s.
(4)同时开放②③两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为220 s，同时开放③④两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为160 s，所以疏散1 000名乘客④比②快60 s.
(5)同时开放③④两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为160 s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间为140 s，所以疏散1 000名乘客⑤比③快20 s．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④.]
7．一布袋中装有n个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是( ) A．若n＝9，则乙有必赢的策略
B．若n＝7，则甲有必赢的策略
C．若n＝6，则甲有必赢的策略
D．若n＝4，则乙有必赢的策略
A[(1)若乙抓1球，甲抓1球时，乙再抓3球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球；(2)若乙抓1球，甲抓2球时，乙再抓2球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球；(3)若乙抓1球，甲抓3球时，乙
再抓1球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球．所以若n ＝9，则乙有必赢的策略，故选A.]
8．(2019·福州期末)为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课．甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求：
甲：我不选太极拳和足球；
乙：我不选太极拳和游泳；
丙：我的要求和乙一样；
丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳．
已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是________．
丙[在如下图中，用√表示该门课程被选择，用×表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，
丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙，
由于乙、丙都不选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑．]
9．(2019·启东模拟)54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，当手中最后只剩下一张扑克牌时，这张是最开始的扑克牌顺序中从上面数的第________张．
44[第一次剩下的卡片是27张：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20， (54)
第二次剩下的卡片是14张：54,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52，
第三次剩下的卡片是7张：4,12,20,28,36,44,52，
第四次剩下的卡片是4张：52,12,28,44，
第五次剩下的卡片是2张：12,44.
第六次剩下的卡片是1张：44.]
10．在平面直角坐标系中，若一个多边形的顶点全是格点(横、纵坐标都是整数)，则称该多边形为格点多边形．已知△ABC是面积为8的格点三角形，其中A(0,0)，B(4,0)．在研究该三角形边界上可能的格点个数时，甲、乙、丙、丁四位同学各自给出了一个取值，分别为6,8,10,12，其中得出错误结论的同学为________．
丙 [设三角形的高为h ，则三角形的面积
S ＝12
×4h ＝8，解得h ＝4，即C 的纵坐标为4，
若C (4,4)或(0,4)时，则三角形边界上的格点个数为12个，如图所示，
若点C (2,4)，则三角形边界上的格点个数为8个，如图所示，
若C (1,4)或(3,4)时，则三角形边界上的格点个数为6个，如图所示，
所以不可能是10个，所以其中得出错误结论的同学为丙．]。