【推荐必做】九年级数学上册 专题突破讲练 三招教你求阴影面积试卷 (新版)青岛版

三招教你求阴影面积在近年的中考或各类数学竞赛中，频频出现求阴影面积的题目，而其阴影部分图形大多又是不规则的，部分同学乍遇这类题目则显得不知所措．求不规则图形面积主要是通过转化，将不规则图形转化为规则的图形，再进行计算． 以下三招可以助你一臂之力！第一招：直接法将不规则图形直接转化为规则的图形的求和或求差，先求出涉及适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．这是求面积的常用方法．不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，其中： 1. 扇形的定义：如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形．2. 扇形面积公式：若设⊙O 半径为R ，则圆心角为n°的扇形的面积公式为：2360n R S π=扇形 又因为n °的圆心角所对的弧长为：180n R π，所以21=3602n R S lR π=扇形． 说明：公式中n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；例如：如图，扇形AOB 的圆心角为直角，若OA ＝4cm ，以AB 为直径作半圆，求阴影部分的面积．解析：图中阴影部分面积为：以AB 为直径的半圆面积减去弓形AmB 面积；而弓形面积等于扇形AOB 面积减去△AOB 面积．解：∵OA ＝4cm ，∠O＝90°，OB ＝4cm ，∴ππ4360490S 2AOB=⨯=扇形（cm 2），又)cm (24AB =，所以)cm (4222S 22ππ=⋅=）（半圆，而22A O B cm )84(S ),cm (8S -==∆π弓形所以， 故28cm 8)4(4S S S =--=-=ππ弓形半圆阴．第二招：割补法1. 把阴影部分的图形通过割补，拼成规则图形，然后再求面积． 例如：如图（1），在以AB 为直径的半圆上，过点B 做半圆的切线BC ，已知AB=BC=a ， 连结AC ，交半圆于D ，则阴影部分图形的面积是______．解析：图中两块阴影部分图形都是不规则图形，但因AD DB S S =弓形弓形，所以可进行割补转化．解：连接DB ，因为AB=BC ， BD AC ⊥，如图（2），所以 AD=DB=DC ，所以AD DB S S =弓形弓形 把弓形AD 割补到弓形DB 处，则图（1）中阴影部分图形的面积等于图（2）中Rt△BDC 的面积． 因此2111224S a a a =⋅=阴． 2. 当阴影部分图形为分散的个体时，可针对其结构特征，视各阴影部分图形为一个整体，然后利用相关图形的面积公式整体求出．例如：如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E 相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？解析：由题意知，五个扇形（阴影部分）的半径都是1，是等圆，可把五个扇形割补到同一个圆中．解：因为，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°所以2540133602S ππ⨯⨯==阴．第三招：等积变形把所求阴影部分的图形适当进行等积变形，即是找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分图形的面积．例如：如图，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，弦BC∥OA，连结AC ，求图中阴影部分的面积．解析：图中阴影部分可看作弓形BC 面积与三角形ABC 面积的和，而△ABC 不是Rt△，所以考虑借助OA∥BC 将△ABC 移形，连接OC 、OB ，则S △OCB ＝S △ACB ．则阴影部分面积为扇形AOB 面积．解：连接OB 、OC ，如图，因为BC∥OA，所以△ABC 与△OBC 在BC 上的高相等，所以OBC ABC S S ∆∆=，所以扇形阴S S =，又∵AB 是⊙O 的切线，所以OB⊥AB，而OB ＝2，OA ＝4，所以∠AOB ＝60°，由BC∥OA 得∠OBC＝60°，所以△OBC 为等边三角形，∠BOC＝60°，S BOC扇形×=2=60360232ππ．例题 如图，AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1、O 2、O 3、O 4分别OA 、OB 、OC 、OD 的中点，若⊙O 的半径是2，则阴影部分的面积为（ ）A. 8B. 4C. 4π+4D. 4π－4解析：如图将AD、DB、BC、CA、OE、O3E连接起来，得到一个对角线为4的正方形，由割补法：将每个小圆外面两个弓形图形放进正方形空白处，阴影面积正好是正方形面积．解：连接AD，DB，BC，CA，1=4482ABCDS S=⨯⨯=阴影面积．故选A．答案：A点拨：求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常可通过变换等，把不规则图形转化为规则的图形，使复杂问题简单化，这种解题方法也体现了整体思想、转化思想．割补法是转化法的一种．求旋转问题中的阴影面积满分训练（江苏中考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝2cm，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C的位置，则线段AB扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm2．解析：阴影部分的图形是不规则的图形，求面积时应想到利用图形的割补或利用特殊图形的面积的和或差来求．解：∵∠BAC＝90°，∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝52＋22＝29．∴S 阴影＝S 扇形BCB1＋S △A1B1C －S △ABC －S扇形ACA1 ．∵△ABC 旋转得到△A 1B 1C ，∴S △ABC ＝S △A1B1C ，∴S 阴影＝S 扇形BCB1－S 扇形ACA1＝4529360π－2452360π＝258π（cm 2），故答案为258π． 答案：258π 点拨：扇形面积的计算公式：S ＝2360n R π，S ＝12lR ，求阴影面积（或不规则图形面积）时常用图形割补的方法（图形变换），或用几个特殊图形的面积的和或差来求．利用旋转变换将所求面积转化为两个扇形的面积之差是解题关键。

（答题时间：30分钟）1. （德州中考）如图，扇形AOB 的半径为1，，以AB 为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为（ ）A.4121C.21 D. 41212. 如图，点E 是BC 的中点，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，∠BED ＝120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）*3. 如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt△ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ． B ，E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为32π，则图中阴影部分的面积为（ ） A.9π B. 93πC. 23233π-D. 32233π-*4. 在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB 、AC 为直径作半圆，过点B 、A 、C 作弧BAC ，如图所示，若AB=4，AC=2，124S S π-=，则S 3－S 4的值是（ ）A.429π B. 423π C. 411π D. 45π5. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等⊙A、⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ．6. 如图，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A′BC ′的位置，且点A ′、C ′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是 （π≈3．14，结果精确到0．1）*7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝2． 将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B 、A 、C′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为 ．8. 如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 ．（结果保留）**9. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 经过点C ，AD⊥EF 于点D ，∠DAC=∠BAC．（1）求证EF 是⊙O 的切线；（2）求证AC 2=AD·AB（3）若⊙O 的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．DEFC10. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，E 为BC 上的一点，以CE 为直径作⊙O，AB与⊙O 相切于点D ，连接CD ，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；⑵求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．**11. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D ，AD 交⊙O 于E ，连接CE ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若E 是AC 的中点，⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．**12. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、DC 为弦，∠ACD=60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD=30° （1）求证：DP 是⊙O 的切线；⑵若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．P13.如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）直线折叠，若⌒BC恰好过圆心O1. C 解析：因为扇形AOB 的半径为1，，所以AB=2，△AOB 的面积为21，扇形AOB 的面积为436090ππ=，所以弓形的面积为21-4π，又因为半圆的面积为4π，所以阴影部分的面积为：4π－（21-4π）=21．故选C ．2. C 解析：连接AE 、OD ，∵AB 是直径，∴AE⊥BC．∵点E 是BC 的中点，∴AB=AC．在△AEB 与△AEC 中，AE=AE ，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE ，∴Rt△AEB≌Rt△AEC，∴AB=AC （SAS ）∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BED=120°，∴∠BAD=60°（圆内接四边形的对角互补），∴△ABC 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．∵OA=OD，∴△OAD 是等边三角形，∴AD=OA=2，∴点D 是AC 的中点，∴DE=2（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），∵∠BAE=30°，∴BE=21AB=2，∴DE=BE，∴BE S 弓形=DE S 弓形，∴阴影S =CDE S △．又∵DE是△ABC的中位线，∴△CDE是边长为2的等边三角形，∴阴影S =CDE S △=2243⨯=3． 故选C ． 3. D 解析：如下图所示：连接OB 、OE 、BE 、BD ．设半圆的半径为R ．AD∵B、E 是半圆弧的三等分点，∴∠DOB＝∠BOE＝∠EOA＝60°．∵弧BE 的长为32π，∴3218060ππ=∙R ，解得R ＝2．∴S 扇形OBE ＝lR 21＝21×32π×2＝32π． ∵AD 是半圆O 的直径，∴∠ABD＝90°．在Rt△ABD 中，∠BAD＝21∠DOB＝30°， ∴AB＝AD·cos∠BAD＝4×23＝32．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝21∠BOE＝30°，∴BC ＝21AB ＝3，AC ＝AB·cos∠BAC ＝32×23＝3．∴S △ABC ＝21AC·BC ＝21×3×3＝233．∵OB＝OE ，∠BOE＝60°，∴△BOE 是等边三角形， ∴∠BEO＝60°＝∠EOA，∴BE∥AD，∴S △ABE ＝S △OBE ，∴S 阴影＝S △ABC －S △ABE －S 弓形OBE ＝S △ABC －S △OBE －S 弓形OBE ＝S △ABC －S 扇形OBE＝32233π-． 故选D ． 4. D 解析：∵S 1+S 3=18πAB 2=2π ①，S 2+S 4=18πAC 2=12π ②，∴①－②得：（S 1－S 2）+（S 3－S 4）=32π，∵124S S π-=， ∴S 3－S 4=32π－4π=54π．故选D ．5. π425解析：∵∠C=90°，AC=8，BC=6∴AB=10∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°，由等圆可知⊙A、⊙B 的半径为5，根据扇形的面积计算公式，可得阴影部分的面积等于 ︒∠36052πA +︒∠36052πB =︒∠+∠3605)(2πB A =︒︒3605902π=π4256. 7.2中阴影部分的面积＝扇形的面积－直角三角形的面积＝290360π⨯⨯－12×2×3＝14π×13－3≈14×3．14×13－3＝10．205－3≈7．2． 7. 512π解析：A B CAB C BABC A CS S S S S ''''∆∆=+--阴影扇形扇形＝BAB CAC S S ''-扇形扇形＝221502360π⎡⎤-⎣⎦＝512π．8.83π解析：图中三块阴影部分都是扇形，且半径相等，由平行线内错角相等和正方形的对角线的性质可知，三个扇形的圆心角的度数之和为︒513，所以，图中阴影部分面积的和为3601135⋅⋅π=83π．9. 解析：⑴证明：连接OC ，DEFC∵AD⊥EF ，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵OC=OA ，∴∠ACO=∠CAO ，∵∠DAC=∠BAC，∴∠CAD=∠ACO，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD+∠ACO =90°即∠OCD=90°，∴EF 是⊙O 的切线.⑵证明：连接BC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°．①∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠AOC=180°－2∠A CO ，即12∠AOC+∠ACO=90°．②，由①②得：∠ACD－12∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD， ∵AB 是直径，∴∠ACB=∠ADC=90°．在Rt△ACD 与△RtACB 中，∵∠B=∠ACD∠ACB=∠ADC，∴△ACD∽△ABC，∴AC AD AB AC=，即AC 2=AB·AD． ⑶∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD=90°， 即∠ACD+∠ACO=90°，∵∠ACD=30°，∴∠OCA=60°，∵OC=OA，∴△ACO 是等边三角形，∴AC= OC=2，∠AOC=60°，在Rt△ADC 中，∵∠ACD=30°，∴AD=1，CD=，S阴影= S梯形OCDA－ S扇形OCA =216022(12)23603ππ⋅⋅+=-． 10. 解析：（1）证明：连接OD ．∵AB 与⊙O 相切于点D ，∴∠ODB=90°，∴∠B+∠DOB=90°， ∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DOB， ∵OC=OD ，∴∠DOB=2∠DCB，∴∠A=2∠DCB;（2）在Rt△ODB 中，∵OD=OE，OE=BE ，∴cos∠B=OB OD =21，∴∠DOB=60°．∵BD=OB·sin60°=23．∴S 扇形OD E =360602OD ⋅π=32π，S 阴影=S △DOB －S 扇形ODE =23－32π．11. 解析：（1）CD 与圆O 相切，理由为：∵AC 为∠DAB 的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD 与圆O 相切； （2）连接EB ，由AB 为直径，得到∠AEB=90°，∴EB∥CD，F 为EB 的中点，∴OF 为△ABE 的中位线，∴OF=21AE=21，即CF=DE=21，在Rt△OBF 中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=23，则S 阴影=S △DEC =21×21×23=83． 12. 解析：⑴连接OD 、DB ，P∵∠ACD=60°∴∠ABD=60°．又∵OB=OD，∴△OBD 为等边三角形，∴∠BOD=60°． 又∵∠APD=30°，∴∠ODP=90°，∴OD⊥DP，又∵点D 在⊙O 上，∴DP 是⊙O 的切线． ⑵由⑴知△ODP 为Rt△，∠APD=30°，∴tan30°=3OD DP DP=，∴DP= ∴S 阴影=S △ODP -S 扇形=21OD•DP－3602R n π=21×3×3603··602π=239-23π32πcm ． 13. 83π 解析：如下图，连接OC ，过点O 作OG⊥BC 于点G ，交半圆周于点D ．易知直线BC 、OD 是两条弧BOC 与BDC 所围成的图形的对称轴，故OG ＝12OC ，从而∠OCG ＝30°，∠COG＝∠GOB＝60°，∠AOC＝60°．由对称性易知，弧OFB 与半径OB 组成的弓形面积等于弧OEC 与半径OC 组成的弓形面积，因此，S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝2604360π⋅＝83π．最新人教部编版文档。