1第一章概率论基础
概率论基础知识
对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X＝a}＝0。事实上0≤P{X＝a}≤P{a－△x＜X≤a}＝F(a)－F(a－△x).P{a＜X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a＜X＜b}.
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
第一章 概率论的基本概念
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
P{X＞s＋t|X＞s}＝P{X＞t}
3.正态分布(高斯分布)[X～N(μ,σ2)]：
正态分布性质：
①曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有P{μ－h＜X≤μ}＝P{μ＜X≤μ＋h }.
②当x＝μ时取到最大值 ，x离μ越远，f(x)的值越小。
③在x＝μ±σ处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
标准正态分布：μ＝0，σ＝1.其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有：
②若n个事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
第1章 概率论基础知识
1.1.2 条件概率与概率乘法公式
1 条件概率
例 1.1.1 一个包装箱里有6件产品。假设其中有4件是一级品， 2件为二级品。若随机实验E是“从包装箱中随机抽取1件产 品”，则明显地，抽到二级品的概率是1/3。 若事件A是“第一次抽取并抽到二级品”，事件B是“第二 次抽取并抽到二级品”，那么在事件A发生的条件下，再从 剩下的5件产品中抽取1件，事件B发生即“第二次抽到二级 品”的概率就是1/5。 我们称这样的概率为“事件A发生的条件下，事件B发生的 概率”，简称为“事件B的条件概率”，记为P{B|A}. 本例中P{B|A}=1/5。
2 基本事件
一次随机实验的可能结果，称为基本事件或基本随机事件。
3 样本空间
所有基本事件组成的集合，称为样本空间或基本空间。
4 随机事件
随机事件简称事件，是指基本事件的集合。
5 相容事件与不相容事件
在一次随机实验中不可能同时发生的事件，称为不相容事件， 反之称为相容事件。
6.概率（Probability）
为对比条件概率与非条件概率的区别，现在来看上例中P(B) 等于多少？ 由于B指的是“第二次抽到二级品” 的事件，而这时A可能发 生，也可能不发生（即A的对立事件Ac发生）。这样事件B就 可以表示成：B=AB+AcB。注意到AB与AcB是互不相容的。 因此 2 1 4 2 1 c P( B) P( AB ) P( A B) 6 5 6 5 3 注意到事件A的概率也是P(A)=1/3. 于是有如下的表达式：
P{B | A} P( AB) P{ A | B}P( B) P( A) P( B) P( B) P( A) P( A) P( A)
2. 相互独立事件的概率乘法公式
概率论基础
第1章概率论基础＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝本章将复习与总结概率论的基本知识也扩充一些新知识点，比如：1）利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的概率密度函数，2）随机变量的条件数学期望3）特征函数4）瑞利与莱斯分布5）随机变量的基本实验方法＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝1.1概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3随机变量的函数1.4数字特征与条件数学期望121.5特征函数1.6典型分布1.7随机变量的仿真与实验＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝1.1概率公理与随机变量此句作为后面每页ppt的标题＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝随机试验（Random Experiment）：对随机现象做出的观察与科学实验。
样本空间（Sample space）：随机试验所有的基本可能结果构成的集合称Ω。
Ω的元素为样本点（Sample point）。
事件（Event）是试验中“人们感兴趣的结果”构成的集合，是Ω的子集。
各种不同的事件的总体构成一个事件集合，称为事件域F。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝事件是随机的。
赋予事件一个出现可能性的度量值，称为概率（Probability ）。
“可能性的度量值”是 “宏观”意义下（即大数量的情形下）的比例值，由相对频率（Relative frequency ）来计算，()AA n P A n ≈=试验中出现的次数总试验次数 （n 很大）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝概率公理： 任何事件A 的概率满足：（1） 非负性：任取事件A ，()0P A ≥ （2） 归一性：()=1P Ω（3） 可加性：若事件,A B 互斥，即，A B ⋂=∅，则，()()()=P A B P A P B ⋃+＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件概率的基本性质：（1） ()=0P ∅ （2） ()01P A ≤≤（3） ()()P A P B ≤，如果A B ⊆ （4） ()()()P AB P A P A B ≤≤⋃＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 条件事件：A B B A =事件发生条件下的事件 条件概率（Conditional probability ），()()()P AB P B A P A =， ()0P A >＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件A 与B 独立（Independent ）等价地定义为()()()P AB P A P B =多个事件12,,,n A A A 彼此独立，()()()()1212m m k k k k k k P A A A P A P A P A =＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件的最基本运算：（参见教材）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝例1.1 分析掷均匀硬币问题。
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
概率论与数理统计基础知识
从集合的角度看
B
A
事件是由某些样本点所构成的一个集合．一个事件发 生，当且仅当属于该事件的样本点之一出现．由此可 见，样本空间Ω作为一个事件是必然事件，空集Ø作 为一个事件是不可能事件，仅含一个样本点的事件称 为基本事件．
2. 几点说明
⑴ 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C,
基本事件 实例
由一个样本点组成的单点集.
“出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件. 必然事件的对立面是不可能事件,不可能事 件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
将下列事件均表示为样本空间的子集. (1) 试验 E2 中(将一枚硬币连抛三次，考虑正反 面出现的情况),随机事件: A＝“至少出现一个正面” B=“三 次出现同一面” C=“恰好出现一次正面” (2) 试验 E6 中(在一批灯泡中任取一只，测试其 寿命),D＝“灯泡寿命不超过1000小时”
(1)由S2= {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH,TTT}； 故: A＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH}； B={HHH,TTT} C={HTT，THT，TTH} (2) D＝{x: x<1000(小时）}。
第1章概率论基础2.
一般地，条件概率与无条件概率之间的大小无确定的关系
1.2基本概念
全概率公式与贝叶斯（Bayes） 公式 已知
B
i 1
n i 1
n
i
; Bi B j
B1
AB1
AB2 A
ABn Bn
A ABi ; ( ABi )( AB j )
B
2
n i 1
全概率公式
(1)
P( ABC ) P( A) P( B) P(C )
(2)
注：1) 不能由关系式(1)推出关系式(2), 反之亦然;
2) 仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立.
A, B, C 相互独立⇒A, B, C 两两独立
1.2基本概念
☞定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立是指下面的关系式同时 成立：
i 1
在观察两个事件关系的时候，有时候需要知道 A条件下B发生的概率P(A|B)，有时候需要知 道B条件下A发生的概率P(B|A) Bayes公式揭示了这两个概率之间的关系
1.2基本概念
1.2.3 事件的独立性 P( AB) 定义：设 A , B 为两事件，若 则称事件 A 与事件 B 相互独立。 两事件相互独立的性质： 若 P( A) 0, 则P( B) P( B A) 若
n
3
☞解(Ⅱ)：此样本空间为: 基本事件总数: 3 1 2 4 (正， )（正，反） 正， （反，正） ， （反，反） ， n=4 . 事件A “掷出 1 次正面” 由 2 个样本点( 正, 反 ) ,( 反, 正 ) 组成， 2. 即 m ，故 m 1
P( A)
概率论基础1
集合A的元素 集合 的元素(element)： 的元素 ：
属于集合A的某一元素； 属于集合 的某一元素； 的某一元素
集合A的子集 集合 的子集(subset)： 的子集 ：
如果集合B的任一元素又是集合 的元素 则称B为 的子集 的子集； 如果集合 的任一元素又是集合A的元素，则称 为A的子集； 的任一元素又是集合 的元素，
物理学家的定义： 物理学家的定义：频数极限
设在某实验中观测到了n个事例，其中种类为 的事例出现了 的事例出现了r次 设在某实验中观测到了 个事例，其中种类为E的事例出现了 次，则 个事例 某事例的种类为E的概率定义为 的概率定义为： 某事例的种类为 的概率定义为： r 0 ≤ p( E ) ≤ 1 p(E) = n →∞
维因图(Venn 维因图(Venn Diagram)
A
A
A B
A∪B
A B
A∩B
1.4 概率的性质
二、概率的加法定律(Addition rule of probability) 概率的加法定律
定义: 定义 p(A): 集合 中某一事件发生的概率 集合A中某一事件发生的概率 中某一事件发生的概率; p(B): 集合 中某一事件发生的概率 集合B中某一事件发生的概率 中某一事件发生的概率; p( A ∪ B ) : 属于 或属于 的某一事件发生的概率 属于A或属于 的某一事件发生的概率; 或属于B的某一事件发生的概率 p( A ∩ B ) : 既属于 又属于 的某一事件发生的概率 既属于A又属于 的某一事件发生的概率; 又属于B的某一事件发生的概率 加法定律: 加法定律
a) b) c)
p(Ei ) ≥ 0;
第一章_概率论基础
注2
随机变量概念的理解
1） 对于ω∈Ω，有唯一X(ω)与之对应, 随机变量 X可理解为 从样本空间 Ω到实数集 Rx的一个映 射.
A
B
易知 A+= A+=A
n个事件A1,A2,…,An中至少有一个发生 是一个事件, 称为事件的和, 记作： A1+A2+…+An 或 A1A2…An
可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生, 记作
A
i 1
i
或
A
i 1
i
事件的交(积)
两个事件A与B同时发生, 即"A且B", 是一 个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A 又属于B的所有公共样本点构成的集合. 记作 AB 或 AB
事件间的关系及其运算
为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件 或者整个样本空间, 其中的一个子区域表示 一具体的事件.
A
事件的包含
如果事件A发生必然导致事件B发生， 即属 于A的每一个样本点都属于B，则称事件B包含事 件A或称事件A含于事件B，记作： BA或AB
A
B
易知 A=A A=
对立事件
事件"非A"称为A的对立事件(或逆事件). 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成 的集合. 记作 A
显然
AA , A A , AA
A
A
事件的差
事件A发生而事件B不发生, 是一个事件, 称为事件A与B的差. 它是由属于A但不属于B 的那些样本点构成的集合. 记作 AB
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
第一章 概率论基础
第一章 概率论基础概率论是大学数学基础课，假设读者已经修过该课程。
本章对概率论的基本概念、公式进行复习，并不追求数学上的严格性与逻辑性，重点介绍概率论基本知识及Matlab 在概率论中的应用。
概率论是研究随机现象的科学。
随机现象是和确定性现象相对的，后者是在一定条件下必然发生的现象，如向上投掷一枚硬币，硬币必然要落下；前者是在一定条件下可以出现这种结果，也可以出现那种结果的现象，如向上投掷一枚硬币，硬币落下时可能正面朝上，也可能反面朝上（正面和反面是相对的，假设国徽为正面，则数字为反面；反之亦然）。
随着人类对自然和社会研究的深入，遇到的随机现象会越来越多，必然要引入概率论。
例如，物理学中研究自由落体运动，硬币的下落距离和时间有确定的数学关系，如果要进一步深入研究，就会提出这样的问题：硬币落地后是出现正面还是反面？出现正面和反面的可能性各为多少？这就涉及概率论。
概率论起源于十七世纪，它最初是为赌博服务的，后来逐步发展为数学的一个分支。
在概率论的发展史上，瑞士数学家贝努利由于提出著名的“大数定律”而被称为概率论的奠基人，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫为概率论建立了公理化体系结构，奠定了严密的数学基础。
随着科学的发展，概率论的应用比以往任何时候都更加广泛。
例如，从前的天气预报都是“硬”预报，即对未来某一天的天气做出唯一性判断，而现在的天气预报朝着“软”预报即概率预报的方向发展，它指出未来某天出现某种天气的概率为多少，以便人们做出适当的决策。
基于概率的软判决在数字通信中运用广泛，例如，在Turbo码中，基于概率的软判决可以作为边信息输入接收端，以提高对数据（即“0”或“1”）正确判决的概率。
1.1 概率论的基本概念随机现象——指在个别试验中呈现出不确定性，而在大量重复试验中又表现出统计规律性的现象，它的反面是确定性现象，确定性现象在一次试验中肯定发生或肯定不发生。
随机试验——指具有以下几个特点的试验：（1）在一定条件下可以重复地进行；（2）结果不唯一，并且是明确的；（3）试验前不能确定出现哪种结果。
第一章概率论基础知识
P{x1Xx2}P{x1Xx2}P{Xx1} F(x2)F(x1)P{Xx1}
2020/12/26
■分布函数的性质
⑴ 单调不减性：若x1 x2，则 F(x1) F(x2)
⑵ 归一 性：对任意实数x, 0Fx1，且
F ( )lim F (x)0,F( )lim F(x)1 ;
解 由题意可知 RX{0,1,2,3}，则 X 的分布律为
X0
1
2
3
p k p 3 C31(1p)p2 C32(1p)2p (1 p )3
2020/12/26
将 p 1/2带入可得 X 的分布律为
X0
1
2
3
pk 1
3
3
1
8
8
8
8
2020/12/26
2.常用的离散型随机变量
（1） (0—1)分布 定义1 如果随机变量X的分布律为
x
x
⑶ 右连续性：对任意实数 X F (x 0 ) lim F (t) F (x ).
t x
具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分 布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。
2020/12/26
例1 已知 F xA arcx tB a，n求 A，B。
解
FAB0
2
FAB1
A1
F'xfx
2020/12/26
例1 设X 的分布函数为 Fx1e2x, x0
0, x0
求 P X 2 ,P X 3 ,fx .
解 PX2F2 1e4
P X31PX31F3 e 6
fxFx
2e
2
x
第一部分+概率论基础
第一部分概率论基础内容提要：以测度的观点，讨论概率论中的相关概念，主要包括：概率空间；随机变量的定义，随机变量的数字特征，随机变量的条件期望，等等。
要求：从测度论的角度理解概率论中的相关概念，认识概率论中概念的本质；对随机变量的数字特征和条件概率和条件期望掌握其计算。
第一节随机现象与概率空间概率论是研究随机现象的数量规律的科学。
大量的自然现象的规律可描述为：（1）确定性规律：条件A→结果，表明条件A具备之后，结果就成立。
——称为条件A下的必然事件，此类事件体现的规律为确定性规律。
例如：三角形的内角之和为180；力作用于物体会产生加速度，等等。
（2）条件A下不可能发生的事件，称为条件A下不可能事件。
三角形的内角之和为280；（3）在条件A下，事件B可能发生，也可能不发生，——此类事件称为条件A下的随机事件。
例如，产品检测是否合格；通讯中中继站的故障问题；电话局受到呼叫的问题；射击命中问题，等等。
§1 概率概念的直观意义必然现象的研究，由于现行的结果直接取决于现象发生的条件，因此探究必然现象的条件，结果自然可以得到；而对随机现象这种思路是不可能的，可行的思路是研究事件的“可能性”问题。
这种想法是很自然的。
例如对于工厂生产状况的好坏判别标准是产品的合格率；药物的疗效是治愈率；涉及命中率等。
直接可操作的方法是“频率”问题。
频率在大量的实验次数之后，趋于一个常值——概率。
实际上，概率是随机现象的本质特征（而非大量试验所体现的结果）。
以上只是随机现象的描述，而非准确的定义。
严格的定义和推理规则。
内容方面可以增加知识，更主要的是训练思维方式。
1.1样本空间随机试验：相同条件下可以重复进行，而结果具有随机性的实验（结果不确定），记为E。
说明：结果集合具有确定性，可能出现的结果是确定的。
样本点：随机试验的每一个可能出现的结果，用ω表示。
样本空间：随机试验的所有可能出现的结果的集合，记作Ω。
事件：样本空间的一个子集。
概率论与数理统计 第一章 概率论基础
3) 事件 A 与 B 的差
由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
实例 设 Ｃ＝“长度合格但直径不合格” ，Ａ ＝ “长度合格”，Ｂ＝ “直径合则格”C. A B.
图示 A 与 B 的差. B A
AA B
B
B A
B A AB
1.2.2 事件间的关系及运算
称为必然现象；
实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
1.1.1 随机试验
【概率论简史】
1933 年 ， 柯 尔 莫 哥 洛 夫 （ Kolmogorov ， 俄 ， 1903-1987）在他的名著《概率论基础》一书中， 提出了概率公理化定义，并得到数学家们的普遍承 认．公理化体系给概率论提供了一个逻辑上的坚实基 础，使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其 他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分 支紧密联系起来．
1 = {正面，反面}．
1.1.2 样本空间
“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”：
2 = {1，2，3，4，5，6}．
“某品牌电视机的寿命”：
3 = {t | t 0}．
“110每天接到的报警次数”：
4 = {0，1，2，…}．
“圆心在原点的单位圆内任取一点”：
5 = {(x，y) | x2 + y2 1}．
在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取得 了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其应 用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预 报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济研 究、金融和管理等领域．
01-概率论基础
旳测度（长度、面积、体积等）成正比，而且 与g旳位置和形状无关
• 几何概型中随机事件Ag旳概率
g的测度 P(A g ) 的测度
例1.5 会面问题
• 已知甲、乙两人约定在6到7时间在某处会面，并约
定先到者应等待另一人20分钟，过时即可离去
(n 2)! 1
P(Ai A j )
n!
n(n 1)
把每封信放入一只信封中
P(Ai A jA k
)
(n
3)! n!
n(n
1 1)(n
2)
• 求至少有一封信与信封匹 配旳概率
• 解：
…
P(A1A 2
An
)
1 n!
所以有
– 若以Ai记第i封信与信封 匹配，则所求事件为 A1∪A2∪…∪An，所以，
Ω B
A
A-B
Ω A
A
例1.3 产品抽样检验
• 已知一批外形无差别旳产品 • 解：
中有3件次品，现随机地从 这批产品中依次抽取3件， 分别以A、B、C代表第一次、 第二次、第三次抽到次品
• 试表达
①三次都抽到次品
②只有第一次抽到次品
①三次都抽到次品：ABC
②只有第一次抽到次品：ABC
③三次都没有抽到次品：ABC ④至少抽到一件次品：A B C ⑤最多抽到一件次品，即A，
部可能出现旳成果 – 试验完毕之前不能预知会出现哪一种旳成果
• 样本空间()：一种随机试验旳全部可能成 果旳集合
• 样本点()：试验旳每一种可能成果
例1.2 随机现象旳样本空间
• 试列出例1.1中随机现象旳样本空间
概率论基础
几种常见的连续随机变量及其分布:
◎ 均匀分布 U(a,b)
f
(
x)
b
1
a
,
a
x
b;
0, 其它.
◎ 正态分布 N (, 2 )
f (x)
1
e
(
x
2
)2
2
◎ 指数分布 e()
ex , x 0;
f (x) 0, x 0,
0
1.2 随机变量及其分布
1.2.2 多维随机变量及其分布
定义1.5 设 ( ,F , P)是概率空间, X X (e) ( X1, , Xn )
i 1
i 1
i 1
精益 生产
❖ 精益生产是国际汽车计划组织对日本丰田始 创JIT生产模式的赞誉之称。精益生产是一种 以最大限度地减少运营成本为主要目标的生 产方式。
❖ 精——少而精，不投入多余生产要素，只在 适当时间生产必要的产品
❖ 益——所有经营活动有益有效，具有经济性
精益生产 的特点
• 消除一切浪费 • 追求精益求精和不断改善 • 去掉一切不增值的岗位
作业的分类
1、浪费作业：只使成本增加而不产生附加价值的作业。 2、纯作业： 是指组装零部件等能够产生附加价值的作业。 3、附加作业：是指像更换作业程序等不产生附加价值，但又必须
伴随着纯作业一起实施的作业。
虽然是产生附加价 值的作业，但需 要进一步改善
浪费 纯作业 作业
消除不必要的作业
改善不产生附加价 值的作业，使其作 业时间无限接近零
(1) P() 0;
(2) 若 A, B F , A B, 则 P(B \ A) P(B) P( A);
(3) 设 An F , n 1, 2, .
李贤平-概率论基础-第一章
例：历史上著名的投掷硬币试验.
例:高尔顿钉板试验
2.概率的描述性定义：
频率的稳定性说明：随机事件发生的可能性大小是 随机事件本身固有的、不随人们意志改变的一种客观属 性，因此可以对它进行度量。
随机事件A发生的可能性大小的度量，称为A发生的 概率 (probability)，记作P(A).
表现
概率
2.事件的并运算
A与B的并事件，记为 A B ，由属 于A或B的所有样本点组成，即
A
B
例. A = { HHH }，B = { TTT } , 则 A∪B = { HHH，TTT }, 三次都是同一面. 特别地，对任意的随机事件 A ， A ∪ A = A ， A ∪ = A， A ∪ = 当 A、B 不相容时，称它们的并为和，并记作A+B.
3.事件的交运算
A与B的交事件,记为 A B或AB，由 属于A及B的样本点组成，即
例. A = { H∗∗ }，B = { } ，则 AB = { HH∗}， 前两次都是正面。 特别地，对任意的随机事件 A ， A∩A = A, A∩ = , A∩ = A.
事件的并与交运算可推广到可列个事件的情形：
1.1.3 频率的稳定性
1.频率的定义 在相同的条件下进行了 n 次重复试验，记nA 是随机事件 A 发生的次数 (又称频数) ，则定 义随机事件 A 发生的频率为 nA Fn (A) = n 。 频率描述了一个随机事件发生的频繁程度。
大量的随机试验表明：
(1) 频率具有随机波动性，即对于同一个随机 事件来说，在相同的试验次数下，得到的 频率也不一定会相同。 (2) 频率还具有稳定性，总是在某一个具体数值 附近波动，随着试验次数的不断增加，频率的 波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。 频率的稳定性表明随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出的规律)。
第一章 概率论基础(1)
频率 fi
m1 m2 n1 n2
ms
ns
稳定在某个值 附近
概率的统计定义
在相同条件下对试验E重复进行n次，其中事 件A出现m次。当试验次数n充分大时，事件
A出现的频率fn(A)=m/n的稳定值,称为事件
A的概率，记为P(A).
P=P (A) ≈fn(A)=m/n
频率和概率 有什么关系？
1.频率取决于试验，而概率是先于试验而客观 存在的。
第一章 概率论基础
§1.1
随机试验
为了研究随机现象内部的规律性，就 要对研究对象进行观察试验，即随机试验， 简称试验。常用字母E表示。
试 1. 试验可以在相同条件下重复进行
验 的 特 点
2. 每次试验的可能结果不只一个，且 试验之前不能肯定会出现哪一个结果 3. 试验可能出现的结果可以预知
寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.
n
n
P( i 1
Ai
)
i 1
P( Ai )
P( Ai Aj )
1i jn
P( Ai Aj Ak ) ... （1）n1P( A1A2...An )
1i jk n
条件概率
定义: 设Ａ、B是随机试验E的两个随机事件， 且P(A)>0,则称
P(B | A) P( AB) P( A)
为已知事件A发生条件下，事件B发生的条件 概率。
统计一天中进入某商店的顾客 人数.
随机事件
在随机试验中可能发生也可能不发生的事 情称为随机事件，简称事件.
事 基本事件 （试验中不可再分解的事件）
件
分
（两个或多个基本事件就 构
类 复合事件 成一个复合事件）
第1章-概率论基本知识1
P ( X xk ) pk ,
x1 p1 x2 p2
… …
k 1, 2 ,...
… …
X pk
xk pk
分布列
常见离散型随机变量的分布
0-1分布 若随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分 布为 P(X=1)= p，P(X=0)=1-p (0<p<1) 则称X服从参数为p的0-1分布。 二项分布 若随机变量X的概率分布为
3.右连续
F(x+0)=F(x)
1.2.3 离散型随机变量
离散型随机变量 定义 1.6 如果随机变量X的全不可能取值只有有限多个 或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。
定义 1.7 设 xk(k=1,2,…) 是离散型随机变量 X 所取的一切可能 值，pk是X取值xk的概率，则称 为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
1 { X x} X x k k 1
{ X x} { X x} { X x}
{ x1 X x 2 } { X x 2 } { X x1 }
1.2.2 随机变量的分布函数 设X是一个随机变量，称
F ( x ) P ( X x ),
x
则称X为连续型随机变量, f(x)称为X的概率密度函 数,简称为概率密度或分布密度。
概率密度的性质
(1) f ( x ) 0;
(3) P ( a X b ) f ( x ) dx;
a
( 2) f ( x ) dx 1;
b
( 4 ) P ( X x ) 0;
•基本事件 •复合事件 •必然事件 •不可能事件
随机事件之间的关系
第一讲概率论基本知识
第一章 概率论基础知识概率论是随机过程的基础，在传统的概率论中，限于各种原因，往往借助于直观理解来说明一些基本概念，这对于简单随机现象似乎无懈可击，但对于一些复杂随机现象就难以令人信服了.随着随机数学理论的不断完善，随机过程越来越成为现代概率论的一个重要分支和发展方向. 为了更好地学习随机过程，我们必须对基础概率论的理论有一个比较深入和全面的了解.本章就是在此基础上系统介绍概率论基础知识，包括概率空间、随机变量及其分布、数学期望的若干性质、特征函数和母函数、随机变量列的收敛性及其相互关系、条件数学期望等.1．1 概率空间概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，由于随机现象的普遍性，使得概率论具有极其广泛的应用.随机试验是概率论的基本概念之一，随机试验所有可能结果组成的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω.Ω中的元素ω称为样本点，Ω中的子集A 称为随机事件，样本空间Ω也称为必然事件，空集Φ称为不可能事件.定义 1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合簇（collection ）（或称集类），如果 （1）Ω∈F ；（2）若A ∈F ，则\A A =Ω∈F ；（取余集封闭） （3）若n A ∈F ,1,2,n = ，则1n n A ∞=∈ F ；（可列并封闭）则称F 为σ-代数（sigma algebra -）（B orel 域或事件域（field of events ）），（,ΩF ）称为可测空间（m easurable space ）.由定义可以得到 （4）Φ∈F ；（5）若,A B ∈F ，则\A B ∈F ；（取差集封闭）（6）n A ∈F ,1,2,n = ，则1ni i A = ，1ni i A = ，1i i A ∞= ∈F （有限交，有限并，可列交封闭）定义1.2 设（,ΩF ）为可测空间，()P ⋅是定义在F 上的实值函数，如果 （1）任意A ∈F ,0()1P A ≤≤；（非负性） （2）()1P Ω=；（正规性）（3）对两两互不相容事件12,,A A （当i j ≠时，i j A A =Φ ），有11()i ii i P A P A ∞∞==⎛⎫=⎪⎝⎭∑ （可列可加性）. 则称P 是（,Ω F）上的概率（p r o b a b i l i ），(,ΩF ，P ）称为概率空间（probability space ），()P A 为事件A 的概率. 由定义知（4）,A B ∈F ,A B ⊂，则(\)()()P B A P B P A =- （可减性）一事件列{,1}n A n ≥称为单调增列，若1,1n n A A n +⊂≥；称为单调减列，若1,n n A A +⊃1n ≥. 显然，如果{,1}n A n ≥为单调增列，则1lim n in i A A∞→∞==；如果{,1}n A n ≥为单调减列，则1lim n in i A A∞→∞==.（5）（概率的连续性）若{,1}n A n ≥是递增或递减的事件列，则lim ()(lim )n n n n P A P A →∞→∞=定义1.3 设(,ΩF ，P ）为概率空间，B ∈F ，且()0P B >，如果对任意A ∈F ，记()(|)()P AB P A B P B =则称(|)P A B 为事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率（conditional probability ）. 由条件概率的定义可得到： （1）乘法公式 设,A B ∈F ，则()()(|)P AB P B P A B =一般地，若i A ∈F ,1,2,,i n = ，且121()0n P A A A -> ，则121121312121()()(|)(|)(|)n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A --=（2） 全概率公式 设(,ΩF ，P ）是概率空间，A ∈F ，i B ∈F ,1,2,,i n =()i j B B i j =Φ≠，且1,()0,ni i i B P B ==Ω> ，则1()()(|)niii P A P B P A B ==∑（3） （Bayes 公式）设(,ΩF ，P ）是概率空间，A ∈F ，i B ∈F ,1,2,,i n =()i j B B i j =Φ≠，且1,()0,()0ni i i B P B P A ==Ω>> ，则1()(|)(|)()(|)i i i niii P B P A B P B A P B P A B ==∑一般地，若12,,,n A A A ∈ F ，有11()()nni ii i P A P A ===∏ , 则称F 为独立事件簇.1.2 随机变量及其分布随机变量是概率论的主要研究对象之一，随机变量的统计规律用分布函数来描述. 定义 1.4 设(,ΩF ，P ）为概率空间，()X X ω=是定义在Ω上的实值函数，如果对于任意实数x ，有()1(,]Xx --∞={}:()X x ωω≤∈F ，则称()X ω为F上的随机变量（random variable ），简记为..r v X .随机变量实质上是（,ΩF ）到(,R B ()R ）上的可测映射（函数），记1(){()|X XB B σ-=∈B ()R }⊂F ，称()X σ为随机变量X 所生成的σ域.称{}()1()():()((,])(,]F x P X x P X xP X x P Xx ωω-=≤=≤=∈-∞=-∞为随机变量X 的分布函数(distribution function )(简记.d f ).由定义，分布函数有如下性质：（1）()F x 为不降函数：即当12x x <时，有12()()F x F x ≤； （2）()lim ()0,x F F x →-∞-∞==()lim ()1x F F x →+∞+∞==；（3）()F x 是右连续的，即()()F x F x ο+=可以证明，定义在R 上的实值函数()F x ，若满足上述三个性质，必能作为某个概率空间(,ΩF ，P ）上某个随机变量的分布函数.推广到多维情形，类似可得到定义 1.5 设(,ΩF ，P ）为概率空间，()12()(),(),,()n X X X X X ωωωω== 是定义在Ω上的n 维空间n R 中取值的向量实值函数.对于任意12(,,,)n n x x x x R =∈ ，有{}1122:(),(),,()n n X x X x X x ωωωω≤≤⋅⋅⋅≤∈F ，则称()X X ω=为n 维随机变量，称12()(,,,)n F x F x x x P =⋅⋅⋅={}1122:(),(),,()n n X x X x X x ωωωω≤≤⋅⋅⋅≤为()12()(),(),,()n X X X X X ωωωω==⋅⋅⋅的联合分布函数.随机变量有两种类型：离散型随机变量和连续型随机变量，离散型随机变量的概率分布用概率分布列来描述：(),1,2,k k p P X x k === ，其分布函数为()k k x xF x p ≤=∑；连续型随机变量的概率分布用概率密度函数()f x 来描述，其分布函数为()()x F x f t dt -∞=⎰.类似地可定义n 维随机变量12(,,,)n X X X X = 的联合分布列和联合分布函数如下： 对于离散型随机变量12(,,,)n X X X X = ，联合分布列为()121122,,,n x x x n n p P X x X x X x ====其中,i i i x I I ∈为离散集，1,2,,i = n ，X 的联合分布函数为： 1,12,,121,2,,(,,,)(,,,)n i i nn x x n x y i n F y y y p y y y R ≤==⋅⋅⋅∈∑对于连续型随机变量12(,,,)n X X X X = ，如果存在n R 上的非负函数12(,,,)n f x x x ，对于任意12(,,,)nn y y y R ∈ ，有12(,,,)n X X X X = 的联合分布函数12121212(,,,)...(,,,)n y y y n n n F y y y f x x x dx dx dx -∞-∞-∞⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰12(,,,)n f x x x 为X 的联合密度函数.1.3 数学期望及其性质设()X X =⋅是定义在概率空间(,ΩF ，P ）上的.r v ，如果||X dP Ω<∞⎰，就称.r v .X的数学期望（expectation ）或均值存在（或称.r v .X 是可积的），记为E X ，有下列定义：EX XdP Ω=⎰利用积分变换，也可写成()EX xdF x +∞-∞=⎰.设()g x 是1R 上的B orel 可测函数，如果.r v .()g X 的数学期望存在，即|()|E g X <∞，由积分变换可知()()()()Eg X g X dP g x dF x +∞Ω-∞==⎰⎰设k 是正整数，若.r v .k X 的数学期望存在，就称它的k 阶原点矩（k th -moment aboutthe origin ），记为k α，即()kkk EXx dF x α+∞-∞==⎰设k 是正整数，若.r v .||k X 的数学期望存在，就称它的k 阶绝对原点矩（k th - absolute m o m e n tabout the origin ），记为k β，即 ||||()kkk E X x dF x β+∞-∞==⎰类似地，X 的k 阶中心矩（k th - central moment ）k μ和k 阶绝对中心矩（k th -absolutely central moment ）k υ分别定义为1()()()kkk E X EX x dF x μα+∞-∞=-=-⎰1||||()kkk E X EX x dF x να+∞-∞=-=-⎰我们称二阶中心矩为方差（variance ），记为V a r X 或D X ，显然有22221VarX μναα===-关于数学期望，容易验证下列的性质：（1）若.r v .X ，Y 的期望E X 和E Y 存在，则对任意实数,αβ，()E X Y αβ+也存在，且()E X Y EX EY αβαβ+=+（2）设A ∈F ，用A I 表示集A 的示性函数，若E X 存在，则()A E XI 也存在，且()A AE XI XdP =⎰（3）若{}k A 是Ω的一个划分，即()i j A A i j =Φ≠ ，且i iA Ω= ，则iA i EX XdP XdP Ω==∑⎰⎰关于矩的存在性，有如下的必要条件和充分条件定理1.1 设对.r v X 存在0p >，使||pE X <∞，则有lim (||)0px x P X x →∞≥=定理1.2 设对.r v X 0(.)a s ≥，它的.d f 为()F x ，那么E X <∞的充要条件是(1())F x dx ∞-<∞⎰此时EX =(1())F x dx ∞-⎰推论1.1 ||E X <∞的充要条件是0()F x dx -∞⎰与0(1())F x dx +∞-⎰均有限，这时有EX =(1())F x dx ∞-⎰()F x dx -∞-⎰推论 1.2 对于0,||pp E X <<∞<∞的充要条件是11(||)p n P X n ∞=≥<∞∑，也等价于11(||)p n nP X n ∞-=≥<∞∑1.4 特征函数和母函数特征函数是研究随机变量分布又一个很重要的工具，用特征函数求分布律比直接求分布律容易得多，而且特征函数有良好的分析性质.定义 1.6 设X 是n 维随机变量（随机向量），分布函数为()F x ，称()F x 的Fourier Stieltjes -变换()()(),itXitxg t E ee dF x t ∞-∞==-∞<<∞⎰为X 的特征函数(characteristic function ).简记.c f从本质上看，特征函数是实变量t 的复值函数，随机变量的特征函数一定是存在的. 当X 是离散型随机变量，分布列(),1,2,k k p P X x k === ，则1()kitx k k g t ep ∞==∑当X 是连续型随机变量，概率密度函数为()f x ，则()(),itxg t ef x dx t ∞-∞=-∞<<∞⎰从定义，我们能够看出特征函数有如下性质： （1）(0)1;g =（2）（有界性）|()|1;g t ≤ （3）（共轭对称性）()();g t g t -=（4）（非负定性）对于任意正整数n 及任意实数12,,,n t t t 和复数12,,,n z z z ，有,1()0nk l k l k l g t t z z =-≥∑（5）（连续性）()g t 为n R 上一致连续函数；（6）有限多个独立随机变量和的特征函数等于各自特征函数的乘积，即随机变量12,,,n X X X 相互独立，12n X X X X =+++ 的特征函数为：12()()()()n g t g t g t g t =其中()i g t 为随机变量i X 的特征函数；（7）（特征函数与矩的关系）若随机变量X 的n 阶矩n EX 存在，则X 的特征函数()g t 可微分n 次，且当k n ≤时，有()(0)k k k g i EX =；（8）随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定.定理1.3 (B ocher 定理) n R 上函数()g t 是某个随机变量特征函数当且仅当()g t 连续非负定且(0)1g =.定理1.4 （逆转公式） 设()F x 是随机变量X 的分布函数，相应的特征函数为()g t 若12,x x 为()F x 的连续点，则12211()()lim()2itx itx TT Tee F x F x g t dt itπ--→∞---=-⎰很显然，具有相同特征函数的两个分布函数是恒等的.由此还可推出一个事实：一个随机变量是对称的，当且仅当它的特征函数是实的. 事实上，由X 的对称性知X 和X -有相同的分布函数，根据定义()()()itX itXg t E e E eg t g t -===-=，也就是说()g t 是实的；反之，从()()()itX itXg t Ee g t g t Ee -===-=知X 和X -有相同的特征函数，因此，它们的分布函数相等，这说明X 是对称的.例1.1 设X 服从(,)B n p ，求X 的特征函数()g t 及2,,EX EX D X解 X 的分布列为{},1,0,1,2,,k k n kn P X k C p q q p k n -===-=()()()n nitxk k n kk it k n kit nnnk k g t eC p qCpe qpe q --=====+∑∑因此 0(0)()|itt d E X ig ipe qnp dt='=-=-+=22222202()(0)()()|it t d EXi g i pe q npq n p dt=''=-=-+=+故 22()D X EX EX npq =-= 例1.2 设~(0,1)X N ，求X 的特征函数()g t解 22()itx xg t edx ∞--∞=由于2222||||itx xxixe xe--=221||xx edx ∞--∞<∞⎰，可对上式两边求导，得2222()()itx xitx xg t ixedx e de∞∞---∞-∞'==-⎰2222()x x itx itx edx tg t ∞∞---∞-∞=--=-于是得到微分方程 ()()g t t g t '+=. 这是变量可分离型方程，有()()dg t tdt g t =-两边积分得 2l n ()2g t tc=-+，得方程的通解为 22()tcg t e -+=.由于(0)1g =，因此，0c =.于是X 的特征函数为22()tg t e -=例1.3 设,X Y 相互独立，~(,),~(,)X B n p Y m p ，证明：~(,)X Y n m p ++ 证明 ,X Y 的特征函数分别为()(),()(),1itnitmX Y g t q pe g t q pe q p =+=+=-X Y +的特征函数为()()()(),1it n mX Y X Y g t g t g t q pe q p ++==+=-即X Y +的特征函数是服从参数为,n m p +二项分布的特征函数，由唯一性定理~(,)X Y n m p ++附表一给出了常用分布的均值、方差和特征函数.在研究只取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便.定义1.7 设随机变量X 的分布列为(),0,1,2,k p P X k k === 其中01k k p ∞==∑，称()()kk k k P s E s p s ∞===∑为X 的母函数（或称概率生成函数）（p r o b a b i l i t y generating function ）.母函数具有下列性质：（1）非负整数值随机变量的分布列由其母函数唯一确定； （2）(1)1P =，()P s 在||1s ≤绝对且一致收敛；（3）若随机变量X 的l 阶矩存在，则可以用母函数在1s =的导数值来表示，特别地， 有2(1),(1)(1)EX P EXP P ''''==+；（4）独立随机变量之和的母函数等于母函数的积.证明 （1）01(),0,1,2,nkkkk k k k k k n P s p s p s p s n ∞∞===+==+=∑∑∑两边对s 求n 阶导数，得到()1()!(1)(1)n k nn k k n Ps n p k k k n p s∞-=+=+--+∑令0s =，则()(0)!n n p n p =，因此()(0),0,1,!n n pp n n ==（3）由0()kk k P s p s ∞==∑，得到11()k kk P s kps∞-='=∑，令1s ↑，得到1(1)kk EX kpP ∞='==∑，类似可得到 2(1)(1)E X PP '''=+ 例1.4 从装有号码为1,2,3,4,5,6的小球的袋中，有放回地抽取5个球，求所得号码总和为15的概率.解 令i X 为第i 次取得的小球的号码，且i X 相互独立，125X X X X =+++ 为所取的球的号码的总和.i X 的母函数为261()()6i P s s s s =+++X 的母函数为 5265655551()()(1)(1)66s P s s s s s s -=+++=--所求概率为()P s 展开式的15s 的系数，因此，5651{15}6P X ==1.5 随机变量列的收敛性定义 1.8设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量，如果存在集A ∈F ，()0P A =，当cA ω∈时，有lim ()()n n X X ωω→∞=，则称n X 几乎处处收敛（convergencealm ost everywhere ）到X ，简称n X ..a s 收敛到X ，记为n X X → ..a s下面我们给出..a s 收敛的一个判别准则.定理1.5 n X X → ..a s 的充分必要条件是任一ε>0，有lim (||)0m n m n P X X ε∞→∞=⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭下面给出定理1.3的一个应用.例1.5 设{}n X 是..r v 列，且11()()2n n n P X n P X n +===-=，1111122n n n P X P X n n ⎧⎫⎧⎫⎛⎫===-=-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭对于给定的ε>0,考虑1n ε>，有 1(||)0,2m mm nm n P X n ε∞∞==⎧⎫≥≤→→∞⎨⎬⎩⎭∑，因此 0n X →，..a s定义1.9 设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量,如果对任一0ε>，{}lim ||0n n P X X ε→∞-≥=则称n X 依概率收敛（convergence in probability ）到X ，简记Pn X X −−→. 由定义，n X 依概率收敛到X ，那么极限随机变量X ..a s 是唯一的.定义 1.10 设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量,若||rn E X （0r >）存在，且lim ||0rn n E X X →∞-=，则称 n X r 阶平均收敛（convergence in mean oforder r ）到X ，特别地，当2r =时，称为均方收敛.定义1.11 设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量，其分布函数序列()n F x 满足lim ()()n n F x F x →∞=在每个()F x 连续点处成立，则称n X 依分布收敛（convergence indistribution ）到X .简记dn X X −−→.这里()F x 为X 的分布函数.下面我们不加证明地给出几种收敛之间的关系.a sPn n X X X X −−→⇒−−→dn X X ⇒−−→⇓..k a s n X X −−→且11(||)2kn kk P X X ∞=-≥<∞∑⇑,r rn n X X X X '−−→⇒−−→ 0r r '<< 1.6 条件数学期望设,X Y 是离散型随机变量，对一切使{}0P Y y =>的y ，定义给定Y y =时，X 的条件概率为 {,}{|}{}P X x Y y P X x Y y P Y y ======；给定Y y =时，X 的条件分布函数为(|){|}F x y P X x Y y =≤=； 给定Y y =时，X 的条件期望为(|)(|){|}xE X Y y xdF x y xP Xx Y y =====∑⎰设,X Y 是连续型随机变量，其联合密度函数为(,)f x y ，对一切使()0Y f y ≥，给定Y y =时，X 的条件密度函数为(,)(|)()Y f x y f x y f y =；给定Y y =时，X 的条件分布函数(|){|}F x y P X x Y y =≤==(|)xf x y dx ⎰； 给定Y y =时，X 的条件期望定义为 (|)(|)(|)E X Y y x d F x y x f x y d x===⎰⎰由定义可以看出，条件概率具有无条件概率的所有性质.(|)E X Y y =是y 的函数，y 是Y 的一个可能值，若在Y 已知的条件下，全面考察X 的均值，需要用Y 替代y ，(|)E X Y y =是Y 的函数，显然，它也是随机变量，称为X 在Y 条件下的条件期望（conditional expectation ）.条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念，下面我们列举以下性质：设,,X Y Z 为随机变量，()g x 在R 上连续，且,,,[()]EX EY EZ E g Y Z ⋅都存在. （1） 当X 和Y 相互独立时，(|)E X Y EX =； （2） [(|)]EX E E X Y =；（3） [()|]()(|)E g Y X Y g Y E X Y ⋅=； （4） (|)E c Y c =，c 为常数；（5） （线性可加性）[()|](|)(|)E aX bY Z aE X Z bE Y Z +=+ （,a b 为常数）； （6） 若0,X ≥则(|)0,..E X Y a s ≥ 下面只对（2）和（3）证明：证明 （2）离散型情况.设(,)X Y 的联合分布列为{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则 [(|)](|){}jj j y E E X Y E XY y P Y y ===∑{|}{}ji i i j j y x x P X x Y y P Y y ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦∑∑ {,}{}ji ii i j i y x x x P X x Y y P Xx EX ⎡⎤======⎢⎥⎣⎦∑∑∑由此可见，E X 是给定j Y y =时X 条件期望的一个加权平均值，每一项(|)j E X Y y =所加的权数是作为条件事件的概率，称(|){}jj j y EX E XY y P Y y ===∑为全期望公式.连续型情形：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)f x y ，则[](|)(|)()(|)()Y Y E E X Y E X Y y f y dy xf x y dx f y dy ∞∞∞-∞-∞-∞⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰(,)(,)x f x y d x d yx f x y dy d x∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰()X xf x dx EX ∞-∞==⎰(|)()Y EX E X Y y f y dy ∞-∞==⎰也称为全期望公式.全期望公式表明：条件期望的期望是无条件期望. （3）只需证明对任意使[]()|E g Y X Y y ⋅=存在的y 都有[]()|()(|)E g y X Y y g y E X Y y ⋅===因为[|](|)E X Y y xdF x y ∞-∞==⎰，因此，当y 固定时，[]()|()(|)()(|)E g y X Y y g y xdF x y g y xdF x y ∞∞-∞-∞⋅===⎰⎰()[|]g y E X Y y ==例1.6 设在某一天走进商店的人数是期望为1000的随机变量，又设这些顾客在该商店所花钱数都为期望为100元的相互独立的随机变量，并设一个顾客花钱数和进入该商店的总人数独立，问在给定的一天内，顾客们在该商店所花钱数的期望是多少？解 设N 表示这天进入该商店的总人数，i X 表示第i 个顾客所花的钱数，则N 个顾客所花的总数为1Ni i X =∑.由于 11|N N i i i i E X E E X N ==⎡⎤⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑而 1111||N n n i i i i i i E X N n E X N n E X nEX ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑因此 11|,N i i E X N N E X =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑[]111N i i E X E N E X E N E X =⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦∑由题设 11000,100EN EX == 于是11000100100000Ni i X ==⨯=∑即该天顾客花费在该商店的钱数的期望为100000元.。
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§1.2 随机事件及其概率
1.2.2
事件间的关系及运算
【 例 1-3】 向 指 定 目 标 射 三 枪 ， 观 察 射 中 目 标 的 情 况．用A1、A2、A3分别表示事件“第一、二、三枪击中 目标”，试用A1、A2、A3表示以下各事件： (1) 只击中第一枪；(2) 三枪都没击中；
兴义民族师范学院数学科学学院
第一章：概率论基础 数学系科学学院
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第一章 概率论基础
概率论简介
概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一类不 确定现象（随机现象）规律性的一门数学学科，20世 纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技 术等各个领域．
第一章 概率论基础
概率论简史
概率论起源于16世纪； 17 世纪中期，惠更斯（ Huyghens ）发表的《论赌博中 的计算》标志着概率论的诞生； 19 世纪，拉普拉斯（ Laplace ）所著的《概率的分析理 论》实现了从组合技巧向分析技巧的过渡，开辟了概率 论发展的新时期； 1933 年，柯尔莫哥洛夫（ Kolmogorov ）提出了概率的 公理化定义，概率论成为一门严密的演绎科学； 现代概率论应用于几乎所有的科学领域.
§1.1 随机试验与样本空间
1.1.1
随机试验
虽然一次随机试验的结果不能完全预言，但是，在相同 条件下大量重复此试验时，则会呈现出一定的数量规律 性，这种在大量重复试验中所呈现出的固有的规律性称 为统计规律性． 例如，多次重复抛一枚硬币得到正面朝上大致有一半， 同一门炮射击同一目标的弹着点按照一定规律分布，等 等．概率论就是研究随机现象中数量规律性的一门数学 学科．
§1.2 随机事件及其概率
1.2.2
事件间的关系及运算
2．事件的运算 (1) 事件A与B的和 事件A与B的和事件定义为：由至少属于 A，B之一的样 本点全体组成的集合，记为A∪B，其概率含义是：A，B 至少有一个发生． (2) 事件A与B的积 事件A与B的积事件定义为：由既属于 A又属于B的样本 点组成的集合，记为 A∩B 或 AB ．其概率含义是：事件 A 与B同时发生．
分配律： Leabharlann A B)C ( AC ) ( BC ),
( AB) C ( A C )(B C )
对偶律：A B AB , AB A B
§1.2 随机事件及其概率
1.2.2
事件间的关系及运算
【 例 1-3】 向 指 定 目 标 射 三 枪 ， 观 察 射 中 目 标 的 情 况．用A1、A2、A3分别表示事件“第一、二、三枪击中 目标”，试用A1、A2、A3表示以下各事件： (1) 只击中第一枪；(2) 三枪都没击中；
第一章 概率论基础
主要内容
§1.1 随机试验与样本空间 §1.2 随机事件及其概率 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概型与乘法公式
§1.5 全概率公式和贝叶斯公式
§1.6 独立性 §1.7 Excel 数据分析功能简介 第一章：总结
§1.1 随机试验与样本空间
1.1.1
随机试验
客观世界中存在着两类现象，一类是在一定条件下必然 出现的现象，称为必然现象；另一类是在一定条件下可 能出现也可能不出现的现象，称为随机现象． 在标准大气压下，100C的纯水必然沸腾；向上抛一枚 石子必然下落；同性电荷必不相互吸引等等都是必然现 象的例子．以往的各种数学学科的主要内容就是研究必 然现象中的数量规律．
§1.2 随机事件及其概率
1.2.2
事件间的关系及运算
1．事件间关系 (2) 事件相等 如果事件A与事件B满足：A B且B A，则称A与B相 等，记为A = B．其概率含义是：A，B中有一个发生另一 个也必发生． (3) 互不相容 如果事件A和B没有相同的样本点，则称A与B互不相容 （或互斥）．其概率含义是：A，B不同时发生．
(3) 至少击中一枪；(4) 至多击中两枪．
解：(1) 事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第 三枪也不中．所以可表示成 A1 A2 A3 . (2) 事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪 都未击中”，所以可表示成 A A A .
1 2 3
§1.2 随机事件及其概率
1.2.2
事件间的关系及运算
§1.1 随机试验与样本空间
1.1.1
随机试验
虽然一次随机试验的结果不能完全预言，但是，在相同 条件下大量重复此试验时，则会呈现出一定的数量规律 性，这种在大量重复试验中所呈现出的固有的规律性称 为统计规律性． 随机试验（以后简称试验）是一个广泛的术语，它包括 各种科学实验，也包括对客观事物进行的“调查”、 “观察”、“测量”等．
【 例 1-3】 向 指 定 目 标 射 三 枪 ， 观 察 射 中 目 标 的 情 况．用A1、A2、A3分别表示事件“第一、二、三枪击中 目标”，试用A1、A2、A3表示以下各事件： (1) 只击中第一枪；(2) 三枪都没击中；
(3) 至少击中一枪；(4) 至多击中两枪．
解：(3) 事件“至少击中一枪”， 就是事件“第一、二、 三枪至少有一次击中”，所以可表示成 A1 A2 A3 , 或
§1.2 随机事件及其概率
1.2.3
事件的概率及性质
1．频率与概率的统计定义 【定义 1.3】设 E为任一随机试验， A为其中任一事件， 在相同条件下，把E独立的重复做 n次，nA表示事件A在 这n次试验中发生的次数（称为频数）．比值fn(A) = nA / n称为事件A在这次试验中发生的频率． 易知频率有如下性质： (1) 对于任一事件A，有0 fn(A) 1； (2) 对于必然事件，有fn( ) = 1； (3) 对于互不相容的事件A，B， 有 fn(A∪B)=fn(A)+ fn(B)
(3) 至少击中一枪；(4) 至多击中两枪．
解： (4) 事件“至多击中两枪”意味着三枪不能同时击中， 所以可表示成 A1 A2 A3 , 或 A1 A2 A3 .
§1.2 随机事件及其概率
1.2.3
事件的概率及性质
随机事件有其偶然性的一面，即在一次试验中它可能 发生也可能不发生，但是在大量重复试验中它又呈现出 内在的规律性，即它发生的可能性大小是确定的，且是 可以度量的 所谓随机事件的概率，概括地说就是用来描述随机事 件发生的可能性大小的数量指标，它是概率论中最基本 的概念之一．
2 = {1，2，3，4，5，6}．
§1.1 随机试验与样本空间
1.1.2
样本空间
【定义1.1 】随机试验的一切可能基本结果组成的集合 称为样本空间，记为 = {}，其中表示基本结果，又 称为样本点． 【例1-1】下面给出几个随机试验的样本空间．
“某品牌电视机的寿命”：
3 = {t | t 0}．
§1.2 随机事件及其概率
1.2.2
事件间的关系及运算
事件是一个集合，因而事件间的关系及运算实质上是集 合间的关系及运算，当然，我们关心的是其概率含 义．下面对事件的讨论总是假设在同一个样本空间 中 进行． 1．事件间的关系 (1) 子事件 如果属于事件 A的样本点也属于事件 B，则称A为B的子 事件，记为A B．其概率含义是：A发生B 必发生
§1.1 随机试验与样本空间
1.1.2
样本空间
【定义1.1 】随机试验的一切可能基本结果组成的集合 称为样本空间，记为 = {}，其中表示基本结果，又 称为样本点． 【例1-1】下面给出几个随机试验的样本空间．
“抛一枚硬币观察哪一面朝上”：
1 = {正面向上，反面向上}．
“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”：
§1.2 随机事件及其概率
1.2.1
随机事件
【例1-2】掷一颗骰子的样本空间为： = {1，2，3，4， 5，6}． 事件A =“出现5点”，它由 的单个样本点“5”组成， 它是一个基本事件，可记为A ={5}；
事件B =“出现奇数点”，它由 的三个样本点“1，3， 5”组成，可记为B = {1，3，5}；
称
称为有限积； Ai
i 1
i 1
i 1
称为可列积．
§1.2 随机事件及其概率
1.2.2
事件间的关系及运算
2．事件的运算 (3) 事件A与B的差 属于事件 A 而不属于事件 B 的样本点的全体组成的集合 称为A与B的差事件，记为A – B．其概率含义是：A发生 而B不发生． (4) 对立事件 由在 中而不在A中的样本点组成的集合称为 A的对立 事件（逆事件）记为 A ．其概率含义是： A 不发生．显 然， A Ω A，A A ．
§1.1 随机试验与样本空间
1.1.1
随机试验
自然界和社会上发生的随机现象也是广泛存在的．例如， 抛掷一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上； 一天内进入某超市的顾客数；某种型号电视机的寿命， 这些都是随机现象的例子． 概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验： (1) 可以在相同条件下重复进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的 所有可能结果； (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．
5 = {(x，y) | x2 + y2 1}．
§1.1 随机试验与样本空间
1.1.2
样本空间
关于样本空间的几点说明： (1) 样本空间中的元素可以是数也可以不是数； (2) 样本空间中的样本点可以是有限多个的 , 也可以是无 限多个的．仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本 空间．
§1.2 随机事件及其概率
§1.2 随机事件及其概率
1.2.1
随机事件
【例1-2】掷一颗骰子的样本空间为： = {1，2，3，4， 5，6}． 事件C =“出现的点数不大于6”，它由 的全部样本点 “ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6” 组成 ， 是必然事 件 ，可 记 为 C = ． 事件D =“出现的点数大于6”， 中任一样本点都不在 D中，所以D是不可能事件，可记为D = ．