质点动力学2

Mω − ∫T d T = ∫r rdr l
2 0 l
Mω 2 2 2 T (r ) = (l − r ) 2l
张力T在杆中不同位置处是不同的。在 杆的末端附近，张力最小，在杆的固定端附 近，张力最大。
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6
§2.3 力学相对性原理 非惯性系中的力学定律
一、力学相对性原理 一、力学相对性原理 在经典力学中，质量、时间、空间和 力与参照系无关。则在任何相对惯性系K 作匀速直线运动的参照系K '中，牛顿定律 都成立。
2 2
向上
25
第二章 第二章
以地面参照系，向上为正，由动量定理
I = ∫ dp = ∫
p0
p
t
0
∑ F dt
t 0
Δp = I = ∫ ( N − mg )dt = ∫ madt
0
t
或由物体动量的增量
d p = d ( mv) = m d v = ma d t
Δp = m ∫ (3 + 5t ) d t = 160(N⋅ s)
2
F
Fi
方向垂直转轴向外
ϕ P
14
惯性力Fi与引力F之比
第二章 第二章
Fi ω 2 R cos ϕ cos ϕ = ≈ << 1 F g0 290
F>>Fi
重力P方向：近似与引力F同向，指向地心（P 与F之间的夹角非常小） 重力P大小：引力F减去惯性力Fi的分量Fi cosϕ cos 2 ϕ ω P = mg ≈ F − Fi cos ϕ = mg 0 (1 − ) N 290 Fi cos 2 ϕ F g = g 0 (1 − ) 重力加速度 290 地球视为质量均匀分布的球体
练习
13
第67页 【例】2.10
第二章 第二章
地面上纬度ϕ处，有一质量为m的静止物 体。考虑地球自转的影响，求物体的重力和 该处的重力加速度。
【解】在地球非惯性系中，物体受力：万
惯 性 力
有引力F、惯性离心力Fi和地面支持力N。重 力P = F+Fi与支持力N等大反向。 ω mM 方向指 N 引力 F = G 2 = mg 0 m 向地心 R 惯性离心力 Fi = man = mω R cos ϕ
o θ
以角 θ 表示小球的位置，最 低点θ=0 ，逆时针为正方向，采 用自然坐标系，方程分量式为：
RT mg
v
1
第二章 第二章
切向 法向 作变换
dv − mg sin θ = mat = m dt v2 T − mg cosθ = man = m R
① ②
T mg
θ
dv dv dθ dv dv v = = ω= dt dθ dt dθ dθ R
标，选取距o点r至r+dr之间一段细杆微元 作为研究对象。 受力分析，设r处受力为T，r+dr处受 力为T+dT，此段细杆的运动方程为：
5
T − (T + dT ) = dm ⋅ an
第二章 第二章
v2 M − dT = d m⋅ = dr ⋅ ω 2 r r l
边界条件，r =l 时，T（l）= 0，积分得
t0
21
t
质点系动量的增量等于合外力的冲量
三、动量守恒定律 三、动量守恒定律 动量守恒定律 若质点系所受合外力为零，则质点系 的总动量保持不变。
第二章 第二章
F =0
P = ∑ mv = 常矢量
分 分 量 量 Py=Σmiviy=恒量（Fy=0时，在y方向上守恒） 式 式
Pz=Σmiviz=恒量（Fz=0时，在z方向上守恒）
t
0
冲量I：力的 I = 时间累积效应
∫t F d t
0
t
单位 牛·秒（N·s）
17
质点动量定理 Δt时间内，质点所受合力的冲量等 于Δt时间内质点动量的增量：
第二章 第二章
I = p − p0 = Δp
动量定理分量式 动量定理分量式 动量定理微分式 动量定理微分式
I x = ∫t0 Fx d t = mv x − mv0 x
Fi=ma
θ
a
θ
T
a θ = arctan g
mg
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16
§2.4 动量定理 动量守恒定律
一、质点动量定理 一、质点动量定理 牛顿定律是力和效果之间的瞬时关系， 考虑力持续作用一段时间的效应。 牛顿定律变形
Fdt = dp
第二章 第二章
作用的持续时间为t0~t，积分
∫t F d t = p − p 0 = m v − m v 0
8
二、非惯性系中的力学定律 二、非惯性系中的力学定律 如果参照系相对惯性系加速平动或转 动，那么，在这个系中牛顿定律不成立。 凡是牛顿定律不成立的参照系都是非惯性系 凡是牛顿定律不成立的参照系都是非惯性系 1．加速平动非惯性系 车厢加速度a0 物体m受合力F 地面参照系中 牛顿定律成立 物体相对车厢加速度a′
F = ma = m(a '+ a0 )
m
第二章 第二章
a
a'
a0
F
9
第二章 第二章
在以车厢为参照系观察时，物体受力 仍为F，但加速度为却为a′，F≠ma′，（比 如m相对车厢静止，a′=0，合力F为车厢对 m的摩擦力）牛顿定律不成立。
a'
m
F
F ≠ ma '
10
惯性力
a' m
第二章 第二章
为了使以车厢 F惯 作参照系时牛顿定律 F 仍能成立，假想物体 还受到一个惯性力的 作用，F惯 = – ma0。 F惯 = − ma0 则车厢参照系中牛顿 定律成立。 牛顿定律F + F惯 = ma ' 成立 惯性力是非惯性系中假想的力，是为使 非惯性系中的方程和惯性系中的一致，反映 了非惯性系的加速效应。惯性力没有施力 者，也没有反作用力。
第二章 第二章
∫
t
t0
F (t )dt
F 称为平均冲力
∫ F (t) d t = F=
t0
t
Δt
I Δt
冲量
I = F Δt
19
二、质点系动量定理 二、质点系动量定理 质点系（组）：若干质点组成的系统。各 质点可受到外力和内力的作用。
F1 f12 m1 f13 f31 m3 f21 m2 F2 f23 f32 F3
第二章 第二章
F1、F2、F3
外力（合力） 内力
20
f12、f13、f21、f23、f31、f32
对每一质点应用质点动量定理
( F1 + f12 + f13 )dt = dp1 ( F2 + f 21 + f 23 )dt = dp2 ( F3 + f 31 + f 32 )dt = dp3
第二章 第二章
t
dI = F d t = d p
I y = ∫t0 Fy d t = mv y − mv0 y
t
dI x = Fx dt = dp x
dI y = Fy dt = dp y
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I z = ∫t0 Fz d t = mv z − mv0 z dI z = Fz dt = dp z
t
冲力、平均冲力 冲力、平均冲力 F一般是时间t的函数，在碰撞、打击等 过程中物体之间的作用力称为冲力，冲力通 常持续时间短，变化大，难确定F(t)和t的关 系，常用平均冲力的概念，图中阴影面积与 力F曲线下的面积相等。 F F o t0 Δt t t
11
a0
2．转动非惯性参照系 惯性离心力 转动非惯性系 参照系相对惯性系只有转动 时，称为转动非惯性参照系。 惯性离心力 设水平转台绕固定于地面的坚 直轴以匀速 ω 转动，小球m用长r的线连在转 轴上相对转台静止。 ω
T = man = mω 2 ren 地面参照系
r m T
第二章 第二章
转台参照系 设 Fi = − man
0
26
2
冲 量 动 量
小球在水平面内以角速度 ω 匀速转动。 在转动一周的过程中，求： （1）小球动量增量； （2）小球所受重力的冲量； m （3）小球所受绳子拉力的冲量。
【例】 图示一圆锥摆，质量为m的
第二章 第二章
【解】 小球受力：重力mg和绳子
拉力F；F在竖直方向上的分量与重 力抵消，水平方向上的分量提供向心 力。转动一周后，小球又回到初始状 态，动量的增量为零；一周内向心力第二章
（4）守恒定律公式中的各质点速度必须相 对于同一参照系，在非惯性系中必须考虑惯 性力和惯性力的冲量。 （5）动量定理、动量守恒定律是自然界最 基本、最普遍的规律之一，虽然是从牛顿第 二定律导出，但在微观领域中仍然适用，在 高速时也成立。
练习
24
【例】一吊车底板上放一质量为10kg的物
ϕ P
15
【例】 火车在水平直轨道上以加速度a向
右行驶。在车中用细线悬挂一小球，悬线相 对于火车静止时与竖直方向成 θ 角，如图所 示。试以车厢为参照系，列出动力学方程， 并求出θ角。（本题5分）
惯 性 力
第二章 第二章
【解】重力mg、绳子拉力T
和惯性力Fi= ma ，小球静止 动力学方程 T + mg + Fi = 0 水平方向 T sin θ − ma = 0 垂直方向 T cosθ − mg = 0 得
体，若吊车加速上升，加速度为a = 3 + 5t （SI），则2秒内吊车底板给物体的冲量大 ；2秒内物体动量的增量大小 小I = Δp = 。（本题4分） a
第二章 第二章
【解】 以吊车为参照系，物体受
冲 量 、 动 量
N
到重力mg、惯性力ma和底板支持力 N的作用而相对吊车静止。 ma mg 底板对物体的作用力 方向向上 N = m( a + g ) = 128 + 50t 冲量 I = ∫0 Ndt = ∫0 (128 + 50t )dt = 356( N ⋅ s)