6gccs2离散傅里叶变换
离散傅里叶变换
x ( n)
1 N
X (k )W
nk N
时域的离散导致其频域的周期性，而时域的周 期性导致其频域的离散，也就是说，一个域的离 散会导致另一个域的周期延拓。
2013-7-26
3.3 几种傅里叶变换的比较
5．离散傅里叶变换与离散傅里叶级数的关系 前面已经说过，一个长度为N的因果有限长序 x 列 x(n) 可以看作是周期为N的周期序列 ~(n) 的一个周 期， x(n) ~(n)R (n) x x x 我们称 x(n) 为 ~(n) 的主值区间。而周期序列 ~(n) 显然 也可以看成是有限长序列x(n) 的周期延拓，用如下 x 符号表示 ~(n) x((n)) 其中 ((n)) 表示“n对N取余数”，即若
k 0
N 1
j
2 nk N
1 N
X (k )WNnk
k 0
N 1
n 0， N 1 1 ，
显然 是以N为周期的序列，因此离散傅里叶 逆变换 x(n)也是周期的，周期为N，同样在逆变换 的定义式中，我们仅取出了一个周期的值。
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3.2.2 离散傅里叶变换定义导出的图形解释
~ X (k ) X (k ) R N (k ) ~ X (k ) X (( k )) N
17
因此，离散傅里叶变换X (k ) 是离散傅里叶级数 X~ (k ) 的主值区间，而离散傅里叶级数可看作是离散傅 里叶变换的周期延拓。相对应的，离散傅里叶逆 变换是离散傅里叶级数反变换的主值区间，而离 散傅里叶级数的反变换是离散傅里叶逆变换的周 期延拓。
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3.4 离散傅里叶变换的性质
6．循环卷积定理 两个长度为N的有限长序列 x(n)和 h(n)的循环卷积 定义为
离散傅里叶变换
n
(d )
－
o N点
s
图 2-1 各种形式的傅里叶变换
第2章 离散傅里叶变换 一 个 非 周 期 连 续 时 间 信 号 xa(t) 经 过 等 间 隔 采 样 的 信 号 （x(nT)），即离散时间信号——序列 x(n)，其傅里叶变换X(ejω)是 以2π为周期的连续函数，振幅特性如图2-1(c)所示。 这里的ω是 数字频率，它和模拟角频率 Ω的关系为ω=ΩT。若振幅特性的频 率轴用Ω表示，则周期为Ωs=2π/T。 比较图2-1(a)、（b）和
WN e
j
2 N
（2-5）
第2章 离散傅里叶变换 使用WN， 式（2-4）及式（2-2）可表示为:
N 1 N 1 j nk ~ nk X ( k ) DFS [ ~ x ( n )] ~ x ( n )e N ~ x (n )WN n 0 n 0 2 2
第2章 离散傅里叶变换
作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除 了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法——快 速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核 心作用。 有限长序列的离散傅里叶变换（DFT ）和周期序列的离散 傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。
第2章 离散傅里叶变换
时间函数 连续、非周期 连续、周期 离散、非周期 离散、周期 频率函数 非周期和连续 非周期和离散 周期和连续 周期和离散
第2章 离散傅里叶变换 可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期 延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表2-1对这 四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。 下面我们先从周期性序列的离散傅里叶级数开始讨论，然 后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变 换。
离散傅里叶变换公式
离散傅里叶变换公式离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，简称DFT）是一种重要的数学工具，在生活中有广泛的应用。
它的发明者是法国数学家傅里叶，现在也被称为“傅里叶变换”。
本文的目的是提供有关离散傅里叶变换的概述，以及它的重要应用。
一、离散傅里叶变换的概念简单来说，离散傅里叶变换（DFT）是通过求解微积分方程来计算信号函数的值的一种数学工具。
它可以用来表示信号函数在时间域上的内容，也可以用来表示信号函数在频率域上的内容。
离散傅里叶变换对正交函数求值有很大的优势，因为它把正交函数分解为一个和平方和的形式。
DFT的计算公式如下：$$ X_k=sum_{n=0}^{N-1} x_ncdot e^{-frac{2{pi}ink}{N}} $$ 其中，$x_n$是信号函数的采样值，$X_k$是信号函数时域上和频率域上的系数，$N$是信号函数的采样频率，$k$是离散傅里叶变换后的频率系数，$n$是信号函数在时域上每个采样点的标号。
二、离散傅里叶变换的重要应用1.频处理离散傅里叶变换的强大的数学特性使它成为音频处理的理想工具。
它可以用来将音频信号从时域转换成频域。
换句话说，它可以用来把声音转换成不同的频率的峰值。
因此，离散傅里叶变换可以用来调节、增强或者减弱各个频率的信号，从而获得更好音质的音频信号。
2.像处理离散傅里叶变换也可以用来处理图像，比如，将图像从时域转换成频域。
它可以把图像拆分成不同的频率部分，从而将图像模糊处理、滤除噪声或增强图像。
三、结论离散傅里叶变换是一种强大的数学工具，它可以用来处理音频信号和图像信号，从而获得更好的效果。
它的应用范围可能会扩展到其他领域，例如信号处理，它将会成为更多的工程应用中的绝佳选择。
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。
在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。
即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。
在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
目录对换实例离散傅里叶变换的基本性质对换实例离散傅里叶变换的基本性质展开编辑本段对换实例傅里叶变换的变换对对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为?x[k ] = N - 1Σn = 0 e - i 2 π–––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1.其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。
通常以符号F表示这一变换，即?x= Fx离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1––N N - 1Σk = 0 e i 2 π–––––N nk ?x[k ] n = 0,1, …,N-1.可以记为：x = F -1 ?x实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。
在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。
有时会将这两个系数都改成1/ √––N，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。
从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）?x( ω)都是连续的。
由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和?x都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。
数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。
设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。
x discrete (t) = x (t) N - 1Σn = 0 δ(t-nT) = N - 1Σn = 0 x (nT) δ(t-nT)它的傅里叶变换为?xdiscrete ( ω) = N - 1Σn = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1––T N - 1Σn = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。
离散傅里叶变换的基本性质
x4 (l)WNkl/ 4
i0
i0
x3(k ) WNk /2 X 4 (k ), k 0,1, N / 2 1
式中
N / 41
x3(k)
x3(l)WNkl/ 4 DFT [x3(l)]
i0
N / 41
x4(k)
x4 (l)WNkl/ 4 DFT [x4 (l)]
第二节 快速傅里叶变换
一、离散傅里叶变换 （一）离散傅里叶变换的定义 （二）离散傅里叶变换的基本性质 （三）频率域采样
DFT要解决两个问题： 一是离散化(有利于计算机处理)； 二是快速运算(提高实时性)。
傅氏变换
离散化
信号处理
DFT(FFT)
（一）离散傅里叶变换的定义
DFT的定义： 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N
例如，N=210=1024时，DFT与FFT运算量之比为：
N2
1048576 204.8
(N / 2) log2 N 5120
FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线
4. DIT―FFT的运算规律及编程思想 （1）原位计算 由图可以看出，DIT-FFT的运算过程很有规律。
N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运 算组成。
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
N点DIT―FFT运算流图(N=8)
离散傅里叶变换基础知识
离散傅里叶变换基础知识离散傅里叶变换基础知识傅里叶是一位法国数学家，他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数做为基函数来表示，也就是我们数学上面学到的傅里叶级数，设一个周期函数f(t)，其周期为T，则其角频率为w0=2πT，则该函数可以展开为一系列三角函数的累加：f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+?=a02+∑a n cosnw0t+b n sinnw0t ∞n=1其中，上式中的各个系数：a0=2T∫f(t)dtT2T2a n=2T∫f(t)cosnw0tdt T2T2b n=2T∫f(t)sinnw0tdt T2T2但这个形式不太好用，因为正弦和余弦项是分开的，我们要考虑把他们两个整合起来，这样对每一个频率nw0我们就可以得到一个系数项（比如上式的a n或者b n），这其实就是该频率对应的幅值。
然后我们以频率为X轴，以其对应的幅值为Y轴，就可以得到该函数在频域里面的图像了。
对于周期函数，其频域里面的图像是不连续的，只在w=0,±w0,±2w0…才有图像。
那么我们该如何将上面的正弦项和余弦项整合到一块呢？答案是欧拉公式。
下面就是鼎鼎大名的欧拉公式：e iwt=coswt+isinwt换个表达方式：coswt=12(e iwt+e?iwt)sinwt=12i(e iwt?e?iwt)将上面的公式代入傅里叶级数中：f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+?=a02+∑a n cosnw0t+b n sinnw0t ∞n=1=a02+∑{a ne inw0t+e?inw0t+b ne inw0t?e?inw0t2i}∞n=1=a02+∑{a n?b n i2e inw0t+a n+b n i2e?inw0t}∞n=1=a02+∑{c n e inw0t+c?n e?inw0t}∞n=1我们将上面的a n和b n的计算式代入，可以发现：c n=1T∫f(t)(cosnw0t?isinnw0t)dt=1T∫f(t)e?inw0t dtT2T2T2T2c?n=1T∫f(t)(cosnw0t+isinnw0t)dt=1T∫f(t)e inw0t dtT2T2T2T2所以我们可以将级数中的累计范围变为-∞到∞，这样就可以将c n 和c?n给统一起来，即：f(t)=∑c n e inw0t∞∞其中c n=1T∫f(t)e?inw0t dt T2T2上式的c n就是我们在频域所需要的，它是关于频率w的函数，其函数值为频率w对应的幅值。
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
它是傅里叶变换在离散领域的推广和延伸，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
在理解离散傅里叶变换之前，我们先来回顾一下傅里叶变换的概念。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号表示为不同频率的正弦波或余弦波的叠加。
傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，从而实现滤波、音频处理等操作。
而离散傅里叶变换则是将傅里叶变换应用于离散信号。
离散信号是指信号在时间（或空间）上以离散的方式采样得到的信号。
在现实应用中，信号往往是以数字的形式存储和处理的，因此离散傅里叶变换成为了非常重要的工具。
离散傅里叶变换的定义如下：给定由N个实数或复数构成的序列{x(n)}，其离散傅里叶变换为:X(k) = Σ(x(n) * e^(-i2πkn/N))其中，k和n都是整数，X(k)是频谱上的一个点，对应于频率为k的分量，x(n)是原始信号上的一个点。
离散傅里叶变换的求解可以利用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法进行高效计算。
FFT算法利用了信号的周期性和对称性，通过将计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算的速度。
FFT算法的精髓在于将长度为N的DFT分解为多个长度为N/2的DFT，这样递归地进行分解，最后合并得到结果。
离散傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用。
例如，在音频处理中，可以利用离散傅里叶变换将时域上的音频信号转换为频域上的频谱图，从而实现音频的分析和处理。
在图像处理中，可以利用离散傅里叶变换将图像转换为频域表示，进而实现图像去噪、图像压缩等操作。
离散傅里叶变换还被广泛应用于通信系统中。
在数字通信中，可以利用离散傅里叶变换将时域上的数字信号转换为频域上的信号，实现信号的调制和解调。
在无线通信中，可以利用离散傅里叶变换对信号进行频谱分析，从而实现信号的解调和信号的检测。
离散傅里叶变换2解析
域必须是周期的。
周期的
离散的
四种付里叶变换形式的归纳
§ 3-2序列的傅立叶变换
离散时间信号（Discrete Time Signal）
1、概念： 一个离散时间(非周期)信号及其频谱的关系，可以
用序列的傅立叶变换来表示。
正变换：DTFT [ x(n)] X (e j ) x(n) e jn
xei(n) = -xei(-n)
实部为偶函数 虚部为奇函数
共轭反对称序列： xo (n) xo (n)
若：xo(n) = xor(n) + jxoi(n)
则：-xo*(-n) = -xor(-n) + jxoi(-n)
有：xor(n) = -xor(-n)
实部为奇函数
xoi(n) = xoi(-n)
0 T 2T
NT
12
N
t 频域的周期为s n
2
T
.
x(e jk0T ) x(k )
S=2/T fs=1/T
0 2 TP
s N0
*时域是周期为T p函数， 频域的离散间隔为 :
2
0 Tp ;
0 0 20
N0
k
0 1 23
N
由上述分析可知，要想在
时域信号
频域信号
时域和频域都离散，那么两 离散的
周期的
s / 2
离散的
X (e jT )e jnT d 非周期的
s / 2
周期的 连续的
*时域抽样间隔为T ,
正 : X (e jT )
x(nT )e jnT
n
频域的周期为 s
2
T
四.离散时间、离散频率的傅氏变换 DF离T 散傅里叶变换
离散傅里叶变换
在第二章讨论了利用序列的傅里叶变换和 z 变换来表示序列和线性时
∞
∑ 不 变 系 统 的 方 法 ， 公 式 分 别 为 ： X (z) = x(n)z −n 和 n=−∞
∞
∑ X (e jw ) = x(n)e− jwn 。对于有限长序列，也可以用序列的傅里叶变换和 n=−∞
∫ x(n) =
1
π
X (e jw )e jwn dw ，时域为非周期离散序列，频域为周期为 2π
2π −π
的连续周期函数。
以上三种傅里叶变换都是符合傅里叶变换所谓的是建立以时间为自变
量的"信号"与以频率为自变量的"频率函数"之间的某种变换关系。不同形式 是因为时间域的变量和频域的变量是连续的还是离散而出现的。这三种傅里
3
∑ ~x (n) = 1
N
N −1 X~ k e jkw0n
k =0
∑ X~
(k
)
=
N
−1
~x (n)e
−
j
2π N
kn
n=0
为周期序列的傅里叶级数对
在上面的傅里叶级数对中，n 和 k 的范围是从-∞到∞。
为了表示的方便，引入变量WN = e − j(2π / N ) ，N 表示周期。重新写上面
∑ z 变换，但若取 ~x (n) 的一个周期，则 z 变换是收敛的。X (z) = ∞ ~x (n)z −n ， n=−∞
当 取 z = e j(2π / N )k 时 ， X (z) = X~ (k ) ， 而 X (e jw ) = X (z) |z=e jw ， 当 w = (2π / N )k 时， X (e jw ) = X~ (k ) ，这相当于在ω=0 到ω=2π的范围内，
第二讲 Part2 离散傅里叶变换_基础
第二讲 Part2 离散时间信号的傅里叶变换2.1 连续周期信号的傅里叶级数设()x t 是复周期信号，且是周期的，周期为p T ， 则()x t 能展开为傅里叶级数：00()()jk tk x t X k e∞Ω=-∞=Ω∑02/p T πΩ= 傅里叶系数为：0/20/21()()T jk t T pX k x t e dt T -Ω-Ω=⎰。
注意：傅里叶级数反映傅里叶的基本思想与观点：即任意函数可由正弦函数合成，例如看到矩形函数想到的是一系列正弦函数。
为什么用正弦函数，这与线性系统的性质有关。
Example 4.1.1 Determine the Fourier series and the power density spectrum of the rectangular pulse train signal.Solution: The signal is periodic with fundamental period p T , and clearly satisfies the Dirrichlet conditions./2/20/2/211()p p T T p ppA c x t dt Adt T T T τττ--===⎰⎰ The above term 0c represents the average value of the signal ()x t .00002/22/2/2/20001[]2sin()2j kF t j kF tk p p j kF j kF pp A e c Aedt T T j kF kF A e e A F kT j T kF πτπτττπτπτππττππτ-----==--==⎰It is interesting to note that the right-hand side has the form sin φφ.2.2 连续非周期信号的傅里叶变换2.2.1 基本概念设()x t 是连续时间信号，且2|()|x t dt ∞-∞<∞⎰傅里叶变换定义为： -j t -X(j )=x(t)e dt ∞Ω∞Ω⎰傅里叶反变换为：1()()2j t x t X j e d π∞Ω-∞=ΩΩ⎰注意：典型的重要函数sin(2)()t x t tππ=一个周期矩形信号的傅里叶变换为sin(/2)()/2X j A τττΩΩ=Ω注意：傅里叶变换是频谱密度的概念。
离散傅里叶变换表
离散傅里叶变换表一、引言1.1 背景傅里叶变换是离散信号处理中一项重要的数学工具。
通过将信号分解为一组基本频率分量，傅里叶变换能够帮助我们理解信号的频谱性质以及对信号进行频域处理。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是傅里叶变换在离散时序信号处理中的一种形式。
为了方便使用离散傅里叶变换，我们可以借助离散傅里叶变换表来进行相关计算。
1.2 目的本文旨在深入探讨离散傅里叶变换表的相关概念、原理及使用方法，帮助读者更好地理解和应用离散傅里叶变换。
二、离散傅里叶变换表的概念2.1 定义离散傅里叶变换表是一种用于记录离散信号傅里叶变换结果的表格。
表中的每个元素都代表了输入信号在不同频率下的幅度和相位信息。
离散傅里叶变换表通过提供离散信号的频谱信息，帮助我们理解信号的频域特征。
2.2 数据结构离散傅里叶变换表通常采用二维数组来表示。
其中，行代表频率，列代表离散信号序列的元素位置。
表中的每个元素都是一个复数，包含了频域幅度和相位信息。
通过查找表中的元素，我们可以得到离散信号在不同频率下的频谱表示。
三、离散傅里叶变换表的原理3.1 傅里叶变换公式离散傅里叶变换是由连续傅里叶变换演化而来的，它将连续信号的傅里叶变换拓展到了离散信号上。
离散傅里叶变换公式如下：其中，N代表离散信号长度，x[n]表示离散信号序列，X[k]表示离散信号的频域表示。
3.2 离散傅里叶变换表的生成方法离散傅里叶变换表可以通过计算离散信号在不同频率下的傅里叶变换结果得到。
常用的生成方法是使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法，该算法通过有效的计算方法减少了计算复杂度，提高了计算效率。
通过FFT算法，我们可以快速生成离散傅里叶变换表。
四、离散傅里叶变换表的使用方法4.1 查找频域信息离散傅里叶变换表中的元素代表了离散信号在不同频率下的频谱信息。
通过查找表中的元素，我们可以获取信号在某一频率下的幅度和相位信息。
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换第三章离散傅里叶变换离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。
但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。
近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
§ 3-1 引言■ DFT是重要的变换1■分析有限长序列的有用工具2■在信号处理的理论上有重要意义。
3■在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
二.DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：一是离散与量化, 二是快速运算。
傅氏变换--------- 离散量化DFT(FFT)信号处理§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换QO)= x(t)e j"dt—odA od反:x(tp —X(j「)e j ^d1^2 兀一oO时域信频域信连续非周期非周期连续对称性:时域连续，则频域非周期。
反之亦然。
二■连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数1 T p /2 _ jk O t正:X(jk「0) x(t)e j 0t dtT p -T p/2□0反：x(t)= ' X(jk「0)e jk r tk 二—：：*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2n /Tp时域信频域信连续非周期周期离散三■离散时间、连续频率的傅氏变换--序列的傅氏变换♦I 右I ・t 0 T 2T正：X(e ，T )= ' x(nT)ejn Tn 一二丄"s/2X(e r T)ejn ，Td1s “s/22兀*时域抽样间隔为T ，频域的周期为“ s 行时域信 频域信 离散 周期 非周期连续x ( nT反：x(nT)=由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。
离散傅里叶变换及其快速算法
第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。
效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。
(2) 时域截断：原因：工程上无法处理时间无限信号。
方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。
结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。
(3) 时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。
方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。
表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。
结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。
(4)1。
图1 DFT 推导过程示意图(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑∞-∞=-=π--δ⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~010/2(i))(~f H 是离散函数，仅在离散频率点SNT kT k kf f ===00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。
(ii) )(~f H 是周期函数，周期为ss T NT N T N Nf 100===，每个周期内有N 个不同的幅值。
(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。
2 DFT 及IDFT 的定义(1) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(10/2-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∆-=π-∑N k NTk H enT h nT h DFT s N n Nnk j s s N (2) IDFT 定义：设⎪⎪⎭⎫⎝⎛s NT kH 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为：())1,...,1,0(,110/21-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆-=π--∑N k nT h e NTkH NNT kH DFT s N k N nk j s sN (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。
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t
2.4 信号的时差域相关分析 相关分析的工程应用
案例：机械加工表面粗糙度自相关分析
重庆大学材料学院
被测工件
相关分析
提取出回转误差等周期性的故障源。
2.4 信号的时差域相关分析
案例：地下输油管道漏损位置的探测
重庆大学材料学院
6.6 常用的数字信号处理算法
重庆大学材料学院
3.信号频率成分直接估计算法
6.6 常用的数字信号处理算法
重庆大学材料学院
2、数字相关函数计算
变量之间的相依关系称为相关。信号之间的相 似关系称为相关函数。
A
0
t
6.6 常用的数字信号处理算法
计算公式： x(t)
时 延 器
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y(t)
乘 法 器
X(t)y(t - τ)
积 分 器
Rxy(τ)
y(t - τ)
For i = 0 To N r(i)=0 For j = 0 To N r(i)=r(i)+x(j)*y(j+i) Next Next For i = 0 To N r(i)=r(i)/N Next
相当于透过栅栏看风景，只能看到 频谱的一部分，而其他频率点看不见， 因此很可能使一部分有用的频率成分 Δ 被漏掉，此种现象被称为栅栏效应。
0
Δf
f
6.6 栅栏效应与窗函数
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2 能量泄漏与栅栏效应的关系 频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖 锐，产生误差的可能性就越大。 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率 与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为 无穷大。
XI=0
6.6 常用的数字信号处理算法
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4、数字滤波
利用离散时间系统特性对输入信号(或频谱) 进行加工处理，把输入序列 x(n) 变换成一定的 输出序列 y(n)， 从而达到改变信号频率构成的 目的。广义上讲，数字滤波是由计算机程序来实 现的，是具有某种算法的数字处理过程。 数字滤波主要分为有限冲击响应滤波器(FIR)和 无限冲击响应滤波器两种，FIR滤波器计算公式为： y(k)=a0x(k)+a1x(k+1)+a2x(k+2)+…+ amx(k+m)
通过加窗控制能量泄漏，减小栅栏效应误差：
6.6 栅栏效应与窗函数
思考题：
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1.A/D，D/A转换器的主要技术指标有那些 ？
2.信号量化误差与A/D，D/A转换器位数的关系 ？
3.采样定理的含义，当不满足采样定理时如何计算 混迭频率 ？
4.A/D采样为何要加抗混迭滤波器，其作用是什麽？
5)周期T A T
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t
n=0 AT=0.8*P For K = 2 To N If data(k-1)<AT And data(k-2)<AT And data(k+1)>AT And data(k+2)>AT Then ti(n)=K n=n+1 End If Next T=(ti(2)-ti(1))*dt
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3 常用的窗函数
1）矩形窗
优点：主瓣较集中 缺点：旁瓣较高，并有负旁瓣。 导致变换中带进高频干扰和泄漏， 甚至出现负谱现象。
6.6 栅栏效应与窗函数 2）三角窗
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特点： 1）与矩形窗相比，主瓣宽约等 于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而 且无负旁瓣。
6.6 栅栏效应与窗函数 3）汉宁窗
式中，N为信号采样长度，m为数字滤波器长度， {a0,a1,…am}为滤波器系数
k=0,1…N-m
6.6 常用的数字信号处理算法
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低通滤波算例
For i=0 To N－7
Y(i)=-0.02216042X(i+0)-0.05067773X(i+1)+0.26974228X(i+2)+0.58996165X(i+3) +0.26974228X(i+4)-0.05067773X(i+5)-0.02216042X(i+6) NEXT
上述代码十分简单，但却与一个低通RC滤波器作用相当。
6.6 常用的数字信号处理算法 数字滤波应用实例:
滤除信号中的零漂和低频晃动，便于门限报警
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滤除信号中的高频噪声，以便于观察轴心运动规律
6.6 常用的数字信号处理算法 思考题：
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1.目前数字信号处理正在逐步取代用模拟电路实 现的模拟信号处理，为什麽 ？ 2.按数字信号处理公式，你能用C语言开发出 出常用数字信号处理算法的计算程序么 ？ 3.按采样数据x(1),x(2),…，x(n)，计算信号的 时域波形参数 ？ Fs=10Hz,Xi{0,2,3,0,-1,-2,0,2,3,0,-1,-2,0} A
6.6 常用的数字信号处理算法
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1、时域波形参数计算
时域波形分析是最常用的信 号分析手段，用示波器、万 用表等普通仪器显示信号波 形就可以得到特征参数。
A
0
t
峰值/双峰值 均值 有效值 方差 周期
6.6 常用的数字信号处理算法 1)峰值P，双峰值Pp-p
P
重庆大学2=data(0) For K = 0 To N If P1<data(k) Then P1=data(k) End If
第六章、数字信号处理技术
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6.5 DFT与FFT
1、离散傅立叶变换 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform） 一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的 一个专用名词。 周期信号xT(t)的傅里叶变换：
第六章、数字信号处理技术
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对周期信号xT(t)采样，得离散序列xT(n),将 积分转为集合：
If P2>data(k) Then P2=data(k) End If Next P=P1 P2P=P1-P2
6.6 常用的数字信号处理算法
1 2)均值 E[ x(t )] N
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x ( n)
n 0
N
x
U=0 For K = 0 To N U=U+data(k) Next
展开，得连续傅立叶变换计算公式：
用计算机编程很容易计算出指定频率点值：
6.5 DFT与FFT
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采样信号频谱是一个离散频谱，不可能计算 出所有频率点值，设频率取样间隔为：
Δf = fs / N
频率取样点为｛0,Δf,2Δf,3Δf,....｝，有：
该公式就是离散傅立叶计算公式(DFT)
6.5 DFT与FFT
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2、快速傅立叶变换
快速傅立叶变换(FFT)是离散傅立叶变换的一 种有效的算法，通过选择和重新排列中间结果，减 小运算量。
展开各点的DFT计算公式：
XR(1)=x(0).cos(2pi*0*1/N)+x(1).cos(2pi*1*1/N)+x(2).cos(2pi*2*1/N)….. XR(2)=x(0).cos(2pi*0*2/N)+x(1).cos(2pi*1*2/N)+x(2).cos(2pi*2*2 /N)…..
离散傅里叶变换的计算公式为：
f=？ Fs=? N=1024 dt=1.0/Fs pi=3.1415926 XR=0
For n=0 To N-1 XR=XR+x(n)*cos(2*pi*f*n*dt)*dt XI=XI+x(n)*sin(2*pi*f*n*dt)*dt Next A=sqr(XR*XR+XI*XI) Q=atn(XI/XR)
N n 0
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( x(t ) ) 2
大方差
小方差
U=0 For K = 0 To N
V2=0
For K = 0 To N
V2=V2+(data(k)-U)*(data(k)-U) Next
U=U+data(k)
Next U=U/N
V=V2/N
6.6 常用的数字信号处理算法
5.数字信号处理中采样信号的频谱为何一定会产生 能量泄漏 ？ 6.用FFT计算的频谱为何一定会存在栅栏效应误差 ？ 7.窗函数的作用是什麽 ？
第六章、数字信号处理技术
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6.6 常用的数字信号处理算法
数字信号处理是测试技 术中最常用和最需要掌握的 部分，无论开发简单或复杂 的测控系统或仪器，都会用 到数字信号处理知识。
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特点： 1）相当于3个矩形时间窗的频谱和 2）旁瓣衰减速度增快，泄漏减小 3）但主瓣宽度增加，相当于分析 带宽加宽，频率分辨力降低
6.6 栅栏效应与窗函数 常用窗函数
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6.5 DFT与FFT
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总结：
信号截断能量泄漏
FFT栅栏效应
从克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。
6.5 DFT与FFT
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有大量重复的cos、sin计算，FFT的作用就是用技 巧减少cos、sin项重复计算。
当采样点数为1024点,DFT要求一百万次以 上计算量，而FFT则只要求一万次。
第六章、数字信号处理技术
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6.6 栅栏效应与窗函数
1、栅栏效应
如果信号中的频 为提高效率,通常采用FFT算法计算信号频谱， 率分量与频率取样点 设数据点数为N，采样频率为Fs。则计算得到的离 不重合，则只能按四 舍五入的原则，取相 散频率点为: 邻的频率取样点谱线 Xs(Fi) ， Fi = i *Fs / N 值代替。 , i = 0，1，2，.....，N/2 X(f)