初二数学特殊的三角形同步讲义

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八年级数学讲义特殊三角形二学生教师版

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特殊三角形二讲义例题讲解一1、已知:如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°,M、D分别为AB、MB的中点.求证:CD⊥AB.【变式】在直角三角形中,有一个锐角是另一个锐角的4倍,求这个直角三角形各个角的度数.2、在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为点D.(1)如果∠A=60°,求证:BD=3AD;(2)如果BD=3AD,求证:∠A=60°.【变式】如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线MN交AC于D,求证:AD= 12 DC.3、如图,在△ABC中,已知AB=AC=2a,∠ABC=15°,CD是腰AB上的高,求CD的长.【变式】已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAD=12∠BAC,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠ADB的平分线,求证:CD=12 DB.4、如图,△ABC中,AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,且DC=BF,DE⊥CF于E.(1)E是CF的中点吗?试说明理由;(2)试说明:∠B=2∠BCF.5、如图,△ABC中,CD、BE分别是AB、AC边上的高,M、N分别是线段BC、DE的中点.(1)求证:MN⊥DE;(2)连结DM,ME,猜想∠A与∠DME之间的关系,并写出推理过程;(3)若将锐角△ABC变为钝角△ABC,如图,上述(1)(2)中的结论是否都成立?若结论成立,直接回答,不需证明;若结论不成立,说明理由.【变式】已知:如图,△ABC中,M为BC中点,DM⊥ME,MD交AB于D,ME交AC于E.求证:BD+CE >DE.例题讲解二1、如图所示,在多边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=45°,∠B=∠D=90°,求多边形ABCD的面积.【变式】已知:如图,在△ABC,BC=2,S△ABC=3,∠ABC=135°,求AC、AB的长.,求此三角形的面积.2、已知直角三角形斜边长为2,周长为263、长方形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长.4、如图所示,在一棵树的10m高的B处有两只猴子,一只爬下树走到离树20m处的池塘A处,另外一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离的直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?【变式】如图①,有一个圆柱,它的高等于12cm ,底面半径等于3cm ,在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物,需要爬行的最短路程是多少?(π取3)5、(2016•贵阳模拟)一架梯子长25米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,(1)这个梯子的顶端距地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A ′,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?例题讲解三1、写出下列命题的逆命题,并判断其真假:(1)同位角相等,两直线平行;(2)如果2x =,那么24x =;(3)等腰三角形两底角相等;(4)全等三角形的对应角相等.(5)对顶角相等.(6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.【变式】下列定理中,有逆定理的个数是( )①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形三边a b c ,,满足222a b c +=,则该三角形是直角三角形;③全等三角形对应角相等;④若a b =,则22a b =.A .1个B .2个C .3个D .4个2、如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD ,AB =2,AD =23,CD =3,BC =5,求∠ADC 的度数.【变式1】△ABC 三边a b c ,,满足222338102426a b c a b c +++=++,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【变式2】如图所示,在△ABC 中,已知∠ACB =90°,AC =BC ,P 是△ABC 内一点,且PA =3,PB =1,PC =CD =2,CD ⊥CP ,求∠BPC 的度数.3、(2016春•咸丰县月考)如图所示,在△ABC 中,AB :BC :CA=3:4:5,且周长为36cm ,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动;点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动,如果同时出发,则过3秒时,△BPQ 的面积为多少 cm 2.4、如图所示,MN 以左为我国领海,以右为公海,上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来,便立即通知距其5海里,并在MN 线上巡逻的缉私艇B 密切注意,并告知A 和C 两艇的距离是13海里,缉私艇B 测得C 与其距离为12海里,若走私艇C 的速度不变,最早在什么时间进入我国海域?同步练习一一.选择题1.如图,数轴上点A 所表示的数为a ,则a 的值是( )A .51-B .51-+C .51+D .52.如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,已知S 1=4,S 2=9,S 3=8,S 4=10,则S=()A .25B .31C .32D .403. 如图所示,折叠矩形ABCD 一边,点D 落在BC 边的点F 处,若AB =8cm ,BC =10cm ,EC 的长为( )cm .A .3B .4C .5D .64.如图,长方形AOBC 中,点A 的坐标为(0,8),点D 的纵坐标为3,若将矩形沿直线AD 折叠,则顶点C 恰好落在边OB 上E 处,那么图中阴影部分的面积为( )A. 30 B .32 C .34 D .165.如图,已知△ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ,2l ,3l 上,且1l ,2l 之间的距离为2 , 2l ,3l 之间的距离为3 ,则AC 的长是( )A .172B .52C .24D .76.(2016•漳州)如图,△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,D 是线段BC 上的动点(不含端点B 、C ).若线段AD 长为正整数,则点D 的个数共有( )A .5个B .4个C .3个D .2个二.填空题7.若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则此三角形的第三边长为______.8. 如图,将长8cm ,宽4cm 的长方形纸片ABCD 折叠,使点A 与C 重合,则折痕EF 的长为__________cm .9.在△ABC 中,AB=13cm ,AC=20cm ,BC 边上的高为12cm ,则△ABC 的面积为cm 2.10.如图,它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边长为a ,较长的直角边长为b ,那么(a+b )2的值是 _________ .11. 已知长方形ABCD ,AB =3cm ,AD =4cm ,过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ,分别交AD 、BC 于点E 、F ,则AE 的长为_______________.12.在直线上依次摆着7个正方形(如图),已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,3,水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ,,,,则1234S S S S +++=______.三.解答题13.如图所示,一架长为2.5米的梯子,斜靠在竖直的墙上,这时梯子的底端距离底0.7米,求梯子顶端离地多少米?如果梯子顶端沿墙下滑0.4m ,那么梯子底端将向左滑动多少m ?14. 现有10个边长为1的正方形,排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求: 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.15. 将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2,P是AC上的一个动点.(1)当点P在∠ABC的平分线上时,求DP的长;(2)当点PD=BC时,求此时∠PDA的度数.同步练习二一.选择题1.下列各组数中,可以构成勾股数的是()A.13,16,19 B.,,C.18,24,36 D.12,35,372. 下列三角形中,不是直角三角形的是()A.三个内角之比为5∶6∶1B. 一边上的中线等于这一边的一半C.三边之长为20、21、29D. 三边之比为1.5 : 2 : 33. 下列命题中,不正确的是()A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形;B. 三边之比为1: 3:2的三角形是直角三角形;C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形;D. 三边之比为2:2:2的三角形是直角三角形.4. 如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD5.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )6. c b a ,,为直角三角形的三边,且c 为斜边,h 为斜边上的高,下列说法:①222,,c b a 能组成一个三角形 ②c b a ,,能组成三角形 ③h b a h c ,,++能组成直角三角形 ④hb a 1,1,1能组成直角三角形 其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4 二.填空题7.若△ABC 中,()()2b a b ac -+=,则∠B =____________.8.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的△ABC 是______三角形.9.(2016春•罗定市期中)若△ABC 的三边长分别为x +1,x +2,x +3,要使此三角形成为直角三角形,则x= . 10.△ABC 的两边a b ,分别为5,12,另一边c 为奇数,且a b c ++是3的倍数,则c 应为______,此三角形为______. 11.如果三角形的三边a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ,则三角形为 三角形. 12. 如果线段a b c ,,能组成一个直角三角形,那么2,2,2cb a ________组成直角三角形.(填“能”或“不能”).三.解答题13.已知a b c 、、是△ABC 的三边,且222244a cbc a b -=-,试判断三角形的形状.14.如图所示,在正方形ABCD中,M为AB的中点,N为AD上的一点,且AN=AD,试猜测△CMN是什么三角形,请证明你的结论.(提示:正方形的四条边都相等,四个角都是直角)15.在等边△ABC内有一点P,已知PA=3,PB=4,PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°,使P点到达Q点,连PQ,猜想△PQC的形状,并论证你的猜想.答案特殊三角形二讲义例题讲解一1、已知:如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°,M、D分别为AB、MB的中点.求证:CD⊥AB.【思路点拨】由∠ACB=90°,M为AB的中点.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM=12AB=BM,再根据在直角三角形中,30°所对的边等于斜边的一半得到CB=12AB=BM,则CM=CB,而D为MB的中点,根据等腰三角形的性质即可得到结论.【答案与解析】证明:∵∠ACB=90°,M为AB中点,∴CM=12AB=BM,∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴CB=12AB=BM,∴CM=CB,∵D为MB的中点,∴CD⊥BM,即CD⊥AB.【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形的性质:30°所对的边等于斜边的一半;也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质.举一反三:【变式】在直角三角形中,有一个锐角是另一个锐角的4倍,求这个直角三角形各个角的度数.【答案】解:设设一个锐角为x度,则另一个锐角为4x度,那么根据三角形内角和定理:三角形内角之和为180°,所以x+4x+90°=180°,x=18°,4x=72°,答:三角分别为18°,72°,90°.类型二、含有30°的直角三角形2、在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为点D.(1)如果∠A=60°,求证:BD=3AD;(2)如果BD=3AD,求证:∠A=60°.【思路点拨】(1)根据三角形的内角和定理求出∠ACD=∠B=30°,根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2AC,AC=2AD即可;(2)取AB的中点O,连接CO,设AD=x,则BD=3x,AB=4x,根据直角三角形斜边上中线求出AO=CO,AD=DO,证△COA是等边三角形即可求出答案.【答案与解析】证明:(1)∵∠C=90°,CD⊥AB,∠A=60°,∴∠ACD=∠B=30°,∵∠C=90°,CD⊥AB,∴AB=2AC,AC=2AD,∴AB=4AD,∴BD=3AD.(2)取AB的中点O,连接CO,∵BD=3AD,∴设AD=x,则BD=3x,AB=4x,∵∠C=90°,O是AB的中点,∴OC=OA=2x,∴OD=x=12 CO,∵CD⊥AB,∴∠OCD=30°,∴∠COD=60°,∵OA=OC,∴△ACO是等边三角形,∴∠A=60°.【总结升华】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线,含30度角的直角三角形,等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.举一反三:【变式】如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线MN交AC于D,求证:AD= 12 DC.【答案】解:如图,连接DB.∵MN是AB的垂直平分线,∴AD=DB,∴∠A=∠ABD,∵BA=BC,∠B=120°,∴∠A=∠C=12(180°-120°)=30°,∴∠ABD=30°,又∵∠ABC=120°,∴∠DBC=120°-30°=90°,∴BD=12 DC,∴AD=12 DC.3、如图,在△ABC中,已知AB=AC=2a,∠ABC=15°,CD是腰AB上的高,求CD的长.【思路点拨】过点C作CD⊥AB于D,根据等腰三角形的性质,三角形的内角与外角的关系得到∠DAC=30°.在直角△ACD中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长.【答案与解析】解:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=15°,∴∠DAC=30°,∵AB=AC=2a,∴在直角△ACD中CD= 12AC=a.【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质:等边对等角.三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半.举一反三:【变式】已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAD=12∠BAC,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠ADB的平分线,求证:CD=12 DB.【答案】解:∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°,∵DE是∠ADB的平分线,∴∠3=∠4,又∵DE=DE,∴△BED≌△AED (ASA),∴AD=BD,∠2=∠∵∠BAD=∠2=1 2B,∠BAC,∴∠1=∠2=∠B,∴AD=BD,又∵∠1+∠2+∠B=90°,∴∠B=∠1=∠2=30°,在直角三角形ACD中,∠1=30°,∴CD=12AD=12BD.类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、如图,△ABC中,AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,且DC=BF,DE⊥CF于E.(1)E是CF的中点吗?试说明理由;(2)试说明:∠B=2∠BCF.【思路点拨】(1)连接DF,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=BF=AB,然后求出CD=DF,再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可;(2)根据等边对等角可得∠DCF=∠DFC,∠B=∠BDF,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可.【答案与解析】(1)解:如图,连接DF,∵AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,∴DF=BF=AB,∵DC=BF,∴CD=DF,∵DE⊥CF,∴E是CF的中点;(2)证明:由(1)的结论DF=BF得∠FDB=∠FBD,∵DC=BF,∴∠DCF=∠DFC,由外角的性质得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF,∴∠FBD=2∠DCF,即∠B=2∠BCF.【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等腰三角形三线合一的性质,等边对等角的性质,熟记各性质是解题的关键.5、(2016春•广饶县期末)如图,△ABC中,CD、BE分别是AB、AC边上的高,M、N分别是线段BC、DE的中点.(1)求证:MN⊥DE;(2)连结DM,ME,猜想∠A与∠DME之间的关系,并写出推理过程;(3)若将锐角△ABC变为钝角△ABC,如图,上述(1)(2)中的结论是否都成立?若结论成立,直接回答,不需证明;若结论不成立,说明理由.【思路点拨】(1)连接DM、ME,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=BC,ME=BC,从而得到DM=ME,再根据等腰三角形三线合一的性质证明;(2)根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME,然后根据平角等于180°表示出∠DME,整理即可得解;(3)根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CME,然后根据平角等于180°表示出∠DME,整理即可得解.【答案与解析】解:(1)如图,连接DM,ME,∵CD、BE分别是AB、AC边上的高,M是BC的中点,∴DM=BC,ME=BC,∴DM=ME又∵N为DE中点,∴MN⊥DE;(2)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,∵DM=ME=BM=MC,∴∠BMD+∠CME=(180°﹣2∠ABC)+(180°﹣2∠ACB),=360°﹣2(∠ABC+∠ACB),=360°﹣2(180°﹣∠A),=2∠A,∴∠DME=180°﹣2∠A;(3)结论(1)成立,结论(2)不成立,理由如下:在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,∵DM=ME=BM=MC,∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2(180°﹣∠A)=360°﹣2∠A,∴∠DME=180°﹣(360°﹣2∠A)=2∠A﹣180°.【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等腰三角形两底角相等的性质,三角形的内角和定理,整体思想的利用是解题的关键.举一反三:【变式】已知:如图,△ABC中,M为BC中点,DM⊥ME,MD交AB于D,ME交AC于E.求证:BD+CE >DE.【答案】证明:如图,延长DM到F,使MF=DM,连接EF、CF,∵BM=CM,∠BMD=∠CMF,∴△BDM≌△CFM (SAS),∴BD=CF,∵DM⊥ME,DM=FM,ME是公共边,∴△DEM≌△FEM (SAS),∴DE=FE,在△ECF中,EC+FC>EF,∴BD+EC>DE.例题讲解二1、如图所示,在多边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=45°,∠B=∠D=90°,求多边形ABCD的面积.【答案与解析】解:延长AD、BC相交于点E∵∠B=90°,∠A=45°∴∠E=45°,∴ AB=BE=2∵∠ADC=90°,∴∠DCE=45°,∴ CD=DE=1∴12222ABES=⨯⨯=△,111122DCES=⨯⨯=△.∴13222ABE DCEABCDS S S=-=-=△△四边形.【总结升华】求不规则图形的面积,关键是将其转化为规则的图形(如直角三角形、正方形、等腰三角形等),转化的方法主要是割补法,然后运用勾股定理求出相应的线段,解决面积问题.举一反三:【变式】已知:如图,在△ABC,BC=2,S△ABC=3,∠ABC=135°,求AC、AB的长.【答案】解:如图,过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D,在△ABC中,∵S△ABC=3,BC=2,∴AD===3,∵∠ABC=135°,∴∠ABD=180°﹣135°=45°,∴AB=AD=3,BD=AD=3,在Rt△ADC中,CD=2+3=5,由勾股定理得,AC===.2、已知直角三角形斜边长为2,周长为26+,求此三角形的面积.【思路点拨】欲求Rt △的面积,只需求两直角边之积,而由已知得两直角边之和为6,结合勾股定理又得其平方和为4,于是可转化为用方程求解. 【答案与解析】解:设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、,则2222262a b a b ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩ 即2264a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②将①两边平方,得2226a ab b ++= ③③-②,得22ab =,所以1122ab = 因此这个直角三角形的面积为12.【总结升华】此题通过设间接未知数a b 、,通过变形直接得出12ab 的值,而不需要分别求出a b 、 的值.本题运用了方程思想解决问题.3、长方形纸片ABCD 中,AD=4cm ,AB=10cm ,按如图方式折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,求DE 的长.【思路点拨】在折叠的过程中,BE=DE .从而设BE 即可表示AE .在直角三角形ADE 中,根据勾股定理列方程即可求解.【答案与解析】解:设DE=xcm ,则BE=DE=x ,AE=AB ﹣BE=10﹣x ,△ADE 中,DE 2=AE 2+AD 2,即x 2=(10﹣x )2+16. ∴x=(cm ).答:DE 的长为cm.【总结升华】注意此类题中,要能够发现折叠的对应线段相等.类型二、利用勾股定理解决实际问题4、如图所示,在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子,一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处,另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处,距离的直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?【思路点拨】其中一只猴子从B →C →A 共走了(10+20)=30m ,另一只猴子从B →D →A 也共走了30m ,并且树垂直于地面,于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决.【答案与解析】解:设树高CD 为x ,则BD =x -10,AD =30-(x -10)=40-x ,在Rt △ACD 中,22220(40)x x +=-,解得:x =15.答:这棵树高15m .【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA ,然后利用勾股定理作等量关系列方程求解. 举一反三:【变式】如图①,有一个圆柱,它的高等于12cm ,底面半径等于3cm ,在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物,需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解:如图②所示,由题意可得:12AA '=,12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中,根据勾股定理得: 22222129225AB AA A B ''=+=+=则AB =15cm .所以需要爬行的最短路程是15cm .5、(2016•贵阳模拟)一架梯子长25米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,(1)这个梯子的顶端距地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A ′,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?【思路点拨】(1)利用勾股定理直接得出AB 的长即可;(2)利用勾股定理直接得出BC ′的长,进而得出答案.【答案与解析】解:(1)由题意得:AC=25米,BC=7米,AB==24(米),答:这个梯子的顶端距地面有24米;(2)由题意得:BA ′=20米,BC ′==15(米),则:CC ′=15﹣7=8(米),答:梯子的底端在水平方向滑动了8米.【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用,熟练利用勾股定理是解题关键.例题讲解三1、写出下列命题的逆命题,并判断其真假:(1)同位角相等,两直线平行;(2)如果2x =,那么24x =;(3)等腰三角形两底角相等;(4)全等三角形的对应角相等.(5)对顶角相等.(6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.【思路点拨】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论,然后将其交换位置,判断一个命题为真命题要经过证明,是假命题只需举出反例说明即可.【答案与解析】解:(1)逆命题是:两直线平行,同位角相等,它是真命题.(2)逆命题是:如果24x =,那么2x =,它是假命题.(3)逆命题是:有两个角相等的三角形是等腰三角形,它是真命题.(4)逆命题是:对应角相等的两个三角形全等,它是假命题.(5)逆命题是:如果两个角相等,那么这两个角是对顶角,它是假命题.(6)逆命题是:到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上,它是真命题.【总结升华】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论,然后将题设和结论交换位置,写出它的逆命题,可以借助“如果……那么”分清题设和结论.每一个命题都有逆命题,其中有真命题,也有假命题. 举一反三:【变式】下列定理中,有逆定理的个数是( )①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形三边a b c ,,满足222a b c +=,则该三角形是直角三角形;③全等三角形对应角相等;④若a b =,则22a b =.A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B ;提示:①的逆命题是:等腰三角形有两边相等,是真命题;②的逆命题是:若三角形是直角三角形,则三边满足222a b c +=(c 为斜边);③但对应角相等的两个三角形不一定全等;④若22a b =,a 与b 不一定相等,所以③、④的逆命题是假命题,不可能是定理. 类型二、勾股定理逆定理的应用2、如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD ,AB =2,AD =23,CD =3,BC =5,求∠ADC 的度数.【答案与解析】解:∵ AB ⊥AD ,∴ ∠A =90°,在Rt △ABD 中,222222(23)16BD AB AD =+=+=.∴ BD =4,∴ 12AB BD =,可知∠ADB =30°,在△BDC 中,22216325BD CD +=+=,22525BC ==,∴ 222BD CD BC +=,∴ ∠BDC =90°,∴ ∠ADC =∠ADB+∠BDC =30°+90°=120°.【总结升华】利用勾股定理的逆定理时,条件是三角形的三边长,结论是直角三角形,即由边的条件得到角的结论,所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理.举一反三:【高清课堂 勾股定理逆定理 例4】【变式1】△ABC 三边a b c ,,满足222338102426a b c a b c +++=++,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D ;提示:由题意()()()222512130a b c -+-+-=,51213a b c ===,,,因为222a b c +=,所以△ABC 为直角三角形.【变式2】如图所示,在△ABC 中,已知∠ACB =90°,AC =BC ,P 是△ABC 内一点,且PA =3,PB =1,PC =CD =2,CD ⊥CP ,求∠BPC 的度数.【答案】解:连接BD .∵ CD ⊥CP ,且CD =CP =2,∴ △CPD 为等腰直角三角形,即∠CPD =45°.∵ ∠ACP+∠BCP =∠BCP+∠BCD =90°,∴ ∠ACP =∠BCD .∵ CA =CB ,∴ △CAP ≌△CBD(SAS),∴ DB =PA =3.在Rt △CPD 中,22222228DP CP CD =+=+=.又∵ PB =1,则21PB =.∵ 29DB =,∴ 222819DB DP PB =+=+=,∴△DPB为直角三角形,且∠DPB=90°,∴∠CPB=∠CPD+∠DPB=45°+90°=135°.3、(2016春•咸丰县月考)如图所示,在△ABC中,AB:BC:CA=3:4:5,且周长为36cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,如果同时出发,则过3秒时,△BPQ的面积为多少cm2.【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边,由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形.再求出3秒后的BP,BQ的长,利用三角形的面积公式计算求解.【答案与解析】解:设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm,∵周长为36cm,AB+BC+AC=36cm,∴3x+4x+5x=36,得x=3,∴AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm,∵AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形,过3秒时,BP=9﹣3×1=6(cm),BQ=2×3=6(cm),∴S△PBQ=BP•BQ=×(9﹣3)×6=18(cm2).故过3秒时,△BPQ的面积为18cm2.【总结升华】本题是道综合性较强的题,需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解.由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形,是解题的关键.隐含了整体的数学思想和正确运算的能力.类型三、勾股定理逆定理的实际应用4、如图所示,MN以左为我国领海,以右为公海,上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来,便立即通知距其5海里,并在MN线上巡逻的缉私艇B 密切注意,并告知A和C两艇的距离是13海里,缉私艇B测得C与其距离为12海里,若走私艇C的速度不变,最早在什么时间进入我国海域?【答案与解析】解:∵22222251216913AB BC AC+=+===,∴△ABC为直角三角形.∴∠ABC=90°.又BD⊥AC,可设CD=x,∴22222212,(13)5,x BDx BD⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①-②得2216926119x x x-+-=,解得14413x=.∴1441441313169÷=≈0.85(h)=51(分).所以走私艇最早在10时41分进入我国领海.【总结升华】(1)本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题,(2)用勾股定理的逆定理判定直角三角形,为勾股定理的运用提供了条件.同步练习一一.选择题1.如图,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是()A.51- B.51-+ C.51+ D.52.如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,已知S1=4,S2=9,S3=8,S4=10,则S=()A .25B .31C .32D .403. 如图所示,折叠矩形ABCD 一边,点D 落在BC 边的点F 处,若AB =8cm ,BC =10cm ,EC 的长为( )cm .A .3B .4C .5D .64.如图,长方形AOBC 中,点A 的坐标为(0,8),点D 的纵坐标为3,若将矩形沿直线AD 折叠,则顶点C 恰好落在边OB 上E 处,那么图中阴影部分的面积为( )A. 30 B .32 C .34 D .165.如图,已知△ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ,2l ,3l 上,且1l ,2l 之间的距离为2 , 2l ,3l 之间的距离为3 ,则AC 的长是( )A .172B .52C .24D .76.(2016•漳州)如图,△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,D 是线段BC 上的动点(不含端点B 、C ).若线段AD 长为正整数,则点D 的个数共有( )A .5个B .4个C .3个D .2个二.填空题7.若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则此三角形的第三边长为______.8. 如图,将长8cm ,宽4cm 的长方形纸片ABCD 折叠,使点A 与C 重合,则折痕EF 的长为__________cm .9.在△ABC 中,AB=13cm ,AC=20cm ,BC 边上的高为12cm ,则△ABC 的面积为cm 2.10.(2016•黄冈校级自助招生)如图,它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边长为a ,较长的直角边长为b ,那么(a+b )2的值是 _________ .11. 已知长方形ABCD ,AB =3cm ,AD =4cm ,过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ,分别交AD 、BC 于点E 、F ,则AE 的长为_______________.12.在直线上依次摆着7个正方形(如图),已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,3,水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ,,,,则1234S S S S +++=______.三.解答题13.如图所示,一架长为2.5米的梯子,斜靠在竖直的墙上,这时梯子的底端距离底0.7米,求梯子顶端离地多少米?如果梯子顶端沿墙下滑0.4m ,那么梯子底端将向左滑动多少m ?14. 现有10个边长为1的正方形,排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求:在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.15. 将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2,P是AC上的一个动点.(1)当点P在∠ABC的平分线上时,求DP的长;(2)当点PD=BC时,求此时∠PDA的度数.【答案与解析】一.选择题1.【答案】A;【解析】-1所表示的点到点A5OA51.2.【答案】B;【解析】解:如图,由题意得:AB2=S1+S2=13,AC2=S3+S4=18,∴BC2=AB2+AC2=31,∴S=BC2=31,故选B.3.【答案】A ;【解析】设CE =x cm ,则DE =(8-x )cm .在Rt △ABF 中,由勾股定理,得BF =2222108AF AB -=-=6cm .∴ FC =10-6=4(cm ).在Rt △EFC 中,由勾股定理,得222EF EC FC =+,即222(8)4x x -=+.解得3x =.即EC 的长为3cm .4.【答案】A ;【解析】由题意CD =DE =5,BE =4,设OE =x ,AE =AC =4x +,所以()22284x x +=+,6x =,阴影部分面积为1168433022⨯⨯+⨯⨯=. 5.【答案】A ; 【解析】如图,分别作CD ⊥3l 交2l 于点E ,作AF ⊥3l ,则可证△AFB ≌△BDC ,则AF =3=BD, BF =CD =2+3=5,∴DF =5+3=8=AE ,在直角△AEC 中,勾股定理得AC =.6. 【答案】C【解析】过点A 作AE ⊥BC,则由勾股定理得AE=3,点D 是线段BC 上的动点(不含端点B 、C ).所以3≤AD <5,AD=3或4,共有3个符合条件的点.二.填空题7. 【答案】13119【解析】没有指明这两边为直角边,所以要分类讨论,12也可能是斜边.8. 【答案】25【解析】设AE =EC =x ,EB =8x -,则()22284x x -+=,解得5x =,过E 点作EH ⊥DC 于H ,EH =4,FH =5-3=2,EF 224225+=9. 【答案】126或66;【解析】解:当∠B为锐角时(如图1),在Rt△ABD中,BD===5cm,在Rt△ADC中,CD===16cm,∴BC=21,∴S△ABC==×21×12=126cm2;当∠B为钝角时(如图2),在Rt△ABD中,BD===5cm,在Rt△ADC中,CD===16cm,∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm,∴S△ABC==×11×12=66cm2,故答案为:126或66.10.【答案】25;【解析】根据题意,结合勾股定理a2+b2=13,四个三角形的面积=4×ab=13﹣1,∴2ab=12,联立解得:(a+b)2=13+12=25.11.【答案】78 cm;【解析】连接BE ,设AE =x ,BE =DE =4x -,则()22234x x +=-,78x =. 12.【答案】4;【解析】123413S S S S +=+=,故12344S S S S +++=.三.解答题13.【解析】解:由题意可得:AB=2.5m ,AO=0.7m ,故BO==2.4(m ),∵梯子顶端沿墙下滑0.4m ,∴DO=2m,CD=2.5m ,∴由勾股定理得CO=1.5m ,∴AC=CO﹣AO=1.5﹣0.7=0.8(m ).答:梯子底端将向左滑动0.8m .14.【解析】解:如图所示:15.【解析】解:(1)连接DP ,作DH ⊥AC ,在Rt △ABC 中,AB =2,∠CAB =30°,∴BC =1,AC =3.∵BP 是∠ABC 的角平分线,∴∠CBP =30°,CP =3. 在Rt △ADC 中,DH =AH =HC =12AC =3, ∴HP =333236-=,。

第8讲特殊三角形精品讲义

第8讲特殊三角形精品讲义

FE CAD CEB AF_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】一、精讲精练1.①三边都相等;②有一个角是60°;有两个角是60°;③三边都相等,三个内角都是60°.2.①直角;②有两个角是45°;③两直角边相等,两底角都是45°.3.30°角所对的直角边是斜边的一半.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.二、精讲精练1.150°2.①②③④3. 8cm4. 证明:如图,延长BC 到E ,使CE =CD ,连接DE ,BD . ∵∠BCD =120° ∴∠1=60°∴△DCE 为等边三角形∴DC =DE ,∠2=60°∵AB =AD ,∠BAD =60° ∴△ABD 为等边三角形 ∴AD =BD ,∠3=60° ∴∠2=∠3∴∠ADC =∠BDE 在△ADC 和△BDE 中AD BD ADC BDE DC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ADC ≌△BDE (SAS ) ∴AC =BE ∵BE =BC +CE =BC +DC ∴BC +DC =AC 5. (1)略;(2)四边形AEDF 的面积保持不变,S =12ABC S ∆(3)△ABC 仍为等腰直角三角形 6. △EMC 是等腰直角三角形 7. C321EA B C D特殊三角形(作业)1. 如图,以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边△ABE ,则∠BED 的度数为________.B C EADOAC DE第1题图 第2题图2. 如图,△ABD ,△ACE 都是等边三角形,BE 和CD 交于点O ,连接BC ,则∠BOC =__________.3. 已知:如图,在四边形ABCD 中,∠B =∠D =60°,AB =BC ,AD =DC ,点E在边BC 上,点F 在边CD 上.若∠EAF =60°,求证:△AEF 是等边三角形.FABCDE4. 已知:如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,点E为AC 中点,BE 交CD 于点G ,EF ⊥BE 交AB 于点F .求证:EF =EG .F 为BC 的中点.连接DE ,DF ,EF .求证:∠FED =∠FDE .F ABC DE6. 纳米技术(nanotechnology )是用单个原子、分子制造物质的科学技术,研究结构尺寸在0.1至100纳米范围内材料的性质和应用.已知,某分子的直径约为0.399纳米,则这个分子的直径可用科学记数法表示为( )米.(保留两个有效数字) A .3.9×10-1B .3.9×10-10C .4.0×10-10D .4.0×10-17. 如图1,在长方形ABCD 中,动点P 从点B 出发,以每秒2个单位的速度沿BC →CD →DA 运动至点A 停止.设点P 运动的时间为x ,△ABP 的面积为y ,若y 与x 的关系图象如图2所示,则m 的值是( ) A .2.5B .4.5C .5D .7【参考答案】1.45° 2.120° 3.证明:如图,连接AC∵∠B=∠D =60°,AB=BC,AD=DC ∴△ABC 和△ACD 是等边三角形 ∴∠ACE=∠CAD =60°AC=AD ∵∠EAF =60°∴∠CAD -∠CAF=∠EAF -∠CAF ∴∠EAC=∠F AD 在△EAC 和△F AD 中ACE D AC ADEAC FAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EAC ≌△F AD (ASA ) ∴AE=AFFEDCBA 第3题图∴△AEF 是等边三角形 4.证明:连接DE∵AC=BC ,∠ACB=90°∴∠A =45° ∵CD ⊥AB∴∠ADC =90°,AD =12AB∴CD =12AB∴AD =CD∵E 为AC 中点∴DE =12AC=AE ,DE ⊥AC ,∠1=45°∴∠AED =90°,∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3在△AEF 和△DEG 中123A EA ED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEF ≌△DEG (ASA )∴EG =EF5.证明:∵BD ,CE 分别为AC ,AB 边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90°∵F 是BC 的中点∴EF =12BC ,DF =12BC∴∠FED =∠FDE6.C 7.B8.15AD <<321E FCBAG D第4题图FA B CDE特殊三角形随堂测试题姓名________1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边上的一点,EC⊥BC,EC=BD,连接AD,AE,DE.点F为DE中点,连接AF,CF.求证:(1)AD=AE;(2)AF=CF.AEFD【参考答案】略。

人教版初二数学讲义《特殊三角形之直角三角形》

人教版初二数学讲义《特殊三角形之直角三角形》

1有一个角是直角的三角形叫做直角三角形,这是初中阶段研究的一个特殊三角形,它的性质和判定是常考内容,也是解决初中几何问题的常用手段.一、直角三角形1. 直角三角形的性质:⑴ 两锐角互余;⑵ 三边满足勾股定理;⑶ 斜边上的中线等于斜边的一半;⑷ 30︒角所对的直角边等于斜边的一半.另外,直角三角形中还有一个重要的结论:两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积,即ab ch =.2. 直角三角形的判定:⑴ 有一个角是直角;⑵ 两锐角互余;⑶ 勾股定理的逆定理;⑷ 一条边上的中线等于这条边的一半.二、等腰直角三角形 思路导航知识互联网题型一:直角三角形的性质及判定11特殊三角形之 直角三角形2等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特殊图形,除具备等腰三角形和直角三角形的所有性质以外,它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特点,可谓“集大成者”.另外,等腰直角三角形还可以看成是正方形的“半成品”,因此“还原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一.【引例】 如图,正方形ABCD 的边长为4,E F 、分别在BC CD 、上,且3BE CF ==,AE BF 、相交于M ,求BM 的长.【解析】 ∵ABCD 是正方形,∴4AB BC ==,90ABC C ∠=∠=︒,∵3BE CF ==,∴ABE BCF △≌△, ∴BAE CBF ∠=∠,∴90BME ∠=︒ 又由勾股定理可知5AE =, 在Rt ABE △中,BM AE ⊥, ∴AB BE AE BM ⋅=⋅,∴125AB BE BM AE ⋅==.【例1】 1. 在ABC △中,若35A ∠=︒,55B ∠=︒,则这个三角形是__________三角形.2. 如图,在ABC △中,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥,若28A ∠=︒,则B ∠=_______,ACD ∠=________,BCD ∠=________.3. 如图,已知图中每个小正方形的边长为1, 则点C 到AB 所在直线的距离等于 .(十三中分校期中)4. 如图,在四边形ABCD 中,∠A =60°,∠B =∠D =90°,BC =2,CD =3,则AB = .EABCDDCBA典题精练例题精讲图2图1AMF DE FM D CBADCBAABC35. 已知Rt △ABC 中,∠C =90°,AB 边上的中线长为2,且AC +BC =6, 则S △ABC = .【解析】 1. 直角2. 62︒;62︒;28︒3. 24. 833.通过向外补形,将四边形问题转化为三角形问题来解决.5. ∵AB 边上的中线长为2,∴AB =4,∴AC 2+BC 2=AB 2=16 ∵AC +BC =6,∴()236AC BC +=,即AC 2+BC 2+2AC BC =36 ∴1S 52ABC AC BC ==△【例2】 若直角三角形的两条直角边长为a b 、,斜边为c ,斜边上的高为h ,求证:⑴ 222111a b h+=;⑵ a b c h +<+.【解析】 ⑴ ∵222a b c +=,ab ch =,∴ab c h=, 代入得22222a b a b h +=,∴222111a b h+=. ⑵ 由222a b c +=,ab ch =,则22222a ab b c ch ++=+,∴222222a ab b c ch h ++<++,即()()22a b c h +<+,∴a b c h +<+.特殊的直角三角形是指()306090︒︒︒,,和()454590︒︒︒,,的直角三角形,它们的三条边之间有特殊的比例关系,分别是1:3:2和1:1:2,熟练运用这种特殊的比例关系,能够在解题过程中大幅提高解题的速度与正确率.【引例】 已知,Rt ABC △中,90C ∠=︒,30A ∠=︒,6AC =,求BC AB 、的长. 例题精讲思路导航题型二:特殊直角三角形的边角关系4【解析】 解法一:∵90C ∠=︒,30A ∠=︒,∴12BC AB =, 设BC x =,则2AB x =, 那么()()22262x x +=,解得2x =(舍负)∴2BC =,22AB =.解法二:∵90C ∠=︒,30A ∠=︒,∴::1:3:2BC AC AB =,∴6233AC BC ===,∴222AB BC ==.【例3】 ⑴ 在ABC △中,a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边,且::1:2:3A B C ∠∠∠=,则a 与c 的关系是____________.⑵ 如图,把两块相同的含30︒角的三角尺如图放置, 若66AD =cm ,则三角尺的最长边长为 .(四中期中)⑶ 如图,以等腰直角三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ,再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ,…,如此作下去,若1OA OB ==,则第8个等腰直角三角形的面积是 .【解析】 ⑴ 2c a =;⑵ 12cm ;⑶ 64.【例4】 如图,点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点,且CD =AE ,AD 、BE 相交于P 点,BQ ⊥AD 。

特殊三角形同步讲义

特殊三角形同步讲义

八年级上目录封面 (1)特殊三角形§2.1 等腰三角形 (3)§2.2 等边三角形 (14)§2.3 直角三角形与勾股定理 (25)§2.4 反思与总结 (33)§2.5 章节成果检测................................... 封底 . (34)章节概述:特殊三角形式分三节内容,等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

本章主要知识点有等腰三角形的概念,性质:角相等,是轴对称图形,顶角的平分线所在的直线是它的对称轴,三线合一;等腰三角形的判定定理及应用。

等边三角形的概念,三边相等;性质:三边相等,三角相等,每条边上三线合一。

直角三角形的概念,有一个角是直角的三角形;性质,斜边上的中线是斜边的一半,30°所对的直角边等于斜边的一半;等腰直角三角形的概念;勾股定理;直角三角形的判定,勾股定理的逆定理,两角互余;直角三角形的判定,HL。

重要辅助线有,等腰三角形底边上的高,腰上的高及等边三角形的高线,直角三角形斜边上的中线,构造直角三角形。

目标,能通过理解特殊三角形的性质,判定方法的证明过程和应用,初步了解转化思想,并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力,并加深对图形变换的认识. 进一步强化推理、判断、计算和作图.§2.1 等腰三角形§2.1.1 等腰三角形定义知识目标:1、明确等腰三角形的含义2、学会用等腰来解决问题例1:已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为18cm和21cm两部分,则它的三边长为________________解析:解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长,再利用周长的概念求得边长分两种情况讨论:当AB+AD=18,BC+DC=21或AB+AD=21,BC+DC=18,所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得,三边长为12,12,15或14,14,11.解:设AD=x则,当2x+x=18时,x=6,即AB=AC=12,∵周长是18+21=39,∴BC=15cm;三边分别为:12、12、15 两边之和大于第三边。

八年级数学讲义特殊三角形三学生教师版

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特殊三角形三讲义例题讲解一1、如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=∠2.(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗?并说明理由;(2)△CDE是不是直角三角形?并说明理由.2、已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,AD=BC,DE=BF.求证:AB∥DC.3、如图 AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F.求证:AF平分∠BAC.【变式】如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.(1)求证:△ABC≌△DCB;(2)△OBC是何种三角形?证明你的结论.4、如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.(1)求证:AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的长.5、如图,已知BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且交BE于E.求证:AE平分∠FAC.【变式】如图,点C为线段AB上任意一点(不与A、B重合),分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE,CA=CD,CB=CE,∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接PC.(1)求证:△ACE≌△DCB;(2)求证:∠APC=∠BPC.例题讲解二1、如图,已知A、B两点在直线l的同一侧,根据题意,尺规作图.(1)在(图1)直线l上找出一点P,使PA=PB.(2)在(图2)直线l上找出一点P,使PA+PB的值最小.(3)在(图3)直线l上找出一点P,使PA﹣PB的值最大.2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,△ABD、△A FD关于直线AD对称,∠FAC的角平分线交BC边于点G,连接FG.(1)求∠DFG的度数.(2)设∠BAD=θ,当θ为何值时,△DFG为等腰三角形?举一反三:【变式】如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=105°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.试判断△COD的形状,并说明理由.3.用圆规和直尺作图,在∠DEC中找一点P,使点P到∠DEC两边的距离相等,并且到M、N两点的距离也相等(保留作图痕迹).【变式】尺规作图是指()A . 用量角器和刻度尺作图B . 用圆规和有刻度的直尺作图C . 用圆规和无刻度的直尺作图D . 用量角器和无刻度的直尺作图4. 如图,平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架,其中AB=AD,CB=CD.(1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后,他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD,垂足为E,并且BE=ED,你同意王云同学的判断吗?请充分说明理由;(2)设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.5、如图所示,∠A=60°,CE⊥AB于E,BD⊥AC于D,BD与CE相交于点H,HD=1,HE=2,试求BD和CE的长.6、已知,如图,AC、BD相交于O,AC=BD,∠C=∠D=90° .求证:OC=OD.7、如图所示,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=∠90°,求四边形ABCD的面积.【变式】如图,已知AB=5,BC=12,CD=13,DA=10,AB⊥BC,求四边形ABCD的面积.例题讲解三1、在某一地方,有条小河和草地,一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马,再到小河饮马,你能为他设计一条最短的路线吗?(在N上任意一点即可牧马,M上任意一点即可饮马.)(保留作图痕迹,需要证明)【变式】如图:A村和B村在公路l同侧,且AB=3千米,两村距离公路都是2千米.现决定在公路l上建立一个供水站P,要求使PA+PB最短.(1)用尺规作图,作出点P;(作图要求:不写作法,保留作图痕迹)(2)求出PA+PB的最小值.2、如图,A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、BC为边,在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BC E,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得△BMN.(1)求证:△ABE≌△DBC.(2)试判断△BMN的形状,并说明理由.【变式1】若等腰三角形中,一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分,求该三角形各边的长.【变式2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为( ).A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°3.(2016•德州)如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为()A.65° B.60° C.55° D.45°4、如图所示,在等边△ABC中,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,求证:BP=2PQ.5、已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,AD=BC,DE=BF.求证:AB∥DC.【变式】如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=60°, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE=2.则 AC的长为_________.6、如图所示,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,AD=23,CD=3,BC=5,求∠ADC的度数.【变式】如图所示,折叠矩形ABCD一边,点D落在BC边的点F处,若AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.同步练习一一、选择题1.下列命题中,不正确的是()A.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等D.有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等2. 如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD和CE交于点O,AO的延长线交BC于F,则图中全等直角三角形的对数为()A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对3. 如图,在△ABC中AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1B.2C.3D.44. 如图,AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF交于点D,则下列结论中不正确的是()A. △ABE≌△ACFB. 点D在∠BAC的平分线上C. △BDF≌△CDED. 点D是BE的中点5.5.(2016春•泰山区期末)如图所示,∠C=∠D=90°添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等.以下给出的条件适合的是()A.AC=AD B.AB=AB C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD6. 已知,如图,AD∥BC,AB⊥BC,CD⊥DE,CD=ED,AD=2,BC=3,则△ADE的面积为()A. 1B. 2C. 5D. 无法确定二、填空题7. (2016秋•亭湖区校级月考)如图,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O,图中有对全等的直角三角形.8. 已知,如图,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,若CD=CE,则∠COD+∠AOB=__________ 度.9. 判定两直角三角形全等的各种条件:(1)一锐角和一边;(2)两边对应相等;(3)两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.10.如图,AB=12,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动分钟后△CAP与△PQB全等.11. 如图,已知AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且BF=AC,FD=CD.则∠BAD=_______.12. 如图所示的网格中(4×4的正方形),∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=________.三、解答题13.用三角板可按下面方法画角平分线:在已知∠AOB的两边上,分别取OM=ON (如图),再分别过点M、N 作OA、OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB,请你说出其中的道理.14. 求证:有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等.15. 如图,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,•若AB=CD,试证明BD平分EF.16.如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90゜,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.(1)求证:OC平分∠ACD;(2)求证:OA⊥OC;(3)求证:AB+CD=AC.同步练习二一.选择题1. 如图,三个小正方形组成的图形,请你在图形中补画一个小正方形,使得补画的图形为轴对称图形或中心对称图形,补画成轴对称图形或中心对称图形的个数分别是()A.3个或2个B.3个或3个C.4个或2个D.4个或3个2.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为()A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里3.如图,将一边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b>a)拼接在一起,则四边形ABCD的面积为()A.b2+(b﹣a)2B.b2+a2C.(b+a)2D.a2+2ab4.已知如图,AD∥BC,AB⊥BC,CD⊥DE,CD=ED,AD=2,BC=3,则△ADE的面积为()A. 1B. 2C. 5D. 无法确定5.如图,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=()A. 30°B.35°C. 40°D. 50°6. 如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=5,BC=3,则BD的长为().A.1B.1.5 C.2D.2.57. 如图,已知AB=AC,PB=PC,且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论:①EB=EC;②AD⊥BC;③EA平分∠BEC;④∠PBC=∠PCB.其中正确的有()A.1个B. 2个C.3个D. 4个8. 用尺规作图“已知底边和底边上的高线,作等腰三角形”,有下列作法:①作线段BC=a;②作线段BC的垂直平分线m,交BC于点D;③在直线m上截取DA=h,连接AB、AC.这样作法的根据是()A.等腰三角形三线合一B.等腰三角形两底角相等C.等腰三角形两腰相等D.等腰三角形的轴对称性二.填空题9.命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是.10. 如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1和2,则EF的长是___________.11. 如图,已知△ABC 是等边三角形,点O 是BC 上任意一点,OE 、OF 分别与两边垂直,等边三角形的高为1,则OE +OF 的值为 .12.如图所示,△ABC 中,已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ,过点F 作DE ∥BC ,交AB 于点D ,交AC 于点E ,若BD +CE =9,线段DE =_______.13. 如图,Rt △ABC 中,∠B =90°,若点O 到三角形三边的距离相等,则∠AOC =_________.14.(2016•道外区二模)已知等腰三角形的腰长为5,一腰上的高为3,则以底边为边长的正方形的面积为 .15.如图,矩形AOBC 中,点A 的坐标为(0,8),点D 的纵坐标为3,若将矩形沿直线AD 折叠,则顶点C 恰好落在边OB 上E 处,那么图中阴影部分的面积为 .16. 如图,小明要给正方形桌子买一块正方形桌布.铺成图1时,四周垂下的桌布,其长方形部分的宽均为20cm ;铺成图2时,四周垂下的桌布都是等腰直角三角形,且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上,则要买桌布的边长是___________cm 2 1.4≈3 1.7≈)三.解答题17.已知:如图,有一块Rt△ABC的绿地,量得两直角边AC=8m,BC=6m.现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD,且扩充部分(△ADC)是以8m为直角边长的直角三角形,求扩充后等腰△ABD的周长.(1)在图1中,当AB=AD=10m时,△ABD的周长为;(2)在图2中,当BA=BD=10m时,△ABD的周长为;(3)在图3中,当DA=DB时,求△ABD的周长.18.将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2,P是AC上的一个动点.(1)当点P在∠ABC的平分线上时,求DP的长;(2)当点PD=BC时,求此时∠PDA的度数.19. 如图,在△ABC中,AB=AC,BD是角平分线,BD=AD,求∠A的度数.20.已知:△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,且∠ADC=60°.问题1:如图1,若∠ACB=90°,AC=m AB,BD=n DC,则m的值为_________,n的值为__________.问题2:如图2,若∠ACB为钝角,且AB>AC,BD>DC.(1)求证:BD-DC<AB-AC;(2)若点E在AD上,且DE=DB,延长CE交AB于点F,求∠BFC的度数.答案特殊三角形三讲义例题讲解一1、(2016春•苏仙区期末)如图,∠A=∠B=90°,E 是AB 上的一点,且AE=BC ,∠1=∠2.(1)Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗?并说明理由;(2)△CDE 是不是直角三角形?并说明理由.21A DB CE【思路点拨】(1)根据∠1=∠2,得DE=CE ,利用“HL ”可证明Rt △ADE ≌Rt △BEC ;(2)是直角三角形,由Rt △ADE ≌Rt △BEC 得,∠3=∠4,从而得出∠4+∠5=90°,则△CDE 是直角三角形.【答案与解析】 解:(1)全等,理由是: ∵∠1=∠2,∴DE=CE , ∵∠A=∠B=90°,AE=BC , ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC(HL); (2)是直角三角形,理由是: ∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ,∴∠3=∠4,∵∠3+∠5=90°,∴∠4+∠5=90°,∴∠DEC=90°,∴△CDE 是直角三角形.【总结升华】考查了直角三角形的判定,全等三角形的性质,做题时要结合图形,在图形上找条件.【高清课堂:379111 直角三角形全等的判定,巩固练习3】2、已知:如图,DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,AD =BC ,DE =BF.求证:AB ∥DC.【思路点拨】从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ,从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.45321A D BC E【答案与解析】证明:∵DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DEBF ⎧⎨⎩=,= ∴Rt △ADE ≌Rt △CBF (HL )∴AE =CF ,DE =BF∴AE +EF =CF +EF ,即AF =CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中,DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF (SAS )∴∠DCE =∠BAF∴AB ∥DC.【总结升华】我们分析已知能推证出什么,再看要证到这个结论,我们还需要哪些条件,这样从已知和结论向中间推进,从而证出题目.3、如图AB =AC ,BD ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,BD 、CE 相交于F .求证:AF 平分∠BAC .【思路点拨】若能证得AD =AE ,由于∠ADB 、∠AEC 都是直角,可证得Rt △ADF ≌Rt △AEF ,而要证AD =AE ,就应先考虑Rt △ABD 与Rt △AEC ,由题意已知AB =AC ,∠BAC 是公共角,可证得Rt △ABD ≌Rt △ACE .【答案与解析】证明: 在Rt △ABD 与Rt △ACE 中∴Rt △ABD ≌Rt △ACE(AAS)∴AD =AE(全等三角形对应边相等) 在Rt △ADF 与Rt △AEF 中∴Rt △ADF ≌Rt △AEF(HL)∴∠DAF =∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF 平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化,有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.举一反三:【变式】如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.(1)求证:△ABC≌△DCB;(2)△OBC是何种三角形?证明你的结论.【答案】证明:(1)在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°AC=BD,BC=BC,∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL);(2)△OBC是等腰三角形,∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DCB,∴OB=OC,∴△OBC是等腰三角形.4、如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.(1)求证:AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的长.【答案与解析】(1)证明:∵DB⊥BC,CF⊥AE,∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°.∴∠D=∠AEC.又∵∠DBC=∠ECA=90°,且BC=CA,∴△DBC≌△ECA(AAS).∴AE=CD.(2)解:由(1)得AE=CD,AC=BC,∴△CDB≌△AEC(HL)∴BD=EC=12BC=12AC,且AC=12.∴BD=6(cm).【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件类型二、角平分线的第二个性质定理5、如图,已知BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且交BE于E.求证:AE平分∠FAC.【思路点拨】如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC,垂足分别为G、H、I,根据角平分线的性质可得EH=EG,EI=EG,再根据角平分线的第二性质定理可证AE平分∠FAC.【答案与解析】证明:过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC,垂足分别为G、H、I,∵BE平分∠ABC,EG⊥BD,EH⊥BA,∴EH=EG.∵CE平分∠ACD,EG⊥BD,EI⊥AC,∴EI=EG,∴EI=EH(等量代换),∴AE平分∠FAC(角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上).【总结升华】本题主要考查角平分线的性质及其第二性质定理;准确作出辅助线是解答本题的关键.举一反三:【变式】如图,点C为线段AB上任意一点(不与A、B重合),分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE,CA=CD,CB=CE,∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接PC.(1)求证:△ACE≌△DCB;(2)求证:∠APC=∠BPC.【答案】(1)证明:∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,∴∠ACE=∠DCB,又∵CA=CD,CE=CB,∴△ACE≌△DCB.(2)证明:分别过C作CH⊥AE垂足为H,C作CG⊥BD垂足为G,∵△ACE≌△DCB.∴AE=BD,∵S△ACE=S△DCB(全等三角形的面积相等),∴CH=CG,∴∠APC=∠BPC(角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上).例题讲解二1、(2016秋•和平区期中)如图,已知A、B两点在直线l的同一侧,根据题意,尺规作图.(1)在(图1)直线l上找出一点P,使PA=PB.(2)在(图2)直线l上找出一点P,使PA+PB的值最小.(3)在(图3)直线l上找出一点P,使PA﹣PB的值最大.【思路点拨】直接利用轴对称的性质去作图【答案与解析】解:(1)如图1所示:此时:PA=PB,如图所示:(2)此时:PA+PB最小;(3)如图所示:此时:PA﹣PB最大.【总结升华】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用,关键是正确画出图形,题型较好,难度适中.类型二、等腰三角形及等边三角形的性质定理和判定定理2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,△ABD、△A FD关于直线AD对称,∠FAC的角平分线交BC边于点G,连接FG.(1)求∠DFG的度数.(2)设∠BAD=θ,当θ为何值时,△DFG为等腰三角形?【思路点拨】(1)由轴对称可以得出△ADB≌△ADF,就可以得出∠B=∠AFD,AB=AF,在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C,就可以求出∠DFG的值;(2)①当GD=GF时,就可以得出∠GDF═80°,根据∠ADG=40+θ,就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论;当DF=GF时,就可以得出∠GDF=50°,就有40°+50°+40°+2θ=180°,当DF=DG时,∠GDF=20°,就有40°+20°+40°+2θ=180°,从而求出结论.【答案与解析】解:(1)∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°.∵△ABD和△AFD关于直线AD对称,∴△ADB≌△ADF,∴∠B=∠AFD=40°,AB=AF∠BAD=∠FAD=θ,∴AF=AC.∵AG平分∠FAC,∴∠FAG=∠CAG.在△AGF和△AGC中,,∴△AGF≌△A GC(SAS),∴∠AFG=∠C.∵∠DFG=∠AFD+∠AFG,∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°.答:∠DFG的度数为80°;(2)①当GD=GF时,∴∠GDF=∠GFD=80°.∵∠ADG=40°+θ,∴40°+80°+40°+θ+θ=180°,∴θ=10°.当DF=GF时,∴∠FDG=∠FGD.∵∠DFG=80°,∴∠FDG=∠FGD=50°.∴40°+50°+40°+2θ=180°,∴θ=25°.当DF=DG时,∴∠DFG=∠DGF=80°,∴∠GD F=20°,∴40°+20°+40°+2θ=180°,∴θ=40°.∴当θ=10°,25°或40°时,△DFG为等腰三角形.【总结升华】本题考查了轴对称的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,等腰三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形的全等是关键.举一反三:【变式】如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=105°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.试判断△COD的形状,并说明理由.【答案】解:△OCD是等边三角形,理由为:由旋转可得△BCO≌△ACD,∴OC=CD,∠BCO=∠ACD,又△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,即∠BCO+∠OCA=60°,∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=60°,又OC=CD,则△OCD是等边三角形;类型三、尺规作图,命题、定理与逆命题、逆定理3.用圆规和直尺作图,在∠DEC中找一点P,使点P到∠DEC两边的距离相等,并且到M、N两点的距离也相等(保留作图痕迹).【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可知作出∠DEC的平分线与线段MN的垂直平分线,交点即为所求.【答案与解析】解:因为点P到∠DEC两边的距离相等,所以点P在∠DEC的角平分线上;又因为点P到M、N两点的距离,所以点P在MN的垂直平分线上,因而点P是∠DEC的角平分线和MN的垂直平分线的交点.所以,点P即为所求作的点.【总结升华】本题主要考查了角平分线的作法与线段垂直平分线的作法,都是基本作图,需熟练掌握.举一反三:【变式】尺规作图是指()A . 用量角器和刻度尺作图B . 用圆规和有刻度的直尺作图C . 用圆规和无刻度的直尺作图D . 用量角器和无刻度的直尺作图【答案】C.4. 如图,平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架,其中AB=AD,CB=CD.(1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后,他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD,垂足为E,并且BE=ED,你同意王云同学的判断吗?请充分说明理由;(2)设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.【思路点拨】1、根据线段垂直平分线的判定定理:到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上来判定.2、把筝形看成两个等底等高的三角形来求面积.【答案与解析】解:(1)王云同学的判断是正确的.理由:根据题设,∵AB=AD,∴点A在BD的垂直平分线上.∵CB=CD,∴点C在BD的垂直平分线上.∴AC为BD的垂直平分线,BE=DE,AC⊥BD.(2)由(1)得AC⊥BD.∴SABCD=S△CBD+S△ABD=12BD×CE+12BD×AE=12BD×AC=12ab.【总结升华】本题利用了线段垂直平分线的判定定理和三角形的三角形的面积公式求解.类型四、直角三角形的性质及全等判定5、如图所示,∠A=60°,CE⊥AB于E,BD⊥AC于D,BD与CE相交于点H,HD=1,HE=2,试求BD和CE的长.【答案与解析】解:∵BD⊥AC于D,∠A=60°,∴∠ABD=90°-60°=30°,在Rt△BEH中,∠HEB=90°,∠EBH=30°.∴BH=2EH=4.同理可得,CH=2HD=2,∴BD=BH+HD=4+1=5.CE=CH+HE=2+2=4.【总结升华】已知条件中出现60°角与直角三角形并存时,应考虑到“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”,进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系,充分应用转化思想来解决问题.6、已知,如图,AC 、BD 相交于O ,AC =BD ,∠C =∠D =90° .求证:OC =OD.【思路点拨】根据已知条件Rt △ABD 和Rt △BAC 利用HL 可以判定全等,之后利用全等三角形的性质,再次证明三角形全等,从而得到结论.【答案与解析】∵∠C =∠D =90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD =BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD =OC .【总结升华】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △BAC ,再利用全等性质为二次证明三角形全等补充条件,这是全等判定和性质的综合应用题.类型五、勾股定理及其逆定理的运用7、如图所示,在四边形ABCD 中,AB =3,BC =4,CD =12,AD =13,∠B=∠90°,求四边形ABCD 的面积.【答案与解析】 解:连接AC ,在△ABC 中,因为∠B =90°,AB =3,BC =4,所以AC2=AB2+BC2=32+42=52=9+16=25,所以AC=5,在△ACD中,AD=13,DC=12,AC=5,所以DC2+AC2=52+122=25+144=169=132=AD2,即DC2+AC2=AD2.所以△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°.所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×AB×AC+12×AC×DC=12×3×4+12×5×12=6+30=36.【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解.由AB=3,BC=4,∠B=90°,应想到连接AC,则在Rt△ABC中即可求出△ABC的面积,也可求出线段AC的长.所以在△ACD中,已知AC,AD,CD三边长,判断这个三角形的形状,进而求得这个三角形的面积.而判断△ACD的形状,常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形.举一反三:【变式】如图,已知AB=5,BC=12,CD=13,DA=10,AB⊥BC,求四边形ABCD的面积.【答案】解:连接AC,过点C作CE⊥AD于点E,∵AB⊥BC,AB=5,BC=12,∴AC===13,∵CD=13,∴A C=CD=13,∵AD=10,∴AE=AD=5,∴CE===12.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AD•CE=×5×12+×10×12=30+60=90.例题讲解三1、在某一地方,有条小河和草地,一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马,再到小河饮马,你能为他设计一条最短的路线吗?(在N上任意一点即可牧马,M上任意一点即可饮马.)(保留作图痕迹,需要证明)【思路点拨】作A关于ON的对称点E,点B关于OM的对称点F,连接EF交ON于C,交OM于D,连接AC、BD,即可得出答案;根据对称点推出AC=EC,BD=FD,FR=BR,AT=ET,根据两点之间线段最短即可求出答案.【答案与解析】解:沿AC-CD-DB路线走是最短的路线如图(1)所示:证明:如图(2),在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连接FR、BR、RT、ET、AT,∵A、E关于ON对称,∴AC=EC,同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,AT+TR+BR=ET+TR+FR,∵ET+TR+FR>EF,∴AC+CD+DB<AT+TR+BR,即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线.【总结升华】本题主要考查对称线段的性质,轴对称的性质,轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握,能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键.举一反三:【变式】如图:A村和B村在公路l同侧,且AB=3千米,两村距离公路都是2千米.现决定在公路l上建立一个供水站P,要求使PA+PB最短.(1)用尺规作图,作出点P;(作图要求:不写作法,保留作图痕迹)(2)求出PA+PB的最小值.【答案】解:(1)作图,如右图,作出A点的对称点A′,连接BA′,找到交点P点;(2)连接AB,由题意知AB=3km,A A′=4km,在Rt△A A′B中,根据勾股定理得:A′B2=42+32,∴A′B=5km,即PA+PB=A′B=5km,答:PA+PB的最小值是5km.类型二、等腰三角形及等边三角形的性质定理和判定定理2、如图,A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、BC为边,在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BC E,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得△BMN.(1)求证:△ABE≌△DBC.(2)试判断△BMN的形状,并说明理由.【思路点拨】(1)由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两条边对应相等,两个角相等都为60°,利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等;(2)三角形BMN为等边三角形,理由为:由第一问三角形ABE与三角形DBC全等,利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等,再由∠ABD=∠EBC=60°,利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°,再由EB=CB,利用ASA可得出三角形EMB与三角形CNB全等,利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB,再由∠MBE=60°,利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形.【答案与解析】解:(1)证明:∵等边△ABD和等边△BCE,∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠EBC=60°,∴∠ABE=∠DBC=120°,在△ABE和△DBC中,∵,∴△ABE≌△DBC(SAS);(2)△BMN为等边三角形,理由为:证明:∵△ABE≌△DBC,∴∠AEB=∠DCB,又∠ABD=∠EBC=60°,∴∠MBE=180°﹣60°﹣60°=60°,即∠MBE=∠NBC=60°,在△MBE和△NBC中,∵,∴△MBE≌△NBC(ASA),∴BM=BN,∠MBE=60°,则△BMN为等边三角形.【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.同时做第二问时注意利用第一问已证的结论.举一反三:【变式1】若等腰三角形中,一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分,求该三角形各边的长.【答案】解:设腰长为xcm,底边长为ycm,分两种情况:(1)15262xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴10;1xy=⎧⎨=⎩(2)62,152xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴4;13xy=⎧⎨=⎩∵4+4<13,不能形成三角形,应舍去.∴等腰三角形三边长分别为10cm,10cm,1cm.【变式2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为( ).A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°【答案】D. 提示:锐角三角形的高都在三角形的内部,钝角三角形的高有两条在三角形的外部,应进行分类讨论.类型三、尺规作图,命题、定理与逆命题、逆定理3.(2016•德州)如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为()A.65° B.60° C.55° D.45°【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC,求得∠DAC=30°,根据三角形的内角和得到∠BAC=95°,即可得到结论.【答案与解析】解:由题意可得:MN是AC的垂直平分线,则AD=DC,故∠C=∠DAC,∵∠C=30°,∴∠D AC=30°,∵∠B=55°,∴∠BAC=95°,∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°,故选A .【总结升华】此题中尺规作图的做法恰好是线段垂直平分线的做法,然后根据线段垂直平分线的性质,三角形的内角和解得此题.类型四、直角三角形的性质及全等判定4、如图所示,在等边△ABC 中,AE =CD ,AD、BE 相交于点P ,BQ ⊥AD 于Q ,求证:BP =2PQ .【思路点拨】等边三角形的三个内角都是60°,如果能在直角三角形中出现60°的角,则就会有30°角,利用直角三角形的性质可以推得边的2倍关系.【答案与解析】证明:∵ △ABC 为等边三角形,∴ AC =BC =AB ,∠C =∠BAC =60°.在△ACD 和△BAE 中,,AC AB C BAE CD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACD ≌△BAE(SAS).∴ ∠CAD =∠ABE .∵ ∠CAD +∠BAP =∠BAC =60°,∴ ∠ABE +∠BAP =60°,∴ ∠BPQ =60°.∵ BQ ⊥AD ,∴ ∠BQP =90°,∴ ∠PBQ =90°-60°=30°,∴ BP =2PQ .【总结升华】(1)从结论入手,从要证BP =2PQ 联想到要求∠PBQ =30°.(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系.本题适合用“两头凑”的方法,从结论入手找已知条件,即BP =2PQ ⇒∠PBQ =30°,另一方面从已知条件找结论,即由条件⇒△ACD ≌△BAE ⇒∠BPQ =60°⇒∠PBQ =30°,分析时要注意联想与题目有关的性质定理.5、已知:如图,DE⊥AC ,BF ⊥AC ,AD =BC ,DE =BF.求证:AB ∥DC.【答案与解析】证明:∵DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BCDE BF⎧⎨⎩=,=∴Rt△ADE≌Rt△CBF (HL)∴AE=CF,DE=BF∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE在Rt△CDE与Rt△ABF中,DE BFDEC BFAEC FA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt△CDE≌Rt△ABF(SAS)∴∠DCE=∠BAF∴AB∥DC.【总结升华】从已知条件只能先证出Rt△ADE≌Rt△CBF,从结论又需证Rt△CDE≌Rt△ABF.我们可以从已知和结论向中间推进,证出题目.举一反三:【变式】如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=60°, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE=2.则 AC的长为_________.【答案】3;提示:连接AD,证△ABD为等边三角形,则DE=AE=2,CE=1,所以AC=3.类型五、勾股定理及其逆定理的运用6、如图所示,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,AD=23,CD=3,BC=5,求∠ADC的度数.【答案与解析】解:∵ AB⊥AD,∴∠A=90°,在Rt△ABD中,222222(23)16BD AB AD=+=+=.∴ BD=4,∴12AB BD=,可知∠ADB=30°,在△BDC 中,22216325BD CD +=+=,22525BC ==,∴ 222BD CD BC +=,∴ ∠BDC =90°,∴ ∠ADC =∠ADB+∠BDC =30°+90°=120°. 【总结升华】利用勾股定理的逆定理时,条件是三角形的三边长,结论是直角三角形,即由边的条件得到角的结论,所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理. 举一反三:【变式】如图所示,折叠矩形ABCD 一边,点D 落在BC 边的点F 处,若AB =8cm ,BC =10cm ,求EC 的长.【答案与解析】解:设CE =x cm ,则DE =(8-x )cm .∵ △ADE 折叠后的图形为△AFE ,∴ △ADE ≌△AFE .即AF =AD =BC =10cm ,EF =ED =(8-x ).在Rt △ABF 中,由勾股定理,得BF 2222108AF AB --=6.∴ FC =10-6=4.在Rt △EFC 中,由勾股定理,得222EF EC FC =+,即222(8)4x x -=+.解得3x =.即EF 的长为3cm .。

特殊三角形讲义

特殊三角形讲义

其他还有些特殊的三角形如:等腰直角三角形:顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形. 中位线 三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。
考点一:等腰三角形性质在边、角上的应用
典型例题 例 1. (1)若等腰三角形的一个外角为 70°,则它的底角为__________度. (2)某等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和 6cm,则它的周长为( ) A.9cm B.12cm C.15cm D.12cm 或 15cm 1 分析: (1)要考虑这个外角是顶角的外角还是底角的外角,当顶角的外角是 70°时,则底角为 ×70°=35°或 2 1 顶角是 180°-70°=110°,则底角是 (180°-110°)=35°;若它是底角的外角,则底角为 110°,但是两个底 2 角的和为 220°>180°,所以这种情况不合理. (2)根据三角形的三边关系可知当以 3cm 为腰时,不能组成三角形, 所以只能以 3cm 为底边,6cm 为腰,所以其周长为 6+6+3=15cm. 解: (1)35(2)C 例 2. 已知:如图所示,△ABC 中,AB=AC,AD=DC=BC.试求∠A 的度数.
A
D B C E
F
5. 已知,如图,D 是 BC 上一点,△ABC、△BDE 都是等边三角形,求证:AD=CE
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A
B E
D
C
6. 已知,如图,△ABC 中,∠B=90°,AC 的垂直平分线交 AC 于 D,交 BC 于 E,又∠C=15°,EC=10,求 AB 的长。
A D B E C
教育教学讲义 学员姓名: 上课时间: 课 题 年 级: 学科教师: 课时数:2
辅导科目:数学 特殊三角形讲义
教学目标 教学内容 课前检测 知识梳理

初中数学特殊三角形复习讲义

初中数学特殊三角形复习讲义

等边”).
数学语言:在△ABC 中,∵∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边).
要点诠释:
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化
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学习,为了追寻更好的自己!
为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【注意】 (1)“等角对等边”不能叙述为:如果一个三角形有两个底角相等,那么它的两腰也相
类型六:直角三角形的性质运用 1、如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,∠ABC=2∠C,BE 平分∠ABC 交 AC 于 E,AD⊥BE 于 D, 下列结论:①AC﹣BE=AE;②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上;③∠DAE=∠C;④BC=4AD, 其中正确的个数有( )
A.1 个
B.2 个
性质 2 用来证明线段相等,角相等,垂直关系等.
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴,通常情
况只有一条对称轴.
要点三、等腰三角形的判定
(1)定义法:有两边相等的三角形是等腰三角形;
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对
授课标题 特殊三角形复习
1、熟记并理解运用特殊三角形的判定和性质 学习目标 2、准确运用性质进行分类讨论
3、掌握直角三角形的补充性质并灵活运用 三线合一的运用 重点难点 分类讨论问题
教学负责人签字处
1
学习,为了追寻更好的自己!
本次课课堂教学内容
一、知识点梳理
要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,

浙教版八年级数学上册-特殊三角形-八年级数学教研组.讲义

浙教版八年级数学上册-特殊三角形-八年级数学教研组.讲义

特别三角形1等腰三角形教课目的: 1、认识特别与一般的辨证关系;2、理解等腰三角形和轴对称图形的观点,学会辨别轴对称图形。

基础训练: 1、填空题:( 1)等腰三角形中,假如底边长为6,一腰长为8,那么周长是。

( 2)假如等腰三角形有一边长是6,另一边长是8,那么它的周长是;假如等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是。

( 3)等腰三角形的对称轴最多有条。

2、填空题:( 1)假如△ ABC 是等腰三角形,那么它的边长(或周长)能够是()A 、三条边长分别是5, 5, 11 B、三条边长分别是 4, 4, 8C、周长为14,此中两边长分别是4, 5 D 、周长为24,此中两边长分别是6, 12 ( 2)等腰三角形一边长为2,周长为5,那么它的腰长为()A 、3B 、 2 C、 1.5 D、2 或 1.53、已知等腰三角形的腰长是底边的 3 倍,周长为 35cm,求等腰三角形各边的长。

4、已知:如图, AD 均分∠ BAC , AB=AC ,请你说明△ DBC 是等腰三角形。

ADB C5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组{ x+2y=4 的解,3x+y=7求这个三角形的各边长。

拓展思虑:七年级一班的张小斌是体育委员,李聪是学习委员。

这日,搞班级活动,全班同学在操场参加“小组争先” 比赛,张小斌与李聪分别代表自己所在小组参加“浇花” 项目比赛。

平常跑步比赛在班中名列前茅的张小斌硬是在这个项目中输给了李聪,同学们百思不得其解,纷繁仔细地研究起了这个问题。

这个项目的比赛是这样规定的:参赛队员同时从起点出发,先到河中打上半桶水,再跑到花坛将水浇在花丛中,最后跑回起点,先回到起点者胜。

同学们都说张小斌选择的路线不对。

张小斌感觉很冤枉。

他说:我往河畔跑时跑的是近来的垂直路线,我比李聪先打的水,怎么可能不对?聪慧的同学,你知道李聪的取胜法宝是什么吗?火眼金睛:有一道题是这样的:一个五边形有五个角,剪去一个角后,还剩下几个角?小明以为五个角剪去一个角后自然就剩下四个角了。

特殊三角形讲义2

特殊三角形讲义2

特殊三角形讲义【知识点精析】一、等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。

2. 等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等;(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3. 等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。

4. 等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。

5. 等边三角形的判定:(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

6. 含30°角的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二、直角三角形1. 认识直角三角形。

学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类:如果三角形中有一个角是直角,那么这个三角形叫直角三角形。

通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”,其中直角所对的边称为直角三角形的斜边,构成直角的两边称为直角边。

如果△ABC是直角三角形,习惯于把以C为顶点的角当成直角。

用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

如果AB=AC且∠A=90°,显然这个三角形既是等腰三角形,又是直角三角形,我们称之为等腰直角三角形。

2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。

会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。

能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°,则它所对的直角边等于斜边的一半”。

难点:在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线:斜边上的高线和斜边上的中线。

三、勾股定理及逆定理一、勾股定理及其证明勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言:在△ABC中,∠C=90°(已知)2c22∴+a=b(1)已知两边(或两边关系)求第三边;(2)已知一边求另两边关系;(3)证明线段的平方关系;(4)作长为n的线段.三、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足22c2b+那么这个三角形是直a=角三角形.1.勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形,然后通过证全等完成;2.勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一,及以前学的判定方法不同,它是用代数运算来证明几何问题,这是数形结合思想的最好体现,今后我们会经常用到.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤: 1.先找出最大边(如c );2.计算2c 及22b a +,并验证是否相等. 若222b a c +=,则△ABC 是直角三角形. 若222b a c +≠,则△ABC 不是直角三角形. 注意:(1)△ABC 中,若222c b a =+,则∠C=90°;而222a c b =+时,则∠A=90°;222b c a =+时,则∠B=90°.(2)若222c b a <+,则∠C 为钝角,则△ABC 为钝角三角形. 若222c b a >+,则∠C 为锐角,但△ABC 不一定为锐角三角形. 三、勾股数:能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数(或勾股弦数),如3、4、5;6、8、10;5、12、13;8、15、17等.四、全等三角形的概念、性质及判定1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件

浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件

浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件一、教学内容本节课我们将复习浙教版八年级上第二章特殊三角形的内容。

具体包括:等腰三角形的性质与判定(2.1节)、等边三角形的性质与判定(2.2节)、直角三角形的性质与判定(2.3节)以及特殊三角形在实际问题中的应用(2.4节)。

二、教学目标1. 熟练掌握等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质与判定方法。

2. 能够运用特殊三角形的性质解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和团队合作能力。

三、教学难点与重点教学难点:特殊三角形性质的理解与运用。

教学重点:等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质与判定。

四、教具与学具准备教具:多媒体课件、三角板、量角器。

学具:练习本、铅笔、直尺。

五、教学过程1. 实践情景引入(5分钟)利用多媒体课件展示特殊三角形在实际生活中的应用,如等腰三角形屋顶、等边三角形装饰等,引导学生发现生活中的特殊三角形。

2. 例题讲解(15分钟)例题1:已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,求∠ABC和∠ACB 的度数。

例题2:已知△DEF中,DE=DF=EF,求∠EDF的度数。

3. 随堂练习(10分钟)练习题1:已知△GHJ中,GH=HJ,∠G=40°,求∠J的度数。

练习题2:已知△KLM中,KL=LM=MK,求∠KLM的度数。

4. 小组讨论(5分钟)将学生分成小组,讨论特殊三角形在实际问题中的应用,如建筑、艺术等。

六、板书设计1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 直角三角形的性质与判定4. 特殊三角形在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目:(1)已知△NOP中,NO=NP,∠N=70°,求∠O和∠P的度数。

(2)已知△QRS中,QR=QS=RS,求∠QRS的度数。

(3)在生活或艺术作品中,寻找特殊三角形的应用,并说明其特点。

2. 答案:(1)∠O=∠P=55°(2)∠QRS=60°八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课学生对特殊三角形的性质与判定掌握情况较好,但在实际问题中的应用方面还需加强。

特殊三角形单元综合讲义(培优)

特殊三角形单元综合讲义(培优)
B
A
6、若△ABC 三边分别为 a、b、c,且满足 a2 +b2 +c2 +50=6a+8b+10c,则△ABC 的形状为( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 B、有两边对应相等 D、有两角对应相等 (D)等边三角形 ) 。 7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是…………………… ( A、有一腰和一角对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等
0
B、70
0
C、76
0
D、45
0
13、如图是一个等边三角形木框,甲虫 P 在边框 AC 上(端点 A、C 除外),设甲虫 P 到 另外两边距离之和为 d,等边三角形 ABC 的高为 h, 则 d 与 h 的大小关系是( ) A、 d h B、 d h C、 d h D、无法确定
B
A
P C
A M
C
B
N
16、AOB 是一钢架, AOB = 10 ,为使钢架更加坚固,需在内部添加一些钢管 EF,FG,GH
0
添加的一些钢管的长度都与 OE 相等,问最多能添这样的钢管多少根? M H P R B
O
E F
G
N
Q
A
3
17、已知 ABC 的一个外角是 1400 ,且 AC BC ,求 C 的度数.
。 ;
例 7、下列说法:①若在△ABC 中 a2 +b2 ≠c2 ,则△ABC 不是直角三角形; ②若△ABC 是直角三角形,∠C=900 ,则 a2 +b2 =c2 ; ③若在△ABC 中,a2 +b2 =c2 ,则∠C=900 ; ④若两直角边的平方和等于斜边的平方,可以判定这个三角形是直角三角形。 正确的有 (把你认为正确的序号填在横线上) 。 ) ) 例 8、正三角形 ABC 所在平面内有一点 P,使得△PAB、△PBC、△PCA 都是等腰三角形,则这样的 P 点有( (A)1 个(B)4 个(C)7 个(D)10 个 例 9. 四边形 ABCD 中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD 于点 E,且四边形 ABCD 的面积为 8,则 BE=( A.2 B.3 C. 2 2 D. 2 3

魏彩虹《三角形的基本性质+特殊三角形》复习讲义

魏彩虹《三角形的基本性质+特殊三角形》复习讲义

21D CB AD CBA⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC ,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示. 注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;(2)三角形是一个封闭的图形;(3)△ABC 是三角形ABC 的符号标记,单独的△没有意义.⒉ 三角形的分类:(1)按边分类: (2)按角分类:⒊ 三角形的主要线段的定义: (1)三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形.(2)三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 表示法:1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点; ④用量角器画三角形的角平分线.课 题中考总复习 : 三角形基本性质、 特殊三角形教学内容三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C_B _AD CB A(3)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意:①三角形的高是线段;②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外;③三角形三条高所在直线交于一点.4. 在画三角形的三条角平分线,三条中线,三条高时应注意:(1)如图3,三角形三条角平分线交于一点,交点都在三角形内部. (2)如图4,三角形的三条中线交点一点,交点都在三角形内部.如图5,6,7,三角形的三条高交于一点,锐角三角形的三条高的交点在三角形内部,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部,直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.5.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意:(1)三边关系的依据是:两点之间线段是短;(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.6. 三角形的角与角之间的关系: (1)三角形三个内角的和等于180 ;图3图4 图5 图6图7(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和; (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理定理:三角形的内角和等于180°. 推论:直角三角形的两个锐角互余。

八年级(上)培优讲义第5讲特殊三角形(25讲特殊三角形(2)6

八年级(上)培优讲义第5讲特殊三角形(25讲特殊三角形(2)6

第5讲: 特殊三角形2(等腰三角形的判定定理、逆命题和逆定理)一、新知建构1.请你在纸上画一个等腰三角形ABC(如图),使得AB=AC.(1)请你判断一下∠ B 与∠C 有什么大小关系?你的依据是什么?(2)请你再深入地思考一个问题:若只知道∠ B与∠C相等,请你判断一下这个三角形是什么形状的呢?并说明你的探索思路.(3)由第(2)题你会得到一个什么结论呢?请用一句话概括出来.(4)现在给出两个三角形(如图),请你把图(1)分割成两个等腰三角形,把图(2)分割成三个等腰三角形.2.已知AB=AD, ∠ABC=∠ADC,说明BC=CD的理由。

下面是小明同学对这个题的说理过程,细心的小慧发现了他的错误,请你指出小明的错误,并试着在预习完新课后写下你认为正确的方法.3. (1)在一个三角形中,有一组相等,即:等腰三角形.(2)在一个三角形中,有一组相等,即:等腰三角形4.判断正误(1)有2个角等于60°的三角形是等边三角形。

()(2)底角为60°的等腰三角形是等边三角形。

()(3)顶角为60°的等腰三角形是等边三角形。

()(4)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。

()(5)有一边相等的两个等边三角形全等。

()(6)等边三角形是轴对称图形,它的对称轴有三条。

()5.(1)什么是等腰三角形?有哪些性质?判定的方法有哪些?(2)什么是等边三角形?有哪些性质?判定的方法有哪些?(3)等腰三角形与等边三角形有何关联?二、经典例题例1.(1)已知:OD平分∠AOB,ED∥OB.请说明:EO=ED.(2)已知:OD平分∠AOB,EO=ED.请说明:ED∥OB.(3)已知:ED∥OB,EO=ED.请说明:OD平分∠AOB.例2. 如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3……在射线ON上,点B1、B2、B3……在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为()A. 6B. 12C. 32D. 64图5OEDCBA例3.如图,在△ABC 中,∠ABC =45°,CD ⊥AB ,BE ⊥AC ,垂足分别为D ,E ,F 为BC 中点,BE 与DF ,DC 分别交于点G 、H ,∠ABE =∠CBE .试问线段BH 与AC 相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;例4. 如图5,已知AB =CD ,∠B =∠C ,AC 和BD 相交于点O ,E 是AD 的中点,连结OE .(1)求证:△AOB ≌△DOC ;(2)求∠AEO 的度数.例5. 如图,△ABC 是等边三角形,D 是AB 边上一点,以CD 为边作等边三角形CDE ,使点E 、A 在直线DC 的同侧,连结AE . 求证:AE ∥BC . 三、基础演练1.在△ABC 中,∠A 的相邻外角是110°,要使△ABC 是等腰三角形, 则∠B = .2.如图,AB =AC ,BD 平分∠ABC ,且∠C =2∠A , 则图中等腰三角形共有 个。

八年级(上)培优讲义:第7讲 特殊三角形(4)

八年级(上)培优讲义:第7讲 特殊三角形(4)

第7讲:特殊三角形4(综合运用与本章小结)一、新知建构二、经典例题例1.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图) .已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4等于()A. 4 B. 5C. 6 D.14例2.现在给出两个三角形(如图),请你把图(1)分割成两个等腰三角形,把图(2)分割成三个等腰三角形.(画出示意图)l321S4S3S2S1例3.如图,AD ∥BC ,∠A =90°,E 是AB 上一点,∠1=∠2,AE =BC ,请说明∠DEC =90°.例4..一圆柱体的底面周长为16cm ,高AB 为6cm ,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,试求出爬行的最短路程.例5.如图,四边形ABCD 中,∠A =∠B =90度,E 是AB 上一点,且AE =BC ,∠1=∠2 (1)Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗?请说明理由; (2)AB =AD +BC(3)△CDE 是不是直角三角形?请说明理由。

21EDCBA例6.如图1,D 是边长为4㎝的等边△ABC 的边AB 上的一点,DQ ⊥AB 交边BC 于点Q ,RQ ⊥BC 交边AC 于点R ,RP ⊥AC 交边AB 于点E ,交QD 的延长线于点P . (1)请说明△PQR 是等边三角形的理由; (2)若BD =1.3㎝,则AE = ㎝(3)如图2,当点E 恰好与点D 重合时,求出BD 的长度。

三、基础演练1.下列图形中,不一定是轴对称图形的是( )A . 等边三角形B . 角C . 等腰三角形D . 直角三角形 2.下列判断正确的是( )A . 顶角对应相等的两个等腰三角形全等B . 腰对应相等的两个等腰三角形全等C . 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等D . 顶角和底边分别对应相等的两个等腰三角形全等3.已知一个三角形的周长为15cm ,且其中两条边长都是第三边的2倍,那么这个三角形的最短边为( )A .1cmB .2cmC .3cmD .4cm4.如图,△ABC 中,AB =AC ,过AC 上一点作DE ⊥AC ,EF ⊥BC ,若∠BDE =140°,则∠DEF =( )A .55°B .60°C .65°D .70°C5.已知△ABC中,AB=AC,且∠B=α,则α的取值范围是()A.450≤<αB.900<<αC.9045<<αD.9045<≤α6.如图,CD是AB CRt∆斜边AB上的高,将∆BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于()A.25 B.30 C.45 D.607.等腰三角形的一个角为40º,则它的底角=_______.8.等腰三角形一边长为1cm,另一边长为5cm,它的周长是cm.9.如图,,90=∠BCA CD⊥AB,DE⊥BC,则图中与∠A互余的角有个.10.如图,△ABC为等腰直角三角形,D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点,则图中共有个等腰直角三角形.11.等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则其底边上的高为______,腰上的高为.12.现用火柴棒摆一个直角三角形,两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒,则斜边需要用根.13.如图,B、C是河岸两点,A是对岸一点,测得,45=∠ABC,45,60=∠=BACmBC则点A到岸边BC的距离是m.14.如图,是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用yx,表示直角三角形的两条直角边()yx>.①;4922=+yx②;13=+yx③;2=-yx④.4942=+xy则上面关系式中正确的是.(写出编号)15.等边三角形的边长为2cm,那么它的面积是2cm.BADCFEBAD C四、 直击中考1.(2014十堰))如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,DE ⊥BC ,垂足为点E ,连接AC 交DE 于点F ,点G 为AF 的中点,∠ACD =2∠ACB .若DG =3,EC =1,则DE 的长为( ) A .2 B .C .2D .2. (2014淄博)如图,矩形纸片ABCD 中,点E 是AD 的中点,且AE =1,BE 的垂直平分线MN 恰好过点C .则矩形的一边AB 的长度为( ) A . 1 B .C .D .23.(2014凉山州)已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为 .4.(2014潍坊)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上'高二丈周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?,题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B 处.则问题中葛藤的最短长度是__________尺. 五、能力提升1.在△ABC 中,∠C =90°,BC =60cm ,CA =80cm ,一只蜗牛从C 点出发,以每分20cm 的速度沿CA -AB -BC 的路径再回到C 点,需要_______分钟时间.2. 如图,四边形ABCD 是正方形,AE 垂直于BE ,且AE =3,BE =4,阴影部分的面积是_________. 3.下列说法中错误的是( )A . 在△ABC 中,若B AC ∠-∠=∠,则△ABC 为直角三角形 B . 在△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =5∶4∶3,则△ABC 为直角三角形 C . 在△ABC 中,若c b c a 8.0,6.0==,则△ABC 为直角三角形D . 在△ABC 中,若5:4:3::=c b a ,则△ABC 为直角三角形 4.如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,若AB =3,BC =5,则DC的长度是(•)A.85B.45C.165D.2255.下列说法中:①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有三个外角都相等的三角形是等边三角形;④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;⑤△ABC中三边为cba,,满足()()()0=---accbba,则这个三角形是等边三角形.正确的个数有()A.1 B.2 C.3 D.46.如图,已知正方形ABCD的边长为1,以AE为折痕,使AD落在AC上,DE的长为()A B. 17.如图,在44⨯的方格中,求F到8.如图,在ABC∆中,ACAB=,︒=∠100BAC,求DEC∠的度数.9.两个全等的含有60,30角的三角尺ADE 与三角尺ABC 如图放置,E 、A 、C 三点在一条直线上,连结BD ,取BD 的中点M ,连结ME 、MC .试判断EMC 的形状,并说明理由.10.探险队的A 组由驻地O 出发,以h km /12的速度前进,同时,B 组也由驻地O 出发,以h km /9的速度向另一个方向前进,h 2后同时停下来,这时A 、B 两组相距km 30,那么A 、B 两组前进的方向成直角吗? 六、挑战竞赛1.如图,在△ABC 中,AB =16, 点M 、N 分别是BC 、AC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FN 的长为 .2.如图是由大小一样的小正方形组成的网格,△ABC 的三个顶点落在小正方形的顶点上.在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上,且与△ABC 成轴对称的三角形共有 ( )A .5个B .4个C .3个D .2个3.如图,ABC ∆为等边三角形,D F 、分别是BC AB 、上的点,且CD BF =,以AD 为边作等边ADE ∆。

八年级(上)培优讲义第6讲特殊三角形(36讲特殊三角形(3)26

八年级(上)培优讲义第6讲特殊三角形(36讲特殊三角形(3)26

第6讲:特殊三角形3(直角三角形、探索勾股定理)一、新知构建1. 直角三角形的概念,表示方法:在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,AC,BC称为直角边,AB称为2. 直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角3. 直角三角形的判定:有两个锐角的三角形是直角三角形.4. 直角三角形斜边中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.5. 在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.6. 探究勾股定理的正确性:已知直角三角形ABC的两条直角边分别为a,b,斜边长为c,画一个边长为c的正方形,将4个这样的直角三角形纸片按下图放置。

(1)、中间小正方形的边长和面积分别为多少?(用a,b表示)(2)、大正方形的面积可以看成哪几个图形面积相加得到?(3)、据(2)可以写出怎样一个关系式?思考:你能构建其他图形来说明勾股定理吗?abc试一试,很有挑战性哦!acb CBA7. 根据下列条件,判断下面以a ,b ,c 为边的三角形是不是直角三角形: (1) a =20,b =21,c =29; (2) a =5,b =7,c =8; (3) a =,7b=3,c =2. 二、经典例题例1.如图,CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线,CE 是∠BCA 的平分线,∠A =32°,求∠DCE 的度数.例2.如图,已知Rt △ABC 中,AB =AC ,D 是斜边BC 的中点,点E ,F 在AB ,AC 上,且∠EDF =Rt ∠.判断DE 和DF 的大小关系,并说明理由.例3.(1)如图,已知△ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上,且l 1、l 2之间的距离为2,l 2、l 3之间的距离为3,则AC 的长是 ( )A .217B .2 5C .4 2D .7(2)如图,在钝角三角形ABC 中,BC =9,AB =17,AC =10,AD ⊥BC ,交BC 的延长线于D ,求AD 的长._ F_ E _ D_ B_ A_ E_ D_ C_ B_ A例4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三, 股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC =90°,AB =3,AC =4,则D 、E 、F 、G 、H 、I 都在矩形KLMJ 的边上,则矩形KLMJ 的面积为 ( )A .90B .100C .110D .121例5. 如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ADC =90°,点E 是AC 的中点. 找出图中的等腰三角形,分别指出相等的边.例6.已知△ABC 中,∠C =90°,AB =c , BC =a , AC =b ,(1)如果,2,1==b a 求c ; (2)如果,17,15==c a 求b ;(3)如图,是一个长方形零件,根据所给尺寸(单位:cm ),求两孔中心A 、B 之间的距离。

八年级数学寒假班讲义1第9讲特殊三角形性质

八年级数学寒假班讲义1第9讲特殊三角形性质

学科教师辅导教案学员姓名:学科教师:年级:辅导科目:授课日期时间主题特殊三角形的性质教学内容1.掌握直角三角形的性质,并会运用它们解决有关的推理和计算问题;2.掌握等腰(直角)三角形的性质,并会运用它们解决有关的推理和计算问题。

一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=4.(1)如图1,两个三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为;(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为;(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1,图2的位置,如图3所示,猜想此时重叠部分的面积为;并验证上述猜想.案例1:等腰直角三角形的应用如图,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点,联结OA;问题1:如图1,OA=OB=OC成立吗?请说明理由;问题2:如图2,如果点M、N分别在边AB、AC上移动,且保持AN=BM;请判断△OMN的形状,并说明理由;问题3:如图3,若点M,N分别在线段BA、AC的延长线上移动,仍保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并说明理由。

试一试:已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是AB上一点,AE⊥AB,且AE=BD,DE与AC相交于点F。

(1)若点D是AB的中点(如图1),那么△CDE是___________三角形,并证明你的结论;(2)若点D不是AB的中点(如图2),那么(1)中的结论是否仍然成立,如果一定成立,请加以说明,如果不一定成立,请说明理由;(3)若AD=AC,那么△AEF是___________三角形。

(不需证明)案例2:含30°角的直角三角形的性质如图,在等边△ABC中,AB=4,点P是线段AB上任意一点(不包括端点),过P作PE⊥BC于E;过E作EF⊥AC于F;过F作FQ⊥AB于Q.问题1:设BP=x,AQ=y,用含x的式子填空,EC=,AF=,写出求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;问题2:当AQ=1.2时,求BP的长度;问题3:当BP的长度等于多少时,点P与点Q重合?试一试:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D是边AC上不与点A、C重合的任意一点,DE⊥AB,垂足为点E,M是BD的中点.(1)求证:CM=EM;(2)如果BC=3,设AD=x,CM=y,求y与x的函数解析式,并写出函数的定义域;(3)当点D 在线段AC 上移动时,∠MCE 的大小是否发生变化?如果不变,求出∠MCE 的大小;如果发生变化,说明如何变化.E M BCAD1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 如图:在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,D 在BC 延长线上,E 是AC 上一点,且EC =DC ,M 、N 分别是AD 、BE 中点,判断△MCN 形状并证明。

八年级(上)培优讲义:第4讲 特殊三角形(1)

八年级(上)培优讲义:第4讲 特殊三角形(1)

第4讲:特殊三角形1(图形的轴对称、等腰三角形、等腰三角形的性质定理)一、新知建构1.识别下列图形是不是等腰三角形.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. 如图,已知线段AB .(1)作图:请作出线段AB 的垂直平分线MN ; (2)发现:线段AB 沿直线MN 对折,直线两侧的图 形能够完全重合.我们称 是 的对称轴, 是轴对称图形.(3)举例:我们学过的轴对称图形还有很多,请你再例举一个,并说出它的对称轴. (4)操作:你认为等腰三角形是轴对称图形吗?请你动手做一做.想一下,它的对称轴是什么?3.画图并探究:作△ABC ,使∠BAC = , AB =AC =3 cm . D 是BC 上的点,且BD =3cm ,D 关于等腰三角形的对称轴的对称点是E ,那么CE = .连结AD 、AE ,你发现的等腰三角形有 个.4.等腰三角形的底角只能是 角,不能是 角或 角,但顶角可以是 角或 角,也可以是 角.5.等腰直角三角形的两个底角相等且都等于 .6.等腰三角形三线合一性。

等腰三角形的顶角的 、底边上的 和底边上的 互相重合。

只要知道其中一个量,就可以得出其它两个量.(1) ∵AB =AC ,∠ 1= ∠2 ∴ (2) ∵AB =AC ,AD ⊥BC ∴BA(3) ∵AB=AC,BD=CD∴7.等边三角形的所有的角平分线、中线和高线,共计条.等边三角形是轴对称图形,它的对称轴有条.我们把等边三角形三条角平分线的交点G叫做正三角形的中心,那么等边三角形绕点G旋转一周的过程中和原图形重合了次,重合一次至少需要旋转度.8.用尺规作图画一个边长为2cm的等边三角形,说说你认识的等边三角形有哪些性质?想一想判断一个等边三角形的方法有哪些,请写下来.二、经典例题例1. (1)方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,求这个三角形的周长。

(2)如果等腰三角形的一个内角是80°,那么顶角是________度.例2.(1) 如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC.①求∠ECD的度数;②若CE=5,求BC长.(2)等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为________.例3.(1)如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D是BC的中点,且AE=BF,试判断△DEF的形状.(2)如图,已知AE∥BC,AE平分∠DAC.求证:AB=AC.例4.如图,△ABC是边长为3的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C 点重合,得到△DCE,连接BD,交AC于F.(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;(2)求线段BD的长.例5.如图,在等边△ABC 中,点D 、E 分别在边BC 、AB 上,且BD =AE ,AD 与CE 交于点F .(1)求证:AD =CE ; (2)求∠DFC 的度数.例6.已知:如图,点C 为线段AB 上一点,△ACM 、△CBN 是等边三角形,连结AN 和BM 分别与MC 、NC 交于点D 、E ,连结DE 请说明下列结论成立的理由. (1)AN =BM ;(2)△CDE 是等边三角形. 三、基础演练1.已知实数x 、y 满足|x -4|+y -8 = 0,则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A .20或16B .20C .16D .以上答案均不对 2. 等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是 ( )A .20°B .50°C .60°D .80°3. 已知等腰△ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,且AD =12BC ,则△ABC 底角的度数为 ( )A .45°B .75°C .45°或75°D .60°4. 如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =4,对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ,连接CE ,则CE 的长为 ( )A.3 B.3.5 C.2.5 D.2.85.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2、4、3,则原直角三角形纸片的斜边长是()A.10 B.4 5 C. 10或4 5 D.10或2176.一个等腰三角形的周长为14cm,且一边长是4cm,则它的腰长是.7.在△ABC中, ∠A=120°,∠B=30°,AB=4cm,则AC=.8.若等腰三角形的底边长为6,那么腰长a的取值范围是.9.在等腰三角形中,如果顶角是一个底角的2倍,那么顶角等于_____度;如果一个底角是顶角的2倍,那么顶角等于_______度.10.如图,已知∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,那么∠FEN的度数是,△CDE 是三角形,△DEF是三角形.11.已知在等边△ABC中,BC=3,∠ACB和∠ABC的两条角平分线相交于点O,OE∥AB,OF∥AC,分别交AB、AC于点E、F,则EF的长是.四、直击中考1. (2014枣庄)如上图,△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为()A. 12 B. 1 C. 2 D. 72.(2014南充)如上图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为()A.30°B.36°C.40°D.45°3. (2014潍坊)等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=O的两个根,则k的值是( )A. 27B. 36C. 27或36D. 184. (2014盐城)若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°5. (2014温州)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F。

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八年级数学培优班第三周课程表第十一节 “中”级考验 ——中 段 考姓名:__________ 日期:__________一、选择题(2分×10=20分) 1.()2000199922-+-分解因式后是( )A .19992B .-2C .19992-D .-12.多项式()()a m a m -+-222分解因式为( ) A .()()m m a +-22 B .()()m m a --22C .()()12--m a mD .()()12+-m a m3.若多项式c bx ax ++2可分解为()223-x ,那么c b a ,,的值分别是( )A .3,-6,2B .9,-12,4C .9,12,4D .9,-12,-44.已知x 为任意有理数,则多项式2411x x --的值( ) A .一定为负数 B .不可能为正数C .一定为正数D .为一切有理数5.81的平方根是( ) A .9. B .9±C .3D .3±6.如果a 是一个数的平方数,那么与这个数相邻且比它大的那个完全平方数应是( ) A.1+a . B.(a+1)2C. a 2+1.D.( 1+a )2.7.下列等式正确的是( ) A ..416-=-B. 13169±=.C.27)(-=-7.D.(-5)2=58.下列等式成立的是( ) A ..2y x y x +=+)(B..2y x y x -=+)(C.2a =a.D.4a =a 2.9.下面的说法正确的是( ) A .有理数都是有理小数;B .无理数都是无限小数 ;C .实数中不带根号的数都是有理数;D .数轴上任何一点都表示有理数10.2115141075++++=A ,则化简后A 的值等于( )。

A .23+B .23-C .35-D .57-二、填空题(3分×10=30分) 1.若36412++kx x 是一个完全平方式,则=k .2.已知2222n x x m +-是一个完全平方式,则=mn .3.a a a 1216423++-在分解因式时,应提取的公因式是 .4.多项式78622++-+y x y x 的最小值为 .5.已知()()200019882001=--a a ,则()()=-+-2219882001a a .6.()16692++++b a b a 分解因式得 .7.已知6,222=-=-y x y x ,则=x ,=y .8.若0342=-+x x ,则=-+71232x x .9.若202++ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符 合条件的整数a 的个数是 . 10.计算()22-a +2)2(a -等于三、计算题(5分×5=25分)(1)227987981600800+⨯-(2))21)(21)(21)(21)(21(16842+++++(3221122⎡⎤⎛⎛+⎢⎥- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(499+++(5)四、解答题(70分)(1)已知:5a b -=,6ab =,求2236186a b ab b -++的值。

(6分)(2)求证:1)4)(3)(2)(1(+++++x x x x 是一个完全平方式。

(6分)(3) 若0)27(82=-++b a ,则33b a -的值为多少?(6分)(4)已知()()()23123123x x A B C x x x x x x +-=++------,求A 、B 、C 的值。

(7分)附加题:(20分)(1)已知:22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠,求:22a b a b b a ab+--的值。

(10分)(2)m 取何整数值时,方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数?(10分)第十二节 拐弯抹角,边走边看——三角形(一)——边角关系姓名:__________ 日期:__________知识要点1.三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

2.三角形三个内角的和等于180°。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,大于任何一个和它不相邻的内角。

4.在同一个三角形中,如果两内角不相等,那么较大内角的对边也较大(简称“大角对大边)。

5.在同一个三角形中,如果两边不相等,那么较大边的对角也较大(简称“大边对大角)。

典型例题例1.在△ABC 中,BD 、CE 是高,若AB>AC ,求证:BD>CE 。

例2.在△ABC 中,∠B=2∠C ,则AC 与2AB 之间的大小关系是( ) (A )AC>2AB (B )AC=2AB (C )AC ≤3AB (D )AC<2AB例3.如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°AB=AC ,BD 平分∠ABC 交AC 于D ,作CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ,过A 作AH ⊥BC 交BD 于M ,交BC 于H ,则BM 与CE 的大小关系是 。

ABCD E AB例4.在△ABC 中,AB>AC ,AD 为∠A 的平分线,P 为AD 上任意一点, 求证:PB -PC<AB -AC例5.如图所示,在△ABC 中,AD ⊥BC ,D 在BC 上,已知∠ABC>∠ACB ,P 是AD 上任一点。

证 PC -PB>AC -AB例6.△ABC 中,AB=AC ,P 是三角形内一点,且∠APB>∠APC ,求证PB<PC.例7.在等腰△ABC 中,BC 的中点为D ,E 是△ABD 内任一点,连AE 、BE 、CE ,求证:∠AEB>∠AEC 。

要爱惜自己的青春,世界上没有再比青春更美好的了,没有再比青春更珍贵的了,青春就像黄金,你想做成什么,就能成为什么。

——高尔基A BCDP D A BCPA A课堂练习姓名:成绩;1.若三角形的三个外角的比是2:3:4,则这个三角形的最大 内角的度数是_________。

(2003年河南省竞赛题)2.已知三角形的三条边长均为整数,其中有一条边长是4,但它不是 最短边,这样的三角形共有_____个。

3.在△ABC 中,三个内角的度数均为整数,且∠A<∠B<∠C ,4∠C=7∠A, 则∠B 的度数为_____。

(北京市竞赛题)4.如图所示,△ABC 中,AB>AC ,AD 是BC 边上的中线,求证∠DAC>∠DAB 。

5.如图所示,已知在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,CE 垂直AD 交AD 于E ,求证:∠ACE>∠B 。

解题是一种实践性的技能,就像游泳、滑雪或弹钢琴一样,只能通过模仿、练习和钻研学到它。

——玻利亚ABDABDE课后作业姓名:成绩;1.在△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 交于O ,且O 不与B 、C 重合, 求∠BOC 的度数。

(“东方航空杯”——上海市竞赛题)2.如图所示,BE 平分∠ABD ,CF 平∠ACD ,BE 与CF 相交于G ,若 ∠BDC=140°,∠BGC=100°,求∠A 的度数。

(“希望杯”邀请赛试题)3.如图,在△ABC 中,D 、E 是BC 边上的点,BD=AB ,CE=AC , 又∠DAE=31∠BAC ,求∠BAC 的度数。

4.三角形的三个内角分别为α,β,γ,α≥β≥γ,α=2γ,求β的取值范围。

A BF EG DABDC图2第十三节 无奇不有——三角形(二)——特殊三角形姓名:__________ 日期:__________等腰三角形1.有两条边相等的三角形是等腰三角形,等腰三角形是轴对称图形。

2.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

3.等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。

(常称为“三线合一”)。

4.如果一个三角形有两个内角相等,则它是等腰三角形。

典型例题例1.已知ABC ∆中,C B ∠∠与的平分线的交点P 恰好在BC 边 的高AD 上,那么ABC ∆一定是( ) (A )直角三角形 (B )等边三角形 (C )等腰三角形 (D )等腰直角三角形第12届(2001年)初二培训例2.如图2,在ABC ∆中,AB=AC ,∠A=36°,BD ,CE 分别平分∠AB C 和∠ACB ,它们相交于F 点,是图中等腰三角形的个数是( )第14届(2003年)初二培训例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于( )。

(A )30° (B )30°或150° (C )120°或150° (D )30°或120°或150°第10届(1999年)初二第1试等边三角形1.三边相等的三角形是等边三角形。

2.等边三角形既是轴对称图形,也是等腰三角形。

图13.三个角都相等的三角形是等边三角形。

4.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

典型例题例1.用一根长为a 米的线围成一个等边三角形,测知这个等边三 角形的面积为b 平方米,现于这个等边三角形内任取一点P P 则点, 到等边三角形三边距离之和为( )米。

(A )a b 2 (B )ab 4 (C )a b 6 (D )ab 8 第12届(2001年)初一第2试例2.如图2,C 在线段AB 上,在AB 的同侧作等边三角形△ACM 和△BCN ,连接AN ,BM ,若∠MBN=38°,则∠ANB=______________。

第10届(1999年)初二第1试例3.如图3,已知等边△ABC 内有一点N ,ND ⊥BC ,NE ⊥AB ,NF ⊥AC , D ,E ,F 都是垂足,M 是△ABC 中异于N 的另一点,若,,21MF ME MD p NF NE ND p ++=++=则1p 与2p 的大小关系是______________。

第11届(2000年)初二培训课堂练习姓名:成绩;图1图2图31.如图3,ABC ∆中,AB=AC ,D ,E ,F 分别在BC ,AC ,AB 上, 若BD=CE ,CD=BF ,则∠EDF 等于( ) (A )90°-21∠A (B )90°-∠A (C )180°-∠A(D )180°-2∠A第10届(1999年)初二第1试2.如图4,已知在ABC ∆中,AB=AC ,∠BAC 和∠ACB 的平分线相 交于D 点,∠ADC=130°,那么∠CAB 的大小是( ) (A )80° (B )50° (C )40° (D )20°第7届(1996年)初二第1试3.若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边, 则此三角形肯定是( )。

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