2019年中考数学微测试系列专题16 平行四边形、矩形、菱形、正方形(含解析)北师大版

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2019年中考数学矩形菱形与正方形真题汇编(含解析)

A ． 52 B． 48 C． 40 D． 20 【分析】由勾股定理即可求得 AB 的长，继而求得菱形 ABCD 的周长．【解答】解：∵菱形 ABCD 中， BD=24 ， AC=10 ，
2
∴OB=12 ， OA=5 ，在 Rt△ABO 中， AB=
=13 ，
∴菱形 ABCD 的周长 =4AB=52 ，故选： A ．
∵
，
∴△ APH ≌△ FGH （ASA ），
∴AP=GF=1 ， GH=PH= PG，
∴PD=AD ﹣ AP=1 ， ∵CG=2 、 CD=1 ， ∴DG=1 ，
则 GH= PG= ×
=，
4
故选： C．
A．1 B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴， ∵EG⊥ AB ． EI⊥ AD ， FH ⊥ AB ， FJ⊥ AD ，垂足分别为 G， I，H ， J． ∴根据对称性可知：四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等，
A．1 B．
C．
D．
【分析】延长 GH 交 AD 于点 P，先证 △APH ≌△ FGH 得 AP=GF=1 ， GH=PH= PG，再利用勾股定理求得 PG= ，
从而得出答案．【解答】解：如图，延长
GH 交 AD 于点 P，
∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形， ∴∠ ADC= ∠ ADG= ∠ CGF=9°0 ， AD=BC=2 、 GF=CE=1 ， ∴AD ∥ GF， ∴∠ GFH= ∠PAH ，又∵ H 是 AF 的中点， ∴AH=FH ，在△APH 和 △FGH 中，

2019年各地中考解析版数学试卷汇编：矩形菱形与正方形

矩形菱形与正方形一.选择题1. ( 2019甘肃省兰州市)如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则DM ＝（）A.21B. 22C.3－1 D. 2－1【答案】D ．【考点】正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质. 【考察能力】空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力. 【难度】较难【解析】过点M 作MP ⊥CD 垂足为P ，过点O 作OQ ⊥CD 垂足为Q ，∵ 正方形的边长为2， ∴OD ＝1， OC ＝1， OQ ＝DQ ＝22，由折叠可知，∠EDF ＝∠CDF. 又∵AC ⊥BD ， ∴OM ＝PM ，设OM ＝PM ＝x ∵OQ ⊥CD ，MP ⊥CD∴∠OQC ＝∠MPC ＝900， ∠PCM ＝∠QCO ， ∴△CMP ∽△COQ∴OQ MP ＝COCM，即1122x x -=，解得x ＝2－1 ∴OM ＝PM ＝2－1. 故选D.2.（2019▪贵州毕节▪3分）平行四边形ABCD 中，AC.BD 是两条对角线，现从以下四个关系①AB ＝BC ；②AC ＝BD ；③AC ⊥BD ；④AB ⊥BC 中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD 是菱形的概率为（） A ．B ．C ．D ．1【分析】菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．【解答】解：根据平行四边形的判定定理，可推出平行四边形ABCD是菱形的有①或③，概率为．故选：B．【点评】本题考查了菱形及概率，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．3.（2019▪广西池河▪3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明△ABE≌△BCF，再根据全等三角形的性质可得∠BFC＝∠AEB，进一步得到∠BFC＝∠ABF，从而求解．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥BC，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BFC＝∠AEB，∴∠BFC＝∠ABF，故图中与∠AEB相等的角的个数是2．故选：B．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4. （2019•南京•2分）面积为4的正方形的边长是（）A．4的平方根B．4的算术平方根C．4开平方的结果D．4的立方根【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；【解答】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；故选：B．【点评】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义是解题的关键．5. （2019•湖南岳阳•3分）下列命题是假命题的是（）A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B．同角（或等角）的余角相等C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【分析】由平行四边形的性质得出A是假命题；由同角（或等角）的余角相等，得出B是真命题；由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C.D是真命题，即可得出答案．【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；B．同角（或等角）的余角相等；真命题；C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6（2019，山东枣庄，3分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A 顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（）A．4 B．2C．6 D．2【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，∴AD＝DC＝2，∵DE＝2，∴Rt△ADE中，AE＝＝2故选：D．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．7. （2019•湖北十堰•3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．8. （2019•湖北孝感•3分）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG＝，∴，CG＝，∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键．9. （2019•湖南衡阳•3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，∵E是AB的中点，∴EF＝AC，DE＝BC，∴EF＝ED，∴四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．10. (2019•广东•3分）如图，正方形ABCD 的边长为4，延长CB 至E 使EB=2，以EB 为边在上方作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM 、AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB.AM 交于点N 、K ．则下列结论：①△ANH ≌△GNF ；②∠AFN=∠HFG ；③FN=2NK ；④S △AFN : S △ADM =1 : 4．其中正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】AH=GF=2，∠ANH=∠GNF ，∠AHN=∠GFN ，△ANH ≌△GNF （AAS ），①正确；由①得AN=GN=1，∵NG ⊥FG ，NA 不垂直于AF ，∴FN 不是∠AFG 的角平分线，∴∠AFN≠∠HFG ，②错误；由△AKH ∽△MKF ，且AH:MF=1:3，∴KH:KF=1:3，又∵FN=HN ，∴K 为NH 的中点，即FN=2NK ，③正确；S △AFN =21AN·FG=1，S △ADM =21DM·AD=4，∴S △AFN : S △ADM =1 : 4，④正确. 【考点】正方形的性质，平行线的应用，角平分线的性质，全等三角形，相似三角形，三角形的面积11. （2019•广东深圳•3分）已知菱形ABCD ，E ，F 是动点，边长为4，BE=AF ，∠BAD=120°，则下列结论正确的有几个（）①△BEC ≌△AFC ； ②△ECF 为等边三角形 ③∠AGE=∠AFC ④若AF=1，则31GE GF A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】在四边形ABCD 是菱形，因为∠BAD=120°，则∠B=∠DAC=60°，则AC=BC ，且BE=AF ，故可得△BEC ≌△AFC ；因为△BEC ≌△AFC ，所以FC=EC ，∠FCA=∠ECB ，所以△ECF 为等边三角形；因为∠AGE=180°-∠BAC-∠AEG ；∠AFC=180°-∠FAC-∠ACF ，则根据等式性质可得∠AGE=∠AFC ；因为AF=1，则AE=3，所以根据相似可得31GE GF .12 （2019•广西贵港•3分）如图，E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点H 与B 关于CE 对称，EH 的延长线与AD 交于点F ，与CD 的延长线交于点N ，点P 在AD 的延长线上，作正方形DPMN ，连接CP ，记正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为S 1，S 2，则下列结论错误的是（）A ．S 1+S 2＝CP 2B ．4F ＝2FDC ．CD ＝4PD D ．cos ∠HCD ＝【分析】根据勾股定理可判断A ；连接CF ，作FG ⊥EC ，易证得△FGC 是等腰直角三角形，设EG ＝x ，则FG ＝2x ，利用三角形相似的性质以及勾股定理得到CG ＝2x ，CF ＝2x ，EC ＝3x ，BC ＝x ，FD ＝x ，即可证得3FD ＝AD ，可判断B ；根据平行线分线段成比例定理可判断C ；求得cos ∠HCD 可判断D ．【解答】解：∵正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为S 1，S 2， ∴S 1＝CD 2，S 2＝PD 2，在Rt △PCD 中，PC 2＝CD 2+PD 2， ∴S 1+S 2＝CP 2，故A 结论正确；连接CF，∵点H与B关于CE对称，∴CH＝CB，∠BCE＝∠ECH，在△BCE和△HCE中，∴△BCE≌△HCE（SAS），∴BE＝EH，∠EHC＝∠B＝90°，∠BEC＝∠HEC，∴CH＝CD，在Rt△FCH和Rt△FCD中∴Rt△FCH≌Rt△FCD（HL），∴∠FCH＝∠FCD，FH＝FD，∴∠ECH+∠ECH＝∠BCD＝45°，即∠ECF＝45°，作FG⊥EC于G，∴△CFG是等腰直角三角形，∴FG＝CG，∵∠BEC＝∠HEC，∠B＝∠FGE＝90°，∴△FEG∽△CEB，∴＝＝，∴FG＝2EG，设EG＝x，则FG＝2x，∴CG＝2x，CF＝2x，∴EC＝3x，∵EB2+BC2＝EC2，∴BC2＝9x2，∴BC2＝x2，∴BC＝x，在Rt△FDC中，FD＝＝＝x，∴3FD＝AD，∴AF＝2FD，故B结论正确；∵AB∥CN，∴＝，∵PD＝ND，AE＝CD，∴CD＝4PD，故C结论正确；∵EG＝x，FG＝2x，∴EF＝x，∵FH＝FD＝x，∵BC＝x，∴AE＝x，作HQ⊥AD于Q，∴HQ∥AB，∴＝，即＝，∴HQ＝x，∴CD﹣HQ＝x﹣x＝x，∴cos∠HCD＝＝＝，故结论D错误，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用以及平行线分线段成比例定理，作出辅助线构建等腰直角三角形是解题的关键．13. （2019•江苏苏州•3分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，416AC BD ==，，将ABO V 沿点A 到点C 的方向平移，得到A B C '''V ，当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之间的距离为（）A ．6B ．C ．10D ．12B【分析】考察菱形的性质，勾股定理，中等偏易题型【解答】由菱形的性质得28AO OC CO BO OD B O '''======，90AOB AO B ''∠=∠=oAO B ''∴V 为直角三角形10AB '∴===故选C14. （2019•湖南株洲•3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A ．对角线垂直且相等B ．四边都互相垂直C ．四个角都相等D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形【分析】直接利用矩形的性质分析得出答案．【解答】解：A.矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；B.矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；C.矩形的四个角都相等，正确；D.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了矩形的性质，正确把握矩形的性质是解题关键．15. （2019•山东省德州市•4分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接CM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质【分析】①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．③正确．作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，通过计算证明MH＝CH即可解决问题．④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出＝＝，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠DCE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DE＝AF；故①正确；∵AB∥CD，∴＝，∵AF：FB＝1：2，∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，∴＝，∴＝，∵AC＝AB，∴＝，∴AN＝AB；故②正确；作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，∴CH＝MH＝CM，∵GH⊥CM，∴GM＝GC，∴∠GMH＝∠GCH，∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，∴∠FEG＝∠DCE，∵∠ADF＝∠DCE，∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，设△ANF的面积为m，∵AF∥CD，∴＝＝，△AFN∽△CDN，∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误，故选：C．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1. (2019安徽)（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0 B．4 C．6 D．8【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，可得点N到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4，∵点M与点F关于BC对称∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4则在线段BC存在点N到点E和点F的距离之和最小为4＜9∴在线段BC上点N的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点N使点N到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．2.（2019•浙江金华•3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（）A. ∠BDC=∠αB. BC=m·tanαC. AO=D. BD=【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：A.∵矩形ABCD，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠BDC=∠BAC=α，故正确，A不符合题意；B.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴tanα= ，∴BC=AB·tanα=mtanα，故正确，B不符合题意；C.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴cosα= ，∴AC= = ，∴AO= AC=故错误，C符合题意；D.∵矩形ABCD，∴AC=BD，由C知AC= = ，∴BD=AC= ，故正确，D不符合题意；故答案为：C.【分析】A.由矩形性质和全等三角形判定SAS可得△ABC≌△DCB，根据全等三角形性质可得∠BDC=∠BAC=α，故A正确；B.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据正切函数定义可得BC=AB·tanα=mtanα，故正确；C.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据余弦函数定义可得AC= =，再由AO= AC即可求得AO长，故错误；D.由矩形性质得AC=BD，由C知AC= = ，从而可得BD长，故正确；3．（2019•浙江绍兴•4分）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变【分析】由△BCE∽△FCD，根据相似三角形的对应边成比例，可得CF•CE＝CD•BC，即可得矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．【解答】解：∵正方形ABCD和矩形ECFG中，∠DCB＝∠FCE＝90°，∠F＝∠B＝90°，∴∠DCF＝∠ECB，∴△BCE∽△FCD，∴，∴CF•CE＝CB•CD，∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．故选：D．【点评】此题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，由相似三角形得出比例线段是解题的关键．4．（2019•浙江绍兴•4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．5.（2019•浙江衢州•3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E 出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A B C D【答案】C【考点】动点问题的函数图象【解析】【解答】解：①当点P在AE上时，∵正方形边长为4，E为AB中点，∴AE=2，∵P点经过的路径长为x，∴PE=x，∴y=S△CPE= ·PE·BC= ×x×4=2x，②当点P在AD上时，∵正方形边长为4，E为AB中点，∴AE=2，∵P点经过的路径长为x，∴AP=x-2，DP=6-x，∴y=S△CPE=S正方形ABCD-S△BEC-S△APE-S△PDC，=4×4- ×2×4- ×2×（x-2）- ×4×（6-x），=16-4-x+2-12+2x，=x+2，③当点P在DC上时，∵正方形边长为4，E为AB中点，∴AE=2，∵P点经过的路径长为x，∴PD=x-6，PC=10-x，∴y=S△CPE= ·PC·BC= ×（10-x）×4=-2x+20，综上所述：y与x的函数表达式为：y= .故答案为：C.【分析】结合题意分情况讨论：①当点P在AE上时，②当点P在AD上时，③当点P在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.6. （2019•甘肃•3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．【分析】设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，所以AF＝8，BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝．【解答】解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，∴AF＝8，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，故答案为．【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．7．（2019•浙江绍兴•5分）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠P AD＝30°，以点B 为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为15°或45°．【分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，∴∠ADE＝45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，∴△AE′M为等边三角形，∴∠E′AM＝60°，∴∠DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∵AD＝AE′，∴∠ADE′＝15°，故答案为：15°或45°．【点评】本题考查的是正方形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．8.（2019•浙江绍兴•5分）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解．【解答】解：如图所示：图1的周长为1+2+3+2＝6+2；图2的周长为1+4+1+4＝10；图3的周长为3+5++＝8+2．故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．故答案为：6+2或10或8+2．【点评】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙）的各种情况．9. （2019•湖北十堰•3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为24．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得BO＝DO，然后求出OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴CD＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24；故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．10. （2019•湖北十堰•3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝6．【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．11. （2019•湖北天门•3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．12. （2019•湖北天门•3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y ＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是（97，32）．【分析】根据菱形的边长求得A1.A2.A3…的坐标然后分别表示出C1.C2.C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．【解答】解：∵OA1＝1，∴OC1＝1，∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝，横坐标为cos60°•OC1＝，∴C1（，），∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝，代入y＝x+求得横坐标为2，∴C2（，2，），C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4，代入y＝x+求得横坐标为11，∴C3（11，4），∴C4（23，8），C5（47，16），∴C6（97，32）；故答案为（97，32）．【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键．13. （2019•广东深圳•3分）如图在正方形ABCD中，BE=1，将BC沿CE翻折，使点B对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使点D对应点落在对角线AC上，求EF= .【答案】6【解析】14. (2019甘肃省天水市)如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为______．.【答案】错误！未找到引用源。

2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形(含解析)

第3题图A. 20 °B.302020年中考数学一轮专项复习一一矩形、菱形、正方形课时1 矩形■基础过关1. （2019重庆模拟）下列关于矩形对角线的说法中，正确的是（）A.对角线相互垂直B.面积等于对角线乘积的一半C.对角线平分一组对角D.对角线相等2 . （2019临沂）如图，在？ABCD 中，M, N 是BD 上两点,个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（）B. MB= MOD. / AMB = Z CNDBM = DN,连接 AM, MC , CN, NA.添加一1A. OM =2ACC. BD± AC3 .如图，将矩形纸片数为（）ABCD 沿BD 折叠，得到△ BCD, CD 与AB 交于点E.若/1 = 35°,则/ 2的度第2题图5.如图，矩形 ABCD 中，A （-2, 0）, B （2, 0）, C （2, 2）,将AB 绕点A 旋转，使点 B 落在边CD 上的点E 处，则点E 的坐标为（）B. (2击，2) D. (2^3-2, 2)4. （2019贵阳模拟）如图，在矩形ABCD （） ABCD 中，AE 平分/ BAD,交边BC 于点E,若ED=5, EC=3,则A. 11B. 14C. 22D. 28A.(a 2) C. (1 ，6.如图，在矩形ABCD 中，对角线 AC 与BD 相交于点 O,过点A 作BD 的垂线，垂足为E.已知/ EAD= 3/BAE,则/ EAO 的度数为（A . 22.5B. 67.5C. 45°D. 60°7 . （2020原创）如图，点O 是矩形则^ BOE 的周长为（）ABCD 对角线 AC 的中点，OE // AB 交AD 于点E.若AB=6, BC=8,A. 10B. 8 + 2^5C. 8+2^13D. 14E第4题图第5题图4第6题图10.（人教八下P55练习2题）如图，？ABCD的对角线AC、BD交于点O, △ OAB是等边三角形，AB =4.（1）求证：四边形ABCD是矩形;（2）求四边形ABCD的面积.8. （2018遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点, 点E, F,连接PB、PD.若AE=2, PF = 8.则图中阴影部分的面积为过点P作EF // BC,分别交AB, CD于A. 10 8.12 C. 16D. 189.（2019徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O, M、N分别为BC、OC的中点，若MN = 4, 则AC的长为第7题图第8题图第9题图第10题图11 . (2019怀化)已知：如图，在？ABCD中，AEXBC, CFXAD, E, F分别为垂足.⑴求证：△ ABE^A CDF ;(2)求证：四边形AECF是矩形.第11题图12 . (2019连云港)如图，在^ ABC中，AB = AC>AABC沿着BC方向平移得到△ DEF ,其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O.(1)求证：△ OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由.第12题图1 . （2019台州）如图，有两张矩形纸片 ABCD 和EFGH, AB=EF =2 cm, BC = FG=8 cm 把纸片 ABCD 交叉叠放在纸片 EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点 D 与点G 重合，当两张纸片交叉所成的角 “最小时，tan a 等于（）2 .如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4, BC = 6, E 是矩形内部的一个动点，且 AEXBE,则线段CE 的最小值为.A.B. 2C. 187D.8_15;1 DB EC F第1题图第2题图立满分冲关1. (2019眉山模拟)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEXAC,垂足为点F,连接DF ,分析下列四个结论：① CF = 3AF;②AB=DF;③DF = ^BC；④S四边形CDEF^S MBF.其中正确白结论有( )第1题图A . 1个B,2个C,3个D,4个【错误结论纠正】请将错误结论改正确.2 .如图，在矩形ABCD中，ZBAC=30°,对角线AC, BD交于点O, / BCD的平分线CE分别交AB, BD于点E, H,连接OE.(1)求/ BOE的度数；(2)若BC=1,求^ BCH的面积；(3)求S A CHO :S^BHE的值.H E第2题图课时2菱形（建议时间：40分钟）名■基础过关1. （2019玉林）菱形不具备的性质是（）A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2. （2019 河北）如图，菱形ABCD 中，/ D= 150°,则/ 1 =（）A.30 °B. 25 °C. 20 °D. 15 °DB第2题图3. （2019襄阳）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C, D两点，连接AC, BC, AD, BD,则四边形ADBC一定是（）A.正方形B.矩形第3题图4. （2019呼和浩特）已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为（）A.2 2B. 2 . 5C. 4 2D. 2 . 105. （2019宁夏）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.AC± BDB.AB = ADC.AC= BDD./ ABD = Z CBD,4第5题图6 . （2019赤峰）如图，菱形ABCD的周长为20,对角线AC、BD相交于点O, E是CD的中点，则OE 的长是（）A. 2.5B. 3第6题图7. （2019天津）如图，四边形ABCD 为菱形，A, B两点的坐标分别是（2, 0）, （0, 1）,点C, D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（y6D第7题图A. 5B.4 3C.4 5D. 208 . （2019永州）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,且点。

北京市通州区2019届中考《矩形、菱形和正方形》专题练习含答案

北京市通州区普通中学2019届初三数学中考复习矩形、菱形和正方形专项复习练习1．下列判断错误的是( D )A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形2．如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( A ) A.245 B.125C ．5D ．43．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD ＝23，DE ＝2，则四边形OCED 的面积( A )A ．2 3B ．4C ．4 3D ．84．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( D )A. 5B.136 C ．1 D.565．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为( D )A.95B.125C.165D.1856．在▱ABCD 中，AB ＝10，BC ＝14，E ，F 分别为边BC ，AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为( D )A ．7B ．4或10C ．5或9D ．6或87．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，∠EAF ＝45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为( A )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE＝DF ；②∠DAF＝15°；③AC 垂直平分EF ；④BE＋DF ＝EF ；⑤S △CEF ＝2S △ABE ，其中正确结论有( C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个9．如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为__55__．10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为__24__．11．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a.将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝__23a__．12．如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB ＝8，AD ＝7，E 为AB 上一点，AE ＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是__52或45或5__．13．如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，0则AM 的长等于__33或233cm.14．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA 1B 1C 1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB 1为边作正方形OB 1B 2C 2，再以正方形OB 1B 2C 2的对角线OB 2为边作正方形OB 2B 3C 3，以此类推…，则正方形OB 2019B 2019C 2019的顶点B 2019的坐标是__(21008，0)__．15．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)由折叠知AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴AM＝CN，∴AN＝CM，可证△ANF≌△CME(ASA)，∴AF＝CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形(2)∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8，设CE＝x，则EM＝8－x，CM＝10－6＝4，在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴四边形AECF的面积为EC·AB＝5×6＝3016．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB.(1)求证：PE＝PD；(2)连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，可证△PBC≌△PDC(SAS)，∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PE＝PD(2)∠PED＝45°.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵△PBC≌△PDC，∴∠PBC＝∠PDC，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠PEB，∴∠PDC＝∠PEB，∵∠PEB＋∠PEC＝180°，∴∠PDC＋∠PEC＝180°，在四边形PECD中，∠EPD＝360°－(∠PDC＋∠PEC)－∠BCD＝360°－180°－90°＝90°，又∵PE＝PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴∠PED＝45°17．如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝2，求BC的长；(2)求证：ME＝AM－DF.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，AB∥CD，∴∠1＝∠ACD.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，∴MC＝MD.∵ME⊥CD，∴CD＝2CE＝4，∴BC＝CD＝4(2)延长DF，AB交于G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠DCA.∵BC＝2CF，CD＝2CE，∴CE＝CF.可证△CEM≌△CFM(SAS)，∴ME＝MF.∵AB∥CD，∴∠2＝∠G，∠GBF＝∠BCD，∵F为边BC的中点，∴CF＝BF，可证△CDF≌△BGF(AAS)，∴DF＝GF.∵∠1＝∠2，∠G＝∠2，∴∠1＝∠G，∴AM＝GM＝MF＋GF＝DF＋ME，即ME＝AM－DF18．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是___FG＝CE___，位置关系是 __FG∥CE__；(2)如图②，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图③，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．解：(2)过点G作GH⊥CB的延长线于点H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，可证△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB∴BH＝EC，∴FG＝EC(3)成立．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，可证△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴FG∥CE，FG＝CE2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在水平的讲台桌上放置圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒（如图），则它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．2．小明记录了昆明市年月份某一周每天的最高气温，如表：最高气温那么这周每天的最高气温的众数和中位数分别是（）A.，B.，C.，D.，3．如图，边长分别为2和4的两个等边三角形，开始它们在左边重叠，大△ABC 固定不动，然后把小△A′B′C′自左向右平移，直至移到点B′到C 重合时停止，设小三角形移动的距离为x ，两个三角形的重合部分的面积为y ，则y 关于x 的函数图象是( )A. B.C. D.4．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点（O ，m ）（2，m ）（m ＞0），与x 轴的一个交点为（x 1，0），且﹣1＜x 1＜0．则下列结论：①若点（）是函数图象上一点，则y ＞0；②若点是函数图象上一点，则y ＞0；③（a+c ）2＜b 2．其中正确的是（） A.①B.①②C.①③D.②③5．将多边形的边数由n 条增加到()n x +条后，内角和增加了540︒，则x 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．B．C ．D ．7．已知一次函数y ＝﹣x+m 和y ＝2x+n 的图象都经过A （﹣4，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为（） A.48 B.36C.24D.188．分式方程231x x =+的解为（） A.1x =- B.0x =C.1x =D.2x =9．计算(x 2)2的结果是( ) A ．x 2B ．x 4C ．x 6D ．x 810+1）20191）2018的结果是（）A+1B1CD ．111．如图，正方形ABCD 的边长为3厘米，正方形AEFG 的边长为1厘米．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C ，F 两点之间的距离的最大值为( )A．cmB ．3cmC．D ．4cm12．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于D ，E ，S △ADE =2S △DCE ，则ADE ABCS S=（）A ．14B ．12C ．23D ．49二、填空题13．如图，已知等边△OA 1B 1，顶点A 1在双曲线x ＞0）上，点B 1的坐标为（2，0）．过B 1作B 1A 2∥OA 1交双曲线于点A 2，过A 2作A 2B 2∥A 1B 1交x 轴于点B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过B 2作B 2A 3∥B 1A 2交双曲线于点A 3，过A 3作A 3B 3∥A 2B 2交x 轴于点B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点B 6的坐标为_____．14．如图所示，直线y=12x 分别与双曲线y=1k x（k 1＞0，x ＞0）、双曲线y=2k x （k 2＞0，x ＞0）交于点A ，点B ，且OA=2AB ，将直线向左平移4个单位长度后，与双曲线y=2k x交于点C ，若S △ABC =1，则k 1k 2的值为_____．15．某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件x 天，乙种零件y 天，则根据题意列二元一次方程组是__．16．若m ，n 为实数，且m +8，则m+n 的算术平方根为_____．17．如图，某海监船以20km/h 的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC 的长）为_____km ．18．分解因式：m 2+1﹣2m ＝___．三、解答题19．2019年4月23日是“第二十四个世界读书日”，我市某中学发起了“读好书”活动．为了解九年级学生阅读“艺术类、科普类、文学类、军事类“这四类书籍的情况，数学老师随机抽查了该年级学生课外阅读的数量，绘制了下面不完整的条形图和扇形图．（1）求本次抽查中阅读科普类书籍的人数，并补充完整条形图；（2）小明要从这四类书籍中任选两类来阅读，请你用列表法或树状图求小明刚好选择科普类和军事类书籍的概率．20．先化简，再求值：（1﹣11x +）÷21x x -，其中x ． 21．如图，在图中求作⊙O ，使⊙O 满足以线段DE 为弦，且圆心O 到∠ABC 两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）22．（1）计算：216cos303-︒⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：（a+b ）（a ﹣b ）﹣（a ﹣2b ）2，其中a ＝2，b ＝﹣1．23．先化简，再求值：2231422a a a a a a-÷--+-，其中4a =. 24．某教学网站策划了A 、B 两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习的时间为x h . （Ⅰ）根据题意，填写下表：（Ⅱ）设A，B两种方式的收费金额分别为1y元和2y元，分别写出1y，2y与x的函数解析式；（Ⅲ）当60x 时，你认为哪种收费方式省钱？请说明理由.25．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元(1)若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．（，0）．14．915．16．31718．（m﹣1）2．三、解答题19．（1）阅读科普类书籍的人数为18人，补全图形见解析；（2）小明刚好选择科普类和军事类书籍的概率为16．【解析】【分析】（1）根据阅读文学类的人数除以占的百分比得到调查的总学生数，进而求出阅读科普类的人数，补全条形统计图即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出小明刚好选择科普类和军事类书籍的情况，即可求出所求的概率．【详解】（1）由题意可得：12÷25%＝48（人），故阅读科普类书籍的人数为：48﹣10﹣12﹣8＝18（人），补全图形得：；（2）列表或画出树状图得：由表格数据可得：一共有12种情况，小明刚好选择科普类和军事类书籍的有2种，故小明刚好选择科普类和军事类书籍的概率为：21 126=．【点睛】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】原式11(1)(1)11x x xxx x+-+-=⋅=-+，当x时，原式＝x﹣1﹣1【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．见解析 .【解析】【分析】作线段DE的垂直平分线MN，作∠AOB的角平分线BP，BP交MN于点O，以O为圆心OE为半径作⊙O即可．【详解】如图，⊙O 即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．22．（1）;(2) 4ab ﹣5b 2，-13 【解析】【分析】(1)按顺序先分别进行负指数幂运算、二次根式的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可；(2)根据完全平方公式和平方差公式化简，然后把a 、b 的值代入计算即可．【详解】(1)216cos303-⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭＝9﹣2＝9﹣＝(2)(a+b)(a ﹣b)﹣(a ﹣2b)2＝a 2﹣b 2﹣a 2+4ab ﹣4b 2 ＝4ab ﹣5b 2，当a ＝2，b ＝﹣1时，原式＝4×2×(﹣1)﹣5×1＝﹣13．【点睛】本题考查了实数的运算，整式的混合运算，涉及了负整数指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、完全平方公式、平方差公式等知识，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 23．【解析】【分析】根据分式的乘除法则和加减运算法则进行计算化简，再代入已知值计算. 【详解】原式()()()()()()()()()aa 21111a 31a 2a 2a a 3a 2a 2a 3a 2a 2a 3a 2a 3a 3+-=⨯+=+=+=+-----------，当a 4=时，原式1143==-. 【点睛】考核知识点：分式的化简求值.掌握分式运算法则是关键.24．（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）127? 025? 10?050?0.68? 253140? 50? x x y y x x x x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨-≥-≥⎩⎩，（Ⅲ）当x 60>时，收费方式A 省钱【解析】【分析】（Ⅰ）首先判断月包时上网时间和月上网时间的大小，然后根据月总费用=月使用费+超时单价×超过时间，进行计算即可（Ⅱ）根据收取费用=月使用费+超时单价×超过时间，可得出12y y 、关于x 的函数关系式，注意进行分段；（Ⅲ）当x 60>时，根据（Ⅱ）的解析式，求出1y 与2y 的差，根据一次函数的增减性得出省钱的收费方式．【详解】（Ⅰ）见表格（Ⅱ）当0x 25≤≤时，1y 7=；当x 25≥时，()1y 70.6x 250.6x 8=+-=- ∴17?025? y 0.68?25x x x ≤≤⎧=⎨-≥⎩；当0x 50≤≤时，2y 10=当x 50≥时，()2y 103x 503x 140=+-=- ∴210?050?y 3140?50? x x x ≤≤⎧=⎨-≥⎩；（Ⅲ）当x 60>时，收费方式A 省钱当x 60>时，1y 0.6x 8=-，2y 3x 140=-；设y=12y y 0.6x 83x 140 2.4x 132-=---=-+∵-2.40<，∴y 随x 的增大而减小当x=60时，y=-12，∴当x 60>时，y 12<-，即y 0< ∴12y y <∴当x 60>时，收费方式A 省钱．【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．25．（1该档次蛋糕每件利润为18元;（2）该烘焙店生产的是四档次的产品．【解析】【分析】（1）依题意可求出产品质量在第五档次的每件的利润．（2）设烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）10＋2×（5－1）＝18（元）．答：该档次蛋糕每件利润为18元．（2）设烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意得：[10＋2（x －1）]×[76－4(x －1）]＝1024，整理得：x 2﹣16x ＋48＝0，解得：x 1＝4，x 2＝12（不合题意，舍去）．答：该烘焙店生产的是四档次的产品．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x 的一元二次方程．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm ，高是8cm 的长方体纸盒的A 点沿纸盒面爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是( )+8)cmB.10cmC.14cmD.无法确定2．如图，在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E ＝300°，DP 、CP 分别平分∠EDC 、∠BCD ，则∠P 的度数是（）A.50°B.55°C.60°D.65°3．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=()2133x-3-182与y 轴交于点A ，顶点为B ，直线l ：y=-43x+b 经过点A ，与抛物线的对称轴交于点C ，点P 是对称轴上的一个动点，若AP+35PC 的值最小，则点P 的坐标为（）A ．（3，1）B ．（3，114） C ．（3，165） D ．（3，125） 4．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．则这个圆锥漏斗的侧面积是( )A ．30cm 2B ．30πcm 2C ．60πcm 2D ．120cm 25．不等式组的整数解之和为( ) A.–3B.–1C.1D.36．如图，点P 是正方形ABCD 内一点，连接AP 并延长，交BC 于点Q ．连接DP ．将△ADP 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP'．连结PP'，若AP=1，，，则正方形的边长为（）ABCD 7．关于x 的正比例函数，y=（m+1）23m x 若y 随x 的增大而减小，则m 的值为（）A ．2B ．-2C ．±2D ．-128．如图，边长为4个单位长度的正方形ABCD 的边AB 与等腰直角三角形EFG 的斜边FG 重合，△EFG 以每秒1个单位长度的速度沿BC 向右匀速运动（保持FG ⊥BC ），当点E 运动到CD 边上时△EFG 停止运动，设△EFG 的运动时间为t 秒，△EFG 与正方形ABCD 重叠部分的面积为S ，则S 关于t 的函数大致图象为（）A． B ． C ．D．9．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，且交AB 于点E ，∠A ＝60°，∠BDC ＝86°，则∠BDE 的度数为()A ．26°B ．30°C ．34°D ．52°10．函数y =中自变量x 的取值范围是（） A ．x>1B ．x≤1C ．x<1D ．x≥111．已知，二次函数()22y x k =++向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到二次函数()2+h 1y x =-，则h 和k 的值分别为（）A.3，-4B.1，-4C.1, 2D.3, 212．若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数是（） A ．8 B ．10C ．12D ．14二、填空题13．如图，点M(2，m)是函数y与y ＝kx的图象在第一象限内的交点，则k 的值为_____．14．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则123191111a a a a +++⋅⋅⋅+＝_____．15．在一次数学探究活动课中，某同学有一块矩形纸片ABCD，已知AD=13，AB=5，M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM，若△NBC是直角三角形，则所有符合条件的M点所对应的AM的和为__________．16．若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．17．化简：23 9m m --＝_____．18．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于12AC的长为半径作对弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，交AC于E，连接AD，若AD=BD，AB=6，则DE=_____.三、解答题19．某中学为了丰富学生的业余爱好，决定开设以下活动项目：A：书法；B：绘画C：象棋；D：音乐．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行问卷调査，并将调査结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少人？（2）补全条形统计图；（3）九年级（1）班老师想从这四类活动项目中随机选取两类作为“五四青年节”表演项目，请用列表或画树状图的方法求恰好选中书法和绘画的概率20．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某市某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，（1）求每台A 型、B 型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进A ，B 两种型号的净水器共55台进行试销，其中A 型净水器为m 台，购买两种净水器的总资金不超过10.8万元．试销时A 型净水器每台售价2500元，B 型净水器每台售价2180元，该公司决定从销售A 型净水器的利润中按每台捐献a （70＜a ＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公司售完55台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W 元，求W 的最大值．21．（问题）用n 个2×1矩形，镶嵌一个2×n 矩形，有多少种不同的镶嵌方案？（2×n 矩形表示矩形的邻边是2和n ）（探究）不妨假设有a n 种不同的镶嵌方案．为探究a n 的变化规律，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．探究一：用1个2×1矩形，镶嵌一个2×1矩形，有多少种不同的镶嵌方案？如图（1），显然只有1种镶嵌方案．所以，a 1＝1．探究二：用2个2×1矩形，镶嵌一个2×2矩形，有多少种不同的镶嵌方案？如图（2），显然只有2种镶嵌方案．所以，a 2＝2．探究三：用3个2×1矩形，镶嵌一个2×3矩形，有多少种不同的镶嵌方案？一类：在探究一每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有1种镶嵌方案；二类：在探究二每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有2种镶嵌方案；如图（3）．所以，a 3＝1+2＝3．探究四：用4个2×1矩形，镶嵌一个2×4矩形，有多少种不同的镶嵌方案？一类：在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有种镶嵌方案；二类：在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有种镶嵌方案；所以，a 4＝．探究五：用5个2×1矩形，镶嵌一个2×5矩形，有多少种不同的镶嵌方案？（仿照上述方法，写出探究过程，不用画图） ……（结论）用n 个2×1矩形，镶嵌一个2×n 矩形，有多少种不同的镶嵌方案？（直接写出a n 与a n ﹣1，a n ﹣2的关系式，不写解答过程）．（应用）用10个2×1矩形，镶嵌一个2×10矩形，有种不同的镶嵌方案．22．计算：020194sin 60|2|(1)--+-．23．如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时BC=10cm ，箱底端点E 与墙角G 的距离为65cm ，∠DCG=60°．（1）箱盖绕点A 转过的角度为______，点B 到墙面的距离为______cm ；（2）求箱子的宽EF （结果保留整数，可用科学计算器）．=1.41=1.73）24．如图，反比例函数y＝kx（x＜0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个三角形（不写画法），要求每个三角形均需满足下列两个条件：①三个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②三角形的面积等于|k|的值．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O交AO所在的直线于D、E两点(点D在BC左侧)．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)连接CD，若AC＝23AD，求tan∠D的值；(3)在(2)的条件下，若⊙O的半径为5，求AB的长．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．14．589 84015．26 16．1k＜17．13 m+18．3 三、解答题19．（1）200，（2）见解析（3）1 6【解析】【分析】（1）根据D类的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中书法和绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）∵D类有40人，占20%，∴这次被调查的学生共有：40÷20%＝200（人）；（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；补充如图如下：（3）画树状图得：∵共有12种等可能的情况，恰好选中书法和绘画的有2种，∴恰好选中书法和绘画的概率是21 126=．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（1）每台甲型净水器的进价是2000元，每台乙型净水器的进价是1800元；（2）W最大值为（26300﹣45a）元．【解析】【分析】（1）设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是（x+200）元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据购买资金=A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过10.8万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，由总利润=每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量-a×购进A型净水器的数量，即可得出W关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是（x+200）元，依题意，得：5000045000200x x=+，解得：x＝1800，经检验，x＝1800是原分式方程的解，且符合题意，∴x+200＝2000．答：每台甲型净水器的进价是2000元，每台乙型净水器的进价是1800元；（2）购进甲型净水器m台，则购进乙型净水器（55﹣m）台，依题意，得：2000m+1800（55﹣m）≤108000，解得：m≤45．W＝（2500﹣2000﹣a）m+（2180﹣1800）（55﹣m）＝（120﹣a）m+20900，∵120﹣a＞0，∴W随m值的增大而增大，∴当m＝45时，W取得最大值，最大值为（26300﹣45a）元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式．21．（1）2，3，5；（2）a n＝a n﹣1+a n﹣2；（3）89.【解析】【分析】探究四：画图进行说明：a4=2+3=5；探究五：同理在探究三每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形和探究四每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌个1个2×1矩形，相加可得结论；结论：根据探究四和五可得规律：a n=a n-1+a n-2；应用：利用结论依次化简，将右下小标志变为5和4，并将探究四和五的值代入可得结论．【详解】解：探究四：如图4所示：一类：在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有2种镶嵌方案；二类：在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有3种镶嵌方案；所以，a4＝2+3＝5．故答案为：2，3，5；探究五：一类：在探究三每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有3种镶嵌方案；二类：在探究四每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有5种镶嵌方案；所以，a5＝3+5＝8．……结论：a n＝a n﹣1+a n﹣2；应用：a10＝a9+a8＝a7+a8+a8＝2a8+a7＝2（a7+a6）+a7＝3a7+2a6＝3（a6+a5）+2a6＝5a6+3a5＝5（a5+a4）+3a5＝8a5+5a4＝8×8+5×5＝89．故答案为：89．【点睛】本题是规律型问题和方案作图题，主要考查了计数方法，培养学生根据已知问题和图形的关系，进行分析推断，得出规律的能力，并运用类比的方法解决问题．22．﹣3．【解析】【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值和乘方4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】⨯--=-=-．解：原式＝4212132【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握三角函数、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．23．（1）150°；5（2）32.4cm【解析】【分析】（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．利用矩形的性质、直角三角形的性质以及等角的余角相等得到∠MAD=30°，根据周角的定义易求箱盖绕点A转过的角度；通过解直角△BHC来求BH的长度；（2）通过解直角△AMD得到线段MD的长度，则DN=65-EF-DM，利用解直角△DCN来求CD的长度，即EF的长度即可．【详解】（1）如图，过点B 作BH ⊥CG 于H ，过点D 作CG 的垂线MN 交AF 于M ，交HG 于N ．∵∠DCG=60°，∴∠CDN=30°．又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，∴∠MAD=∠CDN=30°（同角的余角相等），∴箱盖绕点A 转过的角度为：360°-90°-30°-90°=150°．在直角△BCH 中，∠BCH=30°，BC=10cm ，则BH=12BC=5cm ．故答案是：150°；5；（2）在直角△AMD 中，AD=BC=10cm ，∠MAD=30°，则MD=AD•sin30°=12×10=5（cm ）． ∵∠CD N=30°，∴cos ∠CDN=cos30°=655DN EF DC EF --=，即6552EF EF --= 解得EF=32.4．即箱子的宽EF 是32.4cm ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．24．（1）2y x =-；（2）详见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据三角形满足的两个条件画出符合要求的两个三角形即可．【详解】解：（1）∵反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象过格点P ，由图象易知P 点坐标是（﹣2，1），∴将P （﹣2，1）代入y ＝k x得，k ＝﹣2×1＝﹣2， ∴反比例函数的解析式为2y x =-；（2）如图所示：△APO、△BPO即为所求作的图形；第三个点可以是（﹣4，0），（﹣2，﹣1），（4，0），（﹣2，3），（﹣6，1），（2，1），（0，2），（0，﹣2）．【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．25．(1)证明见解析；(2)tan∠D=23；(3)AB=2028119.【解析】【分析】(1)如图，过点O作OF⊥AB，,求出OC=OF,证明OF为⊙O半径，且OF⊥AB，即可求解；(2)连接CE,根据∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A，求出△ACE∽△ADC，可得23AC CEAD CD==，即可求解；(3)根据△ACE∽△ADC，得AC AEAD AC=，根据AO＝AO，OC＝OF，证明Rt△AOF≌Rt△AOC，求出AF＝AC＝12，根据∠B＝∠B，∠OFB＝∠ACB＝90°，证明△OBF∽△ABC，可得OF OB BFAC AB BC==，求出BF,即可求解.【详解】证明：(1)如图，过点O作OF⊥AB，∵AO平分∠BAC，OF⊥AB，∠ACB＝90°∴OC＝OF，∴OF为⊙O半径，且OF⊥AB∴AB是⊙O切线．(2)连接CE∵DE是直径∴∠DCE＝90°∵∠ACB＝90°∴∠DCE＝∠ACB∴∠DCO＝∠ACE∵OC＝OD∴∠D＝∠DCO∴∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A ∴△ACE∽△ADC∴2233AD AC CEAD CD AD===∴tan∠D＝CE CD=23(3)∵△ACE∽△ADC∴AC AE AD AC=∴AC2＝AD(AD﹣10)，且AC＝23AD∴AD＝18∴AC＝12∵AO＝AO，OC＝OF∴Rt△AOF≌Rt△AOC(HL)∴AF＝AC＝12∵∠B＝∠B，∠OFB＝∠ACB＝90°∴△OBF∽△ABC∴OF OB BF AC AB BC==即512125OB BFBF BO==++∴5+25=12 60512 BO BFBF OB ⎧⎨+=⎩∴BF＝600 119∴AB＝FA+BF＝12+600119=2028119【点睛】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握相似三角形和全等三角形是解题的关键.。

2019年全国中考数学试卷分类汇编：矩形、菱形与正方形【含解析】

矩形菱形与正方形一、选择题1. （2018•上海，第6题4分）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍考点：菱形的性质．分析：分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可．解答：解：A、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD，∵AC＜BD，∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；B、∵S△ABD=S平行四边形ABCD，S△ABC=S平行四边形ABCD，∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了菱形的性质应用，正确把握菱形的性质是解题关键．和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（）A．22 B．18 C．14 D．11考点：菱形的性质分析：根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠BCA，再根据等角的余角相等求出∠BAE=∠E，根据等角对等边可得BE=AB，然后求出EC，同理可得AF，然后判断出四边形AECF是平行四边形，再根据周长的定义列式计算即可得解．解答：解：在菱形ABCD中，∠BAC=∠BCA，∵AE⊥AC，∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°，∴∠BAE=∠E，∴BE=AB=4，∴EC=BE+BC=4+4=8，同理可得AF=8，∵AD∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF的周长=2（AE+EC）=2（3+8）=22．故选A．点评：本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，等角的余角相等的性质，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出EC的长度是解题的关键．AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°考点：菱形的性质，全等三角形．分析：根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．解答：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°．故选C．点评：本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．4.（2018•山东聊城，第9题，3分）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）BE=，BF=BE=2CF=AE=BC=BF+CF=3A重合，则折痕EF的长为（）A． 6 B．12 C．2 D． 4考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BE=x，表示出CE=16﹣x，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=16﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16﹣x）2，解得x=6，∴AE=16﹣6=10，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=10，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=8，AH=BE=6，∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，在Rt△EFH中，EF===4．故选D．点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．7.（2018•遵义9．（3分））如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为（）==BP===，=，EF=8.（2018•十堰9．（3分））如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G 为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）DE=．A．矩形B．等腰梯形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形考点：中点四边形．分析：首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．解答：解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF=FG=CH=EH，BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选C．点评：此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．10. （2018•山东淄博,第9题4分）如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙考点：正方形的性质；线段的性质：两点之间线段最短；比较线段的长短．分析：根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ECF，根据直角三角形得出AF＞AB，EF＞CF，分别求出甲、乙、丙行走的距离，再比较即可．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，甲行走的距离是AB+BF+CF=AB+BC=2AB；乙行走的距离是AF+EF+EC+CD；丙行走的距离是AF+FC+CD，∵∠B=∠ECF=90°，∴AF＞AB，EF＞CF，∴AF+FC+CD＞2AB，AF+FC+CD＜AF+EF+EC+CD，∴甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选B．点评：本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质的应用，题目比较典型，难度适中．11．（2018•福建福州,第9题4分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为【】A．45° B．55° C．60° D．75°12．（2018•甘肃兰分）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图，测得，当时，如图，（）．（A）（B）2 （C）（D）图2-① 图2-②【考点】正方形、有内角的菱形的对角线与边长的关系【分析】由正方形的对角线长为2可知正方形和菱形的边长为，当=60°时，菱形较短的对角线等于边长，故答案为．【答案】A14．（2018•广州,第10题3分）如图3，四边形、都是正方形，点在线段上，连接，和相交于点．设，（）．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（）．（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个【考点】三角形全等、相似三角形【分析】①由可证，故①正确；②延长BG交DE于点H，由①可得，（对顶角）∴=90°，故②正确；③由可得，故③不正确；④，等于相似比的平方，即，∴，故④正确．【答案】B7.8.二、填空题1. （2018•上海，第18题4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为2t （用含t的代数式表示）．∴EF=t÷的周长=3×t则长AD与宽AB的比值是．AF=kk k=k=，即，∴CF=3∴AD=BC=CF=3的比值是故答案为AC=，则正方形的周长为 4 ．根据正方形的对角线等于边长的AC=÷本题考查了正方形的性质，比较简单，熟记正方形的对角线等于边长的4. （2018•江苏苏州,第17题3分）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD 于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为 5 ．AB=3x=BC=5x=×5. （2018•山东淄博,第15题4分）已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是AD=DC ．考点：菱形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的定义得出答案即可．解答：解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；故答案为：AD=DC．点评：此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．6．（2018•四川宜宾，第12题，3分）菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是 5 cm．，BO=AB•cos∠ABO=5×∴BD=2BO=7．（2018•四川凉山州，第14题，4分）顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是菱形．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为 24m2．O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为．么菱形的面积等于．6.7.8.三、解答题1. （2018•四川巴中，第28题10分）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．考点：矩形的判定．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）答：添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．2. （2018•山东威海，第24题11分）猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为 DM=DE ．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．AE、BF，交点为G ．(1)求证：AE⊥BF；(2)将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF（如图2），延长FP 交BA 的延长线于点Q ，求sin∠BQP 的值；(3)将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转，使边AB 正好落在AE 上，得到△AHM（如图3），若AM 和BF 相交于点N ，当正方形ABCD 的面积为4时，求四边形GHMN 的面积．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．分析：（1）由四边形ABCD 是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC ，又由BE=CF ，即可证得△ABE≌△BCF,可得∠BAE=∠CBF，由∠ABF+∠CBF=900可得∠ABF+∠BAE=900，即AE⊥BF；（2）由△BCF≌△BPF, 可得CF=PF,BC=BP,∠BFE=∠BFP，由CD∥AB 得∠BFC=∠ABF,从而QB=QF ，设PF 为x,则BP 为2x,在Rt△QBF 中可求 QB 为25x ，即可求得答案；（3）由2)(AMAN AHM AGN =∆∆可求出△AG N 的面积，进一步可求出四边形GHMN 的面积．解答：(1)证明：∵E、F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，∴CF=BE，∴Rt△ABE≌Rt△BCF ∴∠BAE=∠CBF 又∵∠BAE+∠BEA=900，∴∠CBF+∠BEA=900，∴∠BGE=900， ∴AE⊥BF(2)根据题意得：FP=FC ，∠PFB=∠BFC，∠FPB=900，∵CD∥AB, ∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB．∴QF=QB令PF=k （k>O ），则PB=2k ，在Rt△BPQ 中，设QB=x ， ∴x 2=(x －k)2+4k 2, ∴x=25k ，∴sin∠BQP=54252==k k QP BP (3)由题意得：∠BAE=∠EAM,又AE⊥BF, ∴AN=AB=2,∵ ∠AHM=900, ∴GN//HM, ∴2)(AM AN AHM AGN =∆∆ ∴54)52(12==ΛAGN ∴ 四边形GHMN=S ΔAHM － S ΔAGN=1一54= 54 答：四边形GHMN 的面积是54. 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．4. （2018•山东烟台，第25题10分）在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．（1）如图①，当点E 自D 向C ，点F 自C 向B 移动时，连接AE 和DF 交于点P ，请你写出AE 与DF 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E ，F 分别移动到边DC ，CB 的延长线上时，连接AE 和DF ，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E ，F 分别在边CD ，BC 的延长线上移动时，连接AE ，DF ，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E ，F 分别在边DC ，CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P ，由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP 的最小值．考点：全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想.分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC的长，再求CP即可．解答：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=C F，∴△ADE≌△DCF．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．点评：本题主要考查了四边形的综合知识．综合性较强，特别是第（4）题要认真分析．5. （2018•浙江杭州，第22题，12分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP=x．（1）用含x的代数式分别表示S1，S2；（2）若S1=S2，求x的值．可以求出．然后在两种情况下分别建立关于，AO=AC=2=BD•AC=8∴tan∠ABO==．==sin60°=FP==4××﹣=tan30°=．FM=﹣）•（（（﹣﹣=﹣=8（=，．=4＞2，．（．8+226.（2018•十堰14．（3分））如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是①（只填写序号）．是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（添加一个条件即可）．8. (2019年湖北咸宁24．（12分）)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为45°，点D的坐标为（t，t）（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．考点：四边形综合题；解一元一次方程；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：压轴题；探究型．分析：（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t 值．（3）由（2）已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题．解答：解：（1）如图1，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）∴AO=PQ．∵四边形OABC是正方形，∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．∵DP⊥BP，∴∠BPD=90°．∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．∵AO=PQ，AO=AB，∴AB=PQ．在△BAP和△PQD中，∴△BAP≌△PQD．∴AP=DQ，BP=PD．∵∠BPD=90°，BP=PD，∴∠PBD=∠PDB=45°．∵AP=t，∴DQ=t．∴点D坐标为（t，t）．故答案为：45°，（t，t）．（2）①若PB=PE，则∠PBE=∠PEB=45°．∴∠BPE=90°．∵∠BPD=90°，∴∠BPE=∠BPD．∴点E与点D重合．∴点Q与点O重合．与条件“DQ∥y轴”矛盾，∴这种情况应舍去．②若EB=EP，则∠PBE=∠BPE=45°．∴∠BEP=90°．∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC．在△POE和△ECB中，∴△POE≌△ECB．∴OE=B C，OP=EC．∴OE=OC．∴点E与点C重合（EC=0）．∴点P与点O重合（PO=0）．∵点B（﹣4，4），∴AO=CO=4．此时t=AP=AO=4．③若BP=BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．∴AP=CE．∵AP=t，∴CE=t．∴PO=EO=4﹣t．∵∠POE=90°，∴PE==（4﹣t）．延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．在△FAB和△ECB中，∴△FAB≌△ECB．∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠EBC=45°．∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．∴∠FBP=∠EBP．在△FBP和△EBP中，∴△FBP≌△EBP．∴FP=EP．∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．∴EP=t+t=2t．∴（4﹣t）=2t．解得：t=4﹣4∴当t为4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形．（3）∵EP=CE+AP，∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8．∴△POE周长是定值，该定值为8．点评：本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．9.( 2019年河南14.)如图，在菱形ABCD中,AB =1,∠DAB=600,把菱形ABCD绕点A顺时针旋转300得到菱形AB/C/D/，其中点C的运动能路径为/CC，则图中阴影部分的面积为 .答案：33 42+π.解析：由旋转可知，阴影部分面积=扇形ACC/面积－2个三角形D/FC的面积。

2019中考数学第二讲矩形、菱形与正方形

AC＝
34 2
，
34
∵△AOE∽△ADC，∴AACE＝OADA，∴
AE ＝ 34
2 5
，
∴AE＝
34× 2×5
34＝3140.
答案：D
【例2】(2019·聊城)如图5－2－4，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE.
(1)求∠CAE的度数； (2)取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFC E是矩形．
2．如图5－2－10，P是矩形ABCD的对角线AC上的三
等分点，PE⊥AB，PF⊥AD，若矩形ABCD的周长为24，则
矩形AEPF的周长为
( C)
A．12
B．10
C．8
D．6
解析：易知△APF∽△ACD，∴CPDF ＝AACP＝13，∴PF
＝13CD，同理 PE＝13BC，∴AE＋PE＋PF＋FA＝13(AB＋BC
∴PQ＝12AC 同理可得MN＝12AC，NP＝MQ＝12BD ∴NP＝PQ＝QM＝MN ∴四边形PQMN是菱形．
该考点是中考的高频考点，考题主要有正方形边、对角线、面积等的计算；正方形中的对称、旋转等问题；判断某一平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需补充的条件；证明一个四边形是正方形；正方形与矩形、菱形或直角三角形、等腰三角形相结合的推理证明题，解题时应注意应用正方形具有矩形、菱形的所有性质，由对角线分割出的三角形都是等腰直角三角形等特性．
(2)在等边△ABC中， ∵F是AB边的中点，D是BC边的中点， ∴CF＝AD，∠CFB＝90°，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由(1)知∠CAE＝30°，∴∠EAF＝60°＋30°＝90°， ∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE， ∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵∠CFA＝90°， ∴四边形AFCE是矩形

北京市通州区2019届中考《矩形、菱形和正方形》专题练习含答案

(完整)年中考数学专题复习第二十一讲矩形-菱形-正方形(含详细参考答案)

B．2 7
C． 5
D．10
3. （2018?大连）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O，若 AB=5，
AC=6 ，则 BD 的长是（）
A．8
B．7
C． 4
D．3
4. （2018?贵阳）如图，在菱形 ABCD 中， E 是 AC 的中点， EF∥ CB，交 AB 于点 F，如果 EF=3，那么菱形 ABCD 的周长为（）
21．（2018?盐城）在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E、F 满足 BE=DF，连接 AE、 AF、 CE、 CF，如图所示．（ 1）求证： △ABE ≌△ ADF；（ 2）试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由．
或 600 时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】
三、正方形：
1、定义：有一组邻边相等的
是正方形，或有一个角是直角的
是
正方形
2、性质：⑴正方形四个角都
都是
角，
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线
、
且
每条对角线平分一
组内角
3、判定：⑴先证是矩形，再证
⑵先证是菱形，再证
【名师提醒： 1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特
使平行
18. （ 2018?株洲）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交点 O，AC=10，P、
Q 分别为 AO 、AD 的中点，则 PQ 的长度为
．
19.（2018?武汉）以正方形 ABCD 的边 AD 作等边 △ADE ，则∠ BEC 的度数是．
三、解答题 20. （2018?柳州）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC， BD 相交于点 O，且 AB=2 ．（ 1）求菱形 ABCD 的周长；（ 2）若 AC=2，求 BD 的长．

矩形、菱形与正方形(解析版)2019数学全国中考真题

2019全国中考数学真题知识点32矩形、菱形与正方形（解析版）一、选择题9．（2019·苏州）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC =4，BD =16将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '．当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之问的距离为（） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12（第9题）【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC 12=AC ＝2，OB ＝OD 12=BD ＝8，∵△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '，点A '与点C 重合，∴O 'C ＝OA ＝2，O 'B '＝OB ＝8，∠CO 'B '＝90°， ∴AO '＝AC +O 'C ＝6，∴AB'=10，故选C ．10．（2019·温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM=BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a+b)(a-b)=a 2-b 2．现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为（）ABCD【答案】C【解析】如图，连接ALGL ，PF ．由题意：S 矩形AMLD ＝S 阴＝a 2﹣b 2，PH＝22-a b ，∵点A ，L ，G 在同一直线上，AM ∥GN ，∴△AML ∽△GNL ，∴＝，∴＝，整理得a ＝3b ，∴＝＝＝，故选C ．9．（2019·绍兴）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ，在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积 ( )A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变10．（2019·烟台）如图，面积为24的ABCD 中，对角线BD 平分，过点D 作交BC 的延长线于点E ，6DE =，则sin DCE ∠的值为（）．A ．2425B ．45C ．34D ．1225【答案】A【解析】连接AC ，交BD 于点F ，过点D 作DM CE ⊥，垂足为M因为四边形ABCD 是平行四边形，所以F 是BD 的中点，AD//BC ，所以DBC ADB ∠=∠，因为BD 是 ABC ∠的平分线，所以ABD DBC ∠=∠，所以ABD ADB ∠=∠，所以AB AD =，所以□ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又因为DE BD ⊥，所以AC//DE ，FADB因为AC//DE ，F 是BD 的中点，所以C 是BE 的中点，所以132CF DE ==，因为四边形ABCD 是菱形，所以26AC FC ==，2ABCD AC BDS ⨯=菱形，所以222486ABCDS BD AC⨯===菱形，所以142BF BD ==，在Rt △BFD 中，由勾股定理得5BC ==，因为四边形ABCD 是菱形，所以5DC BC ==，因为ABCD S BC DM =⨯菱形所以245ABCDS DM BC==菱形，在Rt △DCM 中，24sin 25DM DCE DC ∠==． 6．（2019·江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种【答案】B【解题过程】具体拼法有4种，如图所示：4．（2019·株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（） A ．对角线垂直且相等B ．四边都互相垂直C ．四个角都相等D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形【答案】C 【解析】根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等但不一定垂直，所以选项A 是错误的；矩形相邻的边互相垂直，对边互相平行，所以选项B 是错误的；矩形的四个角都是直角，所以四个角都相等是正确的；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以选项D 是错误的；故选C.3．（2019·娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A 平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形【答案】C【解析】如图：菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EH ∥FG ∥BD ，EH ＝FG ＝ 12 BD ；EF ∥HG ∥AC ，EF ＝HG ＝12AC ，故四边形EFGH 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴EH ⊥EF ，∠HEF ＝90° ∴四边形EFGH 是矩形．故选C ．10．（2019·安徽）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 将对角线AC 三等分，且AC=12.点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P 的个数是A. 0B. 4C. 6D. 8【答案】D【解题过程】如图，作点F 关于CD 的对称点F /，连接PF /、PF ，则PE ＋PF ＝EF /，根据两点之间线段最知可知此时PE ＋PF 的值最小.过点E 作EH ⊥FF /，垂足为点H ，FF’交CD 于点G ，易知△EHF 、△CFG 是等腰直角三角形，∴EH ＝FH ＝FG ＝F’GEF ＝，∴EF’＝9.根据正方形的对称性可知正方形ABCD 的每条边上都有一点P 使得PE ＋PF 最小值.连接DE 、DF ，易求得DE ＋DF ＝＞9，CE ＋CF ＝12＞0，故点P 位于点B 、D 时，PE ＋PF ＞9，点P 位于点A 、C 时，PE ＋PF ＞9，∴该正方形每条边上都有2处点使得PE ＋PF ＝9，共计点P 有8处.1.（2019·无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C ．2. (2019·泰安)如图,矩形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,E 为AB 的中点,F 为EC 上一动点,P 为DF 中点,连接PB,则PBB的最小值是A.2B.4C.2D.22【答案】D【解析】∵F为EC上一动点,P为DF中点,∴点P的运动轨迹为△DEC的中位线MN,∴MN∥EC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BM⊥CE,易证BM⊥MN,故此时点P与点M重合,点F与点C重合,BP取到最小值,在Rt△BCP中,BP＝22BC CP＝22.3.（2019·眉山）如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是A．1 B．74C．2 D．125【答案】B【解析】连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6，∵EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在Rt△DEC中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=（8-DE）2，解得：x=74，故选B.4.（2019·攀枝花）下列说法错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形【答案】B【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B．5.（2019·攀枝花）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，BE ＝4，EC ＝8，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G 。

2019中考数学题型专项研究第8讲：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质

2019年中考数学题型专项研究第8讲：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题．3．平行四边形的存在性问题．4．四边形与二次函数的综合题．1．折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错．2．平行四边形的存在性问题中解有遗漏．3．很难解答四边形与二次函数的综合题，无从下手．1．四边形是几何知识中非常重要的一块内容，因其“变化多端”更是成为中考数学考试的一个热门考点．近几年随着新课改的不断深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题．这类问题的实践性强，要利用图形变化前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解．2．中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目不仅仅把“数”与“形”联系起来思考，更提高同学们综合运用知识的能力．数形结合题目可以考查学生对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查学生运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．3．四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角．尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高．此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题：平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用：(1)求角的度数；(2)求线段的长；(3)求周长；(4)求第三边的取值范围．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题：有关矩形纸片折叠的问题，通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形，利用勾股定理来求解．折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)转化与化归思想；(3)归纳与分类的思想；(4)从变寻不变性的思想．3．综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题：此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解．此外，在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算，学生顺利完成的难度就更大．如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径．4．四边形与二次函数的综合题是压轴题：综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题．读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图象是解题的关键．解决压轴题关键是找准切入点，如添辅助线，构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等．压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力【典例解析】【例题1】（2017广西河池）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．【解答】解：连接EG，∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，∴∠1=∠2，∴AG⊥DE，OD=DE=3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AD=DG．∵AG⊥DE，∴OA=AG．在Rt△AOD中，OA===4，∴AG=2AO=8．故选B．【例题2】（2017江苏徐州）如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠OEB=∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO=CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE=OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠A=50°，∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD，∴OC=OD，∵BO=CO，OD=OE，∴DE=BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：100．【例题3】定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．（2）如图1中，连接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴DE：BF=PD：PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．【例题4】（2017浙江衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图1，当t=3时，求DF的长．（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t 的值．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）当t=3时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出DE∥OA，DE=OA=4，再由矩形的性质证出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；（2）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，证明四边形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行线得出比例式，=，由三角形中位线定理得出DM=AB=3，DN=OA=4，证明△DMF∽△DNE，得出=，再由三角函数定义即可得出答案；（3）作作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），求出AF=4+MF=﹣t+，得出G（，t），求出直线AD的解析式为y=﹣x+6，把G（，t）代入即可求出t的值；②当点E越过中点之后，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），求出AF=4﹣MF=﹣t+，得出G（，t），代入直线AD的解析式y=﹣x+6求出t的值即可．【解答】解：（1）当t=3时，点E为AB的中点，∵A（8，0），C（0，6），∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，∴DE∥OA，DE=OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）∠DEF的大小不变；理由如下：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，∴，=，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，∴DM=AB=3，DN=OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴△DMF∽△DNE，∴=，∵∠EDF=90°，∴tan∠DEF==；（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），∴AF=4+MF=﹣t+，∵点G为EF的三等分点，∴G（，t），设直线AD的解析式为y=kx+b，把A（8，0），D（4，3）代入得：，解得：，∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，把G（，t）代入得：t=；②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），∴AF=4﹣MF=﹣t+，∵点G为EF的三等分点，∴G（，t），代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或【专项训练】一、选择题：1.（2017•黑龙江）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（）A．22 B．20 C．22或20 D．18【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】根据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB=BE，BC=BE+EC，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，BC=BE+EC，①当BE=3，EC=4时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．②当BE=4，EC=3时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定；根据题意判断出AB=BE是解答本题的关键．2.（2017贵州安顺）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可．【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠EAC=∠EAC，∴AO=CO=5cm，在直角三角形ADO中，DO==3cm，AB=CD=DO+CO=3+5=8cm．故选：C．3.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PHPC其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴BE=2AE；故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，∴，∴DP2=PHPC，故④正确；故选C．【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．4.（2017呼和浩特）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE=，∠EAF=135°，则下列结论正确的是（）A．DE=1 B．tan∠AFO=C．AF= D．四边形AFCE的面积为【考点】LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．【分析】根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出EO的长，然后由∠MAN=135°及∠BAD=90°可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出BF的长，再一一计算即可判断．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=CD=AD=1，AC⊥BD，∠ADO=∠ABO=45°，∴OD=OB=OA=，∠ABF=∠ADE=135°，在Rt△AEO中，EO===，∴DE=，故A错误．∵∠EAF=135°，∠BAD=90°，∴∠BAF+∠DAE=45°，∵∠ADO=∠DAE+∠AED=45°，∴△ABF ∽△EDA ，∴=， ∴=，∴BF=，在Rt △AOF 中，AF===，故C 正确， tan ∠AFO===，故B 错误，∴S 四边形AECF =•AC•EF=××=，故D 错误，故选C ．5. （2017黑龙江佳木斯）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE=FD ，连接BE 、CF 、BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG 交BE 于点H ，连接DH ，下列结论正确的个数是（）①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE ④S △HDG ：S △HBG =tan ∠DAG ⑤线段DH 的最小值是2﹣2．A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD ：全等三角形的判定与性质；LE ：正方形的性质；T7：解直角三角形．【分析】首先证明△ABE ≌△DCF ，△ADG ≌△CDG （SAS ），△AGB ≌△CGB ，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=CD ，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE 和△DCF 中，，∴△ABE ≌△DCF （SAS ），∴∠ABE=∠DCF ，在△ADG 和△CDG 中，，∴△ADG ≌△CDG （SAS ），∴∠DAG=∠DCF ，∴∠ABE=∠DAG ，∵∠DAG +∠BAH=90°，∴∠BAE +∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG ⊥BE ，故③正确，同法可证：△AGB ≌△CGB ，∵DF ∥CB ，∴△CBG ∽△FDG ，∴△ABG ∽△FDG ，故①正确，∵S △HDG ：S △HBG =DG ：BG=DF ：BC=DF ：CD=tan ∠FCD ，又∵∠DAG=∠FCD ，∴S △HDG ：S △HBG =tan ∠FCD ，tan ∠DAG ，故④正确取AB 的中点O ，连接OD 、OH ，∵正方形的边长为4，∴AO=OH=×4=2，由勾股定理得，OD==2，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=2﹣2．无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确，故选C．二、填空题：6.（2017.湖南怀化）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5cm，则AD的长是10cm．【考点】L5：平行四边形的性质；KX：三角形中位线定理．【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，继而求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO=DO，∵点E是AB的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴AD=2OE，∵OE=5cm，∴AD=10cm．故答案为：10．7.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为2．【分析】如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，由此求出CE 即可解决问题．【解答】解：如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，∴AB=BC=4，ABCE′=8，∴CE′=2，在Rt△BCE′中，BE′==2，∵BE=EA=2，∴E与E′重合，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C关于BD对称，∴当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，最小值为CE的长=2，故答案为2．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CE是△ABC的高，学会利用对称解决最短问题．8.（2017哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD 相交于点O，点E在AC上，若OE=，则CE的长为4或2．【考点】L8：菱形的性质．【分析】由菱形的性质证出△ABD是等边三角形，得出BD=AB=6，OB=BD=3，由勾股定理得出OC=OA==3，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=6，∴OB=BD=3，∴OC=OA==3，∴AC=2OA=6，∵点E在AC上，OE=，∴CE=OC+或CE=OC﹣，∴CE=4或CE=2；故答案为：4或2．9.（2017.湖南怀化）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为10﹣10cm．【考点】L8：菱形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PB为底．③若以边PC为底．分别求出PD的最小值，即可判断．【解答】解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC 相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10﹣10；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为10﹣10（cm）；故答案为：10﹣1．10.（2017四川南充）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是①②③（填序号）【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG，利用全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．【解答】解：设BE，DG交于O，∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOC=90°，∴BE⊥DG；故①②正确；连接BD，EG，如图所示，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=b2，则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+b2，故③正确．故答案为：①②③．三、解答题：1.（2017青海西宁）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6，．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．【考点】L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由已知条件易证△AOD≌△COB，由此可得OD=OB，进而可证明四边形ABCD是平行四边形；（2）由（1）和已知条件可证明四边形ABCD是菱形，由菱形的面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵O是AC的中点，∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴▱ABCD的面积=AC•BD=24．2.如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGEH和△BGF中，，∴△AGE≌△BGF（AAS）；（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．3. （2017年江苏扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP=1，则AE=；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠AEP=∠PBC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；（2）①A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；②连接OA、AC，由光杆司令求出AC=4，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周长点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，由三角形中位线定理得出MN=AE，设AP=x，则BP=4﹣x，由相似三角形的对应边成比例求出AE=x﹣x2=﹣（x﹣2）2+1，由二次函数的最大值求出AE的最大值为1，得出MN的最大值=即可．【解答】（1）解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，∴∠AEP=∠PBC，∴△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE=；故答案为：；（2）①证明：∵PF⊥EG，∴∠EOF=90°，∴∠EOF+∠A=180°，∴A、P、O、E四点共圆，∴点O一定在△APE的外接圆上；②解：连接OA、AC，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，∴AC==4，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP=∠OEP=45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=2，即点O经过的路径长为2；（3）解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：则MN∥AE，∵ME=MP，∴AN=PN，∴MN=AE，设AP=x，则BP=4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE=x﹣x2=﹣（x﹣2）2+1，∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=×1=，即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．4. （2017江苏盐城）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【考点】LO：四边形综合题．【分析】【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由=可得；【拓展应用】：由△APN∽△ABC知=，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由S矩=PQ•PN═﹣（x﹣）2+，据此可得；形PQMN【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC 知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．【解答】解：【探索发现】∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，又∠B=90°，∴四边形FEDB是矩形，则===，故答案为：；【拓展应用】∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，即=，∴PN=a﹣PQ，设PQ=x，=PQ•PN=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+，则S矩形PQMN最大值为，∴当PQ=时，S矩形PQMN故答案为：；【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI==24，∵BI=24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tanB=tanC=，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵tanB==，∴EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，BE==90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2，答：该矩形的面积为1944cm2．。

2019年中考数学微测试系列专题16 平行四边形、矩形、菱形、正方形(含解析)北师大版

专题16 平行四边形、矩形、菱形、正方形学校：___________姓名：___________班级：___________一、选择题：（共4个小题）1．【2015资阳】若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形【答案】D．【解析】【考点定位】中点四边形．2．【2015南充】如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】【考点定位】菱形的性质．3．【2015内江】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A B．C．D【答案】B．【解析】试题分析：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=．故所求最小值为B．【考点定位】1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．4．【2015攀枝花】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给；③若AF=2DF，则BG=6GF；出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=22④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B．【解析】③过点F作FP∥AE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：12AE=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，∵DG=BG，CG=CG，CD=CB，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B．【考点定位】四边形综合题．二、填空题：（共4个小题）5．【2015成都】如图，在平行四边形ABCD中，AB，AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．【答案】3．【解析】【考点定位】1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．平行四边形的性质．6．【2015凉山州】菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（3，2）．【解析】试题分析：连接ED，如图，【考点定位】1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型．7．【2015成都】已知菱形1111A B C D 的边长为2，111A B C =60°，对角线11AC ，11B D 相交于点O ．以点O 为坐标原点，分别以1OA ，1OB 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以11B D 为对角线作菱形1212B C D A ∽菱形1111A B C D ，再以22A C 为对角线作菱形2222A B C D ∽菱形1212B C D A ，再以22B D 为对角线作菱形2323B C D A ∽菱形2222A B C D ，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点1A ，2A ，3A ，．．．．．．，n A ，则点n A 的坐标为________．【答案】（3 n －1，0）．【解析】【考点定位】1．相似多边形的性质；2．菱形的性质；3．规律型．8．【2015内江】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接OH ，FH ，EG 与FH 交于点M ，对于下面四个结论：①GH ⊥BE ；②HO 12BG ；③S 正方形ABCD ：S 正方形ECGF =1④EM ：MG =1：（1，其中正确结论的序号为．【答案】①②④．【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =DC ，∠BCE =90°，同理可得CE =CG ，∠DCG =90°，在△BCE 和△DCG 中，∵BC =DC ，∠BCE =∠DCG =90°，CE =CG ，∴△BCE ≌△DCG ，∴∠BEC =∠DGC ，∵∠EDH =∠CDG ，∠DGC +∠CDG =90°，∴∠EDH +∠BEC =90°，∴∠EHD =90°，∴GH ⊥BE ，则故①正确；在△BGH 和△EGH 中，∵∠EHG =∠BHG ，HG =HG ，∠EGH =∠BGH ，∴△BGH ≌△EGH ，∴BH =EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO 12BG ，故②正确；设EC 和OH 相交于点N ．设HN =a ，则BC =2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC =b ，CD =2a ，∵OH ∥BC ，∴△DHN ∽△DGC ，∴DN HN DC CG =，即222b a a a b-=，即2220a ab b +-=，解得：(1a b =-或(1a b =-（舍去），则1a b=，则S 正方形ABCD ：S 正方形ECGF =21)=3-③错误；∵EF ∥OH ，∴△EFM ∽△OMH ，∴2EM EF b OM OH a b ==+，∴23EM b OE a b =+，3EM b EG a b =+，∴2EM b MG a b =+1:1)．故④正确．故正确的是①②④．故答案为：①②④．【考点定位】四边形综合题．三、解答题：（共2个小题）9．【2015眉山】如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点，（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若△AEP 是等边三角形，连结BP ，求证：△APB ≌△EPC ；（3）若矩形ABCD 的边AB =6，BC =4，求△CPF 的面积．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）42 25．【解析】试题分析：（1）由折叠的性质得到BE=PE，EC⊥PB，根据E为AB中点，得到AE=PE，利用等角对等边得到两对角相等，利用外角性质得到∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，表示出∠APE，由∠APE+∠EPB得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；（2）∵△AEP为等边三角形，∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，∵∠PEC=∠BEC，∴∠PEC=∠BEC=60°，∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°，∴∠BAP=∠BEQ，在△ABP 和△EBC中，∵∠APB=∠EBC=90°，∠BAP=∠BEQ，AP=EB，∴△ABP≌△EBC（AAS），∵△EBC≌△EPC，∴△ABP≌△EPC；（3）过P 作PM ⊥DC ，交DC 于点M ，在Rt △EBC 中，EB =3，BC =4，根据勾股定理得：EC==5，∵S △EBC =12EB •BC =12EC •BQ ，∴BQ =345⨯=125，由折叠得：BP =2BQ =245，在Rt △ABP 中，AB =6，BP =245，根据勾股定理得：AP=185，∵四边形AECF 为平行四边形，∴AF =EC =5，FC =AE =3，∴PF =1855-=75，∵PM ∥AD ，∴PF PM AF AD =，即7554PM =，解得：PM =2825，则S △PFC =12FC •PM =1283225⨯⨯=4225．【考点定位】1．四边形综合题；2．翻折变换（折叠问题）．10．【2015甘孜州】已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AF ，DE 相交于点G ，当E ，F 分别为边BC ，CD 的中点时，有：①AF =DE ；②AF ⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE =DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE =DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．【答案】（1）成立；（2）成立，理由见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析．【解析】（3）设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，因为点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，可得MQ=PN=12DE，PQ=MN=12AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后根据AF=DE，可得四边形MNPQ是菱形，又因为AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．试题解析：（1）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；【考点定位】1．四边形综合题；2．存在型；3．探究型．。

2019年部分省市中考数学试题分类汇编共28专题17四边形平行四边形,矩形,菱形,正方形共23页文档

图6F E DCBA 21（2019哈尔滨）１。

如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为度．125（2019珠海）如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_____cm. 4（2019红河自治州）下列命题错误的是（ B ）a) 四边形内角和等于外角和b) 相似多边形的面积比等于相似比 c) 点P （1,2）关于原点对称的点的坐标为（-1，-2）d) 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半（2019红河自治州）18. (本小题满分9分)如图6，在正方形ABCD 中，G 是BC 上的任意一点，（G 与B 、C 两点不重合），E 、F 是AG 上的两点（E 、F 与A 、G 两点不重合），若AF=BF+EF ，∠1=∠2，请判断线段DE 与BF 有怎样的位置关系，并证明你的结论. 解：根据题目条件可判断DE//BF.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∠BAF+∠2=90°.∵AF=AE+EF ，又AF=BF+EF∴AE=BF∵∠1=∠2，∴△ABF ≌△DAE （SAS ）. ∴∠AFB=∠DEA ，∠BAF=∠ADE. ∴∠ADE+∠2=90°， ∴∠AED=∠BFA=90°. ∴DE//BF.（2019年镇江市）10．如图，在平行四边形ABCD 中，CD=10，F 是AB 边上一点，DF 交AC 于点E ，且的面积的面积则CDE AEF EC AE ∆∆=,52= 254，BF= 6 . （2019年镇江市）27．探索发现（本小题满分9分）如图，在直角坐标系OCD Rt OAB Rt xOy ∆∆和中,的直角顶点A ，C 始终在x 轴的正半轴上，B ，D 在第一象限内，点B 在直线OD 上方，OC=CD ，OD=2，M 为OD 的中点，AB 与OD 相交于E ，当点B 位置变化时，.21的面积恒为OAB Rt ∆试解决下列问题：（1）填空：点D 坐标为；（2）设点B 横坐标为t ，请把BD 长表示成关于t 的函数关系式，并化简；（3）等式BO=BD 能否成立？为什么？（4）设CM 与AB 相交于F ，当△BDE 为直角三角形时，判断四边形BDCF 的形状，并证明你的结论.（1）)2,2(；（1分）（2）),1,(,21tt B OAB Rt 得的面积为由∆4)1(221)21()2(22222++-+=-+==∴t t tt t t BD ① （2分）.)21(2)1(22)1(22-+=++-+=tt t t t t （3分）.21|21|-+=-+=∴tt t t BD ② （4分）（注：不去绝对值符号不扣分）（3）[法一]若OB=BD ，则.22BD OB =由①得,4)1(2212222++-1+=+t t tt t t （5分） [法二]若OB=BD ，则B 点在OD 的中垂线CM 上. ∴直线CM 的函数关系式为2+-=x y ， ③ （5分）联立③，④得：0122=+-x x ，[法三]若OB=BD ，则B 点在OD 的中垂线CM 上，如图27 – 1 过点B 作,,H y CM G y BG 轴于交轴于⊥（4）如果ο45,=∠∆BED BDE 因为为直角三角形，①当三点重合此时时M E F EBD ,,,90ο=∠，如图27 – 2 ∴此时四边形BDCF 为直角梯形.（7分） ②当,90时ο=∠EBD 如图27 – 3∴此时四边形BDCF 为平行四边形.（8分）下证平行四边形BDCF 为菱形：[法一]在222,BD OD OB BDO +=∆中，[方法①]OD BD t t 在Θ,01222=+-上方121,12;21,12-=+=+=-=tt t t 或解得（舍去）.得),12,12(+-B[方法②]由②得：.222221=-=-+=tt BD此时,2==CD BD∴此时四边形BDCF 为菱形（9分） [法二]在等腰EDB Rt OAE Rt ∆∆与等腰中(2019台州市)9．如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）(▲)A ．aB ．a 54C ．a 22D ． a 23 答案：C (2019遵义市)（10分）如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ECD ＝ο90，AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ． (1)求证:CF ＝CH ；(2)如图(2)，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE=ο45时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．解:(1)(5分) 证明:在△ACB 和△ECD 中∵∠ACB=∠ECD=ο90∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,∴∠1=∠2又∵AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=ο45∴△ACB ≌△ECD,∴CF=CH(2)(5分) 答: 四边形ACDM 是菱形证明: ∵∠ACB=∠ECD=ο90, ∠BCE=ο45∴∠1=ο45, ∠2=ο45 又∵∠E=∠B=ο45, ∴∠1=∠E, ∠2=∠B∴AC ∥MD, CD ∥AM , ∴ACDM 是平行四边形又∵AC=CD, ∴ACDM 是菱形（玉溪市2019） 19. 如图9，在ABCD 中，E 是AD 的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由. 解：添加的条件是连结B 、E,过D 作DF ∥BE 交BC 于点F,构造的全等三角形是△ABE 与△CDF. …………4分理由： ∵平行四边形ABCD ，AE=ED, …………5分∴在△ABE 与△CDF 中，图9a MD（第9题）AB=CD, …………6分 ∠EAB=∠FCD, …………7分 AE=CF ， …………8分∴△ABE ≌△CDF. …………9分（桂林2019）16．正五边形的内角和等于______度．540 （桂林2019）21．（本题满分8分）求证：矩形的对角线相等．21.(本题8 分)已知：四边形ABCD 是矩形, AC 与BD 是对角线 ……………2分求证：AC =BD ………………………………………3分证明： ∵四边形ABCD 是矩形 ∴AB=DC ,∠ABC =∠DCB =90°…………4分又∵BC=C B …………………………5分 ∴△ABC ≌△DCB …………6分∴AC=BD ……………………7分所以矩形的对角线相等. …………8分（2019年兰州）11. 如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A=53，则下列结论正确的个数有①cm DE 3= ②cm BE 1= ③菱形的面积为215cm ④cm BD 102= A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个答案C （2019年兰州）27.（本题满分10分）已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=10，BD=8．（1）若AC ⊥BD ，试求四边形ABCD 的面积；（2）若AC 与BD 的夹角∠AOD=ο60，求四边形ABCD 的面积；（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD ”改为“四边形ABCD ”，且∠AOD=θ AC=a ，BD=b ，试求四边形ABCD 的面积（用含θ，a ，b 的代数式表示）．第 27题图答案（本题满分10分）解：（1）∵AC ⊥BD∴四边形ABCD 的面积………………………………………2分（2）过点A 分别作AE ⊥BD ，垂足为E …………………………………3分 ∵四边形ABCD 为平行四边形在Rt ⊿AOE 中，AO AE AOE =∠sin∴ 23523560sin sin =⨯=⨯=∠•=o AO AOE AO AE …………4分∴3552342121=⨯⨯⨯=•=∆AE OD S AOD ………………………………5分∴四边形ABCD 的面积 3204==∆AOD S S ……………………………………6分(3）如图所示过点A,C 分别作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E,F …………7分AB CD在Rt ⊿AOE 中，AO AE AOE =∠sin同理可得θsin sin ⨯=∠•=CO COF CO CF ………………………………8分∴四边形ABCD 的面积（2019年连云港）7．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是（） A ．BA ＝BC B ．AC 、BD 互相平分 C ．AC ＝BD D ．AB ∥CD答案 B （2019年连云港）18．矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的B ’处，折痕为AE ．在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为________．答案52（2019年连云港）27．（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S 梯形ABCD＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．答案(1) 中线所在的直线 ..........................................................................................................2分 (2)法一：连接BE ，因为AB ∥CE,AB=CE ，所以四边形ABEC 为平行四边形所以BE ∥AC ......................................................................................................................3分所以△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等所以有ABC AEC S S =V V所以ACD ABC ACD AEC AED ABCD S S S S S S =+=+=V V V V V 梯形 ...................................................5分法二：设 AE 与BC 相交于点F因为AB ∥CE ，所以,ABF ECF BAF CEF ∠=∠∠=∠ 又因为 AB=CE 所以 ABF ECF ≅V Vθθθsin 21sin 21)(sin 212121ab AC BD CO AO BD CF BD AE BD S S S CBD ABD =•=+=•+•=+=∆∆…………………………………10分所以ABF CBF AED ABCD AFCD AFCD S S S S S S =+=+=V V V 梯形四边形四边形过点A 的梯形ABCD 的面积等分线的画法如右图（1）所示(3)能.连接AC,过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E,连接AE.因为BE ∥AC,所以△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等所以有ABC AEC S S =V V所以ACD ABC ACD AEC AED ABCD S S S S S S =+=+=V V V V V 梯形因为ACD ABC S S V V ＞所以面积等分线必与CD 相交,取DE 中点F则直线AF 即为要求作的四边形ABCD 的面积等分线作图如右图(2)所示（2019宁波市）21．如图1，有一张菱形纸片ABCD ，AC ＝8，BD ＝6．（1）请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD 剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形；并直接写出这两个平行四边形的周长．（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形．（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）24. （2019年金华） (本题12分)如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1 2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．请解答下列问题：（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合；（3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为菱形，则t 的值是多少？② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）333+-=x y ；………4分（2）（0,3），29=t ；……4分（各2分）（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1） ∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90°又∵t FG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-=由t t 323=-得 59=t ；………………………………………………………………1分当点P 在线段OB当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M ∴6921tEF EH MP -===，又∵)6(2-=t BP在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos 即6921)6(2t t -=⋅-，解得745=t 分 ②存在﹒理由如下：将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上， C 点坐标为（332，332－1）过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,则△FEQ ∽△EC B '由3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－32，3分 (图1)根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－32，3）也符合条件．……1分 22．（2019年长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ．（1）求证：△BEC ≌△DEC ；F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．ABCD 是正方形 ∴BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45°又EC ＝EC …………………………2分 ∴△ABE ≌△ADE ……………………3分（2）∵△ABE ≌△ADE∴∠BEC ＝∠DEC ＝12∠BED …………4分 ∵∠BED ＝120°∴∠BEC ＝60°＝∠AEF ……………5分 ∴∠EFD ＝60°+45°＝105° …………………………6分（2019年湖南郴州市）22．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变ADC ∠的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A 、C 之间的距离）.若AB=40cm ，当ADC ∠从60︒变为120︒时，千斤顶升高了多少？1.414, 1.732，结果保留整数）答案22.解: 连结AC ，与BD 相交于点OQ 四边形ABCD 是菱形 \AC ^BD ,ÐADB =Ð 当ÐADC =60°时，V ADC 是等边三角形\AC =AD =AB =40 当ÐADC =120°时，ÐADO =60°\AO =AD ×sin ÐADO =40\AC …………………………5分因此增加的高度为-40=40´0.732»29（cm ） ……………6分 (说明：当ÐADC =120°时，求AC 的长可在直角三角形用勾股定理)（2019年湖南郴州市）23．已知：如图，把ABC V 绕边BC 的中点O 旋转180°得到DCB V .求证：四边形ABDC 是平行四边形. 答案23.证明：因为 DCB V 是由ABC V 旋转180︒所得 2分所以点A 、D ，B 、C 关于点O 中心对称 4分所以OB =OC OA =OD 所以四边形ABCD 是平行四边形 C B（注：还可以利用旋转变换得到AB =CD ，AC =BD 相等；或证明ABC DCB ≅V V 证ABCD 是平行四边形）(2019湖北省荆门市)19．(本题满分9分)将三角形纸片ABC (AB ＞AC )沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形纸片，使得点A 与点D 重合，折痕为EF ，再次展平后连接DE 、DF ，如图2，证明：四边形AEDF 是菱形．答案19．证明：由第一次折叠可知：AD 为∠CAB 的平分线，∴∠1＝∠2……………………2分由第二次折叠可知：∠CAB ＝∠EDF ，从而，∠3＝∠4………………………………4分 ∵AD 是△AED 和△AFD 的公共边，∴△AED ≌△AFD (ASA)………………………6分 ∴AE ＝AF ，DE ＝DF又由第二次折叠可知：AE ＝ED ，AF ＝DF∴AE ＝ED ＝DF ＝AF …………………………………………………………………………8分故四边形AEDF 是菱形．……………………………………………………………………9分 8．（2019湖北省咸宁市）如图，菱形ABCD 由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段AC 的长为 A ．3 B ．6 C ．33 D ．63 答案：D13. （2019年郴州市）如图，已知平行四边形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，连结DE 交BC 于点F ，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使CDF BEF △≌△，这个条件是．（只要填一个）答案：DC EB =或CF BF =或DF EF = 或F 为DE 的中点或F 为BC 的中点或AB BE =或B 为AE 的中点７．（2019年怀化市）如图２，在菱形ABCD 中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD 的周长为（）A ．20B ．18C ．16D ．15 答案：C 18．（2019年怀化市）如图5，在直角梯形ABCD 中，图1 图24321EAFBDCCDBA(1) (2) 第19题图ABDCCDBF AEABEFDC 第13题AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB=1cm ，AD=6cm ，CD=9cm ，则BC= cm ．答案：10 22．（2019湖北省咸宁市）问题背景（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S = ， △EFC 的面积1S= ， △ADE 的面积2S = ．探究发现（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =．拓展迁移（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若 △ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积． 22．（1）6S =，19S =，21S =．……3分（2）证明：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 为平行四边形，AED C ∠=∠，A CEF ∠=∠． ∴△ADE ∽△EFC ．……4分∵112S bh =， ∴222122a a h S S b b =⨯=．……5分而S ah =， ∴2124S S S =……6分（3）解：过点G 作GH ∥AB 交BC 于H ，则四边形DBHG 为平行四边形． ∴GHC B ∠=∠，BD HG =，DG BH =． ∵四边形DEFG 为平行四边形， ∴BE HF =． ∴△DBE ≌△GHF ． ∴△GHC 的面积为538+=．……8分由（2）得，□DBHG 的面积为8．……9分∴△ABC 的面积为28818++=． 22．（2019年郴州市）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变ADC ∠的大小（菱形的边长不变）之间的距离）.若AB=40cm ，当ADC ∠从60︒变为120︒1.414, 1.732，结果保留整数）22.解: 连结AC ，与BD 相交于点OQ 四边形ABCD 是菱形 \AC ^BD ,ÐADB =ÐCDB ,AC =2AO当ÐADC =60°时，V ADC 是等边三角形\AC =AD =AB =40当ÐADC =120°时，ÐADO =60°\AO =AD ×sin ÐADO =40 BCDGF E 图2A 图1B C DGF E 图2A H 第22题\AC =403因此增加的高度为403-40=40´0.732»29（cm ）23．（2019年郴州市）已知：如图，把ABC V 绕边BC 的中点O 旋转180°得到DCB V . 求证：四边形ABDC 是平行四边形. 23.证明：因为 DCB V 是由ABC V 旋转180︒所得所以点A 、D ，B 、C 关于点O 中心对称所以OB =OC OA =OD 所以四边形ABCD 是平行四边形（注：还可以利用旋转变换得到AB =CD ，AC =BD 相等；或证明ABC DCB ≅V V 证ABCD 是平行四边形）23. （2019年怀化市）如图7，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O,分别与AB,CD 的延长线交于点E,F.求证：四边形AECF 是平行四边形.23. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD=OB,OA=OC …………………1分CD AB //………………………………………………2分∴∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO ……………………………………………3分∴△FDO ≌△EBO ……………………………………………………………4分 ∴OF=OE …………………………………………………………………5分∴四边形AECF 是平行四边形北京4. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 (A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10。

2019届中考数学复习《矩形、菱形、正方形》专项训练题含答案

2019届初三数学中考复习矩形、菱形、正方形专项复习练习1．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB2. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( )A．5 B．4 C．3.5 D．33. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )A．2 B．3 C. 3 D．2 34. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC5. 下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )A．2 2 B. 2 C．6 2 D．8 27. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，C E∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，则四边形OCED 的面积( )A．2 3 B．4 C．4 3 D．88. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC ＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 39. 如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm10. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形11. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交边BC于G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③EG＝DE＋BG；④AG∥CF；⑤S△FGC ＝3.6.其中正确结论的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个12. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为_______________________．13. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是___________．14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．15. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是____．16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．参考答案：1---11 CBDCC AAACD D12. 45°或105°13. ①③④14. 3015.2 216. 解：(1)在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝12 AC，∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形．理由：在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，AC＝12AB＝AE，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝CE，又∵四边形ACEF为平行四边形．∴四边形ACEF为菱形2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C．D．2．某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了1千米，休息0.5小时后，再用1.5小时爬上山顶．游客爬山所用时间l与山高h间的函数关系用图形表示是（）A. B.C. D.3．将直角三角形纸片按如图方式折叠，不可能折出（）A.直角B.中位线C.菱形D.矩形4．若m＞n，则下列不等式正确的是（）A．m+2＜n+2 B．m﹣2＜n﹣2 C．﹣2m＜﹣2n D．m2＞n25．小明骑自行车到学校上学，若每小时骑15千米，可早到10分钟，若每小时骑13千米，则迟到5分钟，设他家到学校的路程为x千米，下列方程正确的是（）A．10515601360x x+=-B．1051513x x+=-C．10515601360x x+=+D．10515601360x x-=-6．直线y=2x关于x轴对称的直线是（）A．1y x2=B．1y x2=-C．y2x=D．y2x=-7．一组2、3、4、3、3的众数、中位数、方差分别是（）A．4,3,0.2B．3,3,0.4C．3,4,0.2D．3,2,0.48+1）20191）2018的结果是（）A +1B 1C D．19．如图，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝kx的图象在第一象限相交于点C．若AB＝BC，△AOB的面积为3，则k的值为（）A．6 B．9 C．12 D．1810．已知关于x的一元二次方程230 4x x a--+=有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值为( )A．-1 B．0 C．2 D．111．如图，A、B两地之间有一池塘，要测量A、B两地之间的距离．选择一点O，连接AO并延长到点C，使OC＝12AO，连接BO并延长到点D，使OD＝12BO．测得C、D间距离为30米，则A、B两地之间的距离为（）A．30米B．45米C．60米D．90米12．下面几何图形是中心对称图形的是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．菱形D．正五边形二、填空题13．如图，中，，点在的延长线上，平分，按下列步骤作图，步骤1：分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点；步骤2：分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点；步骤3：连接并延长，交于点，若，则线段的长为____．14．某校校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图）．学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点'A安装灯带，已知此三棱柱的高为5m，底面边长为2m，则灯带的长度至少为____m．15．如图，Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=4，tanA=43，则AB=___．16．分解因式：x2﹣9x＝_____．17．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为．18．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB'C'位置，使得CC′∥AB，则∠BAB'＝_____．三、解答题19．甲，乙两人沿湖边环形道上匀速跑步，他们开启了微信运动﹣﹣微信上实时统计每天步数的软件．已知乙的步距比甲的步距少0.4m(步距是指每一步的距离)，且每2分钟甲比乙多跑25步，两人各跑3周后到达同一地点，跑3圈前后的时刻和步数如下：(1)求甲，乙的步距和环形道的周长；(2)求表中a的值；(3)若两人于9：40开始反向跑，问：此后，当微运动中显示的步数相差50步时，他们相遇了几次？20．某城市响应“绿水青山就是金山银山”的号召，准备在全市宣传开展“垃圾分类”活动，先对随机抽取的1000名公民的年龄段分布情况和对“垃圾分类”所持态度进行调查，并将调查结果分别绘成条形图（图1）、扇形图（图2）.（1）补全条形图；（2）扇形图中态度为“一般”所对应的扇形的圆心角的度数是；（3）这次随机调查中，年龄段是“25岁一下”的公民中“不赞成”的有5名，它占“25岁以下”人数的百分数是；（4）如果把所持态度中的“很赞同”和“赞同”统称为“支持”，这个城市总人口大约500万人，则对开展“垃圾分类”持“支持”态度的估计有多少万人？21．我市计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合做10天，那么余下的工程由乙队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？22．2011年，陕西西安被教育部列为“减负”工作改革试点地区．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？23．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于A(2，-1)、B(12，n)两点，点C的坐标为(0，2)，过点C的直线l与x轴平行.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求△ABC的面积.24．如图，已知A（2，4），以A为顶点的抛物线经过原点交x轴于B．（1）求抛物线解析式；（2）取OA上一点D，以OD为直径作⊙C交x轴于E，作EF⊥AB于F，求证EF是⊙C的切线；（3）设⊙C半径为r，EF＝m，求m与r的函数关系式及自变量r的取值范围；（4）当⊙C与AB相切时，求⊙C半径r的值．25．一个无人超市仓库的货物搬运工作全部由机器人A和机器人B完成，工作记录显示机器人A比机器人B每小时多搬运50件货物．机器人A搬运2000件货物与机器人B搬运1600件货物所用的时间相等，求机器人A和机器人B每小时分别搬运多少件货物？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1415．16．x（x-9）17．118．30°三、解答题19．(1)甲的步距为1.2m，乙的步距为0.8m，环形道的周长为800m；(2)9：24；(3)反向跑当微运动中显示的步数相差50步时，他们相遇了1次．【解析】【分析】（1）由于两人各跑3周后到达同一地点，可分别用甲和乙跑的总步数乘以各自的步距，列方程可得步距，从而求出环形道德周长；（2）先由甲跑的总步数除以甲所用的时间，得出甲每分钟跑的步数，再根据每2分钟甲比乙多跑25步，得出乙每2分钟乙跑多少步，从而用乙的总步数除以乙每2分钟乙跑的步数，再乘以2，即可得乙所用的时间，从而可知a的值；（3）由每2分钟甲比乙多跑25步，因此反向跑当微运动中显示的步数相差50步时，他们各跑了4分钟，从而求解.【详解】（1）设乙的步距为xm，由于乙的步距比甲的步距少0.4m，则甲的步距少为(x+0.4)m，根据表格列方程得：(4158﹣2158)(x+0.4)＝(4308﹣1308)x，∴2000x+800＝3000x，∴x＝0.8，0.8+0.4＝1.2，∴环形道的周长为：3000×0.8÷3＝800m．故甲的步距为1.2m，乙的步距为0.8m，环形道的周长为800m．（2）由表格知，甲10分钟跑了2000步，则甲每分钟跑200步，每2分钟跑400步，∵每2分钟甲比乙多跑25步，∴每2分钟乙跑375步，∴3000÷375＝8，2×8＝16分钟，∴a为9：24．故答案为：9：24．（3）每2分钟甲比乙多跑25步，因此反向跑当微运动中显示的步数相差50步时，他们各跑了4分钟，∴1.2×200×4+0.8×300016×4＝1560m800＜1560＜800×2∴反向跑当微运动中显示的步数相差50步时，他们相遇了1次．【点睛】本题是环形跑道的行程问题，需根据速度乘以时间等于路程等基本关系来求解，其中也考查了相遇问题，题目内容比较贴近生活，显示了数学与生活实际的联系．20．（1）详见解析；（2）36°；（3）5%；（4）360万人.【解析】【分析】(1)用整体“1”减去已知年龄段所占的百分比，得出25~35岁所占的百分比即可补全条形统计图；（2）先求出态度为“一般”所占的百分比，再用所得结果乘以360°即可求出结果；（3）求出25岁以下的人数，用“不赞成”的人数除以25岁以下的人数，即可得解；（4）用样本估计总体即可求出结果.【详解】（1）25~35岁所占百分比为：1-10%-35%-25%-10%=20%，故条形图如下：（2）态度为“一般”的所占百分比为：1-18%-39%-33%=10%，∴态度为“一般”所对应的扇形的圆心角的度数是：360°×10%=36°；（3）1000×10%=100（人）∴“不赞成”的占的百分比为：5⨯100%=5%100⨯（万人）（4）72500=360【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（1）这项工程规定的时间是20天；（2）该工程施工费用是120000元【解析】【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做10天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．【详解】解：（1）设这项工程规定的时间是x天根据题意，得1010511.5x x++=解得x＝20经检验，x＝20是原方程的根答：这项工程规定的时间是20天（2）合作完成所需时间111()1220 1.520÷+=⨯（天）（6500＋3500）×12＝120000（元）答：该工程施工费用是120000元【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．22．(1)200，（2）补图见解析；（3）54°；（4）680000人.【解析】【分析】（1）根据A级有50人，所占的比例是25%，据此即可求解；（2）求得C级所占的比例，乘以总人数即可求解，进而作出条形图；（3）利用360度，乘以C级所占的比例即可求解；（4）总人数乘以A，B两级所占的比例的和即可求解．【详解】解：（1）50÷25%＝200（名）；（2）C级的人数是：200×（1﹣25%﹣60%）＝30（人）．；（3）C级所占的圆心角的度数是：360×（1﹣25%﹣60%）＝54°；（4）80000×（25%+60%）＝68000（人）．【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．23．y=2x-5；y=2x-；(2)S△ABC=214.【解析】【分析】(1)直接将A(2，-1)代入反比例函数y=mx中，可得m=-2，即得y=2x-.然后将B(12，n)，代入已求解析式中，求出n值，即得B的坐标；把A、B两点坐标分别代入一次函数y=x+b中，建立二元一次方程组，解出K、b的值即可.(2)先求出一次函数数y=2x-5与y轴的交点坐标为(0，-5) ，采用割补法，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积.【详解】(1)解：∵A(2，-1)、B(12，n)两点在反比例画数y=mx(x>0)的图象上，∴m=2×(-1)=-2，m= 12×n，∴n=-4，∴B(12，-4)，反比例函数的解析式为y=2x-，∵A(2，-1)、B(12，-4)两点在一次函数y=x+b的图象上，∴122,15 -4=2k bkbk b-=+⎧=⎧⎪⎨⎨=-+⎩⎪⎩解得，∴一次函数的解析式为y=2x-5.(2)解：∵一次函数数y=2x-5与y轴的交点坐标为(0，-5)，∴S△ABC=12×7×2-12×7×12=214.【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把已知点代入解析式24．（1）y＝﹣x2+4x．（2）详见解析；（3）4m r5r=-+<<；（4）r=【解析】【分析】（1）已知了抛物线顶点的坐标，可用顶点式的二次函数通式来设二次函数的解析式，将原点的坐标代入解析式中即可求出二次函数的解析式；（2）要证EF是圆C的切线，那么可连接CE，证CE⊥EF即可，由于EF⊥AB，那么只需证明CE∥AB即可得出EF是切线的结论，那么OC=CE，根据抛物线的对称性可得OA=AB，由这两组相等的线段即可得出∠OEC=∠ABO，由此可得证；（3）由（2）可知∠ABO=∠AOB，那么可通过三角函数来解，根据A，O，B的坐标不难得出∠AOB，∠ABO 的正弦值，那么可过C作OB的垂线，垂足为M，可在直角三角形OCM中，用∠AOB的正切值以及r的长表示出OM，也就求出了OE，进而可表示出BE的长，然后在直角三角形BFE中，根据∠ABO的正弦值用BE 表示出BF，由此可得出关于m，r的函数关系式；（4）如果⊙C与AB相切，设切点为G，那么如果连接CG，四边形CEFG就是正方形，那么r=m=EF，那么根据（3）中m ，r 的函数关系式，将m=r 代入（3）的函数关系式中即可求出r 的值．【详解】（1）设y ＝a （x ﹣2）2+4，由于抛物线过原点（0，0），则有0＝4a+4，即a ＝﹣1．因此抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x ；（2）连CE ，则∠COE ＝∠CEO ，根据A 是抛物线的顶点，可知OA ＝AB ，即∠AOB ＝∠OBA ，∴∠OEC ＝∠ABO ，∴CE ∥AB ，又EF ⊥AB ，∴CE ⊥EF ，∴EF 是⊙C 的切线；（3）分别过C 、A 作OB 的垂线，垂足分别为M 、N ，直角三角形OAN 中，cos ∠AOB ，因此：OM OE ＝2OM ，EB ＝4，∴455m r =-+（0＜r ；（4）设⊙C 切AB 于点G ，连接CG ，则CG ⊥AB ，∴∠CGF ＝∠EFG ＝∠CEF ＝90°，∴四边形CEFG 为矩形，又CE ＝CG ，∴四边形CEFG 为正方形，∴EF ＝r ，∴m ＝r ①，由（3）得45m r =-+，解得r ．【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形以及二次函数的综合应用等知识点，用数形结合的思想进行求解是解题的基本思路．25．A 型机器人每小时搬运250件，B 型机器人每小时搬运200件．【解析】【分析】此题首先由题意得出等量关系，即A 型机器人搬运2000件货物与B 型机器人搬运1600件货物所用时间相等，列出分式方程，从而解出方程，最后检验并作答．【详解】解：设B 型机器人每小时搬运x 件货物，则A 型机器人每小时搬运（x+50）件货物．依题意列方程得：20001600.50x x=+ 解得：x ＝200．经检验x ＝200是原方程的根且符合题意．当x ＝200时，x+50＝250．答：A 型机器人每小时搬运250件，B 型机器人每小时搬运200件．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即：①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列调查中，适合普查的事件是（）A．调查华为手机的使用寿命vB．调查市九年级学生的心理健康情况C．调查你班学生打网络游戏的情况D．调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率2．下列计算结果正确的是（）A.（﹣a）2•a6＝﹣a8B.（m﹣n）（m2+mn+n2）＝m3﹣n3C.（﹣2b2）3＝﹣6b6D.3．如图，将矩形绕点顺时针旋转到知形的位置，旋转角为.若，则的大小是（）A.32°B.20°C.22°D.28°4．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（）A.与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人B.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点5．在实数﹣3，2，0，﹣1中，最大的实数是( )A．﹣3 B．2 C．0 D．﹣16．如图，点A在反比例函数y＝1x（x＞0）图象上，点B在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上，AB∥x轴，BC∥y轴交x轴于点C，连结AC，交反比例函数y＝1x（x＞0）图象于点D，若D为AC的中点，则k的值是（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（）A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为488．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．5 B．3 C．2 D．19．如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN，以上结论中，正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．410．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15º，再前进10m，再右转15º，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了多少米（）A．120米B．240米C．360米D．480米11．《庄子》一书里有：“一尺之棰（木棍），日取其半，万世不竭（尽，完）”这句话可以用数学符号表示：1＝23111++222+…+12n +…；也可以用图形表示．上述研究问题的过程中体现的主要数学思想是（）A ．函数思想B ．数形结合思想C ．公理化思想D ．分类讨论思想 12．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+6＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（）AB C ．2或3 D二、填空题13．如图，线段AB ＝4，M 为AB 的中点，动点P 到点M 的距离是1，连接PB ，线段PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PC ，连接AC ，则线段AC 长度的最大值是_____．14．若关于x 的二次函数22(1)y ax a x a =+--的的图象与x 轴的一个交点的坐标为（m ，0），若1＜m ＜3，则a 的取值范围为______ ．15．如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（-1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是．16．分解因式：ax 2﹣ax ＝_____．17．小红去超市买了3本单价为x 元的笔记本和2支单价为y 元的圆珠笔，共需_____元.18．如图，在▱ABCD 中，点E 在BC 上，AE 、BD 相交于点F ，若BE ：EC ＝1：2，则△BEF 与四边形FECD 的面积比等于_____．三、解答题19．为了更好治理和净化运河，保护环境，运河综合治理指挥部决定购买10台污水处理设备．现有A 、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．（1）求a，b的值；（2）由于受资金限制，运河综合治理指挥部决定购买污水处理设备的资金不超过110万元，问每月最多能处理污水多少吨？20．在“学习雷锋活动月”中，某校九（2）班全班同学都参加了“广告清除、助老助残、清理垃圾、义务植树”四个志愿活动（每人只参加一个活动）．为了了解情况，小明收集整理相关的数据后，绘制如图所示，不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）求该班的人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）求扇形统计图中，广告清除部分对应的圆心角的度数．21．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数ykx'=（x>0)的图象交于点A(a，3)和B(3，1）．（1）求一次函数的解析式．（2）观察图象，写出反比例函数值小于一次函数值时x的取值范围．（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交反比例函数图象于点Q，连接OP、OQ，若△POQ的面积为12，求P点的坐标。

天津市和平区2019届中考《矩形、菱形和正方形》专项练习含答案

天津市和平区普通中学2019届初三数学中考复习矩形、菱形和正方形专项复习练习1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC ＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 32．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形4. 如图，在菱形ABCD中，过点D做DE⊥AB于点E，做DF⊥BC于点F，连结EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，求小聪行走的路程．6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．7. 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(2)连结AE，AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．8. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．9. 已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，求菱形的面积．10. 如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6 cm，∠ABC＝60°.(1)试判断四边形EFGH 的类型，并证明你的结论； (2)求四边形EFGH 的面积．11. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交CD 于G.(1)求证：BG ＝DE ； (2)若点G 为CD 的中点，求HGGF的值．12. 已知正方形的对角线AC ，BD 相交于点O.(1)如图1，E ，G 分别是OB ，OC 上的点，CE 与DG 的延长线相交于点F.若DF ⊥CE ，求证：OE ＝OG ； (2)如图2，H 是BC 上的点，过点H 作EH ⊥BC ，交线段OB 于点E ，连结DH ，交CE 于点F ，交OC 于点G.若OE ＝OG.①求证：∠ODG ＝∠OCE ； ②当AB ＝1时，求HC 的长．答案与解析： 1. A 2. B【解析】当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC ＝BD ，根据勾股定理求出AC ＝32＋42＝5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选B. 3. C4. 解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°，∴△ADE ≌△CDF(2) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CB ，∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∴BE ＝BF ，∴∠BEF ＝∠BFE 5. 解：小敏走的路程为AB ＋AG ＋GE ＝1500＋(AG ＋GE)＝3100，则AG ＋GE ＝1600 m ，小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(DE ＋EF)．连结CG ，在正方形ABCD 中，∠ADG ＝∠CDG＝45°，AD ＝CD ，在△ADG 和△CDG 中，∵AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD ＝90°，∴四边形GECF 是矩形，∴CG ＝EF.又∵∠CDG＝45°，∴DE ＝GE ，∴小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(GE ＋AG)＝3000＋1600＝4600 m6. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC，∴∠ABC ＋∠BAD＝180°，∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC＝30°，则tan ∠DBC ＝tan30°＝33(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC＝90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠DBC 的度数；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线互相垂直，即∠BOC ＝90°，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证． 7. 解：(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠OCE ＝∠BCE，∠OCF ＝∠DCF，∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE，∠OFC ＝∠DCF，∴∠OEC ＝∠OCE，∠OFC ＝∠OCF，∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF ；∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠ECF ＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5(2)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：连结AE ，AF ，当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，证出OE ＝OC ＝OF ，∠ECF ＝90°，由勾股定理求出EF ，即可得出答案；(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．8. 解：(1)∵▱ABCD ，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠ABC ＝∠CDA.又∵BE＝EC ＝12BC ，AF ＝DF ＝12AD ，∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△CDF (2)∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝EC.又∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝EC ，即BE ＝AE.又BC ＝2AB ＝4，∴AB ＝12BC ＝BE ，∴AB ＝BE ＝AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高为2×sin60°＝3，∴菱形AECF 的面积为2 39. 解：四边形ABCD 是菱形，AC ＋BD ＝6，∴AB ＝5，AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，∴AO ＋BO ＝3，∴AO2＋BO 2＝AB 2，(AO ＋BO)2＝9，即AO 2＋BO 2＝5，AO 2＋2AO·BO＋BO 2＝9，∴2AO ·BO ＝4，∴菱形的面积是12AC·BD＝2AO·BO＝4【解析】根据菱形对角线互相垂直，利用勾股定理转化为两条对角线的关系式求解．10. 解：(1)连结AC ，BD ，相交于点O ，∵E ，F ，G ，H 分别是菱形四边上的中点，∴EH ＝12BD ＝FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF ＝12AC ＝HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH是矩形 (2)∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴AO ＝12AB ＝3，∴AC ＝6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝AB 2－OA 2＝33，∴BD ＝63，∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝33，EF ＝3，∴矩形EFGH 的面积＝EF·FG＝9 3 cm 211. 解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°，∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE，在△BCG 与△DCE 中，∵∠CBG ＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GF GD ，∴GF ＝55，∵AB ∥CG ，∴△ABH ∽△CGH ，∴AB CG ＝BHHG ＝21，∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53【解析】(1)由于BF⊥DE，所以∠GFD＝90°，从而可知∠CBG＝∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，从而知CG ＝CE ＝1，由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，易证△A BH∽△CGH，所以BH HG ＝2，从而可求出HG 的长度，进而求出HGGF的值．12. 解：(1) ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OD ＝OC ，∴∠DOG ＝∠COE ＝90°，∴∠OEC ＋∠OCE ＝90°.∵DF ⊥CE ，∴∠OEC ＋∠ODG ＝90°，∴∠ODG ＝∠OCE.∴△ODG ≌△OCE(ASA)，∴OE ＝OG (2)①∵OD ＝OC ，∠DOG ＝∠COE＝90°，又OE ＝OG ，∴DOG ≌COE(SAS)，∴∠ODG ＝∠OCE②设CH ＝x ，∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝1，∴BH ＝1－x ，∠DBC ＝∠BDC＝∠ACB＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH ＝∠EBH＝45°.∴EH ＝BH ＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC －∠ODG＝∠ACB－∠OCE.∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC ＝∠HCD＝90°.∴△CHE ∽△DCH.∴EH HC ＝HC CD . ∴HC 2＝EH·CD，得x 2＋x －1＝0.解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)．∴HC＝5－122019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若二次函数2()1y x m =--，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（） A ．1m =B ．1m >C ．1m ≥D ．1m ≤2．有以下三种说法：①一组数据的平均数、中位数和众数都是唯一的 ②一组数据中最大值与最小值的平均数，就是这组数据的中位数 ③极差与方差都反映数据的波动，所以对于两组数据，极差大的一定方差大，方差大的一定极差大．其中，正确的说法有（） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3．下列各实数中，最接近3的是（）4．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A ．18B ．36C ．41D ．58o5．将多边形的边数由n 条增加到()n x +条后，内角和增加了540︒，则x 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．据统计，截止2019年2月，长春市实际居住人口约4210000人，4210000这个数用科学记数法表示为( ) A.542.110⨯ B.54.2110⨯C.64.2110⨯D.74.2110⨯7．如图，将O 沿弦MN 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点A 劣弧MN 上一点，则MAN ∠的度数为（）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．105︒8．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（） A ．与x 轴相切，与y 轴相切B ．与x 轴相切，与y 轴相离C ．与x 轴相离，与y 轴相切D ．与x 轴相离，与y 轴相离9．如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，（，两点不重合）两点间的最短距离为（）A. B. C. D.10．下列说法正确的是（）A ．一组数据2，5，5，3，4的众数和中位数都是5B ．“掷一次骰子，向上一面的点数是1”是必然事件C ．掷一枚硬币正面朝上的概率是12表示每抛硬币2次就有1次正面朝上 D ．计算甲组和乙组数据，得知x 甲=x 乙=10，2S 甲=0.1，2S 乙=0.2，则甲组数据比乙组数据稳定11．华为手机Mate X 在5G 网络下能达的理论下载速度为603 000 000B/s ，3秒钟内就能下载好1GB 的电影，将603 000 000用科学计数法表示为（） A ．603×610B ．6.03×810C ．60.3×710D ．0.603×91012，则它的外接圆的面积为（） A ．π B ．3πC ．4πD ．12π二、填空题13．如图，矩形ABCD 中，AD ＝6，∠CAB ＝30°，点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段CD 上的动点，则AQ+QP 的最小值是_____．14．直角三角形的两边长分别为3和5,则第三条边长是________. 15．如图，已知抛物线y=ax 2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=9x的图象相交于B 点，且B 点的横坐标为3，抛物线与y 轴交于点C(0,6)，A 是抛物线y=ax 2-4x+c 的顶点，P 点是x 轴上一动点，当PA+PB 最小时，P 点的坐标为_______．16．据资料表明：中国已成为全球机器人第二大专利来源国和目标国.机器人几大关键技术领域包括：谐波减速器、RV 减速器、电焊钳、3D 视觉控制、焊缝跟踪、涂装轨迹规划等，其中涂装轨迹规划的来源国结构（仅计算了中、日、德、美）如图所示，在该扇形统计图中，美国所对应的扇形圆心角是__________度．17．若实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图，则化简a +的结果是_______．18．因式分解：x 2+6x ＝_____．三、解答题19．一服装经销商计划购进某品牌的A 型、B 型、C 型三款服装共60套，每款服装至少要购进8套，且恰好用完购服装款61000元．设购进A 型服装x 套，B 型服装y 套，三款服装的进价和预售价如下表：（1）如果所购进的A 型服装与B 型服装的费用不超过39000元，购进B 型服装与C 型服装的费用不超过34000元，那么购进三款服装各多少套？（2）假设所购进服装全部售出，综合考虑各种因素，该服装经销商在购进这批服装过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P （元）与x （套）的函数关系式；（注：预估利润P ＝预售总额﹣购服装款﹣各种费用） ②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款服装各多少套． 20．吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y ＝2545x x --+的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1）该函数的自变量x 的取值范围是．（2）列表：表中m＝，n＝．（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．21．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）请你直接写出售价在什么范围时，每天的利润不低于104元？22．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？23．如图是集体跳绳的示意图，绳子在最高处和最低处时可以近似看作两条对称的抛物线，分别记为C 1和C 2，绳子在最低点处时触地部分线段CD ＝2米，两位甩绳同学的距离AB ＝8米，甩绳的手最低点离地面高度AE ＝BN ＝1516米，最高点离地AF ＝BM ＝2316米，以地面AB 、抛物线对称轴GH 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线C 1和C 2的解析式；（2）若小明离甩绳同学点A 距离1米起跳，至少要跳多少米以上才能使脚不被绳子绊住？（3）若集体跳绳每相邻两人（看成两个点）之间最小距离为0.8米，腾空后的人的最高点头顶与最低点脚底之距为1.5米，请通过计算说明，同时进行跳绳的人数最多可以容纳几人？（温馨提醒：所有同学起跳处均在直线CD 上，不考虑错时跳起问题，即身体部分均在C 1和C 2之间才算通过），＝1.41424．已知抛物线y ＝ax 2﹣bx ．（1）若此抛物线与直线y ＝x 只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点（3，0）． ①求此抛物线的解析式；②以y 轴上的点P （0，n ）为中心，作该抛物线关于点P 对称的抛物线y'，若这两条抛物线有公共点，求n 的取值范围；（2）若a ＞0，将此抛物线向上平移c 个单位（c ＞0），当x ＝c 时，y ＝0；当0＜x ＜c 时，y ＞0．试比较ac 与1的大小，并说明理由．25．某校数学兴趣小组的同学测量一架无人飞机P 的高度，如图，A ，B 两个观测点相距300m ，在A 处测得P 在北偏东71°方向上，同时在B 处测得P 在北偏东35°方向上．求无人飞机P 离地面的高度.(结果精确到1米，参考数据：sin350.57︒≈，tan350.70︒≈，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)【参考答案】***一、选择题二、填空题1314．415．(125，0) 16．617．-2a+b ；18．x （x+6）三、解答题19．（1）购进A 型服装30套，B 型服装10套，则C 型服装为20套；（2）①P ＝500x+500；②最大值为17500元，此时购进A 型服装34套，B 型服装18套，C 型服装8套.【解析】【分析】（1）首先设购进A 型服装x 套，B 型服装y 套，则C 型服装为（60-x-y ）套；根据题意可得()()900120039000120011006034000900120011006061000x y y x y x y x y ⎧+≤⎪+--≤⎨⎪++--⎩①②＝③，求解不等式组即可求得答案；（2）①根据由预估利润P=预售总额-购机款-各种费用，即可求得利润P （元）与x （套）的函数关系式为：P=1200x+1600y+1300（60-x-y ）-61000-1500，整理即可求得答案；②根据题意列出不等式组：8250811038x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解此不等式组求得x 的取值范围，然后根据①中一次函数的增减性，即可答案．【详解】解：（1）设购进A 型服装x 套，B 型服装y 套，则C 型服装为（60﹣x ﹣y ）套；由题意，得()()900120039000120011006034000900120011006061000x y y x y x y x y ⎧+≤⎪+--≤⎨⎪++--⎩①②＝③，整理得：3413011320250x y y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪-⎩＝，∴可得不等式组：()()3425013025011320x x x x ⎧+-≤⎪⎨--≤-⎪⎩，解得：x ＝30，y ＝10，∴购进A 型服装30套，B 型服装10套，则C 型服装为20套；（2）①由题意，得P ＝1200x+1600y+1300（60﹣x ﹣y ）﹣61000﹣1500，整理得：P ＝500x+500，∴利润P （元）与x （套）的函数关系式为：P ＝500x+500；②由（1）得：y ＝2x ﹣50，∴购进C 型服装套数为：60﹣x ﹣y ＝110﹣3x ，根据题意列不等式组，得：8250811038x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得29≤x≤34，∴x 范围为29≤x≤34，且x 为整数．∵P 是x 的一次函数，k ＝500＞0，∴P 随x 的增大而增大．∴当x 取最大值34时，P 有最大值，最大值为17500元．此时购进A 型服装34套，B 型服装18套，C 型服装8套．【点睛】此题考查了一次函数与不等式组的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是结合图表，理解题意，求得不等式组与一次函数，然后根据函数的性质求解，注意函数思想的应用．20．（1）一切实数（2）-12，-52 （3）见解析（4）该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x ＝2对称【解析】【分析】（1）分式的分母不等于零；（2）把自变量的值代入即可求解；（3）根据题意描点、连线即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【详解】（1）由y ＝2545x x --+知，x 2﹣4x+5≠0，所以变量x 的取值范围是一切实数．故答案为：一切实数；（2）m ＝251(1)452-=--++，n ＝25531252-=--+，故答案为：-12，-52；（3）建立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示：（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x ＝2对称．故答案为：该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x ＝2对称【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．21．（1）.40(1016)y x x =-+≤≤（2）2(25)225w x =--+，当x=16时.最大利润是144元；（3）1416x ≤≤【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式;(2)根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式,将其配方成顶点式,利用二次函数的性质进一步求解可得.（3）根据（2）可列出不等式2(25)225104x --+≥，即可解答【详解】解:(1)设y 与x 的函数解析式为y=kx+b,将(10,30)、(16,24)代入,得:10301624k b k b +=+=⎧⎨⎩ 解得:140k b =-⎧⎨=⎩所以y 与x 的函数解析式为y=-x+40(10≤x≤16):(2)根据题意知,W=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x 2+50x-400=-(x-25)2+225∵a=-1<0,∴当x<25时,W 随x 的增大而增大,∵10≤x≤16,∴当x=16时,W 取得最大值,最大值为144,答:每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元（3）根据题（2）可列出不等式2(25)225104x --+≥（x=16时,W 取得最大值）解得14x ≤,综合题（2）可知当1416x ≤≤时利润不低于104元【点睛】此题考查了利用待定系数法求二元一次方程的解析式，二次函数的性质和一元一次不等式的解，解题关键在于把已知的数代入方程求解22．（1）港口A 到海岛B 的距离为（2）乙船先看见灯塔．【解析】【分析】（1）作BD ⊥AE 于D ，构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD 表示出CD 和AD ，利用DA 和DC 之间的关系列出方程求解．（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可．【详解】（1）过点B 作BD ⊥AE 于D在Rt △BCD 中，∠BCD ＝60°，设CD ＝x ，则BD ＝，BC ＝2x在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°则AD ＝BD ，AB由AC+CD ＝AD 得20+x解得：x ＝+10故AB ＝答：港口A 到海岛B 的距离为（2）甲船看见灯塔所用时间：515-≈4.1小时乙船看见灯塔所用时间：12051 4.0220-++≈小时所以乙船先看见灯塔．【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答．23．(1) 221213911,y x 16161616y x =+=-;(2) 至少要12跳米以上才能使脚不被绳子绊住;(3) 8人．【解析】【分析】（1）先写出点C 、D 、E 、F 的坐标，然后设解析式代入求解即可；（2）小明离甩绳同学点A 距离1米起跳，可得此点的横坐标，代入C 2解析式，即可求得；（3）用y 1减去y 2，让其等于1.5，解出相应点的横坐标，求出这两个点的横坐标之间的距离，然后用间隔0.8乘以人数减1，即可解出．【详解】解：（1）由已知得：C （﹣1，0），D （1，0），E （﹣4，1516），F （﹣4，2316），设C 2解析式为：2y = a ( x + 1 ) ( x - 1 )，把154,16⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得15a ＝1516， ∴116a =， ∴22111616y x =-．由对称性，设C 1解析式21116y x c =-+，把F （﹣4，2316）代入得c ＝3916， ∴211391616y x =-+ 故答案为：抛物线C 1和C 2的解析式分别为：211391616y x =-+，22111616y x =-．（2）把x ＝﹣3代入22111616y x =-得2111916162y =⨯-=， ∴至少要跳12米以上才能使脚不被绳子绊住．（3）由y 1﹣y 2＝1.5得：2213911 1.516161616x x -+-+=∴12x x ==-，∴x 1﹣x 2＝ 5.656，设同时进行跳绳的人数最多可以容纳x 人则0.8（x ﹣1）≤5.656，∴x≤8.07∴同时进行跳绳的人数最多可以容纳8人．【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要分析题意，构建函数模型，从而求解，难点在于如何分析题意列式．24．（1）①212y x x =-+；②n≤0；（2）ac≤1，见解析. 【解析】【分析】（1）①△＝0求解b ＝1，将点（3，0）代入平移后解析式，即可； ②顶点为（1，12）关于P （0，n ）对称点的坐标是（﹣1，2n ﹣12），关于点P 中心对称的新抛物线y'＝12（x+1）2+2n ﹣12＝12x 2+x+2n ，联立方程组即可求n 的范围；（2）将点（c ，0）代入y ＝ax 2﹣bx+c 得到ac ﹣b+1＝0，b ＝ac+1，当0＜x ＜c 时，y ＞0. b 2a ≥c，b≥2ac，ac+1≥2ac，ac≥1；【详解】解：（1）①ax 2﹣bx ＝x ，ax 2﹣（b+1）x ＝0，△＝（b+1）2＝0，b ＝﹣1，平移后的抛物线y ＝a （x ﹣1）2﹣b （x ﹣1）过点（3，0），∴4a ﹣2b ＝0， ∴a ＝﹣12，b ＝﹣1，原抛物线：y ＝﹣12x 2+x ， ②其顶点为（1，12）关于P （0，n ）对称点的坐标是（﹣1，2n ﹣12）， ∴关于点P 中心对称的新抛物线y'＝12（x+1）2+2n ﹣12＝12x 2+x+2n ．由221y=x +x+2n 21y=-x +x 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得：x 2+2n ＝0有解，所以n≤0．（2）由题知：a ＞0，将此抛物线y ＝ax 2﹣bx 向上平移c 个单位（c ＞0），其解析式为：y ＝ax 2﹣bx+c 过点（c ，0），∴ac2﹣bc+c＝0 （c＞0），∴ac﹣b+1＝0，b＝ac+1，且当x＝0时，y＝c，对称轴：x＝b2a，抛物线开口向上，画草图如右所示．由题知，当0＜x＜c时，y＞0．∴b2a≥c，b≥2ac，∴ac+1≥2ac，ac≤1；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数图象平移时改变位置，而a的值不变是解题的关键．25．无人飞机P离地面的高度约为136米．【解析】【分析】过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，根据直角三角形的三角函数解答即可．【详解】过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，根据题意，得AB＝300m，∠APC＝71°，∠BPC＝35°，设PC＝xm，在Rt△PBC中，BC＝CP×tan35°≈0.70x（m），在Rt△PAC中，AC＝CP×tan71°≈2.90x（m），∴300+0.70x＝2.90x，∴x＝300136 2.2，答：无人飞机P离地面的高度约为136米．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个直角三角形，再利用三角函数值解答．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．太阳的直径约为1 390 000千米，这个数用科学记数法表示为（）A.0.139×107千米 B.1.39×106千米C.13.9×105千米D.139×104千米2．如图，该几何体的俯视图是( )A．B．C．D．3．不等式组10480xx+>⎧⎨-⎩…的解集在数轴上表示，正确的是（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2019的坐标为（）A.（21009，21010）B.（﹣21009，21010）C.（21009，﹣21010）D.（﹣21009，﹣21010）5．如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C、D两点，把一块含30o角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=53o，则∠2的度数是( )A.93oB.97oC.103oD.107o6．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是﹣3和2时，输出的y值相等，则b等于（）A.5B.﹣5C.7D.3和47．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是( )A ．-x 2+1B ．-x 2-4C ．x 2-xD ．x 2+ 25 8．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++(m 是常数，且0m ≠)的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．9．点P 的坐标是（m ，n ），从﹣5，﹣3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n 的值，则点P （m ，n ）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（）A ．25B ．15C ．14D ．1210．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A ．B ．C ．D ．11．如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD ＝15，CD ⊥AB 于M ，如果sin ∠ACB ＝，则AB ＝（）A.24B.12C.9D.612．在平面直角坐标系中，有A ()21，，B ()33，两点，现另取一点C ()1a ，，当a = ( )时，AC+BC 的值最小（）A ．2B ．53C ．114D ．3二、填空题 13．如图所示，在正方形ABCD 中，以AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ，连接CE 、BD 交于点G ，连接AG ，那么∠AGD 的底数是_____度．14．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF 分别与AB 、DC 相交于E 、F 两点，若AC ＝10，BD ＝4，则图中阴影部分的面积等于_____．15．实数a 在数轴上的位置如图所示，则|a ＝___________．16．计算：2(2)a b -=________．17．分解因式（xy ﹣1）2﹣（x+y ﹣2xy ）（2﹣x ﹣y ）=_____．18有意义，则a 的取值范围是______．三、解答题19．先化简，再求值：2443111x x x x x -+⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中x 的值是不等式组3215x x -<⎧⎨+≤⎩的一个整数解. 20．已知直线11522y x =+与直线y 2＝kx+b 关于原点O 对称，若反比例函数m y x=的图象与直线y 2＝kx+b 交于A 、B 两点，点A 横坐标为1，点B 纵坐标为12-．（1）求k ，b 的值；（2）结合图象，当1522m x x <+时，求自变量x 的取值范围． 21．如图，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙O 1与⊙O 的弦AC 相交于点D ．（1）设弧BC 的长为m 1，弧OD 的长为m 2，求证：m 1＝2m 2；（2）若BD 与⊙O 1相切，求证：BC ．22．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BA ＝BC ，BD 平分∠ABC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）过点D 作DE ⊥BD ，交BC 的延长线于点E ，若BC ＝5，BD ＝8，求四边形ABED 的周长．23．如图,两建筑物的水平距离BC 为18m,从A 点测得D 点的俯角α为 30，测得C 点的俯角β为 60° ,求建筑物CD 的高度(结果保留根号).24．图①，图②，图③均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的项点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰当的网格中按要求画图.（1）在图①中，画出格点C ，使AC BC =，用黑色实心圆点标出点C 所有可能的位置.（2）在图②中，在线段AB 上画出点M ，使3AM BM =.（3）在图③中，在线段AB 上画出点P ，使2AP BP =.（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法.25．如图，已知△ABC ．按如下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧；②以C 为圆心，CB 长为半径画弧，两弧相交于点D ；③连结BD ，与AC 交于点E ，连结AD ，CD（1）求证：△ABC ≌△ADC ；（2）若∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，BC ＝2；①求∠BAD 所对的弧BD 的长；②直接写出AC 的长．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．6014．101516．2244a ab b -+17．（y ﹣1）2（x ﹣1）2．18．a≥-3三、解答题19．当1x =-时，原式=3-；当0x =时，原式=1-【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出整数解得到x 的值，代入计算即可求出值．【详解】2443111x x x x x -+⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭ 22(2)13111x x x x x ⎛⎫--=÷- ⎪---⎝⎭ 2(2)(2)(2)11x x x x x -+-=÷-- 2(2)11(2)(2)x x x x x --=⨯-+-22x x -=+ 解不等式组3215x x -<⎧⎨+≤⎩得32x -<≤，其整数解：21012212x --≠-、、、、、、、 x 可以等于10-、当1x =-时，原式=3-；当0x =时，原式=1-【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．(1)k=12,b=-52;(2) ﹣4＜x ＜﹣1或x ＞0．【解析】【分析】（1）根据题意求出直线11522y x =+与两坐标轴的交点坐标，再根据直线11522y x =+与直线y 2＝kx+b 关于原点O 对称，运用待定系数法解答即可；（2）把点A 的横坐标代入直线215-22y x =上，求出点A 的坐标；把B 点的纵坐标代入直线215-22y x =上，求出点B 的坐标，根据m y x =经过点A 、B ，且m y x =图象关于原点成中心对称，判断m y x=必经过A 、B 两点，根据交点坐标判断即可求自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）∵11522y x =+， ∴当x ＝0，解得52y =， ∴当y ＝0，解得x ＝﹣5 ∴11522y x =+与两坐标轴的交点为：24(,)24m n m --，（﹣5，0）， ∵11522y x =+与y 2＝kx+b 关于原点对称， ∴y 2＝kx+b 经过点：5(0,)2-，（5，0），∴得到方程组：5·0-2 50k bk b⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：5212bk⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）∵点A、B在直线215-22y x=上∴把x＝1代入上式解得y＝﹣2∴A（1，﹣2）∴把12y=-代入上式解得x＝4∴14,2B⎛⎫-⎪⎝⎭，∵myx=经过点A、B，且myx=图象关于原点成中心对称，∴myx=必经过点（﹣1，2）、1(4)2-，,且（﹣1，2）、1(4)2-，两点即为myx=与11522y x=+两个交点，∴结合图象，当y＜y1时，x的取值范围的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或x＞0．【点睛】本题考查了双曲线与直线的交点问题，考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、考查了数形结合以及分类讨论的思想，是一道好题．21．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连接OC，O1D，根据已知条件和圆心角与圆周角的关系可以得到弧BC，弧OD所对的弧的度数相同，根据弧长公式计算就可以证明结论；（2）利用切线的性质和直径所对的圆周角是90°可以证明∠DAO1＝∠CBD，然后证明△ACB∽△BCD，再根据相似三角形对应边成比例得到BC2＝AC•CD，而OD⊥AC，据垂径定理知道D是AC的中点，这样就可以证明题目结论．【详解】解：（1）连接OC，O1D．∵∠COB＝2∠CAB，∠DO1O＝2∠DAO，∴∠COB＝∠DO1O设∠COB的度数为n，则∠DO1O的度数也为n，设⊙O1的半径为r，⊙O的半径为R，由题意得，R＝2r，∴m1＝2180180n R n rππ=＝2m2．（2）连接OD，∵BD是⊙O1的切线，∴BD⊥O1D．∴∠BDO1＝90°．而∴∠CBD+∠BDC＝90°，∠ADO1＝∠CBD，又∵∠DAO1＝∠ADO1，∴∠DAO1＝∠CBD，∴△ACB∽△BCD,∴AC BC BC CD=,∵AO是⊙O1的直径，∴∠ADO＝90°．∴OD⊥AC．∴D是AC的中点，即AC＝2CD＝2AD．∴BC2＝AC•CD＝2AD2，∴BC．【点睛】此题主要利用了垂径定理，切线的性质定理，圆的弧长公式，利用它们构造相似三角形相似的条件，然后利用相似三角形的性质解决问题．22．（1）详见解析；（2）26.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB ＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝6，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．23．建筑物CD的高度为【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，依题可得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，根据矩形性质得DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义求得AB长；在Rt△ADE中，根据正切函数的定义求得AE长；由CD=BE=AB−AE即可求得答案.【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE是矩形,由题意得,∠ACB=β=60∘,∠ADE=α=30∘，BC=18m，∴DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中,AB=BC⋅tan∠ACB=18×tan60∘=(m)在Rt△ADE中,AE=DE⋅tan∠ADE=18×tan30∘= (m)∴CD=BE=AB−AE= =答：建筑物CD的高度为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．24．(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析【解析】【分析】（1）做出AB的垂直平分线，落在垂直平分线上的格点即可；（2）利用相似三角形性质找到M点即可（3）利用相似三角形相似比找出P点即可【详解】(1) 如图所示:(2)如图:。

2019年部分省市中考数学试题分类汇编共28专题17四边形平行四边形,矩形,菱形,正方形38页

图6F EDCBA21（2010哈尔滨）１。

如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为度．125（2010珠海）如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_____cm. 4（2010红河自治州）下列命题错误的是（ B ）a) 四边形内角和等于外角和 b) 相似多边形的面积比等于相似比c) 点P （1,2）关于原点对称的点的坐标为（-1，-2） d)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半（2010红河自治州）18. (本小题满分9分)如图6，在正方形ABCD 中，G 是BC上的任意一点，（G 与B 、C 两点不重合），E 、F 是AG 上的两点（E 、F 与A 、G 两点不重合），若AF=BF+EF ，∠1=∠2，请判断线段DE 与BF 有怎样的位置关系，并证明你的结论.解：根据题目条件可判断DE//BF.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∠BAF+∠2=90°.∵AF=AE+EF ，又AF=BF+EF∴AE=BF∵∠1=∠2，∴△ABF ≌△DAE （SAS ）. ∴∠AFB=∠DEA ，∠BAF=∠ADE. ∴∠ADE+∠2=90°， ∴∠AED=∠BFA=90°. ∴DE//BF.（2010年镇江市）10．如图，在平行四边形ABCD 中，CD=10，F 是AB 边上一点，DF 交AC 于点E ，且的面积的面积则CDE AEF EC AE ∆∆=,52= 254，BF= 6 . （2010年镇江市）27．探索发现（本小题满分9分）如图，在直角坐标系OCD Rt OAB Rt xOy ∆∆和中,的直角顶点A ，C 始终在x轴的正半轴上，B ，D 在第一象限内，点B 在直线OD 上方，OC=CD ，OD=2，M 为OD 的中点，AB 与OD 相交于E ，当点B 位置变化时，.21的面积恒为OAB Rt ∆ 试解决下列问题：（1）填空：点D 坐标为；（2）设点B 横坐标为t ，请把BD 长表示成关于t 的函数关系式，并化简；（3）等式BO=BD 能否成立？为什么？（4）设CM 与AB 相交于F ，当△BDE 为直角三角形时，判断四边形BDCF 的形状，并证明你的结论.（1）)2,2(；（1分）（2）),1,(,21tt B OAB Rt 得的面积为由∆4)1(221)21()2(22222++-+=-+==∴t t tt t t BD ① （2分）.)21(2)1(22)1(22-+=++-+=tt t t t t （3分）.21|21|-+=-+=∴tt t t BD ② （4分）（注：不去绝对值符号不扣分）（3）[法一]若OB=BD ，则.22BD OB =由①得,4)1(2212222++-1+=+t t tt t t （5分） [法二]若OB=BD ，则B 点在OD 的中垂线CM 上.∴直线CM 的函数关系式为2+-=x y ， ③ （5分）联立③，④得：0122=+-x x ，[法三]若OB=BD ，则B 点在OD 的中垂线CM 上，如图27 – 1 过点B 作,,H y CM G y BG 轴于交轴于⊥（4）如果ο45,=∠∆BED BDE 因为为直角三角形，①当三点重合此时时M E F EBD ,,,90ο=∠，如图27 – 2 ∴此时四边形BDCF 为直角梯形.（7分） ②当,90时ο=∠EBD 如图27 – 3∴此时四边形BDCF 为平行四边形.（8分）下证平行四边形BDCF 为菱形： [法一]在222,BD OD OB BDO +=∆中， [方法①]OD BD t t 在Θ,01222=+-上方121,12;21,12-=+=+=-=tt t t 或解得（舍去）.得),12,12(+-B[方法②]由②得：.222221=-=-+=tt BD 此时,2==CD BD∴此时四边形BDCF 为菱形（9分） [法二]在等腰EDB Rt OAE Rt ∆∆与等腰中(2010台州市)9．如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）(▲) A ．a B ．a 54C ．a 22 D ． a 23答案：C(2010遵义市)（10分）如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝ο90，AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ． (1)求证:CF ＝CH ；(2)如图(2)，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE=ο45时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．解:(1)(5分) 证明:在△ACB 和△ECD 中∵∠ACB=∠ECD=ο90∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,∴∠1=∠2又∵AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=ο45∴△ACB ≌△ECD,∴CF=CH(2)(5分) 答: 四边形ACDM 是菱形证明: ∵∠ACB=∠ECD=ο90, ∠BCE=ο45 ∴∠1=ο45, ∠2=ο45 又∵∠E=∠B=ο45, ∴∠1=∠E, ∠2=∠B∴AC ∥MD, CD ∥AM , ∴ACDM 是平行四边形又∵AC=CD, ∴ACDM 是菱形（玉溪市2010）19.如图9，在ABCD 中，E 是AD 的中点，请aMCDB （第9添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由. 解：添加的条件是连结B 、E,过D 作DF ∥BE 交BC 于点F,构造的全等三角形是△ABE 与△CDF. …………4分理由： ∵平行四边形ABCD ，AE=ED, …………5分∴在△ABE 与△CDF 中，AB=CD, (6)分∠EAB=∠FCD, (7)分AE=CF ， (8)分∴△ABE ≌△CDF. (9)分（桂林2010）16．正五边形的内角和等于______度．540（桂林2010）21．（本题满分8分）求证：矩形的对角线相等．21.(本题8 分)已知：四边形ABCD 是矩形, AC 与BD 是对角线 ……………2分求证：AC =BD ………………………………………3分证明： ∵四边形ABCD 是矩形∴AB=DC ,∠ABC =∠DCB =90°…………4分 ABCD又∵BC=CB …………………………5分 ∴△ABC ≌△DCB …………6分 ∴AC=BD ……………………7分所以矩形的对角线相等. …………8分（2010年兰州）11. 如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A=53，则下列结论正确的个数有①cm DE 3= ②cm BE 1= ③菱形的面积为215cm ④cm BD 102= A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个答案C（2010年兰州）27.（本题满分10分）已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=10，BD=8．（1）若AC ⊥BD ，试求四边形ABCD 的面积；（2）若AC 与BD 的夹角∠AOD=ο60，求四边形ABCD 的面积；（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD ”改为“四边形ABCD ”，且∠AOD=θAC=a ，BD=b ，试求四边形ABCD 的面积（用含θ，a ，b 的代数式表示）．第 27题图答案（本题满分10分）解：（1）∵AC ⊥BD∴四边形ABCD 的面积………………………………………2分（2）过点A 分别作AE ⊥BD ，垂足为E …………………………………3分∵四边形ABCD 为平行四边形在Rt ⊿AOE 中，AO AE AOE =∠sin∴ 23523560sin sin =⨯=⨯=∠•=o AO AOE AO AE …………4分∴3552342121=⨯⨯⨯=•=∆AE OD S AOD ………………………………5分∴四边形ABCD 的面积 3204==∆AOD S S ……………………………………6分(3）如图所示过点A,C 分别作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E,F …………7分在Rt ⊿AOE 中，AO AEAOE =∠sin同理可得θsin sin ⨯=∠•=CO COF CO CF ………………………………8分∴四边形ABCD 的面积（2010年连云港）7．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是（）A ．BA ＝BCB ．AC 、BD 互相平分 C ．AC ＝BD D ．AB ∥CD 答案 B（2010年连云港）18．矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的B ’处，折痕为AE ．在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为________．答案 52（2010年连云港）27．（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S梯形ABCD＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．答案(1) 中线所在的直线 ..........................................................................................................2分(2)法一：连接BE ，因为AB ∥CE,AB=CE ，所以四边形ABEC 为平行四边形所以BE∥AC ............................................................θθθsin 21sin 21)(sin 212121ab AC BD CO AO BD CFBD AE BD S S S CBDABD=•=+=•+•=+=∆∆………………………………..........................................................3分所以△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等所以有ABC AEC S S =V V 所以ACD ABC ACD AEC AED ABCD S S S S S S =+=+=V V V V V 梯形 ...................................................5分法二：设 AE 与BC 相交于点F因为AB ∥CE ，所以,ABF ECF BAF CEF ∠=∠∠=∠ 又因为 AB=CE 所以 ABF ECF ≅V V所以ABF CBF AED ABCD AFCD AFCD S S S S S S =+=+=V V V 梯形四边形四边形过点A 的梯形ABCD 的面积等分线的画法如右图（1）所示(3)能.连接AC,过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E,连接AE.因为BE ∥AC,所以△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等所以有ABC AEC S S =V V所以ACD ABC ACD AEC AED ABCD S S S S S S =+=+=V V V V V 梯形因为ACD ABC S S V V ＞所以面积等分线必与CD 相交,取DE 中点F则直线AF 即为要求作的四边形ABCD 的面积等分线作图如右图(2)所示（2010宁波市）21．如图1，有一张菱形纸片ABCD ，AC ＝8，BD ＝6．（1）请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD 剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形；并直接写出这两个平行四边形的周长．（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形．（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）24. （2010年金华） (本题12分)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P 在AO，OB，BA上运动的速度分别为12 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P 同时停止运动．请解答下列问题：（1）过A，B两点的直线解析式是▲；（2）当t﹦4时，点P的坐标为▲；当t ﹦▲，点P与点E 重合；（3）①作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？②当t﹦2?若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）333+-=xy；………4分（2分（各2分）(第24（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1） ∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90°又∵t FG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-=由tt 323=-得59=t当点P 在线段OB 当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M∴6921tEF EH MP -===，又∵)6(2-=t BP 在Rt△BMP 中，MP BP =⋅060cos 即6921)6(2tt -=⋅-，解得745=t ．…………………………………………………1分②存在﹒理由如下：将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转△EC B '（如图3）(图1)（图2)∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上，C 点坐标为（332，332－1）过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,则△FEQ ∽△EC B '由3=='=QECEFE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－32，33）………………………1分根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－32，3）也符合条件．……1分22．（2010年长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ．（1）求证：△BEC ≌△DEC ；于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．答案：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45°又EC ＝EC …………………………2分 ∴△ABE ≌△ADE ……………………3分（2）∵△ABE ≌△ADE∴∠BEC ＝∠DEC ＝12∠BED …………4分∵∠BED ＝120°∴∠BEC ＝60°＝∠AEF ……………5分 ∴∠EFD ＝60°+45°＝105° …………………………6分第22题（2010年湖南郴州市）22．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变ADC ∠的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A 、CADC 从60︒变为120︒答案22.解: 连结AC ，与BD 相交于点OQ 四边形ABCD 是菱形 \AC ^BD ,ÐADB =ÐCDB ,AC =2AO ……1分当ÐADC =60°时，V ADC 是等边三角形\AC =AD =AB =40 …………………3分当ÐADC =120°时，ÐADO =60°\AO =AD ×sin ÐADO =40×\AC =40 …………………………5分因此增加的高度为-40=40´0.732»29（cm ） ……………6分 (说明：当ÐADC =120°时，求AC 的长可在直角三角形用勾股定理)（2010年湖南郴州市）23．已知：如图，把ABC V 绕边BC 的中点O 旋转180°得到DCB V . 求证：四边形ABDC 是平行四边形.答案23.证明：因为 DCB V 是由ABC V 旋转180︒2分所以点A 、D ，B 、C 关于点O 中心对称4分所以OB =OC OA =OD ………………………………6分所以四边形ABCD 是平行四边形 ………………………………8分（注：还可以利用旋转变换得到AB =CD ，AC =BD 相等；或证明ABC DCB ≅V V 证第22C B第23ABCD 是平行四边形）(2010湖北省荆门市)19．(本题满分9分)将三角形纸片ABC (AB ＞AC )沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形纸片，使得点A 与点D 重合，折痕为EF ，再次展平后连接DE 、DF ，如图2，证明：四边形AEDF 是菱形．答案19．证明：由第一次折叠可知：AD 为∠CAB 的平分线，∴∠1＝∠2……………………2分由第二次折叠可知：∠CAB ＝∠EDF ，从而，∠3＝∠4………………………………4分∵AD 是△AED 和△AFD 的公共边，∴△AED ≌△AFD (ASA)………………………6分 ∴AE ＝AF ，DE ＝DF又由第二次折叠可知：AE ＝ED ，AF ＝DF ∴AE＝ED ＝DF ＝AF …………………………………………………………………………8分图1 图4321EAFDCCDBA(1) (2)ABDCCDF AE故四边形AEDF 是菱形．……………………………………………………………………9分8．（2010湖北省咸宁市）如图，菱形ABCD 由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段AC 的长为 A ．3 B ．6 C ．33 D ．63 答案：D13. （2010年郴州市）如图，已知平行四边形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，连结DE 交BC 于点F ，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使CDF BEF △≌△，这个条件是．（只要填一个）答案：DC EB =或CF BF =或DF EF = 或F 为DE 的中点或F 为BC 的中点或AB BE 或B 为AE 的中点７．（2010年怀化市）如图２，在菱形ABCD 中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD 的周长为（）A ．20B ．18C ．16D ．15 答案：C18．（2010年怀化市）如图5，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB=1cm ，AD=6cm ，CD=9cm ，则BC= cm ．答案：1022．（2010湖北省咸宁市）问题背景A 2S A B EFDC第13题（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S = ， △EFC 的面积1S = ， △ADE 的面积2S = ．探究发现（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =．拓展迁移（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积． 22．（1）6S =，19S =，21S =．……3分（2）证明：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 为平行四边形，AED C ∠=∠，A CEF ∠=∠． ∴△ADE ∽△EFC ．……4分∵112S bh =， ∴222122a a h S S b b =⨯=．……5分而S ah =， ∴2124S S S =……6分（3）解：过点G 作GH ∥AB 交BC 于H ，则四边形DBHG 为平行四边形． ∴GHC B ∠=∠，BD HG =，DG BH =．∵四边形DEFG 为平行四边形，∴BE HF =． ∴△DBE ≌△GHF ．∴△GHC 的面积为538+=．……8分由（2）得，□DBHG 的面积为8．……9分 ∴△ABC 的面积为28818++=．22．（2010是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠变），从而改变千斤顶的高度（即A 、C 之间的距离）.若变为120︒ 1.414, 1.732，结果保留整数）22.解: 连结AC ，与BD 相交于点OQ 四边形ABCD 是菱形 \AC ^BD ,ÐADB =ÐCDB ,AC =2AO 当ÐADC =60°时，V ADC 是等边三角形B CD GF E 图AB CD G FE 图AH 第22\AC =AD =AB =40当ÐADC =120°时，ÐADO =60°\AO =AD ×sin ÐADO =40×32=203\AC =403因此增加的高度为403-40=40´0.732»29（cm ）23．（2010年郴州市）已知：如图，把ABC V 绕边BC 的中点O 旋转180°得到DCB V. 求证：四边形ABDC 是平行四边形.23.证明：因为 DCB V 是由ABC V 旋转180︒所得所以点A 、D ，B 、C 关于点O 中心对称所以OB =OC OA =OD所以四边形ABCD 是平行四边形（注：还可以利用旋转变换得到AB =CD ，AC =BD 相等；或证明ABC DCB ≅V V 证ABCD 是平行四边形）23. （2010年怀化市）如图7，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O,分别与AB,CD 的延长线交于点E,F.求证：四边形AECF 是平行四边形. 23. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD=OB,OA=OC …………………1分CD AB //………………………………………………2分∴∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO (3)分OCBDA 第23O 手柄CDBA图7∴△FDO ≌△EBO ……………………………………………………………4分 ∴OF=OE …………………………………………………………………5分∴四边形AECF 是平行四边形北京4. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 (A) 20 (B) 16(C) 12 (D) 10。

专题24 矩形、菱形、正方形-2019年中考数学考点总动员系列(解析版)

2019年中考数学备考之黄金考点聚焦考点二十四：矩形、菱形、正方形聚焦考点☆温习理解一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形 1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形） 4、正方形的面积设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a名师点睛☆典例分类※考向一：特殊四边形的有关计算典例1：（2018滨州）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若AE ，∠EAF ＝45°，则AF 的长为___________．【分析】取AD 、BC 中点M 、N ，由AD ＝4，AB ＝2，证得四边形ABNM 是正方形，连接MN ，EH，由∠HAE ＝45°，四边形ABNM 是正方形，可知此处有典型的正方形内“半角模型” 【解答】解：取AD 、BC 中点M 、N ，由AD ＝4，AB ＝2，证得四边形ABNM 是正方形，连接MN ，EH ，由∠HAE ＝45°，四边形ABNM 是正方形，故有EH ＝MH ＋BE ．由AB ＝2，AE ＝5，易知BE ＝1，所以EN ＝BN －BE ＝2－1＝1，设MH ＝x ，由M 是AD 中点，△AMH ∽△ADF 可知，DF ＝2MH ＝2x ，HN ＝2－x ，EH ＝MH ＋BE ＝x ＋1，在Rt △EHN 中有222EN HN EH +=，故22212)(1)x x +-=+（，解得x ＝23，故DF ＝43，故AF ※考向二：特殊四边形有关推理典例2：（2018·成都，24，4分）如图，在菱形ABCD 中，tanA=34，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF ⊥AD 时，BNCN 的值为 .【分析】延长NF 与DC 交与点H,由折叠性质和已知条件可证ABCD 是菱形,再导角证得∠DHF=90°,可解Rt △DHF 求出DH=DF·sin ∠DFH=524k.,得CH=9k －524k=521k.;在Rt △CHN 中，tanC= tanA=34，则cosC=53.得NC=C HC cos =7k.,则有BN=9k －7k=2k.,故得2727==k k CNBN . 【解答】证明:延长NF 与DC 交与点H 由折叠的性质，得∠E=∠A ，∠EFN=∠B ，AM=EM ，EF=AB.∵EFAB CDE FF⊥AD ，∴∠MDE=90°.在Rt △MDE 中，tanE=tanA=34，设DM=4k ，DE=3k ，则EM=5k.∴AM=EM=5k ，AD=9k.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=CD=BC=AD=9k ，∠C=∠A ，AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠A+∠ADC=180°，∠A+∠B=180°.∵∠ADF=90°，∴∠A+∠FDH=90°.∵∠DFH+∠DFN=180°，∠A+∠B=180°，∠EFN=∠B ，∴∠A=∠DFH.∴∠DFH+∠FDH=90°.∴∠DHF=90°.∵EF=9k ，DE=3k ，∴DF=6k.在Rt △DHF 中，tan ∠DFH=tanA=34，则sin ∠DFH=54.∴DH=DF·sin ∠DFH=524k .∴CH=9k －524k=521k.在Rt △CHN 中，tanC= tanA=34，则cosC=53.∴NC=C HCcos =7k.∴BN=9k －7k=2k. ∴2727==k k CN BN .※考向三：特殊四边形中的定长对定角模型典例3：（2017•宜昌）正方形ABCD 的边长为1，点O 是BC 边上的一个动点（与,B C 不重合)，以O 为顶点在BC 所在直线的上方作90MON ∠=︒.(1)当OM 经过点A 时，①请直接填空：ON （可能，不可能）过D 点；（图1仅供分析）②如图2,在ON 上截取OE OA =，过E 点作EF 垂直于直线BC ,垂足为点F ，册EH CD ⊥于H ，求证：四边形EFCH 为正方形.（2）当OM 不过点A 时，设OM 交边AB 于G ,且1OG =.在ON 上存在点P ,过P 点作PK 垂直于直线BC ,垂足为点K ，使得4PKO OBG S S ∆∆=，连接GP ，求四边形PKBG 的最大面积.【分析】以双正方形为背景的定长对定角动态问题，突出数形结合及画图分析能力的考查【解答】解：（1）①不可能 ②∵AOBEOF MON ∠-︒=∠∴︒=∠90,90在正方形ABCD 中，AOB BAO ∠-︒=∠90,∴BAO EOF ∠=∠,又EH ⊥BC ，∴︒=∠=∠90EFC EHC ,而︒=∠90HCF ,EFCH 为矩形，在⊿OFE 和⊿ABO 中，B A O E O F ∠=∠,B EFO ∠=∠,OE=AO, ∴⊿OFE ≌⊿ABO, ∴EF=OB,OF=AB,有OF=OC+CF=AB=BC=BO+OC=EF+OC, ∴CF=EF, ∴由①②得EFCH 为正方形(2)、由∠POK=∠OGB, ∠PKO=∠OBG 可得⊿PKO ～⊿OBG ,因为4PKO OBG S S ∆∆=，所以4)(2==∆∆OGOP S S OBGPKO ,∴OP=2,则⊿POG 的面积为定值1，因为OG=1为定值，则直角三角形OBG 内接于⊙O ，设OB=a.BG=b,过B 作BT 垂直OG ，垂足为T ，则ab=BT ×OG ,，当BT 为半径是地，ab 最大，即为21，这时，⊿OBG 最大面积为41 （因为本题中有122=+b a ，则也可由完全平方公式转化为a,b 的均值不等式即21)(21,,02)(22222=+≤∴≥+-=-b a ab b ab a b a 或表示出⊿OBG 的面积的函数关系式为 4141)21(21211212122242≤+--=+-=-==a a a a a ab S 求出其最大面积为41）M※考向四：特殊四边形中的全等与相似模型典例4：（2016•扬州）已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ．设CE=a ，CF=b ．（1）如图1，当∠EAF 被对角线AC 平分时，求a 、b 的值；（2）当△AEF 是直角三角形时，求a 、b 的值；（3）如图3，探索∠EAF 绕点A 旋转的过程中a 、b 满足的关系式，并说明理由．【分析】本题有角含半角及利用一线三等角相似模型﹒（1）当∠EAF 被对角线AC 平分时，易证△ACF ≌△ACE ，因此CF=CE ，即a=b ．（2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF 2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE （CE+4）②，两式联立解方程组即可；（3）先判断出∠AFC+∠CAF=45°，再判断出∠AFC+∠AEC=45°，从而求出∠AEC ，而∠ACF=∠ACE=135°，得到△ACF ∽△ECA ，即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACF=∠DCD=90°，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠ACE ，∵∠EAF 被对角线AC 平分，∴∠CAF=∠CAE ，在△ACF 和△ACE 中，，∴△ACF ≌△ACE ，∴CE=CE ，∵CE=a ，CF=b ，∴a=b ，∵△ACF ≌△ACE ，∴∠AEF=∠AFE ，∵∠EAF=45°，∴∠AEF=∠AFE=67.5°，∵CE=CF ，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，∵∠CAF=∠CAE=22.5°，∴∠CAE=∠CEA ，∴CE=AC=24，即：a=b=24；（2）当△AEF 是直角三角形时，①当∠AEF=90°时，∵∠EAF=45°，∴∠AFE=45°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴)(222222CF CE EF AF +==，)(2222BE AD AF +=，∴=+)(222CF CE )(222BE AD +，∴222)4(16CE CF CE ++=+，∴)4(82-=CE CF ① ∵∠AEB+∠BEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BEF=∠BAE，∴△ABE ∽△ECF，∴CFCE CE CF BE CE AB 44,+=∴=，∴4CF=CE （CE+4）②，联立①②，CE=4，CF=8 ∴a=4，b=8，②当∠AFE=90°时，同①的方法得，CF=4，CE=8，∴a=8，b=4．（3）ab=32，理由：如图，∵∠BAG+∠AGB=90°，∠AFC+∠CGF=90°，∠AGB=∠CGF ，∴∠BAG=∠AFC ， ∵∠BAC=45°，∴∠BAG+∠CAF=45°，∴∠AFC+∠CAF=45°，∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF ）-∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠CAF=∠AEC ，∵∠ACF=∠ACE=135°，∴△ACF ∽△ECA ，∴ACCFEC AC =， ∴32222===⨯AB AC CF EC ， ∴ab=32． ※考向五：双正方形及演变典例6：已知正方形ABCD ，P 为射线AB 上的一点，以BP 为边作正方形BPEF ，使点F 在线段CB 的延长线上，连接EA 、EC ．（1）如图1，若点P 在线段AB 的延长线上，求证：EA=EC ；（2）若点P 在线段AB 上．①如图2，连接AC ，当P 为AB 的中点时，判断△ACE 的形状，并说明理由； ②如图3，设AB=a ，BP=b ，当EP 平分∠AEC 时，求a ：b 及∠AEC 的度数．【分析】(1)易证△APE ≌△CFE ，得EA=EC ；（2）①由P 为AB 的中点，得PA=PB ，又PB=PE ，从面得PA=PE ，导出∠PAE=45°，又∠DAC=45°，则可证△ACE 是直角三角形；②由EP 平分∠AEC ，EP ⊥AG ，则AP=PG=a-b ，BG=a-（2a-2b ）=2b-a ，由PE ∥CF 导比GBPGBC PE =，即 a b b a a b --=2，解得，b a 2=,作GH ⊥AC 于H ，求得b b b AG HG )22()222(2222-=-==,由 PE ∥CF ，得∠PEG=∠BCG ，故∠AEC=∠ACB=45°．从而得1:2:=b a ；所以∠AEC=45°．【解答】解:（1）∵四边形ABCD 和四边形BPEF 是正方形，∴AB=BC ，BP=BF ，∴AP=CF ，在△APE 和△CFE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF PE F P CFAP ，∴△APE ≌△CFE ，∴EA=EC ；（2）①∵P 为AB 的中点，∴PA=PB ，又PB=PE ，∴PA=PE ，∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，∴∠CAE=90°，即△ACE 是直角三角形；②∵EP 平分∠AEC ，EP ⊥AG ，∴AP=PG=a-b ，BG=a-（2a-2b ）=2b-a ，∵PE ∥CF ，∴GBPGBC PE =，即ab b a a b --=2，解得，b a 2=,作GH ⊥AC 于H ，∵∠CAB=45°，∴ b b b AG HG )22()222(2222-=-==,∴GH=GB ，GH ⊥AC ，GB ⊥BC ，∴∠HCG=∠BCG ，∵PE ∥CF ，∴∠PEG=∠BCG ，∴∠AEC=∠ACB=45°．∴1:2:=b a ；∴∠AEC=45°．※考向六：特殊四边形与函数问题典例6：（2018·恩施）如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为(1,0)-，2OC =，3OB =，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点1M 、2M 、3M 使得1M BC ∆、2M BC ∆、3M BC ∆的面积均为定值S ，求出定值S 及1M 、2M 、3M 这三个点的坐标．【分析】1）用待定系数法，找出抛物线上的三点坐标即可求解；（2）分类讨论，以坐标平移规律定出P 点坐标；（3）对任意的面积S ，抛物线位于直线BC 下方的部分一定存在两个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S ．则抛物线位于直线BC 上方的部分有且仅有一个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S ．平移直线BC 与抛物线交于一点，联立求点1M 的坐标．利用平移规律求另两个点的坐标．【解答】解:（1）∵ OC ＝2，OB ＝3，∴ C 为(0，2)，B 为(3，0)设抛物线的解析式为22y ax bx =++，将A(－1，0)，B(3，0)代入得 209320a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，抛物线的解析式为224233y x x =-++（2）∵ D 为224233y x x =-++的顶点，∴ D 为(1，38)∵ C 为(0，2)，B 为(3，0)① 当四边形DCBP 1为平行四边形时，BP 1可由CD 平移得到，由点C 到点D 横坐标加1个单位，纵坐标加23个单位，P 为24,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；② 当四边形DP 2CB 为平行四边形时，CP 2可由BD 平移得到，由点B 到点D 横坐标减2个单位，纵坐标加83个单位，P 为142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； ③ 当四边形CP 3BD 为平行四边形时，BP 3可由DC 平移得到，由点B 到点D 横坐标减1个单位，纵坐标减23个单位，P 为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，当P 为142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或24,3⎛⎫ ⎪⎝⎭时，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形． ∵ 对任意的面积S ，抛物线位于直线BC 下方的部分一定存在两个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S∴ 抛物线位于直线BC 上方的部分有且仅有一个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S ∴ 作直线BC 的平行线L 使得它与抛物线有且仅一个交点，设1l ：223y x m=-++∴ 224222333x x x m-++=-++令，0∆=解得，32m =，∴直线l 1是由直线BC 向上平移32个单位得到，M 1为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵ C 为()0,2，B 为()3,0，M 1为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，94MBC S ∆=．则由直线BC 向下平移32个单位得到直线2l ：2132y x =-+，联立得2242123332x x x -++=-+解得，1x =，2x =，代入到直线2l 的解析式中得到212M -⎝，312M -⎝．综上，94S =，1M 35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，212M -⎝，312M -⎝．课时作业☆能力提升一、单选题1．（2017•聊城）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，还需要添加的条件是（）A ．AB=ACB ．AD=BDC ．BE ⊥ACD ．BE 平分∠ABC【分析】当BE 平分∠ABE 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【解答】解：当BE 平分∠ABE 时，四边形DBFE 是菱形，理由：∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠EBC ，∵∠EBC=∠EBD ，∴∠EBD=∠DEB ，∴BD=DE ，∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBEF 是平行四边形，∵BD=DE ，∴四边形DBEF 是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF 是菱形，故答案：D ．2．（2018宿迁）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD ＝60°，则△OCE 的面积是( ) A ．3 B ．2 C ．32 D ．4OEDBCA【分析】由菱形的性质及勾股定理可求CO,从而得S △COD ＝32,根据OE 是中线得S △OCE ＝21S △COD ＝3，【答案】解：∵ABCD 的周长为16,∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝4，，∵∠BAD ＝60°,∴BD ＝4，即BO ＝DO ＝2，根据勾股定理得CO ＝32，∴S △COD ＝32，∵OE 是中线得∴S △OCE ＝21S △COD ＝3，故选A ．故答案：A ．3．（2018·上海）己知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A ．∠A=∠B B ．∠A=∠C C ．AC=BD D ．AB ⊥BC【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线是解题的关键．．【答案】解：∵∠A=∠B ，AD ∥BC ∴∠A=∠B=90°，故A 选项正确；∵∠A=∠C 是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B 选项不能判断；∵对角线相等平行四边形是矩形，故C 选项能判断，∵AB ⊥BC ，∴∠B=90°，故D 选项能判断. 故答案：B ．4．（2017•宜宾）如图，在矩形ABCD 中BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上F 处，则DE 的长是（）A ．3B ．524C ．5D ．1689 【分析】以翻折变换（折叠问题）为背景考查矩形的性质．由ABCD 为矩形，得到∠BAD 为直角，且三角形BEF 与三角形BAE 全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF ⊥BD ，AE ＝EF ，AB ＝BF ，利用勾股定理求出BD 的长，由BD －BF 求出DF 的长，在Rt △EDF 中，设EF ＝x ，表示出ED ，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出DE 的长．【解答】解：∵矩形ABCD ，∴∠BAD ＝90°，由折叠可得△BEF ≌△BAE ，∴EF ⊥BD ，AE ＝EF ，AB ＝BF ，在Rt △ABD 中，AB ＝CD ＝6，BC ＝AD ＝8，根据勾股定理得：BD ＝10，即FD ＝10－6＝4，设EF ＝AE ＝x ，则有ED ＝8－x ，∴222)8(4x x -=+，解得：x ＝3（负值舍去），则DE ＝8－3＝5，故答案：C5．（2017•安徽）如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足ABCD PAB S S 矩形31=∆，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（）A ．29B ．34C ．25D ．41【分析】首先由ABCD PAB S S 矩形31=∆，得出动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE 中，由勾股定理求得BE 的值，即PA+PB 的最小值．【解答】解：设△ABC 中AB 边上的高是h ． ∵ABCD PAB S S 矩形31=∆，∴21AB •h=31AB •AD ，∴h=32AD=2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=41452222=+=+AE AB ，即PA+PB 的最小值为41．故答案：D ．6．（2018·恩施）如图3所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点，已知 FG ＝２，则线段 AE 的长度为（） A ．6B ． 8C ．10D ．12【分析】考查正方形的性质，利用三角形全等和平行线分线段成比例可求【解答】解：∵正方形 ABCD ，G 为 CD 边中点，∴AB ：DG ＝2:1，∵AB ∥CD ，∴AB ：DG ＝AF ：FG ，∵FG ＝2，∴AF ＝4，又∵△ADG ≌△ECG ，∴AD ＝CE ，AD ：BE ＝1:2，∵AD ∥BE ，∴AF ：FE ＝AD ：BE ，∴EF ＝8，∴AE ＝12，故答案：D ．7．（2017•贵港）如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN ．下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④222MN CMAN =+；⑤若AB=2，则S △OMN 的最小值是21，其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB ≌△DMC ，△OCM ≌△OBN ，△CON ≌△DOM ，△OMN ∽△OAD ，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【解答】解：∵正方形ABCD 中，CD=BC ，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN ⊥DM ，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM ，又∵∠CBN=∠DCM=90°， ∴△CNB ≌△DMC （ASA ），故①正确；根据△CNB ≌△DMC ，可得CM=BN ，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB ，∴△OCM ≌△OBN （SAS ），∴OM=ON ，∠COM=∠BON ，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN ，即∠DOM=∠CON ，又∵DO=CO ，∴△CON ≌△DOM （SAS ），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON 是等腰直角三角形，又∵△AOD 是等腰直角三角形，∴△OMN ∽△OAD ，故③正确；∵AB=BC ，CM=BN ，∴BM=AN ，又∵Rt △BMN 中，222MN BN BM =+，∴222MN CM AN =+故④正确；∵△OCM ≌△OBN ，∴四边形BMON 的面积=△BOC 的面积=1，即四边形BMON 的面积是定值1，∴当△MNB 的面积最大时，△MNO 的面积最小，设BN=x=CM ，则BM=2﹣x ，∴△MNB 的面积=x x x x +-=-221)2(21，∴当x=1时，△MNB 的面积有最大值21，此时S △OMN 的最小值是1﹣21=21，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故答案：D ．二、填空题8．. (2018·湖州)如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，若tan ∠BAC ＝13，AC ＝6，则BD的长是_________.【分析】由菱形性质及解直角三角形可求．【答案】解：：∵四边形ABCD 是菱形，∴OB ＝OD ，OA ＝OC ＝3，AC ⊥BD ，∴OB ＝tan ∠BAC ×OA ＝1，∴BD ＝2OB ＝2. 故答案：2．9．（2018·成都）如图，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和C 为圆心，以大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交CD 于点E.若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC 的长为．【分析】连接AE ，由作图可知：MN 是AC 的垂直平分线，所以AE=CE=3. 因为四边形ABCD 是矩形，所以∠D=90°.利用勾股定理可求【解答】解：连接AE ，由作图可知：MN 是AC 的垂直平分线，所以AE=CE=3. 因为四边形ABCD 是矩形，所以∠D=90°.在Rt △ADE 中，AD=22DE AE -=2223-=5. 在Rt △ADC 中，AC=22DC AD +=225)5(+=30.故答案：3010．(2018·攀枝花)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，矩形内部有一动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点的距离之和PA ＋PB 的最小值是______．【分析】由已知条件S △PAB ＝13S 矩形ABCD 可得P 到AB 的距离是定值2,则点P 是直线EF(EF ∥AB ，且EF 与AB间的距离是2)上的动点．作点B 关于EF 的对称点B′，连结AB′交EF 于点P ，则此时PA ＋PB 的值最小，最小值＝AB′【解答】解：设点P 到AB 的距离是h ，则12AB ·h ＝13·AB ·AD ，即12×4·h ＝13×4×3，∴h ＝2，可见点P 是直线EF(EF ∥AB ，且EF 与AB 间的距离是2)上的动点．作点B 关于EF 的对称点B′，连结AB′交EF 于点P ，则此时PA ＋PB 的值最小，最小值＝AB′11．（2018·荆州）如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平；再一次折叠，使点D 落到MN 上的点F 处，折痕AP 交MN 于E ；延长PF 交AB 于G.求证：（1）△AFG ≌△AFP ；（2）△APG 为等边三角形. 【分析】（1）由矩形的性质可知：AB ∥DC ，∠DAB ＝∠D ＝90°，再由两次折叠可知：MN ∥AB ∥DC ，AM ＝DM ，∠AFP ＝∠D ＝90°，∠1＝∠2，由平行线分线段成比例得点F 是PG 的中点即PF ＝GF ，根据SAS 定理得△AFG ≌△AFP ；（2）由△AFG ≌△AFP 得∠2＝∠3，AP ＝AG ，由∠DAB ＝90°，∠1＝∠2PCB A DEPM 1 2 3 BCDA E F NG＝∠3得∠PAG ＝60°，∴△APG 为等边三角形.【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∠DAB ＝∠D ＝90°，由两次折叠可知：MN ∥AB ∥DC ，AM ＝DM ，∠AFP ＝∠D ＝90°，∠1＝∠2，∵∠AFP ＝90°，∴∠AFP ＝∠AFG ，∵MN ∥AB ∥DC ，AM ＝DM ，∴点F 是PG 的中点即PF ＝GF ，在△AFG 和△AFP 中，PF ＝GF ，∠AFP ＝∠AFG ，AF 是公共边，∴△AFG ≌△AFP ；（2）∵△AFG ≌△AFP ，∴∠2＝∠3，AP ＝AG ，∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠DAB ＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠PAG ＝∠2＋∠3＝60°，∵AP ＝AG ，∴△APG 为等边三角形.12．（2018·扬州）如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DA ，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．（1）求证：四边形AEBD 是菱形；（2）若DC tan ∠DCB ＝3，求菱形AEBD 的面积．AEBD 为平行四边形，再证邻边相等或对角线AEBD 的对角线AB ED ＝【解答】解：（1∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD,∴∠ADE ＝∠BED∵点F 是AB 的中点,∴AF ＝BF,∴△ADF ≌△BEF,∴AD ＝BE,又∵AD ∥BC,∴四边形AEBD 是平行四边形,∵DA ＝DB,∴平行四边形AEBD 是菱形；（2）∵平行四边形AEBD 是菱形,∴AB ⊥ED,∵AB ∥CD,∴ED ⊥CD,在Rt △CDE 中，tan ∠DCB ＝3，DC ＝∴DE ＝∵AB ＝CD ∴菱形AEBD 的面积＝12×AB ×ED ＝121513在Rt △ABC 纸片中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝1．点D 是边AB 上一点（点D 不与A ，B 重合），将纸片沿CD 折叠，得到A 的对称点A 1，连接A 1B ．（1）如图1，当点A 1在BC 的上方，且满足A 1B ⊥BC 时，求A 1B 的长；（2）如图2，当点D 为AB 的中点时，试判断四边形A 1BCD 的形状，并说明理由；（3）当∠BDA 1＝30° 时，求BD 的长（直接写出结果）. 【分析】考查翻折变换,勾股定理及菱形判定与性质,第三问要分两种情形E AA 1D A【解答】解：（1）由折叠知，A 1C ＝AC. ∵A 1B ⊥BC ，∴∠A 1BC ＝90°,在Rt △A 1BC 中，A 1C ＝AC ＝3，BC ＝1，根据勾股定理，A 1B ＝A 1C 2－BC 2＝(3)2－12＝ 2.(2) 在Rt △ABC 中，∵AC ＝3，BC ＝1，∴∠A ＝30°.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝DA ＝1. ∴∠1＝∠A ＝30°.由折叠知，∠1＝∠2＝∠A ＝∠4＝30°，DA 1＝DA ＝1.∴∠3＝90°－30°－30°＝30°＝∠4.∴DA 1∥BC. ∵BC ＝12AB ＝DA ＝DA 1，∴四边形A 1BCD 是平行四边形.∵CD ＝DA ，DA ＝DA 1，∴CD ＝DA 1.∴四边形A 1BCD 是菱形.（3）当∠BDA 1＝30°时，分两种情况： ①点A 1在直线BC 上时，BD ＝3－1. ②点A 1在直线BC 下方时，BD ＝2－ 3.14．（2017•阜新）在菱形ABCD 中，点E 为对角线BD 上一点，点F ，G 在直线BC 上，且BE ＝EG ，∠AEF ＝∠BEG ．（1）如图1，求证：△ABE ≌△FGE ；（2）如图2，当∠ABC ＝120°时，求证：AB ＝BE ＋BF ；（3）如图3，当∠ABC ＝90°，点F 在线段BC 上时，线段AB ，BE ，BF 的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)【分析】（1）先判断出∠AEB ＝∠FEG ，即可得出结论；（2）先判断出BE ＝BG ，再借助（1）△ABE ≌△FGE ，即可得出结论；（3）先判断出∠AEB ＝∠FEG ，进而判断出△ABE ≌△FGE(ASA)，再得出BG ＝2BE ，即可得出结论．【解答】解：（1）∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠ABD ＝∠CBD ， ∵BE ＝EG ，∴∠CBD ＝∠BGE ，∵∠AEF ＝∠BEG ，∴∠AEB ＝∠FEG ，在△ABE 和△FGE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FGE ABE EG BE FEGAEB ，∴△ABE ≌△FGE(ASA)；A1D B 123 4（2）∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠CBD ＝21∠ABC ＝60°，∵BE ＝EG ，∴△BEG 是等边三角形，∴BE ＝BG ，由（1）知，△ABE ≌△FGE ，∴AB ＝FG ＝BF ＋BG ＝BF ＋BE ；（3）结论：AB ＋BF ＝2BE ．理由：∵∠ABC ＝90°，∴菱形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ， ∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，∵BE ＝EG ，∴∠G ＝∠CBE ＝45°＝∠ABD ，∵∠AEF ＝∠BEG ，∴∠AEB ＝∠FEG ，在△ABE 和△FGE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠G ABE GE BE FEGAEB ，∴△ABE ≌△FGE(ASA)，∴AB ＝FG ，∵AB ＝BC ＝BF ＋FC ，FG ＝CF ＋CG ，∴BF ＝CG ，∴BG ＝BC ＋CG ＝AB ＋BF ， ∵∠CBG ＝∠G ＝45°，∴∠BEG ＝90°，∴BG ＝2BE ，∴AB ＋BF ＝2BE ．15．.（2018十堰）已知正方形ABCD 与正方形 CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM ．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论; （3）将图1中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线上，若AB ＝13，CE ＝5，请画出图形，并直接写出MF 的长．【分析】（1）结论：DM ⊥EM ，DM ＝EM ．只要证明△AMH ≌△FME ，推出MH ＝ME ，AH ＝EF ＝EC ，推出DH ＝DE ，因为∠EDH ＝90°，可得DM ⊥EM ，DM ＝ME ；（2）结论不变，证明方法类似；（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）结论：DM ⊥EM ，DM ＝EM ．理由：如图1中，延长EM 交AD 于H ．∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，∴∠ADE ＝∠DEF ＝90°，AD ＝CD ， ∴AD ∥EF ， ∴∠MAH ＝∠MFE ，∵AM ＝MF ，∠AMH ＝∠FME ， ∴△AMH ≌△FME ，∴MH ＝ME ，AH ＝EF ＝EC ，∴DH ＝DE ， ∵∠EDH ＝90°， ∴DM ⊥EM ，DM ＝ME ．（2）如图2中，结论不变．DM ⊥EM ，DM ＝EM ．理由：如图2中，延长EM 交DA 的延长线于H ． ∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形， ∴∠ADE ＝∠DEF ＝90°，AD ＝CD ， ∴AD ∥EF ， ∴∠MAH ＝∠MFE ，∵AM ＝MF ，∠AMH ＝∠FME ， ∴△AMH ≌△FME ，∴MH ＝ME ，AH ＝EF ＝EC ，∴DH ＝DE ， ∵∠EDH ＝90°， ∴DM ⊥EM ，DM ＝ME ．（3）如图3中，作MR ⊥DE 于R ．在Rt △CDE 中，DE ＝(13)2－52＝12， ∵DM ＝ME ，DM ⊥ME ，又∵MR ⊥DE ，∴MR ＝12DE ＝6，DR ＝RE ＝6，在Rt △FMR 中，FM ＝(MR)2＋(FR)2＝62＋(11)2＝157 如图4中，作MR ⊥DE 于R ．在Rt △MRF 中，FM ＝12＋62＝37，故满足条件的MF 的值为37或157．16．（2018·江西）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD 的位置关系是________；（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)．（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝23，BE＝219，求正边形ADPE的面积．【分析】（1）如图1中，结论：PB＝EC，CE⊥AD．连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；（2）结论仍然成立．证明方法类似；（3）首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，结论：PB＝EC，CE⊥AD．理由：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵△APE是等边三角形，∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP＝CE，∠BAP＝∠ACE＝30°，延长CE交AD于H，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．故答案为PB＝EC，CE⊥AD．（2）结论仍然成立．理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵△APE是等边三角形，∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP＝CE，∠BAP＝∠ACE＝30°，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．选图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵△APE是等边三角形，∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP＝CE，∠BAP＝∠ACE＝30°，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．（3）∴△BAP≌△CAE，由（2）可知EC⊥AD，CE＝BP，在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC，∵BC＝AB＝2，BE＝2，在Rt △BCE 中，EC ＝＝8， ∴BP ＝CE ＝8，∵AC 与BD 是菱形的对角线，∴∠ABD ＝∠ABC ＝30°，AC ⊥BD ， ∴BD ＝2BO ＝2AB•cos30°＝6，∴OA ＝AB ＝，DP ＝BP ﹣BD ＝8﹣6＝2， ∴OP ＝OD ＋DP ＝5，在Rt △AOP 中，AP ＝＝2，∴S 四边形ADPE ＝S △ADP ＋S △AEP ＝12×＋×(2)2＝8。

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2019年中考数学微测试系列专题16 平行四边形、矩形、菱形、正方形（含解析)北师大版一、选择题：（共4个小题）1．【2015资阳】若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形【答案】D．【解析】【考点定位】中点四边形．2．【2015南充】如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2 D．1：3【答案】D．【解析】【考点定位】菱形的性质．3．【2015内江】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．．【答案】B．【解析】试题分析：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=ABE是等边三角形，∴BE=AB=．故所求最小值为选B．【考点定位】1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．4．【2015攀枝花】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B．【解析】③过点F作FP∥AE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：12AE=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，∵DG=BG，CG=CG，CD=CB，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B．【考点定位】四边形综合题．二、填空题：（共4个小题）5．【2015成都】如图，在平行四边形ABCD中，AB AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．【答案】3．【解析】【考点定位】1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．平行四边形的性质．6．【2015凉山州】菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（3，2．【解析】试题分析：连接ED，如图，【考点定位】1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型．7．【2015成都】已知菱形1111A B C D 的边长为2，111A B C =60°，对角线11AC ，11B D 相交于点O ．以点O 为坐标原点，分别以1OA ，1OB 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以11B D 为对角线作菱形1212B C D A ∽菱形1111A B C D ，再以22A C 为对角线作菱形2222A B C D ∽菱形1212B C D A ，再以22B D 为对角线作菱形2323B C D A ∽菱形2222A B C D ，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点1A ，2A ，3A ，．．．．．．，n A ，则点n A 的坐标为________．【答案】（3 n －1，0）．【解析】【考点定位】1．相似多边形的性质；2．菱形的性质；3．规律型．8．【2015内江】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接OH ，FH ，EG 与FH 交于点M ，对于下面四个结论：①GH ⊥BE ；②HO12BG ；③S正方形ABCD：S 正方形ECGF =1EM ：MG =1：（1，其中正确结论的序号为．【答案】①②④．【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =DC ，∠BCE =90°，同理可得CE =CG ，∠DCG =90°，在△BCE 和△DCG 中，∵BC =DC ，∠BCE =∠DCG =90°，CE =CG ，∴△BCE ≌△DCG ，∴∠BEC =∠DGC ，∵∠EDH =∠CDG ，∠DGC +∠CDG =90°，∴∠EDH +∠BEC =90°，∴∠EHD =90°，∴GH ⊥BE ，则故①正确；在△BGH 和△EGH 中，∵∠EHG =∠BHG ，HG =HG ，∠EGH =∠BGH ，∴△BGH ≌△EGH ，∴BH =EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO 12BG ，故②正确；设EC 和OH 相交于点N ．设HN =a ，则BC =2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC =b ，CD =2a ，∵OH ∥BC ，∴△DHN ∽△DGC ，∴DN HN DC CG =，即222b a a a b-=，即2220a ab b +-=，解得：(1a b =-或(1a b =-（舍去），则1a b=，则S 正方形ABCD ：S 正方形ECGF =21)=3-∵EF ∥OH ，∴△EFM ∽△OMH ，∴2EM EF b OM OH a b ==+，∴23EM b OE a b =+，3EM b EG a b =+，∴2EM b MG a b =+1:1)．故④正确．故正确的是①②④．故答案为：①②④．【考点定位】四边形综合题．三、解答题：（共2个小题）9．【2015眉山】如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点，（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若△AEP 是等边三角形，连结BP ，求证：△APB ≌△EPC ；（3）若矩形ABCD 的边AB =6，BC =4，求△CPF 的面积．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）4225．【解析】试题分析：（1）由折叠的性质得到BE =PE ，EC ⊥PB ，根据E 为AB 中点，得到AE =PE ，利用等角对等边得到两对角相等，利用外角性质得到∠AEP =2∠EPB ，设∠EPB =x ，则∠AEP =2x ，表示出∠APE ，由∠APE +∠EPB 得到∠APB 为90°，进而得到AF 与EC 平行，再由AE 与FC 平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；（2）∵△AEP为等边三角形，∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，∵∠PEC=∠BEC，∴∠PEC=∠BEC=60°，∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°，∴∠BAP=∠BEQ，在△ABP和△EBC中，∵∠APB=∠EBC=90°，∠BAP=∠BEQ，AP=EB，∴△ABP≌△EBC（AAS），∵△EBC≌△EPC，∴△ABP≌△EPC；（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，根据勾股定理得：EC，∵S△EBC =12EB•BC=12EC•BQ，∴BQ=345⨯=125，由折叠得：BP=2BQ=245，在Rt△ABP中，AB=6，BP=245，根据勾股定理得：AP=185，∵四边形AECF为平行四边形，∴AF=EC=5，FC=AE=3，∴PF=1855-=75，∵PM∥AD，∴PF PMAF AD=，即7554PM=，解得：PM=2825，则S△PFC=12FC•PM=1283225⨯⨯=4225．【考点定位】1．四边形综合题；2．翻折变换（折叠问题）．10．【2015甘孜州】已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．【答案】（1）成立；（2）成立，理由见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析．【解析】（3）设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，因为点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，可得MQ=PN=12DE，PQ=MN=12AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后根据AF=DE，可得四边形MNPQ是菱形，又因为AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．试题解析：（1）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；【考点定位】1．四边形综合题；2．存在型；3．探究型．。

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