公路卵形曲线中桩坐标测设法

四川建筑 第29卷6期 2009.12
公路卵形曲线中桩坐标测设法
朱海斌,任彩霞
(中铁十二局集团四公司,陕西西安710021)
摘 要 针对高速公路互通立交桥匝道卵形曲线中间缓和曲线段上的任意点坐标和过该点切线方位角的计算问题,通过增加辅助回旋线的方法,将卵形曲线中桩坐标的测设转换成单交点基本型缓和曲线的计算,便于曲线计算的统一化、整体化和程序化。

关键词 卵形曲线; 辅助回旋线; 中桩坐标; 缓和曲线角; 坐标转换 中图分类号 U 412 24 文献标识码 B
[收稿日期]2008-12-11
[作者简介]朱海斌(1977~),大学本科,工程师,主要从事铁路、公路施工工作。

1 问题的提出
在对高速公路的互通立交桥匝道曲线测设中,往往由于
地形及线路条件的限制会遇到设置在不同半径圆曲线之间的缓和曲线段,因此,对设置在不同半径圆曲线间的缓和曲线段的计算问题是解决卵形曲线中桩坐标测设的关键。

基本型的缓和曲线是由直线到圆曲线间的回旋线,因此,其计算方法已不适用于卵形曲线的中桩坐标的测设。

为了便于此类问题的解决,通过在缓和曲线段大半径方向增加辅助回旋线,补充成完整的缓和曲线的方法,使其转化成基本型缓和曲线的计算,这样就使得卵形曲线中间段缓和曲线的计算与基本型缓和曲线计算达到了统一,便于曲线计算的整体程序化作业。

2 计算公式的推导
2 1 独立坐标系的建立
如图1。

在半径R 1与R 2的两圆曲线之间嵌入一段缓和曲线,其切点为Y 1H 和H Y 2点,缓和曲线段长为S ,从大半径切点Y 1H (H Y 2)点引辅助回旋线L 0,这样辅助回旋线与两圆曲线之间的缓和曲线连成一段完整的缓和曲线L 0+S,以辅助回旋线的虚拟起点ZH 为原点,以过Z H 点的切线为x 轴,过该点的曲率半径为y 轴建立独立直角坐标系o xy 。

设点i 为缓和曲线上的任一点,i 点到原点o (Z H )的弧长为L,L 对应的缓和曲线螺旋角为 ,曲率半径为 ,在i 点处取一微分弧段d L,d L 所对应的中心角为d ,i 点在独立坐标系中的坐标为(x,y ),d L 在坐标轴上的投影分别为d x,d y (图中曲线为左偏,R 1>R 2)。

2 2 切线方位角的计算
根据缓和曲线的性质:A 2=C = L (A 为缓和曲线定值参数)
则辅助回旋线长:
L 0=SR 2/(R 1-R 2),或L 0=A 2/R 1 (R 1>R 2)L 0=SR 1/(R 2-R 1),或L 0=A 2/R 2 (R 1<R 2)
缓和曲线角 性质:d =d L / 则 =
!
d =
!
L
d L / =L 2/(2C )
将Y 1H 和H Y 2点所对应的弧长参数代入上述公式得Y 1H 和H Y 2点的缓和曲线角 i
图1 坐标系
当R 1>R 2时: 1=L 0/(2R 1), 2=(S +L 0)/(2R 2)当R 1<R 2时: 1=(S +L 0)/(2R 1), 2=L 0/(2R 2)辅助回旋线起始切线方位角 0根据其几何关系得:当R 1>R 2时
0= 1+I 1或 0= 2+I 2
当R 1<R 2时(缓和曲线反向计算) 0= 1+!+I 1或 0
= 2+!+I 2
式中: I 为Y 1H,H Y 2的缓和曲线角。

I 的符号,当R 1>R 2时,左偏∀+#,右偏∀-#;当R 1<R 2时,左偏∀-#,右偏∀+#。

2 3 独立坐标系坐标的计算
根据微分的性质:
d x =d L cos
d y =d L s i n
对上式积分则缓和曲线上点i 在独立坐标系的坐标x,y 有:
x =!L 0co s d L y =
!
L 0
si n d L 按泰勒级数公式展开取前四项后积分得:
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∃施工技术与测量技术∃
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x =L -L 5/(40C 2)+L 9/(3456C 4)-L 13/(599040C 6)y =L 3/(6C )-L 7/(336C )3+
L 11/(42240C )5-L 15/
(976800C 7)
将Y 1H,H Y 2点所对应的弧长参数代入上述公式得到Y 1H 和H Y 2点在虚拟独立坐标系坐标(x 1,y 1),(x 2,y 2)。

2 4 坐标转换
在求得卵形缓和曲线段切点Y 1H 和H Y 2点大地坐标(X 1,Y 1),(X 2,Y 2)及其切线方位角 1, 2(由已知条件或单交点法计算得到)和Y 1H 和H Y 2点在独立坐标系的坐标(x 1,y 1),(x 2,y 2)及其缓和曲线偏角( 1, 2),进而求得辅助回旋线起始方位角 0要素后,通过对独立坐标系平移、旋转,把虚拟独立坐标系原点(0,0)的坐标转换成大地坐标系中的坐标(X 0,Y 0),根据坐标转换公式:
X 0=X -x co s 0+y si n 0
Y 0=Y -x si n 0-y cos 0
求得虚拟独立坐标系原点坐标为:X 0=X 1-x 1cos 0+y 1s i
n 0Y 0=Y 1-x 1si n 0-y 1cos
0或(以H Y 2点计算)
X 0=X 2-x 2cos 0+y 2s i
n 0Y 0=Y 2-x 2si n 0-y 2cos
02 5 任意点中桩坐标计算
在完成了虚拟独立坐标系原点(即辅助回旋线的起点Z H 点)的大地坐标及方位角的计算,便完成了卵形曲线中间缓和曲线段向基本缓和曲线的转换过程。

在求卵形缓和曲线段任意点中桩坐标时,按切线支距坐标公式先求得该点在虚拟独立坐标系中的坐标(x,y )。

x =L -L 5/(40C 2)+L 9/(3456C 4)-L 13/(599040C 6)y =L 3/(6C )-L 7/(336C 3)+L 11/(42240C 5)-L 15/(976800C 7)其中L 为该点到辅助回旋线的起点Z H 点(即虚拟独立坐标系坐标原点)的缓和曲线长。

将辅助回旋线起点ZH 点坐标(X 0,Y 0)及起始切线方位角 0代入缓和曲线计算坐标公式即可求得其中桩坐标。

即:
X =X 0+x cos 0-y s i n 0Y =Y 0+x sin 0+y cos 0
2 6 误差分析
卵形曲线中间段缓和曲线中桩坐标的误差来源主要是独立
坐标计算取舍误差和从单交点法计算的Y 1H 和H Y 2点大地坐标(X 1,Y 1),(X 2,Y 2)及其切线方位角 1, 2的误差传递和积累。

为了避免误差传递和积累所造成的误差偏大,在求得辅助回旋线起点ZH 点坐标时可采用上述两套公式计算求得(以H 1Y 和H Y 2点转换分别求Z H 点坐标),如有必要时将所求Z H 点坐标的平均值作为Z H 点坐标最佳值。

3 算例
宁淮高速公路洪泽互通立交桥B 匝道中一段卵形曲线如图所示:
缓和曲线的有关参数已标于图上,其中Y 1H 与H Y 2点桩号及坐标,切线方位角如表1(线路为右偏)。

计算过程:如图2所示作辅助缓和曲线l 0,并以其起点为原点以其切线方向为经x 轴,曲线半径为y 轴建立独立坐标系,按公式
l 0=SR 2/(R 1-R 2)=18m
0= 1-[18/(2%200)]%(180/!)=44&18∋15 38(
x 1=L 0-L 05/(40C 2)+L 09/(3456C 4
)-L 013/
(599040C 6)=17 996m
y 1=L 03/6C -L 07/(336C 3)+L 011/(42240C 5)-L 015/(976800C 7)=0 27m X 0=X 1-x 1cos 0
+y 1sin 0=3685389 312m Y 0=Y 1-x 1sin 0-y 1cos 0=213999 712m
用x 2,y 2所求ZH 点坐标与此相同,在这里就不再进行计算了。

卵形曲线上其他点坐标按下列公式计算:X =X 0+x 1cos 0+y 1si n ( 0+!/2)Y =Y 0+x 1si n 0+y 1co s ( 0+!/2)计算如结果如表2。

4 结论
(1)在进行卵形曲线测设时可以通过对其缓和曲线段增加辅助回旋线的方法将其转化成基本型缓和曲线来计算,这样使得曲线计算趋于统一化,计算过程直观清晰也便于程序设计条理化。

(2)本文对卵形曲线计算公式推导中采用两套公式相互复核,并取平均值以减少误差传递和积累,在非异常情况下是完全能满足坐标和方位角计算精度的,但如果要用于计算机程序设计时尽可能使用高精度的独立坐标计算公式以满足各种类型卵形曲线的测设要求的计算精度。

参考文献
[1] 刑喜乐.公路卵形曲线的双向测设法[J].工程勘察,2000(1).[2] 周水兴.路桥施工计算手册[M ].北京:人民交通出版社,2004.
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∃施工技术与测量技术∃。