吉林省四平实验中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学(文)

四平实验中学2012-2013学年度下学期高二期中考试数学（文科）试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．i 是虚数单位，则复数21ii -在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 一批灯泡400只，其中20 W 、40 W 、60 W 的数目之比为4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ） A ．20 ,10 , 10 B.15 , 20 , 5 C .20, 5, 15 D.20, 15, 5 3. 曲f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝x －1．C ． y ＝2x ＋2D ．y ＝x ＋1 4.已知回归直线的斜率估计值是1.23,样本中心为（4,5）,则回归直线的方程为（ ）A. 1.234y x =+B. 1.235y x =+C. 1.230.08y x =+D. 1.23 2.15y x =-5．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线α平面⊆a ，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 6．下列有关样本相关系数的说法不正确．．．的是 ( ) A ．相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度 B ．1||≤r ，且||r 越接近于1，相关程度越大 C ．1||≤r ，且||r 越接近于0，相关程度越小D ．1||≥r ，且||r 越接近于1，相关程度越大.7．函数)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f 的解析式可能是（ ）A ．x x y 22-= B.2331x x y +=C ．x x y 22+=D ．2331x x y -=8．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A ．f (2n )>2n ＋12 B ．f (2n )≥n ＋22 C ． f (n 2)≥n ＋22D ．以上都不对 9．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点,P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2[0,)[,)23πππ⋃B ． 5[0,)[,)26πππ⋃C ． 2[,)3ππ D ． 5(,]26ππ10．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是（ ）A ．-4，-15B ．5，-4C ．5，-15D ．5，-1611．已知函数)(),(x g x f 是定义在R 上可导函数，满足0)(')()()('<⋅-⋅x g x f x g x f ，且0)(,0)(>>x g x f ，对b c a ≤≤时。

下列式子正确的是（ ） A ．)()()()(c g a f a g c f ⋅≥⋅ B ．)()()()(b g b f a g a f ⋅≥⋅ C ．)()()()(b g a f a g b f ⋅≥⋅D ．)()()()(c g b f b g c f ⋅≥⋅12．已知函数()y xf x ='的图象如图所示（其中()f x '是函数)(x f 的导函数）．下面四个图象中，)(x f y =的图象大致是（Ａ Ｂ Ｃ Ｄ二、填空题：（本题共5个小题；每小题4分，共20分）13． 设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ． 14．函数)(x f y =的导数记为)('x f ，若)('x f 的导数记为)()2(x f ，)()2(x f 的导数记为)()3(x f ， .若x x f sin )(=，则)()2013(x f 15. 已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式0)()32(2<'--x f x x 的解集 .16. 从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）已知函数b x ax x y +-+=523在1-=x 处取得极值2 . （I ）求实数a 和b. （II ）求f (x )的单调区间.18、（12分）为了解目前老年人居家养老还是在敬老院养老的意向，共调查了50名老年人，其中男性明确表示去敬老院养老的有5人，女性明确表示居家养老的有10人，已知在全部50人中随机地抽取1人明确表示居家养老的概率为53。

（1）请根据上述数据建立一个2×2列联表； （2）居家养老是否与性别有关？请说明理由。

参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n k ++++-=19、（12分）观察下列各式：10172101723273725.02.035.032.0211.021.01>++>++>++>++ππ …… 请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题（写出已知，求证），并用分析法加以证明。

20．(12分)一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：(1）如果y 对x 有线性相关关系，求回归直线方程；(2）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(参考数值：13805=∑i i i y x ，14525=∑ii x )21．(12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）函数)(x f 的图象在4=x 处切线的斜率为,23若函数321()[()]32m g x x x f x '=++ 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（10分）【选修4—1：几何证明选讲】如图6，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P . （I ）求证：//ADEC ；（II ）若AD 是⊙2O 的切线，且6,2PA PC ==，9BD =，求AD 的长．23．（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为)3cos(2πθρ+=. （I ）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（II ）圆1C 、2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.24．（10分）【选修4—5：不等式选讲】设函数()|2||1|f x x x =+--（I ）画出函数()y f x =的图象；（II ）若关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解，求实数m 的取值范围．2012-2013年下学期高二期中考试数学（文科）参考答案一、选择题（本题共10个小题；每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１ D ２Ｄ３Ｂ４Ｃ５Ａ ６D ７Ｂ８Ｂ９A １０Ｃ 1１Ｄ １２C二、非选择题（本题共5个小题；每小题4分，共20分） 13．8 ； 14．x cos ; 15 (1 , 3) ;16. ()()()()()*2,12232121N n n n n n n n ∈-=-+++-++++ .三、计算题（本题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分12分）解：（I ）()f x ' ＝3x 2＋2a x -5．， 1分由⎩⎨⎧=-=-'2)1(0)1(f f 即⎩⎨⎧=+++-=--2510523b a a 得⎩⎨⎧-=-=11b a 6分（2）()f x '＝3x 2-2x -5 =（3x-5）（x+1）． 8分所以函数f (x )在（－∞，－1）上单调递增，（-1，53）上单调递减，（53，＋∞）上单调递增． 12分18、（本题满分12分）解：（1）设居家养老的人数为x 人，人30,5350==x x ………………2分6分 （2）假设居家养老与性别无关635.6333.825252030)1051520(5022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=k ……………………………………9分010.0)635.6()333.8(22==<=∴k P k P ，∴居家养老与性别无关是小概率事件……11分∴有99%的把握认为居家养老与性别有关。

…………………………12分19 （本小题共12分）解（1）已知abm a m b m b a >++>>>求证：,0,0………………3分 证明：分析法0,0>>>∴m b a 欲证：abm a m b >++ 只需证：)()(m a b m b a +>+ 只需证：bm ab am ab +>+ 只需证：bm am > 只需证：b a >由已知b a >成立所以abm a m b >++成立…………………………………12分20. （本小题共12分）解(1）5=x 50=y 2分 13805=∑i i i y x 14525=∑ii x∴5.655514550551380ˆ=⨯⨯-⨯⨯-=b， 4分6分∴回归直线方程为：5.175.6ˆ+=x y8分 5.17ˆˆ=-=x b y a(2） 895.175.6≤+x ，解得11≤x 12分21．（本题满分12分）解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f （2分） 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a 当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=0时，)(x f 不是单调函数 （5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间 ⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分） ⎪⎩⎪⎨⎧->-<∴,319,3m m （10分） )3,319(--∈m （12分）22、解：（I ）∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ， 又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC . ··············· 5'（II ）设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2， ∴xy ＝12 ① ∵AD ∥EC ，∴PD PE ＝AP PC ，∴9＋x y ＝62② 由①、②解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝4(∵x >0，y >0)∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12. ·········10' 23、解：（I ）由=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩得x 2＋y 2＝1， ················· 2'又∵ρ＝2cos(θ＋π3)＝cos θ－3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，即221()(122x y -++= ············· 5'（II）圆心距12d ==<，得两圆相交········· 7' 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得，A (1,0)，B 1(,2-， ·········· 9'∴|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋322＝ 3 ··················10' 24、解：（I ）函数()f x 可化为3,2()21,213,2x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩ ························ 3'其图象如下：1xO ····················· 5'（II ）关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解等价于()max ()+4|12|f x m ≥- ··· 6' 由（I ）可知max ()3f x =，（也可由()()()|2||1|21|3,f x x x x x =+--≤+--=得max ()3f x =） ···························· 8'于是 |12|7m -≤， 解得 [3,4]m ∈- ·················10'。