2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(D卷)

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09-10(2)高数(B)复习答案

09-10(2)高数(B)复习答案D()()212122(2)ln 1(ln )2ln(2)2(2)ln 2(2ln )22ln(2)2x y v v v x y v v v z z u z v v x y vu u u u u x y x y x u x v x u x y z z u z v v x y vu u u u u x y x y y u y v y u x y +-+-⎡⎤∂∂∂∂∂+=+=+=+=+++⎢⎥∂∂∂∂∂+⎣⎦⎡⎤∂∂∂∂∂+=+=+=+=+++⎢⎥∂∂∂∂∂+⎣⎦2．解法一：设,u cx azv cy bz =-=-则(,)0F u v = ()()x u y v z u v F F cF F cF F a F b '''''''===-+-y x u v z u v z u v u v u v u v u v F F F c cF z z x F F a F b y F F a F baF c bF cF a F b z z a b c cx y F a F b F a F b''''∂∂∴=-==-=''''''∂+∂+''''++∂∂∴+===''''∂∂++解法二：设u cx azv cy bz=-=-，则(,)0F u v =两边同时对x 求偏导()()00u u v u u v u v cF z z z z zF c aF b F c aF bF x x x x x aF bF '∂∂∂∂∂'''''-+-=⇒--=⇒=''∂∂∂∂∂+两边同时对y 求偏导()()00()u v u v v u v v v u v u v u v z z z z zF a F b c F a F b cF aF bF cF y y y y y cF zy aF bF acF bcF z z a b cx y aF bF ∂∂∂∂∂''''''''-+-+=⇒--+=⇒+=∂∂∂∂∂'∂∴=''∂+''+∂∂∴+==''∂∂+3、2,22z z z y y y z x z xy z z z z y y ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-=-∂∂⎛⎫⎛⎫''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、解：0(1)(1)x u v u z u v u v f f f f z x f f f f f ''''+∂=-=-=∂'''''-+-+0(1)(1)y u v v z u v u v f f f f zy f f f f f ''''+∂=-=-=∂'''''-+-+，1u v u v u v f f z zx y f f f f ''∂∂∴+=+=∂∂''''++5、解：01:1x D x y ≤≤⎧⎪≤≤原式＝2222222111112000000122()1y y y y y y dy dx e x dy e ydy e d y e e x-----===--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰6、4254RR ππ+7、解：211:101x x y z y -≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤-⎩2221231111111118(1)()2335yxx x y y ydv dx ydy dz dx y y dy dx ----Ω==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰8、4π9、22sin 000022222cos()2cos()3sin cos 22cos()3,2sin()3cos()2,2sin()2cos()2AO OA x D Dx y dx y x y x dyQ P dxdy dxdy dx dy xdx x x y Qy x y x x y x PP x y y y x y y x y y πππ+⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎛⎫∂∂=-====-= ⎪∂∂⎝⎭∂=++=-++∂∂=++=-++∂⎡∴++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中：Q 原式=2-22cos()32cos 2OA dx y x y x dy xdx π⎤⎡⎤+++⎦⎣⎦=-=⎰⎰10、解：22222131111122211161241()()318833105x y xx x y V dv dx dy dz dx x y dy x y dxxx x dx +---Ω-===+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11、解：(),(),P yf x Q xf x ==-(),()()P Qf x xf x f x y x∂∂'==--∂∂2()()()()2()()P Q C f x xf x f x xf x f x f x y x x∂∂''⇒=⇒=--⇒-=⇒=∂∂(,)222(1,0)100()()0(0)x y xy y C C C Cyf x ydx xdy dx y xdy dy x x x x-=+-=-=-⎰⎰⎰⎰12、解：将L 分成为,OA OB 两段，:,:2OA y x OB y x ==-，则有222222222222()()()()()()LOAOBxy dx x y dy xy dx x y dy xy dx x y dy++-=++-+++-⎰⎰⎰122222222201122201[()()][((2)((2)]422(2)3x x x x dx x x x x dx x dx x dx =++-++----=+-=⎰⎰⎰⎰13、415π14、令2212:2x y z ⎧+≤∑⎨=⎩取上侧，则1122212222222224(1)(81)4(1)(81)(881)2(81)2(81)222x x y x y I ydzdx y zdxdy y dzdx y zdxdy y y dV y dxdy d dz y dxdydxdy ρθρρππ∑+∑∑Ω∑+≤+≤=-++--++=-++-+=-+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15、解：补充平面()221:01z xy ∑=+≤，方向取下侧，则∑与1∑围成闭区域的内侧，于是()()()()()()()()112222222222222222101212223112222121401111cos 1142144x y z x y x y x y x y I x y dydz y z dzdx z x dxdy xy dv x dxdyxy dxdy dz d r drxy x y dxdy d r rdr ππθθπππθ∑∑∑+-≤≤+≤+-+≤+≤⎛⎫=+-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭=-+++=-+++=+++-+=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.312ππ=-16、解：()()0222212ln 2t t t t t t tLydx xdy xy dz e e e e e e dt ---⎡⎤-++=+++⎣⎦⎰⎰()()()()()()()22022012212222222ln 22ln 2ln 2ln 21212ln 2 2.ln 22ln 22tt t te e e e dt t e e e e ----⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥ ⎪=++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎛⎫--=+- ⎪+-⎝⎭⎰四、应用题解：曲面在点0(,,)x y z 处法向量为000222222,,xy z n ab c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭切平面方程为000000222222()()()0xy z x x y y z z a b c -+-+-=即0002220x y z x y z a b c ++=该平面在三个坐标轴上截距分别为022x a ，022y b ，022z c故所围的四面体的体积为222222000000111326a b c a b c V x y z x y z ==按题意需求函数(,,,0)xyz x y z >在条件2222221x y z a b c ++=约束下的极值。

高等数学B(二)2009-2010(B)

第 1 页共 4 页上海海事大学试卷2009 — 2010 学年第二学期期末考试《高等数学B （二）》（B 卷）（本次考试不得使用计算器）班级学号姓名总分(本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、直线x y z+-=+-=32473与平面4223x y z --=的关系是 C （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上;（C ）垂直相交 ; （D ）相交但不垂直. 2、下列结论正确的是（ C ）（A ） 2a = ; （B ）若0=⋅b a 则必0 =a 或0=b ;（C ）c a b a c b a-=-)( ; （D ）若0 ≠a ，且c a b a =则c b =.3、设y xy xy z arcsin)1(2-+=，那么=)1,1(y z ∂∂（ D ） (A) 0 ; (B) 2 ; (C) 2－π2; (D) 2+2π. 4、旋转抛物面z=x 2+2y 2-4在点（1，-1，-1）处的法线方程为（ B ）（A ）114121-+=+=-z y x ; （B ）114121-+=-+=-z y x ; （C ）114121-+=+=--z y x ; （D ）114121--=-=-+z y x 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页共 4 页1、级数∑∞=-02!2)1(n nnn x 的和函数为 2)1(2-x e2、微分方程''-'=y y x 424cos 用待定系数法确定的特解形式是y A x B x *cos sin =+443、设(,),z z x y =由(,)0z zF x y y x++=给出，),(v u F 可微则=∂∂+∂∂yzy x z xxy z - 4、交换212(,)ydy f x y dx -⎰得1102(,)xdx f x y dy -⎰⎰三计算题（必须有解题过程）（本大题分10小题，共 68分）1、(本小题7分)D 由0,1,1==-=+x y x y x 围成，求⎰⎰Dxd σ解：⎰⎰--=x x xdy dx I 1110 4分31)22(102=-=⎰dx x x 7分2、(本小题6分)设133=-xyz z 确定了z 是x ，y 的二元函数，求x z '。

2009-2010高等数学B第二学期试卷A1.

北京林业大学2009--2010学年第二学期考试试卷课程名称：高等数学B（A卷）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。

本试卷共计 4 页，共十大部分，请勿漏答；2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷所有答案均写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空：（每小题3分，共30分）1. 微分方程的通解为。

2. 微分方程的特解可设为________________________________________。

3. 以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________________________。

4. 直线与平面间的关系是______________(平行、垂直、相交。

5. 二元函数在点处两个偏导数与存在是在该点处连续的__________________________条件。

6. 若函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则有_______________ ，___________________。

7. 已知平面区域D是由直线，及所围成，则= 。

8.交换二次积分I=的积分顺序，则。

9. 函数展开为的幂级数的形式为 __________ 。

10. 幂级数的收敛半径为。

二、（6分）求的通解三、（6分）求微分方程满足初始条件的特解四、（6分）求过点及直线的平面方程五、（6分）设求六、（6分）设，求七、（6分）计算八、（6分）求曲面与所围立体的体积。

九、（6分）判别级数的敛散性十、（6分）判别级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？十一、（6分）在曲面上找点，使其到点的距离为最小。

十二、（6分）设具有二阶连续导数，且满足，求的表达式。

十三、（4分）设发散，又，证明收敛。

2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(E卷答案)

2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ，即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分）类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分）由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分）当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解：分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。

2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案

2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009－2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题（共5个小题，每小题4分，共20分）．1．累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】（A ）100(,)dy f x y dx ?（B ）10(,)dy f x y dx（C ）10(,)dx f x y dy ?（D ）10(,)dx f xy dy ?解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：01,0x y ≤≤≤≤，所以应选D 。

2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交，则必有【 D 】（A ）1λ= （B ）32λ=（C ）54λ=- （D ）54λ=解：直线11x y z +=-=的参数方程为：11x t y t z t =-??=+??=?，将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==，得2122t t t λ+--==，解得654t λ=??=??，故应选（D ）。

3．极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解；因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+，故应选（A ）。

4．曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解：设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ，则切平面方程为：班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，其中2xyz =，即36yzX xzY xyZ xyz ++==，则该切平面与三个坐标轴的交点分别为：6(,0,0)yz，6(0,,0)xz ，6(0,0,)xy ，则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====，故应选（C ）。

2009-2010学年第二学期高等数学(2)B卷期末试卷及其答案

2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程考试试题册B试题使用对象： 2009 级理科各专业(本科)命题人：考试用时 120 分钟答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共 18 分，共6 小题，每题 3分）1．已知(3,1,2),(1,2,1)a b =--=-，则a b ⋅= ．2．将xoy 坐标面上的曲线224936x y -=绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为． 3．(,)lim x y →= ． 4．设23(,,)2f x y z x y z =++，则=)1,1,1(gradf ．5．已知级数1(1)n n u +∞=-∑收敛，则lim n n u →+∞= ．6．周期为2π的函数()f x 的傅里叶级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中， 0a = ， n a = ．二．选择题（本题共12 分，共4小题，每题3 分）1．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则0(,)(,)lim h f a h b f a h b h→+--= ． A ．0； B ．),2(b a f x ； C ．),(b a f x ； D ．),(2b a f x ．2．函数z =(,)f x y 在点00(,)x y 具有偏导数，则它在点00(,)x y 有极值的为 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==．A ．必要条件；B ．充分条件；C ．充分必要条件；D ．既非充分又非必要条件3．若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列级数中（）收敛．A ．)001.0(1+∑∞=n n uB ．∑∞=+11000n n uC ．∑∞=1n n uD ．∑∞=11000n nu4．将函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数得到（）A ．∑∞=02!n n n xB ．∑∞=-02!)1(n n n n xC ．∑∞=0!n n n x D ．∑∞=-0!)1(n n n n x 三．求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．设2ln z u v =，而/u x y =，32v x y =-，求y z ．2．设方程z y x z y x 32)32sin(2-+=-+确定函数),(y x z z =，求,x y z z ．3．求椭球面222316x y z ++=在点(1,2,3)--处的切平面及法线方程． 4．计算sin Dx dxdy x ⎰⎰，其中D 是由x y =和2x y =所围成． 5．交换积分次序110(,)y dy f x y dx ⎰⎰，并由此计算dx e dy y x ⎰⎰1102． 6．计算22(2)()L xy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由抛物线2y x =，2x y =所围成的区域的正向边界曲线．7．计算4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分． 8．计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧．9．求级数∑∞=1n nn x 的收敛域，并求出它的和函数，由此求出 +⋅+⋅+⋅32331321311的和．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题B 参考答案试题使用对象： 2009 级理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共18 分，共6 小题，每题各 3 分）1． 3 ； 2. 22249()36x y z -+=； 3. 2； 4. （2，2，3）； 5. 1； 6. 01()a f x dx πππ-=⎰，1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰二．选择题（本题共12分，共4小题，每题3 分）1．D ； 2．A ；３．B ；４．B三．求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ ……4分 2222()ln x u u v y v=-- 223222ln(32)(32)x x x y y y x y =---- ……7分 2．方程两边同时微分，得2cos(23)(23)23x y z dx dy dz dx dy dz +-+-=+- ……3分[2cos(23)1]2[2cos(23)1]3[2cos(23)1]x y z dx x y z dy x y z dz +--++--=+-- 所以 2cos(23)113[2cos(23)1]3z x y z x x y z ∂+--==∂+--， 2[2cos(23)1]23[2cos(23)1]3z x y z y x y z ∂+--==∂+-- ……7分 3．令222(,,)316F x y z x y z =++-，则法向量(6,2,2)n x y z =，(1,2,3)(6,4,6)n --=-- ……3分在点(1,2,3)--处的切平面方程为 6(1)4(2)6(3)0x y z -+-++-=，即 323160x y z +-+=，……6分法线方程为123646x y z ++-==--． ……8分 4． dy xx dx dxdy x x x x D ⎰⎰⎰⎰=2sin sin 10 ……4分 210sin ()x x x y dx x=⎰10(sin sin )x x x dx =-⎰ 1100cos sin x x xdx =--⎰101cos1[cos sin ]x x x =-+- 1sin1=- ……8分5．积分区域D 为01,1y y x ≤≤≤≤，交换积分次序后01,0x y x ≤≤≤≤，110(,)y dy f x y dx ⎰⎰=100(,)x dx f x y dx ⎰⎰．……4分于是 dx e dy y x ⎰⎰1102=2x De dxdy ⎰⎰ =2100x x dx e dy ⎰⎰210x xe dx =⎰ =)1(21-e ……8分 6．22P xy x =-，2P x y ∂=∂ ，2Q x y =+，1Q x ∂=∂ ， ()(12)D D Q P I dxdy x dxdy x y∂∂=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰ ……4分2102)x dx x dy =-⎰10.52 1.530(22)x x x x dx =--+⎰ 1.53 2.54102122(2)3354x x x x =--⨯+ 1/30= ……8分7．解：4423y z x =--，4243y z x ++=，42,3z z x y ∂∂=-=-∂∂，3dS dxdy ==， ……3分平面∑在xoy 面上的投影为： :123xy x y D +≤，它的面积为12332⨯⨯= 4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰43Ddxdy =⎰⎰3Ddxdy =⎰⎰= ……8分8． ()p Q R I dxdydz x y z Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰3dxdydz Ω=⎰⎰⎰ ……5分 2330003d dr rdz πθ=⎰⎰⎰81π= ……8分 9．解： 11lim n n n x x x n n+→∞÷=+ 当1x <时，级数收敛，当1x >时，级数发散当1x =时，级数为11n n +∞=∑发散；当1x =-时，级数为1(1)n n n +∞=-∑收敛 ∴收敛域为)1,1[- ……4分当11x -<<时，23()/2/3......S x x x x =+++23()1......1/(1)S x x x x x '=++++=-01()1xS x dx x=-⎰ ln(1)x =--……7分令31=x ，23ln 321311)31(121=+⋅+⋅=∴∑∞= n n n ……8分。

2009-2010学年第二学期高等数学B试卷

2 z 求 . x y
解：
z ( x, xy ) yg 2 ( x, xy ) ---4 分 2 f (2 x y ) g1 x
2 z ( x, xy) g 2 ( x, xy) xyg 21 ( x, xy) ----8 分 2 f (2 x y) xg12 xy
2
2 2 3 2
3 2m 时,水箱所用的材料最省. --8 分
1 展开成 x 的幂级数并求其收敛区间。 x x3 1 1 1 1 1 1 1 1 解： f ( x) ------------1 分 ( ) ( x 1)( x 2) 3 x 1 x 2 6 1 x 3 1 x 2
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 5 页
Y C1 cos x C2 sin x, ------2 分
* * 观察可得, y y x 的一个特解为 y1 x, y y e x 的一个特解为 y2 e x . -----6 分 * * 由非齐次线性微分方程的叠加原理知 y* y1 y2 x ex
D D1 D D1

C. xydxdy 4 xydxdy
D D1
D. x dxdy 4 x 2 dxdy
2 D D1
5、若级数 an 收敛，则下列级数不收敛的是（ B ）
n 1

福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 1 页
A.
2 an
n 1

B.
(an 1)
五（10 分）求级数
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 4 页
1 1 1 x dt ln -----------------（8 分） 2 1 t 2 1 x 1 1 1 1 1 2 2 ln(1 2) --------（10 分） 2 s ( ) 2 ln 故 n 1 2 1 2 n 0 (2n 1)2 2

2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)

9. 计算 zdS ，其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ，其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4．设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分，7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期期末考试试卷(A 卷)
课程名称高等数学 2
学号：
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名：
班级：
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象： 2009 级理科各专业(本科)命题人：考试用时 120 分钟答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件．5．当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2．函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛三．求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ；３．D ；４．C ；５．C 三．求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3．令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =．由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。

2009-2010(2)BD

(B)．1
n→∞
4.设有级数 ∑ un , lim un = 0 是它收敛的（ B
n =1
（A）充分 5.级数 ∑ (−1) n n (A)绝对收敛
(B) 必பைடு நூலகம் （ B ） (B)条件收敛
(C) 充分必要
(C)发散
(D) 无法判断
1
2009—2010 学年第二学期《高等数学》课试题 B 卷
Σ Σ1
）。
（B）
∫∫ yds = 4∫∫ yds
Σ Σ1
(C) ∫∫ zds = 4 ∫∫ zds
Σ Σ1
(D) ∫∫ xyzds = 4 ∫∫ xyzds
Σ Σ1
3.判断极限 lim (A).0
∞
x =( C x →0 x + y y→0
) (C).不存在）条件。 (D) 即非充分也非必要 (D).无法确定
总分
得分评卷人二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）填空题（ 1.设 a = (2,1,2), b = (4,−1,10), c = b − λa, 且a ⊥ c，则λ =
3
。
2 2 x −1 y −1 z = 2..求曲面 z = x + y − 1 上点(1,1,0)处的法线方程 = 。 −1 2 2
3x π dz 3.函数 z = ye 在点 (1,1) 沿与 x 轴正向成 α = 方向的方向导数 dl 3
(1,1)
=
e3 (3 − 3 ) 。 2
4.设 f (x) 为连续函数， F (t ) =
∫ dy ∫
1
t
1
y
f ( x)dx, 则 F ′(2) =
f (2)

09-10高等数学期末试题参考答案(A)

东海科技学院 2009 - 2010学年第二学期《高等数学》课程期末考试卷A 参考答案一、选择题（每小题3分，共计15分）1．二阶齐次线性微分方程06=-'-''y y y 的通解为（ B ） A ．x x e C e C y 3221--+= B ．x x e C e C y 3221+=- C ．x x e C e C y 3221-+= D ．x x e C e C y 3221+=2．过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ A ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 3．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（ A ）A ．②⇒③⇒①B ．③⇒②⇒①C ．③⇒④⇒①D ．③⇒①⇒④ 4. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ C ）A B C D5．下列级数中，收敛的是（ D ） A ．∑∞=11i nB ．∑∞=1321i n C ．∑∞=11i n D ．∑∞=-11)1(i n n二、填空题：（每小题3分，共计15分）1. 一阶微分方程02=-'xy y 的通解为=y ．（答案：2x Ce y =）学院专业班级姓名学2.=+→xy yx y x 2lim)2,1(),( ．（答案：2）3. 222y x z +=表示空间曲面．（答案：抛物面）4．⎰⎰=1010xydy dx ．（答案：41）5. 若L 表示抛物线2x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧，则第一类曲线积分⎰Lds y = ．（答案：)155(121-）三、计算题：（每小题6分，共计48分） 1．设2221y x z +=，求全微分dz . 解：x xz=∂∂ ……………………………………………………………….2分 y yz2=∂∂……………………………………………………………….2分 y d y x d x dz 2+=………………………………………………………2分 2．设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ⋅和b a ⨯．解：51)2(10)3(1-=⨯-+⨯+-⨯=⋅b a …………………………….3分}1,5,2{52113201=++=--=⨯k j i k j ib a ………………………..3分3．求过点()132,，-且平行于直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的直线方程.解：直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的方向向量为k j i kj i 135251132++=-- …………………………………….4分所求直线方程为1315312-=-=+z y x ……………………………….2分 4．设z xy x z y x f +-=23),,(，求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ∇及f ∇.解：k j i k f j f i f f z y x +-=++=∇22 ………………………………….4分31)2(222=+-+=∇f …………………………………………….2分5．计算二重积分σd xy ⎰⎰D，其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭区域.解：把D 看成X 型区域{}x y x y x ≤≤≤≤1,21),(………..……………2分89)(21213211D=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x xydy dx d xy xσ………………………….4分 6．计算三重积分dV x e y )2sin (2⎰⎰⎰Ω+，其中Ω：10,10,11≤≤≤≤≤≤-z y x .解：注意到积分区域Ω关于YOZ 面对称，x e y sin 2为x 的奇函数…….2分4112212sin )2sin (22=⨯⨯⨯=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdV dV x e dV x ey y …...4分7．L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ，求⎰-Lydx x dy xy 22.解：y x P 2-=，2xy Q =………………………………………………….2分由格林公式⎰-Lydx x dy xy 22σσd y x d y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂=)()(22 ⎰⎰=⋅=ππρρρθ20122d d …..………………4分8．判断级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+的敛散性. 解：注意到πn n n n cos 2)12(12∑∞=+≤∑∞=+122)12(n nn …………………………….2分而级数∑∞=+122)12(n nn 利用比值审敛法，得 121lim1<=+∞→nn n u u ………………………....2分则由比较审敛法，级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+收敛.…………………....2分四、解答题（每小题8分，共计16分）1. 求二阶非齐次线性微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解：注意到右端项为x m e x P x f λ)()(=型（其中2,1)(-==λx P m ）…….2分且原方程对应的齐次方程的特征方程为0442=++r r ,特征根2-=λ为二重根.......................................................................................2分设原方程的一个特解为x e ax y 22*-=代入原方程解出21=a ………………....2分则原方程通解为()xx e x e x C C y 2222121--++=....................................................2分 2．设)(x f 的周期为π2，且在],[ππ-上2)(x x f =，试将)(x f 展开成傅里叶级数. 解：依题)(x f 在],[∞-∞上连续，且满足狄利克雷收敛定理条件，则0=n b ),2,1( =n ,…………………………………………....2分3222020πππ==⎰dx x a ,…………………………………….……2分⎰⎰⎰===ππππππ02020sin 2cos 2cos )(2nx d x n dx nx x dx nx x f a n⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππππ02002c o s 4s i n 2s i n 2nx xd n dx nx x nx x n 2002)1(4cos cos 4n nxdx nx x n n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ ),2,1( =n ……2分由收敛性定理可知，∑∞=-+=1222c o s )1(43n n n nx x π …………….……………….……2分五、应用题（本题6分）某养殖场饲养两种鱼。

2009-2010-2高数期末试题及解答

0 0
2π
2
而
∫∫ xdydz + ( z
Σ0
2
− y )dzdx + ( x 2 − z )dxdy = ∫∫ x 2dxdy =
Dxy
2 1 1 2π ( x 2 + y 2 )dxdy = ∫ dθ ∫ r 3dr = 2π ， ∫∫ 0 2 Dxy 2 0
故
∫∫ xdydz + ( z
Σ
2
− y )dzdx + ( x 2 − z )dxdy = −4π 。
2dxdy ；
2 2
积分曲面Σ 2 ： z = 1 ，( x, y ) ∈ Dxy = ( x, y ) 0 ≤ x + y ≤ 1 ，
{
}
′ 面积微元素为：dS = 1 + z′ x + z y dxdy = dxdy ；
2 2
Ò ∫∫ ( x
Σ
2
+ y 2 )ds = ( 2 + 1) ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ( 2 + 1) ∫ dθ ∫ r 3dr =
−1 −1
1
1
1 nπ x 2 dx = 2 ∫ (2 + x ) cos nπ xdx = [( −1) n − 1] 0 2 ( nπ ) 2
，
(n = 1, 2,L ) 1 1 bn = ∫ f ( x )sin nπ xdx = 0 ，( n = 1, 2,L ) 2 −1 5 ∞ 2 f ( x) = + ∑ [( −1) n − 1]cos nπ x ， x ∈ [ −1,1) 2 2 n =1 ( nπ ) 令 x = −1 可得 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 π2 = ，又∑ 2 = ∑ +∑ ， ∑ 2 2 2 8 n =1 (2n − 1) n =1 n n =1 (2n − 1) n =1 (2n )

2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题及答案(A卷)

高数B武汉大学数学与统计学院2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题一、（42分）试解下列各题:1、计算30arctan lim1x x x xe →--. 2、求解微分方程096=+'-''y y y 的通解. 3、计算-+⎰121(1)d x x x 。

4、计算+∞⎰e x 。

5、求曲线⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰11cos d sin d t t ux u u u y u u自1=t 至2π=t 一段弧的长度.6、设2132y x x =++，求()n y 。

二、（8分）已知xyu e =,其中()y f x =由方程22d cos d y x te t t t =⎰⎰确定,求d d u x。

三、（8分）设11x =,+11(1,2,)1nn nx x n x =+=+，试证明数列{}n x 收敛，并求lim n n x →∞。

四、（8分）证明结论：可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。

并说明此结论的几何意义。

五、(15分)已知函数324x y x+=，求: 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值; 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

六、（12分）已知函数()y y x =满足微分方程2(1)y y x '''-=-，且x 轴为曲线()y y x =的一条切线，在曲线()y y x =（0x ≥)上某B 点处作一切线，使之与曲线、x 轴所围平面图形的面积为112，试求：（1）曲线()y y x =的方程;(2）切点B 的坐标;（3）由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积。

七、(7分）若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0==f a f b 及()()0''>f a f b ，则()f x 在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0ξ=f .高数B2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题参考答案一、（42分)试解下列各题：1、解：323200011arctan arctan 11limlim lim 331x x x x x x x xx x x e →→→---+===- 2、解：方程的特征方程为:2690r r -+=,其特征根为321==r r , 故方程的通解为：xe x c c y 321)(+= 3、解:原式=1202x dx ⎰ =234、解：00022()x tx t t e dx te dt td e +∞+∞+∞=---==-⎰⎰⎰02[]22t t te e dt +∞-+∞-=-+=⎰ 5、解：s =1π=⎰/211ln 2dt t ππ==⎰6、解：1112y x x =-++ ()(1)(1)(1)![(1)(2)]n n n n y n x x -+-+=-+-+ 二、（8分）解：=()xy du dye y x dx dx+ ,方程两边微分得： 222cos y e dy x x dx = 222cos y dy x x e dx -=故有222=(2cos )xy y du e y x x e dx-+三、(8分）解:0n x >， 21102x x -=>，因此21x x > 设1n n x x ->，则1111(1)11n n n n n n x x x x x x -+--=+-+++110(1)(1)n n n n x x x x ---=>++ n x ∴单调增加，且111112211n n n n x x x x ---=+=-<++,故lim n n x →∞存在设lim n n x a →∞=，则: 11a a a=++ 解得a =a 非负,∴lim n n x →∞=四、（8分）证:设函数()f x 在区间(,)a b 内()0f x '>，12,(,)x x a b ∀∈，且12x x <，函数()f x 在12[,]x x 上可导，由拉格朗日中值定理得：212112()()()(),(,)f x f x f x x x x ξξ'-=-∈，由于2121()0,0()()f x x f x f x ξ'>->⇒>由12,x x 的任意性，()f x 在(,)a b 上单调增加。

2009-2010第一学期《高等数学》试卷(B)卷答案.

第 1 页共4页福建工程学院2009～2010学年第一学期期末考试试卷审批表课程名称高等代数考试班级09信息与计算科学参加考试学生人数81任课教师唐晓文命题教师唐晓文试卷类型(A、BB考试形式开卷（）闭卷（√）答卷纸(张草稿纸(张1审核人意见审核人签名：教研室意见(签字系(部意见(签字试题参考答案及评分标准一、填空题（每小题5分，共15分）1、-32；2、；3、8；4、；5、.二、选择题（每小题5分，共15分）1、B2、A3、B4、D5、C三、（12分）解: = -----4分一个极大线性无关组， -----4分， ------4分第 2 页四、(10分解：------5分------5分五、（10分）解：由即-------3分可得， -------2分由 -------4分-------1分第3页六、（14分）解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换------5分得方程的特解， ------2分对应齐次方程的基础解系，------5分通解 ------2分七、证明题：（第1、2小题各7分，第3小题10分，共24分）1.（1）证明：因为线性无关，所以线性无关，而线性相关，故可由线性表示. -------3分（2）不可以，如果可以由线性表示，而又可由线性表示，则可由线性表示.可得线性相关，与线性无关矛盾，所以不可由线性表示. -------4分2.证明：由题设，从而，＋， -------3分又从而，-------3分所以，＋. -------1分第 4 页3. 证明：（1）因为是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故线性无关， -------2分若线性相关，则可由线性表示，设为，因此是齐次线性方程组的一个解， -------2分与是非齐次线性方程组的一个解矛盾，故线性无关. -------1分（2）设，即.------2分因为线性无关， -------1分所以得 -------1分故线性无关. -------1分。

2009(2)高等数学B2试卷参考答案

2009(2)高等数学B2试卷参考答案D装订线（A ）绝对收敛。

（B ）条件收敛。

（C ）发散。

（D ）收敛性不能确定。

3．二元函数()()()()22,,0,0(,)0,0,0xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（C ）（A ）连续，偏导数存在。

（B ）连续，偏导数不存在。

（C ）不连续，偏导数存在。

（D ）不连续，偏导数不存在。

4. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤，则以下结论正确的是（ A ）。

（A ） ()()0Df yg x d σ=⎰⎰。

（B ） ()()0Df xg y d σ=⎰⎰ 。

（C ）()()0D f y g x d σ+=⎰⎰。

（A ）()()0Df xg y d σ+=⎰⎰。

5. 微分方程cos 1y y x ''+=+的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。

（A ）cos y A x C *=+。

（B ）(cos sin )y x A x B x C *=++。

（C ）(cos sin )y A x B x C *=++。

（D ）sin y B x C *=+。

三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）（1）设1()()z f x y x xy yϕ=++，其中f 和ϕ具有连续导数，求2z x y ∂∂∂。

【解】1()()()z f x y xy xy xy x yϕϕ∂''=+++∂22211()()2()()z f x y f x y x xy x y xy x y y yϕϕ∂''''''=-+++++∂∂（2）求由方程22ln()0xz xyz xyz -+=所确定的函数(,)z z x y =的全微分。

【解】方程两边求微分得111222220xdz zdx yzdx zxdy xydz dx dy dz x y z+---+++=整理得11222(21)11(221)2222zx yz z z z xyz y x dz dx dy dx dy x y xz xyz x xy x xy z z ----=+=-+-+-+-+（3）交换积分次序111422104d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x +⎰⎰⎰。

湖北省2009-2010学年高二下学期期末测试(数学)

图112009—2010学年度下学期高二数学期末测试[原人教版]说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷60分，第二卷90分，共150分；答题时间150分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确地选项填在题后的括号内．1．图1是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是 A ．8π B ．4πC ．2πD ．π2．甲打靶一次，中靶的概率为0.8，乙打靶一次，中靶的概率为0.7，现甲乙两人同时打靶一次，则恰有一人中靶的概率为（） A ．0.56 B ．0.46 C ． 0.38 D ．0.643．将一个各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰好有2面涂有颜色的概率是（） A ．916B ．2764 C ．38 D ．11324．在一圆的圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每三个点可以构成一个三角形，如果随机选择三个点，刚好可以构成直角三角形的概率是（）A ．41 B ．31 C ．21D ．51 5．有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率为（）A ．53 B ．103 C ．52 D ．107 6．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回摸球． A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1与A 2是（） A ．互斥事件 B ．独立事件 C ．对立事件 D ．不独立事件7．以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（）A ．3:1B ．1:3C ．2:3D ．3:28．已知水平平面α内的两条相交直线a, b 所成的角为θ，如果将角θ的平分线l '绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动，转动到离开水平位值的l '处，且与两条直线a,b 都成角α，则α与2θ的大小关系是（）A ．2θα≤或2θα≥B ．α>2θ或 α<2θC ．α>2θD ．α<2θ9．地球半径为R ，A 、B 两地均在北纬45°圈上，两地的球面距离为3R π，则A 、B 两地的经度之差的绝对值为（）A ．3πB ．2πC ．32πD ．4π10．在（312xx -）8的展开式中常数项是（）A ．－28B ．－7C ．7D ．2811．从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号、2号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有（）A ．144种B ．180种C ．240种D ．300种12．两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为（） A ．19 B ． 20 C ．21 D ．22第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答． 13．在的系数为的展开式中226,)1()1(x x x x ++- ．14．甲说：“我有4个朋友，有男的，有女的且女的数不少于男的数，他们的年龄都不相同”；乙说：“我猜其中年龄最大的是女的，年龄最小的是男的。

同济大学高数B下期末考试题

同济大学2009-2010学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=)1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为122146x y z --+==-.2. 函数2ln(2)z x y =+在点(1,2)处沿方向(1,2)l =-的方向导数为25.3. 设(,,)f x y z 为连续函数,则三次积分22221200(,,)x y x y dx f x y z dz--+⎰⎰的柱面坐标积分形式为221220(cos ,sin ,)d d f z dzπρρθρρρθρθ-⎰⎰⎰.4. 设函数()f x 具有一阶连续函数,且(0)1f =,若曲线积分222()(())Lxyy dx yf x y dy +++⎰在整个平面上与路径无关, 则2()21f x x x =++.5. 曲面积分(4)32xz dS π∑+=⎰⎰, 其中222:4,0x y z z ∑++=≥6. 设函数222ln()u x y z =++, 则(1,1,1)2div(gradu)3=.7. 若幂级数0n n n a x ∞=∑在点2x =处收敛, 在点2x =-处发散, 则幂级数1(1)n nn a x n∞=-∑的收敛区间为(1,3)-8. 设()f x 是以2π为周期的周期函数,它在(,]ππ-上的表达式为2,0()210x x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则()f x 的傅里叶级数在点5x π=处收敛到12π-二. 解答题(68')9. (8')证明函数326,(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处不连续.[30,01lim(,)0,lim (,)2x y x y f x y f x y =→=→==] 10. (10')计算二重积分sin Dydxdy y⎰⎰, 其中D 是由直线y x =与y =所围成的闭区域.[210sin 1sin1yyy I dy dx y==-⎰⎰]11. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++-⎰⎰⎰, 其中Ω是由平面1x y z ++=与三坐标平面所围成的闭区域.[120555(1)224I zdV z z dz Ω==-=⎰⎰⎰⎰]12. (10')计算曲线积分22Lxdy ydxx y-+⎰, 其中L 为椭圆22142x y +=(按顺时针方向绕行).[222222222221122()x y x y Q P y x xdy ydxI dxdy x y x y x y π+=+≤∂∂--==⇒===∂∂++⎰⎰⎰]13. (10')计算曲面积分 222()()x y z dydz xy z dxdy ∑++++⎰⎰, 其中 ∑ 为曲面:22(04)z x y z =+≤≤, 取上侧. [22224(4)4(4)(3)64,728z x y z x y I x z dV I πππΩ=+≤=+≤+=-+=-=-⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰下侧下侧]14. (10')将函数21()32f x x x =++展开成(1)x -的幂级数, 并指出展开式成立的范围.[1101111()(1)()(1)(13)1224n n n n n f x x x x x ∞++==-=----<<++∑]15. (8')求幂级数201(2)!!nn n xn ∞=+∑的收敛域与和函数, 并由此求级数201!n n n ∞=+∑的和.[22101111(,),()()()(24),(2)3(1)!2!24xn n n n n x x S x x x e S e n n ∞∞==-+Ω=-∞+∞=+=++=-∑∑]同济大学2010-2011学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 直线11211x y z -+==--与平面220x y z ++-=的夹角为6π.2. 向量函数222(,,)F x y y z z x =在点(1,2,1)-处的散度为2-.3. 质点在变力(,,)F yz xz z =-的作用下, 沿螺旋线:2cos ,2sin ,x t y t z t Γ===,从点(2,0,0)M 运动到点(2,0,)N π-, 则变力F所作的功为252π.4.闭区域22{}D x y =+≤, 则积分2275()2Dx y d σπ+=⎰⎰.5. 若级数0(1)n n n a x ∞=+∑在点32x =处条件收敛, 则该级数的收敛半径52.6. 函数2sin x 的麦克劳林展开式为12121(1)2(2)!n n nn x n --∞=-∑.7. 若1()sin n n S x b nx ∞==∑是函数()((0,))f x x x ππ=-∈的正弦展开式, 则()22S ππ-=-8. 设Ω是由22z x y =+与平面1Z =所围的有界闭区域,1Ω是Ω位于0,0x y ≥≥的部分,则下列等式中正确的是C1:4A xdV xdVΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;1:4B ydV ydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;1:4C zdV zdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;1:4D xydV xydVΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.二. 解答题(68')9. (8')求曲线222222102x y z x y z ⎧++=⎨-+=-⎩在点(1,2,1)处的切线与法平面方程.[121,812208112x y z x y z ---==+-+=-]10. (10')计算曲面积分2(2)x y dS ∑+-⎰⎰, 其中∑是球面2224x y z ++=被曲面.z =截下的较小部分的曲面.[2222222((1603x y I x y d ππθρ+≤=++==-⎰⎰⎰] 11. (10')将函数220()ln(1)xt f x x x e dt -=++⎰展开成x 的幂级数,并指出展开式成立的范围.[21111()(1)(),[1,1]!(21)n n n f x x x x n n n∞+==+--∈-+∑]12. (10')计算曲面积分2xzdydz ydzdx yzdxdy ∑++⎰⎰, 其中∑为曲面2221(0,0)x y z x z ++=≥≥取前侧.[2222219()(24xyD y I x yz dxdy x dxdy z π∑=++=+=⎰⎰⎰⎰]13. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面2221x y z +-=与平面1,2z z ==所围成的有限闭区域.[222211214x y z I zdzdxdy π+≤+==⎰⎰⎰] 14. (10')()f x 是周期为4π的偶函数, 在[0,2]π上()2f x x π=-. 求该函数的傅里叶展开式, 并由此求级数的和211n n∞=∑.[222118211()cos ,(,)(21)26n k f x x x k nπππ∞∞=-=+∈-∞+∞⇒=-∑∑]15. (10')设()f x 为区间[,]a b 上的连续函数,且()0f x >,证明21()()()bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰[2()1()()()()()2()()bbb b b b a aa a a a f x f x f y dxdy dxdy dxdyb a f y f y f x ==+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰] 同济大学2011-2012学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=) 1. 极限22(,)(1,1)sin()lim 2x y x y x y→--=+.2. 若函数 (,)f x y 具有连续的偏导数, 且 (1,2)2,(1,2)1x y f f ==-,则极限21(,1)(1,2)lim 31t f t t f t →+-=-.3. 由32210z x xyz e e --+-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的偏导数(1,1,1)11z x e∂=∂- 4. xoy 平面上曲线L 的方程为(,)0F x y =, 若将该曲线关于直线0y x +=对称得到曲线'L , 则'L 的方程为(,)0F y x --=.5. 函数(,)f x y 在某点沿任意方向的方向导数存在是函数在该点可微分的什么条件? [ B ]:A 充分条件;:B 必要条件; :C 充分必要条件;:D 无关条件.6. 若常数项级数1n n u ∞=∑收敛, 则下列各项判断中正确的判断是:[ D ]21:nn A u∞=∑一定收敛;1:n n u B n∞=∑一定收敛; 1:nn C nu ∞=∑一定发散;:D 对于常数p , 如果1n n u ∞=∑收敛就可判断1n pn u n ∞=∑收敛, 必有1p >.7.Ω是球体2222x y z R ++≤, 1Ω是球体Ω位于第一卦限内的部分(0,0.0)x y z ≥≥≥,则积分23()x y z dv Ω++⎰⎰⎰等于[ B ]123:8()A x y z dvΩ++⎰⎰⎰;12:8B y dvΩ⎰⎰⎰;12:8()C x y dvΩ+⎰⎰⎰;12:24D y dv Ω⎰⎰⎰.8. ∑是空间光滑的有向曲面片, Γ是与∑正向联系∑的有向边界曲线, 则由斯托克斯公式22(2)()()xz y dx xy z dy z x dzΓ+++++⎰等于[ D ]:2A zdydz xdzdx dxdy∑++⎰⎰;22:(2)()()B xz y dydz xy z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰;:(21)C z x dS ∑++⎰⎰; :2(1)D zdydz y dxdy ∑-+-⎰⎰.二. 解答题(6'212⨯=) 1. 求曲线 23322030x yz x y z ⎧--=⎨+--=⎩ 在(1,1,1)-点的切线方程.[111571x y z --+==-] 2. 计算Dxydxdy ⎰⎰, 其中D是由y =与y 所围成的有界闭区域. [196I =] 三(8')求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值, 并说明是极大还是极小值.[min 11(0,)f e e=-] 四(8')已知()f x 是[0,]π上的连续函数, 若将()f x 分别展开成周期为2π的傅里叶余弦和正弦级数, 它们分别为余弦级数01cos 2n n a a nx ∞=+∑; 正弦级数1sin n n b nx ∞=∑. 试写出系数n a 与n b 的计算公式, 并求函数()0(),10f x x F x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩周期为2π的傅里叶级数.[略]五(10')求曲面3=上的点(,,)(0)x y z xyz ≠, 使得该点处的切平面与三个坐标平面所围四面体的体积最大. [体积V =max 111(1,,)498V ⇒=] 六(10')如果曲线积分22(1)(2())Lx y y dx xy x dy ϕ+++-⎰与路径无关, 其中()x ϕ是可导函数, 并且满足(0)1ϕ=, 求函数()x ϕ, 并计算积分22'(1)(2())L x y y dx xy x dy ϕ+++-⎰, 其中'L 是沿曲线2x y xe=从(0,0)到(1,)e 的弧段.[31()13x x ϕ=-+2'213L e e ⇒=+-⎰] 七(10')∑是由曲面1z =223()1z x y =+-所围立体的边界曲面, 它的法向指向曲面的外侧, 计算曲面积分32221()(2)()3x yz dydz xy y z dzdx x y z dxdy ∑+++++⎰⎰.[221122200312(22)5I x x yz y dv d d dz πρρθρρρπ+-Ω=+++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰]八(10')求幂级数3111()(1)3n n n x n∞=+-∑的收敛域与其和函数.[333(1)[0,2);()ln[1(1)]3(1)x S x x x -Ω==-----九(8')判别常数项级数111121n na∞+++=∑的收敛性(0)a >, 并对自己的判断给出证明.[111ln ln 1ln ln 2111ln 11ln 1:2a nn a nn n a n a a a n a e na++++<+++<+⇒>=<<=⇒>收敛]同济大学2012-2013学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'8⨯) 1. 经过三点(1,1,3),(2,1,4),(3,0,1)A B C -的平面方程为543180x y z -+-=;点(2,0,1)到该平面的距离为2.2.yoz 平面上的直线2z y =-+绕着z 轴旋转一周所得的曲面方程在二次曲面中, 该曲面的类型是圆锥面 . 3.Ω是上半球体22210x y z z ⎧++≤⎨≥⎩, ∑ 是 Ω 的边界曲面外侧, 1∑ 是上半球面2221,0x y z z ++=≥ 的上侧, 则利用高斯公式计算可得 24()(2)(1)3x y dydz y z dzdx x z dxdy π∑-+++-+=⎰⎰;积分127()(2)(1)3x y dydz y z dzdx x z dxdy π∑-+++-+=⎰⎰.4. (1,2,2),(4,5,2)A B --是空间两点, L 是以,A B 为两端点的直线段,AB L 是以A 为起点B 为终点的有向直线段, 则1;14ABLL ds dz ==⎰⎰.5.D是由曲线22y x =与3y x=-所围的有界闭区域, 则积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰等于 [ A ]()A 213322(,)xxdx f x y dy --⎰⎰; ()B 212332(,)x xdx f x y dy --⎰⎰;()C 9223(,)ydy f x y dx -⎰; ()D 9322(,)y dy f x y dx -⎰. 6.积分222211()x y I x y dxdy+≤=+⎰⎰,222222,0()x y y I x y dxdy+≤≥=+⎰⎰,224431()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰,223341()x y I x y dxdy+≤=+⎰⎰, 则有[D ]1234()A I I I I >>>;1243()B I I I I >>>;4321()C I I I I >>>;2134()D I I I I >>>.7.xoy 平面上密度为(,)x y μ的薄片D 对z 轴上位于(0,0,2)-点单位质点的引力为 (,,)x y z F F F F =,G是引力常数, 则[ B ]32222(,)()()z DG x y A F dxdy x y z μ=++⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y B F dxdy x y μ=++⎰⎰;32222(2(,)()[(2)]z DG z x y C F dxdy x y z μ⋅-=++-⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y D F dxdy x y μ-=++⎰⎰.8. ∑是抛物面222,0z x y z =--≥的上侧, 则由两类曲面积分的联系,(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy∑++⎰⎰等于[ C ]()(22)A P x Q y R dS ∑⋅+⋅+⎰⎰;()B ∑;()C ∑;()D ∑.二. (4'3⨯)1. 试求曲线21ln(1),t x t y t z e -==+=在参数1t =所对应点的切线与法平面方程.[1ln 21,426ln 20412x y z x y z ---==++--=] 2. 试求由方程3222xz z xy +-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的全微分(1,1,1)dz .[(1,1,1)1255dz dx dy =-+] 3. 占有上半圆224,0x y y +≤≥的薄片面密度为2(,)()1x y x y μ=++,试计算该薄片的质量.[2[()1]6DM x y dxdy π=++=⎰⎰]4. 将函数21()6x f x x x -=--展开成1x +形式的幂级数.[0311131()[(1)](1),11151110510414n nnn f x x x x x ∞==⋅-⋅=--++<+++⋅-∑] 5. 将函数0,02()22x f x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩展开成周期为2π的余弦级数.[141sin cos 2n n nx n ππ∞=-+∑]三. (8')求幂级数202(1)(1)n n n n x ∞=+-∑的收敛区间与和函数.[2211,()2[12(1)]x s x x -<=--]四. (10')Ω是由曲面z =以与2z =所围成的立体, 其体密度为22x y μ=+.(1)计算Ω关于z 轴的转动惯量;(2)试写出Ω关于平行于z 轴的直线0;1x x y ==转动惯量的计算公式(无需计算)[22222220128();()[()(1)]21z l I x y dv I x y x x y dv πΩΩ=+==+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰]五. (10')任意取定球面22228x y z ++=上一点并且任意给定一个方向, 都可以求出函数2(23)u x y z =++在给定点沿给定方向的方向导数, 试求出所有这些方向导数中的最大与最小值.[222223,(23)(28)gradu y z L x y z x y z λ=++=+++++-max min (P gradu gradu ⇒=±±==-六. (10')已知222222ax by x ydx dy x y x y+++++是某个二元函数的全微分. (1)试求出常数,a b ; (2)计算积分222222Lax by x ydx dy x y x y+++++⎰, 其中L 是逆时针方向的曲线221x y +=.[2221(1)2,1;(2)(2)()Lx y a b x y dx x y dy +===-=-++=⎰⎰]七. (8'){}n u 是斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,, 即12111,1,n n n u u u u u +-===+,2,3,n =, 试分析级数11n nu α∞=∑的收敛性, 其中α是实常数.[11113312,2(),()2223n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u -++><⇒>+=><α⇒≤时,级数显然发散; 0α>时,级数收敛]同济大学2013-2014学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 以空间三点(2,3,1),(1,2,3),(0,1,2)A B C ----为顶点的三角形面积2A =.2. 两平面20x y z --=与223x y z ++=的夹角余弦cos 6θ=.3. 曲面2:ln(21)z x y ∑=-+在(2,2,0)的法线方程为22421x y z--==--.4.D 是以(1,1),(1,1)-以与(1,1)--为顶点的三角形闭区域, 则积分3(2)4Dxy dxdy -=-⎰⎰5. 函数(,)f x y 具有连续的偏导数, 已知//(,)0,(,)0x y f x y f x y <>, 如果(1,1)a f =,(1,1)b f =-(1,1)c f =--,(1,1)d f =-四个数中最大的数是M , 最小的数是m ,则有【D 】 (),A M a m d ==;(),B M c m a==;(),C M d m b==;(),D M b m d ==.6. 将110(,)xdx f x y dy ⎰⎰化成极坐标的二次积分式时, 下列正确的是【C 】 2cos 20()(cos ,sin )A d f d πθθρθρθρρ⎰⎰cos 20()(cos ,sin )B d f d πθθρθρθρρ⎰⎰;2sin 204()(cos ,sin )C d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰;sin 204()(cos ,sin )D d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰.7.Ω是由圆锥面z =与半球面z =所围的空间立体, 则将积分22(,)I f x y z dxdydz Ω=+⎰⎰⎰化成柱面坐标计算时, 下面正确的三次积分式是【C 】22200()(,)A d d f z dzπρθρρρ⎰⎰;2220()(,)B d d f z dz πρθρρρ⎰⎰;2200()(,)C d f z dzπρθρρρ⎰;220()(,)D d f z dz πρθρρρ⎰.8. 已知0(1,2,3,)n u n ≤=, 则1n n u ∞=∑发散的充分必要条件是【A 】1()lim nkn k A u →∞==-∞∑;()lim n n B u →∞=-∞;()C {}n u 是无界数列;1()lim nk n k D u →∞==+∞∑.二. 计算下列各题(6'530'⨯=)1. 在经过点(1,0,2)-的平面与球面222(1)(1)12x y z +-++=相交的所有圆弧中, 求出圆弧长度的最小值.[6π] 2.求函数2ln (1)yz x =+的全微分(1,)e dz .[122ln 2dx e dy -+]3. 计算22()Dx y x dxdy +-⎰⎰, 其中D 是由224,x y y x +≤≥确定的扇形区域. [2π]4. L 为平面内光滑的简单闭曲线, 并取正向, 求曲线积分 2323(sin )()yLy y x dx e x dy-++-⎰的最大值.[2222331(133)6x y I x y dxdy π+≤≤--=⎰⎰]5. 判断级数111(cos )nn en∞=-∑的收敛性, 并给出判断理由.[1nu n发散] 三. (10')求由方程221z x z x y e --+=所确定函数(,)z z x y =的偏导数(1,1,1)(1,1,1),z zx y ∂∂∂∂以与二阶偏导22(1,1,1)z y ∂∂.[22(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)111,,39z z zx y y ∂∂∂===-∂∂∂] 四. (10')Γ是曲面2z xy =与柱面1x y +=的交线, 从z 轴正向看向z 轴的负向, 曲线Γ是顺时针方向的,计算曲线积分23(2)(3)(23)x yz dx xy x z dy x y dz Γ-++++++⎰.[22(33)31xyD I x y dxdy x dxdy ∑=+=-=-⎰⎰⎰⎰]五. (10')求幂级数021n n n x n ∞=+∑的收敛域, 以与该幂级数在收敛域内的和函数.[111()ln(12),[,0)(0);(0)1222S x x x S x =--∈-=] 六. (8')计算222(2)(2)z xy dydz x e dzdx x z y dxdy ∑++++⎰⎰, 其中∑是曲面z =位于02z ≤≤的部分, 曲面法向与z 轴正向的夹角为钝角. [645π-]七. (8')()[0,]f x C π∈, 已知0()f x dx ππ=⎰, 求常数12,,,n c c c , 使得积分 201[()cos ]nk k f x c kx dx π=-∑⎰取得最小值,并说明1lim cos ()nk n k c kx F x →∞==∑在[,]ππ-上的函数表达式.[0()102()cos ,(),()10k f x x c f x kxdx F x f x x ππππ-≤≤⎧==⎨---≤<⎩⎰] 同济大学2014-2015学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 已知三向量:(2,1,1),(1,3,1),(1,,2)a b c y =-==-共面, 则常数2y =. 2.设(,)sin(23)f x y x y =+, 则极限(2,)(,)lim4cos(23)x f x x y f x y x y x∆→-∆-=-+∆.3. 已知可微函数(,)f x y 的偏导数(1,1)(1,1)1,2ffx y --∂∂==∂∂, 则函数(,)g x y =2(32,3)f x y x y --+在(,)(1,2)x y =点对变量y的偏导数(1,2)6g y∂=∂.4. 已知连续函数22(,)(,)Lf x y x y f x y ds =+-⎰, 其中L 是上半圆周222,0x y r y +=≥,则322(,)1r f x y x y rππ=+-+.5. 设D 是由22222,4x y x x y +≥+≤所确定的平面闭域, L 是D 的正向边界, 则积分 222(2)(2)6xLy e xy dx x xy x dy π++++=⎰.6. 设D是平面闭域: 22,x y y y x +≤≥. 则将二重积分22()DI f x y dxdy =+⎰⎰化为极坐标下的二次积分时,I等于【A 】sin 2204()2()A d f d πθπθρρρ⎰⎰; 32sin 244()()B d f d πθπθρρ⎰⎰;1200()()C d f d πθρρρ⎰⎰; 3sin 2404()2()D d f d πθπθρρρ⎰⎰.7. 已知常数项级数1n n u ∞=∑收敛, 则下列收敛的级数是【C 】21()n n A u ∞=∑;11()n n n B u u ∞+=∑;11()2n n n u u C ∞+=+∑;1()(1)n n n D u ∞=-∑.8. 设1nn n a x ∞=∑的收敛半径为0,1R ≠, 则231()n n n n a x x ∞=+∑的收敛半径为【D 】(A ;(B ;()C ;(D .二. 计算下列各题(6'424'⨯=) 1. 求曲面2arctan 1xz y -=在(1,0,1)点的切平面与法线方程.[(1,1,2)n =-]2. 22(,)(1)y f x y x =+,当ρ=充分小时, 求(1,1)f x y +∆+∆的一阶近似值a b x c y +∆+∆, 即(1,1)()f x y a b x c y +∆+∆-+∆+∆是ρ的高阶无穷小()o ρ.[488ln 2x y +∆+∆] 3. 计算曲面:12z xy∑=-位于222,0x y y +≤≥部分的面积.[136π] 4. 设()f x 是(,)-∞+∞上的连续函数, 记002()a f x dxππ=⎰,2()cos n a f x nxdx ππ=⎰,2()sin n b f x nxdxππ=⎰. 求出三角级数的和函数01()(cos sin )2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑在(,]ππ-上的表达式.[2()0(),,(0)(0),()()00f x x S x S f S f x ππππ<<⎧===⎨-<<⎩] 三. (8')在平行六面体ABCDEFGH中, 已知(1,1,2),(2,1,1),(1,2,0),(3,0,2)A B C H ----求(1),,D E G点的坐标; (2)该平行六面体的体积.[(2,0,3),(6,1,3),(4,2,5);10V ----=] 四. (10')已知曲线积分22()()Lx ay dx x y dyx y ++++⎰在不包含x 轴负半轴的区域内与路径无关.(1)求常数a ;(2)计算上述积分,其中是上半平面从(1,0)到(0,1)的光滑曲线段331x y +=.[1;2a I π=-=]五. (10')计算曲面积分222()()(1)xy yz dydz x y z dzdx yz dxdy ∑++-++⎰⎰, 其中有向曲面22:(1)z x y z ∑=+≤的法向与z 轴的夹角是钝角.[56π-] 六. (10')求幂级数30(1)21n n nn x n ∞=-⋅+∑的收敛域与和函数.[331()ln(12),2S x x x x =+< 七. (14')(1)如果直线l 与直线'l 的夹角为(0)2πθθ<<, 相距为0a >.判别直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑的类型并给出判别的理由; (2)若直线l 的方程为:132212x y z ++-==, 直线'l 的方程为213431x y z ---==-, 试求由直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑以与相距为2且垂直于直线l 的两平面所围立体体积的最小值.[(1)单叶双曲面;(2)''3,cos ll ll d θ==;取222104:925(11),3x y z z V π∑+=+-≤≤=]同济大学2015-2016学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 设cosy xu xe =, 则(1,)2(1)2du dx dyππ=+-.2. 设曲面10xy yz zx ++-=在点(1,2,3)M --处的法向量为n , 其与z 轴正方向的夹角为锐角, 则函数23ln()z xy y e ++在点(1,2,3)M --处沿n 方向的方向导数为5-.3. 交换二次积分的次序1221022112(,)(,)(,)yx dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy--+=⎰⎰⎰.4. 设空间立体Ω由平面0,1z z ==以与曲面22231x y z +-=所围成, 则三重积分3333()4x y z dv πΩ++=⎰⎰⎰.5.设曲线:(01)L y x =≤≤, 则曲线积分2()12Lx y ds π+=+⎰.6. 设在平面上, 曲线积分33()()4x x x xLa e e dy y e e dx π--+-+⎰与路径无关, 则常数12a π=-.7.设无穷级数1(1)n n ∞=-∑绝对收敛, 则k 的最大取值范围是12a k =>.8. 设102()2,2x f x x x ππππ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩, 将()f x 展开为正弦级数1sin n n b nx ∞=∑, 若该级数的和函数为()s x , 则53()24s π-=-.二.(10')设(,)z z x y =是方程22222880x y z yz z +++-+=确定的隐函数, 且(0,2)1z -=,求22(0,2)(0,2)z zx x--∂∂∂∂，.【22(0,2)(0,2)415z zx x--∂∂=∂∂=0，】三.(10')在椭圆锥面1z =xoy 面所围成的空间闭区域中放置一个长方体, 它的各个侧面均平行于坐标面, 求该长方体的最大体积.【222max 114,2(1),33327V xyz x y z x y z V =+=-⇒===⇒=】四.(10')计算三重积分z Ω-⎰⎰⎰, 其中Ω是由0,1z z ==所围成的闭区域.【2121100000()()1243I d d z dz d d z dz πρπρπππθρρρθρρρ=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰】五.(10')求曲线积分222(1)(12)yy Ly e dx x y e dy +++⎰, 其中L 为从(0,0)O 沿曲线x =到(1,1)A 的有向弧段.【01(1)(1)014DI d e dy e πσ=--+-=+-⎰⎰⎰】六.(10')计算曲面积分2332()(2)()yx e dydz y yz dzdx z y dxdy ∑-+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面z =位于0z =与1z =之间的部分的下侧.【0222373()()1010I x y dv z y dxdy πππ∑+∑∑Ω∑=-=+--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】七.(10')求幂级数131nn n n ∞=⋅+∑的收敛半径与和函数.【213111,()ln(13),(,)313333x R s x x x x x ==++-∈--】八.(8')设级数1[ln ln(1)ln(3)]n n a n b n ∞=++++∑收敛, 求常数,a b .【310312(1)ln 0()3012n a a b a b u a b n a b n n b ⎧=-⎪++=⎧+⎪=++++⇒⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩】同济大学2016-2017学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=) 1. 已知直线L过点(1,2,3)M -, 与z 轴相交, 且与直线1332:232x y z L ---==-垂直, 则直线L 的方程为123122x y z +--==--.2. 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)P -处的梯度为244(,,)999-.3. 设20sin (,)1xyt f x y dt t =+⎰, 则22(0,2)4fx∂=∂.4. 设(,)f x y 连续,化二次积分1201(,)x dx f x y dy -⎰⎰为极坐标形式的二次积分:22sin 42cos sin 04(cos ,sin )(cos ,sin )d f d d f d ππθθθπθρθρθρρθρθρθρρ++⎰⎰⎰⎰.5. 设空间立体Ω由平面0,0,0,1x y z x y z ===++=围成, 则三重积分1(253)6x y z dv Ω+-=⎰⎰⎰.6. 无穷级数11133ln32n n n ∞-==⨯∑.7. 设级数1n n a ∞=∑收敛, 则下列必收敛的级数是[ D ]11:(1)n n n a A n∞-=-∑;21:nn B a∞=∑;2211:()n n n C a a ∞-=-∑;11:()n n n D a a ∞+=+∑.8. 若幂级数1nn n a x ∞=∑在2x =-处条件收敛, 则21(1)n n n a x ∞=-∑的收敛区间为 [ D ]:(2,2)A -;:(B ;:(1,3)C -;:(1D .二.(8'216⨯=) 9.设函数3222222,0(,)00x yx y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩, 求(0,0)yx f .[1]10. 求曲面222x z y =+上平行于平面224x y z +-=的切平面方程. [223x y z +-=] 三.(10')计算二次积分11221xx dx dyx y ++⎰⎰.[13(ln )222π+]四.(10')计算曲线积分224Lydx xdyx y -+⎰, 其中L 是正向圆周229x y +=.[π-]五.(10')求曲面22z x y =-夹在圆柱面222x y +=与226x y +=之间的曲面面积, 并求相应的形心坐标(其中曲面的密度1ρ=). [49,(0,0,0)3A M π=]六.(10')计算曲面积分22232()()()y xy e dydz yz z dzdx zx xy dxdy -+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面22(1)z x y z =+≤的下侧.[6π]七.(10')将函数22134x x x ++-展开成2x +的幂级数, 并指出相应的收敛范围.[2102111(1)7[](2),4034532n n n n n x x x x x ∞+=+-=-++-<<+-∑]八.(10')设函数()g x 是(,)-∞+∞上周期为1的连续函数, 且10()0g x dx =⎰,函数()f x 在区间[0,1]上有连续的导数, 记10()()n a f x g nx dx =⎰, 证明: 级数21n n a ∞=∑收敛.[0()()xG x g t dt =⎰,110011()()()'()n a f x dG nx G nx f x dx nn ==-⎰⎰,22n M a n ≤]。

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)
A.
)
A. l
B.
l
C. l
D. l与斜交 )条件
3. 函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处存在偏导数是函数在该点可微的( A. 充分而不必要 C. 充分必要 B. 必要而不充分 D. 既不充分也不必要 )
D
4. 若区域 D {( x, y) | x2 y 2 a2} ，则二重积分 xy dxdy ( A. 0 B. a 4 ) C.
( x , y ) (0,0)
lim
xy 1 1 xy
1 x2 0 0
. .
5. 将二次积分 dx f ( x, y)dy 化为极坐标形式的二次积分为 6. 幂级数
n 1 2n x 的收敛区间为 n n 1 2

.
福建师范大学试卷纸
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三、解答题(每题 8 分，共 40 分)
1 4 a 2
D. a 4
5．下列级数中收敛的是( A.
1 n 1 n

B.
n
n 1
1 n
C.

n 1

1
3
n
2
D.

n 1

1 n
二、填空题(每题 3 分，共 18 分)
1. 若反常积分
1
1 dx 收敛，则参数 p 的取值范围是 xp
.
2. 已知 y e x , y e2 x 是某个二阶常系数齐次线性微分方程的两个解，则该方程为 . 3. 设 a, b , c 均为单位向量，且满足 a b c 0 ，则 a b b c c a 4. 极限 .
福建师范大学
2009 — 2010
数学与计算机科
学院
D 卷
学年第 2 学期期末考试
专
业：高等数学 B 2010
一二
年
级：
2009 120 点分钟 00 分
课程名称: 考试时间:
线题号得分题号订得分六
任课教师：谢碧华等考试用时： 24
四
试卷类别：开卷（）闭卷（√ ）年 06 月
三
日上
五
午
9
总得分
评卷人
＿＿
装
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一、单选题(每题 3 分，共 15 分)
1．微分方程 y 6 y 9 y 0 在初始条件 y |x0 2, y |x0 0 下的特解为(
1 2x 1 xe B. xe3 x C. 2 x D. 2 xe3 x 2 2 x3 y4 z 2. 直线 l : 和平面 : 4 x 2 y 2 z 1 0 的位置关系是( 2 7 3
xy 2 2 x2 y 2 x y 0 四、 (共 0 分) 判断二元函数 f ( x, y) 在原点 (0, 0) 处的连续 2 2 0 x y 0
性, 并求偏导 f x ( x, y) 和 f y ( x, y) .
(1)n 1 n 五、 (共 10 分) 设幂级数 x 的和函数为 s( x) . n n 0

(1) 求幂级数的收敛区间； (2) 在收敛区间内求和函数 s( x) ； (3) 求交错级数
(1) n 1 的和.. n n 0

六、(共 7 分) 设 f (u ) 连续，试证：
x y 1

f ( x y)dxdy f (u)du
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1. 求微分方程 ( y x3 )dx xdy 0 满足 y |x 1
3 条件的特解. 2
2. 设 w f ( x y z, xyz ) , f 具有二阶连续偏导，求的二阶偏导
2w . x y
3. 求柱面 x2 y 2 ax 所围成的柱体被球面 x2 y 2 z 2 a2 所截得立体图形的体积. 4. 求周长等于 2a (a 0) 而面积为最大的三角形的面积. 5. 把函数 arctan x 展成 x 的幂级数，其中 x (1,1) .