最好的专转本数学模拟试题与解析(六)

B、 f ′(x) < 0 , f ′′(x) > 0
C、 f ′(x) > 0 , f ′′(x) < 0
D、 f ′(x) > 0 , f ′′(x) > 0
解析：该题考察可导的奇偶函数的导数性质。 f (x) 可导，
若 f (x) 为奇函数，则 f ′(x) 为偶函数；若 f (x) 为偶函数，则 f ′(x) 为奇函数。（其逆不全 成立，）因为偶函数的原函数相差常数 C ，当 C ≠ 0 时非奇非偶。故本题答案选 C
研究一般项级数的流程应是先判别绝对收敛，若加绝对值发散则研究级数的条件收敛
∑ 性。一般项级数中最重要的一类级数为交错级数 (−1)n an （ an ≥ 0 ）。 ∑ 交错级数的莱伯尼兹判别法：对于级数 (−1n )an
若
（1） an
≥
0
，即级数是交错的，（2）
an
单调下降，（3）
lim
n→∞
an
=0
1
)
1 x
=
e
x→∞
x
C、 lim x sin 1 = 1
x→∞
x
D、 lim x sin 1 = 1
x→0
x
解析：求极限时，先判断极限类型，本题考查两个重要极限
sin
sin
sin x
1
（1） lim = 1或 lim = 0 ；易知 lim = 1 = lim x sin
→0
→∞
x→0 x
x→∞
x
7、已知 f ′(0) = 2 ，则 lim f (h) − f (−h) =
h→0
h
解析：该题考察导数定义
f
′(
x0
)
=
lim
h→0
f
( x0
+ h) − h
f
(x0 )
或
f
′(x0 )
= lim h→0
f
( x0
+ h) − h
f
(x0 )
；
式子当中的 h 应当理解为中间变量，看成文字。
于是 lim h→0
lim f (x) = ∞ ，称 f (x)是g(x)的低阶无穷小量； g(x)
lim f (x) = C(≠ 0, ∞) ，称 f (x) 与 g(x) 是同阶阶无穷小量；当 C = 1时，称两者为等价无 g(x)
穷小量。记住九个常用的等价无穷小量。
当 x → 0 时， sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arctan x ~ x ， ex −1 ~ x ， ln(1 + x) ~ x ，
<
p
≤ 1时条件收敛，
p
≤
0 时发散。
9
n
B 选项显然发散，因为 lim
= 1 ，破坏级数收敛的必要条件。
n→∞ n +1
∑ 记住
∞ n=1
1 np
:当
p
> 1时收敛，
p
≤ 1时发散。
∑ ∑ an 绝对收敛 ⇔ an 收敛。原级数绝对收敛必收敛。
∑ ∑ ∑ an 条件收敛 ⇔ an 发散，而 an 收敛
∫a
f
(x)dx
=
⎧⎪0, ⎨
a
f (x)为奇函数
；
∫ −a
⎪⎩ 2 0 f (x)dx, f (x)为偶函数
11
∫ 1 x tan 2x
(
−1
1+ x2
+
1− x2 )dx
∫ ∫ =
1 −1
x tan 2 1+ x2
x
dx
+
1 −1
1− x2 dx
1 =0+ π
2
∫ 这里因为函数
f
(x)
=
x tan 2 x 1+ x2
无穷小，则正整数 n = （ ）
A、1
B、2
C、3
D、4
解析：在变量的某个变化过程中，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，我们关心它趋 于零的速度。其速度是用“阶”来衡量的。
若 lim f (x) = lim g (x) = 0 （同一极限过程）
lim f (x) = 0 ，称 f (x)是g(x)的高阶无穷小量； g(x)
解析：该题考查原函数与不定积分的基本概念，凑微分法。
如果 F ′(x) = f (x) ，称 F (x) 为 f (x) 的一个原函数，不同的原函数之间只会相差常数 C 。
不定积分就是找那些导数为 f (x) 的所有函数全体（只相差任意常数 C ），不定积分求解正
确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。
sinn x
xn
lim
= lim = 0 ，得 n > 2 ；
x→0 1− cos x x→0 1 x2
2
故本题答案选 C
3、若 f (x) = f (−x) ，且在 [0,+∞)内 f ′(x) > 0 、 f ′′(x) > 0 ，则在 (−∞,0) 内必有（ ）
A、 f ′(x) < 0 , f ′′(x) < 0
b(x)
∫( f (t)dt)′ = (F[b(x)] − F[a(x)])′ = f (b(x))b′(x) − f (a(x))a′(x) a(x)
变下限函数的求导公式，只需交换积分上下限，结果相差一个负号，于是
∫ ∫ Φ′(x) = ( 2 et cos tdt)′ = (− x2 et cos tdt)′ = −2xex2 cos x2
x→∞ x
该题有两条渐近线 故本题答案选 B
5、设 f (x) 有连续的导函数，且 a ≠ 0 、1，则下列命题正确的是（ ）
A、 ∫
f
′(ax)dx
=
1 a
f
(ax) + C
B、 ∫ f ′(ax)dx = f (ax) + C
C、 (∫ f ′(ax)dx)′ = af (ax)
D、 ∫ f ′(ax)dx = f (x) + C
行的充要条件是向量积为 0 向量或分量对应成比例）
由条件
r a
⋅
r b
= {3, λ, −2}⋅{λ, 2, −1} = 0 ，
即 3λ + 2λ + 2 = 0
是奇函数，故积分为零，积分
1 −1
1− x2 dx 表示半径为1的上
半圆的面积。
2
2x
∫ ∫ 11、交换积分次序 dx f (x, y)dy =
0
x
解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别
是对称型简化积分计算。
在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的
∫ 于是，有性质
f ′(x)dx
=
f
(x) + C ；
d dx
∫
f (x)′(ax)dx
=
1 a
∫
f ′(ax)d (ax) =
1 a
f
(ax) + C ，故本题答案选 A
6、下列级数条件收敛的是（ ）
∑∞ 2n
A、
n2
n=1
∑∞ n
B、
n=1 n + 1
∑∞ 1 + (−1)n
20
= 1 f (x2 ) ⋅ (x2 )′ = xf (x2 ) 2
上述两例给出化被积函数为“纯 t ”函数的一般方法：直接分离 t 与 x 或通过定积分换元法
实现。
∫ 10、
1 x tan 2 x
(
+
1− x2 )dx =
−1 1 + x2
解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。
另外，可导的周期函数，其导函数仍然是周期函数且周期不变。（这些性质用复合函数求导 法则比较容易得到）
4、曲线
y
=
x2 − 4 x2 − 5x +
6
的渐近线共有（
）
A、1 条
B、2 条
C、 3 条
解析：渐近线有三种，水平，铅直和斜渐近线
若 lim f (x) = A ，表明 y = f (x) 有水平渐近线 y = A x→∞
积分顺序。
⎧ 0≤x≤2
积分区域
D:
⎨⎩ x
≤
y
≤
转化为
2x
D
=
D1
∪
D2
⎧ 0≤ y≤2
其中
D1
:
⎪ ⎨1 ⎪⎩ 2
y
≤
x
≤
; y
⎧ 2≤ y≤4
D2
:
⎪ ⎨1 ⎪⎩ 2
y
≤
x
≤
2
2
2x
2
y
4
2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 故
dx
0
x
f (x, y)dy =
dy
0
1 y f (x, y)dx +
dy
2
1 y f (x, y)dx 。
D、 4 条
若 lim x → x0
f
(x) = ∞ ，表明
y
=
f (x) 有铅直渐近线 x =
x0
f (x)
若 lim = k 存在，且 lim[ f (x) − kx] = b 表明 y = f (x) 有斜渐近线 y = kx + b
x→∞ x
x→∞
因为
y
=
f
(x)
=