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高一年级第二学期五月份测试

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山东省滕州高一下学期5月月考数学试题(解析版)

山东省滕州高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一第四次单元检测数学试题第Ⅰ卷（共60分）一､单选题1. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量均相等 B. 单位向量1e =C. 零向量与任意向量平行D. 若向量，满足，则a b ||||a b = a b =± 【答案】C 【解析】【分析】对于A ：由方向不一定相同否定结论；对于B ：单位向量.否定结论； 1e =对于C ：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D ：，的方向可以是任意的. 否定结论. ab【详解】对于A ：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A 错误； 对于B ：单位向量.故B 错误； 1e =对于C ：零向量与任意向量平行.正确；对于D ：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. ab||||a b =ab故选：C2. 已知（为虚数单位），则的虚部为（ ） ()()23i 4i 7z =+-i z A. -13 B. 13C. -26D. 26【答案】A 【解析】【分析】根据复数的概念与运算法则化简即可.【详解】∵，的虚部为-13. ()()23i 4i 72613i z =+-=--z 故选：A3. 已知向量，若与共线，则等于（ ）()()2,3,1,2==- a b ma nb + 2a b - m nA. B. C. D. 212-122-【答案】A 【解析】【分析】先得出与的坐标，由共线得出，进而得出答案.ma nb +2a b -147m n =-【详解】解：易得，()()2,32,24,1ma nb m n m n a b +=-+-=-因为与共线， ma nb +2a b -所以， ()()()21324m n m n -⨯-=+⨯即，所以. 147m n =-12m n =-故选：.A 4. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A .B.C.D.12【答案】C 【解析】【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，r 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 2l r =则圆锥和圆柱的高为， h ==所以圆锥的侧面积为，2112π2π2S r l r =⨯⨯=圆柱的侧面积为，222πS r h r =⨯=所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 12S S =故选:C.5. 已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）a b ||2||2b a == |2|2a b -=a b A. B.C.D.30︒45︒60︒90︒【答案】C 【解析】【分析】对等式两边平方即可求得夹角. 22a b -= 【详解】，，|2|2a b -=224a b∴-=即，22444a a b b -⋅+=即， 2244cos 4a a b b θ-+=又， 21b a ==，，48cos 44θ∴-+=解得，， 1cos 2θ=[0,]θπ∈所以. 60θ=︒故选：C6. 已知函数在时取得最大值，则（ ） ()sin f x x x =+x θ=πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】化简函数，利用正弦函数的性质可得到，然后用两角和的余弦公式即()f x π2π,Z 6k k θ=+∈可求解【详解】因为在时取得最大值， ()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭x θ=所以，即， ππ2π,Z 32k k θ+=+∈π2π,Z 6k k θ=+∈所以ππππcos 2cos 4πcos 43434k πθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin Z 3434k =⨯-⨯=∈故选：C7. 已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为A BCD -O A BCD -O （ ） A. B.C.D.π2π4π6π【答案】D 【解析】【分析】把正四面体放置在正方体中，转化为正方体外接球问题，求出半径，代入球的表面积公式求解即可.【详解】三棱锥的所有棱长均为2，A BCD -故可把三棱锥放置在正方体中， A BCD -1111A BC D AB CD -如图设正方体的棱长为a ，则，解得2222a a +=a =三棱锥的外接球就是正方体的外接球，A BCD -故球的半径的表面积. O R ==O 24π6πS =⋅=故选：D8. 已知正方体的棱长为分别为的中点，则下列结论： 1111ABCD A B C D -2,,E F 1,AB AC ①；11B C A E ∥②点到平面； E 11A B C ③三棱锥的体积为； 11A B CE -43④与AFCE 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】对于①，利用线线平行的判定即可；对于②③利用三棱锥的体积公式及等体积法转化即可；对于④利用余弦定理即可. 【详解】如图所示，对于①，在正方体中易知,而,∴不平行，故①错误； 11//B C A D 111A D A E A ⋂=11B C A E ，对于②③，设点到平面的距离为，则E 11A B C d，111111111122223232E A B C C A B E A B CE V d V V ---=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯=∴，②③正确；d =1143A B CE V -=对于④，取中点,连接，∥，即易知与的夹角可化为与的1A E H ,AH FH FH ∴CE AFCE AF HF夹角， 111,22AF A C HF EC AH =====由余弦定理可得 222cos sin 2AF HF AH AFH AFH AF HF +-∠==∠=⋅故⑤正确.综上正确的结论有三个， 故选:C二､多选题9. 对于任意两个向量，下列命题正确的是（ ）,a bA. B.a b a b +≤+ a b a b -≤- C.D. 若，则a b a b ⋅≤⋅ a b > a b > 【答案】AC 【解析】【分析】由向量的概念、加法、减法和数量积运算依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，显然正确；对于B ，当为非零向量，且时，显然a b a b +≤+ ,a b a b =-r r，B 错误；20a b a a b -=>-=对于C ，，C 正确；对于D ，向量无法比较大小，D 错误.cos cos a b a b a b a b θθ⋅=⋅=⋅≤⋅故选：AC.10. 在棱长为2的正方体中，与交于点，则（ ） 1111ABCD A B C D -AC BD O A. 平面 1AD //1BOC B. 平面BD ⊥1COC C. 与平面所成的角为 1C O ABCD 45 D. 三棱锥的体积为 1C BOC -23【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行判定定理判断A ，利用线面垂直判定定理判断B ，利用线面夹角的定义判断C ，根据等体积法判断D.【详解】∵平面平面111//,AD BC AD ⊄11,BOC BC ⊂1,BOC 平面，A 对；1∴AD //1BOC因为又平面，平面， ,BD CO ⊥1CC ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以平面11,,BD CC CD CC C ⊥= 1,CD CC ⊂1,COC 平面，B 对；BD ∴⊥1COC 因为平面与平面所成角为 1C C ⊥1,ABCD C O ABCD 1,C OC ∠因为，C 错； 1tan 1C OC ∠=≠145,C OC ∠∴≠ 因为，D 对. 11112212323C BOC C BOC V V --==⨯⨯⨯⨯= 故选：. ABD11. 已知函数的图象为，则下列结论中正确的是（ ） ()3sin22f x x x =C A. 图象关于直线对称 C 5π12x =B. 图象的所有对称中心都可以表示为（） C ππ,062k ⎛⎫+⎪⎝⎭k ∈ZC. 函数在上的最小值为()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 函数在区间上单调递减 ()f x ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】【分析】化简的解析式，根据三角函数的对称性、最值、单调性等知识确定正确答案. ()f x【详解】， ()3πsin23sin 223f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭A 选项，，所以图象关于直线对称，A 选项正确.5ππ5πππ2123632⨯-=-=C 5π12x =B 选项，由，解得， π2π3x k -=ππ26k x =+所以图象的所有对称中心都可以表示为（），B 选项正确. C ππ,062k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ∈Z C 选项，， πππ2π0,22333x x ≤≤-≤-≤所以当时，取得最小值C 选项正确. ππ2,033x x -=-=()f x 3⎛⨯= ⎝D 选项，， ππππ,2012623x x -≤≤-≤-≤所以函数在区间上单调递增，D 选项错误. ()f x ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：ABC12. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列结ABC ,,A B C ,,a b c ()()()::4:5:6b c c a a b +++=论正确的是（ ）A. B.sin :sin :sin 7:5:3A B C =0CA CB ⋅<C. 若，则的面积是15D. 若，则外接圆半径是6c =ABC 8+=b c ABC 【答案】AD 【解析】【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定4b c t +=5c a t +=6a b t +=0t >72a t =52b t =32c t =理可判断A 正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B 不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C 不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D 正确. 【详解】设，，，， 4b c t +=5c a t +=6a b t +=0t >则，，， 72a t =52b t =32c t =对于A ，，故A 正确； 753sin :sin :sin ::::222A B C a b c t t t ==7:5:3=对于B ，，故B 不正CA CB ⋅ cos b a C =⋅⋅2222a b c ab ab+-=⋅222214925965()24448t t t t =+-=0>确；对于C ，若，则，，，6c =4t =14a =10b =所以，所以， 22219610036cos 221410a b c C ab +-+-==⨯⨯1314=sin C ===所以的面积是，故C 不正确； ABC11sin 141022ab C =⨯⨯=对于D ，若，则，则，则，，， 8+=b c 53822t t +=2t =7a =5b =3c =所以，， 2224925913cos 227514a b c C ab +-+-===⨯⨯sin C ===所以外接圆半径为.故D 正确. ABC2sin cC==故选：AD第II 卷（共90分）三､填空题13. 设i 为虚数单位，若复数，则z 的实部与虚部的和为______． 12iiz +=【答案】1 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数，根据实部和虚部的概念即可求得结果. z 【详解】因为， ()()()12i i 12i 2i i i i z +⨯-+===-⨯-因此，复数的实部与虚部之和为. z 2(1)1+-=故答案为：114. 已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为__________.()()2,3,5,1a b == b a【答案】 (2,3)【解析】【分析】根据投影向量的定义结合题意直接求解即可.【详解】因为向量，()()2,3,5,1a b ==所以向量在向量的方向上的投影向量为b a，(2,3)a b a a a ⋅⋅== 故答案为：(2,3)15. 如图所示，CD 是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB （高为米）与雕像之间的地面上的点M 处（B ，M ，D 三点共线）测得楼顶A 及雕像顶C的仰角分20)别是15°和60°，在楼顶A 处又测得雕塑顶C 的仰角为30°，假设AB ､CD 和点M 在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为___________米．【答案】【解析】【分析】结合正弦定理、三角恒等变换等知识计算出正确答案.【详解】在中，，解得Rt ABM sin15AB AM=sin15AB AM == 其中()sin15sin 454o 534530sin cos 0c s sin 30=-=-， 12==在中，，ACM △301545,1801560105CAM AMC ∠∠=+==--=所以，由正弦定理得，，1804510530ACM ∠=--=sin sin AM CMACM CAM∠∠=故．sin 80sin CAM CM AM ACM ∠∠=⋅=在中，，所以Rt CDM △60CMD ∠=sin6080CD CM === 估算该雕像的高度为故答案为：16. 如图，在棱长为1的正方体中，点P 是线段上一动点（不与，B 重合），则下列命题中： 1A B 1A ①平面平面； 1AA P ⊥11D A P ②一定是锐角； 1APD ∠③；11DC D P ⊥④三棱锥的体积为定值． 11B D PC -其中真命题的有__________．【答案】①③④ 【解析】【分析】根据正方体特征可知平面，利用面面垂直的判定定理即可求得①正确；当是11A D ⊥1AA P P 的中点时是直角，即②错误；易知平面，利用线面垂直的性质即可得1A B 1APD ∠1DC ⊥11A BCD ，所以③正确；根据等体积法和线面平行判定定理可得三棱锥的体积为定值，即11DC D P ⊥11B D PC -可知④正确.【详解】对于①，由正方体性质可得平面，又平面，所以平面平面11A D ⊥1AA P 11A D ⊂11D A P 1AA P ⊥，即①正确；11D A P对于②，当是的中点时，P 1A B易得， 11AP AD D P =====满足，此时是直角，所以②错误；22211AP D P AD +=1APD ∠对于③，连接，如下图所示;11,D C DC由正方体可知，且平面，平面，11DC D C ⊥BC⊥11DCC D 1DC ⊂11DCC D 所以， 1BC DC ⊥又，平面，所以平面；1D C BC C = 1,D C BC ⊂11A BCD 1DC ⊥11A BCD 又平面，所以，即③正确；1D P ⊂11A BCD 11DC D P ⊥对于④，三棱锥的体积，又因为的面积是定值，11B D PC -1111B D PC P B D C V V --=11B D C 平面，所以点到平面的距离是定值，1//A B 11B D C P 11B D C 所以三棱锥的体积为定值,即④正确.11B D PC -故答案为：①③④四､解答题17. 已知两个非零向量与不共线，a b （1）若，证明：三点共线； (),28,3AB a b BC a b CD a b =+=+=- ,,A B D （2）若，且，求实数的值． ()()1,21,1,a b c a b λ===+ ，b c ⊥ λ【答案】（1）证明见解析（2） 32λ=-【解析】【分析】（1）根据条件，得到，再证明三点共线即可； 5BD AB =（2）根据向量坐标运算公式得到，根据进行坐标运算即可.c 0b c ⋅= 【小问1详解】根据条件可知，，555BD a b BC CD AB +===+ 所以，共线， AB BD又因为，有公共点B ，AB BD 所以A ，B ，D 三点共线．【小问2详解】因为， ()()1,21,1a b == ，所以，()()()1,2,1,2c a b λλλλλ=+=+=++ 因为，所以，解得， b c ⊥ 120b c λλ⋅=+++= 32λ=-所以实数的值为. λ32-18. 已知复数，.12i z =+223i z =-（1）计算.12z z ⋅（2）若，且复数的实部为复数的虚部，求复数.5z =z 12z z -z 【答案】（1）74i -（2）或.43i z =+43i z =-【解析】【分析】（1）由复数的乘法运算法则，即可求解；（2）设，由和，根据题意求得的值，即可求得复数.i z a b =+5z =124i z z -=,a b z 【小问1详解】由题意，复数，122,23i i z z =+=-可得212(2i)(23i)46i 2i 3i 74i z z ⋅=+-=-+-⋅=-【小问2详解】设，i(,R)z a b a b =+∈因为，所以，5z =2225a b +=由复数，所以复数的虚部为，12(2i)(23i)4i z z -=+--=12z z -4又因为复数的实部为复数的虚部，所以，z 12z z -4a =又由，解得，所以或.2225a b +=3b =±43i z =+43i z =-19. 已知函数． ()2cos 222x x x f x =（1）求的最小正周期；()f x （2）求在区间上的最大值． ()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）2π（2） 1-【解析】【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及两角和的正弦公式化简解析式，即可求得周期； （2）由的范围得到的范围，再根据正弦函数的图象可得结果. x π4x +【小问1详解】， 2()cos 222x x x f x =-1cos 2x x x x -=-=-πsin(4x =+所以的最小正周期.()f x 2πT =【小问2详解】 ∵，∴， ππ22x -≤≤4π4π3π4x -≤+≤当，即时，ππ42x +=π4x =()max 1f x =-20. 如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的1AA AB C M 1AC 中点．已知，.14AA AC ==3BC =（1）求圆柱的体积；（2）求证：.BC AM ⊥【答案】（1）25π（2）证明见解析【解析】【分析】（1）计算出圆柱的底面半径，再利用柱体的体积公式可求得该圆柱的体积；（2）推导出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立. BC⊥1AAC 【小问1详解】解：设圆柱的底面半径为，r 因为，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，且，，则， AB C 4AC =3BC =ACBC ⊥由勾股定理可得，所以，， 25r AB ====52r =因此，该圆柱的体积为. 2215ππ425π2r AA ⎛⎫⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭【小问2详解】证明：因为平面，平面，所以，，1AA ⊥ABC BC ⊂ABC 1BC AA ⊥又因为，，、平面，所以，平面. AC BC ⊥1AC AA A =∩AC 1AA ⊂1AAC BC ⊥1AAC 因为平面，所以，. AM ⊂1AAC BC AM ⊥21. 已知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，为1111ABCD A B C D -2AB AD BD ===1AA =E 的中点．11B D（1）证明：平面；//AE 1BDC （2）求三棱锥的体积．1E BDC -【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.【小问1详解】连接AC 交BD 于点，连接，F 1C F 在直四棱柱中，，1111ABCD A B C D -11//AA CC 11=AA CC 所以四边形为平行四边形，即，，11AAC C 11//AC AC 11=AC A C 又因为底面ABCD 为菱形，所以点为AC 的中点，F 点为的中点，即点为的中点，所以，，E 11B D E 11AC 1//C E AF 1C E AF =即四边形为平行四边形，所以，1AFC E 1//AE C F 因为平面，平面，，所以平面；1C F ⊂1BDC AE ⊄1BDC //AE 1BDC 【小问2详解】在直棱柱中平面，平面，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 所以，111BB AC ⊥又因为上底面为菱形，所以，1111D C B A 1111B D AC ⊥因为平面，1111111,,B D BB B B D BB =⊂I 11BB D D 所以平面，11A C ⊥11BB D D 因为在中，， ABD △2AB AD BD ===且点为BD 的中点，所以，即， F AF ==1C E =所以． 11111121332E BDC C BDE BDE V V S C E --==⋅=⨯⨯=△22. 的内角的对边分别为，已知，． ABC ,,A B C ,,a b c sin 0A A =2a b ==（1）求；c （2）设为边上一点，且，求的面积．D BC AD AC ⊥ABD △【答案】（1）4c =（2【解析】【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； sin 0A A +=23A π=c（2）先由余弦定理求得，再求出，最后由面积公式求解即可. cos C =AD 【小问1详解】因为，所以，所以．在中，由余弦定理得sin 0A A =tan (0,)=∈A A π23A π=ABC ， 222844cos 3c c π=+-即，解得（舍去），．22240c c +-=6c =-4c =【小问2详解】因为，由余弦定理得，又，即是直2,4b a c ===222cos 2a b c C ab +-==AD AC ⊥ACD 角三角形，所以，cos AC DC C =则，又，则，所以的面积===DC AD 23A π=2326DAB πππ∠=-=ABD △为． 1sin 26S AB AD π=⋅⋅=。

2023-2024学年广东省广州市高一下学期5月月考数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年广东省广州市高一下学期5月月考数学质量检测模拟试题(含答案)

广东省广州市2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足1i2i 1i z --=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.1B.iC.i- D.1-【正确答案】A【分析】根据复数的除法与虚部的定义求解即可.【详解】()()()21i 1i2i 2i 2i 2i i 1i 1i 1i 2z ---=+=+=+=++-，故虚部为1.故选：A2.已知()1,1a = ，()2,0b = ，()2,4c =r，则下列各组向量中，不能作为平面内一组基底的是（）A.a ，b c -B.a ，b c+C.a ，2b c-D.a ，2b c+【正确答案】B【分析】根据向量的坐标运算结合基底向量的定义逐项分析判断.【详解】对于A ：()0,4b c -=-r r，则()141040⨯--⨯=-≠，可得a ，b c - 不共线，则a ，b c -可以作为一组基底，故A 正确；对于B ：()4,4b c +=r r，则14140⨯-⨯=，可得a ，b c + 共线，则a ，b c +不可以作为一组基底，故B 错误；对于C ：()22,4b c -=-r r，则()141260⨯--⨯=-≠，可得a ，2b c - 不共线，则a ，2b c -可以作为一组基底，故C 正确；对于D ：()26,4b c +=r r，则141620⨯-⨯=-≠，可得a ，2b c + 不共线，则a ，2b c +可以作为一组基底，故D 正确；故选：B.3.在ABC中，若222a b c +=，则角C 等于（）A.30︒B.60︒C.150︒D.120︒【正确答案】A【分析】根据余弦定理可得cos C 的值，即得答案．【详解】在ABC 中，222a b c +=+，可得22233cos 222a b c C ab ab +-===，由于0180C ︒<<︒，故30C =︒，故选：A ．4.已知不重合的直线l ，m 和不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A.若l α∥，//l β，则//αβB.若l α⊥，l m ⊥，则//m αC.若l α⊥，l β⊥，则//αβD.若l ⊂α，m α⊂，//l β，//m β，则//αβ【正确答案】C【分析】根据空间中的线、面关系分析判断.【详解】对于A ：若//l α，//l β，则平面α，β的位置关系有：平行、相交，故A 错误；对于B ：若l α⊥，l m ⊥，则,m α的位置关系有：//m α或m α⊂，故B 错误；对于C ：若l α⊥，l β⊥，根据线面垂直的性质可知：//αβ，故C 正确；对于D ：根据面面平行的判定定理可得：若,l m 相交，则//αβ，否则不成立，故D 错误.故选：C.5.用半径为3cm ，圆心角为23π的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（）A.1cmB.C.D.2cm【正确答案】B【分析】设圆锥的底面半径为rcm,根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径r,利用勾股定理可得答案.【详解】设圆锥的底面半径为rcm ，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr=23,3π⨯即底面圆的半径为1，.所以圆锥的高h ==,故选B本题考查圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.6.在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中23DH DA =，则在图1中EFEG=（）A.49B.481C.427D.827【正确答案】B【分析】设出正方体的边长，利用水的体积相等建立方程求解【详解】当DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥D HJK -为正三棱锥，设正方体的棱长为3，则2DH DK DJ ===，所以11142223323D HJK DHJ V S DK -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，则题图1中2433V EF =⋅=，则427EF =，所以481EF EG =.故选：B7.已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 下列选项中正确的是（）A.若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形B.若sin cos A B =，则ABC 是直角三角形C.若22tan tan a B b A =，则ABC 是等腰三角形D.若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 是等边三角形【正确答案】D【分析】根据正、余弦定理结合三角函数、三角恒等变换逐项分析判断.【详解】对于A ：若222a b c +>，则222cos 02a b c C ab+-=>，因为()0,πC ∈，可得C 为锐角，但不确定,A B 是否为锐角，所以不能确定ABC 的形状，给A 错误；对于B ：因为()0,πA ∈，则sin cos 0A B =>，可得π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭或πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得π2A B =-或π2A B =+，故B 错误；对于C ：若22tan tan a B b A =，由正弦定理可得：22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⨯=⨯，因为(),0,πA B ∈，则sin 0,sin 0A B ≠≠，可得sin cos sin cos A A B B =，整理得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，可知ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对D ：因为(),,0,πA B C ∈，则()()()π,π,π,π,π,πA B B C C A -∈--∈--∈-，可得()(]()(]()(]cos 1,1,cos 1,1,cos 1,1A B B C C A -∈--∈--∈-，若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则()()()cos 1,cos 1,cos 1A B B C C A -=-=-=，可得0,0,0A B B C C A -=-=-=，即A B C ==，则ABC 是等边三角形，故D 正确；故选：D.8.有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l 米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是（）A.8110B.10C.5D.【正确答案】A【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB ，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案.【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设π,02BAQ θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭,则π2ABQ θ∠=-.过A 作AC 垂直内侧墙壁于C ，B 作BD 垂直内侧墙壁于D ，则π3,,2AC BD CPA BAQ DPB ABQ θθ==∠=∠=∠=∠=-.在直角三角形ACP 中，sin sin AC CPA AP θ∠==,所以3sin sin AC AP θθ==.同理.3πcos sin 2BD BP θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭所以33π,0sin cos 2AB AP BP θθθ⎛⎫=+=+<< ⎪⎝⎭.因为333sin cos AB θθ=+≥⨯=≥sin cos θθ=且π4θ=时等号成立）.所以AB ≥.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为9l ===,所以810.90.9910m l ==⨯=.故选：A利用三角函数解应用题的解题思路：（1）画出符合题意的图形；（2）把有关条件在图形中标出；（3）建立三角关系式，利用三角函数求最值.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.234i i i i 0+++=B.2i 1i+>+C.若()212i z =-，则z 在复平面内对应的点位于第四象限D.已知复数z 满足2z =，则复数z 对应点的集合是以O 为圆心，以2为半径的圆【正确答案】AD【分析】根据复数的概念，运算，几何意义，判断选项.【详解】A.234i i i i i 1i 10+++=--+=，故A 正确；B.虚数不能比较大小，故B 错误；C.()212i 34i z =-=--，则z 在复平面内对应的点为()3,4--，在第三象限，故C 错误；D.根据复数模的几何意义，可知D 正确.故选：AD10.关于平面向量，下列说法正确的是（）A.若a b ∥，b c ∥，则a c∥B.若()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b 方向上的投影向量是86,55⎛⎫⎪⎝⎭C.若(),2a λ= ，()1,1b λ=+- ，且a 与b的夹角为钝角，则()2,1λ∈-D.若OA OC OB OD +=+且AB AD AC AB AD AC+= ，则四边形ABCD 为菱形【正确答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ；根据投影向量的概念判断B ；根据向量夹角的概念判断C ；由向量的线性运算得AB DC =，可得ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，由条件结合平面向量基本定理可判断D ．【详解】若0b = ，虽然有a b ∥，b c ∥，但不一定有a c∥，A 错；()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b方向上的投影向量是24686(,)5,55(43)a b b b b ⋅+==，B 正确；当2(2,1)3λ=-∈-时，2a b =- ，两向量方向相反，夹角为π不是钝角，C 错；若OA OC OB OD +=+，即OB OA OC OD -=- ，则AB DC = ，所以ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，又||||||AB AD ACAB AD AC +=，即||||||||AC AC AB AD AC AB AD += ，则||||1||||AC AC AB AD == ，所以AB AD AC ==，所以ABCD 是菱形，D 正确．故选：BD ．11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点Q 为11B C 的中点，点N 为1DD 的中点，则下列结论正确的是（）A.CQ 与BN 为异面直线B.11CQ C D ⊥C.直线BN 与平面ABCD 所成角为30︒ D.三棱锥Q NBC -的体积为23【正确答案】AB【分析】对A ，直接观察判断即可；对B ，根据11C D ⊥平面11BCC B 判断即可；对C ，根据线面角的定义，结合直角三角形的性质求解即可；对D ，利用等体积法Q NBC N QBC V V --=求解即可.【详解】对A ，由图可得，,,C Q B 共面，且N 不在平面内，则CQ 与BN 为异面直线,故A 正确；对B ，由正方体性质可得11C D ⊥平面11BCC B ，又CQ ⊂平面11BCC B ，故11C D CQ ⊥,故B 正确；对C ，由ND ⊥平面ABCD 可得直线BN 与平面ABCD 所成角为NBD ∠，又2AB AD ==，则1BD ND ==，故tan4NBD ∠==，故30NBD ∠≠︒，故C 错误；对D ，111114·2223323Q NBC N QBC QBC V V S D C --===⨯⨯⨯⨯= ，故D 错误.故选：AB12.在锐角ABC 中，已知4,3AB AC ==，D 为边BC 上的点，BAD CAD ∠=∠，则线段AD 长的可能取值为（）A.B.C.3.3D.【正确答案】AB【分析】根据等面积公式，结合三角形是锐角三角形，求线段AD 的取值范围，即可判断选项.【详解】4,3AB AC ==，设AD x =，BC a =，BAD CAD θ∠=∠=，且AB BD AC DC =，所以47BD a =，37DC a =根据ABD ADC ABC S S S += ，得1114sin 3sin 43sin 2222x x θθθ⨯⋅+⨯⋅=⨯⨯⋅，得24cos 7x θ=，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么1222477x <<，角C 为锐角三角形，则ABC 中，2291609160a a ⎧+->⎨+->⎩，即2725a <<，ADC △中，223907a x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，229949x a <+，即2929710497x ≤+⨯=综上可知，12261477x <≤，只有AB 满足条件.故选：AB关键点点睛：本题考查解三角形中的范围问题，关键是如何应用锐角三角形这个条件，根据余弦定理和三角形面积公式，围绕锐角三角形列式，即可求解.三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.如图，A B C ''' 是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D ¢是B C ''的中点，且A D y ''∥轴，BC x ''∥轴，2AD ''=，2B C ''=，则ABC 的面积是________．【正确答案】4【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.【详解】由图象知：2BC B C ''==，24''==AD A D ，AD BC ⊥，D 为BC 的中点，ABC 的面积142S BC AD =⨯⨯=.故4.14.已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为104π，则其母线长为________．【正确答案】213【分析】由圆台的体积求得圆台的高h ，作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.【详解】圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，设圆台的高为h ，则该圆台的体积为22152ππ(2626)104π33V h h =⨯++⨯⨯==，则6h =，作出圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为M ，下底面圆心为N ，MD ＝2，NC ＝6，过D 作DE ⊥NC ，则EC ＝6－2＝4，又DE ＝h ＝6，所以圆台的母线长为22213DC DE EC =+=．故答案为.21315.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为4，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，则该三棱柱的外接球的体积为________．【正确答案】86π【分析】首先求出ABC 外接圆的半径r ，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即可求出R ，再根据球的体积公式计算可得.【详解】因为2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以222BC AB AC =+=设ABC 外接圆的半径为r ，则222sin BCr BAC==∠，又直三棱柱111ABC A B C -的高4h =，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即()(22224R =+，解得R =，所以外接球的体积34π3R V ==.故16.已知ABC 满足()AB AC AB AC BC ⋅=+⋅ ，则cos C 的最小值为________．【正确答案】23【分析】首先化简条件，再结合数量积公式和余弦定理化简得到2223a b c +=，再结合余弦定理和基本不等式求解.【详解】由条件可知，22()()A AB A A C A C B B AC AB A C ⋅=-=-+⋅ ,设,,AB c AC b BC a ===，则22cos bc A b c =-，即22222cos 2b c b c a A bc bc -+-==，则2222222b c b c a -=+-，化简为2223a b c +=，222222222222cos 233a b c a b c c C ab a b c +-+-=≥==+，当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值是23.故23四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()32,,1，=-= a b x .（1）若()()22a b a b +⊥- ，求实数x 的值；（2）若()()8,1,//=--+ c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.【正确答案】（1）6x =或32x =-.（2）π4θ=【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得5x =，结合数量积的定义计算即可求解.【小问1详解】已知()()=3,2,=,1a b x - ，所以()()232,0,26,5+=+-=- a b x a b x .又因为()()22a b a b +⊥- ，所以有()()220a b a b +⋅-=r r r r ，所以()()326050x x +-+⨯=，解得6x =或32x =-.【小问2详解】因为()8,1c =-- ，所以()8,2b c x +=-- .又()//a b c + ，所以()()32280x ⨯--⨯-=，解得5x =，所以()=5,1b - .所以cos 2||||a b a b θ⋅==⋅ ，因为0πθ≤≤，所以π4θ=.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c 2sin 0b C -=.（1）求角B的大小；（2）从条件①4b a ==；条件②2,4a A π==这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.【正确答案】（1）3B π=（2）条件①：+；条件②：332+【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出sin B ，再结合角的范围，即可求得.（2）选条件①：首先利用余弦定理求出2c =.选条件②:首先利用正弦定理求出b ，再结合三角函数恒等变换求出sin C ，再利用三角形面积公式即可求得.【小问1详解】解：（12sin 0bC -=2sin sin 0C B C -=．因为0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，所以sin 2B =．又因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=．【小问2详解】选条件①：4b a ==；因为4b a ==，由（1）得3B π=，所以根据余弦定理得2222cos =+-⋅⋅b c a c a B ，可得24110c c --=，解得2c =+所以ABC 的面积1sin 2S c a B =⋅=，选条件②：2,4a A π==；由（1）知3B π=且4A π=，根据正弦定理得sin sin b a B A =，所以sin sin ⋅==a B b A ，因为512C A B ππ=--=，所以5sin sin sin 12464C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积13sin 22=⋅=S b a C ．19.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．（1）这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0.1)（2）要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克附：π 3.14≈．【正确答案】（1）169.6（2）3768【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.【小问1详解】该半球的直径6cm d =，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm ，得半径3cm R =，所以两个半球的体积之和为3344ππ2736πcm 33球==⋅=V R ，而23ππ9218πcm 圆柱=⋅=⨯⨯=V R h ，该“浮球”的体积是336π18π54π169.6cm 球圆柱=+=+=≈V V V ；【小问2详解】上下两个半球的表面积是224π4π936πcm 球表==⨯⨯=S R ，而“浮球”的圆柱筒侧面积为22π2π3212πcm 圆柱侧==⨯⨯⨯=S Rh ，所以1个“浮球”的表面积为24436π12π48πm 1010+==S ，因此，2500个“浮球”的表面积的和为244825002500π12πm 10=⨯=S ，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：10012π3768⨯≈（克）．20.如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B 同在水平面内的两个测点C 与D .在C 点测得塔底B 在北偏东45︒方向，然后向正东方向前进10米到达D ，测得此时塔底B 在北偏东15︒方向.（1）求点D 到塔底B 的距离BD ；（2）若在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，求铁塔高AB .【正确答案】（1）米；（2）+米.【分析】（1）利用正弦定理列方程，解方程求得BD .（2）利用正弦定理列方程，解方程求得BC ，再解直角三角形求得AB .【详解】（1）由题意可知，45BCD ∠=︒，105BDC ∠=︒，故30CBD ∠=︒在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BD CD BCD CBD =∠∠，10sin 45sin 30BD ∴=⋅︒=︒∴点D 到塔底B 的距离BD 为米（2）在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BC BD BDC BCD=∠∠∴()()102sin10520sin 604520sin 60cos 45cos 60sin 45sin 45BC =⋅︒=⋅︒+︒=⋅︒︒+︒︒︒204=⨯=.在Rt ABC 中，tan AB BC ACB =⨯∠==.所以，铁塔高AB 为+米.21.如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，//BC AD ，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==， 1.EC =将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，如图2所示，使平面1D EC ⊥平面ABCE .（1）连结BE ，证明：AB ⊥平面1D BE ；（2）在棱1AD 上是否存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，若存在，直接指出点G 的位置(不必说明理由)，并求出此时三棱锥1G D EC -的体积；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，点G 为1AD 的中点，16.【分析】（1）通过面面垂线的性质定理，证得1D E ⊥平面ABCE ，由此证得1D E AB ⊥.利用勾股定理计算证明BE AB ⊥，从而证得AB ⊥平面1D EB .（2）通过线面平行的判定定理，判断出点G 为1AD 的中点.利用换顶点的方法，通过11G D EC C D EG V V --=，来计算出三棱锥1G D EC -的体积.【详解】(1)因为平面1D EC ⊥平面ABCE ，平面1D EC 平面ABCE EC =，11,D E EC D E ⊥⊂平面1D EC ，所以1D E ⊥平面ABCE ，又因为AB ⊂平面ABCE ，所以1D E AB⊥，又2AB BE AE ===，满足222AE AB BE =+，所以BE AB ⊥，又1BE D E E = ，所以AB ⊥平面1D EB .(2)在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时点G 为1AD 的中点.11G D EC C D EG V V --=，由(1)知，1D E ⊥平面ABCE ，所以1CE D E ⊥，又CE AE ⊥，所以CE ⊥平面1AED ，所以CE 为三棱锥1C D EG -的高，且1CE =，在1Rt D EA 中，11,2D E AE ==，G 为斜边1AD 的中点，所以111111212222D EG D EA S S ==⨯⨯⨯=，所以111111113326G D EC C D EG D EG V V S CE --==⋅=⨯⨯=.故，在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时三棱锥1G D EC -的体积为16.本小题主要考查线面垂线的证明，考查面面垂直的性质定理的运用，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.已知向量()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，函数()f x a b =⋅ ．（1）当2m =时，求()f x 的最小值；（2）是否存在实数m ，使不等式()42si 6n cos f x m x x>--+对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）1-（2）存在，取值范围为(4,)+∞【分析】（1）根据已知条件及向量的数量积的坐标运算，再利用辅助角公式及二倍角的余弦公式，结合换元法及二次函数的性质即可求解；（2）根据（1）的出函数()f x ，利用换元法但注意新元的范围，结合不等式恒成立问题利用分离参数法转化为函数的最值问题，再利用对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】由题可知，因为()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，所以π2sin cos (2)(sin cos )sin 22)sin((4)f x a b x x x x x x m m -++=+==+⋅ ππcos(2)2)sin2(4m x x +=+-+，又2ππcos(22sin (124x x -+=+-，令πsin([1,1]4x t =+∈-，当2m =时，所以22()()212(5f t t x t ϕ==--=--，对称轴1t =>，开口向上，由二次函数的单调性知，所以()t ϕ在[1,1]-上单调递减，所以当1t =时，()t ϕ取得最小值为2min ()(1)()21111t f x ϕϕ===⨯--=-.所以()f x 的最小值为1-【小问2详解】由（1）知，2sin cos (2)(sin )co (s )m f x a b x x x x -⋅+==+ ，所以()2sin cos (2)(sin cos )42sin c 6os f x x x m x x m x x =-++>--+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令sin cos x x p =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，则πsin cos 4p x x x ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ3π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即π14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1p ≤≤由sin cos x x p =+，得22sin cos 1x p x =-，则21(2)642p m p m p--+>--，整理得2(3)(2)(2)0p p mp p +-+->，所以23p mp +<，故3m p p >+在上恒成立，由对勾函数的性质知：3p p+在上单调递减，当1p =时，3p p+取到最大值4，所以4m >，故存在m ，且m 的范围为(4,)+∞.。

2024年大连二十四中高一下学期5月期中数学试题答案

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大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学科试卷参考答案1-8.ABADB CBD 9-11 AD AC BCD 12. 13.14. 15. （1）因为，，所以，即，则，则，即与夹角的余弦值（2）因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，由，得，即，解得，当与共线时，有，即，由（1）知与不共线，所以，解得，所以当与不共线时，，所以且，即实数的取值范围为16. （1），1725-34±6π1a b == ()()223a b a b +⋅-=- 22223a ab b +⋅-=- 2123a b +⋅-=- 13a b ⋅= 1cos ,3a b a b a b ⋅==a b 13ka b + 3a b +()()30ka b a b +⋅+> ka b + 3a b +()()30ka b a b +⋅+> ()223130ka k a b b ++⋅+> ()131303k k ++⨯+>53k >-ka b + 3a b + ()3ka b a b λ+=+ 3k a b a b λλ+=+a b 13k λλ=⎧⎨=⎩13k =ka b + 3a b + 13≠k 53k >-13≠k k 511,,333⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()π3πcos sin sin cos cos 22sin 3πsin πsin sin sin x x x x x f x x x x x x⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⋅⎝⎭⎝⎭===-+--⋅-由已知，，得，所以．（2），，得，由，得，． ． ．．而，．．．17.（1）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，，此时.若选①，则函数的一条对称轴，则，得，，当时，，此时，；若选②，则函数的一个对称中心，则，得，，当时，，此时，；cos 1()sin 2f ααα=-=tan 2α=-222222sin cos 2sin tan 2tan 286sin cos 2sin sin cos tan 1415ααααααααααα++-++====+++()3f α=- cos 3sin αα∴-=-1tan 3α=()2f αβ-=-1tan()2αβ-=∴tan()tan tan(2)tan[()]11tan()tan αβααβαβααβα-+-=-+==-- π,π2β⎛⎫∈⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0αβ∴-<-<1tan()02αβ-=>∴ππ2αβ-<-<-2(π,0)αβ∴-∈-∴3π24αβ-=-()y f x =2π22T ππ=⨯=222T ππωπ∴===()()2sin 21f x x ϕ=++()y f x =3x π=-()232k k Z ππϕπ-+=+∈()76k k Z πϕπ=+∈22ππϕ-<< 1k =-6πϕ=()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()y f x =5,112π⎛⎫⎪⎝⎭()56k k Z πϕπ+=∈()56k k Z πϕπ=-∈22ππϕ-<< 1k =6πϕ=()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭若选③，则函数的图象过点，则，得，，，，解得，此时，.综上所述，；（2）令，，，，当或时，即当或时，线段的长取到最大值18. （1）由图象可知则，则，又，所以，所以，又，所以，所以的解析式为；（2），令，由可得，令，由对称性可知，两式相加可得，，所以；()y f x =5,06π⎛⎫⎪⎝⎭552sin 1063f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51sin 32πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭22ππϕ-<< 7513636πππϕ∴<+<51136ππϕ∴+=6πϕ=()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()()2sin 21cos 6h x f x g x x x xπ⎛⎫=-=++- ⎪⎝⎭122cos 212cos 2102x x x x ⎫=++=+≥⎪⎪⎭()cos 21P Q h t t ∴==+[]0,t π∈ []20,2t π∴∈20t =22t π=0=t t π=PQ 22π7πππ2,441234T A ω===-=2ω=()()2sin 2f x x ϕ=+7π7π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭7π3π2π,Z 62k k ϕ+=+∈π||2ϕ<π3ϕ=()f x π()2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π()2sin 3h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3π,,π32m x m ⎡⎫=+∈-⎪⎢⎣⎭π4()2sin 33h x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2sin 3m =1232sin sin sin 3m m m ===1223π,πm m m m +=-+=12320m m m ++=1234π23x x x ∴++=-()1234π1cos 2cos 32x x x ⎛⎫++=-=- ⎪⎝⎭（3），令，则，因为对于任意，当时，都有成立，所以对于任意，当时，都有成立，即对于任意，当时，都有成立，所以函数在上单调递增，由，得，所以，解得，所以的最大值为19.（1）依题意，得，所以，所以或，当时，，则，又，所以，当，则又，所以或，所以，所以方程在上的解集为πππ()2sin 22cos 2233g x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()F x f x g x =-ππ()2sin 22cos 233F x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ234x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π212x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12,[0,]x x t ∈12x x <()()()()1212f x f x g x g x -<-12,[0,]x x t ∈12x x <()()()()1122f x g x f x g x -<-12,[0,]x x t ∈12x x <()()12F x F x <()F x []0,t []0,x t ∈πππ2,2121212x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ππ2122t +≤5π024t <≤t 5π2422sin cos cos 2cos sin ααααα-==-()()cos sin sin cos 10αααα-++=cos sin 0αα-=sin cos 1αα+=-cos sin 0αα-=cos 0α≠tan 1α=[]0,2πα∈π5π,44α=sin cos 1αα+=-πsin 4α⎛⎫+=-⎪⎝⎭[]ππ9π0,2π,,444αα⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦π5π44α+=7π43ππ,2α=()co s 2f x α=[]0,2ππ5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）①设，当时，则，此时在上单调递增，在上也单调递增，所以在上单调递增，，所以在区间上有且只有一个零点；②记函数的零点为，所以，且，所以，所以，令，因为，所以，又，则，所以，则.()πsin cos 2ln 2ln 4F x x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ0,44x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭2ln y x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭()F x ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭πππππ2ln 0,2ln 044242F F ⎛⎫⎛⎫=<=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y Fx =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭()y Fx =0x 000sin cos 2ln 0x x x -+=0x ∈ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭()0001ln cos sin 2x x x =-()000000111ln sin 2cos sin sin cos 422x x x x x x +=-+000πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,0t ∈-20012sin cos t x x =-2001sin cos 2t x x -=()2220011111111111ln sin 21,42224244224t x x t t t t -⎛⎫+=+⨯=-++=--+∈- ⎪⎝⎭00111ln sin 2244x x -<+<。

山东省临沂市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

山东省临沂市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一学科素养测评数学注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，只将答题卡交回.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（智能题卡第67页9题改编）1. 复数的模为（ ）11i z =-A.B. 1C.D.12【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.z 【详解】因为，因此，()()1i 11i 1i 1i 211i 2z +==+-=-+z ==故选：A.（导学讲义第69页随堂演练3改编） 2. 下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧棱长都相等B. 棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形D. 棱台的两个底面相似 【答案】D 【解析】【分析】对于AD ，根据棱台的定义判断，对于B ，由棱锥的性质判断，对于C ，由棱柱的性质判断. 【详解】由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等，而棱台的两个底面相似，所以不正确，正A D确；若平面沿棱锥的高去截，则棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥，不正确； B 棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，不正确， C 故选：D3. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B 的三等分点，则（ ）E ABC ACF BE AF =A.B.C.D.1233BA BC +4233BA BC +5166BA BC -+2133BA BC -+【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.AF BABC【详解】解：112()22323AF AE EF AC EB AC AB AE =+=+=+-1211223336AC AB AC AC BA =+-=-. 1251()6366BC BA BA BA BC =--=-+故选：C.4. 若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（ ） OAB π2B A O '''∠=2B A ''=B xA. 2B. 4C.D.【答案】D 【解析】【分析】过点作轴交于点，求得到B '//B D y '''x 'D ¢B D ''=B x的距离即为，即可求解.2BD B D ''=【详解】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，OAB B '//B D y '''x 'D ¢又因为且，可得， π,22B B A O A ''''∠'==4B D A π'''∠=B D ''=作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，OAB根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为. BD x ⊥B x 2BD B D ''==故选：D.（导学讲义第10页跟踪训练3改编）5. 设两个非零向量不共线，且，，，则（ ）21,e e 122AB e e =+ 1227BC e e =+()123CD e e =+ A. 三点共线 B. 三点共线 ,,A C D ,,A B C C. 三点共线 D. 三点共线,,B C D ,,A B D 【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，，，1239AC AB BC e e =+=+ ()123CD e e =+不存在实数，使得成立，三点不共线，A 错误；∴λAC CD λ=,,A C D ∴对于B ，，，122AB e e =+ 1239AC AB BC e e =+=+不存在实数，使得成立，三点不共线，B 错误；∴λAB AC λ=,,A B C ∴对于C ，，，1227BC e e =+ ()123CD e e =+不存在实数，使得成立，三点不共线，C 错误；∴λBC CD λ=,,B C D ∴对于D ，，，122AB e e =+ 12510BD BC CD e e =+=+，三点共线，D 正确.15AB BD ∴=,,A B D ∴故选：D.6. 将一个大圆锥截去一个小圆锥得到圆台，圆台的上、下底面圆的半径之比为1:3，若大圆锥的高为15，则圆台的高为（ ）A. 10B.154C.D. 5454【答案】A 【解析】【分析】画出轴截面，利用圆锥与圆台的特征，列出关系式，求解即可． 【详解】由题意画出轴截面如下所示，可知，， 13CD SC AB SA ==15SA =可得，所以圆台的高为．5SC =15510CA SA SC =-=-=故选：A7. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，且ABC ()2tan tan c b B b A -=，则的形状为（ ） 23cos cos cos 24A C A C --=ABC A. 等腰或直角三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B 【解析】【分析】根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得60A = ，即可判断三角形形状.60B = 【详解】由得, ()2tan tan c b B b A -=()2cos sin cos sin c b B A b A B -=由正弦定理得,()2sin sin cos sin sin i c s s n o C B B A B A B -=由于,所以， sin 0B ≠()2sin cos sin cos cos sin sin sin C A A B A B A B C =+=+=sin 0C ≠ 所以,由于为三角形的内角，所以, 1cos 2A =A 60A = 又得23coscos cos 24A C A C --=, ()()111cos 2cos cos cos cos sin sin cos 222A C A C A C A C A C --=⇒-=-⇒+=-进而可得,而为三角形内角，故， 1cos 2B -=-B 60B = 进而，故三角形为等边三角形， 60C = 故选：B8. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面，使，设与SM 交于点N ，则的值为（ ） α//SB ααSNSMA.B.C.D.13122334【答案】C 【解析】【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据MB AC D ,,ND NA NC SB DN ∥可得，进而可得出答案. //MC AB DM MCDB AB=【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面， MB AC D ,,ND NA NC NAC α因为，平面，平面， //SB αSMB DN α⋂=SB ⊂SMB 所以，//SB DN 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以，， 30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=︒12MC BC AB ==所以且， //MC AB 12MC AB =所以， 12DM MC DB AB ==又，所以， //SB DN 12MN DM SN DB ==所以. 23SN SM =故选：C .【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到是解决本题得关MN DMSN DB=键.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（智能题卡第129页第10题）9. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（ ）A. 圆柱的侧面积为 22πRB. 圆锥的侧面积为22πR C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 3:1:2【答案】CD 【解析】【详解】根据圆柱，圆锥，球体的侧面积，表面积，和体积公式依次判断选项即可. 【点睛】对选项A ，圆柱的侧面积为，故A 错误； 22π24πR R R ⨯=对选项B ，=圆锥的侧面积为，故B 错误. 212π2R R ⨯=对选项C ，球的表面积为，故C 正确.24πR 对选项D ，圆柱的体积，231π22πV R R R =⨯=圆锥的体积，球的体积， 23212π2π33V R R R =⨯⨯=334π3V R =所以圆柱､圆锥､球的体积之比为，故D 正确.333242π:π:π3:1:233R R R =故选：CD（智能题卡第113页第2题改编）10. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） ,m n ,a βA. ，则 ,//m n n α⊥m α⊥B. ，则 //,m ββα⊥m α⊥C. ，则 ,ααβ⊥⊥m //m βD. ，则 ,m m αβ⊥⊥//αβ【答案】ABC 【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用线面垂直的性质判断D. 【详解】对于A ，在长方体中， 1111ABCD A B C D -平面为平面分别为直线，ABCD 1111,,A B B C α,m n 显然满足，而，此时不成立，A 不正确； ,//m n n α⊥//m αm α⊥对于B ，在长方体中，1111ABCD A B C D -平面，平面分别为平面为直线， ABCD 11CDD C 11,,A B αβm 显然满足，而，此时不成立，B 不正确；//,m ββα⊥//m αm α⊥对于C ，在长方体中，1111ABCD A B C D -平面，平面分别为平面为直线，ABCD 11CDD C 1,,CC αβm显然满足，而，此时不成立，C 不正确； ,ααβ⊥⊥m m β⊂//m β对于D ，因为，由线面垂直的性质知，，D 正确. ,m m αβ⊥⊥//αβ故选：ABC.11. 已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）||1a =r ||2b =r a b π3A. ·= 1B.a b()a b b -⊥C.D. 在上的投影向量的模为||a b -=b a 32【答案】AC 【解析】【分析】根据平面向量的数量积的定义及数量积的运算律逐项判断.【详解】对于A ：，故A 正确；π1cos 12132a b a b ⋅=⋅=⨯⨯= 对于B ：∵，()21430a b b a b b -⋅=⋅-=-=-≠r r r r r r ∴与不垂直，故B 错误；a b - b对于C ：∵，222||21243a b a a b b -=-⋅+=-+=r r r r r r∴C 正确；||a b -=对于D ：在上的投影向量的模为，故D 错误.b a π1cos 2132b =⨯=r 故选：AC.12. 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，则以1111ABCD A B C D -S 11B D ,,E F G ,,BC DC SC 下结论正确的是（ ）A. 直线//平面 EG 11BDD BB. 平面//平面EFG 11BDD BC. 平面平面 EFG ⊥ABCDD. 与不垂直 SC BD 【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，连接，利用中位线可得出//，从而得到线面平行；B 选项，根据面面平行SB EG SB 的判定并结合A 选项，只需要再证一次线面平行即可；C 选项，根据B 选项的结论容易得出；D 选项，通过证明平面得出矛盾.BD ⊥SOC 【详解】如图，连接分别是的中点，//，又平面平面,,SB E G ,BC SC EG ∴SB SB ⊂ 11,BDD B EG ⊄，直线/平面，所以A 正确；11BDD B ∴EG 11BDD B 连接，分别是的中点，//. 又平面平面，SD ,F G ,DC SC FG ∴SD SD ⊂ 11,BDD B FG ⊄11BDD B //平面，又//平面，且平面平面，FG ∴11BDD B EG 11BDD B EG ⊂,EFG FG ⊂,EFG EG FG G ⋂=平面//平面，故B 正确；∴EFG 11BDD B 在正方体中显然侧棱底面，又平面，故平面平面，根1BB ⊥ABCD 1BB ⊂11BDD B 11BDD B ⊥ABCD 据B 选项：平面//平面，故平面平面，C 选项正确；EFG 11BDD B EFG ⊥ABCD 所以平面平面，故C 正确；，，所以平面EFG ⊥ABCD ,AC BD BD SO ⊥⊥AC SO O = BD ⊥，平面，故，故D 错误.SOC SC ⊂SOC SC BD ⊥故选：ABC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.（课本第132页第4题（3）问）13. 已知两条相交直线a ，b ，且a //平面，则b 与的位置关系是____________. αα【答案】b //平面或b 与平面相交 αα【解析】 【分析】画出图形不难看出直线与平面的位置关系，平行或相交.b α【详解】由题意画出图形，当所在平面与平面平行时，与平面平行， ,a b αb α当所在平面与平面相交时，与平面相交. ,a b αb α故答案为: b //平面a 或b 与平面相交.α【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题.14. 已知向量满足，且，则与的夹角为__________.,,a b c 3250a b c ++=||2,||4,||2a b c === a b 【答案】##90° π2【解析】【分析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知、向量数量积定义求夹角即222912425a a b b c+⋅+=可.【详解】由题设，则，325a b c +=- 2222(32)912425a b a a b b c +=+⋅+= 所以，则，3696cos ,64100a b ++= cos ,0a b =又，则.,],0π[a b ∈ π,2a b = 故答案为：π2（智能题卡第124页15题）15. 正四棱锥S -ABCD ，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______． 【答案】 43π【解析】【详解】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知=1.在Rt △SO 1C 中， 1112O C AC =∵ SC ，∴ ，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，11SO ==C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1，∴ 球的体积为. 34433r π=π点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.（智能题卡第100页15题改编）16. 如图，在棱长为2的正方体中，点､分别是棱，的中点，是侧面1111ABCD A B C D -E F BC 1CC P 内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.11BCC B 1//A P AEF 1A P【解析】【分析】分别取棱的中点、，连接，易证平面平面，由题意知111,BB B C M N 1,MN BC 1//A MN AEF 点必在线段上，由此可判断P 位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求出结P MN MN 1A OM 果．【详解】如下图所示，分别取棱的中点、，连接，111,BB B C M N 1,MN BC ∵分别为所在棱的中点，则，,,,M N E F 11//,//MN BC EF BC ∴，又平面， 平面，//MN EF MN ⊄AEF EF ⊂AEF ∴平面．//MN AEF ∵， ，∴四边形为平行四边形，1//AA NE 1AA NE =1AENA ∴，1//A N AE 又平面，平面，1A N ⊄AEF AE ⊂AEF ∴平面，又，1//A N AEF 1A N MN N = ∴平面平面．1//A MN AEF ∵是侧面内一点，且平面，P 11BCC B 1//A P AEF ∴点必在线段上．P MN在中，11Rt A B M 1A M ===同理，在中，可得，11Rt A B N 1A N =∴为等腰三角形． 1A MN 当点为中点时，即 ，此时最短；P MN O 1A P MN ⊥1A P又 1A O ===∴线段． 1A P．四､解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （导学讲义第59页7题改编）17. 已知复数. ()()()222762i R z m m m m m =-++--∈（1）若复数为纯虚数，求实数的值；z m （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.z m 【答案】（1）32（2） 312m -<<【解析】【分析】（1）直接根据实部为零，虚部不为零列式计算即可；（2）直接根据实部大于零，虚部小于零列不等式计算即可；【小问1详解】，且复数为纯虚数， ()()()222762i R z m m m m m =-++--∈ z ， 22276020m m m m ⎧-+=∴⎨--≠⎩解得； 32m =【小问2详解】复数在复平面内对应的点在第四象限，z ， 22276020m m m m ⎧-+>∴⎨--<⎩解得. 312m -<<（课本第138页2题改编）18. 如图：在正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -M 1DD（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；1BD AMC（2）若为的中点，求证：平面平面.N 1CC //AMC 1BND 【答案】（1）直线平面，理由见解析1//BD AMC （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论；1//OM BD （2）根据四边形为平行四边形可得，由线面平行判定可得平面，结合1CMD N 1//CM D N 1//D N AMC （1）中结论，由面面平行的判定可证得结论. 【小问1详解】直线平面，理由如下：1//BD AMC 连接，交于点，连接，BD AC O OM四边形为正方形，为中点，又为中点，，ABCD O ∴BD M 1DD 1//OM BD ∴平面，平面，平面.OM ⊂ AMC 1BD ⊄AMC 1//BD ∴AMC 【小问2详解】分别为中点，，又，,M N 11,DD CC 1D M CN ∴=1//D M CN 四边形为平行四边形，，∴1CMD N 1//CM D N ∴平面，平面，平面，CM ⊂ AMC 1D N ⊄AMC 1//D N ∴AMC 由（1）知：平面，又，平面，1//BD AMC 111BD D N D = 11,BD D N ⊂1BND 平面平面.∴//AMC 1BND19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，． ABC A B C a b c 2ABC AC S ⋅=△8+=b c （1）求角的大小；A （2）求的最小值． a【答案】（1）3A π=（2）4【解析】【分析】（1，对其进行1cos 2sin 2A bc A =⨯化简、整理，即可求出结果. （2）由余弦定理可得，再结合，并利用基本不等式，即可求出结果.()222a b c bc bc =+--8+=b c 【小问1详解】， 2ABC AC S ⋅= △1cos 2sin 2A bc A =⨯整理得，所以 sin A A =tan A =又，所以． ()0,A π∈3A π=【小问2详解】解：因为，， 2222cos3a b c bc π=+-8+=b c 所以，()222643a b c bc bc bc =+--=-故，即， 22643162b c a +⎛⎫≥-⨯= ⎪⎝⎭4a ≥当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4． 4b c ==a 20. 如图，在中，点D 为边的中点，． ABC AB 14BE BC =（1）若，求；3,1,60AC BC ACB ==∠=︒||CD （2）若，求的值．CO CD λ= λ【答案】（1； （2）. 67【解析】【分析】（1）将用表示，再利用平面向量数量积的运算律以及定义求解作答. CD CA CB,（2）取平面向量的基底，再利用平面向量基本定理求解作答.{,}CA CB 【小问1详解】在中，点D 为边的中点，则， ABC AB 1()2CD CA CB =+ 因此 222221113||(2(31231cos 60444))CD CA CB CA CB =++⋅=++⨯⨯⨯︒= 所以||CD = 【小问2详解】在中，不共线，ABC CA CB ,因为，则，而在上，即有，14BE BC = 34CE CB = O AE ,R EO EA μμ=∈ ()CO CE CA CE μ-=- ，于是，而， 3(1)(1)4CO CA CE CA CB μμμμ-=+-=+ 22CO CD CA CB λλλ==+ 因此，解得， ()23124λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩6737λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的值为. λ67（导学讲义第98页4题改编）21. 如图，已知正方体.1111ABCD A B C D -（1）求证：直线平面；1BD ⊥1AB C （2）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离.1111ABCD A B C D -B 1AB C 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接，由正方体的结构特征结合线面垂直性质，证得平面，再由线1,BD BC AC ⊥1BDD 面垂直性质和判定推理作答；（2）利用等体积法求解即可.【小问1详解】在正方体中，连接，如图，1111ABCD A B C D -1,BD BC因为四边形为正方形，则，ABCD AC BD ⊥而平面平面，即有， 1DD ⊥,ABCD AC ÌABCD 1DD AC ⊥又平面，11,,BD DD D BD DD =⊂ 1BDD 则平面，而平面，因此， AC ⊥1BDD 1BD ⊂1BDD 1BD AC ⊥同理平面，又平面，1B C ⊥11BC D 1BD ⊂11BC D 即有，因为平面， 11BD B C ⊥11,,AC B C C AC B C ⋂=⊂1AB C 所以平面；1BD ⊥1AB C 【小问2详解】在三棱锥中，，1B AB C -11AC AB CB ===则的面积， 1AB C V 111sin6022AB C S AC AB =⋅=⨯= 的面积， ABC 122ABC S AB BC =⋅=△设点到平面的距离为，B 1ABC h 由得：， 11B AB C B ABC V V --=111133AB C ABC S h S BB ⋅=⋅于是11ABC AB C S BB h S ⋅===所以点到平面. B 1AB C 22. 已知正方体的棱长为3，，分别为棱，上的动点，1111ABCD A B C D -E F BC CD ．若直线与平面所成角为．::CF DF CE EB =1CC 1EFC π6（1）求二面角的平面角的大小．1C EF C --（2）求线段的长度．EF （3）求二面角平面角的余弦值．11C BD A --【答案】（1） π3（2） （3） 13【解析】【分析】（1）确定是二面角的平面角，是直线与平面所成的1C MC ∠1C EF C --1CC M ∠1CC 1C EF 角，计算得到答案.（2）在中，，，得到答案. CEF △CM =2EF CM =（3）确定为二面角的一个平面角，再利用余弦定理计算得到答案.11AOC ∠11C BD A --【小问1详解】如图，作，垂足为，连接，作于，CM EF ⊥M 1C M 1CH MC ⊥H平面，平面，故，，， 1CC ⊥ABCD EF ⊂ABCD 1CC EF ⊥CM EF ⊥1CM CC C ⋂=平面，故平面，平面，故， 1,CM CC ⊂1MCC EF ⊥1MCC 1MC ⊂1MCC 1C M EF ⊥是二面角的平面角，1C MC ∠1C EF C --平面，故，，，平面， CH ⊂1MCC EF CH ⊥1CH MC ⊥1EF MC M = 1,EF MC ⊂1EFC 故平面，CH ⊥1EFC 是直线与平面所成的角，1CC M ∠1CC 1C EF 是直角三角形，由已知，所以． 1C CM 1π6CC M ∠=1π3C MC ∠=【小问2详解】在中，，CEF △CM =2EF CM ==【小问3详解】连接交于点，连接， AC BD O 11,AO C O在中，，在中，， 1B DC 1C O DB ⊥1A DB △1AO DB ⊥故即为二面角的一个平面角，11AOC ∠11C BD A --在中，，， 11AOC △11AO C O ==11A C =，即二面角平面角的余弦值为．222111111111cos 23AO C O AC AOC AO C O +-∠==⋅11C BD A --13。

高一新课标版下学期5月份月考

高一新课标版下学期5月份月考

高一新课标版下学期5月份月考语文YCY说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.注意事项：1．第Ⅰ卷选择题部分必须使用2B铅笔填涂在答题卡上；Ⅱ卷非选择题部分必须用0.5mm 黑色签字笔书写在答题纸上，字体工整、笔迹清楚。

2．请按照题号顺序在各题目的答案题区域内作答，书写不能超出横线或方格，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（36分，每小题3分）一、基础知识（共18分）1．下列词语中加点的字读音完全正确的一组是（）A．希冀(jì)靓(jìng)妆暴戾恣睢(suī)怅望低徊(huí)B．熨(yù)帖攒(zuán)射舐(tián)犊情深安土重(zhîng)迁C．喷(fèn)薄搀(chān)扶诘(jí)屈聱牙岿(guī)然不动D．魅(mèi)惑黏(zhān)液色厉内荏(rěn)心宽体胖(páng)2．下列词语中没有错别字的一组是（）A．申冤走途无路励精图治欲加之罪，何患无辞B．妨碍养尊处优矢口否认道不同不相为谋C．陷井焕然一新气宇轩昂醉翁之意不在酒D．厮守混淆视听咎由自取麻雀虽小，肝胆具全3．依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一组是（）①夏秋之交，长江水位＿＿＿＿涨了上来。

②无论国际风云如何＿＿＿＿，我国坚持和平共处的五项原则不变。

③这场比赛失败了，但他们并没有灰心，他们接受教训，＿＿＿＿，争取胜利。

A．逐步变换卷土重来B．逐渐变换重振旗鼓C．逐渐变幻重振旗鼓D．逐步变幻卷土重来4．下列各句中，加点的词成语使用恰当的一项是（）A．假设我们要拿着“一个主义”的尺度来衡量人才，那我就敬谢不敏，实在连一打也找不到。

B．李白与杜甫分别是浪漫主义和现实主义的杰出代表，他们的作品风格迥异，真有天壤之别。

C．这一伙侵吞巨额财产、破坏党纪国法的“硕鼠”被押进法庭时，人人侧目而视，嗤之以鼻。

重庆市2023-2024学年高一下学期5月期中考试 数学含答案

重庆市2023-2024学年高一下学期5月期中考试 数学含答案

重庆市2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、单选题(本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分)1.复数z 满足(2i)43i z -=+(i为虚数单位)，则z =（）A.2i- B.2i+ C.2i 55- D.2i 55+2.已知,,a b c 分别表示ABC 中内角A ，B ，C 所对边的长，其中2,60,ABC a B S ︒=== ，则ABC 的周长为（）A.6B.8C.6+D.6+3.已知向量2,4,2a b a b ==-=，则a 在b 上的投影向量为（）A.b- B.bC.14bD.14b- 4.已知直线,m n 和平面α，则（）A.若//,m m n α^，则n α⊥B.若,m m n α⊥⊥，则//n αC.若,m n αα⊥⊂，则m n⊥ D.若//,//m n αα，则//m n5.如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A. B. C. D.6.已知向量(,1),(2,)x a y b ==，向量x 与y u r 为同向向量，则x y ⋅ 的最小值为（）A.2B.3C.4D.57.在正三棱锥A BCD -中，侧面与底面所成二面角的正切值为6BC =，则这个三棱锥的内切球半径为（）A.1B.32C.2D.528.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，1AA =P ，Q 分别是棱BC 和11C D 上的两个动点，且2PQ =，则PQ 的中点E 到1CC 的距离为（）A.2B.2C.3D.12二、多选题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列命题为真命题的是（）A.若22i z =+，则22i z =-+B.复数2i -在复平面内对应的点在第四象限C.2024i i 2i +=D.若()()242i,R z m m m =-+-∈为纯虚数，则2m =-10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，,F M 分别是,AD CD 的中点，则下列结论中正确的是（）A.11//FM A C B.当E 为11A C 中点时，BE FM ⊥ C.三棱锥B CEF -的体积为定值D.直线BE 到平面1ACD 的距离为3211.在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos c b b A =+，则下列结论正确的有（）A.2A B= B.B 的取值范围为ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭C.a b的取值范围为 D.112sin tan tan A B A -+的取值范围为,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)12.已知正四棱锥P ABCD -的底边长为2，过棱PA 上点1A 作平行于底面的截面1111D C B A ，截面1111D C B A 边长为11,2AA =，则截得的台体1111ABCD A B C D -的体积为_______________．13.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,4A a b ︒===，则ABC 的面积为______________．14.已知平面非零向量,,a b c满足:4,2,()a b a b b ==-⊥ ，且b 与c 的夹角为30︒，则在所有的情况中，||a c -的最小值为______________．四、解答题(本大题共5个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.在ABC 中，、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且满足sin sin 2a B b A =．（1）求A ∠;（2）点D 在线段AC 的延长线上，且π2ABD ∠=，若2,a BD ==，求ABC 的面积．16.如图，四边形ABCD 是矩形，2,1,AD DC AB ==⊥平面,,1BCE BE EC EC ⊥=.（1）求证:平面DCE ⊥平面ABE ;（2）求直线AC 和直线BE 所成角的余弦值．17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且外接圆半径为1，求2b c +的取值范围．18.如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，E 在母线PC 上，且1AE CE ==．（1）求证://PO 平面BDE;（2）求二面角E AB D --平面角的正弦值;（3）若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM ⊥平面ABE 时，求AM 与平面ABE 所成的角的正弦值．19.我们知道，一个一元一次方程最多有一个根，一个一元二次方程最多有两个根，这些都是代数基本定理的简单表示，代数基本定理可以表述为：一元n 次多项式方程最多有n 个不同的根．由代数基本定理可以得到如下推论：若一个一元n 次方程有不少于1n +个不同的根，则必有各项的系数均为0．已知函数32()3f x x x =+，函数()f x 的图象上有四个不同的点A 、B 、C 、D ．利用代数基本定理及其推理回答下列问题：（1）解关于x 的方程2()6680f x x x --+=；（2）是否存在实数,m n ，使得关于x 的方程(2)()2f m x f x n -+=有三个以上不同的解，若存在，求出m n 、的值，若不存在，请说明理由；（3）若ABCD 按逆时针方向顺次构成菱形，设(,()),(,())A a f a B b f b ，求代数式()(2222aa b +-+22)b -的值．重庆市2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、单选题(本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分)【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、多选题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】ACD三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)【12题答案】【答案】6【13题答案】【14题答案】【答案】2四、解答题(本大题共5个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)【15题答案】【答案】（1）π3A =（2）S =【16题答案】【答案】（1）证明见解析（2）5【17题答案】【答案】（1）π3（2）【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）7（3）17【19题答案】【答案】（1）2x =-或1x =或4x =（2）存在，1,2m n =-=（3）1-。

2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一(下)月考数学试卷(5月份)+答案解析

2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一(下)月考数学试卷(5月份)+答案解析

2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知的直观图如图所示，轴，轴，且，则在中，()A.3B.C.12D.63.已知复数，，为虚数单位，且，则()A.，B.，C.，D.，4.在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则()A. B. C. D.5.设、是两个不重合的平面，则的一个充分条件为()A.平面内有无数个点到平面的距离相等B.平面内有无数条直线与平面平行C.两条异面直线同时与平面，都平行D.两条平行直线同时与平面，都平行6.在中，，，，点D为边AC上一点，且，则()A.3B.2C.D.7.如图，在正四棱台中，，则正四棱台的表面积为()A.28B.26C.24D.168.已知，，，均为非零向量，与的夹角为，与的夹角为，满足，，则，的夹角()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知i为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是()A.B.的共轭复数为C.的虚部为D.在复平面内，复数对应的点位于第二象限10.已知正方体的棱长为2，点P为正方形内包括边一动点，则下列说法正确的是()A.对于任意点P，均有平面平面B.当点P在线段上时，平面与平面所成二面角的大小为C.当点P在线䝘上时，D.当点P为线段的中点时，三棱锥的体积为11.已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是()A.B.对于任意与不共线的非零向量，都有C.对于任意的非零实数t，都有D.若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若向量与单位向量的方向相同，则______.13.已知圆柱的底面半径为2，高为点O为线段不含端点上一动点.以该圆柱的上、下底面为底面，O为顶点挖去两个圆锥与，则剩下的几何体的体积与圆柱的体积之比为______. 14.如图，已知山体AB与山体CD的底部在同一水平面上，且两个山体的高线AB与CD均与水平面垂直，，在山体CD的最高点D处测得山顶B的仰角为，测得山底A的俯角为，则______四、解答题：本题共5小题，共77分。

山东省联考2024年高一下学期5月月考化学试题+答案

山东省联考2024年高一下学期5月月考化学试题+答案

高一质量监测联合调考化学本试卷满分100分，考试用时90分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：鲁科版必修第二册第1章、第2章，选择性必修1第1章。

5.可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Mg 24 Fe 56一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1.中华古诗词精深唯美，下列有关说法错误的是 A.“野火烧不尽，春风吹又生”主要涉及放热反应B.“春寒赐浴华清池，温泉水滑洗凝脂”，保持温泉水恒温的能量主要来源于地热能C.“羲和敲日玻璃声，劫灰飞尽古今平”，制玻璃的原料之一可用于制作光导纤维D.“铁屑融化似水流，千锤百炼始成钢”，生铁是混合物，钢是纯净物 2.下列有关化学反应与能量变化的说法错误的是 A.锌与稀硫酸的反应属于放热反应 B.需要加热的反应可能是放热反应C.石墨转化为金刚石是吸热反应，所以石墨比金刚石稳定D.“冰，水为之，而寒于水”说明相同质量的水和冰相比，水的能量更低3.3NaN 是一种易溶于水()33NaN Na N +−=+的白色固体，可用于有机合成和作汽车安全气囊的产气药等。

3NaN 可用2NaNH 和2N O 反应合成，过期的3NaN 可用NaClO 溶液销毁（3N −被氧化为2N ）。

下列说法中错误的是A.钠元素在周期表中的位置是第3周期IA 族B.3NaN 中既含离子键又含共价键C.2NaNH 中氮元素的化合价为-3价D.用NaClO 溶液销毁3NaN ，发生的反应为322ClO 2N 2H Cl H O 3N −−+−++=++↑4.下列装置中能构成原电池的是A. B.C. D.5.将()24molSO g 和()22molO g 在2L 的密闭容器中混合，并在一定条件下发生反应：()()()2232SO g O g 2SO g + ，若经2s 后测得3SO 的物质的量为0.6mol 。

江苏省南京市中华中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题

江苏省南京市中华中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题

2022-2023学年南京市中华中学高一下5月月考卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.已知复数z i =+（i 是虚数单位），z 的共轭复数记作z ，则zz=（ ）2i − 2i+ C.2i − D.2i2.已知sin 4πα−，则sin 2α的值为（ ） A.2425−B.2425C.125D.125−3.已知a ，b ，c 均为单位向量，且220a b c +−=，则b c ⋅=（ ） A.38B.58C.78D.984.在正方体1111ABCD A B C D −的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60°的直线的条数为（ ） A.2B.4C.5D.65.如图，二面角l αβ−−的大小是60°，线段AB α⊂，B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.求直线AB 与平面β所成的角的正弦值.6.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为（ ） A.8B.9C.10D.77.1，O 为底面圆心，OA ，OB 为底面半径，且23AOB π∠=，M 是母线PA 的中点.则在此圆锥侧面上，从M 到B 的路径中﹐最短路径的长度为（ ）1−1+8.在锐角ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4cos a bC b a+=，则tan tan tan tan C C A B +=（ ）A.1B.12C.4D.2二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）9.下列关于复数z 的四个命题，真命题的为（ ） A.若1R z∈，则z R ∈ B.若2z R ∈，则z R ∈C.若1z i −=，则z 的最大值为2 D.若310z −=，则1z =10.已知a ，b ，c 分别是ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A.若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC △是锐角三角形 B.若cos cos a A b B =，则ABC △是等腰直角三角形 C.若cos cos b C c B b +=，则ABC △是直角三角形 D.若cos cos cos a b c A B C==，则ABC △是等边三角形 11.如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点P 是棱1CC 上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（ ）A.存在点P ，使DP ∥面11AB DB.二面角1P BB D −−的平面角为60°C.1PB PD +D.P 到平面11AB D 12.已知四边形ABCD 是等腰梯形（如图1），3AB =，1DC =，45BAD ∠=°，DE AB ⊥.将ADE △沿DE 折起，使得AE EB ⊥（如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点.下列结论中正确的是（ ）A.BC AD ⊥B.点E 到平面AMCC.EM ∥平面ACDD.四面体ABCE 的外接球表面积为5π三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

广东省广州市执信中学2023-2024学年高一下学期5月月考试卷

广东省广州市执信中学2023-2024学年高一下学期5月月考试卷

广东省广州市执信中学2023-2024学年高一下学期5月月考试卷一、单项选择1．I ran ______ a famous western cook the other day, whose receipt of Ramen took me ______ surprise.A．against; to B．across; for C．after; as D．into; by2．His lecture as well as his several presentations ______ with photos _______ during the expedition.A．was illustrated; shot B．were illustrated; were shotC．were illustrated; shot D．illustrated; were shot.3．Recent studies have borne out claims that certain perfumes can _______ profound psychological changes.A．carry out B．attach to C．bring about D．result from4．______ of water make Death Valley a desert, but it is by no means devoid.A．Lacking B．being lack C．because of lack D．lack5．– Are you satisfied with Christopher’s present for you?–You bet! He couldn’t give me _______.A．a worse one B．a better one C．the worst one D．the best one 6．You’ve probably heard that most Canadians want the government to do more on climate. That’s what two-thirds of the public tell pollsters when _______.A．asking B．asked C．having been asked D．being asked 7．—Jim is expert at playing badminton. What about his good friend Eric?—Eric plays badminton as well as, if ______ than, Jim.A．not better B．so bad C．no better D．not worse 8．While building a tunnel through the mountain, _______A．an underground lake was discovered.B．there was a lake discovered underground.C．the workers discovered an underground lake.D．there were some workers discovered an underground lake.9．______so many times didn’t make him lose heart, ______ in turn, helped him become strong and be a real man.A．Rejected; it B．Rejecting; as C．Being rejected; which D．Havingrejected; which10．It was due to the destructive rainstorm during the May Day holiday ______ hundreds of thousands of holidaymakers remained ______ in the airport.A．when; sticking B．when; to be stuckC．that; to be stuck D．that; stuck11．Dogs have a far wider hearing range than humans, according to a study conducted in the last few months, thus ______ them to detect sounds far above a human’s hearing limit.A．enabling B．having enabled C．to enable D．enables12．She was too nervous _______ with so many eyes ______ on her.A．to speak; fixing B．to speak; fixedC．not to speak; fixing D．not to speak; fixed13．Only when she received the invitation to kiss birthday party______ the old dress out of the wardrobe and tried it on, only ______ it didn’t fit.A．she has taken; to be found B．did she take; to findC．she had taken; finding D．had she taken; to find14．Everyone in our class was working hard and doing what we could ______ to a key university.A．being admitted B．be admitted C．to be admitted D．admitting 15．The puppies barking merrily, the leaves smiling warmly and the wind ______ softly, why not enjoy a bit of fun in this very moments?A．whispering B．whispered C．to whisper D．whispers二、阅读理解There’s almost always something special happening at Disneyland in southern California. Here’s what guests should know about visiting Disneyland for 2024.● EventsLunar New Year CelebrationMushu, a character from Disney’s animated film Mulan,will help guide in the Year of the Dragon by leading Mulan’s Lunar New Year Procession.Visitors,especially children,candress up as characters from Mulan to join it.Dates:Jan.23—Feb.18Pixar FestIt is back with a new daytime parade(游行): A Pixar Pals Celebration! New characters like Red Panda Mei from Turning Red will arrive in the parks. Dining options will be available, allowing guests a bite of Pixar-themed treats at a newly opened cafe.Dates:Feb.26—Aug.4Fantasy land MelodiesThe headliners for this year’s concerts are Marvin Sapp and Tasha Cobbs Leonard. The award-winning musicians will be joined by local community choirs at Disneyland’s Fantasy land Theatre. Musical workshops highlighting various types of music will be a feast for ears.Dates:Feb.17—Apr.24Season of the ForceNew adventures will take guests on a thrilling journey through space travel aboard a spacecraft. Visitors will view the park’s fireworks and hear special galactic music. Buying limited-edition souvenirs enables fans to take a piece of space back home with them.Dates:Apr.5—Sep.216．Which event appeals to foodies most?A．Lunar New Year Celebration.B．Pixar Fest.C．Fantasy land Melodies.D．Season of the Force.17．What do Fantasy land Melodies and Season of the Force have in common?A．They sell rare souvenirs.B．They have firework shows.C．They feature cartoon heroes.D．They include musical elements.18．What is the minimum cost for a couple with a 5-year-old to pay a visit on Feb.28?A．$208.B．$264.C．$288.D．$312.I’m always cautious of the tired saying, “If it doesn’t kill you, it’ll make you stronger.” I mean, what about polio (小儿麻痹症)? Or loads of other horrible things that if you survive, you’re left scarred in one way or another.For many years I worked in a specialist NHS clinic for people with eating disorders, which are greatly misunderstood and connected with vanity (虚荣) when instead it’s usually about control or even profound trauma (精神创伤). Eating disorders have the highest mortality of any mental illness, with one in five of those with an eating disorder dying from it. Treatment for it is long, tough and tiring. So, it’s fair to say it’s not something to be taken lightly.Yet I was often surprised by how many patients-patients with all sorts of other conditions too, from depression to cancer -would tell me how the experience had changed them for the better after receiving treatment. It’s not so much that what doesn’t kill you makes you stronger; more, it might make you more understanding of yourself and more sensitive to the battles and struggles of others. It can also give people a sense of determination and perseverance they never had before.I had one patient who was an addict and alcoholic besides suffering eating disorder. She was frequently rushed into hospital and was sometimes at a real risk of dying. However, after years of hard work, she stopped drinking, stopped using drugs and her eating disorder improved. She got back into work and started doing several courses to get promoted. Actually, she had gone through numerous intense and exhausting interviews before landing a job, but she said whenever she felt she couldn’t handle it or doubted her capabilities, she reminded herself that nothing would ever be worse or harder than what she had already gone through. She managed to make the mostof her life and turn her life around.19．What does the author think of the old mantra?A．Always applicable.B．Totally absurd.C．Partially right.D．Quite misleading.20．What does the underlined word in paragraph 2 possibly mean?A．The number of deaths.B．The possibility of being cured.C．The rate of getting mentally hurt.D．The chance of having mental illness.21．How does the experience influence patients according to paragraph 3?A．It leads to a changeable attitude.B．It makes no noticeable difference.C．It builds up their physical strength.D．It fosters self-awareness and sympathy.22．What can we learn about the patient mentioned in the last paragraph?A．She continued harmful habits.B．She relied only on medication.C．She always believed in herself.D．She became stronger and tougher.Many economists predict 2024 will be the time shoppers tighten their belts. That doesn’t mean people will stop spending, say retail(零售) analysts. But it will change what they choose to buy. With a slowing job market global consumers are likely to move away from high-priced purchases and focus instead on smaller, less expensive treats.The economic uncertainty means that consumers are becoming more discriminating about their purchases, says Ethan Chernofsky, senior vice president of marketing at intelligence platform Placer.ai. “There are the things we decide are necessary, and then there’s another category of things that aren’t necessary but that we consider affordable luxuries, ” he says. This desire for these “affordable luxuries” is common in difficult economic times. Some economists refer to the phenomenon as the “lipstick index”. When economic times are tough people tend to, people tend to choose affordable splurges (挥霍)-like cosmetics (化妆品) to treat themselves. Commentators speculate that these purchases are driven by their relative affordability and the consumer’s desirefor escapism. Sales of lipsticks, perfumes and other cosmetics are indeed up.Over six months. We asked consumers in 23 countries if they were making purchases to treat themselves. We created a database with nearly 150,000 consumer descriptions of their splurge purchases, including what they bought, how much they spent and why they bought it. Efforts revealed that consumers are treating themselves much more than expected. Analysts at Deloitte say consumers will spend on little luxuries like specialty coffees and snacks as well. Additionally, stressed-out shoppers are prioritizing small splurge purchases for wellness and personal care.As retailers see shoppers turning to little luxuries, many companies orient their marketing efforts around “occasions” and “life events”. The “splurge occasion” could open up the opportunity for retailers to capture new sales from consumers buying to treat themselves. Target has staked a flag in what they refer to as “affordable joy”. For example, focusing marketing efforts on a scarf’s fashionable attributes may be tempting. Still, under US$100, it may be more effective to lure customers by also tying in the practicality of the purchase.Ethan says not every shopper will shift their spending to little luxuries-but even those who are still longing for the “must-haves” of social media will also look to get a deal. They want the feeling of purchasing lower-priced affordable treats. To get these goods, shoppers are likely to tap into the re-sale market for designer items at a more reasonable price. They want things that make them feel good about themselves-they just want to do it without breaking the bank.23．What can affordable luxuries be?A．Moderate-priced designer items.B．High-end technological products.C．Reasonably-cost daily necessities.D．Economically-preferred large deals.24．What is paragraph 4 mainly about?A．The competition stores face.B．The strategies retailers adopt.C．The products consumers buy.D．The pleasure businesses offer.25．What do most shoppers seek according to Ethan?A．World-luxry brands.B．Second-hand bargains.C．Social-media purchases.D．Budget-friendly pleasures.26．Which of the following is the best title for the text?A．Lipstick Index: Where Does It Lead UsB．Must-have Treats: A Future Spending TrendC．Little Luxuries: A Driving Force Behind ConsumptionD．Affordable Joy: Will We Fall Into The TrapSuggestion that people should aim for dietary diversity by trying to eat a variety of foods has been a basic public health recommendation for decades in the United States everywhere. Now, however, experts are warning that aiming for a diverse diet may actually lead to just eating more calories, and, thus, to obesity. One issue is that people may not interpret “variety” the way nutritionists intend. This problem is highlighted by new research conducted by the American Heart Association. Researchers reviewed all the evidence published related to dietary diversity and saw a correlation between dietary diversity and a greater intake of both healthy and unhealthy foods. This had implications for obesity, as researchers found a greater prevalence of obesity amongst people with a greater dietary diversity.One author of the new study explained that their findings contradict standard dietary advice, as most dietary guidelines around the world include a statement of eating a variety of foods. But this advice does not seem to be supported by science, possibly because there is little agreement about the meaning of “dietary diversity,” which is not clearly and consistently defined. Some experts measure dietary diversity by counting the number of food groups eaten, while others look at the distribution of calories across individual foods, and still others measure how different the foods eaten are from each other.Although the findings of this new study contradict standard dietary advice, they do not come as a surprise to all of the researchers involved. Dr. Rao, one of the study authors, noted that, after 20 years of experience in the field of obesity, he has observed that people who have a regimented lifestyle and diet tend to be thinner and healthier than people with a wide variety of consumption. This anecdotal evidence matches the conclusions of the study, which found no evidence that dietary diversity promotes healthy body weight or optimal eating patterns, andlimited evidence shows that eating a variety of foods is actually associated with consuming more calories, poor eating patterns and weight gain. Further, there is some evidence that a greater variety of food options in a single meal may delay people’s feeling of fullness and actually increase how much they eat.Based on their findings, the researchers endorse a diet consisting of a limited number of healthy foods such as vegetables, fruits, grains, and poultry. They also recommend that people simultaneously endeavor to restrict consumption of sweets, sugar and red meat. The researchers stress, however, that their dietary recommendations do not imply dietary diversity is never positive, and that, in the past, diversity in diets of whole, unprocessed food may have actually been very beneficial.27．What did the new research by the American Heart Association find?A．Big eaters are more likely to become overweight.B．People seeking dietary diversity tend to eat more.C．Dietary diversity is positively related to good health.D．Unhealthy food makes people gain weight more easily.28．What could help to explain the contradiction between the new findings and the common public health recommendation?A．There is little consensus on the definition of dietary diversity.B．The methods researchers use to measure nutrition vary greatly.C．Conventional wisdom about diet is seldom supported by science.D．Most dietary guidelines around the world contradict one another.29．What did the doctor find after 20 years of research on a big city?A．Dietary diversity promote healthy body weight.B．Eating patterns and weight gain go hand in hand.C．Diversified food intake may not contribute to health.D．There is no clear definition of optional eating patterns.30．What does the passage say about people who eat a great variety of food?A．They tend to consume more sweets, sugar and red meat.B．They don’t feel they have had enough until they overeat.C．They don’t have any problems getting sufficient nutrition.D．They are more likely to eat foods beneficial to their health.Happier Babies Have an EdgeParents and teachers want children to grow up to be happy and successful.31 A wide range of research, however, indicates happiness brings success in adults, and achievements do not always make adults happier.Recently in new study, John K. Coffey II, assistant professor of psychology at Sewanee, the University of the South, found that happiness during infancy (婴儿期) predicted childhood IQ and adult educational success.In his 29-year study, Coffey used the Fullerton Longitudinal Study (FLS). In 1978 the FLS research team recruited 130 parents with babies for a study that now has run for more than 30 years. 32 When each baby was 18 months old, one parent reported how often his or her baby expressed positive and negative emotions and researchers measured the infant’s IQ. When babies were children (ages 6 to 8), they completed IQ tests. When babies had grown into 29-year-old adults, they reported how many years of education they had completed and their life satisfaction.As expected, Coffey found that regardless of intelligence during infancy or parents’ wealth, happier babies were more likely to graduate from high school and college. 33 It suggests that happier babies learn more between infancy and childhood.34 Parents wishing to help their children enjoy greater happiness can focus on small changes they can make in their day-to-day lives to create more positive moments. Parents do not need to aim for intense experiences or “best day ever” for their children. Although peak experiences can be fun, they also tend to be tiring for both children and their parents, which can lead to anxiety and conflict.Currently, Coffey and other researchers are exploring when and why some children are happier than others or whether we can increase it. Happiness during infancy and childhood is predicted by relationships with caregivers and teachers or by learning new skills. Inexpensive and easy-to-do activities like practising acts of kindness or appreciation can boost happiness. 35 A．We often think that achieving success will ultimately make us happy.B．We can use these activities to help children grow into happy and successful adults.C．To test his theory, Coffey looked at how intensely children’s emotions are experienced. D．These happy babies aren’t just growing up to be successful, but they are also happy adults. E．Further, happier babies had more growth in their IQ scores between infancy and childhood. F．Another important clarification is that happiness is about how often emotions are experienced. G．Early on, parents reported on their background, for instance, education level and employment.三、完形填空My son had just gotten his driving license. On the way home, I 36 the car to a side road, unfastened my seat belt, and 37 places with him. “Okay,” I said. “I want you to drive home.”Sitting behind the steering wheel, his body looked tense and 38 . “Mom,” he said quietly, “I can’t do this. I’m not ready.”“It’s okay,” I said. “You’re 39 going to feel ready. At some point, you just have to go for it.”“No,” he took a deep breath and 40 my father’s words. “Don’t ever apologize for knowing your limits. You told me that!”For a brief moment, time 41 . I saw the very old photograph forever 42 in my memory. It shows my family standing arm in arm and 43 for the camera, with the then tallest roller coaster(过山车) we decided to ride together in the background. No one knew I was 44 terrified. I just didn’t want to be the one to stay behind. We 45 our way up the line and finally reached the end. Suddenly, my body was stiff with 46 , and I knew: I just couldn’t do it.Too 47 to face my family, I simply called over my shoulder to Dad that I was leaving. Dad asked me what happened. “I guess I was too chicken. Sorry.” What Dad said next 48 surprised me. “Don’t ever apologize for knowing your limits,” he said. “And don’t let someone make you do something you’re not comfortable with. I’m proud of you for the choice you made.” This was the exact 49 of what I expected him to say.Instantly, I understood exactly how my son felt. Knowing the limits isn’t an 50 of weakness. It’s actually a sign of strength.36．A．plugged in B．pulled over C．stepped in D．swung over 37．A．traded B．provided C．shared D．refreshed 38．A．immature B．indifferent C．uncomfortable D．irrelevant 39．A．always B．surely C．forever D．never 40．A．expected B．wondered C．recalled D．imagined 41．A．passed B．faded C．froze D．flew 42．A．pressed B．drafted C．polished D．carved 43．A．looking B．applying C．smiling D．inquiring 44．A．scarcely B．secretly C．similarly D．still 45．A．inched B．found C．led D．bounced 46．A．regret B．fear C．sadness D．dizziness 47．A．embarrassed B．disappointed C．discouraged D．pessimistic 48．A．hardly B．completely C．normally D．rarely 49．A．remark B．comment C．comfort D．opposite 50．A．assumption B．introduction C．anticipation D．indication四、单词拼写51．Instead of constantly c (to say that something is wrong or not satisfactory), she focus on finding solutions and taking action to improve the situation.(根据首字母单词拼写) 52．Practicing the v (general quality of goodness in a person) of integrity, compassion, and humility can lead to a more can lead to a more fulfilling personal life and foster a harmonious community. (根据首字母单词拼写)53．A strict training program prepared the a ( a person who has been trained for traveling in space) for the physical and mental challenges of space exploration. (根据首字母单词拼写) 54．The thrilling novel took me on a captivating e (something that helps you to forget about your usual life or problems) from reality, immersing me in the world of adventure. (根据首字母单词拼写)五、语法填空55．It is no use crying over (spill) milk; instead, it is wiser to learn from the experience, adapt, and focus on prevent similar mishaps in the future. (所给词的适当形式填空)56．Do you just want to be physically fit, able to move with strength and (flexible)? (所给词的适当形式填空)57．One by one，the applicants left the interviewer's office with (disappoint) looks on their faces. (所给词的适当形式填空）六、单词拼写58．Chinese subway trains are now (出口) to developed countries including the United States. （根据汉语提示单词拼写）59．If you want to include additional content in your email, you can consider (附上) a fire to enhance your message. (根据汉语提示单词拼写)60．The community center provides various (设施) where residents can participate in different recreational activities, from swimming and fitness classes to art workshops and community events. (根据汉语提示单词拼写)七、完成句子61．The novel presented a thought-provoking (道德困境) that challenged readers to question their values and consider the consequences of their choices. (根据汉语提示完成句子) 62．The man who crashed into the stone (跌倒后爬起来) and angrily went away. (根据汉语提示完成句子)63．After a rigorous selection process, Jane (被任命为) the new director of the company, bringing her extensive and leadership skills to the role. (根据汉语提示完成句子) 64．The organization’s mission was (坚持，继续) the legacy of its founder by continuing to provide support and resources to underprivileged communities. (根据汉语提示完成句子)65．The snow lasted a week, (导致，造成) serious traffic confusion in the whole area. (根据汉语提示完成句子)66．The purpose of education should not (局限于) the mere acquisition ofknowledge and attainment of grades. (根据汉语提示完成句子)67．As long as they can unite and work together, it is possible for them to (弄清楚) how to stand out in a highly competitive market. (根据汉语提示完成句子)68．With his money (用尽)，he could have all his parents for help but he didn’t. (根据汉语提示完成句子)69．Moving to a different country opened my eyes to a whole new world of life, and I found myself (感受文化冲击) as I navigated it through Armenian customs and traditions. (根据汉语提示完成句子)70．To enter the party undetected, the detective (伪装自己成为) an upper class gentleman, perfectly imitating their appearance and behavior. (根据汉语提示完成句子)八、语法填空阅读下面短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。

河南省名校5月联考2023-2024学年高一下学期5月月考英语试题

河南省名校5月联考2023-2024学年高一下学期5月月考英语试题

河南省名校5月联考2023-2024学年高一下学期5月月考英语试题一、阅读理解Four Places to Listen to Free Music OnlinePandoraPandora is a popular Internet radio service that lets users create personalized stations and listen to music. To use Pandora, you will have to create an account using your email address and a password. As you find music you like, you can save songs to your collection. However, you can’t download any specific tracks to your computer or phone.LiveOneOn LiveOne, you’ll mostly find big artists, bands and songs along with interviews and news. While you won’t be able to stream all songs on demand for free due to licensing restrictions (限制), you will be able to create a station of similar tracks/artists from nearly any song. There’s a tab (标签) named “My Library” where you can save and share your favourite music.iHeartRadioiHeartRadio is a great website or app for listening to live radio stations. You can find local stations or check out stations from around the country. You won’t have to create an account to begin listening on iHeartRadio. but you can make one for free to save stations and playlists. Whether you decide to create an account or not. you won’t be able to download music from iHeartRadio.SpotifyIf you’re looking for free music online, you’ve most likely come across Spotify already. This resource is great for streaming popular hits while discovering new favourites. You can keep track of what you’ve recently played, and “favourite” songs. In addition to music. Spotify offers playlists of its most-played songs and information on local upcoming concerts.1．Which is a must before using Pandora?A．Saving some songs.B．Creating an account.C．Calling other users.D．Sending a private email.2．What can you do on “My Library” of LiveOne?A．Download popular songs.B．Make new friends online.C．Share your favourite music.D．Discover radio stations.3．What is special about Spotify?A．It offers news on local upcoming concerts.B．It requires no membership card.C．It allows users to download music for free.D．It features a station of similar artists.Today I headed into town for a job interview. The weather was awful, for it was pouring with rain, and I would’ve loved to buy umbrellas for people. I decided to think of free or really cheap ways to make people smile. I knew I’d also have to deal with my shyness, or just create acts of kindness, but it was a challenge that I was willing to accept!When I was on the bus, the seat I sat on next to the window was wet; somehow the rain had gotten in. I left a note on the seat, with the Smile Card, saying, “This seat is wet: sit with caution (谨慎) !” Later, while waiting at the road crossing, I held my card over the woman standing in front of me. She didn’t notice but obviously those extra moments of dryness would help!After the interview, I’d devised a few more ways to create smiles. I checked my purse for change and put 50 pence and a Smile Card on top of a child’s automatic ride. I allowed an elderly gentleman to go in front of me as he was having trouble standing. At this point, I was really beginning to accept my day of kindness!Before getting on the bus home. I had one more idea: I went and bought a small bag of chocolates and attached a Smile Card. When I got back to my street, I left the sweets and the Smile Card at a neighbour’s door. This neighbour had taken in a parcel (包裹) for me last week, so he deserved a treat.After all this, my day of giving wasn’t yet over! I was so pleased that I managed to do all these little things for others today. It didn’t take much effort on my part, but I definitely had to push myself to overcome (克服) my lack of confidence, and I’m proud of myself.4．What difficulty does the writer have to overcome?A．The job interview.B．The terrible weather.C．Poor ability to pay.D．The shyness character.5．What does the underlined word “devised” mean in Paragraph 3?A．Thought up.B．Focused on.C．Cut out.D．Looked forward to. 6．Why did the writer give the sweets and the Smile Card to the neighbour?A．To please the neighbour’s children.B．To thank the neighbour for the help last week.C．To receive a welcome treat from the neighbour.D．To try to trouble the neighbour to take in his parcel.7．What message does the writer convey?A．A friend in need is a friend indeed.B．Any act of kindness matters.C．Shyness makes it difficult to succeed.D．Believe in yourself first, then others will believe you.The African continent has seen its average monthly temperatures rise by 0.5 — 2 degrees Celsius over the past century, with up to another two degrees of warming projected for the next 100 years. The changing climate will break historical rainfall patterns, but which of these, temperature or rainfall, will have the most impact on a species, like rhinos (犀牛) ?“Generally speaking, most, if not all, species will. in one way or another, be affected by the changing climate,” says lead author Hlelowenkhosi S. Mamba, who completed this research. It is therefore important to catch tendency (趋势) and model futures for some of the world’s weakest species. It can help prepare to reduce climate change’s effects, hence reducing global biodiversity losses.To understand how our changing climate will affect rhino populations, Mamba and Timothy Randhir, professor of environmental protection, focused their efforts on the five large national parks that are home to most of the rhinos.Mamba and Randhir then modeled two scenes for each of the parks: the IPCC’s high-emissions (排放) scenes and a more moderate (适度的) emissions scenes. They projected temperature and rainfall for each of the scenes out to 2055 and 2085 to arrive at a possibility that each park would remain suitable for the rhinos.Nearly every park will become increasingly drier as emissions increase. This is all very bad news for the rhinos, because the team also found that, though the change in rainfall will not bemost suitable for the rhinos, the changes in temperature are greater than what the species can bear.“The temperature conditions in all study parks will become increasingly unsuitable for the species. And under the high-emissions scenes, the possibility of occurrence of the species falls to zero by 2085,” the authors write.But to be forewarned is to be prepared in advance. “We propose that park managers think now about increasing water supplies, tree cover, watching for stress and planning to allow rhinos to move from one place to another place as the world warms,” says Randhir.8．Why does the author ask a question in Paragraph 1?A．To show an evidence.B．To stress the main idea.C．To lead in the topic.D．To offer some background.9．What does the second paragraph mainly focus on?A．The means of the research.B．The content of the research.C．The process of the research.D．The significance of the research. 10．What can we know about the research from the text?A．Changes in rainfall have a greater effect on rhinos.B．Each park will have no rhinos in 2055.C．Changes in temperature affect rhinos more.D．Each park will be warmer by 4. 5℃ in 2085.11．What does Randhir mean in the last paragraph?A．Rhinos are better suited to natural growth.B．Rhinos are in great danger in the five parks.C．Park managers should plan to protect rhinos.D．Park managers must pay more attention to nature.Researchers have developed a new soft robot design that conducts itself with three behaviours at the same time: rolling (翻滚) forward. turning like a record and following a path that goes around a central point. The equipment, which operates without human or computer control, holds promise for developing soft robots that can be used to AA-head and map unknown environments.The new soft robots are called twisted ring-bots (扭曲环机器人) . They are made ofsomething like the ribbon (缎带) and then joined together at the end to form a ring.When the robots are placed on a surface that is at least 55 degrees Celsius, which is hotter than the surrounding air, one part of the ribbon touching the surface becomes smaller, while one part in the air does not. This induces a rolling movement: the warmer the surface, the faster the robot rolls. “The ribbon rolls on its horizontal axis (横轴) , giving the ring forward strength,” says Jie Yin, a professor of mechanical and aerospace engineering.The twisted ring-bot also turns along its central axis. And as the twisted ring-bot moves forward it travels in a path around a central point, basically moving in a large circle. However, if the twisted ring-bot meets a boundary- like the wall of a box-it will travel along the boundary.The twisted ring-bots are examples of equipment whose behaviour is governed by physical intelligence, meaning their actions are determined by their structural design and the materials they are made of, rather than being directed by a computer or human.“Soft robotics is still a relatively new field.” Yin says. “Finding new ways to control the movement of soft robots in a repeatable and engineered way moves the field forward. And advancing our understanding of what is possible is exciting.”12．What makes the robot roll faster and faster?A．The ribbon.B．The central axis.C．The shape and material.D．The higher surface temperature.13．How does the author introduce the new soft robots?A．By explaining the robot’s working ways.B．By quoting experts’ opinions.C．By making some comparisons.D．By offering reasons and results.14．What is Yin’s attitude towards twisted ring-bots?A．Unclear.B．Favourable.C．Negative.D．Doubtful. 15．What is the best title for the text?A．The New Soft Robots B．Ribbons and Their RollingC．Three Creative Movements D．Twisted Rings and the Axis4 Reasons Why Wild Animals Are So ImportantAs we know, the earth gives us food, medicines and materials, often through wild animals. These wild animals are important to our existence. Sadly, they are becoming extinct at an alarmingrate. We need to change this loss of nature and create a future where wildlife and people thrive (蓬勃发展) again. 16 Here are some reasons why wild animals are so important to the world at large.Wild animals keep balance in ecosystems.17 If any part is threatened or becomes extinct, this has a knock-on effect on the whole ecosystem. sending shock waves through the environment. For ecosystems to survive and perhaps even thrive, we must protect all of our wildlife.Diversity (多样性) means healthier ecosystems and healthier wild animals.When there is a wildlife issue, you’ll often hear the term biodiversity, which refers to the number of species in an ecosystem. 18 Why do we consider this important? A wide variety of animals means greater productivity and better health. If there are fewer animal species, a disease that affects any species spreads faster and more effectively.19All of the food that we eat comes from an animal or plant. Living without various food sources causes our nutrition (营养) to suffer. Protecting wildlife and its natural habitats strengthens food safety for humans around the world.Wildlife helps medical research.Wild animals have helped us find important medicines that help with many diseases. 20 Many medical systems like Chinese traditional medicines still rely on herbs and spices, but even Western medicine have made great progress with wildlife research.A．All living things are interconnected.B．Healthy ecosystems mean a lot of diversity.C．Or we will lose these animals to future generations.D．People worldwide depend on wildlife for their snack.E．Wildlife provides important nutrients for the human race.F．The human race has always turned to nature for medicine.G．We should notice the influence caused by wildlife on culture.二、完形填空The caring employees at a Costco store near Cleveland, Ohio, are being honoured as heroes. It was because of their quick thinking and being sympathy (同情) , which 21 saved the life of a fellow co-worker.The story 22 one morning when the employee failed to show up for his scheduled shift (换班) at 5 a. m. 23 for his colleague, the manager, Jesse Orsborn, decided to 24 and make sure everything was okay.“In situations where someone might oversleep for the early shift, we usually give them a 25 wake-up call, checking if they’re on their way. However, this daily check-in took an unexpected 26 ,” shared Orsborn. When the employee answered the call, his speech wasn’t understandable, and the connection suddenly 27 .Alarmed by the unusual conversation, Dave Mackin, the assistant general manager at Costco’s Mayfield Heights location, 28 , “We started calling several times, and each time, it became more 29 that something was seriously wrong. There was mumbling and groaning (喃喃自语, 呻吟着) , and it was evident ha he was experiencing a medical emergency.”As events 30 it turned out that the co-worker was in the midst of a stroke (中风) . Without wasting any time, the quick-thinking workmates kept the man on the 31 while others dialed emergency services. Thanks to their quick 32 , the man was quickly transported to the hospital and, fortunately, later went out of the hospital. 33 , it was noted that he faces a challenging road to recovery.34 on the incident, Mackin stressed the strong sense of community within the Costco family. “We take care of our members. We take care of our employees. They mean the 35 to us,” he stated proudly.21．A．gradually B．finally C．possibly D．equally 22．A．ended B．developed C．happened D．continued 23．A．Sorry B．Mistaken C．Prepared D．Concerned 24．A．reach out B．set off C．think over D．take up 25．A．former B．friendly C．convenient D．serious 26．A．error B．chance C．turn D．step 27．A．mattered B．worked C．completed D．dropped28．A．demanded B．wondered C．judged D．explained 29．A．special B．common C．obvious D．similar 30．A．progressed B．stopped C．worsened D．changed 31．A．way B．line C．team D．radio 32．A．drive B．action C．memory D．guard 33．A．Thus B．Therefore C．However D．Instead 34．A．Reflecting B．Depending C．Looking D．Basing 35．A．hero B．road C．leader D．family三、语法填空阅读下面短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。

山东省东营市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

山东省东营市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．已知复数，则的虚部为（ ） 12z i =-z A ．2 B ． C ． D ．2i 2-2i -【答案】C【分析】根据复数的概念判断即可. 【详解】复数的虚部为. 12z i =-2-故选：C2．（ ） cos 72cos12sin 72sin12︒︒+︒︒=A ．B ．C ．D 12-12【答案】B【分析】逆用两角差的余弦公式求解即可.【详解】， ()1cos 72cos12sin 72sin12cos 7212cos 602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=故选：B3．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且ABC A A B C a b c ()()3a b c b c a bc +++-=，那么是（ ） sin 2sin cos A B C =ABC A A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合()()3a b c b c a bc +++-=A sin 2sin cos A B C =正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由，得， ()()3a b c b c a bc +++-=22()3b c a bc +-=整理得，则， 222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以，()0,πA ∈π3A =又由及正弦定理，得，化简得，sin 2sin cos A B C =22222a b c a b ab +-=⋅b c =所以为等边三角形， ABC A 故选：B4．设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）(2,1)a =- (,1)b λ=- a bλA ．B ．1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2,)+∞C ．D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,(2,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由两向量的夹角为钝角，则需两向量的数量积小于零，且两向量不共线可求得的取值范λ围.【详解】解：∵与的夹角为钝角，a b∴，且，21(1)0a b λ⋅=-⋅+⨯-<(2)(1)0λ--⨯-≠，且，12λ∴>-2λ≠故选：A ．【点睛】本题考查向量的夹角为钝角的条件：两向量的数量积小于零且两向量不共线，属于基础题.5．在中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若，ABC A ABC A 则（ ） A =A ．B ．C ．D ．π32π3π65π6【答案】A【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.【详解】由余弦定理可得：()2222cos ,0,πb c a bc A A +-=∈由条件及正弦定理可得：，1sin cos 2S bc A A ===所以，则． tan A =π3A =故选：A6．已知，，则的值为（ ）sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭02πα<<tan αA ．B ．C ．2D ．或212-1212-【答案】C【解析】由同角间的三角函数关系先求得，再得，然后由两角和的正切公式可cos()4πα-tan()4πα-求得． tan α【详解】∵，∴，∴ 02πα<<444πππα-<-<cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭∴， sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭∴.tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 11432111tan 34παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中在作为复角，但在中充当“单4πα-tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-= ⎪⎝⎭+tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦角”角色．7．在中，已知分别为角的对边且 ， 若 且 ABC A ,,a b c ,,A B C 120A ︒∠=ABC S △ ，则的周长等于（ ）2sin 3sin B C =ABC A A ．B ．12C ．D ．510+5【答案】D【分析】由三角形面积求得，再由正弦定理得，可解得，然后由余弦定理解得，可bc 23b c =,b c a 得三角形周长．【详解】由题意，， 1sin 2S bc A ===6bc =又，由正弦定理得，联立解得，2sin 3sin B C =23b c =3,2b c ==， a ==所以 5a b c ++=+故选：D ．8．已知函数在上有且只有2个零点，则实数的取值范围()()1sin 0f x x x ωωω=+>()0,πω是（ ） A ．B ．C ．D ．313,26⎛⎤⎥⎝⎦137,62⎛⎤ ⎥⎝⎦725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦2511,62⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】将问题转化为在上有且只有2个解，根据正弦型函数的性质求的1sin 2t =-(,)33ππωπ--ω范围.【详解】由，令， ()12sin()3f x x πω=+-()0f x =所以，而有，1sin()32x πω-=-()0,x π∈(,)333t x πππωωπ=-∈--所以在上有且只有2个解，故，故.1sin 2t =-(,)33ππωπ--711636πππωπ<-≤31326ω<≤故选：A二、多选题9．下列命题不正确的是（ ） A ．若＝，则＝B ．若＝0，则＝或＝a rb a ba b ⋅ a 0 b 0 C ．若∥，∥，则∥ D ．若＝，＝，则＝a b b c a c a b b c a c 【答案】ABC【分析】两向量相等，方向相同，大小相等，据此可判断A ；两向量数量积为零，则其中一个向量为零向量或两向量垂直，据此可判断B ；零向量和任意向量共线，故如果不限制向量为非零向量，三个向量之间，向量共线不具有传递性，据此可判断C ；向量相等具有传递性，据此可判断D.【详解】A ：若＝，则与不一定相等，因为它们方向未知，故A 错误；a rb a bB ：若＝0，则＝或＝或，故B 错误；a b ⋅ a 0 b 0 a b ⊥C ：若∥，∥，则当时，无法判断与的关系，故C 错误；a b b c 0b = a cD ：若＝，＝，则＝，故D 正确.a b b c a c故选：ABC.10．下列说法正确的是（ ）A ．已知，，若，则1)2(a -=，,1()b x x - =()2//b a a - =1x -B ．在中，若，则点是边的中点ABC A 1122AD AB AC =+D BC C ．已知正方形的边长为，若点满足，则ABCD 1M 12DM MC = 43AM AC ⋅= D ．若共线，则a b，a b a b +=+【答案】BC【分析】根据向量共线的坐标表示可判断选项A ；根据向量的线性运算可判断选项B ；根据向量数量积的运算可判断选项C ，举反例可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：，，可得，若则 1)2(a -=，,1()b x x - =()22,5b a x x -=+- ()2//b a a - ，即，所以，故选项A 不正确；()()()215x x x x +-=-62x =13x =对于B ：取的中点，则，即点与点重合，所以点BC E ()111222AB AC AB AC AE AD +=+==D E 是边的中点，故选项B 正确；D BC 对于C ：()()()13AM AC AD DM AD DC AD DC AD DC ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭，故选项C 正确；22141413333AD DC AD DC =++⋅=+= 对于D ：当反向时不成立，故选项D 不正确，a b，故选：BC.11．复数，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 13i 22z =+A ．z 的实部是 B ．z 的共轭复数为1231i 22+C ．z 的实部与虚部之和为2 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】ACD【分析】根据复数的基本概念和共轭复数的概念，以及复数的几何意义，逐项判定，即可求解.【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，所以A 正确；13i 22z =+1232又由共轭复数的概念，可得，所以B 错误；13i 22z =-由复数的实部与虚部之和为，所以C 正确； 13222+=由复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以D 正确.13i 22z =+13(,)22故选：ACD.12．已知函数，则（ ）()πsin 2cos 6f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A ．的最大值为()f x 1B ．直线是图象的一条对称轴π3x =()f x C ．在区间上单调递减()f x ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．的图象关于点对称()f x π,06⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到，根据余弦型函()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭数最值可知A 正确；利用代入检验法，结合余弦函数性质，依次验证BCD 正误即可.【详解】； ()ππ1πsin 2coscos 2sin 2cos 22cos 26623f x x x x x x x ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭对于A ，，A 正确； ()max 1f x =对于B ，当时，，是的一条对称轴，B 正确； π3x =π2π3x +=π3x ∴=()f x 对于C ，当时，，此时单调递减，C 正确；ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()π20,π3x +∈()f x 对于D ，，不是的对称中心，D 错误. π2π1cos 632f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ π,06⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()f x 故选：ABC.三、填空题13．若，则tan 2＝___． sin 0,2παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭α【答案】【分析】方法1：运用特殊角的三角函数值计算即可.方法2：运用同角三角函数的平方关系与商式关系及二倍角公式计算即可.【详解】方法1：∵，，π(0,2α∈sin α=∴，π3α=∴. 2πtan 2tan3α==方法2：∵，π(0,2α∈∴， 1cos 2α===∴ sin tan cos ααα==∴22tan tan 21tan ααα===-故答案为：.14．已知复数，若是实数，则的值为__________．()()()21z m i m m i m R =+-+∈z m 【答案】0或1【详解】，由题意得：，得或，故答案为或.()()()221z m i m m i m m i =+-+=-20m m -=0m =10115．已知，，，则______．2a = 1b =a + ab -=r r【分析】将，两边同时平方，即可求得两向量乘积，再将要求的关系式平方代入即可.a + 【详解】因为，，，2a = 1b =a + 所以，，()2222523+=+⋅+=+⋅=a ba ab b a b 1a b ⋅=-则-=a r.16．求函数在区间上的最大值______．2()sin cos f x x x x =,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】32【详解】试题分析：∵，∵21()sin cos (1cos 2)22f x x x x x x =⋅=-+1sin(2)26x π=+-，∴，∴，∴，故填,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦1sin(2,162x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦3()1,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦32【解析】本题考查了三角恒等变换及三角函数的最值点评：熟练掌握三角恒等变换公式及三角函数的单调性是解决此类问题的关键．四、解答题17．已知复数，其中i 为虚数单位，.()()2223232i z m m m m =--+-+R m ∈(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)z 在复平面内对应的点在第二象限，求m 的取值范围. 【答案】(1)；12m =-(2)1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）z 是纯虚数需要满足实部等于0，虚部不等于0，即可求出结果；（2）z 在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0，虚部大于0. 【详解】（1）因为z 是纯虚数，所以，222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩解得.12m =-（2）因为z 在复平面内对应的点在第二象限，所以，222320320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩解得， 112m -<<所以m 的取值范围为.1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭18．已知，．π(,π)2α∈π3sin()45α+=(1)求；cos α(2)若，且，求．π(0)2β∈，4cos 5β=αβ+【答案】(1)(2) 3π4【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解. 【详解】（1）由，得． π(,π)2α∈3ππ5π444α<+<，π3sin()45α+=π4cos(45α∴+==-ππππππcos cos[(]cos()cos sin()sin 444444αααα∴=+-=+++． 4355=-=（2）由， π(,π)2α∈cos α=sin α==由，得，π(0,2β∈4cos 5β=3sin 5β==． 43sin()sin cos cos sin (55αβαβαβ∴+=+=+⨯=又ππ(,π),(0,)22αβ∈∈π3π(,22αβ∴+∈ 3π4αβ∴+=19．已知分别为中角的对边，函数且. ,,a b c ABC A ,,A B C 2()3cos 2cos f x x x x =++()5f A =(1)求角的大小；A (2)若，求面积的最大值. 2a =ABC A 【答案】(1) π3A =【分析】（1）直接依据题设条件建立方程求解；（2）借助余弦定理结合基本不等式可求解出的最大值，然后结合第（1）问中角，借助面积bc A 公式即可求解面积的最大值.ABC A【详解】（1）由题意可得：，所以()23cos 2cos 5f A A A A =++=()221cos A =-)0sinAsinA -=()0,π0A sinA ∈∴≠∴，即sin A A =tan A =，所以.()0,πA ∈π3A =（2）由余弦定理可得：， 22π42cos3b c bc =+-（当且仅当时“=”成立）.224b c bc bc =+-≥2b c ==∴，1sin 42ABC S bc A ==≤=A故ABC A20．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且. sin cos c B a B b =-(1)求A ；(2)若，且BC 边上的高为a . 14b c =【答案】(1) π3A =(2) 13a =【分析】（1）根据正弦定理边化角，将原式化简即可求得结果. （2）由面积公式可得，再由条件结合余弦定理即可求得结果.4bc a =【详解】（1）由正弦定理，原式可化为， sin sin sin cos sin C A B A B B =-由于， ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+整理得. cos sin sin sin A B A B B =-又∵，∴， sin 0B ≠cos 1A A =-∴，π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵，∴，()0,πA ∈ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴，即.ππ66A -=π3A =（2）由题意可知，由，得，11πsin 223ABC S a bc =⨯⨯=△4bc a =又，∴，， 14b c =216c a =2b a =由余弦定理知， 2222cos 16413a b c bc A a a a a =+-=+-=解得.13a =21．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求的值.cos θ【分析】在△CBA 中根据余弦定理得即可 BC =cos θ【详解】在△CBA 中，AB =40，AC =20，∠BAC =，由余弦定理得120︒222402024020cos1202800BC BC =+-⨯⨯⨯︒=⇒=， 40sin sin ACB ACB ACB =⇒∠=∠=∠1cos cos(30)2ACB θ∴=︒+∠==22．已知函数． ()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)求函数的单调递增区间；()f x (2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围． ()y f x k =-11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1) ,,Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2) ()11,0,12k ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭【分析】（1）由三角恒等变换化简，再利用正弦函数的单调性即可得出答案.()f x （2）函数在区间上有且仅有两个零点转化为曲线与直线()y f x k =-11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间上有且仅有两个交点，即可求实数k 的取值范围. y k =11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin 2cos cos 2sin 2cos sin 6644x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112cos 2sin 22cos 2cos 2222x x x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭， 12cos 2sin 2+26x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭令，所以，222,Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈所以函数的单调递增区间为： ()f x ,,Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）函数在区间上有且仅有两个零点，即曲线与直线()y f x k =-11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间上有且仅有两个交点，由，当y k =11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,,2,261266x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，，设，则，且11,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()[]sin 2+1,16f x x π⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭26t x π=+sin ,y t =,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 1sin 62π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭若要使曲线与直线区间上有且仅有两个交点， sin y t =y k =,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则. ()11,0,12k ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭。

广西重点高中2023-2024学年高一下学期5月联合调研物理试卷(含答案)

广西重点高中2023-2024学年高一下学期5月联合调研物理试卷(含答案)

高一年级5月阶段性考试物理本试卷满分100分，考试用时75分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：人教版必修第二册第五章至第八章第3节。

一、选择题：本题共10小题，共46分。

在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，每小题4分；第8～10题有多项符合题目要求，每小题6分，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1．下列说法正确的是（）A．牛顿首先通过实验测出了引力常量B．地面附近的物体受到的重力就是万有引力C．当两个物体紧挨在一起时，两物体间的引力无穷大D．地球同步卫星（相对地面静止）只能在赤道的正上方，且到地心的距离是一定的2．关于物体的平抛运动，下列说法正确的是（）A．物体的速度和加速度均发生变化B．物体的速度和加速度均不发生变化C．物体下落的时间与初速度有关D．物体下落的时间与初速度无关3．在光滑水平面上一质点做匀速率曲线运动的轨迹如图所示，质点在途经M、N、P、Q位置时的速度和所受合力F的方向，可能正确的是（）A．M位置B．N位置C．P位置D．Q位置4．如图所示，水平路面上有一辆小汽车，车厢中人正用力向前推车厢，人与车相对静止一起向前做匀减速运动。

下列说法正确的是（）A．人对车做正功B．人对车做的功为零C．车对人做的功为零D．人对车做的功的绝对值大于车对人做的功的绝对值5．如图所示，一玩具小汽车上紧发条（压缩弹簧）后在水平地面上由静止释放，小汽车沿直线滑行距离s后停下。

若小汽车滑行时受到的地面摩擦阻力与空气阻力之和恒为f ，则当小汽车由静止释放时，发条的弹性势能为（ ）A ．4fsB ．3fsC ．2fsD ．fs6．如图所示，细杆AB 的A 端紧挨竖直墙面，B 端贴着水平地面，在A 端沿着墙面下移的过程中，当AB 杆与地面的夹角为30°时，A 端与B 端的速度大小之比为（ ）A ．1：3B ．3：1C ．3:1D ．1:37．中国高铁实现了数字化、智能化管理，是世界上商业运营速度最快的高铁系统。

山东省滨州市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

山东省滨州市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

5月联合质量测评试题高一数学考试用时120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 某学校高一年级学生中对数学非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数分别为600、300、100，为了了解数学兴趣对数学成绩的影响，现通过分层抽样的方法抽取容量为的样本进行调查，其中非常喜欢的n 有18人，则的值是（ ） n A. 20 B. 30C. 40D. 50【答案】B 【解析】【分析】按分层抽样的定义，建立比例关系可得答案.【详解】非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数比为， 600:300:1006:3:1=按分层抽样方法，其中非常喜欢的有18人可得， 61810n ⨯=解得. 30n =故选：B.2. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形,,a b c ABC ,,A B C π,4,3A c a ===个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 1或2【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果. π4C =5π12B =【详解】因为，由正弦定理，所以π,4,3A c a ===sin sin a c A C =4sin C =， sin C =又因为，故，. 2π(0,3C ∈π4C =5π12B =故选：B.3. A ，B ，C 表示不同的点，n ，l 表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法正确的是（ ） αβA. 若，，，则 l αβ= n α∥n β∥n l ∥B. 若A ，，A ，，则B l ∈B α∉l α∥C. 若A ，，A ，B ，，，则 B α∈C β∈l αβ= C l ∈D. 若，，，则αβ∥l ⊂αn β⊂l n ∥【答案】A 【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：选项A ，因为，，，所以，故A 正确； l αβ= n α∥n β∥n l ∥选项B ，因为A ，，A ，，所以或l 与相交，故B 不正确；B l ∈B α∉l α∥α选项C ，A ，，A ，B ，，，此时点C 不一定在平面a 内，所以不正确，故B α∈C β∈l αβ= C l ∈C 不正确；选项D ，由，，，则l 与n 可能平行，也可能异面，故D 不正确．αβ∥l ⊂αn β⊂故选：A.4. 已知向量的夹角为，且，则（ ）,a b 56π||1,||a b == (2)()a b a b -⋅+=A. B.C.D. 1-127252-【答案】D 【解析】【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.【详解】. ()()225522cos 21362a b a b a a b b π⎛-⋅+=+⋅-=+-=- ⎝ 故选：D.5. 在中，角的对边分别为，已知，则的外接圆面积为ABC ,,A B C ,,a bc π3,4a c B ===ABC （ ） A.B. C.D.5π210π5π47π2【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理及正弦定理求得结果. 【详解】已知， π3,4a c B===由余弦定理可得，(22222π2cos 323cos54b ac ac B =+-=+-⨯=由正弦定理可得2sin b R B ===R =则的外接圆面积. ABC 25ππ2S R ==故选：A .6. 如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与1111ABCD A B C D -11,2AB AD AA ===E 1DD 1BD 所成角的大小为（ ）AEA.B.C.D.π3π4π65π6【答案】C 【解析】【分析】取的中点，可得直线与所成角即为直线与所成的，在1CC F 1BD AE 1BD AF1D BF ∠1D BF中由余弦定理可得答案.【详解】取的中点，连接，所以， 1CC F 1D F BF 、//AE BF 直线与所成角即为直线与所成的，1BD AE 1BD AF1D BF ∠所以，，22211112D F D C FC =+=2222BF BC CF =+=，222221*********D B D C D A D D =++=++=在中由余弦定理可得, 1D BF2221111cos 2D B BF D F D BF D B BF +-∠===⨯因为，所以.1π0,2D BF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦1π6D BF ∠=故选：C.7. 已知分别为三个内角的对边，且满足,,a b c ABC ,,A BC 2cos ,(cos )a b C b c a C C =+=+，则的形状为（ ） ABC A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】分别利用正弦定理和余弦定理即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，(cos )b c a C C +=+，sin sin sin (cos )sin cos sin B C A C C A C A C +=+=因为，所以，πA B C ++=π()B A C =-+则有，sin()sin sin cos sin A C C A C A C ++=+即，sin cos cos sin sin sin cos sin A C A C C A C A C ++=所以，因为，所以，cos sin sin sin A C C A C +=(0,π)C ∈sin 0C≠，即，因为，cos 1A A -=π1sin()62A -=(0,π)A ∈所以或，则或（舍去）.ππ66A -=π5π66A -=π3A =πA =又因为，由正弦定理可得， 2cos a b C =sin 2sin cos A B C =因为，所以，πA B C ++=π()A B C =-+则，化简整理可得，， sin()2sin cos B C B C +=sin()0B C -=所以，又因为，所以为等边三角形， B C =π3A =ABC 故选：C.8. 已知梯形，且为平面内一点，则,ABCD AB CD ∥22,1,,AB CD AD AB AD P ===⊥ABCD 的最小值是（ ）()PC PB PC ⋅+A. B. C. D. 214-12-32-【答案】A 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出和的坐标，再利用向量数量积的坐标运算即可求出结PC PB PC +果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，因为，则，，设，22,1AB CD AD ===(1,1)C (2,0)B (,)P x y 所以，，故，(1,1)PC x y =-- (2,)PB x y =-- (32,12)PB PC x y +=--所以2222531()(1)(32)(1)(12)225342[((]444PC PB PC x x y y x y x y x y ⋅+=--+--=+--+=-+--，又为平面内一点，故当时，取到最小值.P ABCD 53,44x y ==()PC PB PC ⋅+ 14-故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） 20231ii z +=i A. 的虚部是 z 1-B.1i z =--C. 若复数满足，则的最大值是0z 01z z -=0z 1+D. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则 z x 220x x b ++=2b =【答案】BCD 【解析】【分析】化简得到，，的虚部是，A 错误，，B 正确，1i z =-+z =z 11i z =--C 正确，代入计算得到D 正确，得到答案.011z z ≤+=+【详解】，，202331i 1i 1i1i i i iz -+++====-+z =对选项A ：的虚部是，错误； z 1对选项B ：，正确；1i z =--对选项C ：，故 001z z z z -=≥-011z z ≤+=对选项D ：，即，故，正确； ()()21i 21i 0b -++-++=20b --=2b =故选：BCD.10. 已知向量，，，设的夹角为，则（ ）()2,3a b += ()4,1a b -=- ()2,1c = ,a bθA.B.|2|26b a +=ac ⊥C. D. b c∥cos θ=【答案】BD 【解析】【分析】根据向量的坐标运算得到，，计算，A 错误，，()1,2a =- ()3,1b = 2b a += 0a c ⋅=B正确，与不平行，C 错误，计算夹角得到D 正确，得到答案.b c【详解】设，，则， ()11,a x y = ()22,b x y = ()()1212,2,3a b x x y y +=++=，故，，()()1212,4,1a b x x y y -=--=-121224x x x x +=⎧⎨-=-⎩121231y y y y +=⎧⎨-=⎩解得，，故，，1213x x =-⎧⎨=⎩1221y y =⎧⎨=⎩()1,2a =- ()3,1b = 对选项A ：，故，错误； ()21,5b a +=2b a += 对选项B ：，故，正确；()()01,22,1a c =⋅=-⋅ a c ⊥对选项C ：，故与不平行，错误；3112⨯≠⨯b c对选项D ：，正确；cos a b a bθ⋅===⋅ 故选：BD.11. 在中，内角所对的边分别为，已知，ABC ,,A B C ,,a b c 221sin sin (sin sin )cos B C B C A +=++则（ ） A. 23A π=B. 若是底边为为其内心，则ABC N ::NBC NAC NAB S S S =△△△C. 若，则的周长为157,15a bc ==ABC D. 若，则0,2OA OB OC a ++== OBC S ≤△【答案】ACD 【解析】【分析】分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的相关知识进行求解即可. 【详解】由可得，221sin sin (sin sin )cos B C B C A +=++，则，2221sin sin sin sin cos B C B C A =+++222sin sin sin sin sin A B C B C =++由正弦定理可得，，由余弦定理可得，A 为三角形内角， 222a b c bc =++2221cos 22b c a A bc +-==-所以，故选项A 正确； 2π3A =若是底边为的等腰三角形，因为，则， ABC 2π3A =2BC ABAC ===设内切圆圆心为， ABC r 则，故选项B 错误； 111:::::1:1222NBC NAC NAB S S S BC r AC r AB r =⋅⋅⋅= 若，因为，由余弦定理可得， 7,15a bc ==2π3A =2222()a b c bc b c bc =++=+-所以，则的周长为15，故选项C 正确；8+=b c ABC 因为，所以为的重心，则，0OA OB OC ++= O ABC 13OBC ABC S S =△△因为，由余弦定理可得（当且仅当时去等号）， 2π3A =2223a b c bc bc =++≥b c =则，所以，故选项D 正确， 43bc ≤111sin 332OBC ABC S S bc A ==⨯≤ 故选：ACD.12. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球），阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．亦可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比．若已知该比值为的圆锥，其母线长为，底面半径为，轴截面如图所12l r 示，则（ ）A. 若，则1r =3l =B. C. 用过顶点的平面去截圆锥，则所得的截面图形可以为直角三角形AD. 若一只小蚂蚁从点出发，沿着圆锥的侧面爬行一周到达 B G 【答案】ABD 【解析】【分析】先证明圆锥容球定理，写出推导过程，推出其中几何尺寸之间的代数关系，再根据本题的几何特征逐项分析.【详解】如图，O 为内切球的球心，设圆锥的高为，内切球的半径为R ， AD h =则，，()()2222222,,,CE r OD R l r h AO h R R l r ==-==-=+-()l r r h R-∴=又三角形ABC 的面积，， ()1122222S rh l r R =⨯=+()()(),l r R l r r l r R h r R r+-+∴=∴= ①即， 22R l rr l r-=+ ②设内切球的体积为，圆锥的体积为，内切球的表面积为，圆锥的表面积为，1V 2V 1S 2S 则有，将①代入上式得， 3312224π4π31ππ3R V R V r h r h ==()321122224π4ππππV S R R l r R V rl r S rr ===++由题意，，，将②代入上式得：， 21224π1ππ2V R V rl r ==+()28R r l r ∴=+()()28r l r l r -=+即，所以当时，，A 正确；22960,3l r lr l r +-==1r =3l =由②式得：，由式得：，B 正确； 2221,42R r R r r ===①h =sin h ACB l ∴∠==由于圆锥的对称性，过A 点的平面截圆锥所得的图形必定是等腰三角形，其顶角最大为， BAC ∠由于，，C错误； ()()()22222222233,2,AB AC r r BC r AB AC BC +=+=∴+>π2BAC ∠<对于D ，圆锥展开后的扇形如下图：在上图的扇形中，，由前面的计算知：，， 2π2π33r BAC r ∠==2AG r =3AB r =由余弦定理得：，D 正确； 22222cos 19,BG AB AG AB AG BAC r BG =+-∠=∴= 故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中16题第一空2分，第二空3分．13. 已知一组数据1，2，，4，5的平均数为3，则这组数据的方差为__________． m 【答案】2 【解析】【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差. m 【详解】依题意，所以方差为12453,35m m ++++==.()()()()()22222113233343535⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦[]1411425=⨯+++=故答案为：.214. 已知外接圆的圆心为，且是与方向相同的单ABC O ||||,||||1,AB AC AB AC OA AB e +=-== BC位向量，则在上的投影向量为__________． BABC【答案】12e 【解析】【分析】根据题意结合数量积的运算律分析可得，进而可得，结合投影向量运AB AC ⊥60ABC ∠=︒算求解即可.【详解】因为，即，||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 则，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 整理得，即，则为圆的直径，0AB AC ⋅= AB AC ⊥BC O 又因为，则为等边三角形，即， 1OB OA AB ===u u u r u u r u u u rOAB 60ABC ∠=︒所以在上的投影向量为.BA BC()11cos 122BA ABC e e e ⎛⎫∠=⨯= ⎪⎝⎭u u rr r r 故答案为：. 12e15. 直三棱柱的底面的直观图如图所示，其中，且111ABC A B C -ABC A B C '''2,1A B A C ''''==13AA =，则直三棱柱外接球的表面积为__________．111ABC A B C -【答案】 17π【解析】【分析】根据条件得出底面是等腰直角三角形，将把直三棱柱补成长方体，再利用ABC 111ABC A B C -长方体体对角线长即长方体外接球的直径，从而求出结果.【详解】因为在底面的直观图中，，由斜二测法知，底面中，ABC A B C '''2,1A B A C ''''==ABC ，且，2AB AC ==90CAB ∠=︒如图，把直三棱柱补成长方体，则长方体的体对线长是直三棱柱外接球的111ABC A B C -111ABC A B C -直径，设外接球的半径为，又，，所以，R 13AA =2AB AC ==12AD R ===故直三棱柱外接球的表面积为111ABC A B C -24π17πS R ==故答案为：.17π16. 在中，为的中点，的平分线分别交于点，且，ABC D AC A ∠BC BD 、E O 、2,6AB AC ==，则__________；__________．60BAC ∠=︒AE =cos EOD ∠=【答案】 ①.②. ##【解析】【分析】利用余弦定理求出，并借助三角形面积公式及角平分线求出，再用余弦定理求出；BC BE AE 然后利用向量数量积求出夹角余弦作答. 【详解】在中，由余弦定理得ABCBC ===因为平分，则，有， AE BAC ∠1sin 301213sin 302ABEACEAB AE S BE AB CE S ACAC AE ⋅====⋅14BE BC ==在中，，即有， ABE ABC BAC BAE ∠>∠>∠AE BE >=由，即，解得； 2222cos30BE AB AE AB AE =+-⋅2744AE =+-=AE 显然，则，12BD AC AB =- 2221136426cos 60744BD AC AB AC AB =+-⋅=⨯+-⨯=即，又，||BD =111()(3)444AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 于是2211(3)(2)(6)88AE BD AB AC AC AB AB AC AB AC ⋅=+⋅-=-++⋅ ， 19(643626cos 60)84=-⨯++⨯= 因此cos cos ,||||AE BD EOD AE BD AE BD ⋅∠=〈〉===所以，=AE cosEOD ∠=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）已知复数．若为纯虚数，求的值； ()2256232i,R z m m m m m =-++--∈z m （2）已知复数，若满足，求的值．i(,R)z a b a b =+∈z i 153i z z z ⋅+=+,a b【答案】（1）；（2）或 3m =33a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】（1）是纯虚数，则复数实部为0虚部不为0，计算得到答案.z （2）设，代入计算得到，解得答案. i z a b =+22315a a b b =⎧⎨+-=⎩【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得．z 225602320m m m m ⎧-+=⎨--≠⎩3m =（2）设，所以，i z a b =+i z a b =-．22i (i)(i)i(i)i 153i z z z a b a b a b a b b a ⋅+=+-++=+-+=+所以，解得或. 22315a a b b =⎧⎨+-=⎩33a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=-⎩18. 某高校为了对该校研究生的思想道德进行教育指导，对该校120名研究生进行考试，并将考试的分值（百分制）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．已[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100] 知，分值在的人数为15．2b a c =+[]90,100（1）求图中的值；,,a b c （2）若思想道德分值的平均数、中位数均超过75分，则认为该校研究生思想道德良好，试判断该校研究生的思想道德是否良好．【答案】（1），，0.0275a =0.02b =0.0125c =（2）该学校研究生思想道德良好． 【解析】【分析】（1）根据频率确定，再根据频率和为1计算得到答案. 0.0125c =（2）分别根据公式计算平均数和中位数，比较得到答案.【小问1详解】分值在的人数为15人，所以的频率为，即． [90,100][90,100]15=0.1251200.0125c =，又，所以，2a c b +=(0.030.00750.0025)101a b c +++++⨯=0.06a c b ++=解得，. 0.02b =0.0275a =【小问2详解】 这组数据的平均数为：，450.025550.075650.2750.3850.275950.1257675⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>前组频率和为， 3()100.00250.00750.020.3⨯++=前组频率和为，4()100.00250.00750.020.030.6⨯+++=故这组数据的中位数满足，解得， m 0.50.3(70)0.03m -=-⨯76.775m =>所以该学校研究生思想道德良好．19. 如图，在四棱台中，底面是正方形，侧面底面是ABCD PQSH -ABCD PADH ⊥,ABCD PAD 正三角形，是底面的中心，是线段上的点．N ABCD M PD（1）当//平面时，求证：平面；MN PABQ AM ⊥PCD （2）求二面角的余弦值． P BC A --【答案】（1）证明见解析（2． 【解析】【分析】（1）连接，证得，由底面是正方形，所以，根据面面垂直的PB MN PB ∥ABCD CD AD ⊥性质，证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证CD ⊥PADH CD AM ⊥AM PD ⊥得平面；AM⊥PCD （2）取的中点分别为，连接，证得即为所求二面角的,AD BC ,G O ,,PG PO GO POG ∠P BC A --平面角，在直角中，结合，即可求解. PGO △cos GOPOG PO∠=【小问1详解】 证明：连接，PB 因为平面，平面，且平面平面， //MN PABQ MN ⊂PBD PBD PABQ PB =所以，MN PB ∥又因为在中，是的中点，所以是的中点，PBD △N BD M PD 因为底面是正方形，所以，又因为平面平面， ABCD CD AD ⊥PADH ⊥ABCD 平面平面平面，所以平面， PADH ⋂,ABCD AD CD =⊂ABCD CD ⊥PADH 因为平面，所以，所以是正三角形， AM ⊂PADH CD AM ⊥PAD 所以，因为，且平面，所以平面．AM PD ⊥PD CD D ⋂=,PD CD ⊂PCD AM ⊥PCD 【小问2详解】解：取的中点分别为，连接， ,AD BC ,G O ,,PG PO GO 所以是正三角形，所以，PAD PG AD ⊥因为平面平面，平面平面，平面， PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PG ⊂PAD 所以平面，PG ⊥ABCD 因为平面，所以，BC ⊂ABCD PG BC ⊥又因为且平面，所以平面，BC GO ⊥,,PG GO G PG GO =⊂ PGO BC⊥PGO 因为平面，所以，则即为所求二面角的平面角， PO ⊂PGO BC PO ⊥POG ∠P BC A --设，则， AD a =,GO a PG ==在直角中，，所以， PGO △PO =cos GO POG PO ∠==即所求二面角． P BC A --20. 已知半圆圆心为，直径为半圆弧上靠近点的三等分点，以为邻边作平行四边O 4,AB C =A ,AO AC 形，且，如图所示，设AODC 2ED CE =,OC a AD b ==（1）若，求的值；OE a b λμ=+λμ+（2）在线段上是否存在一点，使得?若存在，确定点的位置，并求；若不存AC F DF OE ⊥F ||AF 在，请说明理由．【答案】（1）1 （2）存在，为线段靠近的四等分点，AC C 3||2AF = 【解析】【分析】（1）法一：以作为基底向量，利用平面向量的线性运算法则表示向量，结,OC a AD b == OE合平面向量基本定理列方程求得，即可得的值；法二：建立平面直角坐标系，利用向量的坐标,λμλμ+运算，列方程求解的值，即可得的值；,λμλμ+（2）法一：令，由得数量积为，根据向量的线性运算即可列方程求解即可得答AF t AC = DF OE ⊥0案；法二：根据数量积的坐标运算求解即可. 【小问1详解】法一：因为半圆弧上靠近点的三等分点，C A60AOC ∴∠=︒又因，则为正三角形且平行四边形为菱形AO CO =AOC AODC2ED CE = 为线段靠近的三等分点E ∴CD C因，令,OC a AD b ==AD OC K ⋂=∴1111151()3332266OE OC CE a CD a KD KC a b a a b ⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ ，则51,66λμ==∴1λμ+=法二：如图，以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系O AB xxOy因为半圆弧上靠近点的三等分点，C A 且为正三角形、平行四边形为菱形60AOC ∴∠=︒,AOC COD AODC 则(2,0),(2,0),(A B C D --为线段靠近的三等分点2ED CE E =∴CD C ，故13E ⎛∴- ⎝13OE ⎛=- ⎝(a OC b AD ==-==OE a b λμ=+((13133λμλμ⎧-+=-⎪⎛∴-=-+∴ ⎝+=56116λλμμ⎧=⎪⎪∴∴+=⎨⎪=⎪⎩【小问2详解】法一：存在点，使得F DF OE ⊥令因平行四边形为菱形，所以AF t AC = AODC 0,||2,||a b a b ⋅===112()2222t t DF AF AD t AC b t KC KA b t a b b a b -⎛⎫=-=-=--=+-=+ ⎪⎝⎭2251252524120662212121212t t ta t t t DF OE a b a b b ---⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 34t ∴=则为线段靠近的四等分点3,4AF AC F =AC C 且33||||42AF AC == 法二：存在点，使得F DF OE ⊥令()AF t ACt t ===(3,()(DF DA AF t t ∴=+=-+=-33303t DF OE t -∴⋅=-+-=34t ∴=则为线段靠近的四等分点3,4AF AC F =AC C 且.33||||42AF AC == 21. 今年“五一”假期，“进淄赶烤”成为最火旅游路线，全国各地游客纷纷涌向淄博，感受疫情后第一个最具人间烟火气的假期．某地为了吸引各地游客，也开始动工兴建集就餐娱乐于一体的休闲区如图，在的长均为60米的区域内，拟修建娱乐区、就餐区、儿童乐园区，其中为了2π,,3BAC AB AC ∠=ABC 保证游客能及时就餐，设定就餐区域中．AEF △π3EAF ∠=（1）为了增加区域的美感，将在各区域分隔段与处加装灯带，若，则灯带AE AF π12CAF ∠=总长为多少米？AE AF +（2）就餐区域的面积最小值为多少平方米？ AEF △【答案】（1）（2）平方米【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理即可求解；（2）利用正弦定理和三角形面积公式求出面积的表达式，然后利用正弦函数的图象和性质即可求解. 【小问1详解】因为为等腰角形，且顶角为，所以， ABC 2π3π6B C ==在中，由，则， AFC △ππ,126CAF C ∠==3π4CFA ∠=由正弦定理， πsin sin6AC AFCFA=∠12AF =中， AF ∴==ABE ππππ,31246BAE B ∠=-==则，由正弦定理可得， 7π12AEB ∠=πsin sin 6AB AEAE AEB=∴==-∠，所以灯带总长为.AE AF ∴+=AE AF +【小问2详解】设，则， CAF θ∠=π3BAE θ∠=-由正弦定理可， 3030,5πcos sin 6AF AE θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭1πsin 23AEF S AE AF ∴=⨯⨯=△=，πππ5π0,2,3666θθ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当即时，，ππ262θ+=π6θ=πsin 216θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭面积最小为AEF S =△所以就餐区域面积最小值为平方米.22. 如图①，在梯形中，，，，将ABCD ,2,60AB CD AB A =∠=︒∥90ABD Ð=°45CBD ∠=︒沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交ABD △BD A BD ' A C '=B A C '于点．,A D A C '',E F（1）求证：平面； BE ⊥A CD '（2）求点到平面的距离． F A BD '【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用勾股定理得到，然后利用线面垂直的判定定理和性质得到，最后CD A D '⊥CD BE ⊥利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）方法一：通过作垂线的方法得到垂线段的长度即为点到平面的距离，然后求距离即FG F A BD '可；方法二：利用等体积的方法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 证明：如图①，，，，， 2AB = 60A ∠=︒90ABD ∠=︒45CBD ∠=︒，，4AD ∴=BD CD ==如图②，∵，，，4A D '=CD =A C '=，222A D CD A C ∴+=''，CD A D '∴⊥，且，平面，CD BD ⊥ A D BD D '= ,A D BD '⊂A BD '平面，CD \^A BD '又平面，，BE ⊂ A BD 'CD BE ∴⊥平面，且平面，，A C '⊥ BEF BE ⊂BEF BE A C '∴⊥又，且平面，平面．A C CD C '⋂= ,A C CD '⊂A CD 'BE ∴⊥A CD '【小问2详解】方法一：过点作，垂足为，由（1）知平面， F FG A D '⊥G BE ⊥A CD '而平面，FG ⊂A CD '，BE FG ∴⊥且，平面，平面， A D BE E '⋂=,A D BE '⊂A CD 'FG ∴⊥A BD '则垂线段的长度即为点到平面的距离．FG F A BD '在中，，，A BC ' 2AB '=BC =A C '=，222A B CB A C ''∴+=，BC A B '∴⊥由已知得，则 BF A C '⊥A F '=由（1）知，，， CD A D '⊥A F FG A C CD '∴='FG ∴=即点到平面． F A BD '方法二：求点到平面的距离，即求点到平面的距离， F A BD 'F A BE '由（1）知平面，平面，， BE ⊥A CD 'A D '⊂A CD 'BE AD ∴⊥在直角三角形中，，，，A BD '2AB '=4A D '=BD =由等面积得，， 1122A B BD A D BE ''⨯⨯=⨯⨯即，， A B BD BE A D'⨯=='1A E '∴=平面，且平面，，A C '⊥ BEF EF ⊂BEF EF A C ∴⊥'由（1）知，∽，， CD A D '⊥A FE '∴△A DC ' A F A D A E A C ''∴=''A F '∴=则在直角三角形中， A FE 'EF =设点到平面的距离为， F A BE 'd 在三棱锥中，由等体积得，，F A BE '-F A BE B A EF V V ''--=即 1133A BE A EF d S BE S ''⨯⨯=⨯⨯ △， 11113232d BE A E BE EF A F ''∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， d ∴=即点到平面． F A BD '。

湖北省2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)

湖北省2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)

2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题考试时间：2024年5月29日下午15：00-17：00试卷满分：150分注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合,则A. B. C. D.2.在复平面内,复数满足,则复数的虚部为A.-1B. C.-2D.3.已知,则A. B. C. D.4.对于两条不同直线m ,n 和两个不同平面,以下结论中正确的是A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则5.一个圆台的上、下底面的半径为1和4,母线为5,则该圆台的体积为A. B. C. D.6.若,则A. B. C. D.7.已知向量满足,且,则A. B.C.D.8.已知函数对都有,若的图象关于直线对称,{}2A 230,B {ln(25)}xx x x y x =--≤==-∣∣A B ⋂=215x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭215x x ⎧-≤<⎫⎨⎬⎩⎭235xx ⎧<≤⎫⎨⎬⎩⎭235xx ⎧≤≤⎫⎨⎬⎩⎭z (12i)34i z +=-z i-2i-3242,log 3,log 6a b c -===a b c<<a c b<<c b a<<c a b<<,αβ//,m n αα⊥m n ⊥//,//m αβα//m β,//m αβα⊥m β⊥,m n n α⊥⊥//m α14π21π28π35π1sin cos ,(0,)5αααπ+=∈tan 2α=247-724-724247,,a b c ||||2,||a b c === 0a b c ++= cos ,a c b c 〈--〉=45-34-3445()f x x R ∀∈()(6)(3)f x f x f =++(2)y f x =+2x=-且对,当时,都有,则下列结论正确的是A.B.是奇函数 C.是周期为4的周期函数D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。

广西重点高中2023-2024学年高一下学期5月阶段性联合调研考试数学试题(含解析)

广西重点高中2023-2024学年高一下学期5月阶段性联合调研考试数学试题(含解析)

高一年级5月阶段性考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．样本数据12，11，7，15，9，10，12，8的中位数是A ．12B ．11C ．10D ．10.52．为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本．已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550．现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为A ．9B ．10C ．11D ．123．已知在R 软件的控制台中，输入“”，按回车键，得到的4个范围内的不重复的整数随机数为12，6，10，4，则这4个整数的标准差为A ．BC ．40D ．104．如图所示，，，则A ．B ．C ．D ．5．一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为A ．225B ．295C ．235D ．3056．已知样本数据，，…，的平均数为14，样本数据，，…，的平均数为a ，若样本数据，，…，，，，…，的平均数为，则A ．12B ．10C ．2D ．117．已知，且，则在上的投影向量为()sample 1:20,4,replace F =1~202BC AD = 4DC DH = BH =3748BA BC+2335BA BC+3548BA BC+3546BA BC+[)0.2,0.8[)0.40.8，1x 2x 200x 1y 2y 600y 1x 2x 200x 1y 2y 600y 1a +a =OA OB OC == 0AB AC OA ++= BA OAA．B ．C ．D ．8．P 是内一点，，，则A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，则下列结论正确的是A ．若z 为实数，则B ．若，则C ．若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则D ．若，则10．一名男生A 和两名女生B ，C 在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆，则下列结论正确的是A ．“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立事件B ．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件C ．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”是互斥事件D ．“女生B 周六去参观博物馆”与“女生B 周日去参观博物馆”是互斥事件11．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，，点C 的曲率为，D ，E ，F 分别为，，的中点，则A ．直线平面B ．在三棱柱中，点A 的曲率为C ．在四面体中，点E 的曲率小于D ．二面角的大小为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．复数的虚部为 ▲．13．已知向量，，．若，则 ▲；若，则向量与a 的夹角为 ▲．12OA 12OA - 14OAOAABC △45ABP ∠=︒30PBC PCB ACP ∠=∠=∠=︒tan BAP ∠=23251312()22i z k k k k =-+∈R 0k =i 13i z =+3k =3k >2z z +=-z =2π2π2322πππ-⨯=111ABC A B C -2AC BC ==132AA =3πAC AB 11A C //BF 1A DE111ABC A B C -56π1A ADE π1A DE A --3π()32i i+(=a )λ=b ()3=-c //a b λ=⊥b c 2-b14．为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，河北廊坊市某校开发出文化艺术课程、科技课程、体育课程等多类课程．为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为x ，y ，z ，m ，n （，x ，y ，z ，m ，）．已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则 ▲ ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知第届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示．（1）求第届亚运会中国队获得的金牌数的极差；（2）剔除第12届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；（3）设第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，不通过计算，试比较与的大小，并说明理由．16．（15分）在△ABC 中，．（1）求角C 的大小；（2）若D 在边上，，且，，求的面积S ．17．（15分）暑假将至，小梁计划外出旅游，翻出自己曾经买的一个带数字密码锁的密码箱，但因时间太久，小梁已经忘记了密码，只记得这个密码是一个三位数，并且每个数位上的数字都是7，8，9中的一个．（1）若小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率；（2）若在小梁通过技术获得了这个密码的首位数字后，小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码正确的概率．18．（17分）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）．x y z m n <<<<*n ∈N 9z -=10~1910~1910~1221s 13~1522s 21s 22s 2221sin sin cos sin sin A B B A C +=-+AB DC CB⊥AC =1AD =ABC △尺寸大于M 的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于M 的零件用于小型机器中．（1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数．（2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件．方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于M 的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于M 的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元．方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元．请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案．19．（17分）如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且E ，F ，H 分别为线段，，的中点．（1）证明：．（2）证明：平面平面．（3）若，，，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积V ．高一年级5月阶段性考试数学参考答案60M =(]60,70M ∈()H M 1111ABCD A B C D -1AA ⊥ABCD ABCD 1BD A C ⊥1BB 1A B AD 11A B A D =//EFH 1ACD 112AB A B =11AA =3ABC π∠=1A B 1ACD 1111ABCD A B C D -1．D 将数据从小到大排列：7，8，9，10，11，12，12，15．故这组数据的中位数是．2．A 依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为．3．B 这4个整数的平均数为，则这4．4．C ．5．C 因为数据在内的频率为0.75，所以数据在内的频数为，故样本中数据在内的个数为．6．B 根据题意可得，解得．7．A 如图，依题意可得点O 为的外心．因为，所以，所以，则四边形为菱形．设，则．因为，所以在上的投影向量为．8．D 设，因为，所以．由正弦可得，，则，，解得．101110.52+=450209450550⨯=+12610484+++==()111135242448BH BA AD DH BA BC DC BA BC DA AB BC BA BC =++=++=++++=+[)0.2,0.8[)0.2,0.86000.75450⨯=[)0.4,0.845095120235--=200600141200600200600a a ⨯+⨯=+++10a =ABC △0AB AC OA ++=0AB OC +=AB CO =ABOC AO BC M = 2AO AM =AO BC ⊥BA OA 12MA OA =BAP α∠=PBC PCB ∠=∠BP CP =sin 45sin AP BP α︒=()sin 30sin 45AP CP α︒=︒-()sin 45sin 30sin sin 45αα︒︒=︒-)1cos sin sin 2ααα-=sin 1tan cos 2ααα==9．AD 若z 为实数，则，A 正确．若，则，则，解得，B 错误．若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得，C 错误．若，则，解得，，则，D 正确．10．ABD 一名男生A 和两名女生B ，C 在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆的基本事件有，，，，，，则“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立事件，A 正确．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件，B 正确．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”不是互斥事件，C 错误．“女生B 周六去参观博物馆”与“女生B 周日去参观博物馆”是互斥事件，D 正确．11．ABD 取的中点G ，连接，．因为D ，E ，F 分别为，，的中点，所以可证平面平面，因为平面，所以直线平面，A 正确．在直三棱柱中，平面，则，，所以点C 的曲率为，解得，因为，所以，所以点A 的曲率为，B 正确．连接，易证平面，则，所以，又，所以，在四面体中，点E 的曲率为，C 错误．过A 作的延长线，垂足为H ，连接，则，则为二面角的0k =i 13i z =+()213i 13i3i i ii z++===-2231k k k ⎧-=⎨=-⎩1k =-220k k k ⎧->⎨>⎩2k >2z z +=-()2222k k -=-1k =1i z =-+z ==(),A BC (),B AC (),C AB (),AB C (),AC B (),BC A 11A B BG FG AC AB 11A C //BFG 1A DE BF ⊂BFG //BF 1A DE 111ABC A B C -1CC ⊥ABC 1CC AC ⊥1CC BC ⊥2223ACB πππ-⨯-∠=23ACB π∠=AC BC =6CAB π∠=522266ππππ-⨯-=CE CE ⊥11ABB A 1CE A E ⊥112A ED A EC π∠<∠=11tan 1AA A EA AE ∠===<14A EA π∠<1A ADE 1152646A ED A EA πππππ-∠-∠->->AH ED ⊥1A H 1A H DE ⊥1AHA ∠1A DE A --平面角，通过计算得，所以，D 正确．12．2 因为，所以复数的虚部为2．13．3；若，则，得．若，则，解得，则，．设向量与的夹角为，则，因为，所以．14．0依题意得，，化简得，．易知，，得．又因为，所以，，，，这5个数的绝对值不超过4．当时，，无解；当时，，由，x ，y ，z ，m ，，得这四个平方数只能为0，1，1，9，则，，，，符合题意，此时；当时，，无解．综上，．15．解：（1）第届亚运会中国队获得的金牌数的极差为．（2）剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为．（3）．理由如下：因为第届亚运会中国队获得的金牌数的波动性比第届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以．16．解：（1）由题意得，即，由正弦定理得，AH =11tan AA AHA AH ∠==13AHA π∠=()()322i i 2i i 2i i 12i +=-=-=+()32i i +6π//a b 1λ⨯=3λ=⊥b c 0⋅=b c 30λ-=4λ=)4=b )2-=b 2-b a θcos θ==[]cos 0,θπ∈6πθ=95x y z m n++++=()()()()()222229999945x y z m n -+-+-+-+-=45x y z m n ++++=()()()()()222229999920x y z m n -+-+-+-+-=1234n m z y x ≥+≥+≥+≥+510x y z m n n ++++≤-11n ≥()()()()()222229999920x y z m n -+-+-+-+-=9x -9y -9z -9m -9n -13n =()()()()222299994x y z m -+-+-+-=12n =()()()()2222999911x y z m -+-+-+-=x y z m n <<<<*n ∈N 6x =8y =9z =10m =90z -=11n =()()()()2222999916x y z m -+-+-+-=90z -=10~1920194107-=()9418312915016519915113122011569++++++=⨯++2212s s >10~1213~152212s s >2221cos sin sin sin sin B A C A B -+-=-222sin sin sin sin sin B A C A B +-=-222AC BC AB BC AC +-=-⋅由余弦定理得．因为，所以．（2）因为，所以．在中，由正弦定理得则或（舍去），得，则．故．17．解：由题可知，所有的密码情况包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共27种．（1）不妨设正确的密码为，则恰有两位数字正确的密码包括，，，，，，共6种，故小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率为．（2）不妨设正确的密码为，小梁通过技术获得了这个密码的首位数字为9，则小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码可能为，，，，，，，，，共9种，故小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码正确的概率为．18．解：（1）一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为；二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，2221cos 22AC BC AB C BC AC +-==-⋅()0,C π∈23C π=DC CB ⊥2326ACD πππ∠=-=ACD △1sin6π=sin ADC ∠=23ADC π∠=3π2366A B ππππ=--==BC AC ==12sin 23S π==()7,7,7()7,7,8()7,7,9()7,8,7()7,8,8()7,8,9()7,9,7()7,9,8()7,9,9()8,7,7()8,7,8()8,7,9()8,8,7()8,8,8()8,8,9()8,9,7()8,9,8()8,9,9()9,7,7()9,7,8()9,7,9()9,8,7()9,8,8()9,8,9()9,9,7()9,9,8()9,9,9()9,9,9()7,9,9()8,9,9()9,7,9()9,8,9()9,9,7()9,9,862279=()9,9,9()9,7,7()9,7,8()9,7,9()9,8,7()9,8,8()9,8,9()9,9,7()9,9,8()9,9,919()0.0200.0240.0200.020100.84+++=⨯5000.84420⨯=()0.0240.016100.4⨯+=则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为．（2）一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M 的频率为．二区生产车间生产的零件尺寸大于M 的频率为．故．因为，所以．又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二．19．（1）证明：如图，连接，与交于点O ．因为平面，平面，所以．又因为，，所以平面．因为平面，所以．因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则．因为平面，所以，，所以，即．（2）证明：延长交于点M ，连接．由中位线性质可得，因为，所以．因为平面，平面，所以平面．易得M 为的中点，则．因为平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面．（3）解：设，．因为，所以，则5000.40200⨯=()0.004100.012100.02600.02 1.04M M ⨯+⨯+⨯-=-()0.024700.01610 1.840.024M M ⨯-+⨯=-()()()0.02 1.040.025000 1.840.0240.0150000.812H M M M M =⨯⨯⨯+-⨯-=-(]60,70M ∈()(]36,44H M ∈AC BD 1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥1BD A C ⊥111AA A C A = BD ⊥1AA C AC ⊂1AA C AC BD ⊥ABCD ABCD AB AD =1AA ⊥ABCD 1AA AB ⊥1AA AD ⊥2222221111A B A A AB A A AD A D =+=+=11A B A D =EF 1AA MH 11//EF A B 11////A B AB CD //EF CD EF ⊄1ACD CD ⊂1ACD //EF 1ACD 1AA 1//MH A D MH ⊄1ACD 1A D ⊂1ACD //MH 1ACD EF MH M = //EFH 1ACD AB m =0m >3ABC π∠=AC BC AB m ===1A B =．设点B 到平面的距离为d ，与平面所成的角为，则．因为，，所以，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时与平面所成的角最大．的体积．11A D AC ==112A CDS m =⋅=△1ACD 1A B 1ACDα1sin d A Bα==1221111333A BCD BCD BCD V AA S S -=⋅⋅===△△111133B A CD A CD V d S d -=⋅⋅=⋅△213d⋅=d =sin 3α==≤==-443m =2m =1A B 1ACD 1111ABCD A B C D -221112234V ⎛ =⨯⨯+⨯+ ⎝1132=+712=。

江苏省泰州高一下学期5月检测数学试题(解析版)

江苏省泰州高一下学期5月检测数学试题(解析版)

第二学期月度检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）z ()1i 12i z -=+z A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】先由复数的运算化简复数，再由几何意义求出所在象限即可. z 【详解】由题意得，，，则复数在复平面内对应的点为()2i 12i 12i 12i i iz -++-===--3i z =-z ，在第四象限.()3,1-故选：D.2. 在△中，，，，且，则△的形状是ABC BC a = CA b = AB c =a b b c c a ⋅=⋅=⋅ ABC A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【答案】D 【解析】【详解】试题分析：因为，由正弦定理得，,cos cos a b b c a b C b c A ⋅=⋅∴=cos sin cos sin a A A c C C==即，同理可证，所以D 正确． ()sin cos sin cos ,sin 0,A C C A A C A C =∴-=∴=A B =考点：向量的数量积、正弦定理、三角函数．3. 已知是第一象限的角，且，求的值为α5cos 13α=()sin 4cos 23πααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭+A.B. C.D. 【答案】A【分析】根据题中条件，先求出，再将所求式子化简整理，即可求出结果. sin α【详解】因为是第一象限的角，且， α5cos 13α=所以，12sin 13α==因此 ()sin 4cos 23πααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭==+. ===故选A【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型.4. 如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x ，y 轴正方向同向的2πθθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭12,e e 单位向量，则称平面坐标系xOy 为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量θ12OM xe ye =+ (),x y OM的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，﹒则下列结论中，(),OM x y = 4πθ=)1,12a b ⎛==-⎝ 错误的是（ ）①；②；③；④在上的投影为112a b ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭1a = a b ⊥ b a A. ②③B. ②④C. ③④D. ②③④【解析】【分析】借鉴单位向量夹角为 时的情况，注意夹角为；90o 4πθ=； ；11122122121122()()()()a b x e y e x e y e x x e y y e -=+-+=-+- a = 数量积为；11122122()()a b x e y e x e y e ⋅=+⋅+在上的投影为. b acos a b a b b b a b aθ⋅⋅⋅==⋅【详解】对于①. ，12121211())(22a b e e e e -=--=+所以，故①正确；12a b⎛⎫-= ⎪⎝ ⎪⎭对于②. ，故1a====>②错误；对于③. ，故③错误；1212221())002a b e e e e ⋅=+⋅-=+⋅=≠对于④. 在上的投影为 ，故④错误.b a0a b a ⋅= 故选：D5. 如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在R π3AB P PNMQ Q 上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（ ）OA M N OBA.B.2(2R -2RC.D.2R 2【答案】B 【解析】【分析】设，矩形面积为，求面积的函数的表达式，结合正弦函数性质求其最大值POB a ∠=PNMQ S 即可.【详解】设，矩形面积为， POB a ∠=PNMQ S 扇形的半径为，圆心角为， AB R π3所以，，， sin QM PN R α==cos ON R α=πtansin 6OM QM α==所以． 2211cos 2sin cos sin sin 222S R R R R R ααααα⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭化简得：，，22πsin 26S R R α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当，即时， π6α=π6AOP ∠=． S 2R 故选：B.6. m ，n 表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β， ②若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ， ③若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β， ④若α⊥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则n ⊥m ， 其中正确的结论个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据空间的点、线、面的位置关系一一判断各项即可. 【详解】对①，若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β，故①正确； 对②，若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ，故②正确；对③，若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，如正方体中，平面ABCD ∩平面A 1BCD 1＝BC ，AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥BC ， 但AB 与平面A 1BCD 1不垂直，故③错误； 对④，α⊥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，如正方体中，平面ABCD ⊥平面ADD 1A 1，平面ABCD ∩平面A 1BCD 1＝BC ， 平面ADD 1A 1∩平面A 1BCD 1＝A 1D 1，但BC A 1D 1，故④错误． //所以正确的结论个数为2个． 故选：C ．7. 在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，则四棱P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 6,8PA AB ==锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ） P ABCD -A.B.C. 3D.414112【答案】B 【解析】【分析】根据几何体内切圆半径公式（为几何体的体积，为几何体的表面积），由3Vr S=V S 两两垂直，四棱锥可补形为长方体，可得外接圆的半径公式，可得答案.,,PA AB AD 【详解】设四棱锥的外接球与内切球的半径分别为.P ABCD -,R r 因为， 21861283P ABCD V -=⨯⨯=四棱锥四棱锥的表面积，P ABCD -2118682*********S =+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=所以，-32P ABCDV r S==四棱锥因为两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以 ,,PA AB AD R ==所以四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为. P ABCD -2244144R r ππ=故选：B.8. 在如图所示的长方体中点为棱的中点，若1111ABCD A B C D -12,3,4AB AD AA ===，M 1AA N 为底面内一点，满足面，设直线与直线所成角为，则的取值1111D C B A //MN 1BDC MN 1CC αtan α范围是（）A. B. 34⎡⎢⎣34⎡⎢⎣C. D. 34⎤⎥⎦12⎤⎥⎦【答案】C 【解析】【分析】先根据面面平行找出与平面平行的平面，确定底面内一点所在线段1BDC MEF 1111D C B A N 上，然后将直线与直线所成角转化为直线与直线所成角，EF MN 1CC MN 1AA 1A MN ∠再在直角三角形中，通过线段的最值即可得到的最值，从而得到的取值范1A MN 1A N 1tan A MN ∠tan α围.【详解】取中点，取中点，连接，，，，，. 11A D E 11A B F ME MF EF 1AD 1AB 11B D 在长方体中，，， 1111ABCD A B C D -11AB C D =11//AB C D 所以四边形为平行四边形，所以，11ABC D 11//AD BC 又因为，分别为，的中点，所以，所以， M E 1AA 11A D 1//ME AD 1//ME BC 又因为平面，平面，所以平面.ME ⊄1BDC 1BC ⊂1BDC //ME 1BDC因为，，11AD B C =11//AD B C 所以四边形为平行四边形，所以，11ADC B 11//AB DC 又因为，分别为，的中点，所以，所以， M F 1AA 11A B 1//MF AB 1//MF C D 又因为平面，平面，所以平面. MF ⊄1BDC 1C D ⊂1BDC //MF 1BDC 因为，平面，平面， ME MF M = ME ⊂MEF MF ⊂MEF 所以平面平面.//MEF 1BDC 所以底面内满足满足面的点在线段上， 1111D C B A //MN 1BDC N EF 又因为，11//AA CC 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角. MN 1CC MN 1AA 1A MN ∠在线段上任取一点，连接，，EF N 1A N MN 因为底面，底面，所以， 1AA ⊥1111D C B A 1A N ⊂1111D C B A 11AA A N ⊥所以为直角三角形，1A MN ∆， 1111tan tan 2A N A NA MN AA α=∠==在中，，，， 1A MN ∆11A F =132A E =EF ==因为点在线段上，所以当时，的长度最小， N EF 1A N EF ⊥1A N此时可利用等面积法，解得， 11111122A EF S A N EF A F A E ∆=⋅=⋅1A N =所以 tan α=当点和点重合时的长度最长为，N E 1A N 32所以的最大值为，所以的取值范围是. tan α33224=tan α34⎤⎥⎦故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设z 为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） i A. 若z ∈R ，则z ＝ B. 若z 2∈R ，则z ∈Rz C. 若z 2＋1＝0，则z ＝i D. 若（1＋i ）z ＝1－i ，则|z |＝1【答案】AD 【解析】【分析】设.A 选项，，后由共轭复数定义可得答案；B 选项，注意到；C 选项，i z a b =+0b =2i 1=-注意到；D 选项，利用复数除法可得，后由复数模公式可判断选项正误.()21-i=-z 【详解】设.i z a b =+A 选项，因z ∈R ，则，则，故A 正确； 0b =i i z a b a b z =+=-=B 选项，注意到，但，故B 错误； 21i R =-∈i R ∉C 选项，注意到，则有可能为，故C 错误；()21-i=-z i -D 选项，，则，故D 正确. ()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ---====-++-1z =故选：AD10. ，，分别为中三个内角，，的对边，下列结论中正确的是（ ） a b c ABC A B C A. 若，则为等腰三角形 cos cos A B =ABC B. 若，则A B >sin sin A B >C. 若，，，则符合条件的有且仅有两个 8a =10c =60B =︒ABC D. 若，则为钝角三角形 222sin sin sin A B C +<ABC 【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由条件结合余弦函数性质证明，由此判断A ， A B =对于B ，由条件结合正弦定理可得，由此判断B ， sin sin A B >对于C ，由条件，结合余弦定理求，由此判断C ，b 对于D ，利用正弦定理边角互化可得，利用余弦定理证明，由此判断D. 222a bc +<cos 0C <【详解】设的外接圆的半径为， ABC R 对于A ，，cos cos A B = 又，，在单调递减，A (0,π)B ∈cos y x =(0,π)，即这个三角形是等腰三角形，故A 正确；A B ∴=对于B ，三角形中，若，则，ABC A B >a b >则，即，故B 正确； 2sin 2sin R A R B >sin sin A B >对于C ，由于，，，8a =10c =60B =︒利用余弦定理：， 22212cos 641002810842b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=解得（负值舍），故有一解，故C 错误； b =ABC 对于D ，若， 222sin sin sin A B C +<根据正弦定理整理得：，222a b c +<所以，C 为钝角，所以是钝角三角形，故D 正确．222cos 02a b c C ab+-=<ABC 故选：ABD ．11. 在三棱锥中，已知底面ABC ，分别是线段上的动点.则下列-P ABC PA ⊥AB BC E F ⊥,、PB PC 、说法正确的是（ ）A. 当时，AE PB ⊥AE PC ⊥B. 当时，一定为直角三角形 AF PC ⊥AEF △C. 当时，平面平面//EF BC AEF ⊥PABD. 当平面AEF 时，平面与平面不可能垂直PC ⊥AEF PAB 【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据底面得到，结合得到平面,PA ⊥ABC PA BC ⊥AB BC ⊥BC ⊥PAB 则，，最后利用线面垂直的判定得到平面，则；BCAE ⊥AE PB ⊥ ⊥AE BCP AE PC ⊥对B ，取点位于点处即可判断，对C ，由平面，得到平面，则平面E B BC⊥PAB //EF BC EF ⊥PAB 平面，对D ，利用反证法，假设平面平面，根据面面垂直的性质定理得到线AEF ⊥PAB AEF ⊥PAB 面垂直，从而得到与基本事实相矛盾的结论，所以当平面时，平面与平面不可能PC ⊥AEF AEF PAB 垂直.【详解】对A 选项，底面，且平面，,PA ⊥ ABC BC ⊂ABC PA BC ∴⊥， ，且平面，平面, AB BC ⊥ PA AB A = ,PA AB ⊂PAB BC ∴⊥PAB 平面，，，，AE ⊂ PAB BC AE ∴⊥AE PB ⊥ BC PB B = 且平面，平面，,BC PB ⊂BCP AE ∴⊥BCP 平面，，故A 正确，PC ⊂ BCP AE PC ∴⊥对B 选项，当时,无法得出一定为直角三角形，例如点取点不是直角三角AF PC ⊥AEF △E ,B ABF 形，若，则，又，90AFB ∠= BF AF ⊥AF PC ⊥ ，平面，则平面， BF PC F ⋂=,BF PC ⊂BCP AF ⊥BCP 平面，则，而，，BC ⊂ BCP AF BC ⊥PA BC ⊥AF PA A = 平面，则平面，平面，则，,AF PA ⊂ACP BC ⊥ACP AC ⊂ ACP BC AC ⊥显然不成立，故此时， 90AFB ∠≠ 若，则，，，平面,90BAF ∠= AF AB ⊥AP AB ⊥AF AP A ⋂=,AF AP ⊂ACP 平面，平面，，显然不成立，故此时，AB ∴⊥ACP AC ⊂ ACP AB AC ∴⊥90BAF ∠≠ 若，则，而，平面，90ABF ∠= BFBA ⊥CB BA ⊥,BF CB ⊂BCP ，所以平面，平面，，显然不成立，故BF CB B = BA ⊥BCP BP ⊂ BCP BA BP ∴⊥，故B 错误，90ABF ∠≠ 对C 选项，由A 选项证得平面，，平面，BC⊥PAB //EF BC Q EF ∴⊥PAB平面，平面平面，故C 正确，EF ⊂ AEF ∴AEF ⊥PAB 对D 选项，在平面内，过点作的垂线，垂足为，PAB P AEG假设平面平面，平面平面，， AEF ⊥PAB AEF ⋂PAB AE =PG AE ⊥且平面，平面，而若此时平面，PG ⊂PAB PG ∴⊥AEF PC ⊥AEF 这与过平面外一点作平面的垂线有且只有一条矛盾， 故当平面时,平面与平面不可能垂直，故D 正确，PC⊥AEF AEF PAB 故选：ACD.12. 已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，为1111ABCD A B C D -O 11122,AB A B AA ===E 内部（含边界）的动点，则（ ）1BDC A. 平面 B. 球的表面积为1//AA 1BDC O6πC. 的最小值为 D. 与平面所成角的最大值为60°1EA EA +AE 1BDC 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用平行四边形证得，进而证得平面；112//AA C O1//AA 1BDC 对于B ，先假设的位置，利用勾股定理与半径相等得到及O 2222a b +=+a b +=，进而确定的位置，故可求得球的表面积为；0b =O O 8π对于C ，先判断落上，再进一步判断与重合时，取得最小值为 E 1C O E O 1EA EA +对于D ，利用面面垂直的性质作出面，故为与平面所成角，再利用AF ⊥1BDC AEF ∠AE 1BDC 得知当与重合时，取得最大值，再利用对顶角相等求得此时sin AFAEF AE∠=E O AEF ∠，进而得到的最大值为.160C OC ∠=︒AEF ∠60︒【详解】对于A ，如图1，由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故共面，1AA 1CC 11,,,A A C C 又面面，而面面，面面，故1111//A B C D ABCD 11AA C C 111111A B C D AC =11AA C C ABCD AC =，即；11//AC AC 112//A C AO由平面几何易得，即； 1121122AC AO AC ===⨯=112AC AO =所以四边形是平行四边形，故，112AAC O 112//AA C O 而面，面，故平面，故A 正确；1AA ⊄1BDC 12⊂C O 1BDC 1//AA 1BDC.对于B ，如图2，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，则， 1O 11AC O 1AO AO R ==在等腰梯形中，易得，即11AAC C ()22222121111322O O AA AC A C ⎡⎤=--=-=⎢⎥⎣⎦12O O =，为方便计算，不妨设，则由，12,O O a O O b ==2222221112A O a A O AO AO b +===+即，即，又， 2222a b +=+2232a b -=12a b O O +==解得，即与重合，故， 0a b ==O 2O R AO ==故球的表面积为，故B 错误；O 22448R πππ=⨯=.对于C ，由图2易得，，，面， 12BD O O ⊥BD AC ⊥122O O AC O ⋂=12O O AC ⊂、11AAC C 故面，BD ⊥11AAC C 不妨设落在图3处，过作，则面，故，E E 'E '1//E E BD '1E E '⊥11AAC C 11E E E A '⊥故在中，（勾股边小于斜边）；同理，，1Rt AE E ' 1E A E A '<111E A E A '<所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值； 1111E A E A E A E A ''+<+E 1C O 1EA EA +再看图4，由可知， 11A C O C 关于对称点为故，故C 正确， 1EA EA AC +≥=.对于D ，由选项C 可知，面，面，故面面， BD ⊥11AAC C BD ⊂1BDC 11AA C C ⊥1BDC 在面内过作交于，如图5，11AAC C A 1AF C O ⊥1C O F 则面，面面，故面，故为与平面AF ⊂11AAC C 11AA C C 11BDC C O =AF ⊥1BDC AEF ∠AE 所成角，1BDC 在中，，故当取得最小值时，取得最大值，即取得最Rt AEF sin AFAEF AE∠=AE sin AEF ∠AEF ∠大值，显然，动点与重合时，取得最小值，即取得最大值，且， E O AE AEF ∠1AEF AOF C OC ∠=∠=∠在中，，为正三角形，即1C OC △11C O AA ==11CC AA ==12OC AC ==1C OC △，即与平面所成角的最大值为，故D 正确.160C OC ∠=︒AE 1BDC 60︒故选：ACD .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于确定的位置，先假设在外（记为），由勾股边小于斜E E 1C O E '边推得，进而得到只有落在上，再利用为定值及基本不1111E A E A E A E A ''+<+1EA EA +E 1C O 1AA E S 等式，推得与重合时，取得最小值；对于动点，我们一般要考虑特殊位置，可提高我们做E O 1EA EA +题速度.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________.2cos10sin20cos20-︒︒︒=【解析】【分析】利用展开计算即可()cos10cos 3020︒=︒-︒【详解】.()2cos 3020sin202cos10sin20cos20cos20︒︒︒︒︒=︒︒---==14. 如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离____m ．45CAD ∠=︒BD =【答案】18 【解析】【详解】试题分析：过作于,设,显然此时,记;将AE CD ⊥BD x=CAE α∠=放入中．利用建立关于的关系;将放入中,利用建立关于的关系．最后根据的关系,解出其中的．如图，过作于， 设AE CD ⊥BD x=∵,记,则， 45CAD ∠= CAE α∠=45DAE α∠=- 在中，, ∴, 6tan xα=在中，, ∴, 9tan(45)xα-=∴,26915tan 4569541xx x x x x+==--⋅ 解得：或（舍去）． 18x =3x =-所以建筑物和底部之间的距离为．考点：直角三角形中,正切表示边;正切和角公式．15. 在中，角，，所对的边为，，，若的面积，则ABC A B C a b c ABC222)ABCS a b c =+-△的取值范围是_______. ca b+【答案】 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】结合面积公式和余弦定理化简可求，利用正弦定理将边化为角可得，由C 1π2sin 6cA a b=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭此可求的取值范围. ca b+【详解】由，222)ABCS a b c =+-△，∴2221sin )2ab C a b c =+-又， 2222cos c a b ab C =+-所以，1sin 2cos 2ab C ab C =所以tan C =又，所以， 0πC <<π3C =由正弦定理可得，，πsinsin 13ππsin sin sin sin 2sin 36c C a b A B A A A ===++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，所以，2π03A <<ππ5π666A <+<π1sin ,162A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以． 11,1π22sin 6cA a b⎡⎫=∈⎪⎢+⎛⎫⎣⎭+ ⎪⎝⎭故答案为：.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭16. 正方体的棱长是，其中是中点，是中点，则过点的截面1111ABCD A B C D -a E CD F 1AA 1,,E FB 面积是 __． 2【解析】【分析】根据题意得到过点的截面为五边形，由余弦定理求得，得1,,E F B 1B MENF 1cos MB F ∠=到，求得平行四边形的面积为，再由1sinMB F ∠=1B MGF 2S =，得到，进而求得截面的面积.11,23GE GM GN GF ==112GEN S S = 【详解】在上取使，连接并延长与的延长线交于点，连交于1CC M 114CM CC =ME 1D D G GF AD ，连接，N 1,B M NE 由正方体的性质可知，则五边形即为过点的截面，1//B F EM 1B MENF 1,,E F B由题可得，， 1111244CM DG AF CC a ====11,23GE GM GN GF ==在中，， 1B MF 115,,4B M a B F MF ===由余弦定理得， 1cos MB F ∠=1sin MB F ∠=所以平行四边形的面积为， 1B MGF 2111sin S B F B M MB F =⨯∠=又由， 11,23GE GM GN GF ==所以， 11sin 212GENS GE GN NGE S =⨯⨯∠=所以截面的面积为. 131112B MENF S S ==. 2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，，在同一平面上，且，a b c(32)a = ,(21)b =- ,（1）若与垂直，求的值；ka b - 2a b +k （2）若（其中），当取最小值时，求向量与的夹角大小. c a xb =+x R ∈||cc b【答案】（1）； 65k =（2）.2π【解析】【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示计算作答.（2）表示出的坐标，再利用模的坐标表示探求取最小值条件，借助向量数量积求解作答.c||c 【小问1详解】因，，则，，而与垂直 (3,2)a =(2,1)b =- (32,21)ka b k k -=+- 2(1,4)a b +=- ka b - 2a b + 于是得，解得，()(2)(32)4(21)560ka b a b k k k -⋅+=-++-=-= 65k =所以. 65k =【小问2详解】由，，及，得，(3,2)a =(2,1)b =- c a xb =+ (32,2)c x x =-+于是有，则当时，c == 45x =||c 此时，而，即有，， 714(,)55c = (2,1)b =- 71421055b c ⋅=-⨯+⨯= b c ⊥ 所以向量与的夹角为c b2π18. 某轮船以海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东60度.轮船从处向北航行30V A P A分钟后到达处，测得油井在南偏东15度，且.轮船以相同的速度改为向东北方向再B P BP =航行60分钟后到达点.）C 2.449=（1）求轮船的速度；V （2）求两点的距离（精确到1海里）. ,P C【答案】（1）海里/小时（2）40海里 【解析】【分析】（1）利用三角形的性质以及正弦定理进行求解.（2）利用三角的性质以及余弦定理进行求解. 【小问1详解】由题可知，在中，，，所以，APB △120PAB ∠= 15PBA ∠= 45APB ∠= 又，即， BP =sin sin BP ABPAB APB=∠∠=解得，所以，AB =0.5AB V===故轮船的速度是海里/小时.【小问2详解】由（1）有，，BC =120CBP ∠= 所以在中，由余弦定理有： ，PBC 2222cos PC BC BP BC BP CBP=+-⋅⋅⋅∠所以((222122PC ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭((21100100111011=+=+=+所以， 39.87PC =≈所以两点的距离约为40海里.,P C 19. 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1为菱形，∠A 1AC ＝60°，AC ＝2，侧面CBB 1C 1为正方形，平面ACC 1A 1⊥平面AB C ．点M 为A 1C 的中点，点N 为AB 的中点． （1）证明：MN ∥平面BCC 1B 1； （2）求三棱锥A 1－ABC 1的体积．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）连接AC 1，BC 1，根据中位线的性质证明MN ∥BC 1，进而证明MN ∥平面BCC 1B 1；（2）根据线面垂直的判定与性质证明BC ⊥平面ACC 1A 1，再根据＝，结合几何中的关系11A ABC V -11B A AC V -求解即可【小问1详解】证明：连接AC 1，BC 1，因为四边形ACC 1A 1为菱形，点M 为A 1C 的中点，所以AC 1∩A 1C ＝M ，点M 为A 1C 的中点，又点N 为AB 中点，所以MN ∥BC 1，而BC 1⊂平面BCC 1B 1，MN ⊄平面BCC 1B 1，所以MN ∥平面BCC 1B 1；【小问2详解】∵侧面ACC 1A 1为菱形，∠A 1AC ＝60°，∴△AA 1C 为等边三角形，AA 1＝A 1C ＝AC ＝2.取AC 的中点H ，连接A 1H ，则A 1H ⊥A C.又∵平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ，A 1H ⊂平面ACC 1A 1，∴A 1H ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴A 1H ⊥B C.而四边形CBB 1C 1为正方形，∴BC ⊥CC 1.又AA 1∥CC 1，∴BC ⊥AA 1，又AA 1∩A 1H ＝A 1，AA 1和A 1H 在平面ACC 1A 1上，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又△AA 1C 1的面积S ＝×2×2×sin120°12∴＝＝11A ABC V -11B A AC V -12320. 在中，内角，，所对的边分别为，，，为上一点，，ABC A B C a b c D BC π6BAD ∠=．π2CAD ∠=（1）若，求； AB =ABD ∠（2）若面积取最小值时，求的值． AD =ABC a 【答案】（1）； π6ABD ∠=（2）.a =【解析】 【分析】（1）利用正余弦定理及三角形内角性质求；ABD ∠（2）利用等面积法结合基本不等式可得面积取最小值时，再由余弦定理即可得解.22c b ==【小问1详解】令，又，AB ==π6BAD ∠=所以，即，2222222cos 43BD AB AD AB AD BAD m m m =+-⋅∠=-=BD m =则，即， sin sin AD BD ABD BAD =∠∠1sin 12sin 2m AD BAD ABD BD m ⨯∠∠===又，则，故. π2CAD ∠=(0,π)3ABD ∠∈π6ABD ∠=【小问2详解】由三角形面积公式可得， 1=sin 2ABC S bc BAC ∠= 且，11=sin 262ABC ABD ADC S S S c AD b AD π+=⋅+⋅=+，=+≥=bc ≥即，当且仅当时，等号成立，此时面积取最小值2bc ≥22c b ==()min ABC S 此时， 2222cos 7a b c bc BAC =+-∠=a =所以当面积取最小值时，.ABC a =21. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是边BC 上的一ABC cos cos A C =点，且． sin sin 32BAD CAD b c a∠∠+=（1）求证：； 3a AD =（2）若，求．2CD BD =cos ADC ∠【答案】（1）详见解析；（2） 1314【解析】【分析】（1）先利用余弦定理由到，再利用正弦定理由cos cos A C =5π6A =即可求得； sin sin 32BADCAD b c a ∠∠+=3a AD =（2）先利用余弦定理求得，进而利用余弦定理求得 c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩13cos 14ADC ∠=【小问1详解】在中， ABC cos cos AC =则 22222222b c a abbc a b c +-⨯=+-整理得，则222b c a -=+222cos 2b c a A bc +-==又，则 0πA <<5π6A =在中，由正弦定理得，则 ACD sin sin CAD C CD AD ∠=sin sin CD C CAD AD⋅∠=在中，由正弦定理得，则 BAD sin sin BAD B BD AD ∠=sin sin BD B BAD AD⋅∠=则 sin sin sin sin BAD CAD BD B CD C b c AD b AD c∠∠⋅⋅+=+=⋅⋅ ()11sin sin 132222BD CD a BD A CD A AD a AD a AD a AD a ADa +⨯⨯⋅⋅=+====⋅⋅⋅⋅则 3a AD =【小问2详解】由，可得，又 2CD BD =21,33CD a BD a ==3a AD =则 22222221113333cos ,cos 1211223333a ab a ac ADC ADB a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠=∠=⨯⨯⨯⨯由 cos cos 0ADC ADB ∠+∠=可得，解之得 2222222111333301211223333a ab a ac a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⨯⨯2222a b c -=又，则， 5π6A =222a b c =+由，可得 2222222a b c a b c ⎧-=⎪⎨=+⎪⎩c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩则 222222215713339cos 1241427339a ab b b ADC a a b ⎛⎫⎛⎫+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠===⨯⨯⨯22. 如图1，直角梯形中，，，，，，边上一点ABCD AD CD ⊥//AD BC 5AD =8BC =4CD =BC 满足．现在沿着将折起到位置，得到如图2所示的四棱锥E 35BE EC = AE ABE 1AB E△．1B AECD -（1）证明：．1AE B D ⊥（2）若为棱的中点，试问线段上是否存在点，使得？若存在，求出此时M 1B E CD N MN AE ⊥DN 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，且 54DN =【解析】【分析】（1）在梯形中，连接，证明出为菱形，在四棱锥中，取的ABCD DE ABED 1B ADCE -AE 中点，连接、、，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，，利用F DE DF 1B F AE DF ⊥1AE B F ⊥线面垂直的判定和性质定理可证得结论成立；（2）取线段的中点，连接，过点在平面内作交于点，证明出EF G MG G ADCE //GN DF CD N ，过点在平面内作交于点，计算出的长，可计算出的长，AE MN ⊥E ADCE //EQ DF CD Q CQ DQ 分析出为的中点，即可求得的长.N DQ DN 【小问1详解】证明：在梯形中，连接，如下图所示：ABCD DE因为，，则，AD CD ⊥//AD BC CD BC ⊥因为，，，边上一点满足，则，， 5AD =8BC =4CD =BC E 35BE EC =3CE =5BE =所以，，5DE ==因为且，所以四边形为菱形，//AD BE 5AD BE ==ABED 在四棱锥中，取的中点，连接、、，1B ADCE -AE F DE DF 1B F 因为，为的中点，所以，，同理可证， AD DE =F AE AE DF ⊥1AE B F ⊥，所以，平面，平面，.1B F DF F = ⊥AE 1B DF 1B D ⊂ 1B DF 1B D AE ∴⊥【小问2详解】解：取线段的中点，连接，过点在平面内作交于点， EF G MG G ADCE //GN DF CD N 连接，下面证明出，MN MN AE ⊥因为、分别为、的中点，则，M G 1B E EF 1//MG B F 平面，平面，平面，MG ⊄ 1B DF 1B F ⊂1B DF //MG ∴1B DF 因为，平面，平面，平面，//GN DF GN Ë1B DF DF ⊂1B DF //GN ∴1B DF ，所以，平面平面，所以，平面，MG GN G ⋂= //MNG 1B DF ⊥AE MNG 平面，，MN ⊂ MNG MN AE ∴⊥过点在平面内作交于点，E ADCE //EQ DF CD Q因为，， 3sin 5CE CDE DE ∠==3cos cos sin 25ADE CDE CDE π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭由余弦定理可得，则，2222cos 20AE AD DE AD DE ADE =+-⋅∠=AE =所以，，则， 222cos 2AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅sin DAE ∠==，则，，，则，//CE AD AEC DAE π∠+∠=//EQ DF DF AE ⊥EQ AE ⊥， cos cos cos sin 22CEQ AEC DAE DAE πππ⎛⎫⎛⎫∴∠=∠-=-∠-=∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，， sin CEQ ∠==sin 1tan cos 2CEQ CEQ CEQ ∠∠==∠，， 3tan 2CQ CE CEQ ∴=∠=52DQ CD CQ ∴=-=因为且直线、相交，所以，四边形为梯形，//EQ DF AE CD DFEQ 因为为的中点，，则为的中点，故. G EF //GN DF N DQ 1524DN DQ ==因此，在线段上存在点，使得，且. CD N MN AE ⊥54DN =。

山东省滨州市高一下学期5月月考数学试题

山东省滨州市高一下学期5月月考数学试题

4．已知向量 a, b
5
的夹角为，且| a Nhomakorabea| 1,| b
|
3
，则
(2a
b)
(a
b)
（
）
6
A． 1 3 2
1
B．
2
7
C．
2
D． 5 2
5．在△ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 a 2 2, c 3, B ，则△ABC 的外接圆面积为 4
（）
5
A．
14．已知△ABC 外接圆的圆心为 O ，且| AB AC || AB AC |,| OA || AB | 1, e 是与 BC 方向相同的单位
向量，则 BA 在 BC 上的投影向量为__________．
15．直三棱柱 ABC A1B1C1 的底面△ABC 的直观图 ABC 如图所示，其中 AB 2, AC 1，且 AA1 3
所以该学校研究生思想道德良好． 19．（本小题满分 12 分） 【解析】
11 分
12 分
（1）证明：连接 PB, MN ∥平面 PABQ, MN 平面 PBD ，平面 PBD 平面 PABQ PB ，
MN ∥ PB ，
1分
又∵在△PBD 中， N 是 BD 的中点， M 是 PD 的中点，
2分
的休闲区如图，在 BAC 2 , AB, AC 的长均为 60 米的△ABC 区域内，拟修建娱乐区、就餐区、儿童乐 3
园区，其中为了保证游客能及时就餐，设定就餐区域△AEF 中 EAF ． 3
（1）为了增加区域的美感，将在各区域分隔段 AE 与 AF 处加装灯带，若 CAF ，则灯带 AE AF 12
PCD ，
AM 平面 PCD ．

江苏省常州高一下学期5月阶段质量检查数学试题(解析版)

江苏省常州高一下学期5月阶段质量检查数学试题(解析版)

江苏省常州高级中学第二学期阶段质量检查高一年级数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ） ,,αβγ,m n A. 若，，则 B. 若，，则 m n ∥m β∥αβ∥m α∥n α∥m n ∥C. 若，则 D. 若，则,m n αα⊥⊥m n ∥,αγβγ⊥⊥αβ∥【答案】C 【解析】【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，对照四个选项一一判断. 【详解】对于A ，由，，得或与相交，故A 错误； m n ∥m β∥αβ∥αβ对于B ，若，，则m 与n 可能是异面直线、也可能是相交直线， m α∥n α∥也可能是平行直线，所以B 错误；对于C ，若，由线面垂直的性质定理知，所以C 正确； ,m n αα⊥⊥m n ∥对于D ，若，则与可能相交，也可能平行，所以D 错误. ,αγβγ⊥⊥αβ故选：C.2. 设a 是直线，α是平面，则能推出的条件是（ ） a α∥A. 存在一条直线 B. 存在一条直线b ， b a b b α⊂,∥,a b b α⊥⊥,C. 存在一个平面 D. 存在一个平面 a ββαβ⊂,,∥a ββαβ⊥⊥,,【答案】C 【解析】【分析】根据线面的位置关系可判断A ；根据线面垂直的性质结合线面的位置关系可判断B ；根据面面平行的性质可判断C ；根据面面垂直的性质结合线面位置关系判断D.【详解】对于A ，如果，可满足，但推不出，A 错误； a α⊂a b b α⊂∥,a α∥对于B ，存在一条直线b ，，则可能是，也可能是，B 错误； a b b α⊥⊥,a α⊂a α∥对于C ，存在一个平面，根据面面平行的性质知，C 正确； a ββαβ⊂,,∥a α∥对于D ，存在一个平面，此时可能也可能是，D 错误；a ββαβ⊥⊥,,a α⊂a α∥故选：C3. 已知复数（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）2023i 12iz =+A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】先利用复数运算规则求得z 的代数形式，进而求得z 在复平面内对应的点所在象限.【详解】因为， ()()()2023i 12i i i 2i 21i 12i 12i 12i 12i 555z -----=====--+++-所以z 对应点的坐标为，所以z 在复平面内对应的点位于第三象限． 21,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：C ．4. 在长方体中，，，，则与平面所成角的正切1111ABCD A B C D -1AB =2BC =15AA =1AC ABCD 值为（ ）A.B. 2C.D.12【答案】D 【解析】【分析】连接，利用线面角定义知为所求的角，在直角中，即可求解. AC 1A CA ∠1A CA 【详解】在长方体中，平面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥ABCD 是与平面所成的角，1ACA ∴∠1AC ABCD 连接，平面，， AC AC ⊂ABCD 1AA AC ⊥又，，，所以，1AB =2BC =15AA =AC ==在直角中，，即与平面所成角的正切值为 1A CA 11t n a AA A CA C A ∠===1AC ABCD 故选：D ．5. 若正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为（ ） aA.B.C.D.234a 2232a 23a 【答案】A 【解析】【分析】根据题意求出侧棱长再计算三角形面积可得答案. 【详解】因为正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直， a，则它的侧面积为. 213324a ⨯=故选：A.6. 已知，且，则（ ） 0πα<<1sin cos 5αα+=-cos sin αα-=A. B.C. D.75-75【答案】A 【解析】【分析】利用、的关系转化求值即可. cos sin αα±sin cos αα【详解】由，则，而，则， 0πα<<sin 0α>1sin cos 5αα+=-cos 0α<，2221(sin cos )sin 2sin cos cos 12sin cos 25αααααααα+=++=+=，242sin cos 25αα=-所以. 7cos sin 5αα-===-故选：A7. 已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把()cos 2(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭2π()f x 6π得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论不正确的是（ ） ()g x A.B. 的图象关于点对称 (0)0g =()g x ,02π⎛⎫⎪⎝⎭C. 的图象关于对称D. 在上的最大值是1()g x 4x π=-()g x ,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数的周期和图象变换得到，再依次判断选项即可. ()sin 2g x x =-【详解】因为，所以，.222T ππω==2ω=()cos 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将的图象向左平移个单位长度，得到，()f x 6πcos 4sin 466y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到. ()sin 2g x x =-对选项A ，，故A 正确.()0sin 00g =-=对选项B ，，所以的图象关于点对称，故B 正确. sin 02g ππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭()g x ,02π⎛⎫⎪⎝⎭对选项C ，，所以的图象关于对称.故C 正确.sin 142g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()g x 4x π=-对选项D ，，，所以， ,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1sin 212x -≤≤所以，故在上的最大值是，故D 错误.()112g x -≤≤()g x ,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12故选：D8. 在非直角中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，是角的内角平分线，且，则等于（ ） CD C CD b =tan CA.B. C.D.1813【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理的角边化及余弦定理的推论，利用等面积法及三角形的面积公式，结合正余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】由及正弦定理，得.sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=22224cos a b c b C +-=由余弦定理，得，22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===因为为非直角三角形， ABC 所以，cos 0C≠所以，2a b =因为是角的内角平分线，且， CD C CD b =所以由三角形的面积公式得， ABC ACD BCD S S S =+△△△所以，即， 1112sin sin 2sin 22222C C b b C b b b b ⋅=⋅+⋅2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==因为，()0,πC ∈所以， π0,,sin 0222C C⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭所以,3cos24C=所以，291cos 2cos1212168C C =-=⨯-=,sin C ===.sin tan s c 1o 8CC C===故选：B.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用正弦定理的角化边和余弦定理的推论，再利用等面积法及正余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ）(),2a m =- ()3,1b m =+ a b ⊥ caA.B.2m =()3,2b =C.D.a b -=c =- 【答案】ACD 【解析】【分析】对于选项A ，根据，求出的值，进行判断；a b ⊥m 对于选项B ，由的值可得的坐标；m b对于选项C ，由，坐标，可得的坐标，进而计算的模；a b a b - a b -对于选项D ，由的坐标，根据公式计算与其同向单位向量的坐标判断正误.a c【详解】对于选项A ，根据，求出的值，故A 正确；a b ⊥2m =对于选项B ，由，得，故B 错误；2m =()3,3b =对于选项C ，，，可得，所以，故C 正确；()2,2a =- ()3,3b = ()1,5a b -=--a b-=对于选项D ，因为单位向量与同向，所以，，故D 正确. c aa c a == 故选：ACD.10. 设为复数，且，则下列命题正确的是（ ） 123,,z z z 30z ≠A. 若，则 B. 若，则12=z z 12=±z z 1323z z z z =12z z =C. 若，则 D. 若，则2313z z z =13z z =21z z =1323z z z z =【答案】BD 【解析】【分析】由反例可知AC 错误；由可得，得到，知B 正确；设1323z z z z =()3120z z z -=12z z =，，根据共轭复数定义和复数乘法及模长运算可求得，知D 正确.1i z a b =+3i z c d =+1323z z z z =【详解】对于A ，若，，则，此时，A 错误； 11i z =+21i z =-12=z z 12z z ≠±对于B ，，，又，，即，B 正确；1323z z z z = ()3120z z z ∴-=30z ≠120z z ∴-=12z z =对于C ，若，则，若为虚数，则，C 错误；13z z =213333z z z z z ==13,z z 13z z ≠对于D ，设，，则，1i z a b =+3i z c d =+21i z z a b ==-，，()()()()13i i i z z a b c d ac bd ad bc ∴=++=-++()()()()23i i i z z a b c d ac bd ad bc =-+=++-，13z z ∴==23z z ==，D 正确.1323z z z z ∴=故选：BD.11. 如图，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则1111ABCD A B C D -1E F G BC 1CC 1BB （ ）A. 直线与直线垂直B. 直线与平面平行1DD AF1A G AEF C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等AEF 98C G AEF 【答案】BC 【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用D DA DC 1DD x y z 空间向量法可判断ABD 选项；作出截面，计算出截面面积，可判断C 选项.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角D DA DC 1DD x y z 坐标系，则、、、、、、、()1,0,0A ()1,1,0B ()0,1,0C ()0,0,0D ()11,0,1A ()11,1,1B ()10,1,1C 、、、，()10,0,1D 1,1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭对于A 选项，，，则，()10,0,1DD = 11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1102DD AF ⋅=≠ 所以，直线与直线不垂直，A 错；1DD AF对于B 选项，设平面的法向量为，，，AEF (),,m x y z = 1,1,02AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 11,0,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，取，可得， 10211022m AE x y m EF x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩2x =()2,1,2m = ，所以，，即，110,1,2A G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1110A G m ⋅=-= 1A G m ⊥ 因为平面，平面，B 对；1AG ⊄AEF 1//AG ∴AEF 对于C 选项，连接、、，1AD 1D F 1BC 因为、分别为、的中点，则，E F BC 1CC 1//EF BC 且，所以，四边形为平行四边形，则，11//AB C D 11AB C D =11ABC D 11//AD BC 所以，，所以，、、、四点共面， 1//EF AD E F A 1D 故平面截正方体所得截面为， AEF 1111ABCD A B C D -1AD FE 且，同理可得，，EF ==1AE D F ==1AD EF =≠所以，四边形为等腰梯形，1AD FE分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，如下图所示：E F 1AD FE 1EM AD ⊥1FN AD ⊥MN因为，，，1AE D F =1EAM FD N ∠=∠190EMA FND ∠=∠=所以， ，故，，1Rt Rt AEM D FN △≌△1AM D N =EM FN =因为，，，则四边形为矩形，所以，//EF MN EM MN ⊥EN MN ⊥EFNM MN EF ==，故112AD EF AM D N -∴===EM ==故梯形的面积为，C 对；1AD FE ()11928AD FE EF AD EMS +⋅==梯形对于D 选项，，则点到平面的距离为， 1,0,02CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C AEF 113CE m d m⋅== ，则点到平面的距离为，()1,0,0FG =G AEF 223FG m d m⋅== 所以，点与点到平面的距离不相等，D 错. C G AEF 故选：BC.12. 如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于点S ，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是S AEF -（ ）A. 平面平面SAFAEF ⊥B. 四面体的体积为S AEF -13C. 二面角A EF S --D. 顶点S 在底面AEF 上的射影为的垂心 AEF △【答案】BD 【解析】【分析】（１）作辅助线，证为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然为锐角，SNO ∠SNO ∠从而判断A 选项．（２）先证平面AEF ，从而得到锥体的高，计算出所需长度，算出体积即可． SO ⊥（３）证为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角，计算的正切值．SMA ∠SMA ∠（４）先证O 为S 在平面AEF 上的射影，由于AM ，只需证，即可． EF ⊥OE AF ⊥OF AE ⊥【详解】如图，作EF 的中点M ，连结AM 、SM ，过S 作AM 的垂线交AM 于点O ，连结SO ，过O 作AF 的垂线交AF 于点N ，连结SN由题知AE =AF AM ，SE =SF =1，所以，EF ⊥SM EF ⊥为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角SMA ∴∠又 平面ASM ，平面ASM ，SO ， SM AM M ⋂=EF ∴⊥SO ⊂EF ∴⊥作法知， ，平面AEF ， SO AM ^AM EF M = SO ∴⊥所以SO 为锥体的高．所以O 为S 在平面AEF 上的射影.平面AEF ，所以 ，由作法知，AF ⊂SO AF ⊥ON AF ⊥SO NO O ⋂=平面SON ，平面SON ，AF ∴⊥SN ⊂SN AF ∴⊥为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然为锐角，故A 错．SNO ∴∠SNO ∠由题知 ， ，AS SE AS SF AS SEF SE SF S ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭平面SM SEF ⊂平面AS SM ∴⊥又AS ＝２，，SE ＝１， 12EM EF ==SM AM ∴=== ，四面体S −AEF 的体积为 ，故B正23AS SM SO AM ⨯===1132133233AEF V S SO =⨯=⨯⨯= 确．在直角三角形ASM 中：tan AS SMA SM ∠=== 故C 不正确．因为 ， ，OM ==AO AM OM =-=OE ==所以 ， 2224cos 25OE OF EF EOF OE OF +-∠==-⋅222cos 2OE OA AE EOA OE OA +-∠==⋅ ()cos cos OEAF OE OF OA OE OF EOF OEOA EOA ⋅=⋅-=∠-∠45⎛⎛⎫=- ⎪ ⎝⎭⎝ 44099=-+= ，由对称性知 ，又AMOE AF ∴⊥OF AE ⊥EF ⊥故D 正确．故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知非零向量，的夹角为，，，则____________. a b π33a = ()a a b ⊥- b = 【答案】6【解析】【分析】根据垂直的向量表示结合数量积的定义，即可求得答案.【详解】因为，故， ()a ab ⊥- ()20,0a a b a a b ⋅-=∴-⋅= 即， π93||cos 0,||63b b -⋅=∴= 故答案为：6 14. 如图所示，在长方体中，，，点E ，F ，G 分别是，1111ABCD A B C D -12AA AB ==1AD =1DD ，的中点，则异面直线与所成的角是_____.AB 1CC 1A E GF【答案】90 【解析】【分析】连接，，，则得或其补角即为与所成的角，再利用勾股定理即1GB 1B F EG 1B GF ∠1A E GF 可得到线线角.【详解】连接，，，点E ，F ，G 分别是，，的中点，1GB 1B F EG 1DD AB 1CC ，，1111//,EG D C EG D C ∴=11111111//,D C A B D C A B =，四边形为平行四边形，1111//,A B EG A B EG ∴=∴11A EGB 则，故或其补角即为与所成的角，11//GB A E 1B GF ∠1A E GF易得，1B G ===1B F ===，所以.GF ==22211B G FG B F +=190B GF ︒∠=故答案为：. 90 15. 如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为SO 1OA =3π_________.【解析】 【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案.【详解】设圆锥的母线长为，l 所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：， 12π13π2S l =⨯⋅⋅=所以，所以圆锥的高. 3l =SO ==故圆锥的体积为：. 21π×1π3V =⋅⨯=. 16. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知的圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等ABC 边三角形，其外接圆圆心依次记为.若，则的面积最大值为____________.,A B C ''',30ACB ∠= A B C '''【答案】3+【解析】【分析】设的三个内角所对的边分别为，由正弦定理求出c ，由题意可得ABC ,,A B C ,,a b c，从而表示出，结合余弦定理求得，利用三角形90A CB ∠='' 222()3a b A B +''=2212(2a b ≤++面积公式即可求得答案.【详解】的三个内角所对的边分别为，ABC ,,A B C ,,a b c由正弦定理可得， in 3s 0c c ︒∴==如图，连接,,A C B C ''因为是以BC ，AC 为边向外作的等边三角形的外接圆圆心，,A B ''故,故，30A CB B CA ''∠=∠= 90A CB ∠=''由题意知， 23,A C a B C ''=⨯==则， 22222()3a b A B B C A C +''''=+=又，222220,2cos36a b ab c a b ︒+-+-∴==故， 22222216,2(22a b a b a b ≤++-=∴+≤+当且仅当时等号成立， a b ==即， 222()4(23a b A B +''=≤+由题意知为等边三角形，A B C '''故， 2224()323A B C S B a b A '''''==+=+≤+即的面积最大值为，A B C '''3+故答案为：3【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于明确拿破仑三角形的含义，即为等边三角形，由此可A B C ''' 结合正余弦定理以及基本不等式求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，在中，角所对的边分()()()sin ,sin sin a x x b x x f x a b ===⋅ ，，，ABC ,,A B C 别为.,,a b c （1）求函数的最小正周期和单调减区间；()f x （2）若，求． 1()2f A =-A 【答案】（1）； π,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）6π【解析】【分析】（1）将化为，然后可得答案； ()f x 1()sin 262f x a b x π⎛⎫=⋅=-++ ⎪⎝⎭ （2）由可求出. 1()2f A =-6A π=【小问1详解】111()sin sin cos 2cos 2sin 22262f x a b x x x x x x x π⎛⎫=⋅=-=-+=-++ ⎪⎝⎭ 所以的最小正周期为, ()f x 22ππ=由可得222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以的单调减区间为 ()f x ,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为 11()sin 2622f A A π⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭所以，所以，所以 sin 216A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2262A k πππ+=+,6A k k Z ππ=+∈因为，所以.()0,A π∈6A π=18. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，E ，M ，N 分别是，，1111ABCD A B C D -60BAD ∠=︒BC 1BB 的中点.1A D（1）证明：平面平面；11BCC B ⊥1C DE （2）证明：平面.//MN 1C DE 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接，根据四边形为菱形，，得到，再由四棱柱BD ABCD 60BAD ∠=︒DE BC ⊥为直棱柱，易得平面，再利用面面垂直的判定定理证明；1111ABCD A B C D -DE ⊥11BCC B （2）连接，，易证四边形为平行四边形，得到，再利用线面判定定理证明.ME 1B C MEDN //MN DE 【小问1详解】证明：如图所示：连接，BD ∵四边形为菱形，，ABCD 60BAD ∠=︒∴和为等边三角形，又E 为中点，∴，ABD △CBD △BC DE BC ⊥∵四棱柱为直棱柱，1111ABCD A B C D -∴平面，又平面 ，∴，1CC ⊥ABCD DE ⊂ABCD 1CC DE ⊥∵，∴平面，1CC BC C ⋂=DE ⊥11BCC B ∵平面，∴平面平面；DE ⊂1C DE 11BCC B ⊥1C DE 【小问2详解】证明：如图所示：连接，，ME 1B C ∵M ，E 为，中点，∴且， 1BB BC 1//ME B C 112ME B C =在四棱柱中，且，1111ABCD A B C D -11//A B CD 11A B CD =∴四边形为平行四边形，∴且，11A B CD 11//A D B C 11A D B C =∵N 为中点，∴且， 1A D 1//DN B C 112DN B C =∴且，//ME DN DN ME =∴四边形为平行四边形，∴，MEDN //MN DE ∵平面，平面，∴平面.DE ⊂1C DE MN ⊄1C DE //MN 1C DE 19. 如图，正三棱柱中，，点M 为的中点．在棱上是否存在点111ABC A B C -1122AB AA ==11A B 1BB Q ，使得AQ ⊥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1BC M 1B Q QB【答案】存在， 17B Q QB=【解析】【分析】根据条件先判定平面平面，从而确定Q 的位置，利用相似即可确定线段之比.1BC M ⊥11AA B B 【详解】在正三棱柱中，因为点为的中点，则，111ABC A B C -M 11A B 111C M A B ⊥又平面，平面，则有，1A A ⊥111A B C 1C M ⊂111A B C 11AA C M ⊥而平面，1111111,,AA A B A AA A B =⊂ 11AA B B 于是平面，平面，1C M ⊥11AA B B 1C M ⊂1BC M 则平面平面，1BC M ⊥11AA B B 在平面内过点作交于点，11AA B B A AQ BM ⊥1BB Q 平面平面，因此平面，1BC M 11AA B B BM =AQ ⊥1BC M 于是点即为所要找的点，Q 如下图所示，显然，因此， 1ABQ BB M 11BQ AB B M BB =即有，于是，，所以. 214BQ=12BQ =1117422B Q BB BQ =-=-=17B Q QB =20. 如图，和都是边长为的等边三角形，，平面.ACD BCD △2AB =EB ⊥BCD（1）证明：平面；//EB ACD（2）若点到平面，求二面角的正切值.E ABC E CD B --【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，利用面面垂直的性质可得出CD O AO BO AO ⊥BCD ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；//EB AO （2）连接、，取的中点，连接，取的中点，连接，利用等体积法计算EO BO BC F DF AB M CM 出的长，推导出二面角的平面角为，求出的正切值，即为所求.EB E CD B --EOB ∠EOB ∠【小问1详解】证明：如图，取的中点，连接、，CD O AO BO 因为和都是边长为的等边三角形，则，，ACD BCD △2AO CD ⊥BO CD ⊥且，同理可得， sin 602AO AC === BO =因为，所以，，则，AB =222AO BO AB +=AO BO ⊥又因为，、平面，所以，平面，BO CD O ⋂=BO CD ⊂BCD AO ⊥BCD 因为平面，所以，EB ⊥BCD //EB AO 又平面，平面，所以平面.EB ⊄ACD AO ⊂ACD //EB ACD 【小问2详解】解：如图，连接、，取的中点，连接，EO BO BC F DF因为为等边三角形，为的中点，则，BCD △F BC DF BC ⊥取的中点，连接，因为，则，AB M CM 2AC BC ==C M A B ⊥且 CM ===则等腰的面积为， BAC 1122BAC S AB CM =⋅==所以三棱锥的体积为， E ABC -1133E ABC ABC V S -===△因为平面，、平面，则，， EB ⊥BCD BC DF ⊂BCD DF EB ⊥EB BC ⊥又因为，，、平面，所以，平面， DF BC ⊥BE BC B = BE BC ⊂EBC DF ⊥EBC 因为，平面，平面，所以，平面， //EB AO AO ⊄EBC EB ⊂EBC //AO EBC则点到平面的距离等于点到平面的距离等于， A EBC O EBC 11sin 6022DF CD ==因为，则， 11222EBC S BC EB EB EB =⋅=⨯⨯= 13A EBC EBC V S EB -=⨯=△又，所以， E ABC A EBC V V --=EB =5EB =因为平面，平面，则，EB ⊥BCD BD ⊂BCD EB BD ⊥又因为，则，BC BD =EC ED ===因为为的中点，所以，，O CD EO CD ⊥又因为，所以二面角的平面角为，BO CD ⊥E CD B --EOB ∠则，所以二面角. tan B EO E OB B ∠===E CD B --21. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且. ABC cos sin a C C b c +=+（1）求A ；（2）若AD 为BC 边上的中线，，，求的面积.cos B =AD =ABC 【答案】（1）3A π=（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理及三角公式求出，即可求出A ；（2）利用正弦定理求出1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设，，利用向量的中线公式求出，，代入面积公式求面积. 23b c =2b x =3c x =2b =3c =【小问1详解】由正弦定理可将原等式化为sin cos sin sin sin A C A C B C =+在中，ABC ()sin sin B A C =+∴ ()sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，又在中，sin cos sin sin A C A C C =+ABC sin 0C ≠，即， cos 1A A =+cos 1A A -=1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭而，，故即. ()0,A π∈5,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭66A ππ-=3A π=【小问2详解】由，可得, cos B =sin B ==在中，,ABC ()sin sin sin cos cos sinB C A B A B A =+=+, 12==，sin 2sin 3b Bc C ===设，，而边上的中线, 2b x =3c x =BC AD =在中， ABC ()12AD AB AC =+ ()()222211244AD AB AC AB AC AB AC =+=++⋅得即， ()22219149644x x x =++21x =1x =∴， 2b =3c =∴1sin 2ABC S bc A ==22. 如图，在四棱锥中，，.S ABCD -//AB DC 2AB DC=（1）已知，平面平面，求证：平面；,BC AB CD SD ⊥=SCD ⊥SBC BC ⊥SCD （2）已知分别是侧棱上一点，且，若平面，求的值. ,E P ,SB SC 4SP PC =//AE PBD SEEB【答案】（1）证明见解析（2）1 【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质证得平面，从而得，再结合线面垂直的判定定DM ⊥SBC DM BC ⊥理即可结论；（2）根据平行线分线段成比例与线面平行的判定定理即可求得的值. SEEB【小问1详解】取中点，连接SC M DM因为平面平面，平面平面，又，为中点，SCD ⊥SBC SCD SBC SC =CD SD =M SC所以，又平面，所以平面DM SC ⊥DM ⊂SCD DM ⊥SBC 又平面，所以，又，，所以 BC ⊂SBC DM BC ⊥BC AB ⊥//AB DC BC DC ⊥因为平面，所以平面.,,DM DC D DM DC ⋂=⊂SCD BC ⊥SCD 【小问2详解】连接交于，连接交于，取中点，连接，AC BD O EC PB H SP Q EQOH因为，，所以 //AB DC 2AB DC =12CO DC OA AB ==又平面，平面，平面平面，所以//AE PBD AE ⊂AEC AEC I PBD OH =//AE OH 所以，又，为中点，所以， 12CH CO HE OA ==4SP PC =Q SP 122PQ SP PC ==即，则，所以.12CH PC HE PQ ==//EQ BP 111SE SQ EB QP ===。

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高一年级第二学期五月份测试语文试题本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。

考试时间150分钟。

考试结束后只收回答题纸。

第Ⅰ卷（选择题，共30分）有一种爱像海绵李丹崖男人独自一个人走在大街上，耷拉着脑袋，他不敢目视前方，生怕遇见熟人，问他为什么没去上班。

男人失业几天了，在街上转了几天，一直没有找到新的工作。

他是多么需要一份工作啊！老婆三年前就下岗了，一个人在小区门口支了一个水果摊贴补家用，儿子的学费和生活费全部由他来供应。

儿子的成绩一直在整个年级名列前茅，更令他值得骄傲的是，儿子写得一手好作文，每次都被老师当做范文在课堂上朗读。

回到家里，儿子还亲自朗读第二遍，给他和妻子听。

听儿子朗读作文就变成了生活中最快乐的事情。

他心里清楚，儿子的作文成绩这么好，除去儿子自身的天分外，还与他每周都给儿子买一本童话书有关，那些童话书或多或少地启发了儿子的想象力，让儿子总能语出惊人。

如今，连工作也丢了，恐怕10元一本的童话书今后也要给儿子“断奶”了。

不！绝对不能！这种想法刚一在脑海里打了个转儿，就立马被自己推翻了。

自己心里再苦，也不能表现在儿子身上，想到这里，他咬咬牙，从报刊亭买了最新一期的童话书。

他一路想了很久，该怎样对家人说呢？没办法，只有再瞒一天了，明天继续想办法。

这样想着，男人掏出了钥匙。

刚刚推开家门，儿子就冲过来抱住了自己的腿，大声说，爸爸，你回来了，我的作文又被当成范文朗读了，来，我读给你听！妻子则从厨房里端着一碟菜走了出来，说：“赶紧洗洗手吃饭吧”。

于是，一家人像往常一样温馨吃起了晚饭。

晚饭后，儿子开始给他朗读起自己的作文来《水在爸爸的肩头“唱歌”》。

在这篇作文中，儿子这样写道：我非常希望能像张明一样，有一个送水工的父亲。

每一个父亲的肩膀，都曾是儿子的“战场”，如今，孩子长大了，爸爸扛起一桶水，像扛起张明一样，咣当咣当的水花声，调皮地在自己的肩头‘唱歌’，这样的肩膀很健硕，这样的肩膀不寂寞。

”他灵机一动，儿子的作文正提醒了他，他恰巧可以趁此机会做一个送水工，苦是苦了点，但是，孩子乐意，又能下得了台，岂不是一举两得吗！第二天下班，他是满面笑容地扛着一桶水走进家门的，儿子高兴地向他竖起大拇指，说爸爸真棒！妻子也笑容可掬地拧了一下儿子的小脸说：“看，爸爸多疼你，为了满足你的愿望，把自己的工作都辞了！”儿子的眼泪，直在眼圈打转儿。

他赶紧呵斥妻子，说什么呢？看，都把孩子给弄哭了。

“爸爸，我这不是哭，我这是高兴的。

”儿子擦干了眼泪说。

尽管男人很累，但是，男人觉得很满足，妻子和儿子没有发现一丝异常的迹象。

男人从此就开始当了一名送水工，一干就是一年半，一年半后，他贷款在儿子的附近开了一家饭馆，由于靠近学区，生意逐渐做得风生水起，日子也逐渐过得殷实起来。

一天清晨，饭馆刚刚开门，邮递员就送来了一个厚厚的信封。

信封上写着儿子的名字，拆开一看，才知道是儿子的作文发表了。

顾不上准备饭菜，他就迫不及待地看起儿子的作文来。

儿子的这篇作文名字题为“有一种爱像海绵”。

文章没看完，他的泪就像泉眼一样汩汩地挂满了双颊。

儿子的作文最后一段是这样写的——一年以来，我和妈妈一直为自己那篇造假的作文感到不安，好在爸爸没有发现什么，只是我每次看到爸爸被汗水浸透的背心，我就会禁不住一阵阵心酸，我一直感觉，爸爸就像一块海绵……（选自《微型小说选刊》2010年第9期，有删改）（1）下列对小说有关内容的分析和概括，最恰当的两项是（5分）（）A．父亲下岗后，刻意对家人隐瞒了他下岗的事，以免家人担心，他想尽快找一个工作，支撑起这个困难的家。

B．妻子和孩子并不知道父亲下岗的事，父亲成功地骗过了家人，一家人像往常一样温馨地吃起了晚饭。

C．父亲心里清楚，他从小给孩子买童话杂志对孩子写作有一定的帮助，这也是他决定继续买这本杂志的原因。

D．儿子在作文中写到张明有一个做送水工的父亲，他很羡慕。

表明他希望自己的父亲也能够去做送水工。

E．儿子看到自己的父亲做了送水工，心里其实并不高兴，流下了伤心的泪水，但他很懂事，怕父亲会伤心，所以没有说出自己的真实想法。

（2）小说中的父亲具有什么样的性格？请简要概述。

（6分）（3）儿子的“作文”在小说中起到了什么作用？请简要分析。

（6分）（4）结合全文内容，谈谈像海绵一样的爱的内涵。

联系生活，谈谈你对这种爱的认识。

（8分）17、仿照下面的实例，另写三句话，要求使用比喻的修辞手法，句式与示例相同。

（6分）如果说生命是一杯咖啡，那么时间则是一块方糖，调味着人生；16、下列各句中，加点的成语使用不恰当的一项是（）（3分）A 母亲大学学的是冶金专业，后来一直从事相关工作。

陈宁从小耳濡目染．．．．明白了钢铁对一个国家发展的重要意义。

B 表演《天鹅湖》的演员们，动作娴熟，舞姿优美，对剧中人物的性格有深刻的理解，表演得出神入化．．．．，令人叹为观止。

C “日出江花红胜火，春来潮水绿如蓝。

”吟咏这脍炙人口．．．．的诗句，谁不为春回大地后祖国母亲多姿多彩的面貌而自豪！D 很高兴在这个充满浪漫气息的周末小聚，为了欢迎各位好友的光临，我们略备薄酒，借花献佛．．．．，希望各位开怀畅饮！18、（1）往往有这样的情况，经过的一些事情，淡忘了，而某个细节，如一句话，一个动作甚至一个眼神却记得很清楚；读过的一些文学作品，记不清了，而作品中的某个细节，或成语，或动作，或某个人物的肖像却记得很清楚。

请以“令人难忘的细节”为题，写一篇记叙文。

（2）阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。

（60分）朋友相聚，没说几句，分手时间到，“走了，走了。

”大家互相摆摆手，没有人犹豫，或迟疑，或慢一步走。

走了又回头的画面，早就已经成为历史镜头。

这个时代，有了电脑加网络，一切未免方便过了头。

无论在哪里，只要没忘记带个手提电脑，或可上网的手机，一按开电脑走进网络，你一言我一语，早上忘记告诉你的琐事，下午尚没说完的话题，继续聊下去。

想见面，也容易，打开电脑上装的那个摄像头吧，你看我边吃着苹果边和你说话，我看你边整理东西边对我言语，两个人都在一心二用。

方便方便，本来是让大家节省时间，生活悠闲的，可是我们竟然忙碌成那样子吗？读了这则材料，你有什么感悟和联想？要求选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要脱离材料内容及含意的范围作文，不要套作，不得抄袭。

阅读下面这首诗，完成8～9题。

岁暮①［唐］杜甫岁暮远为客，边隅还用兵。

烟尘犯雪岭②，鼓角动江城。

天地日流血，朝延谁请缨？济时敢爱死？寂寞壮心惊！［注］①本诗作于唐代宗广德元年（763）末，时杜甫客居阆州（今四川廊中）。

②雪岭：又名雪山，在成都（今四川成都）西。

雪岭临近松州、维州、保州（均在今四川成都西北），杜甫作本诗时，三州已被吐蕃攻占。

8. 诗人为什么会发出“寂寞壮心惊”的感慨？请结合全诗作简要分析。

（4分）答：9. 这首诗使用了多种表达技巧，请举出两种并作赏析。

（4分）答：第Ⅱ卷（共120分）11．把文言文阅读材料中画横线的句子翻译成现代汉语。

(10分)(1)侍郎李昶等交荐，擢刑部郎中。

奏陈十余事，多见采纳。

(5分)译：________________________________________________________(2)及骥如期往，诬骥后期，执而桎梏之，次日乃释。

(5分)译：________________________________________________________ 12.古诗文阅读（共8分）阅读下面一首诗，回答（1）—（2）题。

处士卢岵山居温庭筠西溪问樵客，遥识主人家。

古树老连石，急泉清露沙。

千峰随雨暗，一径入云斜。

日暮鸟飞散，满山荞麦花。

(1) 这首诗第三联写了什么景物？突出了怎样的意境？（3分）答：_________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ (2) 结合全诗，谈谈作者通过景物描写衬托出处士卢岵使怎样一个形象？表达了作者怎样的情感？（5分）答：_________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 13.古诗文默写（共10分）（1）__________，不尽长江滚滚来。

《登高》（2）__________，独留青冢向黄昏。

《咏怀古迹》（3）__________，以手抚膺坐长叹。

《蜀道难》（4）__________，非利足也，而致千里；__________，非能水也，而绝江河。

君子生非异也，__________。

《劝学》（5）__________，身死人手，为天下笑者，何也？__________。

《过秦论》（6）或百步而后止，或五十步而后止，__________，则何如？《寡人之于国也》（7）谨庠序之教，__________，斑白者不负戴于道路矣。

《寡人之于国也》四、现代文阅读（共20分）阅读下面文字，回答14—17题。

高一年级第二学期五月份测试语文试题姓名：___________ 班级：__________ 第Ⅰ卷（选择题，共30分）第Ⅱ卷（共120分）11．把文言文阅读材料中画横线的句子翻译成现代汉语。

(10分)(1)侍郎李昶等交荐，擢刑部郎中。

奏陈十余事，多见采纳。

(5分)译：________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________(2)及骥如期往，诬骥后期，执而桎梏之，次日乃释。

(5分)译：________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 12.古诗文阅读（共8分）阅读下面一首诗，回答（1）—（2）题。

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