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2017届山东省青岛二中高三上学期期末考试文科数学试卷及答案

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山东省青岛二中2011届高三上学期期末考试文科数学试题

山东省青岛二中2011届高三上学期期末考试文科数学试题

青岛二中2010-2011学年第一学期期末考试高三数学（文科）试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：（每小题5分，共60分）12＝ （ ）A ．1-+B ．1C ．12+ D ． 122-- 2．已知集合{|1),{|21}xM x x N x =<=>，则M N 等于（ ）A ．∅B ．{|0}x x <C ．{|1}x x <D ．{|01}x x <<3．在等差数列{}n a 中，若1594a a a π++=，则46tan()a a +等于（ ）A B ． 1 C D ．1- 4. 双曲线 22193x y -= 的两条渐近线与抛物线28y x =- 的准线所围成的三角形面积等于（ ）A ．B ．C ．3D 5．下列命题中，正确的是（ ）A ．命题“2,0x x x ∀∈-≤R ”的否定是“2,0x x x ∃∈-≥R ”； B ．若0a b <<,则11a b>； C ．“若a b ≤，则22am bm ≤”的逆命题为真；D ．在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件． 6．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（ ）A ．cos 2y x =B ．22cos y x = C ．)42sin(1π++=x y D ．22sin y x =7.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（ ）①,m n α⊥若//α，则m n ⊥ ②,,//αγβγαβ⊥⊥若则 ③//,//,//m n m n αα若则 ④//,//,m m αββγαγ⊥⊥若则 A.①的②B.②和③C.③和④D.①和④8. 函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是 （ ） A ．)2,1( B.)1,0( C ．),2(e D ．)4,3(9．若左下面的程序框图输出的S 是126，则①应为 （ ） A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤10．若点y x y x y x y x y x y x B 22,303282),(22--+⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥+则满足的最小值是（ ）A ．25-B ．3C ．5D ．511. 如右上图所示的曲线是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于（ ） A ．98 B ．910 C ．916 D ．4512. 若圆082422=---+y x y x 关于直线)0,0(022>>=-+b a by ax 对称，则12a b+的最小值为 （ ）A ．1B ．5C ．24D ．223+二、填空题：（每小题4分，共16分）13．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则抛物线的焦点坐标 是__________________．14． 设22,2()log (1),2xt t x f x x x ⎧⋅<⎪=⎨-≥⎪⎩且(2)1f =，则(f f 的值为 _______ ．EDCBAP俯视图侧视图正视图15．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且向量021=⋅PF PF ,则的值等于 ______ .16.设函数,1)32cos()(++=πx x f 有以下结论：①点5(,0)12π-是函数)(x f 图象的一个对称中心； ②直线3π=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴； ③函数)(x f 的最小正周期是π；④将函数)(x f 的图象向右平移6π个单位后，对应的函数是偶函数。

山东省青岛市2017年高三统一质量检测数学文试题(word版)

山东省青岛市2017年高三统一质量检测数学文试题(word版)

青岛市高三统一质量检测数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集2I {|9Z}x x x =<∈，，{12}A =，，{2,1,2}B =--，则 I ()A B =ðA ．{1}B ．{1,2}C ．{2}D ．{0,1,2}2. 已知z 是z 的共轭复数，若1i z =+（i 是虚数单位），则2z= A. 1i - B. 1i + C.i 1-+ D. i 1-- 3. 已知R λ∈,向量()()3,,1,2a b λλ==-，则“35λ=”是“a b ⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图， 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是,则8335用算筹可表示为A ．B ．C ．D ．5.已知输入的x 值为1，执行如右图所示的程序框图， 则输出的结果为A ．1B ．3C ．7D ．156. 已知1x >，1y >，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x y +有A ．最小值20B ．最小值200C ．最大值20 D．最大值200 7. 要得到函数2cos y x =的图象，只需将2sin()3y x π=-的图象A ．向右平移56π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移56π个单位 D ．向左平移3π个单位 中国古代的算筹数码纵式 横式2 3 14 5 6 7 8 9俯视图侧视图8. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体 的体积为A ．883π+B ．1683π+ C ．8163π+ D ．16163π+ 9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且(1)1f =，则(2017)f = A ．0 B ．1 C ．1- D ．2-10. 已知0,0,a b >>双曲线22122:1x y C a b-=,圆22223:204C x y ax a +-+=,若双曲线1C 的渐近线与圆2C 相切，则双曲线1C 的离心率是A ．3B．2 D第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数()ln(2)f x x =++的定义域为 ； 12. 已知变量x ,y 具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m = ；13. 若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为 ；14. 已知抛物线2:8C y x =,O 为坐标原点,直线x m =与抛物线C 交于,A B 两点, 若OAB ∆的重心为抛物线C 的焦点F ,则AF = ；15. 已知函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，设函数()()()F x f x g x =⋅，且函数()F x 的零点均在区间[,]a b （,,Z a b a b <∈）内，则b a -的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）某滑雪场开业当天共有500人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]五个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组.（Ⅰ）求开业当天所有滑雪的人年龄在[20,30)有多少人？（Ⅱ）在选取的这20人样本中，从年龄不低于30岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率.17．（本小题满分12分）已知函数()sin(2)cos(2)sin 236f x x x m x ππ=++++(R)m ∈,()212f π=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2b =，()2Bf =，ABC ∆的面求ABC ∆的周长.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，F 是棱PA 上的一个动点，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：平面BDF ⊥平面PCF ； （Ⅱ）若1AF =，求证：//CE 平面BDF ．19．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =,132,N n n S S n *+=+∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若18n n nnb a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）ABDEPF已知函数4()1,()ln af x xg x a x x=+-=，R a ∈. （Ⅰ）若函数()()()h x f x g x =-在[1,3]上为减函数，求a 的最小值； （Ⅱ）若函数3()(2)x p x x e =-⋅（ 2.718e =， e 为自然对数的底数），()()2g x q x x=+，对于任意的12,(0,1)x x ∈，恒有12()()p x q x >成立，求a 的范围．21．（本小题满分14分）已知椭圆:Γ2221x y a+=(1)a >的左焦点为1F ，右顶点为1A ，上顶点为1B ，过1F 、1A 、1B 三点的圆P 的圆心坐标为1(22． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+（,k m 为常数，0k ≠）与椭圆Γ交于不同的两点M 和N ． （ⅰ）当直线l 过(1,0)E ，且20EM EN +=时，求直线l 的方程；（ⅱ）当坐标原点O 到直线l 的距离为2，且M ON ∆面积为2时，求直线l 的倾斜角．青岛市高三统一质量检测数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D B C B D B C A B A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. (2,3)-； 12. 3.1； 13. 4； 14．5； 15．3． 三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设样本中年龄在[20,30)的频率为f ，频数为x则1(0.0250.020.0150.005)1010.650.35f =-+++⨯=-= ………………………2分则0.3520x=，得7x = 设所有滑雪的人年龄在[20,30)内有n 人，所以750020n =，解得175n =（人）………………………………………………………5分 （Ⅱ）[30,40)中的人数:200.02104⨯⨯=，分别记为1234,,,A A A A ； [40,50)中的人数:200.015103⨯⨯=，分别记为123,,,B B B[50,60]中的人数:200.005101⨯⨯=，记为1C则任选两人的情况有12131411121311{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A B A B A B A C232421222321{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A B A B A B A C3431323331{,},{,},{,},{,},{,}A A A B A B A B A C 41424341{,},{,},{,},{,}A B A B A B A C121311{,},{,},{,}B B B B B C 2321{,},{,}B B B C 31{,}B C 共28种 …………………………9分其中来自同一组有121314{,},{,},{,},A A A A A A 2324{,},{,},A A A A 34{,}A A1213{,},{,},B B B B 23{,}B B 共9种…………………………………………………………11分所以两个人来自同一组的概率为928P =…………………………………………………12分命题意图:本题考查分层抽样,频率分布直方图,古典概型问题。

2017山东高考文科数学真题(含答案)

2017山东高考文科数学真题(含答案)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

学.科.网答案写在试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；学.科.网如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设集合{}11M x x=-<，{}2N x x=<，则M N=（A）()1,1-（B）()1,2-（C）()0,2（D）()1,2（2）已知i是虚数单位,若复数z满足i1iz=+,则2z=(A)-2i ( B)2i (C)-2 (D)2（3）已知x,y满足约束条件250302x yxy-+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z=x+2y的最大值是(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3（4）已知3cos4x=,则cos2x=(A)14- (B)14(C)18- (D)18（5）已知命题p：,x∃∈R210x x-+≥;命题q：若22a b<,则a<b.下列命题为真命题的是(A)p q ∧ (B)p q ∧⌝ (C)p q ⌝∧ (D)p q ⌝∧⌝（6）执行右侧的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为（A ）3x > （B ）4x > （C ）4x ≤ （D ）5x ≤ （7）函数2cos2y x x =+最小正周期为（A ）π2（B ）2π3 （C ）π （D ） 2π（8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为（A ） 3,5 （B ） 5,5 （C ） 3,7 （D ）5,7（9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8（10）若函数()e x f x (e=2.71828 ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是（A ）()2xf x -= （B ）()2f x x = （C ）()-3x f x =（D ）()cos f x x = 第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分(11)已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ-,若a ∥b ,则λ= .(12）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 .(13）由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为.(14）已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6x f x -=,则f (919)= .(15）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.(16）(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率. (17）（本小题满分12分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .（18）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD ,（Ⅰ）证明：1AO ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.19.（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,z.x.x.k 讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为2,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学试题参考答案一、选择题(1) C (2) A (3) D (4) D (5) B (6) B (7) C (8) A (9) C (10) A 二、填空题（11）3- （12）8 （13）π22+（14）6 （15）2y x =± 三、解答题 （16）解：(Ⅰ)由题意知，从6个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：()()1213,,,,A A A A ()23,,A A ()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B ()()()121323,,,,,,B B B B B B 共15个,所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：()()()121323,,,,,,A A A A A A 共3个,学科&网则所求事件的概率为：()31155P A ==. (Ⅱ) 从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B 共9个,包括1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：()()1213,,,,A B A B 共2个.则所求事件的概率为：29P =. （17）解：因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-，又 3ABC S ∆=，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-， 又0A π<<所以34A π=，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得29823(292a =+-⨯⨯-=，所以a =（18）证明：（Ⅰ）取11B D 中点1O ，连接111,CO AO ，由于1111ABCD A BC D -为四棱柱， 所以1111//,=AO CO AO CO ，因此四边形11AOCO 为平行四边形，所以11//AOO C ，又1O C ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ，所以1//AO 平面11B CD ， （Ⅱ）因为 AC BD ⊥,E,M 分别为AD 和OD 的中点， 所以EM BD ⊥,又 1A E ⊥面ABCD ，BD ABCD ⊂平面所以1,A E BD ⊥因为 11//B D BD 所以11111EM B D A E B D ⊥⊥， 又 A 1E, EM 11,A EM A E EM E ⊂⋂=平面 所以11B D ⊥平面111,A EM B D ⊂又平面11B CD ， 所以 平面1A EM ⊥平面11B CD 。

山东省青岛市2017-2018学年高三上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析

山东省青岛市2017-2018学年高三上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析

2017-2018学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=3﹣x2，x∈R}，N={x|y=}，则M∩（∁U N）=（）A．（﹣∞，0） B． [0，3） C．（0，3] D．∅2．若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A． 2 B．﹣ C．﹣2 D．﹣13．圆（x﹣1）2+y2=1和圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能4．已知函数f（x）=e|lnx|，则函数y=f（x+1）的大致图象为（）A． B．C． D．5．下列：①k＞4是方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件；②把y=sinx的图象向右平移单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y=sin（2x﹣）的图象；③函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上为增函数；④椭圆+=1的焦距为2，则实数m的值等于5．其中正确的序号为（）A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 2 B． C． D．7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A． 2016 B． 2 C． D．﹣18．函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）9．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A． m≥4或m≤﹣2 B． m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜210．已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A． b＜a＜c B． c＜b＜a C． b＜c＜a D． a＜b＜c二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．设非负实数x，y满足x﹣y+1≥0且3x+y﹣3≤0，则z=4x+y的最大值为．12．观察式子1+＜，1++＜，1+++＜…则可归纳出关于正整数n（n ∈N*，n≥2）的式子为．13．椭圆+=1与双曲线﹣=1有公共的焦点F1，F2，则双曲线的渐近线方程为．14．若平面向量=（log2x，﹣1），=（log2x，2+log2x），则•＜0的实数x的集合为．15．f（x）=ax3﹣x2+x+1在（﹣∞，+∞）上恒为单调递增函数，则实数a的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知直线两直线l1：xcosα+y﹣1=0；l2：y=xsin（α+），△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=2，c=4，且当α=A时，两直线恰好相互垂直；（Ⅰ）求A值；（Ⅱ）求b和△ABC的面积．17．如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．18．如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．19．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，数列{b n}是等比数列，b1=，a5﹣1恰为S4与的等比中项，圆C：（x﹣2n）2+（y﹣）2=2n2，直线l：x+y=n，对任意n∈N*，直线l都与圆C相切．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*，c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n的值．20．已知g（x）=bx2+cx+1，f（x）=x2+ax﹣lnx+1，g（x）在x=1处的切线为y=2x（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若a=﹣1，求f（x）的极值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣g（x），是否存在实数a，当x∈（0，e]，（e≈2.718，为自然常数）时，函数h（x）的最小值为3．21．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．2014-2015学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=3﹣x2，x∈R}，N={x|y=}，则M∩（∁U N）=（） A．（﹣∞，0） B． [0，3） C．（0，3] D．∅考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合M，N，根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={y|y=3﹣x2，x∈R}={y|y≤3}，N={x|y=}={x|x≤0}，则∁U N={x|x＞0}，即M∩（∁U N）={x|0＜x≤3}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合M，N的等价条件是解决本题的关键．2．若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A． 2 B．﹣ C．﹣2 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求解实数a的值．解答：解：∵=是纯虚数，∴，解得：a=﹣2．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．圆（x﹣1）2+y2=1和圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，根据圆与圆的位置关系进行判断即可．解答：解：圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=9，则圆心为A（﹣1，﹣2）．半径r=3，则圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为B（1，0），半径R=1，则AB==，则3﹣1＜AB＜3+1，即两圆相交，故选：A点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，利用两圆圆心距离之间和半径之间的关系是解决本题的关键．4．已知函数f（x）=e|lnx|，则函数y=f（x+1）的大致图象为（）A． B．C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：将函数化为分段函数，先画函数f（x）的图象，而函数y=f（x+1）可由函数y=f（x）的图象向左平移1个单位得到，可选答案．解答：解：f（x）=e|lnx|=，f（x）的图象如图：函数y=f（x+1）可由函数y=f（x）的图象向左平移1个单位得到，选项D对应的图象为函数f（x）平移后的图象，故选：D．点评：本题以指数型复合函数为载体，考查了函数图象的变换，属于中档题．解题的关键是将函数化为分段函数的形式，利用函数的性质与函数的图象相结合来解题．5．下列：①k＞4是方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件；②把y=sinx的图象向右平移单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y=sin（2x﹣）的图象；③函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上为增函数；④椭圆+=1的焦距为2，则实数m的值等于5．其中正确的序号为（）A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0化为（x+k）2+（y+2）2=k2﹣3k﹣8，由k2﹣3k﹣4＞0，解得k＞4或k＜﹣1，即可判断出；②把y=sinx的图象向右平移单位可得y=，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y=sin（2x﹣）的图象；③x∈[0，]，可得∈，可得函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上不具有单调性；④椭圆+=1的焦距为2，则4﹣m=1或m﹣4=1，解得m=3或5．即可判断出．解答：解：①方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0化为（x+k）2+（y+2）2=k2﹣3k﹣8，由k2﹣3k﹣4＞0，解得k＞4或k＜﹣1，因此k＞4或k＜﹣1是方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件，因此不正确；②把y=sinx的图象向右平移单位可得y=，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y=sin（2x﹣）的图象，正确；③x∈[0，]，可得∈，因此函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上不为增函数，不正确；④椭圆+=1的焦距为2，则4﹣m=1或m﹣4=1，解得m=3或5．因此不正确．综上可得：只有②正确．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定、圆的一般式、三角函数变换及其单调性、椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 2 B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的几何特征，及几何体的形状，求出棱长、高等信息后，代入体积公式，即可得到答案．解答：解：由图可知该几何体是一个四棱锥其底面是一个对角线为2的正方形，面积S=×2×2=2，高为1则V==故选C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断该物体是一个底面为对角为2的正方形，高为1的四棱锥是解答本题的关键．7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A． 2016 B． 2 C． D．﹣1考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，不满足条件k ＜2016，退出循环，输出S的值为2．解答：解：执行程序框图，可得S=2，k=0满足条件k＜2016，S=﹣1，k=1满足条件k＜2016，S=，k=2满足条件k＜2016，S=2，k=3满足条件k＜2016，S=﹣1，k=4…观察可知S的取值周期为3，由2016=672×3满足条件k＜2016，S=，k=2015满足条件k＜2016，S=2，k=2016不满足条件k＜2016，退出循环，输出S的值为2．故选：B．点评：本题主要考察了程序框图和算法，观察取值规律得S的取值周期为3是解题的关键，属于基础题．8．函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：先判断函数在其定义域（0，+∞）上是增函数，f（1）•f（2）＜0，从而得出结论．解答：解：由于函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）在其定义域（0，+∞）上是增函数，f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（1，2），故选B．点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．9．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A． m≥4或m≤﹣2 B． m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．解答：解：≥2=8若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选D点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．10．已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A． b＜a＜c B． c＜b＜a C． b＜c＜a D． a＜b＜c考点：函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件求出函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，然后根据函数f（x+1）是偶函数，利用单调性即可判定出a、b、c的大小．解答：解：解：∵当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，∴当1＜x1＜x2时，f （x2）﹣f （x1）＞0，即f （x2）＞f （x1），∴函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，∵f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）关于x=1对称，∴a=f（﹣）=f（），又函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，∴f（2）＜f（）＜f（3），即f（2）＜f（﹣）=＜f（3），∴a，b，c的大小关系为b＜a＜c．故选：A．点评：本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数单调性的判断以及运用单调性比较函数值的大小，同时考查了函数的对称性的应用，是函数性质的一个综合考查．属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．设非负实数x，y满足x﹣y+1≥0且3x+y﹣3≤0，则z=4x+y的最大值为 4 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=﹣4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线经过点A（1，0）时，直线的截距最大，此时z最大，代入z=4x+y得最大值为z=4．故答案为：4点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．12．观察式子1+＜，1++＜，1+++＜…则可归纳出关于正整数n（n ∈N*，n≥2）的式子为1++…+＜．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：根据规律，左边是正整数n的平方的倒数和，右边是分子是正奇数，分母是正整数n，可以猜想结论．解答：解：根据规律，左边是正整数n的平方的倒数和，右边是分子是正奇数，分母是正整数n，可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有1++…+＜．故答案为：1++…+＜点评：本题考查的知识点是归纳推理其中分析已知中的式子，分析出两个式子之间的数据变化规律是解答的关键．13．椭圆+=1与双曲线﹣=1有公共的焦点F1，F2，则双曲线的渐近线方程为y=x ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆的焦点，可得双曲线的c=2，再由双曲线的a，b，c的关系可得b=1，再由双曲线的渐近线方程即可得到．解答：解：椭圆+=1的焦点为（±2，0），则双曲线的c=2，即有3+b2=4，解得，b=1．则双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=x．故答案为：y=x．点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．14．若平面向量=（log2x，﹣1），=（log2x，2+log2x），则•＜0的实数x的集合为（，4）．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据•＜0，得到不等式组，解出即可．解答：解：∵•=﹣﹣2＜0，∴（﹣2）（+1）＜0，∴﹣1＜＜2，∴＜x＜4，故答案为：（，4）．点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了对数函数的性质，是一道基础题．15．f（x）=ax3﹣x2+x+1在（﹣∞，+∞）上恒为单调递增函数，则实数a的取值范围[1，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：已知函数f（x）=ax3﹣x2+x+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，对其进行求导转化成f′（x）≥0在x∈R恒成立，从而求解；解答：解：∵函数f（x）=ax3﹣x2+x+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3ax2﹣2x+≥0，在x∈R恒成立，∴a＞0，△=4﹣4×3a×≤0，∴a≥1，故答案为：[1，+∞）．点评：此题主要考查函数的单调性与导数的关系，将问题转化为二次函数的恒成立，是一道中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知直线两直线l1：xcosα+y﹣1=0；l2：y=xsin（α+），△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=2，c=4，且当α=A时，两直线恰好相互垂直；（Ⅰ）求A值；（Ⅱ）求b和△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由α=A，表示出两直线的斜率，由两直线垂直时斜率乘积为﹣1列出关系式，整理求出A的值即可；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，把a，c，cosA的值代入求出b的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（Ⅰ）当α=A时，直线l1：xcosα+y﹣1=0；l2：y=xsin（α+）的斜率分别为k1=﹣2cosA，k2=sin（A+），∵两直线相互垂直，∴k1k2=﹣2cosAsin（A+）=﹣1，即cosAsin（A+）=，整理得：cosA（sinA+cosA）=，即sinAcosA+cos2A=，化简得：sin2A+=，即sin2A+cos2A=sin（2A+）=，∵0＜A＜π，即0＜2A＜2π，∴＜2A+＜，∴2A+=，即A=；（Ⅱ）∵a=2，c=4，A=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccos，即12=b2+16﹣4b，解得：b=2，则S△ABC=bcsinA=×4×2×=2．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，先求出80～90分数段频率，即可求出N，再用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在90～95上的频率，继而期初该段的人数（Ⅱ）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可解答：解：（Ⅰ）80～90分数段频率为P1=（0.04+0.03）×5=0.35，此分数段的学员总数为21人所以毕业生，的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为P1=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1所以90～95分数段内的人数n=60×0.1=6，（Ⅱ） 90～95分数段内的6人中有两名男生，4名女生设男生为1，2；女生为3，4，5，6，设安排结果中至少有一名男生为事件A从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种组合方式，每种组合发生的可能性是相同的，其中，至少有一名男生的种数为12，13，14，15，16，23，24，25，26共9种所以，P（A）==点评：本题主要考查频率分布直方图、等可能事件的概率，属基础题．18．如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结BD，由已知得BC⊥DE，BC⊥PD，从而BC⊥平面PDE，由此能证明平面PBC⊥平面PDE．（Ⅱ）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，从而△AOB∽△COD，AB=DC，进而△CPA中，AO=AC，由PF=，得OF∥PA，由此得到当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF．解答：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，DA=，所以BD=DC=2a，E为BC中点，所以BC⊥DE，…（3分）又因为PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，因为DE∩PD=D，…（4分），所以BC⊥平面PDE，…（5分）因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．…（6分）（Ⅱ）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF，…（7分）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD，AB=DC，所以△CPA中，AO=AC，…（10分）而PF=，所以OF∥PA，…（11分）而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，所以PA∥平面BDF．…（12分）点评：本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定与证明，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．19．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，数列{b n}是等比数列，b1=，a5﹣1恰为S4与的等比中项，圆C：（x﹣2n）2+（y﹣）2=2n2，直线l：x+y=n，对任意n∈N*，直线l都与圆C相切．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*，c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n的值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆C：（x﹣2n）2+（y﹣）2=2n2的圆心到直线l：x+y=n的距离等于半径得到数列递推式，n∈N*，然后由求得数列的通项公式；设等比数列{b n}的公比为q，由a5﹣1恰为S4与的等比中项求得，代入等比数列的通项公式求得{b n}的通项公式；（Ⅱ）把数列{a n}，{b n}的通项公式代入c n=a n b n，由错位相减法求得{c n}的前n项和T n的值．解答：解：（Ⅰ）圆C：（x﹣2n）2+（y﹣）2=2n2的圆心为（），半径为，对任意n∈N*，直线l：x+y=n都与圆C：（x﹣2n）2+（y﹣）2=2n2相切．∴圆心（）到直线l：x+y﹣n=0的距离d为．∴，得．∴，n∈N*，当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，．综上，对任意n∈N*，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1．设等比数列{b n}的公比为q，∴，a5﹣1恰为S4与的等比中项，a5=9，S6=16，，∴，解得．∴；（Ⅱ）∵，∴．两式相减得．即：．=．=∴．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了数列递推式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20．已知g（x）=bx2+cx+1，f（x）=x2+ax﹣lnx+1，g（x）在x=1处的切线为y=2x（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若a=﹣1，求f（x）的极值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣g（x），是否存在实数a，当x∈（0，e]，（e≈2.718，为自然常数）时，函数h（x）的最小值为3．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得2b+c=2，b+c+1=2，解得b，c即可；（Ⅱ）求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，即可得到极值；（Ⅲ）求出h（x）的导数，讨论①当a≤0时，②当0＜a≤时，当a＞，通过单调性判断函数的最值情况，即可判断是否存在．解答：解：（1）g（x）=bx2+cx+1的导数为g′（x）=2bx+c，g（x）在x=1处的切线斜率为2b+c，由g（x）在x=1处的切线为y=2x，则2b+c=2，b+c+1=2，解得b=1，c=0；（Ⅱ）若a=﹣1，则f（x）=x2﹣x﹣lnx+1，定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x﹣1﹣==，令f′（x）=0，解得x=1，当x＞1，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=1处，f（x）取得极小值，且为f（x）极小=f（1）=1，（Ⅲ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+ax﹣lnx+1﹣（x2+1）=ax﹣lnx，假设存在实数a，使h（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，h有最小值3，h′（x）=a﹣，①当a≤0时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，e]上单调递减，h（x）min=h（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去），②当a＞0时，h′（x）=a﹣=，（i）当0＜a≤时，≥e，h′（x）＜0在（0，e]上恒成立，所以（x）在（0，e]上单调递减，h（x）min=h（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去），（ii）当a＞时，0＜＜e，当0＜x＜时，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，）上递减，当＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（，e）上递增，所以，h（x）min=h（）=1+lna=3，所以a=e2满足条件，综上，存在a=e2使当x∈（0，e]，（e≈2.718，为自然常数）时，函数h（x）的最小值为3．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查存在性问题的解法，考查运算能力，属于中档题．21．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．考点：圆锥曲线的综合；向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得椭圆C2的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合，从而可求λ1、λ2的值，即可得证；（Ⅲ）设P，Q的坐标，利用，确定S的坐标，利用及P，Q在椭圆上，即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，得：，解得p=2，∴抛物线C1：y2=4x；由椭圆C2：的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上，可得：a2=1，c2=1，∴a=c=1，则b==，∴椭圆C2：；（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，﹣k），直线与抛物线联立，消元可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1x2=1，∵，∴λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2，∴，，∴λ1+λ2==﹣1为定值；（Ⅲ）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P′（x3，0），Q′（x4，0），∵，∴S（x3+x4，y3+y4），∵，∴2x3x4+y3y4=﹣1 ①，∵P，Q在椭圆上，∴②，③，由①+②+③得（x3+x4）2+=1．∴点S在椭圆C2上．点评：本题考查了抛物线与椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是设点的坐标，然后联立方程，利用向量知识求解，是压轴题．。

高三文1

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青岛二中高三阶段性检测数学试题（文科）满分：150分 时间：120分钟第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集R U =，集合}31|{≤<=x x A ，}2|{>=x x B ，则B C A U I 等于（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x ≤< C ．{|12}x x ≤≤ D ．{|13}x x ≤≤ 2．下列命题中，真命题是（ ）A ．R x ∈∃，使得2cos sin =+x xB ．),0(π∈∀x ，有x x cos sin >C ．R x ∈∃，使得22-=+x x D ．),0(+∞∈∀x ，有x e x+>13．设三个数21log 31=a ，32log 31=b ，34log 3=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．c a b << D ．a c b <<4．已知41)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为（ ）A ．87B ．169C ．1615D ．1615±5．若函数xxaka x f --=)()10(≠>a a 且在),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，则函数)(log )(k x x g a +=的图象是（ ）6．要得到函数)32cos()(π+=x x f 的图象，只需将函数)32sin()(π+=x x g 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度7．设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)()1(x f x y '-=的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)1(fB ．函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)1(fC ．函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)2(-fD ．函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)2(f8．若),4(ππα∈，且)4sin(42cos 3απα-=，则α2sin 的值为（ ）A ．79B ．19-C ．79- D ．199．函数x x x f 21log 2sin3)(-=π的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．定义在R 上的奇函数)(x f 和定义在}0|{≠x x 上的偶函数)(x g 分别满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-=)1(1)10(12)(x x x x f x ，)0(log )(2>=x x x g ，若存在实数a ，使得)()(b g a f =成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．]21,0()0,21[Y - C ．]2,21[]21,2[Y -- D ．),2[]2,(+∞--∞Y第II 卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．函数)1ln(4)(2--=x xx f 的定义域是 ．12．已知31)3sin(=+πα，且α为三角形一内角，则)6cos(πα+的值等于 ．13．已知角ϕ的终边经过点)2,1(-P ，函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象的相邻两条对称轴之间的距离为3π，则)12(πf ＝__________．14．若不等式)0(1|ln |3>≥-m x mx ，对]1,0(∈∀x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 15．给出下列命题：① 函数)23sin(x y +=π是偶函数；②函数)42cos(π+=x y 图象的一条对称轴方程为8π=x ；③对于任意实数x ，有)()(x f x f -=-，)()(x g x g =-，且0>x 时，0)(>'x f ，0)(>'x g则0<x 时，)()(x g x f '>'；④若对R x ∈∀，函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则4是该函数的一个周期．其中真命题的序号为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知0>a ，且1≠a ，设p ：函数xa y =在R 上递减；q ：函数12)(2--=ax x x f 在),21(+∞上为增函数，若“p 且q”为假，“p 或q”为真，求实数a 的取值范围． 17．（本小题满分12分） 已知())2,0(,54sin πααπ∈=-． （I ）求2cos2sin 2αα-的值；（II ）求函数x x x f 2cos 212sin cos 65)(-=α的单调递减区间．18．（本小题满分12分）已知函数1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f ．（I ）求)(x f 的最小正周期； （II ）求)(x f 在区间]4,6[ππ-上的最大值与最小值．19．（本小题满分12分） 已知函数x ax x x f 221ln )(2--=（0<a ）． （I ）若函数)(x f 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （II ）若21-=a ，且关于x 的方程b x x f +-=21)(在]4,1[上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a -=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=． （I ）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（II ）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内有解，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分14分） 已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x ． （I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立； （III ）已知b a <<0，求证：222ln ln ba aa b a b +>--．参考答案：一、1-5ADBAC 6-10CDBDC二、11.}21|{<<x x ;12.6621-;13.1010-;14.231e m ≥;15.①③④ 三、解答题16、解：若p 为真，则10<<a ；若q 为真，则二次函数的对称轴a x =在区间),21(+∞的左侧，即21≤a 因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”， 1.当“p 真q 假”时，a 的取值范围为121<<a ； 2.当“p 假q 真”时，a 无解．所以实数a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121a a17、18、解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以 于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1．19、解：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0，)0(12)(2>-+-='x xx ax x f ，依题意0)(≥'x f 在0>x 时恒成立，则1)11(2122--=-≤x x x a 在0>x 时恒成立，即[])0(1)11(min 2>--≤x xa ， 当1=x 时，1)11(2--x 取最小值-1，所以a 的取值范围是(]1,-∞-（Ⅱ）21-=a ，由b x x f +-=21)(得0ln 23412=-+-b x x x 在[]4,1上有两个不同的实根，设[]4,1,ln 2341)(2∈+-=x x x x x gxx x x g 2)1)(2()(--='，[)2,1∈x 时，0)(<'x g ，(]4,2∈x 时，0)(>'x g 22ln )2()(min -==g x g ，22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ，0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g <则⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈45,22ln b21、解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ， ∴211)1(-=+-=-ab f ， 化简得4-=-a b . 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='， 12424)(22)1(-===-+=-'b b a b a f ，解得：2,2-==b a .∴122)(2+-=x x x f . （Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立， 化简22ln )1(2-≥+x x x ，即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ， ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ， ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h ，∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立（Ⅲ）∵b a <<0， ∴1b a >，由（Ⅱ）知有222ln ()1b ba b a a->+，整理得222ln ln b a a a b a b +>--，∴当ba <<0时，222ln ln b a aa b a b +>--.。

2017-2018年山东省青岛二中高三(上)期末数学试卷(文科)及参考答案

2017-2018年山东省青岛二中高三(上)期末数学试卷(文科)及参考答案

2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则（∁R A）∩B（）A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞）B．[﹣1，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则等于（）A．2B．2i C．﹣2i D．03．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的充要条件是（）A．=﹣B．∥且方向相同C．=2D．∥且||=||4．（5分）对于0＜a＜1，0＜b＜1，给出下列四个不等式①log a（a+b）＜log a（a+）②log a（a+b）＞log a（a+）③b a+b＜b④b a+b＞b，其中成立的是（）A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f （x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）6．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于x=对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数7．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2015，其前n项和为S n，若，则S2018的值等于（）A．4036B．2018C．2 017D．﹣2 017 8．（5分）执行该程序框图（如图），若输出的S=3，则输入k的值为（）A．4.5B．6C．9D．129．（5分）直线l：x﹣2y﹣5=0过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．10．（5分）刍薨（chuhong），中国古代算术中的一种几何体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”．如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A．24B．32C．64D．3211．（5分）设点（a，b）是区域内的任意一点，则使函数f（x）=ax2﹣2bx+3在区间[，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列{a n}，则该数列的通项公式为（）A．a n=B．a n=n﹣1C．a n=（n﹣1）2D．a n=2n﹣2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．14．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．15．（5分）《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，•……则按照以上规律，若8具有“穿墙术”，则n=．16．（5分）正四面体A﹣BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是△ABC与△ACD的重心，则球O截直线MN所得的弦长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）（Ⅰ）证明数列{a n+1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2（a n+1），求数列{}的前n项和S n．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分别是PC和BD 的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如表资料（Ⅰ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率．（Ⅱ）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）所得的线性回归方程是否可靠？20．（12分）已知A、B分别为曲线C：与x轴的左右两个交点，直线l过点B且x轴垂直，M为l上的一点，连结AM交曲线C于点T．（Ⅰ）当a=1时有=2，求点T坐标；（Ⅱ）点M在x轴上方，若a＞1，△ABM的面积为2，当△TAB的面积的最大值为时，求曲线C的离心率e的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3=0距离的最小值为2，求a 的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设a=，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．请考生在22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式证明选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则（∁R A）∩B（）A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞）B．[﹣1，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，x∈R，得到y∈[﹣1，1]，∴A=[﹣1，1]，∴∁R A=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由集合B中的函数y=lgx，得到x＞0，∴B=（0，+∞），则（∁R A）∩B=（1，+∞）．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则等于（）A．2B．2i C．﹣2i D．0【解答】解：∵=，∴，则=1﹣i﹣（1+i）=﹣2i．故选：C．3．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的充要条件是（）A．=﹣B．∥且方向相同C．=2D．∥且||=||【解答】解：若非零向量、使=成立⇔⇔与共线且方向相同，故选：B．4．（5分）对于0＜a＜1，0＜b＜1，给出下列四个不等式①log a（a+b）＜log a（a+）②log a（a+b）＞log a（a+）③b a+b＜b④b a+b＞b，其中成立的是（）A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④【解答】解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴b＜，在①中，log a（a+b）＞log a（a+），故①错误；在②中，log a（a+b）＞log a（a+），故②正确；在③中，b a+b＞b，故③错误；在④中，b a+b＞b，故④正确．故选：D．5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f （x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）【解答】解：∵y=f（x+8）为偶函数，∴f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又∵f（x）在（8，+∞）上为减函数，∴f（x）在（﹣∞，8）上为增函数．由f（8+2）=f（8﹣2），即f（10）=f（6），又由6＜7＜8，则有f（6）＜f（7），即f（7）＞f（10）．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于x=对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数【解答】解：f（x）=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣1﹣cos2x=2sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可得T==π，选项A正确；由2x﹣=kπ+可得x=+，k∈Z，故当k=0时，可得函数一条对称轴为x=，选项B正确；g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到y=2sin2（x﹣）﹣1=2sin（2x ﹣）﹣1的图象，而不是f（x）=2sin（2x﹣）﹣1的图象，选项C错误；由kπ﹣≤2x﹣≤kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，显然f（x）在区间[0，]上是增函数，选项D正确．故选：C．7．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2015，其前n项和为S n，若，则S2018的值等于（）A．4036B．2018C．2 017D．﹣2 017【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由，得，即，∴a12﹣a10=4，则2d=4，d=2．∴S2018==4036．故选：A．8．（5分）执行该程序框图（如图），若输出的S=3，则输入k的值为（）A．4.5B．6C．9D．12【解答】解：n=1时，满足循环的条件，n=2，S=n=2时，满足循环的条件，n=3，S=n=3时，满足循环的条件，n=4，S=n=4时，不满足循环的条件，故=3，解得：k=12，故选：D．9．（5分）直线l：x﹣2y﹣5=0过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：直线l：x﹣2y﹣5=0经过点（5，0），可得c=5，即a2+b2=25，①由题意可得直线l平行于渐近线y=x，可得=，②由①②解得a=2，b=，则双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10．（5分）刍薨（chuhong），中国古代算术中的一种几何体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”．如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A．24B．32C．64D．32【解答】解：由三视图可知，几何体由两个等腰梯形和两个三角形组成，几何体高为4，由主视图可知三角形面的高为，由侧视图可知梯形面的高为，∴几何体（无底）的表面积为=32，故选：B．11．（5分）设点（a，b）是区域内的任意一点，则使函数f（x）=ax2﹣2bx+3在区间[，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图若f（x）=ax2﹣2bx+3在区间[，+∞）上是增函数，则，即，则A （0，4），B （4，0），由得，即C （，），则△OBC 的面积S==． △OAB 的面积S=4=8．则使函数f （x ）=ax 2﹣2bx +3在区间[，+∞）上是增函数的概率P==，故选：A ．12．（5分）已知函数f （x ）=，把函数g （x ）=f （x ）﹣x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列{a n }，则该数列的通项公式为（ ） A ．a n =B ．a n =n ﹣1C ．a n =（n ﹣1）2D ．a n =2n ﹣2【解答】解：当x ≤0时， 令f （x ）=x ，即2x ﹣1=x ； 解得，x=0； 当0＜x ≤1时，令f （x ）=x ，即f （x ﹣1）+1=x ； 即f （x ﹣1）=x ﹣1； 故x ﹣1=0；故x=1；当n﹣1＜x≤n时，令f（x）=x，即f（x﹣1）+1=x；即f（x﹣2）+2=x，即f（x﹣3）+3=x；…即f（x﹣n）+n=x；即f（x﹣n）=x﹣n；故x﹣n=0；故x=n；故函数g（x）=f（x）﹣x的零点为0，1，2，3，4，5，…，n﹣1，…；故其通项公式为a n=n﹣1；故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．【解答】解：∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案为14．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．15．（5分）《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，•……则按照以上规律，若8具有“穿墙术”，则n=63．【解答】解：因为2==，3==，4==，==，则8===，故答案为63．16．（5分）正四面体A﹣BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是△ABC与△ACD的重心，则球O截直线MN所得的弦长为4．【解答】解：正四面体A﹣BCD可补全为棱长为6的正方体∴球O是正方体的外接球，其半径R=，设正四面体的高为h，则h==4，故OM=ON==，又MN=，∴O到直线MN的距离为=，因此球O截直线MN所得的弦长为：2=4．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）（Ⅰ）证明数列{a n+1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2（a n+1），求数列{}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）证明：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*），+1=2（a n+1），a1+1=2，∴a n+1∴数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：∵b n=log2（a n+1）=n，∴==，∴T n=1﹣=1﹣=．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分别是PC和BD 的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（1）如图，连接AC，四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必过F，又E是PC中点，所以EF∥AP，∵EF在面PAD外，PA在面PAD内，∴EF∥面PAD．证明：（2）∵平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD又AD⊂面PAD，∴CD⊥面PAD，又CD在面PCD内，∴面PCD⊥面PAD．解：（3）取AD中点O，连接PO，因为平面PAD⊥平面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．∵AD=2，∴PO=1，∴V=PO×AB×AD=．19．（12分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如表资料（Ⅰ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率．（Ⅱ）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）所得的线性回归方程是否可靠？【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件共有C52=10种结果，满足条件的事件是事件“m，n均小于25”的只有1个，∴要求的概率是p=．（II）∵，∴b==∴a=27﹣，∴所求的线性回归方程是y=（III）当x=10时，y=22，当x=8时，y=17，与检验数据的误差是1，满足题意，被认为得到的线性回归方程是可靠的．20．（12分）已知A、B分别为曲线C：与x轴的左右两个交点，直线l过点B且x轴垂直，M为l上的一点，连结AM交曲线C于点T．（Ⅰ）当a=1时有=2，求点T坐标；（Ⅱ）点M在x轴上方，若a＞1，△ABM的面积为2，当△TAB的面积的最大值为时，求曲线C的离心率e的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，曲线为x2+y2=1，设M（1，m），T（x0，y0），由A（﹣1，0），B（1，0），可得=（x0+1，y0），=（1﹣x0，m﹣y0），=2，可得x0+1=2（1﹣x0），解得x0=，代入方程x02+y02=1，解得y0=±，即T（，）或（，﹣），（Ⅱ）a＞1时，曲线C为椭圆，且A（﹣a，0），B（a，0），且交点M（a，2ak），k为直线AT的斜率，且k＞0，S△MAB=•2a•2ak=2a2k=2，可得k=，由可得y T=，S△TAB=•2a•=，由≤，可得1＜a2≤2，由e2==1﹣≤，可得离心率的范围是（0，]．21．（12分）设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3=0距离的最小值为2，求a 的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设a=，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设函数y=a2x2（a＞0）图象上任意一点为P（x0，a2x02），则点P到直线x﹣y﹣3=0的距离为d==，当x0﹣=0，即x0=时，d min=由==，解得a2=，或a2=，又因为抛物线f（x）=a2x2（a＞0）与直线x﹣y﹣3=0相离，由，得a2x2﹣x+3=0，故△=1﹣12a2＜0，即a2＞，所以a2=，即a=．（2）解法一：不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，等价于（1﹣a2）x2﹣2x+1＞0恰有三个整数解，故1﹣a2＜0，令h（x）=（1﹣a2）x2﹣2x+1由h（0）=1＞0且h（1）=﹣a2＜0（a＞0），所以函数h（x）=（1﹣a2）x2﹣2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间[﹣3，﹣2）内，所以，解之得≤a＜，故所求a的取值范围为[，]．解法二：（1﹣a2）x2﹣2x+1＞0恰有三个整数解，故1﹣a2＜0，即a＞1，因为（1﹣a2）x2﹣2x+1=[（1﹣a）x﹣1][（1+a）x﹣1]＞0，所以＜x＜，又因为0＜＜1，所以﹣3≤＜﹣2，解之得≤a＜．（3）设F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣elnx，则F′（x）=x﹣==所以当0＜x＜时，F′（x）＜0；当x＞时，F′（x）＞0．因此x=时，F（x）取得最小值0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为y﹣=k（x﹣），即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k，在x∈R恒成立，则x2﹣2kx﹣e+2k≥0在x∈R恒成立．所以△=4k2﹣4（2k﹣e）=4k2﹣8k+4e=4（k﹣）2≤0恒成立，因此k=．下面证明g（x）≤x﹣（x＞0）恒成立．设G（x）=elnx﹣x+，则G′（x）=﹣=．所以当0＜x＜时，G′（x）＞0；当x＞时，G′（x）＜0．因此x=时G（x）取得最大值0，则g（x）≤x﹣（x＞0）成立．故所求“分界线”方程为：y=x﹣（x＞0）．请考生在22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（2）将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0，设A，B两点对应的参数分别t1，t2，则t1+t2=，t1t2=﹣，|AB|=|t1﹣t2|===，所以当α=时，|AB|的最小值为4．[选修4-5：不等式证明选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数可化为，∴f（x）∈[﹣3，3]（5分）（Ⅱ）若x＞0，则，即当ax2=3时，，又由（Ⅰ）知∴f（x）max=3（8分）若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，即g（x）min≥f（x）max，∴，∴a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．（10分）。

2017-2018学年山东省青岛市城阳区高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年山东省青岛市城阳区高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年山东省青岛市城阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）z为虚数，i为虚数单位，若＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合，则下列说法错误的是（）A．A∩B＝{x∈R|x＞1}B．∁R B＝[0，1]C．A∪B＝R D．（∁R A）∩B＝∅3．（5分）数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a2＝48，S5＝225，则S n的最大值为（）A．477B．456C．459D．4324．（5分）阅读框图，输出的结果为（）A．B．C．D．5．（5分）在平面直角坐标系中，动点，，则z的最大值为（）A．0B．C．1D．6．（5分）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为3，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．7．（5分）已知a∈{﹣1，0，1，2}，b∈{﹣1，0，1}，则对任意实数x∈R，不等式ax2﹣ax+b ≥0恒成立的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）三棱锥P﹣ABC，PC⊥平面ABC，底面△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PC ＝4，则P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．288πB．96πC．48πD．24π9．（5分）已知函数对称中心和最近的对称轴之间的距离为，将f（x）图象向左平移个单位，所得新函数g（x）的解析式为（）A．B．C．D．10．（5分）抛物线y2＝﹣4x的焦点恰好是双曲线的实轴端点，又双曲线的离心率为2，则实数n的值为（）A．1B．C．﹣3D．11．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，的通项公式是（）A．B．C．D．12．（5分）已知集合，若P∩Q≠∅，则实数m的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．（5分）已知向量的夹角等于．14．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊂α，n⊂β，则m⊥n是α⊥β的必要条件；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n．其中错误命题的序号是．（把所有错误命题的序号都填上）15．（5分）已知函数f（x）＝2|x|+x2+1，且f（2m﹣1）＜f（3），则实数m的取值范围是．16．（5分）函数，函数，已知函数g（x）的图象在x ＝1处恰好与函数h（x）的图象相切，则a+b＝．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求选择其一解答．17．（12分）已知，角C是△ABC中的锐角，且f（C）＝0（I）求角C的值；（II）若a，b，c分别是角A，B，C 的对边，且，求a和b的值．18．（12分）某校成立了数学奥赛集训队，男女同学共20人，对男女队员历次模拟平均成绩分布情况统计如表：（I）历次模拟平均成绩在70分以上的认为是“具有潜力”的选手，否则认为“不具潜力”请运用独立性检验的知识，对男女两个分类，针对是否具有潜力填写下列4*4列联表，请计算K2的观测值，并对照以下临界值表，分析说明是否有95%的把握认为是否具有潜力与性别有关．4*4列联表（Ⅱ）集训队参加正式比赛前一阶段时间内，需要进行5次模拟训练，现已知某队员的前四次模拟考试成绩列表为设考试次序为x，对应模拟考试成绩为y，试运用所学知识，求y与x之间的关系式；并预测该考生第5次考试的考试分数．19．（12分）已知ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2BC＝4，PB与平面PDC所成的角为θ，且．（I）求证：平面P AB⊥平面PBD；（Ⅱ）求三棱锥B﹣P AC的体积．20．（12分）动圆P过内切；直线l：y＝x+m．（I）求动圆圆心P的轨迹C的标准方程；（II）设直线l与轨迹C交于A、B两点，G为A、B的中点，T（1，0），是否存在实数m，使∠ATG＝∠BTG成立？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知f（x）＝ax﹣（2a+1）lnx﹣，其中a∈R（I）分析判断函数f（x）在定义域上的单调性情况；（II）若0＜a＜，证明：方程ax﹣（2a+1）lnx﹣上没有零根．（其中e为常数，e约为2.7182…）请考生在第22，23两题中任选一道作答．注意：只能做所选的题目．如果都做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡时将所选题号后的方框涂黑．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）22．（10分）在以O为原点，以x轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线C1的方程为：；在平面直角坐标系，曲线C2的方程为（其中θ为参数）（I）把曲线C1化为普通方程，说明所表示的曲线是什么；把点A用极坐标表示出来；（Ⅱ）求点A到曲线C2上点的最小距离；判断C1和C2的位置关系，如相交，求出相交弦的长．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|﹣|ax+1|．（I）设a＝1，解不等式f（x）＞1；（Ⅱ）设a＝2，若不等式f（x）﹣2m≤6m2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年山东省青岛市城阳区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由z（1+i）＝2i，得，则．故选：B．2．【解答】解：A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜0，或x＞1}；∴A∩B＝{x|x＞1}，∁R B＝[0，1]，A∪B＝R，∁R A＝{x|x＜0}，（∁R A）∩B＝{x|x＜0}；∴D错误．故选：D．3．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，a2＝48，S5＝225，∴，∴，解可得，d＝﹣3，a1＝51∴S n的＝51n+＝，当n＝16或n＝18时，和有最大值459，故选：C．4．【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序是计算并输出S＝+++…+的值，∴S＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故选：B．5．【解答】解：约束条件的可行域如图：由，解得A（﹣1，3），由图形可知2x+y＝u，结果可行域的A时，取得最小值：﹣2+3＝1．动点，，所以z的最大值为：．故选：A．6．【解答】解：如图，不妨双曲线的焦点坐标在x轴上，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：＝⇒＝＝2．则该双曲线的离心率为：2．故选：A．7．【解答】解：∵a∈{﹣1，0，1，2}，b∈{﹣1，0，1}，∴基本事件总数n＝4×3＝12，∵对任意实数x∈R，不等式ax2﹣ax+b≥0恒成立，∴或，∴满足条件的（a，b）有：（0，0），（0，1），（1，1），（2，1），∴对任意实数x∈R，不等式ax2﹣ax+b≥0恒成立的概率为p＝．故选：C．8．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC，PC⊥平面ABC，底面△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PC＝4，∴以CA，CB，CP为棱构造长方体，这个长方体的外接球即为P﹣ABC的外接球，∴P﹣ABC的外接球的半径R＝＝＝，∴P﹣ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×6＝24π．故选：D．9．【解答】解：∵函数＝﹣cos（2ωx+）＝sin2ωx的对称中心和最近的对称轴之间的距离为，∴•＝，∴ω＝1，f（x）＝sin2x．将f（x）图象向左平移个单位，所得新函数g（x）＝sin（2x+）的图象，故选：A．10．【解答】解：抛物线y2＝﹣4x的焦点为（﹣1，0），由题意可得a＝1，则双曲线中的m＝1，双曲线的离心率等于2，即有e＝＝2，解得c＝2，m﹣＝4，解得n＝，故选：D．11．【解答】解：根据题意，数列{a n}中，S n＝3×2n﹣3；当n＝1时，a1＝S1＝3×2﹣3＝3，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（3×2n﹣3）﹣（3×2n﹣1﹣3）＝3×2n﹣1，当n＝1时，a1＝3满足a n＝3×2n﹣1，故a n＝3×2n﹣1，故选：B．12．【解答】解：集合P＝表示以原点为圆心，半径为的半圆（位于x轴下方的部分），集合Q表示斜率为1的一条直线；若P∩Q≠∅，则直线和半圆有交点，如图：当直线和半圆相切时，由得，m＝﹣2，或m＝2（舍去）；当直线过点时，，∴；∴实数m的取值范围为．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．【解答】解：由（2+）•＝2得2•+2＝2∴2×1×2cosθ+4＝2∴cosθ＝∴14．【解答】解：α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故①错误；若m⊂α，n⊂β，m⊥n不能退出α⊥β，反之也不成立，故②错误；若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n或m，n相交或异面，故③错误．故答案为：①②③．15．【解答】解：根据题意，对于函数f（x）＝2|x|+x2+1，其定义域为R，有f（﹣x）＝2|﹣x|+（﹣x）2+1＝2|x|+x2+1＝f（x），则函数f（x）为偶函数，当x≥0，函数f（x）＝2|x|+x2+1＝2x+x2+1，则导数f′（x）＝2x ln2+2x＞0，则函数f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，则f（2m﹣1）＜f（3）⇒f（|2m﹣1|）＜f（3）⇒|2m﹣1|＜3⇒﹣1＜m＜2，即实数m的取值范围是（﹣1，2）；故答案为：（﹣1，2）．16．【解答】解：函数的导数为g′（x）＝+2bx﹣2，可得g（x）在x＝1处切线的斜率为a+2b﹣2，由题意可得a+2b﹣2＝1，且g（1）＝b﹣＝，解得b＝3，a＝﹣3，则a+b＝0，故答案为：0．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求选择其一解答．17．【解答】解：（I）由＝4sin x cos x+（cos2x﹣sin2x）＝2sin2x+2cos2x＝4sin（2x+），∵f（C）＝0，即4sin（2C+）＝0，∵角C是△ABC中的锐角：∴C＝；（Ⅱ）因为，即ab sin C＝2，C＝，即ab＝2；∴ab＝81……①又∵c2＝a2+b2﹣2ab cos C，所以a2+b2﹣ab＝12，……②联立①②，解得：或．18．【解答】解：（Ⅰ）根据题意填写列联表如下；…（3分）由K2计算公式，求得K2的观测值为k0＝≈0.468，计算结果0.468＜2.706；…（5分）所以没有95%的把握认为是否具有潜力与与性别有关；…（6分）（Ⅱ）考试次序为x，对应模拟考试成绩为y，设变量对应的点为（x i，y i）；则可得到四组观测点为（1，74），（2，76），（3，80），（4，82）；由点的特点，可分析其大体满足直线性回归关系可计算（，）为（2.5，78）；…（7分）设＝x+a，系数为＝＝＝2.8，…（10分）将（，）代入＝x+a，得a＝71，所以回归直线方程＝2.8x+71；…（11分）对第五次考试成绩进行预测，代入x＝5，得y5＝2.8×5+71＝85，预测该考生第5次考试的考试分数为85分．…（12分）19．【解答】证明：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，所以PD⊥B又CD⊥BC，CD∩PD＝D所以BC⊥平面PCD．B是PB与平面PCD的交点，所以∠BPC即为PB与平面PDC所成的角θ，即tanθ＝，解得PC＝2又因为PC＝＝2解得：DC＝2在梯形ABCD中，易求出AB＝又DB＝＝2而AD＝4，所以42＝AD2＝AB2+BD2＝所以AB⊥BD．又AB⊥PD，PD∩BD＝D所以AB⊥平面PBD又AB⊂平面P AB所以平面P AB⊥平面PBD；（Ⅱ）三棱锥B﹣P AC的体积等于三棱锥P﹣ABC的体积S△ABC＝S ABCD﹣S ADC＝（2+4）×2×2×4＝2由PD⊥平面ABCD，即PD⊥平面ABC可得三棱锥B﹣P AC的高为PD．所以V B﹣P AC＝V p﹣ABC＝．20．【解答】解：（Ⅰ）动圆P过C1（﹣2，0），所以动圆的半径r等于|PC1|圆C2：（x﹣2）2+y2＝32的圆心为（2，0），半径为4，动圆P与圆C2内切，C1（﹣2，0）在圆C2的内部，可分析得到动圆P在圆C2内与圆C2内切，所以|PC2|＝4﹣r＝4﹣|PC1|，所以|PC1|+|PC2|＝4＞|C1C2|＝4，所以动点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，其中a＝2，c＝2，所以b2＝a2﹣c2＝4，根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程，可得轨迹C的标准方程为+＝1（Ⅱ）联立直线l：y＝x+m和椭圆C的方程，整理得到：3x2+4mx+2m2﹣8＝0，①，其中△＝（4m）2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，解得：﹣2＜m＜2，②设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x0，y0），由①，得x1+x2＝﹣，x1x2＝，则x0＝（x1+x2）＝﹣m，将x0代入y＝x+m得：y0＝m，即G（﹣，m），若存在实数m，使∠ATG＝∠BTG成立，由角平分线的性质，得TG⊥ABk l＝1，得TG的斜率k＝﹣1，因为T（1，0），所以k TG＝＝﹣1，解得：m＝﹣3，符合②式要求，由此可得：当m＝﹣3时，∠ATG＝∠BTG成立21．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，又f′（x）＝…（1分）（1）当a＝0时，则f′（x）＝﹣，可以看出，当x＞2时，f′（x）＜0；当0＜x＜2时，f′（x）＜0；所以，a＝0时，函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增…（2分）（2）当a≠0时，f′（x）＝，（i）若a＜0，则＜0，＜0＜2，当0＜x＜2时，f′（x）＞0；当x＞2时，f′（x）＜0，所以得a＜0时，f（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减；（ii）若0＜a＜，则0＜2＜，解不等式＞0，得0＜x＜2或x＞，解不等式＜0，得2＜x＜，所以得：0＜a＜时，函数f（x）在区间（2，）上单调递减；在区间（0，2），（，+∞）上分别单增．（iii）当a＝时，f′（x）＝，在定义域（0，+∞）上，总有f′（x）≥0，所以此时，在定义域（0，+∞）上，函数f（x）恒为单调递增函数；（iv）当a＞时，0＜＜2，解不等式＞0，得0＜x＜或x＞2；解不等式等式＜0，得＜x＜2；所以，当a＞时，得函数f（x）在（0，）和（2，+∞）上分别单调增；在（，2）单调递减；…（5分）综上，当a＜0时，f（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减；当a＝0时，函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增；当0＜a＜时，函数f（x）在（2，）上单调递减；在（0，2），（，+∞）上分别单增．当a＝时，在定义域（0，+∞）上，函数f（x）恒为单调递增函数，当a＞时，函数f（x）在（0，）和（2，+∞）上分别单调增；在（，2）单调递减．…（6分）（Ⅱ）证明：因为0＜a＜，所以a∈（0，），由（Ⅰ）得，此时函数f（x）在（2，）上单调递减；在（0，2），（，+∞）上分别单增．列出x，y′，y在[1，e]上单调性情况分析如下表：由图可以看出，x∈（1，2），函数单调递增；x∈（2，e）时，函数单调递减；当x＝2时，函数取得极大值，也是最大值，y max＝f（2）＝2a﹣（2a+1）ln2﹣1…（9分）因为0＜a＜，2a＜1，所以2a﹣1＜0；又﹣（2a+1）ln2＜0，所以y max＝f（2）＝2a﹣（2a+1）ln2﹣1＜0恒成立，由此，在[1，e]上，f（x）＜0恒成立…（11分）根据连续函数根的存在性，方程f（x）＝0在[1，e]上，不可能有根存在…（12分）请考生在第22，23两题中任选一道作答．注意：只能做所选的题目．如果都做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡时将所选题号后的方框涂黑．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）22．【解答】[选修4﹣4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线C1的方程为：，∴，＝1，由，可得，即x﹣﹣2＝0，∴曲线C1的方程为x﹣为过（2，0）的直线，…（3分）设A（ρ，θ），0≤θ＜2π，ρ＞0，∵点A（1，），∴＝2，∴tanθ＝，∴θ＝，∴A点的极坐标为A（2，）．…（5分）（Ⅱ）曲线C2的方程为，整理得（x+2）2+y2＝9，表示以（﹣2，0）为圆心，以3为半径的圆，点A（1，）到圆心的距离为AC2＝＝2＞3，∴点A在圆外，点A到圆上的点的距离d有最小值，且d min＝|AC|﹣R＝2，…（7分）∴曲线C1的方程为x﹣，由点到直线的距离公式，得圆心C2（﹣2，0）到直线C1的距离为d′＝＝2＜3，…（8分）∴直线C1与圆C2：（x+2）2+y2＝9相交，设相交于A，B，∴|AB|＝2＝2＝2．综上，点A（1，）到圆上的点的距离d最小值为2．直线C1与圆C2：（x+2）2+y2＝9相交，相交弦长为2．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）23．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，不等式f（x）＞1即|2x﹣3|﹣|x+1|＞1，（i）如果x≤﹣1，则|2x﹣3|﹣|x+1|＝（3﹣2x）+（x+1）＞1，得：x≤﹣1，所以此时解集为（﹣∞，﹣1]；（ii）如果，原不等式可化为（3﹣2x）﹣（x+1）＞1，得，所以此时解集为（﹣1，），（iii）如果x，原不等式可化为（2x﹣3）﹣（x+1）＞1，得x＞5，所以此时解集为（5，+∞），综合（i）（ii）（iii）可得：f（x）＞1解集为（﹣∞，）∪（5，+∞）；（Ⅱ）a＝2时，函数f（x）＝|2x﹣3|﹣|2x+1|．不等式f（x）﹣2m≤6m2，即|2x﹣3|﹣|2x+1|≤2m+6m2，可得|x﹣|﹣|x+|≤2m+3m2∵|x﹣|﹣|x+|≤|x﹣﹣（x+）|≤2，其中等号当且仅当x＝成立，由此，对任意实数x，不等式f（x）﹣2m≤6m2恒成立，则2≤2m+3m2，即（3m﹣2）（m+1）≥0，得：m或m≤﹣1，综上，a＝2，使不等式不等式f（x）﹣2m≤6m2对任意实数x恒成立的实数m的取值范围：m或m≤﹣1．。

2017-2018届山东省青岛二中高三上学期期末考试文科数学试卷及答案

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山东省青岛二中2017-2018届高三上学期期末考试文科数学试卷第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合}0|{)},1(log |{22>=-==x x B x y x A ，则=B A （ ） A ．)1,0( B ．]1,0( C ．)1,(-∞ D ．)1,0()0,( -∞ 2．已知复数z 满足i z i 34)21(+=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．i -2 B ．i +2 C ．i 21+ D ．i 21- 3．已知实数4,,,,1--z y x 成等比数列，则=xyz （ ） A ．8- B ．8± C ．22- D ．22±4．已知31)4tan(=-πα，则α2sin 等于（ ）A ．32B ．31C ．54D ．525．设n m l ,,表示不同的直线，γβα,,表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ） ①若l m //，且α⊥m ，则α⊥l ； ②若l m //，且α//m ，则α//l ；7．定义域为R 的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x x f -=2)(，则当)0,1[-∈x 时，)(x f 的最小值为（ ）A ．81- B ．41- C ．0 D ．418．已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x 的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．)()()1(b f a f f << B ．)1()()(f b f a f << C ．)()1()(b f f a f <<D ．)()1()(a f f b f <<9．已知不等式xx ay y 22|||4|+≤-+对任意实数y x ,都成立，则常数a 的最小值为（ ）A ．B ．2C ．3D ．410．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为π9，则=p （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8第II 卷 （共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11几何体的体积是_________________．12．已知)1,2(=→a ，)3,1(-=→b ，若→→→+=b a c 2，→→→-=b x a d 2， 且→→⊥d c ，则=x ． 13．已知点P 的坐标),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x ，过点P的直线与圆14:22=+y x C 相交于BA ,两点，则||AB 的最小值为__________________．14．函数ax x x x f -+=2331)(在区间),1(+∞上单调递增，且在区间)2,1(上有零点，则实数a 的取值范围是___________________．15．设21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两个焦点，P 是曲线C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，21F PF ∆的最小内角为︒30，则曲线C 的离心率为 ．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．(本小题满分12分)某市有,,M N S 三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36,24,12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查．（Ⅰ）求应从,,M N S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数； （Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2名，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．正视图 侧视图俯视图17．(本小题满分12分)已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．设x α=时()f x 取到最大值．（I ）求()f x 的最大值及α的值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sin B C A =，求b c -的值．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中⊥PD 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示．（I ）证明：⊥BC 平面PBD ； （II ）证明：//AM 平面PBC ； （IIIPM A BCD4侧（左）视图19．(本小题满分12分)已知数列}{n a 中，t a =1（为非负常数），数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足n n S S 31=+（I ）当1=t 时，求数列}{n a 的通项公式； （II ）若n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．(本小题满分13分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的离心率为322，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形周长为246+．（I ）求椭圆M 的方程；（II ）设直线与椭圆M 交于A ，B 两点（A ，B 不是顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，证明这样的直线恒过定点，并求出该点坐标．21．(本小题满分14分)已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （I ）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （II ）求函数)(x f 单调递增区间；（III ）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．参考答案：-= b c0.19．解析：（1）解法1：由n n S S 31=+，可知数列}{n S 是首项为，公比为3的等比数列，所以综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)e a ∈∞+ ．。

2017-2018学年山东省青岛二中高三(上)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年山东省青岛二中高三(上)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知z为复数z的共轭复数.（1-i）z=2i.则z =（）A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i2.（单选题.5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经查数.落在正方形中的豆子的总数为N粒.其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内.以此估计圆周率π为（）A. mNB. 2mNC. 3mND. 4mN3.（单选题.5分）“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m＞0”的一个（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件=0.则y关于x的函数的图象形状大致是（）4.（单选题.5分）若实数x.y满足|x|-ln 1yA.B.C.D.5.（单选题.5分）已知（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为70.则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-26.（单选题.5分）如图.网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的外接球的体积是（）A.14πB.28πC. 7√14π3D. 7√14π67.（单选题.5分）数列{a n}的首项为3.{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b3=-2.b10=12.则a8=（）A.0B.3C.8D.118.（单选题.5分）如图.在△ABC中.D是AB边上的点.且满足AD=3BD.AD+AC=BD+BC=2.CD= √2 .则cosA=（）A. 13B. √24 C. 14D.09.（单选题.5分）已知 a =2∫xdx 10.函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示.则函数 f (x −π4)+a 图象的一个对称中心是（ ）A. (−π12，1)B. (π12，2)C. (7π12，1) D. (3π4，2)10.（单选题.5分）直线x=2与双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线交于A.B 两点.设P 为双曲线上任一点.若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （a.b∈R .O 为坐标原点）.则下列不等式恒成立的是（ ）A.a 2+b 2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a-b|≥211.（单选题.5分）如图所示：在杨辉三角中.斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n 项和为S n .则S 16等于（ ）A.128B.144C.155D.164 12.（单选题.5分）已知函数f （x ）=lnx+x 2+x ．正实数x 1.x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.则下述结论中正确的一项是（ ）A.x 1+x 2≥ √5−12B.x 1+x 2＜√5−12 C.x 1+x 2≥ √5+12D.x 1+x 2＜√5+12 13.（填空题.5分）若实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 14.（填空题.5分）已知| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.sin （ π2+2θ ）=___ ．15.（填空题.5分）四棱锥S-ABCD 中.底面ABCD 是边长为2的正方形.侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形.若 2√2≤SC ≤4 .则四棱锥S-ABCD 的体积取值范围为___ ． 16.（填空题.5分）在如图所示的平面中.点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点.AB=BC=2.过动点P 作半圆的切线PQ.若PC= √2 PQ.则△PAC 的面积的最大值为___ ．17.（问答题.12分）在一次“K12联盟”联考中.我校高三有理科学生500名.已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120.400）.数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀.则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况.若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生.求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ.σ2）.则P（μ-σ≤x≤μ+σ）=0.68.P（μ-2σ≤x≤μ+2σ）=0.96.P （μ-3σ≤x≤μ+3σ）=0.9918.（问答题.12分）如图.已知梯形ABCD.AB || CD.AD=DC=BC.∠ADC=120°.四边形ACFE为正方形.且平面ACFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动.求平面MAB与平面ADE所成锐二面角余弦值的取值范围．19.（问答题.12分）已知数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.且对任意正整数n.都有a n+1=3S n+2.数列{b n}满足b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}.{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：1b12+1b22+⋯+1b n2≤5n−14n20.（问答题.12分）如图.曲线C由下半椭圆C1：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)(y≤0)和部分抛物线C2：y=x2−1(y≥0)连接而成.C1与C2的公共点为A.B.其中C1的离心率为√32．（Ⅰ）求a.b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1.C2分别交于点P.Q.（均异于点A.B）.是否存在直线l.使得以PQ为直径的圆恰好过B点.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=e x. g(x)=−a2x2−x .（其中a∈R.e为自然对数的底数.e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x）.若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.求实数a的值；（2）在（1）的条件下.设m为整数.且对于任意正整数n. ∑(in )n＜mni=1.求m的最小值．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy中.曲线C1：{x=2t 2+2y=t2−1（t为参数）．以坐标原点O 为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0．（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.并说明方程所表示的曲线名称；（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系.若相交.求出弦长．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=ln（|x+2|+|x-3|-m）．（Ⅰ）当m=8时.求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R.求m的取值范围．2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知z为复数z的共轭复数.（1-i）z=2i.则z =（）A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【正确答案】：A【解析】：把已知等式变形.利用复数代数形式的乘除运算化简求得z.再由共轭复数的概念得答案．【解答】：解：由（1-i）z=2i.得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i .∴ z=−1−i .故选：A．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．2.（单选题.5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经查数.落在正方形中的豆子的总数为N粒.其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内.以此估计圆周率π为（）A. mNB. 2mNC. 3mND. 4mN【正确答案】：D【解析】：根据几何概型的概率公式.即可以进行估计.得到结论．【解答】：解：设圆的半径为1．则正方形的边长为2. 根据几何概型的概率公式可以得到 π×122×2=mN .即 π=4m N . 故选：D ．【点评】：本题主要考查几何概型的应用.根据几何概型的概率公式.进行估计是解决本题的关键.比较基础．3.（单选题.5分）“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m ＞0”的一个（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：根据对数函数的图象和性质.解对数不等式.利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】：解：当“（m-1）（a-1）＞0”时.则 {m ＞1a ＞1 或 {m ＜1a ＜1.此时log a m 可能无意义.故“log a m ＞0”不一定成立.而当“log a m ＞0”时.则 {m ＞1a ＞1 或 {0＜m ＜10＜a ＜1.“（m-1）（a-1）＞0”成立. 故“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m ＞0”的一个必要不充分条件.故选：B ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据对数的性质是解决本题的关键.比较基础．4.（单选题.5分）若实数x.y 满足|x|-ln 1y =0.则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ） A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：由条件可得 y= 1e|x| .显然定义域为R.且过点（0.1）.当x＞0时.y= 1e x.是减函数.从而得出结论【解答】：解：若变量x.y满足|x|-ln 1y=0.则得 y= 1e|x|.显然定义域为R.且过点（0.1）.故排除C、D．再由当x＞0时.y= 1e x.是减函数.故排除A.故选：B．【点评】：本题主要考查指数式与对数式的互化.指数函数的图象和性质的综合应用.以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题.属于中档题．5.（单选题.5分）已知（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为70.则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2【正确答案】：A【解析】：根据（1-2x）5展开式的通项公式.写出（2+ax）（1-2x）5的展开式中含x2项的系数.列方程求出a的值．【解答】：解：（1-2x）5展开式的通项公式为T r+1= C5r•（-2x）r.∴（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为2×C52(−2)2+aC51(−2)=70 .解得a=1．故选：A．【点评】：本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题.是基础题．6.（单选题.5分）如图.网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的外接球的体积是（）A.14πB.28πC. 7√14π3D. 7√14π6【正确答案】：C【解析】：作出几何体的直观图.得出外接球的半径.代入体积公式计算得出答案．【解答】：解：几何体为三棱锥.直观图如图所示：其中PA⊥底面ABCD.是长方体的一部分.三度为：2.1.3.棱锥的外接球就是长方体的外接球.球的直径为：√22+12+32 = √14 .∴外接球半径R= √142．∴外接球的体积V= 43π×(√142)3= 7√14π3．故选：C．【点评】：本题考查了棱锥的三视图.棱锥与外接球的位置关系.体积公式.属于中档题．7.（单选题.5分）数列{a n}的首项为3.{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b3=-2.b10=12.则a8=（）A.0B.3C.8D.11【正确答案】：B【解析】：先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10.联立方程求得b1和d.进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1-a1.最后利用等差数列的求和公式求得答案．【解答】：解：依题意可知{b1+2d=−2b1+9d=12求得b1=-6.d=2∵b n=a n+1-a n.∴b1+b2+…+b n=a n+1-a1.∴a8=b1+b2+…+b7+3= (−6+6)×72+3=3故选：B．【点评】：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．8.（单选题.5分）如图.在△ABC中.D是AB边上的点.且满足AD=3BD.AD+AC=BD+BC=2.CD= √2 .则cosA=（）A. 13B. √24C. 14D.0 【正确答案】：D【解析】：设BD=x.可求AD=3x.AC=2-3x.BC=2-x.由cos∠ADC=-cos∠BDC .利用余弦定理可得x 的值.进而可求AD.AC 的值.由余弦定理可求cosA 的值．【解答】：解：设BD=x.则AD=3x.AC=2-3x.BC=2-x.易知：cos∠ADC=-cos∠BDC .由余弦定理可得：9x 2+2−(2−3x )22×√2×3x =- x 2+2−(2−x )22×√2×x . 解得：x= 13 .故：AD=1.AC=1.∴cosA= AD 2+AC 2−CD 22AD×AC =0． 故选：D ．【点评】：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用.考查了数形结合思想.属于基础题．9.（单选题.5分）已知 a =2∫xdx 10.函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示.则函数 f (x −π4)+a 图象的一个对称中心是（ ）A. (−π12，1)B. (π12，2)C. (7π12，1)D. (3π4，2)【正确答案】：C【解析】：利用定积分求出a 的值.根据函数f （x ）的图象求出f （x ）的解析式.再利用三角函数的图象与性质求f （x- π4 ）+a 的对称中心．【解答】：解： a =2∫xdx 10 =2× 12 x 2 |01 =1. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的图象知.A=2. T 4 = π3 - π12 = π4 .∴T= 2πω =π.解得ω=2；又2× π12 +φ= π2 .解得φ= π3 ；∴f （x ）=2sin （2x+ π3 ）.∴f （x- π4 ）+a=2sin （2x- π6 ）+1；令2x- π6 =kπ.k∈Z .则x= π12 + kπ2 .k∈Z .当k=1时.x= 7π12 .∴f （x- π4 ）+a 的一个对称中心为（ 7π12 .1）．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了定积分的计算问题.是中档题．10.（单选题.5分）直线x=2与双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线交于A.B 两点.设P 为双曲线上任一点.若 OP⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （a.b∈R .O 为坐标原点）.则下列不等式恒成立的是（ ） A.a 2+b 2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a-b|≥2【正确答案】：C【解析】：双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线为：y=± 12 x ．把x=2代入上述方程可得：y ．不妨取A （2.1）.B （2.-1）．利用 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .可得P 坐标.代入双曲线方程.再利用重要不等式的性质即可得出结论．【解答】：解：双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线为：y=± 12 x ．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A （2.1）.B （2.-1）．OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2a+2b.a-b ）．代入双曲线方程可得：(2a+2b )24 -（a-b ）2=1.化为ab= 14 ．∴ 14 =ab ≤(a+b 2)2 .化为：|a+b|≥1． 故选：C ．【点评】：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、重要不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于难题．11.（单选题.5分）如图所示：在杨辉三角中.斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n 项和为S n .则S 16等于（ ）A.128B.144C.155D.164 【正确答案】：D【解析】：由图中锯齿形数列排列.发现规律：奇数项的第n 项可以表示成正整数的前n 项和的形式.偶数项构成以3为首项.公差是1的等差数列．由此再结合等差数列的通项与求和公式.即可得到S 16的值．【解答】：解：根据图中锯齿形数列的排列.发现a 1=1.a 3=3=1+2.a 5=6=1+2+3.....a 15=1+2+3+ (8)而a 2=3.a 4=4.a 6=5.….a 16=10.∴前16项的和S 16=[1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+8）]+（3+4+5+…+10）=（1×8+2×7+3×6+…+7×2+8×1）+(10+3)×82 =164故选：D ．【点评】：本题以杨辉三角为例.求锯齿形数列的前n 项和.着重考查了等差数列的通项与求和公式和归纳推理的一般方法等知识点.属于基础题．12.（单选题.5分）已知函数f （x ）=lnx+x 2+x ．正实数x 1.x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.则下述结论中正确的一项是（ ）A.x 1+x 2≥ √5−12B.x 1+x 2＜√5−12 C.x 1+x 2≥ √5+12D.x 1+x 2＜√5+12 【正确答案】：A【解析】：得到（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）=x 1x 2-ln （x 1x 2）.这样令t=x 1x 2.t ＞0.容易求得函数t-lnt 的最小值为1.从而得到（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1.解这个关于x 1+x 2的一元二次不等式即可得出要证的结论．【解答】：由f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0.从而（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）=x 1x 2-ln （x 1x 2）.令t=x 1x 2.则由h （t ）=t-lnt 得.h′（t ）= t−1t. 可知.h （t ）在区间（0.1）上单调递减.在区间（1.+∞）上单调递增.∴h （t ）≥h （1）=1.∴（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1.又x 1+x 2＞0.因此x 1+x 2≥√5−12成立． 故选：A ．【点评】：本题考查了函数的单调性问题.考查导数的应用以及换元思想、转化思想.不等式的解法.属于中档题．13.（填空题.5分）若实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1]10【解析】：画出约束条件表示的可行域.判断目标函数z=2x+y 的位置.求出最大值．【解答】：解：作出实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4的可行域如图： 目标函数z=2x+y 在 {y =4x −y +1=0的交点A （3.4）处取最大值为z=2×3+4=10． 故答案为：10．【点评】：本题考查简单的线性规划的应用.正确画出可行域.判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.（填空题.5分）已知| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.sin （ π2+2θ ）=___ ．【正确答案】：[1] 725【解析】：根据向量的数量积运算和三角函数的化简即可求出答案．【解答】：解：∵| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴| OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|sin 2θ• OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ• OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=sin 4θ| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+cos 4θ| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2sin 2θcos 2θ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . =16sin 4θ+9cos 4θ.=16sin 4θ+9（1-sin 2θ）2=25sin 4θ-18sin 2θ+9=25（sin 2θ- 925 ）2+14425 . ∴当sin 2θ= 925 时.| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值. ∴sin （ π2+2θ ）=cos2θ=1-2sin 2θ=1-2× 925 = 725 .故答案为： 725【点评】：本题考查了向量的数量积运算和三角函数的化简求值.属于中档题15.（填空题.5分）四棱锥S-ABCD中.底面ABCD是边长为2的正方形.侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形.若2√2≤SC≤4 .则四棱锥S-ABCD的体积取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [4√33，83]【解析】：由题意可知.平面SAB⊥平面ABCD.当SC= 2√2或SC=4时.四棱锥S-ABCD的高最小.当SA⊥平面ABCD.则四棱锥高最大.分别求出对应的高.则四棱锥S-ABCD的体积取值范围可求．【解答】：解：如图.由题意可知.平面SAB⊥平面ABCD.当SC= 2√2时.过S作SO⊥AB.垂足为O.连接AC.OC.设OA=x.在△OAC中.由余弦定理可得OC2=x2+8−4√2x×√22=x2−4x+8 .在Rt△SOA中.有OS2=SA2-x2=4-x2.在Rt△SOC中.有OS2+OC2=SC2.即4-x2+x2-4x+8=8.求得x=1．∴ OS=√3．此时(V S−ABCD)min=13×4×√3=4√33；当SC=4时.可得∠BAS为钝角.同理求得OS=√3．此时(V S−ABCD)min=13×4×√3=4√33；∴当SA⊥平面ABCD时. (V S−ABCD)max=13×4×2=83．∴四棱锥S-ABCD的体积取值范围为：[4√33，83]．故答案为：[4√33，83]．【点评】：本题考查棱锥体积的求法.考查空间想象能力与逻辑思维能力.是中档题．16.（填空题.5分）在如图所示的平面中.点C为半圆的直径AB延长线上的一点.AB=BC=2.过动点P作半圆的切线PQ.若PC= √2 PQ.则△PAC的面积的最大值为___ ．【正确答案】：[1]4 √5【解析】：以AB所在直线为x轴.以AB的垂直平分线为y轴.建立平面直角坐标系.利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（-3.0）为圆心.以r=2 √5为半径的圆.由此能求出△PAC的面积的最大值．【解答】：解：以AB所在直线为x轴.以AB的垂直平分线为y轴.建立平面直角坐标系.∵AB=BC=2.∴C（3.0）.设P（x.y）.∵过动点P作半圆的切线PQ.PC= √2 PQ.∴ √(x−3)2+y2 = √2• √x2+y2−1 .整理.得x2+y2+6x-11=0.∴点P的轨迹方程是以（-3.0）为圆心.以r=2 √5为半径的圆.∴当点P在直线x=-3上时.△PAC的面积的最大.∴（S△PAC）max= 1×4×2√5 =4 √5．2故答案为：4 √5．【点评】：本题考查三角形面积的最大值的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意两点间距离公式的合理运用．17.（问答题.12分）在一次“K12联盟”联考中.我校高三有理科学生500名.已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120.400）.数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀.则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况.若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生.求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ.σ2）.则P（μ-σ≤x≤μ+σ）=0.68.P（μ-2σ≤x≤μ+2σ）=0.96.P （μ-3σ≤x≤μ+3σ）=0.99【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意可得英语成绩特别优秀的概率为P （X≥140）= 12 [1-P （120-20≤X≤120+20）].乘以500可得英语成绩特别优秀的人数；由频率分布直方图可得数学成绩特别优秀的概率.乘以500得数学成绩特别优秀的人数；（Ⅱ）英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.则单科优秀的有60人.则X 的所有可能取值为0.1.2.3.求出概率.列出频率分布列.再由期望公式求期望．【解答】：解：（Ⅰ）英语成绩服从正态分布N （120.400）.则μ=120.σ=20. 则英语成绩特别优秀的概率为P （X≥140）= 12 [1-P （120-20≤X≤120+20）]= 12×(1−0.68)=0.16 ．∴英语成绩特别优秀的人数为500×0.16=80人；数学成绩特别优秀的概率为P （X≥140）=0.008× 20×12=0.08 ． ∴数学成绩特别优秀的人数为500×0.08=40人；（Ⅱ）英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.则单科优秀的有60人． X 的所有可能取值为0.1.2.3．P （X=0）= C 603C 903 = 17115874 ；P （X=1）= C 301C 602C 903 = 8851958 ；P （X=2）= C 302C 601C 903 = 4351958 ；P （X=3）= C 303C 903 = 2035874 ．X 的分布列为：数学期望值为EX=0× 5874 +1× 1958 +2× 1958 +3× 5874 =1．【点评】：本题考查了频率分布直方图.考查了正态分布的应用问题.考查了离散型随机变量的分布列与期望.是中档题．18.（问答题.12分）如图.已知梯形ABCD.AB || CD.AD=DC=BC.∠ADC=120°.四边形ACFE 为正方形.且平面ACFE⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动.求平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角余弦值的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知求解三角形可得BC⊥AC .由平面ACFE⊥平面ABCD.结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）建立空间坐标系.令FM=λ（0≤λ≤ √3 ）.根据坐标表示出两个平面的法向量.结合向量的有关运算求出二面角的余弦值关于λ的表达式.再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解答】：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中.由∠ADC=120°.得∠ABC=60°. ∵AB || CD .设AD=DC=CB=1.∴AB=2.则AC 2=AB 2+BC 2-2AB•BC•cos60°=3. ∴AB 2=AC 2+BC 2.得BC⊥AC ．∵平面ACFE⊥平面ABCD.平面ACFE∩平面ABCD=AC. BC⊂平面ABCD. ∴BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立分别以直线CA.CB.CF 为x 轴.y 轴.z 轴的如图所示空间直角坐标系. 令FM=λ（0≤λ≤ √3 ）.则A （ √3 .0.0）.B （0.1.0）.M （λ.0. √3 ）.E （ √3，0，√3 ）.D （ √32，−12，0 ）．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √3 .1.0）. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（λ.-1. √3 ）. AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ −√32，−12，0 ）. AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，√3) ． 设 m ⃗⃗ =（x.y.z ）为平面MAB 的一个法向量. 由 {m ⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y =0m ⃗⃗ •BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λx −y +√3z =0.取x=1.得 m ⃗⃗ =（1. √3 . 1−√33λ ）.设平面ADE 的一个法向量为 n ⃗ =（a.b.c ）.由 {n ⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32a −12b =0n ⃗ •AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3c =0.取b= √3 .得 n ⃗ =(−1，√3，0) .设平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ（0°＜θ＜90°）. 则cosθ= |m⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ || = 22×√1+3+(1−√33λ)2=√3√(λ−√3)2+12．∵λ∈[0. √3 ].∴cosθ∈[ √55，12 ]．即平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角余弦值的取值范围为[ √55，12 ]．【点评】：本题考查平面与平垂直的证明.考查空间想象能力和思维能力.训练了利用空间向量求二面角的余弦值.是中档题．19.（问答题.12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .a 1=2.且对任意正整数n.都有a n+1=3S n +2.数列{b n }满足b n =log 2a n（Ⅰ）求数列{a n }.{b n }的通项公式； （Ⅱ）求证：1b 12+1b 22+⋯+1b n2≤5n−14n【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式． （Ⅱ）利用放缩法求出数列的和．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.且对任意正整数n. 都有a n+1=3S n+2.则：当n≥2时.a n=3S n-1+2整理得：a n+1-a n=3a n.即：a n+1a n=4（常数）.所以：a n=2•4n−1=22n−1．由于数列{b n}满足b n=log2a n.所以b n=2n-1．证明：（Ⅱ）由于b n=2n-1.所以：1b n2=1(2n−1)2＜1(2n−1)2−1= 14(1n−1−1n) .则：1b12+1b22+⋯+1b n2= 112+132+⋯+1(2n−1)2≤1+14[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)] =1+ 14(1−1n) = 5n−14n．故：1b12+1b22+⋯+1b n2≤5n−14n．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.放缩法在数列求和中的应用．20.（问答题.12分）如图.曲线C由下半椭圆C1：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)(y≤0)和部分抛物线C2：y=x2−1(y≥0)连接而成.C1与C2的公共点为A.B.其中C1的离心率为√32．（Ⅰ）求a.b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1.C2分别交于点P.Q.（均异于点A.B）.是否存在直线l.使得以PQ为直径的圆恰好过B点.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）在C 1.C 2的方程中.令y=0.可得b=1.且A （-1.0）.B （1.0）是上半椭圆C 1的左右顶点.设C 1的半焦距为c.由 ca = √32 及a 2-c 2=b 2-1.联立解得a.b 的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）.下半椭圆C 1的方程为 y 24 +x 2=1（y≤0）.由题意知.直线l 与x 轴不重合也不垂直.设其方程为y=k （x+1）（k≠0）.代入C 1的方程.整理得（k 2+4）x 2+2k 2x+k 2-4=0.设点P 的坐标为（x P .y P ）.由求根公式.得点P的坐标为（ 4−k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）.由 {y =k (x +1)y=x 2−1，y ≥0.得点Q的坐标为（k+1.k 2+2k ）.由假设可得BP⊥BQ .所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ • BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即可得出k ．【解答】：解：（Ⅰ）在C 1.C 2的方程中.令y=0.可得b=1. 且A （-1.0）.B （1.0）是下半椭圆C 1的左右顶点. 设C 1的半焦距为c.由 ca = √32 及a 2-c 2=b 2. 可得a=2.所以a=2.b=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）.下半椭圆C 1的方程为 y 24 +x 2=1（y≤0）. 由题意知.直线l 与x 轴不重合也不垂直.设其方程为y=k （x+1）（k≠0）. 代入C 1的方程.整理得（k 2+4）x 2+2k 2x+k 2-4=0. 设点P 的坐标为（x P .y P ）.因为直线l 过点A.所以x=-1是方程的一个根. 由求根公式.得x P = 4−k 24+k 2 .y P = 8k4+k 2 . 所以点P 的坐标为（ 4−k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）. 同理.由 {y =k (x +1)y =x 2−1，y ≥0.得点Q 的坐标为（k+1.k 2+2k ）.所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 2k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）. BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（k.k 2+2k ）.假设存在直线l.使得以PQ 为直径的圆恰好过B 点.可知BP⊥BQ .所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ • BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即（- 2k 24+k 2 ）•k+ 8k 4+k 2 •（k 2+2k ）=0. 即-2k 3+8k 3+16k 2=0. 因为k≠0.解得k=- 83. 经检验.k=- 83 符合题意.故存在.且直线l的方程为y=- 83（x+1）．【点评】：本题考查了直线与椭圆、抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=e x. g(x)=−a2x2−x .（其中a∈R.e为自然对数的底数.e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x）.若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.求实数a的值；（2）在（1）的条件下.设m为整数.且对于任意正整数n. ∑(in )n＜mni=1.求m的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数.求出h（x）的解析式.求出函数的导数.通过讨论a的范围.求出函数的单调区间.从而求出函数的最小值.求出a的值即可；（2）得到1+x≤e x.令x=- kn （n∈N*.k=0.1.2.3.….n-1）.则0＜1- kn≤ e−k n .得到(1−kn)n≤ e(−k n)n=-e-k.累加.通过放大不等式.证明即可．【解答】：解：（1）因为g′（x）=-ax-1.所以h（x）=e x-ax-1.由h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.即h（x）min≥0.由h′（x）=e x-a.（i）当a≤0时.h′（x）=e x-a＞0.h（x）的单调递增区间为R.所以x∈（-∞.0）时.h（x）＜h（0）=0.所以不满足题意．（ii）当a＞0时.由h′（x）=e x-a=0.得x=lna.x∈（-∞.lna）时.h′（x）＜0.x∈（lna.+∞）时.h′（x）＞0.所以h（x）在区间（-∞.lna）上单调递减.在区间（lna.+∞）上单调递增. 所以h（x）的最小值为h（lna）=a-alna-1．设φ（a）=a-alna-1.所以φ（a）≥0. ①因为φ′（a）=-lna.令φ′（a）=-lna=0.得a=1.所以φ（a ）在区间（0.1）上单调递增.在区间（1.+∞）上单调递减. 所以φ（a ）≤φ（1）=0. ② 由 ① ② 得φ（a ）=0.则a=1． （2）由（1）知e x -x-1≥0.即1+x≤e x . 令x=- kn （n∈N *.k=0.1.2.3.….n-1）.则0＜1- k n ≤ e −kn .所以 (1−k n )n ≤ e (−k n )n=-e -k .所以 ∑ni=1 (i n )n = (1n )n + (2n )n +…+ (n−1n )n + (n n )n≤e -（n-1）+e -（n-2）+…+e -2+e -1+1 =1−e −n 1−e −1 ＜ 11−e−1 =1+ 1e−1 ＜2. 所以 ∑n i=1 (i n )n＜2. 又 (13)3+ (23)3+ (33)3＞1. 所以m 的最小值为2．【点评】：本题考查了函数的单调性、最值问题.考查导数的应用.是一道中档题．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy 中.曲线C 1： {x =2t 2+2y =t 2−1 （t 为参数）．以坐标原点O为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0． （Ⅰ）求C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程.并说明方程所表示的曲线名称； （Ⅱ）判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系.若相交.求出弦长．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用转换关系.把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】：解：（Ⅰ）曲线C 1： {x =2t 2+2y =t 2−1 （t 为参数）．转换为直角坐标方程为：x-2y-4=0．（x≥2）．故该曲线表示一条射线．曲线C2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2-10x-6y+25=0.整理得：（x-5）2+（y-3）2=9.该曲线表示以（5.3）为圆心.3为半径的圆．（Ⅱ）由于该圆是以（5.3）为圆心.3为半径.所以与射线x-2y-4=0．（x≥2）有两个交点．圆心到射线的距离d=√12+22=√5 .所以弦长l=2 √32−(√5)2 =4．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换.点到直线的距离公式的应用．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=ln（|x+2|+|x-3|-m）．（Ⅰ）当m=8时.求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R.求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求得|x+2|+|x-3|＞8.然后分类讨论去绝对值号.求解即可得到答案．（Ⅱ）由关于x的不等式f（x）≥2.得到|x+2|+|x-3|≥m+e2．因为已知解集是R.根据绝对值不等式可得到|x+2|+|x-3|≥5.令m+e2≤5.求解即可得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设知：当m=8时：|x+2|+|x-3|＞8.不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：{x≥3x+2+x−3＞8.或{−2＜x＜3x+2+3−x＞8.或{x≤−2−x−2−x+3＞8.解得函数f（x）的定义域为（-∞.-7）∪（9.+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+2|+|x-3|≥m+e2.∵x∈R时.恒有|x+2|+|x-3|≥|（x+2）-（x-3）|=5.∴不等式|x+2|+|x-3|≥m+e2解集是R.等价于m+e2≤5.∴m的取值范围是（-∞.5-e2]．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的应用问题.题中涉及到分类讨论的思想.考查学生的灵活应用能力.属于中档题目．。

2017山东高考文科数学试题及答案

2017山东高考文科数学试题及答案

2017山东高考文科数学试题及答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）A. 0B. -4C. 3D. 4答案：C2. 已知向量a=(1,2)，b=(-1,0)，则向量a+2b的坐标为（）A. (-1,2)B. (1,2)C. (-1,4)D. (1,0)答案：A3. 已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-4x+3=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1,2}D. 空集答案：A4. 若直线l的方程为x+y-1=0，则直线l的斜率k=（）A. -1B. 1C. 0D. 不存在答案：A5. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则该数列的前5项和S5=（）A. 31B. 15C. 33D. 35答案：B6. 已知函数f(x)=x^3-3x，x∈R，则f(-1)的值为（）A. 2B. -2C. -4D. 4答案：A7. 若复数z满足|z-1|=2，则复数z对应的点在复平面上到点（1，0）的距离为（）A. 2B. 1C. 3D. 4答案：A8. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a>0，b>0，若双曲线C的一条渐近线方程为y=√2x，则b/a=（）A. √2B. 1C. √3D. 2答案：A9. 已知三角形ABC的内角A，B，C满足A+C=2B，且sinA+sinC=sin2B，则三角形ABC的形状是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 不等边三角形答案：A10. 已知函数f(x)=x^2-4x+m，x∈R，若f(x)的值域为[0,+∞)，则m的取值范围是（）A. m≥4B. m≥0C. m≤4D. m≤0答案：A二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在题中横线上。

11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=21，则a4+a5+a6的值为______。

2017高考山东卷文科数学试卷及答案(word版)

2017高考山东卷文科数学试卷及答案(word版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设集合{}10M x x =-<，{}x 2N x =<，则M N =A. （-1,1）B. （-1,2）C. （0,2）D. （1,2）（2）已知i 是虚数单位，若复数满足zi=1+i,则z ²=A.-2iB.2iC.-2D.2 （3）已知x,y 满足约束条件x 2y 50x 30x 2⎧≤⎪≥⎨⎪≤⎩-++则z=x+2y 的最大值是（4）已知cosx=34 ,则cos2x= (A)- 14 (B) 14 (C) - 18 (D) 18(5) 已知命题p ：x R ∃∈ , x2-x+1≥ 0;命题q ：若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是（A ）p Λ q (B)p Λ⌝ q (C) ⌝ p Λ q (D) ⌝ p Λ ⌝ q(6)执行右侧的程序框图，当输入的x 值时，输入的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（A ）x>3 (B) x>4 (C)x ≤ 4 (D)x ≤ 5（7）函数cos2+=y x x 最小正周期为 A 2π B 23π C π D 2π （8）如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）。

2017年青岛二模文数+答案

2017年青岛二模文数+答案

2017年青岛市高考模拟检测数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．D C A B B C D A A B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. (1,2) 13. 440x y -+= 14．1- 15．0m ≤三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得12014 1.52102 1.542721.445050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==………………2分则小于结算时间的平均值的人数共20人所以一位顾客的结算时间小于结算时间的平均值的概率为202505P ==…………………5分 （Ⅱ）购买牛奶制品的数量不少于10盒的顾客共有6人，其中买10至17盒有2人，设为12,a a ，买18至25盒有4人，设为1234,,,b b b b .任选两人的情况有1211121314212223{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b a b a b a b24{,},a b 121314232434{,},{,},{,},{,},{,},{,}b b b b b b b b b b b b 共15种………………………9分其中两位顾客的结算时间之和超过3.5分钟的情况有12131423{,},{,},{,},{,},b b b b b b b b2434{,},{,}b b b b 共6种………………………………………………………………………10分所以两位顾客的结算时间之和超过3.5分钟的概率62155P == ………………………12分 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） 2cos 2cos a C c A a c +=+由正弦定理：2sin cos 2sin cos sin sin A C C A A C +=+∴sin sin 2sin()2sin(π)2sin A C A C B B +=+=-= ∴2a c b +=①………………………………………………………………………………3分sin 3sin 4A B =，34a b ∴=② 由①②得：54c b =……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）8c a -= ，2a c b += ∴4,8b a c a =+=+，23C π=由余弦定理得：2222(8)(4)2(4)cos3a a a a a π+=++-⋅+， 解得：6a = 10b ∴= …………………………………………………………………10分所以11sin 610222S ab C ==⨯⨯⨯=…………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 11ABB A 为矩形，2AB =，1AA =，D 是1AA的中点， 090BAD ∴∠=，0190ABB ∠=，1BB =，112AD AA ==从而tan AD ABD AB ∠==11tan AB AB B BB ∠==， 0ABD <∠，12AB B π∠<，1ABD AB B ∴∠=∠……2分1112AB B BAB ABD BAB π∴∠+∠=∠+∠=，2AOB π∴∠=，从而1AB BD ⊥………………4分OC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，1AB OC ∴⊥，BD OC =O ，1AB ∴⊥平面BCD ，1AB ⊂平面1ABC ，∴平面1AB C ⊥平面BCD …………………………………………6分 (Ⅱ) 作1//A K BD 交1BB 于K ，连结KG1A K ⊄ 平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，1//A K ∴平面BCD ， 又1//AG 平面BCD ，111A K AG A = ∴平面1//A KG 平面BCD ， ………………………………………………………………8分平面1BBC 平面BCD BC =，平面1BBC 平面1A KG KG =， //BC KG ∴…………………………………………………………………………………10分在矩形11ABB A 中， 11//AA BB ，11AA BB =1A KBD ∴为平行四边形，从而1111122BK A D AA BB ===，K ∴为1BB 的中点G ∴为1B C 的中点.…………………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，2236a a a =+ 2111,()25a d a d a d ∴+=+++①23111a a a =⋅ 即2111(2)(10)a d a a d +=⋅+ ②0,d ≠ 由①②解得12a =，3d = ………………………………………………………4分B AC1A1B1CO GK∴ 数列{}n a 的通项公式为31n a n =-.……………………………………………………6分（Ⅱ）312(31)2na n n nb a n -=⋅=-⋅∴ 2583431225282(34)2(31)2n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ① 58313282252(34)2(31)2n n n T n n -+=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ②①-②得2583132722323232(31)2n n n T n -+-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ …………………9分3240211024949n n n T +-∴=+⋅ ∴ 数列{}n b 的前n 项和3240(2110)249n n n T ++-=…………………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 四边形1122A B A B的面积为1122A B A B 为菱形1222a b ∴⨯⋅=ab = ……………………………………………………2分 由题意可得直线22A B 方程为：1x ya b+=，即0bx ay ab +-=四边形1122A B A B 内切圆方程为22127x y +=∴圆心(0,0)到直线22A B=②………………………4分 由①②：2a =，b =∴椭圆C 的方程为：22143x y += ……………………………………………………6分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：222(34)84(3)0k x mkx m +++-=直线l 与椭圆C 相交于,M N 两个不同的点，∴22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->得：22340k m +->③由韦达定理：212122284(3), 3434mk m x x x x k k -+=-=++……………………………………8分以MN 为直径的圆过椭圆C 的右顶点2A ，22A M A N ∴⊥，220A M A N ⋅=由于2(2,0)A ，所以11221212(2,)(2,)(2)(2)0x y x y x x y y -⋅-=--+=1212(2)(2)()()0x x kx m kx m ⇒--+++=221212(1)(2)()40k x x mk x x m ⇒++-+++=从而222224(3)8(1)(2)()403434m mk k mk m k k-+⨯+--++=++即2271640m mk k ++=2m k ∴=-，或27m k =-适合③…………………………………………………………11分当2m k =-时，直线:l 2y kx k =-，即(2)y k x =-，所以恒过定点(2,0)， (2,0) 为椭圆的右顶点，与题意不符，舍去；当27m k =-时，直线:l 27y kx k =-，即2()7y k x =-，所以恒过定点2(,0)7综上可知：直线l 过定点，该定点为2(,0)7．……………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知0x >，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=-+-==令()0f x '=，解得1x =或12x =-（舍去） 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，所以()y f x =在(0,1)上单调递减 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()y f x =在(1,)+∞上单调递增所以1x =是()y f x =的极小值点，()y f x =的最小值为(1)f m =……………………3分 当0m >时，则函数()y f x =没有零点 当0m =时，则函数()y f x =有一个零点当0m <时，则函数()y f x =有两个零点…………………………………………………6分 （Ⅱ）当0m =时，222()()ln 22a ag x f x x x x x -=++=-+ 则211()ax g x ax x x-'=-+=①当0a ≤时，()0g x '<，所以()g x 在[1,]x e ∈上单调递减，max ()(1),2ag x g ==2min ()()12e g x g e a ==-,所以()g x 的值域为2[1,]2e aa -………………………………7分②当0a >时，21()ax g x x -'== 1时，即1a ≥，()0g x '≥，()g x 在[1,]x e ∈上单调递增，所以()g x 的值域为2[,1]22a e a -……………………………………………………………8分（ⅱ）当1e <<时，即211a e <<，x ∈时，()0g x '<，]x e ∈时，()0g x '>所以()g x 在x ∈上单调递减，在]x e ∈上单调递增所以()g x 的最小值为11ln 22g a =+ ()g x 的最大值为(1)g 与()g e 中最大的一个 2222112()(1)11()22221e a e e g e g a a a e ---=--=-=--Q ， 因为2211e <-，2222221101(1)e e e e e+-=>--,22211e e ∴>- 所以当221a e =-时，()g x 的值域为11[ln ,]222a a + 当2211a e <<-时，()g x 的值域为211[ln ,1]222e a a +- 当22121a e e <<-时，()g x 的值域为11[ln ,]222a a +……………………………………12分e 时，即210a e <≤，()0g x '≤，()g x 在[1,]x e ∈上单调递减 所以()g x 的值域为2[1,]22e a a - …………………………………………………………13分 综上所述，当21a e ≤时，函数()g x 的值域为2[1,]22e a a -； 当22121a e e <≤-时，函数()g x 的值域为11[ln ,]222a a +； 当2211a e <<-时，函数()g x 的值域为211[ln ,1]222e a a +-； 当1a ≥时，函数()g x 的值域为2[,1]22a e a -. ……………………………………………14分。

2019年1月山东省青岛市青岛第二中学高2020届高2017级高二第一学期期末数学试题及参考答案解析

2019年1月山东省青岛市青岛第二中学高2020届高2017级高二第一学期期末数学试题及参考答案解析

2018-2019学年度山东省青岛市青岛第二中学高中二年级第一学期期末数学试题一、单选题1.双曲线2214x y -=的焦点坐标是( )A.())12F F ，B.((1200F F ，C.())12F F ， D.((1200F F ， 【试题参考答案】C【试题解析】由双曲线的标准方程,分析可得a 、b 的值以及焦点的位置,计算可得c 的值,由双曲线的焦点坐标公式分析可得答案.解：根据题意,双曲线2214x y -=,其中2a =,1b =,其焦点在x 轴上,则c =则双曲线的焦点坐标为())12F F ，；故选：C .本题考查双曲线的标准方程以及几何性质,关键是由双曲线的标准方程分析a 、b 的值,属于基础题.2.某位同学将自己近10次的数学考试成绩一一记录进行分析.10次的成绩分别记为x 1,x 2,…x 10,下面给出的指标可以用来评估该同学数学成绩稳定程度的是( ) A.x 1,x 2,…x 10的平均数 B.x 1,x 2,…x 10的标准差 C.x 1,x 2,…x 10的最大值 D.x 1,x 2,…x 10的中位数【试题参考答案】B【试题解析】利用平均数,中位数估计数据的集中程度,方差和标准差估计数据的稳定程度,即可得出结论.解：平均数,中位数估计数据的集中程度, 方差和标准差估计数据的稳定程度,而最大值并不能很好的估计稳定程度, 故选：B .考查了平均数、中位数、方差和标准差估计数据的特性,属于基础题. 3.两枚骰子,设出现的点数之和分别为9,10,11的概率分别为p 1,p 2,p 3,则( ) A.p 1＜p 2＝p 3 B.p 1＞p 2＞p 3C.p 1＝p 2＞p 3D.p 1＞p 2＝p 3【试题参考答案】B【试题解析】列表,分别计算出出现的点数之和是9、10、11的概率p 1,p 2,p 3,比较即可.解：先后抛掷两枚骰子,出现的点数共有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种则出现点数之和为9的概率1436p =则出现点数之和为10的概率2336p = 则出现点数之和为11的概率3236p = 123p p p ∴＞＞, 故选：B .本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式,属于基础题.4.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数茎叶图,后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( )A.36B.1169C.367D.7【试题参考答案】C【试题解析】利用平均数求x ,再把7个数据代入方差公式.去掉1个最高分99,去掉1个最低分97,剩下7个数为：87,90,90,91,91,94,90x +, 所以979090919194(90)917x +++++++=,解得：4x =,所以22222(8791)2(9091)2(9191)2(9491)3677s -+⨯-+⨯-+⨯-==.本题考查平均数和方差的计算,考查从茎叶图提取信息、处理信息的能力. 5.已知a ＞0,椭圆x 2+a 2y 2＝2a 的长轴长是短轴长的3倍,则a 的值为( ) A.13B.3C.133或【试题参考答案】C【试题解析】先把椭圆方程化为标准方程,然后根据题意列出方程组,解出a 即可.解：2222x a y a +=可变为22122x y a a+=,0a >, 由题意得22229a a a a ⎧>⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩,解得3a =,或22292a aaa⎧>⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩解得13a =,故3a =或13a = 故选：C .本题考查椭圆的标准方程及简单性质,属于基础题,注意题意的长轴的数轴. 6.下列命题正确的是( )A.到x 轴距离为3的点的轨迹方程是x ＝3B.方程1yx=表示的曲线C 是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线 C.方程|x ﹣y |+(xy ﹣1)2＝0表示的曲线是一条直线和一条双曲线 D.3x 2﹣2y 2﹣3x +m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0【试题参考答案】D【试题解析】根据曲线与方程的定义,对4个选项分别进行判断即可得出结论.解：A 选项：到x 轴距离为3的点的轨迹方程是3=±y ,故A 错误； B 选项：方程1yx=表示的曲线C 是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线,除去原点,故B 错误；C 选项：方程2||(1)0x y xy -+-=,即x y =且1xy =,即点(1,1)或(1,1)--；故C 错误；D 选项：223230x y x m --+=通过原点,则0m =；当0m =时223230x y x --=通过原点,故D 正确. 故选：D .本题考查了命题的真假判断,曲线与方程的定义,属于基础题.7.已知点F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N ,若M 是FN 的中点,则M 点的纵坐标为( )B.4C.±D.±4【试题参考答案】C【试题解析】求出抛物线的焦点坐标,推出M 的坐标,然后求解,得到答案.由题意,抛物线2:8C y x =的焦点(2,0)F ,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N ,若M 为FN 的中点,如图所示,可知M 的横坐标为1,则M 的纵坐标为±故选C.本题主要考查了抛物线的简单性质的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 8.青岛二中戏剧节中,6个MT 除人文MT 有两个节目参加决赛外,其他MT 各有一个节目参加决赛,一共7个节目,在决赛中,要从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛,则人文MT 两支队伍不同时被抽到的概率为( ) A.121B.2021C.17D.57【试题参考答案】B【试题解析】从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛,总共有2742A =种可能,人文MT两支队伍同时被抽到的共有2种情况,利用正难则反法,求出即可.解：从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛,总共有2742A =种可能,人文MT 两支队伍同时被抽到的共有2种情况, 所以人文MT 两支队伍不同时被抽到的概率为22014221-=, 故选：B .考查古典概型概率的应用,本题还用了对立事件求概率的方法,属于基础题.9.已知A (1,0,0),B (0,﹣1,1),OA OB λ+u u u r u u u r 与OB uuu r(O 为坐标原点)的夹角为30°,则λ的值为( ) A.66B.66±C.62D.62±【试题参考答案】C【试题解析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可.解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-u u u r u u u r,∴|||OA OB OB λ+==u u u r u u u r u u u r()2OA OB OB λλ+=u u u r u u u r u u u r Q g ,∴cos302λ︒=, ∴4λ,则0λ>,∴2λ=. 故选：C .本题考查空间向量的坐标运算,考查运算求解能力,属于基础题. 10.有下列四个命题：①已知1e u r 和2e u u r 是两个互相垂直的单位向量,a =r 21e +u r 32e u u r ,1b ke =-u r r 42e u u r ,且a r ⊥b r,则实数k ＝6；②已知正四面体O ﹣ABC 的棱长为1,则(OA OB +u u u r u u u r)•(CA CB +u u u r u u u r)＝1；③已知A (1,1,0),B (0,3,0),C (2,2,3),则向量AC u u u r在AB u u u r④已知1a e =-ur r 223e e +u u r u r ,1b e =-+u r r 32e +u u r 23e u r ,c =-r 31e +u r 72e u u r ({1e u r ,2e u u r ,3e u r }为空间向量的一个基底),则向量a r ,b r ,c r不可能共面. 其中正确命题的个数为( ) A.1个B.2个C.3个D.4个【试题参考答案】C【试题解析】利用向量的基本概念逐一进行判断,即可得出结论.解：①Q a =r21e +u r 32e u u r ,1b ke =-u r r 42e u u r ,且a b ⊥r r ,2212121122(23)(4)2()(38)12()2120a b e e ke e k e k e e e k ∴=+-=+--=-=r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r g g g ,解得6k =,所以①正确.②()()OA OB CA CB OA CA OA CB OB CA OB CB ++=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g11cos6011cos9011cos9011cos60001=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒++=,所以②正确.③(1,1,3)AC =u u u r ,(1,2,0)AB =-u u u r,向量AC u u u r 在AB u u u r上正投影||AC AB AB ===u u u r u u u rg u u ur 所以③正确. ④假设向量a r ,b r ,c r共面,则a xb yc =+r r r ,所以123123122(32)(37)e e e x e e e y e e -+=-+++-+u r u u r u u r u r u u r u u r u r u u r , 1231232(3)(37)2e e e x y e x y e xe -+=--+++u r u u r u u r u r u u r u u r ,所以13x y =--,237x y -=+,12x =,得12x =,12y =-,所以向量a r ,b r ,c r共面,所以④不正确.即正确的有3个, 故选：C .本题考查向量的基本概念,向量垂直,共面,正投影等,属于中档题.11.过双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点且垂直于X 轴的直线与双曲线交于A ,B两点,若y 轴上存在一点D (0,b ),使得2ADB π∠=,则此双曲线的离心率的值是( )C.2D.2+【试题参考答案】B【试题解析】设出双曲线的右焦点,令x c =,代入双曲线的方程,解得A ,B 的坐标,2ADB π∠=,运用向量数量积的坐标表示,再由离心率公式,求解即可.解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2(,0)F c ,令x c =,可得2b y a=±,可得2(,)b A c a -,2(,)b B c a , 又(0,)D b ,90BDA ∠=︒,即0DB DA =u u u r u u u rg ,可得：(c ,2)(b c a g ,2)0b b a --=,可得42220b c b a+-=,可得42420e e -+=,1e >,解得e =故选：B .本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用转化思想,以及向量数量积的坐标表示,考查运算能力,属于中档题.12.已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且AF =u u u r 3FB u u u r,抛物线的准线l 与x 轴交与点C ,AA 1垂直l 于点A 1,若四边形AA 1CF 的面积为,则准线l 的方程为( )A.x =B.x =-C.x ＝﹣2D.x ＝﹣1【试题参考答案】D【试题解析】由题意得过焦点的直线的斜率存在且不为零,设直线方程,联立直线与抛物线的方程,由根与系数的关系及向量的关系得到A 点的坐标,代入抛物线方程可得参数的关系,由四边形的时梯形求出面积即可求出参数p 的值,进而求出准线方程.解：由题意得抛物线的准线方程：2p x =-,焦点坐标(2pF ,0),设(,)A x y ,0y >,(,)B x y '',0y '<,3AF FB =uu u r uu r ,(2p x ∴-,)3(2p y x '-=-,21)33y x p x''∴=-,13y y '=-,直线AB 的斜率存在且不为零,设2px my =+,代入抛物线方程：22y px =整理得：2220y pmx p --=,2y y pm '∴+=,而13y y y '=-∴,y '=2p x +,点(,)A x y 在抛物线上可得：232)2p p p =+,∴1=,四边形1AACF 的面积为而四边形1AACF 是直角梯形,所以面积为：11(||||)2AA CF y +=g g而1||22pAA x p p =+=+=,||CF p =,1||||3AA CF p ∴+=,∴1322p p ==g ,所以准线方程：1x =-.故选：D .考查直线与抛物线的位置关系,及根与系数的关系的应用,属于中档题.二、填空题13.命题“∀x ∈R ,x 2﹣2ax ﹣1≥0”的否定是_____. 【试题参考答案】∃x 0∈R ,x 02﹣2ax 0﹣1＜0.【试题解析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结论.解：命题为全称命题,则命题“x R ∀∈,2210x ax --…”的否定是0x R ∃∈,200210x ax --<,故答案为：0x R ∃∈,20210x ax --<.本题主要考查含有量词的命题的否定,属于基础题.14.青岛二中高一高中二年级高三三个年级数学MT 的学生人数分别为240人,240人,120人,现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛,再从5位同学中选出2名一等奖记A ＝“两名一等奖来自同一年级”,则事件A 的概率为_____. 【试题参考答案】15【试题解析】利用分层抽样的性质求出高一学生抽取2名,高中二年级学生抽取2名,高三学生抽取1名,再从5位同学中选出2名一等奖,基本事件个数2510n C ==,记A = “两名一等奖来自同一年级”,则事件A 包含的基本事件个数22222m C C =+=,由此能求出事件A 的概率.解：青岛二中高一高中二年级高三三个年级数学MT 的学生人数分别为240人,240人,120人,现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛,则高一学生抽取：5240240240120⨯=++2,高中二年级学生抽取：5240240240120⨯=++2, 高三学生抽取：5120240240120⨯=++1, 再从5位同学中选出2名一等奖,基本事件个数n 25C ==10,记A = “两名一等奖来自同一年级”,则事件A 包含的基本事件个数m 2222C C =+=2,∴事件A的概率为p21 105mn===.故答案为：15本题考查概率的求法,考查古典概型、分层抽样的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.15.高中二年级级部期中考试前组织了一次模拟,并随机抽取了部分高中二年级学生的数学检测成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图,估计该次检测的平均成绩μ＝_____.【试题参考答案】103.2【试题解析】根据频率分布直方图,能估计该次检测的平均成绩.解：根据频率分布直方图,估计该次检测的平均成绩：(650.005750.008850.012950.015μ=⨯+⨯+⨯+⨯1050.0241150.0181250.0101350.0051450.003)10103.2+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故答案为：103.2本题考查平均数的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.16.已知椭圆C1：222211x ya b+=1(a1＞0,b1＞0)与双曲线C2：222222x ya b-=1(a2＞0,b2＞0)相同的焦点F1,F2(F1,F2分别为左右焦点),若点P是C1和C2在第一象限内的交点,|F1F2|＝|PF2|,设C1和C2的离心率分别是e1,e2,则e2﹣e1的取值范围是_____【试题参考答案】(23,+∞) 【试题解析】设椭圆与双曲线的焦距为12||2F F c =,1||PF t =,由题意可得122a a c -=,用2e 表示出1e ,结合二次函数的性质即可求21e e -的取值范围.解：设椭圆与双曲线的焦距为12||2F F c =,1||PF t =,由题意可得, 122t c a ∴+=,222t c a -=, 122t a c ∴=-,222t a c =+, 122222a c a c ∴-=+,122a a c ∴-=,∴12112e e -=,21221e e e =+, 则2222122222222122121e e e e e e e e e -=-==+++,21e >Q ,2101e ∴<<,则22212(0,3)e e +∈,212(3e e ∴-∈,)+∞.故答案为：2(3,)+∞.本题考查了双曲线和椭圆的简单性质以及离心率的问题,考查了转化思想,属于中档题.三、解答题17.盒子中装有大小相同的3个编号分别为A 1,A 2,A 3的红球,2个编号为B 1,B 2的黑球,1个号为C 1的黄球,从盒子中任就摸出4个球,求至少有2个红球的概率. 【试题参考答案】45【试题解析】利用排列组合求出所有的可能性和满足条件的可能性,再用古典概型概率公式求出.解：根据题意,从盒子中任意摸出4个球,总共有46360A =种,从盒子中任意摸出4个球,只有2个红球共有3324216⨯⨯=种, 从盒子中任意摸出4个球,有3个红球共有132472⨯⨯=种, 所以至少有2个红球的概率为2167243605+=.考查了排列组合法,古典概型概率公式的应用,属于基础题.18.已知集合21{|312}{|1}2A y y x x x B x x m ⎡⎤==-+∈-=-≤⎢⎥⎣⎦，，，,命题p ：t ∈A ,命题q ：t ∈B ,并且命题p 是命题q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围. 【试题参考答案】[14-,74] 【试题解析】利用二次函数的图象求出集合A ,解不等式||1x m -„求出集合B ,再利用命题p 是命题q 的必要而不充分条件,得到B A Ü,利用集合间包含关系即可求出m 的取值范围.解：231y x x =-+Q ,1[,2]2x ∈-,∴当32x =时,2335()31224min y =-⨯+=-,当12x =-时,21111()3()1224max y =--⨯-+=,∴集合5[4A =-,11]4, ||1x m -Q „,11m x m ∴-+剟,∴集合[1B m =-,1]m +,Q 命题p 是命题q 的必要而不充分条件,B A ∴Ü,∴5141114m m ⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩…„,1744m ∴-剟,∴实数m 的取值范围为：1[4-,7]4.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,属于基础题.19.为了调查消费者的维权意识,青岛二中的学生记者在五四广场随机调查了120名市民,按他们的年龄分组：第1组[20.30),第2组[30,40),第3组[40,50),第4组[50,60),第5组[60,70),得到的频率分布直方图如图所示.(1)若要从被调查的市民中选1人采访,求被采访人恰好在第2组或第5组的概率；(2)已知第1组市民中男性有2人,学生要从第1组中随机抽取3名市民组成维权志愿者服务队,求至少有两名女性的概率.【试题参考答案】(1)0.45(2)0.8【试题解析】(1)设第2组[30,40)的频率为2f,利用概率和为1,求出第二组的概率,把第五组加起来即可,(2)设第1组[20,30)的频数1n,求出1n,记第1组中的男性为1x,2x,女性为1y,2y,3y,4y 列出随机抽取3名市民的基本事件,列出至少有两名女性的基本事件,然后求解至少有两名女性的概率.解：(1)设第2组[30,40)的频率为21(0.0050.010.020.03)100.35f=-+++⨯=；第4组的频率为0.01100.1⨯=所以被采访人恰好在第2组或第5组的概率为10.350.10.45P=+=；(2)设第1组[20,30)的频数1n,则11200.005106n=⨯⨯=,记第1组中的男性为1x,2x,女性为1y,2y,3y,4y随机抽取3名市民的基本事件是：1(x ,2x ,1)y ,1(x ,2x ,2)y ,1(x ,2x ,3)y ,1(x ,2x ,4)y ,1(x ,2y ,1)y ,1(x ,3y ,2)y ,1(x ,1y ,3)y ,1(x ,4y ,1)y ,1(x ,2y ,4)y ,1(x ,3y ,4)y ,2(x ,2y ,1)y ,2(x ,3y ,2)y ,2(x ,1y ,3)y ,2(x ,4y ,1)y ,2(x ,2y ,4)y ,2(x ,3y ,4)y ,1(y ,2y ,3)y ,1(y ,2y ,4)y ,2(y ,3y ,4)y ,1(y ,3y ,4)y 共20种其中至少有两名女性的基本事件是：1(x ,2y ,1)y ,1(x ,3y ,2)y ,1(x ,1y ,3)y ,1(x ,4y ,1)y ,1(x ,2y ,4)y ,1(x ,3y ,4)y ,2(x ,2y ,1)y ,2(x ,3y ,2)y ,2(x ,1y ,3)y ,2(x ,4y ,1)y ,2(x ,2y ,4)y ,2(x ,3y ,4)y , 1(y ,2y ,3)y ,1(y ,2y ,4)y ,2(y ,3y ,4)y ,1(y ,3y ,4)y 共16种,所以至少有两名女性的概率为160.820=.本题考查古典概型概率公式的应用概率的求法,考查计算能力,属于基础题.20.PM 2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物),为了探究车流量与PM 2.5的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM 2.5浓度的数据如下表：(1)根据上表数据,用最小二乘法,求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆyb =•x ˆa +； (2)若周六同一时间段车流量200万辆,试根据(1)求出的线性回归方程,预测此时PM 2.5的浓度为多少？(参考公式：()()121()ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑,ˆˆa y b=-•x ；参考数据：51i =∑x i ＝540,51i =∑y i＝420)【试题参考答案】(1)y 关于x 的线性回归方程为ˆy=0.72x +6.24(2)此时PM 2.5的浓度为150.24微克/立方米【试题解析】(1)根据回归系数公式计算回归系数,得出回归方程； (2)将200x =代入回归方程计算.解：(1)1(100102108114116)1085x =⨯++++=,1(7880848890)845y =⨯++++=.()()51(8)(6)(6)(4)06486144ii i xx y y =--=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯=∑,()5222221(8)(6)068200ii x x =-=-+-+++=∑.∴1440.72200b==$,$840.72108 6.24a =-⨯=. y ∴关于x 的线性回归方程为$0.72 6.24y x =+.(2)当200x =时,$0.72200 6.24150.24y =⨯+=.∴此时 2.5PM 的浓度为150.24微克/立方米.本题考查了线性回归方程的解法及利用回归方程进行数值估计,属于基础题.21.已知抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ,点M 是直线y ＝x 与抛物线E 在第一象限内的交点,且|MF |＝5. (1)求抛物E 的方程.(2)直线l 与抛物线E 相交于两点A ,B ,过点A ,B 分别作AA 1⊥x 轴于A 1,BB 1⊥x 轴于B 1,原点O 到直线l 的距离为1.求1111AA BB +的最大值. 【试题参考答案】(1)x 2＝4y (2)174【试题解析】(1)抛物线中到焦点的距离转化为到准线的距离；(2)由题意得直线的斜率存在且不为零,设直线方程,代入抛物线中,由根与系数的关系得到纵坐标的关系,原点到直线的距离得出斜率和截距的关系,求出距离1||AA ,1||BB 用纵坐标表示,再由二次函数求出最大值.解：(1)设(M x ,)(0)y x >,联立方程组：22y xx py=⎧⎨=⎩解得：2x p =, 抛物线中,准线方程：2px =-,到焦点距离等于到准线的距离,||5MF =,2()52pp ∴--=,解得：2p =,所以抛物线方程为：24xy =； (2)由题意可得直线l 的斜率一定存在, 设l 的方程为：y kx b =+,0b >, 原点O 到直线l 的距离为1得：222111k b k =⇒=-+,(,)A x y ,0y >,(,)B x y '',0y '>,联立方程组：24y kx bx y=+⎧⎨=⎩得：2440x kx b --=,216160k b ∆=+>,即20k b +>且4x x k '+=,4xx b '=-,22()242424y y k x x b k b b b ''∴+=++=+=+-,22216x x yy b ''==,而222111111424124()4||||y y b b AA BB y y yy b p p'++-+=+===-++'', 当114p =时最大且为：174, 即1111||||AA BB +的最大值为：174.考查抛物线的性质,及直线与抛物线相交的得出坐标的关系,再由二次函数求出最大值.属于中档题.22.如图,已知椭圆C ：2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ,A (2,0)是椭圆的右顶点,过F且垂直于x 轴的直线交椭圆于P ,Q 两点,且|PQ |＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线l 与椭圆交于另一点B ,垂直于l 的直线l ′与直线l 交于点M ,与y 轴交于点N ,若FB ⊥FN 且|MO |＝|MA |,求直线l 的方程.【试题参考答案】(1)22143x y +=(2)直线l 方程为：x ＝y +2 【试题解析】(1)由2232b PQ aa ⎧==⎪⎨⎪=⎩得：2a =,b =即可求出椭圆方程, (2)由于直线l 过点A ,可设l 方程为：2x my =+,求出点M ,N 的坐标,根据向量的数量积和点在椭圆上,即可求出m 的值,即可求出直线l 的方程解：(1)由2232b PQ aa ⎧==⎪⎨⎪=⎩得：2a =,b =所以椭圆方程为22143x y +=,(2)由于直线l 过点A ,可设l 方程为：2x my =+,由题意可知0m ≠,与直线:1PQ x =联立,得1(1,)M m-, 直线MN 与直线l 垂直,可得直线MN 方程为：11(1)y m x mx m m m=---=-+- 令0x =.得1(0,)N m m-,设0(2b my +,0)y ,FB FN ⊥, 所以0FB FN =u u u r u u u rg ,即0y m =-⋯①,由B 点在椭圆上,代入椭圆方程得：2200(2)143my y ++=⋯②,联立①②,得m =所以直线l方程为：2x y =+,本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,向量运算,考查计算能力,属于中档题.23.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)与圆22()42p D x y -+=：无公共点,过抛物线C 上一点M 作圆D 的两条切线,切点分别为E ,F ,当点M 在抛物线C 上运动时,直线EF 都不通过的点构成一个区域,求这个区域的面积的取值范围. 【试题参考答案】(0,π)【试题解析】联立圆的方程和抛物线方程,可得x 的方程,由方程有非负数解,可得4p >,由E ,F 既在圆D 上,又在以DM 为直径的圆上,可得切点弦EF 的方程,考虑关于0y 的方程有解,可得当M 运动时,直线EF 都不通过的点构成一个区域是圆G ,由圆的面积公式可得范围.解：抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:()42p D x y -+=无公共点,可得22244p x px px -++=即22404p x px ++-=无非负数解, 即有△224(4)164p p =--=,解得42p x --=或42p -+, 可得4p >,π设20(2y M p ,0)y 总在圆D 外部,即22200()422y p y p -+>对一切实数0y 都成立, 由242222200002()224244y y y p p p y p p -+=++…,即244p >,即4p >成立, 点E ,F 在圆22:()42p D x y -+=上,也在以(2p D ,0),20(2y M p ,0)y 为直径的圆上. 即在200()()()022y px x y y y p--+-=上, 上面两个圆的方程相减可得：222000()402244y y p p x y y p --++-=, 即为直线EF 的方程,化为22001()(4)04224x p p y y y x p --++-=,2px ≠,关于0y 的二次方程有实数根, ∴2214()(4)04224x p p y x p ∆=--+-…, 即222281604p p x y x p --+-+…, 即直线EF 不经过圆222281604p p Gx y x p --+-+=的内部的每一个点. 当M 运动时,直线EF 都不通过的点构成一个区域是圆G , 这个区域的面积是2222816()4()1644P P P pππ---=g ,取值范围是(0,)π.。

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山东省青岛二中2017届高三上学期期末考试文科数学试卷
第I 卷（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合}0|{)},1(log |{22>=-==x x B x y x A ，则=B A （ ） A ．)1,0( B ．]1,0( C ．)1,(-∞ D ．)1,0()0,( -∞ 2．已知复数z 满足i z i 34)21(+=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．i -2 B ．i +2 C ．i 21+ D ．i 21- 3．已知实数4,,,,1--z y x 成等比数列，则=xyz （ ） A ．8- B ．8± C ．22
- D ．22±
4．已知3
1)4
tan(=-πα，则α2sin 等于（ ）
A ．32
B ．31
C ．54
D ．5
2
5．设n m l ,,表示不同的直线，γβα,,表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ） ①若l m //，且α⊥m ，则α⊥l ； ②若l m //，且α//m ，则α//l ；
7．定义域为R 的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，
x x x f -=2)(，则当)0,1[-∈x 时，)(x f 的最小值为（ ）
A ．8
1- B ．4
1- C ．0 D ．4
1
8．已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x 的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．)()()1(b f a f f << B ．)1()()(f b f a f << C ．)()1()(b f f a f <<
D ．)()1()(a f f b f <<
9．已知不等式x
x a
y y 22|||4|+
≤-+对任意实数y x ,都成立，则常数
a 的最小值为（ ）
A ．
B ．2
C ．3
D ．4
10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为
F ，M
是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线
相切，且该圆的面积为π9，则=p （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
第II 卷 （共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）
11正视图
侧视图
几何
体的体积是_________________．
12．已知)1,2(=→a ，)3,1(-=→b ，若→→→+=b a c 2，→
→→-=b x a d 2， 且→
→
⊥d c ，则=x ． 13．已知点
P 的坐标),(y x 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+14x x y y x ，过点P
的直线与圆
14
:22=+y x C 相交于
B
A ,两点，则
|
|AB 的最小值为
__________________．
14．函数ax x x x f -+=233
1)(在区间),1(+∞上单调递增，且在区间)
2,1(上有零点，则实数a 的取值范围是___________________．
15．设21,F F 是双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的两个焦点，P 是曲
线C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，21F PF ∆的最小内角为︒30，则曲线C 的离心率为 ．
三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．(本小题满分12分)
某市有,,M N S 三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36,24,12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查．
（Ⅰ）求应从,,M N S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数； （Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2名，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．
17．(本小题满分12分)
已知函数2()2sin ()2,,4
42f x x x x πππ⎡⎤
=+∈⎢⎥⎣⎦
．设x α=时()f x 取到
最大值．
（I ）求()f x 的最大值及α的值；
（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12
A πα=-，且
2sin sin sin B C A =，
求b c -的值．
18．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥ABCD P -中⊥PD 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD
上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示．
（I ）证明：⊥BC 平面PBD ； （II ）证明：//AM 平面PBC ； （III
19．(本小题满分12分)
P
M B
C
D
4
侧（左）视图
已知数列}{n a 中，t a =1（为非负常数），数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足n n S S 31=+
（I ）当1=t 时，求数列}{n a 的通项公式； （II ）若n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
20．(本小题满分13分)
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x M 的离心率为32
2，且椭圆上一点与
两个焦点构成的三角形周长为246+．
（I ）求椭圆M 的方程；
（II ）设直线与椭圆M 交于A ，B 两点（A ，B 不是顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，证明这样的直线恒过定点，并求出该点坐标．
21．(本小题满分14分)
已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （I ）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （II ）求函数)(x f 单调递增区间；
（III ）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的
底数），求实数a 的取值范围．
参考答案：
-= b c
0.
19．解析：（1）解法1：由n n S S 31=+，可知数列}{n S 是首项为，公比为3的等比数列，所以
综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)e a ∈∞+ ．。

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