组合数学(第3章3.1)

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r)表示n元素集合的全部r-排列数。约定 当r>n时，P(n, r)=0。 如集合S={a, b, c}的2-排列包括： ab, ac, ba, bc, ca, cb

集合S的一个排列是某种顺序列出S的所有 元素。（有时称一个全排列）

定理3.2.1：对于整数n和r, rn, 有 P(n, r)=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)=
5

解法(2): T是互异7位数字全集，P(9,7). — T可划分为两个子集S和S的补集S，其中S表 示5和6不连续出现数字集。那么， — |S|=2×6×P(7, 5) — |S|=|T||S|=P(9,7)2×6×P(7, 5)
小结
基本的计数原理：加法原理、乘法原理 集合的线性排列 注意：元素的重复性计数问题；一个经验： 优先对有约束条件的位置计数。 课后作业：3.6 习题，4，5, 6。

|S1|=P(7,7)=5040; |S2|=|S3|=7×P(7,6)=35280; 计算|S4|。分为3种情况：第一位数字5；最后 一位为5；5出现在其他位置。 5×P(7,5)+5×P(7,5)+5×4×P(7,5)=75600 总数为各部分和： |S1|+|S2|+|S3|+|S4|
5 6 6 5 6 6
减法原理与除法原理
减法原理：令集合AU, A={xU | xA} 是A在U中的补集。那么，|A|=|U|| A|. 注：与加法原理等价。 除法原理：S是一个有限集，被划分为k个 部分，使得每个部分含有相同的元素个数 n。那么： |S| k n

区分两种不同的计数类型：
（1）对元素的有序摆放数或选择数的计数。 a)没有重复的元素 b)有重复的元素（无限重复或有限重复） （2）对元素的无序摆放数或选择数的计数。 a)没有重复的元素 b)有重复的元素（无限重复或有限重复） 定义：与顺序有关的摆放或选择称 排列。与顺序无 关的摆放或选择称 组合。

例子
有6个桔子和9个苹果，要求篮子中至少有 一个水果，问可以装配成多少种不同的水 果蓝？ 可以用不同的计数方法。 （1）先设包括空的情形，那么，选择橘子 方法有7种(0,1,2,3,4,5,6)，选择苹果方法有 10种，故共有70种，除去空的情况有69种。

（2）考查划分为两个部分S1和S2，其中S1 表示没有橘子的组成方式，S2表示至少 有1个橘子的组成方式，那么|S1|=9, 而 |S2|=6×10＝60，故共有69种。 注：这里认为橘子之间没有区别，若对橘 子间编号，计数方式复杂得多。
多重集合
多重集：允许元素重复。例如： M＝{a,a,a, b,b} 称3个类型a, 2个类型b，也可写作 M＝{3a, 2b}，3和2是重复集的重数。 注：一般多重集不是集合。集合是重数为1 的多重集。

应用
例. 在1000和9999之间有多少具有不同数 字的奇数？ 解：满足条件的数字是4个数字的有序排列， 其中个位数只能是奇数，即属于{1,3,5,7,9}。 十位数和百位数可是任一个数字，千位数 不能为0。 个位数：5种选择；千位：8。乘法原理： 5×8×8×7＝240


例. 下面代码执行后k的值？
k=0 for i1=1 to n1 k :=k+1 for i2=1 to n2 k :=k+1 . for im=1 to nm k :=k+1 解： k的初值为0。第i个循环 被执行ni次，循环分别进行， 运用加法原理，即得到 k=n1+n2+…+ nm
如果是嵌套循环呢？
应用例子

例. 有多少个不同的7位二进制串？

例. 一个实验室有32台微机，每台微机有24 个端口。这个实验室有多少个不同的单机 端口？
应用
例. 确定数3452117 138的正整数因子的个 数。 要点：它的每个因子具有形式 3i5j11k 13l, 其中，0i4, 0j2, 0k7, 0l8. 乘法原理：因子总数5389
|S|=|S1|+|S2|+…+|Sm | 注意：（1）集合的一个划分是指：该集合由一些 互不相交的子集并集构成。

（2）若这些子集存在重叠，则需要其他原理计数。
加法原理的自然语言叙述
如果有p种方法能够从一堆中选择一
个物体，而有q种方法也能够从另一 堆中选择一个物体，那么从这两堆 中选择一个物体的方法有p+q种。 注意：两种方法间没有关联，互相 独立的。

例子
数字1,1,1, 3, 8可以构造出多少个不同的5 位数？ 这是一个3重集的排列问题。 解：数字3可能位置选择数为5，3选定情况 下，8选择可能数为4，故由乘法原理 5×4＝20种。

集合的线性排列

定义：从n个元素中取出r个元素的有序摆放， 称n元素集合的r-排列。
用P(n,
n! ( n r )!
(其中：定义n!=n(n-1)(n-2)…2 1, 约定 0!=1)
应用

例1：将数字1，2，…，15 放入一个44的 方阵中，问共有多少种摆放方法？若放入 66的方阵中，共有多少种摆放方法？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
13 14 15
例
将字母表的26个字母排序使得元音字母a, e, i, o, u中任意两个都不得相继出现，这种排 序的方法总数是多少？ 解：21个辅音字母排序有21！种； 将5个元音字母分别插入22空位：有 P(22, 5)种，由乘法原理 21!×P(22, 5)

例
有多少个取自{1，2，…，9}的各位互异的7 位数，使得5和6不以任何顺序相继出现？ 多种解法： （1）分4种情况，S1表示5,6均不出现数字集； S2表示5出现但6不出现数字集； S3表示6出 现但5不出现数字集； S4表示5,6均出现数字 集。那么

解（1）将空白块标号0，那么，每一种 摆放方法对应16数字的一个排列，则问 题等价于16个数字的任何排列数，即 P(16, 16)=16! （2）依次摆放1，2,…15号方块，每个标 号可在36个方块选取，故相当于36个中 选取15个的任意排列：共有P(36，15)。
1
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第三章 排列与组合
3.1 4个基本的计数原理
3.2 集合的排列
鸽巢原理仅用于证明某个排列的存在
性，而不能用于计数。
主要内容
加法原理与乘法原理 集合的线性排列 应用例子

加法原理
集合论描述：

设集合S划分为S1, S2,…, Sm（即S= S1S2 … Sm ， SiSj＝ ，ij ）。则：
乘法原理
集合论描述： 设S是P和Q的乘积（即S＝P×Q），则 |S|＝|P|×|Q| 另一形式：如果第一项任务有p个结果，不 论第一项任务的结果如何，第二项任务有q 个结果，那么，这两项任务连续执行就有 p×q个结果。
两种原理比较
加法原理： 2＋3 A B
乘法原理： A 2×3
B
C
应用例子