新人教版九年级数学上册课件：求阴影部分面积习题课
九年级数学求阴影部分的面积
在处理不规则多边形或复杂组合图形 时，可以通过分割法将其划分为几个 三角形、矩形等简单图形，然后利用 基本图形的面积公式进行计算。
添补法简化计算过程
添补法原理
在组合图形中添加一些辅助线或基本图形，使得阴影部分形成一个规则的、易于 计算面积的基本图形，然后减去添加部分的面积，得到阴影部分的面积。
提高综合运用能力，培养创新思维
综合运用多种方法
在实际问题中，可能需要综合运用多种方法来求解阴影部分面积。因此，要熟练掌握各种方法，并能够根据问题 的特点选择合适的方法。
培养创新思维
在求解阴影部分面积时，要敢于尝试新的方法和思路。通过不断地尝试和创新，可以锻炼自己的思维能力和创新 能力。
06 练习题与答案解析
添补法应用举例
在处理一些具有对称性或旋转性的组合图形时，可以通过添补法将其转化为一个 完整的、规则的图形，然后利用基本图形的面积公式进行计算。
等积变换思想在解题中体现
等积变换原理
通过图形的平移、旋转、对称等变换， 使得阴影部分与某个已知面积的基本 图形重合或相等，从而直接得到阴影 部分的面积。
等积变换应用举例
1 2
圆的定义及性质
圆是平面上所有与给定点（中心）距离相等的点 的集合。
扇形的定义
由两个半径和它们所夹的弧围成的图形叫做扇形。
3
圆心角、弧长与半径的关系
圆心角的度数等于它所对弧长与半径的比值乘以 180。
弧长、圆心角及扇形面积计算
弧长公式
应用举例
弧长 = (圆心角/360°) × 2πr，其中r 为半径。
分。
02
三角形中的阴影部分
当三角形中有一部分被其他图形遮挡时，被遮挡的部分即为阴影部分。
龙泉驿区五中九年级数学上册 第24章 圆 解题技巧专题 圆中求阴影部分的面积课件 新版新人教版
∴k＜0.由根与系数的关系可得 x1＋x2＝－1，x1x2＝k＋ 4k1，
∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2x12－4x1x2－x1x2＋2x22＝2(x1＋x2)2－9x1x2
＝2×(－1)2－9×k＋1＝2－9（k＋1）＝－3，
4k
4k
2
∴k＝95.又∵k＜0，∴不存在实数 k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32成立
3.配方:方程两边都加上一次项系 数绝対值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合 并同类项;
5.开方:根据平方根意义,方 程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程;
x1
9
4
17
; x2
9
4
17
.
7.定解:写出原方程的解.
获取新知 公式法是这样产生的
你能用配方式解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
3
3
(2)答案不唯一，如：当 m＝0 时，方程可化为－x2＋2x＝0，
解得 x1＝0，x2＝2
类型三 利用根与系数的关系求未知字母的值或取值范围时忽略根存在的前提Δ≥0
6．已知α , β是关于x的一元二次方程x2＋mx＋m＝0的两个实数根 , 且满足α2＋β2＝3 , 那么m的值是( )
A．3或－1
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
3 用公式法求解一元二次方程
新配课方导式入
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方式,得到了一 元二次方程的根,这种解一元二次方程的方式称 为 用配配方方式式解. 一元二次方程的方式的助手:
武汉专版2019年秋九年级数学上册第二十四章圆专题41求阴影部分的面积课件 新人教版
二、等积变形法 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 3，则阴影部分的面积为___2_π3____．
4．如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 __1__．
三、图形变换法 5．如图，两个半圆中，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积是_2_π__．
6．如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影 部分的面积为___2_π．
7．如图，在△ABC中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，∠ABC＝30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转， 使点C旋转到AB边的延长线上的C′处，那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是_4_5_π_ cm2.(结果 保留π)
第二十四章 圆
专题41 求阴影部分的面积
武汉专版·九年级上册
一、割补法
1．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，
︵ AC
＝
︵ BC
，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF
的边长为2 2 时，则阴影部分的面积为___2_π_－__4____．
2．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD， 则图中阴影部分面积是_________8．－π
2023年九年级数学中考复习小专题： 阴影部分面积课件
阴影部分面积的计算
专题解读
1.中考必考
2.题型：填空题(15题）
3.分值：4分
4.知识点：三角形、四边形、圆、扇形、正多边形等
5.方法：要注意观察和分析图形
会分解和组合图形
（1）公式法 （2）和差法 （3）割补法
基础公式
1
S 底 高
2
三角形面积公式：
平行四边形面积公式： S=底×高
2
2
2
2
∴DE＝ AE －AD ＝ 4 －2 ＝2 3.
AD 1
＝ ，
AE 2
在 Rt△ADE 中，∵cos∠DAE＝
【解题思路】
第一步：利用三角函数求得∠DAE 的度数；
第二步：根据 S 阴影＝S 扇形 FAE－S△ADE 即可求解．
1
1
∴∠DAE＝60°，∴S△ADE＝ AD·DE＝ ×2×2 3＝2 3，
形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算．
例4
如图，AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠BCD＝30°， CD
＝2 3，则 S 阴影＝( D )
A．2π
8
B． π
3
4
C． π
3
2
D． π
3
【解题思路】第一步：根据垂径定理得到 CE＝ED＝ 3；
第二步：根据圆周角定理求出∠BOD 的度数；
阴影部分的面积是( C )
A．π
C．3π
B．2π
D．6π
【解答】∵在□ABCD 中，∠B＝60°，∴∠C＝120°，
120π×32
∴S 阴影＝
＝3π.
360
方法二Βιβλιοθήκη 和差法（1）直接和差法
九年级数学上册 第二十四章 圆 小专题16 求阴影部分的面积习题 (新版)新人教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题小专题16 求阴影部分的面积——教材P113练习T3的变式与应用【教材母题】 如图，正三角形ABC 的边长为a ，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，a2长为半径作圆．求图中阴影部分的面积．解：连接AD.由题意，得CD ＝a2，AC ＝a ，故AD ＝AC 2－CD 2＝a 2－（a 2）2＝32a.则图中阴影部分的面积为12×a×32a －3×60π×（a 2）2360＝23－π8a 2.求阴影部分面积的常用方法：①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算； ②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件．1．(资阳中考)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D.若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是(A)A ．23－23πB ．43－23πC ．23－43π D.23π2．(枣庄中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为(D)A ．2πB ．π C.π3 D.2π33．(深圳中考)如图，在扇形AOB 中，∠AOB＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为(A)A ．2π－4B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－44．(朝阳中考)如图，分别以五边形ABCDE 的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为(C)A.32π B ．3π C.72π D ．2π5．(山西中考)如图是某商品的标志图案，AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A ，B ，C ，D ，得到四边形ABCD.若AC ＝10 cm ，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(B)A ．5π cm 2B ．10π cm 2C ．15π cm2 D ．20π cm 26．(河南中考)如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是(C)A.2π3 B ．23－π3C ．23－2π3 D ．43－2π37．(天水中考)如图，在△ABC 中，BC ＝6，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是优弧EF ︵上的一点，且∠EPF＝50°，则图中阴影部分的面积是(6－109π)．8．(滨州中考)如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝2，分别以A ，B ，C 为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是9．(太原二模)如图，AB 是半圆O 的直径，且AB ＝8，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是8π3(结果保留π)10．(南通中考)如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，∠ACB＝60°.(1)求∠APB 的度数；(2)若⊙O 的半径长为4 cm ，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OA ，OB.∵PA，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∴∠AOB＋∠APB＝180°. ∵∠AOB＝2∠C＝120°， ∴∠APB＝60°. (2)连接OP.∵PA，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点， ∴∠APO＝12∠APB＝30°.在Rt△APO 中，∵OA ＝4 cm ， ∴PO＝2×4＝8(cm)．由勾股定理得AP ＝OP 2－OA 2＝82－42＝43(cm)． ∴S 阴影＝2×(12×4×43－60×π×42360)＝(163－163π)cm 2.11．(本溪中考)如图，点D 是等边△ABC 中BC 边的延长线上一点，且AC ＝CD ，以AB 为直径作⊙O，分别交边AC ，BC 于点E ，F. (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)连接OC ，交⊙O 于点G ，若AB ＝4，求线段CE ，CG 与GE ︵围成的阴影部分的面积S.解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°. ∵AC＝CD ，∴∠CAD＝∠D＝30°.∴∠BAD＝90°，即AB⊥AD. ∵AB 为直径，∴AD 是⊙O 的切线． (2)连接OE ，∵OA＝OE ，∠BAC＝60°，∴△OAE 是等边三角形．∴∠AOE＝60°.∵CB＝CA ，OA ＝OB ，∴CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.∴∠EOC＝30°. ∵△ABC 是边长为4的等边三角形，∴AO＝2. 由勾股定理得：OC ＝42－22＝2 3.同理等边△AOE 边AO 上的高是22－12＝3， ∴S 阴影＝S △AOC －S 等边△AOE －S 扇形EOG ＝12×2×23－12×2×3－30×π×22360 ＝3－π3.12．(襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝AD ＝2， ∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ， ∴△ABF ≌△CBE.∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°， AF ＝EC.∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°.∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ， ∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG. ∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB.∴EC ∥FG. ∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG. ∴四边形EFGC 是平行四边形． ∴EF ∥CG.(2)∵△ABF ≌△CBE ，∴FB ＝BE ＝12AB ＝1.∴AF ＝AB 2＋BF 2＝ 5. 在△FEC 和△CGF 中，∵EC ＝GF ，∠ECF ＝∠GFC ，FC ＝CF ， ∴△FEC ≌△CGF(SAS)． ∴S △FEC ＝S △CGF .∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG＝90π×22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π×（5）2360＝52－π4(或10－π4)．。
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6．如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半 圆绕点B2π顺时针旋转45°，点A旋转到A′ 的位置，则图中阴影部分的面积为____．
45π
7．如图，在△ABC中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，∠ABC＝30°，把△ABC以点B为中心 按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的
二、等积变形法 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
2π
∠CDB＝30°，CD＝2 ，3则阴影部分3 的面 积为________．
1
4．如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O 于A，BC交⊙O于D，若∠C＝45°，则图中 阴影部分的面积为____．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
径CD平行且与小半圆相切，则图中阴影部 分的面积是____．
第二十四章 圆
专题41 求阴影部分的面积
武汉专版·九年级上册
1．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°， ＝ ，点D在OB上，点E在OB的延长线上， 当正方形CDEF的边A︵C 长B︵C 为2 时，则阴影部 分的面2 积为_____2_π－_4 ____．
2．如图，在R8－tπ△AOB中，∠AOB＝90°， OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋 转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时 针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆 心，OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连接
2018-2019学年九年级数学上册 第二十四章 圆 小专题16 求阴影部分的面积习题 (新版)新人教版
小专题16 求阴影部分的面积——教材P113练习T3的变式与应用【教材母题】 如图，正三角形ABC 的边长为a ，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，a2长为半径作圆．求图中阴影部分的面积．解：连接AD.由题意，得CD ＝a2，AC ＝a ，故AD ＝AC 2－CD 2＝a 2－（a 2）2＝32a.则图中阴影部分的面积为12×a×32a －3×60π×（a 2）2360＝23－π8a 2.求阴影部分面积的常用方法：①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算； ②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件．1．(资阳中考)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D.若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是(A)A ．23－23πB ．43－23πC ．23－43π D.23π2．(枣庄中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为(D)A ．2πB ．π C.π3 D.2π33．(深圳中考)如图，在扇形AOB 中，∠AOB＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为(A)A ．2π－4B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－44．(朝阳中考)如图，分别以五边形ABCDE 的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为(C)A.32π B ．3π C.72π D ．2π5．(山西中考)如图是某商品的标志图案，AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A ，B ，C ，D ，得到四边形ABCD.若AC ＝10 cm ，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(B)A ．5π cm 2B ．10π cm 2C ．15π cm2 D ．20π cm 26．(河南中考)如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是(C)A.2π3 B ．23－π3C ．23－2π3 D ．43－2π37．(天水中考)如图，在△ABC 中，BC ＝6，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是优弧EF ︵上的一点，且∠EPF＝50°，则图中阴影部分的面积是(6－109π)．8．(滨州中考)如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝2，分别以A ，B ，C 为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是9．(太原二模)如图，AB 是半圆O 的直径，且AB ＝8，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是8π3(结果保留π)10．(南通中考)如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，∠ACB＝60°. (1)求∠APB 的度数；(2)若⊙O 的半径长为4 cm ，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OA ，OB.∵PA，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∴∠AOB＋∠APB＝180°. ∵∠AOB＝2∠C＝120°， ∴∠APB＝60°. (2)连接OP.∵PA，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点， ∴∠APO＝12∠APB＝30°.在Rt△APO 中，∵OA ＝4 cm ， ∴PO＝2×4＝8(cm)．由勾股定理得AP ＝OP 2－OA 2＝82－42＝43(cm)． ∴S 阴影＝2×(12×4×43－60×π×42360)＝(163－163π)cm 2.11．(本溪中考)如图，点D 是等边△ABC 中BC 边的延长线上一点，且AC ＝CD ，以AB 为直径作⊙O，分别交边AC ，BC 于点E ，F. (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)连接OC ，交⊙O 于点G ，若AB ＝4，求线段CE ，CG 与GE ︵围成的阴影部分的面积S.解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°. ∵AC＝CD ，∴∠CAD＝∠D＝30°. ∴∠BAD＝90°，即AB⊥AD. ∵AB 为直径，∴AD 是⊙O 的切线． (2)连接OE ，∵OA＝OE ，∠BAC＝60°，∴△OAE 是等边三角形．∴∠AOE＝60°.∵CB＝CA ，OA ＝OB ，∴CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.∴∠EOC＝30°. ∵△ABC 是边长为4的等边三角形，∴AO＝2. 由勾股定理得：OC ＝42－22＝2 3.同理等边△AOE 边AO 上的高是22－12＝3， ∴S 阴影＝S △AOC －S 等边△AOE －S 扇形EOG ＝12×2×23－12×2×3－30×π×22360 ＝3－π3.12．(襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ， ∴△ABF ≌△CBE.∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°， AF ＝EC.∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°.∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ， ∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG. ∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB.∴EC ∥FG. ∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG. ∴四边形EFGC 是平行四边形． ∴EF ∥CG.(2)∵△ABF ≌△CBE ，∴FB ＝BE ＝12AB ＝1.∴AF ＝AB 2＋BF 2＝ 5. 在△FEC 和△CGF 中，∵EC ＝GF ，∠ECF ＝∠GFC ，FC ＝CF ， ∴△FEC ≌△CGF(SAS)． ∴S △FEC ＝S △CGF .∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG＝90π×22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π×（5）2360＝52－π4(或10－π4)．。
九年级数学上册 第二十四章 圆 小专题16 求阴影部分的面积习题 (新版)新人教版
小专题16 求阴影部分的面积——教材P113练习T3的变式与应用【教材母题】 如图，正三角形ABC 的边长为a ，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，a2长为半径作圆．求图中阴影部分的面积．解：连接AD.由题意，得CD ＝a2，AC ＝a ，故AD ＝AC 2－CD 2＝a 2－（a 2）2＝32a.则图中阴影部分的面积为12×a×32a －3×60π×（a 2）2360＝23－π8a 2.求阴影部分面积的常用方法：①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算； ②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件．1．(资阳中考)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D.若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是(A)A ．23－23πB ．43－23πC ．23－43π D.23π2．(枣庄中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为(D)A ．2πB ．π C.π3 D.2π33．(深圳中考)如图，在扇形AOB 中，∠AOB＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为(A)A ．2π－4B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－44．(朝阳中考)如图，分别以五边形ABCDE 的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为(C)A.32π B ．3π C.72π D ．2π5．(山西中考)如图是某商品的标志图案，AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A ，B ，C ，D ，得到四边形ABCD.若AC ＝10 cm ，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(B)A ．5π cm 2B ．10π cm 2C ．15π cm2 D ．20π cm 26．(河南中考)如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是(C)A.2π3 B ．23－π3C ．23－2π3 D ．43－2π37．(天水中考)如图，在△ABC 中，BC ＝6，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是优弧EF ︵上的一点，且∠EPF＝50°，则图中阴影部分的面积是(6－109π)．8．(滨州中考)如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝2，分别以A ，B ，C 为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是9．(太原二模)如图，AB 是半圆O 的直径，且AB ＝8，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是8π3(结果保留π)10．(南通中考)如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，∠ACB＝60°.(1)求∠APB 的度数；(2)若⊙O 的半径长为4 cm ，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OA ，OB.∵PA，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∴∠AOB＋∠APB＝180°. ∵∠AOB＝2∠C＝120°， ∴∠APB＝60°. (2)连接OP.∵PA，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点， ∴∠APO＝12∠APB＝30°.在Rt△APO 中，∵OA ＝4 cm ， ∴PO＝2×4＝8(cm)．由勾股定理得AP ＝OP 2－OA 2＝82－42＝43(cm)． ∴S 阴影＝2×(12×4×43－60×π×42360)＝(163－163π)cm 2.11．(本溪中考)如图，点D 是等边△ABC 中BC 边的延长线上一点，且AC ＝CD ，以AB 为直径作⊙O，分别交边AC ，BC 于点E ，F. (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)连接OC ，交⊙O 于点G ，若AB ＝4，求线段CE ，CG 与GE ︵围成的阴影部分的面积S.解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°. ∵AC＝CD ，∴∠CAD＝∠D＝30°.∴∠BAD＝90°，即AB⊥AD. ∵AB 为直径，∴AD 是⊙O 的切线． (2)连接OE ，∵OA＝OE ，∠BAC＝60°，∴△OAE 是等边三角形．∴∠AOE＝60°.∵CB＝CA ，OA ＝OB ，∴CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.∴∠EOC＝30°. ∵△ABC 是边长为4的等边三角形，∴AO＝2. 由勾股定理得：OC ＝42－22＝2 3.同理等边△AOE 边AO 上的高是22－12＝3， ∴S 阴影＝S △AOC －S 等边△AOE －S 扇形EOG ＝12×2×23－12×2×3－30×π×22360 ＝3－π3.12．(襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝AD ＝2， ∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ， ∴△ABF ≌△CBE.∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°， AF ＝EC.∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°.∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ， ∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG. ∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB.∴EC ∥FG. ∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG. ∴四边形EFGC 是平行四边形． ∴EF ∥CG.(2)∵△ABF ≌△CBE ，∴FB ＝BE ＝12AB ＝1.∴AF ＝AB 2＋BF 2＝ 5. 在△FEC 和△CGF 中，∵EC ＝GF ，∠ECF ＝∠GFC ，FC ＝CF ， ∴△FEC ≌△CGF(SAS)． ∴S △FEC ＝S △CGF .∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG＝90π×22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π×（5）2360＝52－π4(或10－π4)．。
数学人教版九年级上册求阴影部分的面积
课题: 求图形阴影部分的面积本节课是学完《圆》后的一节复习课，在求解阴影部分面积时综合运用了其它的几何知识。
一、主要设计意图：通过割补、几何变换、等积、整体代入等方法，把不规则图形面积求解问题转化成规则图形面积的求解问题，从而提高学生解题的灵活性。
让学生通过感受计算组合图形面积的必要性，产生积极的数学学习情感。
二、典型例题：1、如图所示，分别以三角形的三个顶点为圆心，作半径为2的圆，则阴影部分的面积为 .2、设计一个商标图案（阴影部分），在矩形ABCD 中，AB=2BC,且AB=8cm ，以A 为圆心，AD 为半径作弧交BA 于F ，求阴影部分的面积3、矩形ABCD 中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ，则阴影部分面积是______4、在ABC 中，AB=BC=4，以AB 为直径作半圆交AC 于点E,求图中阴影部分的面积。
5、如图所示，AB 是半圆的直径，AB=2R ，C 、D 为半圆的三等分点，求阴影部分的面积．三、闯关训练：1、如图①正比例函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，分别以A 、B 两点为圆心画与y 轴相切的两个圆，若 A （2，3），则图中阴影部分的面积 为 。
2、如图②直线y=kx+b 与坐标轴交点为A （ ，0）、B （0, 3）,以AB 为直径作⊙C ，则此圆与y 轴围成的阴影面积为______3、如图④在Rt ABC 中，AB=5,BC=4,若扇形GAE 与扇形FBE 关于点E 中心对称，则图中阴影部分的面积为（ ）A.20B.15C.12D.64、如图所示，⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，求图中阴影部分的面积．5、如图所示，⊙O的直径为AB=10cm，弦CD=EF=5cm，且CD∥EF∥AB，P为AB上的一点，求图中阴影部分的面积。
6、在半径为5，圆心角等于45°的扇形AOB内部做一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，则阴影部分的面积是___________（结果保留π）四、小结：通过多种方法，把不规则图形面积求解问题转化成规则图形面积的求解问题。
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3 A. cm 2
4 2 B.(2 )cm C. 3cm D. cm 3 3
李周林
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二、强化训练
4.如图，扇形AOB的半径为1,∠AOB=90°, 以AB为直径画半圆,则图中阴影部分的面积 为( C ) A.
4
1 B. 2
1 C. 2
1 D.
二、强化训练
• 6.如图，两个同心圆中，大圆的半径 OA=4cm，∠AOB=∠BOC=60°，则图中阴 8 2. 影部分的面积是______cm
3
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二、强化训练
7.如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离, 它们的半径都是1,顺次连接四个圆心 得到四边形ABCD,则图形中四个扇形 (空白部分)的面积之和是___________
第46课时 弧长和扇形面积（2）
——求阴影部分面积习题课
一、基础知识
1、弧长计算公式： 2、扇形面积计算公式：
n r L 180
。
（ 1）
（ 2）
n r S 360
。
。李Βιβλιοθήκη 林LR S 2广东省怀集县中洲镇泰来学校
练一练 已知：如图，半圆O的直径AB=12cm， 点C，D是这个半圆的三等分点．求 围成 ∠CAD的度数及弦AC，AD和 CD 的图形（图中阴影部分）的面积S.
广东省怀集县凤岗镇初级中学 黄柳燕
二、强化训练
1、 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧 两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30 ㎝，贴纸部分BD的长为20㎝，则贴纸部 分的面积为（ D ）cm²
A. 100 ∏ C.800 ∏
400 B. ∏ 3
800 D. ∏ 3
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9 3 3 . 答：阴影部分的面积为 2 2
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二、强化训练
10、如图,已知PA、PB切⊙O于A、B点, PO=4cm,∠APB=60°,求阴影部分的周长 和面积.
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二、强化训练
解：因为PA、PB切⊙O于A、B点， PO=4cm，∠APB=60°， 所以∠APO=∠BPO=30°， ∠AOB=120°， 所以AO=2cm，AP=BP= 2 3 cm， 4 弧AB=120×π×2÷180= cm， 3 阴影部分的周长：
=2× 2 3
2
120 22 360
=
4 4 3 3
cm
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二、强化训练
11.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E， 交⊙O于点D，OF⊥AC于点F。 （1）请写出三条与BC有关的正确结论； （2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部 分的面积.
4
2
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二、强化训练
5.如图，矩形ABCD的边长AB=1，AD= 3，如 果矩形ABCD以B为中心，按顺时针方向旋 转到A ′BCD的位置（点A′落在对角线BD 上），则对角线BD扫过的面积为（ B ） 2 A. B. 3 3
C.
4 D. 3
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解：连接CO、OD，CD， ∵C、D是这个半圆的三等分点， 60° ∴CD∥AB，∠CDO= ， 30° ∴∠CAD= ， ∵OC=OD， 等边 ∴△OCD是 三角形， CD=OC=0.5AB=6， ∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形， 1 ∴S阴影=S扇形OCD=π ×6 36= 6 π cm2． 答：阴影部分的面积S是 cm2. 6π
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二、强化训练
8.如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4， AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA， 2 连接AC，则图中阴影部分的面积为 _____ 3
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二、强化训练
9.如图，线段AB与⊙O相切于点C，连结 OA，OB，OB交⊙O于点D，已知， OA=OB=6．AB= 6 3 （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积.
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二、强化训练
解：
（1）BC=BD;OF平行BC；三角 形ABC是直角三角形。（等等）
（2）连接OC，则 OC=OA=OB ∴∠D=30°
∴∠A=∠D=30°
∴∠AOC=120°
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二、强化训练
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB=90° 在直角三角形ABC中，BC=1 ∴AB=3,AC= 3 ∵ OF⊥AC ∴OA=OB ∴AF=CF ∴OF是△ 1 ABC的中位线， 1 ∴OF= 2 BC=2
二、强化训练 2.如图，正方形的边长为a，以各边为直径 在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影 部分）的面积为（ C ）
A. a a
2
2
B.2 a a
2
2
1 2 2 9 2 C. a a D.a a 2 2 4
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二、强化训练
3. 如图，将边长为1cm的等边Δ ABC沿直 线向右翻动（不滑动），点B从开始到 结束，所经过路径的长度为（ D ）
O D A C
B
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二、强化训练
O
解：（1）连结OC，则 OC AB
． OA OB
D
1 （2）∵ OC= OB , ∴ ∠B=30°,∠COD=60°． 2
o 的半径为3
OC 在Rt△AOC中，
1 1 AC BC AB 6 3 3 3 2 2
OA AC 6 3 3
2 2 2
A
C
B
2
3
∴扇形OCD的面积为 ： 3 60 32 = =
360 2 广东省怀集县中洲镇泰来学校
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二、强化训练
O
∴阴影部分的面积为
A
D
C
B
S
阴影=
S直角三角形OBC -S
扇形OCD
1 3 9 3 3 OC CB 2 2 2 2
答：阴影部分的周长是：
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4 4 2 3 2 4 3 cm 3 3
4 4 3 cm 3
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二、强化训练
S =S四边形APBO-S扇形ABO 2 n r =AO· AP阴影
360